Matrices y Deter Min Antes Figueroa

5/12/2018 Matrices y Deter Min Antes Figueroa - slidepdf.com

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MATEMATI ,CA BASICA 2

Tr (A)t=1

R . F G E •



379

r - -,. , ,'~ • I 7. ,:....

(8.1 ) INTRODucelON

La resoluci6n de sistemas de ecuaciones lineales mediante las tecnicas

usuales de sustituci6n y de multiplicacion y suma, se dificulta en la medida en que

aumenta el nurnero de variables y se complica aun mas, si es el caso que el numero

de variables difiere del numero de ecuaciones que conforman el sistema. Dado que

el conjunto soluci6n de un sistema se obtiene operando los coeficientes y las cons-

tantes nurnericas, sin necesidad de reiterar la escritura de las variables, podemos

sefialar que el establecimiento de ciertas relaciones aplicables a conjuntos numeri-

cos tacilitara considerablemente el proceso. En tal sentido el estudio de las matri-

ces, como un concepto del algebra lineal, nos ofrece la alternativa de resolver los

sistemas lineales aplicando las tecnicas que se describen en este capitulo.

@EFINICION

Una matriz es un arreglo rectangular de nurneros reales ordenados en filas

o columnas.

Son ejemplos de matrices los siguientes arreglos

[~-~~l10 5

, (sena Cosf Tgo: J ' [ ~ ~ 13c



380 Capitlllo 8: Mati'; ('.\

Las matrices se denotan, con letras rnayusculas, tal como A , B Ie , etc. EI conjunto

de elementos 0 componentes de una rnatriz se encierra entre parentesis 0 corche-

tes y en los casos en que no se use numeros reales especfficos, se denotan con

letras minuscules subindicadas : a , , , h " , c ' , es decirI) I) lJ

amn

Los subindices de un elemento indican, el primero la fila en la que esta la

componente y el segundo la columna correspondiente ; as! , el elemento a320cupa

la tercera fija y la segunda columna. En general, el elemento aj i ocupa la intersec-

cion de la i-esirna fila y la j-esirna columna.

I Nota. Se debe destacar que una matriz es un arreglo y como tal no tiene unvalor nurnerico.

(8-;3) ORDEN DE UNA MATRIZ

EI orden 0 dimension de una matriz esta dado por el producto indicado m x

n, donde m indica el numero de filas y n el numero de columnas. Por ejemplo:

[ 1 2

~ J=2 -I

es una matriz de orden 2 x 3

B = [1 -8

1es una matriz de orden 2 x 2

4 10

EI conjunto de matrices de orden m x n, con coeficientes en K (K puede ser R 0 (~),

se denotara K r n x n , es decir

K r n x n = { A I A = [a .J }. IJ m x n

Asl, en los ejemplos anteriores : A E K~d Y B E K 2 x2



Seccion 8.4: Igualdad de matrices 381

Escribir explfcitamente la matriz

a) A = [a ..] E K2x 3Ia ..= 2i - j1 1 1 1

b) B = [ b jj ] E K3X31bji = min(i, j )

c) C=[c ..]E K 2x 4 I c . . =i2+j1 1 ' I

Soluci6n. Escribiremos las componentes de cada matriz sequn el orden que tie-

nen y su correspondiente definicion dada.

a) all = 2(1) - 1= I

a21= 2(2) - 1 = 3

al2= 2(1) - 2'= 0

a _2 = 2(2) - 2 = 2

b) b ll=min(1,l)=l

b2 1= min(2 , 1) = 1

bJI= min(3 , 1) = 1

.. A = C ~ - : J

b 12 = min(l , 2) = 1

bn = min(2 , 2) = 2

b'32 = min(3 , 2) = 2

" B= [: ~

~ lc) c =]2 + 1 = 2II

c =]2+3=413

c = 2- + 1 = 521

c = 22 + 3 = 72 1

:. C = ( ~3

64 5 J7 8

'"8~4)GUALDAD DE MATRICES

a =2(1)-3=-113

a = 2(2) - 3 = 1)

. b , = min(l ,3) = 1

bD= min(2 , 3) = 2

b33

= min(3 , 3) = 3

c =F+4=512

c = 2 2 + 4 = 8, 2 4

•

Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y sus

componentes correspondientes son iguales, es decir, si las matrices son identicas.

Formalmente

Si A no es igual a B se nota : A :f . B

(1)



382 Cap[tulo 8: Matrircv

Sean las matrices A = (ai) E K2 x 2 I a

jj = 2i - (-1) j Y

B = (3:-- ¥ y ~ J ; hallar los valores de x ey de modo que A =

Soluci6n. Determinemos los elementos de la matriz A

al = 21 - (-1)1 = 2 + 1 = 3

a2 1=22-(-1)1=4+ 1=5

a I~ = 2 I - (- 1)2 = 2 - 1 = 1

a~2=22- (_ 1)2=4-1 =3

L . A = [ 35

uego, Sl :

~ 1¢:> (x - y = 3) /\ (3x - Y = 5)

(

X - y

- 3 x - y

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos : x = 1 , Y = -2

( 8.5) TIPOS DEMATRICES.

1. Matriz Rectangular. La matriz de orden m x n, con m :;t. n , recibe el nombre de

matri; rectangular,

Por ejemplo, A = [ ~ 1 5 J ,es una matriz rectangular de orden 2 x 3o 4

2. Matriz Fila. La matriz de orden 1x n se denomina matriz.fila 0 vector-fila. Por

ejemplo:

1 4) es una matriz 0 vector fila de orden 1 x 4= (2")

-.J

3. Matriz Columna. La matriz de m filas y una columna recibe el nombre de matrit.

columna de orden m x I,

2

Por ejemplo , A = -I es una matriz columna de orden 3 x 1

7

4. Matriz Cero. Una matriz cuyos elementos son todos nulos , es decir , a" = 0 ,IJ

'tj i , j J recibe el nombre de matri: cero 0 nula.

P . I A:::: ( 00r eJemp 0 -

o

o~ J es una cero de orden 2 x 3

5. Matriz Cuadrada. La matriz que tiene 8 1 mismo nurnero de tilas y tolumnas se

llama matrit. cuadrada. Esto es ,

•



Seccion 8.6: Suma de matrices 383

A es cuadrada ¢::> m = nm x n

En este caso se dice que A es una matriz de orden n x n y se Ie representa por

An ' y al conjunto de matrices cuadradas se Ie denota por Kn.

Por ejemplo, A =

1'n

a23

es una matriz de orden 3 (A E

a33

I OBSERVACION 8.1 En una matriz cuadrada, la diagonal principal es una linea

formada por los elementos

all ' a 22 ' a33 ' • • . . • , a n n

I OBSERVACION 8.2 Traza de una matriz

La suma de los elementos de la diagonal principal de una

matriz cuadrada A se llama traza, y se denota por Tr(A). Esto es, si

n

A = [ajj] n ~ Tr(A) = L . ajj

i= 1

( 8.6) SUMA DEMATRICES

•Dadas dos matrices A = [a ..] x y B = [ b . .] x ' se llama suma de A y B a

I) m n I) m n

otra matriz C = [c ij]m x n tal que1

c .. = a .. + b . . , Vi, j E {I ,2,3 ,I J I ) I J

.. ,n}

Esto es

(2)

Sean las matrices :

A = ( 2x - 13-y

;] , [5-y 2-xj

B= Y C=x+1 2 [ - 2 5 ]

4 -1

Hallar A + C , sabiendo que A = B

{

2 X - 1 = 5 • Y : : : : } 2 x + y = 6Soluci6n. Si A = 8 ¢::>

3-y =x+l ~ x +y =2



384 Capitulo 8: Matrices

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos : x = 4 , y = -2

o ~,,_ [ 7 - 2 ] [ - 2 5 ] _ [ 7 + ( - 2 ).. A+C- -1 2 + 4 -1 - -1+4

I Nota.

-2 + 5 ] = [ 53 31] •

2+(-~)

La adici6n de matrices es la ley de composici6n interna que hace cortes-ponder a dos matrices, del mismo orden, su suma. Se denota

I

(A, B) ~ A + B

PROPIEDADES DE LA ADICION DE MATRICES

Si A , B Y C son matrices del mismo orden, entonces se cumplen las si-I

guientes propiedades.

A1:A ,BE Kmxn , (A+B)E km xn

A 2: A + B = B + A

A 3 : A + (B + C) = (A + B) + C

A : A E Kinx n : 3 e I A + e = e + A = A4 'mxn

As : A E Km x n , 3 (-A)E Km x n I A + (-A) = (-A) + A = e

Clausura

Conmutatividad

Asociatividad

Elemento neutro aditivo

Elemento inverso aditivo

I OBSERVACION 8.3 Dos matrices del mismo orden se lIaman onformables res-

pecto a la suma algebraica.

I OBSERVACION 8.4 Las matrices del mismo orden 0 conformables respecto de

la suma algebraica, siguen las mismas leyes de la adici6n

que sujetan a los elementos que las componen. (Esta caracterfstica permite demos-

trar las propiedades de la adici6n de matrices). I

I OBSERVACION 8.5 Diferencia de Matrices~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Dadas las matrices A y B del mismo orden m x n , la dite-

rencia entre A y B es otra matriz C, del mismo orden, tal que

Por ejemplo, si A = [ 7 - 2 5 ]3 0 1 [

-1Y B = 1

4

3 - 3

2

J ' entonces



Seccion 8.7: Producto de un esc-alar par una inatri: 385

__ (7 -(-1)A B- , 1

.J -

-2 - 4

0-3

-6

-3

(8 ..1) PRaDUCTa DEUN ESCALARpaR UNA MATRIZ

Dados una matriz A y un nurnero k E K, el producto de k por A se define por

(3)

Gada componente de A se multiplica par el escalar k

Por ejemplo , si k = - 2 Y A - [-2 2 ]- -1 -5

entonces

(-2 (-2 ) -2 (2 ) J = [ 2 4

kA= -2 ( - J ) -2(-5)- 4 ]lO

( Ejemplo 4 ) Galcular la combinaci6n lineal de las matrices

•1 i

A = 1 .-I

Y B =1

-I 1,Sl X = (1 + i) A + (1 - i) 8

Soluci6n. Observese que los coeficientes de A y 8 son nurneros complejos, en-

tonces, por (3), se tiene :

X = (1 + i) [ ~ I ] + ( 1 _ i) [ i 1]=[1+ii(1 + i)

J(i (1 - i) 1 - i

J-i(1 + i) + -i(1 - i)I -I 1 1 + i 1 - i

x=(1+i i -1

) + (i + 1 1-i) = ( 2 + 2 i 0

J •>1+i -i+1 -i - 1 1-i 0 2 - 2i

resolver Ia ecuaci6n 3/2 (X + A) = 2 [X + (28 - G)] + A

Soluci6n. Multiplicando por 2 ambos extremos de la ecuaci6n dada se tiene:




3(X + A) = 4[X + (2B - C)] + 2A => X = A - 8B + 4C

Luego , por (3) y (2) se t iene:

x = [ : - : ] + [ - 1 : -24]+ [ - 4 8 ] ~ X=[-,,12 -17J16 16 -12 27 8 ,

(Ej~mplo 6 ) Resolver el sistema de ecuaciones : X - 2Y = A, 2X + 3Y = B,

[ 6 - 3 ] [ 12Y E K2x2 donde A = Y B =, , , 7 4 -7 : ]

sotucion. Multiplicando por 3 la primera ecuaci6n y por 2 la segunda, se tiene:

3X - 6Y = 3A

4X + 6Y = 2B

de donde obtenemos : X = 1/7 (3A + 2B) Y Y = 1/7 (B - 2A)

3A + 2B =[

1 8

2 1- 9 ] [2412 + -14

8 ] [ - 1 28 + -1 4

: ~ ] = [ 4 ; 2 7 ] ~ X = ( ~ ! ]

- 6 ] = [ _ ~ I ~ 1 ~ y = ( _ ~ ~ ]- 2A = (:~

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Si A Y B E Kmxn, y p y q son nurneros reales, entonces

E 1 : p( q A ) = (p q)A

E 2: (p + q)A = pA + qA

E3: peA + B) = pA + pB

Asociatividad escalar

Distributividad respecto a la suma de escalares

Distributividad respecto a la suma de matrices

EJERCICIOS.;~·Grupo43 >

1. Escribir explicitamente las siguientes matrices

a) A = [a ij] E K3x2 I a ij = = i + 2 j

b) B = [ b ij] E K3X3 I b ij = 21- j

c) C = [c ij] E K3x4 I c Ij = max (i, j)

d) 0 = [d ij] E K4x3 I d ij = _2 i- (-1 )i

•

•



Seccion 8.8: Multiplicacion de matrices 387

2. Sean las matrices: A = ( x-2y x], B = ( 23 x-y 3

Si A = B, hallar A + 3C.

Y+44] (-2/3Y C=. -1

2 x + 1 2 z-t 3 - 2 y 2 x + y

3. Sean las matrices A= x + 2 -1 2 y Y B = z + 3 -1 z-zx

y - 1 8 x - 2 z z-5 6 -1

hallar el va lor x y z.

4. Si A =[_~ ~] ,B = [ - ! _~ ] y Ce[~~ ~ ,resolver la ecuaci6n

2(X - 28) 73 [A + 2(X - 2B)] + C

5. Si A = [ : ~ ~ ] ,B = [!ecuaciones:

3 ] C = [ - 75 Y 2

3 ] , resolver las siguientes-1

a) 3 (X - 2A) = 5 (8 - C) + 2(X • A - 8)

b) 3(X - A + 8) = 2[X - 2 (5 + C)] - (X + C)

Si A = [ - ;1

6. 1

3

ecuaci6n:

· 2 ] [ 6 7 . 5 ] [ 6 34 ,B = 8 4 -2 Y C = 12 5

6 -1 9 1 -1 14

-7 ]-6

10

resolver la

2(X - 2C) = 3X - C - 2(A + 2B - X)

7 . Re solve r el sistema: 2X + 3Y = A, 5X - 2Y = B , X , Y E K2x2

donde, A = [ ;: - ! 1 Y B =[

16 -40]~1 23

~ MULTIPLICACION DEMATRICES

Con el objeto de comprender mejor el proceso de la multiplicacion de dos

matrices, veamos el siguiente ejemplo.

Un fabricante de muebles produce tres modelos de escritorios que lIevan

tiradores de metal y chapas especiticadas por la siguiente tabla:




~ A B C

NQd e tira d ore s 8 6 4

NQ de c ha pa s 3 2 1

Llamaremos a este arreglo, matriz de partes x modelos.

Si el fabricante recibe pedidos en el mes de Agosto, 15 del modele A, 24 del

modele B y 17 del modele C; y en el mes de Setiembre, 25 del modele A, 32 del

modele B y 27 del modele C.

Llamaremos a este arreglo, matriz de modelo x meso

Si el fabricante desea saber de cuantos tiradores y ' chapas debe disponer

cada mes para poder atender los pedidos, debe encarar el problema del siguiente

modo:I

Para determinar el numero de tiradores requeridos en el mes de Agosto se

sumarfa el producto de cadaelernento de la primera fila de la matriz partes x modelos

por el correspondiente elemento de la prirnera columna de la matriz modelo x mes,

esto es

8(15) + 6(24) + 4(17) = 332

Para establecer el nurnero de chapas requeridas en el mes de Agosto se

sumarfan el producto de cada eleme.nto de la segunda fila de la matriz partes xmodelo por el correspondiente elemento de la primera columna de la matriz mode-

lo x mes, esto es

3(15) + 2(24) + 1(17) = 110

En el mes de Setiembre el nurnero de tiradores se obtendrfa sumando el

producto de cada elemento de la primera fila de la matriz partes x modelos por el corres-

pondiente elemento de la segunda columna de la matriz modelo x mes, esto es

8(25) + 6(32) + 4(27) = 500

Y para el nurnero de chapas se sumarfan el producto de cada elemento. de

la segunda fila de ·iamatriz partes x modelos por el correspondiente elemento de la

segunda columna de la matriz .modelo x mes, esto es

3(25) + 2(32) + 1(27) = 166

Con los resultados obtenidos podemos hacer el siguiente arreglo:

~ Agosto SetiembreNQde tir ad o re s. 332 500

NQ de chap as 110 166




Haciendo uso de la notaci6n matricial, los datos y resultado obtenido nos expresara

la multipllcacion de matrices del siguiente modo:

5

2= [ 332

110500 1166

,

Observamos de inmediato que el numero de columnas de la primera matriz

es igual al nurnero de 'filas de la segunda, y cuando esto ocurre se dice que las

matrices son conformables para Lamultiplicacion.

Mediante rectanqulos que satisfagan la condici6n de que ellargo del prime-

ro sea igual al ancho del segundo podemos representar el producto efectuado en la

forma siguiente:, .

B

---p--_

I'

' - - - - ' - - - - ' jI f . _ _ _ I _A_-..J

x = G1 1 1 .

~

.'1-1-1

Para facilitar la comprensi6n del producto realizado delinearemos el siguiente

diagrama

Q

j-esitna

columna de B

- -.0 c..eletnettto!I

deAxB

~ - - - - - - - - -

i-esimafila de A

En consecuencia, una forma practica para efectuar la multiplicacion de

matrices se presenta en el esquema siguiente:

25 ]32

27

5 0 0 J166



390· Capitulo 8: Matrices

(4)

Por esta definicion cada elemento de ij de C es la suma de los productos

formados al multiplicar cada elemento de la i-esima fila de A por los elementos

correspondientes de B, esto esj-esima columna de B

J ,

bij

i-esirna fila de A ( all aip ) x

o bien

, l = 1, 2, 3, •..m j : : : . 1,2, $, ... , n (5)

I OBSERVACION 8 . 6 Si A E K m x p y B E K P x n , las columnas de A y las filas de B

son vectores de R P ; entonces el elemento cijde la matriz C

es el producto escalar de la i-esirna fila de A por la j-esirna columna de B.

I OBSERV ACION 8.7 EI producto de AB esta definido si el numero de columnas de

A es igual al nurnero de filas de B. Si el producto AB esta

definido se dice que A es conformable con B para la multiplicacion. No significa esto

que B sea necesariamente conformable con A respecto de la rnultiplicacion, toda

vez que BA puede 0 no estar definido.

Si A = [ 2 1 3 ] B = [ 1 - 2·2 Y . 4 1 2

3 ] , hallar: a) AB, b) BA




Soluci6n. Dado que A tiene dos columnas y B dos filas, entonces A es conformable

con By el producto AB esta definido.

Empleando el rnetodo del producto escalar se tiene:

(2 , 3) · [ : 1 (2 ,3) • [ - ~ 1 (2 , 3) · [ ~ 1a) AB=

· [ : 1 [ - ~ 1 [ ~ 11 , 2) (1 ,2) • (1 ,2) •

[ 2(1) +3(4) 2(-2)+3 (1) 2 (3) + 3(2)J = [ 1:

-1 12 J=1(1) +2(4) 1(-2)+2(1) 1(3) + 2(2) o 7

b) En este caso, B tiene tres columnas y Ados filas, luego B no es conformable

con A respecto de la multiplicacion y por tanto SA no esta definido. •

Recordando el desarrollo inicial para establecer la multiplicacion de matrices, es

evidente que el ultimo esquema constituye un procedimiento muy eficaz para calcu-

lar el producto de dos 0 mas matrices.

( Ej~m'tJlo 2 ,)

[ -13

1 U-9

1 y c = [

]i A = 4 3 B= 12

4 -1 5

2 1 11 0 15

hallar la matriz D = [ 2A - ~ B 1 c

Soluci6n. Sea E = 2A - _1 B =3 [ - : : 1 + [ ~ ~ - ! 1 = [ - ! ~ 1

2 0 0 -5 2-5

2 -5 .-2

-1

1 ]1

12

-6

-7

= 0 •-6

30

5




(8,,9) PROPIEDADES DELAMUL.TIPLICACION DEMATRICES

Si A, By C son matrices de dimensiones conformables respecto de la suma

y producto, entonces se tiene:

M.1: A (BC) = (AB) C

{

A (B+ C) = AS + ACM.2:

(A + B) C :::AC + BC

M.3: AS i: - BA

M.4: AB = 0 ~ A = 0 6 B = 0

M.S: AS = AC :f;B :::C

Asociatividad

Distributividad

M . 6 : 3 I E K n con la propiedad de que para cualquier A E K n se cumple que:

A I = I A (I es la matriz identidad)

Demostraci6n. M.1: A(SC) ::: (AS) C

En efeeto, sean A E K P x m , B E K m x n y C E K n x r , definidas por

n

=} dJ't = L ( b ' ) k ) (c kt )

k=1

m

=:} elk = I (a lj ) ( b ) k )

j= I

En consecueneia, si A(BC) ::: (fil] y (AB)C = [gil] I entonces para cada par de

indices i, t se tiene:

m m n

1 : 1 = I (a ii) (d j, ) = .I (a i ) L ( b jk ) (C kt )

j;:1 j=1 k=1

m n

=I,I (a i ) ( b ) , J (C kt )

j = I k : : :: I

n r n

=II [(aj j) (b jk )] (Ckt )

k = I j = I

r n n n

=I L [ ( a r j ) ( b ) k ) ] ( kt ) I::: I (e ik ) (C kt )

j = I k= I k=l

:. I; =gil ¢:? A (BC) = (AS) C •



Seccion 8.9: Propiedades de fa inultiplicacion de matrices-----___:._------.....;._--------------_. _ ._ ._ . _ _,--93

Si A, B Y C son matrices conformables para la adicion y

multiplicacion, demostrar que AB + AC = A (B+C)

Demostrecion. La demostraci6n requiere que las matrices Bye sean

conform abies respecto de la adici6n y las matrices A B Y A, C

respecto a la multiplicaci6n. Entonces, sean: A = [a1k], B = [b kj] Y C = «;kJ]

De la hipotesis se sigue que:

n n

AB+AC = L (a jk) ( b kj) + L (a ik) (c kj)k=1 k=1

n

= L (a ik) ( b kj + ckj)k=l

= ([a ik ]) ([ bkj + ckj ])

:. AB + AC = A (B + C) •,

J

( Ejemplo t)[

Cos xSea la matriz B =

Sen x- Sen x l .

Cos x

hallar el valor de all a22

, para x = 211:/3

Soluclon. A = 82 ( Cos x - Sen x

1 [ Cos x -Sen x

1Sen x Cos x Sen x Cos x

( COS2X- Sen2x -2 Sen x Cos x

12 Sen x Cos x COS2X - Sen2 x

[Cos 2x -Sen 2x 1Sen 2x Cos 2x

Luego: a'l a22

= (Cos 2x) (Cos 2x) = COS2 (4rr/3) = ( - 1 / 2 ) 2 = 1 /4 •

( Ejemplo: 5 ) Oadas las matrices: A de orden mxn, B de orden nxp y C de

orden rxq. Que condiciones satisfacen p, q y r para que las

matrices sean conformables respecto de los productos que se indican y cual es elorden de cada una de las matrices siguientes:

a) ABC b) ACB c) A(B+C)



EI producto de ACB es conformable ~ n ::::r y q ::::n

y el orden de la matriz ACB es Emxp.

c) Sea A (B + C) = F, entonces: ArnxnBnxp+ Crxq)= F??

Para que sea posible la suma B + C se debe cumpl ir quan :::: y p = q

Luego, si B + C = G ~ AmKnGnxq)= FnPor tanto, el orden de la matriz F es: mxq

•

394 Capitulo 8: Matrices.-,~----------------------__:__------

Solucion. a) Sea ABC = D ~ A • B • C = D??xn nxp rxq

~tt,tt

EI producto AB esta definido puesto que el nurnero de columnas de A es igual,al numero de filas de B. l.ueqo, para que D este definida se debe cumplir que,

p ::::r,entonces:

Nurnero de filas de D = numero de filas de A

Nurnero de columnas de D = numero de columnas de C

Por tanto, D es una matriz de orden mxq.

b) SeaACB= E, entonces: Amxn· Crxq• Bnxp:::: E??

t ttt

t j

CEJe~pIO 6 } Dadas las matrices

2 j ) , 8= [1 2 -1

1 y C == -13 2 -4

5 [ - ! ~ ~ ]Si E = ABC, hallar la suma S ::::ell + e

23+ e

32

2 1 ) [ 1 2 - 1 1 _ _ [ _ 3 6 1 ]Soluci6n. Sea D ::::AB => D = -1 3 3 2 -4 1 4 5

5 -2 2 1 2

Si E ::::DC, entonces cada elemento e .. de la matriz E es el producto interno de la filaI)

ide la matriz D por la columnaj de la matriz C, esto es

el = d,)C i1 = (5,6, -6)·(3,-1,2) =15-6-12=-3

e 23 ::: d 2j C i3 = (8, 4, - 11) • (1, 5, 2) ::::8 + 20 - 22 = 6e : i2 = d3jc,2= (-1,6,3) ·(6,4,1) =-6+24+3=21

:. S = - 3 + 6 + 21 = 24 •



Secci6n 8,9: P ropie da de s de fa 1171lltip fic ac i6n de m atric es 395

Hallar la matriz A E K2x2 tal que, a22= 5 Y A 2 - [ 7 7 J

- 21 ,28

Soluci6n. Sea la matriz A = [ :

~ N = [ : ~ J [ :

~ 1

b 1 = [a2

+ bc5 ac + 5c

ab + 5b

bc + 25

Por igualdad de matrices: a2 + bc = 7

ab + 5b = 7 =} b =7

a+5

(1)

(2)

ac + 5c = 21 =} c = '21

a+5(3)

bc + 25 = 28 =} bc = 3 (4)

Sustituyendo (4) en (1) obtenemos: a2 + 3 = 7 ~ a2 = 4 ¢::> a = 2 6 a = -2

En (2) Y (3): Para a = 2 =} b = 1, c = 3; si a = -2 ~ b = 7/3 , c = 7

La segunda alternativa no satisface bc = 3, por 1 0 que

A = [ ~ ~ l •

( Ejemplo 8) Hallar la matriz P = ABCD, donde

'2 1 01 0

1 ' B [ ~1 0 1 n c=

1 -1 3

[ ~0 1

.~ ]= 1 -1 = 1 4 -1 0- 1 -20 -1 2 ' -

2 -1 0 0 2 0 1

3 1 0

Soiuclon. Se tiene A3X2 • B2xs • CSX3 • o = P 3x43x4

t j

Siendo el producto conformable, efectuamos primero el producto CD = E, lueqoBE = F Y finalmente AF = P.



396 Capitulo 8: Matrices----. ----------,---,-----------'------

0=

C=

2101 -1 3

1 4 -1

002310

o-1 ~ ~ J

[ i : ~ 1

1

o

A=

[ ~

4 12 -1

8 4

2 0

5 1

o1

o

1

-2

1

o 0

6 -3

-8 7

2 0

1 -1

"= E 5X4

-1 8

-3 12

-1 8

2 -41 4

-3 )-7

- n= P 3X4

= F 2X4

Sean las matrices A = [ ~ - : J . B = ( ~-2 10

6 -4

C=[

3 -1o 21 6

4 1

Si P = ABCD, hallar S = 2P12 + P '3 - 2P23

Soluci6n. Sean los productos AB = E YCD = F

[2 '-2 10 21

1B = 5 6 -4

[-1 -10 24 0 1 = E

26 18 14 11

-1

4C=

4 -6 -3

10 21 -2

10 10 22

11 3 1

3 -1 0

124

o 6 -2

4 1 1

Luego, si P = EF, entonces:I

P12 = ell L.= (-1, -10, 24,0) • (-6,21,10,3) = 36

P13 = e lj '~:3 = (-1, -10, 24,0) • (-3, -2,22,1) = 551

I'23 = e 2j fi3 = (26, 18, 14, 11) • (-3, -2, 22, 1) = 205

.. S = 2(36) + (551) - 2(205) = 213

=F

•

•



Seccion 8.9: Propiedades de fa multiplicacion de matrices 397

( ~jemplo 10 ) Halla! todas las matrices, conrnutativas con la matriz

A ~

( g1

1 130

B ~ [~

b

r Jotucion. Sean las matrices B E K3x3 tales que eh

~AB~ [

3 1 0

] [~

b c

][ 3 a + d 3b + e 3 c + f ]

0 3 _1 e f = 3d + 9 3e + h 3f + i

0 0 3 h 3g 3h 3i

~ BA ~ [

a b c

1 [ ~

1 0

] [3a a + 3b b + 3 C ]

d e f 3 1 = 3d d + 3e e + 3f

9 h 0 3 39 9 + 3h h + 3i

Como A Y B son conmutativas, entonees A B = B A , luego:

3a + d = 3a ~ d = 0, 3b + e = a + 3b ~ e = a 3c + f = b + 3c ~ f = b

3d + 9 = 3d => 9 = 0, 3e + h = d + 3e => h = d = 0 3f + i = e + 3f => i = e = a

39 = 3g 3h = 9 + 3h => 9 = 0

[ a ~ b~ c : ]. B = , donde a b, C E R

( Ejemplo 11 )

3i = h + 3i => h = 0

•

Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos euadrados

son iguales a la matriz nula e .

Solucion. Sean las matrices A E K'" tales que, A ~ [ ~

~ [~

~ [~

Si A2 = e ~ [ ~ ,

[

a2 + be=>

ac + de

ab + bd Jbe + d2



398 Capitulo 8: Matr i ces

de don de: a2 + bc - 0

ab + bd = 0 => b (a + d) = 0 <=>b = 0 6 d = -a

ac + dc = 0 = > c (a + d) = 0 <=>c = 0 6 d = -a

bc + d2 = 0

"Si en la segunda y tercera ecuaci6n b = 0 y c = 0 tendrfamos nuevamente la

matriz nula, por 1 0 que d = -a.

donde a, b y c son numeros arbitrarios que satisfacen la relaci6n a2 + b c = 0 •

( Ejemplo 12 )m

Oemostrar la propiedad: Li= I

Demostrecion. En efecto, desarrollando la primera sumatoria desde i = 1

hasta i = m se tiene:

=

[ i a1 i ]

+ [ ia2 1 ] + [ . t

a3 J ] + ... + [ . tam J

1J=I J=I J=I J=I ~

m

= L a i1 +i = 1

m m m

L ai2 + Iai3 + ... + L a i ni = 1 1=1 i= I

( Ejemplo'13 ) Oemostrar la propiedad: Tr (AS) = Tr (BA)

Detnostrecion. En etecto, sean las matrices conformables respecto de la

multiplicaci6n A = [ a..] y B = [ b . ] , de modo que si:n x r n IJ r n x n II

n n

Anxm Bm xn = Cnxn = > c ij = 2 : (aik ) ( b kj) = > c i i = I aik »;k = 1 k = 1

n n

S A =0 = > d.= L ( b ik) (akj

) ~ dkk = 2 : b

kia

iknx n nxrn m xm IJk = [ i = I

/

•



Seccion 8.9: Propiedades de fa multiplicacion de matrices 399

n

= 2 :i= 1

n n

Luego, Tr (AS) = Tr(C) = L (cjj) = L

i = = I i= I

Haciendo uso de. la propiedad del Ejemplo 12 se tiene:

:. Tr (AS) = Tr (SA)

•(Ej~mplo 1 4 ) . ( -1 i 1 (1 2i 1ean las matnces A = Y S = . .

2 4 I 1+1; hallar:

a ) Tr (A + S) , b ) Tr (AS) , c ) Tr (SA)

c) SA -- ( 1 j 12+ii [-21

4i J - - [ - 12++4

i9i J = > Tr(SA) =(-1+4i) + (3+4i) = 2+8i

3+41

Observese que: Tr(A+S) = Tr(A) + Tr(S) y Tr(AS) = Tr(SA) •( Ejemplo 1 5 ) Si A = [ aij ]4X4 . y S = [ b ij ]4X4' donde

1, Sl i=j -1, si i = l

a., = -1 si I> J , b..= 1, Sl I<J Hallar Tr (AS)I)

,IJ

0, Sl i<j 0, Sl i > j

Soluci6n. Escribiendo explfcitamente cada matriz se tiene




1 0 0

°-1 1 1 1

·· 1 1

° ° ,S °-1 1 1

A = =· · 1 n1 1

°

0 0 -1 1

-1 -1 -1 1 0 ° ° -1

Si AS = C => Tr(AS) = Tr(C) = C11+ C

22+ C

33+ C

44

C 11= a 'lJ bit ::::(1, 0, 0, 0) • (-1, 0, 0, 0) =-1

C22= a

2Jb

i2= ( - - 1 , 1, 0, 0) • (1, -1, 0, 0) = -1 -1 = -2

C33= a

3Jbi3= (·1, -1, 1,0)· (1, 1, -1,0) = -1 - 1 -1 =-3

= a b = (-1 -1 -1 1)· (1 1 1 -1) = -1 - 1 - 1 - 1 = -444 4J i4 '" '"

.'. Tr (AS) = -1°

y luego demostrar su validez por inducci6n.

sotucion.A' = [ ~ : J [ ~ : J = [ ~ ! ~ JA3 = A A ' = [~ : J [ ~ ' !~= [ ~ 3 3 a ~ ' l•

•

•

[

an

.. An = °

Para probar que la 'formula es verdadera, supongamos que: P(n) = An . Luego

si n = 1 => P(1) = A, en eleelo: A' = [ ~ : ) es verdadera

• [ all h ah.1)

Para n = h, supongamos que P(h) = Ah = O' es verdaderaall

Entonces debemos probar que para n = h + 1, tarnbien



E :JE RC IC IO S : Grupo 44 401

[

ah+1

P (h + 1 ) = A h+1 =

1 0(h+

1) a

h 1 es verdadera.ah+1

En efecto, valiendonos de la hip6tesis inductiva

[a

o

h+1 (h+ t)a

h 1ah+1

En consecuencia, hemos demostrado que:

• P(1) es V 1\ P(h) es V => P (h+1) es V

EJERCICIOS. Grupo 44

1. Calcular los productos:

a) [4 3

1 [ - ; ~93

1 [7 3

7 5 -126 2 1

[ ,0 0 0

[ -~-1

[ { 1

1 2b)

2 2 32

13 3 4

2 . Hallar a, b, c y d para que satisfagan la ecuaci6n

1 0 2 0

[~

b c

~ 10 0 1 1 [ ~

0 6 6

J9 0 1 0 0 = 9 8 4

0 0 1 0

0 2 -1 x 13. Si 2 0 1 Y = 5 , calcular x + y + z

-3 -1 0 z -3

4, Si [~ ~ 1

1 1 2 0

- ~ 11 3 0 1 2 [ 1 1 5 a

-2 0 3 0 0= -5 7 1

0 0 1 1

Hallar el valor de la suma S = a + b + c + d

5. Hallar una matriz X de orden 2x1 tal que AX = 3X, donde A = [ 2 ~ 1

12i

•



4 0 2 Capitulo 8: Matrices

6. Dada la matriz A = ( ~ 32

] , hallar el valor de A2 - 4A

7. Comprobar que las identidades algebraicas (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Y

(A + B) (A - B) = A2 - 82 no son ciertas para las matrices:

A = [ ~ -~ ] Y B = ( ~ n8. Si A' = B' = [ ~ ~ J AB = [ ~ - ~ J Y BA = ( - ~ ~ J hallar:

a ) (A + B ) 2 b) (A+B) (A - B)

/

9. Sean A = ( -3 2 J ' B = ( -4-15 8 -15 2 7 J Y f (x ,y )=x2- x y+y2

a) Verificar que A y B comutan b) Evaluar f (A,B)

10. SiIx) = 3x2 - 2x + 5, hallese el valor del polinomio f (A) para la matriz

•



EJERCICIO Grupo 44 403

, hallar la matriz M = A3 - 2A2

15. Para la matriz de A =

-2 -1 -3

1

5

16.Si A=

2 1 3

1 -1 2

1 2 1

1

2 , hallar (-A)3

3

6

U

-2

- ~ 1

2 5 -1 -7 3 6 0 -6

17.SiA= 1 B= -2 1 3 4 C- -1 2 4 5, -

2 3 2 1 2 4 3 2 3

demostrar que AB = AC (aunque B * C)

18. Sean las matrices A = [ ~ ; J y C = [3 7

i lJ B = [ 0 32 6

4 ' 1 81 4

Si P = ABC, hallar la suma: S = P , + t'2 + P23

19. Hallar todas las matrices conmutables con la dada

a) A = [ ; !

20. Sea A = [ -~ _~ l ' B = [ -~o

1

b) A = [~ : n- ~ J C = [ ~

1

1

o

y P = ABC, hallar el valor de la suma S = P11+ P 22 + P

33

21. Hallese todas las matrices de segundo orden, cuyos cuadrados son iguales a la

matriz identidad 12,

22. Determinar una f6rmula para cada una de las siguientes potencias, y luego

demostrarlo por inducci6n.

( 6 ~ r [1 1 1

r) ,n E Z+ c) 0 1 1 , n E Z+

0 0 1

[ Cos a. -Sen a. J " - [ 1 -1 -1

r)Sen C J . Cos (J.

,n E Z d) 0 1 -1 ,n E Z+

0 0 1



404 Capitulo 8: Matrices----------------------------------.--------------~~----------

[

10

e) Si A = ~ , 6o 1

1

o1

o0

~ 1 lI hallar An

-23. Una cornparila tiene 4 fabrlcas, cada una emplea administradores, supervisores

trabajadores calificados en la forma siguiente:

Fabrics 1 Fabrica 3 Fabrica 4abrica 2

Administradores 1 12

Supervisores 4 6 3

Trabajadores 80 96 67

4

75

Si los administradores ganan $ 350 a la semana, los supervisores $275 y los

trabajadores $ 200, cual es la nomina de eada fabrica.

(8~10: , . ) MATRICES CUADRADAS ESPECIALES

>,

Consideraremos en las seeciones siguientes las matrices euadradas

que presentan eiertas caracterfsticas que las tipifican, entre otras, destacaremos las

siguientes:

Dada una matriz A = [8jj] E K», si oeurre que [8jj] = [8jd I '\j i, j

diremos que A es una matriz sirnetrica. Si designamos con A' a la matriz [8jJ y si es

el caso que A=A', la matnz A es simetrica y tarnbien, para una eonstante A cual-

quiera, AA es sirnetrica:

Por ejemplo, si A = [ ~

C8.~. ( l~1")MATRICES SIMETRICAS

2

-6

~ 1, se tiene: A' = [ ~

o

Como A = A', entonces A es una matriz sirnetrica y tambien

A A = (1 /2 ) A = [ l1

1 2

-3 0

o 4

es simetrica

2

-6

o ~ 1

-



Seccion 8.10: Matrices cuadradas especiales 405

TEOREMA 8.1 Si A es Una..matriz cuadrada de orden nla matriz A+ A'. ." .' '.

es simetrica, . .

Demostracion. Sea la matriz A = [a..], entonces A' = [a... Si lIamamos B = [ b . ] a laI) II IJ

matriz A + A' probaremos que B es sirnetrica.

En efecto, el elemento de la fila i y la columna j de A es aij

y el correspondiente de A'

es ajj

, por 1 0 tanto:

(1 )

EI elemento de la fila j y columna i de A es aji

y el correspondiente de A' es ajj, de

modo que:

b . . = a..+ a..)1 )1 I) (2 )

De (1) Y (2) se sigue que: bij= b)i

En consecuencia, B = A +A' es una matriz sirnetrica

(8.10.2) MATRIZ ANTISIMETRICA

Una matriz cuadrada A = [ aij

] para la cual A = [ ail J = -A recibe el

nombre de matriz autisinietrica 0 hemisinietrica.

En una matriz cuadrada A antisimetrica se verifica que

[ a .] = [ -a . . J , \i i jII )1

= [ - ~

2-3 ]

[ j-2 3

]Ol'ejemplo, si A 0 -1 ocurre que: A' = 0 1

1 0 -1 0

Como A' = -A , entonces A es una matriz antisirnetrica

I OBSERVACION 8.8 En una matriz antisirnetrica los elementos de la diagonal

principal deben ser cera.

.,. '; . ,

TEOREMA 8.2 Si A esuna matriz cuadrada de orden n, 1 0 : matriz A-A' es

antisimetrica.

Demostraci6n. En efecto, considerando que ( A + B ) = A' + B' se sigue que

(A - A' )' = A'- (A' )' = A'- A = - ( A - A' )

Por 1 0 tanto, A - A' es antisirnetrica

Par ejemplo, si A = [ - ~ ~ : ~ ] =:} A' = [ J-1

o-3



TEOREMA 8.3 Toda rnatriz cuadrada A se puede descomponer en fa

surna de una rnatriz simetrica A = 1 /2 ( A + A ' ) y otra5

antisirnetrica A a = 1/2 ( A - A ' ) .


luego, A - A' = [ - !2 -4 0 -2 4

[ -~2 -4

0 -6 Y ( A - A' )' = 2 0 6 - 0 -6

6 0 -4 -6 0 6 0

\,

de donde, ( A - A ' )' =.- (A - A ) , por 1 0 que, A - A ' es antisimetrica

Una matriz A se puede escribir como

A = A + _1 A ' _ _ 1 A ' = _1 (A + A ' ) +_1 (A - A ')2 2 2 2

Oadoque: 1/2(A+A ')'= 1/2(A+A ') Y 1/2(A-A')'=-1/2(A-A')

escribiendo, A~ = 112 ( A + A') Y Aa = 112 ( A - A'), entonces As es una matriz

simetrica y A a es antisirnetrica. En consecuencia, hemos expresado as! la matriz

cuadrada A como la suma de matriz sirnetrica y una antisirnetrica, esto es, en (1)

Demostrecioti .

(1 )

A = As + Aa

[ ~

-2 3

1[1 1 2

U-3

- ~ 1or ejemplo : -3 -2 = 1 -3 0 + 0

2 4 2 0 4 2

J, J, J,

A = As + A a

Una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son todos

uno y los otros elementos son todos ceros, recibe el nombre de niatrir identidad 0

matri: unidad. Se denota generalmente con In ' esto es

( 8.10.3) MATRIZ IDENTIDAD

(6)

Adernas : Tr ( I n ) = n




Si A, B, C Y D son matrices del rnismo orden tales que

BC = CB = I,AD = DA = I; hallar usando propiedades

a ) (AB) (CD) b) (A+S)2 c) (A+D) (A-D)

(M.1 )

(M.1 )

(Dato)

(M.6)

Soluci6n. a) (AS) (CD) = A [ B (CD) ]

= A [ (BC) D ]

= A [ 1D ]

= AD

.. (AB)(CD) = J

b) (A + B)2 = ( A+B ) ( A+B ) = (A+B) A + ( A+B) B (M.2)

= A2+ BA + AS + B2 (M.2)

c) (A+D) (A-D) = ( A+D ) A - ( A+O ) D (M.2)

= A2 + OA - AD - 02 (M.2)

= A2+ I - I - 02 (Data)

= A2 - 02 •( Ejemplo 2 ) Si A Y B = a. A + ~ 1 son matrices del mismo orden, donde

a y ~ son escalates; demostrar que A y B conmutan.

Demostraci6n. Debemos probar que AB = BA

En efecto, AB ;::::A (a . A + ~ I )

= a.AA+~A1

= (a . A + ~ I ) A = SA •

(Ej~MPlo3 ) Hallar el valor del polinomio f (A) de la matriz A = [ ~ ~ J

si!(x)=3x2 -4

Soluci6n. Si f (x) = 3x2- 4 ~ f (A) = 3A2 - 41

A2= [ ~ ~ ] [

2~ ] = [

4

: ]0

" '" f(A ) = 3 [ 4 : ) - 4 [ ~ ~ ] [ ~ 1 5 ]. 0 23 •,




[ ~ J V Z E C, se definek! '

00

Dada la formula e Z = Lk = = 1

e A = i [ ~ l ' V A= () k!

a) Demostrar que e 1 = e I = e[

00 01 11]b) Hallar e", si A =

000'

Soluci6n. a) En la definicion dada, para A = I se tiene

- -

00 [ I n 1 00 [ I 1 " ' " [ 1 11 =I -:::I - = II -k = = ( ) k! k = ) k! k = () k!

(1 )

Ahora, en la torrnula dada, para Z = 1 obtenemos: e ' = Lk=()

Por 1 0 tanto, en (1) : e ' = I e =

b) Desarrollando el segundo miembro de la definicion se tiene :

, A O A 'eA =- + - +

O! 1!

A2 A3 A"+ - +...+- = I + A

2! 3! 00 !

A2 A3+- +-+ ...

5 6

[ ~

1 1

[0 1

i [0 0 1

A2= 0 1 0 0 = 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

[ ~

1 1

[0 0

n [0 0 0

A3= A A2 = 0 1 0 0 = 0 0 0 = 8

0 0 0 0 0 0 0

Luego, en (2) : eA I + A +1

A2= -2

1 0 0 0 1 1

+ [ ~o 1 / 2 ] [ 1 1 3 / 2 ].. e A

= 0 1 0 + 0 0 1 o 0 = 0 o 1 •

0 0 1 0 0 0 000 o 1

(2)




MATRIZ DIAGONAL

Una matriz cuadrada de la forma 0 = [kj djj] en la que k

jpuede variar

sequn i, se llama matri; diagonal. Se representa usualmente por

o = diag (d ", d22

, d33, ..... , dnn)

y tiene la propiedad de que

o n = diag (dO,l' d n22

, d n33

, ...•. , dnn n )

Por ejemplo, sio-2

o~ 0 = diag (3, -2, 4)

~ 02 = diag (9, 4, 16) , 05 = diag (27, -8, 64)

( 8.10.5) MATRIZ ESCALAR

Una rnatriz cuadrada E = [ k 8.. ] = k I, para cualquier constante k,I) n

recibe el nombre de matriz escalar.

Asi, la matriz

o4

o ~ J en la que ,E= 4 I, es una matriz escalar

( Ejemplo 5 ) Sea 0 = [d.] tal que: d. = i, si i = j Y d = 0, Sl I ;t j Y A = [akl

]II II I)

tal que: ak l= i si i = k Y a

kl= a , si i;t k donde A, 0 E Kn. Hallar

Soluci6n. 0 es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal princi-

pal varian sequn i, esto es: 0 = diag (1, 2, 3, ..., n )

~ o n = diag (1, 2n, 3n, ... , nn)

A es una matriz cuyos elementos de la diagonal principal varian sequn y

los dernas elementos son todos a , esto es

1 a a • •••• a

a 2 a • •• •• a

a a 3 ••••• a

A= • • • • •••• •

• • • •• • • •

a a a • •••• n



3 3

2 2o 6

o 0 l1


1 a2n a3n • • ••• ann

a 2n+1 a3n ••••• ann

a a21l 3nn+l • •••• ann

ADn = • • • •.

• • • •• • • •a a2n a3n ••••• nn+l

C8~10.6~ MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

La matriz cuadrada A cuyos elementos situados debajo de la diagonal

principal son todos ceros, se llama matri: triangular superior. Esto es, a j i = O , si i > j

A - - [ o ~ 1or ejemplo : es una matriz triangular superior

(8.10.7) MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Una matriz cuadrada A cuyos elementos situados por encima de la

diagonal principal son todos cero, se llama matri; triangular inferior.

Esto es, a ..= 0 ,si i < jIj

[~O · 0

°

1Por ejemplo : A=

2 0 0es una rnatriz triangular inferior

5 1 0

3 2 1

C8~1fl.8) MATRIZ PERIODICAi

rre que:

Dada la matriz cuadrada A, si para un numsro entero y positivo p, ocu-

(7)

se dice que A es una matri: periodica, de perfodo p.

Si A es una matriz cuadrada y peri6dica tal que AS= A, hallar

el perfodo y calcular A99.

Soluci6n. De la relacion (7), si Ap 1 = AS =} P + 1 = 5 ¢=} P = 4 es el

perfodo de la matriz.




Multiplicando sucesivamen te, por si m ismo, la ma triz A ob tenemos

A5 :: : A A9 ::: AA A~ ~r"__ --J , / ,

AxAxAxAxAxAxAxAxA ...

Se observa que: A9 :::

A13 :::

••

•Ap+l :::

A99 :::hora b ien :

A4X2+1

A4x3+1

::: A

A::

= A

= A2 (A )

•( Ej~Mplo.7 )

[ -1-1

- ~ 1iA= ~

0 , ha lla r A2 5

0

[ -1-1 -1 -1 -1 -1 1 0 0

Soluci6n. A2 = A x A ::: o 0 0 0 0 0 ::: 0 1 0 ::: I

0 1 0 0 1 0 0 1

[ Ejemplo8. ) Si A=

Lu.ego, A3 ::: A2 A :: : I A ::: A = > P + 1 ::: 3 ~ P ::: 2 es el perfodo de la ma triz A .

SoJuci6n. A'=AxA= [ ~

Entonces:

.. A2 5: :: A2X12 +1 :: A

[!-11

o

•

~ 1 ca lcula r A 1 00-1 '

- ~ ) [ ~ - i - ~

1

0 -1 0

111

o 0 -1

-1

1

o

= [-~ -~ -~

: : : [ - ~ - ~ ~ ] : : : - 1o 0 -1

A'=A'A= [-~ -~ -~

A4 :: : A3 A ::: (-I) A ::: -A

AS ::: A 4 A :: : (, .A) A : :: _ A2

A6 ::: A SA = (_A2 )A ::: _ A3 : :: - (-1) ::: I = > A7 ::: A 6 A :: : IA ::: A




Luego, p + 1 = 7 ¢=> P = 6 es el perfodo de la matriz A

:. A 100 = A3 ( A 97 ) = A3 ( A6X16+1) = A3 (A ) = A4 = - A •

IOBSERVACION 8.9 Matriz Idempotente- - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Si en la formula (7) p = 1 esto es, A 1+1= A2 = A , entonces la

matriz A se llama idempotente.

Establecer si la matriz A= [ - ~

-1

- ~ - ~ 1 es idempotente

[ -12 4

1 [

- 1 2 4

[ -~2

- : 1Solici6n. A2 = A x A = 1 -2 - 4 1 -2 - 4 = -2 =A

- 1 2 4 - 1 2 4 -1 2

Por 1 0 tanto, la matriz A es idempotente. •[ 2 -3

-5

[ -~3 5

( E jeO lp lo 10 ) Si A= - 1 4 5 yB= - 3 -5 , hallar A S87

1 - 3 - 4 - 1 3 5

2 - 3 -5 2 - 3 -5 2 - 3 -5

Soluci6n. A2= - 1 4 5 - 1 4 5 = - 1 4 5 = A (A es Idempotente)

1 - 3 - 4 1 - 3 - 4 1 - 3 - 4

Entonces: AS = (A2) 2 A = (A )2 A = (A ) A = A2 = A

[ - 1 3 5 - 1 3 5 [ - 1 3 5

82 = 1 - 3 - 5 1 - 3 -5 = 1 - 3 - 5 =8 (8 es Idempotente)

- 1 3 5 - 1 3 5 - 1 3 5

Luego: 87 = 8 (82) 3 = 8 (8)3 = 8282 = B x 8 = 82 = 8

2 - 3 -5 -1 3 5

= [

0 0 0

:. AS 87 = -1 4 5 1 - 3 -5 0 0 0 = e •- 3 -4 -1 3 5 0 0 0

I OBSERVACION 8.10 Matri; Nilpotente

Una matriz A, para el cual A P = 6, siendo p un nurnero

entero y positive, se llama nilpotente de indice p.



Seccion 8.]0: Matrices cuadradas especiales 413

[ 1 1 3

Determinar si la matriz A= 5 2 6 es nilpotente

-2 -1 -3

N = A X A = [ ~1 3

l U1 3

1 = l ~

0 0

1Soluci6n. 2 6 2 6 3 9

-2 - 1 -3 -1 -3 - 1 -3

A 3 = N X A = [ ~0 0

l U1 3

1[0 0 0

] =9 2 6 = 0 0 0 8

- 1 - 1 -3 - 1 -3 0 0 0

Por 1 0 tanto, A es una mattriz nilpotentede indice p = 3 •I OBSERVACION 8.11 Matriz Involutiva

Una matriz A tal que A2= I, se llama involutiva.

]2 )

-3 -6 2

Determinar si la matriz A= 2 4 -1 es involutiva.

230

Soluci6n. [- 3 - 6 2 ] [ - 3 - 6 2 ] [ 1

A2= A x A = 2 4 -1 2 4 -1 = 0

230 230 0

o

1

o

Por 1 0 tanto, la matriz A es involutiva.

Si A es una matriz involutiva

a) Demostrar que 112 (I + A) Y 1/2( I - A) son idempotentes

b) Calcular la matriz P = 1/2 ( I + A) ( 1 - A)

Soluci6n.~

a) Sea 8 = 1/2 (I+A) ;;:;:}82 = 1/4 (I+A) (I + A) = 1/4 (12+ IA + AI + A2)

= 1/4 (I + A + A + 1) = 1/2 (I+A)

Como 82= 8 entonces 1/2 (I+A) es idempotente

Sea C= 1/2 (I -A) ;;:;:}C2 = 1/4 (I - A) (1 - A) = 1/4 (12- IA - AI + A2)

= 114 (I - A - A + I) = 112 (I - A)

Luego, C2 = C ;;:;:}1/2 (I - A) 'es idempotente

b) P=1/2 (I-A)(I+A) =1/2(P+IA-AI-A2) =1/2(I+A-A-I)=8 •




Si A Y S son matrices involutivas y AS = SA = [ - !hallar la traza de la matriz X = ( A + B ) 2 . "

SoJuci6n. X = ( A + B ) ( A + B ) = A 2 + A B + B A + B 2 = A 2 + 2 A B + B 2

Como A y B son matrices involutivas ~ A 2 = B 2 = I

6 0

1 2

3 -5

-

Luego X = 2 1+2 A B = [~ ~

o 0

.. Tr (X) = 8 + 4 - 8 = 4

(8,,10.,9) MATRIZ TRANSPUESTA

Dada una matriz A de orden m x n, se llama matri: transpu sta de A, se

denota A t , a la matriz de orden n x m cuyos elementos se obtienen intercambiando

las filas por las columnas.

Por ejemplo, A = [ ~2 3

1 2

-4 5

1 -4 1 ' la transpuesta es A t =2 5

Si AI Y BI son, respectivamente, las transpuestas de las

matrices A y B, conformables respecto de la adici6n y

multiplicaci6n, y A un escalar cualquiera, entonces se cumplen las siguien'tes pro-)

piedades.

Propiedades .

T.1: ( A t )t = A

T.2: ( A A ) t = A N

T.3: ( A + B ) I = A I + B '

T.4: ( A B ) I= B t A t

T.5: ( I n ) I= I n

Demqstrar la propiedad T.4 : ( A B ) t = B t AI

Demostrecion. Sean A::;: [aij] una matriz de orden m x n

B = [ b , , ] una matriz de orden n x pII

Si hacemos A B : : ; :C, entonces C ::;:[cij] es una matriz de orden m x p.

EI elemento de la fila i y la columna j de AB es

•



Seccion 8.10: Matrices cuadradas especiales

k = l

que tarnbien pertenece a la fila j y colum na i d e (A B)t

n

Luego, si (AB)t = C' ~ c ji = I. (a jk ) (bk i)k : ; : ; l

Supongam os que 8t= [x iJ ta l que [X 1 k ] = [ b k J

y A t = [ Y k j] ta l que [Y k j] = [akJ

n n n

En ton ces : B t A t = I. ( X ik ) ( Y k l) = I. ( b k ) (a jk ) = I. (a jk ) ( b k )

k = l k = 1 k = l

com pa ra ndo (2 ) con (1 ) se conc luye que

(AB)I = B'A '

Sean la s m a trices A = [: ~ ~ 1 y B = [1 ~ 2 1~ 5 ~ 1-3 1 -3 0 0 1

( Ejemplo 16 )

S i (AB) t + X = 2 (B t + A), ha lla r la tra za d e la m a triz X

Soluci6n. De la ecuac i6n d ada se tiene: X = 2 A + 2 B t - B ' A t

Un elem en to cua lquiera de la m a triz X es

x . . = 2 a .. + 2 b .. - ( b 'k

) ( ak· )

II II II I I

Xli = 2 a11 + 2 b 1 1 - (b 1 k ) (a k1 ) = 2 (1 ) + 2 (1/2) - (1/2, 0 , 0) (1 , 4, -3 ) = 2 .5

X2 2 = 2 a2 2 + 2 b 2 2 - (b 2 k ) (a k2 ) = 2 (0) + 2.(1/5 ) - (3,1/5 ,0 ) (2 ,0 ,1) = -5 .6

X33 = 2 a33 + 2 b 2 2 - (b 3 k ) (a k3 ) = 2 (-2 ) + 2 (1 ) - (0 , 0 ,1 ) (1 , 5 , -2 ) = 0

:. Tr (X ) = 2 .5 - 5 .6 + 0 = -3.1

[

1 3 1

Y B = -6 -2 .05 6-8

515

Sean la s m a trices A = -3 6 32 -4 2

Si (A t + B)' = 2 ( X - At) + 3B , ha lla r la sum a de la s com po-

n en tes de la tercera fila de la m a triz X .

Soluci6n. Haciendo uso e la s propiedades T.3 y T.1 , se tien e :

(AI) t + B ' = 2 x - 2 A ' + 3B ~ X = 1/2 (A + Bt + 2 A t - 3B)

Luego : X31= 1/2 (a31 + b13+ 2 a '3 - 3 b 3 ,) = 1/2 [2 + 1 + 2 (5 ) - 3 (5 ) ] = -1

X

32

= 1/2 (a32+ b

2 3+ 2 a

2 3- 3b

32) = 1/2 [ -4 + 0 + 2 (3 ) - 3 (6 ) ] = -8

X33 = 1/2 (a 33 + b 33 + 2 a33 - 3b 33 ) = 112 [ 2 - 8 + 2 (2 ) - 3 (-8 ) ] = 11

415

(1 )

(2 )

•

•



416 Capitulo 8: Matr i ces

•

Si A= [~ -~ ~

3 2 1[

1 3 0

Y B = -2 1 -2

o -1 4

\.

hallar el valor de la suma S = C21+ C

31+ C

23

y C = (AB)! - B,

Soluci6n. Si C = (AB) - B =} Cij= (bk ) (ajk ) - b

ij

=} C21

= (bk2) • (a

1k) - b

21= (3,1, -1) • (0, -1,3) - (-2) = -2

C31

= (bk3) • (a

1k) - b

31= (0, -2, 4) • (0, -1,3) - (0) = 14

C23

= (bk2)· (a

3k) - b

23= (3,1, -1)· (3, 2,1) - (-2) = 12

.. S = -2 + 14 + 12 = 24

Dada la matriz A = [ ~ 1~ :

4 5 21

triangular inferior B, tal que: BB! = A.

( Ejernplo 19 ) hallar la matriz

Soluci6n. Sea 8 = [ ~ : ~ 1 ~ 8' = [ ~

b d

c eo f

[

a 2

= ab

ad

b

C

o

d

e

f

o

c

e

oof

ad

bd + ce

d2 + e2 + f2

a

oo

entonces, por la igualdad de matrices se tiene

a2 = 4 , ab = 2 J ad = 4

ab = 2 , b2

+ d = 10 , bd + ce = 5ad = 4 , bd + ce = 5 , d2 + e2 + J 2 = 21

de donde obtenemos : a = 2, b = 1, c = 3, d = 2, e = 1, J = 4

. . 8 = [ 1 ~ nMATRIZ HERMITtANIA

] =424

2 10 5

4 5 21

•

Una matriz cuadrada y compleja A se denomina herniitiana si es igual

a la transpuesta de su conjugada.



Seccioti 8.10: Matrices cuadradas e peciales 417

Una matriz compleja es aquella que tiene como elementos a los nurneros complejos

por ejemplo, una matriz compleja es

[ : / ;3 + i

1 ; ; ]= 3

-I 1 + i

Y su conjugada, denotada por A , es:

= [ 3~;

3-i -i

J

1 3+i

1 ; ; 1A 3 1+i => ( A ) 1 = 3-i 3 = A

1-i 2 -I 1+i

vemos que A = ( A )1 , luego, A es una matriz hermitiana.

I OBSERVACION 8.12 En una matriz hermitiana los elementos de la diagonal prin-

cipal son numeros reales.

(8.10.11) MATRIZ INVERSA

Si A E K'\ se dice que A es inversible si existe una matriz B tal que

AB = 10 BA = I, para los que B recibe el nombre de matri: inversa de A y se denota,,

B = A'. Del mismo modo, la matriz A es la inversa de B y se escribe, A = B-'.

PROPIEDADES . Si A Y B son matrices cuadradas de orden n, inversibles,

entonces se cumplen las siguientes propiedades

P I.1 : A A' =A' A = I

P I.2 : (A- ' r' = A

P I.3 : Si AB = BA = 1 = > B =A'

P I.4 : (A B)- ' = B-'A'

PI.5: (AI)-' = (Al)1

( Ej~mpl0 2~ ) Demostrar la propiedad PI.4 : (AB)-' = B-' A'

Demostraci6n. Por la definicion de matriz inversa debemos probar que

En efecto :

a) (AB) (B-1A' ) =.A (B B-1) A '

= A ( 1 )A'

=AA'

=1

(M.1)

(P I. 1 )

(M.6)

(P ; I. 1 )



=> (AA,) t = P = I

=> (A:')' N = IMultiplicando ambos extremos por ( N ) - ' se tiene

(A,) t At (A ' ) : ' = I (AI)- '

~

I

.'. (A') I = (At) - ' •


b) (B-'A-') (AB) = B-1 (AI A) B

= B-' ( I ) B

= B-1B

=1

En consecuencia, de a) y b) se concluye que:

(A B ) - 1 = B - ' A'

(M.1 )

(PI.1)

(M.6)

(P I.1 )

•Demostrar la propiedad PI.5: (A: ' ) ' = (At) - '

Demostraci6n . En efecto, por la propiedad P I. 1 : A A-I = I Y por T_5 : I' = I

Demostrar que la inversa de una matriz, si existe, es unica.

Demostraci6n . En efecto, suponqarnos que existe dos matrices B y C,

tales que:

A -' = B Y A -' = C, siendo B ;t C

Entonces por definicion: AB = 1 = SA

AC = I = CA

De estas dos igualdades se deduce que: AB = AC

esto es, AB - AC = e => A (B - C) = e

Dado que existe A', entonces A " * e , por 1 0 que: B - C = e ~ B = C

Lo que contradice la hipotesis. En consecuencia :

La inversa de una matriz es unica.

) Si M = I - X ( X I X ) -'X I con X = [ Xii] nxl ' simplificar al maximo

la sum a : S = I + M + M2+ M3+ + MP,donde P E Z +

Soluci6n. M2 = [ I - X ( X I X)·' X I] [ I - X ( X I X)-' X l]

= I - X ( X I X )-1 X I - X ( X I X )-'XI + [X (X I X )·l X l] [X (X I X )-1 X I]

\"---"""v

= M



Seccion 8.]0: Matrices cuadradas especiales 4 1 9

Luego:

= M - X (X l X )-'X I + X [(X I X )-l (X I X )](X t X )-lX I

= M - X (X I X )-l X l + X [ I] ( X l X ) -lX I

= M - X (X I X )-lX I + X (X I X):' X l

M 2 = M ·=> M 3 = M M 2 = M(M ) = M 2 = M

M 4 = M2M2 = (M ) (M ) = M 2 = M => M p = M

.. S = I + M + M + M + + M = I + pM •(8.10.12) INVERSA DE UNA MATRIZ TRIANGULAR

Si A es una matriz triangular inferior y X su inversa, como por

definicion AX = I, entonces

all 0 0 • • • • 0 X11 X12 • • • • x1n 1 0 0 • • • 0

a21a22 0 ·'... 0 X21 X22 • • • • x2n

0 1 0 • • • ,0

a31 a32 a33 • • • • 0 X31 X32• • • • x3n 0 0 1 • • • 0

• • • • • • • • • • •

• • • • • • • = • • • •• • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • •

an1 a • • ••• ax

n1xn2

••• • xnn

0 0• • •

• 1n2 nn

Por la multiplicacion e igualdad de matrices, el producto de la primera fila de A por la

primera columna de X es 1, esto es

(all' 0, 0, 0 0)· (X l1 , X21' X31 ' , xn1) = 1 => X11 = a11 -1

Ahora efectuando el producto interne de Japrimera fila A con las columnas restantes· '

de X y aplicando la igualdad, resulta que

X12 = X13 = X14 = = x., = 0

AI multiplicar la segunda fila de A con la segunda columna de X, esto es

De igual manera, del producto interne de la segunda fila de A por las otras c.olumnas

de X se concluye que

X21

= X 23 = ..... = x2n = 0

Reiterando el proceso hasta la n-esirna fila de A podemos concluir que si una rnatriz

triangular inferior A es inversible, entonces :

1. Todos los elementos de la diagonal principal deben ser diferente de cero.




2. La inversa A - l es tarnbien una matriz triangular inferior.

3. Los elementos de la diagonal principal de A - l son los nurneros

(a1,)-\ (a22) - 1 , (a33)-l, .............. , (ann)-l

Por 10tanto, la ecuaci6n matricial anterior se convierte en \.

all 0 • •• 0 (alJ1 0 • •• 0 1 0 0 ••• 0

a21 a22 • •• 0 X2l (a2Jl • •• 0 0 1 0 • •• 0

• • • • • • • • •• • • • • • • • • (8)

• • • • • • • • •• • . . • • • • • •• • • • • • • • •

anl an2 • •• a Xnl X • • • (a

nn

)-' 0 0 • • •• 1

nn n2

Por analogfa establecemos que si A es una matri: triangular superior, entonces A

tiene una inversa si y s610 si no existe ceros en la diagonal principal; Al es una

matriz trianqular superior y para calcular A' se debe resolver la ecuaci6n rnatricial,

an a12• •• aln (a1,)-1 X'2 • •• <. 1 0 0 ••• 0

0 a22 ••• a2n "'0 (a2J' ••• x2n 0 1 0 ••• 0

• • • • • • • • •

• • • • • • • • • (9)=• • • • • • • • •

• • • • • • • • " .• • • • • • • • •0 0 • •• a 0 0 • •• (ann)-l 0 0 • • •• 1nn

-

Las ecuaciones (8) y (9) nos permite deducir la inversa de una matriz diagonal (Trian-

gular superior e inferior ), esto es :

Si o = diag ( all' a22.a33, ............ , ann), entonces

D :' = diag (a11-" a22- 1 , a33-" ••••••••••• , a n n - i ) (10)

Determinar, si existe, la inversa de la matriz

A = [ - ~

o2

2 ~ 1

Soluci6n. La matriz A es inversible, puesto que no hay ceros en la diagonal prin-

cipal. Por la ecuaci6n matricial (8) resolvemos la ecuaci6n :




[ 1-0 0

[ X2~

0

o 1 [ 10 0

A A' = I =} -1 2 0 1/2 o - 0 1 0

1 2 3 X 3,X

321/3 0 0 1

Para calcular X21se efctua el producto escalar de la segunda fila de A por la primera

columna de Al, esto es

(-1,2,O)·(1,x21' X3,) = 0 ~ x2,=1/2

A continuaci6n se efectua el producto escalar de la tercera fila de A por la primera

columna de Al, es decir :

( 1, 2, 3 ) • ( 1, 1/2, X31) = 0 =} X31= -2/3

Finalmente se calcula el producto escalar de la tercera fila de A por la segunda

columna de A-', esto es

( 1, 2, 3 ) • ( 0, 1/2, X 32) = 0 =} X32

= -1/3

A ~ [

1 0

°J

.. 112 1/2 0 •2/3 -1/3 113

[ 3 0 0

Y B ~ [0 -4 -1

( EjeMplo25 ) Si A= 1 2 0 0 5 5

5 -3 5 0 0 -2

hallar la suma de los elementos de la diagonal principal de la

matriz M = 3A-l - 2B-1

Soluci6n. Como las matrices A y B son triangulares se tiene :

mll= 3(a1,)-' - 2(b,,)-' = 3 (1/3) - 2 (1/2) = 0

m22 = 3(a22) - 1 - 2(b22)-' = 3 (1/2) - 2 (1/5) = 11/10

m33= 3(a3J' -2(b33)-' = 3 (1/5) - 2 (-1/2) = 8/5

__ Tr (M) = 11/10 + 8 /g = 2.7 •2 0 0 0

( E j~ Iq~ I~ :

2 6 ~ 1Si B es la inversa de la matriz A=

4 -1 0 0

3 4 5 02 3 4 - 6 -

hallar el valor de la suma S = b21+ b32+b33




sotucion . A es una matriz triangular inferior, luego, por la ecuacion matricial (8)

se tiene

2 0 0 0 1/2 0 0 0 1 0 0 0

4 -1 0 0 b21

-1 0 0 0 h 0 0=

3 4 5 0 b31

b32

1/2 0 0 0 1 0

2 3 4 -6 b41

b42

b43

-1/6 0 0 0 1

Efectuando el producto escalar de la segunda fila de A por la primera columna de 8

se tiene :

(4, -1, 0 ,0)· ( 1/2, b21, b

31, b

41) = 0 ~ b

21= 2

Del producto escalar de la tercera fila A por la segunda columna de 8 se tiene :

( 3,4,5,0) • (0, -1, b32, b

42) = 0 ~ b

32= 4/5

De la matriz 8 obtenemos: b33

= 1/5

:. S = 2 + 4/5 + 1/5 = 3

(C jem plo 27) Sea A = [ai)una matriz triangular superior de orden n, tal que

a . . = 1 si i ~ j. De la matriz 8 = A 3 , hallar la suma de los'I

elementos b..para los cuales:'I

a) i = 2, j = n b) i = 3, j = n-3 c) i = j

Solucion , Sequn la definicion construimos la matriz triangular superior

1 1 1 • • • 1

0 1 1 • • • 1

0 0 1 • • • 1

A= • • • •• • • •

• • • •

0 0 • • • • 1

AI efectuar el producto AA = A2 , obtenemos :

1 2 3 4 • • • n-1 1

0 1 2 3 • • • n-2 n-1

0 0 1 2 • • • n-3 n-2

A2 = • • • • • •

• • • • • •• • • • • •0 0 0 0 • • • 0 1

•



EJERCICIOS : Grupo 45

1 3 6 10 •

0 1 3 6 •

0 0 1 3 •

A3= A A2 = • • •

• • •

• • •

• •

• •

423

• 1/2 (n-t)n 1/2 n(n+1)

• 1/2 (n-2)(n-1) 1/2 (n-1)n

• 112 (n-3)(n-2) 1/2(n-2)(n-1)

• •

• •

• •

• • •

• •

Luego,para: i=2, j=n ~ b2n=1/2(n-1)n J

i = 3, j = n-3 ::::} b3(n.3)= 1/2 (n - 4) (n - 3)i = J O : : : : } b..= 1

IJ

.'. S = 1/2 (n - 1) n + 1/2 (n - 4) (n - 3) + 1 = n2 - 4n + 7 •E.JERCICIOS : Grupo 45

1. Para la matriz A = [ ~ ~ ) , verificar que A2 - 2A - 5 1=8

2. Comprobar que la matriz A = [3 1] es una soluci6n de la ecuaci6n-1 2

A 2 - 5A + 71 = e3. Se dice que una matriz A es ortogonal, si su inversa es igual a su transpuesta, es

decir, A - l = At ° Comprobar que la matriz

A = (cos x -Sen x] es ortogonal. (Suqerencia : Probar que AAt = AtA = I )Sen x Cos x

4. Sea A = [ 1 0] ,demostrar que A2 = 2A - I Y hallar An-1 1

5. Dadas las matrices A =[1 -3 J B = [4 -1 J5 Y 2 6 ' hallar X en:

(AB)t + X = 2(8t + A).

6. Hallar el valor del polinomio f.(A) de la matriz A

a) f (x) = )(2 - 3x + 1, A - ( 1 2 J- -1 3




hallar la matriz X de la ecuaci6n matricial : (AS + 2X ) ' = 3A - 2 8 1

1 -14 2

5 6

o 2

b ), f ( x ) =[

-1A=

2

A = [ ~

8X3 + 2X2 + X - 3,

c f f ( x ) =

7. Sean : f ( X ) = X 2 _ X + 3 , A= (~ ~ J Y B= [~ - !lvaluarf(A+B)

8. Dadas las matrices A = [ ~ ~ - ~ ]-2 1 2

despejar X de la ecuaci6n (A + 8 + X )I =2 (A I - B)

A =[

- 2 1 _ ~ 1 o ~ ]. Dadas las matrices

hallar la matriz X, si (A + 4B - 2X ) t = 3(N - 2B)

10. Sean las matrices A - [~ ~ -~ J- -1 3-2

11. Dadas las matrices A =

4 120

o -3 1 21 0 3 -1

2 -2 -1 4

hallar la matriz X , si ( 2 A - 3B )t - 2 X = S - A

12. Dadas las matrices A = [-!- i i ]

Y B =

3 -2

1 22 0

1 3

y la ecuaci6n 1 / 2 ( X - 3A) = (A t - 28) t + A t; hallar la suma de las componentes de

la segunda fila y la suma de las componentes de la tercera columna' de la matriz X.

13. Sean las matrices A = [~ ~ ~~J-1 0 1

y S = [~ ~ -~]-2 9 2

y C = (1, -2, 3)x

S = Y

z

Si B t A = C, hallar el valor de la suma S = x + y + z.



EJERCICIOS : Grupo 45 425

14. Demostrar que las matrices A =[ -~

son idempotentes y permutables.

- 2 - 4 ] [ - 14 Y B= 1

-2 -3 -1 - ! •

15. Sean[

-1

A== 1

-1

-2

2

-1

B= y C = [- 5 - 8 0 ]

~. ~ -~

Demostrar que las matrices dadas son idempotentes y adernas permutables dos

a dos, dando en cada caso la tercera.

[ -~- 3

- : ]6. Mostrar que A= 3 es una matriz nilpotente de fndice 2.

3

[ :- 1

-1 ] [ 43

- ~ J son matrices involutivas.7 . Mostrar que A= -3 4 Y B = - 1 0

- 3 4 - 4 - 4 - 3

[ - ;

-8

-~

]8 . Si A Y B son matrices involutivas y AB = BA = 5

2

hallar la traza de la matriz M = (A + B)2.

[ - ~3 - n [ ~

2 4

] Y C = [

2 1 . 512 5]19. Si A = 4 B- 2 -2 5 2-

2 0 - 1 2 7 . 5 - 3 . 5

hallar la matriz M = (AB)t - 2C.

20. Si A = [ - ! o4

2, B = [ - ;

34

-5

~] y C = ( BA ) 1 + 2A;

-2

hallar la suma de los elementos de la segunda fila de la matriz C.

21. Se dice que una matriz A es ortogonal si A·l = At. Comprobar si la matriz

1 [ 1 - 2 2 ]="3 -2 1 2-2 -2 1

es ortogonal (Sugerencia: A At = AtA ==I).

22. En una paqina deteriorada de un antiguo texto se encuentra que la matriz

[

1 x 0 JA= 0 0 Y

o 0 zy del producto A2At solo se puede leer la ultima columna




25. Si A Y B son matrices cuadradas de orden n y A posee inversa, dernostrar que :

(A + B)A1 (A - B) = (A - B)A-1(A + B).

26. Si A = BC Y A + B = I, hallar AC - C.

1 -2 -6

27. Demostrar que la matriz A = -3 2 9 es periodica y hallar su perfodo

2 0 -3

Hallar la suma de los cornponentes de la

[

• • • • - 26

]. Hallar x + y + z .

• • -1

23 D I· A -- ( ac

emostrar que a rnatrizd b J satisface la ecpacion:

X2 - ( a + d ) x + ad - bc = 0

24. Demostrar que si f (X, A) = X t A X , A . , ~ s c . entonces :

f ( A . X + ~y I A) = AI(X I A) + ~ f ( Y I A)

28. Si B es la inversa de

o 0 0 2

3

2

o

5 4

4 23 3

1

oo=

29. Sean las matrices A =

1 2 -1o 1 1-1 3 1

o -1 1

1

2

o

2

1

B = -1Y 2

-1

Si C = (AB)! + A, hallar la suma S = C21+ C

32+ C

33.

30. Sea A =

66

6

6

4 3 -2

o 3 -2

o 0 -2

000

diagonal principal de la matriz A-1.

A = [ ~a-b

i J1. Si 3

b-x a-x

A = [ ~

1

32. Dada la matriz a

0

es una matriz sirnetrica, hallar A 2

o

1 hallar An.

a

Comprobar la formula obtenida por induccion.

1 1 0

010

1 1 -1

010



Seccion 8.11: Transformaciones elementales 4 27

En los ejercicios 33 a 36 determinar, si existen, las inversas de las matrices dad as

1 0 0 0 1 -1 1 -1

33. A=2 1 0 0

35. B=0 1 -1 1

4 2 1 0 0 0 -1 1

-2 3 1 1 0 0 0 -1

2 0 0 0 2 4 -2 6

34. A=0 -1 0 0

36. B=0 1 3 2

0 0 1 0 0 0 2 1

1 0 0 2 0 0 0 3

(8.1'1) TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

Dada una matriz de cualquier orden, se pueden desarrollar algunas ope-

raciones simples con las filas y columnas sin cambiar el orden de la matriz. EI propo-

site fundamental es el desarrollo de matrices para simplificar algunos calculos y

tarnbien alcanzar resultados te6ricos significativos para un mejor estudio de las

matrices. Destacaremos las transformaciones siguientes.

,

(8.11.1) TRANSFORMACIONES ELEMENTALES FILA 0 COLUMNA

Sea A E Kmxn una matriz cuyas filas son F" F2, F3, Fn Y cuyas

columnas son C" C2 C3; ....••• . Cn . Se llama transformacion elemental fila a tres tipos

de operaciones que denotaremos por : F ij , F i( j ) y F/(A) para significar

1. F . . A Intercambio de dos filas de AI I

2 . FP I.)A

3. FiP'~)A

Multiplicaci6n de la fila i de A por un escalar A 7 :. 0

Multiplicaci6n de la fila j de A por un escalar A = t - 0, Ysumando la fila Fi.

Esta operacion se representa por el vector de la fila: AFI + F iLas transformaciones elementales columna son analcqas a las transformaciones

elementales fila y los tres tipos de operaciones se denota por

1 . C . .AII

2. Ci(A) A :

3. G.i(A)A:I

Intercambio de dos columnas de A

Multiplicaci6n de una columna i de A por un escalar A 7 :. 0

Multiplicaci6n de la columna j de A por un escalar A : j ; 0 Y sumandoI

luego la columna C, Esta operaci6n se representa por el vector

columna t...Cj+ c,

Por ejemplo, para la rnatriz A = [ ~1o

5

o-4

1 - ! 1se tiene :




I

1. Intercambio de la primera y segunda filas

F 12 =

[ ! ! .~~2. Multiplicaci6n por -2 la segunda fila

F 2 ( - 2 ) = [ - 2 1 3)1 0

- 2 ~ 1 ) ] [ -~

1 0 2

]2(0) -2( -4) = 0 8 2

5 1 5 1 3

3. Multiplicando por 2 la segunda fila y luego sumando la primera fila

[ 2 ( 3 ) + 1 2(0)+ 1 2(-4)+0 2 ( - t 2 ]= [ ~

1 -8

-~ ]21(2)= ~ 0 -4 0 -4

5 1 5 1

(8Q~·1.2) MATRIZ ESCALONADA

Una A E K m x n , cuya estructura es de la forma

1 a b c d • • • x0 0 1 e f • • • y

0 0 0 0 1 • • • z0 0 0 0 0 • • • 0

A= • • • • • •• • • • • •• • • • • •0 0 0 0 0 • • • 0

s filas nulas

} r filas no nulas

se dice que es escalonada reducida si las condiciones siguientes se satisfacen.

1 . EI primer elemento no nulo de cada una de las r filas no nulas es la unidad

2. Si existen s filas cuyos elementos son ceros, estas se encuentran en la parte

inferior de la matriz

3. En cada una de las r filas no nulas, el numero de ceros que preceden a la

unidad crece aritrneticarnente de fila a fila.

4. Todas las columnas que tiene el primer elemento diferente de cero, de alguna

fila, tienen ceros en todas las posiciones restantes.

Si una matriz cumple las propiedades 1, 2, Y 3, se dice que esta en forma

escalonada.



Seccion 8.1J: Transfortnaciones elementaies 429

Ejemplos de matrices escalonadas reducidas

u

0 0

- ! ] [~

0

~ 1

0 1 4 1 21 0 1 0 0 0 1 5

0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0,

Ejemplo de matrices escalonadas

[ ~

5 1

~ ] [ ~

2

n [ ~

0 -1 3

n3 1 0 1 3

0 1 0 0 0 0

(8.11.3 ) MATRICES EQUIVALENTES

Dos matrices A y B se denominan equivalentes si una de elias se -

deduce de la otra mediante una sucesi6n finita de transformaciones elementales de

linea (fila 0 columna).

EI siguiente ejemplo nos muestra que toda matriz de orden m x n puede ser reducida

mediante operaciones elementales fila a una matriz en forma escalonada por filas.

(Ej~MPIO 1 ) Reducir a la forma escalonada por filas la matriz

Soluci6n.

1 2 2A :

F'22 5 3

3 4 12 3 2

t"

1 2 2

F,4(-2)0 1 -1

0 -2 -5

0 -1 -2

1 2 2

F 3 ( - 1 / 7 )0 1 -2

0 0 1

0 0 -3

A =

21

3

524

3

21

2 3, 2

1 2 2

o 1 -1

3 4 1

2 3 2

1 2 2

o 1 -1o -2 -5

o 0-3

1 2 2o 1 -1

o 0 1

o 0 0

1 2 2

0 1 -1

0 -2 -5

2 3 2

1 2 2

0 1 -2

0 0 -7

0 0 -3

= B •



430 Capitulo 8:Matrices

En la primera iteraci6n F12se intercambi6 la segunda fila por la

primera con el objeto de que aparezca el1 en la nueva primera fila

y que servira de pivot, para que en las sucesivas iteraciones aparezcan ceros deba-

jo del 1. Asf en la segunda iteraci6n F 1 2 ( -2) se multiplicac6 la primera fila por -2 y\.

luego se sumo la segunda fila. En la cuarta iteraci6n F14(-2)ya tenemos tres ceros

debajo del 1 de la primera fila y aparece en la segunda fila (0, 1, -1) el elemento 1

que servira de nuevo pivot para transformar en ceros los elementos que estan deba-

jo de 81.La quinta y sexta iteraci6n muestran este proceso. En la setima iteraci6n se

multiplic6 por -1/7 la tercera fila para obtener (0,0, 1). Finalmente, mediante esta fila

pivot y la octava iteraci6n se logra ceros en la ultima fila.

En este ejemplo se a logrado una forma escalonada, sin embargo, la matriz

equivalente B obtenida, de este modo, no es unica, toda vez que es posible efectuaroperaciones elementales columna y obtener otra forma escalonada.

Explicaci6n.

I Nota. Una matriz cuadrada A E K n escalonada es una matriz triangular superior,pero no .todas las matrices triangulares superiores son matrices escalonadas.

Anteriormente hemos visto que una matriz triangular era inversible si s610si

no existen ceros en la diagonal principal; esta caracterfstica es tarnbien valida para

las matrices escalonadas cuadradas.

Veremos a continuaci6n las ventajas que ofrece la reducci6n de una matriz en otra

que tenga forma escalonada.

(8.11.4) RANGODE UNA MATRIZ

EI rango de una matriz es igual al nurnero de filas no nulas que quedan

en la ultima iteraci6n de las sucesivas transformaciones elementales que se hacen

con la matriz.

Se deduce que para hallar el rango de una matriz es suficiente transformarla asu forma escalonada. Como dos matrices equivalentes tienen el mismo rango,

el rango de dicha matriz sera igual range de la matriz escalonada, Si designa-

mos por r el nurnero de filas no nulas de la matriz escalon ada, entonces el

range de la matriz se denota

P (A) = r

0 2 -4

1 4 -5

Hallar el rango de la matriz A - 3 1 7

°1 -2

2 3°



Secci6n 8.11: Transformaciones elementales 431

Soluci6n. Realizando sucesivamente las transformaciones elementales

tendremos:

1 4 -5

o 2 -4

317o 1 -2

230

1 4-3o 1 -2

F2(1/2) 0 -11 22o 1 -2

o -5 10

1 4-5

o 2-4F,3(-3) 0 -11 22

o 1 -22 3 0

1

F23(11) 0

oF25(5) 0

o

4 -31 -2

o 0

1 -2

o 0

1 4 -3

o 2 -4o -11 22o 1 -2o -5 10

1 4 -3o 1 -2o 0 0 =8

000

000

La ultima matriz escalonada B tiene dos filas no nulas, por 1 0 que:

p(B)= p(A) = 2

3 )

25

75Hallar el range de la matriz A = 75

25

•31 17 43

94 53 13294 54 134

32 20 48

Soluci6n. Por el rnetodo de las transformaciones elernentales se tiene:

A:

25 31 17 43

75 94 53 132001 2

o 1 3 5

25 25

o1

o 0

o 0

5 252 3

1 2

1 2

F 3 4

25

ooo

31

1

1

o

1

oeo

La ultima matriz escalonada tiene tres filas no nulas, por tanto

p (8) = P (A) = 3

MATRICES ELEMENTALES

1 1/51 2

o 1

o 0

17 43

2 3

3 5

1 2

1

32

o

=B

•

La matriz 'que resulta de aplicar una transformaci6n elemental delinea (fila 0 columna) a la matriz identidad I n recibe el nombre de matri: ele-

mental de linea. Los sfmbolos que se emplean para una transformaci6n ele-




mental de linea que origina una matriz identidad se muestra en el siguiente

ejemplo.

[1 0 0 1Dada la matriz 1 3 = 0 1 0 , las rqatrices elementales

001

que podemos obtener, entre otras, son:

~ [ ~

1

~ l12 0 Intercambio de la primera y segunda filas.

0

~ [~0

~ l3(a) 1 Multiplici6n de la tercera fila de la matriz diagonal por a.

0"

~ [~0

~ l32(a ) 1 Multiplicaci6n de la tercera fila por a y sumando a la

0 segunda fila.

Se establece la posibilidad de ejecutar, de manera indirecta, una operaci6n elemen-

tal en las filas de una matriz de m x n si, primero, se ejecuta la misma operaci6n en

las filas de la matriz identidad I n y, despues, se premultiplica la matriz A (se rnultipli-'

ca a la izquierda de A) por la matriz elemental resultante. Una ilustraci6n del enun-

ciado anterior es el siguiente ejemplo.

( Ejemplo .5 ) Sea la matriz A - [~ -~ ~ 1- 2 0 -1

Si la primera fila de A se suma dos veces a la tercera fila se obtiene la matriz :

[

1 -1F13 (2) A = B = 3 1

'4 -2 ~ 1

AI efectuar la misma operaci6n en las correspondientes filas de la matriz identidad

13, la rnatriz elemental resultants es:

[ ~

0

~ 1E13(2) = 1

0

[ ~0

~ 1 [

1 -1

- ~ 1 = [

1 -1

! = Bor 1 0 que: E

13(2) A = 1 3 1 3 1 •

0 2 0 4 -2



Seccion 8.11: Transforinaciones elementales 433

EI resultando anterior nos sugiere la siguiente definici6n .

El~ E2, E3t t.. ,. E m ' tales que,E~ .Em . r················,···Ez·E 1· A ~ B

se dice entonces que A es equivalente porfilas a B, y se escribe

fA =8

(Ej~mplo 6 ) Hallar una matriz escalonada equivalente por filas a la matriz

A =

1

-1

1

So lucian . Las operaci6nes elementales con filas que deben efectuarse son:

1. Intercambiar la primera y segunda fila

[ ~

-1 1

1F12 : 1 2

1 1

2. Restar la primera fila de la tercera

F,'(-1) [~

-1

~ 11

2

3. Multiplicar la segunda fila por -2 y sumar la tercera fila

F13 (-2): [~ -~ ~ 1 = B

o 0-4

Se tiene una matriz escalonada equivalente por filas a A .

Las matrices elementales, obtenidas de 13, para las operaciones con filas son, res-

pectivamente:

E 1 2 = [ ! 1

o

o

oo

o1

~ 1[

1 0

, E/(-2) = 0 1

o -2

oo

1 o 1

Ahora bien, las operaciones para encontrar B por medio de estas matrices elemen-

tales son:

E" • A = F" = [ !1 0

[

0 1 2

= [ ~

-1 1

0 0 1 -1 1 1 2

0 1 1 1 1 1 1




E,'(-2) . F,'(-1) = F,'(-2) = [1 0

o 1

o -2

- 11

2 ~ 1

Como resulta laborioso escribir el producto de matrices correspondientes a cada

operaci6n fila, es conveniente utilizar una notaci6n abreviada empleando una fle-

cha, sobre el cual se indica la matriz elemental adecuada, en base a la cual, las

operaciones se representan como sigue

[

0 1

A = 1 -1

1 12 1 [ 1 - 1F12 0 1

1 -+ 1 1 ~ lF,'(-1) [ ~

~ 1 = 8o -4

-1

1

(-8.11.6) INVERSADEUNAMATRIZ PORELMETODODELAS

MATRICESELEMENTALES (Metodo de Gauss - Jordan)

EI metodo de Gauss - Jordan consiste en 1 0 siguiente:

Para la matriz dada A de orden n, se construye una matriz rectangular rA = (A I I )

de orden n x 2n, afiadiendo a la derecha de A una matriz unidad. Luego, haciendo

uso de las transformaciones elementales sobre las filas, se reduce la matriz r A a laforma (1 I 8), 1 0 que es siempre posible, si A es inversible. En este caso B = Ai. No

es preciso conocer de antemano si A es inversible. Se puede deducir tacilmente si A

es inversible durante las sucesivas transformaciones elementales para hallar la ma-

triz (I I B). Si uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada

E en (E I 8) es cero, entonces A no es inversible.

Determinar si A = [~

-1o1

es inversible.

Si as! 1 0 fuera, calcular su inversa.

Soluci6n. Primero efectuamos las operaciones con filas para reducir A a una

matriz escalonada E. Empezamos formando la matriz T A = (A I I)

1 -1 1

(A I I) = 0 0 1

1 1 -1

1 0

o 1

o 0

o

o

1

1

o

o

-1 1 1

010

2 -2 -1

o

1

o

o

o

1



Secci6n B.ll.' Transformaciones elemen tales-----------------------------

Como A ha sido reducida a la matriz escalonada

cera en la diagonal principal, la matriz A es inversible.,

435

[ ~- 1 1 1 0

! J- 2 - 1 0

0 1 0 1

[ 1 - 1 -~ ), que no tiene= 0 2

o 0

Contihuando con las operaciones elementales con filas, necesarias para reducir la

matriz A a la identidad, se tiene :

[~

- 1 1 1 0

nF ,'(1/2{ ~2 3 = 2 - 2 - 1 0

0 1 0 1

F,(1/2) [ ~

0 0 1 / 2 01/2] [~- 1 - 1 / 2 0 1 / 2 F 3 2 ( 1 )

0 1 0 1 0

1

U

0

i J

. A-'= - 22

2

0 0 1 / 2 0

I n- 2 - 1 0

0 1 0 1

0 0 1 / 2 01/2]

1 0 - 1 / 2 1 1 ~ 2 = ( l i B )

0 1 0 1

•

Hallar A - l para la matriz A = [ ~

2

!( Ejemplo 8 ' ) 5

1

Soluci6n. Formamos la matriz I'A = (A I I) y empleando el rnetodo de Gauss -

Jordan tendremos :

= [ :

2 1 1 0

~] F ,(1/3) [~

2 / 3 1 / 3 1 / 3 0

~ ]A I I) 5 2 0 1 5 2 0 1

1 4 0 0 1 4 0 0

1 2 / 3 1 / 3 1 / 3 0

~ ]1 2 / 3 1 / 3 1 / 3 0

~ ]/ ( - 4 )o 7 / 3 2 / 3 - 4 / 3 1 F 2(317) 0 1 2 ~ 7 - 4 / 7 3 / 7

F 3 , (- 2 )o - 1 / 3 1 0 / 3 - 2 / 3 0 0 - 1 / 3 1 0 / 3 - 2 / 3 0

F ,'(-2/3) [ ~

0 1 / 7 5 / 7 - 2 / 7

~ ]F 3(7/24{ ~

0 1 / 7 5 / 7 - 2 / 7

7/L]

1 2 / 7 - 4 / 7 3 / 7 1 2 / 7 - 4 / 7 3 / 7F23 ( 1 / 3 ) 0

o 2 4 / 7 6 / 7 1 / 7 0 1 - 1 / 4 1 / 2 4




F31 (-1/7)

F 3 2 ( -2/7)= (I I B)

-7/24

5112

1/24

1

o

1

o 3/4

o -1/2

1 -1/4

-1/24

-1/12

7/24

o

1

o

1 [ 18-7 -1

]. A·1= - -12 10 -2 •4-6 1 7

A = [ ~6

- ! ]Ejemplo 9) Determinar, si existe, la inversa de 4

-1 2

Sea la matriz : rA = (A I J) => (A I J) = [ ~

6 4 1 0

noluci6n. 4 -1 0 1

-1 2 5 0 0

Usando el metcdo de Gauss - Jordan se tiene :

~ ] F23(1) [~ -~ -~

'--y------/

E

1

-2

-1

o

1

1

6 4 1

-8 -9 -2,

. 8 9 1

o

1

o

Como la matriz escalonada E tiene un cero en su diagonal principal, la matriz A no

es inversible.

( Ejemplo 1 0 ) Se sabe que la matriz X = [ X i ) ] satisface la ecuaci6n AX = B,

en donde:

A=2B-1=

3

22

-17

-1

-6 -26 17

5 20 -13

o 2 -1

4 -1 -5

Mostrando en primer lugar que A es inversible, determinar los elementos X24

y X43

de la matriz X.

Soluci6n. Para determinar si A es inversible formamos la matriz rA = (A I I) Y

mediante las operaciones elerncntales tendremos que:

-

22 -6 -26· 17 1 0 0 0 1 0 -2 1 0 0 -1 0

(All) =-17 5 20 -13 0 1 0 0 F3(-1) -17 ,5 20 -13 0 1 0 0

-1 0 2 -1 0 0 1 0 22 -6 -26 17 1 0 0 0F13

4 -1 -5 3 0 0 0 1 4 -1 -5 3 0 0 0 1

•



Seccion 8.11: Transformaciones elementales 437

F/(4)1 0 -2 1 0 0 -1 0

F/(1 ~1 -0 -2 1 Q 0 - 1 0

-1 1 0 - 1 0 1 0 4 0 1 -2 0 0 1 - 1 4

F43(-5)

2 - 1 - 1 2 1 0 0 -5 F,3( -3) 0 - 1 3 0 1 0 2 -5

4 -1 -5 3 0 0 0 1 F,4(-4) 0 - 1 3 - 1 0 0 4 1

F23(1)1 0 -2 1 0 0 -1 0

F3' (2)1 0 0 1 2 2 1 -2

0 1 -2 0 0 1 -1 4 0 1 0 0 2 3 1 2

0 0 1 0 1 1 1 -1 F32(2) 0 0 1 0 1 1 1 -1F/(1 )

0 0 1 - 1 0 1 3 5 F34(-1) 0 0 0 -1 - 1 0 2 6

E

La matriz escalonada E no tiene cera en la diagonal principal luego, la matriz A

es inversible. Por 1 0 que:

1 0 0 0 1 2 3 4

F41(1 ) 0 1 0 0 2 3 1 2

0 0 1 0 1 1 1 -1:::: Al

F4(-1)0 0 0 1 1 o -2 -6

Multiplicando por Al ambos miembros de la ecuaci6n dada se tiene :

A-' A X ::::A - 1 B < = > X ::::Al B

23 -6 -26 17

-17 6 20 -13SiA=2B-I==>B=1/2(A+I)= 1/2

-1 0 3 -1

4 -1 -5 4

Portanto: X24:::: (a

2)-1 b

i4:::: 1/2 (2, 3,1,2)· (17 -13, -1, 4):::: 1

X43 = (a4/1

bi3:::: 1/2 (1, 0 -2, -6 ) • (-26, 20, 3, -5) ::::-1

•('EjemPIO ' 1 1 ) Resolver la ecuaci6n matricial A X B ::::C, sabiendo que

-1 J-2 , B = [~

[

14 1 6 JY C : : : : s 10

I

Soluci6n. Multiplicando por A1 (izquierda de X) ambos miembros de la ecuaci6n

matricial se tiene :

A ' A X B ::::A 1 C = > X B ::::A 1C

Multiplicando por B-1(derecha de X ) ambos extremos de (1) obtenemas:

(1 )



438 Capitulo 8:Matrices

X 8 8-1 = A l C 8-1 =:} X = A 1C 8-1 (2)

Para hallar las inversas de A y 8 por el metoda de Gauss - Jordan, construimos las

matrices rectangulares rA = ( A I I ) Y rB = ( B I I )

(AII)= ( ~

-1 1

~ JFl(1/3) [ 1 -1/~ 1 / 3

1/ ~ J2 0 F 2 ( 1 / 5 ) 1 -2/5 0

F/( -1) ( ~

- 1 / 3 I 1 / 3

1/~ J F/-15) [ 1 -1/3 1/3

- ~ J1 / 1 5 1 - 1 / 3 0 1 5

F 2 1 ( 1 / 3 )

(~

0 2-1 J A l

I

2-1 1:} =

1 5 -3 5 -3

(811)= [ ~

6 1

~ JFl (11 5 ) [ 1 6/5 1/5

1/ ~ J0 F2( 1 / 7 ) 1 8/7 0

F1(-1) ( ~

6/5 1/5

1/ ~ JF2(-35/2) [ 1 6/5 1/5

-5/~ J2/35 -1/5 0 1 7/2

F21(-6/5)

(~

0 -4

-5/~ J=> 8-1

1 -8

- : 1=1 7/2 2 7

Por 1 0 que, en (2) :

X = _ ! _ [ 2 -1 )[ 14 16 J [ - 8- ~ J

1 [ 19 2 2 J [ - 8 6

J2 5 -3 9 10 7 2 43 50 7 -3

de donde obtenemos X = [ ;

! J •EJERCICIOS. Grupo 46

En los ejercicios 1 a 4, reducir cada una de las matrices a una matriz escalonada

mediante una sucesion finita de operaciones elementales con filas. (Las soluciones

que se dan no son unicas ).

1 1 -1 1 -1 2 0

1. A= 0 1 0 3 . A= 5 -5 10 0-1 1 0 6 -6 12 32 1 1 -1 1 -2 1



E JERC1C IOS : Grupo 46 439

2. A=

2

1

3 -1 0

2 4 3

-2 1 3 2

-1 -2 -3 0

4. A=

2

1

1 11 2

o 4 -1

11 4 56 5

2 -1 5-6

5. Mediante una sucesi6n finita de operaciones elementales con filas, demostrar"-

que:

6. Sean las matrices A=

lprobar que A'= B

~ [ ~

• Y B = [ ~

o1

o

2

-1-2

oo abc J

-(ab + be + ca)

'a + b + c

1

32 ~ 1

En los ejercicios 7 a 12, hallar el rango de la matriz dada empleando el rnetodo de

las transformaciones elementales.

-2

1

8 ~ ]1

-2-1

3

51

8 . 3 -1 3

5 -3 21 -3 -5

7 -5 1

2 5

3 4

o -7

4 1

9. 1

2 -1 -3 45 1 -1 7

779 1

10. [ 47 -67

26 9816 -428

11. 24

49

73

47

19

40

59

36

35 201

23 -2941 1284

155]8652

12. 17 -28

24 -3725 -7

31 12

42 13

36 72 -38

73 147 -80

98 219 -118

71 141 -72

45 11 39

61 13 5032 -18 -11

19 -43 -55

29 -55 -68

En los ejercicios 13 a 16, resolver las ecuaciones matriciales

A=[3

1

24J3. A X = B, si

14. X A = B . si A ~ [ ~ -2 J-4

Y B = [ ~ : J .

[-1 2 J-5 6

B =




A = [ ~2

"3 1[ 1~

-3 0

15. A X = B, si 2 -4 yB= 2 7

-1 0 10 7 8

A = [ ~3

" ~ 1[ "8

3 0

16. X B = B, si -3 Y B = -5 9 0

-5 2 -2 15 0

17. Hallar la matriz X que cumple la ecuaci6n: ( X - 2 I ) B + 3C = 0

8= [ " !1

~ lc = [ ~

2

" ~ 1 .0 = [ " ~

8

"1~ 1onde, 3 -1 2

-2 3 12 7

A = [ ~

3 -1 -2 0 0

18. Si 4 1 B- 3 1 0 , hallar (si existe)X tal que A X B = I-

0 2 2 1 -1

En los ejercicios 19 a 34, hallar las inversas de las siguientes matrices, empleando

el metcdo de las transformaciones elementales.

19. 1 a x -z 20. 3 3 -4 -3 21. 0 0 1 -1

0 1 b Y 0 6 1 1 0 3 1 4

0 0 -1 c 5 4 2 1 2 7 6 -10 0 0 1 2 3 3 2 1 2 2 -1

22. 0 1 2 2 23. 2 4 3 2 24. 1 1 1 1

1 1 2 3 3 6 5 2 1 1 -1 -1

2 2 2 3 2 5 2 -3 1 -1 1 -1

2 3 3 3 4 5 14 14 1 -1 -1 1

25. La matriz X = [~j ] satisface la ecuaci6n X A = B, en donde :

A = 78 + I = [ :

5 7

3 4 Mostrar que A es inversible y hallar X 23 + X 31•

-2 -3

(8._1~) SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES

Recordando que la resoluci6n de una ecuaci6n implica la busqueda de

ecuaciones equivalentes mas simples en los que resulta tacil determinar la raiz 0

raices, la aplicaci6n de este criterio a la resoluci6n de sistemas de ecuaciones linea-

les sugiere que, el rnetodo para hallar el conjunto soluci6n de un sistema lineal



Seccion 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales 441

consiste basicarnente en reemplazar el sistema dado por otro equivalente en el que

se pueda calcular facilmente las raices. En tal sentido las transformaciones elemen-

tales aplicadas a las matrices simplifican el desarrollo de estas y como tal, nos

ofrecen la posibilidad de una ventajosa aplicaci6n para resolver un sistema deecuaciones lineales.

En un sistema de la forma:

a" Xl + a'2 x2 + + a ,n xn = o ,

a2 lx1 + a2 2x2 + + a2nxI1 = b2

• •

• • (1 )

• •

. . •

con las constantes reales de estas ecuaciones se puede establecer el siguiente

arreglo de m x r i o

all a12

• • • a1n

a21

a22

• • • a2n

• ••

•A= (2)• • • •

·• • • •

am1

am2

• • • amn

al que lIamaremos matri; de coef ic ientes del sistema (1).

A los vectores

Xl b1

X2 b2X= • Y B= •

• •

X n bn

lIamaremos, respectivamente, vector CO/1f171f10 de las incognitas 0 vector solucion y

vector columna de los terminos independientes. Por 1 0 que el sistema (1) se puede

representar del siguiente modo:

AX = B

AI adjuntar el vector columna B a la matriz A, se determina una matriz de m X (n+ 1),

que designaremos por A', a la cual lIamaremos niatri: aumeutada () anipl iada del

sistema (1) Y se escribira del siguiente modo:



Por ejemplo, la matriz aumentada del sistema de ecuaciones:

X1 - x 2 + X3 = 4

2x1+ x

2- 3x

3= 0

x1 + x 2 + X3 = 2 1

1 -1 4

o

2

1

,es: A' = 2

1

1 -3

1

Teniendo en consideraci6n que las filas de una matriz aumentada corres-

ponde a las ecuaciones del sistema asociado, el rnetodo para resolver el sistema,

empleando matrices, se sustenta en la idea basica de reducir la matriz aumentada a

la forma que sea suficienternente sencilla (forma escalonada reducida) como para

poder alcanzar la soluci6n del sistema por simple inspecci6n 0, en su defecto, luego

de posteriores etapas que simplifiquen el problema.

Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento a seguir en la soluci6n desistemas de ecuaciones lineales.

('EjemPlo 1 ) Suponiendo en cada uno de los casos siguientes que la matriz

aumentada de un sistema de ecuaciones lineales de la forma

(1) se ha lIevado, mediante operaciones en las filas, a la forma escalonada reducida

que se muestra a continuaci6n, hallar la soluci6n de los sistemas:

a)

o 2

o -1

1 5

1 0

o 1

o 0

1 7

o 3

1 -2

o1

o

Soluci6n.

a) EI sistema de ecuaciones correspondiente es

x , + X3 = 7

x2

= 3

x , =-2Por simple inspecci6n : ~ = -2, x2 = 3 Y en x , + X3 = 7, resulta x, = 9

:. C. S = { x., x2' x

3} = { 9, 3, -2 }, 0 bien: X = (9, 3, -2)t




b) EI sistema de ecuaciones correspondiente es- -

x , + 2X4 = 3

x 2 x , = - 4

X3+ 5x4 = 2

Cuando es el caso que cada una de las incognitas x., X2 Y X3inician una ecua-

cion, se les llama variables principales. Oejando est as variables principales, en

terrninos de x4' se obtiene

x, = 3 - 2x4, x2 = -4 + x4' X3= 2 - 5x4

Asignando a x, un valor arbitrario t, se tiene un numero infinito de soluciones. EI

conjunto soluci6n queda definido por las f6rmulas:

x , = 3 - 2t , x 2 = -4 + t , X3= 2 + 5 t ~ X = (3 - 2 t , -4 + t , 2 - 5 t , t ) t •

(EjemPlo 2 ) Resolver por transformaciones elementales el sistema

2Xl 5x2 + 2x3 = -2

4Xl + 6x2 - X3 = 23

2Xl + 7X2 + 4x3 = 24

[ :

-5 2- 2 ]oJuci6n. Matriz aumentada del sistema: A' = 6 -1 23

- 7 4 24

Para transformar esta matriz a la forma escalonada reducida se proce-

de del modo siguiente:

Paso 1. Localizar en el extremo izquierdo la columna que no consta exclusiva-

mente de ceros (serialando con asterisco).

*

( ~

-5

6

7

2

-1

4

- 2 ]324

Paso 3.

Intercambiar, si es necesario, la primera fila con otra fila, de tal manera

que el elemento que esta al comienzo de la columna sen ala con aste-

risco sea diferente de cero. (En este case) como 2 - :t 0 no es necesario

intercambiar filas).

Si el primer elemento de la columa senala con asterisco es a, enton-r

ces, multiplicar la primera fila por 1 / a , de modo que el primer elemento

sea 1, esto es:

Paso 2.




Paso 4.

Paso 5.

Paso 6.

*

~ ; l4 24

1

-1

Sumar multiplos adecuados de la primera fila a las filas que Ie requie-

ren, de tal forma que la columna sefiala con asterisco, todos los ele-

mentos a excepci6n del primero sean cera.

-1 ] [1 -5/2-5 27 F23 (-1 ) 0 4

2 26 0 12

1

-7

2

- ~ ] '26

F2, ( - 4 ) [ 1 -5/2

o 16

F3, (-2) 0 12

1

Destacar la primera fila de la matriz con una linea de puntos y reiterar

el proceso a la submatriz resultante, desde el paso 1.

Proseguir del mismo modo hasta conseguir que la matriz completa se

presente en forma escalonada. Esto es:

F2(1/4) [_1_ ::.5£2__ 1_\_ - J - Jo 1 -7/4 1/4

F3(1/2) 0 6 1 13[

1 -5/2 1 -1 JF23(-6) 0 1 -7/4 1/4

o 0 23/2 23/2

[

1 -5/2 1 r -1 ]F3(2/23) 0 1 -7/4 1/4

o 0 1 1[

1 -5/2 1 - 1 ]F/(7/4) 0 1 0 2

o 0 1 1

Observese que la matriz completa a tomado la forma escalon ada

Empezamos por la primera fila, y avanzamos hacia arriba, sumar

multiplos adecuados de esta fila a las filas que estan encima de ella,

hasta conseguir que la matriz completa se transforme a la forma esca-

Ionada adecuada.

l- 0 1 - - - § .1 / ' 4 _ - 0 0 - 1 : : _22-]

F3' ( -1)

001 1 l1 0 0 3 ]

F2' (5/2) 0 1 0 2

o 0 1 1

Como la ultima rnatriz tiene la forma escalonada reducida, la soluci6ndel sistema es:

x , = 3 '. x2 = 2- , X3 = 1 ~ X = (3, 2, t)'




I Nota. EI procedimiento esquernatlco empleado para resolver un sistema de

ecuaciones lineales, se conoce can el nombre de e litn in a c io n d e Gaus s- Jo rd a n.

(EjemPlo

3)Resolver mediante la eliminaci6n de Gauss, el sistema:

X1+ 2x - 3x3 - 4X4 = 6

2

Xl + 3x - X3 - 2x = 42 4

2x, + 5x - 2x3-' 5x = 10

2 4

*

A' = (

1 2 -3 -4

1~ 1Soluci6n. La matriz aumentada del sistema es, 1 3 1 -2

2 5 -2 -5

Siguiendo los pasos descritos en el Ejemplo 2 para transformar la rna-

triz aumentada a la forma escalonada, se tiene:

1 2 -3 -4 6

0 1 4 2 -2

0 1 4 3 -2

*

1 2 -3 0 6

0 1 4 0 -2

0 0 0 1 0

1 2 -3 -4 t 6

~ ~ ~ ~ I - ~

o -11

1 4

o 10

o -2

1

o

o o 1 o

EI sistema de ecuaciones correspondiente a esta ultima matriz escalonada es:

Xl =10

= -2

x4 = ·0

Resolviendo estas ecuaciones para las variables principales se tiene:

Xl = 10 + 11 X3 ' x 2 = -2 - 4X3 ' x 4 = 0

Finalmente asignando un valor arbitrario t para la variable no principal x3' esto es,

X3 = t, obtenemos:

Xl = 10 + 11t , x2= - 2 - 4t , X3 = t , X = 0

4

Decimos entonces que el sistema tiene un nurnero infinito de soluciones. Por 1 0

tanto, la notaci6n vertical de la soluci6n del sistema es:

x = (10 + 11t , -2 - 4t , t , 0) I




Resolver el sistema:

Xl - 2x2 + X3 - 4x4 = 1

x, + 3x2 + 7~ + 2x4 = 2

x, - 12x2

- 11X3 - 16x4

= 5

*

Soluci6n . La matriz aumenmtada del sistema A' =[ ~ 1

-12 -11 -16 ~ ]2

3

1 -4

2

Reduciendo A' a su forma escalonada se tiene:

F,'(-1 ), [ ~ -2 1 -4

i ] F,3(2) U-2 1 -4

! ]6 6 5 6 6

F, 3( -1 ) . 0 -10 -12 -12 0 0 0

La ultima fila corresponds a la ecuaci6n

O x , + O X 2 + O~ + O X 4 = 6 ~ 0=6

Lo que es absurdo, por 1 0 que, el sistema es incompatible y carece de solucion. •I OBSERVACION 8.13 Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones

se dice que el sistema es inconsistente. Si por 1 0 menos

hay una soluci6n, entonces se dice que es consistente.

Suponer que la dieta minima vital es 72 unidades de proteinas,

104 unidades de carbohidratos y 88 unidades de rninerales.

Un nutricionista dispone empaquetados tres tipos de alimentos A, S, Y C, que por

paquete contienen:

Proteinas Carbohidratos Minerales

A 1 2 4

S 4 4 2

C 2 4 3

Es decir, un paquete del alimento A contiene 1 unidad de proteinas, 2 de carbohidratos

y 4 de minerales. Se debe entregar a cada comenzal una dieta minima en un nurnero

entero de paquetes. GCuantos paquetes de aiirnentos constituye la dieta minima?

Soluci6n. Sean x, y , z el nurnero de paquetes de los ires tipos de alimentos A, B,

Y C respectivamente. Entonces, x paquetes del alimento A, 4y paque-

r




tes del alimento B y 2z paquetes del alimento C constituyen 72 unidades de proteinas,

que se rige por la ecuaci6n:

x + 4y + 2z = 72

Analcqarnente, sequn la tabla, planteamos el sistema de ecuacrones para

carbohidratos y minerales:

2x + 4y + 4z = 104

4x + 2y + 3z = 88

A ' = [ ! 1a matriz aumentada del sistema es

4

4

2

2

4

3

72 J04

8 8

Efectuando las transformacianes elementales por filas se tiene :

F,2(-2)

[1 4 2

72 ]F2'(1)

[1 0 2 32

]-4 0 -40 0 -4 0 -40

F,3(-4) 0 -14 -5 -200 F/( -7/2) 0 ~o -5 -60

[1 0 2

82 ]

[1 0 0 8

]1 0

~~

F3' (-2)~ 0 1 0 10

0 0 1 0 0 1 12

Por 1 0 tanto, la dieta minima esta constituida por 8 paquetes del tipo A, 10 paquetes

del tipo B y 12 paquetes del tipo C. •

( Ejempl~ 6 ) Una tabrica posee 5 maquinas que se utilizan en la producci6n

de cuatro artfculos diferentes A, B, C Y D. EI numero de horas

de cada rnaquina es usada en la producci6n de una unidad de cada uno de los

cuatro productos es dada por la siguiente tabla:

~A B C 0

a

ira 7 2 4 3

2da 4 4 4 5

3ra 10 0 4 7

4ta 9 4 2 11

5ta 10 5 1 13

Hallar el numero de unidades que se deben producir de cada uno de los productos

en una semana de 5 dfas, sabiendo que cada maquina se usa 8 horas diarias.




Resolver el sistema:

x, - 2x2 + X3 - 4x4 = 1

x, + 3x2 + 7~ + 2X4 = 2x1

- 12x2

- 11X3 - 16x4= 5

*

[

1~ -32

71

-24Soluci6n. La matriz aumenmtada del sistema A' =

-12 -11 -16 ~ ]Reduciendo A' a su forma escalonada se tiene:

F,2(-1). [ ~ -2 1 -4

: J F,'(2) [ ~

-2 1 -4

! ]6 6 5 6 6

F,3(-1)~ 0 -10 -12 -12 0 0 0

La ultima fila corresponde a la ecuaci6n

Ox, + O X 2 + O ~ + O X 4 = 6 ¢::> 0=6

Lo que es absurdo, por 1 0 que, el sistema es incompatible y carece de soluci6n .

•I OBSERVACION 8.13 Si un sistema de ecuaciones Ifneales no tiene soluciones

se dice que el sistema es inconsistente. Si por 1 0 menos

hay una soluci6n, entonces se dice que es consistente.

Suponer que la dieta minima vital es 72 unidades de proteinas,

104 unidades de carbohidratos y 88 unidades de minerales.

Un nutricionista dispone empaquetados tres tipos de alimentos A, 8, Y C, que por

paquete contienen:

Proteinas Carbohidratos Minerales

A 1 2 4

B 4 4 2

C 2 4 3

Es decir, un paquete del alirnento A contiene 1 unidad de proteinas, 2 de carbohidratos

y 4 de minerales. Se debe entregar a cada cornenzal una dieta minima en un nurnero

entero de paquetes. GCuantos paquetes de alimentos constituye la dieta minima?

Soluci6n. Sean x, y , z el numero de paquetes de losires tipos de alimentos A, B,

Y C respectivamente. Entonces, x paquetes del alimento A, 4y paque-




tes del alimento B y 2z paquetes del alimento C constituyen 72' unidades de proteinas,

que se rige por la ecuaci6n:

x + 4y + 2z = 72

Analoqarnente, sequn la tabla, planteamos el sistema de ecuaciones paracarbohidratos y minerales:

2x + 4y + 4z = 104

4x + 2y + 3z = 88

A ' = = [ ! 1a matriz aumentada del sistema es

4

4

2

2

4

3

72 ]104

88

Efectuando las transformaciones elementales por filas se tiene :

F/(-2)

[1 4 2 7 2 ] F

2'(1)

[1 0 2 32

]-4 0 -40 0 -4 0 -40

F,3(-4) 0 -14 -5 -200 F2 ( -7/2) 0 0 -5 -60

[1 0 2 8 2 ] -

[1 0 0 8

]1 0 10 F3'(-2)~ 0 1 0 10

0 0 1 12 0 0 1 12

Por 1 0 tanto, la dieta minima esta constituida por 8 paquetes del tipo A, 10 paquetes

del tipo B y 12 paquetes del tipo C. •

( ~jemplo 6 ' ) Una tabrica posee 5 rnaquinas que se utilizan en la producci6n

de cuatro artfculos diterentes A, B, C Y D. EI nurnero de horas

de cada maquina es usada en la producci6n de una unidad de cada uno de los

cuatro productos es dada por la siguiente tabla:

~

A B C 0a

. 1ra 7 2 4 3

2da 4 4 4 5

3ra 10 0 4 7

4ta 9 4 2 11

5ta 10 5 1 13

Hallar el numero de unidades que se deben producir de cad a uno de los productos

en una semana de 5 dfas, sabiendo que cada rnaquina se usa 8 horas diarias.



448 CapitliLo 8: Matrices

sotucion , Designemos por x, x2' X3 y x

4el numero de unidades de cada

articulo A, B, C Y 0 respectivamente, que se producen durante una

semana de 5 dias.

Sequn la tabla, la 1ra maquina dedica 7 horas en la producci6n de una unidad del\.

producto A, 2 horas en la producci6n de una unidad de l artfculo B, etc. Como en una

seman a cada rnaquina trabaja 5 x 8 = 40 horas, entonces la producci6n semanal de

la primera rnaquina se rige por la ecuaci6n:

7x" + 2x2+ 4x3 + 3x

4= 40

Dado que las maquinas deben trabajar simultanearnente, entonces la producci6n

semanal estara dada por la soluci6n de las 5 ecuaciones lineales

7x1+ 2x

2+ 4x

3+ 3x

4= 40

4x1 + 4x2 + 4x3+ 5x4 = 40

10x1 + OX2 + 4x3 + 7x4 = 40

9x1 + 4x2 + 2x3 + 11x4 = 40

10x1 + 5x2 + X3 + 13x4 = 40

7 2 4 3 40

4 4 4 5 40

La matriz aumentada del sistema es A'= 10 0 4 7 40

9 4 2 11 40

10 5 1 13 40

Despues de aplicar las transformaciones sucesivas : F35(-1) , F43(-1) , F,4(-1) , F'3Y

F23(-2) , la matriz aumentada se reduce a:

1 -4 2 -4 0 1 -4 2 -4 0

4 4 4 5 40 F,2(-4) 0 20 -4 21 40

-1 -6 -4 -7 -40 F]3(1) 0 -10 -2 -11 -40

2 2 -2 8 0 F/(-2) 0 10 -6 16 0

0 5 -3 6 0 0 5 -3 6 0

1 -4 2 -4 0 F23(2) 1 1 -1 2 0

0 5 -3 6 0 F24(-2) 0 5 -3 6 0

F25 0 -10 -2 -11 1-40 F25(-4) 0 -0 -8 1 -40

0 10 -6 16 0 F21(1) 0 0 0 4 0

0 20 -4 21 40 0 0 8 -3 40

F45(3/4)1 1 -1 2 0 F24(-6) 1 1 -1 0 0

0 5 -3 6 0 Fl4(-2) 0 5 -3 0 0

F43 ( - 1 / 4 ) 0 0 -8 0 -40

F 3 ( - 1 / 8 ) 0 0 1 0 5-

F 4 ( 1 / 4 )0 0 0 1 0

F5 ( 1 / 8 )0 0 0 1 0

0 0 8 0 40 0 0 1 0 5



Seccioti 8.J 3: Sistemas de ecuaciones lineales 449

F :35(-1)

1 1 0 0 5 1 0 0 0 2

0 5 0 0 15 F/1/5) 0 1 0 0 3

F :32(3) 0 0 1 0 5 0 0 1 0 5

F3'(1)0 0 0 1 0 F 2 1 ( - 1 ) 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

De la ultima matriz obtenemos : x , = 2, x2

= 3, X3 = 5, x4= 0

En consecuencia, la produccion optima semanal de la fabrics necesita que se fabri-

que 2 unidades del producto A, 3 del producto B, 5 del producto C y ninguno del

producto D.

(8.13) RANGO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Sea dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas del tipo

general:

a" x , + a 1 2 x2 + + a'l1

a2 1 X l + a22x

2+ + a

211

=b ,=b

2(1 )

•

•

o bien, en la forma matricial

AX= B (2)

donde A = [ali] de orden m x n, X = [Xi] de orden n x 1 y B = [bl] de orden m x 1. Se

denomina solucion del sistema (1) todo vector columna de n componentes de X que

convierte la ecuacion matricial (2) es una igualdad. Anteriormente hemos visto que

un sistema se denomina consistente 0 compatible, si tiene por 1 0 menos una solu-

cion, de 1 0 contrario se denomina inconsistente 0 incompatible.Para que el sistema (1) sea consistente es necesario y suficiente que se

verifique :

p (A ) = p (A')

donde A' = (AIB) es la matriz aumnetada 0 ampliada del sistema (1).

Suponiendo que p (A) = p (A') = r , es decir, el sistema es consistente, entonces

puede ocurrir.

1. Que el sistema (1) tenga una soluci6n unica. Esto sucede cuando el numero

de incognitas n del sistema es igual al rango de la matriz aumentada. Esto es,

si el sistema tiene n inc6gnitas, tendra soluci6n unica sl y solo si

P (A) = p (A') = r = n



[~o

1

o

o

o1


2. Que el sistema (1) tenga mas de una solucion. En este caso el nurnero de

incognitas del sistema es mayor que el range de la matriz aumentada. Es

decir, el sistema (1 ) tendra mas de una soluci6n, si y s610 si

p (A ) = p (A') = = r < nComo r < n, entonces las n - r inc6gnitas toman valores arbitrarios, y a los que

se las denomina valores fibres 0 paranie tros .

Si ocurre que p(A) =/ ; p(A'), entonces el sistema (1) es inconsistente.

(EjemPlo ,7 ) Investigar la consistencia y hallar la soluci6n del sistema

x1 2 x2 + 3x3 = 2

2 x1 3x2 + X3 = 1

3x1 x2 + 2 x3 = 9

Soluci6n. Reduciendo la matriz aumentada (AlB) a su forma escalonada se tiene:

[~-2 3

nF12( -2 )

[~-2 3 2

]A I B ) = -3 1 1 -5 -3

-1 2F ,3( -3) 5 -7 3

F 21 (2 )

[~0 -7

-4 ]

[~0 -7 -4

] =F2 3(-5)1 -5 -3 F 3 ( 1 / 1 8 ) , 1 -5 -3 E'

• 0 18 18 0 1 1'-----y--J

E

Observese que las matrices escalonadas EyE' tienen 3 filas no nulas (r = 3), enton-

ces p (E) = p (E') = 3, Y como A iE, A ~rE', se tiene que p (A) = p (A') = 3, adernas

el nurnero de inc6gnitas del sistema es n = = 3, por tanto, el sistema dado tiene solu-

cion unica.

Para determinar esta solucion transformamos la ultima matriz a su forma escalona-da reducida

Luego, el vector columna soluci6n es : X = ( 3, 2, 1 ) t •Resolver el sistema

x + 2y + 3z = -1

x - 3y - 2z = 3

2 x - y + z =-2




Soluci6n. Investiguemos la consistencia del sistema reduciendo la matriz aurnen-

tada ( A I B ) a su forma escalonada, esto es :

[i2 3

- ~ 1F/(-1)

[ ~

2 3

- nAIB)= -3 -2 -5 -5

-1 1 -2F13(-2) -5 -5

F2(-1/5)

[ ~

2 3-1 ]

[ ~

2 3-1 ]

1 1 -4/~ F23(-1) 1 1 -4/5 = E'F2(-1/5) 1 1 0 0 4/5

~

E

Dado que p (E) = 2 Y P (E') = 3) entonces p (E) * p (E'). Por 1 0 tanto, el sistema es

inconsiste nte. •

( Ejempl0 9 ) Resolver el sistema:

2x1 - x2+ X3+ 2x

4+ 3xs = 2

6x1 - 3x2 + 2X3+ 4x4 + 5xs = 3

6x1 - 3x2 + 4x3 + 8x4 + 3xs = 9

4x1 - 2x2 + ~ + x4 + 2x5 = 1


[2 -1 1 2 3

; ]F:(-3) [ 2 -1 1 2 3

-~ ]AlB) =6 -3 2 4 5 F,3(-3) 0 0 -1 -2 -4

6 -3 4 8 3 0 0 1 2 -6

4 -2 1 1 2 Fj

4(-2), 0 0 -1 -3 -4 -3

2 -1 1 2 3 2 F21(-1) 2 -1 0 0 -1 -1F2(-1) 0 0 1 2 4 3

F23(-1)0 0 1 2 4 3 E1=

F4

(-1) 0 0 1 2 -6 3 0 0 0 o -10 0

0 0 1 3 4 3 F24(-1) 0 0 0 1 0 0" - ,, -

v

E

Como p (E) = p (A I B) = > p (A) = P (A I B ) = 4, por tanto el sistema es consistente.

Adernas p (A) < n, entonces hay mas de una soluci6n y el nurnero de variables

libres 0 parametres es p = n - r = > p=5-4= 1. Transformando la ultima matriz

a su forma escalonada reducida se tiene :

2 -1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 0 -1F3(-1/10) 0 0 1 0 4 3 F}(-4) 0 0 1 0 0 3

F/( -2)0 0 0 0 1 0

F31(1)

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0



Si desiqnarnos a x, = s como la variable libre, entonces

2s - x2 = -1 , X3 = 3 , x4 = 0 , Xs = 0

Luego, el vector columna soluci6n es X = (s, 2s + 1, 3, 0, 0)1

•


Si el sistema dado: 2x + 3y - z + w = ~,x + 5y - z - 2w = b

2

-x + 2y + 2z - 3w = b3-

3x + Y - 3z + 4w = b4

es consistente, hallar b = (b1lb2, b3,b, )1 = rU + sV, donde r y s son parametres libres

y U Y V son matrices columnas fijas. Si elegimos b = (1, -1, -2, 3)' sigue siendo el

sistema consistente?

Soluci6n. Transformando la matriz aumentada (AIB) a su forma escalonada se

tiene:

2 3 -1 1 b1

F'31 -2 -2 3 -b

3

1 5, -1 -2 b2

1 5 -1 -2 b2(AlB) =-1 2 2 -3 b

3F3( -1 ) 2 3 -1 1 b,

3 1 -3 4 b4 3 1 -3 4 b4

F/(-1) 1 -2 -2 3 -b F23(-1) 1 -2 -2 3 -b3 3

0 7 1 -5 b2+ b

30 7 1 -5 b

2+ b3F,3(-2)

0 7 3 . -5 b, +2b3 F24(-1) 0 0 2 0 b1-b

2+b

3

F,4(-3) 0 7 3 -5 b4+3b3 0 0 2 0 2b3-b2

+b4

1- -2 -2 3 -b3

F34(-1)

0 7 1 -5 b2 + b3 = E'0 0 2 0 b, - b

2+ b,

0 0 0 0 -b, + b3+ b4

E

Vemos que p (A) = p (E) = 3 Y p(E') = 4, luego, para que el sistema sea consistente

se debe tener que p (A) = p (AIB), esto es:

-b, + b, + b4

= 0 = > b, = b3 + b4

Por 10 que: b= (b3 + b4' b2, b3, b4)1

= b, ( 0, 1, 0, O)t + b, ( 1, 0, 1, 0)1 + b, ( 1, e . 0, 1 ) 1 ( 1 )1

donde b2, b, Y b4son los parametres libres y los vectores columna (0, 1,0, O r , (1, 0,

1, 0)1 Y (1, 0, 0, ' 1 ) 1 forman una base de b.



Seccion 8.13. ' Sistemas de ecuaciones lineales 453

Dado que b se debe expresar como una combinaci6n de U y V, veremos las posibi-

lidades correctas que existe en (1) haciendo b2= 0, b

3= 0 Y b, = o .

=> r = b, Y s

=> b = rU + sV

: r = b3

Y s = b4

6 r = b4

Y s = b3·

= r (1, 0, 1, 0)1 + s (1, 0, 0, 1)16

= s (1, 0, 1, 0)1 + r (1, 0, 0, 1)1

=b 6 r=b ys=b442

= r (0, 1, 0, 0)' + s (1, 0, 0, 1)1 6

= s (0 1, 0, 0)1 + r (1 0 0, 1)1

=> r=b ys=b 6 r=b ys=b2 3 3 2

=> b = r (0, 1, 0, 0)1+s (1, 0, 1, 0)1 = S (0, 1, 0, O)' + r (1 0, 0, 1)1

Si hacemos b2= 0, entonces

Por 1 0 que: b = rU + sV

Cualquiera de las seis posibilidades es correcta, pues en cada una de elias se

cumple la relaci6n b, = b3+ b

4• Si elegimos b = (1, -1 -2,3)1, en donde b,=1, b

3= -2 Y

b4= 3, vemos que tambien satisface dicha relaci6n. Por 1 0 tanto, el sistema sigue

siendo consistente.

( E je-M plo 11 )I

Investigar la consistencia y hallar la soluci6n general del sistema

2x - x2 + X3 + 2x4 + 3x - 21 5 -

6x, - 3x2 + 2~ + 4x4 + 5xs = 3

6x1 - 3x2 + 4x3 + 8x4 + 13xs = 94x1 - 2x

2+ X3 + x

4+ 2x - 1

-


2 -1 1 2 3 2. F,2(-3) 2 '.:1 1 2 3 2

(AlB) =6 -3 2 4 5 3

F,3(-3)0 0 -1 -2 -4 -3

6 -3 4 8 13 9 0 0 1 2 4 3

4 -2 1 1 2 1 F14(-2) 0 0 -1 -3 -4 -3

F 32(1)

2 -1 1 2 3 2F24

2 -1 0 0 -1 -1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 4 3

F4(-1)

0 0 1 2 4 3F3'(-1)

0 0 1 2 4 3

0 0 1 3 4 3 0 0 0 0 0 0

2 -1 0 0 -1 -1 -F32(3)

2 -1 0 0 -1 -1

0 0 1 3 4 3 0 0 1 0 4 3F23(-1) = EI

0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0F 3( -1)

0 0 0 0 0 0

Observese que p (E) = p (E') = 3 => P (AlB) = 3, luego el sistema es consistente,

Adernas como n > r, hay mas de una soluci6n y el numero de variables libres 0

parametres es p = n - r = 5 - 3 = 2.



454 Capitulo 8: Matr i c e s

De la ultima matriz obtenemos :

2x1 - x2- X5 = -1 , X3 + 4x5 = 3 , x4 = 0

Si designamos por Xl = r , x2= s a las variables libres, entonces

2r - s - X5 = -1 = > X5 = 1 + 2r - s ; X3 = 3 - 4 ( 1 + 2r - s ) = -! -Br + 4s

Por 10tanto, la soluci6n general del sistema esta dada por Ie vector columna

x = ( r, s, -1 - 8r + 4s, 0 , 1 + 2r - s ) t

C .Ejemplo 12 ) Dado el sistema: Xl + + 2x3 = 1

x , + x2 + (4a + 2) X3 = 1

2x, + aX2

+ 5x3

= 2

3x, + aX2

+ 7x3

= b

Hallar los valores de a y b, para que el sistema tenga soluci6n (mica.


1 0 2 1 F12(-1) 1 0 2

J 3 ]AlB) =

1 1 4a+2 1F,3(-2)

0 1 4a

2 a 5 2 0 a 1

3 a 7 b F,4(-3) 0 a 1

F/(-a) 1 0 2 1 1 0 2 1

0 1 4a 0 0 1 4a 0 = E'F/(-a) 0 0 1-4a2 0

F34(-1)0 0 1-4a2 0

0 0 1-4a2 b-3 0 0 0 b-3'-y---/

E

EI sistema tendra soluci6n unica si y s610si P (E) = p (E') = n = 3.

Luego, para que p (E) = 3 se debe cumplir que 1 - 4a2 :t = 0 ¢::> a :t = ± 1/2 y para

que p (E') = 3 es necesario que b - 3 = 0 = > b = 3. En consecuencia, el sistema

tiene soluci6n unica

¢::> b=3 y a c R-{-1/2, 1/2}

( Ej~mplo 1 3 ) Determinar para que valores de a y b, el sistema de ecuaciones

2x + 3y - _z = 1

X - Y + 2z = - b

X - 6y + az = -10

sequn sea el caso, tiene soluci6n ursca, tiene infinitas soluciones 0 no tiene soluciones.

Soluci6n. Escribamos la matriz ampliada ( A I B ) y transtorrnernosla a la forma

escalon ada.

•

•




(2 3 -1 1

1[

1 -1 2-b J(AlB) = 1 -1 2 -b F '2 2 3 -1

-1 ~-6 a -10 1 -6 a

F /( -2)

[1 -1 2 -b

1 [1 -1 2

-b J0 5 -5 1+2b F

23(1 ) 0 5 -5 1+2b

F13(-1) 0 -5 a-2 b-10 0 0 a-7 3b-9

p -1 2 -b

J ; E '2(1/5) 1 -1 (1+2b) /5

\ 0 0 a-7 3b-9v

/

E

a) Si a::;!:.7 y b : : ; ! : . 3, entonces : p (E ) = p (E ' ) = n = 3, el sistema tiene solucion

unica.

b ) Si a::;!:. y b = 3, entonces p (E ) = 3 Y P (E ') = 2, como p (E ) : : ; ! : . p (E') , el sistema

no tiene solucion (inconsistente).

c) Si a = 7 Y b = 3, entonces p (E ) = p (E') = 2 < n, luego el sistema tiene infinitas

soluciones. •( Ejemplo 14) Una Agencia de Turismo esta organizando una excursion y ha

cursado una invitacion a los alumnos de! curso de MB2 (Mate-

rnatica Basica 2) mediante las especificaciones siguientes

1. Se tienen cupos para alumnos matriculados en MB2 por primera vez (grupo A),

segunda vez (grupo B), tercera vez (grupo C) y cachimbos invitados (grupo D).

2. Si participan de la excursion los cuatro podrfan asistir 70 personas.

3 . Si dejan de asistir los alumnos del grupo A , se podrfa dupl icar el cupo para los del

grupo B mantenimiento el resto de los cupos y podrfan participar 90 personas.

4. Si dejan de asistir los alumnos del grupo C, se podrfa duplicar el cupo para los

del grupo A, triplicar el cupo para los del grupo B, manteniendo el cupo del

grupo 0 y en este caso podrfan participar 90 personas. Se pide :

a) Analizar la compatibilidad del sistema

b) Calcular el mayor nurnero de cachimbos que se pueden invitar.

Soluci6n. Sequn las especificaciones de la invitacion, planteamos el siguiente

sistema:

A + B + C + 0 = 70

o + 28 + C + D = 90

2A + 38 + 0 + 0 = 90




a) Para analizar la cornpatibilidad del sistema debemos reducir la matriz arnplia-

da (AlB) a su forma escalonada, esto es:

U1 1 1

70 ]

U1 1 1

70 J(AlB) = 2 1 1 90 F,3(-2) 2 1 1 903 0 1 90 1 -2 -1 -50

F32(-2)

U0 3 2

120 J U0 3 2

120 JF3 '(-1)

0 5 3 190 F23 1 -2 -1 -50

1 -2 -1 -50 0 5 3 190

U

0 3 2120 J F '(2) [1

0 0 1/5

2~ J = E'3(1/5) -1 -2 -1 -50 3 0 1 0 1/5

0 1 3/5 38 F 3'(-3) 0 0 1 3/5 38

E

Vemos que p (E) = p(E') = 3 => p (A) = p (AlB) = 3; por 1 0 que, el sitema es

compatible 0 consistente, adernas como el nurnero de inc6gnitas (n = 4) es

mayor que el rango, entonces existe mas de una soluci6n y el nurnero de

variables libres es p = n - r = 4 - 3 = 1.

De la ultima matriz : A + 1/5 0 = 6

B + 1/5 0 = 26 =>

C + 3/5 0 = 38

=> 0 = 5 (6 - A)

D = 5 (26 - B)

=> 0 = 5/3 (38 - C)

La designaci6n de 0 como la variable libre permite ver clararnente que

A ::; 6 ,B s 26 , C ::; 38

b) EI mayor nurnero de cachimbos que se puede invitar ocurre cuando el-qrupo B

deja de asistir, esto es, si B = 0, entonces : 0 = 5 ( 26 - 0 ) = 130 •

(8.:14) SISTEMAS HOMOGENEOS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales es honiogeneo si todos los terrninos

constantes son cero, es decir, si el sistema tiene la forma

a" x, + a'2 x2+ ................... ~............. + a x = 0I n n

a21Xl + a22X2 + ............................... + a2n X = 0n• • •. • • •

• • •• • •

aml x , + a X2+ ............................. + a Xn = 0m2 mn



Seccion 8. ]4: Sistemas homogeneos de ecuaciones lineales 457

Todo sistema hornoqeneo de ecuaciones lineales es consistente, dado que x, = = 0,

x2

= 0, , x n = 0 es siempre una soluci6n. Esta soluci6n se conoce_como

solucion tris ial , si existe otras soluciones, a estas se lIaman soluc iones 170 triviales .

A simple vista es posible asegurar que un sistema hornoqeneo tiene soluciones no

triviales, si es el caso que el sistema tiene mas inc6gnitas que ecuaciones.

Resolver el sistema hornoqeneo

\ - 2X2 + 3x3 + x4 = 0

3x, - 5x2 + 4x3 + 2X4= 0

4x, - 9x2+ 17x

3+ 5x

4= 0

Soluci6n. Transformando la matriz ampliada (AIO) a la forma escalonada se

tiene:

(A 10)

[ !

-2 3 1

-5 4 2

-9 17 5

[ ~

-2 3 1

1 -5 -1

0 0 0

U-2 3 1

~ ]-5 -1

-1 5 1

U

0 -7 -1

~ ]-5 -1 = E'

0 0 0

E

Como p(E) =p (E') =2 Y el nurnero de inc6gnitas (n = 4) es mayor que el rango, enton-

ces existe infinitas soluciones. EI nurnero de variables libres es p = n - r = 4 - 2 = 2.

EI sistema de ecuaciones correspondientes a la matriz E' es

x , - 7x3

- x4

= 0

x2

- 5x3

- x4 = 0

Si desiganmos a las variables libres por X3 = t , Y x4= t2 ' el conjunto soluci6n del

sistema es

x , = 7t, + t2 ' ~2 = 5t, + t2 ' X3 = t, , x 4 = t2

Y la notaci6n vectorial, soluci6n general del sistema, esta representado por el vector

columna

x = (7t, + t2, si, + t2, t

1, t2)1

= t, (7 5, 1, 0)1 + t2 (1, 1, 0 1)1 •I OBSERVACION 8.14 Sea S c Kn un conjunto de todas las soluciones de un

sistema hornoqeneo. Cualquier base en el conjunto S con-

siste de n - r vectores e, e2,· , en. r . Un sistema de vectores columna E, , E2,




...... , E n « ' correspondiente al conjunto citado en la base can6nica, se denimina

sistema fundamnetal de soluciones. La soluci6n general del sistema homoqeneo tiene

por expresi6n

x = t 1 E , + 12 E2 + ..."....0 • 0 + t Eo r n o r

donde t " t2, , t n -r son constantes arbitrarios 0 parametres,"

Asf, de la soluci6n general del ejemplo anterior podemos hallar el sistema funda-

mental de las soluciones basicas :

1

1

o

1

7

5

1

o

E=2

Con la utilizaci6n del sistema fundamental, la soluci6n general del ejemplo puede

ser escr ita en la forma

x = t , E, + t 2 E2

Resolver la ecuaci6n matricial AX = X , donde X es una matriz

columna y

2 2 4 -3

A= 3 6 6 -44 5 -1 3

3 8 24 -18

Soluci6n. Si AX = X => (A-I)X = e

1 2 4 -3 Xl 0

3 5 6 -4 X2

0=4 5 -2 3 X3 0

3 8 24 -19 x4

0

Se trata de resolver un sistema hornoqeneo. En este caso bastara hallar el range

de la matriz (A - I) reduciendola a su forma escalonada, esto es

1 2 4 -3 F/(-3) 1 2 4 -3

3 5 6 -4 F,3(-4) 0 -1 -6 5

4 5 -2 3F14(-3)

0 -3 -18 15

3 8 24 -19 0 2 12 -10

F2 ( -1) 1 2 4 -3 F23(-1) 1 0 -8 7

F3(-1/3) 0 1 6 -5 F24(-1) 0 1 6 -5 E'F 4 ( 1 / 2 )

0 1 6 -5F1

2(-1)

0 0 0 0

0 1 6 -5 0 0 0 0



Seccion 8.14: Sistemas homogeneos de ecuaciones lineales 459

Vemos que p (E') = p (A - I) = 2 < 4 (nurnero de inc6gnitas), por 1 0 que el sitema tiene

infinitas soluciones y existe p = n - r = 4 - 2 = 2 variables libres. De la ultima matriz

formamos el sistema

x , - 8x3 + 7x4 = 0x2+ 6X3 - 5 x 4 = 0

Designando por X3= t , Y x4

= t2 a las variables libres, entonces

x, = 8t, - 7t2 ' x2 = 6t1 + 5t2

Por 1 0 tanto, la soluci6n general de la ecuaci6n matricial esta dada por el vector

columna:

x = ( si, -7t2' -6t1 + 5t2, t , t2)1

= t , (8, -6, 1, 0) t + t 2 (- 7, 5 0, 1) t

= t , s, + t2 E 2 •( Ejemplo 17 ) Determinar el valor del parametro a para los cuales el.sistema

dado tiene soluciones no triviales y hallese estas soluciones

x , + a x2+ 2x

3= 0

4x, - x2 + 7x3 = 0

2x, + x2 + 3x3 = 0

Soluci6n. Reduciendo la matriz de los coeficientes a su forma escalonada, se tiene:

A= [1 a

~ lF,'(-4) [1 a2

1 [ ~

a

- ! 14 -1 o -1 -4a -1 F32(-2) -3

2 1 F,3(-2) 0 -1 -2a -1 1 -2a

[ ~

a 2 1F,'(2,,-1) [~

a 2

J = E '-1/3 1 -1/3

1-2a 1 0 -2/3(a+ 1)

Para que el sistema tenga soluciones no triviales es necesario que p (E ' )=2, ya que

el nurnero de inc6gnitas del sistema es n = 3. Luego, si

p (A) = 2 ~ - 2/3 (a + 1) = 0 < = > a = -1

- 1 2 ] [ 1 0 5/3]1 -1/3 F21 (1 ) 0 1 -1 /3

o 0 • 0 0 0~ E' = [~

De la ultima matriz obtenemos : Xl + 5/3 X3 : : : ! : 0, x 2 -1/3 X3= 0

Si designamos X3= t , como la variable libre, entonces:

x, = = (-5/3)t1 ' x 2 = (1/3)t1

: . X = t , (-5/3, 1/3, t)' = t , E l •



4 60 Capftulo 8: Mairlrc«

Resolver el sistema: X t A ::::X I , donde

2 2 1 3

A::::

2 5 2 6

X es una matriz columna.- 1 -3 - 1 -5 Y

3 8 5 1 4 \.

Soluci6n. Tomando la transpuesta a cada miembro del sistema dado, se tien

( X I A)t :::: ( X I ) t ¢::> ( A ' -I ) X : :: : e

1 2 - 1 3 Xl 0

I4 -3 8 x2 0

~ ::::

1 2 -2 5 X3 0

3 6 -5 13 x4 0

Como se trata de un sistema hornoqeneo calculamos el rango de la matriz

[!2 - 1

J IF 2(-2)

[1 2 - 1

!I~

4 -3 F/(- 1 ) 0 0 - 1

A '- I:::: 2. -2 0 0 - 1

6 -5 F,4(-3) 0 0 -2

F23(-1)

[ ~

2 - 1

n [

1 2 0

~ I-1 0 0 -1

F24(-2) 0 0 F2'(-1) 0 0 0 ::::E'

0 0 0 0 0,'.

Vemos que p (E'):::: 2 < 4 (nurnero de incognitas), entonces hay infinitas soluciom

y el numero de variables libres es p:::: n - r :::: 4 - 2 :::: 2.

De la matriz E' formamos el sistema: x, + 2x2+ x4 :::: 0 , -X3+2X4 ::::0

Haciendo x2 ::::t, y x4 ::::t2 ~ x,:::: -a, - t2 Y X3::::2t2

Por 1 0 que: X ::::( -2t,- t2, t , ' 2t2 ' t2),

::::tl( -2, 1, 0, O)t + t2 ( -1 , 0, 2, t )' :::: t,E, + t2E2

E.JERCICIOS •;-;Grupo 47

En los ejercicios 1 a13, suponiendo que la matriz ampliada del sistema de ecu

lineales se ha lIevado, mediante transformaciones por filas, a la forma esc 1 lIoid

que se indica; resolver el sistema.

1.

U2 -4

- l J2 . [ ~

0 4 710 J 3 " [ ~

1 3

1 -2 1 -3 -4 -2 1 2 • 1

0 1 0 1 1 2 0 1



EJERClCI0S: Grupe 474 6 1

En los ejercicios 4 al 9, resolver los sistemas de ecuaciones dados mediante trans-

formaciones elementales

4. x , - x 2 + ~ = 4

2 x , + x2

- 3x3 = 0

x , + x 2 + X3 = 2

7. 2 x , + x2

+ X3 = = 8

8x - x - 3x = = 2 6, 2 3

4x , + x2 + 4X 3 = = 8

5. 2 x , + 3x2

- X = 9 8. 5x - 2 x2 + X3 ==33 ,

3x , + 4x 2 + 2 x = 0 6x , + x2 - 4X 3 = 623

x , - 6x2 - 5x = -9 x , + 2 x2 + X3 ==153

2 x , + x 2 - X3= 5

x , - x2+ 2 x3 = -1 0

x , - 2 x 2 - 4x3 = -3

9. x - 3x + 12 x3 = 61 2

2 x + 10x - 40X 3 = -4, 2

-4x , - 7x2 + 41x3 = -3 1

n los ejercicios 10 al 16 investigar la compatibilidad y hallar, si es posible, la solu-

( i6n general de los sistemas dados:

10.

1 1 .

I ,

I I.

3x , - 2 X 2 - 5x3 + x4 = 3

2 x , - 3x? + X3 + 5x4

= -3

x , + x2

- 4x4= -3

x - x - 4x + 9x = 2 21 2 3 4

14. x - 2 x + 2 x 3 - x 4 = -1 4, 2

3X1+ 2 x

2- X3 + 2 x4 = 17

2 x1+ 3x

2- X3 - x 4 = 18

2X1 - 5x2+ 3x 3 + 3x4 = -2 6

x , + x 2 + X 3 + x 4 = = 2

2 x - 3x = = 14x , + x2 - 3 4

X - 3x - 2x - x == -31 2. 3 4

3x - 5 x + 2 x3 + 2 x 4 = -15, 2

- x + x + 2 x3 + x 4 = 41 2

2 x , - 2 x2

+ X3 + 3x 4 ==~

3x , - 3x2

+ X3 + 3x 4 = 3

x -1 x - x = 53 "

9x , - 3x 2 + 5~ + 6x 4 = 4

6x , - 2 x2 + 3~ + 4X4 = 5

3x , - x2+ 3X 3 + 14x 4 = -8

15.

ejercicios 17 al 2 0, investigar 18.compatibilidad - y hallar la soluci6n general de

..istemas dados.

x , - 2 x 2 + X3 - 4X4 = 1

X l + 3x2 + 7x3 + 2 x 4 = 2

x , - 1 2 x2 - 11 x2- 16x

4= 5

16.

3x , - 5 x2 + 2 x3 + 4x 4 = 2

7x , - 4x 2 + X3 + 3x4 = 5

5x , + 7x2- 4x3 - 6x

4= 3

3x - 2 x - 5x3 + X = 3 19 . X l + x2

- X3 + X - X = 51 2 4

4 S

2 x , - 3x2 + X3 + 5x = -3 2 x , + 2 x2 - 2 x3 +x4

+ 3xs

= 24

X l + x2 4x = -3 -X l - x2

+ X3 + 2 x 4 + X = 44

5

X l - x2

- 4x3 + OX4= 2 2 sx , + 3x2 - 3x

3 + x4 + 3xs = 3



4 62 Capitulo 8: Matrices

18. 20. x , + X2- 2 X 3 + X

4+ 3 ,xs = 1

2 x , - x2+ 2 x3 + 2 x 4 + 6xs = 2

3x , + 2 x2 . - 4X 3 - 3x4

- 9xs = 3

4x , + x 2- 2 x3 + 4x 4 + 12 xs = 4

2 x = 14

X = 04

2 x , - 3x2 .+ X3 + 3~ t1 = 1

x , - X3-

3x 1 + 4x 2 - 4~ +

En los ejercicios 2 1 al 2 4, investigar la consistencia y hallar la soluci6n general en

funci6n del valor del parametro A.

21. AX , + x2+ X3+ x

4= 1

x , + AX2+ X3+ x

4= 1

x , + x2 + AX 3 + x4

= 1

x , + x2 + X3 + A x 4= 1

23. (1 +A ) x , + x 2+ x3=1

x , + (1 + A) x2+ X3= 1

x , + x 2 + (1 + A) X 3= 1

22. 2 x - x2+ 3x3 + 4x = 5 2 4. sx, - 3x

2+ 2 x3 + 4x

4=3

4

4x , - 2 x2+ 5x

3+ 6x = 7 4x , - 2 x

2+ 3x3 + 7x

4= 1

4

6x , - 3 x2+ 7x3 + 8x = 9 8x - 6x - x - 5x

4=9

4 , 2 3

AX , - 4x2+ 9x

3+ 1 O X

4= 11 7x , - 3x

2+ 7x

3+ 17x 4 = A

En los ejercicios 2 5 al 2 8 , hallese el sistema fundamental de soluciones y la soluci6n

general de los sistemas dados

2 x , - 4x2+ 5x3 + 3x

4= 0

3x , - 6x2+ 4x

3+ 2 x

4::: 0

4x , - 8x2+ 17x

3+ 11 x 4 = 0

27. 3x 1 + 4x 2 + X3 + 2 x 4 + 3xs = 0

5x , + 7x 2 + X3 + 3x 4 + 4xs = 0

4x , + 5x2+ 2 x3 + x

4+ 5 xs = 0

7x , + 10x2+ X3 + 6x 4 + 5xs :: : 0

26. 3x , + 2 x 2 + X3 + 3x 4 + 5xs = 06x , + 4x 2 + 3x3 + 5x 4 + t-,= 0

9x , + 6x2+ 5x3 + 7x 4 + 9xs = 0

3x1+ 2 x

2+ 4x3 + 8xs = 0

28. - 3x - 2 x = 04 S

x , - x2

+ 2 x3 - x , + 2 xs = 0

4x , - 2 x 2 + 6x 3 + 3x 4 + xs:: : 0

2 x , + 4x 2 - 2 X 3 + 4x 4 + X s = 0

29. Determinar los valores del parametro a, para los cuales los sistemas dados tiene

soluciones no triviales y hallese estas soluciones

a ) a 2x, + 3x2+ 2 x3 = 0

ax, - x2+ X3::: 0

8x 1 + x2+ 4x3 = 0

b) 2 x1+ x

2+ 3X 3 = 0

4x , - x2+ 7x

3= 0

x , + aX2 + 2 X 3 = 0



EJERClcros: Grupu 47 463

30. Aclarese si las filas de cada una de las matrices:

[ 3 0 - 2 4 43 50-5 J [ 4 2 9 -20

- : J= 9 -15 8 5

-3~

,B= 1 -11 2 13

4 2 9 -20 9 -15 8 5

forman un sistema fundamental de soluciones para el sistema de ecuaciones

3x, + 4x2+ 2x3 + x

4+ 6xs =0

5x, + 9x2+ 7x

3+ 4X4+ 7xs =0

4x, + 3x2

- X - x4+ 11Xs =03

x , + 6x2+ 8x

3+ 5x

4- 4xs =0

I Nota. Dado un sistema no hornoqeneo AX = B, la soluci6n general de este

sistema puede obtenerse como una suma de la soluci6n general del correpondiente

sistema hornoqeneo AX = 0 y una soluci6n particular arbitraria del sistema no homoqeneo.

Esto es

En los ejercicios 31 al 34, hallense las soluciones generales de los sistemas no

hornoqeneos, haciendo uso del sistema fundamental de soluciones de los sistemas

hornoqeneos correspondientes.

31. 2x, + x2 - X3- x4 + Xs= 1

x, - x2 + X3+ x4 - 2xs = 0

3x, + 3x2

- 3x3 - 3x4 + 4xs = 2

4x2+ 5x

2- 5x3 - 5x

4+ 7xs = 3

33. 2x, - 2x2 + X3- x4 + Xs= 1

Xl + 2x2 - X3+ x4 - 2xs = 1

4x, - 10x2 + 5x3 - 5x4 + 7xs = 1

2x, - t4x2+ 7x

3- 7x4 + 11Xs= 1

32. x , - x2+ X3- x 4 + Xs - X6 = 1

2x, - 2x2+ 2x3 + x4 - Xs+ X6 = 1

34. x, + 2x2+ 3x

3+ 4x4 + 5xs = 0

x, - 2x2- 3x3 - 4x4 - 5xs = 2

2x2+ 3x3 + 4x4 + 5xs = -1

35. Una Iabrica posee tres maquinas A, Bye, las cuales trabajan en un dfa, duran-

te 15, 22 Y 23 horas respectivamente. Se producen tres artfculos X, Y Y Z en

estas maquinas, en un dia, como sigue : una unidad de X esta en A durante 1

nora, en B durante 2 horas, en C durante 1 hora; una. unidad de Y esta en A

durante 2 horas, en B durante 2 horas, en C durante 3 horas; una unidad Z esta

en A durante 1 hora, en B durante 2 horas; en C durante 2 horas. Si las rnaqui-

nas se usan a maxima capacidad, durante un dia, hallar el numero de unidades

de cada articulo que es posible producir.



R. F16UEROA G.

R. AGUEROA G.

G.N.BERMAN~.. .

Problemas y ejerclcios de

ANALISISMATEMATICO

Torno 1

Solucionariopor: R. Figueroa G.

iFi

Matrices y Deter Min Antes Figueroa

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