ICONTENIDOMatemticas simplicadasMxico oArgentina Brasil Colombia Costa Rica Chile Ecuador aC C uEspaa Guatemala Panam Per Puerto Rico Uruguay G P o u Venezuela ne VVPrentice Hall e aMatemticas simplicadasARTURO AGUILAR MRQUEZFABIN VALAPAI BRAVO VZQUEZHERMAN AURELIO GALLEGOS RUIZMIGUEL CERN VILLEGASRICARDO REYES FIGUEROAREVISIN TCNICAIng. Carlos Lozano Sousa (M.Sc.)Ing. Agustn Vzquez Snchez (M. en C.)Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Estado de MxicoCOLEGIO NACIONAL DE MATEMTICASMatemticas simplicadasSegunda edicinPEARSON EDUCACIN, Mxico, 2009ISBN: 978-607-442-348-8rea: MatemticasFormato: 2025.5 cmPginas: 1640 4VIRXMGI,EPPIWYREQEVGEHITodos los derechos reservadosEditor: Lilia Moreno Olvera e-mail: lilia.moreno@pearsoned.com Editor de desarrollo: Alejandro Gmez RuizSupervisores de produccin: Juan Jos Garca GuzmnRodrigo Romero VillalobosJos Hernndez GarduoSEGUNDA EDICIN, 2009D.R. 2009 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5 piso Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Jurez, Estado de MxicoCmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. nm. 1031Prentice-Hall es marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.ISBN: 978-607-442-348-8Impreso en Mxico. Printed in Mexico.Para los que ensean y para los que aprendenING. ARTURO SANTANA PINEDAEl poder de las matemticasEl que domina las matemticas piensa, razona, analiza y por ende acta con lgica en la vida cotidiana, por tanto, domina al mundo. ING. ARTURO SANTANA PINEDAIXPrefacioEl Colegio Nacional de Matemticas es una institucin que, desde su fundacin, ha impartido cursos de regularizacin en las reas de Matemticas, Fsica y Qumica, con resultados altamente satisfac-torios. Es por ello que su fundador y director general, el Ingeniero Arturo Santana Pineda, decidi plasmar y compartir la experiencia adquirida en este libro que recopila lo aprendido en todos estos aos y cuyo principio fundamental es que la persona que aprende matemticas, piensa, razona, analiza y por tanto acta con lgica.A travs de esta institucin y sus docentes, se ha logrado no slo resolver el problema de reprobacin con el que llega el estudiante sino, tambin, cambiar su apreciacin sobre la materia, de tal forma, que se va convencido de que es fcil aprender matemticas y que puede incluso dedicarse a ellas. De ah que jvenes que han llegado con serios problemas en el rea, una vez que descubren su potencial han decidido estudiar alguna carrera afn.De esta forma, se decide unir a los docentes con mayor experiencia y trayectoria dentro de la institucin para que conjuntamente escriban un libro que lejos de presunciones formales, muestre la parte prctica que requiere un estudiante al aprender matemticas y que le sirva de refuerzo para los conocimientos adquiridos en el aula. EnfoqueEl libro tiene un enfoque 100% prctico, por lo que la teora que se trata es lo ms bsica posible, slo se abordan los conceptos bsicos para que el estudiante comprenda y se ejercite en la aplicacin de la teora analizada en el aula, en su libro de texto y con su profesor. De esta manera, se pone mayor nfasis en los ejemplos, en donde el estudiante tendr la referencia para resolver los ejercicios que vienen al final de cada tema y poder as reafirmar lo aprendido. Estamos conven-cidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental para su aprendizaje, sin embargo, la prctica puede lograr que este razonamiento se d ms rpido y sin tanta dificultad.EstructuraMatemticassimplificadasestformadoporseisreasbsicasdelasmatemticas:Aritmtica,lgebra, Geometra y Trigonometra, Geometra Analtica, Clculo Diferencial y Clculo Integral. Cada una de ellas est dividida en captulos, los cuales llevan un orden especfico, siempre tomando en cuenta que el estudio de las matemticas se va construyendo, es decir, cada tema siempre va ligado con los conocimientos adquiridos en los apartados anteriores.Cada captulo est estructurado a base de teora, ejemplos y ejercicios propuestos. Los ejemplos son de-sarrollados paso a paso, de tal forma que el lector pueda entender el procedimiento y posteriormente resolver los ejercicios correspondientes. La solucin a los ejercicios se encuentran al final del libro organizados por rea, de tal forma que el estudiante puede verificar si los resolvi correctamente y comprobar su aprendizaje. En esta edicin se identificanlas secciones que corresponden a los problemas de aplicacin, los cuales tienen como objetivo hacer una vinculacin con casos de la vida cotidiana en donde se pueden aplicar los conoci-mientos adquiridos en cada tema.La primera parte del libro est dividida en once captulos que correspondenal rea de Aritmtica, materia clave para el estudio de las dems reas, donde se inicia con los conceptos bsicos, para dar paso al estudio de Xlos nmeros enteros y racionales con sus respectivas operaciones, teora de nmeros, potenciacin y radica-cin, notacin cientfica, logaritmos, razones y proporciones, sistemas de numeracin y al final, un captulo de razonamiento matemtico, donde el lector podr verificar lo aprendido en esta rea. El estudio del lgebra corresponde a la segunda parte del libro, siendo fundamental para poder aprender cualquier otra materia o tema relacionado con las matemticas. Estdividida en 17 captulos, donde se en-cuentran temas como: Lgica y conjuntos, conceptos bsicos de lgebra, productos notables, factorizacin, fracciones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado con aplicaciones, funcin lineal, sistemas de ecuaciones, potenciacin, radicacin, nmeros complejos, desigualdades, logaritmos, progresiones, matrices y races de una ecuacin. Cada tema est desarrollado con la teora justa y siguiendo con la idea de brindar al lector un gran nmero de ejemplos para facilitar el aprendizaje de esta materia.La tercera parte corresponde a lasreas de Geometra Euclidiana y Trigonometra, se divide en 17 captulos. En Geometra se estudian conceptos bsicos y temas esenciales como: ngulos, rectas, tringulos, cuadrilteros y polgonos en general, circunferencia y como tema nuevo en esta edicin, se agreg el tema de transformacio-nes (escala, rotacin simetra axial, simetra central). Cada apartado con sus respectivas definiciones, teoremas y aplicaciones. Tambin se analiza conceptos como permetros, reas y volmenes de figuras geomtricas. Para Trigonometra se estudianlas funciones trigonomtricas, desde su definicin, su clculo, sus grficas, identidades, ecuaciones con dichas funciones y, aplicaciones a la solucin de tringulos rectngulos y obli-cungulos. Adems, se da como un elemento extra la forma trigonomtrica de los nmeros complejos. La Geometra Analtica se estudia en la cuarta parte de este libro, a travs de trece captulos que ofrecen las herramientas bsicas para abordar los temas de distancia, punto medio, punto de divisin pendiente, etc., para posteriormente tratar los principales lugares geomtricos como: la recta, circunferencia, parbola, elipse e hiprbola. Contina con un extenso captulo sobre coordenadas polares y finaliza con el estudio de las ecuaciones paramtricas.Clculo Diferencial e Integral son los dos apartados con los que concluye el libro. En el primero, se estudia todo lo correspondiente a los conceptos bsicos del clculo diferencial, analizando temas como: funciones, lmites (tema que en esta edicin fue modificado en su parte terica), continuidad, la derivada y sus aplicacio-nes, los cuales son desarrollados de manera amplia y prctica. Algunos de estos temas han sido enriquecidos en su teora o ejercicios. Para el apartado de Clculo Integral se estudia desde sumas de Riemann, pasando por integrales inmediatas, mtodos de integracin, rea bajo la curva, volmenes y algunas aplicaciones en la economa (temas tambin enriquecidos en esta edicin).El libro tiene la ventaja de contener el material necesario para aprender y verificar el conocimiento ad-quirido, as como tener la referencia para desarrollar temas, que en el caso de no contar con los elementos necesarios, el lector podr recurrir a ellos buscando en alguna de las reas previas a las que est estudiando. Todo lo anterior hace de este texto una referencia total para que el estudiante de nivel medio superior tenga un material de consulta durante todo su bachillerato, o para aquel que inicie estudios superiores, as como para los profesores que en funcin de necesidades especificas estn en posibilidad de realizar desde una consulta, hasta contar un apoyo para la parte prctica de su curso empleando los ejercicios propuestos. Cabe mencionar que para esta edicin se tomaron en cuenta las observaciones hechas por estudiantes y profesores que con su colaboracin enriquecieron y mejoraron este material.PREFACIOXIAgradecimientosSegn Benjamn Franklin, invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses, por lo que espero que obtengas, a travs de este libro, las ms grandes ganancias para tu futuro profesional.ARTURO SANTANA DIRECTOR GENERAL DE CONAMATA mi madre por darme la vida y ensearme a vivirla, Andrey por ser y estar conmigo, Chema e Hiram los alumnos que se volvieron mis hermanos, a mi familia (Echeverra, Pineda y Snchez), a la UNAM, al ingeniero Santana, Rox llegaste a tiempo, a los cuatro fantsticos: Herman, Fabin, Ricardo y Miguel, fue un placer compartir este trabajo. A mis alumnos que fueron y sern.ARTURO AGUILARA mis padres Mara Elena y lvaro, por brindarme la vida, por sus enseanzas y consejos; a mi esposa e hijos (Ana, Liam y Daniel), porque son la razn de mi vida y mi inspiracin; a mis hermanos Belem, Adalid y Tania por apoyarme incondicionalmente y sobre todo a mis compaeros y amigos: Ricardo, Miguel, Arturo y Herman.FABIN VALAPAI BRAVOUna vez mi padre me dijo que un hombre triunfador no es el que acumula riquezas o ttulos, sino es aquel que se gana el cario, admiracin y respeto de sus semejantes, agradezco y dedico esta obra a la memoria de mi padre el Sr. Herman Gallegos Bartolo que me dio la vida y que por azares del destino ya no se encuentra con nosotros. A Eliy Jos Fernando que son el motor de mi vida. HERMAN A. GALLEGOS RUIZA toda mi familia muy en especial a Lupita y Agustn, por haberme dado la vida y ser un ejemplo a seguir; a mis hermanos Elizabeth y Hugo por quererme y soportarme. Quiero adems, reconocer el esfuerzo de mis amigos y compaeros Arturo, Fabin, Herman y Ricardo con quien tuve la oportunidad de ver cristalizado este sueo.MIGUEL CERNA mis padres Rosa y Gerardo, por darme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Arturo; un especial agradecimiento a mi esposa Ma. Mercedes; a mis hijos Ricardo y Allan por su sacrificio, comprensin y tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Arturo A., Fabin, Miguel, Roxana y Arturo S. por hacer realidad nuestro sueo.RICARDO REYESUn agradecimiento especial a los alumnos que tomaron clase con alguno de nosotros, ya que gracias a ellos logramos adquirir la experiencia para poder escribir este libro.LOS AUTORESXIIIAcerca de los autoresArturo Aguilar Mrquez.Lleg como estudiante a Colegio Nacional de Matemticas, desarroll habilidades y aptitudes que le permitieron incorporarse a la plantilla de docentes de la Institucin. Realiz estudios de Actuara en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico y ha impartido clases de Matemticas por ms de 11 aos en CONAMAT.Fabin Valapai Bravo Vzquez.Desde muy temprana edad, con la preparacin de profesores de CONAMAT, particip en concursos de matemticas a nivel nacional. Posteriormente, se incorpor a la plantilla docente de la misma institucin donde ha impartido la materia de Matemticas durante 12 aos. Al mismo tiempo, estudi la carrera de Diseo Grfico en la Escuela Nacional de Artes Plsticas. Herman Aurelio Gallegos Ruiz.Se inici como profesor en CONAMAT. Realiz estudios en la Escuela Superior de Fsica y Matemticas del Instituto Politcnico Nacional y Actuara en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico. Ha impartido clases de Matemticas y Fsica por ms de 15 aos en Colegio Nacional de Matemticas. Miguel Cern Villegas.Es egresado de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniera y Ciencias Sociales y Administrativas del Instituto Politcnico Nacional, realiz estudios de Ingeniera Industrial y tiene ms de 15 aos de experiencia en docencia.Ricardo Reyes Figueroa.Inici su trayectoria en la disciplina de las Matemticas tomando cursos en CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para transmitir el conocimiento, se incorpora como docente en la misma institucin donde ha impartido la materia de Matemticas y Fsica durante 19 aos. Realiz sus estudios de Matemticas en la Escuela Superior de Fsica y Matemticas del Instituto Politcnico Nacional, y de Matemticas Puras en la Universidad Autnoma Metropolitana.XVContenidoCAPTULO 1 Nmeros realesClasicacin, 4. Propiedades, 4. Lectura y escritura, 5. Orden, 8. Valor absoluto de un nmero, 11. Valor absoluto y relativo del sistema posicional decimal, 12.CAPTULO 2 Nmeros enterosSuma, 16. Resta, 18. Suma y resta con signos de agrupacin, 21. Multiplicacin, 23. Multiplicacin con signos de agrupacin, 26. Divisin, 29. Algoritmo de la divisin, 29.CAPTULO 3 Teora de nmerosDivisibilidad, 34. Criterios de divisibilidad, 34. Nmeros primos, 36. Descomposicin de un nmero en sus factores primos, 37. Mximo comn divisor (MCD), 38. Mnimo comn mltiplo (mcm), 40.CAPTULO 4 Nmeros racionalesFraccin comn, 46. Clasicacin, 47. Conversiones, 48. Fracciones equivalentes, 49. Propiedades, 50. Ubicacin en la recta numrica, 51. Suma y resta con igual denominador, 52. Suma y resta con diferente denominador, 53. Multiplicacin, 56. Divisin, 59. Operaciones con signos de agrupacin, 61. Fracciones complejas, 64.CAPTULO 5 Nmeros decimalesDenicin, 68. Lectura y escritura, 68. Suma y resta, 71. Multiplicacin, 74. Divisin, 77. Conversiones, 81.CAPTULO 6 Potenciacin y radicacinPotenciacin, 86. Teoremas, 87. Radicacin, 91. Teoremas, 92. Simplicacin, 94. Suma y resta, 95. Multiplicacin, 97. Divisin, 99. Racionalizacin, 101. Raz cuadrada, 104. Raz cbica, 107. Jerarqua de operaciones, 108.CAPTULO 7 Notacin cientca y logaritmosNotacin cientca, 114. Suma y resta, 117. Multiplicacin y divisin, 118. Potencias y races, 120. Logaritmo de un nmero, 122. Antilogaritmo, 124. Propiedades de los logaritmos, 125. Cambios de base, 128.CAPTULO 8 Razones y proporcionesCantidades proporcionales, 132. Proporcin, 132. Media proporcional (media geomtrica), 134. Cuarta proporcional, 135. Tercera proporcional, 136. Regla de tres simple, 136. Regla de tres compuesta, 140. Tanto por ciento, 141. Inters simple, 147. Frmulas para determinar el inters simple, 147. Frmulas para el clculo del capital, el tiempo y la tasa, 149.ARITMTICAXVICAPTULO 9 Sistemas de numeracinDenicin, 152. Conversiones, 154. Conversin de un nmero en base B a base 10 N(B) N(10 ), 154. Conversin de un nmero en base 10 a otra base N(10 ) N(B), 157. Conversin de un nmero binario a octal N(2) N(8), 160. Conversin de un nmero octal a binario N(8) N(2), 160. Conversin de un nmero binario a hexadecimal N(2) N(16), 161. Conversin de un nmero hexadecimal a binario N(16) N(2), 162. Suma con nmeros en base distinta de 10, 164. Resta con nmeros en base distinta de 10, 169. Multiplicacin con nmeros en base distinta de 10, 173. Divisin con nmeros en base distinta de 10, 176. Sistemas antiguos de numeracin, 178. Sistema de numeracin maya, 178. Sistema de numeracin babilnico, 182. Sistema de numeracin romano, 185. Sistema de numeracin egipcio, 187.CAPTULO 10 Sistema mtrico decimal y nmeros denominadosSistema mtrico decimal, 194. Unidades de longitud, 194. Equivalencias de longitud en el sistema mtrico decimal, 194. Unidades de supercie, 195. Equivalencias de supercie en el sistema mtrico decimal, 195. Unidades de volumen, 196. Equivalencias de volumen en el sistema mtrico decimal, 196. Unidades de masa, 197. Equivalencias de masa en el sistema mtrico decimal, 197. Nmeros denominados, 198. Equivalencias de medidas de tiempo, 198. Equivalencias de medidas angulares, 198. Suma, 200. Resta, 201. Multiplicacin, 202. Divisin, 203.CAPTULO 11 Razonamiento aritmticoProblemas con nmeros enteros, 206. Problemas con fracciones, 209. Problemas de agrupacin, 212. Suma de los divisores de un nmero, 215. Problemas de repartimientos proporcionales, 217.CONTENIDOLGEBRACAPTULO 1 Conjuntos y lgicaSimbologa, 224. Conjuntos, 225. Conjuntos de nmeros, 226. Tipos de nmeros, 226. Escritura y repre-sentacin de conjuntos, 227. Cardinalidad, 228. Conjuntos equivalentes, 229. Conjuntos iguales, 230. Conjuntos disjuntos, 230. Subconjuntos, 231. Conjunto potencia, 231. Conjunto universo, 232. Diagramas de Venn, 232. Unin de conjuntos, 234. Interseccin de conjuntos, 235. Conjunto complemento, 237. Dife-rencia de conjuntos, 239. Operaciones de conjuntos con diagramas de Venn, 241. lgebra de conjuntos, 248. Lgica, 249. Tipos de proposiciones, 250. Proposiciones compuestas, 250. Leyes de De Morgan, 253. Proposiciones condicionales, 253. Relacin de proposiciones abiertas con conjuntos, 254. Clculo proposicional, 258. Construccin de las tablas de verdad, 260. Producto cartesiano de conjuntos, 263. CAPTULO 2 Conceptos bsicos de lgebralgebra, 266. Expresiones algebraicas, 266. Reduccin de trminos semejantes, 266. Valor numrico, 268. Lenguaje algebraico, 270. Polinomios, 272. Suma, 272. Resta, 274. Signos de agrupacin, 276. Reglas para suprimir los signos de agrupacin, 276. Multiplicacin, 278. Divisin, 283. Ley de los expo-nentes para la divisin, 284. CAPTULO 3 Productos notablesDenicin, 294. Cuadrado de un binomio, 294. Cuadrado de un trinomio, 295. Binomios conjugados, 297. Productos donde se aplican binomios conjugados, 298. Binomios con trmino comn, 300. Cubo de un binomio, 303. Multiplicaciones que se resuelven con la aplicacin de productos notables, 304.CAPTULO 4 FactorizacinDenicin, 308. Factor comn, 308. Factor comn por agrupacin de trminos, 309. Diferencia de cua-drados, 311. Trinomio cuadrado perfecto, 312. Pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, 312. XVIICONTENIDOTrinomio de la forma x2 + bx + c, 315. Trinomio de la forma a x2 + bx + c, 318. Por agrupacin de trminos, 319. Casos especiales, 320. Suma o diferencia de cubos, 322. Suma o diferencia de potencias impares iguales, 324. Factorizacin que combina un trinomio cuadrado perfecto y una diferencia de cuadrados, 325. Factorizacin para completar el trinomio cuadrado perfecto, 326. Expresiones algebraicas donde se utilizan dos o ms casos, 327. Descomposicin en factores de un polinomio por divisin sinttica, 328.CAPTULO 5 Fracciones algebraicasMximo comn divisor (MCD), 332. Mnimo comn mltiplo (mcm), 332. Simplicacin de fracciones algebraicas, 334. Suma y resta de fracciones con denominador comn, 336. Suma y resta de fraccio- nes con denominadores diferentes, 337. Multiplicacin de fracciones algebraicas, 341. Divisin de frac- ciones algebraicas, 343. Combinacin de operaciones con fracciones, 345. Fracciones complejas, 347.CAPTULO 6 Ecuaciones de primer gradoConceptos generales, 352. Ecuaciones de primer grado con una incgnita, 352. Con signos de agru-pacin y productos indicados, 355. Fraccionarias, 357. Con valor absoluto, 360. Con literales, 362. Problemas sobre nmeros, 363. Problemas sobre edades, 366. Problemas sobre mezclas, 367. Problemas sobre monedas, 369. Problemas sobre costos, 370. Problemas sobre el tiempo requerido para realizar un trabajo, 372. Problemas sobre comparacin de distancias y tiempos, 374. Problemas de aplicacin a la geometra plana, 376. Despejes de frmulas, 378.CAPTULO 7 Funcin linealPlano cartesiano, 382. Localizacin de puntos, 382. Funcin, 383. Constante, 383. Ecuacin x = k, 383. Lineal, 384. Generalidades, 385.CAPTULO 8 Sistemas de ecuacionesEcuacin lineal, 394. Solucin de una ecuacin lineal, 394. Grca, 396. Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, 398. Mtodos de solucin, 400. Sistema de dos ecuaciones que se reducen a lineales, 412. Mtodos para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables, 421. Reduccin (suma y resta), 421. Determinantes, 426. Descomposicin de una fraccin algebraica en suma de fracciones parciales, 429.CAPTULO 9 PotenciacinDenicin, 438. Teoremas de los exponentes, 438. Potencia de un binomio, 447. Factorial de un nmero, 447. Binomio de Newton, 447. Clculo del i-simo trmino, 450. Tringulo de Pascal, 451.CAPTULO 10 RadicacinRadical, 454. Elementos de un radical, 454. Raz principal de un radical, 454. Radical como exponente, 454. Teoremas, 455. Representacin de un exponente fraccionario como radical, 456. Teoremas, 457. Clculo de races, 458. Simplicacin, 460. Introduccin de factores, 462. Suma y resta, 464. Multiplica-cin, 466. Con ndices diferentes, 468. Divisin, 469. Con ndices iguales, 469. Con ndices diferentes, 470. Racionalizacin, 471. Racionalizacin del denominador de una fraccin, 471. Racionalizacin del numerador de una fraccin, 474.CAPTULO 11 Nmeros complejosNmeros imaginarios, 478. Nmero imaginario puro, 478. Suma y resta, 479. Potencias de i, 480. Mul-tiplica cin y divisin, 481. Nmeros complejos, 483. Suma y resta, 484. Multiplicacin por un escalar, 485. Mul ti pli ca cin, 487. Divisin, 489. Representacin grca, 490. Valor absoluto o mdulo, 492. Conjugado, 493. CONTENIDOXVIIICAPTULO 12 Ecuaciones de segundo gradoDenicin, 498. Solucin de una ecuacin de segundo grado completa, 498. Frmula general, 501. Factorizacin, 504. Solucin de una ecuacin de segundo grado incompleta, 506. Mixtas, 506. Puras, 507. Funcin cuadrtica, 513. Anlisis de una funcin cuadrtica, 513. Relacin entre las races de una ecuacin de segundo grado, 516. Deduccin de una ecuacin de segundo grado dadas las races, 518. Ecuaciones con radicales, 519. Sistema de ecuaciones cuadrticas, 521. Procedimiento para la resolucin de un sistema de ecuaciones cuadrtico-lineal con dos incgnitas, 521. Procedimiento para la resolucin de un sistema de dos ecuaciones cuadrticas, 522. Procedimiento para la resolucin de un sistema cuadrtico mixto, 522.CAPTULO 13 DesigualdadesDenicin, 526. Propiedades de las desigualdades, 526. Desigualdad lineal con una variable, 527. Desigualdad cuadrtica con una variable, 530. Mtodo por casos, 530. Mtodo por intervalos, 530. Mtodo grco, 533. Desigualdad racional, 535. Mtodo por casos, 535. Mtodo por intervalos, 538. Desigualdad que tiene la expresin ( x a) ( x b) ( x c)..., 540. Desigualdades con valor absoluto, 541. Casos especiales de desigualdades con valor absoluto, 542. Grca de una desigualdad lineal con dos variables, 544. Sistema de desigualdades lineales con dos variables, 546.CAPTULO 14 LogaritmosDenicin, 550. Aplicacin de la denicin de logaritmo, 551. Propiedades, 552. Aplicacin de las pro-piedades para el desarrollo de expresiones, 553. Ecuaciones logartmicas, 558. Ecuaciones exponenciales, 560.CAPTULO 15 ProgresionesSucesin innita, 572. Suma, 574. Progresin aritmtica o sucesin aritmtica, 575. Frmula para deter-minar el n-simo trmino en una progresin aritmtica, 576. Frmulas para determinar el primer trmino, nmero de trminos y la razn, 577. Suma de los n primeros trminos en una progresin aritmtica, 580. Interpolacin de medios aritmticos, 583. Media aritmtica o promedio aritmtico, 584. Progresin geom-trica o sucesin geomtrica, 585. Frmula para obtener el n-simo trmino en una progresin geomtrica, 586. Frmulas para obtener el 1er trmino, nmero de trminos y la razn, 588. Suma de los n primeros trminos de una progresin geomtrica, 591. Progresin geomtrica innita, 594. Interpolacin de medios geomtricos, 596. Inters compuesto, 598. Depreciacin, 601.CAPTULO 16 MatricesDenicin, 604. Orden de una matriz, 604. Nmero de elementos de una matriz, 605. Tipos de matrices, 605. Multiplicacin por un escalar, 608. Suma, 609. Resta, 611. Multiplicacin, 613. Propiedades de las matrices, 614. Determinantes, 615. Sea la matriz de orden 2, 615. Sea la matriz de orden 3, 616. Propiedades, 616. Matriz inversa, 618. Mtodo de Gauss-Jordan, 618. Inversa de una matriz para resolver sistemas de ecuaciones, 620.CAPTULO 17 Races de un polinomioTeorema del factor y del residuo, 624. Races, 625. Clculo de las races por divisin sinttica, 628. Regla de los signos de Descartes, 628.XIXCONTENIDOCAPTULO 1 Conceptos bsicosConceptos bsicos, 636CAPTULO 2 ngulosDefinicin, 640. Medidas, 640. Sistema sexagesimal, 640. Sistema cclico o circular, 642. Conversin de grados a radianes y de radianes a grados, 642. Operaciones, 644. Clasificacin de acuerdo con su medida, 646. Convexos, 646. Llano o de lados colineales, 647. Cncavo o entrante, 647. Perigonal o de vuelta entera, 647. Complementarios, 647. Suplementarios, 647. Conjugados, 648.CAPTULO 3 Rectas perpendiculares y paralelasPerpendicularidad, 654. Paralelismo, 654. ngulos opuestos por el vrtice, 655. ngulos contiguos, 655. ngulos adyacentes, 655. Rectas paralelas cortadas por una recta secante, 655.CAPTULO 4 TringulosDefinicin, 662. Clasificacin de los tringulos, 662. Por sus lados, 662. Por sus ngulos, 662. Rectas y puntos notables, 663. Teoremas, 664. Tringulos congruentes, 669. Teoremas de congruencia, 669. Proporciones, 676. Teoremas de proporciones, 677. Semejanza, 678. Propiedades fundamentales, 678. Teoremasdesemejanza,679.TeoremadeTales,681.TeoremadePitgoras,686.Naturalezadel tringulo a partir del teorema de Pitgoras, 688. Teoremas de semejanza en tringulos rectngulos, 689.CAPTULO 5 CuadrilterosDefinicin,694.Clasificacin,694.Teorema,695.Propiedadesdelosparalelogramos,695. Demostraciones, 697. Paralelogramos especiales, 698. Propiedades de los trapecios, 700. Propiedades de los trapecios issceles, 700.CAPTULO 6 PolgonosDefinicin, 704. Clasificacin, 704. Por sus lados, 704. Por sus ngulos, 704. Elementos, 705. Nmero de diagonales, 705. Nmero de diagonales trazadas desde un mismo vrtice, 705. Nmero de diagonales totales, 705. ngulos de un polgono, 707.CAPTULO 7 TransformacionesEscala,714.Figurasaescala,714.Transformacionesdefigurasenelplano,716.Traslacin,716. Rotacin, 719. Simetra axial, 723. Simetra central, 728.CAPTULO 8 Circunferencia y crculoCircunferencia, 734. Rectas notables, 734. Porciones de un crculo, 734. Circunferencia y polgonos, 735. ngulos notables, 735. Teoremas, 739. Tangente a una circunferencia, 744. Longitud de una tangente, 744. Propiedades de las tangentes, 744. Posiciones relativas, 745.GEOMETRA Y TRIGONOMETRA CONTENIDOXXCAPTULO 9 Permetros y superciesDefiniciones,750.Permetroyreadeunafiguraplana,750.Tringulos,750.Cuadrilteros,751. Polgonos regulares, 753. Circunferencia y crculo, 754. Sector y segmento circular, 754. rea de figuras combinadas, 757.CAPTULO 10 Cuerpos geomtricos, reas y volmenesngulodiedro,764.Clasificacin,764.ngulotriedro,764.Clasificacin,765.ngulopoliedro, 766.Clasificacin,766.Poliedro,767.Elementos,767.Clasificacin,767.Poliedrosregulares, 768. Clasificacin, 768. Desarrollo, 769. rea y volumen de un poliedro regular, 769. Prisma, 772. Clasificacin, 772. rea y volumen, 774. Pirmides, 776. rea y volumen, 777. Cuerpos con superficies noplanas,779.Cilindrocircular,780.Conocircular,780.Esfera,783.Figurasesfricasyzonas esfricas, 783. rea de figuras esfricas y volumen de cuerpos esfricos, 784.CAPTULO 11 Funciones trigonomtricasFunciones trigonomtricas, 790. Definiciones, 790. Cofunciones, 791. Rango numrico, 792. Valor, 792. Signosdelasfuncionestrigonomtricasenelplanocartesiano,794.Tabladesignos,794.Funciones trigonomtricasparangulosmayoresque90,796.Funcionestrigonomtricasdengulosnegativos, 798. Valores numricos de las funciones trigonomtricas circulares, 799.CAPTULO 12 Funciones trigonomtricas para ngulos notablesValor de las funciones trigonomtricas de los ngulos de 0, 90, 180, 270 y 360, 804. Valor de las funciones trigonomtricas de los ngulos de 30, 45 y 60, 805. Aplicacin de los valores trigonom-tricos de los ngulos notables, 807.CAPTULO 13 Representacin grca de las funciones trigonomtricasGrficas de las funciones trigonomtricas, 812. Grfica de y = sen x, 812. Grfica de y = cos x, 813. Grfica de y = tan x, 813. Grfica de y = ctg x, 814. Grfica de y = sec x, 814. Grfica de y = csc x, 815. Resumen, 815. Amplitud, periodo y desplazamiento de fase, 816. Grficas de y = sen1 x, y = cos1 x, y = tan1 x, 819.CAPTULO 14 Identidades y ecuaciones trigonomtricasIdentidades trigonomtricas, 824. Obtencin de las identidades trigonomtricas bsicas, 824. Demostracin de identidades trigonomtricas, 825. Obtencin de las identidades trigonomtricas de la suma y la diferencia de ngulos, 830. Valor de una funcin trigonomtrica para la suma y la diferencia de ngulos , 832. Aplicacin de las funciones trigonomtricas de la suma y la diferencia de ngulos, 833. Funciones trigonomtricas del ngulodoble,837.Senodelngulodoblesen(2a),837.Cosenodelngulodoblecos(2a),837. Tangente del ngulo doble tan (2a), 838. Funciones trigonomtricas de la mitad de un ngulo, 839. Senode la mitad de un ngulo: sen2, 839. Coseno de la mitad de un ngulo: cos2, 839. Tangente de la mitad de un ngulo: tan2, 839. Identidades trigonomtricas para transformar un producto en suma o resta, 844.Demostracin de identidades, 846. Identidades para transformar sumas o restas de funciones trigonomtricas en un producto, 848. Demostracin de identidades, 851. Ecuaciones trigonomtricas, 852.CAPTULO 15 Tringulos rectngulosSolucin de tringulos rectngulos, 858.XXICONTENIDOCAPTULO 16 Tringulos oblicungulosSolucin de tringulos oblicungulos, 868. Ley de senos, 868. Ley de cosenos, 870. Ley de tangentes, 872.CAPTULO 17 Forma trigonomtrica de los nmeros complejosForma trigonomtrica o polar, 882. Operaciones fundamentales, 883.CAPTULO 1Geometra analtica unidimensionalSegmento de recta, 892. Distancia entre dos puntos, 892. Distancia dirigida, 892. Divisin de un segmento en una razn dada, 894. Punto medio, 896.CAPTULO 2Geometra analtica bidimensionalPlanocartesiano,900.Localizacindepuntos,900.Distanciaentredospuntos,901.Divisindeun segmento en una razn dada, 903. Punto medio de un segmento de recta, 907. Puntos de triseccin de un segmento de recta, 908. rea de un tringulo, 909. rea de un polgono, 910.CAPTULO 3Pendiente de una rectaDefiniciones,914.Pendientedeunarectaquepasapordospuntos,914.Condicindeparalelismo, 917. Condicin de perpendicularidad, 918. ngulo entre dos rectas, 920.CAPTULO 4Lugar geomtricoProblemas fundamentales de la geometra analtica, 926. Primer problema (discusin de un lugar geomtrico), 926. Segundo problema (dadas las condiciones del lugar geomtrico, encontrar su ecuacin), 931.CAPTULO 5Lnea rectaDefinicin, 936. Ecuaciones de la recta, 936. Ecuacin general, 936. Ecuacin punto pendiente, 936. Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos, 936. Formas de la ecuacin de una recta, 941. Ecuacin de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen (forma ordinaria o reducida), 941. Ecuacin de la recta en su forma simtrica, 946. Familia de rectas, 949. Ecuacin de la recta en su forma normal, 951. Rectas notables en el tringulo, 961. Mediatriz, 961. Mediana, 961. Altura, 962. Bisectriz, 965.CAPTULO 6CircunferenciaDefinicin, 970. Ecuaciones de la circunferencia, 970. Ecuacin en su forma ordinaria, 970. Ecuacin en su forma general, 970. Ecuacin en su forma cannica, 970. Transformacin de la ecuacin general a la forma ordinaria, 976. Familia o haz de circunferencias, 980.CAPTULO 7Transformacin de coordenadasTraslacin de ejes, 982. Traslacin de un punto a un nuevo sistema de coordenadas, 982. Transformacin de una curva trasladando el origen, 983. Transformacin de una ecuacin, 985.GEOMETRA ANALTICA CONTENIDOXXIICAPTULO 8ParbolaDefinicin, 990. Ecuacin de la parbola con vrtice en el origen, 992. Elementos y ecuacin de una parbolaconvrticeenelorigen,992.Ecuacindelaparbolaconvrticeenelpunto(h,k),998. Elementos y ecuacin de una parbola con vrtice en (h, k), 999. Ecuacin de la parbola que pasa por tres puntos, 1004. Ecuacin de una recta tangente a una parbola, 1007.CAPTULO 9ElipseDefinicin, 1010. Ecuacin de una elipse con centro en el origen, 1011. Elementos y ecuacin, 1012. Dados sus elementos obtener la ecuacin de la elipse con centro en el origen, 1015. Ecuacin de una elipse con centro en el punto (h, k), 1018. Dada la ecuacin, obtener sus elementos, 1019. Dados sus elementos,obtenerlaecuacin,1022.Casosespeciales,1025.Ecuacindelaelipsequepasapor cuatro puntos, 1026. Ecuacin de una recta tangente a una elipse, 1030.CAPTULO 10HiprbolaDefinicin, 1032. Ecuacin de una hiprbola con centro en el origen, 1034. Elementos y ecuacin, 1035. Dada la ecuacin, obtener sus elementos, 1036. Dados sus elementos, obtener la ecuacin, 1039. Ecuacin deunahiprbolaconcentroenelpunto(h,k),1041.Elementosyecuacin,1041.Dadalaecuacin obtener sus elementos, 1043. Dados sus elementos obtener la ecuacin, 1046. Casos especiales, 1049. Ecuacin de una recta tangente a una hiprbola en un punto cualquiera, 1051.CAPTULO 11Ecuacin general de cnicasRotacin de ejes, 1054. ngulo de rotacin, 1055. Transformacin de la ecuacin general de segundo grado,1056.Transformacinaplicandolasidentidadestrigonomtricas,1057.Transformacindela ecuacin de una cnica por rotacin y traslacin de los ejes, 1059. Identificacin de una cnica, 1061. Identificacin de cnicas degeneradas, 1063. Definicin general de cnicas, 1065. Ecuaciones de las directrices de la elipse y de la hiprbola, 1067. Tangente a una cnica, 1069. Dado el punto de tangencia, 1069. Dada la pendiente de la recta tangente, 1071. Dado un punto exterior a la curva, 1073.CAPTULO 12Coordenadas polaresSistema polar, 1076. Grfica de un punto en coordenadas polares, 1076. Conversin de un punto en coordenadas polares, 1078. Relacin entre las coordenadas rectangulares y polares, 1078. Transformacin de un punto en coordenadas polares a rectangulares, 1079. Transformacin de un punto en coordenadas rectangularesapolares,1079.Distanciaentredospuntosencoordenadaspolares,1081.readeun tringulo en coordenadas polares, 1081. Transformacin de una ecuacin rectangular a polar, 1082. Trans-formacin de una ecuacin polar a rectangular, 1084. Identificacin de una cnica en su forma polar, 1087. Grficadeunaecuacinencoordenadaspolares,1088.Anlisisdeunaecuacinencoordenadas polares, 1088. Ecuacin polar de la recta, 1093. Ecuacin polar de la circunferencia, 1095. Interseccin de curvas en coordenadas polares, 1095.CAPTULO 13Ecuaciones paramtricasDefinicin, 1100. Transformacin de ecuaciones paramtricas a rectangulares, 1100. Sistemas paramtricos algebraicos, 1100. Sistemas de ecuaciones paramtricas que contienen funciones trigonomtricas, 1103.XXIIICONTENIDOCAPTULO 1 Relaciones y funcionesRelacin, 1110. Funcin, 1110. Notacin, 1113. Clasificacin, 1113. Valor de una funcin, 1113. Dominio, contradominioyrangodeunafuncin,1116.Algunostiposdefunciones,1119.Funcinconstante, 1119. Funcin lineal, 1120. Funcin identidad, 1122. Funcin cuadrtica, 1122. La funcin f(x) 5 xn, 1123. Funcinracional,1124.Funcinrazcuadrada,1127.Funcinvalorabsoluto,1129.Funcinmayor entero, 1132. Funcin caracterstica, 1135. Grfica de una funcin a partir de otra conocida, 1136. Desplazamientos,1136.Alargamientos,1136.Reflexionesverticalesyhorizontales,1137.Funciones crecienteydecreciente,1140.Funcionesinyectiva,suprayectivaybiyectiva,1140.Funcininyectiva (uno a uno), 1140. Funcin suprayectiva, 1142. Funcin biyectiva, 1143. Operaciones con funciones, 1144. Funcincomposicin(Funcindefunciones),1147.Funcionespareimpar,1150.Funcininversa,1151. Propiedades, 1152. Funciones trascendentes, 1153. Funcin exponencial, 1153. Funciones trigonomtricas, 1156. Las funciones como modelos matemticos, 1158.CAPTULO 2 LmitesDefinicin intuitiva de lmite, 1162. Definicin formal de lmite, 1166. Teoremas, 1168. Lmites cuando x tiende al infinito, 1176. Asntotas horizontales, 1178. Asntotas oblicuas, 1180. Lmites laterales, 1183. Lmites de funciones trigonomtricas, 1186.CAPTULO 3 ContinuidadContinuidad puntual, 1194. Discontinuidad evitable o removible, 1196, Continuidad de una funcin en un intervalo, 1201. Continuidad por la derecha, 1201. Continuidad por la izquierda, 1201. Continuidad de una funcin en un intervalo abierto, 1201. Continuidad en un intervalo cerrado, 1202. Continuidad en un intervalo semiabierto, 1204. Teorema del valor intermedio, 1206.CAPTULO 4 La derivadaDefinicin, 1210. Interpretacin geomtrica, 1210. Regla de los cuatro pasos, 1211. Frmulas para determinar la derivada de una funcin algebraica, 1213. Derivadas de funciones trascendentes, 1220. Derivadas de funciones implcitas, 1233. Derivadas de orden superior, 1237. Derivadas de ecuaciones polares, 1240. Derivada de ecuaciones paramtricas, 1241.CAPTULO 5 Aplicaciones de la derivadaRectastangenteynormalaunacurva,1246.Tangente,1246.Normal,1246.Ecuacindelarecta tangente, 1247. Ecuacin de la recta normal, 1247. ngulo entre dos curvas, 1251. Curvatura, 1254. Radio de curvatura, 1254. Crculo de curvatura, 1256. Centro de curvatura, 1256. Radio de curvatura en coordenadas paramtricas, 1258. Radio de curvatura en coordenadas polares, 1259. Mximos y mnimos de una funcin, 1261. Criterio de la primera derivada para encontrar puntos mximos y mnimos, 1261. Criterio de la segunda derivada para encontrar puntos mximos y mnimos, 1265. Optimizacin, 1268. Movimiento rectilneo uniforme, 1276. Aceleracin media, 1277. Razn de cambio, 1278. Aplicaciones a la economa, 1287. Regla de L9Hpital, 1293. Teorema de Rolle, 1299. Teorema del valor medio, 1301. Diferenciales, 1303. Aplicaciones de la diferencial, 1306.CLCULO DIFERENCIAL CONTENIDOXXIVCAPTULO 1 SumasDefinicin, 1314. Propiedades, 1314. Suma de Riemann (rectngulos inscritos y circunscritos), 1316.CAPTULO 2 Integrales inmediatasDefinicin, 1322. Integrales por cambio de variable, 1323.CAPTULO 3 Integrales de diferenciales trigonomtricasIntegrales de la forma:senmv dv[,cosnv dv[, con m y n impar, 1344. Integrales de la forma:tannv dv[, cotnv dv[connparoimpar,1346.Integralesdelaforma:secnv dv[,cscnv dv[connpar,1348. Integrales de la forma:tanm nv v dv [sec ,cotm nv v dv ? csc[ con n par y m par o impar, 1349. Integrales delaforma:senmv dv[ycosnv dv[,conmynpar,1351.Integralesdelaformasen mx nx dx [cos , sen sen mx nx dx [,cos cos mx nx dx[, 1354.CAPTULO 4 Mtodos de integracinSustitucintrigonomtrica,1358.Integracinporpartes,1361.Integracinporfraccionesparciales, 1365.Integracinporsustitucindeunanuevavariable,1375.Diferencialesquecontienenpotencias fraccionarias de x, 1375. Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de a 1 bx, 1376. Integracin de las diferenciales binomias, 1379. Transformaciones de diferenciales trigonomtricas, 1382.CAPTULO 5 Aplicaciones de la integralConstantedeintegracin,1388.Integraldefinida,1391.Clculodeunaintegraldefinida,1391. Propiedades de la integral definida, 1391. rea bajo la curva, 1393. Frmula de trapecios, 1397. Frmula de Simpson 13, 1401. rea entre curvas planas, 1402. Rectngulos de base dx, 1402. Rectngulos de basedy,1402.Volumendeslidosderevolucin,1406.Mtododediscos,1406.Mtododelas arandelas, 1408. Mtodo de capas, 1410. Longitud de arco, 1415. Aplicaciones a la economa, 1417. Funcin de costos, 1417. Funcin de ingresos, 1418.CAPTULO 6 Ecuaciones diferencialesIntroduccin, 1422. Definicin, 1422. Ecuacin diferencial de primer orden, 1424. Variables separables, 1424. Ecuaciones homogneas, 1434.Solucin a los ejercicios de aritmtica, 1441. Solucin a los ejercicios de lgebra, 1455. Solucin a los ejercicios de geometra y trigonometra, 1497. Solucin a los ejercicios de geometra analtica, 1525. Solucin a los ejercicios de clculo diferencial, 1553. Solucin a los ejercicios de clculo integral, 1587. Tablas, 1603.CLCULO INTEGRALAritmticaCAPTULO 1NMEROS REALESos nmeros naturales tienen su origen en unanecesidadtanantiguacomoloson las primeras civilizaciones: la necesidadde contar.Elhombreprimitivoidenticabaobjetoscon caractersticas iguales y poda distinguir entre uno y otro; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista. Por ello empez a representar lascantidadesmediantemarcasenhuesos,trozosdemaderaopiedra; cada marca representaba un objeto observado, as concibi la idea del nmero.Para el siglo X d. C. el matemtico y poeta Omar Khayyam estableci una teora general de nmero y aadi algunos elementos a los nmeros racio-nales, como son los irracionales, para que pudieran ser medidas todas las magnitudes.Slo a nales del siglo XIX se formaliz la idea de continuidad y se dio una denicin satisfactoria del conjunto de los nmeros reales; los trabajos de Cantor,Dedekind,Weierstrass,HeineyMeray,entreotros,destacanen esta labor.Omar Khayyam(1048-1122)ReseaHISTRICAL 1 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS4ClasicacinEl hombre ha tenido la necesidad de contar desde su aparicin sobre la Tierra hasta nuestros das, para hacerlo se auxili de los nmeros 1, 2, 3, 4, 5,, a los que llam nmeros naturales. Nmeros que construy con base en el principio de adicin; sin embargo, pronto se dio cuenta de que este principio no aplicaba para aquellas situaciones en las que necesitaba descontar. Es entonces que cre los nmeros negativos, as como el elemento neutro (cero), que con los nmeros naturales forman el conjunto de los nmeros enteros, los cuales son:, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, Asimismo, se percat que al tomar slo una parte de un nmero surgan los nmeros racionales, que se expresan como el cociente de 2 nmeros enteros, con el divisor distinto de cero, ejemplo: 23, 14, 05, 61, 82, Aquellos nmeros que no es posible expresar como el cociente de 2 nmeros enteros, se conocen como nmeros irracionales:3 ,23,815, , Al unir los nmeros anteriores se forman los nmeros reales, los cuales se representan en la recta numrica. 3 210123 PropiedadesLosnmerosrealessonunconjuntocerradoparalasumaylamultiplicacin,loquesignicaquelasumao multiplicacin de nmeros reales da como resultado otro nmero real. De lo anterior se desprenden las siguientes propiedades:Propiedad Suma Multiplicacin EjemplosCerradura a + b R a b R3 + 5 = 8 R(2)( 3) = 6 RConmutativa a + b = b + a a b = b a + = + (2) = (2)Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c a(b c) = (a b)c5 + (3 + 4) = (5 + 3) + 43 (2 5) = (3 2) 5Elemento neutro a + 0 = a a 1 = a5 + 0 = 57 1 = 7Inverso a + ( a) = 0 a 1a = 12 + ( 2) = 05 = 1Distributiva a(b + c) = ab + ac2(7 + 3) = 2 7 + 2 35 4 + 5 8 = 5(4 + 8)12373712151515CAPTULO 1ARITMTICA Nmeros reales5Lectura y escrituraUn nmero en el sistema decimal se escribe o se lee con base en la siguiente tabla: Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente Billones Millares de milln Millones Millares UnidadesCentenas de billnDecenas de billnUnidades de billnCentenas de millares de millnDecenas de millares de millnUnidades de millares de millnCentenas de millnDecenas de millnUnidades de millnCentenas de millarDecenas de millarUnidades de millarCentenasDecenasUnidadesIdentica y escribe el nombre de la propiedad a la que se hace referencia.1.3 + ( 3) = 02. 134( ) = ( ) 4133.(8)( 3) = 24 R4.7134 7134 = 5. + = 340346.4( 3 + 5) = 4( 3) + 4(5) 7. 17170 + =8.( 3) + ( 8) = 11 R9. + = + 2459592410.3 2 7 3 2 7 + +( ) = + ( ) ( ) +11.2 3 2 7 2 3 7 + = +( )12. 8 1 = 813. 141141 =14. + = + ( )21616215.(8)(4) = (4)(8)16.5 (3 6) = (5 3) 6EJERCICIO 1En la tabla, los billones, millares de milln, millones, millares y unidades reciben el nombre de periodos, los que a su vez se dividen en clases y cada una de stas se forma por unidades, decenas y centenas. 1 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS6Lee el nmero 37.Solucin37 se acomoda de derecha a izquierda en el periodo de las unidades.Al nmero dado lo forman 3 decenas y 7 unidades y se lee: treinta y siete.Lee el nmero 824.Solucin824 se acomoda de derecha a izquierda en el periodo de las unidades.Al nmero lo forman 8 centenas, 2 decenas y 4 unidades. Se lee: ochocientos veinticuatro.Lee el nmero 37 643.SolucinSe acomoda en los periodos de los millares y las unidades.El nmero se lee: treinta y siete mil seiscientos cuarenta y tres.Lee el nmero 52 384 273.SolucinSe acomoda en los periodos de los millones, millares y unidades.Se lee: cincuenta y dos millones trescientos ochenta y cuatro mil doscientos setenta y tres.UnidadesCentenasDecenasUnidades8 2 4Millares UnidadesCentenas de millarDecenas de millarUnidades de millarCentenasDecenasUnidades3 7 6 4 3Millones Millares UnidadesCentenas de millnDecenas de millnUnidades de millnCentenas de millarDecenas de millarUnidades de millarCentenasDecenasUnidades5 2 3 8 4 2 7 3UnidadesCentenasDecenasUnidades3 74EjemplosEJEMPLOS132CAPTULO 1ARITMTICA Nmeros reales7Para escribir numricamente una cantidad, se identican los periodos y las clases de dicho nmero como lo ilustran los siguientes ejemplos.Escribe con letras las siguientes cifras.EJERCICIO 2 Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente 1.452.803.5234.7705.5976.8 3027.9 0168.20 0189.11 011 10.9 072 11.12 103 12.22 500 13.34 480 14.108 214 15.3 084 000 16.1 215 364 17.5 683 040 18.13 000 075Expresa cuatrocientos ochenta y siete numricamente.SolucinEste nmero slo abarca el periodo de las unidades y se forma por cuatro centenas (400), ocho decenas (80) y siete unidades (7), al aplicar el principio aditivo el nmero es:cuatrocientos400ochenta+80siete7487EjemplosEJEMPLOS1Lee el nmero 962 384 502 936 114.SolucinSe acomodan en los periodos desde las unidades a los billones.Billn Millar de milln Milln Millares UnidadesCentenas de billnDecenas de billnUnidades de billnCentenas de millar de millnDecenas de millar de millnUnidades de millar de millnCentenas de millnDecenas de millnUnidades de millnCentenas de millarDecenas de millarUnidades de millarCentenasDecenasUnidades9 6 2 3 8 4 5 0 2 9 3 6 1 1 45Se lee: novecientos sesenta y dos billones, trescientos ochenta y cuatro mil quinientos dos millones, novecientos treinta y seis mil ciento catorce. 1 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS8Escribe con nmero: siete mil cuatrocientos treinta y cinco.SolucinLa cantidad abarca hasta el periodo de los millares, entonces:siete mil7 000cuatrocientos +400treinta30cinco 57 435Expresa numricamente: doscientos noventa y nueve millones setecientos ocho.SolucinLa cantidad abarca hasta el periodo de los millones, entonces:doscientos millones200 000 000 noventa millones90 000 000 nueve millones+9 000 000 setecientos700 ocho8 299 000 708 OrdenEste conjunto se ordena con base en las siguientes relaciones de orden:< menor que > mayor que = igual queRepresenta numricamente:1.Quinientos veintiuno.2.Diecisis mil.3.Mil doscientos noventa y nueve.4.Treinta y cinco mil.5.Ocho mil cuatrocientos. 6.Seiscientos uno.7.Setecientos mil ciento treinta y ocho.8.Un milln quinientos veintisiete mil cuatrocientos veintiocho.9.Un milln ciento ocho mil doce. 10.Ciento cuarenta y cuatro millones, ciento cuarenta y cuatro. 11.Ciento diecisis millones, trescientos ochenta y seis mil quinientos catorce. 12.Quinientos cinco millones doscientos diez.EJERCICIO 323 Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente CAPTULO 1ARITMTICA Nmeros reales9Ejemplos 3 < 8; 3 es menor que 8 12 > 7; 12 es mayor que 7 1829 = ; 182 es igual que 9Postulado de tricotomaSi a, b R, entonces al compararlos se pueden presentar los siguientes casos:a > b a < b a = bPostulado transitivoSean a, b, c R, si a > b y b > c entonces:a > cPostulado aditivoPara a, b, c R, si a > b, entonces:a + c > b + cPostulado multiplicativoSean a, b, c R, con a > b,si c > 0 (c es positivo), entonces ac > bc.si c < 0 (c es negativo), entonces ac < bc.Otra forma para comparar los nmeros reales es colocarlos en la recta numrica. Si el nmero a se encuentra a la derecha de b, entonces a > b, pero, si se encuentra a la izquierda, entonces a < b.Ejemplos Observe la siguiente recta numrica:Compara las siguientes cantidades y coloca los smbolos: >, < o =, segn corresponda.EJERCICIO 4 Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente 1.28 y 352.1 125 y 1 1053. 372 y 3724. 483 y 8405.5 397 y 1 2846. 844.5 y 07. 84 y 28.12 000 y 120 0009.1 000 000 y 100 000 10. 12111 y 444 11. 73 y 1.5 12.0.5 y 12739 4 3 2101234Se puede armar que:4 > 1, 4 se encuentra a la derecha de 12 > 2, 2 est a la derecha de 2 3 40El signo entre 42 y 40 es el mismo para los nmeros racionales, por tanto: 7856>Compara 23 y 18.SolucinSe realizan los pasos del ejemplo anterior y se obtiene: 2318y(8)( 2)(3)(1)16 byb < r.Donde a recibe el nombre de dividendo, b el de divisor, p el de cociente y r residuo.EjemploEn la divisin de 25 entre 4, el cociente es 6 y el residuo, 1 ya que:25 = 4(6) + 1EjemploEn la divisin de 36 entre 9, el cociente es 4 y el residuo es 0, ya que:36 = 9(4) + 0Cuando en una divisin el residuo es igual a 0, entonces se dice que la divisin es exacta.Las divisiones se representan con los siguientes smbolos:Con una caja divisoraPor medio de dos puntos 9 : 7Con el signo Con una raya horizontal (fraccin) 248Algoritmo de la divisinPara dividir a entre b con a > b, se efectan los siguientes pasos: 1.Se acomoda el dividendo dentro de la caja divisora y el divisor fuera de ella.Divisor b adividendo2.Del dividendo se toman las cifras necesarias para formar un nmero mayor o igual que el divisor.3. El dividendo parcial se divide entre el divisor y resulta la primera cifra del cociente, que se coloca encima de la ltima cifra del dividendo parcial, enseguida se multiplica la primera cifra del cociente por el divisor y el producto se resta del dividendo parcial y se escribe la diferencia debajo del dividendo parcial.4. A la derecha de la diferencia se baja la siguiente cifra del dividendo original, con lo que se forma un nuevo divi-dendo parcial al que se le repite el proceso descrito.5.Se contina con el proceso hasta bajar todas las cifras del dividendo original.6.Si algn dividendo parcial resulta ser menor que el divisor, se escribe cero en el cociente y se baja la siguiente cifra del dividendo original.Divide 9 entre 4.SolucinSe acomodan las cantidades en la caja divisora.49(contina)1EjemplosEJEMPLOS 2 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS30(continuacin)Se busca un nmero que al multiplicar por 4 se aproxime a 9 sin excederlo (4 2 = 8), de forma que la diferencia del dividendo 9 y el producto 8 sea menor que 44912Por tanto, el cociente es igual a 2 y el residuo 12 Efecta la divisin de 47 entre 3.SolucinSe colocan el dividendo y el divisor en la caja divisora, en sus respectivos lugares.347Se elige un dividendo parcial y se efecta la operacin.34,711Se baja la siguiente cifra del dividendo original y se divide entre 3 nuevamente.34,71 721 5El resultado de la divisin es 15 y el residuo 23 Efecta 231 217.SolucinSe elige el dividendo parcial y se efecta la operacin.23121,7065Se baja la siguiente cifra del dividendo original y se divide nuevamente para obtener el resultado de la divisin propuesta.23121,706 72 15 2Por consiguiente, el cociente es 52 y el residuo 214 Divide 65 975 entre 325.SolucinSe acomodan los nmeros en la caja divisora.325 65 975Se elige el dividendo parcial y se efecta la operacin.2325 659,75 009CAPTULO 2ARITMTICA Nmeros enteros31PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACINEn el auditorio de una escuela se presenta una obra de teatro para maestros y alumnos. Si en la escuela hay 28 maestros y 585 alumnos, y el auditorio slo tiene capacidad para 80 personas, cuntas presentaciones se deben realizar para que todo el alumnado y todos los profesores la presencien?SolucinEn total hay 28 + 585 = 613 personas; luego, se realiza una divisin entre el total de personas y la capacidad del auditorio para obtener el nmero de presentaciones.780 61353Se observa que el cociente 7 representa al nmero de presentaciones con auditorio lleno, pero sobran 53, entonces se necesita una presentacin ms para que todos puedan asistir a la obra de teatro. Por lo tanto, se tienen que realizar 8 presentaciones.Al bajar la siguiente cifra, el nuevo dividendo parcial 97 es menor que el divisor 325.2325 659,75009 7Por lo tanto, en el cociente se escribe 0 a la derecha de 2 y se baja la ltima cifra del dividendo original.2 0325 659,75 009 75Se efecta la divisin de 975 entre 325 y se obtiene el resultado.2 03325 659,75 009 75 0 00Por tanto, el cociente es 203 y el residuo 0, la divisin fue exacta.EJERCICIO 18Realiza las siguientes divisiones.1. 3 82. 5 163. 7 3434. 9 2 6745. 12 966. 182367. 234858. 351 2169. 125 3 72410. 853 4 29611. 526 15 39612. 903 42 87413. 1 20563 47214. 4 62180 50115. 12 503120 97316. 42 5243 123 27417. 10 053 2 000 38218. 22 325 110 121 874 Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente 2 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS32EJERCICIO 19Resuelve los siguientes problemas:1.Cuntas veces cabe el nmero 15 en 345?2.Ciento ochenta y seis mil pesos es lo que ahorraron 62 alumnos del Tecnolgico de ingeniera para su graduacin, si cada estudiante ahorr la misma cantidad, cunto dinero ahorr cada uno?3.El producto de 2 nmeros es 137 196, uno de ellos es 927, cul es el otro nmero?4.Cuntas horas hay en 3 360 minutos, si se sabe que una hora tiene 60 minutos?5.Se reparten 7 200 libros de matemticas a 4 escuelas, si cada una de ellas tiene 600 alumnos, cuntos libros le tocan a cada estudiante? 6.En cuntas horas recorrer 144 kilmetros un automvil que viaja a 16 kilmetros por hora?7.Cuntos das necesitar Fabin para capturar en su computadora los datos de un libro de matemticas que contiene 224 pginas, si copia 4 pginas en una hora y trabaja 8 horas por da?8.Un reloj se adelanta 3 minutos cada 4 horas, cunto se habr adelantado al cabo de 20 horas?9.Una fuente tiene capacidad para 2 700 litros de agua, qu cantidad de este lquido debe echar por minuto una llave que la llena en 5 horas?10.En una tienda de ropa, Omar compra igual nmero de pantalones que de chamarras con un costo total de $1 500, cada pantaln cuesta $200 y cada chamarra $550, cuntos pantalones y chamarras compr?11.Los 3 integrantes de una familia deciden repartir los gastos que se generan en su casa: el recibo bimestral de luz llega de $320; el recibo del telfono de $240 mensuales; la televisin por cable $260 mensuales y el predio es de $3 600 anuales. Cunto dinero le toca aportar mensualmente a cada integrante, si los gastos se reparten de manera equitativa? Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente CAPTULO 3TEORA DE NMEROSEuclides es el matemtico ms famoso de laAntigedadyquiztambinelms nombrado y conocido de la historia de las matemticas. Su obra ms importante es un tratado de geo-metrayaritmticaquerecibeelttulodeLos elementos.Esta obra es importante, no tanto por la origi-nalidad de sus contenidos, sino por la sistema-tizacin,elordenylaargumentacinconla que fue redactada. Euclides recopila, ordena y argumentalosconocimientosgeomtrico-matemticosdesupoca,que ya eran muchos.Loselementosconstade13librossobregeometrayaritmtica,delos cuales slo los libros del VII al IX tratan la teora de los nmeros (aritmtica), discuten relaciones con nmeros primos (Euclides prueba ya en un teorema que no hay una cantidad nita de nmeros primos), mnimo comn mltiplo, progresiones geomtricas, etctera.Euclides ( 300 a. C)ReseaHISTRICA 3 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS34DivisibilidadSean a y b nmeros enteros. Se dice que a es divisible entre b si el residuo de a b es cero.Ejemplos48 es divisible entre 16, porque 48 = (16)(3) + 0, es decir,164803Residuo1 512 es divisible entre 42, porque 1 512 = (42)(36) + 0, entonces,421 512252036Residuo385 no es divisible entre 12, porque 385 = (12)(32)+ 1, es decir, el residuo es diferente de 012385251 Residuo32Mltiplo. El mltiplo de un nmero es el que lo contiene un nmero exacto de veces.Ejemplos36 es mltiplo de 9, porque lo contiene 4 veces.240 es mltiplo de 12, porque lo contiene 20 veces.Los mltiplos de un nmero k se obtienen al multiplicar k por los nmeros naturales.EjemplosLosmltiplosde3son:3,6,9,12,15,18,21,,porque3(1)=3,3(2)=6,3(3)=9,3(4)=12,3(5)=15, 3(6) = 18, ... Los mltiplos de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, , porque 5(1) = 5, 5(2) = 10, 5(3) = 15, 5(4) = 20, 5(5) = 25, 5(6) = 30, ... Los mltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ,porque 8(1) = 8, 8(2) = 16, 8(3) = 24, 8(4) = 32, 8(5) = 40, 8(6) = 48, ... Nmero compuesto. Es aquel que adems de ser divisible entre s mismo y la unidad, lo es entre otro factor.Ejemplos12 es nmero compuesto, porque tiene como divisores al: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.28 es nmero compuesto, porque tiene como divisores al: 1, 2, 4, 7, 14 y 28.Criterios de divisibilidadNos permiten visualizar cundo un nmero es divisible entre otro sin efectuar la divisin. A continuacin se enuncian algunos de ellos: Divisibilidad entre 2. Un nmero entero es divisible entre 2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8, los nmeros divisibles entre 2 se llaman pares.Ejemplo20, 12, 114, 336, 468 son divisibles entre 2, ya que terminan en 0, 2, 4, 6 y 8, respectivamente. CAPTULO 3ARITMTICA Teora de nmeros35Divisibilidad entre 3. Un nmero entero es divisible entre 3, si la suma de sus dgitos es un mltiplo de 3. Ejemplos51 es divisible entre 3, ya que 5 + 1 = 6 y 6 es mltiplo de 3.486 es divisible entre 3, ya que 4 + 8 + 6 = 18 y 18 es mltiplo de 3.Divisibilidad entre 4. Un nmero entero es divisible entre 4, si sus ltimos 2 dgitos son 0 o un mltiplo de 4.Ejemplos900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0.628 es divisible entre 4, porque 28 es mltiplo de 4.Divisibilidad entre 5. Un nmero entero es divisible entre 5, si su ltimo dgito es 0 o 5.Ejemplo5 215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan en 5 y 0 respectivamente.Divisibilidad entre 6. Un nmero entero es divisible entre 6, si a su vez es divisible entre 2 y 3.Ejemplos216 es divisible entre 2, ya que termina en 6, y es divisible entre 3, porque la suma de sus dgitos es mltiplo de 3. Por tanto, 216 es divisible entre 6.9 000 es divisible entre 6, ya que es divisible entre 2 y 3.Divisibilidad entre 7. Un nmero entero es divisible entre 7, cuando al multiplicar el ltimo dgito por 2 y restar el producto al nmero que se forma con los dgitos restantes, la diferencia es 0 o un mltiplo de 7.Ejemplos315 es divisible entre 7, ya que 5 2 = 10 y 31 10 = 21 y 21 es mltiplo de 7.147 es divisible entre 7, porque 7 2 = 14 y 14 14 = 0.Divisibilidad entre 8. Un nmero entero es divisible entre 8, cuando sus 3 ltimos dgitos de la derecha son 0 o forman un mltiplo de 8.Ejemplos6 000 es divisible entre 8, ya que sus ltimos 3 dgitos son 0.3 160 es divisible entre 8, porque los 3 ltimos dgitos, 160, forman un mltiplo de 8.Divisibilidad entre 9. Un nmero entero es divisible entre 9, si la suma de sus dgitos es un mltiplo de 9.Ejemplos1 233 es divisible entre 9, ya que 1 + 2 + 3 + 3 = 9, y 9 es mltiplo de 9.6 786 es divisible entre 9, ya que 6 + 7 + 8 + 6 = 27, y 27 es mltiplo de 9.Divisibilidad entre 10. Un nmero entero es divisible entre 10, si el ltimo dgito es 0.Ejemplos360 es divisible entre 10, porque su ltimo dgito es 0.2 500 es divisible entre 10, ya que termina en 0.Divisibilidad entre 11. Un nmero entero es divisible entre 11, si el valor absoluto de la diferencia entre la suma de los dgitos en posicin par y la suma de los dgitos en posicin impar es 0 o mltiplo de 11.Ejemplos1 364 es divisible entre 11, ya que3 4 1 6 7 7 0 0 + ( ) + ( ) = = = .82 918 es divisible entre 11, porque2 1 8 9 8 3 25 22 22 + ( ) + + ( ) = = = , y 22 es mltiplo de 11. 3 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS36Divisibilidad entre 13. Un nmero entero es divisible entre 13, si al multiplicar el ltimo dgito por 9 y restar el producto al nmero que se forma con los dgitos restantes, la diferencia es 0 o mltiplo de 13. Ejemplos273 es divisible entre 13, ya que 27 3 9 27 27 0 ( ) = = .442 es divisible entre 13, porque 44 2 9 44 18 26 ( ) = = , y 26 es mltiplo de 13.Divisibilidad entre 17. Un nmero entero es divisible entre 17, si al multiplicar el ltimo dgito por 5 y restar el producto al nmero que se forma con los dgitos restantes, la diferencia es 0 o mltiplo de 17. Ejemplos357 es divisible entre 17, ya que 35 7 5 35 35 0 ( ) = = .493 es divisible entre 17, porque 49 3 5 49 15 34 ( ) = = , y 34 es mltiplo de 17.Divisibilidad entre 19. Un nmero entero es divisible entre 19, si al multiplicar el ltimo dgito por 17 y restar el producto al nmero que se forma con los dgitos restantes, la diferencia es 0 o mltiplo de 19. Ejemplos342 es divisible entre 19, ya que 34 2 17 34 34 0 ( ) = = .1 045 es divisible entre 19, porque 104 5 17 104 85 19 ( ) = = , y 19 es mltiplo de 19.EJERCICIO 20De los siguientes nmeros:1.105, 243, 73, 2 457, 3 589, cules son divisibles entre 3?2.800, 112, 324, 1 426, 13 564, cules son divisibles entre 4?3.105, 3 176,8 910, 34 615, 217 583, cules son divisibles entre 5?4.80, 78, 314, 768, 1 470, cules son divisibles entre 6?5.175, 157, 576, 1 645, 3 528, cules son divisibles entre 7?6.700, 3 128, 5 024, 9 000, 10 018, cules son divisibles entre 8?7.225, 349, 1 008, 2 925, 23 619, cules son divisibles entre 9?8.66, 111, 253, 935, 540, cules son divisibles entre 11?9.195, 315, 540, 713, 1 105, cules son divisibles entre 13?10.1 007, 1 062, 380, 719, 1 596, cules son divisibles entre 19? Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente Nmeros primosUn nmero primo slo es divisible entre s mismo y la unidad. El 1, por denicin, no es primo.Ejemplos7 es nmero primo porque slo es divisible entre s mismo y la unidad.15 no es nmero primo, ya que adems de ser divisible entre s mismo y la unidad, tambin lo es entre 3 y 5. CAPTULO 3ARITMTICA Teora de nmeros37EjemplosEJEMPLOSTabla de nmeros primos. Para obtener los primeros n nmeros primos de los nmeros naturales se puede utilizar la criba de Eratstenes, la cual consiste en hacer una tabla con los nmeros del 1 hasta n.El procedimiento es sealar con un parntesis los nmeros que sean primos y tachar los que no lo sean. Se empieza por tachar el 1 y escribir entre parntesis el 2, a continuacin se tachan los mltiplos de 2, posteriormente se busca el primer nmero no tachado, en este caso (3), se pone entre parntesis y se tachan todos sus mltiplos. El procedimiento se sigue hasta tener marcados todos los nmeros.Criba de Eratstenes1 (2) (3) 4 (5) 6 (7) 8 9 10(11) 12 (13) 14 15 16 (17) 18 (19) 2021 22 (23) 24 25 26 27 28 (29) 30(31) 32 33 34 35 36 (37) 38 39 40(41) 42 (43) 44 45 46 (47) 48 49 5051 52 (53) 54 55 56 57 58 (59) 60(61) 62 63 64 65 66 (67) 68 69 70(71) 72 (73) 74 75 76 77 78 (79) 8081 82 (83) 84 85 86 87 88 (89) 9091 92 93 94 95 96 (97) 98 99 100Por tanto, los nmeros primos entre 1 y 100 son:{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}Descomposicin de un nmero en sus factores primosLa descomposicin de un nmero en sus factores primos es su expresin como el producto de sus factores primos. Para obtenerlo, se divide el nmero entre el menor divisor primo posible, el cociente que se obtiene se vuelve a dividir entre el menor divisor primo posible, y as hasta que el ltimo cociente sea 1, este procedimiento tambin se conoce como factorizacin completa de un nmero. 1 Expresa 144 como el producto de sus factores primos.SolucinSe divide 144 entre 2, el cociente 72, se vuelve a dividir entre 2, y as sucesivamente.144 2 = 72 144 272 2 = 36 72 236 2 = 18 36 218 2 = 9 18 29 3 = 3 9 33 3 = 1 3 31Por tanto, 144 = 2 2 2 2 3 3 3 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS382 Expresa 105 como el producto de sus factores primos. Solucin105 se divide entre 3 y se contina con el procedimiento.105 3 = 35 105 335 5 = 7 35 57 7 = 1 7 71Por consiguiente, 105 = 3 5 73 Encuentra la factorizacin completa de 294.Solucin294 se divide entre 2 y se contina con el procedimiento.294 2 = 147 294 2147 3 = 49 147 349 7 = 7 49 77 7 = 1 7 71Entonces, la factorizacin completa de 294 es 2 3 7 7EJERCICIO 21Realiza la descomposicin en sus factores primos de los siguientes nmeros:1.724.5767.84010.2 37613.30 2402.965.9458.2 31011.7 02014.16 2003.2256.2109.3 67512.29 40015.30 030 Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente Mximo comn divisor (MCD)Es el mayor de los divisores en comn de 2 o ms nmeros.EjemploLos divisores de 18 y 24 son:Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6, el mayor de los divisores en comn es el 6Por tanto, el mximo comn divisor de 18 y 24 es 6Para calcular el MCD de varios nmeros se descomponen simultneamente en sus factores primos, hasta que ya no tengan un divisor primo en comn. Cuando los nmeros slo tienen a la unidad como comn divisor, los nmeros reciben el nombre de primos relativos.CAPTULO 3ARITMTICA Teora de nmeros39EjemplosEJEMPLOS1 Encuentra el mximo comn divisor de 48, 36 y 60.SolucinSe descomponen simultneamente en factores primos.48 36 60 224 18 30 212 9 15 34 3 54, 3 y 5, no tienen divisores primos en comn, los nmeros primos obtenidos se multiplican y el producto es el resultado.2 2 3 = 12Por consiguiente, el mximo comn divisor de 48, 36 y 60 es 12.2 Determina el MCD(72,180).SolucinSe realiza la descomposicin de 72 y 180, en sus factores primos.72 180 236 90 218 45 3 2 2 3 3 = 366 15 32 5Por tanto, el MCD(72,180) = 36 3 Calcula el MCD(11,23).SolucinLos nmeros slo tienen a la unidad como comn divisor, lo cual quiere decir que 11 y 23 son primos relativos.Por consiguiente, el MCD(11,23) = 14 Encuentra el mximo comn divisor de 234, 390 y 546.SolucinSe descomponen simultneamente en factores primos.234 390 546 2117 195 273 339 65 91 13 2 3 13 = 783 5 7Por consiguiente, el mximo comn divisor de 234, 390 y 546es 78 3 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS40EjemplosEJEMPLOSEJERCICIO 22Calcula el MCD de los siguientes nmeros:1.108 y 725.27, 25 y 289.308, 1 617 y 1 9252.270 y 9006.80, 675 y 90010.572, 4 719 y 7 8653.243 y 1257.216, 300 y 7204.60, 72 y 1508.126, 210 y 392 Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente Mnimo comn mltiplo (mcm)El mnimo comn mltiplo es el menor de todos los mltiplos comunes de 2 o ms nmeros.EjemploAl obtener los mltiplos de 4 y 6 se tiene:Mltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, Mltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, Los mltiplos comunes son: 12, 24, 36, 48, El menor de todos los mltiplos en comn es 12Por tanto, el mnimo comn mltiplo de 4 y 6 es 12Para calcular el mcm de varios nmeros se descomponen simultneamente en factores primos hasta que los cocientes sean 1, si alguno de los nmeros no es divisible entre el factor dado, se baja y se contina hasta encontrar el factor primo que lo divida.1 Determina el mcm [28,42].SolucinSe descomponen ambos nmeros en factores primos 28 42 214 21 27 21 3 2 2 3 7 = 847 7 71 1Por consiguiente, el mcm [28,42] es 842 Determina el mcm [25,30,150].SolucinSe descomponen los nmeros en factores primos 25 30 150 225 15 75 325 5 25 5 2 3 5 5 = 1505 1 5 51 1 1Por tanto, el mcm [25,30,150] es 150CAPTULO 3ARITMTICA Teora de nmeros41PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIN3 Calcula el mnimo comn mltiplo de 36, 48 y 60.SolucinSe descomponen simultneamente en factores primos y los nmeros primos que resultan se multiplican.36 48 60 218 24 30 29 12 15 29 6 15 2 2 2 2 2 3 3 5 = 7209 3 15 33 1 5 31 1 5 51 1 1Entonces el mcm de 36, 48 y 60 es 720EJERCICIO 23Calcula el mcm de los siguientes nmeros:1.108 y 726.28, 35 y 632.18 y 457.20, 30 y 503.27 y 168.720, 600 y 5404.36, 20 y 909.220, 275 y 1 9255.45, 54 y 6010.605, 1 925 y 2 695 Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente 1 Enunareunindeacademiadelreadematemticasserepartieron18bocadillos,24vasosconrefrescoy 12 rebanadas de pastel, cuntos profesores asistieron a la reunin y qu cantidad de bocadillos, vasos con refresco y rebanadas de pastel recibi cada uno?SolucinSe calcula el mximo comn divisor de 18, 24 y 1218 24 12 29 12 6 3 MCD(18,24,12) = 2 3 = 63 4 2Por consiguiente, a la reunin de academia asistieron 6 profesores y a cada uno le toc 3 bocadillos, 4 vasos con refresco y 2 rebanadas de pastel.2 Tres escuelas deciden hacer una colecta de dinero entre sus alumnos para donar a varias instituciones de benecencia. Si la primera junta 120 mil, la segunda 280 mil y la tercera 360 mil pesos, cul es la mayor cantidad que recibir cada institucin de tal manera que sea la misma y cuntas instituciones podrn ser beneciadas? 3 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS42SolucinSe calcula el mximo comn divisor de 120, 280 y 360120 280 360 260 140 180 2MCD(120, 280, 360) = 2 2 2 5 = 4030 70 90 215 35 45 53 7 9Cada institucin recibir 40 mil pesos y el nmero de instituciones beneciadas ser la suma de los residuos 3 + 7 + 9 = 19.Por tanto, 19 son las instituciones beneciadas y cada una recibir $40 000.3 Al hacer el corte del da en un restaurante, el administrador hace 3 rollos de billetes de la misma denominacin, en el primero hay $1 350, en el segundo $1 700 y en el tercero$3 550, cuntos billetes hay en cada rollo y de qu denominacin son?SolucinSe calcula el mximo comn divisor de 1 350, 1 700 y 3 5501 350 1 700 3 550 2 675850 1 775 5 135170355 5 MCD(1 350, 1 700, 3 550) = 2 5 5 = 50 273471La denominacin de cada billete es de $50, en el primer rollo hay 27 billetes, en el segundo 34 y en el tercero 71.4 Una persona viaja a la Ciudad de Mxico cada 12 das, otra lo hace cada 20 das y una tercera cada 6 das. Si hoy han coincidido en estar las 3 en la ciudad, dentro de cuntos das, como mnimo, volvern a coincidir?SolucinSe calcula el mnimo comn mltiplo de 12, 20y 612 20 6 26 10 3 23 5 3 31 5 1 51 1 1El mnimo comn mltiplo es: 2 2 3 5 = 60.Por tanto, el mnimo de das que trascurrirn para que las 3 personas coincidan en la Ciudad de Mxico es de 60 das.5Un mdico receta a un paciente tomar una pastilla cada 6 horas y un jarabe cada 8 horas. Si al iniciar el tratamiento toma la pastilla y el jarabe a la misma hora, despus de cuntas horas volver a tomar ambos medicamentos al mismo tiempo?SolucinSe calcula el mnimo comn mltiplo de 6 y 86 8 23 4 23 2 23 1 31 1El mnimo comn mltiplo es 2 2 2 3 = 24.Entonces transcurrirn 24 horas para que el paciente tome los medicamentos juntos.CAPTULO 3ARITMTICA Teora de nmeros43EJERCICIO 24Resuelve las siguientes aplicaciones:1.Tres cajas contienen, cada una, 12 kilogramos de carne de res, 18 de carne de cerdo y 24 de carne de pollo. La carne de cada caja est contenida en bolsas del mismo tamao y con la mxima cantidad de carne posible, cunto pesa cada bolsa y cuntas hay por caja?2.Gerardo fabrica un anuncio luminoso con focos de color rojo, amarillo y verde, de tal manera que los focos rojos enciendan cada 10 segundos, los amarillos cada 6 y los verdes cada 15, si al probar el anuncio encienden todos los focos a la vez, despus de cuntos segundos volvern a encender juntos?3.Un ebanista quiere cortar en cuadros lo ms grande posible una plancha de madera de 300 cm de largo y 80 cm de ancho, cul debe ser la longitud de los lados de cada cuadro?4.Un ciclista da una vuelta a una pista en 6 minutos, mientras que otro tarda 4 minutos. Si ambos inician sus recorridos juntos, despus de qu tiempo volvern a encontrarse y cuntas vueltas habrn dado cada uno?5.Una llave vierte 4 litros de agua por minuto, otra 3 y una tercera, 8. Cul es la cantidad menor de litros que puede tener un pozo para que se llene en un nmero exacto de minutos por cualquiera de las 3 llaves?6.Tres rollos de tela de 30, 48 y 72 metros de largo se quieren cortar para hacer banderas con pedazos iguales y de mayor longitud, cul ser el largo de cada pedazo?7.Un parque de diversiones quiere construir balsas con 3 troncos de palmera, los cuales miden 15, 9 y 6 metros, cunto deben medir los pedazos de tronco si tienen que ser del mismo tamao?, cuntos pedazos de troncos saldrn? 8.El abuelo Eduardo da dinero a 3 de sus hijos para que lo repartan a los nietos de manera equitativa. A su hijo Rubn le da $5 000, a su hijo Anselmo le da $6 000, mientras que a Horacio slo $3 000, cul es la mayor cantidad de dinero que podrn darle a sus hijos y cuntos nietos tiene Eduardo?9.Fabin tiene un reloj que da una seal cada 18 minutos, otro que da una seal cada 12 minutos y un tercero cada 42 minutos. A las 11 de la maana los 3 relojes han coincidido en dar la seal, cuntos minutos como mnimo han de pasar para que vuelvan a coincidir?, a qu hora volvern a dar la seal otra vez juntos?10.Daniel y Omar tienen 60 canicas azules, 45 verdes y 90 amarillas; quieren hacer costalitos iguales con el nmero mayor de canicas sin que sobren, cuntos costalitos pueden hacer y cuntas canicas tendr cada uno?11.Ricardo tiene en su papelera los lapiceros en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 30 lapiceros cada una y no sobran, en la caja B tiene bolsitas de 25 lapiceros cada unay tampoco sobran. El nmero de lapiceros que hay en la caja A es igual al que hay en la caja B, cuntos lapiceros como mnimo hay en cada caja?12.Rosa tiene cubos de color lila de 8 cm de arista y de color rojo de 6 cm de arista. Ella quiere apilar los cubos en 2 columnas, una de cubos de color lila y otra de color rojo, desea conseguir que ambas columnas tengan la misma altura, cuntos cubos, como mnimo, tiene que apilar de cada color?13.Tres amigos pasean en bicicleta por un camino que rodea a un lago, para dar una vuelta completa, uno de ellos tarda 10 minutos, otro tarda 15 y el tercero, 18 minutos. Parten juntos y acuerdan interrumpir el paseo la primera vez que los 3 pasen simultneamente por el punto de partida, cunto tiempo dur el paseo?, cuntas vueltas dio cada uno?14.En 1994 se realizaron elecciones para presidente y para jefe de gobierno, el periodo presidencial es de 6 aos y el de jefe de gobierno de 4. En qu ao volvern a coincidir las elecciones?15.El piso de una habitacin tiene 425 cm de largo por 275 cm de ancho, si se desea poner el menor nmero de mosaicos cuadrados de mrmol, cules sern las dimensiones mximas de cada mosaico?, cuntos mosaicos se necesitan? Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente Al inicio del papiro de Rhind aparece una tabla en la que se expresan las fracciones de numerador 2 y de denominador impar entre 5 y 101, como suma de fracciones unitarias; con ellas efectuaban las cuatro operaciones aritmticas con fracciones.CAPTULO 4NMEROS RACIONALESLa idea de nmero racional como rela-cin entre dos enteros fue utilizada por los pitagricos en el siglo VI a. de C. Aos antes, los babilonios y los egipcios utilizaron algunas fracciones, las que tenan como numerador 1, por ejemplo: 12 y 13, y algunas en particular como: 23 .Despus fueron los hindes, quienes se encargaron de formalizar las reglas paraejecutarlasoperacionesentrenmerosfraccionarios.Algunasre-glas generales las plantearon Aryabhata, y luego Bramagupta, en los siglos VI y VII, respectivamente. Tiempo despus fueron los mismos hindes quienes se encargaron de sistematizar y ampliar estas reglas. De modo que las reglas que utilizamos en la actualidad para trabajar con fracciones, fueron obra de Mahavira, en el siglo IX, y Bhskara, en el siglo XII.Durante el siglo XV el matemtico persa Al-kashi plante la escritura decimal de los nmeros fraccionarios y, al mismo tiempo, estableci las reglas de clculo con los nmeros decimales. En el Occidente cristiano a las fraccio-nes decimales se les conoca como fracciones de los turcos.Posteriormente a las fracciones equivalentes, que pueden ser simplicadas, se les denomin nmeros racionales, mientras que la fraccin siempre ser un trmino que no tiene factores comunes entre el numerador y el denomi-nador, es decir, es irreducible.ReseaHISTRICA 4 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS46EjemplosEJEMPLOSFraccin comnSi a y b son nmeros enteros, y b es diferente de cero, se llama fraccin comn a la expresin ab, donde a recibe elnombre de numerador y b el de denominador. En una fraccin comn el denominador indica el nmero de partes iguales en que se divide la unidad y el numerador indica el nmero de partes que se toman de la unidad.1La fraccin 34 , indica que la unidad se divide en 4 partes iguales, de las cuales se toman nicamente 3, la representacingrca de esta fraccin es:La parte sombreada de la gura representa al numerador.2La fraccin 53 indica que la unidad se divide en 3 partes iguales, de las cuales se deben tomar 5, lo cual no es posible. Por lo tanto, se toman 2 unidades y se dividen en 3 partes iguales cada una, de la primera unidad se toman las 3 partes y de la segunda nicamente 2 para completar las 5 partes indicadas en el numerador.Otra manera de representar la fraccin 53 es con un nmero formado por una parte entera y una parte fraccionaria123 , este tipo de fracciones reciben el nombre de mixtas.EJERCICIO 25Representa grcamente las siguientes fracciones:1. 382. 143. 354. 765. 626. 94Indica la fraccin que representa la parte sombreada de las guras.7. 9.11. + +8. 10. + 12.+ Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente 3 = 4 1 4 1 4 1 4 1 4 5 = 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3+CAPTULO 4ARITMTICA Nmeros racionales47PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIN En la familia que forman 3 hombres y 4 mujeres, qu fraccin de la familia representan las mujeres?SolucinEn este ejemplo la unidad la representa la familia, que a su vez est formada por 7 miembros (3 + 4 = 7), la fraccin de la familia que representan las mujeres es el nmero de ellas dividida entre el total de miembros. Por lo tanto, lafraccin es igual a 47.EJERCICIO 26Resuelve los siguientes problemas:1.Una caja tiene 9 pelotas verdes y 5 azules, qu porcin de las pelotas que hay en la caja son azules?2.Qu fraccin del da ha transcurrido cuando un reloj marca las 6:00 p.m.?3.En una caja hay 40 listones rojos y 60 de color amarillo, qu fraccin del total de stos representan los listones rojos y los amarillos?4.Un obrero trabaja diariamente jornadas de 8 horas, qu fraccin del da ocupa para realizar sus otras actividades? Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente ClasicacinFracciones propias. Son aquellas que tienen el numerador menor que el denominador.EjemploLas fracciones 38563482113, , , , tienen el numerador menor que el denominador, por lo tanto, son propias.Fracciones impropias. Son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador.EjemploLas fracciones 83654321831, , , , son impropias, ya que el numerador es mayor que el denominador.EJERCICIO 27Identica las fracciones propias y las impropias.1. 784. 12167. 16910. 53713. 3454352. 865. 558. 21511. 384514. 2292283. 9126. 9249. 321712. 3458715. 2131 028 Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondienteFracciones mixtas. Son aquellas formadas por una parte entera y una parte fraccionaria.EjemploLas fracciones: 213534323, ,son ejemplos de fracciones mixtas. 4 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS48EjemplosEJEMPLOSConversionesPara realizar la conversin de una fraccin impropia a mixta se efecta la divisin del numerador entre el denominador, el cociente es la parte entera, el residuo es el numerador de la fraccin y el divisor es el denominador.1 Convierte a fraccin mixta 436.SolucinSe efecta la divisin:64317numeradorparte enteradenominadorPor lo tanto, la fraccin 436 en forma mixta es 7162 Expresa en fraccin mixta 12512.SolucinSe realiza el cociente:1212500510se obtiene que 1251210512=EJERCICIO 28Convierte las siguientes fracciones impropias a fracciones mixtas.1. 437. 41613. 19182. 758. 18314. 45163. 329. 27715. 131404. 13410. 361316. 488655. 12311. 281317. 5391056. 13812. 251218. 1 258305 Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente Para convertir una fraccin mixta a impropia se multiplica la parte entera de la fraccin mixta por el denominador de la parte fraccionaria y al producto se le suma el numerador.CAPTULO 4ARITMTICA Nmeros racionales49EjemplosEJEMPLOSEjemplosEJEMPLOS1 Convierte a fraccin impropia 235.SolucinAl aplicar el procedimiento anterior se obtiene:2352 5 3510 35135=( )+=+=Por consiguiente, 235135=2 La fraccin impropia de 179 es igual a:SolucinSe realiza el procedimiento para obtener:1791 9 799 79169=( )+=+=por tanto, 179169=EJERCICIO 29Convierte las siguientes fracciones mixtas en fracciones impropias.1.3254.5467.191010. 761913. 15192016. 50472. 1295. 7238. 281311.1231014.2311217.121353.4276.8349.531612.1823015.3631418.22317 Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente Fracciones equivalentesSon aquellas que se expresan de manera diferente, pero representan la misma cantidad. Para averiguar si 2 fracciones son equivalentes se efecta la multiplicacin del numerador de la primera fraccin por el denominador de la segunda, y el resultado debe ser igual a la multiplicacin del denominador de la primera fraccin por el numerador de la segunda.1 Son equivalentes las fracciones 341520y ?SolucinSe efectan las multiplicaciones indicadas y se comparan los resultados:(3)(20) y (4)(15)60 = 60Por tanto, las fracciones son equivalentes. 4 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS50EjemplosEJEMPLOS2 Son equivalentes las fracciones 1143024y ?SolucinSe convierte la fraccin mixta en fraccin impropia 11454=y entonces para comparar 54 con 3024 se realizan los pro-ductos:(5)(24) y (4)(30)120 = 120Las fracciones, por consiguiente, son equivalentes.EJERCICIO 30Indica si las siguientes fracciones son equivalentes.1. 25615y 7.1386648y2. 384817y 8. 971935y3. 161272y 9. 7411824y4. 492872y 10.1131927y5. 182468y 11. 134334y6. 80156 y 12.6 578y Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente PropiedadesEl valor de una fraccin no se altera al multiplicar su numerador y denominador por un mismo nmero.1Al multiplicar por 2 al numerador y denominador de la fraccin 67 , se obtiene una fraccin equivalente:676 27 21214==2 Si al numerador y denominador de la fraccin 53 se les multiplica por 4, se obtiene la fraccin equivalente 2012.535 43 42012== CAPTULO 4ARITMTICA Nmeros racionales51EjemplosEJEMPLOSEjemplosEJEMPLOSEl valor de una fraccin no se altera cuando al numerador y denominador se les divide entre el mismo nmero. A este procedimiento se le conoce como simplicacin de una fraccin.1 Simplica la fraccin 1214.SolucinPara simplicar la fraccin 1214 , se debe dividir al numerador y denominador entre 2 que es el mximo comn divisor de 12 y 141214 ==12 214 267Por tanto, 1214 =672 Cul es la fraccin que resulta al simplicar 3624?SolucinOtra forma de simplicar una fraccin es dividir al numerador y al denominador entre un nmero primo, este proceso se realiza hasta que ya no exista un divisor primo comn.362436 224 2181218 212 2969 36 332== == ==Por consiguiente, 362432112= =EJERCICIO 31Simplica las siguientes fracciones:1. 20243. 9125. 25107. 902009. 1321652. 18124. 28426. 12608. 424810. 24570 Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondienteUbicacin en la recta numricaPara ubicar la fraccin ab en la recta numrica, se divide cada unidad en el nmero de partes que indica el denominador by se toman las partes que indica el numerador a. 1 Localiza en la recta numrica el nmero 23.SolucinSe divide la unidad en 3 partes iguales y se toman 20 1 232- 4 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS52EjemplosEJEMPLOS2 Graca la fraccin 234 en la recta numrica.SolucinSe convierte la fraccin mixta a fraccin impropia = 234114 , ahora se divide en 4 partes iguales a las unidades quese encuentran a la izquierda del 0 y se toman 11 de esas divisiones.0 1 2 3411-

EJERCICIO 32Graca en la recta numrica las siguientes fracciones:1. 586. 8122.947.1153.268.2134. 959.1265. 5910.2510 Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente Suma y resta con igual denominadorSe suman o restan los numeradores y se escribe el denominador en comn.1 Efecta la operacin 342414+ + .SolucinSe suman los numeradores, el resultado tiene como denominador 4 y la fraccin resultante se simplica.342414+ + =+ += =3 2 146432Por tanto, el resultado de la operacin es 322 Efecta la siguiente operacin 7959 .SolucinEl denominador de las fracciones es el mismo, por lo tanto, se restan nicamente los numeradores y el resultado tiene el mismo denominador.795929 ==7 59Por consiguiente, el resultado es 29CAPTULO 4ARITMTICA Nmeros racionales533 Cul es el resultado de 13545215+ ?SolucinSe convierten las fracciones mixtas en fracciones impropias y se efectan las operaciones.1354521585451158 4 11515+ = + =+ =El resultado es 15EJERCICIO 33Efecta las siguientes operaciones:1. 1353+10. 1258519. 11252312+ 2. 3818+11. 491920. 2794979 3. 495929+ +12. 111571521. 13411414 4. 765616+ +13. 3138322. 135745925+ 5. 372767+ +14. 1217141723. 327137437+ 6. 310710110510+ + +15. 467686+ 24. 23511524525+ 7. 15931979+ +16. 3125121012 +25. 2187811838 +8. 1316291641161316+ + +17. 32018201320420+ 26. 141317132131913 +9. 1581382786898+ + + +18. 791191596919 + 27. 32511565445+ + Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente Suma y resta con diferente denominadorSe busca el mnimo comn mltiplo de los denominadores, tambin conocido como comn denominador, ste se divide entre cada uno de los denominadores de las fracciones y los resultados se multiplican por su correspondiente numerador. Los nmeros que resultan se suman o se restan para obtener el resultado nal. 4 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS54EjemplosEJEMPLOS1 Efecta 321326+ + .SolucinEl mnimo comn mltiplo de los denominadores es 6, se divide por cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por su respectivo numerador, posteriormente se suman los resultados de los productos.3213269 2 261362 + + =+ +=+ += =( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 2 1 1 26116Por tanto, el resultado de la suma es 136 o 2162 Cul es el resultado de 1215 ?SolucinEl comn denominador de 2 y 5 es 10, se efectan las operaciones y se obtiene el resultado.12155 210310 ==3 Realiza 31611213 + .SolucinSe convierten las fracciones mixtas a fracciones impropias, enseguida se obtiene el mnimo comn mltiplo de los denominadores y se realiza el procedimiento para obtener el resultado.31611213196321319 9 261262 + = + = += =EJERCICIO 34Realiza las siguientes operaciones:1. 1213+ 8. 5349618+ + 15. 34161112+ 2. 2356+ 9. 5478116+ + 16. 71238120+ 3. 51032+ 10. 5814 17. 3425320+ 4. 7241130+ 11. 512724 18.31234+ 5. 8261539+ 12. 116458 19. 1411612 6. 121418+ + 13. 75835921+ 20. 451613 7. 561312+ + 14. 3456110+ 21. 58341623+ CAPTULO 4ARITMTICA Nmeros racionales55PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIN22.3251472+ + 27. 13112234 32.312213114 +23. 75123103220 28.1162312 33.214313112116+ +24. 1615131412+ + + 29.4233162 + 34.134232121712+ +25.435310 30.712125910 + 35.13412116132218 26.4 612 31.615323114+ 36.116322712413 + + Verica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente 1Para preparar un pastel se emplean los siguientes ingredientes: 112 kg de harina, 12 kg de huevo, una taza de lecheque equivale a 14 kg y azcar 58 kg. Cuntos kilogramos pesan estos ingredientes?SolucinSe suman los kilogramos de todos los ingredientes y se obtiene:11212145832121458+ + + = + + + =+ + += =12 4 2 58238278Por consiguiente, los ingredientes pesan 278 kg2Miguel perdi 13 de su dinero y prest 14. Qu parte de su dinero le queda?SolucinSe suma la porcin que perdi con la que prest y este resultado se resta a la unidad que representa lo que tena. 13144 312712+ =+= 17121171212 712512 = ==Por tanto, a Miguel le sobran 512 de su dinero.EJERCICIO 35Resuelve los siguientes problemas:1.Juan compr en el supermercado 12 kg de azcar, 34 kg de harina y 1 kg de huevo, estos productos los coloc en una bolsa, cuntos kilogramos pesa dicha bolsa?2.Dos calles tienen las siguientes longitudes: 225 y 134 de kilmetro, cul es la longitud total de ambas?3.Al nacer un beb pes 214 kilogramos, en su primera visita al pediatra ste inform a los padres que el nio haba aumentado 12 kilogramo; en su segunda visita observaron que su aumento fue de 58 de kilogramo. Cuntos kilos pes el beb en su ltima visita al mdico? 4 CAPTULOMATEMTICAS SIMPLIFICADAS56EjemplosEJEMPLOS4.A Joel le pidieron que realizara una tarea de fsica que consista en contestar un cuestionario y resolver unos proble-mas. Se tard 34 de hora en responder el cuestionario y 212 para solucionar los problemas, cunto tiempo le tom aJoel terminar toda la tarea?5.En su dieta mensual una persona debe incluir las siguientes cantidades de carne: la primera semana 14 de kilogramo, la segunda 38 , la tercera 716 y la ltima semana 12 kilogramo. Cuntos kilos consumi durante el mes?6.Tres cuerdas tienen las siguientes longitudes: 325 , 2310 y 412 metros, cada una. Cul es la longitud de las 3 cuerdas juntas?7.La fachada de una casa se va a pintar de color blanco y azul, si 512 se pintan de color blanco, qu porcin se pintar de color azul?8.Un ciclista se encuentra en una competencia y ha recorrido 59 de la distancia que debe cubrir para llegar a la meta, qu fraccin de la distancia total le falta por recorrer?9.Un sastre realiza una compostura a un pantaln cuyo largo originalmente es de 32 pulgadas, si para hacer la valenciana se dobla hacia arriba 134 de pulgada, de qu largo qued el pantaln despus de la compostura?10.De una bolsa de 1 kilogramo de azcar se extrae una porcin que equivale a 38 de kilogramo, cunta azcar queda en la bolsa?11.Un depsito contiene agua hasta 34 partes de su capacidad, si se ocupa una cantidad de agua equivalente a la mitadde la capacidad del depsito, qu fraccin de su mxima capacidad sobra?12.Enrique vende 14 de terreno de su nca, alquila 16 y lo restante lo cultiva. Qu porcin de la nca siembra?13.De un rollo de tela se han cortado las siguientes porciones: 23 y 16 de metro, qu porcin del rollo queda?14.Luis, Jorge y Adn se organizan para realizar una tarea: Luis se compromete a hacer la mitad y Jorge har la octava parte, qu fraccin de la tarea le corresponde a Adn? 15.Los 25 de un terreno se venden, 14 del resto se siembra de chile de rbol, qu parte del terreno sobra?16. 310 de los alumnos de una escuela estn en cuarentena debido a que se encuentran enfermos de sarampin, adems 15de la poblacin escolar llega tarde y las autoridades no les permiten la entrada. Qu porcin de alumnos asisti a la escuela? Verica tu