dinamica - INFN Sezione di Ferrarasavrie/lectures_0607/dinamica.pdfdinamica. In relatività valgono...

1

LA LA DINAMICADINAMICAdel punto materialedel punto materiale

Studio del moto dei corpi in relazione allecause che lo hanno prodotto

variazione di MOTO FORZE

insieme organico di leggileggi che descrive in modo sistematicosistematico una categoria di fenomeni

TEORIA Principigenerali

DINAMICADINAMICA::

principio 0principio 1°principio 2°principio 3° Dall’ osservazzione

(esperimenti)

3

Parleremo della DINAMICA CLASSICA(Galileo e Newton)

• velocità piccole rispetto a CCin caso contrario: meccanica relativistica

• grandi dimensioni rispetto “all’atomo”in caso contrario: meccanica quantistica

In meccanica quantistica cambia alla radice il concetto didinamica. In relatività valgono ancora tutti i principi della dinamicaclassica tranne il secondo che deve essere riformulato (èsolo una possibile descrizione tra le cause (forze) e gli effetti (moto).

IL PRINCIPIO ZERO ( di relatività):ci abitua subito a capire l’ importanza delmoto relativo dei sistemi di riferimento edin particolare di quelli in moto relativo:

• traslatoriocostante orientamento relativo degli assi(tutti i punti del sistema subiscono lo stesso spostamento relativo);

• rettilineo uniformetutti i punti si muovono di moto relativo rettilineo ed uniforme.

I principi fondamentali:

4

o

x

y

z

o

x

y

z

o

x

y

z

o

x

y

z

Moto traslatorioMoto traslatorio

Moto rettilineo uniformeMoto rettilineo uniforme

5

PRINCIPIO ZEROPRINCIPIO ZEROdi relativitdi relativitàà (di Galileo!)(di Galileo!)

Se due laboratori si muovono di moto relativotraslatorio rettilineo uniforme non esiste un esperimento (di meccanica) che dia risultati diversi nell’uno e nell’altro laboratorio.

I DUE LABORATORI SONO I DUE LABORATORI SONO INDISTINGUIBILIINDISTINGUIBILI

Scrive Galileo ne: “ I DIALOGHI”:

“rinserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coperta di alcun gran naviglio, e quivi fate di avere mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anche un gran vaso d’ acqua, e dentrovi dei pescetti; sospendasi anche in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando acqua in altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso:e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; e i pesci si vedranno andar notando

6

Perché valga il principio di relatività non ènecessario che la misura delle grandezze fisiche sia la stessa (prinipio di invarianza)ma che le relazioni tra le grandezze fisiche siano le stesse (principio di covarianza)

I due membri di un’equazione fisica devonoessere covarianticovarianti passando da un sistema ad un altro in moto rettilineo uniforme

indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’ amico alcuna cosa non più gagliardamente la dovete gettare verso quella parete che verso questa, quando le lontanaze sieno uguali; e saltando voi, come si dice, a pié giunti, egual spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benchè niuno dubbio vi sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succedere così; fate muovere la nave con quanta si voglia velocità: ché (pur pur che il moto sia uniforme e non fluttante in qua e in lche il moto sia uniforme e non fluttante in qua e in làà) voi non conoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina oppur sta ferma….”

7

DEFINIZIONE DEL PROBLEMA DINAMICO

1. proprietà del sistema: “punto materiale”;2. definizione dell’ ambiente esterno;3. definizione delle condizioni iniziali;4. studio dell’ evoluzione, dal punto di vista del moto,

del sistema “punto materiale”.

l’ ambiente esternoil punto materialeil sistema

Un bloccoLa molla e la superficie

scabra

vr

Palla da golf La Terra

Satellite artificiale La Terra

++

++

++

+elettrone Una sfera carica

Sbarreta magnetica Altra sbarreta magnetica

rr

rr

vr

−

N NS S

8

Si procede come di seguitoSi procede come di seguito( dinamica di Newton):( dinamica di Newton):

• introdurremo il concetto di forza- dinamico (moto?)- statico (deformazioni?)

• assegneremo una nuova proprietàad ogni punto materiale ( massa )

• definiremo le leggi delle forze inbase alle proprietà degli oggettie dell’ ambiente ( fenomenologia)

Definizione operativa Definizione operativa ““staticastatica”” ::

01234

Fr

01234

9

Il concetto di Il concetto di forzaforza lo troviamo nelle:lo troviamo nelle:•leggi delle forze: quale forza in

relazione all’ ambiente?• leggi del moto : quale accelerazione

per effetto di una forza?Prima diPrima di GalileoGalileo(1564-1642):

• lo stato di moto di un corpo è“innaturale”

Dopo Dopo GalileoGalileo::

• il moto rettilineo uniforme è lo statodi moto “naturale”

01234

1fr

2fr

1fr

2fr

21 fffrrr

+=

10

Primo principio della dinamicaPrimo principio della dinamicadidi Newton Newton ((16421642--17271727))

principio di principio di inerzia (inerzia (preso da Galileopreso da Galileo))

Ogni corpo isolato persiste nel suo stato diquiete o di moto rettilineo uniforme finchénon intervengano agenti esterni ( forzeforze ) amutarne lo stato.

N.B.

• è basato sul concetto di corpo libero• è conseguenza del “principio di relatività”• stabilisce una legge naturale• introduce il concetto qualitativo di forza• fa uso del ( definisce il) concetto di:

Sistema di riferimento inerzialeSistema di riferimento inerziale

11

Sistemi di riferimentoSistemi di riferimento(inerziali)(inerziali)

Il moto di un punto materiale è legato al sistema di riferimento Definizione:

Un sistema di riferimento inerziale è definito dallacondizione che in esso un punto materiale libero,posto inizialmente in quiete, (o in moto con v=cost)permanga indefinitamente in quello stato .

Per il 1° principio:due sistemi di riferimento inerzialipossono differire al massimo per unavelocità costante

N.B.N.B.In un mondo ideale ( sistema inerziale ) nonserve una forza per mantenere un puntomateriale fermo o in moto con velocità costante.

forza v a⇒ ⇒Δr r

•Che tipo di grandezza è?•Non si fa distinzione tra:

•Forza nulla•Risultante delle forze nullo

13

Se ci limitiamo, per ora, ai S.D.R.I. L’accelerazione ha un valore assoluto (vedi le trasformazioni di Galileo)

la Terra la Terra èè un S.D.R.I.?un S.D.R.I.?

Pendolo di Foucault

Il primo principio può anche enunciarsi come:“se su un corpo non agiscono forze la sua accelerazione è nulla ( S.D.R.I.)

Una definizione operativa di forza deve essere:1. Quantitativa (numero)2. Qualitativa (natura della forza)

14

aF rr∝ amF rr

=Massa inerziale

15

Definizione della forzaDefinizione della forza (unitaria)Consideriamo:

M = massa unitariase:

a = accelerazione unitariaallora:

F = forza unitaria

Sperimentalmente: la forza è un vettoree con l’ esperimento si determinano:

• modulo (già visto il metodo)• direzione • verso Dall’ accelerazione

N.B.N.B.Se più forze agiscono su un p.m., ognunaproduce la sua propria accelerazione ognunadelle quali è indipendenteindipendente dalle altre.

16

Vale la regola sperimentalesperimentale del parallelo-gramma.

Quale è il ruolo della massa?Abbiamo definito la massa unitaria M0.Applichiamo alla massa campione (unitaria)un forza e misuriamo una a0ripetiamo l’esercizio con una massa genericaM1 (oggetti diversi) e , con la stessa forza

(stiamo lavorando in 1 dimensione!)

(a parità di forza agente)MM

aa

1

0

0

1

=

Stabilendo così un:criterio di confronto criterio di confronto ““dinamicodinamico”” delledelle massemasse

Ogni forza agisce in modo indipendente !!

rF1

rF2

M1

Fv

17

Possiamo quindi misurare le masse:

M M aa1 0

0

1

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Supponiamo: Kgm 10 =Usiamo un dinamometro per accelerarla con: 2

0 2 −= msaSostituiamo la massa campione con una generica: 1mApplichiamo la stessa forza di prima e supponiamo di

misurare un’ accelerazione:2

1 5.0 −= msa

KgmsmsKg

aaMM 00.4

50.000.200.1 2

2

1

001 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

−

N.B.

Il secondo corpo, che subisce unIl secondo corpo, che subisce un’’ accelerazione accelerazione pari ad un quarto della prima ha pari ad un quarto della prima ha per definizioneper definizioneuna massa 4 volte maggiore!!!!una massa 4 volte maggiore!!!!

La massa viene interpretata come una misuraquantitativa dell’ inerzia

18

Applicando invece una forza differente F’troviamo un rapporto tra le accelerazioni:

Possiamo assegnare massa a qualunque corpo!Infatti ad ogni altro corpo attribuiamo una massa M2 per confronto con la massa campione. Se confrontiamo le due masse “qualunque”applicando la stessa forza :

0

1

1

0

1

0

1

0

MM

aa

aaaa

==′′′′

''a''a

MM

2

1

1

2 = Ma attenzione!!!!!!!!!!!!!

Il rapporto è lo stesso che avremmo trovatoper confronto delle due masse M1 ,M2 con lamassa campione M0

uguale a prima:

E’ indipendente dalla forza!!!

.........e ancora:mettendo assieme pimettendo assieme piùù masse queste si masse queste si comportano come uncomportano come un’’ unica massa pari alla unica massa pari alla somma delle masse in questione!!!! (grandezza somma delle masse in questione!!!! (grandezza estensiva)estensiva)

19

22°° principio della dinamicaprincipio della dinamica

Questo 2° principio contiene implicitamente il 1° infatti se:

Dove:

=Fr

r r rF a v t= ⇒ = ⇒ =0 0 cos .solo 2 delle tre leggi di Newton sono

indipendentiindipendenti

r rF ma=

Dimensioni?Dimensioni?

UnitUnitàà di misura?di misura?

[ ] [ ][ ][ ]2−= TLMF)ewton(NsmKg =⋅⋅ −2

Vettore risultante di tutte le forze agenti sul “punto materiale”

20

8 10-8 NForza tra nucleo ed elettrone ( idrogeno)

3.2 10-2 NForza esrcitata dalla Terra su una moneta (100)

2 NForza esrcitata dalla Terra su una mela

9.8 NForza esrcitata dalla Terra su 1 Kg

7.2 102 NForza esercitata dalla Terra su un uomo

7 103 NForza acceleratrice su un’ automobile

104 NForza di inetrazione tra due protoni nel nucleo

10 4 NForza di frenatura (automobile )

1.5 104 NForza esrcitata dalla Terra su un’ automobile

5 105 NTrazione di un locomotore

7.7 105 NSpinta dei motori di un jumbo (B747)

106 NTrazione di un grosso rimorchiatore

3.3 107 NSpinta di un vettore per satelliti

2 1020 NForza esercitata dalla Terra sulla Luna

3.5 1022 NForza esercitata da Sole sulla Terra

alcune forze e le loro intensità

le forze fondamentali

10-15 m1adroniforte

∞10-2Cariche elettricheelettromagnetica

<10-17 m10-6leptonidebole

∞10-38massegravitazionale

Raggio az.intensitàAgisce suforza

finqui 31 Gennaio 2007

21

00 Kp +Λ→+−π

p−π

+−ππdecadimentideboli

24

r rF ma=

La legge vettoriale è equivalente a:

F maF maF ma

x x

y y

z z

==

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

dove:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

∑

∑

∑

iizz

iiyy

iixx

FF

FF

FF

,

,

,

MA:

le le forzeforze sono sempre il risultato dell’ interazioneinterazionecon gli altrialtri corpicorpi e e ll’’interazioneinterazione èè sempresemprereciproca

Non esiste la Non esiste la forza singolaforza singola

ci penserci penseràà il III principio !!il III principio !!

25

W=forza sul blocco da partedella Terra

W’=sulla Terra da parte del blocco

N=dal tavolo sul bloccoN’=dal blocco sul tavolo

26

Questo ci permette di introdurre il ( difficile )

PRINCIPIO PRINCIPIO DI AZIONEDI AZIONE E REAZIONEE REAZIONE“ Ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria; le mutue azionidi due corpi sono sempre uguali in modulo edirezione ed hanno verso opposto”

33°° principio della dinamicaprincipio della dinamica

27

amFF cBCUCrrr

=+

amFF cBCUC =−

Le due forze sono uguali solo se:• a=0 condizioni statiche (la fune trasmette la forza inalterata)• mc=0 massa della fune trascurabile

Se mc=0 ( approssimazione!) la forza è costante in ciascun punto della fune generalmente viene chiamata: tensione

Non costituiscono un sistema azione-reazione

0=ar

0≠ar

Mb

Mb

0

0

=+

=+

BCCB

CUUC

FF

FFrr

rr

quindi in generale:

BCUC FFrr

≠

N.B.• le forze di azione-reazione agiscono sempre

su corpi corpi differentidifferenti altrimenti non si avrebbe maimoto accelerazione!

• In generale nonnon sono equilibrate

28

)(trrRisoluzione delle equazioni del moto e cioètrovare una forza ed una legge oraria

tali da soddisfare la:Fr

amF rr=

Ftr

trFrr

rr

)(

)(

Caso particolare:

Statica: date delle forze...trovarne altre

Scopo della dinamica

Il problema può essere:

1. Diretto: data

2. Inverso: dato

29

diagrammacorpo libero

forze

interazione con l' ambiente

La seconda legge non è una legge naturale nel vero senso del termine e può anche essere usata come:

Definizione della forzaDefinizione della forza

L’ ultimo passo mi permette di “sostituire”le interazioni di un corpo con l’ ambientecon le forze

devo però determinare le leggi delle forzeleggi delle forze :“come calcolare le forze in funzione delleproprietà del corpo e dello spazio circostante”

30

M1 M2

ra ms= −1 2

M1=100KgM2=20Kg

NFiaMF

NFiaMF

NRiaMR tot

100ˆ100

20ˆ20

120ˆ120

111

222

=⇒==

=⇒==

=⇒==

rr

rr

rr

Qual’ è la reazione e quale l’azione?Su M1(+M2) è applicata una forza tot. di 120N ma M1 ha una accelerazione che corrisponde a soli 100N a causa della reazione di M2.Vediamolo in un altro modo:

Esempio 10

In una dimensione ( notazione vettoriale superflua):

( )aMMR 21 += 11 −= msa

NaMFF , 12212 ===

y

xo

M1 M2

M1=2KgM2=1KgR=3NR

r

21,Fr

La reazione su M1: e infatti la forza su M1:2112 ,, FFrr

−=)NN(NaMF 13211 −===

E se la forza R è applicata a M2?

o

y

x

31

Se la massa M è in equilibrio (statica):

a) Sul blocco

b) Sulla molla

PTPT

PTamF

aPTF .tot

=−==+

==

+=

(1) rr

rrrr

rrrr

0

0

pTRpTR '

+==++ 0rrr

1) T è una misura esatta del peso del corp (metodo dinamometrico:statico!)

R’ è la reazione esercitata dalla mollasul soffitto

In generale R’≠ T a meno che non sia........

0=mM

T’=azione del blocco sulla molla (=reazione alla

forza T)

Come siPassa daUna all’Altra?

'Rr

pPpTRR '' rrrrrr+=+==

Ma è sempre vero?

32

Esempi di forze e delle loro leggi:•blocco trascinato da una molla

•palla da golf in volo

•satellite artificiale

•Interazione di due cariche elettriche

•due “asticciole” magnetiche

iKxF −=r

r rF mg=

rr

mMGF 2−=r

rrqQF 2

041πε

=r

rrmF 4

20

23πμ

=r

33

Da :r rP mg=

Il peso dipende dal valore locale di . rg

In luoghi differenti sulla superficie terrestre la massa è la stessa maCausa allungamenti leggermente diversi su un dinamometro.

rg = 0rP = ≠0 mentre m 0

Nello spazio dove (???)

E dare un calcio ad un corpo di grande massanon richiede alcuno sforzo…..ma ci si schiaccia egualmente l’alluce!!!

agPF

gPmmgPamF rrrr

====

•Dinamometri: informazioni diverse con il luogo•Bilance: la stessa informazione ovunque

Altra unità per la forza (ing.): pKgForza che applicata alla massa di 1Kg causa Forza che applicata alla massa di 1Kg causa unun’’accelerazione pari a 9.8066 msaccelerazione pari a 9.8066 ms--22

KgKg

mKgP pp 2.80

78.98066.980

78.98080 =

⋅==⇒=

In un posto dove: 278.9 −= msg

forza e accelerazione sono collineari notazione vettoriale superflua

34

PESO E MASSAPESO E MASSA

Senza pretendere di conoscerne l’ origine sappiamo che: ogni corpo (sulla terra ) lasciato cadere liberamenteacquista una accelerazione

r rg g mstale che ⎯ →⎯⎯ ≅ −9 81 2.

N.B. In un dato luogo g è lo stesso per tutti i corpi.Per la II legge di Newton:

r r rF P mg= =Per cui dati due corpi di masse M1 ed M2(in uno stesso luogo)

r

rPP

MM

1

2

1

2

=Con una bilanciaCon una bilanciaanalitica paragono analitica paragono (in pratica) le(in pratica) le massemasse

Ma peso e massa sono diversi• la massa è uno scalare• il peso è un vettore ( forza )

35

Come si applica la II leggeCome si applica la II legge

• identificazione del corpo al cui moto si riferisce il problema

• definizione dei “corpi” che costituisconol’ ambiente

• scelta opportuna del sistema di riferimento( inerziale )

• disegnare il “diagramma del corpo libero”• applichiamo la II legge della dinamica

x

y

o

rFb

rFa

rFc

xo

y

Qual’ è l’ oggetto in questo caso?Come è definito l’ ambiente?

finqui 02 febbraio 2007

36

y

0=++ cba FFFrrr ( )

( )⎩⎨⎧

=⋅++=⋅++

00

jFFFiFFF

cba

cba rrrrrr

( )( )⎩⎨⎧

=++=++01804560

027045150cosFcosFcosFcosFcosFcosF

cba

cba rrrrr

⎩⎨⎧

=−+=+−

⎩⎨⎧

=−+=+−

0707050070708860

0456004530

P.F.F.F.F

FcosFcosFcosFcosF

ba

ba

cba

ba

Se ad esempio:

pc KgF 100= pbpa Kg.F;Kg.F 689373 ==⇒

Esempio 12

α

xo

bFrr

Fa

rFc

α β

β

β=45°α=30°

È un’ unità strana

37

m2

m1

ox

y

2Tr

1Tr

1Pr

2Pr

⎩⎨⎧

=+=+

2222

1111amPT

amPTrrrrrr ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=⋅+

⋅=⋅+

jamjPT

jamjPT

ˆˆ

ˆˆ

2222

1111

rrr

rrr

⎩⎨⎧

=−=−

222

111amgmTamgmT

Ma a1 = - a2

Esempio 13•Filo inestensibile•Massa del filo e della carrucola trascurabili•Attriti trascurabili

gmmmma

21

121 +

−=

21

212mm

mmgT+

=

E le dimensioni?E le dimensioni?

se la fune ha massa M=0 TTT == 21

38

Esempio Esempio 1414

NF

KgmKgM

3000

2001025 3

1

=

=⋅=

r(sul cavo!!!! )

• accelerazione della massa M1:

• M2 traina m con una forza F=3000N

2

1

1190 −≅+

= ms.mM

Fa

Azione e reazione

ox

y

M1 M2m

rF

T1

T2T3

T N1 3000=

Diagramma corpo libero?

1Fr

39

Infatti: N.F 297511901025 31 =⋅⋅=r

NFF 25297530001 =−=−rr

%)5(!!!!119.0125.020025 22 +≠=== −− msms

mFa

c

cc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=mM

MmF

mMFMFac

1

1

11 1

2

1

1190 −=+

= ms.mM

Fac

Il cavo eserciterà un trazione sulla massa M1:r rF M a1 1=

E, sempre per il principio diazioneazione--reazionereazione la funerisentirà di una tensione:

( )

NamMT

:avrà sim perchè TT per mentre

NaMT

2

12

298821

0

2796

1

13

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

≠≠

≅=

rr

r

rr

Attenzione alle approsimazioni!!!!!

40


M1

M2o x

y

o x

y

rT

rT

M g2

rM g1

r

rN

Da cui:

gMM

MMT gMM

Ma21

21

21

2

+=

+=

Con l’ ovvia condizione: aaa yx == 21

⎩⎨⎧

==−

x

yaMT

aMgMN11

111

Per la massa M1:

Per la massa M2:

aMTP rrr2=+

amPNT rrrr=++

yaMTgM 222 =−

41

′′

′

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

vvv

Rv Vv Vv V

x

y

z

x x

y y

z z

0

0

0

Qualcosa di piQualcosa di piùù sui sui S.D.R.S.D.R.a) S.D.R.I.S.D.R.I.

Abbiamo visto a suo tempo che in questivalgono le trasformazioni:

le componenti cambiano mantenendo il vettorevettoreaccelerazioneaccelerazione identico:

a aa a a a

a a

x x

y y

z z

'

' '

'

=

= ⇒ =

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

r rMa cosa succede al II principio delladinamica? (semprenei SdRI)

Sappiamo ( bilance, dinamometri ) che lamassa è un invariante invariante scalarescalare:

′′

′

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

aaa

Raaa

x

y

z

x

y

z

⇒ + + = + +a i a j a k a i a j a kx y z x y z' ' ' ' ' '$ $ $ $ $ $

Nel caso di assi paralleli ( traslazione uniforme):

'mm =

Si hanno le T.d.G.T.d.G. per le quali:

42

Se gli assi hanno lostesso orientamento:

ff

f

Rff

f

x

y

z

x

y

z

'

'

'

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⇒

=

=

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇒ =

f ff f

f f

f fx x

y y

z z

'

'

'

'r r

Partendo da:

Generale Generale CovarianzaCovarianzaIn particolare se i S.d.R. hanno lo stessoorientamento:

amf rr=

amf amf rrrr=⇒=

Invarianza per trsf. di Galileo

La forza si trasforma come un vettore:

Nel sistema“fisso”

Nel sistema“mobile”

'am'f rr=Applicando l’operatore |R|:

43

b) S.D.R.S.D.R.N.N.I.I.In generale quanto detto primanon è vero:

vr

o

y

x

o

y

x

vrOsservatore A

Osservatore B

Se il treno frena: per B gli oggetti subiscono un’ accelerazione senza che ci sia interazioneCon l’ ambiente!!

Forze Forze fittizie fittizie ((apparentiapparenti))Si ha quindi l’ insorgere di :

vr

44

La relazione che lega le coordinate nei due sistemi “fisso” e “accelerato” (considerimo per ora un moto traslatorio non uniforme) è più profonda. Se sul punto agisce una forza, questo, nel sistema “fisso”si muoverà secondo:

'

'

'

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=−=

ZzzYyyXxx dove : tvZtvYtvX zyox 00 ;; ≠≠≠

coordinate dell’ origine del Sistema “mobile”.

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=−=

zxz

yxy

xxx

zxz

yxy

xxx

AaaAaaAaa

VvvVvvVvv

'

'

'

'

'

'

z

x

y

z’

x’

y‘

x≡x’

A

rr'rr

ar

amf rr=

nel sistema di riferimento mobile:

costantev .tr ≠r

( )ZYXo ,,'

222

21;

21;

21 taZtaYtaX zyx ===ma :

( )000 ,,o

derivando:

45

.tr'

.tr'' Aaa Vvv Rrr

rrrrrrrrr−=−=−=

r ra a' ≠

'.tr amAmf rrr=−

Forza di inerzia (massa * acc. di trasc.) detta anche “fittizia”

N.B.Anche se l’ osservatore esegue una misura staticaper la quale: ra ' = 0

Esiste sempre la forza di inerzia

( ) .tr'

.tr' AmamAamamf

rrrrrr+=+==

Misura “dinamica: forza “reale”+ termine inerzialeMisura statica: deve applicare una “forza reale” che

sommata al termine inerziale determinal’ equilibrio ( cioè a’=0)

46

ar argmf rr

=

Tr

amr−

argmf rr= ar

gmf rr=

aramf rr

−=

gmf rr= ar

gmf rr= T

r ar

finqui 07 Febbraio 2007

47

v mTr

ar

mTr

rr

mv2

Ogni punto della piattaforma si muove di moto circolare ed ha un’ accelerazione centripeta: un riferimento solidale con la piattaforma è NON INERZIALE.NON INERZIALE.

Osservatore Inerziale: l’ accelerazione è dovuta tensione della fune

Osservatore Non Inerziale: La pallina deve esserelegata al palo sennò, se anche la collocaLa pallina deve esserelegata al palo sennò, se anche la collocaferma in un punto, acquista unferma in un punto, acquista un’’ accelerazione accelerazione ““centrifugacentrifuga””..Per annullarla deve usare proprio la tensione della fune pPer annullarla deve usare proprio la tensione della fune pererrendere valido il II principio.rendere valido il II principio.

48

• non derivano dall’ interazione con altri corpi;

• si chiamano inerziali perché dipendono dalmoto del S.d.R;

• sono forze reali per il S.N.I.: ci voglionoci voglionoforzeforze reali per annullarne reali per annullarne ll’’effettoeffetto;

• nei sistemi accelerati non valgono i principidi Newton (vedi il primo!!)

• si può ancora usare il II principio se siconsiderano le forze fittizie (dette anchedi trascinamento)

Queste forze apparenti:

Tutto questo nel caso in cui il moto del S.D.R.N.I. Si muova di moto traslazionale.

Ma cosa succede in caso di motoQualunque?

49

)(ˆ)(ˆ)(ˆ''ˆ''ˆ''ˆ ZzkYyjXxizkyjxi −+−+−=++

Ora però i versori del sistema non inerziale non sono costanti

'ˆ'ˆ 'ˆ'ˆ 'ˆ'ˆ kdtkdj

dtjdi

dtid

∧=∧=∧= ωωωrrr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )tvtvtPOttVtvtv

VvkVvjVvi

zkyjxivkvjvi

t

zzyyxx

zyx

rrrrrr

r

−=∧+−=

−+−+−=

=++∧+++

''

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

)''ˆ''ˆ''ˆ(''ˆ''ˆ''ˆ

ω

ω

Derivando rispetto al tempo t ( che che èè ““assolutoassoluto””!!!!!! ):

Formula di Poisson!!!

Sistemi di riferimento Sistemi di riferimento non non inerzialiinerziali

x

o≡o’y

z

x’

y’

z’ ω p

rrar

Come nel caso precedentemente visto:

50

''ˆ''ˆ''ˆ' zyx vkvjviv ++=r

)''ˆ''ˆ''ˆ(ˆˆˆ zkyjxiVkVjViv zyxt ++∧+++= ωrr

Velocità di P rispetto alsistema mobile ( vel. relativa)

zyx vkvjviv ˆˆˆ ++=r Velocità di P rispetto al

sistema fisso ( vel. assoluta)

È la velocità con cui si muove, rispetto al sistemafisso, il punto solidale con il sistema mobile che nell’ istante considerato è occupato da P ( velocitàdi trascinamento)

Ci abbiamo preso gusto e....... deriviamo ancora!

)(ˆ)(ˆ)(ˆ zzyyxx AakAajAai −+−+−=

)Vv(k)Vv(j)Vv(i)'z'k'y'j'x'i('v'k'v'j'v'i

zzyyxx

zyx

−+−+−==++∧+++ ω

r

+++ ''ˆ''ˆ''ˆ zyx akajai +++∧ )''ˆ''ˆ''ˆ( zyx vkvjviωr

( )+++∧ ''ˆ''ˆ''ˆ zkyjxiαr

+++∧ )''ˆ''ˆ''ˆ( zyx vkvjviωr

( )[ ]=++∧∧ ''ˆ''ˆ''ˆ zkyjxiωωrr

51

Che più semplicemente:

[ ] '2)'(''

'

vPOPOAaa

aaaa ct

rrrrrrrr

rrrr

∧−∧∧+∧+−=

−−=

ωωωα'ar Accelerazione del punto P rispetto al sistema

di riferimento mobile ( acc.ne “relativa”)

ar Accelerazione del punto P rispetto al sistema di riferimento inerziale (acc.ne “assoluta”)

tar Accelerazione con cui si muove, rispetto al sistema fisso, il punto solidale con il sistema mobile che nell’ istante considerato èoccupato da P ( acc.ne di trascinamento)

car È la famigerata accelerazione di Coriolis. Ènulla quando P è in quiete nel sistema mobile ( o in assenza di rotazione!!!)

Pd

'o

ωr

Ar

: accelerazione dell’ origine mobile rispetto al fisso

dP'O αα =∧r

: acc.ne tangenziale dell’ estremo libero di O’ P

d)P'O( 2ωωω =∧∧rr

: acc.ne radiale dell’ estremo liberodi O’ P

αv Accelerazione angolare del sistema di riferimento mobile (α=dω/dt)

52

Per la terra:

( ) 15 1029.7 −−⋅= sradωr

Sia gg00 l’accelerazione di gravità misurata da un osservatore non ruotante. L’accelerazione misurata da un osservatore terrestresarà ( in questo caso non c’è moto traslazionale relativo: A=0 e la rotazione è uniforme: α=0):

L’accelerazione di un punto dipende dalla suavelocità v’ e dalla sua posizione r( o meglio R).

( ) vrga ′∧−∧∧−=′rrrrrrr ωωω 20

Esempio 17

λωω cosrRv ==

La velocità e l’ accelerazione di un punto sulla superficie terrestre saranno

λωω cos 22 rRa ==

221 cos1034.3 cos459 −−− ⋅== msamsv λλ

N

Piano equatoriale

λr

g0D

ω

( )− ∧ ∧r r rω ω r

ω λ2 2r cos Vert.

O≡C

R P

y

z

dipende dalla velocitàcon cui si muove il corposulla Terra!!!

53

Il termine centrifugo ( se v’ è trascurabile come nel caso di un punto che si muove molto lentamente) vale al massimo( equatore):

22103.3 −−⋅≅ msaTermine di Coriolis: ( ) 2510372 −− ′⋅⋅≅∧ ms v.'vr

rω

1 1500 −< Kmhv

Per velocità piccole ( e per i corpi a riposo sulla Terra) g efficace vale

( )rgg rrrrr∧∧−= ωω0

( ) 0.max2 %3.0 gr ≅ω

λω 220 cosrgg −≅

È la direzione del filo a piombo enon punta al centro della Terra

( ) 222 cos1034.3cos −−⋅=≅∧∧ msrr λλωωω rrr

Il termine di Coriolis ètrascurabilerispetto al termine centrifugo per v piccole

N

Piano equatoriale

λr

g0D

ω

( )− ∧ ∧r r rω ω r

ω λ2 2r cos Vert.

O≡C

R P

y

z

54

Effetti del termine “centrifugo”:

55

la figura non è in scalaα è molto piccolo!g aumenta con la latitudine

Il termine radiale mostra chei corpi, nell’ emisfero nord sonodeviati verso sud lungo la verticale AB:filo a piombo e corpi in cadutalibera

S

NB

A

( )rrg ˆcos220 λω−−

λλω sincos2r

gv

orizzonteorizzonte

direzione radialedirezione radiale

α

56

Effetti del termine “di Coriolis”:

60

Qualcosa di più sul III principio.....ricordiamo che azione e reazione:

1. Agiscono sempre su corpi diversi2. In generale non si fanno equilibrio

Definiamo una nuova grandezza fisica:

vmP rr=

•Dimensioni?

•Unità di misura?

La prima leggedella Dinamica:

La seconda leggedella Dinamica:

tcosP =r

dtPdv

dtdmamF

rrrr===

QuantitQuantitàà di motodi moto

[ ] [ ][ ][ ]1−= TLMp1−⋅⋅ smKg

Come la si interpreta?

61

Come si può enunciare adesso la III legge:

Siano dati due sistemi (punti materiali) interagenti:

212121 ,,,,, PPFFmmrrrr

1m2m

1vr2vr

dtPdF 1

1

rr=

dtPdF 2

2

rr

=

Se i due corpi isolati:

12 FFrr

−=dtPd

dtPd 12

rr

−= ( ) 021 =+ PPdtd rr

che esprime una importante legge di conservazione:

.costPP =+ 21

rr

La quantità di moto totale di un sistema composto di 2 punti materiali soggetti solo alla loro mutua interazione rimane costante nel tempo

62

Qualcosa di pratico sulla quantità di moto:

Siano dati: F,mr

m

vrFr

amF rr= dt

vdmFrr

=

Consideriamo un intervallo di tempo dt:

∫∫∫ ==2

1

2

1

2

1

v

v

t

t

t

t

vmddtdtvdmFdt rr

Per i sistemi a massa costante:

( )12

2

1

2

1

vvmvdm dtFv

v

t

t

rrrr−== ∫∫

Definiamo:Variazione della quantità di moto( )12 vvmP rrr

−=Δ

∫= dtFIrr

Impulso della forza

•Dimensioni?

•Unità?

[ ] [ ][ ][ ]1−= T L MI

sN ⋅finqui 09 febbraio 2007

63

Fondamentale:

nota che sia la legge della forza, si ricavano nota che sia la legge della forza, si ricavano informazioni cinematiche sul moto del punto informazioni cinematiche sul moto del punto

Teorema dell’ impulso: 1212 vmvmI rrr−=

Possiamo quindiscrivere in generale:

( ) ( )

( ) ( )tIm

vtv

tIvmtvm1

0

0

+=

=−rr

rrr

Ma in generale non conosciamo la forza in funzione del tempo!!!! E per integrare le equazioni del moto

ci serviremo di altre grandezze:

1.1. LavoroLavoro2.2. EnergiaEnergia

LL’’ impulso della forza agente su un punto materiale impulso della forza agente su un punto materiale fra gli istanti tfra gli istanti t11 e te t22 èè uguale alla varazione della uguale alla varazione della quantitquantitàà di moto subita dal punto.di moto subita dal punto.

( )∫+= dttFm

vvrrr 1

0

64

Esempio 19

Una mitragliatrice spara R proiettili di massa m e velocità v al secondo. Qual’è la forza media esercitata sul bersaglio colpito e nel quale si arrestano?

∫ Δ=

Δ= .fin

.in

t

t tIdtf

tf

rrr 1

# di proiettili che colpiscono il bersaglio in Δt:

tRΔSe mv è l’ impulso esercitato da ogni proiettile, la forza media vale:

Rmvt

tRmvtp

tIf =

ΔΔ

=ΔΔ

=Δ

=rr

r

65

LAVOROLAVOROÉ sempre associato al concetto di spostamento!!!

a)a) Caso unidimensionaleCaso unidimensionale1. Forza costante

12:

.cos:

xxxrr

tFFF x

−=Δ=

==rr

rr

•quali dimensioni ?

• unità S.I. ?

[ ] [ ][ ][ ]22 −= T L MW

)(22 ouleJmNsmKg ⇒⋅=⋅⋅ −

xF

xo

yxΔ

1x 2x

xFW xΔ=⎪⎩

⎪⎨⎧

<=>

nto spostameallo opposta forza nulli nto spostamee/o forza

concordi nto spostamee forza

000

m

F

x

o

F=cost

w

x1 x2

66

x

0

Tr

Pr

M=9 102KgX1=400m

•Il concetto di lavoro è assoluto?•Quanto vale il lavoro fattodalla forza peso nella discesa?

• Quanto quello fatto da T e sottoquali condizioni?

• Quanto vale il lavoro della forzarisultante?

• È indifferente se il moto èaccelerato o meno?

• Se si rompe il cavo quanto valeil lavoro compiuto da P e T?

( ) ( ) J.mN.WxPWxFW

P

xP63 10534001088 ⋅=−⋅⋅−=

==⇒= ΔΔ

( ) ( ) J.mN.WxTWxFW

T

xT63 10534001088 ⋅−=−⋅⋅=

==⇒= ΔΔ

67

b)b) Caso unidimensionale ma con forza variabileCaso unidimensionale ma con forza variabile

( )xFFrr

=Fr

xox1 x2

Si calcolano ( ovviamente ) ilavori infinitesimi ( elementari )e si fa la somma (integrale).

∫

∑

=

Δ==

→Δ

2

1

)(

)(lim1

,0x

x

k

iiixx

dxxFW

xxFW

È ancora l’ area sottesa dalla F tra x1 e x2

( )NFx

( )cmx

kxFx −=

1x

2x

1x 02 =xx

posizione di equilibrio

lavoro compiuto sulla molladurante l’ espansione da x1 a x2

68

dx)x(FdW

dx)x(FdWW

=

== ∫∫Lavoro infinitesimoLavoro infinitesimo

• il lavoro infinitesimo è positivo (negativo) se forza e spostamento sono concordi (discordi)

• il lavoro integrale è positivo o negativo a seconda dei contributi dei singoli lavori infinitesimi

Tipico (forza elastica): KxF −=

( )222

, 21

2abkxKxdxKKxdxW

b

a

b

a

b

aba −−=−=−=−= ∫∫

Esempio 22Un blocco appoggiato su una superficie orizzontale liscia èattaccato ad una molla orizzontale che ubbidisce alla legge di Hooke ed esercita sul blocco una forza Fx=-Kx, dove x èmisurata a partire dalla posizione di equilibrio della molla e la costante elastica è K =400N/m. La molla viene compressa fino a x1=-5cm dalla sua posizione di equilibrio x2=0.Qual’è il lavoro compiuto dal blocco?

( ) ( )( )[ ] JmmNmxFW x 5.005.0/40005.021

21

=−−=Δ=

Area sotto la curva F=F(x).W>0 perchè F e Δx sono concordi

è il modulo della forza?

69

c)c) Caso 3Caso 3--D ma con forza costanteD ma con forza costante

)!!!.(cost vettorialeF =r

2rr

rrΔ Fr

1rr

o

xy

z

P(t2)

Fr

P(t1)

zFxFxFW zyx Δ+Δ+Δ=

θ

d)d) Caso Caso generalegenerale: 3: 3--D con forza variabile:D con forza variabile:

∫ ⋅=b

aba rdFW rr

, Integrale di lineaIntegrale di linea

∫∫∫ ++=b

az

b

ay

b

axba dzFdyFdxFW ,

ϑcosrFW Δ=

rFrdFW

rdFdWr

r

vvvv

vv

v

v

Δ⋅=⋅=

⋅=

∫2

1

( )∫ ++=b

azyxba dzFdyFdxFW ,

70

Riassumiamo leRiassumiamo leproprietproprietàà del lavorodel lavoro

• associato al movimento:non si deve compiere lavoro per mantenere fermo un corpo in un S.d.R.

• dipende dal sistema di riferimento:(esempio dell’ ascensore

• in tre dimensioni, se la forza è costante:

• nel caso generale:

o

x

y

z

( )rr t( )rr t dt+

drr

rf

.

.a

b( ) ( )dr r t dt r tr r r

= + −

rdfdL rr⋅=

∫ ⋅=b

aab rdfL rr

Integrale di linea dellaforma differenziale

L f x f y f z f rx y z= + + = ⋅Δ Δ Δ Δr r

( )∫ ⋅+⋅+⋅=b

a zyxab dzfdyfdxfL

71

Se agiscono più forze:rfi

∑ ∑ ∫ ⋅==i i

b

a iiiab rdfLL rr

∫ ⋅=b

a

rdRW rr=Rr Risultante delle forze agenti

sul punto materiale ed il lavoroè una quantità additiva

N.BN.B..Non Non èè un risultato generale:un risultato generale: non vale, ad esempio, per i non vale, ad esempio, per i corpi estesi per i quali le forze subiscono, in generale, corpi estesi per i quali le forze subiscono, in generale, spostamenti diversispostamenti diversi

È lecito?

∫ ∑∫∑ ⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⋅=

b

a ii

b

ai

iiab rdfrdfL rrrr

EnergiaEnergia

∫ ⋅=b

aba rdFW rr

, 32

3

11, WWWdxFW

i

b

aiiba ++==∑∫

=

Calcoliamo uno dei termini ( gli altri saranno simili ):

==

==

∫

∫∫b

a

x

b

a

xb

ax

dxdtdx

dxdvmW

dxdt

dvmdxFW

1

1

∫b

axxdvmv

perchè?

72

∫=b

axxdvvmW1

In tre dimensioni il lavoro totale sarà allora:

( )22321 2

1ab vvmWWWW −=++=

E definiamo:

21 2mvK = Energia cineticaEnergia cinetica

• dimensioni?

• unità S.I. & C.G.S. ?

teorema della Energia Cinetica:

Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti sul Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti sul punto materiale che si sposta da A a B punto materiale che si sposta da A a B èè uguale alla uguale alla

variazione della energia cinetica del punto stessovariazione della energia cinetica del punto stesso

W = W = ΔΔKKN.B. Vale sempre. Qualunque sia la natura delle forze!!

221 2

121

xaxb mvmvW −=

[ ] [ ][ ][ ]22 −= T L MK

JsmKg ⇒⋅⋅ −22

( )221

2

21

2 xaxb

b

a

x vvmWvm −=⇒=

( ) abab KKvvmW −=−= 22

21

73

2.2 10-18 J13.6 eV

Energia di ionizzazione dell’ atomo di idrogeno

1.6 10-13 JAnnichilazione e+e-

3.2 10-11 JFissione di un nucleo di Uranio

3 102 JSollevamento sulle braccia

4 103 JEnergia cinetica di un uomo di corsa

4.6 105 JMetabolizzazione di una mela (110 Kcal)

4.18 106 JEsplosione di 1 Kg di tritolo

1.3 107 JEnergia alimentare umana (3000 Kcal)

3.4 107 JCombustione di 1 litro di benzina

3.4 107 Jfulmine

8.2 1013 JFissione di 1Kg di uranio

4.2 1015JEsplosione nucleare ( 1 Mton)

1 1016 JCombustibile nucleare in un reattore tipico

9 1016 JAnnichilazone di 1 Kg materia/antimateria

6 1018 JEsplosione vulcanica ( KraKatoa )

8 1019 JEnergia usata in USA in un anno

2.0 1023 JCombustibile fossile terrestre

1 1044 JEsplosione di una supernova

1 1045 JCombustibile nucleare nel sole

Alcune energie tipiche

1Kcal= 4,187 103J1 eV=1,602 10-19J

1Mton TNT= 4,18 1015J

74

Una massa m=50gm=50g è appesa, tramite un filo inestensibiledi lunghezza l=25cml=25cm e di massa trascurabile, ad un puntodi sospensione. Il filo viene spostato di un angolo θ0= 60°rispetto alla verticale ed abbandonato da fermo.Quanto vale la velocità di mm quando passa per la verticale?

( )

∫∫∫∫

⋅+⋅=

⋅+=⋅=b

a

b

a

b

a

b

aab

sdgmsd

sdgmsdfLrrrr

rrrrr

τ

τ

Dal teorema dell’ energia cinetica ( il punto parte da fermo):

221 2 lmgmvb =

1581 −== ms.glvb

Esempio 23

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=−=− ∫∫ 0

2lmgyymgdymggdym ba

b

a

b

a

Il primo integrale è nullo: perchè?

∫∫ ⋅=⋅=b

a

b

aba, sdgmsdgmL rrrr

sdg rr⋅ma è il prodotto del modulo

di per la proiezione di ds sulla direzione di g ( cioè y ),

gr

dyjsd −=⋅rx

y

l

o'

rτ

gmP rr=

dsr

dy A


OB ≡

o600 =ϑ

Ay

75

In questo caso siamo in presenza di un:

Campo di forze

I campi, in generale, dipendono anche dal tempo:

( )r r rf f r t= ,

ma noi per ora consideriamo solo campi campi stazionaristazionari(non dipendenti dal tempo). Il lavoro può essere calcolato come:

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]∫

∫∫

++

⋅=⋅=

b

azyx

b

a

b

ab,a

dzz,y,xfdyz,y,xfdxz,y,xf

rdz,y,xfrdrfW rrrrr

( )( )( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

===

⇒=zyxffzyxffzyxff

rffzz

yy

xx

,,,,,,rrr

Una forza variabile con la posizione è del tipo:

Se in ogni punto del campo, la forza che agisce sul punto materiale è costante (modulo, direzione e verso) il campo si dice: omogeneo

forma differenziale lineare

76

Campi (di forze) conservativiCampi (di forze) conservativifunzione potenzialefunzione potenziale

DefinizioneDefinizione:Un campo si dice CONSERVATIVO CONSERVATIVO se il lavoro delle forze NONNON dipende dal percorso ma solo dagli estremi.

( )bafsdfWb

aab ,=⋅= ∫rr

Deve essere stazionario?• si?• no?• indifferente?• è sufficiente?

N.B.N.B.NO!!

Però se è stazionario ed il lavoro dipende solo dagliestremi del percorso allora (si può dimostrare) esiste una V(x,y,z) tale che:

( ) ( )aVbVWab −= ( )zyxVV ,,=

Funzione potenzialeFunzione potenziale

in particolare se b≡a il lavoro e’ nullo:in un campo di forze conservativo il lavoro lungo un percorso nullo qualunque e’ nullo

77

ProprietProprietàà del potenzialedel potenziale

• è definito a meno di una costanteadditiva ( potenziale di un punto!)

• esiste solo se il campo è conservativo• se A≡B, e il campo è conservativoallora il lavoro è nullo

• è una funzione scalare• dimensioni?• unità di misura?

∫ ⋅=−b

a

sdf)a(V)b(V rr

valore di riferimento

( ) .cos)( tsdfaVsdfbVb

a

b

a

+⋅=+⋅= ∫∫rrrr

79

Teorema di conservazione della Teorema di conservazione della Energia (Energia (meccanicameccanica))

Dato un campo di forze conservativo si ha che:

)()( aVbVWab −=

E per il teorema dell’ energia cinetica:

)a(VK)b(VK

)a(V)b(VKKW

ab

abb,a

−=−

−=−=

DEFINIAMO:DEFINIAMO: ),,(),,( zyxVzyxU −=

EUK

aUKbUK ab

=+

+=+ )()( a,b punti generici

= costante totaleenergiapotenziale energia

⇒⇒

EU

Teorema di conservazione dellTeorema di conservazione dell’’ energiaenergia

Per un sistema che si muove sotto l’ azione di forze conservative solamente, l’ energia meccanica totalerimane costante.

abba KKW −=,

abni

iba KKWW −== ∑= ,1

,

lavoro delle forze del campo per portare iul punto da a a b s

80

1. Si trascurano gli attriti2. Si trascura la massa della molla3. Tutta l’ En. Cinetica è concentrata nella massa m

4. come si confrontano le velocità?5. L’ oscillazione avviene su un percorso chiuso!

', vv rr

iKxF ˆ−=v

M

vv

0=vvx

'vv

M

M

81

In un campo di forze conservative ( campo conservativo)Siamo “autorizzati” ad assegnare un valore di una funzione:

( )z,y,xUU =

ad ogni punto del campo in modo che il lavoro compiuto dalle forze del campo per portare un punto materiale da un punto 1 a un punto 2 è dato da:

( ) 2,1,1,2, PPPPP UUUUUVW −=−−=Δ−=Δ=

Come si definisce operativamente la funzione?

Si fissa arbitrariamente il valore in un punto di “riferimento”U(0)=UP,2 e, di conseguenza, ogni altro punto P=P1 ha il valore:

( ) ( ) 00 ,PWUPU +=

Lavoro compiuto dalle forze del campo per portare il punto materiale da P al punto di riferimento.

( ) ( ) ( ) ( ) 202101 00 WUPUWUPU +=+= ( ) ( ) 0210201021 WWWWPUPU +=−=−

di solito: il punto di riferimento si sceglie dove la forza è nulla!

1. indipendente dal riferimento2. somma dei lavori 1 0 e 0 2

82

In tre dimensioni:zUF ;

yUF ;

xUF zyx ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−=

( ) ( ) ( )∫ ++=−b

azyx dzFdyFdxFbUaU

kyUj

yUi

xUkFjFiFF zyx ∂

∂−

∂∂

−∂∂

−=++=r

cost.)( +−= ∫b

a

x

xxdxfxUin una dimensione:

xUFx ∂∂

−=

UF ∇−=rrUF ∇−=rr

zk

yj

xi

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇r

zk

yj

xi

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇r

Operatore gradienteOperatore gradiente

Il gradiente di una funzione scalare è quel vettore che, moltiplicato scalarmente per lo spostamento elementare fornisce il differenziale della funzione

dVrdV =⋅∇rr

operatore vettorialeoperatore vettoriale

83

dVdVdVdrrV

dVrsenVrdVdrr

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇+∇+∇

ϕϕ

ϑϑ

ϕϑϑ ϕϑ

( ) ϕϕ

ϑϑ

ϕϑ dVdVdrrVrdV

∂∂

−∂∂

−∂∂

=,,

In coordinate polari il differenziale di una funzione scalare V è dato da:

mentre per lo spostamento di ha che:

( ) ( ) ( ) ϕϑϑ ϕϑ drsenrdrdrddrrd r === ˆˆˆ ;; vvv

dVrdV =⋅∇rr

ϕϑϑ ϕϑ ∂∂

∇∂∂

=∇∂∂

=∇V

rsenV

rrV

r11 ;;

rappresentazione polare sferica dellrappresentazione polare sferica dell’’ operatore operatore gradiente. Se V gradiente. Se V èè il potenziale di un campo di il potenziale di un campo di forze conservativo forze conservativo èè anche la rappresentazione anche la rappresentazione polare delle componenti del campo di forzepolare delle componenti del campo di forze

84

Se il lavoro delle forze del campo è nullo su un percorso chiuso allora le forze ( /il campo ) sono (/è) conservative (/o).

E se sono presenti forze di attrito.......?

85

........e quando agiscono forze non conservative

Nella pratica è la normalità.

U)b(U)a(U)a(V)b(VVKWc ΔΔΔ −=−=−===

.CostUKUKUK =+=Δ+ΔΔ−=Δ 0

KWW cnc Δ=+∑

anche se esistono forze non conservative possiamo scrivere ( teorema delle forze vive):

e in generale se agiscono molte forze conservative (su un punto!):

∑∑ Δ−= UWc

0=Δ=Δ+Δ ∑ EUKi

i

LL’’ energia meccanica totale si conservaenergia meccanica totale si conserva

Per le sole forze conservative abbiamo:

ncfv

86

N.B.In presenza di forze In presenza di forze non conservativenon conservativell’’ energia energia meccanica meccanica non si conserva non si conserva

(E(Ebb≠≠ EEaa).). Se Wnc>0 ( forza attiva o motrice) l’energia meccanica del sistema va aumentando; se invece Wnc<0 ( forza dissipativa o resistente) l’energia meccanica va diminuendo.

infinnc EEEW <⇒<Δ⇒< 00

Le forze non conservative sono, in genere, dissipative:

∑Δ+Δ= UKWncLa possiamo riscrivere come:

E l’ equazione vista primache per le forze conservative: 0=+⇒ ∑ UKE ΔΔΔ

Diventa: ncWUKE =Δ+Δ=Δ⇒ ∑

In generale l’ energia appare sotto varie forme:

Termica (Calore)ChimicaNucleareelettromagnetica

87

altre unità di uso frequente:1 eV = 1.602 10-19 J1KWh= 3.6 106 J1Kca l= 1000cal=4.187 103 J1 BTU= 1.055 103 J

interessante2mcE = 2c

Em Δ=Δ

se si annichila una:

con una:

KgM 1=

KgM 1=

J.E 161081 ⋅=

L’ energia perduta in genere si manifesta sotto forma di calore

Il lavoro fatto dalla forza di attrito su un sistema materiale Il lavoro fatto dalla forza di attrito su un sistema materiale èèuguale alluguale all’’ aumento di energia termica cambiato di segno. aumento di energia termica cambiato di segno. Qundi LQundi Lf f ==--QQ

EQQE Δ−=⇒=+Δ 0La perdita di energia meccanica La perdita di energia meccanica èè uguale alluguale all’’ aumento di energiaaumento di energiatermicatermica

uomo in corsa 4 103 J

89

La potenza

Se un campo di forze compie lavoro su un punto materiale si enuncia:La potenza P erogata in un certo istante dal campo è il rapporto, in quell’ istante, tra il lavoro elementare ed il tempo in cui esso è stato svolto.

dtdW

tWPP

tWP

ti =ΔΔ

==ΔΔ

=→Δ 0

lim ;

Per un punto materiale:

rdfdW rr⋅= vf

dtrdf

dtdWP rrrr

⋅=⋅

==

1. Dimensioni?2. Unità di misura?

La potenza che ad un certo istante agisce su un punto materiale in movimento è pari al prodotto scalare fra il risultante delle forze che agiscono sul punto e la velocitàdel punto stesso.

KWWHPs

jouleW735.07351

111

==

=

E nel sistema c.g.s.?

( )( )

( ) dinescmgNsmKgN

scmgdina

5223

2

2

101101011111

1111

=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=

−

−

−

ergcmdynemNJ 725 101010111 =⋅=⋅=17101 −⋅= sergW

90

Esempio 26

Un punto materiale è posto, inizialmente in quiete, in A.Viene abbandonato, sotto l’ azione della forza peso, lasciandolo scivolare lungo la guida il cui attrito è trascurabile.Calcolare la velocità con cui arriva in B, più in basso, rispetto ad A, di un dislivello pari ad h. Calcolare inoltre la quota massima y0, rispetto a B, raggiunta dal punto P nel vertice C della traiettoria, se nel punto estremo la guida forma un angolo di 45° rispetto all’ orizzontale.

4545°°

PPAA

BB

hhccyy00

xx

yy

00

Quali forze agiscono?

NgmPrrr

=

Che lavoro compiono?

Possiamo applicare la conservazione dell’ energia?

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=

=

0

0

z

y

x

mgmgmg

mg Tutte le componenti sono costanti.Sono soddisfatte le:

3,1, =∀∂

∂=

∂∂ ji

xf

xf

i

j

j

i

per cui la forza peso è conservativa. La sua energia potenziale vale:

CmgymgdymgdyrdgmUy

y

y

y

b

a aa

+==−−=⋅−= ∫∫∫rr

energia potenziale gravitazionaleenergia potenziale gravitazionale

91

La costante è arbitraria e possiamo porla uguale a zero. La conservazione dell’ energia si scrive quindi:

hyyv

mgymvmgymv

baa

bbaa

=−=

+=+

)(;0 :con

21

21 22

ghvghv bb 2 22 ==

Il punto materiale cade con la stessa velocità che avrebbe avuto in caduta libera.Arrivato in B si muove sotto l’ azione della sola forza peso come nel moto dei proiettili. Applichiamo però la conservazione dell’energia tra i punti B e C:

ccbb mgymvmgymv +=+ 22

21

21

⎭⎬⎫

+=+=

222

222

cycxc

bybxb

vvvvvv

0===

cy

bxcx

bybx

vvvvv

( )

gv

vvg

yyy

vvv

b

cbbc

bcxc

221

21

21

2

220

222

=

−=−=

==

hy21

0 =

4545°°

PPAA

BB

hhccyy00

xx

yy

00

ghvma b 2 =

Si vede che:

92

Riprendiamo il nostro pendolo:Abbiamo visto che la forza gravitazionale è conservativa

x

y

l

θ0=60°

o'

rτ

mgr

dsr

Cdy A

B=O

fin.in EE =

Esempio 27

Esistono anche altre unità importanti(per massimizzare la confusione!):

Wslbftinglesehp

WsmKgmetricohp

JmNmKgmKg

NsmKgKg

f

ff

f

746550)(1

73675)!(1

81.981.9111

81.981.911

1

1

2

=⋅−=

=⋅⋅=

=⋅=⋅=

=⋅⋅=

−

−

−

Foot-pound

( )glv

mvcosmgl

mvmgy

b

b

ba

=

=−

=

2

2

211

21

ϑ

BBAA mgymvmgymv +=+ 22

21

21

finqui 16 Febbraio 2007

93

L’equilibrio

Quali sono le condizioni dinamiche per l’ equilibrio?

( ) 00 0 =⇒=⇒== faCvvrrrr ?

Il risultante delle forze agenti sul puntosul punto deve essere nullo.

La condizione non è sufficiente:

Rr

gmP rr=

1. Equilibrio stabile2. Equilibrio instabile3. Equilibrio indifferente

È interessante il caso di un punto materiale in un campo di forze conservativo. I vari stati di equilibrio si possono identificare in base all’ andamento dell’ energia potenziale

Rr

gmP rr=

Rr

gmP rr=

94

A volte è difficile ( impossibile ) integrarele equazioni del moto anche in questo caso.Il grafico della E.P. è pero’ istruttivo.

Infatti sappiamo che:

F Ux

pendenza della curvax = − ≡∂∂

Nei punti M1 ,M2 ,M3 :• la forza si annulla• si ha equilibrio (stabile o instabile?)

(1)

(2)

(3)(4)

o x

U(x)

A

A’ B’

B

DC FG

IH

K

M3

M2

M1E Ep

Ek

destra destra sinistrasinistra

95

Per un punto materiale di energia totale E:

• per ogni posizione,Up è l’ordinata della curva

• la differenza rispetto ad E è Ek• Ek>0!!!!moto limitato ad una buca• livello (1)=>oscillazione tra A,B• livello (2)=>2 possibilità:

• livello (3)=>oscillazione tra H e I• livello (4)=>moto non oscillatorio

tra k e infinito

oscillazione tra C,Doscillazione tra F,Gimpossibile passare da una regione all’ altra ( barriera di potenziale )

(1)

(2)

(3)(4)

o x

U(x)

A

A’ B’

B

DC FG

IH

K

M3

M2

M1E

Ep

Ek

96

Avevamo visto:• cinematica traslazionale:

• cinematica rotazionale:

• dinamica traslazionale: forzaforza

• dinamica rotazionale?

r r rr v a, ,ϑ ω α, ,

r r

Accelerazione traslazionale ⇒ forza

•E’ sufficiente una descrizione in termini della sola forza?•Esiste una grandezza fisica equivalente alla forza che possiamo associare al moto rotatorio?

amF rr=

Qualche altra grandezzaimportante

97

Momento meccanico della forzaMomento meccanico della forza

Cosa succede se spostiamo il punto di applicazione in:

o x

yFr

PP1

P2P3

0, P1, P2, P3

L’ effetto della forza dipende dal punto di applicazione!!!quindi dalla distanza:

rOP r=

→definiamo: Fr

rrr∧=τ

Momento della forzaMomento della forza• è un vettore• quali sono le dimensioni?

• quali le unità di misura?

22 −TML

Nm

98

In particolare:dato un S.R.I., un punto materiale P ed una forza agente su di esso

( )rFFr rrrrr∧≠∧= τ

⊥== FrrsenF ϑτ

braccio della forzabraccio della forza

⊥== rFFsenr ϑ

componente normale della forzacomponente normale della forza

Il momento della Forza è l’ analogo rotazionale della Forza

ox

y

θ

o x

y

θ180-θ

o x

y

θ

ox

y

θ

180-θ

retta

di az

ione

della

forz

a

braccio della forza

τr

τr

τrτrFr

Fr

Fr

Fr

rrrr

rrrr

Pseudovettoreo vettore assiale!

braccio della forzabraccio della forza

braccio della forza

orr

Fr

ϑ

τr

P

x

z

y

99

Quale grandezza facciamo corrispondere, nel moto rotatorio,alla quantità di moto ?

o

x

z

rrPr

ϑ

lr

Pym

se applichiamo il vettore :ad una distanza dall’ origine (P-O)

vmP rr=

definiamo:

Prlrrr

∧=come il momento angolaremomento angolare ( momento della quantità di moto )del punto materiale P di massa m rispetto ad un punto fisso rispetto ad un punto fisso

componente normale della Q.d.M.

⊥== rp psen rl ϑ⊥== prrsenpl ϑ

braccio del momento della Q.d.M.

come varia con il tempo ( qual’è la sua “legge del moto”)

pdtrd

dtpdrpr

dtd

dtld r

rrrrr

r

∧+∧=∧= )( = 0

( ) τrrrrr

rr

r

=∧=∧=∧= Frvmdtdr

dtpdr

dtld

z

z

y

y

x

x dtld

dtld

dtld

dtld

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=

rrrrr ττττ ;;

prl rrr∧= polo

dtPdfrr

=Dato che

1000.53 10-34JsSpin dell’ elettrone

1.05 10-34JsMoto orbitale dell’ elettrone in un atomo

2 10-3JsProiettile di fucile a canna rigata

6 10-3JsDisco fonografico (33.3giri/min)

10-1JsPiccolo giroscopio

10-1Jsfrisbee

1JsVentilatore elettrico102JsRuota automobile (90 Km/h)5 104JsRotore di un elicottero(320giri/min)

5.8 1033JsRotazione della Terra

2.7 1040JsMoto orbitale della Terra

3.2 1043JsMoto orbitale di tutti i pianeti del sistema solare

alcuni tipici momenti angolari

Il momento angolare è l’ analogo rotazionìale della Q.d.M

∑ =i

i dtpdfrr

dtLd

ii

rr=∑τ

• quali sono le dimensioni?• quali le unità di misura?

12 −TMLJs

101

Esempio 33

Trovare il momento angolare di una massa puntiforme che si muove su una circonferenza di raggio r ( nel piano x,y) con velocità angolare ω.

ωr

x

y

z

lr

vr °= 90ϕ

krmvvmrprl =∧=∧=rrrrr

kmrl ω2=r

ωrr

2mrl =Esempio 34

rr

zx

y

lr

vr

ϕrr

Trovare il momento angolare, rispetto all’ origine, di una particella che si muove con velocità costante su una linea retta, parallela all’ asse x, distante b dall origine.

b

( )k cosrml

k sinrmvprl rrrrr

ϕϕ

−=+−=∧= 90

kmvbl −=r

ϕ+90

rv ω=

102

Momento della quantitMomento della quantitàà di motodi moto

Dato un punto materiale P che si muove in un riferimento inerziale oxyz ed un punto Ω (polo) di riferimento:

dtpdf vmprrrr

==

Il momento angolare di P rispetto a ΩÈ datro da:

prpPl rrrr∧=∧Ω=

→

Qual’ è l’ equazione dinamica che governa l’ evoluzione di ?lr

dtpdrfrr

rrr∧=∧

( )dtpdrp

dtrdpr

dtdl

dtd r

rrr

rrr∧+∧=∧=

x

y

z

o

P

Ω

pr

Ωrr

rrprr

Momento della forzarispetto al polo Ω:

( a volte si indica con )τr

dtpdrr

rr∧=τ

!mr

più in generale:

pdtrd

dtld

dtpdr r

rrrrv ∧−=∧=τ

103

Possiamo scrivere:

p)vv(dtld

vvdtrd

rrr

p

p

p

rrrr

r

rrr

rrr

∧−−=

−=

−=

Ω

Ω

Ω

τx

y

z

o

P

Ω

pr

Ωrr

rrprr

pvdtld rrr

r∧+= Ωτ Perchè?

Solo nel caso in cui il punto di riferimento (polo) sia fermo:

dtldr

r=τ

In ogni sistema di riferimento iniziale, se si sceglie un In ogni sistema di riferimento iniziale, se si sceglie un punto fisso come polo, il momento della forza punto fisso come polo, il momento della forza risultante agente su un punto materiale vale la risultante agente su un punto materiale vale la derivata rispetto al tempo del momento angolare del derivata rispetto al tempo del momento angolare del punto materiale stessopunto materiale stesso

Teorema del momento angolareTeorema del momento angolare

104

Esempio 36Un oggetto puntiforme P di massa m è sospeso ad un punto fisso omediante un filo inestensibile, di massa trascurabile e flessibile, di lunghezza l. Spostando l’oggetto dalla posizione verticale di equilibrio e lasciandolo libero, esso viene richiamato verso la posizione di equilibrio dalla forza peso e comincia ad oscillare(pendolo semplice). Nel caso di piccole oscillazioni ( cioè se il valore dell’ angolo θ espresso in radianti è molto minore di l), le oscillazioni risultano isocrone, cioè hanno tutte la stessa durata. Trascurando la forza di smorzamento dovuta all’ aria, scrivere l’equazione del moto, e verificare che la legge oraria rappresentaoscillazioni isocrone.

o

Rr

mgrvr

ϑ

l

scegliamo : o≡Ω

( ) gmOPgmROPfOP rrrrr∧=+∧=∧=

→→→

τ

x

y

2

22

dtdmllmgsen ϑϑ =−

02

2

=+ ϑϑ senlg

dtd è un’ equazione trascendente

per θ piccolo: ϑϑ ≅sen 02

2

=+ ϑϑlg

dtd

p

0>ϑ0<ϑ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∧==∧

→→

vmOPdtd

dtldgmOP rr

r

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−=−

dtdl

dtdlm

dtdvlmlmgsen ϑϑ

( ) ( )vdtdlmlmv

dtdlmgsen −=−=− ϑ

perchè?

105

è la solita equazione differenziale del II ordine, leneare,omogenea ed a coeficienti costanti. La soluzione:

( )lgωtsent =+= )(0 ϕωϑϑ

non contenti possiamo verificare:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+−=

+=

)(

)cos(

202

2

0

ϕωωϑϑ

ϕωωϑϑ

tsendtd

tdtd

soddisfa solo per lgω =

• quali le dimensioni di ω?• quale il grafico di θ in funzione del tempo?• che significato ha θ0 ?• il moto è periodico di periodo T:

])([)()()( 00 ϕωϑϑϕωϑϑ ++=+=+= TtsenTttsent

πϕωϕω 2)(])([ =+−++ tTt

glTT π

ωππω 222 ==⇒=

⇒dtdϑ velocità angolare

del segento OP ⇒ϕϑ ,0condizioni iniziali del moto: come si determinano?

ϕωϑϑϕϑϑ cos0000 == == tt sen &

quale errore si commette ponendosenθ~θ ? Ad esempio per θ=30°:

%.

..... 4500

500520 500 5206143

630 =

−=≅==° ϑπ sen

])([)( ϕωϕω ++=+ Ttsentsen

già visto!!!

finqui 21 febraio 2007

106

1)1) REAZIONI VINCOLARIREAZIONI VINCOLARIIl moto di un punto materiale (sistema)è influenzato dai vincoli:

• tavolo da biliardo• pendolo• binari linea ferroviaria• ecc. ecc.

Possono essere:• unilateraliunilaterali :limitano la posizione

senza forzare il contatto con il vincolo•• bilateralibilaterali :limitano la posizione e

forzano il contatto con il vincolo (cerniere)

Agiscono mediante forze di contattoforze di contatto che generano reazionireazioni di natura elastica ( elettrica...... e di difficile comprensione! ).

Analisi Analisi fenomenologicafenomenologica(metodo dinamico)

FENOMENOLOGIA FENOMENOLOGIA (..leggi..)(..leggi..)DELLEDELLE FORZEFORZE

107

r rp mg=

rR

Se il corpo di massa m (punto materiale) èin equilibrio ( accelerazione nulla ):

Da cui:mg R mar r r

+ = =0

I vincoli vengono analizzati in base allereazioni alle forze attive ( note )

ancora il terzo principio!ancora il terzo principio!

r rR mg=−

Le reazioni dei vincoli nonsono normali ai vincoli

mgr

rR

rN r

f trN = Comp. Normale allo spost.rf t =Comp tang.(forza di attritoforza di attrito)

P

x

y

108

Quando si parla di superficie priva diattrito ( e solo e solo allora!allora! ) si ha che:

Le forze di attrito sono trattate da:

Leggi empiricheLeggi empiriche (fenomenologiche)a) attrito statico attrito statico

r r rf R Nt = ⇒ =0

mgr

rN

rf t

rFa

:che a Fino

atmaxa FfFFrrrr

−=≤rR

mgr

rN

rf t

rFa

θ

109

Alcune considerazioni sperimentalisperimentali

• è indipendente dall’ areadella superficie di contatto

•

rFmax

r rF Nsmax = μ

μs =Dove:

Coefficiente di attrito staticoQuali sono le dimensioni dimensioni ?

Da cosa dipende ?

Segue quindi che :

Cioè fino a che:

se :r r r r rf F f f Nt a t t s= − ≤ μ

st N/f μ=rr

Quindi: tanϑ μ≤ s chiamiamo angolodi attrito staticoϑ ϑ μa a s: tan =

•Materiali•Trattamento superficiale•Presenza lubrificanti

rR

mgr

rN

rf t

rFa

È proporzionale alla reazione normale

Ma ϑtanN/ft =rr

ϑ

110

rR

a

non può mai formare un angolo con la normaleϑ ϑ>

ϑ ϑ≤ a

b) attrito dinamicoattrito dinamico

Sperimentalmente:

μ μc s<

vNf ct ˆμ−=r

μc ≡ Coefficiente di attrito dinamico

111

Moto sotto l’ effetto di una forza costante

ϑ

M

x

y

o

Nr

Pr

ϑ

aMPN rrr=+

se proiettiamo l’ equazione lungo gli assi coordinati:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=⋅+

⋅=⋅+

jaMjPN

iaMiPNrrr

rrr

⎩⎨⎧

=−=

0ϑϑ

cosMgNMaMgsen x

ϑϑ

cosMgNgsenaa x

===

112

E se sono presenti forze di attrito?

ϑ

xy

o

rP

rf s

rN

Se il blocco è fermo:

M

Supponendo che inizi a scivolare per un angolo: . Quale è il coefficiente di attrito statico?

ϑs

Proiettiamo sugli assi:

r r rN f Ps+ + = 0

( )( )

r r r

r r rN f P i

N f P j

f PsinN P

s

s

s+ + ⋅ =

+ + ⋅ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

− =− =

⎧⎨⎩

$

$ cos

0

0

00

ϑϑ

Sappiamo che: f Ns s≤ μ

θ

113

⎩⎨⎧

==

s

sscospN

sinPNϑϑμ E dividendo membro

a membro:

μ ϑs stg=

Esempio Esempio 1616Un’automobile si muove di moto rettilineouniforme con velocità v0 ..Se il coefficientedi attrito statico tra pneumatici ed asfalto èμ0 qual’ è la più breve distanza entro cui lamacchina può essere fermata?

Con quali modalitàavviene il moto?

rN

rf s

r rP Mg=x

y

114

Se si suppone la forza costanteforza costante, il moto èuniformemente decelerato:

Se l’ auto si deve arrestare:

Per il II principio:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−===−

Pfgaa

gPMaf s

s

Proiettiamo sull’asse x:

N P N P− = =0

gaPf

Nf

sss

s μμ −=⇒==

r r r rP f N Ma+ + =

Se v0=100Km/h; μs=0.6

axvv 220

2 −=

avxv2

020+=⇒=

( ) iaMiNfP ⋅=⋅++rrrr

Proiettiamo sull’asse y: ( ) jaMjNfP ⋅=⋅++rrrr

( ) mgv

avx

s

616589602

782722

220

20 .

...

=⋅⋅

===μ

115

In generale la In generale la forza nonforza non èè costantecostante

Esempio ( in una dimensione ):

Caso semplice: elasticità (legge di Hooke)

Corpo elastico: Si deforma se soggetto ad una forza:

• trazione• compressione• ripristino forma originale all’annullarsidella forza

Forza di richiamo

Legge di Legge di Hooke Hooke (R.Hooke1635-1703) ::sperimentale!

Il modulo della forza di richiamo (di Hooke) èdirettamente proporzionale alla deformazione

r rF kr F kxx= − ⇒ = −

( )m d xdt

F x2

2=

Si oppone alla deformazioneSi oppone alla deformazione

2)2) Forze elasticheForze elastiche--elasticitelasticitàà

116

( )m d xdt

F x2

2=

dobbiamo risolvere una equazione differenziale nell’incognita x(t).

In genere non è possibile tranne che nei casi “semplici” come la:

legge di Hooke:

0 2

2

2

2

=+−= xmK

dtxdKx

dtxdm

e’ un’ equazione differenziale del II ordine lineare ed

omogenea a coefficienti costanti del tipo: 022

2

=++ bydtdya

dtyd

la soluzione è del tipo: 02 se 2 =++= bammey mt

la soluzione generale: baamececty tmtm −±−=+= 22,121 )( 21

3 casi:⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−=−<+==

+=>

−−

−

)ecec(e)t(ynbaba)tcc(e)t(yba

ecec)t(yba

intintat

at

tmtm

21222

212

212 21

117

Metodi approssimatiIn alternativa:In alternativa:

( )F x Ax

= −2 ⎩⎨

⎧ ⇒≅centrale""forza una è

grande moltoè Fxse 0

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

t x t t v t t t

t t x t t v t t t

t t x t t v t t t

t t x t t v t t t

o = = ≤ ≤

= = ≤ ≤

= = ≤ ≤

= = ≤ ≤

0

2

3

0 0 0 0 1

1 1 1 1 1 2

2 2 2 2 2 3

3 3 3 3 3 4

...

Δ

Δ

Δ .... ....

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=

+=

−

−

)sincos()(

)()(

)(

21

2121

ntBntAety

tccety

ececty

at

at

tmtm

nel nostro caso:

22

2

0 00 ω=→>=+⇒= bbseebydt

yda

( )ϕω

ωωω

+=

==+=

tCty

mKbtBtAty

sin)(

;sincos)( 2

Ad esempio:

mA

xdtxda 22

2 1−==

C,φ cost. “arbitrarie”

x

t

118

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )021

)(

ˆ

2

00

UKxxU

CKxdxCdxxFxU

dxxFrdrFrU

iKxF

xr

+=

+−−=+−=

−=⋅−=

−=

∫∫

∫∫r

rrrr

r

Se U(x)=0 per x=0: C=0 e2

21)( KxxU =

Dalla conservazione dell’ energia:ome prima :

20

22

00

21

21

21

00

mvKxmv

vvxxtt

vvxxt

=+

==⇒=

===⇒=

Dalla conservazioneDell’ energia

220

2 xmKvv −=

Costante tipica del sistemaCostante tipica del sistema

Se l’ energia (finale) è solo potenziale: 0

21

vKmxm ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

si può dimostrare che èconservativa!

119

Molti dei corpi con cui abbiamo a che fare sembrano essere indeformabili ma.......

se Δh è piccola rispetto ad h la deformazione soddisfa:

SFh

Eh 1=Δ

E= modulo di Young

•dimensioni ?

•unità di misura ?

vale sia in trazione che in compressione

h

Fr

hfr

[ ] [ ][ ][ ]2

21

−

−−=Nm

T L ME

In genere la legge di Hooke viene espressa in termini diSforzo ( stress) e deformazione (strain) :

SF

Ehh 1=

Δdeformazionedeformazione sforzosforzo

Ad esempio, in trazione, come reagisce il materiale (Fh=-fh)? All’ equilibrio:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

hESK

hKfh Δr la forza fh longitudinale con cui il

campione reagisce (forza di richiamo) ad un allungamento Δh èproporzionale ed opposta in segnoall’ allungamento stesso (legge di Hooke)

120

a) vale fino a che F/S non supera un valore massimo L(limite di elasticità A);

b) il superamento del limite di elasticità induce deformazioni permanenti.

c) aumentando la forza per unità di superficie si raggiunge il carico di rottura (CR) : unità (Nm-2) e dimensioni ?

La legge espressa come relazione sforzo-deformazioneè valida anche per deformazioni di scorrimento:

SF

Ghx 1=

Δ

Modulo di scorrimentoE di volume :

SF

VV

ε1

=Δ

compressibilità

sforzo

deformazione

L

RC

A

B C

Def. Perm.

Limite di resistenza

kxF =

o

elasticoOA ≡plasticoAB ≡

rotturadiptoC ≡

h

xΔ FrS

121

e se la deformazione avviene trasversalmente all’ asse longitudinale?

se supponiamo Δs<<h per effetto della deformazione il bordo AB subisce un allungamento Δh ed A’B’ una “compressione pari a circa -Δh .

3

3

4

hEabKsKf =Δ−=

rr

A

A’ B’

Ba

b srΔ

Fr

h

se b è molto minore di h ⇒ Δh << Δs (Δs=modulo della flessione)Si può dimostrare che la relazione tra la forza con cui reagisce la sbarra alla flessione e la flessione stessa è, all’ equilibrio:

Fr

Per una molla ad elica:

2

4

2

lRrGKsKf π

=Δ−=rr

l

Δs

•l: lunghezza della molla•r: diametro del filo•R: raggio dell’ elica

•a: profondità della sbarretta•b: spessore•h: lunghezza

Modulo di rigidità: dipende dal materiale

122

---~3 10-1~10-1---~10-4caucciù

60÷1203÷9---2.56 Vetro

510.5÷10.51.5Piombo

---15÷507÷4038Ottone

---20÷407÷30410 Rame

---10---2.57Alluminio

---50÷200308.522acciaio

---3520820ferro

compressionetrazioneLimite di elasticità(107 N/m2)

G(1010N/m2)modulo di rigidità

E(1010N/m2)modulo di YOUNG

CR= carico di rottura(107 N/m2)

costanti elastiche di alcuni materiali

123

3)3) FORZA FORZA PESOPESO--GRAVITAGRAVITA’’

• è il risultato della interazione dellaTerra ( ambiente ) con il corpo in esame (punto materiale)

•mi = mg• abbiamo visto che possiamo:

mpg

Fpg

a= =r

rr r

rr e quindi

Se consideriamo g costante:il rapporto tra i pesi determina il rapporto tra le masse

Ma: MASSA: estensiva, intrinseca, effetti inerz. scalarescalarePESO : estrinseca, effetti grav. vettorevettore

Bilancia : confronto tra masse: uguale ovunqueDinamometro: diverso valore secondo il luogo

124

( ) ( ) ( )( )0 )(

0)(

UdymgyU

UdyyFCrdrFyU

gmPF

+−−=

+−=+⋅−=

=≡

∫∫∫

rrr

rrr

Se U(y)=0 per y=0: C=0

mgyyU =)(Ne caso di un grave:

20

2

00

21

21

00

mvmghmv

vvhytt

vvyyt

=+

==⇒=

===⇒=

Dalla conservazioneDell’ energia

ghvv 220

2 −= GiGiàà vista!!!!!!!!!!!!!!!vista!!!!!!!!!!!!!!!

y

o x

gr

si vede che è conservativa

finqui 22 Febbario 2007

125

In generale i corpi in esame si muovono in un mezzo:•aria•acqua•ecc

ed il mezzo oppone una resistenza al moto che dipende:•dalle dimensioni•dalla forma•dalla superficie•dalla densità•dalla viscosità

del corpo

del mezzo

le forze viscose richiedono uno studio molto complesso: matematica difficilissima, simulazioni e misura sperimentale di parametri. Se si considerano solo casi semplici

•forme regolari•basse velocità•assenza di vortici: flussi laminari

in questi casi: vf rrβ−= β : dipende dalla forma e dal fluido

Questa forza è conservativa?com’ è il lavoro compiuto da questa forza?

che dimensioni ha β?

quali le sue unità di misura?

No

[ ] [ ][ ]1−= T Mβ1−⋅⋅ ms N

In realtà è η ηβ k=⇒ il coefficiente di viscosità eK è un “fattore di forma”

[ ] [ ][ ][ ] PoisemsNsKgmT L M: 1021111 =⋅⋅=⇒= −−−−−ηη

Resistente

4)4) FORZE VISCOSEFORZE VISCOSE

126

Dinamica dei sistemiDinamica dei sistemi

Fino ad ora:

Oggetti fisiciOggetti fisici Punti materialiPunti materiali

•I punti materiali sono dotati di proprietà dinamiche ( massa ) ma senza dimensioni

• sistema: tanti punti materiali sistemi discretisistemi continui

• alla cinematica traslazionale:

•è seguita la dinamica traslazionale:

Ma con le rotazioni (o vibrazioni)?

x v a, ,

ϑ ω α, ,

Forza

Nella cinematica:Ma i punti di un corpo:NON SONO TUTTI EQUIVALENTI!NON SONO TUTTI EQUIVALENTI!

Se il corpo non non è rigido:La descrizione del moto La descrizione del moto èè difficilissima!!difficilissima!!

127

Passi seguiti nella descrizione dei sistemi

1. Il punto materiale 2. Sistema discreto3. Sistema continuo

Le leggi fondamentali:consideriamo un sistema di n punti materiali Pi su ognuno dei quali agiscno delle forze. Il risultante delle forze che agiscono sul punto Pi è:

),...2,1( niamf iii ==rr

),...2,1( )()( niamfff iii

ie

ii ==+=rrrv

cosa sono e da chi dipendono?

( )( ) ,....n,),ji(jvrff

nitvrff

jji

ii

i

iie

ie

i

21; ,

),...2,1( ,,)()(

)()(

=≠=

==rrrr

rrrr

limitiamoci al caso(più facile) per cui:

( ) ( ) )n,...,ji,(j dt

rdmrfrf iij

)i(ii

)e(i 212

2

=≠=+r

rrrr

sistema di 3-n equazioni differenziali ......praticamente impossibile da risolvere gipraticamente impossibile da risolvere giàà per n=3per n=3

128

per ciascun punto del sistema possiamo però scrivere:

( ) ( )iiiii

ie

i

iii

ie

i

iii

ei

AKBKWW

pvdtlddtpdff

−=+

∧+=+

=+

Ω

)()(

)()(

)()(

rvr

r

rrr

ττ

1. II Principio della dinamica

2. Eq. del momento angolare

3. Teorema En. Cinetica

non sono indipendenti rispetto alla prima! Se però sommiamo su tutti i punti del sistema otteniamo leequazioni fondamentali della dinamica indipendenti tra loroindipendenti tra loro::

( ) ( ) are scalAKBKWW

vettoriale PvdtLd

vettoriale dtPd

FF

)i()e(

)i()e(

)i()e(

−=+

∧+=Τ+Τ

=+

Ω

rvr

rr

rrr

∑∑∑∑∑

=

=Τ

=Τ

=

=

i

ei

ei

ii

ii

ei

ei

ii

ii

ei

e

WW

fF

fF

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

τ

τrr

rr

r

r

∑ ∑

∑∑∑

==

=

=

=

i iiii

ii

ii

i

ii

i

vmKK

lL

pP

WW

2

)()(

21

rr

rr

dove valgono le seguenti defnizioni:

e l’energia cinetica è definita come semplice somma delle energie cinetiche dei singoli punti del sistema

129

Esempio 38Saino dati due punti materiali di massa m1 e m2. Su ognuno di essi agisca una forza. Siano le due forze uguali in modulo, parallele in direzione ed opposte in verso. Calcolare la forza risultante ed il momento agenti sul sistema.

2m

1m

1fr

2fr

( )∑ =−+=+==i

i fffffR 01121

rrrrrr

Se è nullo il risultante è nullo il momento del risultante delle forze ma........

222111 fr ;frrrrrrr

∧=∧= ττ

Ω 2rr

1rr

221121

2

1frfr

ii

rrrrrrrr∧+∧=+==∑

=

τττΤ

( ) 11211211 frfrrfrfrTrrrrrrrrrr

∧Δ=∧−=∧−∧=

11 bfsenfr =⋅⋅Δ=Τ ϑ

bϑ

• cosa cambia se i punti sono vincolati da un’asta?•e se le coppie sono attrattive e di azione-reazione?• nel caso precedente quanto vale il “lavoro totale “?

rrΔ

Non dipende dalla scelta del polo

130

0;0 )()( =Τ= ii Frr

in un riferimento inerziale e rispetto ad un polo fisso, per un sistema materiale libero le prime due equazioni fondamentali della dinamica diventano:

ma se il sistema materiale è libero abbiamo già visto che per il IIIprincipio:

costanteL costanteP ==rr

;

dtLd

dtPd

F ii

rr

rr

=Τ= )()( ;

il risultante ed il momento risultante delle forze il risultante ed il momento risultante delle forze interne interne sono nulli e la cosa ha validitsono nulli e la cosa ha validitàà generale! generale!

nel caso particolare di 2 punti materiali:

⎩⎨⎧

=+=Τ=+=00

2112)(

2112)(

ττ rrr

rrr

i

i ffF costituiscono una coppia.........a braccio nullo

se il punto materiale Pse il punto materiale P11esercita una certa forza su Pesercita una certa forza su P22, , allora Pallora P22esercita su Pesercita su P11 una forza uguale ed opposta ed una forza uguale ed opposta ed agente sulla stessa retta di applicazione agente sulla stessa retta di applicazione (azione e (azione e reazione reazione èè dimostrato anche matematicamente)dimostrato anche matematicamente)

quindi:

( )0 )()( =Τ= eeFrr

In un sistema di riferimento In un sistema di riferimento inerzialeinerziale, la quantit, la quantitàà di di moto totale ed il momento angolare totale rispetto ad un moto totale ed il momento angolare totale rispetto ad un polo fissopolo fisso di un sistema materiale di un sistema materiale libero libero si conservanosi conservano

( )0=Ωvv

131

Centro di massaCentro di massa

132

In un sistema fisico esiste un punto geometrico privilegiato

Centro di massaCentro di massa

1.1. si muove dello stesso moto di cui si muoverebbe un si muove dello stesso moto di cui si muoverebbe un punto materiale di massa uguale a quella del sistema in punto materiale di massa uguale a quella del sistema in esame e esame e soggetto alle stesse forzesoggetto alle stesse forze

2.2. èè unicounico

proprietà:

caso semplice di due corpi in una dimensione:

21

2211

mmxmxmxcm +

+=

èè una una media pesatamedia pesata

o xx1 x2

m1 m2

d

dove si trova il C.d.M. se:

1. le due masse sono uguali2. l’ origine è preso in uno dei due punti3. le masse sono diverse?

esempio:la distanza tra i centri degli atomi in una molecola di

KBr è 0.282 nm. Se le masse dei 2 atomi sono:Mk= 39.1 u.m.a.Br= 79.9 u.m.a.

trovare la posizione del C.d.M. ed i rapposrti delle distanze dal C.d.M.

;xmxmMx;M

xmxmx cmcm 22112211 +=

+=

∑=

=2

1iiicm xmMx

133

in generale:

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

= === n

ii

n

iii

cmn

ii

n

iii

cmn

ii

n

iii

cm

m

zmz

m

ymy

m

xmx

1

1

1

1

1

1 ; ;

∑∑∑===

===n

iiicm

n

iiicm

n

iiicm zmMzymMyxmMx

111 ; ;

le tre equazioni scalari equivalgono a:

iziyixr iziyixr cmcmcmcmiiii ++=++=rr

∑=

=n

iiicm rm

Mr

1

1 rr La posizione del C.d.M. dipende dal S.d.R. ?(la posizione e non le coordinate!)

Se ho un sistema esteso anzichè un insieme di punti materiali?ΔVi

irr

Δmi

x

y

zM=massa totaleΔVi=elemento di VΔmi=massa dell’elemento di volume ΔVi

=vett. Pos. di ΔVi ρ=densità

irr

Dato che:

134

∑

∑∑∞

=→Δ

==

Δ≅

Δ≅Δ≅

10

11

lim1

1 1

iiiVcm

n

iiicm

n

iiicm

VrM

r

VrM

rmrM

r

ρ

ρ

rr

rrrr

∫= dVrM

rcm ρrr 1

In generale, se la densità è costante:

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

==

==

==

zdmMdm

zdmx

ydmMdm

ydmy

xdmMdm

xdmx

cm

cm

cm

1

1

1

∫= dmrM

rcmrr 1

applicazione: energia potenziale di un corpo esteso

∑=

==⇒=n

icmiiiii MgzzmgUgzmU

1

come un singolo punto materiale!!!!!

nell’ approssimazione di 1 o 2 dimensioni si introducono:

λ(x) = dm/dx = densità lineareM

dx)x(x

dx)x(

dx)x(xxcm

∫∫∫ ==

λ

λ

λ

M

dsy

dxdyyx

dxdyyxyy

M

dsx

dxdyyx

dxdyyxxx cmcm

∫∫∫∫

∫∫ ====

σ

σ

σσ

σ

σ

),(

),(;

),(

),(

σ (x,y)= dm/dS=dm/(dxdy)=densità superficiale

135

moto del centro di massamoto del centro di massa

1. sistemi (discreti) a massa costante

abbiamo visto che: 1∑=

=n

iiicm mrrM rr

se deriviamo rispetto al tempo: PvmvMn

iiicm

rrr== ∑

=

1

se ci riproviamo:dtPdFfamaM

n

ii

n

iiicm

rrrrr==== ∑∑

== 11

cos’è?che forze sono?

( merita una particolare attenzione)

forze interne: e poi?

forze esterne:

1fr

( )eFr

( )eFr

m1

m2

1fr

2fr

molla

forze interne: interazioni interne, forze di contattoforze da fili o molle che collegano icorpi del sistema

forze esterne: da agenti esterni al sistema

( )∑ += .. estin ffFrrr

Abiamo visto che la loro risultante è nulla

2fr

136

N.B.Il C.d.M. di un sistema ( di particelle ) si muove come se tutta la massa fosse concentrata nel C.d.M. ( punto materiale di massa uguale alla massa totale del sistema) e tutte le forze ( il risultante delle forze esterne applicate ) fossero applicate a quel punto (approssimazione del punto materiale).

• la definizione è indipendente dal sistema di riferimento• adesso i corpi sono insiemi di insiemi di puntipunti materialimateriali• il moto del C.d.M. è traslatorio• il moto del C.d.M. ci permette di descrivere

il moto traslatorio di un corpo o sistema che, per esempio,può contemporaneamente ruotare e/o vibrare

riassumiamo le cose fondamentali:

cm

n

iest,i

n

iiicm

n

iiicm

n

iiicm

aMdtPdf

dtPdamaM

PvmvM

;rmrM

rr

r

rrr

rrr

rr

==

==

==

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

1

1

1

1

il centro di massa di un sistema di particelle si muove come una singola particella di massa Mtotsotto l’ influenza della risultante delle forze esterne al sistema

137


?= 1.11618

63 28

16 16

18168 8614

2

22

ϑ

ϑϑ

−==

⎪⎩

⎪⎨⎧

°====

=+==−=

msa

tgNf

NfNf

cm

y

x

( )

( )

x m

y m

cm

cm

=⋅ + ⋅ − + ⋅

=

=⋅ + ⋅ + ⋅ −

=

8 4 4 2 4 116

18

8 1 4 2 4 316

0 25

.

.

m1=8Kg

F1=16N

F2=14N

m2=4Kg

F3=6N

m3=4Kg

y

1

2

-2

-3

x4

Centro di massa

fr

∑=

==3,1

16i

itot KgmM

138

Abbiamo visto che per un sistema di punti materiali:

r rP Mvcm=r rF Maest cm=

Derivano rispetto al tempo:

dPdt

M ddt

v Ma Fcm cm est

rr r r

= = =

E’ l’estensione del caso del singolo punto materiale.L’annullarsi della risultante delle forze esterne conduce ad una estensione del principio di conservazione della Q.d.M.

dPdt

P tr

r= ⇒ =0 cos .

• La Q.d.M. dipende dal S.d.R. ma non la sua conservazione.

• Solo forze esterne possono variare la Q.d.M.

• Le fint. variano le singole pi ma non la Ptot

Abbiamo detto che: ∑ ∑ ===i i

iiicm PpvmvMrrrr

nella:

PvdtLdie

rvr

rr∧+=Τ+Τ Ω

)()(

⎩⎨⎧

≡Ω== Ω

..00 mc

vr

139

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=Τ

=

dtLddtPd

F

e

e

rr

rr

)(

)(

Per il III principio della dinamica (forze interne=coppie azione-reazione), e supponendo che il polo sia fisso o coincidente con il C.d.M. :

EQUAZIONI CARDINALI DELLA EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA DEI SISTEMIDINAMICA DEI SISTEMI

1. sono semplici2. non compaiono le forze interne3. non danno informazioni sui singoli punti

del sistema ( tranne che per i corpi rigidi)4. danno informazioni cinematiche se sono

note le condizioni dinamiche o viceversa5. bisogna sempre riuscire a:

1. calcolare il risultante ed il momento risultante di sistemi di forze

2. esplicitare analiticamente le relazioni tra i due membri delle eq. cardinali


140

ωω

ω

rrr

rrrrrrr

r

2

221121

22ˆ2

mdaddmadmvL

vmdvmdllL

dv ii

===

∧+∧=+=

=

qualcosa di piqualcosa di piùù sul momento angolaresul momento angolarein casi particolarmente semplici

considerando il polo nell’ origine O

ωrr

kL =

se vogliamo variare ω dobbiamo agire sul momento angolare e per la seconda equazione cardinale della dinamica:

00 ≠Τ⇒≠ )e(

dtLd rr

nell’ ipotesi che il polo sia fisso e coincida con il C.d.M. del sistema 0=⇒ )e(Fr

1. se vogliamo variare il modulo di ω :

2. se vogliamo variare la direzione di ω:

L L dtLd e

rrrr

)(Τ⇒

dtLdr

Lr

)(eΤr a

a ˆωω =r

a

od1

d2

)(eΤr

x

y

z

1fr

2fr

a ˆωω =r

a

od1

d2

x

y

z

)(eΤr

1fr

2fr

d2

risultante delleforze estere nullo

141

se il sistema è libero: costanteLe =⇒=Τrr

0)(

a ˆωω =r

a

od’1

d’2

Lr

x

y

z

od1

d2

e dato che: ωrr

22mdL =

costante=ω costante=ω

a meno degli attriti e se lageometria resta costante

ATTENZIONE!!!

le forze interne possono cambiare la geometria:le forze interne possono cambiare la geometria:

supponiamo di variare la distanza dei due punti materiali

''2'2

' 2 ωrr

mdLdd =⇒=

ma hanno agito solo forze interne: LLdtLd rrr

=⇒= '0

2

'' ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ddωω

rrωωrr 22' 2'2 mdmd =

ω22mdL =

142

Ancora un’ applicazione sul momento angolare:

oθθ

P1,m

P2,m

1vr

2vr

n

aωω =r

a

( ) 0costantet ≠==θθθcosd

dr

r

θcosdr =

θω cos21 dvv ==rr

i vettori velocità sono normali al piano dellasbarra e dell’asse di rotazione ma:

222111

2121

vmdl;vmdlvvv;dddrrrrrrrrrrrr

∧=∧==−==−=

21, llrr

sono paralleli,concordi ed uguali

P1,m

P2,m

1dr

2dr

1lr2

lr

aωω =r

( ) θωθω cosmdcosdmddmvl

vmdvmdll

2

22111

===

∧=∧==rrrrr

( )[ ]n nmdL ωrr

⋅= 22⇒=+= n mdllL ˆcos2 221 θωrrr

1. se θ=0 ritroviamo il risultato precedente2. se ω=cost. ⇒ =cost. ma non è cost. se θ ≠0 L

rLr

00 )( ≠Τ⇒≠ e

dtLd rr

e il moto si può mantenere e il moto si può mantenere solo se si applicano forze solo se si applicano forze esterne con momento non esterne con momento non nullo!!!!!!nullo!!!!!!

143

se scomponiamo la seconda equazione cardinale del moto nelle due componenti normale e parallela all’ asse di rotazione:

Lr

pLr

nLr

θ

o

ωr

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=Τ

=Τ

dtLddtLd

nen

pep

rr

rr

)(

)(

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≠Τ⇒≠⇒≠

=Τ⇒=⇒=

00

00

)(

)(

en

nn

ep

pp

dtLdcostanteL

dtLd

costanteLr

rr

rr

rnessua coppia motrice per mantenere il movimento

si manifesta una coppia motrice

ωr

)(en

n

dtLd

Τ=r

r

nLr

1fr

2fr

cosa succede se all’ istante t=t0si elimina il vincolo?

0;0)( ==ΤdtLde

rr

tt ostantectLtL 00 )()( >∀==rr

( ) ( ) θωω cos2''2 200

2 mdtLttLmd ==>=rr

θωω cos'= θωω cos'=

E vediamo che:

Il nuovo asse si chiama: Il nuovo asse si chiama: asse libero di rotazioneasse libero di rotazione

144

dinamica dei sistemi:dinamica dei sistemi:Energia CineticaEnergia Cinetica

dato un sistemma di n punti materiali ciascuno di massa m e velocità v:

2

21

iii vmk = ∑=

=n

iiivmK

1

2

21

2

21

cmvMK r= ma e’ vero?????=

=cmv

Mr massa totalevelocità del C.d.M

( )( )cmcmcm zyxO

O,,'

0,0,0≡≡

sappiamo che:

≡=dtrdv cm

cm

rr

chiamiamo:

O' sistema nel delle velocità: O sistema nel delle velocità

21

21

in

in

muuumvvv

rrr

rrr

.....,:,.....,

,

velocità del centro di massa

o

x

y

z

x’

o’ y’

z’

mi

cmrr

145

cmiiii vvurOOr rrrrr−=+=

→

''

Se sostituiamo nell’ espressione dell’ energia cinetica:

∑=

+=n

icmii MvumK

1

22

21

21

Energia cinetica interna (moto “attorno” al centro di massa)

Energia cinetica del moto del centro di massa

Si enuncia così il:

TEOREMA DI KOENIGTEOREMA DI KOENIG

In un sistema di riferimento inerziale qualunque, In un sistema di riferimento inerziale qualunque, ll’’energia cinetica di un sistema S può essere espressa energia cinetica di un sistema S può essere espressa come somma dellcome somma dell’’ energia cinetica che il sitema energia cinetica che il sitema avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro di massa, pisuo centro di massa, piùù ll’’ energia cinetica che il energia cinetica che il sitema ha rispetto ad un sistema di riferimento con sitema ha rispetto ad un sistema di riferimento con origine nel centro di massa ed orientamento fissoorigine nel centro di massa ed orientamento fisso

dtOO

dtrdv cm

cm'

==r

ro’

cmrr

icmiii uvvrOOr rrrrr+=+=

→

''

o

xy

z

im

iy

ix

iz

146

Momento di inerziaMomento di inerzia

Dato un sistema rigido e discreto con moto di pura rotazione attorno ad un asse fisso, per la sua energia cinetica si può scrivere:

( )2233

222

2112

1nnvm........vmvmvmK +++=

( ) 22233

222

2112

1 ωnnrm........rmrmrmK +++=

2

1

2

21 ω⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑

=

n

iiirmK

inerziadimomentoI =

•Dimensioni?

•Unità di misura?

E se il sistema è continuo?

[ ] [ ][ ]2LMI =

2mKg ⋅

2

21 mvK =

147

Corpo rigidoCorpo rigido• Sistema di particelle per le quali di,j=cost.• sistema indeformabile• il suo moto non è influenzato dalle forze interne• il suo moto è governato dalle “equazioni cardinali”

• quale condizione di equilibrio?

dtLd

dtPdF )e()e(

rr

rr

=Τ= moto delcentro di massa

moti rotazionali

Condizione necessaria e sufficiente perchCondizione necessaria e sufficiente perchèè una una posizione sia di equilibrio stabile posizione sia di equilibrio stabile èè che in tale che in tale posizione siano nulli:posizione siano nulli:

)e()e(F Τrr

Consideriamo un corpo rigido in moto di purarotazione attorno ad un asse fisso passante per il C.d.M. sempre parallelo a se stesso con ω =cost. Supponiamo il sistema simmetrico Supponiamo il sistema simmetrico rispetto ad un piano qualunque per l’asse di rotazione

Per il moto, cominciamo dalle cose semplici

148

1111 ndmhrvdmrld ω=∧=rrr


le componenti parallele all’ asse c:

( ) ( )2

21

hdmhrsendm coshr dmdldl ||||

ωαωβω

====

le componenti ortogonali all’ asse c hanno somma nulla per cui:

( ) ( )[ ] ( ) cdmhdmhcdldlldld |||| ω222121 +=+=+

rr

( ) ωωrrr

ci

iii

i IchdmldL === ∑∑ 2

( ) 2 ωωrr

ctot IcdmhL == ∫

∫= dmhIc2 si chiama: momento di inerziamomento di inerzia

CdM

1rr

2rr

hhP1 P2

222 ndlld =r

111 ndlld =r

ωr

c

β

α

dm dm

αωωω

siniii

i

rdv ==

= costante

Nell’ ipotesi di corpo rigido simmetrico:

β

Completando la somma nell’ approssimazione di un sistema discreto:

Completando la somma per un sistema continuo:

βα −= 90

149

∫∑ =Δ==

→ΔdmrmrI i

n

im

2

1

210

lim

151

Teorema di Huygens SteinerTeorema di Huygens Steinero del trasportoo del trasporto

Dato un sistema di massa M, il suo momento di inerzia rispetto ad un qualunque asse fisso, in un sitema di riferimento inerziale e quello rispetto ad un asse ad esso parallelo passante per il centro di massa, stanno nella seguente relazione: 2MhII cm +=

assi degli distanzahsistema del massaM

MdC al rispetto inerzia d momentoIasseall rispetto inerzia di momentoI

cm

==

≡≡

...''

cmx

22 bah +=posizione di mi:

•rispetto a C (xcm,ycm):

• rispetto a P:

222, iici yxr +=

( ) ( )222 byaxr iipi −+−=,

( ) ( )[ ]∑∑ −+−==i

iiii

iiP byaxmrmI 222

( ) ( )∑∑∑ ∑ ++−−+=i

ii

iii i

iiiiiP mbaymbxmayxmI 2222 22

Sono nulli. PerchSono nulli. Perchèè??

Consideriamo due assiparalleli per C (xcm,ycm)e P (xcm+a,ycm+b): :

( ) 2222 MhIMhyxmI cmi

iiiP +=++=∑

o

cmy

y

x

ah b

( )cmcm y,xC

im

ix

iy

( )by,axp cmcm ++

152

Altro modo interessante:

.rel,ccm EMvK += 2

21 2

21 ωcmI=

222

21

21 hMMvhv cmcm ωω =⇒==

222

21

21 ωω cmIhMK +=

( ) 22

21 ω IMh K cm+=

Nuovo momento di inerziaNuovo momento di inerzia

cmθ

θcmv

h

153

Avevamo già visto che se la velocità angolare è costante:

costanteLc =r

0=dtLd c

r

0=Τ )e(r

C è fisso

0=dtPdr

0=)e(Fr

1.1. Il corpo può ruotare senza che sia necessaria lIl corpo può ruotare senza che sia necessaria l’’azione di forze o di momenti esterni. Un asse azione di forze o di momenti esterni. Un asse che ha questa proprietche ha questa proprietàà si chiama:si chiama:

asse libero di rotazione o asse centrale dasse libero di rotazione o asse centrale d’’ inerziainerzia

2.2. se un asse se un asse èè di simmetria per un corpo di simmetria per un corpo èè anche anche un asse centrale di inerziaun asse centrale di inerzia

( ) cI c dmhL ctot ωω == ∫ 2r

Avevamo visto che:Avevamo visto che:

154



le componenti parallele all’ asse c:

( ) ( )2

21

hdmhrsendm coshr dmdldl ||||

ωαωβω

====

le componenti ortogonali all’ asse c hanno somma nulla per cui:

( ) ( )[ ] ( ) cdmhdmhcdldlldld |||| ω222121 +=+=+

rr

( ) ωωrrr

ci

iii

i IchdmldL === ∑∑ 2

( ) 2 ωωrr

ctot IcdmhL == ∫

∫= dmhIc2 si chiama: momento di inerziamomento di inerzia

CdM

1rr

2rr

hhP1 P2

222 ndlld =r

111 ndlld =r

ωr

c

β

α

dm dm

αωωω

sincostante

iii

i

rdv ===

e se il nostro corpo rigido è “asimmetrico”?

β

Completando la somma nell’ approssimazione di un sistema discreto:

Completando la somma per un sistema continuo:

0m

155

CdM

0rv

ωr

c

Rendiamo il nostro corpo rigido “asimmetrico”:

vmrLlLL tottottot 0000vvvvvr

∧+=+='

Il nuovo momento angolare totale:

ˆ0000' nhmrLL tottot ω+=

vr

0'

≠dtLd tot

r

'totLr

Ltot

v

0lv

1. Deve agire sul sistema un momento non nullo

2. C non è un asse libero di rotazione

'totLr '

, ptotLr

o

ωr

',ntotL

r( ) cnhmrcIcLL totptot ˆ ˆˆˆ 00000

'', ⋅+=⋅= ωω

vr

αωω sinrhmIL ptot 0000 +=',

r

α

( ) ωωωω '0

2000

2000

', IhmIhmIL ptot =+=+=

r

Momento di inerzia rispetto all’ asse C del nuovo sistema. Il prodotto del momento di

inerzia per ω vale la proiezione del Momento angolare sull’ asse di rotazione

',

',

ntotntot L

dtLd rr

∧=ω

Formula di Poisson!Questo rende necessaria l’ azione di un momento....dei vincoli del sistema

0m

versore ortogonale a r0

156

Riassumiamo la situazione generale:1. ogni sistema rigido ha assi centrali di inerzia. Questi

passano per il centro di massa e per rotazioni attornoa tali assi il momento angolare del sistema è paralleloall’ asse di rotazione.

2. In generale ogni sistema ammette tre assi centrali di inerzia tra loro ortogonali:

3. se un sistema ruota attorno ad un asse centrale di inerzia il suo momento angolare è parallelo a quell’ asse:

4. se un sistema ruota attorno ad un asse qualunque:

w,v,u

ωωrr

uuu IuIL =⋅=

ωc|| IL = proiezione del momento angolare sull’ asse di rotazione

c

Quindi se e solo se un sistema ruota attorno ad un asse di simmetria del sistema stesso:

ωvv

IL =⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

zz

yy

xx

IL

ILIL

ω

ωω

I vettori L e ω sonocollineari

In generale abbiamo visto che non lo sono!!!!

157

Rispetto ad un polo O, il momento angolare vale:

( )∑∑∑ ∧∧=∧==i

iiii

iiii

i rmrvmrlL vvvvvvω

Ricordando che: ( )CBADrrrr

××= ( ) ( )CBABCArrrrrr

⋅−⋅=kji zyxˆˆˆ ωωωω ++=v

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

++=

++=

zzzyzyxzxz

zyzyyyxyxy

zxzyxyxxxx

IIIL

IIIL

IIIL

ωωω

ωωω

ωωω

zxxzyxxyxyyz IIIIII === ;;

( )( )( )∑

∑

∑

+=

+=

+=

iiiizz

iiiiyy

iiiixx

yxmI

zxmI

zymI

22

22

22

∑

∑

∑

=

=

=

iiiizx

iiiiyz

iiiixy

xzmI

zymI

yxmI

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

IIIIIIIII

−−−−−−

Matrice di inerziaMatrice di inerzia

Momenti di di inerziaMomenti di di inerziaRispetto agli assi x,y,zRispetto agli assi x,y,z

Prodotti di di inerziaProdotti di di inerzia

Ma facciamo un passo indietro

158

Rispetto ad un polo O, il momento angolare vale:

( )∑∑∑ ∧∧=∧==i

iiii

iiii

i rmrvmrlL vvvvvvω

Ricordando che: ( )CBADrrrr

××= ( ) ( )CBABCArrrrrr

⋅−⋅=kji zyxˆˆˆ ωωωω ++=v

( ) ( ) iii

iii

ii rmrmrrL vvvvvvv∑∑ ⋅−⋅= ωω

( ) ( ) iii

zizyiyxixii

iyiyix rmrrrmrrrL vvv∑∑ ⋅+⋅+⋅−++= ωωωω ,,,,,,

222

∑∑∑

∑∑∑−−−

−++=

iiiziz

iiiyiy

iiixix

iiiz

iiiy

iiix

rmrrmrrmr

mrmrmrL

vvv

vvvv

ωωω

ωωω

,,,

,,,222

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

−−−

−−−

−−−

++

++

++

iiizi

iiizi

iiizi

iiiyi

iiiyi

iiiyi

iiixi

iiixi

iiixi

izii

iyiix

iii

iziiy

iii

ixii

izii

iyii

ixii

kzmzjymzixmz

zmyjymyixmy

kzmxjymxixmx

kmzjmzimz

kmyjmyimy

kmxjmximx

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ωωω

ωωω

ωωω

ωωω

ωωω

ωωω

222

222

222

159

( )( )

( )∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

++−−

−++−

+++

iziii

iyiii

ixiii

iziii

iyiii

ixiii

iziii

iyiii

ixiii

kyxmkzymkzxm

jyzmjzxmjyxm

ixzmiyxmizym

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ωωω

ωωω

ωωω

22

22

22

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−−=

−−=

zzzyzyxzxz

zyzyyyxyxy

zxzyxyxxxx

IIIL

IIIL

IIIL

ωωω

ωωω

ωωω

160

Dato un corpo rigido qualunque:

x

y

z

iPiR

uO

kjiu ˆ ˆ ˆ γβα ++=v

kzjyixOPr iiiiiˆˆˆ ++==

→viiii rusenrR v∧== ˆϑ

=uv Versore asse di rotazione

( )22 ˆ iiiii rumRmI v∧==

( ) ( ) ( )kxyjzxiyzru iiiiiiiˆˆˆˆ βααγγβ −+−+−=∧ v

γαβγαβγβα zxyzxyzzyyxx IIIIIII 222222 −−−++=

Coseni direttori dell’ asse di rotazione

161

Caso utile:Caso utile:per un punto la cui distanza dallper un punto la cui distanza dall’’ asse valga:asse valga:

IIY

IX γβα ;; ==

Id 1=

ZXIYZIXYIZIYIXI zxyzxyzzyyxx 2221 222 −−−++=

si stabilisce la condizione cui soddisfano le coordinate dei punti che distano 1/I1/2 dall’origine I= momento di inerzia del corpo rigido che ruota attorno ad un asse per O e PIl luogo dei punti con quella proprietà si chiama “elissoinde di inerzia del corpo rigido relativo al elissoinde di inerzia del corpo rigido relativo al polo Opolo O”Vale per qualunque distribuzione di massa

Teorema di Poinsot:Fissati un polo O e tre assi cartesiani con Fissati un polo O e tre assi cartesiani con centro in O, si calcola lcentro in O, si calcola l’’ eq. delleq. dell’’elissoide elissoide tramite gli Itramite gli Iijij. Dato un generico asse di . Dato un generico asse di rotazione per O e per un generico punto P rotazione per O e per un generico punto P sullsull’’asse e sullasse e sull’’ elissoide, la sua distanza elissoide, la sua distanza da O vale 1/Ida O vale 1/I1/21/2 si può calcolare il si può calcolare il momento dmomento d’’inerzia del corpo rispetto a inerzia del corpo rispetto a quellquell’’ asse. Dato che si può sempre asse. Dato che si può sempre calcolare lcalcolare l’’ elissoide delissoide d’’inerzia, si può inerzia, si può calcolacalcolaììre I rispetta a qualunque asse di re I rispetta a qualunque asse di rotazionerotazione

x

y

z

iP

O

a

b

cba ,, assi dell’ elissoide

c

162

kIjIiIL zzyyxxˆˆˆ ωωω ++=

v

Se come assi solidali al corpo rigido si prendono gliassi principali dell’ elissoide:

1222 =++ ZIYIXI zyx

zyx III ;; Momenti principali dMomenti principali d’’ inerziainerzia

cba ;; Assi principali dAssi principali d’’ inerziainerzia

zyx III1;1;1 Lunghezza semiLunghezza semi--assi assi

DellDell’’ elissoideelissoide

Se si scelgono come assi quelli principali d’inerzia e L’ origine come polo:

Ma se si sceglie come asse di rotazione uno degli assi principali d’ inerzia: ωv

vIL =

( )222

21

zzyyxxk IIIE ωωω ++=

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⋅=

z

z

y

y

x

xk I

LIL

ILLE

222

21

21 vvω

E se lE se l’’ asse di rotazione asse di rotazione èè principale dprincipale d’’inerzia:inerzia:

ILIEk 22

1 22 == ω

163

Corrispondenza formale tra il moto rettilineoCorrispondenza formale tra il moto rettilineoe quello circolaree quello circolare

1. Spostamento

2. Velocità

3. Accel.

4. Massa

5. Forza

6. Lavoro

7. En. Cin.

8. Potenza

9. Q. di moto

rv

dtrdvv

v =

2

2

dtrdav

v =

m

amF vv=

sdFW vv∫ ⋅=

2

21 mvEk =

vFP vv⋅=

vmQ v=

Moto rettilineo Moto circolare

ϑk

dtd ˆϑω =v

ndtd ˆ2

2ϑα =v

Iατ vv I=

ϑϑτ ˆdW ∫ ⋅= v

2

21 ωIEk =

kP ˆωτ ⋅= v

kIl ˆω=v

1. Spostamento

2. Velocità

3. Accel.

4. Mom Inerzia

5. Mom.Forza

6. Lavoro

7. En. Cin.

8. Potenza

9. Mom.Angolare

164


o x

y

z

rω

rvrrrL

ϕ = °90

m

Quanto vale il momento angolare di un punto materiale in moto circolare uniforme con velocità angolare cost.su una traiettoria di raggio r?

r r r r r r

r r r

r r

L r p r mv rmvsin k

L rmvk mr k

L mr

= ∧ = ∧ =

= =

=

902

2

ω

ωr rL I= ω

N.B.

Se l’ unica forza che agisce è quella centripeta diretta verso l’origine, non vi sarà momento motore.Il momento angolarerimane costante così come la velocità angolare.

165


m1

m2

v1

v2

C.M.r1

r2r r r

r r rL m r v

L m r v2 2 2 2

1 1 1 1

= ∧

= ∧

rω

( )( )( )

r r r r r r r

r

r

r

L L L r m v r m v

L rm v r m v k

L r m r m k

L r m r m k

= + = ∧ + ∧

= +

= +

= +

1 2 1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

12

1 22

2

12

1 22

2

$

$ω ω

ωr vL I= ω

N.B.Per un sistema a molti corpi (continuo):

( )r r r rL mrv k mr r k Ii i i

ii i i

i= = =∑ ∑ ω ω

166

Moto rototraslatorioRotolamento senza strisciamento

P

c

•Generatrice per P: asse di istantanea rotazione•Tutti i punti ruotano con la stessa ω•Moto equivalente a pura rotazione attorno ad unasse fisso passante per P( in ogni istante)

( ) 222

21

21 ωω MRIIK cmpp +==

22

21

21

cmcmp MvIK += ω

167

P

o cmv

cmv2Q

P

o

cmvQ

cmv

cmv P

o

Rv ω=Q

Rv ω=

P

o

cmv2Q

cmv

+ =

Puro strisciamento + pura rotazione =

Rotolamento senza strisciamento

168

Esempio Esempio 4545Un cilindro di massa M e raggio R rotola su di un piano inclinatoSenza strisciare. Trovare la velocità del centro di massa quando il cilindro arriva in fondo.

h

R s

ϑ

22

21

21 MvIMgh cm += ω

2

21 MRIcm =

Rv

=ω

222

2

43

21

21

21 MvMv

RvMRMgh =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ghv34

= Ma se avesse strisciato :(quindi senza attrito)

ghv 2=PerchPerchèè??

Se rotola esistono forze di attrito: perchè si puòapplicare la conservazione dell’ energia?

169

Rispetto ad un asse parallelo NON passanteper C.d.M. ma per un punto diverso ( O’)

ωωω 2'

2'

MhII

MhII

CM

CM

+=

+=

CMCMCM vMrLL rrrr∧+=

Il momento angolare rispetto ad un punto qualsiasi o’ è la somma del momento angolare rispetto al centro di massa del sistema e del momento angolare associato al moto del C.d.M.intorno al punto o’

Il momento angolare di un corpo rispetto alsuo centro di massa è detto anche:

SPINSPIN

Modulo del M.A. Rispetto al C.d.M

o'orcm =r

Modulo del M.A. Rispetto all’ asse per O’

CMvr

o'oh

CMrv

ωv

Lv

170

backup slides

171


Un bambino salta su una giostra inizialmenteferma, imperniata attorno ad un asse privo di attrito.Come reagisce il sistema? Quale è la velocità angolare finale del sistema?

Possiamo applicare la conservazione:• dell’ energia?• della quantità di moto?

( )( )

prima L r mv mv rk

dopo L mv rk I k

L mr r I k

L mr I k

iniz iniz iniz

fin fin

fin

fin

:

:. . .

. .

.

.

r r r r

r r r

r r

r r

= ∧ =

= +

= +

= +

ω

ω ω

ω2

( )ma : . .

.

r r

r rL L

mr I k mv rkfin iniz

iniz

=

+ =2 ω

ω =+

mv rmr I

iniz .2

172

amFF cBCUCrrr

=+ amFF cBCUC =−⇒

quindi in generale:

BCUC FFrr

≠

Sono uguali solo se:• a=0 condizioni statiche (la fune trasmette la forza inalterata)• mc=0 massa della fune trascurabile

Se mc=0 ( approssimazione!) la forza è costante in ciascun punto della fune generalmente viene chiamata: tensione

Mb

Mb

Mb

Nel caso (b) e sulla corda ( di massa mc):

0

0

=+

=+

BCCB

CUUC

FF

FF

rr

rr

Non costituiscono un sistema azione-reazione

0=ar

0≠ar

173

se la massa del sistema non è costante:

amvdtdmF rrr

+= Ma attenzione: vale sono in un Ma attenzione: vale sono in un Particolare S.d.R.!!!!!Particolare S.d.R.!!!!!

Infatti:Consideriamo un razzo a propellente.Il suo moto derivadall’ espulsione dei gas combusti.Quantità di moto del razzo: ( ) ( ) ( )tVtMtP

vv=

Massa e velocità del razzo al tempo t

Dopo un tempo Δt la massa Δm è stata espulsa ( gas combusti)

Velocità media dei gas combusti rispetto ad unsistema “fisso”

vv

Dopo un tempo Δt per il sistema “razzo + gas combusti”):

( ) ( )( ) ( ) vmttVmtMttP vvvΔ+Δ+Δ−=Δ+

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tVtMvmttVmtMtPttPPvvvvvv

−Δ+Δ+Δ−=−Δ+=Δ

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]ttVvmtVttVtMP Δ+−Δ+−Δ+=Δvvvvv

( ) ( )Vvdtdm

dtVdtM

dtPd vv

vv

−+= Ma:dt

dMdtdm

−=

( ) ( ) .estFvVdt

dMdtVdtM

dtPd vvv

vv

=−+=

174

Una pallina di massa m=10g colpisce un ostacolo piano con velocità v=10ms-1 come in figura

rv1

rv245° 45°

x

y

Se il tempo di contattoè Δt=0.01s qual’è la forzamedia esercitata sullapallina?

⎩⎨⎧

°⋅−=°⋅=

⎩⎨⎧

°⋅−=°⋅−=

4545

4545

2

2

1

1sinvv

cosvv sinvvcosvv

y

x

y

x

L’impulso della forzaesercitata dalla parete è normale alla parete!Ma:

( )( ) ( )

I f t dt

It

f t dtt

ft

f t dt

mvt

N

t

t

t

t

t

t

12 1

2

12 1

2

1

21

2 45 14

=

= ⇒ = =

=°=

∫

∫ ∫Δ Δ Δ

Δ cos

Esempio 21

⎩⎨⎧

=−=°=−=

045cos2

1212

1212

yyy

xxx

mvmvImvmvmvI

1212 vmvmI rrr−= proiettata sugli assi:

175

o y

x

zrv0

α = °30

h0=8m

Con le condizioni iniziali:

( )( )( )

( )( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

======

⎪⎩

⎪⎨⎧

======

αα

sinvvvcosvvv

vv

zzyyxx

zz

yy

xx

00

00

0

0

0

0

00

00

800000

aa a

x

y

z

== ⇒

= −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

00

g⇒=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−===

01

1

1t

cgtv cv

cv

zz

yy

xxvv vv gt v sin

x

y

z

==

=− +

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0

0

0

cosαα

Integrando ancora:

( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−=

+=

=

z

y

x

ctsinvgtz

ctcosvy

cx

202

20

2

21 α

α ( )

( )

xy v t

z gt v sin t z

=

=

=− + +

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

0

12

0

20 0

cosα

α

Per calcolare l’ integrale di linea bisogna specificare il percorso lungo il quale si sposta il punto materiale per andare da A a B. Come si esprime in termini matematici?

Vediamo un vecchio esempio:Vediamo un vecchio esempio:

176

E possiamo ricavare l’equazione della traiettoria:

( ) ( ) 0220

2

21 zytan

cosvygyz ++−= α

α

In generale la si può rappresentare in forma parametrica:

0220

;;cos2

zctgbv

ga ==−= αα( )⎩

⎨⎧

++=

=

cbyayyzx

2

0

Del tipo:

Dove:

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

)()()(

hzzhyyhxx

Nel caso del moto del proiettile,assumendo come parametro y=he definite le costanti a e b⎪⎩

⎪⎨⎧

++======

02)(

)(0)(

zbhahhzzhhyy

hxx

Un volta note le leggi della forza ( campo di forza in cui si muove il punto) e l’ equazione parametrica della traiettoria che specifica il percorso del punto nel campo, si può calcolare il lavoro delle forze del campo, sostituendo le equazioni parametriche della traiettoria nell’ integrale di linea del lavoro.

x Ry Rsinz

===

⎧

⎨⎪

⎩⎪

cosϕϕ

0

( )( )( )

x x h R

y y h R

z z h

= =

= =

= =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

cosh

senh

0

Infatti, per il moto circolare abbiamo fatto:

177


⎪⎩

⎪⎨⎧

==

+=

cyfbyf

zaxf

z

y

xa,b,c costanti note

Calcolare il lavoro compiuto dalle forze delcampo se il punto si sposta da O(0,0,0) aP(0,1,1) lungo la traiettoria indicata in figura.

( )( )∫∫

+++=

⋅=P

O

P

OOP

cydzbydydxzax

sdfW rr

ox

y

z

p

1

1

sono noti la legge della forza e la traiettoria(che mettiamo in forma parametrica):Un punto materiale si muove in una regionedi spazio in cui agisce un campo di forze:

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

)h(zz)h(yy)h(xx

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

dhdzdhdy

dx

hzhy

x

00

178

( )L bhdh chdhop = + +∫ 00

1

( ) ( ) = + ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= +b c h b c12

12

2

0

1

Quanto vale il lavoro nello stesso campo di forze perun punto che si muove nel piano yz con traiettoria z=y2?

xy hz h

==

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0

2

dxdy dhdz hdh

===

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0

2

E per l’integrale di linea ( lavoro ) si ha:

( )L bhdh ch hdh

bh c h b c

op

t= + +

= +⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥= +

∫ 0 2

12

23

12

23

0

23

0

1

Ed è chiara la dipendenza dal punto iniziale A, dal punto finale B e dal percorso

ox

y

z

p

1

1

179

IInntteerrlluuddiioo mmaatteemmaattiiccooData che sia una funzione di più variabili:

V V x y z= ( , , ) Come ad esempio:( )V x y z ax bxyz y z, , = + +2 2 2

Si definiscono:

Per le quali vale il teorema di Schwartz:

derivate parziali prime:

derivate parziali seconde:

derivate parziali miste:

.cos.cos.cos

;;tyxtzxtzy z

VyV

xV

======

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

.cos2

2

.cos2

2

.cos2

2

;;tyxtzxtzy z

VyV

xV

======⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

2 2 2Vx y

Vy z

Vx z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

; ;

∂∂ ∂

∂∂ ∂

2 2Vx y

Vy x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ijji xxV

xxV

∂∂∂

∂∂∂ 22

180

definiamo il differenzialedefiniamo il differenziale totaletotale:

( )dV x y z Vx

dx Vy

dy Vz

dz, , = + +∂∂

∂∂

∂∂

Sappiamo cheSappiamo che:

L f dx f dy f dza b a

b

, = + +∫ 1 2 3123Forma differenziale lineareForma differenziale lineare

Quando il lavoro dipende solo dagli estremi?

quando la F.D.L. è tale che:

( )

( )

( )

( ) :con z,y,xVV

zVz,y,xfyVz,y,xfxVz,y,xf

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

∂∂∂∂∂∂

3

2

1

Deve cioè essere il differenziale di una funzione delle coordinate. Quando questo succede la F.D.L. si dice che è un:

differenziale esattodifferenziale esatto

( )( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

===

hzzhyyhxx

Con:

( )∫ −=b

a ab VVzyxdV ,, e dipende solodagli estremi

181

Infatti quando questo si verifica si ha che:

( )

( ) ( )∫

∫∫

−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=++

b

a

b

a

b

a

aVbVdV

dzzVdy

yVdx

xV

dzfdyfdxf

∂∂

∂∂

∂∂

321

Questo non è sempre vero per una f generica.Date tre funzioni qualunque:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

fy

fx

fz

fx

fz

fy

1 2 1 3 2 3= = =; ;

( ) ( ) ( )z,y,xf,z,y,xf,z,y,xf 321

( ) ( ) ( )zVz,y,xf;

yVz,y,xf;

xVz,y,xf

∂∂

∂∂

∂∂

=== 321

Non sempre verificano le:

derivando la prima rispetto a y e la seconda rispetto a x:

yxV

xf;

xyV

yf

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂ 2

22

1 == Poi facendo lo stesso per le altre

182

( ) ( ) ( )z,y,xff;z,y,xff;z,y,xff zzyyxx ===

C.N.S. perché il campo sia conservativo è che:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

fy

fx

fz

fx

fz

fy

x y x z y z= = =; ;

Per un campo di forze conservativoconservativo:

• problema diretto: dato V(x,y,z)

• problema inverso: data la legge della forza:trovare:

f Vx

f Vy

f Vzx y z= = =

∂∂

∂∂

∂∂

; ;

( ) ( ) ( )( )∫ +++=

zyxp

a aaazyx zyxVdzfdyfdxfxyxV,,

,,,,

....a meno di una costante

RIASSUMENDO: sia dato un campo di forze:

Quindi, in questo caso:1. Il lavoro dipende solo dagli estremi2. Il lavoro su un percorso chiuso è nullo

0=⋅∫ rdf rrla circolazionecircolazione di è nullaf

r

183

Esempio 25Esempio 251) Verificare se il campo di forze dato è conservativo:

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

+=

cyFbyF

bzaxF

z

y

x

2) Verificare sotto quali condizioni il campo di forze datoè conservativo

⎪⎩

⎪⎨⎧

+==

+=

czdxFcxF

byaxF

z

y

x

3) Calcolare il potenziale in del campo di forze:

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

+=

bzfbxf

byaxf

z

y

x

Ao ≡x

y

z

=++∫P

o zyx dzfdyfdxf

B C

=+++

++++++

∫∫∫

P

C zyx

C

B zyx

B

O zyx

dzfdyfdxf

dzfdyfdxfdzfdyfdxf

( )z.y,xP

( )z.y,xP

)0,0,(: xAB)0,,(: yxBC

),,(: zyxCP

184

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

00

zy

xx

∫

∫=

=++

z

O

P

C zyx

zbczdz

dzfdyfdxf

2

21

( ) ( ) 22

21

21000 zbyxbxaVzyxV ++=− ,,,,

Ao ≡

x

y

z

B C

( )z.y,xP

)0,0,(: xAB)0,,(: yxBC

),,(: zyxCP

Per il calcolo usiamo le componenti delle forze con i valori dix,y,z come nei tratti di traiettoria:

per il tratto OB:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

00

dzdy

dxdx

2

21 xaaxdxdzfdyfdxf

x

O

B

O zyx ==++ ∫∫

yxbdyxb

dzfdyfdxfy

O

C

B zyx

∫∫

=

=++

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

==

0

cost.

zyyxx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0

0

dzdydy

dxper il tratto BC:

per il tratto CP:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=====

zzyyxx

cost.cost.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

dzdzdydx

00

( ) CbzybxaxzyxV +++= 22

21

21,,

cosa trovo se ne faccio le derivate parziali??cosa trovo se ne faccio le derivate parziali??

185

e per le velocità:

Usando i valori: A m= =1 1,

x x v ti i i+ = +1 Δ

( )v v a t a Amxi i i i+ = + = −1 2Δ

txv

0

0

0

01010

===

⎧

⎨⎪

⎩⎪..

= 0.1 Δ

x x v ti i i+ = +1 Δ

v v txi i

i+ = −1 2

Δ

0,1 1,100 0,9000,2 1,190 0,8170,3 1,272 0,7470,4 1,346 0,6850,5 1,415 0,6300,6 1,478 0,5800,7 1,536 0,5340,8 1,589 0,4920,9 1,638 0,452

1 1,684 0,4151,1 1,725 0,3791,2 1,763 0,3461,3 1,798 0,3141,4 1,829 0,2831,5 1,857 0,2531,6 1,883 0,2241,7 1,905 0,1961,8 1,925 0,1681,9 1,941 0,141

2 1,955 0,1152,1 1,967 0,0882,2 1,976 0,0632,3 1,982 0,0372,4 1,986 0,0122,5 1,987 -0,014

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

2,1

0 0,5 1 1,5 2 2,5

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

ixxit

Δ t

Δ t

iv

v

xi,vi si possono calcolare “ricorsivamente”conoscendo x0 e v0 .L’ approssimazione è tanto migliore quanto più è piccolo Δt. Ma se Δt->0 il numero dei termini ∞

186

1. moto di un grave sottoposto a forza viscosa

o x

y

gmf rr=

vrβP

dtvdvgmr

rr=− β

ch proiettata sugli assi:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−

=−

dtdvmvmg

dtdvmv

dtdv

mvmgdt

dvmv

yy

xx

yy

xx

ββ

β

β

β

la cui soluzione, mediante separazione delle variabili è:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=−

−

ββ

β

β

mgevmgv

evvt

moyy

tm

xx 0

-vy

to

βmg

v0

v1

v2

• vx→0 per t→∞• vy→-mg/β (per qualunque valore di v0y)• la velocità limite è <0• vy∝(β/m)-1:a parità di fluido β dipende solo dalla forma del corpo• a parità di massa vy ∝ β-1

• β dipende dalla sezione opposta al moto (paracadute )

187


Agiscono forze esterne sul sistema?r rP Pin fin. .=

0 = += −

= −

M v M vM v M v

v MM

v

a a b b

a a b b

ab

ab

r r

r r

r r

o x

y

Ma Mbmolla

La relazione tra le energie cinetiche:

( )( ) a

b

bab

bba

b

a

MM

vMMvMM

KK

== 2

2

22

188

Esempio 41

Un proiettile si massa m=10g si muove orizzontalmente ad una velocità v=400ms-1 e penetra in un blocco di massa M=390g , inizialmente in quiete su un piano senza attrito (trascurabile). Qual’ è la velocità finale del proiettile e del blocco?

xvm ,11,r 0, ,22 =xvm r

xvmm r,21 +

prima dell’ urto dopo l’ urto

quantità di moto iniziale del sistema: xx vmP ,11,1 =

quantità di moto finale del sistema: ( ) xxf vmmP 21, +=

La Q.d.M. si conserva?

( )1

,1

,1

104.04

−

−

====

msvvKgPKgmsP

x

xxfx

oppure:

1

21

,11,

2,12,11,,

10

0

−

=

=+

=

⋅+== ∑

msmm

vmv

mvmvmMv

xxcm

ixxiixcm

dinamica - INFN Sezione di Ferrarasavrie/lectures_0607/dinamica.pdfdinamica. In relatività valgono...

Documents

Transcript of dinamica - INFN Sezione di Ferrarasavrie/lectures_0607/dinamica.pdfdinamica. In relatività valgono...