dinamica de maquinas e vibrações

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ENGENHARIAS UNISAL LORENA

2015

CURSO DE ENGENHARIA MECNICA

Matria

Dinmica das Mquinas e Vibraes 1. Semestre/2015

Turma: Engenharia Mecnica 5.A

Carga Horria: 40 hs

UNISAL Lorena

Professor: Joselito Moreira Chagas

Email: [email protected]

Objetivos

Cumprir a ementa proposta para a matria DMV Apresentar o desenvolvimento da atividade de anlise de vibrao na

indstria brasileira Entender o que

TCO Total Cost of Ownership LCC Life Cicle Cost of equipments ISO-55.000 (PAS-55.000)

Ementa

Ementa

Exemplos de Aplicao

Ponte de Tacoma Excitao de Frequncia Natural

https://www.youtube.com/watch?v=mfQk6ac4res

Torre de Resfriamento Uso da Ferramenta ODS

Falhas mecnicas

TIPOS DE FALHAS CARACTERSTICOS: - CAVITAO - EIXO EMPENADO - FOLGA - ROLAMENTO - MONTAGEM - SOBRECARGA - LUBRIFICAO - ACOPLAMENTO - - DESALINHAMENTO - SOBREAQUECIMENTO - - DESBALANCEAMENTO - BASE SOLTA -

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CURSO DE ENGENHARIA MECNICA

MATRIA: DMV Dinmica das Mquinas e Vibraes

2015

Captulo #1

- O que vibrao - Graus de liberdade - Componentes de sistemas mecnicos - Movimento harmnico - Foras de excitao - Tipos de foras de excitao - Anlise dos sistemas equivalentes - Molas em paralelo - Molas em srie - Classificao das vibraes - Exemplos de rigidez de mola - Exemplos de arranjos de mola - Exerccios

Uma vibrao mecnica o movimento de uma partcula ou de um corpo que oscila em torno de uma posio de equilbrio. Uma vibrao mecnica surge geralmente quando um sistema deslocado da sua posio de equilbrio estvel. Em geral, quando o sistema tende voltar sob a ao de foras de restituio, ultrapassa esta posio. A repetio deste processo chamado movimento oscilatrio. O intervalo de tempo necessrio para o sistema completar um ciclo de movimento chama-se perodo de vibrao. O nmero de ciclos por unidade de tempo define a frequncia, e o deslocamento mximo do sistema medido a partir da sua posio de equilbrio chama-se amplitude de vibrao. Tipos de Vibraes: livres: movimento mantido apenas por foras de restituio; foradas: quando uma fora peridica aplicada ao sistema; no amortecidas: quando se pode desprezar o atrito - o movimento continua indefinidamente; amortecidas: a amplitude decresce lentamente at que, passado um certo tempo, o movimento cessa.

Captulo #1 O que Vibrao

C#1 Vibrao Livre

VIBRAES LIVRES - Movimento harmnico simples Considere-se uma partcula de massa m ligada a uma mola de constante de rigidez k, conforme fig. 1.1.

Quando a partcula se encontra na posio de equilbrio esttico (b), Fx = 0 P Fe = 0 logo, P = Fe

O nmero de graus de liberdade (gdl) usado na anlise de um sistema mecnico o nmero de coordenadas cinematicamente independentes necessrias para descrever completamente (localizar e orientar) o movimento espacial de toda partcula de um sistema em qualquer instante de tempo. Qualquer conjunto de coordenadas chamado de conjunto de coordenadas generalizadas. Deve ficar claro para o estudante que a escolha de um conjunto de coordenadas generalizadas no nica. Quantidades cinemticas como deslocamentos, velocidades e acelerao so escritas em funo das coordenadas generalizadas e de suas derivadas temporais.

C#1 Grau de Liberdade e Coordenadas Generalizadas

Um sistema mecnico contm componentes de inrcia, de rigidez e amortecimento. Os componentes de inrcia tm energia cintica quando o sistema est em movimento. A energia cintica de um corpo rgido em movimento (1.1) Sendo: T....energia cintica de um sistema em movimento .....velocidade do centro de massa do corpo ....velocidade angular do eixo perpendicular ao plano de movimento m....massa do corpo .....momento de inrcia de massa paralelo ao eixo de rotao que atravessa o centro de massa.

J um componente de rigidez (uma mola linear) tem uma relao fora deslocamento conforme a equao abaixo: (1.2) Onde: F....fora aplicada em [ N ] x....mudana do comprimento [ m ]

A rigidez k tem dimenso de fora por unidade de comprimento. No SI a unidade de rigidez N/m.

C#1 Componentes de Sistemas Mecnicos

T = 1 m . + 1 . 2 2

F = k . x

Medir experimentalmente massa e rigidez no to difcil, contudo medir amortecimento pode ser um enorme desafio, pois os sistemas mecnicos podem dissipar energia de formas diferentes. O mais comum considerar um modelo de amortecedor com amortecimento viscoso. Um componente linear de amortecimento viscoso tem uma relao fora-velocidade da forma: (1.3) Sendo: c....coeficiente de amortecimento ....velocidade do centro de massa do corpo

A unidade no SI N.s/m. Existem outros tipos comuns de amortecimento como: amortecimento de Coulomb, amortecimento estrutural, etc. J quando uma coordenada angular empregada como coordenada generalizada para um sistema linear, o sistema pode ser modelado como um sistema torcional, figura 1.2.

Fig. 1.2 Sistema torcional

C#1 Componentes de Sistemas Mecnicos

F = c .

C#1 Movimento Harmnico

O movimento harmnico muitas vezes representado como projeo em uma linha reta de um ponto que se move em uma circunferncia velocidade constante, como indicado na fig.1.5, representada por a velocidade angular da linha

Figura 1.5 Movimento Harmnico Simples - Projeo de 1 ponto

1. ciclo 2. ciclo 3. ciclo

=

[

]

Perodo = 1 ciclo = T [segundos] Frequncia = inverso do perodo = 1 [ciclos/seg] ou [Hz] (1.4) T

= 2 . . [

] (1.5)

Onde: .....velocidade angular f......frequncia do movimento

(1.6)

C#1 Foras de Excitao

MOVIMENTO PERIDICO O movimento oscilatrio pode repetir-se regularmente, como no pndulo de um relgio de parede. Quando ele se repete a intervalos regulares de tempo (T) denominado movimento peridico. MOVIMENTO HARMNICO A forma mais simples de representar o movimento peridico o movimento harmnico. Uma massa suspensa por uma mola e deslocada de sua posio de equilbrio ir oscilar torno desse equilbrio com um movimento harmnico simples. Na fig.1.4 o grfico representativo ao movimento deste pndulo:

1 ciclo

Figura 1.4 Movimento Harmnico Simples

Figura 1.3 Movimento do Pndulo do Relgio

C#1 Foras de Excitao

De acordo com a fora de excitao que age em um sistema mecnico as respostas de vibrao podem ter caractersticas diferentes. Fora harmnica: forma mais simples de excitao em sistemas mecnicos, descrita pela equao (1.7) Sendo: F....amplitude da fora de excitao ...frequncia de excitao [rad/s]

F ( t ) = F . sin( )

Um movimento harmnico definido completamente a partir do conhecimento das variveis acima. Um exemplo prtico de excitao harmnica aparece em rotores com massa desbalanceada. A figura 1.6 mostra um exemplo grfico de uma fora deste tipo.

Fig. 1.6 Exemplo grfico de fora harmnica

onde F e so a amplitude e o defazamento do movimento oscilatrio, grandezas estas que devem ser determinadas das condies iniciais.

Fora peridica: Tipo de excitao que se repete aps um perodo, mas no de forma exatamente igual, conforme figura 1.7. Ex.: Motores de combusto interna.

Fora transitria: Excitao caracterizada por uma liberao de energia grande em um intervalo curto de tempo, conforme fig. 1.8 Exemplos: exploso, impacto etc.

Fig. 1.7 Exemplo de fora peridica Fig. 1.8 Exemplo de fora transitria

C#1 Tipos de Foras de Excitao

Fora aleatria: So foras de excitao que no descrevem um padro determinstico que possa ser definido por uma equao. Para tratar sistemas excitados por foras aleatrias necessrio utilizar mtodos estatsticos. Exemplos: Fenmenos aeroelsticos por foras aleatrias, como foras em asas de avies, ventos em colunas de pontes etc.

C#1 Tipos de Foras de Excitao

Fig. 1.9 Exemplo de fora aleatria

Todo o sistema linear de 1 grau de liberdade com amortecimento viscoso pode ser modelado como um sistema massa-mola-amortecedor simples, como a figura 1.10, onde meq, keq e ceq so a massa equivalente, rigidez equivalente e amortecimento viscoso equivalente. Denotando a varivel x como a coordenada generalizada, A energia cintica de um sistema linear pode ser escrita como: (1.8) A energia potencial de um sistema linear pode ser escrita na forma : (1.9) O trabalho realizado pela fora de amortecimento viscoso em um sistema linear entre duas localizaes arbitrrias x1 e x2 podem ser escritas como: (1.10)

C#1 Anlise dos Sistemas Equivalentes

V = keq . x

T = meq.x

W = - . . ()2

1

Fig. 1.10 Sistema massa-mola-amortecedor

C#1 Molas em paralelo

Fig. 1.11 Sistema mecnico com molas em paralelo

O sistema da figura 1.11 tem molas em paralelo que so fixadas a um bloco com massa m. Se o bloco estiver sujeito a um deslocamento arbitrrio x, todas as molas sofrem este deslocamento, assim x = x1 = x2 = x3 = xn. A fora exercida F = keq.x = k1.x + k2.x + ... + kn.x = (1.11) Analisando a Eq. 1.10 observa-se que a rigidez equivalente para um sistema com molas em paralelo dada por: (1.12)

( ).

C#1 Molas em srie

J o sistema da figura 1.12 tem molas em srie que so fixadas a um bloco com massa m. Novamente a meta definir qual a rigidez equivalente desta combinao de molas. Definindo o deslocamento do bloco como sendo xi na i-sima mola e assumindo que cada mola no tem massa, a fora desenvolvida na extremidade de cada mola tem a mesma magnitude, mas direes opostas. Assim a fora em cada mola (1.13) Sendo assim, o deslocamento total ser descrito por (1.14) Pode-se concluir que para um sistema com molas em srie a rigidez equivalente descrita por ou (1.15)

X = x1 + x2 + ...+ xn = ( ) =

1+

2+

3++

H diferentes formas de classificar as vibraes em sistemas mecnicos: Quanto excitao: As vibraes podem ser:

Livres: o sistema vibra nas suas frequncias naturais e no h fora de excitao externa Foradas: o sistema vibra na frequncia de excitao

Quanto ao amortecimento: As vibraes podem ser amortecidas ou no-amortecidas

Quanto ao deslocamento: Pode ser retilneo ou torcional, ou combinao de ambos

Quanto s propriedades fsicas: O sistema pode ser discreto, neste caso tem um nmero finito de gdl, ou

contnuo, neste caso tem um nmero infinito de gdl

Quanto s equaes envolvidas: O sistema pode ser linear (potncia 0 ou 1 e no existe produto entre estas e suas derivadas) ou no-linear, quando no vlido o princpio da superposio.

C#1 Classificao das Vibraes

C#1 Exerccios

1. Calcule a rigidez equivalente do sistema em srie abaixo (Resp.: keq = 2K/3)

2. Considere k = 0,5 N/m e um deslocamento de x = 20 cm, calcule a fora resultante deste sistema (Resp.: F = 0,67 [N] 3. Calcule a rigidez equivalente do sistema em paralelo abaixo (Resp.: keq = 5k) 4. Dado o sistema abaixo encontre um modelo equivalente composto apenas por uma mola fixa ao bloco de massa m. (Resp.: keq = 7k/6)

C#1 Exemplos de Graus de Liberdade

5. Determine o nmero de graus de liberdade (gdl) para ser usado na anlise de vibraes da barra rgida da figura abaixo, e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado nesta anlise.

Soluo: Uma vez que a barra rgida o sistema tm apenas um grau de liberdade. Uma possvel escolha para coordenada generalizada , deslocamento angular da barra medido positivo no sentido anti-horrio da posio de equilbrio do sistema.

Soluo:

C#1 Exerccios

C#1 Exerccios

6. Determine o nmero de gdl necessrios para analisar o sistema mecnico composto por uma barra rgida com comprimento L e duas molas da figura abaixo e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado nesta anlise de vibraes.

Soluo: Assume-se x como sendo o deslocamento do centro de massa da barra rgida, medido a partir da posio de equilbrio. Infelizmente, o conhecimento apenas de x insuficiente para determinar totalmente o deslocamento de qualquer partcula na barra. Assim o sistema tem mais de um grau de liberdade. Para descrever totalmente este movimento deve-se considerar tambm a rotao angular no sentido anti-horrio da barra com respeito ao eixo da barra em sua posio de equilbrio. Se pequeno, ento o deslocamento do fim do lado direito da barra x + (L=2). Portanto, o sistema tem 2 gdl, e x e so um possvel conjunto de coordenadas generalizadas, como ilustrado na figura acima.

Soluo:

C#1 Exerccios

Exemplo 1.4 Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura abaixo usando o deslocamento do bloco como uma coordenada generalizada.

Sendo: F....a fora aplicada L....comprimento da barra ou viga E...mdulo de elasticidade I....momento de inrcia da rea movimentada

Deflexo: = F . L (3.E.I)

(1.16)

C#1 Exerccios

A rigidez definida como o inverso da deflexo com uma carga unitria aplicada

k = 1 / = 3.E.I L

(1.17)

O mdulo de Young ou mdulo de elasticidade um parmetro mecnico que proporciona uma

medida da rigidez de um material slido. um parmetro fundamental para a engenharia e aplicao de

materiais pois est associado com a descrio de vrias outras propriedades mecnicas, como por

exemplo, a tenso de escoamento, a tenso de ruptura, a variao de temperatura crtica para a

propagao de trincas sob a ao de choque trmico etc.

uma propriedade intrnseca dos materiais, dependente da composio qumica, microestrutura e

defeitos (poros e trincas), que pode ser obtida da razo entre a tenso exercida e a deformao sofrida

pelo material. Tenso corresponde a uma fora ou carga, por unidade de rea, aplicada sobre um

material e deformao a mudana nas dimenses, por unidade da dimenso original.

Assim a unidade de medida do mdulo de elasticidade o P [Pascal] ou [N/m].

Exerccio (Beer 19.17) Um bloco com 35 kg est apoiado pelo conjunto de molas mostrado na figura. O bloco deslocado verticalmente para baixo e em seguida libertado. Sabendo que a amplitude do movimento resultante de 45 mm, determine a.) o perodo e frequncia do movimento. Considere k1 = 16 kN/m, k2 = k3 = 8 kN/m. Soluo:

ou seja, o movimento do sistema dado equivalente ao movimento oscilatrio de um bloco de massa m = 35 kg ligado a uma mola de rigidez ke = 32 kN/m.

C#1 Exerccios

b.) A velocidade e a acelerao mxima do bloco Soluo:

C#1 Exerccios

x t = Xm . sin( )

O deslocamento no movimento harmnico se d pela expresso sin( )

Deslocamento ou amplitude resultante = 45 mm

f Perodo T e frequncia f:

Exerccio (Beer 19.17)

Velocidade V expressa em *m/s+ ou *mm/s+ Acelerao a expressa em *m/s+ ou *mm/s+

C#1 Exemplo Prtico

C#1 Exemplos de Rigidez de Mola

C#1 Exemplos de Arranjos de Mola

Arranjos de molas e expresses para rigidez equivalente

P = m.g [N]

C#1 Exerccios

O princpio da conservao da energia proporciona um meio conveniente para determinar o perodo de vibrao de um sistema com um s grau de liberdade, desde que se admita o movimento harmnico simples. Escolhem-se duas posies particulares do sistema: 1a Quando o deslocamento do sistema mximo. Nesta posio a energia cintica do sistema T1 nula. Escolhendo o nvel zero para a energia potencial a posio de equilbrio esttico, a energia potencial V1 pode ser expressa em funo da amplitude Xm ou m; 2a Quando o sistema passa pela sua posio de equilbrio. A energia potencial do sistema V2 nula e a energia cintica T2 pode ser expressa em funo da velocidade mxima Xm ou da velocidade angular mxima m. O perodo das pequenas oscilaes resulta escrevendo a conservao da energia: T1 + V1 = T2 + V2 e tomando em conta que, num movimento harmnico simples, Xm = . Xm ou m = m

C#1 Princpio da Conservao da Energia

C#1 Resumo

= 1

[ Hz ] , = 2.. [

] , =

2.

[

] , =

[

]

Molas em paralelo:

F = keq. x [ N ] keq = k1.x + k2.x + k3.x + ..... + kn.x x1 = x2 = x3 = ... = xn

Molas em srie:

F = keq. x [ N ]

1

=

1

1 +

1

2+

1

3+ +

1

x1 = x2 = x3 = ... = xn

Deflexo de barra ou viga = = .3

3.. [

],

Sendo: E = mdulo de elasticidade, I = momento de inrcia, L = comprimento da barra ou viga

Rigidez da barra ou viga = k = 1

Captulo #2

- Vibraes Livres - Unidades: Deslocamento, velocidade e acelerao - Vibrao livre com 1 grau de liberdade - Vibraes livres no amortecidas - Exemplos grficos de vibraes livres no amortecidas - Vibraes livres amortecidas - Movimento oscilatrio subamortecido ou subcrtico (0 < < 1) - Movimento superamortecido ou super-crtico( > 1) - Movimento amortecido criticamente ou crtico amortecido ( = 1) - Decremento logartmico

Captulo #2 - Vibraes Livres Deslocamento, Velocidade e Acelerao

Xmx = Xm [ ]

Vmx = . Xm [

]

amx =2 . Xm [

]

Portanto: Deslocamento mximo: (1.18) Velocidade mxina: (1.19) Acelerao mxima: (1.20)

Captulo #2 Vibrao Livre com 1 Grau de Liberdade

Considerando que esta massa sofra a ao de uma fora F(t), a equao do movimento para este sistema dada por: F = m . a [N]

Esta uma equao diferencial ordinria (EDO) linear com coeficientes constantes, com deslocamento x(t), velocidade x(t) e acelerao x (t). importante ressaltar que a fora peso mg no entra neste balano de foras, se a mola no distende em relao a linha de equilbrio esttico. Com relao aos valores da fora F e o dos coeficientes de amortecimento viscoso c pode-se definir os tipos de movimentos: Movimento oscilatrio livre no-amortecido: mx + kx = 0 Movimento oscilatrio livre amortecido: mx + cx + kx = 0 Movimento oscilatrio forado no-amortecido: mx + kx = F (t) Movimento oscilatrio forado amortecido: mx + cx+ kx = F (t)

C#2 Vibraes livres no-amortecidas

Considerando a fig. (2.3) assumindo c = 0, tem-se a equao do movimento para um sistema livre no-amortecido mx (t) + kx(t) = 0 Para xmx, temos: [mm] ou [m] (2.1) ou

Xmx =

+

x ( t ) = Xm . sin( )

onde X e so a amplitude e o defasamento do movimento oscilatrio, grandezas estas que devem ser determinadas das condies iniciais.

(2.2)

, (2.3)

(2.4)

=tan;1( .

)

X =

2+

Para amplitude mxima e defasagem, temos:


Sendo, o.....velocidade em x = 0 n...frequncia angular xo....deslocamento inicial

(2.5)

(2.6)


Grfico caracterstico de vibraes livres no amortecidas ( considere o = fo) Fig. 2.2: Exemplo de resposta de sistema livre no-amortecido com 1 gdl para vrias condies iniciais diferentes.

Exemplo: Dado o sistema mecnico, visto na fig. (2.3), com massa m = 12 kg, rigidez da mola de k = 1200 N/m e com condies iniciais de deslocamento e velocidade de xo = 0,02 m e o = 0, respectivamente. Pede-se: a.) frequncia natural no-amortecida, b.) a amplitude mxima de deslocamento, c.) o clculo de resposta de vibrao do sistema

C#2 Exerccios

Fig. 2.3: Sistema massa-mola com 1 gdl.

A fig. (2.2(a)) ilustra a resposta de vibrao deste sistema, onde pode-se observar que o sistema vibra como uma senide com frequncia natural de 1.59 Hz e com amplitude mxima de 0,02m.

Soluo: a.) A frequncia natural definida pela equao:

Ou em Hz: n = 2..f => f = /2. F = 10 / (2 . ) = 1,59 Hz

b.) A amplitude mxima do deslocamento dada por:

c.)

C#2 Exerccios

C#2 Exerccios

C#2 Vibraes livres amortecidas

Caso o sistema da fig. (2.3) tenha c 0, o problema de vibraes livres amortecidas, sendo o seu movimento descrito pela seguinte equao:

m.x(t) + c.x(t) + k.x(t) = 0

Fig. 2.3: Sistema massa-mola com 1 gdl.

Frmula da vibrao livre amortecida:

Neste ponto pode-se definir o coeficiente de amortecimento crtico cc, lembrando que : n = k / m Desta forma, o coeficiente de amortecimento crtico Cc pode ser definido por: (2.7) E tambm o fator de amortecimento (epsilon): (2.8) C = .2.m.n ou

(2.9)

Fator de amortecimento em funo do coeficiente de amortecimento e velocidade angular.

Cc = 2.m.n

= c / Cc

C / 2 = . nc


Outra forma de escrever o fator de amortecimento observar que ou (2.10)


= c / 2.m.nc = c / 2.m.

= c / 2.

= c / 2 . .


2.1 - Movimento oscilatrio subamortecido ou subcrtico (0 < < 1) Neste caso a soluo da equao do movimento dada por: e As constantes A e B so obtidas atravs das condies iniciais de deslocamento e velocidade e so dadas por: e Sendo d a frequncia angular natural amortecida definida como: (2.11)

d = n . 1

C#2 Exerccios

Exerccio 1: Uma massa de 4.5 kg suspensa por uma mola de rigidez k = 1400 N/m. Um amortecedor com um coeficiente de amortecimento viscoso c = 50 N.s/m conectado ao sistema. Determine o fator de amortecimento , a frequncia natural n e a frequncia natural amortecida d?

Ou e hz, sendo: n = 2 . . => = 17,63 / 2 . => = 2,8 [Hz] Com isso, temos o coeficiente de amortecimento e o fator de amortecimento :

= c / cc = 50 / 158,67 => = 0,31

Dados: m = 4,5 kg k = 1400 N/m c = 50 N.s/m = ? n = ? d = ?

Cc = 2 . m . n => Cc = 2.4,5.17,63 => Cc = 158,67 [N.s/m]

Como est no intervalo 0 < < 1 este sistema possui movimento oscilatrio subamortecido, como da figura (2.7).

d = n . 1 2 d = 17,63. 1 0,31 d = 16,76 [rad/seg]

C#2 Exerccios

Exerccio 2: Dado o sistema da figura (2.9), escreva a equao do movimento e defina o fator de amortecimento.

Fig. 2.9: Sistema massa-mola-amortecedor com dois amortecedores

Soluo: Aps a construo de um DCL pode-se escrever a equao do movimento

m.x(t) + c.x(t) + k.x(t) = 0 => m.x + (c1 + c2).x+ k.x = 0

O sistema de amortecimento segue a mesma regra de molas em srie e em paralelo, portanto: Ceq = C1 + C2

= c / cc = (c1 + c2) / cc => = (c1 +c2) 2.m.n e ento, temos:

m.x + 2.m. n . x + k. x = 0 ou x + 2 n + n x = 0 (soluo do livro)


2.2 - Movimento superamortecido ou super-crtico ( > 1) Este caso acontece quando > 1, o que faz com que as razes da equao de vibraes amortecidas sejam um par de nmeros reais. A soluo da equao do movimento para esta situao dada por: (2.12) (2.13) e (2.14) A resposta de sistemas superamortecidos no envolvem oscilaes, assim quando este perturbado, este retorna a sua posio de equilbrio de forma exponencial. A fig. (2.10) mostra um exemplo de resposta para este sistema considerando como condies iniciais x0 = 0,02 m e velocidade inicial de V0 = 0.


Fig. 2.10: Resposta do sistema superamortecido


2.3 - Movimento amortecido criticamente ou crtico amortecido ( = 1) Este caso especial ocorre quando = 1 e neste caso as razes so um par de nmeros reais negativos e iguais. A soluo da equao do movimento dada por: (2.15) Na figura (2.11) mostrada a resposta para vrios valores da condio inicial de v0. Um sistema amortecido criticamente quando perturbado por certas condies iniciais, retorna posio do equilbrio no tempo mais rpido sem oscilar. Um exemplo clssico de aplicao deste sistema o dispositivo amortecedor em portas de elevador, caso se solte a porta bruscamente esta no bate violentamente no batente, e sim volta para a posio de equilbrio suavemente. Outro exemplo o sistema de recolhimento de armas de fogo.

Figura 2.11: Resposta de um sistema criticamente amortecido.

Quando se est analisando um sistema estrutural j existente, normalmente no se conhece os valores dos parmetros de rigidez e amortecimento, sendo necessrio, portanto, determinar o valor do fator de amortecimento assumindo um sistema de 1 gdl equivalente. Nestes casos, necessrio realizar uma estimativa a partir dos dados experimentais do comportamento vibratrio do sistema quando lhe aplicado alguma condio inicial de perturbao. Vrios podem ser os mtodos empregados. Aqui ser apresentado o mtodo do decremento logartmico. O decremento logartmico definido como o logaritmo natural da razo de duas amplitudes sucessivas. Considere a resposta x(t) do caso subamortecido (0 < < 1) visto na fig. (2.12). O decremento logartmico escrito como: sendo td = 2 / d o perodo entre duas oscilaes sucessivas, onde d a frequncia angular natural amortecida. Para um caso geral tem-se: (2.16) Assim, desenvolvendo a expresso, tem-se a frmula para o decremento logartmico em funo do nmero de ciclos n realizados no movimento oscilatrio: (2.17)

C#2 Decremento Logaritmico

= 1

. ln

C#2 Decremento Logaritmico

Fig. 2.12: Resposta de sistema subamortecido evidenciando amplitudes sucessivas.

sendo t1 = t0 + td, onde td = td = 2 / d , Aps algumas manipulaes algbricas na equao logartmica, chega-se a expresso do decremento logartmico em funo do fator de amortecimento: (2.18) e (2.19)

= 2..

1

=

4

Exerccio 3: Considere um sistema massa-mola-amortecedor com massa m = 20kg e deslocamento inicial x0 = 0,01 m. A figura 2.13 mostra a resposta livre deste sistema. Estime os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema.

C#2 Exerccios

Soluo: Dados do grfico, temos 2 coordenadas sucessivas: x0 = 0,01 m X1 = 0,005m

= 1/n. ln

= ln

= ln

0,01

0,005

= 0,693

Figura 2.13: Resposta livre do sistema

C#2 Exerccios

Soluo:

=

4

= 0,693 / 4 0,6932 => = 0,11

Como o fator de amortecimento est entre 0 e 1, este sistema subamortecido.

Sabendo que o perodo entre as duas oscilaes sucessivas td = 0,06 s, tambm visto na fig. (2.13), pode-se calcular a frequncia angular natural amortecida d = 2/Td = 2..0,06 = 104,7 rad/seg

d = n . 1 = > n = d / 1 0,11 => n = 104,06 [rad/seg]

C#2 Experimentos

https://www.youtube.com/watch?v=i5AJIywnjWU

Movimento harmnico amortecido Video do youtube

https://www.youtube.com/watch?v=Ec2kJkQB84s

Movimento Harmnico Amortecido - Video do youtube

C#2 Experimentos reais

Dado o experimento em sala de aula, solicito: a.) medir e calcular as constantes elsticas das 3 molas b.) plotar o grfico do amortecimento do sistema c.) encontrar pelo menos x1 e x2 do movimento livre amortecido d.) calcular o coeficiente de amortecimento viscoso em [N.s/m] e.) encontrar a equao do movimento f.) concluso e lies aprendidas g.) dar 1 exemplo de aplicao prtica para este experimento

Considere: Bloco de massa = 186 gramas Peso para clculo de K = 1 kg Para xo = 3 cm => Td = 0,145 seg

Soluo: K1 g: delta = 140 mm => k1 = m.g / x = 1,186 * 9,81 / 0,14 => k1 = 83,10 N/m K2 m: delta = 34 mm => k2 = m.g / x = 1,186 * 9,81 / 0,034 => k2 = 342,20 N/m K3 p: delta = 69 mm => k3 = m.g / x = 1,186 * 9,81 / 0,069 => k3 = 168,62 N/m Keq1 = k1 + k2 => keq1 = 83,1 + 342,2 => keq1 = 425,3 N/m Keq2 = k1 + k3 => keq2 = 83,1 + 168,62 => keq2 = 251,72 N/m Sistema 1:

n1 = 1

=

425,3

0,186 = 47,818 rad/seg

Sistema 2:

n2 = 2

=

251,72

0,186 = 36,787 rad/seg


Sistema 1: Medido: Xo = 30 mm X1 = 15 mm

= 1

. ln

=

1

1 . ln(

0,03

0,015) = 0,693

=

(4.2; 2) =

0,693

(4.2; 0,6932) = 0,11 ou 11%

d = n . 1 d = 47,818 . 1 0,112 d = 47,528 rad/s

d = 2

Td =

2

d Td =

2

47,528 Td = 0,132 seg

Equao do sistema amortecido

X(t) = ;(A cos + sin() X(t) = ;0,11.47,528(A cos 47,528 + sin 47,528

X(t) = ;5,228(A cos 47,528 + sin 47,528 , sendo A = xo = 0,03 e B = : ..

. 1;


Sistema 1 Medido: Xo = 30 mm X1 = 15 mm

n = 47,818 [

]

= 0,11 No instante Xo = 30mm, a velocidade o = 0 m/seg

X(t) = ;5,228(A cos 47,528 + sin 47,528 , sendo A = xo = 0,03 e B = - : ..

. 1;

A = 0,03 e B = - 0,00332 Portanto, a equao final do movimento ser

X(t) = ;5,228(0,03.cos 47,528 0,00332. sin 47,528 )

C#2 Resumo

Equao do Movimento Livre = X (t) = X . sin( ) Velocidade Mxima do Movimento Livre = mx = xmx = . X

Acelerao Mxima do Movimento Livre = amx = xmx = .

F = m . a [N]

Vibraes Livres No Amortecidas => Xmx =

+ [m]

, ,

=tan;1( .

) ....ngulo de defasagem do movimento

Vibraes Livres Amortecidas

Cc = 2.m.n , =

,

2 = . nc

C#2 Resumo

Vibraes Livres Amortecidas 0 < < 1: Movimento oscilatrio subamortecido ou subcrtico

d = n . 1 ...... frequncia angular natural amortecida > 1: Movimento superamortecido ou supercrtico

= 1: Movimento amortecido criticamente ou crtico amortecido

Decremento Logaritmico

= 1

. ln

C#3 Vibraes Foradas em Sistemas com 1 GdL

Imagine a seguinte situao hipottica, mas bastante comum em um ambiente industrial: Instalar um compressor alternativo de grande dimenso. Especificar uma fundao composta por absorvedores com determinada rigidez e amortecimento

para reduzir a vibrao da mquina. Isto deve ser bem feito porque impacta na vida til da mquina devido a vibrao excessiva. Como proceder? Na situao hipottica descrita acima, as mquinas e sistemas estruturais vibram devido no somente s condies iniciais e na frequncia natural (amortecida ou no) e sim em funo tambm de foras de excitao externa F(t), que podem ser de diferentes tipos. Inicialmente iremos considerar apenas o caso em que a excitao do tipo harmnica. Em seguida, excitaes do tipo impulso unitrio e degrau sero usadas: Devemos considerar uma srie de conceitos e definies importantes em vibraes: Como aplicao, se mostrar a vibrao causada por fora de desbalanceamento em mquina rotativa e o projeto de fundao para instalao de mquinas. O caso de resposta de sistemas excitados por foras de excitao qualquer so usados:

a transformada de Laplace mtodo da integral de convoluo transformadas de Fourier.

Alguns conceitos bsicos de anlise espectral e formas de se estimar as funes de resposta ao impulso (IRF) e funo de resposta em frequncia (FRF).


Considere a equao do movimento de um sistema massa-mola-amortecedor com 1 grau de liberdade com uma fora de excitao F(t) agindo sobre ele: mx" + cx + kx = F(t) (3.1) A equao acima uma equao diferencial ordinria linear e no-homognea (EDOLNH). No caso considerado nesta seo assuma que a fora F(t) seja do tipo harmnica e descrita por: (3.2) sendo F a amplitude de excitao, unidade [N], e seja a frequncia de excitao. Com isto a Eq. (3.1) torna-se (3.3) O deslocamento xp, movimento permanente, uma funo do tempo, da ordem de (3.4)

mx" + cx + kx = F . sin(. )

F(t) = F . (. )

xp(t) = Xp . (. )


E a equao 3.4 pode ser descrita da forma: (3.5) Onde: Xp......deslocamento no sistema com vibraes foradas Ou a equao acima pode ser descrita tambm da seguinte forma:

(3.6) Sendo:

r =

.......... a razo entre as frequncias de excitao e natural no-amortecida.

M (r,) ..........o fator de ampliao, que funo da razo r e do fator de amortecimento .

J o ngulo de fase pode ser escrito como (3.7)

M (r,) = .

=

1

1;2 2: 2..

Xp = (

)

1 ; .

2:( .

)

= tan;1( 2..

1;)

C#3 Vibraes Foradas em Sistemas com 1 gdl Equao do movimento

E a equao 3.4 pode ser descrita da forma: (3.8) Ento a soluo final da equao do movimento para um sistema subamortecido, 0 < < 1, pode ser escrita como: x(t) = xh(t) + xp(t) Sendo xh a amplitude da resposta transitria em metros. A equao geral para o movimento de vibraes foradas em sistemas com 1 gld ser (3.9)

sendo xh a amplitude da resposta transitria dada pela equao x(t) = C . ;. sin +

Xp = (

)

1 ; .

2:( .

)

x(t) =

. sin + +

1 ;2 2:(2..) . sin

Examinando a Eq. (3.9) pode-se realizar duas observaes importantes: Quando o tempo t grande (t~) o termo transiente xh(t), primeiro termo da Eq. (3.9), torna-se

muito pequeno e consequentemente a resposta de regime permanente xp(t) fica predominante na resposta final x(t).

Caso a frequncia de excitao seja igual ou prxima da frequncia natural n, a razo r 1.

Este fenmeno conhecido como ressonncia e implica que o fator de ampliao M(r; ) possa aumentar muito, dependendo do valor do sistema, e consequentemente as amplitudes de vibrao podem ficar muito grandes.

O fenmeno de ressonncia normalmente deve ser evitado no projeto de estruturas e mquinas, uma vez que grandes amplitudes de vibrao podem acelerar o processo de falha por fadiga, desconforto, rudo, dentre outros problemas. Ocasionalmente, o fenmeno de ressonncia pode ser catstrofico, dependendo do valor do fator de amortecimento do sistema. Entretanto, o conceito de ressonncia tambm muito til em teste estrutural. Por exemplo, toda a anlise modal baseada em medir vibraes em condio de ressonncia.

C#3 Vibraes Foradas em Sistemas com 1 gdl - Ressonncia

Fig. 3.1: Curvas de ampliao de Amplitudes de vibrao para um sistema com 1 gdl.

C#3 Vibraes Foradas em Sistemas com 1 gdl Exemplos de curvas do movimento

O mximo valor de M (r; ) chamado de pico de ressonncia e encontrado quando (3.10)

C#3 Vibraes Foradas em Sistemas com 1 gdl Valores mximos

Mmax = 1

(2 1;2)

Outras duas quantidades utilizadas na discusso de vibraes de estruturas e mquinas o fator de perda descrito por: (3.11) e o valor Q ou fator de forma de ressonncia expressado atravs da relao Q =12=1 (3.12) interessante notar que quando r = 1 o fator de ampliao M (r; ) igual ao valo Q.

= 2.

Q = 1

2. =

1

C#3 Exerccios

m=45 kg K1 = k2 = k3 = k4 = 2x105[N/m] n= 32Hz Xp=1,5mm F = ?

M (r,) = 1

1;2 2: 2..

Xp = (

)

1 ; .

2:( .

)

C#3 Exerccios

Exemplo 1: Soluo

C#3 Exerccios

Dados: m= 120 kg L = 1,5 m

E = 200 x 109N

m2

I = 1,53x10;6 4 F = 2.000 N Xp = 2,5 mm

M (r,) = .

=

1

1;2 2: 2.. =

0,0025 .4,35.106 2000

=> M(r,) = 5,44

C#3 Exerccios

Exemplo 3.2: Soluo Com o valor de M, tem-se a equao do coeficiente de amortecimento :

Mmax = 1

(2 1;2) => 4M4 4M2 1 = 0 4 2

1

4M = 0

As razes da equao de quarta potncia so:

= * 1

2 ( 1 (1

1

2) ]

dinamica de maquinas e vibrações

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