Dinâmica de Ekman

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DINÂMICA DE EKMAN

1.  Turbulência cisalhante 2.  O perfil logarítmico 3.  Fricção e rotação 4.  A camada de Ekman de fundo 5.  Generalização para um fluxo não homogêneo.

DINÂMICA FÍSICA DO OCEANO – AULA 5

CONTEÚDO


Sistemas de fluidos geofísicos são primariamente horizontais. a fricção entre o movimento horizontal e o limite de fundo um processo inevitável.

A fricção reduz a velocidade na proximidade do fundo e cria um cisalhamento na velocidade vertical.

Matematicamente, se u é a componente da velocidade na dimensão x e z a elevação acima do fundo, então u é uma função de z, pelo menos para pequenos valores de z.

A função u(z) é chamado de perfil de velocidade e sua derivada du/dz é o cisalhamento da velocidade.

TURBULÊNCIA CISALHANTE


Medidas em laboratório de fluxos turbulentos não rotacionais sobre superfícies planas lisas mostraram que a velocidade varia somente com o stress b exercido contra o fundo, a viscosidade molecular do fluido ν, a densidade do fluido ρ e a distância z acima do fundo

A razão τb/ρ possui dimensão de velocidade ao quadrado, o que permite definir

que e chamada de velocidade de fricção ou velocidade turbulenta. Fisicamente, esse valor esta relacionado com a velocidade orbital dos vortices que criam trocas através do fluxo de partículas a a transferência de momentum.

TURBULÊNCIA CISALHANTE


Depois de uma análise dimensional, chegou-se a conclusão que a estrutura da velocidade para um fluido irrotacional obedece uma relação do tipo:

Na presença da rotação, a relação acima deve incluir no seu formalismo o parâmetro de Coriolis, e a equação fica:

O PERFIL LOGARÍTMICO


Na ausência de rotação, a função F tem a forma de uma relação logarítmica entre u/u* e u*z/ν para valores de u*z/ν entre 101 e 103

Sendo A=2.44 e B=5.2. κ=0.41 e corresponde a constante de Von Kármán.


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A porção próxima à costa onde a relação logarítmica falha pode ser aproximada para uma solução laminar. Resultados mostram que a espessura da camada limite laminar δ é

δ = 11 (ν/u*)

No oceano,o valor da viscosidade molecular ν e 1.0 10-‐6 m2/s e a velocidade de fricção raramente e menor que 1 mm/s, o que implica que δ raramente excede a alguns cenametros.

Quando esse é o caso, o perfil de velocidade acima das asperidades do fundo não depende da viscosidade molecular do fluido mas da altura da rugosidade (roughness height) de tal forma que

zo e da ordem de 1/10 da altura da rugosidade do fundo.





FRICÇÃO E ROTAÇÃO

Quando a rotação está presente, a caracteríscca da camada limite muda drasccamente.

Pode-‐se analisar a importância relacva da fricção nos termos da equação do momento através do número de Ekman

Onde νE é a viscosidade turbulenta e H e a escala de altura do movimento (a espessura total do fluido se ele for homogêneo).

Longe das bordas, os numeros de Ekman são pequenos e nas bordas os termos de atrito se tornam importantes. De acordo com a teoria geral das camadas limites, o fluido exibe dois comportamentos discntos: longe das bordas (interior) ou região invíscida, a fricção é usualmente negligenciável, enquanto que próximo às bordas (nas camadas limites) a fricção atua para trazer a velocidade da região interior a zero na borda.


A espessura d desta camada é tal de modo que o número de Ekman é de ordem unitária na escala, permitindo que a fricção seja uma força dominante:

Coriolis faz com que a camada limite friccional dos fluxos geofísicos, a camada de Ekman, seja muito diferente da camada limite dos fluidos não rotacionais. A existência da uma escala de espessura d nos fluidos em rotação sugere que a camada de Ekman possa ser caracterizada por uma espessura fixa.


Considere a situação ilustrada abaixo:

O Desenvolvimento da camada de Ekman de fundo a parcr da influência da fricção em um fluxo uniforme com a influência da rotação. Fonte: Cushman-‐Roisin e Beckers, 2009.

A CAMADA DE EKMAN DE FUNDO

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A CAMADA DE EKMAN DE FUNDO ANÁLISE DA ESTRUTURA DA CAMADA

Não havendo gradientes horizontais e de variação temporal, a equação da concnuidade diz que a divergência horizontal é nula e w = 0 na camada estreita próxima ao fundo.

As equações restantes seriam

FUNDO (z=0) u=v=0 INTERIOR (z>>d) u=uavg, v=0, p=pavg(x,y)

Stress horizontal << termos verccais dentro da camada de Ekman. E esses podem ser relacionados com as velocidades horizontais via viscosidade turbulenta.

DINÂMICA FÍSICA DO OCEANO – AULA 5 A CAMADA DE EKMAN DE FUNDO

Claramente há dois efeitos combinados que podem ser separados (V = VP +VB) porque as equações que os descrevem são lineares.

Para o gradiente de pressão seria:

Para as componentes de Ekman, os resultados são:



Alinhando-‐se os eixos x e y de forma que x esteja alinhado na direção de uP (u geostrófico – no estado constante), as condições de contorno são:

•  u=uG, vB=0, wB=0 para z+H >> δB.

•  δB é a espessura da camada de Ekman bêncca.



Alinhando-‐se os eixos x e y de forma que x esteja alinhado na direção de uP (ugeostrófico no estado constante), as condições de contorno são:

•  u=0, v=0 para z=0 •  u=uG, vB=0, wB=0 para z+H >> δB.

•  δB é a espessura da camada de Ekman bêncca.

A CAMADA DE EKMAN DE FUNDO A ESPESSURA DA CAMADA DE EKMAN


Manipulando-‐se as equações apresentadas anteriormente é possível obter uma equação diferencial de quarta ordem cujo resultado, após aplicar-‐se as condições de contorno, é:

Em termos de velocidade total, as soluções são:

A CAMADA DE EKMAN DE FUNDO VELOCIDADE E ESPESSURA DA CAMADA


A velocidade se aproxima exponencialmente da velocidade geostrófica enquanto oscilando levemente em torno do valor da coordenada vertical (Figura a seguir).

A espessura da camada de Ekman é dada por:

A faixa de profundidade diretamente afetada pela fricção é de algumas vezes δB e a espessura aumenta com o aumento da difusividade turbulenta e dimimui com o aumento de f. Assim, a camada de Ekman é maior nos trópicos do que nos polos. Valores típicos da espessura da camada de Ekman de fundo está na faixa de 10 a 20 m de profundidade. Ja na atmosfera, a espessura equivalente é da ordem de 1 km.

A CAMADA DE EKMAN DE FUNDO VELOCIDADE E ESPESSURA DA CAMADA

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A distância na qual se acnge a solução do interior é da ordem de d ou δB. A solução também confirma que na camada limite há um fluxo transversal ao fluxo do interior (v ≠ 0). Muito próximo do fundo (z 0) esta componente é igual a velocidade da componente u (u v uGz/d) implicando que a velocidade próximo do fundo está a 45o para a esquerda da velocidade do interior. O fluxo na borda está à direita do fluxo interior (f < 0). Além disso, onde u acnge o primeiro máximo (z = 3πd/4) a velocidade na direção do fluxo é maior que a velocidade do interior (u = 1.07uG).

A CAMADA DE EKMAN DE FUNDO PROPRIEDADES DA SOLUÇÃO


Com a aproximação do fundo, a corrente diminui de velocidade devido ao atrito. A força de Coriolis diminui, pois é proporcional à velocidade. Então a força do gradiente de pressão não é compensada e o escoamento roda para a esquerda até que haja balanço entre a força de Coriolis, a força do gradiente de pressão e a força de atrito no fundo, o que ocorre quando a velocidade rodou 45º para a esquerda (HN).


Cálculo do transporte de volume dentro da camada de Ekman é dado por:

Esse fluxo é perpendicular ao fluxo perpendicular e é proporcional à velocidade do interior invíscido e da espessura da camada de Ekman.

A CAMADA DE EKMAN DE FUNDO O TRANSPORTE NA CAMADA DE EKMAN


As equações da camada limite para um fluxo espacialmente não uniforme que se encontre em equilíbrio geostrófico são:

Cujas soluções para as componentes de velocidade são:

A CAMADA DE EKMAN DE FUNDO GENERALIZAÇÃO PARA CORRENTES NÃO

UNIFORMES


E para o transporte de volume dentro da camada de Ekman:

Desde que o transporte não é necessariamente paralelo ao fluxo interior, é provável que o divergente seja não nulo. Dessa forma,


UNIFORMES


Fluxo na camada limite converge ou diverge se o fluxo no interior possuir vorccidade relacva.


UNIFORMES

A divergência na camada de Ekman de fundo é compensada pela subsidência do fluxo do interior. Essa situação ocorre quando há um giro ancciclônico no interior (flechas largas). Da mesma forma, o um giro ciclônico no interior causa convergência dento da camada de Ekman de fundo. Fonte:Cushman-‐Roisin e Beckers, 2009.

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• O fluxo vem e vai para o interior através da velocidade verccal.

•  Não há divergência da velocidade verccal a velocidade deve ocorrer em toda a profundidade do fluido.

•  Velocidade verccal (w) é pequena e é chamada de Ekman pumping ou Bombeamento de Ekman.

•  Quanto maior for a vorticidade do fluxo médio maior será o movimento vertical.

•  O efeito aumenta em direção ao equador, pois f diminui e δB aumenta.

•  A velocidade vertical será em direção ao interior num fluxo ciclônico e em direção ao fundo num fluxo anticiclônico.

A CAMADA DE EKMAN DE FUNDO EKMAN PUMPING


Considere um fluxo geostrófico interior, sem uniformidade espacial e sobre um terreno irregular (z=b(x,y)) (assuma declividade muito pequena) sobre um nível de referência horizontal. As soluções para as componentes de velocidade são:


UNIFORMES E DE FUNDO IRREGULAR


A espessura da camada de Ekman concnua , mas a espessura real é um pouco reduzida devido ao cosseno da declividade do fundo.

A velocidade verccal será:


UNIFORMES E DE FUNDO IRREGULAR

A velocidade no interior contém duas partes: uma componente que assegura que não há fluxo normal ao fundo e a contribuição do bombeamento de Ekman, como se o fundo fosse plano. O desaparecimento da componente perpendicular do fluxo no fundo deve ocorrer também na dinâmica invíscida do interior, o que dá origem ao primeiro termo da equação. O papel da camada limite é trazer a velocidade tangencial para zero no fundo. Isso explica o segundo termo da equação. Observe que o bombeamento de Ekman não é afetado pela declividade do fundo.


Considere a situação ilustrada abaixo:

A camada de Ekman supercial gerada pela ação do estresse do vento na superfcie do oceano. Fonte: Cushman-Roisin e Beckers, 2009.

A CAMADA DE EKMAN DE SUPERFÍCIE

DINÂMICA FÍSICA DO OCEANO – AULA 5 A CAMADA DE EKMAN DE SUPERFÍCIE

Na superycie há a atuação do stress do vento (τx e τy) e u=umed e v=vmed para z-‐∞

A solução do problema é:



PROPRIEDADES DO RESULTADO:

1.  O fluxo na camada de Ekman não depende do fluxo interior (invíscido)

2.  O fluxo é inversamente proporcional à espessura da camada de Ekman (d ou δB).

3.  Fisicamente, se o fluido for quase invíscido (pequenos valores de viscosidade molecular), um estresse de vento moderado pode gerar altos valores de velocidade de deriva.


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NO EXEMPLO ANTERIOR SUPONHA:

1.  Que não há fluxo no invíscido;

2.  Somente há estresse do vento na direção x;

3.  Z=0 (superycie)



RESULTADO:

1.  A corrente superficial está a 45o à esquerda/direita (HS/HN);

2.  Abaixo da superycie, a velocidade decai exponencialmente com a profundidade



Considere que o estresse do vento possa ser escrito por:

A velocidade superficial escmada por Ekman é:

Espessura da camada de Ekman (considerando que o limite inferior ocorre quando a velocidade é oposta a velocidade de superycie.



O Transporte horizontal na camada de Ekman é escmado por:


O Transporte é orientado perpendicularmente ao estresse do vento (à esquerda no HS).

DINÂMICA FÍSICA DO OCEANO – AULA 5 A CAMADA DE EKMAN DE SUPERFÍCIE A CAMADA DE EKMAN DE

SUPERFÍCIE

A estrutura da camada de Ekman superficial gerada pela ação do estresse do vento na superycie do oceano. O sencdo de giro é válido para o HN. O oposto é válido para o HS.

Fonte: Cushman-‐Roisin e Beckers, 2009.


SUPERFÍCIE EKMAN PUMPING

Da mesma forma que para a camada de Ekman de fundo, para se escmar a velocidade de bombeamento de Ekman é preciso determinar a divergência do fluxo integrado dentro da camada limite:

Para um valor de f invariável, a divergência depende somente do rotacional do estresse do vento e independe do valor da viscosidade.

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Caso o divergente seja diferente de zero, então:

A velocidade w é denominada de Ekman pumping.



No HS:

•  padrão ciclônico (rotacional do vento negacvo) upwelling

•  padrão ancciclônico (rotacional do vento posicvo) downwelling.

IMPORTÂNCIA?


HIPÓTESES DE EKMAN:

1.  Sem bordas: válido longe da costa;

2.  Água profunda: válido para profundidades >> 200 m;

3.  Plano-‐f: válido

4.  Oceano homogêneo: Ok, mas isso tem efeito sobre a estabilidade.

5.  Estado constante: soprar o vento por tempo maior que o tempo inercial;

6.  Viscosidade turbulenta independente da profundidade: não é válido. Az mudará rapidamente no fundo da camada de mistura porque a mistura é função da estabilidade.

A CAMADA DE EKMAN DE SUPERFÍCIE AS HIPÓTESES DE EKMAN


OBSERVAÇÕES:

1.  DeSzoeke e Niller (1981)

2.  Weller e Plueddmann (1996)

3.  Ralph e Niiler (2000):

RESULTADOS:

1.  Correntes inerciais são o maior componente do fluxo;

2.  O fluxo mediado sobre muitos períodos inerciais é praccamente igual ao previsto pela teoria de Ekman. Ralph e Niller encontraram:

A CAMADA DE EKMAN DE SUPERFÍCIE VALIDAÇÃO DA TEORIA DE EKMAN


RESULTADOS: 1.  O ângulo entre o vento e o fluxo na superfície depende da

latitude. (ângulo entre o vento e o fluxo superficial. Maximenko e Niiler.)

2.  O transporte é a 90° a esquerda do vento no HS e concorda bem com a teoria de Ekman.

A CAMADA DE EKMAN DE SUPERFÍCIE VALIDAÇÃO DA TEORIA DE EKMAN

DINÂMICA FÍSICA DO OCEANO – AULA 5 A CIRCULAÇÃO DE LANGMUIR

Observações do efeito do vento sobre a superycie do oceano mostra que ele é capaz de gerar mais do que a dinâmica de Ekman e correntes inerciais.

Em 1938 Irving Langmuir observou e descreveu a ocorrência de uma corrente que se espirala em torno de um eixo paralelo a direção do vento. A essas células foi dado o nome de CÉLULAS DE LANGMUIR e a circulação correspondente de CIRCULAÇÃO DE LANGMUIR.

A CIRCULAÇÃO DE LANGMUIR

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Weller et al. (1985) observou este fluxo durante um experimento para mensurar a circulação dirigida pelo vento nos primeiros 50 metros da coluna de água.

A CIRCULAÇÃO DE LANGMUIR DINÂMICA FÍSICA DO OCEANO – AULA 5 A CIRCULAÇÃO DE LANGMUIR

1.  O aparecimento da circulação em um fluido parado é observada quando Re = 530 +-‐ 10 e depois das ondas superficiais em Re= 370+-‐20. A circulação parece se formar a parcr de uma instabilidade que afeta a estrutura, estabilidade e transporte na camada mais superficial do oceano (cool skin).

2.  Ventos soprando constantemente sobre a superycie do oceano provocam pequenas ondas que, então, se ajustam em longas linhas de células em rotação;

3.  As células formam colunas alinhadas na direção do vento;

4.  Nos locais de convergência de células há o acúmulo de detritos, espuma etc;

5.  Nas zonas de divergência as áreas se mantém limpas (isto é, sem acúmulo de material);

6.  A camada de mistura dos oceanos pode ser afetada pela circulação de Langmuir, pois elas estão associadas à turbulênciaque afeta a mistura na camada de mistura;

7.  Normalmente restrita nos primeiros 50 m da coluna de água.

A CIRCULAÇÃO DE LANGMUIR CARACTERÍSTICAS


•  Escala horizontal de espaçamento entre as células (grosseiro) – B

B ~ 5 W (sendo W – velocidade do vento – length/s e B em unidades de length

•  Escala verccal

Aparentemente limitada a profundidade da camada de mistura

•  Velocidade de subsidência (grosseira)

~ 1% de W

A CIRCULAÇÃO DE LANGMUIR ESCALAS ESPACIAIS

DINÂMICA FÍSICA DO OCEANO – AULA 5 A CIRCULAÇÃO DE LANGMUIR A CIRCULAÇÃO DE LANGMUIR

Figure 9.13. Langmuir circulacon. A sketch showing the circulacon pa�ern with enhanced downwind flow in the surface convergence regions and including a ‘Y junccon’, where neighbouring windrows join together.

Dinâmica de Ekman

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