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Diffusion Induced Spatial Pattern Formation

藤本仰一 fujimoto@bio.sci.osaka-u.ac.jp!

濃度勾配 ショウジョウバエ初期胚に於ける転写因子Bicoid 蛋白質の発現

頭　　位置 (μm) 　尾

発現量を定量化

現象：　 濃度の高低が体の“位置”を決める

数理：　 どんな式が濃度勾配を説明するか？ 式は、勾配からどんな情報を抜き出すことができるか？

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特定の間隔(波長)がありそうな空間パタン

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Bicoid タンパク質の空間パタン

頭 　 位置 (μm) 　 尾 !"#$%&'()*')+%,-./+0$%'#0,-1+/23+4,-!"#$%&-567768G--H4/+I+4-'()-<#003+/(JK"3%'4)'(()&**(5?AFF8-

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Source-Sink Model

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濃度勾配のまとめ •  拡散方程式の定常解の求める時には、境界条件も重要な情報になる。

•  境界条件：　モルフォゲンでは、ある特定の場所での分子の濃度や産生速度。

•  自然分解以外に、endocytosisなども、分解と同等の役割を担いうる。

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初学者向け数学：Kondo & Miura, “Reaction-diffusion model as a framework for understanding biological pattern formation.” Science 329 (2010) 1616. Supporting Online Materials.　

Turing patternの特徴 •  Inhibitorの拡散定数 > activatorの拡散定数 •  特定の波長が選択されやすい

生命現象の研究を通じて、わかってきたこと：１変数でも繰り返し構造を生成しうる。

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葉序の形成

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茎頂での植物ホルモンauxinの局在部位から、葉が出来る

植物ホルモンauxinの極性輸送

auxin輸送担体PINの局在 dAidt

= D Ak ! Ai( ) + T AkPki ! AiPik( )k"

k"

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空間１次元でのauxin濃度定常状態

dAidt

= D Ai!1 ! Ai( ) + D Ai+1 ! Ai( ) + T Ai!1Pi!1,i ! AiPi,i!1( ) + T Ai+1Pi+1,i ! AiPi,i+1( )dAidt

= D Ai!1 ! Ai( ) + D Ai+1 ! Ai( )

+TP Ai!1AiAi!2 + Ai

!Ai!1Ai

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線形安定性解析から波長が求まる

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!p = TP 1" cos p( ) cos p " 2DTP

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p = 2)nN

, n * 0...N "1[ ], N :number of cells#$%

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繰り返し構造のまとめ •  特定の波長が成長する（不安定化する）。 •  Turingパタン：　　　　　　　　　　　　　　　　　activatorの拡散定数 <　inhibitorの拡散定数。

•  拡散＋極性輸送(細胞間での取り合い)で、１変数でも実現。　 •  極性輸送は、線形化すると空間４階微分？

※ 拡散＋移流でも、１変数で実現。 移流：微小管上の輸送、多細胞シート上の力よる細胞移動。拡散よりも長距離。

Howard, “Turing‘s next steps: the mechanochemical basis of morphogenesis.” Nat. Rev. Mol. Cel. Biol. 12 (2011) 392； Bois, et.al., “Pattern Formation in Active Fluids.” Phys. Rev. Lett. 106 (2011) 028103

Turing パタンの拡張性 藤本仰一 2011.July

拡散性因子が１種の場合でもある波長のみが不安定になるメカニズムが、植物の葉序に関して提案されている。 文献： Jonsson et al, “An auxin-driven polarized transport model for phyllotaxis.” Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 103 (2006) 1633; Sahlin et al, “Regulated transport as a mechanism for pattern generation:” J. Theor. Biol. 258 (2009) 60

以下の式番号は、PNAS 論文中（含supplementary material）の式番号と対応する。 Eq.[AXX] のみ、藤本が補助で挿入 上図のauxinの濃度をAi , transporter PINの膜, 細胞質に局在する濃度を、それぞれPij , Pj と置く。オーキシンの拡散と輸送を表す式は以下で与えられる（※合成や分解といった反応項は含まれていない）

dAidt

= D Ak ! Ai( ) + T AkPki ! AiPik( )k"

k" eq.[1]

一次元系では以下になる。

dAidt

= D Ai!1 ! Ai( ) + D Ai+1 ! Ai( ) + T Ai!1Pi!1,i ! AiPi,i!1( ) + T Ai+1Pi+1,i ! AiPi,i+1( ) eq.[A1] PIN (transporter) 膜(Pij)、細胞質(Pj )への局在kinetics

dPi, jdt

= k1AjPi ! k2Pi, j

dPidt

= k2Pi,k ! k1AkPik"

P = Pi + Pi, jj"

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eq.[4]

空間１次元では以下になる。

dPi,i±1dt

= k1AjPi ! k2Pi,i±1 = 0

dPidt

= k2Pi,i!1 ! k1Ai!1Pi + k2Pi,1+1 ! k1Ai+1Pi = 0

P = Pi + Pi,i+1 + Pi,i!1

"

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eq.[A2]

PIN の局在eq.[4]が速く定常状態へ到達すると仮定する。

Pi =1

1+ k1k2

Ai!1 + Ai+1( )

Pi,i±1 =PAi±1

k2k1

+ Ai!1 + Ai+1

"

#

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%

$$$

eq.[A3]

さらに、 k2 >> k1 の場合を考える。

Pi = 0

Pi,i±1 =PAi±1

Ai!1 + Ai+1

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%$ eq.[A4]

eq.[A1] に代入すると、

dAidt

= D Ai!1 ! Ai( ) + D Ai+1 ! Ai( )

+TP Ai!1AiAi!2 + Ai

!Ai!1Ai

Ai!1 + Ai+1

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%&'+ TP Ai+1Ai

Ai+2 + Ai!

Ai+1AiAi!1 + Ai+1

"#$

%&'

eq.[A5]

空間的に均一な状態(Ai=A)で、１次元格子eq.[A5]の線形安定性を考える。Jacobian matrixは以下で与えられる。

Ji, j =

0, i ! j > 2

!TP4

, i ! j = 2

D +TP2

, i ! j = 1

!2D !TP2

, i ! j = 0

"

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eq.[19]-[22]

周期境界条件、並進対称性を考慮すると、固有値は以下で与えられる。

!p = Jk0e" ipk

k#

= " 2D +TP2

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'()e0 + D +

TP2

$%&

'()e" ip + eip( ) " TP4 e"2ip + e2ip( )

= "2D + 2D + TP( )cos p " TP cos2 p

= TP 1" cos p( ) cos p " 2DTP

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p = 2*nN

, n + 0...N "1[ ]$%&

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eq.[23]-[25]

!! eq.[19]-[22]"#$%&'()*+,-."/01($23456789: !B!t

= "TP4

!4B!x4

+ D "TP2

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&'(!2B!x2

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PNAS Fig.3

PNAS Fig.12 A:! Q0RS:! Eq.[25].

B: ABC4TULM9VW (XYW N=100):