Derivadas en una sola variable
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Autor: Sebastián Lema
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Derivada de una función en un punto
La derivada de una función f(x) en un punto x=a es el límite, si existe y es finito, de las tasa de variación media, TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero. La representamos por f'(a) y es :
Función derivada.La función derivada de una función y=f(x), que sea derivable en su dominio, es una función que asocia a cada valor de la variable x, el valor de la derivada en ese punto. La representamos por f'(x) o y' y viene dada por :
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Ejemplo de cálculo de la función derivada
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Idea gráfica del concepto de derivada
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Ecuación de la recta tangente y normal a una curva
La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).
y-f(a)=f’(a)(x-a)
La recta normal a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a -1/f '(a).
y-f(a)=-1/f’(a)(x-a)
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Derivada lateral por la izquierda
La derivada lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasa de variación media TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero por la izquierda del cero, es decir tomando sólo valores negativos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la izquierda y es :
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Derivada lateral por la derecha
La derivada lateral por la derecha de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasa de variación media, TVN[a,a+h] cuando h tiende a cero por la derecha del cero, es decir, tomando sólo valores positivos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la derecha y es:
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Continuación de derivadas laterales
Si en un punto x=a, las derivadas laterales no coinciden, es decir, son distintas, la función no es derivable en el punto x=a.
Si la función tiene derivada en un punto x=a, existen las derivadas laterales y son iguales,es decir;
f’(a)=f’(a+)=f’(a-)
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Relación entre continuidad y derivabilidad
La condición de derivabilidad es más fuerte que la condición de continuidad, una función derivable en un punto, además de ser continua en ese punto , varía suavemente al pasar por el punto, no sufre cambios bruscos. Esto, lo expresamos matemáticamente en el siguiente enunciado:
“Si una función y=f(x) es derivable en x=a, entonces la función es continua en ese punto”
Demostración: Si existe y es finita f'(a)
Luego la función es continua en x=a.
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Operaciones con derivadas
Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
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Cálculo de derivadas de funciones elementales
Función Derivada Ejemplos
Constante
y=k y'=0 y=8 y'=0
Identidad
y=x y'=1 y=x y'=1
Funciones potenciales
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Cálculo de derivadas de funciones elementales
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
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Cálculo de derivadas de funciones elementales
Funciones trigonométricas (Continuación)
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Funciones crecientes y decrecientes
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Monotonía: Crecimiento y Decrecimiento
TEOREMA 1Sea (f,D) derivable en c c R. Entonces:
TEOREMA 2Sea (f,D) derivable en c c R. Entonces:
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICASi una función es creciente en un punto, la pendiente de la recta tangente es mayor o igual que cero.
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Extremos relativos: Máximos y Mínimos relativos
TEOREMASea (f,D) derivable en a c R. Si f posee un máximo o un mínimo relativo en a, entonces f´(a) = 0.
El recíproco no es cierto en general: f(x) = x3 es derivable en 0, y f´(x) = 3 x2, con f´(0) = 0; pero f no tiene
máximos ni mínimos en ningún punto (es estrictamente creciente). f(x) = |x| no es derivable en 0 y posee un mínimo en él.