VIBRAÇÕES FORÇADAS
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DinmicaVibraes Foradas sob Excitao Harmnica
Prof. Clodoaldo
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Vibrao forada aquela que ocorre quando o sistema sofre a ao de forasexternas durante o movimento:
As foras harmnicas so as que representam a maioria dos fenmenosresponsveis por vibraes em sistemas fsicos. A excitao harmnica representada por uma funo senoidal:
)cos()( 0 = tFtF Fo a amplitude da fora, a frequncia com que a fora aplicada e o ngulo de fase.
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaIntroduo
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaIntroduo
Este tipo de fora produzir uma resposta harmnica que tambm ter a forma funcional senoidal.
Quando a frequncia com que a fora aplicada coincide com a frequncia natural do sistema ocorre o fenmeno da ressonncia. Este fenmeno amplamente conhecido e pode produzir graves consequncias a integridade estrutural do sistema.
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaEquao do Movimento
A figura abaixo mostra o modelo de um sistema de um grau de liberdade, amortecido, e seu respectivo diagrama de corpo livre:
Aplicando a 2 lei de Newton, aequao diferencial domovimento obtida como:
( )mx cx kx F t+ + =&& &
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaEquao do Movimento
Esta equao diferencial possui soluo geral constituda de uma soluohomognea associada a uma soluo particular:
A soluo homognea obtida fazendo F(t)=0, resultando na vibrao livre que foiestudada anteriormente. A soluo particular representa a vibrao de regimepermanente do sistema, persistindo enquanto a fora externa atuar.
A prxima figura ilustra a composio da soluo da equao diferencial. A parcelado movimento que diminui com o tempo, devido ao amortecimento chamadatransiente e a rapidez com que ocorre esta diminuio depende dos parmetros dosistema, m, c e k.
( ) ( ) ( )h px t x t x t= +
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaEquao do Movimento
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Por simplicidade, vamos inicialmente estudar o sistema sem amortecimento (c=0) eF(t)=Focos(t). A equao do movimento assume a forma:
A soluo homognea desta equao, como j estudado, tem a forma:
A soluo particular por sua vez :
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Substituindo na equao do movimento, pode-se encontrar a amplitude X do movimento:
Onde:
a deflexo esttica, que ocorre quando a fora constante.
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
A soluo geral ento fica:
E as constantes so encontradas por:
Assim:
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
A amplitude mxima X pode ser escrita como :
A quantidade X/st chamado de fator de amplificao e definindo r como a relao de frequncias:
A variao do fator de amplificao em funo da relao de frequncias mostrada na prxima figura:
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
A anlise da figura, sugere trs casos para a resposta do sistema:
Ressonncia:
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Caso 1:
Denominador positivo. A resposta de regime permanentedo sistema dada pela equao:
A resposta harmnica xp(t) est em coincidncia de fase com a fora externa,conforme mostra a figura:
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Caso 2:
Denominador negativo. A resposta de regime permanentedo sistema dada pela equao:
A amplitude do movimento X redefinida para ser uma quantidade positiva:
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
A resposta harmnica xp(t) est em oposio de fase (defasada em 180 graus)com a fora externa, conforme mostra a figura:
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Denominador nulo. A amplitude infinita, neste caso,temos a condio de ressonncia
Como o ltimo termo da equao possui uma forma indefinida, aplica-se a regrade L'Hospital para avaliar o limite deste termo:
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Assim, a resposta do sistema na ressonncia se torna:
ltimo
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Exemplo: Um motor de 200 kg est montado sobre 4 molas, cada uma com k =500 kN/m. Durante a operao o motor est sujeito a uma fora harmnica F(t) =700cos(50t) N.a) Determine a rotao do motor na qual ocorrer a ressonncia.b) Qual a amplitude do movimento ? O movimento est em fase com a foraexterna ?
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica
Sob a atuao de uma fora harmnica a equao do movimento amortecido se torna:
A soluo particular tambm da forma harmnica, onde o ngulo de fase:
Substituindo:
Utilizando as relaes trigonomtricas:
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica
Igualando os coeficientes do seno e cosseno de ambos os lados da equao:
Resolvendo a equao acima para a soluo no trivial ( X =0):
Dividindo por k o numerador e denominador da equao de X, mostrada acima e lembrando que:
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica
Obtemos
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica
Representao
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica
Do grfico, algumas observaes podem ser levantadas:
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta Total
A resposta total a soluo geral da equao:
onde xh(t) a soluo do caso de vibrao livre subamortecida. Assim:
X0 e 0 so obtidos a partir das condies iniciais:
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta Total
Exemplo: Determine a resposta total de um sistema de um grau de liberdade commassa equivalente igual a 10 kg, coeficiente de amortecimento e rigidezequivalentes iguais a 20 N.s/m e 4 kN/m, respectivamente e deslocamento inicialigual a 0,01 m. A velocidade inicial nula e a fora externa que age sobre osistema Ft) = 100cos(10t).
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Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta Total