1

FUNDAMENTOS DE LA MECNICA: Dinmica del Punto Material o Partcula

La mecnica clsica se basa en un cierto nmero de principios fundamentales o postulados,

que resultan a la vez, de la observacin de los fenmenos mecnicos naturales y de un conjunto

de experiencias sencillas, pero cuya veracidad, est sobre todo fundamentada por la exactitud de

los resultados que se obtienen tomando como ciertos esos postulados fundamentales.

Estos principios fundamentales son muy sencillos, por lo menos en apariencia, y sin embargo,

la humanidad ha necesitado muchos siglos para llegar a establecerlos, y su validez general est

discutida en ciertos aspectos.

El concepto de tiempo como cantidad absoluta en la teora de Newton, sufri una

interpretacin bsicamente diferente en la teora de relatividad enunciada por Einstein (fsico

alemn 1879-1955) en 1905 (mediciones de tiempo distintos segn los sistemas de referencia

tengan velocidades relativas entre si)

Esto dividi a la mecnica en una de Newton (clsica) y otra de Einstein (relativista), pero los

resultados obtenidos por ambas teoras presentan una diferencia practica cuando intervienen

velocidades del orden de la luz (300000km/s), por ej. para estudiar partculas atmicas y

nucleares.

Los avances de Erwin Schrdinger (fsico austriaco 1887-1961) en el estudio de la mecnica

cuntica indican que las conclusiones de la 2 Ley de Newton no son validas cuando la partcula

se mueve a distancias atmicas de otras.

PRINCIPIO DE CAUSALIDAD

Si en distintos lugares y en distintos tiempos se reproducen las mismas causas, se producirn

los mismos efectos.

Es decir, si se presentan las mismas condiciones en dos instantes diferentes y en dos lugares

distintos del espacio, se reproducen los mismos fenmenos transportados en el tiempo y en el

espacio.

Esto implica que las mediciones que hagan tanto del tiempo como del espacio, deben

satisfacer este principio.

PRINCIPIO DE MASA

Este principio, tambin denominado primer principio de la dinmica o formulacin de Mach

fueron propuestos en 1883 por el fsico Ernst Mach, a partir de la revisin de los principios de

Newton. Se enuncia por medio de las dos proposiciones siguientes:

a) Dos puntos materiales conjuntamente aislados, tendrn en

cada instante aceleraciones colineales y de sentido opuesto,

estando sus mdulos en una relacin constante que solo

depende de dichos puntos materiales, siendo independiente del

tiempo y del movimiento de los mismos.

112

2

am

a

Donde 12m es la masa del punto P2 respecto del punto P1 y

expresa cuantas veces el punto P2 contiene materialmente al

punto P1

2

b) Dos puntos materiales aislados separadamente con un tercero, tendrn en cada instante

aceleraciones tales que cumple con la siguiente relacin:

1 0 1

1 0 2

/

/

a a a

a a a

Se denomina masa de un punto material respecto a otro punto material patrn, al cociente que

se obtiene de dividir el mdulo de la aceleracin de este ltimo punto, por el mdulo de la

aceleracin del primero, en la hiptesis de que ambos puntos estn conjuntamente aislados.

Por lo tanto si tomamos al punto P0 como punto patrn de masa unitaria, se obtiene:

0 1 1/a a m ; 220 "/" maa

Donde 1m y 2m son las masas de los puntos P1 y P2 respecto del punto patrn y con lo cual se

obtiene: 2

1

02

01

2

1

/1

/1

"/"

/

m

m

aa

aa

a

a

O bien: 1 2 2 1/ /a a m m y vectorialmente: 02211

amam

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN DE LOS EFECTOS

Si a un punto material se lo asla conjuntamente con otros, tendr un vector aceleracin que

ser la suma vectorial de las aceleraciones que tendra si se lo aislara separadamente, con cada

uno de ellos.

1

n

i

i

a a

ECUACIN FUNDAMENTAL DE LA DINMICA

Se denomina fuerza directriz, al producto de la masa por la aceleracin que experimenta el

punto material en el instante considerado.

Siendo la masa una magnitud modular, esto es esencialmente positiva, resulta de lo anterior

que la fuerza es un vector, que tiene la direccin y el sentido de la aceleracin y se expresa por la

frmula: F m a

La cual es la ecuacin fundamental de la dinmica, denominada tambin ecuacin de Newton

o 2 Ley de Newton (Sir Isaac Newton 1642-1727), lo expres en su Principia en 1687.

En ella se ve, que el cambio de movimiento es proporcional a la fuerza y sigue la recta de

accin de la misma.

En esta ecuacin la masa m juega el papel de coeficiente de proporcionalidad, constante para

un mismo cuerpo material, entre la fuerza y la aceleracin que esta produce:

1 1 2 2 3 3 ......... n nF a F a F a F a m

LEY DE IGUALDAD DE LA ACCIN Y REACCIN

Teniendo en cuenta el primer principio de la dinmica y la ecuacin de Newton, se deduce

que:

3

02211

amam 021

FF

Por lo tanto, las fuerzas directrices de dos puntos materiales, supuestos conjuntamente

aislados, tienen sentidos opuestos e igual direccin en cada instante.

Tambin puede decirse que para cada fuerza que acta sobre una partcula, esta ejerce una

fuerza igual, opuesta y colineal. Entonces las fuerzas no actan solas, siempre se las encuentra de

a pares.

LEY DEL PARALELOGRAMO DE FUERZAS

La fuerza directriz de un punto supuesto aislado conjuntamente con varios otros, en cada

instante, es la suma geomtrica de las fuerzas directrices que le corresponden cuando se supone

aislado con cada uno de ellos separadamente.

Esta ley se deduce de inmediato del principio de superposicin de los efectos:

1

n

i

i

a a

Y multiplicando ambos miembros por la masa:

1

n

i

i

ma ma

o bien 1

n

i

i

F F

Por lo tanto cuando sobre una partcula acten varias fuerzas la 2 ley (o principio) de Newton se

escribir: .F m a

Esta ecuacin nos dice que la accin que nos modifica el estado dinmico en el movimiento de

un cuerpo es la fuerza neta F que acta sobre l, producindole una aceleracin a proporcional a dicha fuerza; siendo la constante de proporcionalidad m caracterstica de la

partcula y a la cual se la denomina masa inercial.

LEY DE INERCIA

Un cuerpo persevera en su estado de quietud o de movimiento rectilneo uniforme si no es

perturbado por fuerza alguna.

En efecto si F 0 , o lo que es lo mismo, si el punto material se encuentra aislado resulta:

0

dt

vda ctev

Con lo cual el punto se encontrar en reposo ( 0

v ), o en movimiento rectilneo uniforme

( 0

ctev ).

SISTEMAS DE REFERENCIA

En la ecuacin fundamental de la dinmica interviene el vector a , pero la aceleracin del

movimiento de un punto material no es, en general, la misma respecto de sistemas en

movimiento relativo, unos respecto de otros, luego cabe plantear la cuestin respecto de que ejes

ser vlida dicha ecuacin.

Para responder a esta cuestin, Newton consider al espacio como absoluto, dando carcter

preferencial al sistema de referencia cuyo centro coincide con el baricentro del sistema solar y

sus ejes estn dirigidos a las llamadas estrellas fijas (estos son los llamados (ejes de Coprnico).

4

Cualquier sistema de referencia en movimiento de traslacin, rectilneo y uniforme con respecto

al sistema absoluto as definido, es galileano o inercial.

La validez de las leyes enunciadas solo es posible si se aplican a puntos materiales referidos a

ternas absolutas o bien a ternas inerciales. Como se ve en ningn caso debe ocurrir que el

sistema de referencia se encuentre en rotacin. Esto asegura

que la aceleracin de la partcula medida por observadores en

dos marcos de referencia inerciales distintos sea la misma.

Consideremos el sistema mvil 1 1 1O , i , j sin rotacin y

con 1O

V cte , y al sistema absoluto O, i, j . Las

coordenadas de una partcula P respecto de una terna

absoluta son:

1

1

cosO

O

x u V t

y w V t sen

y sus derivadas

1

1

cosO

O

x u V

y w V sen

x u

y w

Entonces, las aceleraciones de un punto respecto de una terna inercial o de una absoluta son

las mismas, y la ecuacin F ma , mantiene su validez en ambas.

Como los principios de la mecnica son vlidos para cualquier sistema inercial, no existen

razones fsicas para preferir cualquiera de ellos.

Es prudente advertir, que en la resolucin de problemas tcnicos el sistema de referencia que

se adopta se supone solidario a la tierra, cometindose un error que es despreciable, dado el

grado de aproximacin requerido para esa clase de clculos. Se ver ms adelante el estudio de

movimientos de partculas referidas a ternas mviles en rotacin.

FUERZAS NATURALES

En la mayora de los casos que se presentan en el estudio del movimiento, las fuerzas

actuantes sobre un punto material dependen de la posicin de la partcula, de su velocidad y del

tiempo. As se tiene:

( , , )F F r V t

Esta hiptesis no se cumple en algunos fenmenos denominados hereditarios, en los cuales

intervienen factores dependientes del comportamiento del sistema material, como ser: la

elasticidad del material, remanencia magntica, etc.

FUERZAS DEPENDIENTES DE LA POSICIN

Cuando las fuerzas que actan sobre un punto material que se mueve en un cierto campo,

dependen nicamente de la posicin del punto, se las denomina fuerzas posicionales. Su

expresin es:

( ) ( , , )F F r F x y z

y para cada punto del espacio existe un nico valor de fuerza.

El espacio en que se define esta fuerza, se llama campo de fuerzas, y la fuerza que

corresponde a un punto material de masa unitaria se denomina intensidad del campo.

5

En los campos de fuerza que se presentan en la naturaleza se verifica que si H e la intensidad

y m la masa, la fuerza que acta en cada punto es: F mH .

Un ejemplo de tales campos es el gravitatorio, en el cual la intensidad es el vector aceleracin

de la gravedad g , ya que el peso depende de la masa que se coloque en cada punto: W m g .

Un campo se dice que es uniforme cuando su vector intensidad H es constante para toda la

regin del espacio en la que est definido. Cuando se opera en una reducida porcin del espacio,

el campo gravitatorio se toma como uniforme.

La intensidad de un campo puede expresarse en funcin de sus componentes en una terna de

referencia:

( , , ) i ( , , ) j ( , , )kH Hx x y z Hy x y z Hz x y z

Fuerzas Conservativas

Entre las fuerzas posicionales tienen especial importancia aquellas que son iguales al

gradiente de una funcin escalar u. es decir, siendo ( , , )u u x y z una funcin uniforme, finita,

continua y derivable, se obtiene:

kFjFiFkz

uj

y

ui

x

uzyxuF zyx

),,(

En este el campo de fuerzas es un campo de gradientes y por lo tanto:

0

urotFrot

i j k

0rot Fx y z

Fx Fy Fz

;

Fx Fy

y x

;

Fz Fx

x z

;

Fz Fy

y z

(*)

por lo cual el campo conservativo es irrotacional.

No todos los campos irrotacionales derivan de una funcin escalar uniforme, en cuyo caso no

seran conservativos.

Para que sea uniforme debe cumplirse el teorema de Stokes:

0l S

F dr n rot F ds

en la cual la integral de lnea representa el trabajo de circulacin de la

fuerza F sobre la lnea l, y la integral de superficie, es el flujo del

rotor del campo a travs de la superficie limitada por l.

Si se tiene un campo irrotacional ( 0rot F ), resulta ser:

0l

F dr o 12 2 1 0w u u si 1 2P P

Lo que indica que el trabajo a lo largo de una lnea cerrada es cero,

lo que ser vlido si se cumplen las condiciones de este teorema, es

decir que el campo sea simplemente conexo.

El campo irrotacional definido en el espacio exterior de un cilindro ofrece un ejemplo sencillo

de espacio mltiplemente conexo.

6

El flujo del rotor del campo a travs de la superficie limitada por l, no cumple las condiciones

de nulidad por cuanto en 0S no est definido.

0l

F dr

Para aclarar esto, consideremos el espacio de mltiple

conexin no definido en la zona S y tomemos los puntos del

campo P1 y P2.

El trabajo de las fuerzas F del campo a lo largo de un camino que

vaya de P1 a P2 por la lnea 1l ser:

12 2 1w u u

ya que esta regin es de simple conexin.

Sin embargo, si lo hiciramos a lo largo de la lnea 2l (espacio de

mltiple conexin) el trabajo variara, ya que lo podramos considerar como la suma de los

siguientes trabajos:

12 11 1 1 1 2 2 2 2 2w w w w w w

donde: 1 1 2 2w w ; 11 2 2 2 1w w u u (en simple conexin) 1 2w m

Siendo m = mdulo del campo (trabajo de circulacin en una lnea cerrada que limita la zona

no definida). Con lo cual: 12 2 1w u u m

Esta ltima expresin, establece que el trabajo entre dos puntos para un camino mltiplemente

conexo, es igual al trabajo para un camino simplemente conexo, ms tantas veces el mdulo del

campo como vueltas desarrolla el camino alrededor de la zona no definida.

Esto indica que las ecuaciones (*) resultan ser una condicin necesaria pero no suficiente para

que un campo sea conservativo. Estas nos dicen que el campo es irrotacional, pero ser

conservativo se adems la funcin potencial ( , , )u u x y z es uniforme, es decir, si est definida

en toda la regin, lo que garantiza que el trabajo a lo largo de una lnea cerrada sea nulo.

FUERZAS DEPENDIENTES DE LA VELOCIDAD

La fuerza F que solicita un punto material P, puede

formar en un cierto instante un ngulo agudo u obtuso

respecto a la direccin del movimiento; en el primer

caso se dice que la fuerza es motriz, y en el segundo

que es resistente.

Hay fuerzas en la naturaleza que invariablemente

son resistentes; estas se denominan resistencias pasivas (por ejemplo el rozamiento entre

cuerpos, la que ofrecen los fluidos al movimiento de un cuerpo en su seno, etc.).Dichas fuerzas

tienen la direccin del vector velocidad pero con sentido opuesto y se expresando la siguiente

forma:

vF k

Siendo v , el versor de la velocidad del punto considerado. El signo menos responde a la

condicin de que estas fuerzas se oponen siempre al movimiento.

El coeficiente k puede adquirir distintos valores segn el caso que se trate:

a) 0k cte . En este caso se tienen fuerzas de rozamiento que se crean por causa del

movimiento de un cuerpo sobre una superficie rugosa.

7

b) 1k V . La fuerza es proporcional a la velocidad y se obtiene una fuerza de resistencia

viscosa , que es la que oponen los fluidos al movimiento lento ( 2 /V m s ) de los cuerpos

sumergidos en ellos. El coeficiente 1 depende de la naturaleza del medio, de las dimensiones

y de la forma del cuerpo material.

c) 22k V . En este caso las fuerzas se llaman resistencias hidrulicas y se desarrollan cuando

un cuerpo se mueve en el seno de un fluido con velocidades entre 2 m /s y 200 m /s.

d) nnk V . Se obtienen las fuerzas denominadas de resistencia balstica que se desarrollan

cuando un cuerpo se mueve a ms de 200 m /s en el seno de un fluido.

e) 20 1 2 .....n

nk V V V . Es la forma ms general en la que pueden expresarse las

resistencias pasivas y comprende a todos los casos anteriores.

Todos los coeficientes i se determinan en forma experimental.

CONCEPTOS MECNICOS DERIVADOS

Trabajo Elemental

Dada una fuerza F y un desplazamiento dr de su punto de

aplicacin, se define como trabajo elemental de la fuerza F al

producto escalar:

dW F dr

Pueden presentarse distintos casos:

a) Fuerzas constantes: F cte .

1

2

12 2 1

r

r

W F dr F r r F r

Si en el punto material actan varias fuerzas 1 2, ,....., nF F F simultneamente, mientras que

aquel sufre un desplazamiento r , la suma de los trabajos de todas las fuerzas es igual al

trabajo realizado por la resultante del sistema de fuerzas:

1 2 1 2..... .....n nW F r F r F r F F F r W R r

Anlogamente, si el punto material al cual est aplicada la

fuerza R efecta varios desplazamientos 1 2, ,....., nr r r , el

trabajo total es igual al trabajo de la resultante de las fuerzas

con respecto al desplazamiento resultante:

1 2 ..... nW R r R r R r

TW R r

8

b) Fuerzas dependientes del tiempo: ( )F F t

Si el punto se desplaza en el espacio segn una cierta ley cuya variable es el tiempo:

( )r r t , se obtiene:

( )dr V t dt

( ) ( )dW F dr F t V t dt

2

1

1 2 ( ) ( )

t

t

W F t V t dt

c) Fuerzas dependientes de la posicin: ( ) ( , , )F F r F x y z

Cuando las fuerzas que trabajan son posicionales, no es menester el conocimiento de las

ecuaciones de movimiento del punto aplicacin como ocurra en el caso b), sino que es

suficiente conocer la trayectoria ( )r r l .

drdr dl l dl

dl expresado con otra nomenclatura )( dseds

ds

rdt

dx dy dzdW F dl l Fx Fy Fz dl

dl dl dl

2

1

1 2

l

l

dx dy dzW Fx Fy Fz dl

dl dl dl

Luego, el trabajo para las fuerzas posicionales depende de la trayectoria, mientras que en el

caso b), an para una misma trayectoria, depende del tiempo, es decir, de la ecuacin horaria

que cumple el punto de aplicacin de la fuerza.

d) Fuerzas conservativas: kFjFiFkz

uj

y

ui

x

uzyxuF zyx

),,(

En este caso, al ser la fuerza igual al gradiente de una funcin de punto u, el trabajo que

realiza entre dos puntos P1 y P2 del campo, solo depende de estos puntos y no de la trayectoria

seguida ni de la ley del movimiento.

i j k i j ku u u

dW dx dy dzx y z

y dzu u u

dW dx d dux y z

2

1

1 2 2 1

u

u

W du u u

Ejemplo: Dado un punto material que se mueve en el

campo gravitatorio terrestre entre dos puntos P1 y P2:

jF m g

i j kdr dx dy dz

9

2 2

1 1

1 2

P y

P y

W F dr m g dy 1 2 1 2W m g y y

El trabajo solo depende de la posicin inicial y final del punto material.

e) Fuerzas de friccin:

El trabajo realizado por una fuerza de friccin depende de la trayectoria. Cuanto ms larga

sea esta, mayor ser el trabajo. Por consiguiente, las fuerzas de friccin no son conservativas.

Generalmente, el trabajo se disipa en forma de calor.

Potencia

Se define como potencia a la relacin entre el trabajo y el tiempo necesario para desarrollarlo.

Si W es el trabajo desarrollado en el lapso t , entonces la potencia media durante ese

intervalo de tiempo es: t

WPotm

y cuando el lapso t tiende a cero, se obtiene la potencia instantnea o simplemente, potencia:

dt

dWPot

Sustituyendo al trabajo elemental por el producto escalar F dr :

dt

rdFPot

.

o bien: vFPot

.

Impulso (I) y Cantidad de Movimiento (Q o P)

Partiendo de la ecuacin de Newton:

dVF ma m

dt

y como la masa de la partcula es constante:

d dQ

F mVdt dt

donde al vector Q mV se lo denomina cantidad de movimiento, y esta ecuacin expresa que la

resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula es igual a la variacin de la cantidad de

movimiento respecto al tiempo.

(Otro smbolo utilizado para definir cantidad de movimiento es P)

Tambin: F dt dQ

y llamando a F dt dI Impulso elemental: dI dQ

Conservacin de la cantidad de movimiento:

Si ocurre que no hay fuerzas que acten sobre la partcula, o bien que la resultante de ellas sea

nula, se tiene: 0

Qd cteQ

Lo que nos dice que en este caso se conserva el vector cantidad de movimiento Q .

10

Momento angular o cintico (Ko o Lo)

Considerando una partcula que se mueve respecto de un

sistema de referencia , , ,O x y z , y calculando el momento

respecto de O (punto fijo), del vector cantidad de

movimiento: Q mV , se obtiene:

( )OK r mV

En la que ( )OK es el momento cintico o momento angular

o momento de la cantidad de movimiento de la partcula P respecto del punto O.

(Otro smbolo utilizado para definir momento de la cantidad de movimiento respecto de O es Lo)

Este vector es perpendicular al plano definido por los vectores r y V , y est aplicado en el

punto O.

Si se deriva al momento angular respecto del tiempo t:

( )OdK dr dVmV r m V mV r ma

dt dt dt

y como los vectores V y mV son colineales, y adems F ma por Newton se obtiene:

( )OdKr F

dt o bien:

( )

( )

O

O

dKM

dt

Donde ( )OM es el momento respecto de O de las fuerzas que actan sobre la partcula. Con lo

cual, esta expresin indica que la suma de los momentos respecto de O de las fuerzas que actan

sobre la partcula es igual a la variacin del momento cintico respecto de O.

Conservacin del momento angular o cintico:

Si el momento o torque de la resultante de fuerzas aplicadas sobre una partcula respecto de

un punto fijo O es cero durante un intervalo o trayecto de esa partcula, implica que la variacin

del momento angular o cintico respecto del punto O es cero, por lo tanto se conserva el

momento cintico o angular respecto de O durante ese trayecto o intervalo de tiempo.

Si dt

KdM

o

o

)(

)( 0

cteK o )(

Energa Cintica y Potencial

Partiendo de la ecuacin de Newton: dV

F ma mdt

y multiplicando escalarmente

miembro a miembro por dr :

dVF dr m dr mV dV

dt o bien:

11

2

2

VdW d m

donde 2

1

2mV e energa cintica (Ec o e energa cintica) Luego:

dW de

Integrando entre dos posiciones P1 y P2:

2 2

1 1

P V

P V

dW de o bien: 2 2

1 2 2 1 2 1

1 1

2 2W mV mV e e

Esta ltima ecuacin describe el principio del trabajo y la energa o teorema de las fuerzas

vivas.

Aqu 1 2W representa el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actan sobre la

partcula cuando la misma se mueve desde el punto P1 al P2. Los trminos del segundo miembro

son cantidades positivas por cuanto no dependen de la direccin de la velocidad. En otras

palabras, el incremento de la energa cintica de un punto material en un intervalo 2 1t t , es igual

al trabajo realizado por las fuerzas en ese mismo intervalo.

En el caso particular en que la fuerza F es posicional y adems es conservativa (gradiente de

una funcin escalar u), se tendr:

dW de du

en la que se tiene en cuenta la ecuacin de trabajo de fuerzas conservativas ya vista. La funcin

, ,u x y z es una funcin escalar cualquiera que se denomina funcin potencial. Ahora bien, observando la expresin anterior, es lgico inferir que si las fuerzas del campo

realizan un trabajo positivo generando una energa cintica, lo tendrn que hacer a expensas de

un consumo de trabajo, el cual las mismas estn capacitadas para realizar.

Es decir, que si se coloca una masa en un campo conservativo, adquiere un movimiento

(adquiere energa cintica), que se origina a partir de algn trabajo consumido. Por lo tanto, se

deduce que el campo posee una energa pasiva o latente que no se pone de manifiesto hasta que

no se coloque un cuerpo en el. Esa energa consumida es la energa potencial.

As, se puede definir en el campo conservativo una funcin potencial p (o Ep) como energa

capaz de realizar trabajo.

dW dp

ya que a un trabajo positivo de las fuerzas del campo le corresponder una cantidad igual pero

de signo contrario de energa potencial consumida. 1 2 2 1( )W p p

La funcin energa potencial ser igual y de sentido contrario a la funcin escalar

, ,u x y z generadora del campo de fuerzas.

dW de du dp

1 2 2 1 2 1 2 1( )W e e p p u u

La relacin de la energa cintica con la potencial es:

de dp

1 2 2 1 2 1( )W e e p p

e integrando entre dos posiciones cualesquiera del campo conservativo se obtiene:

12

2 1 2 1( )e e p p 1 1 2 2 .e p e p cte E

Este es el teorema de la conservacin de la energa que expresa que la energa mecnica E,

suma de las energa cintica y potencial, se conserva constante durante el movimiento en un

campo conservativo (o cuando el trabajo de las fuerzas no conservativas es cero).

Cuando sobre una partcula actan realizando trabajo varias fuerzas conservativas se

asociarn tantas energas potenciales como fuerzas conservativas realicen trabajo.

CAMPO GRAVITATORIO

Consideremos el caso en que una masa M ubicada en O

genera un campo de fuerzas , ,F x y z de intensidad H , en el espacio que la circunda.

2r

kH

r

2r

k mF m H

r

donde: k G M constante de gravitacin universal

multiplicada por la masa que genera el campo.

i j kr x y z

2 2 2 2r x y z

r r r

Puede verificarse que el campo es irrotacional, puesto que se verifica:

Fx dFy

y x

;

Fy dFz

z y

;

Fx dFz

z x

y puede encontrarse la funcin energa potencial mediante:

dW du dp F dr

Teniendo en cuenta en este caso la componente radial de dr ya que la fuerza es radial

2r

k mdr dr dp dr

r (en polares rdr dre rd e )

2

k mdp dr

r de donde:

k mp C

r

en un gravitatorio se toma 0p cuando r , con lo cual resulta:

p k m r o bien r k m p

Por lo tanto se ve que para cada valor de p se obtiene un radio r, y las superficies

equipotenciales resultan ser una familia de esferas concntricas con centro en O.

La funcin p es uniforme en todo el campo, lo que indica que el campo es conservativo.

Veamos la variacin de la energa potencial en la proximidad de la superficie terrestre:

13

2 1

1 1 R rp p p km km

r R R r

Adems: r R h

2k GM gR

y siendo h un valor pequeo, puede considerarse que:

2r R R

con lo cual: p m g h

La cual es una formula aproximada, vlida en las proximidades de la superficie terrestre,

donde puede considerarse que la aceleracin de la gravedad es constante (g).

TEMA: MOVIMIENTOS RELATIVOS

Velocidades absolutas relativas y de arrastre. Aceleraciones absolutas, relativas, de arrastre y

de Coriolis.

En los temas anteriores se estudiaron distintos movimientos de una partcula usando marcos de

referencias inerciales o fijos ya que desde ellos son vlidas las leyes o principios de la dinmica

newtoniana. Sin embargo hay muchos casos en donde la trayectoria del movimiento de una

partcula es complicada y puede ser factible analizar el movimiento en partes usando dos o ms

marcos de referencia.

Designaremos movimiento relativo al estudio de las relaciones cinemticas y dinmicas de una o

ms partculas observadas desde dos sistemas de referencia S y S tal que uno de ellos pueda

considerarse mvil (S) y el otro fijo (S).

En esta asignatura se estudia el movimiento relativo dentro de los lmites de la fsica clsica; en

la mayora de los problemas tcnicos de sistemas mecnicos ser suficientemente preciso tomar

como sistema fijo de ejes de referencia un sistema de ejes solidarios a la Tierra, desprecindose

as el movimiento de sta.

Ejemplo del estudio del movimiento de una partcula localizada en la punta de la hlice de un

avin en vuelo se podra analizar como la composicin del movimiento del avin desde una

referencia fija ms el anlisis vectorial del movimiento circular de la partcula desde una

referencia fija en el avin. Se podr optar por distintos tipos de coordenadas como las vistas en el

captulo anterior, rectangulares, intrnsecas, cilndricas.

Segn el problema a analizar se puede trabajar

considerando marcos de referencia en traslacin o en

rotacin.

MOVIMIENTO RELATIVO USANDO MARCOS

DE REFERENCIA EN TRASLACIN:

Considerando los movimientos de A y B segn las

trayectorias arbitrarias a y b. Se define posicin absoluta

de cada partcula A y B al vector con origen en O y

extremo en cada una de ellas medido desde el marco de

referencia fijo x,y,z, las llamamos Ar

y Br

.

Un segundo marco de referencia ser el x,y,z cuyo

14

origen de referencia lo pondremos en A y tendr un movimiento de traslacin con A respecto del

marco fijo.

Si analizo la posicin de B desde el marco que sigue a A llamamos ahora a ABr /

a la posicin de

B relativa a A.

Sumando vectorialmente los vectores posicin tendremos que

1) ABAB rrr /

A partir de la ecuacin anterior derivando con respecto al tiempo los vectores posicin nos

queda:

2) ABAB vvv /

Tanto Bv

como Av

que son las derivadas respecto del tiempo de los vectores posicin de cada

partcula referidos al marco fijo darn las velocidades absolutas de cada

una de ellas observadas desde dicho marco, en cambio el termino ABv /

que sale de derivar el vector posicin de B relativo al marco de

referencia en traslacin con A nos dar la velocidad relativa de B

respecto de dicho marco.

Es importante advertir que como los ejes x`y`z` se

trasladan los versores (i,j,k) de ese sistema no

cambiarn de direccin y por lo tanto la derivada

con respecto al tiempo de las componentes de

ABr /

se tendrn en cuenta si existe un cambio de

magnitud.

/ B Ar x i y j z k

/

B A

dx dy dzv i j k

dt dt dt

La derivada respecto del tiempo de la ecuacin 2) nos darn los vectores componentes de la

aceleracin de cada partcula.

3) ABAB aaa /

2 2 2

/ 2 2 2

B A

d x d y d za i j k

dt dt dt

Los trminos vectoriales Ba

y Aa

nos dan las aceleraciones de cada partcula medidas desde el

marco de referencia fijo x,y,z.

El termino ABa /

es la aceleracin de B vista por el observador localizado en A y trasladndose

con el marco de referencia x`y`z`.

Al ser 1) ,2) y 3) ecuaciones vectoriales podemos trabajar cada una de ellas en 3 ecuaciones

escalares en el caso de componentes cartesianas.

Resulta til para visualizar las ecuaciones encontrar grficamente por trigonometra algunas de

las incgnitas de los problemas.

15

ANALISIS DE MOVIMIENTO RELATIVO USANDO EJES DE REFERENCIA EN

ROTACION

Desarrollaremos esta teora considerando que analizamos el movimiento de 2 puntos uno de los

cuales es el origen de un marco de referencia mvil sometido a traslacin y a rotacin en el

plano, esto es para visualizar mejor las ecuaciones.

Los puntos involucrados pueden ser partculas movindose independientemente una de otra o ser

dos puntos pertenecientes o no a un cuerpo rgido (se ver ms adelante)

Tomamos 2 ternas de referencia una fija con ejes XYZ y otra movil x`y`z` con origen en A que

se traslada y rota en el plano.

La posicin de B respecto de A que anteriormente lo llamamos ABr /

lo podremos expresar

segn las componentes en i j k o en ijk.

La velocidad de B se calcula a partir de la derivada respecto del tiempo de ABAB rrr /

;

as queda que dt

rdvv ABAB

/

Si expresamos ``/ jyixr BBAB

su derivada respecto de tiempo nos queda

/

B A

dx dy dz di dj dkv i j k x y z

dt dt dt dt dt dt

Suponiendo que la terna mvil gira con una velocidad angular k Los versores i, jvariarn en su direccin, no as k. La variacin infinitesimal de cada uno de

los versores durante un tiempo dt se muestra en

las figuras siguientes.

Si

di

jdt

;

dj

idt

Escribiendo estas variaciones haciendo

un producto vectorial queda:

dixi

dt ;

djxj

dt

B A

dx dy dz di dj dkv v i j k x y z

dt dt dt dt dt dt

( ) ( )B A relv v v x xi y xj ; /B A rel B Av v v xr *

B a relv v v ; siendo la /a A B Av v xr es la velocidad de arrastre

Para obtener la aceleracin se deriva respecto del tiempo la ecuacin *.

/( )rel B AB A

dv d xra a

dt dt

/ // /

( ) ( )B A B AB A B A

d xr drd dx dy dz di dj dkxr x xr x i j k x y z

dt dt dt dt dt dt dt dt dt

( )

rel

dx dy dzd i j k

dv dt dt dt

dt dt

16

2 2 2

2 2 2

rel

dv d x d y d z dx di dy dji j k

dt dt dt dt dt dt dt dt

Sustituyendo y reagrupando trminos se tiene:

/ /( ) 2B A B A B A rel rela a xr x xr xv a

Donde: / /( )a A B A B Aa a xr x xr es la aceleracin de arrastre.

2c rela xv es la aceleracin de Coriolis o complementaria: es un vector que es perpendicular al vector rotacin del mov. de arrastre y al vector veloc. relativa del punto considerado.

La ac es nula si el mov. de arrastre es de traslacin ( = 0) y cuando los vectores y vr son paralelos.

La aceleracin de Coriolis representa la diferencia entre la aceleracin relativa medida desde ejes

en rotacin y desde ejes que no estn rotando ambos ubicados en el mismo origen.

Con respecto a la aceleracin relativa se calcular en funcin del tipo de movimiento de la

partcula B respecto del sistema de referencia acelerado que tiene origen en A.

Teorema de Galileo o de adicin de velocidades: establece que la velocidad absoluta es igual a

la suma vectorial de la velocidad relativa y la de arrastre. (En 1905 Einstein present su teoria de

relatividad especial o restringida en la que la velocidad de la luz en el vacio representa un lmite)

Teorema de Coriolis: expresa que la aceleracin absoluta es igual a la suma de la aceleracin

relativa, la de arrastre y la de Coriolis.

Desde el punto de vista de la dinmica teniendo en cuenta que las leyes de Newton son vlidas

desde sistemas inerciales de referencia se deben adaptar las ecuaciones si analizamos el mov.

desde uno no inercial apareciendo las fuerzas ficticias o de inercia entre ellas aparecer la de

arrastre Fa = - m.aa y la de Coriolis Fc = - mac

APLICACIONES:

1) Incidencia de la fuerza de Coriolis en el movimiento de proyectiles. Simon-Denis Poisson haba calculado que una bala de can disparada hacia el aire sufrira una

ligera desviacin aparente hacia un lado a causa de la rotacin de la Tierra. Tambin

concluy que afectara a los pndulos, pero no pens que la acumulacin de esa

desviacin en el tiempo poda transformarse en tan magnfica demostracin como

para pasar, segn Foucault expres, "de los dominios de la teora a la

experimentacin".

2) Pndulo de Foucault: Movimiento de rotacin del plano de oscilacin de un pndulo puntual. Foucault present oficialmente los resultados a la Academia de Ciencias

Francesa el 3 de febrero de 1851 donde dedujo que "el plano de oscilacin permanece

invariable; lo que se desplaza es toda la catedral por efecto de la rotacin terrestre,

siendo la aceleracin de Coriolis la que determina el peculiar sentido de giro". Dicha

aceleracin, derivada de la propia rotacin, fue dada a conocer en 1835 por el

ingeniero Gaspard Coriolis.

17

Problemas de aplicacin:

1) Los instrumentos de un avin indican que, con respecto al aire, el avin se est moviendo

hacia el este con una velocidad de 525 km/h. Al mismo tiempo un radar en tierra indica que el

avin se mueve con una velocidad de 490 km/h en direccin 8 al norte del este. Hallar la

magnitud y direccin de la velocidad del aire.

2) Dos aviones A y B estn volando a la misma altura separados horizontalmente entre s en un

instante a 4 km. Si el avin A sigue una trayectoria recta y tiene en ese instante una velocidad de

700 km/h con una aceleracin de 50 km/h2

; B sigue una trayectoria circular de 400 km de radio

movindose a 600 km/h en la misma direccin y sentido que A pero se frena a razn de 100

km/h2 . Determinar para el instante mencionado la velocidad y la aceleracin de A medidos por

el piloto del avin B indicando cada trmino de aceleracin (arrastre, relativo y de Coriolis).

3) El punto soporte B de un pndulo simple, de

masa m y longitud l, tiene una aceleracin

horizontal constante a como se indica en la figura.

Si el pndulo parte del reposo relativo con respecto

al sistema mvil con = 0, determinar la expresin de la tensin T de la cuerda en funcin de . Comparar este resultado con el que se obtendra si

el soporte B estuviera sin acelerar.

4) El collar P se desliza de A hacia B a lo largo de una barra semicircular AB de 200 mm de

radio. La barra gira alrededor de un perno en A y la velocidad de P con respecto a la barra es

constante a 120 mm/s. Cuando el sistema est

en la posicin que se muestra la velocidad y

aceleracin angular son las indicadas en el

dibujo. Determinar para esta posicin la

velocidad y aceleracin de P, indicando

claramente cada uno de los trminos (arrastre,

relativo y Coriolis)

Si el sistema se encuentra en el plano vertical

y el collar P tiene una masa de 800 gramos,

considerando que no existe friccin entre el

collar y la barra, calcular la fuerza de

interaccin entre la barra y el collar cuando

pasa por el punto inferior.