DÃY SỐ CHUỖI SỐ - bai-giang.webnode.vn. DÃY SỐ-CHUỖI SỐ.pdf · - các chuỗi số...
Transcript of DÃY SỐ CHUỖI SỐ - bai-giang.webnode.vn. DÃY SỐ-CHUỖI SỐ.pdf · - các chuỗi số...
CALCULUS FOR COMPUTING
NỘI DUNG
- Khái niệm, tính chất dãy số và chuỗi số
- Dãy đơn điệu
- Các chuỗi số phổ biến
- Sự hội tụ và các tiêu chuẩn hội tụ
- Hội tụ tuyệt đối
2 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
1. DÃY SỐ
3 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
Vi du: Cho cac day sô sau:
a/ {1} = 1, 1, 1, …, 1, …
b/ {(-1)n } = -1, 1, -1, …, (-1)n ,…
c/ 1
𝑛= 1,
1
2,1
3, … ,
1
𝑛, …
d/ {n2} = 1, 4, 9, …, n2, …
e/ 𝑛
𝑛+1=
1
2,2
3,3
4… ,
𝑛
𝑛+1, …
4 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
5 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
Số L đươc goi la giơi han cua day 𝑎𝑛 nếu
vơi moi sô 𝜀 dương be tuy y cho trươc, tôn tai
một sô tư nhiên n0 sao cho vơi moi n > n0 thi
∀𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ 𝑅: ∀𝑛 > 𝑁 ⇒ 𝑥𝑛 − 𝐿 < 𝜀.
Ta viết: lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 hay 𝑎𝑛 → 𝐿 𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞
Khi đó, day 𝑎𝑛 có giơi han hữu han đươc goi
la day hội tu ; Ngươc lai ta goi là dãy phân kỳ.
CALCULUS FOR COMPUTING
TÍNH CHẤT
6 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
Tinh cac giơi han sau:
a/ lim𝑛→∞
3𝑛−5
9𝑛+1 (dang
∞
∞)
b/ lim𝑛→∞
3𝑛3+5𝑛−4
𝑛2+5 (dang
∞
∞)
c/ lim𝑛→∞
3𝑛+4
𝑛2+5 (dang
∞
∞)
d/ lim𝑛→∞
( 2𝑛 + 3 − 𝑛 − 1 ) (dang ∞ −∞)
e/ lim𝑛→∞
𝑛2(𝑛 − 𝑛2 + 1) ( d𝑎 𝑛𝑔 ∞. 0)
7
VÍ DỤ
CALCULUS FOR COMPUTING
f/ lim𝑛→∞
3𝑛2+𝑛−1
4𝑛2+2
3
g/ lim𝑛→∞
𝑛2− 𝑛33 + 𝑛
h/
i/
8
VÍ DỤ
CALCULUS FOR COMPUTING
j/ lim𝑛→∞
1+22+32+⋯+𝑛2
𝑛3+5
9
VÍ DỤ
Giải. Ta có: 2 2 2
3 3
1 2 3 ... 1 ( 1)(2 1).65 1 5 1n
n n n nx
n n n n.
Vậy 3
1 ( 1)(2 1) 1lim6 155 1n
n n nL
n n.
CALCULUS FOR COMPUTING
k/
10
VÍ DỤ
Giải. Ta có: 1
2 2 2
2 2
9 2 5 1 9 2 5ln .ln1 2 1
n
nn n n n nn n n
nx e e .
Vậy
2
2
1 9 2 5lim . lim ln
2 1n n
n n n
n nL e
2
2
1 9 2 5.ln lim2 1 ln3 3
n
n n
ne e .
CALCULUS FOR COMPUTING
l/
11
VÍ DỤ
Cách khác
1lim
12 22
2
9 2 5lim 9 3
1
n
n
n
n
n nL
n.
CALCULUS FOR COMPUTING
m/
12
VÍ DỤ
Cách khác
1lim
12 22
2
9 2 5lim 9 3
1
n
n
n
n
n nL
n.
CALCULUS FOR COMPUTING
TÍNH CHẤT
Định lý 2. (Nguyên lý kẹp)
13 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
TÍNH CHẤT
14 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
Định lý 3. (Liên hệ vơi hàm liên tục)
CALCULUS FOR COMPUTING
TÍNH CHẤT
15 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Một số kết quả giới hạn cần nhớ
1) lim ,nk k k
2) 1
lim =0 lim =nn n
n
xx
; lim = lim =n nn nx a x a .
3) 1
lim 0, 0n n
; 1
lim 0, 1nn
.
4) Nếu 1a thì lim 0n
na ; 1a thì lim n
na .
5) lim 1n
na ( 0a ); lim 1n
nn ;
1lim 1
n
ne
n.
16
CALCULUS FOR COMPUTING
7) Tính
limg n
nL f n
(dang 1)
Ta áp dụng công thức lim 1 .
lim nf n g ng n
nL f n e
6) Nếu 1, 1 thì ln
lim lim 0nn n
n n
n.
Một số kết quả giới hạn cần nhớ
17
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
18 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
19 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING 20
CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
21 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
22 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
DÃY ĐƠN ĐIỆU
23 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
Day sô 𝑎𝑛 goi la tăng nếu an < an+1 , ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗
Day sô 𝑎𝑛 goi la giam nếu an > an+1 , ∀𝑛 ∈ 𝑁
∗
Day sô tăng hay giam đươc goi la day sô đơn điêu.
CALCULUS FOR COMPUTING
DÃY SỐ BỊ CHẶN
24 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
Day sô 𝑎𝑛 goi la bi chăn trên nếu tôn tai sô
M sao cho 𝑎𝑛 ≤ 𝑀,∀𝑛 ∈ 𝑁∗
Day sô 𝑎𝑛 goi la bi chăn dươi nếu tôn tai sô
m sao cho 𝑎𝑛 ≥ 𝑚,∀𝑛 ∈ 𝑁∗
Day sô vưa bị chăn trên vưa bị chăn dươi goi
la day sô bi chăn.
CALCULUS FOR COMPUTING
TÍNH CHẤT
25 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
Vi du
a/ Day 1
𝑛 la day giam, bị chăn dươi bơi 0 va bị
chăn trên bơi 1, nên day bị chăn.
b/ Day {n2} la 2 day tăng, bị chăn dươi bơi 1
nhưng không bị chăn trên nên day không bị
chăn.
c/ Day {(-1)n } không tăng, không giam va nó bị
chăn dươi bơi -1 va bị chăn trên bơi 1.
26 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
BÀI TẬP
27 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
2. CHUỖI SỐ
28 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
2. CHUỖI SỐ
29 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
2. CHUỖI SỐ
30 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
31 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
1 1 1...
1.2 2.3 1
1 1 1 1 1 1 1... 1 1
1 2 2 3 1
nSn n
nn n n
1
11 Héi tô
1n n n
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
32 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
1 1 1
1 1ln 1 ln ln 1 ln
ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ... ln 1 lnn
ln 1 Ph©n kú
n n n
n
k k k
kS k k
k k
n
n
1
1ln 1
n n
Xét tính hội tụ cua chuỗi
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
33 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
1
1 1 1 1 11 ... .
2 3
n
n
k
S nn n n
n
Vậy chuỗi phân kỳ
1
1
n n
Xét tính hội tụ cua chuỗi
CALCULUS FOR COMPUTING
CHUỖI HÌNH HỌC
34 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
35 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
TÍNH CHẤT
36 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
TÍNH CHẤT
37 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING 38
CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
CHUỖI SỐ DƯƠNG
39 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG
1. Tiêu chuẩn so sánh
40 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING 41
CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
1. TIÊU CHUẨN SO SÁNH
CALCULUS FOR COMPUTING
1. TIÊU CHUẨN SO SÁNH
42 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
Ví dụ 1: Xét tính hội tụ cua chuỗi
1
1
n n
1ln 1
Ta cã: 11lim
n
n
n
1 1
1 1m¯ ln 1 ph©n kú nªn ph©n kú
n nn n
CALCULUS FOR COMPUTING
1. TIÊU CHUẨN SO SÁNH
43 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
Ví dụ 2: Xét tính hội tụ cua chuỗi
2
1 1
1/ .sin / 1n
n n
a n b nn
2
21 1
1 1/ Ta cã: sin ~
1 1ph©n kú nªn .sin ph©n kú
n n
a nn n
mµ nn n
CALCULUS FOR COMPUTING
1. TIÊU CHUẨN SO SÁNH
44 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
1ln
1 1
1 1/ Ta cã: 1 1 ~ ln
1m¯ ph©n kú nªn 1 ph©n kú
nn n
n
n n
b n e nn n
nn
CALCULUS FOR COMPUTING
2. TIÊU CHUẨN HỘI TỤ D’ALEMBERT
45 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
46 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
2
1 1 1
° ¸ :
5 !1 1 . !/ 1 / /
3 2 !
n n n
n nn n n
Kh os t sù héi tô
n e na b c
n n n
1 1
11
1 1 11 1
13 1 1/
31 1 11 1
3
1 1. 1 Héi tô
3 3
n n
nn
n n
n
n
a n na
a
n n
e
e
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
47 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
21
21
1
2 2
2
5 1 !
2 1 ! 5 1 ! . 2 !/
5 ! 5 ! . 2 2 !
2 !
5 1 51
2 1 2 2 4
chuçi ph©n kú
n
n
n
n nn
n
n n nab
a n n n
n
n
n n
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
48 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
1
1 1
1
1
. 1 !
1 . 1 !./ 1
. ! 11 . . !1
cha thÓ kÕt luËn ®îc
n
n n n
n
n n nnn
n
e n
n e n na ec
e na n e n
n n
CALCULUS FOR COMPUTING 49
CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
Khao sát sự hội tụ cua chuỗi:
CALCULUS FOR COMPUTING
TIÊU CHUẨN CĂN THỨC CAUCHY
50 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
51 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
1
° ¸ :2nn
nKh os t sù héi tô
1Ta cã: 1
2 2
n
nn
na héi tô
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
52 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
Khao sát sự hội tụ cua chuỗi:
CALCULUS FOR COMPUTING
3. TIÊU CHUẨN TÍCH PHÂN MACLAURIN-CAUCHY
53 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
54 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
1 2
° ¸ :
1 1/ /
.lnn n
Kh os t sù héi tô
a bn n n
CALCULUS FOR COMPUTING
CHUỖI ĐAN DẤU
55 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
56 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA CHUỖI ĐAN DẤU
57 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
58 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI VÀ HỘI TỤ CÓ ĐIỀU KIỆN
59 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING 60
CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI VÀ HỘI TỤ CÓ ĐIỀU KIỆN
CALCULUS FOR COMPUTING 61
CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI VÀ HỘI TỤ CÓ ĐIỀU KIỆN
CALCULUS FOR COMPUTING
TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI
62 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
CHUỖI LŨY THỪA
63 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING 64
CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CHUỖI LŨY THỪA
CALCULUS FOR COMPUTING 65
CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CHUỖI LŨY THỪA
CALCULUS FOR COMPUTING
ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA CHUỖI LŨY THỪA
66 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
67 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
VÍ DỤ
68 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
BÀI TẬP 1
69 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
BÀI TẬP 2
70 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
BÀI TẬP 3
71 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
BÀI TẬP 4
72 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ
CALCULUS FOR COMPUTING
BÀI TẬP 5
73 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ