1. 1. DESENHO GEOMTRICO Clarissa Ferreira Albrecht Luiza Baptista de Oliveira DESENHODESENHO GEOMTRICOGEOMTRICOGEOMTRICOGEOMTRICO Clarissa Ferreira AlbrechtClarissa Ferreira Albrecht Luiza Baptista de OliveiraLuiza Baptista de Oliveira Coordenadoria de Educao Aberta e a Distncia 20 Departamento de Arquitetura e Urbanismo
2. 2. Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico 2 DESENHO GEOMTRICO Universidade Federal de Viosa Reitora Nilda de Ftima Ferreira Soares Vice-Reitor Demetrius David da Silva Conselho Editorial Andra Patrcia Gomes Joo Batista Mota Jos Benedito Pinho Jos Luiz Braga Tereza Anglica Bartolomeu
3. 3. 3 DESENHO GEOMTRICO Diretor Frederico Vieira Passos Avenida PH Rolfs s/n Campus Universitrio, 36570-000, Viosa/MG Telefone: (31) 3899 2858 | Fax: (31) 3899 3352
4. 4. Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico 4 DESENHO GEOMTRICO ALBRECHT, Clarissa e OLIVEIRA, Luiza - Desenho Geomtrico. Viosa, 2012. Layout e Capa: Diogo Rodrigues e Daniel Fardin Editorao Eletrnica: Diogo Rodrigues Desenhos elaborados no GeoGebra: Cristiano Ferreira de Oliveira Reviso Final: Joo Batista Mota
5. 5. 5 DESENHO GEOMTRICO 1. INTRODUO 2. A TCNICA 3. CONSTRUES FUNDAMENTAIS 4. TANGNCIA 5. CONCORDNCIA 6. MTODOS DE ESTUDO DOS PROBLEMAS DE DESENHO GEOMTRICO 7. OS PRINCIPAIS LUGARES GEOMTRICOS 8. SEGMENTOS PROPORCIONAIS 9. EQUIVALNCIA 10. SEMELHANA E HOMOTETIA 11. CNICAS 12. ESPIRAIS 13. PROCESSOS APROXIMADOS REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS NOTAS FINAIS SUMRIO 7 9 15 32 35 37 40 46 56 63 70 74 77 83 84 APRESENTAO 6
6. 6. Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico 6 DESENHO GEOMTRICO Este material foi desenvolvido como apoio didtico disciplina de graduao ARQ 102 Desenho Geomtrico, oferecida pelo Departamento de Arquitetura e Urbanismo da Universidade Federal de Viosa. O objetivo apresentar, de forma lgica e instrutiva, o contedo abordado na disciplina Desenho Geomtrico, possibilitando o estudo e o entendimento de outros tipos de desenhos teis na Arquitetura, Engenharia, Matemtica e outras reas de conhecimento. Ressalta-se que o estudo e a prtica do Desenho Geomtrico se constituem num exerccio mental capaz de desenvolver o raciocnio lgico-dedutivo e a cria- tividade na busca por solues de problemas diversos. Apresentao
7. 7. 7 DESENHO GEOMTRICO Introduo 1.1 O que o Desenho Geomtrico De acordo com sua finalidade, o desenho pode ser classificado em trs reas gerais: Desenho de Expresso ou Artstico Desenho de Representao ou Tcnico Desenho de Resoluo ou de Preciso O Desenho de Resoluo ou de Preciso abrange o Desenho Geomtrico, a Geometria Descritiva e a Perspectiva. Especificamente, o Desenho Geomtrico um conjunto de tcnicas utiliza- das para construo de formas geomtricas desenvolvidas na resoluo de pro- blemas para obter-se respostas to precisas quanto possvel. O processo de Desenho Geomtrico baseia-se nas construes com rgua e compasso regidas pelos trs primeiros dos cinco Postulados de Euclides, sendo eles: a. Traar uma linha reta de um ponto qualquer a outro ponto qualquer; b. Estender um segmento de reta continuamente em uma linha reta; c. Descrever um crculo com qualquer centro e qualquer raio; d. Todos os ngulos retos so iguais; e. Que, se uma linha reta caindo sobre duas linhas retas faz ngulos inter- nos do mesmo lado cuja soma seja menor do que dois retos, as duas linhas retas, se estendidas indefinidamente, encontram-se no mesmo lado em que a soma dos ngulos internos menor do que dois retos. Embora o uso de rgua e compasso tenha uma relevncia histrica, a im- portncia do Desenho Geomtrico para o desenvolvimento das faculdades es- paciais tem favorecido a adeso de sistemas computacionais como ferramentas no processo de ensino-aprendizagem. Tais sistemas possibilitam a obteno de desenhos ainda mais precisos, alm de favorecer a aplicao do Desenho Geomtrico nas reas de atuao que nele se baseiam. 1.2 A origem do Desenho Geomtrico As formas geomtricas esto em toda parte. A Geometria foi desenvolvida a partir de observaes exaustivas para suprir a necessidade do homem em domi- nar as propriedades do espao utilizando o sistema de pontos, linhas, superfcies e slidos. Para os matemticos da Antiguidade, foi imprescindvel que houvesse m- todos de construes geomtricas necessrios ao entendimento e enriqueci- mento terico da Geometria, e ao desenvolvimento das solues dos problemas geomtricos. A Geometria como cincia dedutiva teve incio na Grcia Antiga, aproxima- damente no sculo VII a.C., graas aos esforos de filsofos predecessores de Euclides, comoTales de Mileto, Pitgoras e Eudoxio. Por volta de 300 a.C., Euclides deu uma grande contribuio para a Geometria ao escrever o livro Elementos Captulo 1DESENHO GEOMTRICO
8. 8. Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico 8 DESENHO GEOMTRICO que constitudo por 13 volumes. Nesta obra, o autor descreveu a Geometria de modo elaborado e estabeleceu um mtodo de demonstrao clara e rigorosa. Foram os gregos que deram um molde dedutivo Matemtica. A partir da Geometria Grega foi desenvolvido o Desenho Geomtrico a ser tratado nesta apostila.NohaviaentreosgregosumadiferenciaoentreDesenhoGeomtrico e Geometria. O Desenho Geomtrico era utilizado na forma de construes geo- mtricas para solucionar um problema terico dos textos de Geometria. Assim, pode-se dizer que o Desenho Geomtrico uma parte da Geometria que, desde a Antiguidade at os dias atuais, prope-se a resolver graficamente problemas de natureza terica e prtica que permeiam inmeros mbitos do cotidiano. 1.3 A importncia do Desenho Geomtrico O Desenho Geomtrico ocupa lugar de destaque no estudo e na prtica da Matemtica devido ao fato de muitos problemas tcnicos poderem ser resol- vidos com maior rapidez e clareza por meio de processos grficos do que por processos analticos. O Desenho Geomtrico uma das bases que sustentam o Desenho Tcnico, o Desenho de Resoluo (Grafosttica, ptica Grfica e Namografia etc.) e ainda o Desenho Artstico. A exatido e a preciso exigidas no Desenho Geomtrico fazem dele um alia- do importante na aplicao de conceitos da Geometria em reas significativas do conhecimento humano, como a Arquitetura, a Engenharia, a Matemtica, en- tre outras. Por meio do Desenho Geomtrico so encontradas respostas precisas para problemas de natureza prtica ou terica. O exerccio intelectual feito na busca por solues exatas permite que o estudante desenvolva a habilidade de visualizar, prever e gerar novas ideias.
9. 9. 9 DESENHO GEOMTRICO 2.1 Postulados do Desenho Geomtrico Cada tipo de desenho tem seus prprios postulados, inclusive seus prprios instrumentos de trabalho. Para que o estudo do Desenho Geomtrico possa ser encadeado de forma lgica e racional, visando a construo do conhecimento e o desenvolvimento do raciocnio grfico, necessria a adoo de alguns postu- lados, baseados na teoria e consagrados pelo uso. 1 Postulado: Os instrumentos permitidos no Desenho Geomtrico so a r- gua e o compasso comum e de ponta seca, com os quais podem ser executadas as seguintes operaes grficas: Assinalar um ponto geomtrico, pela intercesso de duas linhas; Traar uma reta completamente arbitrria ou arbitrria passando por um ponto; Traar uma reta por dois pontos conhecidos; Traar um arco de circunferncia, de centro e raio arbitrrios ou um deles conhecido; Traar um arco de circunferncia de centro e raio conhecido; Transportar um segmento conhecido. A graduao da rgua somente deve ser utilizada para colocar no papel os dados de um problema ou eventualmente para conferir uma resposta. 2 Postulado: No permitido fazer contas com as medidas dos dados de- vendo a resposta ser obtida graficamente, entretanto, so permitidas considera- es algbricas na deduo ou justificativa de um problema. Ex. determinao do ponto mdio de um segmento, quarta proporcional etc. 3 Postulado: No permitido obter respostas mo livreoupor tentativa e erro. Essesmtodospodem levar a particularizao da soluo, que pode no se aplicar quando alteram-se os dados do problema. 2.2 O material de desenho Na prtica do Desenho Geomtrico, ter o material adequado fundamental, mas no suficiente; imprescindvel saber us-lo de forma correta. a) Superfcie de trabalho A superfcie de trabalho deve ser plana, regular e limpa. O papel deve ser fixado sobre a mesa de trabalho com uso de fita adesiva em suas extremidades. b) Lapiseira Priorizar o uso de lapiseira com ponta de, no mximo, 0,5mm e grafite com dureza mdia, tipo HB. Ao utilizar a lapiseira, apie bem a mo sobre o papel e trace da esquerda para direita. c) Borracha aconselhvel que a borracha seja macia, apague com facilidade - sem agre- dir o papel, esteja sempre limpa e seja movimentada sempre no mesmo sentido, segurando a folha com a outra mo. Captulo 2 A tcnica DESENHO GEOMTRICO
10. 10. Desenho GeomtricoDesenho Geomtrico 10 DESENHO GEOMTRICO d) Rgua Deve-se utilizar uma rgua de alta preciso. Conserve a rgua limpa usando uma flanela. No utilize a rgua para cortar papel. e) Compasso importante que o compasso apresente abertura firme, e que a ponta de grafite esteja lixada corretamente. O raio do compasso deve ser ajustado fora do desenho em resoluo. O giro do compasso deve ser conduzido apenas no sentido horrio. 2.3 Erros Grficos Um futuro profissional de Matemtica, Engenharia ou Arquitetura precisa saber desenhar com preciso e destreza. O estudo dos erros grficos funda- mental para que, desde o incio, o estudante desenvolva o hbito de desenhar de forma correta e, assim, alcanar uma preciso cada vez maior na resoluo grfica de problemas. O erro grfico relacionado preciso inevitvel, entretanto, pode ser mini- mizado. Para isto, necessrio conhecer os tipos de erros, suas origens e formas prticas de minimiz-los. Podemos definir dois tipos de erros: Erro grfico linear a distncia entre o ponto procurado e o ponto obtido graficamente, e; Erro grfico angular o ngulo entre a reta procurada e a reta obtida gra- ficamente. Tanto o erro linear como o erro angular pode ser classificado em dois tipos: Erro