Instituto Profesional La Araucana

Didáctica para la Matemática y

el Cálculo

Prof. Rubén Rodríguez

Santiago de Chile 2014

Principal función de la Matemática es :

- Desarrollar el pensamiento lógico, interpretar la realidad y la

comprensión como una forma de lenguaje

- El acceso a conceptos matemáticos requiere de un largo

proceso de abstracción, el cual comienza en el hogar y continúa

en los centros de educación inicial con la construcción de

nociones básicas

En el nivel preescolar concede especial importancia a las

primeras estructuras conceptuales que son la clasificación y

seriación, las que al sintetizarse consolidan el concepto de

número, así como también las nociones de: espacio y tiempo

Es importante que el niño construya por si mismo los

conceptos matemáticos básicos y de acuerdo a sus

estructuras utilice los diversos conocimientos que ha adquirido

a lo largo de sus primeros años de vida

El desarrollo de las nociones lógico-Matemáticas, es un proceso

paulatino que construye el infante a partir de las experiencias que

le brinda la interacción con los objetos de su entorno

Esta interacción le permite crear mentalmente relaciones y

comparaciones estableciendo semejanzas y diferencias de sus

características para poder clasificarlos, seriarlos y compararlo

Sin duda, los aprendizajes iniciales de las Matemáticas son

decisivos no sólo para el progreso fácil, sino para el desarrollo

cognitivo

Zarate Martínez (2003) las Matemáticas, en definitiva, tienen

potencialidades que trascienden los límites de la asignatura,

incidiendo en el desarrollo del pensamiento lógico y de la

creatividad.

El docente que apoya el ingreso de contenidos curriculares

Matemáticas en el nivel preescolar, está invitando a los niños a

que afirmen sus competencias para entenderse con los demás y

para entender, de manera interiorizada, las relaciones de

cantidad y de espacio y lo está haciendo en el momento en que

los pequeños integran su aritmética natural (sus representaciones

personales) con su aritmética cultural (trasmisión social), es decir,

sus procesos de relación lógica con el empleo, cada vez más

afinado de los signos que reciben de los demás.

Resulta sustancial provocar la reflexión de los alumnos sobre

sus producciones y conocimientos y para ello, la herramienta

principal es la organización de actividades de discusión, de

confrontación, en las que hay que comunicar, probar,

demostrar, etc. actividades que involucran el trabajo en

pequeños grupos, o entre grupos, o en la clase total

ordenado y estimulando la participación en función de

finalidades bien establecidas y claras para todos.

Por su parte, para Cardozo Espinosa y Cerecedo Mercado

(2008) la influencia e importancia de las Matemáticas en la

sociedad ha ido en constante crecimiento, en buena parte

debido al aumento de sus aplicaciones; de esta manera, puede

decirse que todo se matematiza

En educación inicial el mediador actúa en dos ámbitos

integrados: la escuela y el social-cultural (familia y comunidad).

En consecuencia, requiere de un profundo conocimiento del

desarrollo del niño y la niña, de las formas como aprende, de

sus derechos, sus intereses, sus potencialidades y de su

entorno familiar y comunitario.

Hoy, se puede entender, tal como lo afirma Baroody, (2005:34)

que la Matemática nos acompaña a todas partes, que se

encuentra en los rincones más pequeños que rigen la rutina del

ser humano, en los lugares más insospechados, aunque en

ocasiones no se tenga plena conciencia de ello.

Dichos procesos lógicos matemáticos, se fundamentan en la

concepción constructivista del aprendizaje y de la enseñanza

…. De esta manera, para dar respuesta a estas exigencias, el

profesorado requiere una formación permanente en la Didáctica

de las Matemáticas, muy unida al diseño curricular vigente en

nuestro País

Al respecto, Fernández Serón (2009:6) afirma que es muy

importante en el docente, inculcarle confianza y seguridad en

su rol y en su tarea, dejando atrás su papel de conocedor del

saber para ser capaz de crear todo un clima de interacciones

entre el alumnado y los adultos, y entre el alumnado y los

materiales, de tal manera que se produzca un aprendizaje

significativo y funcional.

Así es importante que el profesorado no solo conozca las

características evolutivas de sus niños, sino también sus

necesidades e intereses, motivaciones y curiosidades para

poder crear situaciones atractivas e interesantes, que

fomenten la actitud de aprender y conocer.

Es significativo señalar que el acto didáctico está compuesto

por los siguientes elementos: el profesor, el alumno, contexto

de aprendizaje y currículo.

Entendiendo la Didáctica como una rama dentro de la

pedagogía que se especializa en las técnicas y métodos de

enseñanza destinados a ejecutar lo planteado en las teorías

psicológicas

Díaz y Poblete (2011) al sostener que los saberes pedagógicos

y científicos deben estar incorporados en la práctica pedagógica

del profesorado, y estrechamente vinculados con la Didáctica de

la Matemática, a fin de que el docente realice su labor educativa

como un profesional competente, y logre consolidar

aprendizajes significativos en los niños y niñas, en un contexto

óptimo

Arch Tirado (2008: 3) señala que las Matemáticas se

encuentran presentes de manera significativa en la vida

cotidiana de cada ser humano, a veces de una forma casi

imperceptible y otras de manera más práctica en el lenguaje

interno, oral o escrito

Recurrimos a las Matemáticas como parte de nuestro quehacer

diario mediante la aplicación práctica de diversas medidas

como: edad, grado escolar, calificación obtenida en un examen,

cantidad de comida que hemos ingerido, peso, distancias, etc.,

por otra parte nos apoyamos de fórmulas para resolver

problemas empleándolas en las Matemáticas aplicadas y sus

ciencias hermanas (física y química).

Martínez (2001) indica que quienes sufren de ansiedad hacia

las Matemáticas creen que no son capaces de realizar

actividades o asistir a clase que contengan Matemática, y que

es una pérdida de tiempo.

-Muchos son los que prefieren no entrar a la hora de

Matemáticas, por eso tenemos que recurrir a algunas técnicas,

para que el alumnado se siente a hacer Matemáticas, ya que es

importante vencer este miedo, porque las Matemáticas siempre

estarán ahí y seguramente, en estudios posteriores tengan que

convivir con ella.

-Matemáticas tienen y tratan de eliminarla de sus vidas.

Geist (2006) afirma que así como los físicos usan las

Matemáticas para entender el universo, los niños usan

las Matemáticas para entender su mundo. Incluso los

bebés entienden el concepto de "más". Este es uno de

los primeros conceptos matemáticos que ellos

construyen. También los niños de seis meses pueden

informar a sus padres o cuidadores que quieren más

comida o más leche. Dicho Autor señala que con los

conocimientos actuales en psicología del desarrollo-

cognitivo y socialización, conllevan a proponer una

Didáctica basada en las manipulaciones manuales y

mentales, con una mayor cantidad de ejercicios y

actividades mentales

Los contenidos actuales de la psicología evolutiva y los procesos

básicos cognitivos en las edades de preescolar sugieren un

cambio en la Didáctica de las Matemáticas en niños de 3 a 6

años.

Una Didáctica que base su enseñanza en nociones abstractas

(no manipulativas) además de las manipulativas, que son

clásicas en educación infantil, y las perceptivas visuales y

lingüísticas.

Para enseñar las Matemáticas solo hay que vivirlas; en todo

lo que nos rodea podemos reconocer sus propiedades para

clasificar, ordenar, relacionar.

Fernández y otros (2004) sostienen que desde temprana edad,

aproximadamente desde los cuatro meses, y continuando durante

los años de educación preescolar, los niños muestran una

curiosidad innata concerniente a los eventos cuantitativos y

espontáneamente construyen en su ambiente natural y sin

instrucción formal unas Matemáticas denominadas informales.

estas Matemáticas informales son relativamente significativas y

constituyen el fundamento para el aprendizaje posterior de las

Matemáticas formales en el colegio.

Vivir las Matemáticas consiste en fijar la atención de los hijos

en la relación espacial de los objetos, sus propiedades

geométricas, líneas, superficies, distancias, tamaños. Vivir las

Matemáticas abre un nuevo horizonte a los niños; así es el

descubrimiento del fascinante mundo de los números y sus

leyes.

Cuantas más oportunidades demos de experimentar, observar y

reflexionar sobre el mundo que le rodea, mejor será su

aprendizaje. Los niños aprenden Matemática de forma natural

cuando realizan ciertas actividades, por ejemplo manipulativas,

que se relacionan con los objetos de su entorno.

Los niños y niñas también necesitan ayuda para expresarse

verbalmente, con un vocabulario propio, claro y adecuado, que les

ayude a vivir las Matemáticas desde pequeño

Es importante resaltar que los infantes traen un conocimiento previo de

sus hogares, adquiridos a través de la experiencia con el mundo que

les rodea. Baroody (2005) afirma que la teoría cognitiva contempla que

los niños no llegan a la escuela como pizarras en blanco

Fernandez Bravo (2006) dice que la adquisición de conocimientos

posee un estado de grados de comprensión y cada infante los va

superando. No todos los niños tienen la misma capacidad, pero

todos tienen la misma necesidad de aprender Matemáticas. Por lo

tanto, la tarea escolar consiste en cubrir las necesidades, y no en

clasificar capacidades

Pastor Santos (2008) sostiene que los contenidos matemáticos

han de surgir de las experiencias concretas y su aprendizaje debe

ser significativo, y por la tanto funcional para poder aplicarlos en

otras situaciones de la vida cotidiana. Así mismo; los pequeños

aprenden conceptos ordenando y/o guardando juguetes o

comestibles, adquieren las nociones de relaciones espaciales y de

comparaciones con bloques, llevan a cabo representaciones,

dibujan para grabar ideas elaboradas sobre las rutinas diarias;

aprenden términos direccionales entonando canciones

acompañados de movimientos y de la visualización espacial.

Fernández y otros (2004: 49), los saberes matemáticos deben

ser transmitidos por la escuela desde este nivel, posibilitando a

los niños y niñas aprender no sólo los conceptos sino los modos

de hacer y de pensar que permitieron la evolución histórica de

esos conocimientos.

El desarrollo intelectual, para la integración de diferencias y para

garantizar condiciones equitativas para aprendizajes posteriores.

Esta inclusión se destaca en tres aspectos esenciales:

En lo social, porque el conocimiento matemático sirve para la

comprensión y el manejo de la realidad en la que el alumno deberá

insertarse en forma crítica y creativa.

Instrumental, como parte de su posibilidad de comunicación con el

medio que le rodea y para interpretar y predecir situaciones del

mundo en que vivimos.

Formativo, ya que ―hacer Matemática‖ favorece al desarrollo de

conocimientos que permiten poner en juego diversos tipos de

razonamiento, estrategias de análisis, información y resolución

El sentido que un maestro da a su práctica diaria, determina la

naturaleza del ambiente que se establezca dentro del aula, y éste a su

vez, condiciona las actitudes de los estudiantes hacia aquello que están

aprendiendo

son consecuencia de currículos en los que el principal objetivo es

transmitir al niño conceptos matemáticos sin la consideración de los

conocimientos previos que éste trae al aula

problemática recae sobre las creencias y prácticas de los docentes que

generalmente se encuentran apartados de aspectos básicos del

proceso de aprendizaje, tales como los aspectos teóricos que sustentan

la noción del número en el niño preescolar, el aparato de Matemáticas

informales que el niño ha desarrollado a partir de su vida cotidiana y

sobre factores extraescolares relacionados con el rol de los padres en

los procesos cognitivos de los niños

¿cómo enseñar un concepto abstracto a niños pequeños?,

¿qué tipos de materiales son útiles o necesarios para el

aprendizaje de conocimientos del área?, ¿qué lugar se le

debe dar a los problemas?, ¿se puede hablar de problemas

en el nivel inicial?.

Historia de las matemáticas universal

Historia de las matemáticas en el contexto Chileno

Necesario un marco teórico entorno a la Didáctica de

las Matemáticas

--- creencias y prácticas del profesorado de primaria

en la enseñanza de las matemáticas

--- Aspectos epistemológicos y cognitivos de la

resolución de problemas

--- Estrategias metodológicas utilizando el

computador para facilitar la formación de las

nociones lógico-Matemáticas:

--- La utilización de los materiales de aprendizaje en

beneficio del proceso de construcción del

pensamiento lógico matemático del niño en edad

preescolar

--- Guía de estrategias metodológicas dirigida a los docentes

para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático a través

de juegos pedagógicos en el niño de edad preescolar

--- Producción de estrategias de conteo para solucionar

problemas de tipo aditivo y sustractivo en preescolares.

---- Educación del razonamiento lógico matemático en

educación infantil

--- Las estrategias Didácticas en la construcción lógico-

Matemáticas en la educación inicial.

Piaget (1972:73) indica que los conocimientos obtenidos no se extraen

de los objetos como tales, sino de las acciones ejercidas sobre ellos.

Ningún objeto es semejante a otro hasta que el individuo establece

esas semejanzas y los agrupa en función de ella (clasificación); los

objetos no están ordenados por tamaño hasta que la persona decide

hacerlo (seriación).

En este orden de ideas, Piaget (1981:92) asegura que el niño del nivel

preoperatorio (antes de los seis o siete años) no llega a construir las

invariantes necesarias para el razonamiento, por no tener un

pensamiento reversible, y lo hace a través de preconceptos propios de

las colecciones intuitivas. Sin embargo, es capaz de construir los

primeros números, que pueden denominarse figurados porque

corresponden a disposiciones espaciales simples y definidas.

El proceso de la construcción de la noción de número no puede limitarse al

manejo de representaciones, sino que debe basarse en la ejecución, por

parte de los niños y niñas, de acciones concretas, así como la reflexión de

las mismas.

Piaget (1979:11) señala que el desarrollo, es en cierto modo una

progresiva equilibración, es decir, pasar de un estado de menor equilibrio a

un estado de equilibrio superior ..

Describe la evolución del niño y del adolescente sobre la base del

concepto de equilibrio; desde este punto de vista el desarrollo mental es

una construcción continua, comparable al levantamiento de un gran edificio

que, a cada elemento que se le añade, se hace más sólido.

Katz (2005:11) un ambiente de alta calidad para niños

pequeños, es aquel donde las habilidades académicas, como

las habilidades lingüísticas y Matemáticas, son adquiridas a

través de la motivación para ser aplicadas de manera

significativa e intencionado.

Piaget (1979:12)

distingue seis estadios o períodos de desarrollo, que marcan la

aparición de estas estructuras sucesivamente construidas:

- Primer estadio: de los reflejos, o montajes hereditarios, así

como de las primeras tendencias instintivas (nutrición) y de las

primeras emociones.

- Segundo estadio: de los primeros hábitos motores y de las

primeras percepciones organizadas, así como de los primeros

sentimientos diferenciados.

- Tercer estadio: de la inteligencia sensorio motriz o práctica

(anterior al lenguaje), de las regulaciones afectivas

elementales y de las primeras fijaciones exteriores de la

afectividad.

Estos primeros estadios constituyen el período del lactante

(hasta aproximadamente un año y medio a dos años).

- Cuarto estadio: de la inteligencia intuitiva, de los

sentimientos interindividuales espontáneos y de las relaciones

sociales de sumisión al adulto (de los dos años a los siete).

- Quinto estadio: de las operaciones intelectuales concretas

(aparición de la lógica), y de los sentimientos morales y

sociales de cooperación (de los siete años a los once o doce).

- Sexto estadio: de las operaciones intelectuales abstractas,

de la formación de la personalidad y de la inserción afectiva e

intelectual en la sociedad de los adultos (adolescencia).

El número en el pensamiento del niño

Según las investigaciones de Jean Piaget aunque el

niño cuente verbalmente en correcto orden, no reconoce

la necesidad lógica de ordenar los objetos. El resultado

final es un conteo incorrecto. Sin orden, el niño cuenta al

azar y no puede evitar saltarse o duplicar los números al

contar.

Al pedirle a un niño que seleccione tres cubos, lo hará

bien; sin embargo, él no ha escogido un número

Antes de que lo escogiera, los cubos eran entidades

separadas incluidas en una gran colección de cubos. A

medida que los seleccionaba, mentalmente los colocaba

dentro de una relación: el conjunto tiene la propiedad de

tres. Esto es una abstracción, una medida sacada de

objetos reales. El tres no existe en ninguno de los objetos

del conjunto, pero se abstrae de todo el conjunto y existe

en la mente del niño.

Pensamiento Lógico – Matemático

Por su parte López Tamayo (2008: 1) dice que el pensamiento

es un proceso complejo y los caminos de su formación y

desarrollo no están completamente estudiados, por lo que

muchos maestros no le dan un tratamiento adecuado al mismo,

al no concebir a partir de un trabajo intencionado un sistema de

trabajo que propicie su formación y desarrollo de acuerdo a las

condiciones existentes en el medio histórico-social donde se

desarrolla el escolar.

Así pues, la estructura del pensamiento, desde el punto de vista

de su corrección es a lo que se llaman formas lógicas del

pensamiento, dentro de las cuales se pueden distinguir tres

formas fundamentales:

El Concepto: reflejo en la conciencia del hombre de la esencia

de los objetos o clases de objetos, de los nexos esenciales

sometidos a ley de los fenómenos de la realidad objetiva.

Juicios: un juicio es el pensamiento en el que se afirma o niega

algo.

Razonamiento: Es la forma de pensamiento mediante la cual se

obtienen nuevos juicios a partir de otros ya conocidos.

Cuando estas formas lógicas del pensamiento se utilizan dentro la

rama de las Matemáticas para resolver ejercicios y problemas de

una forma correcta, entonces se habla de un pensamiento lógico

matemático

Para Fernández Bravo (2009:1), el pensamiento lógico-matemático es

favorecido por cuatro capacidades:

1.- La observación: se canaliza libremente y respetando la acción del niño,

a través de juegos cuidadosamente dirigidos a la percepción de propiedades

y a la relación entre ellas

2.- La imaginación: es entendida como acción creativa, y se potencia con

actividades que permiten una pluralidad de alternativas en la acción del

sujeto

3.- La Intuición: las actividades dirigidas al desarrollo de la intuición no

deben provocar técnicas adivinatorias... no se trata de aceptar como verdad

todo lo que se le ocurra al niño, sino conseguir que se le ocurra todo aquello

que se acepta como verdad.

4.- El razonamiento lógico: es la forma del pensamiento mediante la cual,

partiendo de uno o varios juicios verdaderos, llamados premisas, se llega a

una conclusión conforme a ciertas reglas de inferencia.

Sobre esas indicaciones, Fernández Bravo (2009:6) advierte

que, en muchas ocasiones, se suele confundir la idea

Matemática con la representación de esa idea. Se le ofrece al

niño, en primer lugar, el símbolo, dibujo, signo o representación

cualquiera sobre el concepto en cuestión, tratando que el sujeto

intente comprender el significado de lo que se ha representado.

Dichas experiencias son perturbadoras para el desarrollo del

pensamiento lógico-matemático. Al respecto, se ha demostrado

que el símbolo o el nombre convencional es el punto de llegada

y no el punto de partida, por lo que se debe trabajar sobre la

comprensión del concepto, propiedades y relaciones.

Se suele creer que cuantos más símbolos matemáticos

reconozca el niño más sabe sobre Matemáticas

De esta manera, el desarrollo del pensamiento lógico-matemático, tal

como lo establece Fernandez Bravo (2009:8) se puede recorrer

Didácticamente:

- Estableciendo relaciones, clasificaciones y mediciones.

- Ayudando en la elaboración de las nociones espacio-temporales,

forma, número, estructuras lógicas, cuya adquisición es

indispensable para el desarrollo de la Matemática.

- Impulsando a los alumnos a averiguar cosas, a observar, a

experimentar, a interpretar hechos, a aplicar sus conocimientos a

nuevas situaciones o problemas.

- Desarrollando el gusto por una actividad del pensamiento a la

que irá llamando Matemática.

- Despertando la curiosidad para comprender un nuevo modo de

expresión.

- Guiando en el descubrimiento mediante la investigación que le

impulse a la creatividad.

– Proporcionando técnicas y conceptos matemáticos sin

desnaturalización y en su auténtica ortodoxia.

Conceptualización de la Didáctica

Enfoques y teorías

Otro enfoque es el constructivismo radical de Von Glasersfeld,

señalado por Rodríguez, Carnelli y Formica (2007: 170). Éste

tiene como bases la epistemología genética de Piaget, la

formación del conocimiento por medio de la acción y la reflexión

sobre la acción, la evolución de los esquemas que se adaptan al

mundo experiencial del sujeto y modeliza el conocimiento.

El constructivismo social, que tiene en Ernest a uno de sus

referentes, adopta una ontología relativista moderada, propone la

fenomenología social y entiende al mundo como el resultado de

una construcción social. En su epistemología asume el

conocimiento como provisorio y aceptado socialmente. La teoría

del aprendizaje es constructivista, considera relevante el lenguaje,

la interacción social y las situaciones de conflicto cultural y

cognitivo. Dichos aspectos provienen de la teoría de Vygotsky.

El enfoque fenomenológico debido centralmente a Freudenthal,

explicado por Rodríguez, Carnelli y Formica (2007: 172), considera que

los conceptos, estructuras e ideas matemáticos se han inventado como

herramientas para organizar los fenómenos del mundo natural, social y

mental. En una enseñanza que siga este enfoque se intentan describir

los contenidos en relación a los fenómenos y los tipos de problemas

para los que se han creado.

En el enfoque semiótico, introducido por Godino y Batanero La

introducción de las funciones semióticas permite perfeccionar la idea de

que un sujeto comprende un concepto matemático determinado cuando

lo usa eficazmente en diferentes prácticas; revisten singular importancia

en el plano relacional y Por ello, las Matemáticas se consideran como

una actividad de resolución de problemas, compartida socialmente

como lenguaje simbólico y sistema conceptual organizado lógicamente.

Su teoría del aprendizaje es constructivista.

La teoría crítica por P. Valero y O. Skovsmose Se resalta

la importancia de entender la política de la institución, la

relevancia de las Matemáticas escolares, la organización

de la escuela, la comunidad de profesores, el significado

que cada docente da a la Matemática en el aula para

entender el funcionamiento de la Matemática escolar.

el enfoque sistémico encuadrado en la Teoría de

Situaciones de G. Brousseau, y detallado por Rodríguez,

Carnelli y Formica (2007: 174), plantea ampliar la

reflexión teórica incluyendo un estudio de los contenidos

matemáticos a enseñar y no limitarla al análisis de

cuestiones cognitivas propias del alumno y de su

aprendizaje

La Matemática es considerada como una ciencia que se

ocupa de resolver problemas. El aprendizaje es concebido

como constructivista y la tarea central de la enseñanza es

llevar a cabo la transposición Didáctica.

El enfoque antropológico, tiene como uno de sus principales

exponentes a Y. Chevallard La Matemática es considerada como una

actividad humana llevada a cabo en distintas instituciones El

aprendizaje es concebido como constructivista. La enseñanza se

corresponde con una actividad de reconstrucción de los objetos

matemáticos con el fin de reutilizarlos en otros contextos. Por ello, la

función del enseñante es generar condiciones para llevar adelante

esta reconstrucción. La metodología de investigación también es

descripta como positivista.

Fin