Din Mathcad
Transcript of Din Mathcad
Ingeniería Mecánica
DinámicaEdición Computacional
Manual de Mathcad® para
Robert W. Soutas-LittleMichigan State University
Daniel J. InmanVirginia Polytechnic Institute and State University
Daniel S. BalintImperial College London
Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur
Contenido
Introducción 5Calculadora numérica 6
Cálculos algebraicos 9
Cálculos simbólicos 12
Capítulo 1 Cinemática de la partícula 141.4 Problema de dinámica inversa 14
Efecto del ruido en los datos 17
Problema de ejemplo 1.1 18
Problema de ejemplo 1.2 20
Problema de ejemplo 1.6 21
Problema de ejemplo 1.7 25
Problema de ejemplo 1.10 26
Problema de ejemplo 1.11 28
Problema de ejemplo 1.12 30
Problema de ejemplo 1.14 32
Problema de ejemplo 1.15 35
Problema de ejemplo 1.16 36
Problema de ejemplo 1.17 37
Problema de ejemplo 1.18 38
Problema de ejemplo 1.19 39
Problema de ejemplo 1.20 41
Problema de ejemplo 1.22 43
Problema de ejemplo 1.24 45
1.5 Movimiento relativo 47
Problema de ejemplo 1.25 47
Problema de ejemplo 1.26 48
Problema de ejemplo 1.34 50
Problema de ejemplo 1.35 51
Capítulo 2 Cinemática de las partículas 52Problema de ejemplo 2.1 52
Problema de ejemplo 2.3 56
Problema de ejemplo 2.4 57
Problema de ejemplo 2.5 58
Problema de ejemplo 2.6 61
Problema de ejemplo 2.7 63
Problema de ejemplo 2.8 64
Problema de ejemplo 2.10 65
Problema de ejemplo 2.12 69
Problema de ejemplo 2.13 71
Problema de ejemplo 2.14 72
Problema de ejemplo 2.15 74
Problema de ejemplo 2.17 76
Problema de ejemplo 2.22 78
Problema de ejemplo 2.23 80
Capítulo 3 Primeras integrales de movimiento trabajo-energía e impulso-cantidad de movimiento 83
Problemas de impacto 83
Problema de ejemplo 3.11 84
Capítulo 4 Sistemas de partículas 87Problema de ejemplo 4.2 87
Problema de ejemplo 4.3 88
Capítulo 5 Cinemática de cuerpos rígidos 91Problema de ejemplo 5.8 91
Problema de ejemplo 5.14 93
Problema de ejemplo 5.15 94
Problema de ejemplo 5.16 95
5.10 Análisis de movimiento plano en términos de un parámetro 96
Problema de ejemplo 5.21 97
Problema de ejemplo 5.23 98
Problema de ejemplo 5.24 99
Problema de ejemplo 5.25 101
Problema de ejemplo 5.26 101
Problema de ejemplo 5.31 104
Capítulo 6 Dinámica de cuerpos rígidos en movimiento plano 106
Problema de ejemplo 6.1 107
Problema de ejemplo 6.3 108
Problema de ejemplo 6.4 110
3
4 CONTENIDO
Problema de ejemplo 6.5 112
Problema de ejemplo 6.6 114
Problema de ejemplo 6.8 115
Problema de ejemplo 6.9 116
Problema de ejemplo 6.11 118
Capítulo 7 Potencia, trabajo, energía, impulso y cantidad de movimiento de un cuerpo rígido 121
Problema de ejemplo 7.9 122
Capítulo 8 Dinámica tridimensional de cuerpos rígidos 128
Problema de ejemplo 8.2 128
Problema de ejemplo 8.3 129
Problema de ejemplo 8.4 130
8.7 Ecuaciones de movimiento de Euler 132
Capítulo 9 Vibración 136Problema de ejemplo 9.6 136
Problema de ejemplo 9.9 138
Problema de ejemplo 9.10 139
Problema de ejemplo 9.11 140
Apéndice A 142
Índice 143
Introducción
Este suplemento para Ingeniería Mecánica: Dinámica de Soutas-Little, In-man y Balint pretende mostrar cómo los programas de cómputo pueden ayu-dar a resolver problemas de dinámica. Mathcad es un producto de Math Soft Engineering and Education, Inc. con domicilio en el 101 de Main Street, Cambridge, MA 02142. Es recomendable tener en cuenta, antes de usar este software para resolver problemas de dinámica, el correcto modelado de dichos problemas. Esto es, se debe construir un diagrama de cuerpo libre y las ecuaciones de movimiento así como las de restricción, tienen que ser escritas y reducidas a la forma escalar de una ecuación diferencial. El soft-ware computacional puede ser utilizado para resolver estas ecuaciones dife-renciales y trazar las trayectorias de movimiento. Si usted está familiarizado con estas instrucciones básicas, continúe con el análisis de la solución de los problemas de ejemplo en el texto.
Este suplemento pretende guiar al lector a través del uso de Mathcad para resolver problemas de dinámica. Debido a esto, esfuércese en abrir su versión de Mathcad y ejecute los pasos descritos en el suplemento tal como los lee. El material es de suma importancia para acompañar al texto Inge-niería Mecánica: Dinámica y trabajar a detalle muchos de los problemas de ejemplo usando Mathcad. Se sugiere que trabaje con el programa abierto
5
6 INTRODUCCIÓN
mientras lee esta introducción. Entonces refi érase al suplemento cuando sea necesario para resolver los problemas de tarea utilizando las soluciones de los ejemplos resaltadas en cada capítulo. Mientras el suplemento sugiere formas de utilizar Mathcad para mejorar su comprensión de la dinámica y le enseña a mejorar sus habilidades con la computadora, usted puede echar un vistazo al manual de Mathcad e idear sus propias aplicaciones para resolver problemas de dinámica así como su aplicación en otros cursos.
Hasta donde fue posible, la hoja de trabajo actual de Mathcad se copió y pegó directamente en el suplemento. El tipo de letra se modifi có para mostrar exactamente lo que el lector puede teclear para reproducir los re-sultados analizados. La hoja de trabajo de Mathcad se diseñó con un for-mato tal y como el que el paquete utiliza para leer y analizar matemáticas, trabajando de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Usted puede trabajar con fórmulas, números, texto y gráfi cas y puede insertar material en cualquier parte de la hoja de cálculo, sólo con seleccionar un punto y ha-ciendo clic con el botón del ratón. Sin embargo, no podrá solicitar variables o funciones antes de que sean defi nidas; esto signifi ca que deberá usar el formato de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.
El suplemento consta de 10 capítulos en seguida de esta introducción general, correspondiendo a los nueve capítulos y los apéndices del texto Ingeniería Mecánica: Dinámica de Soutas-Little, Inman y Balint. Cada ca-pítulo de este suplemento presenta las soluciones apropiadas en Mathcad a los problemas de ejemplo dados en el texto.
Calculadora numérica
Mathcad puede ser utilizado como una calculadora numérica, vectorial o matricial que incluye las funciones estándar. Para cálculos numéricos, los resultados se obtienen usando el signo igual (=). Ejemplos de cálculos nu-méricos se muestran en la siguiente ventana computacional:
CÁLCULOS NUMÉRICOS
Suma, Resta, Multiplicación y División.
=.( )8 33
48.25 =.5
23
4 32 56.333
Los símbolos de suma, resta y división son los normales en el teclado de la computadora. El símbolo de la multiplicación se encuentra opri-miendo shift-8 y para la raíz o potencia de un número se oprime shift-6. La barra espaciadora se usa para moverse desde el denominador o desde el exponente y regresar a trabajar con la expresión completa.
CALCULADORA NUMÉRICA 7
Los cálculos pueden estar incluidos en las funciones estándar. Recuerde que muchos de los paquetes de software asumen que los ángulos están dados en radianes. Para expresarlos en grados, se debe multiplicar por (deg) que es una constante para cambiar a radianes en cualquier software, por ejemplo:
=8 .12 sen ( ).30 grados 14 =acos ( )0.866
grados30.003
Observe que, para el cálculo del arco coseno, la respuesta puede estar dada en radianes pero la división entre la constante (deg) con-vierte el resultado a grados.
Los cálculos numéricos de vectores se realizan de manera similar. Math-cad trata a un vector como una matriz columna de tres renglones y una columna. La suma y la resta vectorial se realizan utilizando las teclas es-tándar. El producto punto utiliza el símbolo de multiplicación (shift-8) y el producto cruz se obtiene presionando control 8. Ambos se encuentran en la paleta del vector matriz. La división vectorial no está defi nida. La magnitud de un vector puede obtenerse utilizando el símbolo de magnitud de la paleta o presionando el signo (|) en el teclado. Ejemplos de cálculos vectoriales se muestran en la siguiente ventana computacional:
VENTANA COMPUTACIONAL
Las siguientes expresiones son ejemplos de suma y resta de vectores (en algunos casos, las componentes vectoriales están dadas como fun-ciones):
=
3
1
6
.3 sen ( ).45 grados
45
52 42
5.121
0.2
15
=
3
4
12
13
8 INTRODUCCIÓN
Ejemplos del producto punto y del producto cruz son los si-guientes:
=.1
8
3
4
2
4
8 =
1
8
3
4
2
4
38
16
30
=
1
8
3
4
2
4
50.99
Observe que las componentes del vector pueden requerir cálculos y pueden involucrar funciones de manera similar a las que se usan en cálculos de escalares.
Los cálculos numéricos de matrices se realizan de la misma forma que con los vectores. Matrices del mismo tamaño pueden ser sumadas o resta-das. La multiplicación de matrices sólo puede ser llevada a cabo entre una matriz (m × k) y otra (k × n) resultando en una matriz (m × n). Los siste-mas lineales de ecuaciones se pueden resolver tomando el coefi ciente de la inversa de una matriz. En general, Mathcad limita el tamaño de la matriz a 100 elementos o para el caso de una matriz cuadrada, ésta debe ser no mayor a (10 × 10). Ejemplos de operaciones con matrices se muestran en la siguiente ventana computacional:
VENTANA DE CÁLCULOS CON MATRICES
La multiplicación de una matriz de tamaño (m × k) por otra de tamaño (k × n) puede lograrse usando la paleta matricial.
En el siguiente ejemplo, se multiplican juntas dos matrices de (3 × 3):
=.
3
.3 sen .20 grados
423
34
1
.5 33
12
8
12
8
.10 cosπ
3.3 2 3
4
29
0
8
14
3
12
32
1.982 103
210.206
23
125.756
424.794
51
246.635
234.176
Observe que todos los cálculos requeridos en los elementos de la ma-triz original son realizados antes de que la multiplicación matricial se ejecute.
Una de las aplicaciones más utilizadas de matrices es en la solu-ción de ecuaciones simultáneas. Para esta aplicación, la inversa de la matriz de coefi cientes premultiplica el lado derecho conocido de las ecuaciones. A continuación se da un ejemplo:
=.
2
1
0
1
0
5
3
2
4
1
2
0
1
2
1
3
1 100
250
0
300
65.169
8.989
28.652
84.27
El lado derecho es la solución de las cuatro incógnitas en la columna ordenada. Por ejemplo, la primera ecuación puede aparecer como
2X1 + 0X2 – 4X3 + X4 = 100El resultado de la solución del sistema es X1= 65.169, X2 = –8.989, X3 = 28.652 y X4 = 84.27.
Cálculos algebraicos
Cuando una variable o una constante es usada más de una vez o cuando siente que puede cambiar este valor dentro del programa, es mejor defi nir un símbolo que corresponda a esta constante o variable. Para defi nir un sím-bolo algebraico que sea equivalente a un escalar, vector o matriz utilice la defi nición del símbolo, la que se puede obtener presionando la tecla de los dos puntos (:) o seleccionando el símbolo de la paleta. El símbolo de defi nición puede aparecer como (:=). Las variables o las constantes son nombradas de acuerdo a las letras del alfabeto griego, seleccionando la letra adecuada de la paleta o tecleando la letra romana equivalente y presionando control-G.
Ejemplos de cálculos y defi niciones algebraicas se muestran en la si-guiente ventana computacional:
VENTANA COMPUTACIONAL ALGEBRAICA
Los siguientes símbolos pueden ser usados para defi nir escalares, vec-tores y matrices constantes o variables:
V
3.2 sin β.2 cos β
g 9.81 β .30 deg
r 15
30
20
CÁLCULOS ALGEBRAICOS 9
10 INTRODUCCIÓN
Cuando trabajamos con símbolos algebraicos, debemos recordar que Mathcad está basado en un tipo de hoja de análisis. Además se lee de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Si usted llama un sím-bolo que no fue defi nido desde antes, Mathcad le indicará que éste se encuentra indefi nido. En este caso, defi nimos g para la aceleración gravitacional en unidades SI. Actualmente, g está defi nida automáti-camente en Mathcad pero en unidades predefi nidas y siempre que el programa realice cálculos y verifi que unidades, esto puede ser demo-rado hasta que usted esté más familiarizado con el programa. Utilizan-do las variables defi nidas previamente, tenemos:
=.r V 96.962
=r V
55.981
55.359
65 =tan β 0.577
Ahora defi nimos dos matrices A y B y examinamos diferentes opera-ciones matemáticas usando estas matrices y la matriz V defi nida pre-viamente:
A
2
3
3
1
0
1
6
4
7
B
1
9
8
5
0
4
5
3
6
=A B
1
12
11
4
0
5
11
7
1
=.A B
59
35
44
34
31
13
29
9
54
=.B A
2
9
14
6
6
2
49
75
74
=.A V
15.392
15.928
4.124
Una de las variables más importantes es el rango variable, el cual es usado cuando desea defi nir funciones de esta variable sobre un rango de valores. Cuando se defi ne un rango variable, usted especifi ca esta prime-ra variable seguida por una coma, entonces se especifi ca el siguiente valor seguido de punto y coma. Por último se especifi ca el valor fi nal. Mathcad puede calcular automáticamente los incrementos. Ejemplos del uso de un rango variable y la grafi cación de funciones de esta variable se muestran en la siguiente ventana computacional:
RANGOS VARIABLES Y FUNCIONES DE ESTAS VARIABLES
Defi namos un rango variable x que comience en –10 con incrementos de 1 hasta x = +10.
x := –10, –9..10
Calculamos
f x .x2 sin.π x
10
Observe que la función f debe estar claramente defi nida como una función de x, por defi nición esto es f(x).
Ahora podemos trazar la gráfi ca de la función sobre este rango utilizando la paleta para gráfi cas.
10 5 0 5 1050
0
50Gráfica de la función f(x)
Rango variable x
f x
x
Fun
ción
f(x
)
En este caso, la gráfi ca puede alargarse seleccionando y expan-diéndola en la caja negra. La gráfi ca es formateada para incluir cua-drículas, símbolos y etiquetas. Esto se hace usando el menú Format y seleccionando trazo Graph->x-y o bien haciendo doble clic en la grá-fi ca.
Analizaremos la capacidad de grafi cación de Mathcad con más detalle en otros ejemplos.
CÁLCULOS ALGEBRAICOS 11
12 INTRODUCCIÓN
Cálculos simbólicos
La capacidad para ejecutar cálculos simbólicamente es una aplicación muy utilizada en Mathcad. Operaciones algebraicas entre escalares, vectores y matrices pueden realizarse simbólicamente. También es posible diferenciar e integrar simbólicamente, obteniendo la misma forma analítica que halla-mos en tablas de cálculo. La expresión para diferenciar o integrar puede ser evaluada simbólicamente usando el menú Symbolic o tecleando Cntr period. La siguiente ventana computacional simbólica, demuestra algunas de estas operaciones:
VENTANA COMPUTACIONAL SIMBÓLICA
En esta ventana computacional, las expresiones son ingresadas como se muestra y entonces se selecciona Evaluate Symbolic del menú Sym-bolic. El resultado aparecerá en la línea debajo de la expresión. El resultado puede ser obtenido tecleando Cntr period después de ingre-sar la expresión a evaluar simbólicamente. Una fl echa aparecerá a la derecha de la expresión y el resultado puede ser obtenido haciendo clic fuera de la región que contiene a la expresión.
Expresión general para el producto punto entre dos vectores
.
A x
A y
A z
B x
B y
B z
.A x B x.A y B y
.A z B z
Expresión general para el producto cruz entre dos vectores
A x
A y
A z
B x
B y
B z
.A y B z.A z B y
.A z B x.A x B z
.A x B y.A y B x
Diferenciación simbólica
dd x
sen.π x
L.cos .π
x
L
π
L
Evaluación simbólica de una integral definida
d
0
a
x.x sen.π x
L..sen .π
a
LL ..π cos .π
a
La
L
π2
Más detalles del uso de matemáticas simbólicas se presentarán más ade-lante en este suplemento cuando sea necesario.
CÁLCULOS SIMBÓLICOS 13
1Cinemática de la partícula
1.4 Problema de dinámica inversa
Si se conoce el desplazamiento rectilíneo de una partícula, la velocidad y la aceleración pueden ser obtenidas por diferenciación numérica y grafi cadas usando Mathcad. El símbolo de diferenciación es seleccionado en la paleta de cálculo. Observe que primero se defi ne el rango variable, en este caso el tiempo, y entonces podemos defi nir la función de desplazamiento.
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Y GRAFICACIÓN DE UN PROBLEMA DE DINÁMICA INVERSO
Cuando el desplazamiento es conocido como una función del tiempo, la velocidad y la aceleración pueden ser determinadas por diferencia-ción numérica. Los resultados se pueden grafi car sobre un periodo de-fi nido. Las variables son
14
0 0.5 1 1.5 2 2.540
20
0
20
40
60
80
x( )t
v( )t
a( )t
t
t . .,0 0.1 2
x( )t .sin .π t et
v( )t d
dtx( )t
a( )t d
dtv( )t
Desplazamiento, velocidad y aceleración versus tiempo
La diferenciación fue hecha numéricamente. Para hacerlo, primero se debe defi nir el rango variable, en este caso el tiempo (t). El rango variable t es defi nido por la instrucción t := 0,0.1..2. El símbolo := puede obtenerse de la paleta de matemáticas o bien tecleando dos puntos (:). El primer número en seguida del símbolo de defi nición es el primer valor del rango variable y el segundo número es el siguiente valor del rango variable y está separado del primero por una coma. El valor fi nal está separado del segundo valor por dos períodos, obtenidos al presionar la tecla de punto y coma (;). La función x(t) es ingresada como se muestra y el paréntesis determina que x es función del tiempo. Después del símbolo de defi nición la función queda defi nida. Los valores numéricos de x(t) son calculados en el momento que se presiona la tecla return. La diferenciación numérica es realizada al seleccionar el sím-bolo de diferenciación de la paleta de cálculo.
Una gráfi ca x-y es seleccionada de la paleta de gráfi cas o bajando las gráfi cas del menú. En este caso la posición, la velocidad y la aceleración son todas trazadas en la misma gráfi ca. La gráfi ca puede ser formateada para
PROBLEMA DE DINÁMICA INVERSA 15
añadir cuadrículas, símbolos, títulos, etc. y pueden ser reproducidas en un formato de reporte.
La diferenciación simbólica también está disponible en Mathcad. Ésta es similar a encontrar las diferenciales en una tabla de integrales y los resul-tados están dados en términos de constantes y variables. La diferenciación simbólica puede ser completada por el uso del menú Symbolics. El proble-ma de dinámica inverso x (t) : sin(pt).et puede ser resuelta simbólicamen-te, como se muestra en la siguiente ventana computacional:
DETERMINACIÓN SIMBÓLICA DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
0 0.5 1 1.5 2 2.540
20
0
20
40
60
80
x( )t
v( )t
a( )t
t
t . .,0 0.1 2
x( )t .sin .π t et
v( )t d
dt.sin .π t et
v( )t ..cos .π t π exp ( )t .sin .π t exp ( )t
a( )t d
dt..cos .π t π et .sin .π t et
a( )t ..sin .π t π2
exp ( )t ...2 cos .π t π exp ( )t .sin .π t exp ( )t
16 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Efecto del ruido en los datos
En la sección 1.4 del texto de dinámica, se investiga el efecto del ruido en el vector desplazamiento. Para conducir esta investigación, Mathcad es usa-do para generar datos ruidosos y muestra cómo está compuesto el ruido cuando los datos son diferenciados. Un generador de números aleatorios es utilizado para determinar el efecto del ruido en los datos de posición en el problema de dinámica inverso. Para investigar el efecto del ruido, la función seno es calculada en 40 intervalos de 0 a π y entonces la función misma agre-ga errores aleatorios a cada valor, generando un conjunto de datos f(i). Los datos son diferenciados numéricamente, como en la ventana siguiente, para apreciar el efecto de los datos ruidosos:
DIFERENCIACIÓN DE DATOS: FIGURAS 1.5 Y 1.6
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 17
dg ig i 1 g i 1
4df i
f i 1 f i 1
4
0 10 20 30 400
2
4
6
8
10Efecto del ruido en los datos
Rango variable i
g i
f i
i
Func
ión
y fu
nció
n co
n ru
ido
i . .0 40
g i .8 sin.i π
40f i .8 sin
.i π
40.1 i rnd 0.3
18 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Problema de ejemplo 1.1
Un automóvil se mueve a lo largo de una sección del camino recta y a nivel, tal que su desplazamiento es x(t) = 0.4t3 + 8t + 10, donde t está en segundos y x está dada en pies. Calcule el tiempo que le toma al automóvil llegar a una velocidad de 60 mph desde un estado inicial t = 0. ¿Qué tan lejos viaja el automóvil durante este tiempo y cuál es el valor de la aceleración cuando el vehículo corre a 60 mph?
Observe que la velocidad es la derivada de la posición o desplazamiento y que el desplazamiento puede ser un extremo, un máximo o un mínimo local cuando la velocidad es cero. De manera similar, la velocidad es un extremo local cuando la aceleración es cero.
0 10 20 30 400.4
0.2
0
0.2
0.4Datos diferenciados
Rango variable i
dg i
df i
i
Dat
os d
ifer
enci
ados
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.1
0 2 4 6 8 10200
0
200
400
600
x( )t
v( )t
a( )t
t
t . .,0 0.1 10
x( )t .0.4 t3 .8 t 10
v( )t d
dtx( )t
a( )t d
dtv( )t
La función raíz puede ser usada para determinar el momento cuando v(t) = 88 pies/s. Primero, utilice la gráfi ca para estimar el tiempo:
t 8 =raíz ( ),v( )t 88 t 8.165 segundos
x(8.165) = 293.055 pies. De modo que, la posición es 293 pies y la partícula viajó 283 pies a(8.165) = 19.596 pies/s/s.
La distancia viajada durante un intervalo de tiempo cualquiera puede determinarse integrando el valor absoluto de la velocidad sobre el intervalo.
L8.1265
0ƒ v(t) ƒ dt 282.6 piesL
t2
t1
ƒ v(t) ƒ dt
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 19
20 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Problema de ejemplo 1.2
Durante una caminata, el centro de masa de un tipo que sube y baja, sigue un movimiento senoidal y(t) C cos (2pt p) y0 donde y0 es la altura del centro de masa cuando el individuo está detenido y C es la amplitud del desplazamiento del centro de masa. Determine la velocidad vertical y la aceleración del centro de masa y grafi que el cambio en el desplazamiento vertical, la velocidad y la aceleración para un tiempo de 1 s.
Con C = 10 cm y y0= 100 cm, el desplazamiento del centro de masa de un individuo que camina está dado por;
y(t) 10 cos(2pt p) 100 cm
La velocidad y la aceleración pueden determinarse fácilmente a mano para este problema, pero una hoja de trabajo de Mathcad puede ser crea-da para ilustrar la diferenciación numérica y para dibujar el desplazamien-to, velocidad y aceleración del centro de masa.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.2
80
100
120
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
120
80
tDesplazamiento-tiempo
Desp
lazam
iento
–100
0
100
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2t
Velocidad-tiempo
Velo
cid
ad
–500
100
500
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2t
Aceleración-tiempo
Acele
ració
n
v(t)
a(t)
y(t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 180
100
120Desplazamiento vertical del centro de masa
Tiempo en segundos
y t
t
Des
plaz
amie
nto
en c
m
y t .C cos ..2 π t π y 0
v t ...2 π C sin ..2 π t π
a t ...4 π2 C cos ..2 π t π
t . .,0 0.01 1
C 10y0 := 100
Problema de ejemplo 1.6
Determine la aceleración, velocidad y desplazamiento como funciones del tiempo, si la aceleración está dada como
a(x) 3x2 8 pies s2
y la posición inicial es x0= 0. La velocidad inicial es v0 = 2 pies/s.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1500
0
500Aceleración vertical del centro de masa
Tiempo en segundos
a t
t
Ace
lera
ción
en
cm/s
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1100
0
100Velocidad del centro de masa
Tiempo en segundos
v t
t
Vel
ocid
ad e
n cm
/s
–5
0
5
0 1 2 54dt
Tiempo (s)
Desp
lazam
iento
(m
),
velo
cid
ad
(m
/s)
xi(t)
vi(t)
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 21
22 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
La ecuación diferencial no lineal es separable y la primera integral para la velocidad puede ser obtenida. La solución analítica para la integral de velo-cidad tiene que obtenerse de la siguiente manera, utilizando el procesador simbólico en Mathcad:
d
v 0
v
zz
g .c z2.1
.2 cln g .c v2 .1
.2 cln g .c v 0
2
.1
2
ln g .c v2 ln g .c v 02
c
La difi cultad surge cuando se investiga el tiempo como función del des-plazamiento. Esta difi cultad se analiza a detalle en el texto de Dinámica y se recomienda usar una solución numérica. La ecuación diferencial no lineal del Problema de ejemplo 1.6 puede resolverse por medio de integración numérica utilizando el método de Euler (método de la línea tangente) o por el método Runge-Kutta. El método de Euler puede ser ejecutado en Mathcad usando una serie de iteraciones o también puede usarse la solución diferencial directa de Mathcad empleando el método Runge-Kutta de cuar-to orden. El método de Euler se desarrolla a detalle en la Sección 1.5.6 del libro de texto y la solución numérica se muestra aquí como demostración. Los detalles de la solución numérica de ecuaciones diferenciales se ilustran en el Problema de ejemplo 1.10. La exactitud de cualquier solución numé-rica dada es dependiente sobre el valor Δt seleccionado. Entre más corto sea el paso numérico, más exacta es la solución; esto sugiere que la solución puede ser calculada para diferentes valores. Los resultados de la integración numérica se muestran en la ventana computacional para el problema de ejemplo 1.6.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.6
Método de Euler
Defi na el número de pasos de integración y el incremento de tiempo como sigue:
i . .0 4000 Δt 0.001
El tiempo actual es el resultado del número de paso y del incremento de tiempo:
ti.i Δt
Defi na los valores iniciales como sigue:
v0
x0
2
0
Establezca la serie de iteraciones con la velocidad en cualquier punto igual a la velocidad previa más la pendiente de la curva de velocidad (aceleración) multiplicado por el incremento del tiempo. La posición, de forma similar, es igual a la posición previa más la curva de posición (velocidad) por el incremento del tiempo. En Mathcad, las dos ecua-ciones pueden establecerse en forma matricial como
vi 1
xi 1
vi..3 xi
2 8 Δt
xi.vi Δt
Método Runge-Kutta
Defi na los valores iniciales en un vector y; y0 es la posición y y1 es la velocidad. Así
y0
2
Defi na la función D(t,y) tal que D0 es la velocidad o primera deri-vada y D1 es la segunda derivada o en este caso, la ecuación diferen-cial:
D ,t yy1
.3 y02 8
Establezca una matriz Z igual a la función Runge-Kutta rkfi xed (y, t1, t2, npoints, D), donde y es el vector de posición y es la primera compo-nente, la velocidad es la segunda componente, t1 es el tiempo inicial, t2 es el tiempo fi nal, npoints es el número de puntos más allá del punto inicial para el que la solución fue calculada y D ha sido defi nida pre-viamente.
La matriz Z (401 × 3) tiene tres columnas: Z0 tiempo, Z1 posición y Z2 velocidad o primera derivada.
Z rkfixed ,,,,y 0 4 400 D
Podemos seleccionar un entero n para designar los renglones de Z para propósitos de dibujo. Observe que resolviendo el problema con el método de Euler, 4000 puntos son elegidos con un incremento de 0.001 s y con el método Runge-Kutta, se eligen 400 puntos con un
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 23
24 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
incremento de 0.01 s. La demora puede ser causada por la alta exacti-tud del método Runge-Kutta. Por consiguiente:
n:= 0..400
La velocidad y la posición pueden ser trazadas como función del tiem-po para ambas soluciones.
0 1 2 3 45
0
5
Solución Runge-Kutta: incremento 0.01 s
Tiempo (s)
< >Z
1n
< >Z
2n
< >Z
0n
Des
plaz
amie
nto
(pie
s); v
eloc
idad
(pi
es/s
)
0 1 2 3 45
0
5
Solución de Euler: incremento 0.001 s
Tiempo (s)
xi
vi
tiDes
plaz
amie
nto
(pie
s); v
eloc
idad
(pi
es/s
)
Observe que las soluciones son idénticas, aunque el método Run-ge–Kutta use un incremento de tiempo 10 veces más grande que el incremento para el método de Euler. Sin embargo, muchas de las so-luciones numéricas de ecuaciones diferenciales en este suplemento, se pueden realizar con el método de Euler para que usted obtenga una mejor comprensión de la solución de ecuaciones diferenciales con este sencillo método.
Problema de ejemplo 1.7
Durante un derrape cerrado, un automóvil tiene una aceleración negativa constante (desaceleración de frenado). Si ahí el tiempo de reacción es 1.75 s antes de frenar (el promedio observado por los conductores) y la desacele-ración de frenado es 22.5 pies/s2, determine la distancia para detenerse si la velocidad inicial es (a) 60 mph; (b) 45 mph y (c) 30 mph.
400
200
00 20
Distancia de frenado versus velocidad
v0 (mph)
40 60
xf(v0)
Los resultados del problema de ejemplo 1.7 pueden grafi carse para una fácil interpretación o inclusión en un reporte. Mathcad puede generar gráfi cas de barras para reportes o manuales de conductores y estas gráfi cas pueden ser pegadas en un documento de Microsoft Word.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.7
S . .,0 5 75
v 0( )S .1.467 S
X f( )S .1.75 v 0( )S .1.2 22.5
v 0( )S 2
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 25
26 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
La gráfi ca muestra que la distancia de frenado no es una función lineal de la velocidad. Por ejemplo, se necesitan 120 pies con una velocidad inicial de 30 mph y 326 pies son necesarios para una velocidad inicial de 60 mph. Tablas de este tipo están incluidas en la mayoría de los manuales para conducir. (Estos datos se basan sobre distancias de frenado en pavimento seco.)
Problema de ejemplo 1.10
Una bola es lanzada hacia arriba en contra de la atracción gravitacio-nal y la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad. La resistencia del aire siempre se opone al movimiento; esto es, que tie-ne signo opuesto a la velocidad. La aceleración puede especifi carse como a(v) g cv2 sign(v), donde c = 0.001 (1/m) y g = 9.81 m/s2. Si la bola es lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s, determine la rela-ción velocidad-desplazamiento.
Encuentre la altura máxima que alcanza la bola con y sin resistencia del aire.
La aceleración puede escribirse como
a(v) g cv v m/s2
La ecuación diferencial de movimiento es no lineal, contiene el pro-ducto de la velocidad y el valor absoluto de v y puede ser numéricamente integrable usando el método de Euler.
0 20 40 60 800
200
400
600
Xf ( )S
S
Distancia de frenado con una velocidad de 0 a 80 mph
x (m)v0 30 m/s
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.10
Defi na las constantes:
g 9.81 c 0.001
Seleccione un rango entero para el número de veces que se calculará la posición y la velocidad:
i . .0 6000
Defi na el incremento de tiempo:
Δt 0.001
Defi na el tiempo de cada paso, observe que el tiempo tiene un rango de 0 a 6 segundos. El resultado es
ti.i Δt
Establezca las condiciones iniciales. La velocidad v y la posición x pue-den ser vectores cuyas componentes representan el paso de tiempo. El subíndice es llamado al presionar la tecla v y el corchete ([). Mathcad llevará el subíndice y entonces teclee 0, indicando paso 0. El código Mathcad es
v0
x0
30
0
Defi na la aceleración como función de la velocidad, la posición y el tiempo. En este caso, la aceleración es una función sólo de la velocidad. El signo de valor absoluto puede ser obtenido en la paleta de la matriz vector o presionando la tecla |. El resultado de la ecuación es
a v g ..c v v
Ahora, la serie de iteraciones puede ser usada para resolver numérica-mente la ecuación diferencial. Nuevamente, la velocidad es ingresada al presionar la tecla v y [ para el subíndice, entonces utilice ahora i + 1 como subíndice. Golpeé la barra espaciadora para regresar a la ecua-ción y dejar el subíndice. Cada subíndice en la ecuación matricial se obtiene de esta manera. El código es
vi 1
xi 1
vi.a vi Δt
xi.vi Δt
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 27
28 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
La posición y la velocidad ahora pueden trazarse para interpretar fá-cilmente los resultados:
La constante c puede cambiarse haciendo clic en el punto donde está defi -nida en la hoja de trabajo de Mathcad. La hoja puede actualizar todos los cálculos y gráfi cas. Por consiguiente, la solución sin resistencia del aire pue-de obtenerse fácilmente. El desplazamiento máximo se determina usando la función trazo en la paleta de gráfi cas o por observación, esto ocurre cuando el tiempo es 3 segundos (i = 3000) y entonces tecleamos “x3000 =” para deno-minar al valor numérico de la posición cuando la velocidad es cero.
Problema de ejemplo 1.11
Un jugador de futbol americano desea anotar un punto desde una distancia de 65 yardas y tiene sólo 5 segundos para conectarlo. ¿Qué velocidad inicial debe tener el balón al dejar su pie?
Este es un problema de proyectil común que implica la solución de dos ecua-ciones algebraicas no lineales. Aunque estas ecuaciones pueden resolverse a mano, como se mostró en el problema de ejemplo 1.11 del texto, también se pueden resolver usando la función Given-Find de Mathcad y la trayectoria del objeto trazada como una gráfi ca x-y. El problema del proyectil común es bidimensional, usando dos dimensiones del plano de movimiento, con
0 1 2 3 4 5 640
20
0
20
40
60Posición y velocidad vs. tiempo
Tiempo (s)
xi
vi
ti
Pos
ició
n (m
), v
eloc
idad
(m
/s)
x
yV0
q
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 29
aceleración sólo en la dirección vertical. Suponiendo que el proyectil es li-berado con una velocidad inicial V0 en un ángulo u en una posición x0,y0, las ecuaciones para la posición fi nal del objeto son
xf V0 cos utf x0
yf
gtf2
2 V0 sen utf y0
Existen siete variables en estas dos ecuaciones: x0, y0, V0, u, xf, yf, y tf en las dos ecuaciones algebraicas no lineales. Cinco de las variables deben especifi car-se y dos deben ser determinadas. En este problema, conocemos la posición inicial, la posición y el tiempo fi nal y deseamos determinar la magnitud y el ángulo del vector velocidad inicial. La ventana muestra cómo hallar estas dos cantidades usando Mathcad
SOLUCIÓN DE MATHCAD PARA EL PROBLEMA DEL PROYECTIL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.11
Especifi que las cantidades conocidas
g 32.2 x 0 0 y 0 0 x f.65 3 y f 0 t f 5
Especifi que una suposición inicial para las dos cantidades desconoci-das:
V 0 100 θ .45 deg
Ahora especifi que las dos ecuaciones algebraicas no lineales en el blo-que de ecuaciones Given:
Given
x f..V 0 cos θ t f x 0
y f
.g t f2
2..V 0 sin θ t f y 0
Llame ahora a la función Find para determinar las dos incógnitas:
=Find ,V 0 θ89.45
1.12
El ángulo está dado en radianes, pero necesitamos especifi carlo en grados. Esto se hace como sigue:
=1.12
deg64.171
30 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
La trayectoria del balón puede ser mostrada creando una gráfi ca x-y para 5 segundos de movimiento. Debe especifi car las variables en caso de que éstas no se hayan especifi cado al principio de la hoja de trabajo. En este caso, los valores actuales de V0 y de u se ingresaron cuando la suposición fue hecha, así que estos valores pueden usarse en la trayectoria.
0 50 100 150 2000
50
100
150Trayectoria del balón de futbol
Posición horizontal pies
y t
x t
Pos
ició
n ve
rtic
al p
ies
t . .,0 0.1 5x t ..V 0 cos θ t x 0
y t.g t2
2..V 0 sin θ t y 0
Otros problemas de proyectiles pueden resolverse usando la misma hoja de trabajo. Todo lo que hay que hacer es cambiar los valores iniciales de las cantidades conocidas y de las cantidades desconocidas. El bloque de ecua-ciones permanece sin cambios, pero la función Find debe ajustarse para de-terminar las cantidades desconocidas.
Problema de ejemplo 1.12
Considere una partícula con movimiento helicoidal de paso constante. El vector de posición se puede dar como
r(t) (R cos vt)iN (R senvt)jN (pt)kN
donde R es el radio de la hélice, p es el paso de la curva helicoidal en el espa-cio y v determina el tiempo para completar un ciclo alrededor de la hélice. Determine la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier tiempo en términos de las constantes R, p y v.
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 31
Aunque no se necesita un software computacional para resolver este pro-blema ya que la diferenciación puede ser fácilmente realizada; si fueran necesarios valores numéricos, el software puede ser útil. Sin embargo la opción gráfi ca tridimensional de trazado disperso puede ser usada para vi-sualizar mejor la trayectoria espiral en el espacio. Cuarenta y un puntos son generados en la hélice, tal como se muestra en la ventana computacional para el problema de ejemplo 1.12. Se ha elegido 5 como el radio y 0.2 como el tiro. El parámetro tiempo se ha seleccionado tal que tome 20 segundos completar un ciclo alrededor de la hélice.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.12
Una gráfi ca tridimensional dispersa es creada especifi cando el número de puntos y entonces se crea un arreglo de vectores para cada una de las tres coordenadas, como en el siguiente código:
i . .0 40
xi.5 cos ..0.1 i π
yi.5 sin ..0.1 i π
zi.0.2 i
La gráfi ca tridimensional dispersa es seleccionada de la paleta de grá-fi cas. Cuando aparezca la gráfi ca en blanco en la hoja de trabajo, haga clic en el marcador de posición e ingrese las tres coordenadas, separa-das por comas. Entonces la gráfi ca puede ser formateada para agregar el título y una cuadrícula y usted podrá cambiar la orientación de la gráfi ca (por ejemplo inclinarla y rotarla).
32 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Problema de ejemplo 1.14
El pateador patea el balón hacia una lluvia copiosa tal que el aire resiste el movimiento de una manera proporcional a la velocidad al cuadrado. Si la velocidad inicial del balón es 80 pies/s y el balón sale del pie del pateador en un ángulo de 45°, determine la distancia que recorre el balón. La acelera-ción es a gj cv|v|, donde c = 0.001 (pie-1).
En el problema de ejemplo 1.14, la ecuación diferencial vectorial de mo-vimiento es no lineal y las dos ecuaciones escalares están acopladas. En contraste, la ecuación diferencial vectorial del problema de ejemplo 1.13 era lineal y las componentes escalares eran desacopladas. El software compu-tacional no fue usado en la solución. Sin embargo, ambos problemas pueden resolverse con la misma hoja de trabajo de Mathcad igualando el coefi ciente c de amortiguamiento con cero. El método de integración nu-mérica de Euler de una ecuación diferencial vectorial es similar al mostra-do para la ecuación diferencial escalar. Primero, se defi ne el número de pasos como i: 0..3400; el cual es ajustado durante la solución en la que el tiempo termina cuando el pateador toca el suelo. Esto es realizado cam-
Movimiento helicoidal en el espacio
4 2 0 2 44
2
0
2
4
0
2
4
6
8
,,x y z
60
40
20
0
–200 50 100 150 200
xiDesplazamiento (pies)
Desp
lazam
iento
y (p
ies)
yi
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 33
biando el valor superior después de que la hoja de trabajo ha sido creada. El incremento de tiempo Δt es defi nido y cualquier incremento en el tiempo es i Δt. El incremento del tiempo puede ser ajustado para mejorar la exac-titud de la solución numérica, la cual se muestra en la siguiente ventana computacional:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.14
0 50 100 150 20020
0
20
40
60
yi
xi
i . .0 3400 Δt 0.001 c 0.001 g 32.2
vx0
x0
vy0
y0
.80 cos( ).45 deg
0.80 sin ( ).45 deg
0
vxi 1
xi 1
vyi 1
yi 1
vxi...c vxi vxi
2 vyi2 Δt
xi.vxi Δt
vyi.g ..c vyi vxi
2 vyi2 Δt
yi.vyi Δt
La aceleración es más compleja en este problema. En tales casos, puede ser útil defi nir las dos componentes de la aceleración como funciones. Esto permite que los términos en la serie de iteraciones estén más organizados y sean utilizados múltiples ocasiones en la misma hoja de trabajo de Mathcad.
34 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
El siguiente es un método alternativo de solución del problema de ejemplo 1.14:
HOJA DE TRABAJO ALTERNATIVA PARA EL PROBLEMA DE EJEMPLO 1.14
g 32.2 c 0.001 V 0 80 θ .45 deg
i . .0 3400Δt 0.001
Defi na dos funciones para las dos componentes de la aceleración como sigue:
0 50 100 150 20020
0
20
40
60Trayectoria del balón
Posición horizontal (pies)
yi
xi
Posi
ción
ver
tical
(pie
s)
ax ,vx vy ..c vx vx2 vy2
ay ,vx vy g ..c vy vx2 vy2
vx0
x0
vy0
y0
.V 0 cos θ
0.V 0 sin θ
0
vxi 1
xi 1
vyi 1
yi 1
vxi.ax ,vxi vyi Δt
xi.vxi Δt
vyi.ay ,vxi vyi Δt
yi.vyi Δt
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 35
Problema de ejemplo 1.15
Un automóvil, que parte del reposo, se conduce alrededor de una curva con un radio de 1000 pies. Si el automóvil experimenta una aceleración tan-gencial constante de 8 pies/s2, determine la aceleración total después de 10 segundos.
Los cálculos en el problema de ejemplo 1.15 son directos, pero pueden ha-cerse usando Mathcad. La aceleración es calculada y escrita como un vec-tor. Cada componente y la magnitud del vector aceleración son grafi cados utilizando un software computacional. Observe en la siguiente ventana computacional que el valor absoluto del vector es calculado en la operación gráfi ca:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.15
0 2 4 6 8 10 120
10
20
a( )t
a( )t 0
a( )t 1
t
=a( )10 10.245
t . .,0 0.5 12
a t( )t 8 v( )t .8 t s( )t .4 t2 ρ 1000
a( )t
8
v( )t 2
ρ
36 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Problema de ejemplo 1.16
Una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular experi-menta una aceleración angular dada por a = –2v + 3t2 rad/s2. Si la partícula parte del reposo, determine la velocidad angular y la posición angular como funciones del tiempo.
20
25
15
10
5
0
–5
0
Velo
cid
ad
ang
ula
r (r
ad
/s), á
ng
ulo
(ra
d)
1 2 3 4 5
tv(t)rad/s y u(t)rad versus tiempo t(s)
v(t)
u (t)
SOLUCIÓN
La aceleración angular se puede escribir como la ecuación diferencial lineal de primer orden en la ecuación (1.91):
dvdt
2v 3t2
sujeta a la condición inicial v(0) = v0 = 0. El factor integrante es l(t)e2t.e12dt Por tanto, la solución general es
v(t) 13t2e2tdt C
e2t
32 Q t2 t 1
2 R Ce 2t
Como la velocidad angular es cero en t = 0, la constante es C = –3/4. De aquí, la velocidad angular es
v(t) 32 Q t2 t 1
2 R 34e 2t
La posición angular (en radianes) se puede obtener integrando v(t). Al ha-cer eso, obtenemos
u(t) t3
23t2
4t2
38e 2t C2
donde C2 es una constante de integración. Si u(0) = 0, el valor de esta cons-tante es C2 = –3/8.
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 37
Problema de ejemplo 1.17
Si el radio de la trayectoria circular en el problema de ejemplo 1.16 es 1.2 metros, determine las funciones generales del tiempo para las aceleraciones tangencial y normal, y la magnitud de la aceleración total. Grafi que los re-sultados.
Los cálculos numéricos y las gráfi cas requeridas pueden generarse a partir de la solución del problema de ejemplo 1.17, como se muestra en la siguien-te ventana:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.17
0 0.5 1 1.5 2 2.50
5
10
15
20
a t ( )t
a n ( )t
a ( )t
t
r 1.2
t ..,0 0.1 2
w ( )t .3
2t2
t1
2.3
4e
.2 t
a ( )t .3 t1
2.3
2e
.2 t
a t ( )t .r a ( )t
a n ( )t .r w ( )t2
a ( )t a t ( )t2
a n ( )t2
38 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Problema de ejemplo 1.18
Considere el vector de posición de la partícula, dado en metros:
r(t) t2i 3tj t3k
Determine los vectores tangencial base, normal principal y binormal, y el radio de curvatura cuando el tiempo es igual a 2 segundos.
En el problema de ejemplo 1.18, el vector de posición fue diferenciado a mano y la posición, velocidad y la aceleración se ingresaron entonces como vectores después de que se defi nió al tiempo como un intervalo variable. Los cálculos vectoriales se ejecutan como función del tiempo usando Math-cad ya sea numérica o simbólicamente. La siguiente ventana muestra estos cálculos:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.18
=a( )2
2
0
12
=a t( )2
3.598
2.698
10.793
=a n( )2
1.598
2.698
1.207
=ρ ( )2 50.297
e t( )tv( )tv( )t
a t( )t ..a( )t e t( )t e t( )t
a n( )t a( )t a t( )t
ρ ( )t.v( )t v( )t
a n( )t
t . .,0 0.1 3
r( )t
t2
.3 t
t3v( )t
.2 t
3
.3 t2a( )t
2
0.6 t
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 39
Problema de ejemplo 1.19
Considere la trayectoria del movimiento de una partícula, dada por
r(t) 2 sen 3u(t) m
u(t) pt rad
Trace la trayectoria del movimiento y determine la velocidad y la acelera-ción de la partícula.
3210–1–2–3
–3
–2
–1
0
1
2
3
Desp
lazam
iento
en y
Desplazamiento en x(t) (m)
xy = gráfica de movimiento
En el problema de ejemplo 1.19, el vector de posición está dado en coor-denadas polares, pero, para visualizar el movimiento, se genera una gráfi ca para la posición en el plano x-y. En resumen, los componentes de la acele-
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
200
400
ρ( )t
t
40 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
ración son calculados y trazados. La siguiente ventana muestra los cálculos y las gráfi cas:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.19
2 1 0 1 22
1
0
1
2Trayectoria de la partícula
Posición en x (m)
y t
x t
Pos
ició
n en
y (
m)
t . .,0 0.01 2
θ t .π t r t .2 sin .3 θ t
x t .r t cos θ t y t .r t sin θ t
La trayectoria de la partícula es una “rosa de tres pétalos”. Los com-ponentes de la aceleración pueden ser calculados numéricamente y grafi cados como sigue:
a r td
d
2
2tr t .r t
dd tθ t
2
a θ t .2 .dd t
r tdd tθ t
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 41
Problema de ejemplo 1.20
Una trayectoria espiral de una partícula está dada por las ecuaciones
r(t) e0.2u m
u(t) pt rad
Trace la trayectoria en el espacio y determine las componentes r y u de la aceleración.
5
0
–5
Desp
lazam
iento
en y
(m
)
Desplazamiento en x(t) (m)
50–5–10 10 15
0 0.5 1 1.5 2200
0
200Componentes polares de la aceleración
Tiempo (s)
a r t
a q t
t
Ace
lera
ción
(m
(s*s
))
42 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.20
10 5 0 5 10 1510
5
0
5Trayectoria de la partícula
Posición en x (m)
y t
x t
Posi
ción
en
y (m
)
t . .,0 0.02 4
θ t .π t r t e.0.2 θ t
x t .r t cos θ t y t .r t sin θ t
La partícula sale en espiral desde su posición inicial (1,0) con incre-mento en la aceleración.
Los componentes polares de la aceleración son calculados numé-ricamente (observe que la segunda derivada del águlo es cero):
a θ t .2 .dd t
r tdd tθ t
a r td
d
2
2tr t .r t
dd tθ t
2
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 43
Problema de ejemplo 1.22
Determine la trayectoria de movimiento de una partícula si su aceleración es ar = 0.5 m/s2 y a
u = 2 m/s2 y su velocidad inicial es vr = 1 m/s y vu = 0.5 m/s.
En un tiempo igual a cero, la partícula tiene coordenadas iniciales r = 0.2 m y u = 0.
0–0.5
0
Desp
lazam
iento
en y
(m)
Desplazamiento en xn (m) Trayectoria del movimiento para los primeros 2 s
2
4
6
0.5 1 1.5
0 1 2 3 4200
100
0
100Componentes polares de la aceleración
Tiempo (s)
a r t
a q t
t
Ace
lera
ción
(m
/s*s
))
44 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Las dos ecuaciones diferenciales en este problema de ejemplo son acopla-das y se resuelven simultáneamente, como se muestra en la siguiente venta-na computacional:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.22
n . .0 2000
Δt 0.001
Defi na la segunda derivada de las coordenadas polares como sigue:
ddr ,r ω 0.5 .r ω2 ddθ ,,r vr ω ..2 vrω
r
2
r
Defi na las condiciones iniciales:
vr0
r0
ω0
θ0
1
0.2
2.5
0
Establezca la integración de Euler de las dos ecuaciones diferenciales acopladas.
vrn 1
rn 1
ωn 1
θn 1
vrn.ddr ,rn ωn Δt
rn.vrn Δt
ωn.ddθ ,,rn vrn ωn Δt
θn.ωn Δt
xn.rn cos θn yn
.rn sin θn
En seguida se muestra la trayectoria de la partícula:
EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS 45
Problema de ejemplo 1.24
Una partícula se libera en el borde de un tazón hemisférico liso de radio 200 mm con una velocidad inicial en la dirección circunferencial de Ru̇ = 1000 mm/s, y se desliza hacia el tazón ante la infl uencia de la gravedad (g = 9810 mm/s2). Escriba las ecuaciones cinemáticas del movimiento y resuelva las ecuaciones diferenciales no lineales resultantes empleando software compu-tacional.
En este problema de ejemplo, las dos ecuaciones diferenciales son acopladas y se resuelven simultáneamente utilizando un vector de cuatro componen-tes. Las aceleraciones se pueden defi nir como funciones al igual que en una sola ecuación diferencial. La siguiente ventana computacional proporciona la solución con Mathcad y la gráfi ca de la trayectoria de la partícula:
0
Án
gu
lo f
(ra
d)
2 4 6 8
Ángulo u (rad)
3
2.5
2
1.5
z
yx
R
f
q
1000 mm/s
200 mm
0 0.5 1 1.50
2
4
6Trayectoria de la partícula
Posición en x (m)
yn
xn
Posi
ción
en
y (m
)
46 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.24
i . .0 9000 Δt 0.0001i . .0 9000 Δt 0.0001
Defi na la segunda derivada de las coordenadas:
ddθ ,,dθ dφ φ ...2 dθ dφcos φ
sin φ
ddφ ,,dθ dφ φ .49.05 sin φ ..dθ2 sin φ cos φ
ddθ ,,dθ dφ φ ...2 dθ dφcos φ
sin φ
ddφ ,,dθ dφ φ .49.05 sin φ ..dθ2 sin φ cos φ
Las condiciones iniciales son:
dθ0
θ0
dφ 0
φ 0
5
0
0
π
2
dθ0
θ0
dφ 0
φ 0
5
0
0
π
2
La solución numérica de Euler para los primeros 9 segundos es:
dθi 1
θi 1
dφ i 1
φ i 1
dθi.ddθ ,,dθi dφ i φ i Δt
θi.dθi Δt
dφ i.ddφ ,,dθi dφ i φ i Δt
φ i.dφ i Δt
dθi 1
θi 1
dφ i 1
φ i 1
dθi.ddθ ,,dθi dφ i φ i Δt
θi.dθi Δt
dφ i.ddφ ,,dθi dφ i φ i Δt
φ i.dφ i Δt
Construya una gráfi ca tridimensional dispersa del movimiento de la partícula como sigue:
R 0.2
xi..R sin φ i cos θi yi
..R sin φ i sin θi
zi.R cos φ i
R 0.2
xi..R sin φ i cos θi yi
..R sin φ i sin θi
zi.R cos φ i
1.5 Movimiento relativo
Mathcad puede ser usado para rastrear dos partículas diferentes y grafi car sus trayectorias. Esto le permite a usted determinar dónde se intersectan las dos partículas y para examinar los cambios paramétricos.
Problema de ejemplo 1.25
Dos automóviles parten del reposo y se mueven al mismo tiempo, pero al inicio el automóvil A está 100 pies detrás del automóvil B. El automóvil A mantiene una aceleración constante de 8 pies/s2 y el automóvil B tiene una aceleración constante de 6 pies/s2. ¿Qué tiempo se requiere para que el au-tomóvil A pase al automóvil B y qué distancia ha recorrido el automóvil A cuando pasa al automóvil B?
050
100
150
200
100 200 300 400 500
Ángulo de elevación vs. ángulo circular
θi
grado
φ i
grado
MOVIMIENTO RELATIVO 47
48 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
En el problema de ejemplo 1.25, el movimiento relativo entre los dos auto-móviles puede ser calculado y la posición de cada uno se obtiene a partir de una gráfi ca del movimiento absoluto de cada automóvil durante el periodo dado, como sigue:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.25
0 2 4 6 8 10 12 14 16500
0
500
1000
x A( )t
x B( )t
t
t . .,0 0.5 15
x A( )t .8t2
2x B( )t .6
t2
2100
Problema de ejemplo 1.26
Una surfi sta rema su tabla contra las olas de llegada; la velocidad constante de su tabla relativa al agua es vB/W. La velocidad de la ola es senoidal con el tiempo y disminuye con la distancia desde la playa de acuerdo con la ecua-ción
vW Ve cx sen (vt)
0
Tiempo (s)
Desplazamiento (m)
vs. Tiempo (s)
Desp
lazam
ien
to (m
)
20 40 60 80 100
xi
200
150
100
50
0
donde V m/s es la velocidad máxima de onda, c m-1 es el decaimiento de la velocidad de onda y v s-1 es la frecuencia de onda. Determine la velocidad absoluta de la surfi sta y el tiempo requerido para que ella reme 150 m desde la playa, en términos de las cantidades v, c y v.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.26
La solución numérica de la ecuación diferencial es como sigue:
i . .0 5000
Δt 0.02
ωπ
4V 6 v BW 1.5 c1
100
x0 10
xi 1 xi...V e
.c xi sin ..ω i Δt v BW Δt
La siguiente gráfi ca muestra la posición en cualquier instante:
0 20 40 60 80 1000
50
100
150
200
xi
.i Δt
MOVIMIENTO RELATIVO 49
50 CAPÍTULO 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Problema de ejemplo 1.34
Un automóvil que parte del reposo acelera a una tasa constante de 10 m/s2, conduciendo en un círculo de radio 1000 m. Determine qué longitud y a qué distancia estará el automóvil antes que la componente normal de la acelera-ción iguale a la aceleración tangencial.
Este problema se resuelve analíticamente en el texto de Dinámica, pero la trayectoria de la partícula para los primeros 10 segundos puede ser gra-fi cada usando Mathcad, como se muestra en la siguiente ventana compu-tacional:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.34
0 100 200 300 400 5000
100
200
y( )s( )t
x( )s( )t
0 200 400 6000
5
10
a n( )s
s( )t
t . .,0 0.5 10
s( )t .5 t2
θ( )ss
1000v( )s
d
dts( )t
x( )s d0
s
ucos( )θ( )u y( )s d0
s
usin( )θ( )u
a n( )sv( )s 2
1000
Problema de ejemplo 1.35
Resuelva el problema de ejemplo 1.34 para un automóvil siguiendo una tra-yectoria curva dada por
u(s) s400 sen Q s
200 R
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.35
0 2 4 6 8 1040
20
0
20
10
a n( )t
t
t . .,0 0.1 10
s( )t .5 t2 v( )t d
dts( )t
θ ( )t .s ( )t400
sins( )t200
dθ ( )t d
dtθ ( )t
a n( )t .dθ ( )t v( )t
El tiempo cuando la aceleración normal es igual a 10 se puede deter-minar usando la función root como sigue:
t 5 =root ,a n( )t 10 t 5.621
=s( )5.621 157.978
10
–10
–5
0
5
0 2 4 6 8 10
t
f(t)
Acele
ració
n n
orm
al (a
n(t)–
10
)
MOVIMIENTO RELATIVO 51
2 Cinemática de las partículas
En el capítulo 1, vimos cómo resolver las ecuaciones diferenciales de movi-miento cuando la aceleración está dada como una función de la velocidad, la posición y el tiempo. En este capítulo, investigaremos las relaciones causa y efecto, es decir, cómo determinar la aceleración a partir de las fuerzas que la producen.
Problema de ejemplo 2.1
El automóvil de 3000 lb de peso que se muestra se conduce por una pen-diente de 30° cuando el conductor frena en una parada por pánico. Si el coefi ciente de fricción cinética entre los neumáticos y el pavimento es de 0.7, ¿qué tan lejos se deslizará el automóvil antes de detenerse si su velocidad inicial era de 45 mph?
En este problema, la aceleración y la distancia de frenado del automóvil sobre el plano inclinado son independientes de la masa del mismo. Por lo tanto, la aceleración depende sólo del ángulo de inclinación y el coefi ciente de fricción cinética.
52
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 53
El problema se resuelve en el texto de Dinámica para un ángulo de incli-nación de 30° y un coefi ciente de fricción de 0.7, pero esto se puede com-prender mejor si examinamos la dependencia de la aceleración en estos dos parámetros. La expresión general para la aceleración es
a(u,m) g(sen u mcos u)
El término seno acelera el automóvil cuesta abajo, mientras que el segundo término proporciona la desaceleración del frenado. Para que el vehículo se detenga, la aceleración debe ser negativa, esto es, la tangente del ángulo de inclinación debe ser menor que el coefi ciente de fricción cinética. En algu-nas ocasiones esto es útil para crear una gráfi ca de la superfi cie para mostrar la dependencia como una función de dos variables. En este caso, generamos una gráfi ca de la superfi cie para la aceleración en términos del ángulo de inclinación y del coefi ciente de fricción cinética. Podemos variar el ángulo de 0° a 45° y el coefi ciente de fricción desde 0.2 hasta 1.0. La gráfi ca es ge-nerada como sigue:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.1
Establezca el número de puntos de cada eje de la superfi cie grafi cada
N 20i . .0 N j . .0 Ng 32.2
30°
FN
W
(a)
W
FN
X
Y
(b)
W
FN
x
y
54 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
Defi na el intervalo de puntos del ángulo de inclinación y del coefi cien-te de fricción cinética:
θi.π
80i
μ j 0.2j
25
Defi na la aceleración como una función del ángulo de inclinación y del coefi ciente de fricción cinética:
a ,θ μ .g sin θ .μ cos θ
Establezca una matriz para formar puntos en una gráfi ca tridimensio-nal de superfi cie:
0
510
15200
510
1520
20
0
M
a
i
j
i80
M ,i j a ,θi μ j
Incremento en el ángulo de inclinación
La aceleración es negativa en todos los puntos debajo de esta línea: es posible frenar.
Incremento en el coeficiente de fricción cinética = 0.2 + j/25.
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 55
La línea en la gráfi ca de la superfi cie representa el cambio entre la acelera-ción positiva y la negativa. Para que el automóvil se detenga, la aceleración debe ser negativa.
s(u, v0, mk) :v0
2
2 # g # (mk# cos(u) sin(u))
g : 32.2
Primero investiguemos la distancia de frenado al nivel del suelo con dife-rentes velocidades iniciales y diferentes coefi cientes de fricción.
Dry
Wet
Snow
Ice
0 20 40 60 80 100
1500
1000
500
0
Distancia de frenado vs. velocidad inicialFeet
v0 ft/s
s (0, v0, 0.7)
s (0, v0, 0.5)
s (0, v0, 0.3)
s (0, v0, 0.1)
v0 : 0, 5 .. 90
u : 0
Las curvas son para diferentes coefi cientes de fricción: 0.7, 0.5, 0.3 y 0.1 respectivamente.
56 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
Problema de ejemplo 2.3
Considere una partícula de masa m cayendo en la atmósfera de la Tierra y suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad de la par-tícula. Determine la velocidad como una función del tiempo.
Una solución analítica de la ecuación diferencial
a(v) 1m (g cv)
Con la condición inicial v(t = 0) = 0 se presenta en el libro de texto. Mathcad puede utilizarse para grafi car la velocidad con el tiempo de la solución ana-lítica. La ecuación para la velocidad es
v(t)mgc Q1 e
cm tR
para los parámetros m = 5 slugs, c = 0.6 lbs·s/pie y g = 32.2 pies/s2. La ven-tana computacional para el problema de ejemplo 2.3 muestra los cálculos y la gráfi ca:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.3
Suponga que la masa es igual a 5 slugs y que el coefi ciente de resisten-cia del aire es 0.6:
0 5 10 15 20 25 30 35 400
100
200
300
v( )t
t
m 5 c 0.6 g 32.2
t . .,0 1 40
v( )t ..m gc
1 e.c
mt
W = mg
x
F = cv
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 57
x( )t d0
ttv( )t =x( )30 5.875 103
La partícula alcanza una velocidad fi nal de 268 pies/s o 183 mph (me-nudo consuelo para una persona cayendo sin paracaídas desde un avión). La velocidad fi nal se obtiene después de caer 5875 pies o 1.1 millas.
Problema de ejemplo 2.4
Un mejor modelo de una partícula cayendo en la atmósfera de la Tierra con-sidera el hecho de que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad. La constante c, el coefi ciente de resistencia aerodinámico, es proporcional al producto de la densidad del aire por el área transversal del objeto, y normalmente se determina de manera experimental. Determine la relación velocidad-tiempo y la velocidad terminal para este caso.
La ecuación diferencial del movimiento para este problema se resuelve ana-líticamente en el libro de texto. Utilicemos Mathcad para grafi car la veloci-dad de la partícula en orden para examinar su velocidad fi nal. La velocidad como función del tiempo es
v(t)gk
(1 e 2kt)(1 e 2kt)
, donde k Acgm
La solución se grafi ca en la siguiente ventana para valores específi cos de los parámetros:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.4
m 5 c 0.002 g 32.2
t . .,0 1 40
k .cgm
v( )t .gk
1 e ..2 k t
1 e ..2 k t
300
200
100
0 10 20 30 40 50
t
v(t)
Velocidad (pies/s) vs. Tiempo (s)
Velo
cid
ad
(p
ies/s
)
58 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
x( )t d0
ttv( )t =x( )25 5.369 103 pies
0 10 20 30 400
100
200
300
v( )t
t
La velocidad fi nal es 284 pies/s y se alcanza 25 segundos después de caer 5369 pies. El parámetro c puede variarse en la hoja de Mathcad y la solución gráfi ca se actualiza inmediatamente. De esta manera usted puede estudiar fácilmente la variación del coefi ciente de arrastre.
Problema de ejemplo 2.5
a) Compare la distancia que se puede lanzar una pelota cuando la resisten-cia del aire es proporcional a la velocidad, con la distancia que se puede lanzar una pelota cuando se desprecia la resistencia del aire. La pelota tiene una velocidad inicial de v0 en un ángulo u con la horizontal.
b) Escriba las ecuaciones del movimiento si la resistencia del aire es pro-porcional al cuadrado de la velocidad y analice las difi cultades al resol-ver las ecuaciones.
20
15
10
5
0
–50
Altura
(m
)
1 2 3 4 5 6 7
y2(t2)
y(t1)
Gráfica de vuelo, en metros, muestra el efecto de la resistencia del aire
Movimiento horizontal (m)
v0
q
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 59
Las trayectorias con (x, y) y sin (x2, y2) resistencia del aire se comparan nu-méricamente en la siguiente ventana:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.5
0 10 20 30 40 50 60 705
0
5
10
15
20
y( )t 1
y 2( )t 2
,x( )t 1 x 2( )t 2
t 2 . .,0 0.1 3.6
x 2 t 2..v 0 cos θ t 2
y 2 t 2..v 0 sin θ t 2
.gt 2
2
2
m 0.5 c 0.01 v 0 25 θ .45 deg
g 9.81
t 1 . .,0 0.1 3.6
x t 1...m
cv 0 cos θ 1 e
.c
mt 1
y t 1.
.m2 g
c2..m
cv 0 sin θ 1 e
.c
mt 1
..mgc
t 1
60 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
CONTINUACIÓN DEL PROBLEMA DE EJEMPLO 2.5: ACELERACIÓN PROPORCIONAL AL CUADRADO DE LA VELOCIDAD
En este caso, la ecuación diferencial vectorial produce dos ecuaciones diferenciales acopladas no lineales, que deben resolverse numérica-mente utilizando el método de Euler. La solución de estas ecuaciones diferenciales es la siguiente:
0 20 40 60 8010
0
10
20
30
yi
xi
xi 1
yi 1
vxi 1
vyi 1
xi.vxi Δ t
yi.vyi Δ t
vxi..
.c vxi
m( )vxi
2 ( )vyi2 Δ t
vyi..
.c vyi
m( )vxi
2 ( )vyi2 Δ t .g Δ t
=y234 0.103 =x234 74.053
x0
y0
vx0
vy0
0
0
.V sin( )θ
.V cos( )θ
N 234 i . .0 N Δ t 0.01 θ .45 deg
g 32.2 c 0.0001 m1
.2 32.2V 60
La pelota viaja 74 pies contra una caída de 0.0001. La caída es propor-cional al cuadrado de la velocidad.
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 61
Problema de ejemplo 2.6
Para producir movimiento oscilatorio se utiliza un mecanismo de corredera y resorte. Si la longitud sin estirar del resorte, que tiene una constante del resorte k, es l, y la corredera de masa m se libera a partir del reposo en la posición que se muestra en el diagrama siguiente, escriba la ecuación de movimiento. Desprecie la masa del resorte.
Fs
x
y
mg
N
�
u
x
sen u =x
�2 + x2
cos u =�
�2 + x2
0.3
–0.2
–0.1
0
0.1M
ovim
iento
de la c
orr
ed
era
(m
)
0.2
–0.30
Tiempo (s)
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
i Δt
x(i)
Senoidal
La ecuación diferencial de movimiento para este problema es d2xdt2
km .C l2 x2 lD x
22l2 x2
Esta solución, presentada en la ventana
computacional para el problema 2.6, es grafi cada junto con una oscilación armónica pura yi para propósitos de comparación. Observe que las dos so-luciones son similares para un resorte largo constante.
x0
�
62 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.6
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
xi
yi
.i Δt
i . .0 4000
Δt 0.001
m 1 l 1.0 k 200 yi.0.2 cos ..i
Δt
1.875π
v0
x0
0
0.2
vi 1
xi 1
vi...k l2 xi
2 lxi
l2 xi2
Δt
xi.vi Δt
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 63
Problema de ejemplo 2.7
Se aplica una fuerza constante P = – 500i – 300j a un bloque de 20 kg para empujarlo hacia arriba por una superfi cie inclinada. El coefi ciente de fric-ción cinética entre el bloque y la superfi cie es de 0.3. Si el bloque parte del reposo del punto D, como se muestra en el diagrama adjunto, determine la posición del bloque después de 2 s.
En este problema, la aceleración es constante, ya que las fuerzas y el movi-miento ascendente por la superfi cie inclinada son constantes. Sin embargo, éstos son muchos cálculos vectoriales que son manejados fácilmente con Mathcad. La siguiente ventana computacional muestra la solución para el problema de ejemplo 2.7:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.7
Todos los cálculos vectoriales se ejecutan utilizando Mathcad. Así te-nemos
=p
0.813
0.488
0.319
p n.( ).p n n =p n
0.592
0.414
0.592
p t p p n =p t
0.221
0.074
0.273
fp tp t =f
0.617
0.205
0.76
AB
7
0
7
AC
7
10
0
nAC ABAC AB
=n
0.634
0.444
0.634
P
500
300
0
W
0
0.20 9.81
pP WP W
y
z
x
A (7,0,0)
B (0,0,7)
D (3.5,5,0)
C (0,10,0)
P
64 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
Problema de ejemplo 2.8
Si el sistema de poleas que se muestra en el dibujo adjunto se libera a partir del reposo, determine la velocidad del bloque C de 100 kg después que se ha movido 0.5 m. Desprecie la fricción y el peso de las poleas.
mA 25 kg mB 40 kg mC 100 kg
mCgmBgmAg
T1 T2T1
A B
P
C
T1T1
T2
En la siguiente ventana, se utiliza Mathcad para reducir el esfuerzo requeri-do para resolver el sistema de ecuaciones dado:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.8
La única difi cultad para resolver este problema, es que debe resol-verse un sistema de ecuaciones lineales de 4 × 4 para determinar las tres aceleraciones y la tensión en el cable. Mathcad puede usarse para resolver esta ecuaciones ya sea numérica o simbólicamente. Así tenemos
A
B
Px
C
r 0
3.5
5
0
t . .,0 0.1 5
r( )t ..2.44t2
2f r 0 =r( )2
0.491
3.999
3.709
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 65
m A 25 m B 40 m C 100 g 9.81
=.
1
m A
0
0
1
0
m B
0
2
0
0
m C
0
1
1
2
1 0.m A g
.m B g
.m C g
5.139
0.467
2.336
373.714
La solución simbólica se obtuvo primero, al pedir una evaluación simbólica. Entonces, la expresión anterior fue pedida y evaluada nu-méricamente usando el signo igual (=). La solución simbólica es la siguiente:
.g.m A m C
..4 m A m B..3 m B m C
.m B m C.m A m C
..4 m A m B
.g..3 m A m C
.m B m C..4 m A m B
.m B m C.m A m C
..4 m A m B
.g..4 m A m B
.m B m C.m A m C
.m B m C.m A m C
..4 m A m B
....4 m B
m C.m B m C
.m A m C..4 m A m B
m A g
Problema de ejemplo 2.10
Un doble de 200 lb salta desde una plataforma a 20 pies y aterriza sobre un colchón para amortiguar su caída, como se representa en el dibujo adjunto. El colchón tiene una constante de resorte de 100 lb/pie y un amortigua-miento linealmente proporcional a la velocidad de 40 lb s/pie. Observe que el amortiguamiento sólo sucede cuando el colchón se está comprimiendo. Escriba la ecuación de movimiento para la caída del doble y trace su movi-miento en el tiempo. Determine la fuerza ejercida durante el contacto con el colchón.
20 pies
66 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
t
xi30
20
10
Desp
lazam
iento
(p
ies)
0
Tiempo (s)
1 2 3 4
t
Fi
1500
1000
500
0
Fuerz
a(lb
)
1 2 3 4
Sin contacto con el colchón
Sin contacto con el colchón
Fuerza del colchón (lb) vs. Tiempo (s)
Mathcad utiliza el símbolo ≥(x) para la función escalón de Heaviside. Si el argumento es negativo, la función de Heaviside es cero, en cualquier otro caso es igual a la unidad. La siguiente ventana presenta la solución con Math-cad para el problema de ejemplo 2.10:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.10
Especifi que las constantes conocidas como sigue:
g 32.2
m200
gk 100 c 40
Especifi que el número de incrementos y el incremento del tiempo:
i . .0 4000Δt 0.001
El tiempo para cualquier incremento es:
ti.i Δt
La fuerza del colchón está activa sólo cuando el doble hace contac-to con éste y esto se logra usando la función de Heaviside con el argumento (x – 20). La segunda función de Heaviside se utiliza para asegurarnos de que el amortiguamiento del colchón ocurre sólo cuan-do la velocidad es positiva (hacia abajo). Por lo tanto, la aceleración es defi nida por la función
a ,v x g .Φ x 20 .k
mx 20 ..Φ v
c
mv
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 67
Especifi que las condiciones iniciales:
v0
x0
0
0
La solución de la ecuación diferencial utilizando el método de Euler es
vi 1
xi 1
vi.a ,vi xi Δt
xi.vi Δt
La fuerza del colchón, calculada después de que la ecuación diferen-cial se resuelve numéricamente es:
Fi.Φ xi 20 .k xi 20 ..Φ vi c vi
La posición y la fuerza del colchón pueden grafi carse ahora como fun-ciones del tiempo.
0 1 2 3 40
10
20
30Posición vertical
Tiempo (s)
xi
ti
0 1 2 3 40
500
1000
1500Fuerza del colchón durante el contacto
Tiempo (s)
Fi
ti
68 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
Observe que la fuerza del colchón es cero cuando el hombre se se-para de éste; la fuerza se vuelve una constante de 200 lb. cuando el movimiento termina. Esto es, cuando el colchón soporta el peso del hombre.
Una solución numérica alternativa usando la técnica Runge-Kutta de cuar-to orden con un incremento de tiempo grande puede ser utilizada como se muestra en la siguiente ventana:
SOLUCIÓN RUNGE-KUTTA: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.10
Sea y un vector cuya primera componente es la posición x y la segunda es la velocidad V. Defi na los valores iniciales:
y0
0
Defi na una función D(t, y) tal que la primera componente sea la velo-cidad y la segunda sea la aceleración que previamente habíamos defi -nido como una función:
D ,t yy1
a ,y1 y0
La ecuación diferencial se resuelve usando la función rkfi xed (y, t1,t2,número de puntos, D). Observe que se requieren 4000 pasos cuan-do se utiliza el método de Euler y sólo 400 cuando utilizamos el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Tenemos
Z rkfixed ,,,,y 0 4 400 D
La posición vertical se grafi ca ahora en contra del tiempo para 400 pasos. El tiempo es la primera columna en la matriz resultante Z y la posición es la segunda. Especifi camos la columna a ingresar (Z y en-tonces presionamos (Cntr-6) para obtener el superíndice en la forma (Z<>). El superíndice requerido es ingresado en el marcador de posi-ción y la barra espaciadora nos regresa a la línea matemática, donde se cierra el paréntesis y la tecla ”[“ es utilizada para colocar un subíndice en la variable. Tenemos
n . .0 400
La gráfi ca de la posición contra el tiempo es la siguiente:
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 69
0 1 2 3 40
10
20
30Posición vertical
Tiempo (s)
< >Z
1n
< >Z
0n
Pos
ició
n (p
ies)
Observe que obtenemos la misma exactitud usando una décima parte de los pasos de tiempo. La solución está bien aproximada utilizando sólo 40 puntos, como en la gráfi ca siguiente.
Sólo 40 puntos son especifi cados en la función rkfi xed:
0 1 2 3 40
10
20
30Posición vertical
Tiempo (s)
< >Z
1n
< >Z
0n
Pos
ició
n (p
ies)
Z rkfixed ,,,,y 0 4 40 D
n . .0 40
Problema de ejemplo 2.12
Determine la ecuación diferencial de movimiento para el mecanismo de resorte-corredera que se muestra en el diagrama adjunto. Desprecie la fric-ción entre la corredera y la barra curva, y la masa del resorte. La corredera de masa m se libera a partir del reposo cuando u = 30° y la longitud sin esti-rar del resorte con constante de resorte k es R.
70 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
R
q
i . �tTiempo (s)
3
4
2
1
0
Áng
ulo
(ra
d)
0.2 0.4 0.6 0.8
R
R
q
et^
mg
Fs
en^
Nbb�
q
i . �t (s)
150
200
100
50
00 0.2 0.4 0.6 0.8
ui (grados)
Ángulo (rad) vs. Tiempo (s)
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.12
R 0.2 m 1 k 600 g 9.81 Δt 0.0001
i . .0 8000
ωi
θi
0
π
6
ωi 1
θi 1
ωi
..gR
sin θi
..km
.2 cosθ
i
21 sin
θi
2Δt
θi
.ωi
Δt
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 71
Problema de ejemplo 2.13
Determine las ecuaciones de movimiento para un péndulo simple plano compuesto de una masa m en el extremo de una cuerda de longitud L. El péndulo se libera a partir del reposo con un ángulo inicial u0. Resuelva las ecuaciones lineales y no lineales.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.13
g 9.81 L 2
Una solución lineal para los primeros seis segundos es la siguiente con t1 como el tiempo y u1 como el ángulo en radianes:
tl . .,0 0.001 6
θ 0π
3
θl tl .θ 0 cos .g
Ltl
m
LT
mg
q
q
00
50
100
150
200
0.2 0.4 0.6 0.8
θi
grados
i.ΔtSegundos
Ángulo en grados vs. Tiempo en segundos
72 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
Una solución no lineal para los primeros seis segundos:
i . .0 6000Δt 0.001
ti.i Δt α θ .g
Lsin θ
ω0
θ0
0
θ 0
ωi 1
θi 1
ωi.α θi Δt
θi.ωi Δt
Compare las dos soluciones (la línea continua es la solución lineal, la línea punteada es la solución no lineal) para un ángulo inicial de 60° en la siguiente gráfi ca:
0 1 2 3 4 5 62
1
0
1
2Posición angular vs. Tiempo
Tiempo (s)
θl tl
qi
,tl ti
Posi
ción
ang
ular
(ra
d)
Revisando las gráfi cas del movimiento vemos que el periodo de oscilación es diferente para un ángulo inicial grande. Suposiciones de ángulos peque-ños están restringidas a no mayores de 10° y para este caso, las soluciones concuerdan.
Problema de ejemplo 2.14
Un conductor quiere probar la conducción de un vehículo en una trayecto-ria espiral que se agudiza, con una velocidad constante sobre las planicies de Utah. Si el coefi ciente de fricción estática entre los neumáticos y el suelo
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 73
es 0.5 y el conductor de prueba conduce a 60 pies/s, determine el punto en el cual el automóvil se sale de la curva si la curva está dada por
u(s) 1 Q s1000
R 2
–600
Po
sic
ión y
(p
ies)
1200
0
200
400
600
800
1000
–400 –200 0 200 400x(s)
Posición x (pies)
y(s)Fn
–600
1200
0
200
400
600
800
1000
–400 –200 0 200 400x(s)
Desplazamiento en x (pies)
y(s)
El vehículo sale de la trayectoria a 2236 pies
Desp
lazam
iento
en y
(p
ies)
74 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
Mathcad se puede utilizar para generar una gráfi ca de la trayectoria en es-piral del vehículo en el Problema de ejemplo 2.14. Después de defi nir la dependencia del ángulo en el parámetro s de la trayectoria, podemos trazar las coordenadas x-y de la trayectoria del movimiento como una gráfi ca x-y, como en la siguiente ventana computacional:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.14
Problema de ejemplo 2.15
Un niño con una masa de 20 kg se desliza hacia abajo por un tobogán de 3 m de longitud en el patio de juegos. La curva del tobogán se puede expresar en forma paramétrica como
u(s) 60° c1 Q s3 R
2dSi la longitud del tobogán es de 1 m y el niño parte con velocidad cero, determine la velocidad del niño en el fondo del tobogán. El coefi ciente de fricción cinética entre su ropa y la superfi cie del tobogán es de 0.2.
500 0 5000
500
1000
1500
y( )s
x( )s
s . .,0 100 2300
θ( )s 1s
1000
2
x( )s d0
s
ηcos( )θ( )η y( )s d0
s
ηsin( )θ( )η
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 75
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.15
Utilizamos el método de Euler para resolver la ecuación diferencial no lineal. La longitud del tobogán es de 3 m. Tomamos N incrementos de tiempo y los ajustamos de tal modo que la distancia total recorrida sea 3 m. Tenemos
i . .0 N Δt 0.001
N 965 g 9.81 μ 0.2 m 20
Observe que la masa no se considera en las ecuaciones. El ángulo y su derivada pueden ser escritos en términos de s.
Sea v un punto para la magnitud de la velocidad ds/dt para cual-quier posición. La solución numérica ahora puede ser escrita como sigue:
v0
s0
θ0
dθ0
0
0.60 deg
0
vi 1
si 1
θi 1
dθi 1
vi..g sin θ
i.μ .g cos θ
i.dθ
ivi
2 Δt
si.vi Δt
..60 deg 1si
3
2
...2 60 degsi
32
60°
s
s
Nf
W
n^ t^
q (s)
76 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
El tiempo para que el niño alcance el fi nal del tobogán es 0.965 s, con el valor de N ajustado durante la solución de tal manera que la distancia total a lo largo del tobogán sea 3 m. La velocidad del niño al fi nal del tobogán es de 4.418 m/s. Este problema puede resolverse analíticamente si la fricción es ignorada. En este caso la velocidad es de 6.03 m/s.
Problema de ejemplo 2.17
Una masa de 2 kg sujeta a un resorte se libera a partir del reposo en un án-gulo u = 30° y con el resorte sin estirar. Si la longitud sin estirar del resorte es 300 mm y la constante del resorte es 1600 N/m, determine el movimiento de la masa.
m
k
q
mg
Fs
q
50
–50
0
0 0.5 1 1.5 2
ti tiempo (s)
ui
Ángulo (grados) vs. Tiempo (s)
0.05
0
–0.05
–0.1–0.2 –0.15 –0.1 –0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Punto de partida
xi x posición (m)
xy = gráfica de la posición de la masa en metros
Po
sic
ión v
ert
ical (m
)
0.3 – yi
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
2
4
6
vi
si
=s965 3.002
=v965 4.418
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 77
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.17
m 2 k 1600 g 9.81 Δt 0.0005 N 2400i . .0 N
r0
v0
θ0
ω0
0.3
0.30 deg
0
Tenemos ahora agrupadas numéricamente a las constantes y a los va-lores iniciales de la posición y la velocidad. Defi namos las aceleracio-nes como funciones de la velocidad y la posición como sigue:
a ,,,r v θ ω .r ω2 .g cos θ .k
mr 0.3
α ,,,r v θ ω .1
r.g sin θ ..2 v ω
ri 1
vi 1
θi 1
ωi 1
ri.vi Δt
vi.a ,,,ri vi θi ωi Δt
θi.ωi Δt
ωi.α ,,,ri vi θi ωi Δt xi
.ri sin θi yi.ri cos θi
Se puede visualizar el movimiento de la masa grafi cando la posición x-y de la partícula sobre un ciclo del movimiento:
0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20.35
0.3
0.25x-y trayectoria de la masa
Posición horizontal (m) + hacia la derecha
yi
xi
Posi
ción
ver
tical
(m
) +
arr
iba
78 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
Problema de ejemplo 2.22
Un péndulo esférico se pone en movimiento cuando f = 30°, con una veloci-dad inicial en la dirección u de 0.5 m/s. Si el péndulo tiene una longitud de 2 m y una masa de 3 kg, determine su movimiento para los primeros 5 s.
yi
Posición x (m)
–1 –0.5 0 0.5 1 1.5
0.5
–0.5
–1
–1.5
0
Vista superior del movimiento (plano xy)
Po
sic
ión y
(m
)
Punto de partida
En la siguiente ventana computacional utilizamos Mathcad para resolver las ecuaciones diferenciales para los dos ángulos esféricos y entonces grafi ca-mos los resultados:
xy
z
m
f2 m
mg
T
fi
ti tiempo (s)
1 2 3 4 5
0.6
0.4
0.2
0
Observe la cresta de la solución no lineal
Ángulo f (rad) vs. Tiempo (s)
Áng
ulo
f (ra
d)
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 79
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.22
dui 1
ui 1
dui.
...2 dφ i dθi cos( )φi
sin( )φiΔt
θi.dθi Δ t
xi..R sin( )φ i cos( )θi yi
..R sin( )φ i sin( )θi
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
φi
ti
i . .0 10000
Δ t 0.0005R 2 g 9.81
df0
f0
0
π
6ti
.i Δt
du0
u0
0.25
0
vθ 0 0.5
dfi 1
fi 1
...( )φi sin( )φ0
2 vθ 02
.R2 sin( )φ i2
.g
Rsin( )φ i Δt dφi
φ i.dφ i Δ t
cos
80 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
Problema de ejemplo 2.23
El carro de una montaña rusa pesa 1000 kg y se mueve a lo largo de una pis-ta circular que varía en elevación de una manera senoidal como se muestra en la fi gura. La trayectoria de 2000 m de la montaña rusa está dada por
b(s) p
2 sen Q ps500R radu(s) ps
1000
Determine la fuerza normal ejercida sobre los pasajeros si el carro de la montaña rusa se mueve a una velocidad constante de 15 m/s.
z(s)
400
200
500 1500 2000
s
Elevación a lo largo de la vía
Ele
vació
n (m
)
0 1000
300
200
100
–100
0
–200 –100 0 100 200
+++++++++++++++++++++++++
++++++++
++++++++++++++++++
++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++
+++++++++++++++++++++++++++++++
x (s)
Vista del plano (xy) de la vía
y (s
)
200
100
0–100
100
0
0
100
200
300
s20001000 1500500
3000
2000
1000
0
N (s)z (s)
1 0.5 0 0.5 1 1.51.5
1
0.5
0
0.5
yi
xi
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS 81
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.23
0 500 1000 1500 20000
200
400
z( )s
s
200 100 0 100 200100
0
100
200
300
y( )s
x( )s
s . .,0 10 2000
θ ( )s.π s
1000β ( )s .π
2sin
.π s
500
x( )s d0
sζ.cos θ ζ cos β ζ
y( )s d0
sζ.sin θ ζ cos β ζ
z( )s d0
sζsin β ζ
82 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
0 500 1000 1500 20000
1000
2000
3000
N( )s
z( )s
s
dβ ( )s .π2
1000cos
.π s
500dθπ
1000
N( )s ..dθ2
cos β ( )s2
dβ ( )s2 .152 1000
3Primeras integrales de movimiento trabajo-energía e impulso-cantidad de movimiento
El capítulo 3 cubre los temas de trabajo-energía e impulso-cantidad de mo-vimiento, los cuales son las primeras integrales de movimiento de un ob-jeto, pero la solución de la ecuación diferencial no requiere en general de software computacional. Sin embargo, estos son algunos problemas cuyas soluciones se facilitan al utilizar software.
Problemas de impacto
Los problemas de impacto involucran la solución de ecuaciones simultáneas que pueden resolverse a mano, pero el software computacional reduce la probabilidad de errores aritméticos. El problema de la reconstrucción del accidente mostrado en el Problema de ejemplo 3.11 puede ser cargado en un programa y desarrollado para llegar a una solución general.
83
84 CAPÍTULO 3 PRIMERAS INTEGRALES DE MOVIMIENTO TRABAJO-ENERGÍA E IMPULSO-CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Problema de ejemplo 3.11
La policía investiga un accidente que trata con la colisión de frente entre dos automóviles. Se identifi ca el punto de impacto y se miden las marcas de des-lizamiento antes y después de la colisión para cada vehículo. En el diagrama adjunto se muestra el diagrama de la policía de la escena del choque. El peso del vehículo A es de 4000 lb y el del vehículo B es de 3200 lb. Pruebas sobre el pavimento demuestran que el coefi ciente de fricción cinética es de 0.7 para los dos vehículos, y la evaluación del daño conduce a una estima-ción de un coefi ciente de restitución de 0.5. Como recreador de accidentes, determine las velocidades iniciales de los vehículos.
Punto de impacto
A
B
Reporte de accidente# 307921
Fecha: 5/6/94, Clima: atardecer seco, Hora: 9:20 pm, Ubicación: camino descuidado
120 pies
30 pies
50 pies
150 pies
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 3.11
Sea Si la matriz distancia de deslizamiento inicial y Sf el deslizamiento fi nal desde el punto de impacto. Las masas de los vehículos pueden de-signarse como mA y mB, μ será el coefi ciente de fricción cinética entre los neumáticos y el pavimento y e será el coefi ciente de restitución. La codifi cación en Mathcad es la siguiente:
PROBLEMAS DE IMPACTO 85
Las condiciones se pueden cambiar fácilmente en el programa. Por ejemplo, si el accidente ocurriera durante la lluvia, el coefi ciente de fricción sería 0.5.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 3.11, CONTINUACIÓN
Sea Si la matriz distancia de deslizamiento inicial y Sf el deslizamiento fi nal desde el punto de impacto. Las masas de los vehículos pueden de-signarse como mA y mB, μ será el coefi ciente de fricción cinética entre los neumáticos y el pavimento y e será el coefi ciente de restitución. La solución vía Mathcad es la siguiente:
v Apre
v Bpre
.W A
e
W B
e
1 .W A v Apost.W B v Bpost
v Apost v Bpost
=v Apre 82.951 =v Bpre 85.552
v Ai...2 μ g SiA v Apre
2
v Bi...2 μ g SiB v Bpre
2
=v Ai 110.862 =v Bi 118.664
SiA 120 SiB 150 SfA 30 SfB 50
e 0.5 μ 0.7 g 32.2 W A 4000
v Apost
v Bpost
...2 μ gSfA
SfB
W B 3600
=v Apost 36.775 =v Bpost 47.476
v Apre
v Bpre
.W A
e
W B
e
1 .W A v Apost.W B v Bpost
v Apost v Bpost
SiA 120 SiB 150 SfA 30 SfB 50
e 0.5 μ 0.5 g 32.2 W A 4000
v Apost
v Bpost
...2 μ gSfA
SfB
W B 3600
=v Apost 31.081 =v Bpost 40.125
86 CAPÍTULO 3 PRIMERAS INTEGRALES DE MOVIMIENTO TRABAJO-ENERGÍA E IMPULSO-CANTIDAD DE MOVIMIENTO
En este tipo de análisis se estima el coefi ciente de restitución y la sensibili-dad del análisis; para el valor de e vemos que ha cambiado a 0.8. La fricción cinética está dada por el valor de 0.7. Como el coefi ciente de restitución se ha incrementado, se pierde menos energía durante el impacto y como se conoce la energía después del mismo, un valor alto del coefi ciente de restitución re-sulta en una energía cinética inicial baja y por tanto, en bajas velocidades.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 3.11, CONTINUACIÓN
Sea Si la matriz distancia de deslizamiento inicial y Sf el deslizamiento fi nal desde el punto de impacto. Las masas de los vehículos pueden de-signarse como mA y mB, μ será el coefi ciente de fricción cinética entre los neumáticos y el pavimento y e será el coefi ciente de restitución. La codifi cación en Mathcad para este problema es la siguiente:
=v Apre 70.106 =v Bpre 72.305
v Ai...2 μ g SiA v Apre
2
v Bi...2 μ g SiB v Bpre
2
=v Ai 93.696 =v Bi 100.289
v Apre
v Bpre
.W A
e
W B
e
1 .W A v Apost.W B v Bpost
v Apost v Bpost
=v Apre 53.019 =v Bpre 52.295
v Ai...2 μ g SiA v Apre
2
v Bi...2 μ g SiB v Bpre
2
=v Ai 90.668 =v Bi 97.451
SiA 120 SiB 150 SfA 30 SfB 50
e 0.8 μ 0.7 g 32.2 W A 4000
v Apost
v Bpost
...2 μ gSfA
SfB
W B 3600
=v Apost 36.775 =v Bpost 47.476
4 Sistemas de partículas
El capítulo 4 del libro de texto introduce la dinámica de los sistemas de par-tículas y establece los fundamentos de la dinámica para todos los cuerpos rígidos. El software computacional se utiliza en problemas de esta área sólo cuando éste reduce la carga de cálculos numéricos.
Problema de ejemplo 4.2
Una partícula de 2 kg explota y se divide en tres fragmentos iguales cuando tiene una velocidad V 10i m s.. Si se observa que los fragmentos viajan en las direcciones siguientes, con respecto a la partícula después de la ex-plosión, determine la velocidad de cada fragmento y la energía perdida en la explosión:
Va Va (0.577 i 0.577 j 0.577 k)
Vb Vb (0.333 i 0.667 j 0.667 k)
Vc Vc ( 0.667 i 0.667 j 0.333 k)
87
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 4.2
Problema de ejemplo 4.3
Tres partículas con masas iguales en un sistema cerrado —es decir, se con-servan las cantidades de movimiento lineal y angular— tienen vectores de posición y velocidad medidos, en metros y metros/segundo, respectivamen-te, en el tiempo t1:
vC 10iN 5jN 10kNrC 2iN jN 5kN
vB 5iN 10jN 10kNrB iN 3jN 3kN
vA 20iN 15jN 20kNrA 3iN 4jN 2kN
Al tiempo t2, sólo se puede obtener la velocidad y la posición de dos de las masas:
vB 5iN 10jN 5kNrB iN 2jN 2kN
vA 15iN 20jN 25kNrA 5iN 2jN 3kN
V a
V b
V c
.C 1 L i
=V c 23.993=V a 20.791 =V b 6.007
M 2 mM
3
e a
0.577
0.577
0.577
e b
0.333
0.667
0.667
e c
0.667
0.667
0.333
C
.m e a0
.m e a1
.m e a2
.m e b0
.m e b1
.m e b2
.m e c0
.m e c1
.m e c2
L i
.M 10
0
0
88 CAPÍTULO 4 SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Determine la velocidad de la partícula C en un punto en la tangente a la trayectoria en el tiempo t2.
VENTANA COMPUTACIONAL: SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE EJEMPLO 4.3
H C2 H m r A2 v A2 r B2 v B2
=H C2
145
30
60
L m v A1 v B1 v C1
v C2 L m v A2 v B2
=v C2
15
20
10
H m r A1 v A1 r B1 v B1 r C1 v C1
=H m
185
45
150
r A1
3
4
2
v A1
20
15
20
r B1
1
3
3
v B1
5
10
10
r C1
2
1
5
v C1
10
5
10
r A2
5
2
3
v A2
15
20
25
r B2
1
2
2
v B2
5
10
5
SISTEMAS DE PARTÍCULAS 89
p C2
v C2 H C2.v C2 v C2
=p C2
1.241
3.241
4.621
90 CAPÍTULO 4 SISTEMAS DE PARTÍCULAS
5Cinemática de cuerpos rígidos
Muchos de los problemas en este capítulo pueden resolverse usando Math-cad ya sea para reducir la difi cultad en los cálculos o para visualizar el movi-miento grafi cando la posición, velocidad o aceleración de un cuerpo rígido.
Problema de ejemplo 5.8
La ecuación diferencial de movimiento para un disco girando con respecto a su eje está dada por
a 0.2 v2 4u sen (t)
Determine la velocidad angular y la posición angular como funciones del tiempo si las condiciones iniciales son u0 = 0 y v0 = 0.1.
v1
tTiempo (s)
0.5
0
–0.5
–10 1 2 3 4
u1
Velo
cid
ad
ang
ula
r (r
ad
/s)
Áng
ulo
(ra
d)
91
92 CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.8
Defi na el incremento y el número de incrementos del tiempo:
Δt 0.001 T 4000
Defi na el rango de la variable i:
i . .0 T
El tiempo para cualquier incremento se defi ne como
ti.i Δt
La aceleración angular es:
α ,,ω θ t .0.2 ω2 .4 θ sin t
Los valores iniciales de la velocidad y la posición angular son
ω0
θ0
0.1
0
ωi 1
θi 1
ωi.α ,,ωi θi ti Δt
θi.ωi Δt
La siguiente gráfi ca muestra la velocidad angular y la posición contra el tiempo:
0 1 2 3 41
0.5
0
0.5Velocidad angular y posición
Tiempo (s)
v i
ui
ti
Vel
ocid
ad a
ngul
ar (
rad/
s) P
osic
ión
angu
lar
(rad
/s)
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 93
Problema de ejemplo 5.14
Considere el ensamblaje de una rueda automotriz ilustrado en la fi gura ad-junta. Si la rueda gira sin deslizarse y la velocidad del automóvil es v hacia la derecha en el instante que se muestra en la fi gura, determine la velocidad del punto B en el neumático. Deje la solución en términos del radio r, el ángulo u y la velocidad v.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.14
Grafi que la velocidad del punto D (un punto en la parte alta de la rueda cuando el tiempo es igual a cero). La rueda gira con una veloci-dad constante de 100 pulg/s sin deslizarse y tiene un radio de 10 pulg. Analice el movimiento para intervalos de 1 a 0.5 s.
El código y la gráfi ca asociados son los siguientes:
rr
v
y
Bx
C
q
t . .,0 0.05 1
v 0
100
0
0 ω 0 10
ω
0
0
100
10
r t
.10 sin .ω 0 t
.10 1 cos .ω 0 t
0
v t ω r t v 0
94 CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
Las tres gráfi cas son los componentes x y y la magnitud de la velocidad del punto D.
Problema de ejemplo 5.15
La rueda compuesta en la fi gura adjunta gira sin deslizarse sobre el eje inte-rior de la rueda que tiene un radio de 20 pulg. Si la velocidad angular de la rueda es de 4 rad/s en sentido contrario al horario, determine la velocidad del punto B.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.15
θ .30 degω
0
0
4r
.40 sin( )θ
20 .40 cos( )θ
0
v B ω r=v B 232.745
=v B
218.564
80
0
La velocidad de cualquier punto en cualquier tiempo, se calcula fácil-mente.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1100
0
100
200
300Componentes de la velocidad del punto D y valor absoluto
Tiempo (s)
v D t0
v D t1
v D t
t
Vel
ocid
ad (
pulg
/s)
30°
b
B
C
a = 20 pulg
b = 40 pulg
a
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 95
Problema de ejemplo 5.16
En el problema de ejemplo 5.9, un cuerpo rígido que se mueve en movi-miento plano tuvo las velocidades y posiciones de dos puntos, A y B, espe-cifi cados como sigue:
vB 2.40iN 0.80jN m s
vA 3.00iN m s
rB 2.00iN 1.80jN m
rA 1.60iN 1.50jN m
Determinamos que la velocidad angular es igual a 2 rad/s en el instante de tiempo considerado en el problema de ejemplo. Si las aceleraciones lineales de los puntos A y B son
aB 1.1iN 1.2jN m s2
aA 3iN 2jN m s2
determine la aceleración angular del cuerpo rígido en este instante.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.16
r B
2
1.8
0
r A
1.6
1.5
0
v A
3
0
0
v B
2.4
0.8
0
a A
3
2
0
a B
1.1
1.2
0
r BA r B r A v BA v B v A
a BA a B a A ω r BA
v BA.r BA r BA
α r BA
a BA.r BA r BA
r CA ωv A
.ω ω
=ω
0
0
2
=α
0
0
1
=r CA
0
1.5
0
y
zx
B
ArA
rB
96 CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
5.10 Análisis de movimiento plano en términos de un parámetro
Muchos problemas en cinemática pueden formularse en términos de pará-metros. Considere la barra que se desliza hacia abajo en un plano inclinado como se muestra en la fi gura 5.32. El ángulo u que la barra forma con la superfi cie horizontal puede utilizarse como un parámetro para caracterizar el movimiento.
VENTANA COMPUTACIONAL: SECCIÓN 5.10
El problema de la barra deslizante puede resolverse y la solución gra-fi carse por medio de Mathcad o de otro software comercial. Como ejemplo, suponga que la aceleración en un punto A es de 2 metros por segundo al cuadrado y que la longitud de la barra es de 9 m. El ángulo b es igual a 60° o bien π/3. El tiempo para que la barra se deslice hacia debajo de la superfi cie es 3 s. Por lo tanto, a continuación examinare-mos la solución para t = 0 hasta 3 s:
0 1 2 3 41.5
1
0.5
0
ω( )t
t0 1 2 3 40.5
0
0.5
1
1.5
θ( )t
t Velocidad angular vs. TiempoÁngulo en radianes vs. Tiempo
t . .,0 0.2 3a 2l 9
βπ
3
θ( )t β asin ..a t2sin( )β
.2 l
ω( )td
dtθ( )t
Problema de ejemplo 5.21
Desarrolle una solución general para el movimiento del émbolo que se muestra en el diagrama siguiente si el disco gira en sentido contrario al ho-rario con una razón constante v.
A D
B
C
Rbq
D
B
y
xw
CRbqA
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.21
Una solución general para el problema del émbolo se mostró en el libro de texto de Dinámica. Como solución numérica considere los primeros 5 s del movimiento, con los siguientes valores:
t . .,0 0.1 5 R 6 L 18 ω 2
La velocidad angular de la barra de conexión es determinada de la siguiente manera:
ω BC( )t ..R ωcos( ).ω t
.L 1 .R2 sin( ).ω t 2
L2
La velocidad del émbolo es:
v C( )t ..R ω sin( ).ω t ...R2 ω sin( ).ω tcos( ).ω t
.L 1 .Rsin( ).ω t
L
2
ANÁLISIS DE MOVIMIENTO PLANO EN TÉRMINOS DE UN PARÁMETRO 97
98 CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
Problema de ejemplo 5.23
En la fi gura adjunta, una barra con longitud L está fi ja a una rueda con ra-dio r en el punto P. Si la rueda gira a una velocidad angular constante v sin deslizarse, desarrolle una expresión general para la velocidad del punto Q con el tiempo.
r(1
+ s
en u
)
rr
u
bx L
y
Q
A
C
b r
uP
x L
y
Q
A
C
w
r
uP
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.23
La solución general de la rueda que gira con una barra fi ja se propor-ciona en el libro de texto. Se debe seleccionar la longitud de la barra para que sea mayor al diámetro de la rueda para satisfacer la restric-ción que indica que el fi nal Q de la barra siempre debe estar en contac-to con el suelo. Se utilizan los siguientes valores en el ejemplo:
r 200 mm L 800 mm ω .2 π rad/s
Se analizará un periodo de 2 s con incrementos de 0.01 s:
t . .,0 0.01 2
0 1 2 3 4 515
10
5
0
5
10
15
ω BC ( )t
v C( )t
t
La tangente de beta aparece en las ecuaciones y puede escribirse como
tβ( )t .r
L
1 sin( ).ω t
1 .r
L
2( )1 .2 sin( ).ω t sin( ).ω t 2
El ángulo beta se calcula
β( )t atan ( )tβ( )t
La velocidad del punto Q es
vQ( )t ..r ω ( )1 sin( ).ω t .( )cos( ).ω t tβ( )t
0 1 2 30
0.5
1
β( )t
t0 1 2 3
4000
2000
0
vQ( )t
t
Gráfica del ángulo beta para dos revoluciones de la rueda
Velocidad del punto Q
Problema de ejemplo 5.24
La posición, las velocidades lineales y las aceleraciones de tres puntos no colineales en un cuerpo rígido se dan en la tabla siguiente:
r mm v mm s a mm s2
x y z x y z x y zA 100 100 0 600 400 100 850 1200 240B 300 300 0 200 0 0 200 200 0C 220 180 0 440 160 40 420 760 140
Determine la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo.
A
B
C
z
x
y
ANÁLISIS DE MOVIMIENTO PLANO EN TÉRMINOS DE UN PARÁMETRO 99
100 CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.24
v rel
40
40
10
16
24
6
C
0
0
20
0
0
8
0
0
20
0
0
12
20
20
0
8
12
0
ω ...TC C
1 TC v rel
=ω
4.885 1015
0.5
2
La matriz [C] es la misma para la ecuación de la aceleración.
q rel
20
20
4
8
12
2
α ...TC C
1 TC q rel
=α
0.1
0.1
1
Problema de ejemplo 5.25
Considere el cuerpo rígido, que se muestra en la fi gura en la página siguien-te, que tiene la posición y la velocidad de tres puntos dadas como sigue:
rC iN 2jN 2kN m vC 23iN 15jN 5kN m s
rB 3jN kN m vB 19iN 10jN 5kN m s
rA 2iN jN 3kN m vA 3iN 2jN kN m s
Determine la velocidad angular del cuerpo.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.25
ω ...TC C
1 TC v rel
=ω
3
4
0
v rel
16
12
4
20
15
5
C
0
4
4
0
5
3
4
0
2
5
0
1
4
2
0
3
1
0
Problema de ejemplo 5.26
El mecanismo que se muestra en la fi gura siguiente convierte al movimiento rotacional en movimiento de traslación. Desarrolle una relación entre la velocidad angular de la rueda y la velocidad lineal del collarín en el eje. Las conexiones en la barra AB en los puntos A y B son de bola y recep-táculo.
A
B
C
z
xy
ANÁLISIS DE MOVIMIENTO PLANO EN TÉRMINOS DE UN PARÁMETRO 101
102 CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
Sea r la distancia desde el centro del disco C hasta el receptáculo B. Supon-ga que el disco gira con una velocidad angular constante v.
A
D
y
LC
B
xz
d
qr
A
y
LC B
xz
d
qr
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.26
La velocidad y la aceleración del collarín A para los primeros 2 s se determina de la siguiente manera:
0 0.5 1 1.5 2 2.550
0
50
v( )t
t
0 0.5 1 1.5 2 2.5500
0
500
a( )t
t
t . .,0 0.05 2 ω 10 L 21 d 9 r 6
v( )t...r d sin( ).ω t ω
L2 r2 d2 ...2 r d cos( ).ω t
a( )td
dtv( )t
ANÁLISIS DE MOVIMIENTO PLANO EN TÉRMINOS DE UN PARÁMETRO 103
104 CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
Problema de ejemplo 5.31
Un dispositivo de movimiento intermitente denominado mecanismo Gene-va o Malta, se muestra en la fi gura adjunta. Este mecanismo permite el giro intermitente del disco A conforme el disco B gira a una razón constante. La rueda Geneva, disco A, está dispuesta con al menos tres ranuras igualmente espaciadas. El disco B tiene un perno que ingresa en la ranura radial y causa que la rueda Geneva gire una fracción de una revolución. Cuando el per-no sale de la ranura, la rueda Geneva permanecerá en reposo hasta que el perno ingrese a la ranura siguiente. Una rueda Geneva necesita un mínimo de tres ranuras para que funcione, pero el número máximo de ranuras está limitado sólo por el tamaño de la rueda. En este caso, el disco A girará ¼ de vuelta por cada rotación completa del disco B. Esta información permite un método de conteo de rotaciones y es útil para muchas máquinas. Si el disco B gira en sentido contrario al horario con una razón constante v, determine la velocidad angular y la aceleración angular del disco A cuando se activa el perno P. Determine la velocidad del perno con respecto al disco A durante la activación.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.31
Solución del mecanismo Geneva
La velocidad del perno respecto a la rueda Geneva y la velocidad an-gular de la misma, puede ser calculada y grafi cada para el ángulo the-ta, el cual varía de 135° hasta 225°.
R 10 ω 2θ . .,.0.75 π .0.80 π .1.25 π
t( )θθ
ω
vx( )θ ...R 2 sin( )θω
3 ..2 2 cos( )θ
vβ( )θ .ω1 .2 cos( )θ
3 ..2 2 cos( )θ
R
B
�2R
A
q
y x
Y
X
P
�2R
2 2.5 3 3.5 440
20
0
20
40
aβ( )θ
θ2 2.5 3 3.5 4100
0
100
200
ax( )θ
θ
aβ( )θd
dθ.vβ( )θ ω
ax( )θd
dθ.vx( )θ ω
2 2.5 3 3.5 440
20
0
20
40
vx ( )θ
θ2 2.5 3 3.5 4
6
4
2
0
vβ( )θ
θ
ANÁLISIS DE MOVIMIENTO PLANO EN TÉRMINOS DE UN PARÁMETRO 105
6Dinámica de cuerpos rígidos en movimiento plano
En este capítulo, Mathcad es utilizado inicialmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales. En estos casos, la aceleración es una constante y por tanto, las ecuaciones diferenciales resultantes pueden resolverse ana-líticamente, por lo que la solución numérica no es necesaria. Conforme avancemos hacia movimientos más complejos, muchas de las ecuaciones diferenciales serán no lineales y no se pueden resolver analíticamente. El uso de software computacional nos permite resolver estos problemas com-pletamente. Anteriormente, tales problemas eran resueltos sólo de manera cuasiestática, es decir, para ”la posición o instante mostrado”.
Usted se ha esforzado para obtener soluciones completas a problemas de dinámica plana y entonces grafi car los resultados de modo tal que ha desarrollado una comprensión completa del movimiento y del efecto de di-ferentes parámetros. Esta comprensión es fundamental para un ingeniero que diseña sistemas dinámicos. Antes de la disponibilidad del software compu-tacional, un gran número de problemas de dinámica no se resolvían o si lo eran, la solución requería de complejos programas de computadora.
106
DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO 107
Problema de ejemplo 6.1
Considere una persona que está intentando empujar una caja grande por el piso, como se muestra en el diagrama adjunto. Determine el movimiento resultante de la caja cuando se conocen su tamaño y peso. Desarrolle una aproximación general para cualquier fuerza aplicada, en cualquier posición, y para un coefi ciente de fricción estática y cinética particular entre la caja y el piso.
cm
N
P
w
W
hx
y
c
f
d
En el primero de los dos casos, el de no movimiento y deslizamiento de la caja, no requiere de Mathcad para una solución completa. Sin embargo, cuando la caja se vuelca, se puede obtener una solución simbólica utilizando Mathcad, como se muestra en la ventana computacional 6.1.
VENTANA COMPUTACIONAL 6.1: CAJA VOLCADA
0 − 1 Wg
h2
1 0 Wg
w2
w2
−h2
−1
12Wg
(w2 + h2 )
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
N
f
α
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=
− P
W
P(c −h2
)
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
Multiplicando la inversa de la matriz de coefi cientes por el miembro derecho de la ecuación, tenemos
108 CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO
Problema de ejemplo 6.3
Determine la aceleración máxima que puede obtener un automóvil cuando sube por una colina con pendiente u si el coefi ciente de fricción estática entre los neumáticos y el camino es μs. El centro de masa del automóvil está hacia el frente del automóvil, debido al peso del motor. (Consulte el diagrama adjunto.) Determine la aceleración máxima si el automóvil es un vehículo (a) con impulsión en los cuatro neumáticos, (b) de impulsión trase-ra y (c) de impulsión delantera.
Las tres ecuaciones para las fuerzas normales en los neumáticos y la acele-ración se pueden resolver usando el operador simbólico de Mathcad, como se muestra en la siguiente ventana computacional:
1
.
0
1
w
2
1
0
h
2
.W
g
h
2
.W
g
w
2
..1
12
W
g( )w2 h2
1
P
W
.P ch
2
.1
4
( ).W w2 ..4 W h2 ...6 w P c
( )w2 h2
.1
4
( )..4 P w2 ..4 P h2 ...3 w h W ...6 h P c
( )w2 h2
..3
2g
( ).w W ..2 P c
( ).W ( )w2 h2
cm
d1 d2 q
h
W
d1 d2 q
hx
y
fF
NFNR
fR
cm
DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO 109
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.3A
.
μ s
1
( )d 1.μ s h
μ s
1
( )d 2.μ s h
W
g
0
0
1.W sin( )θ.W cos( )θ
0
N a
Nb =
a
..( )d 2
.μ s h
( )d 2 d 1W cos( )θ
..( )d 1
.μ s h
( )d 2 d 1W cos( )θ
.g sin( )θ ..g μ s cos( )θ
Observe que se utilizó un procesador simbólico para obtener la solución y para evitar los detalles algebraicos. Observe también que la aceleración no depende del peso del automóvil o de la posición del centro de masa del mismo. A nivel del suelo, la aceleración máxima es
a sgm
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.3B
.
0
1
d 1
μ s
1
( )d 2.μ s h
W
g
0
0
1.W sin( )θ.W cos( )θ
0
N a
Nb =
a
..( )d 2
.μ s h
( )d 2.μ s h d 1
W cos( )θ
..d 1
( )d 2.μ s h d 1
W cos( )θ
.g( ).sin( )θ d 2
..sin( )θ μ s h .sin( )θ d 1..μ s d 1 cos( )θ
( )d 2.μ s h d 1
110 CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO
En este caso, la aceleración depende de la ubicación del centro de masa. A nivel del suelo, la aceleración es
ag
m
ms d1
(d1 d2) s h
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.3C
N a
Nb =
a
..d 2
( )d 2 d 1.μ s h
W cos( )θ
..( )d 1
.μ s h
( )d 2 d 1.μ s h
W cos( )θ
.g( ).sin( )θ d 2
.sin( )θ d 1..sin( )θ μ s h ..μ s d 2 cos( )θ
( )d 2 d 1.μ s h
.
μ s
1
( )d 1.μ s h
0
1
d 2
W
g
0
0
1.W sin( )θ.W cos( )θ
0
A nivel del suelo, la aceleración es:
as gdm
m
g 2
d1 d2 sh
Problema de ejemplo 6.4
El péndulo uniforme en el diagrama adjunto se libera desde una posición horizontal. Determine el movimiento del péndulo. El movimiento se retrasa por la fricción en el perno, la cual siempre se opone al movimiento.
n^
t^
q
L
t = t
t = 0
RnCf
Rt
mg
DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO 111
VENTANA COMPUTACIONAL. PROBLEMA DE EJEMPLO 6.4
Suponga valores de la longitud del péndulo y del momento de fricción y agrupe los incrementos de tiempo para una integración numérica. Recuerde que un incremento grande del tiempo, disminuye la exacti-tud de la integración de la ecuación diferencial no lineal. Para resol-verla, proceda del siguiente modo:
Δt 0.01 L 1 g 9.81
M f .8i . .0 2000
θ0
ω0
0
0
θi 1
ω i 1
θi.ω i Δt
ω i...3
2
g
Lcos( )θi Δt ..M f
ω i
ω iΔt
La siguiente gráfi ca corresponde al ángulo del péndulo (en grados) para nueve ciclos bajo la infl uencia de la fricción con el soporte. El periodo del péndulo es aproximadamente 2 segundos.
0 5 10 15 200
100
200
90
θi
deg
.i Δt
112 CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO
Las oscilaciones del péndulo son amortiguadas después de 17 s, debido a la fricción con el pivote.
Problema de ejemplo 6.5
Considere una escalera uniforme con peso W que se desliza cuando está apoyada contra un edifi cio:
+
q
NA
fA
NB
fB
x
z
y
W
Las ecuaciones de movimiento y las de restricción, pueden formularse como un sistema de siete ecuaciones con siete incógnitas, como se vio en el li-bro de texto. Con el uso de Mathcad estas ecuaciones se pueden resolver numéricamente para una fricción y fuerzas normales particulares, como la aceleración lineal y angular, en el instante en el que la escalera se libera desde el reposo.
q
A
B
DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO 113
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.5
=N A 9.764 =N B 47.922 =f A 1.953 =f B 9.584
=a cmx 0.116 =a cmy 0.081 =α 0.282
L
0
0
0
W
0
0
0
N A
N B
f A
f B
a cmx
a cmy
α
.C 1 L
W 50 l 12 g 32.2 θ .35 deg μ k 0.2
C
μ k
0
1
0
.1
2cos( )θ
0
0
0
μ k
0
1
.1
2sin( )θ
0
0
1
0
0
1
.1
2sin( )θ
0
0
0
1
1
0
.1
2cos( )θ
0
0
0
0
W
g
0
0
1
0
0
0
0
W
g
0
0
1
0
0
0
0
.W l2
.12 g
.1
2cos( )θ
.1
2sin( )θ
114 CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO
Problema de ejemplo 6.6
Un yo-yo se enrolla jalándolo por el piso aplicando una fuerza constante P, como se ilustra en el diagrama siguiente. Si el radio interno del yo-yo es r1, el radio externo es r2, y el radio de giro es k, determine el coefi ciente de fricción mínimo para que el yo-yo se enrolle por la cuerda sin deslizarse.
P
mg
N
f
+x
z
y
Las dos ecuaciones para la fuerza de fricción y la aceleración pueden resol-verse usando el procesador simbólico de Mathcad como sigue:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.6
f mr2 P
r2f mk
a
a2 Pr1
Resolviendo por medio del procesador simbólico tenemos los siguien-tes resultados:
f
= .1
r 2
.m r 2
.m k2
1P.P r 1
=
.Pk2 .r 2 r 1
k2 r 22
.P( )r 2 r 1
.m k2 r 22
Para el yo-yo que se enrolla sin deslizarse, f ≤ μsmg, por tanto,
sP
m mg(k2 r2r1)(k2 r2
2).
r1
r2 P
DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO 115
Problema de ejemplo 6.8
En el problema de ejemplo 6.7, se hace rodar una bola hacia arriba por un plano inclinado. Si ahora la bola rueda hacia arriba por una superfi cie cur-va (consulte el diagrama siguiente), las ecuaciones diferenciales serán no lineales. En este caso, se utilizan coordenadas normales y tangenciales para formular el problema.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.8
ω0 0
ω i 1..
.5 μ k.2 r
.g cos( )θi.R ( )dθi
2 Δt ω i
vi.R dθi
0 0.2 0.4 0.61.5
2
2.5
3
.R dθi
.i Δt0 0.2 0.4 0.6
0
0.01
0.02
θi
.i Δt
R 100 r 0.5 g 9.81 μ k 0.2 Δt 0.01
V 0 3 i . .0 50
θ0
dθ0
0
V 0
R
θi 1
dθi 1
θi.dθi Δt
dθi..g
R( )sin( )θi
.μ k cos( )θi.μ k ( )dθi
2 Δt
n^ t^
V0
q
q
R
z
116 CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO
El radio de curvatura de la superfi cie para este ejemplo, se fi jó en 100 m y la solución es aproximadamente como la de la bola rueda y se desliza en una superfi cie plana.
Problema de ejemplo 6.9
Considere la escalera que se desliza hacia abajo por una pared en el pro-blema de ejemplo 6.5 y resuelva la ecuación diferencial resultante para la posición angular como sigue:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.9
=.R θ43 1.108
0 0.2 0.4 0.60
2
4
.r ωi
.R dθi
.i Δt
t 0.43
=.r ω43 2.124
=.R dθ43 2.126
W 50 l 12 g 32.2 μ k 0.2
θ 0 .35 deg
ω 0 0 Δt 0.01 N 114 i ..0 N
ω0
θ0
ω 0
θ 0
ωi 1
θi 1
ωi
..3.2 μ k
2 l..1 μ k
2 g sin θi
...2 μ k g cos θi
...2 μ kl
2ω
i2 Δt
θi
.ωi
Δt
DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO 117
El problema de ejemplo 6.9 puede resolverse despreciando el efecto de la fricción. En la siguiente ventana se muestra la solución:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.9 DESPRECIANDO LA FRICCIÓN
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
1
2
3
θi
ωi
.i Δt =θ114
1.571
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60
2
4
ωi
θi
=ω114
2.551
W 50 l 12 g 32.2 μ k 0.0
θ 0.1 deg
ω 0 0 Δt 0.01 N 264 i . .0 N
ω0
θ0
ω 0
θ 0
ωi 1
θi 1
ωi
..3
.2 μ k2 l
..1 μ k2 g sin θ
i...2 μ k g cos θ
i...2 μ k
l
2ω
i2 Δt
θi
.ωi
Δt
118 CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO
Problema de ejemplo 6.11
Una rueda gira hacia abajo por una inclinación sin deslizarse. Se enrolla una cuerda, que está sujeta a una masa, alrededor del exterior de la rueda, como se muestra en el diagrama siguiente. Conforme la rueda gira hacia abajo por la inclinación, la masa se jala hacia la rueda. El sistema estará en un estado de aceleración en régimen permanente hasta que la masa se jale por com-pleto. Determine la velocidad angular de la rueda.
qb
x
mA
y
z
r
q b
x
y
z
r
N
mwg
mAg
f
T
B
C
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2
4
θi
ωi
.i Δt =θ264
1.571
0 0.5 1 1.5 20
2
4
ωi
θi
=ω264
2.841
DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO 119
El sistema de ecuaciones algebraicas no lineales que surge puede resolverse usando el operador Given-Find en Mathcad como sigue:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.11
Ingrese los siguientes valores numéricos y las suposiciones iniciales para utilizarse en el programa Given-Find:
m w 40 r 0.4 m A 10 θ .30 deg
g 9.81
T 90 β 0.5 f 150 N 400
a cm 2 α 5 a Ax 2.5 a Ay 2
I zz..1
2m w r2
Sean
..m w g sin( )θ f .T sin( )β .m w a cm 0
N ..m w g cos( )θ .T cos( )β 0
.T r .f r .I zz α 0
.T sin( )β ..m A g sin( )θ .m A a Ax 0
.T cos( )β ..m A g cos( )θ .m A a Ay 0
a cm.r α 0
a Ax a cm..r α sin( )β 0
a Ay..r α cos( )β 0
120 CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO
T
f
N
β
a cm
a Ax
a Ay
α
Find( ),,,,,,,T f N β a cm a Ax a Ay α
=T 109.96 =α 5.064 =f 150.472 =N 443.97
=β 0.327 =a cm 2.026 =a Ax 1.375 =a Ay 1.918
121
7Potencia, trabajo, energía, impulso y cantidad de movimiento de un cuerpo rígido
El capítulo 7 del texto de Dinámica planteó problemas de dinámica plana utilizando los principios de trabajo-energía e impulso-cantidad de movi-miento, los que se basan en la primera integral de movimiento. En general, los problemas no requieren de la solución de ecuaciones diferenciales. El software computacional puede usarse para grafi car muchas de las solucio-nes y de esta manera comprender mucho mejor el problema.
El problema de ejemplo 7.9 tenía el contexto de cómo un programa genera la reconstrucción de accidentes para las velocidades iniciales, la orientación del vehículo, el vector normal al área dañada y el coefi ciente de restitución. Cuando se usan programas comerciales para la reconstrucción de accidentes, el ingeniero debe variar los parámetros hasta que él o ella tengan la mejor forma para los datos disponibles. En este ejemplo supone-mos que los datos previos al impacto se conocen o son estimados y que po-demos calcular los datos posteriores al mismo. En muchas reconstrucciones de accidentes, la ubicación fi nal de los vehículos puede medirse exactamen-te en la escena del accidente y el ingeniero puede trabajar en retroceso para establecer los datos después del impacto. El análisis en la ventana compu-tacional es usado para determinar los datos previos al impacto y así establecer las velocidades iniciales de los vehículos involucrados.
122 CAPÍTULO 7 POTENCIA, TRABAJO, ENERGÍA, IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO
Problema de ejemplo 7.9
En el diagrama siguiente, el vehículo Pontiac (vehículo B), mientras espe-ra hacer una vuelta a la izquierda se impacta con el vehículo Toyota (vehícu-lo A). Determine la dinámica posterior al impacto si, mientras reconstruye el impacto, usted basa su análisis en los datos siguientes: los testigos reportan que el Pontiac estaba parado esperando hacer una vuelta a la izquierda y la velocidad del Toyota era de 50 mph al tiempo del impacto—es decir, el Toyota no frenó antes del impacto. Esto se podría comprobar por la ausen-cia de marcas de deslizamiento. La dirección del vector velocidad de A se supone de –10° con respecto a la horizontal. La dirección del vector nor-mal n se supone de 5° desde la horizontal. Esta dirección se puede obtener examinando el daño en los dos vehículos. El coefi ciente de restitución se obtiene examinando el daño en los vehículos y a partir de la posición de los vehículos después de fi nalizar el accidente. Los valores determinados para los diversos parámetros son
e 0.8
nN cos5°iN sen5°jNB 0Av v
vB 0 vA 73.3(cos10°iN sen10°jN) pies s
rP B 7iN 2.2jN pies rP A 6iN 2jN pies
IB 1,795 lb-pie-s2IA 1,686 lb-pie-s2
mB 87.6 lb-s2 piemA 82.3 lb-s2 pie
En una reconstrucción real, el ingeniero debe comprobar la sensibilidad de la solución para cualquier variación en la dirección del vector unitario n, las velocidades y el coefi ciente de restitución. Las cuatro ecuaciones para la componente normal posterior al impacto de la velocidad y la velocidad angular se resuelven empleando notación matricial.
y
x AB
n^
vA
rP/BrP/A
POTENCIA, TRABAJO, ENERGÍA, IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 123
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 7.9
Las condiciones iniciales son las siguientes:
v At.v A t v An
.v A n v Bt.v B t v Bn
.v B n
X A.k ( )r PA n X B
.k ( )r PB n
β n.5 deg m A 82.3 m B 87.6
θ A.10 deg
I A 1686 I B 1795 ω A 0 ω B 0
r PA
6
2
0
r PB
7
2.2
0
v A.73.3
cos( )θ A
sin( )θ A
0
v B
0
0
0
n
cos( )β n
sin( )β n
0
k
0
0
1
t k n
e 0.8
Las velocidades posteriores al impacto están designadas por el subín-dice p:
v Apn
v Bpn
ω Ap
ω Bp
.
m A.X A m A
0
1
m B
0
.X B m B
1
0
I A
0
X A
0
0
I B
X B
1 .m A v An.m B v Bn
..X A m A v An.I A ω A
..X B m B v Bn.I B ω B
.e ( )v An.X A ω A v Bn
.X B ω B
v Ap.v Apn n .v At t v Bp
.v Bpn n .v Bt t
=v Ap
13.398
17.872
0
=v Bp
55.232
4.832
0
=ω Ap 4.233 =ω Bp 4.279
124 CAPÍTULO 7 POTENCIA, TRABAJO, ENERGÍA, IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 7.9, ANÁLISIS POSTERIOR AL IMPACTO DEL VEHÍCULO A
Primero especifi que las constantes y las condiciones iniciales del ve-hículo:
m 82.3 I 1686 μ 0.7 g 32.2
L 1 2.52 3.22 L 3 2.52 4.82
W 1 0.3 W 3 0.2β atan2.53.2
α atan2.54.8
ω0
4.2 Vx0 13.4 Vy0 17.9
X0 0 Y0 0 θ0
.10 deg
i . .0 2000 Δt 0.001
Exprese la velocidad de cada neumático en función de la velocidad li-neal del centro de masa, la velocidad angular del automóvil y el vector de posición del centro de masa del neumático:
v1x ,,,Vx Vy ω θ Vx ..ω L 1 sin θ β
v1y ,,,Vx Vy ω θ Vy ..ω L 1 cos θ β
v2x ,,,Vx Vy ω θ Vx ..ω L 1 sin θ β
v2y ,,,Vx Vy ω θ Vy ..ω L 1 cos θ β
v3x ,,,Vx Vy ω θ Vx ..ω L 3 sin α θ
v3y ,,,Vx Vy ω θ Vy ..ω L 3 cos α θ
v4x ,,,Vx Vy ω θ Vx ..ω L 3 sin α θ
v4y ,,,Vx Vy ω θ Vy ..ω L 3 cos α θ
Ahora, utilice estas velocidades para especifi car los cuatro momentos y los cuatro vectores de fuerza que actúan en los neumáticos:
POTENCIA, TRABAJO, ENERGÍA, IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 125
F3x ,,,Vx Vy ω θ ...g μ W 3v3x ,,,Vx Vy ω θ
v3x ,,,Vx Vy ω θ2
v3y ,,,Vx Vy ω θ2
F3y ,,,Vx Vy ω θ ...g μ W 3v3y ,,,Vx Vy ω θ
v3x ,,,Vx Vy ω θ2
v3y ,,,Vx Vy ω θ2
F4x ,,,Vx Vy ω θ ...g μ W 3v4x ,,,Vx Vy ω θ
v4x ,,,Vx Vy ω θ2
v4y ,,,Vx Vy ω θ2
F4y ,,,Vx Vy ω θ ...g μ W 1v4y ,,,Vx Vy ω θ
v4x ,,,Vx Vy ω θ2
v4y ,,,Vx Vy ω θ2
F1x ,,,Vx Vy ω θ ...g μ W 1v1x ,,,Vx Vy ω θ
v1x ,,,Vx Vy ω θ2
v1y ,,,Vx Vy ω θ2
F1y ,,,Vx Vy ω θ ...g μ W 1v1y ,,,Vx Vy ω θ
v1x ,,,Vx Vy ω θ2
v1y ,,,Vx Vy ω θ2
F2x ,,,Vx Vy ω θ ...g μ W 1v2x ,,,Vx Vy ω θ
v2x ,,,Vx Vy ω θ2
v2y ,,,Vx Vy ω θ2
F2y ,,,Vx Vy ω θ ...g μ W 1v2y ,,,Vx Vy ω θ
v2x ,,,Vx Vy ω θ2
v2y ,,,Vx Vy ω θ2
126 CAPÍTULO 7 POTENCIA, TRABAJO, ENERGÍA, IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO
Vxi 1
Vyi 1
Xi 1
Yi 1
ωi 1
θi 1
Vxi.F1x ,,,Vxi Vyi ω
iθ
iF2x ,,,Vxi Vyi ω
iθ
iF3x ,,,Vxi Vyi ω
iθ
iF4x ,,,Vxi Vyi ω
iθ
iΔt
Vyi.F1y ,,,Vxi Vyi ωi θ i F2y ,,,Vxi Vyi ωi θi F3y ,,,Vxi Vyi ωi θ i F4y ,,,Vxi Vyi ωi θi Δt
Xi.Vxi Δt
Yi.Vyi Δt
ωi.M1 ,,,Vxi Vyi ωi θ i M2 ,,,Vxi Vyi ωi θi M3 ,,,Vxi Vyi ωi θi M4 ,,,Vxi Vyi ωi θi Δt
θi
.ωi
Δt
M1 ,,,Vx Vy ω θ ....g μmI
W 1
.L 12 ω ..L 1 cos θ β Vy ..L 1 sin θ β Vx
v1x ,,,Vx Vy ω θ2
v1y ,,,Vx Vy ω θ2
M2 ,,,Vx Vy ω θ ....g μmI
W 1
.L 12 ω ..L 1 cos θ β Vy ..L 1 sin θ β Vx
v2x ,,,Vx Vy ω θ2
v2y ,,,Vx Vy ω θ2
M3 ,,,Vx Vy ω θ ....g μmI
W 3
.L 32 ω ..L 3 cos α θ Vy ..L 3 sin α θ Vx
v3x ,,,Vx Vy ω θ2
v3y ,,,Vx Vy ω θ2
M4 ,,,Vx Vy ω θ ....g μmI
W 3
.L 32 ω ..L 3 cos α θ Vy ..L 3 sin α θ Vx
v4x ,,,Vx Vy ω θ2
v4y ,,,Vx Vy ω θ2
0 0.5 1 1.5 22
0
2
4
6
ωi
.i Δt
Velocidad angular vs. Tiempo en segundos
POTENCIA, TRABAJO, ENERGÍA, IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 127
Velocidad del centro de masa vs. Tiempo en segundos
Velocidad angular en radianes vs. Tiempo en segundos
Vista del plano de desplazamiento del centro de gravedad del automóvil
0 5 1015
10
5
0
Yi
Xi
0 0.5 1 1.5 21
0
1
2
3
θi
.i Δt
0 0.5 1 1.5 220
10
0
10
20
Vxi
Vyi
.i Δt
8Dinámica tridimensional de cuerpos rígidos
El capítulo 8 introduce el primer planteamiento tridimensional completo de la dinámica de los cuerpos rígidos. La mayor difi cultad en la solución de problemas tridimensionales de dinámica es que las rotaciones angulares fi ni-tas no son vectores y sí una secuencia dependiente. Por tanto, antes de de-sarrollar las ecuaciones diferenciales de movimiento, debe usted examinar los métodos para describir la posición angular de un cuerpo en tres dimen-siones. Esto se conduce mejor con una matriz de transformación ortogonal de un sistema coordenado de orientación a otro.
Problema de ejemplo 8.2
Desarrolle una matriz de transformación correspondiente a una rotación a con respecto al eje x seguida por una rotación b con respecto al eje y´.
Mathcad puede utilizarse para desarrollar simbólicamente el producto de las dos matrices en este problema para formar una matriz simple que repre-sente la rotación, primero alrededor del eje x y después alrededor del eje y. El procedimiento es el siguiente:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 8.2
Las dos matrices de transformación son ingresadas simbólicamente en Mathcad en el orden correcto y el programa calcula simbólicamente la matriz producto requerida de la siguiente manera:
.cos β
0
sin β
01
0
sin β
0
cos β
1
0
0
0
cos α
sin α
0
sin α
cos α
cos β
0
sin β
.sin β sin α
cos α.cos β sin α
.sin β cos α
sin α.cos β cos α
128
DINÁMICA TRIDIMENSIONAL DE CUERPOS RÍGIDOS 129
Problema de ejemplo 8.3
Considere la matriz de transformación dada en el problema 8.8:
[R]0.3530.3530.866
0.9180.3060.25
0.1770.8840.433
Determine los ángulos de Euler empleando la ecuación (8.34).
En este problema, nos han dado la matriz numérica que representa tres transformaciones sucesivas, primero sobre el eje x, luego sobre el eje y, y por último sobre el eje z. Primero utilizaremos Mathcad para formar sim-bólicamente las tres transformaciones sobre ángulos no especifi cados. En-tonces, podemos determinar numéricamente ángulos particulares. Esto se realiza en la siguiente ventana:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 8.3, ÁNGULOS DE EULER
.cos ψ
sin ψ
0
sin ψ
cos ψ
0
0
0
1
.1
0
0
0
cos θ
sin θ
0
sin θ
cos θ
cos φ
sin φ
0
sin φ
cos φ
0
0
0
1
.cos ψ cos φ ..sin ψ cos θ sin φ.sin ψ cos φ ..cos ψ cos θ sin φ
.sin θ sin φ
.cos ψ sin φ ..sin ψ cos θ cos φ.sin ψ sin φ ..cos ψ cos θ cos φ
.sin θ cos φ
.sin ψ sin θ.cos ψ sin θ
cos θ
Ahora utilicemos el algoritmo Given–Find para resolver los siguientes ángulos:
θ .60 deg φ .60 deg ψ .0 deg
Se tiene
cos θ 0.433.sin θ sin φ 0.866
.sin θ cos φ 0.25.sin ψ sin θ 0.177.cos ψ sin θ 0.884
=Se tiene ,,φ θ ψ
1.29
1.123
0.198
==
==
=
130 CAPÍTULO 8 DINÁMICA TRIDIMENSIONAL DE CUERPOS RÍGIDOS
=1.29
deg73.912
=1.123
deg64.343
=0.198
deg11.345
Segundo conjunto de ángulos del Problema de ejemplo 8.3
θ .60 degφ .200 deg
ψ .180 deg Cambiemos las consideraciones iniciales ya que tenemos ángulos grandes.
Se tiene:
=4.431
deg=878.352
1.123
deg64.343 =
2.944
deg168.679
cos θ 0.433.sin θ sin φ 0.866
.sin θ cos φ 0.25.sin ψ sin θ 0.177.cos ψ sin θ 0.884
=Determine ,,φ θ ψ
4.431
1.123
2.944
==
==
=
La solución concuerda con la que se presentó en el libro de texto, pero con menos trabajo numérico realizado. Resolvimos un conjunto so-bredeterminado de ecuaciones algebraicas para los tres ángulos.
Problema de ejemplo 8.4
Un anillo homogéneo con masa m y radio R está soportado por un collarín liso como se muestra en la fi gura PE8.4a. Si el collarín está sujeto a un eje vertical que se rota con velocidad angular constante, determine el ángulo b que alcanzará el anillo. Determine la velocidad angular mínima para que el anillo deje la posición vertical.
SOLUCIÓN
Pondremos el sistema coordenado al anillo con x dirigida hacia fuera hacia el plano del anillo y y hacia arriba en el collarín, como se muestra en la fi -gura PE8.4b. Los momentos principales de inercia de masa con respecto al punto A son:
DINÁMICA TRIDIMENSIONAL DE CUERPOS RÍGIDOS 131
IzzA12 mR2 mR2 3
2 mR2
IyyA12 mR2
IxxA mR2 mR2 2mR2
La velocidad angular del anillo en el sistema coordenado del anillo es
z
#
y cos
x sen bv
v
v
v
v
b
b
El único momento es con respecto al eje z y por tanto, de la ecuación (8.54) obtenemos
mgR sen32 mR2
$ 32 mR2 2 sen cos
Mz Iz#
z ( vvv
v bbbb
y II x) y x
La ecuación diferencial de movimiento se transforma en
$ Q23gR
2 cos senRb v bb 0
La posición estable que alcanzará el anillo se puede determinar examinando cuando b = 0:
cos 1Q 2g3R 2 Rvb
Si el anillo debe permanecer en la posición vertical, entonces
2g3R
0b
v
Una solución numérica de la ecuación diferencial no lineal puede obtenerse para R = 0.2 m, v = 2π rad/s si el anillo se libera con un ángulo inicial b0 = 10 grados.
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 8.4
s : acos a 2 # g3 #
v
v
p
b# 2b
: 2 #R : 0.2g : 9.81
y
Ay
Ax
y x
mg
R sin b
zx
w
w
(a)
(b)
b
b y
132 CAPÍTULO 8 DINÁMICA TRIDIMENSIONAL DE CUERPOS RÍGIDOS
8.7 Ecuaciones de movimiento de Euler
Mathcad puede utilizarse para resolver numéricamente las ecuaciones de Euler de movimiento para casos particulares. Considere una solución nu-mérica para el trompo pesado simétrico estudiado en la sección 8.7.3 del texto de Dinámica.
SOLUCIÓN AL PROBLEMA DEL TROMPO PESADO
t1 : i # t m : 0.5 I : 0.02 IXX : 10 3 IZZ : 1.2 # 10 3 g : 9.81
i : 0 .. 2000 t : 0.001
Ángulo (grados) vs. Tiempo (s)
250 1 2 3 4 5
30
35
40
tn
βn
deg
βs
deg
cd n 1
n 1d : cd n dd ( n) # t
n d n# t
d
cd 0
0d : c 0
30 degd
tn : n # t
t : 0.001
n : 0..5000
dd ( ) : a23 #gR
2 # cos( )b # sin( )
sdeg
b
b b
bb b
b
b
b
b
v bbb
b34.075
ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE EULER 133
0 1 20
10
20
30
q
ti
i
dui 1
ui 1
dfi 1
fi 1
dci 1
ci 1
:
dui dd[ui, dfi] # tui dui
# tb a # cos[ui]
sin[ui]fi dfi
# tIXX
IZZ
# ab # cos[ui] a # [ui]2
sin[ui]2
ci dci# t
ddu(u, df): 1IXX
# [m # g # l # sin(u) IXX# df2 # sin(u) # cos(u) IXX
# sin(u) # df # a]
b : df0# sin(u0)2 a # cossu0d
a :IZZ
IXX
# [df0# cos(u0) dc0]
du0
u0
df0
f0
dc0
c0
:
010 # deg
30
1000
0 1 20
10
20
30
q
Ángulo de nutación
Tiempo (s)
ti
i
(grados)
Áng
ulo
de n
utac
ión
(gra
dos)
dui 1
ui 1
dfi 1
fi 1
dci 1
ci 1
:
dui dd[ui, dfi] # tui dui
# tb a # cos[ui]
sin[ui]fi dfi
# tIXX
IZZ
# ab # cos[ui] a # [ui]2
sin[ui]2
ci dci# t
ddu(u, df): 1IXX
# [m # g # l # sin(u) IXX# df2 # sin(u) # cos(u) IXX
# sin(u) # df # a]
b : df0# sin(u0)2 a # cossu0d
a :IZZ
IXX
# [df0# cos(u0) dc0]
du0
u0
df0
f0
dc0
c0
:
010 # deg
30
1000
134 CAPÍTULO 8 DINÁMICA TRIDIMENSIONAL DE CUERPOS RÍGIDOS
Las propiedades geométricas del trompo pueden cambiarse para obte-ner diferentes movimientos de la siguiente manera:
0.989
0 1 20
500
1000
fi
Tiempo (s)
ti
(grados)
Áng
ulo
de p
rece
sión
(gr
ados
)
ba
0 0.5 10
20
40
60
q i
ti
ba 0.987
F du0
u0
df0
f0
dc0
c0
V : F 010 # deg
30
1200
Vm : 1 I : 0.03 IXX : 0.6 # 10 3 IZZ : 0.2 # 10 3 g : 9.81
0 0.5 10
20
40
60
q i
Ángulo de nutación
(grados)
tiTiempo (s)
Áng
ulo
de n
utac
ión
(gra
dos)
ba 0.987
F du0
u0
df0
f0
dc0
c0
V : F 010 # deg
30
1200
Vm : 1 I : 0.03 IXX : 0.6 # 10 3 IZZ : 0.2 # 10 3 g : 9.81
El movimiento también puede ser observado en una gráfi ca tridimen-sional dispersa, si es necesario. Tenemos
0 0.5 10
500
1000
f
Tiempo (s)
ti
i
(grados)
Áng
ulo
de p
rece
sión
(gr
ados
)
10.5
00.5
1
10.5
00.5
1
00.20.40.60.8
1
x, y, z
Eje z del movimiento en el espacio
zi : cos[ui] xi : sin[ui] # sin[fi] yi : sin[ui] # cos[fi]
ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE EULER 135
9Vibración
El capítulo 9 del texto de Dinámica considera un movimiento de vibración particular, es decir, el movimiento repetitivo de un objeto en relación a un marco de referencia estacionario. Consideramos un gran número de proble-mas de vibración en los primeros capítulos pero no analizamos por comple-to el movimiento. Como los problemas de vibración son comunes en aplica-ciones industriales, los estudiaremos con detalle en este capítulo.
Problema de ejemplo 9.6
Calcule y trace la respuesta del péndulo del ejemplo anterior si g/L = 10 y las condiciones iniciales son u = π rad y rad s.u
#1 Repita el cálculo para las
condiciones iníciales u = 1 rad y rad s.u#
1 Compare las dos soluciones.
La ecuación diferencial para el movimiento del péndulo es
u$ g
lsen u
Con condiciones iniciales: (a) rad s, rad y (b) rad s,u#
u pu#
1 u = 1 rad
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 9.6
Entoncesa) Sea c = g/Lc 10i . .0 10000Δt 0.001ti
.i Δt
20
10
0 2 4 6
xi
�t • i
0.5
0
–0.5
xi
�t • i
0 2 4 6
136
VIBRACIÓN 137
b) Usando un ángulo inicial de 1 radián se produce un movimiento armónico:
ω0
θ0
1
π
α θ .c sin θ
ωi 1
θi 1
ωi.α θi Δt
θi.ωi Δt
0 2 4 6 8 100
20
40Posición angular vs. Tiempo
Tiempo (s)
qi
ti
Pos
ició
n an
gula
r (r
adia
nes)
ω0
θ0
1
1
α θ .c sin θ
ωi 1
θi 1
ωi.α θi Δt
θi.ωi Δt
c 10i . .0 10000Δt 0.001ti
.i Δt
138 CAPÍTULO 9 VIBRACIÓN
Problema de ejemplo 9.9
Calcule y trace la respuesta del sistema de la fi gura 9.9 con un coefi ciente de fricción μ = 0.3, masa m = 100 kg y rigidez k = 500 N/m para las dos condicio-nes iniciales diferentes (a) v0 = 0 y x0 = 4.5 m y (b) v0 = 0 y x0 = 5.0 m.
La ecuación diferencial puede resolverse numéricamente utilizando el mé-todo Runge-Kutta:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 9.9
y4.5
0 El primer elemento es el desplazamiento inicial y el segundo es la velocidad inicial.
a ,v x ...0.3 1 9.81v
v.5 x Aceleración (nota: la fuerza debe dividirse entre la masa).
D ,t yy1
a ,y1 y0
54321 6 70
Tiempo (s)D
esp
lazam
iento
(m
) 543210
–1–2–3–4
0 2 4 6 8 102
1
0
1
2
Posición angular vs. Tiempo
Tiempo (s)
qi
ti
Pos
ició
n an
gula
r (r
adia
nes)
VIBRACIÓN 139
Runge-Kutta con incremento de tiempo de 0.01.
0 2 4 6 84
2
0
2
4
6Gráfica desplazamiento-tiempo
Tiempo (s)
< >Z
1i
< >Z
0i
Des
plaz
amie
nto
(m)
Z rkfixed ,,,,y 0 7 700 D
Problema de ejemplo 9.10
Calcule la solución del sistema siguiente, que modela el amortiguamiento debido a la viscosidad del aire que actúa contra un sistema resorte-masa, y trace el resultado:
mx$ cx# ƒ x#
ƒ kx 0
Aquí, m = 50 kg, k = 200 N/m, c = 25 kg/s, x0 = 0 y v0 = 1 m/s. Compare este resultado con el obtenido de un sistema con amortiguamiento lineal viscoso con el mismo coefi ciente de amortiguamiento.
Este problema se resuelve en el texto de Dinámica con el uso del método de Euler. Como alternativa, la siguiente ventana presenta la solución con Mathcad utilizando el método Runge-Kutta de cuarto orden:
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 9.10
y0
1 Especifi que la posición y la velocidad.
Defi na la aceleración
a ,v x ..0.5 v v .4 x
xi
0.5
0
–0.550 10
Δt• i
xi
0.5
0
–0.550 10
�t • i
140 CAPÍTULO 9 VIBRACIÓN
Defi na la ecuación diferencial, es decir, defi na la primera y la segunda derivadas:
D ,t yy1
a ,y1 y0
Establezca el algoritmo Runge-Kutta:
0 2 4 6 8 100.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6Desplazamiento-tiempo
Tiempo (s)
< >Z
1i
< >Z
0i
Des
plaz
amie
nto
(m)
Z rkfixed ,,,,y 0 10 1000 Di . .0 1000
Problema de ejemplo 9.11
Considere la vibración forzada de una masa m conectada a un resorte con rigidez de 2000 N/m, excitado por una fuerza armónica a 10 Hz. La amplitud máxima de la vibración se mide de 0.1 m y el movimiento se supone que partió del reposo (x0 = v0 = 0). Calcule la masa del sistema.
Resolvamos numéricamente la ecuación diferencial en este problema, utili-zando el método Runge-Kutta de cuarto orden:
VIBRACIÓN 141
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 9.11
Condiciones iniciales:
y0.01
0.01
Especifi que la aceleración:
a ,,v x t .1.02 x .0.1 cos .2.0 t
Especifi que la primera y segunda derivadas:
0 20 40 60 800.1
0.05
0
0.05Gráfica desplazamiento-tiempo
Tiempo (s)
< >Z
1i
< >Z
0i
Des
plaz
amie
nto
(m)
i . .0 800
Z rkfixed ,,,,y 0 80 800 D
D ,t yy1
a ,,y1 y0 t
Apéndice A
Mathcad es usado frecuentemente para determinar los momentos de iner-cia principales de un cuerpo, particularmente si el problema es formulado como un problema de eigenvalores, como el problema de ejemplo A.1
VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO A.1
Tensor de momento de inercia de masa:
I
10
5
3
5
8
4
3
4
7
Determinante del tensor:
=I 33
Ecuación cúbica para los valores principales:
β . .,0 1 15
f β β3 .25 β2 .156 β 33
0 5 10 15100
0
100
200
300Ecuación cúbica para el momento principal
Momentos de inercia (kg*m*m)
f β
β
Val
or d
e la
ecu
ació
n cú
bica
Establezca las rutinas eigenfunction y eigenvector:
=eigenvals I
14.109
10.672
0.219
=eigenvecs I
0.758
0.651
0.046
0.415
0.426
0.804
0.503
0.628
0.593
Revise para determinar si el eigenvalor es la raíz de la ecuación cúbica:
β 15
=root ,f β β 14.109
142
Índice
AAceleración 14-15, 16, 20-22, 26-28, 33-34, 35,
36, 47-48, 52-82, 95, 108-110. Véase también Movimiento y resistencia del aire, 26-28, 33-34, 56-60
angular, 36, 95, 99-101cinemática de, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 33-34,
35, 36, 47-48, 52-82constante, 47-48cuerpos rígidos, 95, 99-101, 108-110determinación simbólica de, 16distancia de frenado, 52-55fuerzas de movimiento y, 52-82gráfi ca, 14-15, 16tiempo, como una función de, 20-22trayectorias y, 33-34vectorial, calculada y escrita como, 35
Aceleración angular, 36, 95, 99-100
CCantidad de movimiento de un cuerpo rígido,
121-127Calculadora numérica, Mathcad como una,
6-9Cálculo numérico de matrices usando Mathcad,
8-9Cálculos algebraicos, uso de Mathcad en, 9-11Cálculos simbólicos, uso de Mathcad, 12-13Coefi ciente de amortiguamiento, 141-142Coefi cientes de fricción, 72-74, 74-76, 84-86
cinética, 74-76, 84-86estática, 72-74
Colon (:) símbolo, 9Cinemática, 14-51, 52-82, 91-105. Véase también
Movimientoaceleración, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 33-34,
35, 36, 47-48, 52-82, 95aceleración angular, 36, 95, 99-100centro de masa, 20-21constante de resorte, 65-68cuerpos rígidos de, 91-105desplazamiento, 20-22, 26-28determinación simbólica de, 16diferenciación numérica, 14-15distancia de frenado, 52-55ecuaciones de movimiento, 14-51, 69-71,
71-72fuerza constante, 63-64función escalón de Heaviside, 66-67gráfi ca y, 14-51método de Euler, 22-23, 24, 26-28, 75-76método Runge-Kutta, 23-24, 68-69movimiento deslizante, 74-76movimiento relativo, 47-51partículas, 14-51, 52-82péndulo, 71-72, 78-80poleas, movimiento de, 64posición angular, 36, 91-92problema inverso de dinámica, 14-47relación fuerza-tiempo, 65-69 relación velocidad-desplazamiento, 26-28relación velocidad-tiempo, 56-60, 93-94resistencia del aire, 26-28, 32-34, 56-60resortes, 61-62, 69-71rodamiento, 98-99ruido en datos, efecto del, 17-18trayectoria de movimiento de una partícula,
39-47trayectorias, 28-30, 32-34, 39-47vector de posición, 38-41
velocidad, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 48-49, 56-60, 91-92, 93-94, 98-99, 99-101
velocidad angular, 36, 95, 99-100Constante de resorte, 65-68, 76-77Cuerpos rígidos, 91-105, 106-120, 121-127, 128-136
aceleración, 95, 99-101, 108-110aceleración angular, 95, 99-100dinámica de, en movimiento plano, 106-120,
121-127, 128-136dinámica tridimensional de, 128-136ecuaciones de movimiento de Euler para,
133-136émbolos, 97-98fuerza aplicada, 107-108fuerza de, 121-127fuerza de fricción, 114impulso de, 121-127matriz de transformación, 128-130movimiento deslizante, 112-113, 116-118movimiento intermitente, 104-105movimiento plano y, 96-105, 106-120movimiento rotacional a traslacional,
conversión de, 101-103parámetros, análisis de movimiento plano
en términos de, 96-105péndulos, 93-94, 98-100posición angular, 91-92relación velocidad-tiempo, 93-94, 96, 98-99rodamiento, 98-99, 114-116, 118-120rotación sobre un eje, 91-92, 128-130ruedas, 93-95, 989-99, 118-120trabajo de, 121-127velocidad, 91-92, 93-94, 96, 98-99, 99-101,
118-120, 131-132velocidad angular, 91-92, 96, 99-101, 118-
120, 131-132
DDesplazamiento, 20-25,26-28
partículas y, 20-25, 26-28relación con velocidad, 26-28resistencia del aire y, 26-28tiempo, como una función de, 20-25
Dinámica tridimensional de un cuerpo rígido, 128-136
EEcuaciones de movimiento de Euler, 133-136Émbolos, movimiento de, 97-98Espirales, 41-43
trayectoria, 41-43trayectoria de movimiento, 72-74
FFricción cinética, coefi ciente de, 74-76, 84-86Fricción estática, coefi ciente de, 72-74Fuerza, 63-64, 65-69, 107-108, 114
aplicada, 107-108constante, 63-64fricción, 114función escalón de Heaviside, 66-67tiempo, como una función de, 65-69
Fuerza de un cuerpo rígido, 121-127Fuerzas de movimiento, véase Aceleración:
MovimientoFunción escalón de Heaviside, 66-67
GGrafi cación, 14-47, 48-82
aceleración, 14-15, 16, 20-22
centro de masa, 20-21distancia de frenado, 52-55gráfi cas de barras, 25-26gráfi cas de superfi cie, 54gráfi cas dispersas, 31-32movimiento de masa, 76-77, 78-79movimiento esférico, 78-79movimiento helicoidal, 30-32pista circular, 80-82problema inverso de dinámica, 14-47relación velocidad-tiempo, 56-60relaciones fuerza-tiempo, 65-69ruido en datos, efecto del, 17-18tiempo, funciones de, 20-22trayectoria circular, 37trayectorias, 28-30, 32-34, 39-47velocidad, 14-15, 16, 20-22
Gráfi cas de barras, 25-26Gráfi cas dispersas, 31-32
IImpulso de un cuerpo rígido, 121-127Impulso-cantidad de movimiento, 83
MMasa, 56-57, 76-77, 78-80
movimiento de, 76-77, 78-80velocidad de una partícula y, 56-57
Mathcad, 5-13, 17-47, 119-120, 144-155cálculo numérico de matrices, 8-9cálculos algebraicos, 9-11cálculos simbólicos, 12-13cálculos vectoriales, 7-8diferenciación de datos, 17-21función root, 19generador aleatorio de números, 17-18introducción a, 5-13operador Given-Find, 119-120problema para eigenvalor, 144-145producto cruz, 8, 12producto punto, 8, 12rango de variables, 11símbolo de barra (|), 7símbolo de colon (:), 9símbolo igual (=), 6
Matriz de transformación, 128-130Mecanismo Geneva (Malta), 104-105Método de Euler, 22-23, 24, 26-28Método Runge-Kutta, 23-24, 68-69, 140, 142-143,Movimiento, 47-51, 52-82, 83-86, 91-105, 106-120,
121-127, 128-136 Véase también Vibraciónaceleración angular, 95, 99-100 aceleración máxima, 108-110aceleración y fuerzas de, 52-82cinemático de una partícula, 47-51cinemático, ecuaciones de, 45-47, 69-71, 71-72constante de resorte, 65-68, 76-77cuerpos rígidos, 91-105, 106-120, 121-127,
128-136deslizamiento, 74-76, 112-113, 116-118dinámica tridimensional de cuerpos rígidos,
128-136distancia de frenado, 52-55ecuación diferencial no lineal de, 26-28ecuaciones de Euler, 133-136émbolos, 97-98esférico, 78-79fricción cinética, coefi ciente de, 74-76,
84-86,fricción estática, coefi ciente de, 72-74
143
fuerza aplicada, 107-108helicoidal, 30-32impulso-cantidad de movimiento, 83masa, 76-77, 78-80movimiento intermitente, 104-105oscilatorio, 61-62partículas, 47-51, 52-82, 83-86péndulos, 71-72, 78-80, 110-112plano, 96-105, 106-120poleas, 64posición angular, 91-92primeras integrales de, 83-86relación fuerza-tiempo, 65-69relación velocidad-tiempo, 56-60, 93-94, 96,
98-100relativo, 47-51resistencia del aire, y, 26-28, 32-34, 56-60 resortes, 61-62, 69-71, 76-77restitución, coefi ciente de, 84-86rodamiento, 98-99, 114-116, 118-120rotación sobre un eje, 91-92, 128-130rotacional a traslacional, conversión de,
101-103ruedas, 93-95, 98-99, 118-120trabajo-energía, 83-86trayectoria de una partícula, 39-47trayectoria en espiral, 72-74trayectorias, 28-30, 32-34, 40, 41-43velocidad angular, 91-92, 96, 99-101, 118-
120, 131-132Movimiento deslizante, 74-76, 112-113, 116-118Movimiento helicoidal, 30-32Movimiento intermitente, 104-105Movimiento plano, 96-105
aceleración máxima, 108-110análisis de, 96-105cuerpos rígidos y, 96-105, 106-120deslizamiento, 112-113dinámica de, 106-120émbolos, 97-98fuerza aplicada, 107-108intermitente, 104-105mecanismo de Geneva (Malta), 104-105parámetros en términos de, 96-105péndulos, 98-100relación velocidad angular-tiempo, 96rodamiento, 98-99, 114-116, 118-120rotacional a traslacional, conversión de,
101-103ruedas, 93-95, 98-99, 118-120velocidad angular, 118-120
Movimiento relativo, 47-51Movimiento rodante, 98-99, 114-116, 118-120Movimiento rotacional a traslacional, conversión
de, 101-103
NNotación matricial, 122-124,
solución usando, 122-124transformación, 128-130
OOperador Given-Find, 28-29, 119-120
PPartículas, 14-51, 52-82, 87-90. Véase también
Trayectoriasaceleración, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 33-
34,35,36,47-48
cinemática de, 14-51,52-82desplazamiento, 20-25, 26-28diferenciación de datos, 17-18ecuación diferencial no lineal de
movimiento, 26-28ecuaciones de movimiento cinemático,
45-47función root, 19generador de números aleatorios, 17-18método de Euler, 22-23, 26-28método Runge-Kutta, 23-24movimiento helicoidal, 30-32movimiento relativo, 47-51relación velocidad-desplazamiento, 26-28relación velocidad-tiempo, 56-60resistencia del aire, 26-28, 32-34, 56-60ruido en datos, efecto del, 17-18sistemas de, 87-90tiempo, funciones de, 20-22trayectoria, 40trayectoria de movimiento, 39-47trayectoria en espiral, 41-43vector de posición, 38-41velocidad, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 48-49
Péndulos, 71-72, 78-80, 110-112, 137-139ecuaciones de movimiento para, 71-72movimiento de masa, 78-80movimiento de una partícula, 71-72, 78-80movimiento de cuerpo rígido, 93-94esférico, 78-80respuesta a la vibración, 137-139
Poleas, movimiento de, 64-65Posición, véase Posición angularPosición angular, 36, 91-92Problema de eigenvalor para Mathcad, 144-145Problema inverso de dinámica, 14-47
diferenciación numérica, 14-15gráfi ca y, 14-47método de Euler, 22-23, 24método Runge-Kutta, 23-24ruido en datos, efecto del, 17-18
Producto punto, 8, 12
RRango de variables, 11Resistencia del aire, 26-28, 32-34, 56-60Resortes, 61-62, 69-71, 76-77
cinemática de, 61-62, 69-71, 76-77ecuaciones de movimiento para, 69-71movimiento de masa,76-77movimiento oscilatorio, 61-62
Restitución, coefi ciente de, 84-86Rotación sobre un eje, 91-92Ruedas, 93-95, 98-99, 118-120
aceleración angular, 95movimiento plano, 95, 98-100relación velocidad-tiempo, 93-94, 98-99rodamiento, 98-99, 118-120velocidad angular, 118-120
Ruido en datos, efecto del, 17-18
SSímbolo de barra (|), 7Símbolo igual (=), 6
TTiempo, 20-24, 56-60, 65-69, 93-94, 98-100
aceleración como función de, 20-22análisis de movimiento plano, 93-94
desplazamiento, como una función de, 20-24, 65-66
fuerza, como una función de, 65-69funciones de, 20-22método de Euler, 22-23, 24método Runge-Kutta, 23-24, 68-69movimiento de cuerpo rígido, 93-94, 98-100movimiento de la partícula, 20-24, 56-60,
65-69relación de velocidad, 56-60, 93-94, 98-100resistencia del aire y, 56-58velocidad como una función de, 20-22
Trabajo de un cuerpo rígido, 121-127Trabajo-energía, 83-86Trayectorias, 28-30, 32-34, 39-47, 47-50
aceleración y, 33-34ecuaciones cinemáticas de movimiento
para, 45-47espiral, 41-43función Given-Find, 28-29grafi cación, 28-29intersección de partículas, 47-50movimiento relativo, 47-50resistencia del aire y, 32-34rosa de tres hojas, 40trayectoria de movimiento de una partícula,
39-47Trazado, véase Gráfi cas
VVector de posición, 38-41Vectores, 7-8, 35, 38-39
aceleración calculada y escrita como un, 35cálculos, uso de Mathcad, 7-8posición, partículas, 38-41
Velocidad angular, 36, 91-92, 96, 99-101, 118-120, 131-132
dinámica tridimensional, 131-132mínima, 131-132movimiento de un cuerpo rígido, 91-92, 96,
99-101, 118-120, 131-132movimiento de una partícula, 36movimiento plano, 96, 99-101, 118-120,operador Given-Find, 119-120relación con el tiempo, 96
Velocidad, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 36, 48-49, 56- 60, 91-92, 93-94, 98-100, 118-120, 131-132
análisis de movimiento plano, 98-99, 99-101angular, 36, 91-92, 99-101, 118-120, 131-132constante, 48-49determinación simbólica de, 16diferenciación numérica, 14-15dinámica tridimensional y, 131-132grafi cación, 14-15, 16movimiento de cuerpo rígido, 91-92, 93-94,
98-99, 99-101, 118-120, 131-132partículas y, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 48-49,
56-60relación angular-tiempo, 96relación con desplazamiento, 26-28relación con el tiempo, 56-60, 93-94, 98-99resistencia del aire y, 26-28, 56-58tiempo, como una función de, 20-22
Vibración, 137-143coefi ciente de amortiguamiento, 141-142forzada, 142-143método Runge-Kutta, 140, 142-143respuesta del péndulo, 137-139
Vibración forzada, 142-143
144 ÍNDICE