FUNGSI GREEN PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

FUNGSI GREEN PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Skripsi

untuk memenuhi sebagian persyaratan

mencapai derajat Sarjana S-1

Program Studi Matematika

diajukan oleh

Slamet Mugiyono

05610038

Kepada

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SUNAN KALIJAGA

YOGYAKARTA

2011

vi

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan

rahmat dan hidayah-Nya sehingga penelitian dalam skripsi ini dapat terselesaikan.

Shalawat dan salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW

sebagai suri tauladan bagi umat Islam.

Penyusunan skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu persyaratan

untuk memperoleh gelar sarjana Program Studi Matematika. Skripsi ini berisi

tentang pembahasan mengenai Fungsi Green pada Persamaan Diferensial Biasa.

Penyusunan skripsi ini mendapat bantuan dari berbagai pihak. Ucapan terima

kasih disampaikan sebesar-besarnya kepada:

1. Ibu, Bapak dan Keluargaku atas pengertian, bantuan, dan dukungannya

sehingga penyusunan skripsi ini dapat selesai.

2. Bapak Prof. Drs. H. Akh. Minhaji, M.A, Ph.D selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.

3. Ibu Sri Utami Zuliana, M. Si selaku Ketua Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.

4. Bapak Yudi Ari Adi, M.Si dan Bapak Sugiyanta, M.Si selaku dosen

pembimbing I dan II yang telah meluangkan waktu memberikan bimbingan,

arahan, bantuan, dan ilmu dalam menyelesaikan skripsi ini.

5. Bapak/Ibu Dosen dan Staf Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga

Yogyakarta atas ilmu, bimbingan dan pelayanan selama perkuliahan dan

penyusunan skripsi ini selesai.

vii

6. Saudara Burhanuddin Arif Nur Nugroho S.Si, terima kasih atas ilmu, bantuan,

waktunya dan dukungan selama ini.

7. All My Best Friends, Arif, Herman, Mahrus, Ima, Adit, Lukman, Raudak,

Novandi, Idi, Sus, Indah, Anisyah, Minal, Desi, Desti, Lita dan teman-teman

Matematika angkatan 2005 lainnya yang telah memberi warna, bantuan dan

dukungan selama ini.

8. Teman-teman MAN Godean , Nuryadi, Joko, Supri, Tahmid, dan Agus, terima

kasih atas doa’ dan dukungannya selama ini.

9. Teman-teman komunitas Anime Lovers dimana saja, terima kasih atas

semangat dan motivasinya selama ini.

10. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah

membantu dalam penyusunan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini masih banyak kekurangan

dan kesalahan. Namun demikian, penulis berharap semoga skripsi ini dapat

bermanfaat bagi semua pihak.

Yogyakarta, 21 Januari 2011

Penulis

Slamet Mugiyono

05610038

viii

PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan kepada:

Ibu dan Bapakku yang telah membesarkanku, mendidik, dan

mendoakanku

Para Guru yang telah ikut mendidik dan memberikan ilmunya kepadaku

Almamater Prodi Matematika Fakultas Sains & Teknologi UIN Sunan

Kalijaga Yogyakarta.

ix

MOTTO

” Kemampuan manusia itu ada batasnya,

akan tetapi usaha manusia tidak ada batasnya,

asalkan kemungkinannya tidak 0%,

maka masih terlalu cepat untuk menyerah”.

(Hiruma Yoroichi).

”Jangan pernah mengejar kesuksesan, kejarlah kesempurnaan.

Maka kesuksesan akan mendatangimu”.

(Amir Khan).

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................. i

HALAMAN PENGESAHAN .................................................................... ii 1 1

HALAMAN SURAT PERSETUJUAN SKRIPSI ...................................... iii

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI ................................ v

HALAMAN MOTTO ................................................................................ vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................. vii

ABSTRAK ................................................................................................ viii

KATA PENGANTAR ............................................................................... ix

DAFTAR ISI ............................................................................................. xi

DAFTAR SIMBOL ................................................................................... xii

BAB I. PENDAHULUAN ....................................................................... 1

1.1. Latar Balakang ..................................................................... 1

1.2. Batasan Masalah ................................................................... 2

1.3. Rumusan Masalah................................................................. 3

1.4. Tujuan Penelitian .................................................................. 3

1.5. Manfaat Penelitian ................................................................ 3

1.6. Tinjauan Pustaka .................................................................. 4

1.7. Metode Penelitian ................................................................ 4

BAB II DASAR TEORI............................................................................ 5

2.1. Sistem Persamaan Linier ........................................................ 5

2.2. Ekspansi Kofaktor ................................................................. 7

2.3. Persamaan Diferensial ........................................................... 14

xi

2.4. Fungsi Dirac Delta ................................................................. 21

2.5. Transformasi Laplace ............................................................ 24

2.5.1. Sifat-sifat tranformasi Laplace ..................................... 24

2.5.2. Tranformasi Laplace fungsi Heaviside ......................... 26

2.5.3. Transformasi Laplace fungsi Dirac Delta ..................... 26

2.5.4. Beberapa teorema yang digunakan dalam transformasi

Laplace ....................................................................... 27

2.5.5. Transformasi Laplace invers ........................................ 29

2.5.6. Konvolusi .................................................................... 31

2.5.7. Tabel transformasi Laplace dari beberapa fungsi ......... 32

2.5.8. Aplikasi transformasi Laplace dalam Persamaan

Diferrensial Biasa ....................................................... 36

BAB III FUNGSI GREEN PADA PERSAMAAN DIFFERENSIAL

BIASA ......................................................................................... 41

3.1. Fungsi Green pada Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen

Orde-n Melalui Transformasi Laplace .................................... 41

3.2. Fungsi Green pada Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen

Orde-n Melalui Metode Variasi Parameter ............................. 49

BAB IV PENUTUP ................................................................................... 58

4.1. Kesimpulan ............................................................................ 58

4.2. Saran ...................................................................................... 59

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 60

LAMPIRAN-LAMPIRAN

xii

DAFTAR SIMBOL

= Delta

= Lamda

= Phi

= Chi

= Tau

e = Exponensial

= Tak berhingga

ty = Nilai fungsi f pada t

tg = Nilai fungsi g pada t

ty' = Nilai turunan fungsi y pada t

ba, = Interval tertutup dari a ke b

ba, = Interval terbuka dari a ke b

Lxfcx

lim = Limit xf menuju L untuk x mendekati

c

dxxf

t

0

= Integral fungsi f dari 0 ke t

t = Fungsi Dirac Delta dengan titik singular

.

sY = Transformasi Laplace dari ty

sF = Transformasi Laplace dari tf

g t = Fungsi Green

sG = Transformasi Laplace dari tg yang

dipengaruhi oleh

tH = Fungsi Heaviside

xiii

FUNGSI GREEN PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

ABSTRAK

SLAMET MUGIYONO

05610038

Persamaan diferensial yang memiliki satu variabel bebas dinamakan

persamaan diferensial biasa. Persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan

dengan beberapa metode penyelesaian salah satunya adalah metode fungsi Green.

Skripsi ini membahas cara mencari solusi dari persamaan diferensial biasa

khususnya persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien

konstan menggunakan metode fungsi Green. Metode fungsi Green yang

digunakan untuk mencari solusi persamaan diferensial linier tak homogen orde-n

dengan koefisien konstan dalam skripsi ini dibagi menjadi dua pembahasan yaitu:

Metode fungsi Green melalui transformasi Laplace dan metode fungsi Green

melalui metode variasi parameter.

Metode fungsi Green melalui transformasi Laplace yaitu: (1) Menggubah

f t pada persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien

konstan menjadi suatu fungsi Dirac delta t . (2) Mentransformasi-

Laplacekan kedua ruas persamaan diferensial tak homogen tersebut. (3)

Mentransformasi-Laplace invers persamaan diferensial tak homogen yang sudah

ditransformasi Laplace dan didapatkan fungsi Green g t . (4) Solusi persamaan

diferensial linier tak homogen orde-n didapatkan dengan mengintegralkan fungsi

Green g t dikalikan dengan f terhadap dengan batas bawah 0 dan

batas atas t, jadi 0

t

y t g t f d .

Metode fungsi Green melalui metode variasi parameter yaitu: (1) Menentukan

solusi umum persamaan diferensial homogennya cy t . (2) Memisalkan py t

dengan menggantikan konstanta 1 2, , , nc c c dengan 1 2, , ,n

u t u t u t . (3)

Menentukan nilai '

ku t dengan menggunakan aturan Cramer. (4) Menentukan

ku t dengan mengintegralkan '

ku t terhadap x dengan batas atas t dan batas

bawah 0t . (5) Mensubstitusikan ku t ke dalam py t sehingga diperoleh fungsi

Green g t x . (6) Solusi persamaan diferensial linier tak homogen orde-n

0

t

c

t

y t y t g t x f x dx .

xiv

Hasil dari penyelesaian menggunakan metode fungsi Green dengan cara

manual sama dengan hasilnya dengan menggunakan metode fungsi Green dalam

program maple.

Kata kunci : Persamaan diferensial, fungsi Green, transfomasi Laplace, metode

variasi parameter, syarat awal.

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang masalah

Matematika adalah salah satu ilmu pengetahuan yang mengalami

perkembangan seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan lainnya.

Matematika mempunyai peranan penting untuk ilmu pengetahuan lain

seperti, fisika, biologi, kimia, ekonomi, tata surya dan lain-lain. Salah satu

ilmu matematika yang mempunyai peranan penting dengan ilmu

pengetahuan lainnya adalah persamaan diferensial. Menurut peubah

bebasnya, persamaan diferensial dibagi menjadi 2, yaitu: persamaan

diferensial yang memuat satu peubah bebas dinamakan persamaan

differensial biasa (PDB) dan persamaan diferensial yang memuat dua atau

lebih peubah bebas dinamakan persamaan diferensial parsial (PDP).

Persamaan diferensial biasa atau sering disebut persamaan diferensial dapat

dibagi menurut kelinieran, orde, dan koefisiennya. Persamaan diferensial

yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah persamaan diferensial linier tak

homogen orde-n dengan koefisien konstan.

Persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien

konstan sering kali diselesaikan dengan beberapa metode penyelesaian,

antara lain: metode koefisien taktentu, metode invers operator, penyelesaian

dengan ekspansi Eigen. Selain metode-metode penyelesaian tersebut, masih

ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier tak homogen

2

orde-n dengan koefisien konstan, yaitu metode fungsi Green. Metode fungsi

Green adalah metode penyelesaian yang dalam proses menemukan

penyelesaian suatu persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan

koefisien konstan, terlebih dahulu ditentukan nilai fungsi Green dari suatu

persamaan diferensial tersebut. Nilai fungsi Green dapat ditemukan dengan

metode transformasi Fourier, transformasi Laplace, dan variasi parameter.

Dalam buku yang berjudul ”Green Function and Applications” dan Jurnal

Integral yang berjudul ”Mengkonstruksi Fungsi Green Persamaan

Diferensial Linier Orde-n” terdapat beberapa langkah yang belum dituliskan

khususnya fungsi Green pada persamaan diferensial linier tak homogen

orde-n dengan koefisien konstan melalui tranformasi Laplace dan metode

variasi parameter, sehingga memotivasi penulis untuk mencoba melengkapi

dan menjelaskan kepada pembaca mengenai metode fungsi Green dalam

penyelesaian suatu persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan

koefisien konstan melalui transformasi Laplace dan metode variasi

parameter.

1.2 Batasan masalah

Mengingat keterbatasan kemampuan penulis, maka pembahasan akan

difokuskan pada persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan

koefisien konstan yang diselesaikan dengan metode fungsi Green melalui

transformasi Laplace dan variasi parameter.

3

1.3 Rumusan masalah

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah di atas, maka dapat

dirumuskan permasalahan sebagai berikut:

1. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak

homogen orde-n dengan koefisien konstan dengan metode fungsi Green

melalui transformasi Laplace?

2. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak


melalui variasi parameter?

1.4 Tujuan penelitian

Berikut adalah tujuan penelitian:

1. Mengetahui cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak


melalui transformasi Laplace.

2. Mengetahui cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak


melalui variasi parameter.

1.5 Manfaat penelitian

1. Dapat memberikan gambaran dan penjelasan bagi mahasiswa,

khususnya mahasiswa matematika mengenai penyelesaian permasalahan

4

persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien

konstan menggunakan metode fungsi Green.

1.6 Tinjauan pustaka

Tinjauan pustaka dalam penulisan skripsi ini adalah

1. Buku yang berjudul ”Green Fuctions and Applications” ditulis oleh

Dean . G Duffy, 2001. Buku ini menjelaskan penyelesaian persamaan

diferensial menggunakan metode fungsi Green melalui transformasi

Laplace.

2. Jurnal yang berjudul “Mengkonstruksikan Fungsi Green Persamaan

Diferensial Linier Orde-n” ditulis oleh Iwan Sugiarto, 2002. Jurnal ini

menjelaskan bahwa melalui metode variasi parameter dapat

dikonstruksikan fungsi Green suatu persamaan diferensial linier orde-n

sehingga didapatkan suatu penyelesian persamaan diferensial untuk f

sebarang.

Dalam kedua tinjauan pustaka di atas masih terdapat beberapa langkah

yang belum dituliskan secara detail, sehingga memotivasi penulis untuk

berusaha melengkapi dan menjelaskan secara detail.

1.7 Metode penelitian

Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian studi literatur. Sumber

data yang digunakan dalam skripsi ini adalah sumber-sumber tertulis yang

berupa buku maupun penelitian lain yang dapat mendukung skripsi ini.

59

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan dari bab I sampai III, maka

dapat menyimpulkan beberapa hal sebagai berikut:

1. Penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen dengan koefisien

konstan dengan metode fungsi Green melalui transformasi Laplace

1

0 1 11

n n

n nn n

d y d y dya a a a y f t

dt dt dt

dengan syarat awal 2' 0,

ny t y t y t

dan

11

ny t

.

0

t

y t g t f d .

2. Penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen dengan koefisien

konstan dengan metode fungsi Green melalui variasi parameter.

1

0 1 11

n n

n nn n

d y d y dya a a a y f t

dt dt dt

adalah

0

t

c

t

y t y t g t x f x dx

3. Hasil dari penghitungan manual dan menggunakan program maple

penyelesian persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan

metode fungsi Green melalui transformasi Laplace dan variasi parameter

adalah sama.

60

4.2 Saran

Fungsi Green yang dibahas pada penelitian ini adalah Fungsi Green pada

persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan,

dimana untuk menemukan nilai fungsi Green dari suatu persamaan diferensial

digunakan metode transformasi Laplace, dan metode variasi parameter.

Penulis berharap, ada pembaca yang memiliki ketertarikan untuk mencoba

membahas fungsi Green pada persamaan diferensial parsial menggunakan

metode transformasi transformasi Fourier dan metode pemisah peubah.

61

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard., 1987, “ Aljabar Linier Elementer”, Bandung: Erlangga.

Duffy, D.F., 2001, ”Green’s Functions with Applications”, USA: Chapman &

Hall/CRC Press.

Duffy, D.F., 1998, “Advanced Engineering Mathematics”, USA: CRC Press.

Kartono, 2001, ” Maple untuk Persamaan Diferensial”, Yogyakarta: J & J

Learning Yogyakarta.

Kartono, 1994, “ Penuntun Belajar Persamaan Diferensial”, Yogyakarta:

Andi Offset.

Purwanto, H., 2005, ” Aljabar Linier”, Jakarta Pusat: PT. Ercontara Rajawali.

Soemartojo, N., 1987, ” Kalkulus Lanjutan”, Jakarta: UI-Press.

Sugiarto, I., 2002, ” Mengkonstruksi Fungsi Green Persamaan Diferensial Linier

Orde-n”, Jurnal Integral, Vol. 7 no 1, April 2002.

62

LAMPIRAN

Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Program Maple

Contoh 3.1.1

>

Contoh 3.1.2

>

63

Contoh 3.2.1

>

65

Jadi solusi umum persamaan ini adalah

>

Contoh 3.2.2 :

>

FUNGSI GREEN PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Documents

Transcript of FUNGSI GREEN PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA