DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA -...
Transcript of DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA -...
DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANAPertemuan 11
1. HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL
2. DERIVATIF DARI DERIVATIF
3. HUBUNGAN ANTAR FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL
β’ Kuesion diferensial Ξπ¦
Ξπ₯adalah lereng sesungguhnya (the true slope)
3. Kuesion Diferensial
2. Derivatif
1. Diferensial
β’ Suku ππ¦ diferensial dari y, mencerminkan taksiran perubahan pada variabel terikat y berkanaan dengan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x.
β’ Suku ππ₯ diferensial dari x, yang mencerminkan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x.
β’ Derivatif ππ¦
ππ₯adalah lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x)
β’ Lereng taksiran bisa > atau < atau = lereng sesungguhnya (the true slope).
Untuk fungsi π = π(π) yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya (berapa pun βπ). Maka derivatif fungsi linear = kuosien
diferensialnya π π
π π=
π«π
π«π
π = π(π)
βπ = π π
βπ = π π
R
P
Q
Perubahan π₯ = βπ₯Perubahan y = βπ¦Diferensial π₯ = ππ₯Diferensial y = ππ¦
Kuosien diferensial =Ξπ¦
Ξπ₯
Derivatif =ππ¦
ππ₯
π π
π π=π«π
π«π
x
y
0
x
y
0
Untuk fungsi y = f(x) yang non-linear,
β’ Semakin besar βπ₯ semakin besar pula perbedaan antara lereng taksiran (Derivatif , ππ¦
ππ₯)
dan lereng sesungguhnya (Kuosien diferensial, Ξπ¦
Ξπ₯).
β’ Dengan βπ₯ yang semakin besar, semakin besar pula perbedaan antara dy dan βπ¦,
sehingga semakin besar pula perbedaan π π
π πdan
π«π
π«π
β’ Begitu juga sebaliknya.
x
y
0
Gambar di atas,(a) Menunjukkan lereng taksiran > lereng sesungguhnya.
dy > βπ¦ sehingga π π
π π>
π«π
π«π(derivatif > kuosien difrensial)
(b) Menunjukkan lereng taksiran < lereng sesungguhnya.
dy < βπ¦ sehingga π π
π π<
π«π
π«π(derivatif < kuosien difrensial)
ππ = βπ¦ππ = ππ¦
S
P
R
Q
βπ₯ = ππ₯
(a) x
y
0
ππ = ππ¦ππ = βπ¦
S
P
R
Q
βπ₯ = ππ₯
(b)
DERIVATIF DARI DERIVATIF
Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari satu kali
Fungsi awal : y = f(x)
Turunan pertama : π¦β² β‘ πβ²(π₯) β‘ππ¦
ππ₯β‘
ππ(π₯)
ππ₯
Turunan kedua : π¦β²β² β‘ πβ²β²(π₯) β‘π2π¦
ππ₯2β‘
π2π(π₯)
ππ₯2
Turunan ketiga : π¦β²β²β² β‘ πβ²β²β²(π₯) β‘π3π¦
ππ₯3β‘
π3π(π₯)
ππ₯3
Turunan ke-n : π¦π β‘ ππ(π₯) β‘πππ¦
ππ₯πβ‘
πππ(π₯)
ππ₯π
Contoh:π¦ = π π₯ = π₯3 β 4π₯2 + 5π₯ β 7
π¦β²β² =π2π¦
ππ₯2= 6π₯ β 8
π¦β² =ππ¦
ππ₯= 3π₯2 β 8π₯ + 5
π¦β²β²β² =π3π¦
ππ₯3= 6
π¦β²π£ =π4π¦
ππ₯4= 0
HUBUNGAN ANTAR FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun
β’ Derivatif pertama dapat menentukan apakah kurva dari fungsi tsb menaik atau menurun.
β’ Derivatif pertama dapat pula menunjukkan titik ekstrem sebuah fungsi non linear.
1. Jika derivatif pertama πβ² π > π (lereng kurvanya positif pada x = a), maka y = f(x) adalah fungsi menaik pada kedudukan x = a.
2. Jika derivatif pertama πβ² π < π (lereng kurvanya negatif pada x = a), maka y = f(x) adalah fungsi menurun pada kedudukan x = a.
Lereng nol
y=f(x)Lereng negatifFungsi menurun
Lereng positifFungsi menaik
Lereng nol
y
x0
πβ² π > 0, π¦ = π π₯ ππππππ
πβ² π < 0, π¦ = π π₯ ππππ’ππ’π
Uji Tandaβ’ Jika derivatif pertamanya f β(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik
ekstrimnya.
Untuk menentukan apakah titik ekstrim tsb merupakan titik maksimum atau titik minimum, perlu diuji tanda terhadap f β(a)=0.β’ Jika f β(x) > 0 untuk x < a dan fβ(x) < 0 untuk x > a, maka titik
ekstrimnya adalah titik maksimum.β’ Jika fβ(x) < 0 untuk x < a dan fβ(x) >0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya
adalah titik minimum.
Contoh:Tentukan apakah π¦ = π π₯ =
1
3π₯3 β 4π₯2 + 12π₯ β 5 merupakan fungsi menaik
ataukah fungsi menurun pada x = 5 dan x = 7. Selidiki pula untuk x = 6
πβ² π₯ = π₯2 β 8π₯ + 12
πβ² 5 = 52 β 8 5 + 12 = β3 (< 0), berarti y = f(x) menurun pada x = 5πβ² 7 = 72 β 8 7 + 12 = 5(> 0), berarti y = f(x) menaik pada x = 7πβ² 6 = 62 β 8 6 + 12 = 0, berarti y = f(x) berada pada di titik ekstrim pada x = 6
Karena f β(x) < 0 untuk x < 6 dan f β(x) > 0 untuk x > 6, titik ekstrim pada x = 6 ini adalah titik minimum.
Titik Ekstrim Fungsi Parabolik
Pada fungsi parabolik,β’ Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik
ekstrimnya.β’ Derivatif kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrimnya
Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada yβ=0 Jika π¦β²β² < 0 : Bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya
adalah titik maksimum. Jika π¦β²β² > 0 : Bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya
adalah titik minimum.
Contoh:π = π π = ππ β ππ + ππ
πβ² = πβ² π = ππ β π
πβ²β² = πβ²β² π = π
Parabola π = ππ β ππ + ππβ’ Letak titik ekstrimnya pada turunan pertama yβ=0. Pada yβ=0, nilai variabel bebas x = 4
dan nilai y = - 4 β’ Jenis titik ekstrimnya adalah titik minimum yang berarti bentuk parabolanya terbuka ke
atas karena turunan kedua yβ> 0
(4, -4)
π¦ = π₯2 β 8π₯ + 12
π¦β² = 2π₯ β 8
π¦β²β² = 2
12
2
6
4
8
10
-4
-8
-2
-6
2 4 6 8
Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
Pada fungsi kubik,β’ Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik-titik
ekstrimnya.β’ Derivatif kedua berguna untuk mengetahui jenis titik-titik
ekstrimnya dan menentukan titik beloknya.
Fungsi kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada yβ=0 Jika π¦β²β² < 0 ππππ π¦β² = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika π¦β²β² > 0 ππππ π¦β² = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada yβ=0
Contoh:
π = π π =π
πππ β πππ + ππ β π
πβ² = πβ² π = ππ β ππ + π
πβ²β² = πβ²β² π = ππ β π
Jika πβ² = π,
ππ β ππ + π = π(π± β π)(π β π) = πππ = π π ππ ππ = π
Untuk π± = ππ = π
π =π
π(π)πβπ π π + π π β π = π, ππ
[Fungsi kubik y=f(x) berada di titik ekstrim maksimum]
πβ²β² = π π β π = βπ < π[Derivatif kedua negatif]
Untuk π± = ππ = π
π =π
π(π)πβπ π π + π π β π = π, ππ
[Fungsi kubik y=f(x) berada di titik ekstrim minimum]
πβ²β² = π π β π = π > π[Derivatif kedua positif]
Lanjutan...
π = π π =π
πππ β πππ + ππ β π
πβ² = πβ² π = ππ β ππ + π
πβ²β² = πβ²β² π = ππ β π
Jika πβ²β² = π,2π β π = ππ = π
Untuk π± = π
π =π
π(π)πβπ π π + π π β π = π
[Fungsi kubik y=f(x) berada di titik belok]
πβ² = ππ β π π + π = βπ < π[Derivatif pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum]
Jadi fungsi kubik π¦ =1
3π₯3 β 3π₯2 + 8π₯ β 3 berada di:
β’ Titik maksimum pada koordinat (2; 3,67)β’ Titik belok pada koordinat (3; 3)β’ Titik minimum pada koordinat (4; 2,33)
2 4
2
4
6
8
6
-2
-4
-6
(2; 3,67)
(3, -1)
(4; 2,33)
(3, 3)π¦ =
1
3π₯3 β 3π₯2 + 8π₯ β 3
π¦β²β² = 2π₯ β 6π¦β² = π₯2 β 6π₯ + 8
y
x
Terima Kasih