Deter Min An

5/12/2018 Deter Min An - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/deter-min-an-55a4d51f18f07 1/22

DETERMINAN



FUNGSI DETERMINAN

Misalkan Mnn adalah himpunan semua matrix

bujur sangkar berukuran n×n, dan A suatu

matrix di Mnn.Suatu fungsi det: Mnnp R, dengan det(A)R

untuk setiap A Mnn disebut sebagai fungsi

determinan.



CONTOH

Matrix 2×2 :

determinan dari A adalah



PERMUTASI

Suatu permutasi dari {1,2,«,n} adalah suatu

penyusunan dari bilangan-bilangan tersebut

dalam suatu urutan tanpa ada pengulanganatau penghilangan.



CONTOH

Ada 6 permutasi yang berbeda dari {1,2,3}

yaitu:

(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2) dan(3,2,1)



INVERSI DARI PERMUTASI

Jika pada permutasi terdapat

bilangan yang lebih besar mendahului bilangan

yang lebih kecil, maka dikatakan terjadi inversipada permutasi tersebut.



C ARA MENGHITUNG JUMLAH TOTAL

INVERSI DARI SUATU PERMUTASI

´ Tentukan banyak bil. bulat yang lebih kecil dari j1, misalnya b1.

´ Tentukan banyak bil. bulat yang lebih kecil dari

j2, misalnya b2.

...

´ Tentukan banyak bil. bulat yang lebih kecil dari

jn-1, misalnya bn-1.´ Maka jumlah total inversi dalam suatu

permutasi adalah b1 + b2 + « + bn-1



CONTOH

Tentukan inversi dalam permutasi berikut.

´ (6,1,3,4,5,2)

banyaknya inversi adalah 5+0+1+1+1= 8´ (2,4,1,3)

banyaknya inversi adalah 1+2+0=3

´ (1,2,3,4) tidak ada inversi.



PERMUTASI GENAP/GANJIL

´ Permutasi Genap : Jika jumlah total inversi dari

permutasi tersebut genap.

´ Permutasi Ganjil :

Jika jumlah total inversi daripermutasi tersebut ganjil.



CONTOH

Tabel berikut mengklarifikasi berbagai

permutasi dari {1,2,3} sebagai genap atau

ganjil.Permutasi Jumlah invers Klasifikasi

(1,2,3) 0 genap

(1,3,2) 1 Ganjil

(2,1,3) 1 Ganjil(2,3,1) 2 Genap

(3,1,2) 2 Genap

(3,2,1) 3 ganjil



PERKALIAN ELEMENTER DARI AN×N

´ Perkalian elementer An×n adalah perkalian n entridari A, yang tidak terletak dalam baris dan kolomyang sama.

´ Untuk matrix An×n akan ada n! perkalianelementer.

´ Perkalian elementer pada An×n mempunyai bentuk

dimana indeks (j 1 , j 2 , «.. , j n ) merupakanpermutasi dari {1,2,«,n}.

nnj j j j aaaa -321 321



´ Perkalian elementer bertanda

« Jika indeks (j 1 , j 2 , «.. , j n ) merupakan permutasigenap maka perkalian elementer di kalikan

(+1) yaitu

« Jika indeks (j 1 , j 2 , «.. , j n ) merupakan permutasiganjil maka perkalian elementer dikalikan (-1),

yaitu





MENGHITUNG DET ( A) MENGGUNAKAN

PERKALIAN ELEMENTER DARI AN×N

Definisi Determinan dari suatu matrix An×n

Misalkan A suatu matrix bujur sangkar dan

fungsi determinan dinotasikan dengan det ,

det( A) didefinisikan sebagai jumlah semua

perkalian elementer bertanda dari An×n,

yaitu:

nnj j j j aaaa A -

321 321)det( §s!



MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN

REDUKSI BARIS

Sifat-sifat determinan suatu matrix

Misalkan A matrix berukuran nxn, maka berlaku:

Teorema

a. Jika A mempunyai suatu baris atau suatu kolom nol, maka det (A) = 0

b. det(A) = det(AT)

TeoremaJika A matrix segitiga ataupun matrix diagonal, maka

det (A) = a11a22...ann

Teorema

Jika A mempunyai 2 baris saling berkelipatan (proporsional),

maka det(A) = 0



PENGARUH OPERASI BARIS PADA

DETERMINAN SUATU MATRIX

Teorema

Misalkan A dan B matrix bujursangkar berukuran

sama, dimana B diperoleh dari A dengan satu

operasi baris, yaitu:

´ suatu baris A dikalikan konstanta k { 0, maka:

det (B) = k. det (A)

´ dua baris A saling dipertukarkan, maka:

det (B) = - det(A)

´ suatu baris A ditambahkan kelipatan suatu barislainnya, maka:

det (B) = det(A)



Teorema

Misalkan E matrix elementer berukuran nxnyang diperoleh dari In dengan operasi baris,

yaitu:

´ suatu baris dari In dikalikan konstanta k { 0,maka det (E) = k

´ dua baris dari In saling dipertukarkan, maka

det (E) = -1´ suatu baris dari In ditambahkan kelipatan

suatu baris lain, maka det (E) = 1



MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN

REDUKSI BARIS

´matrix Anxn matrix segitig a&

.2.2.3oper asibar iselement er gunakan sifat T

p



SIFAT-SIFAT DASAR FUNGSI

DETERMINANy det (kA) = kndet(A)

y Misalkan A,B dan C matrix berukuran nxn, dimana entri ketiga matrixberbeda hanya di satu baris, baris ke-r, dengan asumsi :

baris ke-r dari C = baris ke-r A + baris ke-r B

maka: det C = det A + det B

y Jika A dan B matrix bujursangkar berukuran sama, maka :

det(AB) = det (A).det(B)

y Ainvertible jika dan hanya jika det(

A){

0

y Jika A invertible maka det (A-1) = 1/det(A)



EKSP AN SI COF ACTOR

Misalkan A matrix berukuran nxn

´ Mij = minor entri aij

= determinan submatrix setelah bariske-i & kolom ke-j dihapus dari A

´ Cij = kofaktor entri aij = (-1)i+j Mij



MENGHITUNG DETERMINAN MATRIX

DENGAN EKSPANSI KOFAKTOR

´ ekspansi kofaktor kolom ke j

det (A) = a1jC1j + a2jC2j + « + anjCnj

´ ekspansi kofaktor baris ke i

det (A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 +... + ainCin



´ Matrix cofactor dari A adalah

Transpose dari matrix cofactor disebut matrixadjoint A

´ Jika A invertible, maka1 1

( )det( )

A adj A A

!

¼

¼¼¼

½

»

¬

¬¬¬

-

«

nnnn

n

n

C C C

C C C C C C

.

/1//

.

.

21

22221

11211



ATURAN CRAMER

Misalkan A matrix nvn dan det(A) { 0, maka

SPL Ax = b mempunyai solusi tunggal,

dengan:

dimana, A j = matrix A dengan entri kolom ke-j

diganti dengan entri matrix b

1 21 2

det( )det( ) det( ), , ,

det( ) det( ) det( )

n

n

A A A x x x

A A A! ! !

Deter Min An

Documents

Transcript of Deter Min An