Derivacije i integrali

Andrej Ficnar

U ovom članku objasnit ću pojam derivacija i integrala, pretpostavljajući da čitateljima predznanje matematike 2. do 3. razreda srednje škole. S obzirom na vrijeme u kojemovo gradivo treba biti ispredavano i s obzirom na pretpostavku o predznanju čitatelja, nekimatematički formalizmi biti će preskočeni.

1. Niz i limes niza

1.1. Definicija. Da bi mogli uvesti pojam derivacije, najprije moramo objasniti što jeto limes niza, a onda posebno i niz. Iako se "niz" najčešće shvaća kao običan niz brojeva,on je zapravo jednostavno definiran u matematici: nizom realnih brojeva naziva se svakafunkcija a : N → R. Dakle, niz je pridruživanje nekog realnog broja svakom prirodnombroju.

1.2. Zadavanje nizova i primjeri. Kako je niz zapravo funkcija, možemo ga zadatizakonom pridruživanja, kao i svaku funkciju, ili jednostavno, navodeći "članove niza",odnosno realne brojeve koji se pridružuju prvim nekoliko prirodnih brojeva.1 Običnopišemo a1 = a(1), a2 = a(2), . . . , an = a(n), a sam niz označavamo s (an). Slijedi nekolikoprimjera nizova zapisanih u jednoj i drugoj notaciji:

1, 2, 3, 4, . . . an = n2, 2, 2, 2, . . . an = 21, 1

2 , 13 , 1

4 , . . . an = 1n

−1, 1,−1, 1, . . . an = (−1)n

1.3. Ograničenost i monotonost. Za neki niz (an) kažemo da je ograničen ako postojiM > 0 takav da za sve n ∈ N vrijedi |an| ≤ M . Dakle, kada sve članove niza na brojevnompravcu možemo ’strpati’ u ograničen skup. Osim ovoga, za niz kažemo da je rastući akoza sve n ∈ N vrijedi an ≤ an+1 (za niz kažemo da je strogo rastući ako za sve n ∈ N vrijedian < an+1). Analogne definicije vrijede za pojam padajućeg i strogo padajućeg niza. Niznazivamo monotonim ako je rastući ili padajući (naravno, strogo monotonim nazivamo nizkoji je strogo rastući ili strogo padajući).

1.4. Epsilon okolina. Definirajmo sada tzv. ε okolinu. Neka je c ∈ R i ε > 0. Tadainterval < c − ε, c + ε > nazivamo ε okolina broja c. Tako, npr. interval < −1, 1 > jeste

1Općenito, bilo koje preslikavanje (što je sinonim za funkciju) f : S → A sa skupa S u skup A upotpunosti je određeno slikama f(s) elemenata s ∈ S.

1

ε okolina broja 0 za ε = 1.

1.5. Gomilište niza. Neka je zadan niz realnih brojeva (an) i c ∈ R. Kažemo da je cgomilište niza (an) ako svaka ε okolina sadrži beskonačno mnogo članova niza, ili zapisanopomoću logičkih kvantifikatora, (∀ ε > 0)(∀ n ∈ N)(∃ m ≥ n)|am − c| < ε. Primjeri:

an =1

n- gomilište je očito nula, jer koliko god mali interval uzeli oko nule (tj. koliko

god malu ε okolinu), uvijek će u njoj biti beskonačno članova niza (jer su racionalni brojevigusti)

an = (−1)n - kako se n mijenja od parnog do neparnog, tako se članovi niza izmjenjujuu vrijednostima 1 i -1, pa su upravo to gomilišta ovog niza

1.6. Limes niza. Neka je (an) niz realnih brojeva. Kažemo da je niz an konvergentan

ako postoji a0 ∈ R takav da je (∀ ε > 0)(∃ n0 ∈ N)(∀ n ≥ n0)|an − a0| < ε. Broja0 zovemo limes ili granična vrijednost niza (an) i označavamo ga s lim

n→∞

an (ili, rjeđe

korišteno, an → a0). Za niz koji nije konvergentan kažemo da je divergentan.Drugim riječima, limes je točka na brojevnom pravcu u čijoj se svakoj okolini (dakle,

koliko god maloj) nalazi beskonačno članova niza, osim njih konačno mnogo, koji se nalazeizvan te okoline. Ovo implicira da je limes nekog niza ujedno i njegovo gomilište, akousporedimo definicije ta dva pojma. Također, prilično je očito, a može se i dokazat, dakonvergentan niz ima samo jedan limes. Prema tome, ako neki niz ima limes (dakle, akoje konvergentan), onda je taj limes jedino gomilište tog niza. Primjeri:

1. limn→∞

1

n= 0 jer je očito da, koju god okolinu stavimo oko nule, vidimo da unutar

te okoline ima beskonačno mnogo članova niza, dok one izvan tih granica možemotočno pobrojiti, dakle, ima ih konačno mnogo

2. limn→∞

(−1)n ne postoji, tj. taj niz je divergentan - očito jedini kandidati za neki limes

mogu biti gomilišta, a kako vidimo iz prijašnjeg razmatranja da imamo dva gomilišta,a limes mora biti jedino gomilište, očito je da je niz divergentan - ili, koliko god maluokolinu uzmemo oko, recimo, broja 1, vidimo da članova niza unutar te okoline imabeskonačno, ali da ih i izvan također ima beskonačno, jer se ’gomilaju’ i oko broja-1

3. limn→∞

n

n + 1= 1 što možemo shvatiti onako, ’na prste’, jer se u beskonačnosti n i

n + 1 ne razlikuju, no ovdje možemo pokazati kako se rješavaju zadaci s limesima:lim

n→∞

nn+1 = lim

n→∞

n+1−1n+1 = lim

n→∞

(1− 1n+1 ) = 1 jer u beskonačnosti razlomak 1

n+1 teži

u nulu. Dakle, rješavanje tih zadataka se svodi na svođenje zadanih oblika na neštoprepoznatljivije, gdje se onda može sa sigurnošću reći što gdje teži.

1.7. Još o nizovima. Za neki konvergentan niz prilično je očito da je omeđen. Naime,ako je konvergentan, znači da ima limes, a ako ima limes, znači da oko njega možemoproizvoljno postaviti neku okolinu unutar koje će se nalaziti beskonačno mnogo članovaniza, a izvan nje konačno mnogo. Tada, od svih tih članova izvan okoline izaberemo onogpo apsolutnoj vrijednosti najvećeg i njega proglasimo brojem M iz definicije ograničenog

2

niza. I time smo dokazali tvrdnju.Uz ponešto matematičkog formalizma dade se dokazati i slijedeći vrlo važan teorem:

svaki monoton i omeđen niz je konvergentan2. Ova tvrdnja može biti shvatljiva na prvipogled, jer ako neki niz uvijek npr. raste, a na njega još stavite uvjet da je ograničen,znači da taj rast ne može preći neku granicu, odnosno da se članovi niza negdje gomilaju,i to na jednom mjestu, jer je niz monoton. Obrat ove tvrdnje ne vrijedi, a za dokaz togadovoljno je pronači jedan protuprimjer tvrdnji da obrat vrijedi, a to je niz an = (−1)n 1

n.

On očito konvergira nuli, tj. limes mu je nula, no on oscilira, tj. nije monoton.Možda bi još trebalo spomenuti da je linearna kombinacija3 bilo koja dva konvergentna

niza ponovo konvergentan niz, čiji je limes jednak linearnoj kombinaciji limesa ta dva nizasa istim koeficijentima. Također, umnožak i kvocijent (naravno, onaj niz s kojim se dijeli,ne smije imati niti jednog člana jednakog nuli) dva niza isto je konvergentan i limes mu jejednak umnošku odnosno kvocijentu limesa ta dva niza.

1.8. Podniz. Uz zadani niz realnih brojeva, (an) (dakle, funkciju a : N → R), definira-jmo proizvoljnu strogo rastuću funkciju p : N → N. Tada kompoziciju tih dviju funkcijag ◦ p nazivamo podniz niza (an) i označavamo ga s (ap(n)). Drugim riječima, iz niza (an)uzmemo određene članove po nekom pravilu, poredamo ih u novi niz, pri čemu im zadržimoredoslijed koji su imali u starom nizu, i dobijemo podniz.

Važan teorem uz podnizove kaže da svaki ograničn niz ima konvergentan podniz. Tatvrdnja nije toliko očita, a dokaz je pozamašan, tako da ćemo ga ovdje ispustiti, usprkosnjegovoj ljepoti. Primjerice, niz (−1)n je ograničen, pa sigurno ima i konvergentan podniz;to je podniz kojemu su svi članovi brojevi 1.

2. Limes funkcije i neprekidnost

2.1. Limes funkcije. Uzmimo neku funkciju f :< a, b >→ R te izaberimo broj (točku)c ∈< a, b >. Kažemo da ta funkcija f ima limes ili graničnu vrijednost u točki c akopostoji realan broj L takav da za sve nizove (xn) ⊂< a, b > (dakle, za sve nizove čiji sesvi članovi nalaze unutar intervala < a, b >) koji imaju svojstvo da lim

n→∞

xn = c i za sve

n ∈ N je xn 6= c vrijedi da je limn→∞

f(xn) = L. Taj limes označava se limx→c

f(x). Dakle, ovo

je formalna, Heineova definicija4, no razmotrimo nakratko što ona zapravo znači. Dakle,vi izaberete neki niz čiji element nije broj c, ali koji teži u c i čiji se svi elementi nalaze udomeni funkcije. Zatim, kad ste našli jedan takav niz, sve vrijednosti tog niza ’napadnete’funkcijom f , tj. napravite novi niz čiji če članovi biti f(xn). Sada, ako taj niz konvergira,onda to provjerite za sve moguće nizove koji zadovoljavaju uvjete (da se nalaze unutardomene, da im je limes u točki c..) i ako je to istina, onda se kaže da je broj kojem ti nizovi(nizovi funkcijskih vrijednosti prvotnih nizova) konvergiraju limes funkcije f kada x teži

2Od ovog teorema potječe i poznati vic o matematičarima: svi matematičari su konvergentni jer sumonotoni i ograničeni :)

3Linearnom kombinacijom dva niza, (an) i (bn), naziva se niz oblika (αan + βbn), gdje su α i β realnibrojevi.

4Za one više spretnije sa kvantifikatorima, nudi se još jedna definicija ekvivalentna Heinovoj koja semnogo češće koristi - Cauchyeva, koja kaže da funkcija f ima limes L u točki c ako (∀ ε > 0)(∃ δ >

0)(∀ x ∈< a, b >)(0 < |x − c| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε)

3

u c. Drugim riječima, možemo to zamisliti tako da nacrtamo graf funkcije f i izaberemotočku c na apscisi, te zatim pogledamo što točke lijevo i desno od c kažu, da li teže istojtočki (c, f(c)) i ako da, onda je to limes. Naravno, napominjem da ne mora vrijediti da fima vrijednost u točki c jednaku limesu ili da je uopće ima definiranu.

Uzmimo za primjer funkciju definiranu na slijedeći način:

f :< 0, 1 >→ R f(x) =

2 za 0 < x < 12 ,

3 za x = 12 ,

2 za 12 < x < 1.

Pitamo se da li postoji limx→ 1

2

f(x)? Pogledajmo definiciju. Moramo naći niz koji ima limes

u 12 , čiji su članovi elementi domene funkcije f , te da mu niti jedan član nema vrijednost

12 . Izaberimo jedan takav proizvoljni niz, i očito je da koji god niz (xn) uzmemo vrijedi daje f(xn) = 2 za sve n ∈ N, tj. (f(xn)) je konstantan niz, a konstantan niz očito ima limeskoji jednak upravo 2. Ovdje vidimo da nije nužno da se podudaraju vrijednost funkcije unekoj točki i limes koji ta funkcija ima u toj točki (štoviše, funkcija uopće ne mora bitidefinirana u toj točki, jedino što je važno jest što ’susjedi’ kažu).

Kako limes funkcije potječe od limesa niza, tako su i svojstva limesa funkcije naslijeđenaod svojstava limesa niza. Ovdje ćemo ih ipak istaknuti, jer će biti korišteni kasnije u tekstu.Uz pretpostavku da imamo funkcije f, g : I → R i da izaberemo neku točku c ∈ I, vrijedi:

1. limx→c

[αf(x) + βg(x)] = α limx→c

f(x) + β limx→c

g(x), za α, β ∈ R

2. limx→c

[f(x)g(x)] = limx→c

f(x) limx→c

g(x)

3. limx→c

f(x)

g(x)=

limx→c

f(x)

limx→c

g(x)za g(x) 6= 0 ∀x ∈ I i lim

x→cg(x) 6= 0

2.2. Neprekidna funkcija. Neprekidne funkcije vrlo su zanimljive jer imaju neka dobrasvojstva potrebna za deriviranje i integriranje. Definicija neprekidne funkcije je zapravovrlo jednostavna, a nadovezuje se na onu zgodnu posljednju opasku iz prijašnjeg odlomka.Dakle, neka je f :< a, b >→ R i c ∈< a, b >. Tada kažemo da je funkcija f neprekidna

u točki c ako je limx→c

f(x) = f(c). Dakle, rekli smo da vrijednost funkcije u toj točki

mora biti jednaka vrijednosti limesa funkcije u toj točki, kako bi izbjegli slučaj da točke’lete’ kao u prethodnom primjeru ili da funkcija u toj točki ne bude definirana. Drugimriječima, ’susjedi’ s lijeva i s desna pokazuju točno u vrijednost funkcije u toj točki. Jednos-tavnije rečeno, neprekidnu funkciju možete nacrtati ne mičući olovku s papira, takorečeno.Ovdje smo definirali neprekidnost funkcije u točki, no kada kažemo da je neka funkcijaneprekidna, onda mislimo da je neprekidna na svim točkama svoje domene.

Samo za napomenu, vrijedi da, ukoliko su funkcije f, g :< a, b >→ R neprekidne unekoj točki c ∈< a, b >, tada su i funkcije (f ± g), fg, f

g(uz uvjet da je g(c) 6= 0) također

neprekidne u c. Osim toga, i kompozicija dviju neprekidnih funkcija (pod pretpostavkomda je kompozicija dobro definirana, s obzirom na domene i slike pojedinih funkcija) istoneprekidna funkcija.

4

3. Derivacije

3.1. Povijest i definicija. S problemom derivacije krajem 18. stoljeća susreli su seznanstvenici kako u fizici tako i u matematici. I. Newton se bavio problemom brzine,točnije, zanimalo ga je kako u nekom skroz općenitom gibanju znati brzinu u svakomtrenutku. Prosječna brzina je dakako dana formulom

v =s(t + ∆t) − s(t)

(t + ∆t) − t

no što je s brzinom u nekom trenutku t? Zdravorazumski je bilo uzeti neki jako maliinterval ∆t na kojem ćemo pretpostaviti da se brzina ne mijenja. Izraz ’jako mali’ možese i matematički formalizirati: iskoristiti ćemo gradivo limesa, pa za brzinu u trenutku tdobijemo

v(t) = lim∆t→0

s(t + ∆t) − s(t)

(t + ∆t) − t

ili, što je ekvivalentno tvrdnji

v(t0) = limt→t0

s(t) − s(t0)

t − t0

samo što ovdje gledamo brzinu u nekom trenutku t0.Slično je i G. N. Leibniz rješavao problem tangente funkcije u nekoj točki. Naime,

odrediti tangentu na grafu neke proizvoljne funkcije y(x) nije jednostavno, no kako jetangenta pravac, za zadavanje pravca potrebna nam je jedna točka i koeficijent smjera togpravca. Kako već točku imamo zadanu (onu točku u kojoj tražimo tangentu, nazovimo jex0), potrebno je naći koeficijent smjera za koji formulu znamo:

k =y(x) − y(x0)

x − x0

no, slijedi ista priča kao kod Newtona: zahtijevamo da je tangenta lokalno svojstvo funkcije,odnosno da bi tangentu uzeli što točnije, moramo točke x uzimati što bliže točki x0,odnosno

k = limx→x0

y(x) − y(x0)

x − x0

Dakle, dobili smo istu formulu kao i kod Newtona.Formalizirajmo ova razmatranja. Neka je f :< a, b >→ R i c ∈< a, b >. Kažemo

da je funkcija f diferencijabilna ili derivabilna u točki c ako postoji limes funkcije x 7→f(x) − f(c)

x − cu točki c. U protivnom kažemo da funkcija f nije derivabilna u točki c.

Realni broj limx→c

f(x) − f(c)

x − czove se derivacija funkcije f u točki c i označava se sa f ′(c)

ili sadf

dx

∣

∣

∣

∣

x=c

ili pak sadf

dx(c). Naravno, ako je funkcija derivabilna u svim točkama svoje

domene, onda jednostavno kažemo da je derivabilna. Pogledajmo nekoliko primjera:

5

1. Konstantna funkcija f : R → R, f(x) = a

limx→c

f(x) − f(c)

x − c= lim

x→c

a − a

x − c= 0, tj. f ′(x) = 0 ∀x, tj. derivacija konstante je uvijek

nula što se i očekivalo, s obzirom da je (kako smo raspravili u Leibnizovoj priči)derivacija zapravo koeficijent smjera tangente, a tangenta na svaku točku konstantnefunkcije je paralelna x-osi, tj. koeficijent smjera joj je jednak nuli.

2. Identiteta f : R → R, f(x) = x

limx→c

f(x) − f(c)

x − c= lim

x→c

x − c

x − c= 1, tj. f ′(x) = 1 ∀x, što je također očekivano.

3. Kvadratna funkcija f : R → R, f(x) = x2

limx→c

f(x) − f(c)

x − c= lim

x→c

x2 − c2

x − c= lim

x→c

(x − c)(x + c)

x − c= lim

x→c(x + c) = 2c

f ′(x) = 2x ∀x, dakle, ovdje vidimo kako se nagib tangente mijenja u ovisnosti o točkiu kojoj je uzimamo, što je i prilično očigledno pogledamo li graf kvadratne funkcije

4. Funkcija apsolutne vrijednosti f : R → R, f(x) = |x|Ovdje treba napomenuti da ovakva funkcija nije derivabilna za sve točke domene,točnije, nije derivabilna samo za x = 0 jer u toj točki funkcija ima ’šiljak’, tj. utoj točki ne postoji jedinstvena tangenta, što je vidljivo s grafa, pa ni jedinstvenaderivacija. To se analitički može provjeriti gledajući tzv. limese s lijeva i limese sdesna, tj. što se događa kad argument teži nekoj zadanoj vrijednosti s lijeve stranebrojevnog pravca (x → x0−) i s desne strane (x → x0+). Pa pogledajmo onda slučajza x0 = 0:

limx→0+

f(x) − f(0)

x − 0= lim

x→0+

|x|x

= limx→0+

x

x= 1

limx→0−

f(x) − f(0)

x − 0= lim

x→0−

|x|x

= limx→0−

−x

x= −1

No, u definiciji limesa neke funkcije mi zahtijevamo da on vrijedi za bilo koji izabraniniz, pa prema tome limesi slijeva i zdesna moraju biti jednaki. Kako to ovdje nijeslučaj, zaključujemo da funkcija apsolutne vrijednosti nije derivabilna u nuli.

3.2. Derivacija i neprekidnost. Na prošlom primjeru vidjeli smo kako funkcija apsolutnevrijednosti, koja je očito neprekidna funkcija, nije derivabilna (da kažemo da neka funkcijanije derivabilna, znači da nije derivabilna na svim točkama svoje domene, to još uvijekmože značiti da je derivabilna na nekim točkama). Dakle, očito funkcija neprekidna unekoj točki ne mora biti i derivabilna u toj točki, no da li vrijedi obrnuto, tj. da li funkcijaderivabilna u nekoj točki mora biti i neprekidna u toj točki? Nazovimo tu točku c, afunkciju označimo s f i pogledajmo slijedeći izraz:

limx→c

(f(x) − f(c)) = limx→c

f(x) − f(c)

x − c(x − c) = lim

x→c

f(x) − f(c)

x − climx→c

(x − c) = f ′(c) · 0 = 0

Dakle, slijedi da jelimx→c

(f(x) − f(c)) = 0

odnosno da jelimx→c

f(x) = f(c)

6

što je upravo i definicija neprekidnosti funkcije. Dakle, iz ovoga zaključujemo da su deriv-abilne funkcije podskup neprekidnih.

3.3. Derivacija umnoška, zbroja, kvocijenta, kompozicije i inverza funkcije. Uzmimodvije funkcije f, g :< a, b >→ R derivabilne u točki c. Vrijedi da funkcija (f + g) imaderivaciju u točki c:

(f + g)′(c) = limx→c

(f + g)(x) − (f + g)(c)

x − c

= limx→c

f(x) + g(x) − (f(c) + g(c))

x − c

= limx→c

[

f(x) − f(c)

x − c+

g(x) − g(c)

x − c

]

= limx→c

f(x) − f(c)

x − c+ lim

x→c

g(x) − g(c)

x − c

= f ′(c) + g′(c)

Funkcija fg ima derivaciju u točki c:

(fg)′(c) = limx→c

(fg)(x) − (fg)(c)

x − c

= limx→c

f(x)g(x) − f(c)g(c)

x − c

= limx→c

f(x)g(x) − f(c)g(x) + f(c)g(x) − f(c)g(c)

x − c

= limx→c

g(x)(f(x) − f(c)) + f(c)(g(x) − g(c))

x − c

= limx→c

[

g(x)f(x) − f(c)

x − c+ f(c)

g(x) − g(c)

x − c

]

= limx→c

g(x) limx→c

f(x) − f(c)

x − c+ lim

x→cf(c) lim

x→c

g(x) − g(c)

x − c

= g(c)f ′(c) + f(c)g′(c)

7

Funkcijaf

gima derivaciju u točki c ako vrijedi da je g(c) 6= 0:

(f

g)′(c) = lim

x→c

(f

g)(x) − (

f

g)(c)

x − c

= limx→c

f(x)g(c) − f(c)g(x)

(x − c)g(x)g(c)

= limx→c

f(x)g(c) − f(x)g(x) + f(x)g(x) − f(c)g(x)

(x − c)g(x)g(c)

= limx→c

1

g(x)g(c)

[

−f(x)g(x) − g(c)

x − c+ g(x)

f(x) − f(c)

x − c

]

=1

g(c)g(c)[−f(c)g′(c) + g(c)f ′(c)]

=f ′(c)g(c) − f(c)g′(c)

[g(c)]2

Uzmimo sada dvije funkcije, f i g, takve da je definirana kompozicija tih funkcija,f ◦ g. Ako vrijedi da je funkcija f derivabilna u točki c iz njezine domene i da je funkcijag derivabilna u točki f(c) iz njezine domene, onda je i njihova kompozicija g ◦ f takođerderivabilna:

(g ◦ f)′(c) = limx→c

(g ◦ f)(x) − (g ◦ f)(c)

x − c

= limx→c

g(f(x)) − g(f(c))

x − c

= limx→c

g(f(x)) − g(f(c))

f(x) − f(c)

f(x) − f(c)

x − c

= g′(f(c))f ′(c)

Da bi mogli potražiti derivaciju inverza neke funkcije f :< a, b >→< a1, b1 > moravrijediti da je ta funkcija bijekcija5, da je neprekidna na svojoj domeni,i da je njen inverzneprekidan na svojoj domeni zatim da f ima derivaciju u točki c iz svoje domene, te daona bude različita od nule. Tada funkcija f−1 ima derivaciju u točki d = f(c)

[f−1]′(d) = limy→d

f−1(y) − f−1(d)

y − d

= limx→c

f−1(f(x)) − f−1(f(c))

f(x) − f(c)

= limx→c

x − c

f(x) − f(c)

=1

f ′(c)

5Općenito, funkcija f : A → B je bijekcija ako svakom elementu skupa B pridružuje točno jedan

element skupa A, tj. ukoliko za svaki b ∈ B postoji jedinstven a ∈ A takav da je f(a) = b.

8

3.4. Derivacije elementarnih funkcija. Pogledajmo najprije derivaciju sinus funkcije.Ona je derivabilna na cijelom području definicije:

(sin)′(c) = limx→c

sin x − sin c

x − c

= limx→c

2 sinx − c

2cos

x + c

2x − c

= limx→c

sinx − c

2x − c

2

cosx + c

2

= cos c limy→0

sin y

y= cos c

Treba napomenuti da se u dobivanju druge jednakosti koristio poznati trigonometrijskiidentitet kojeg ima u svim matematičkim tablicama i nije ga potrebno ovdje dokazivat, te

da se u dobivanju posljednje jednakosti koristio identitet limx→0

sin x

x= 16.

Analogno dobijemo derivaciju funkcije kosinus, a funkcije tangens i kotangens raspišemokao kvocijente sinusa i kosinusa te onda primjenjujući pravilo za derivaciju kvocijentafunkcija dobijemo njihove derivacije. Derivacije elementarnih funkcija, kao i pravila zaderiviranje ima u poznatim ’žutim tablicama’.

6Ovu tvrdnju možemo dokazati primjenom tzv. teorema o sendviču. Razmotrimo prvo slijedeću slikukoja prikazuje dio jedinične kružnice

Ox �

B

�C�A

Sada, očito je da vrijedi odnos između površina POAB < POAB,luk < POBC . Uvrstimo li formule za

pojedine površine koje očitamo iz slike dobijamo: sin x·12

< x·12

<tgx·1

2. Lijeva strana daje sin x < x, tj.

sin xx

< 1. Desna strana daje tgx = sin xcos x

> x, tj. sin xx

> cos x. Dakle, sve skupa daje cos x < sin xx

< 1.Kada pustimo da x teži nuli, očito je da se desna strana ne mijenja, dok cos x teži 1. Prema tome, jedinamogućnost je da lim

x→0

sin xx

= 1.

9

Derivacija eksponencijalne funkcije.

exp′(c) = limx→c

ex − ec

x − c

= limx→c

ec(ex−c − 1)

x − c

= ec limx→c

ex−c − 1

x − c= {t = x − c}

= ec limt→0

et − 1

t= {u = et − 1 ⇒ t = ln(u + 1)}

= ec limu→0

u

ln(u + 1)

= ec limu→0

1

ln(u + 1)1

u

= ec 1

ln e= ec

Ovdje treba napomenuti da smo koristili definiciju baze prirodnog logaritma e, a to jee = lim

u→0(u + 1)

1

u .

U izvođenju derivacije prirodnog logaritma koristit ćemo se izrazom za derivaciju in-verza neke funkcije. Dakle, uzmimo y = lnx iz čega slijedi da je ey = x. Tada, pospomenutom pravilu:

(ln x)′ =1

(ey)′=

1

ey=

1

x

Derivaciju potencija xα izvodimo pretpostavljajući da je α ∈ R, kako bi bili općeniti.Prvo pogledajmo ovaj korisni identitet xα = eln xα

= eα ln x. Imajući na umu pravilo zaderiviranje kompozicije funkcija, pogledajmo derivaciju:

(xα)′ = (eα ln x)′

= eα ln x(α lnx)′

= xαα1

x= αxα−1

Što se tiče derivacije ostalih elementarnih i neelementarnih funkcija, one se izvode nasličan način, ili primjenjujući samu definiciju derivacije i/ili primjenjujući pravila za de-riviranje. Derivacije funkcija koje se češće koriste popisane su u matematičkim tablicama.

3.5. Više derivacije. Ako neka je neka funkcija f : I → R derivabilna na I i njezinaderivacija f ′ : I → R također derivabilna na I, tada kažemo da funkcija f ima derivaciju

drugog reda na intervalu I. Drugu derivaciju označavamo sa f ′′ ili f (2) ili, kako to češće

rade fizičari, sad2f

dx2. Analogno se definiraju ostale više derivacije.

3.6. Derivacije i ekstremi. Definirajmo prvo što je to lokalni maksimum a što lokalniminimum. Za neku funkciju f : I → R kažemo da u točki c ∈ I ima lokalni maksimum ako

10

postoji δ > 0 takav da |x − c| < δ ⇒ f(x) ≤ f(c), a kažemo da ima lokalni minimum akopostoji δ > 0 takav da |x− c| < δ ⇒ f(x) ≥ f(c). Lokalni minimumi i lokalni maksimumise jednim imenom nazivaju lokalnim ekstremima.

Jasno je da, kada funkcija na grafu raste, da joj je derivacija veća od nule (jer jederivacija zapravo tangens kuta koji tangenta zatvara s apscisom, a dok funkcija raste tajje kut manji od π/2). Naravno, obrnuto je dok pada. Prema tome, tik prije lokalnogekstrema derivacija ima jedan predznak, a tik poslije drugi pa je očito da će upravo ulokalnom ekstremu derivacija imati vrijednost nula. Međutim, ne vrijedi obrnuto. Primjerje funkcija x3, čija je derivacija 3x2 i kada uvrstimo x = 0 dobijamo da je derivacija jednakanuli, no iz grafa je očito da ta točka nije ekstrem. Takve točke, prije kojih derivacija imajedan predznak, zatim se ’smiri’ na nulu, a onda ponovno nastavi sa istim predznakom, senazivaju točke infleksije. Općenito, točke u kojima je derivacija jednaka nuli nazivaju sestacionarne točke.

Očito pitanje koje se nameće jest kako prepoznati da li je neka točka c lokalni ekstremili sedlasta točka, nakon što smo ustvrdili da joj je derivacija jednaka nuli. Jedan način jeda provjerite kako se derivacija ponaša za točke malo manje od c i malo veće, jednostavnimuvrštavanjem. Drugi način je da pogledamo drugu derivaciju u toj točki, te ako ustvrdimoda je ona veća od nule, onda se radi o lokalnom minimumu, ako je ona manja od nule,o lokalnom maksimumu, a ako je jednaka nuli onda imamo sedlastu točku. Dokaz ovetvrdnje zahtijeva još dodatnog znanja, pa ćemo ga ovdje ispustiti.

Nađimo tako ekstrem kvadratne funkcije, y = ax2 + bx + c:

dy

dx=

d

dx(ax2 + bx + c) = 2ax + b = 0

Iz ovoga izlazi da je x-koordinata potencijalnog lokalnog ekstrema jednaka xm =−b

2a.

Derivirajmo gornji izraz još jednom:

d2y

dx2=

d

dx(2ax + b) = 2a

Iz ovoga vidimo, ako je a < 0, tada se radi o lokalnom maksimumu, a ako je a > 0, onda olokalnom minimumu, baš kao što i grafovi pokazuju. Osim ovoga, primijetite, da je drugaderivacija jednaka nuli samo kad je a jednak nuli, odnosno kada se više ne radi o kvadrat-noj jednadžbi, već o pravcu, koji nema ekstrema, baš kao što nam i druga derivacija govori.

3.7. Parcijalne derivacije. Najprije razjasnimo što je to točno funkcija više varijabli.Očito je da je to neka funkcija koja ne ovisi samo o jednoj varijabli, npr. x, već da usebi ima i druge varijable. Tako, najopćenitije, funkcija više varijabli je funkcija oblikaf : S1 × S2 × . . . × Sn → P1 × P2 × . . . × Pm, no mi ćemo se baviti funkcijama čijaje domena jednodimenzionalan skup, dakle funkcijama oblika f : S1 × S2 × . . . × Sn →R, tj. f(x1, x2, . . . , xn). U tom slučaju, kada napišemo f ′ nije jasno po kojoj varijablideriviramo. Zato kažemo da funkcija f ima i-tu parcijalnu derivaciju prvog reda u nekojtočki P0 = (x01, x02, . . . , x0n) ako postoji

limx→xi

f(x01, . . . , x0i−1, x, x0i+1, . . . , x0n) − f(P0)

x − xi

11

Tu parcijalnu derivaciju označavamo sa∂f

∂xi

(P0). U praksi ona gore formula zapravo znači

da dok parcijalno derivirate neku funkciju po jednom argumentu, sve ostale smatrate kaokonstante. Primjerice,

∂

∂x(x3y + y3x + 3y) = 3x2y + y3

∂

∂y(x3y + y3x + 3y) = x3 + 3y2x + 3

4. Integral

4.1. Uvod i definicija. Potreba za integralom dolazi od računanja površine pod grafomneke funkcije. Ako je neka funkcija jednostavna, tada nije problem izračunati površinu,no ako imamo neku funkciju kao ovu prikazanu na slici ispod, onda to više nije trivijalno,tj. nemamo jasnog geometrijskog načina da izračunamo tu površinu.

x

f(x)

P

a bMeđutim, mi znamo računati površinu pravokutnika i to je upravo ono na što ćemo svestipovršinu ispod krivulje - na zbroj površina mnooogo malih pravokutnika. Dakle, podi-jelimo segment [a, b] na n dijelova (ne nužno jednake širine) i na svakom od tih dijelovapronađemo najveću (Mk) i najmanju (mk) vrijednost funkcije.

x

f(x)

P

a bDefiniramo sume:

sn =

n∑

k=1

mk(xk − xk−1)

Sn =

n∑

k=1

Mk(xk − xk−1)

12

gdje je očito suma sn ukupna površina manjih pravokutnika, koja se naziva donja Darboux-ova suma, a Sn veća površina, naziva se gornja Darbouxova suma. Naravno, pravokutnikatreba biti što više, a to ’što više’ se izražava limesom. Ono što očekujemo da se dogodijest

limn→∞

sn = limn→∞

Sn = I

Dakle, ako se sume podudare kada podjela segmenta teži u beskonačnost, onda se ta sumanaziva integralom, točnije Riemannovim integralom, i označava se

I =

b∫

a

f(x)dx

Primijetite da je znak za integral,∫

, zapravo izduženo ’S’, koje označava da se radi osumi. Ova definicija Riemannova integrala nije potpuna, no dovoljna je za shvatiti koncept.Za one koje žele znati nešto više, prilažem potpunu definiciju Riemannova integrala, tj.definiciju Riemann integrabilne funkcije.

Neka je f : [a, b] → R ograničena funkcija, te neka je a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = bneka subdivizija segmenta [a, b] na konačno mnogo dijelova (ne nužno jednake duljine).Označimo78

mi = inf{f(x)|x ∈ [xi, xi+1]}Mi = sup{f(x)|x ∈ [xi, xi+1]}

gdje je i = 0, 1, . . . , n − 1. Sumu Sd =n−1∑

i=0

mi(xi+1 − xi) nazivamo donja Darbouxova

suma, a sumu Sg =n−1∑

i=0

Mi(xi+1 − xi) gornja Darbouxova suma. Označimo s D∗ skup

svih donjih Darbouxovih suma, a s D∗ skup svih gornjih Darbouxovih suma. Neka jeI∗ = supD∗ i I∗ = inf D∗9. I∗ zovemo gornji Riemannov integral, a I∗ donji Riemannovintegral. Kažemo da je funkcija f Riemann integrabilna, tj. kratko R-integrabilna, akovrijedi I∗ = I∗. Ako je funkcija R-integrabilna, tada broj I∗ (odnosno I∗) nazivamoRiemannov integral funkcije f i označavamo ga s

b∫

a

f(x)dx

7Oznake sup i inf označavaju supremum i infimum nekog skupa. Ako je S neki neprazan podskupskupa R, onda element M ∈ R zovemo supremum skupa S ako zadovoljava

1. x ≤ M za ∀x ∈ S

2. ako je s′ ∈ R, takav da je s′ < M onda postoji bar jedan element a ∈ S takav da je s′ < a

8Ovdje možda nije jasno da supremum i infimum postoje. Naprimjer, ako razmatramo skup racionalnihbrojeva Q, onda skup < −

√2,

√2 > jest element Q, no očito nema infimum i supremum u Q. No kod

realnih brojeva imamo tzv. aksiom potpunosti, jedino po čemu se realni brojevi razlikuju od racionalnih,koji kaže da svaki ograničeni niz elemenata u R ima supremum i infimum u R. Kako je funkcija f

ograničena, tako je i bilo koji podskup njene slike također ograničen.9I∗ i I∗ sigurno postoje jer su skupovi D∗ i D∗ ograničeni. Naime, sigurno vrijedi m(b − a) ≤ Sd ≤

Sg ≤ M(b − a), za sve Sg i Sd, gdje je m minimum funkcije f na njenoj domeni, a M njen maksimum,koji opet sigurno postoje, jer je f ograničena.

13

Iz definicije nije vidljivo, no zahtijevamo da vrijedi

a∫

a

f(x)dx = 0

zbog slaganja s zdravorazumskom činjenicom da je površina pravokutnika širine nula jed-naka nula. Nadalje, očito je iz slika grafova funkcija (pod uvjetom da je a ≤ b ≤ c) davrijedi

b∫

a

f(x)dx +

c∫

b

f(x)dx =

c∫

a

f(x)dx

jer se površine jednostavno zbrajaju10. Kombinirajući ova dva pravila:

b∫

a

f(x)dx +

a∫

b

f(x)dx =

a∫

a

f(x)dx = 0

iz čega izlazib

∫

a

f(x)dx = −a

∫

b

f(x)dx

4.2. Nepravi integrali i neprekidnost. Ako je neka funkcija f : [a, b] → R neprekidna nasegmentu [a, b], onda je ona i R-integrabilna na [a, b]. Za dokazivanje te tvrdnje potrebnoje dodatnog gradiva i pomoćnih tvrdnji, tako da to nećemo ovdje dokazivati, iako je ovatvrdnja intuitivno jasna, jer ako imamo ’lijepu’, kontinuiranu funkciju, tada možemo iodrediti površinu ispod nje. Međutim, obrnuto ne vrijedi. Primjer su funkcije koje imajukonačne skokove. Kao, npr., funkcija

f : R → R, f(x) =

{

x2 za x ∈ R\{0},5 za x = 0.

Integral ove funkcije npr. od -2 do 2 će biti jednak kao i integral funkcije f(x) = x2,jer jedna točka ne utječe na površinu ispod krivulje. Tako i ako funkcija ima konačnomnogo konačnih skokova, njen integral će još uvijek biti nepromijenjen. Naravno, ovo jesamo primjer jednog konačnog skoka, no princip je da ako imamo jednu ili više točaka’izbjeglica’, površina pod krivuljom se ne mijenja.

Razmotrite sada funkciju f(x) =1

x2. Ta funkcija nije ograničena na intervalu < 0, b],

pa ne može biti R-integrabilna, no površina ispod te krivulje je konačna. Zbog toga se in-tegral te funkcije ne naziva Riemannov integral (jer ne zadovoljava definiciju) već nepraviintegral. Slijedi formalna definicija. Neka je f : [a, b >→ R R-integrabilna na svakom

10Matematika je logička tvorevina i kao takva nema veze sa nekakvim slikama na papiru. Naime,zaključke koje vadimo iz aksioma i definicija, slijede logičkim zaključivanjem iz njih, dok slike i grafovisluže samo da bi nam olakšali percepciju.

14

segmentu [a,B], gdje vrijedi B < b ≤ +∞. Ako postoji konačan limes limB→b

B∫

a

f(x)dx, onda

se taj limes naziva nepravi integral funkcije f na [a, b > i označava se sb∫

a

f(x)dx. Primjeri

nepravih integrala uslijedit će nakon slijedećeg poglavlja.

4.3. Primitivna funkcija i neodređeni integral. Neka je f : [a, b] → R. Funkcija F jeprimitivna funkcija od f ako ∀x ∈ [a, b] vrijedi F ′(x) = f(x). Uočite da primitivna funkcijanije jedinstvena jer ako imate funkciju oblika G(x) = F (x)+C, gdje je C konstanta, ondaje i G također primitivna funkcija od f , tj. ako je derivirate dobit ćete funkciju f . Prematome, kako konstanti ima beskonačno, tako i primitivnih funkcija ima beskonačno. Skupsvih primitivnih funkcija funkcije f naziva se neodređeni integral funkcije f i označava sesa

∫

f(x)dx. Treba napomenuti da nemaju sve funkcije primitivnu funkciju. No, vrijedida, ako je neka funkcija neprekidna, onda postoji njena primitivna funkcija.

Svojstva neodređenog integrala naslijeđena su od svojstva derivacija:∫

kf(x)dx = f

∫

f(x)dx, k ∈ R

∫

(f(x) ± g(x))dx =

∫

f(x)dx ±∫

g(x)dx

∫

udv = uv −∫

vdu

∫

f ′(x)dx = f(x) + C

Ako je f neprekidna funkcija na otvorenom intervalu I i F bilo koja primitivna funkcijafunkcije f na I, onda za proizvoljni segment [a, b] ⊂ I vrijedi

b∫

a

f(x)dx = F (x)

∣

∣

∣

∣

b

a

= F (b) − F (a)

Ova formula se naziva Newton-Leibnizova formula i od velike je važnosti jer svodi nalaženjepovršine ispod pojedinih funkcija na traženje primitivne funkcije. Tako, npr.

b∫

a

xndx =bn+1

n + 1− an+1

n + 1

jer je∫

xndx =xn+1

n + 1+ C

a to pak vrijedi jer je(

xn+1

n + 1+ C

)′

= xn

15

Na ovaj način možemo doći do integrala mnogih funkcija, od kojih su neki najčešće ko-rišteni popisani u matematičkim tablicama.

4.4. Tehnike integriranja i primjeri. Najprije da pokažemo obećani primjer za nepraviintegral.

1∫

0

1√x

=

1∫

0

x−1

2 = limε→0

1∫

ε

x−1

2 = limε→0

2√

x

∣

∣

∣

∣

1

ε

= limε→0

2(1 −√

ε) = 2

Ovdje bi trebalo spomenuti jednu važnu povezanost između derivacija i integrala, kojunije jasno za prepoznat, iako stoji naglašena u oznaci integrala i oznaci derivacija kaody/dx, a to je upravo ovaj ’d’. Naime, iako je dy/dx samo oznaka derivacije, mi ju možemo

smatrati kao pravi razlomak i kao takvog ga i tretirati u algebri. Dakle, npr.,dy

dx= w,

no onda pomnožimo jednakost sa dx i dobijemo dy = wdx, pa onda ’lupimo’ integral saobe strane, tj.

∫

dy = y =∫

wdx. Ovo ćemo pokazati kasnije na nekim primjerima izmatematike i fizike.

Općenito, integriranje nije lak proces, kao što je deriviranje, te ne možete svaku funkcijuintegrirati. Nadalje, cijeli proces integriranja svodi se na svođenje podintegralne funkcijena neki ’pitomi’ oblik, tj. zapisanu pomoću elementarnih funkcija čije integrale možemoizračunati, jer u nekim kompliciranim izrazima ne možemo ’pogoditi’ izraz koji deriviran-jem daje podintegralnu funkciju. Postoji jako mnogo tehnika integriranja, od kojih ćemomi upoznati dvije najčešće korištene.

Tehnika zamjene varijable (supstitucije): neka je ϕ : [c, d] → R derivabilna funkcija tef : [a, b] → R neprekidna tako da je definirana kompozicija f ◦ ϕ : [c, d] → R i da vrijediϕ(c) = a i ϕ(d) = b. Tada vrijedi

b∫

a

f(x)dx =

d∫

c

f(ϕ(x))ϕ′(x)dx

Ovu pomalo zbunjujuću formulu najbolje ćemo pokazati na primjeru:

I =

∫

dx

x lnx ln(lnx)

Ovdje sada uvedemo supstituciju t = lnx i sada nađemo derivaciju tog izrazadt

dx=

1

x,

odnosno dx = xdt. Sada ovo uvrstimo u početni integral:

I =

∫

dt

t ln t

Sada uvedemo sličnu supstituciju y = ln t iz čega slijedi dt = tdy što sve skupa uvrstimou prethodni integral nakon čega dobijemo:

I =

∫

dy

y= ln |y| + C = ln | ln t| + C = ln | ln(ln x)| + C

16

Parcijalna integracija: tu tehniku smo zapravo predstavili kao treće pravilo neodređenogintegrala, a koje kaže da je

∫

udv = uv −∫

vdu

To se pravilo jednostavno izvodi iz pravila za deriviranje produkta funkcija u i v, štoostavljamo čitatelju. Pokažimo ovu tehniku najbolje na primjeru:

I =

∫

xexdx

Uvedimo supstitucije kao u pravilu: u = x ⇒ du = dx te dv = exdx ⇒ v =∫

exdx = ex.Slijedeći pravilo možemo napisati:

I = xex −∫

exdx = ex(x − 1) + C

Dakle, parcijalnu integraciju koristimo kada imamo umnožak izraza od kojih jedan znamointegrirati, a drugog nam je lakše derivirati.

5. Taylorov razvoj

5.1. Taylorov polinom. Rješimo najprije jedan zadatak. Pogledajmo opći polinomn-tog stupnja:

f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0

Izaberimo neki broj c ∈ R. Cilj našeg zadatka je odrediti n-torku brojeva b0, . . . , bn ∈ R

takve da možemo polinom prikazati kao

f(x) = bn(x − c)n + bn−1(x − c)n−1 + . . . + b1(x − c) + b0

Sada, uvrstimo u gornji izraz x = c. Dobivamo:

f(c) = b0

Derivirajmo gornji polinom pa onda uvrstimo u njega x = c:

f ′(x) = bnn(x − c)n−1 + bn−1(n − 1)(x − c)n−2 + . . . + b2 · 2(x − c) + b, f ′(c) = b1

Derivirajmo dobiveni izraz još jedanput:

f ′′(x) = bnn(n− 1)(x− c)n−2 + bn−1(n− 1)(n− 2)(x− c)n−3 + . . . + b3 · 3 · 2(x− c) + 2b2

Uvrstimo u taj izraz x = c:

f ′′(c) = 2b2 ⇒ b2 =f ′′(c)

2

Ponovimo taj postupak još jednom. Da ne duljimo, nakon deriviranja, uvrštavanjem x = cdobije se

f ′′′(c) = 3 · 2b3 ⇒ b3 =f ′′′(c)

3!

17

gdje se sa znakom ’!’ označava faktorijela, tj. općenito n! = 1 · 2 · · · (n − 1)n. Na ovomkoraku već možemo zaključiti da je općenito

bk =f (k)(c)

k!

što možemo provjeriti matematičkom indukcijom. Dakle, da dovršimo započeti zadatak:

f(x) = f(c)+f (1)(c)

1!(x− c)+

f (2)(c)

2!(x− c)2 + . . .+

f (n−1)(c)

(n − 1)!(x− c)n−1 +

f (n)(c)

n!(x− c)n

Ovakav izraz naziva se Taylorov polinom n-tog stupnja funkcije f oko točke c u varijablix i označava se sa Tn(f, c, x).

5.2. Taylorov razvoj. Taylorov teorem (koji ovdje nećemo dokazivat) kaže da bilo koju

funkciju f koja je (n + 1) puta derivabilna možemo zapisati kao

f(x) = Tn(f, c, x) +f (n+1)(cx)

(n + 1)!(x − c)n+1

gdje je cx točka između c i x. No, velik broj funkcija koje imaju beskonačno mnogoderivacija11 se mogu prikazati kao

f(x) =∞∑

n=0

f (n)(c)

n!(x − c)n

jer onaj aditivni član iz Taylorova teorema u limesu kada n ide u beskonačno teži u nulu,pa jedino što ostaje je Taylorov polinom. Ovakav razvoj neke funkcije naziva se Taylorov

razvoj odnosno razvoj u Taylorov red i on je za svaku funkciju jedinstven.

5.3. Razvoji nekih elementarnih funkcija. Razvijmo funkciju ex u Taylorov red okotočke c = 012:

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ . . . +

xn

n!+ . . . =

∞∑

n=0

xn

n!

Ono što je fascinantno jest što ovakav oblik jest upravo definicija funkcije ex. Naime,upravo na ovom obliku se možete uvjeriti u ona njezina poznata svojstva kao što su (ex)′ =ex, exey = ex+y i druga. Na sličan način razvijemo u red oko nule funkcije sinus i kosinus,čime se dobije

sinx =

∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!

cos x =∞∑

n=0

(−1)n x2n

(2n)!

11Općenito, skup funkcija koje imaju beskonačno mnogo derivacija se označava sa C∞, no ne mogu sesve funkcije beskonačno derivabilne razviti u Taylorov red, tj. nisu jednake svom Taylorovom redu. Onekoje mogu se nazivaju analitičke i označavaju kao da su klase Cω .

12Taylorov razvoj oko nule naziva se još i MacLaurinov razvoj.

18

Također, ovo su definicije ovih trigonometrijskih funkcija13. Relacije kao što su omjernasuprotne katete i hipotenuze samo su pomoćne slikovne interpretacije zaostale još odpotrebe za uvođenjem funkcija sinus i kosinus.

Za redove (kao što su Taylorov red, naprimjer) koji konvergiraju (teže) nekoj vrijednostivrijedi da su padajući i da svaki opći član reda teži nuli. To je važno, jer se aproksimacijeu fizici upravo tako uzimaju: određena funkcija koja se treba aproksimirati nekom jednos-tavnijom razvije se u takav, Taylorov red, provjeri se da li je red konvergentan (to je važnojer, ako red nije konvergentan, može se dogoditi da se daljnji članovi ne smanjuju, a to jeupravo smisao aproksimacije: zanemarujemo ostale članove reda jer su jako mali) i zatimse uzima prvi član; ako on daje rješenje (tj. slijedeći izraz) različit od trivijalnog, ondase samo prvi član uzima kao aproksimacija (kao u našem slučaju), dok ako daje trivijalnorješenje (nula ili slično), onda uzimamo slijedeći i tako dalje.

6. Primjene u fizici

6.1. Gibanja s trenjem. Jedan od najjednostavnijih primjera za dočaravanje važnostiderivacija i integrala jest proučavanje gibanja s trenjem gdje je sila trenja proporcionalnabrzini. U srednjoj školi ovo se samo spominje jer je za rješavanje ovog problema potrebnoupravo znanje derivacija i integrala.

Dakle, jednadžba gibanja tijela mase m koje se kreće u polju sile teže a na njega djelujespomenuta sila trenja Ftr = cv (gdje je c konstanta, a v brzina tijela) jest

ma = mg − cv

Naravno, nakon nekog vremena, kada brzina dovoljno naraste, sila trenja će izjednačitisilu težu. U tom slučaju tijelo će se prestati ubrzavati i nastavit će se gibati jednolikopravocrtno brzinom vk koju možemo dobiti jednostavno ako uvrstimo a = 0 u jednadžbugibanja:

0 = mg − cvk ⇒ g =c

mvk

Sada uvrstimo ovaj izraz za g u jednadžbu gibanja i podijelimo je sa masom tijela m:

a = (vk − v)c

m

No, sada ćemo se malo okrenuti na definiciju akceleracije. Ona je jednaka

a = lim∆t→0

v(t + ∆t) − v(t)

∆t=

dv

dt

Slično se definira brzina kao v =ds

dt. Dakle:

dv

dt= (vk − v)

c

m

13Ako u izraz za ex uvrstite ix, gdje je i imaginarna jedinica, možete provjeriti jednu vrlo korisnu relacijuu višoj analizi a to je eix = cos x + i sin x.

19

Kada taj izraz malo presložimo dobijemo

dv

vk − v=

c

mdt

Integrirajmo obje strane:∫

dv

vk − v= [y = vk − v ⇒ dv = −dy] = −

∫

dy

y=

∫

c

mdt

ln(y) = ln(vk − v) = − c

mt + C

Naravno, svaki neodređeni integral ima svoju aditivnu konstantu, no mi smo ih zbrojili ujednu, da nam olakša računanje. Tu konstantu određujemo iz početnih uvjeta, a to je daje na početku (dakle u t = 0) brzina bila jednaka nuli, odnosno v(t = 0) = 0. Kada se touvrsti u prethodni izraz, dobije se da je c = ln vk. Dakle,

ln(vk − v) = − c

mt + ln vk

Kada se ovaj izraz presloži dobije se za brzinu kao funkciju vremena

v(t) = vk(1 − e−c

mt)

Akceleraciju dobijemo jednostavnom primjenom definicije:

a(t) =dv

dt=

d

dt(vk(1 − e−

c

mt)) = vk

c

me−

c

mt = ge−

c

mt

20