Deret Fourier -...
Transcript of Deret Fourier -...
Deret Fourier
Definisi Deret FourierFungsi Genap dan Ganjil
Deret Fourier periode 2π f fungsi periodik dengan periode 2
Fungsi tersebut dapat direpresentasikan dalam deret trigonometrik sebagai:
11
0 sincosn
nn
n nbnaaf
dfa
21
0
,,ndncosfan 211
,,ndnsinfbn 211
11
0 sincosn
nn
n nbnaaf
Integrasi dapat dilakukan pada batas
0 sampai 2
dfa 2
00 21
,,ndncosfan 211 2
0
,,ndnsinfbn 211 2
0
Contoh 1. Tentukan deret Fourier dari fungsi periodik berikut.
2
0
jikaA
jikaAf
ff 2
0212121
2
0
2
0
2
00
dAdA
dfdf
dfa
011
1
1
2
0
2
0
2
0
nnsinA
nnsinA
dncosAdncosA
dncosfan
ncosncoscosncosnA
nncosA
nncosA
dnsinAdnsinA
dnsinfbn
20
11
1
1
2
0
2
0
2
0
ganjilnjika4
1111
cos2cos0coscos
nA
nA
nnnnAbn
genapn jika0
1111
cos2cos0coscos
nA
nnnnAbn
Deret Fourier yang dimaksud adalah:
7sin
715sin
513sin
31sin4A
Karena deret Fourier memiliki tak hingga banyaknya suku, maka timbul pertanyaan: berapa suku yang kita perlukan?
Jika kita menyertakan 4 suku pertama, maka grafik fungsinya adalah seperti berikut:
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
f ( )
Untuk 6 suku, grafik fungsi tampak seberti ini:
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
f ( )
8 suku.
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
f ( )
12 suku.
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
f ( )
Kurva merah menyertakan 12 suku sedangkan biru 4 suku.
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
Kurva merah menyertakan 12 suku sedangkan biru 4 suku.
0 2 4 6 8 101.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
Kurva merah menyertakan 20 suku sedangkan biru 4 suku.
0 2 4 6 8 101.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
Deret Fourier periode 2L
Ekspansi deret Fourier dari fungsi tersebut adalah
fungsi periodik dengan periode 2L )(f
di mana:
Fungsi genap dan ganjil
Fungsi genap
ff Mathematically speaking -
Fungsi ganjil
ff Mathematically speaking -
Fungsi genap dapat direpresentasikan oleh kurva cosinus, karena kurva cosinus adalah fungsi genap. Jumlah dari fungsi-fungsi genap adalah juga fungsi genap.
10 0 10
5
0
5
Fungsi ganjil dapat direpresentasikan oleh kurva sinus, karena kurva sinus adalah fungsi ganjil. Jumlah dari fungsi-fungsi ganjil adalah juga fungsi ganjil.
10 0 10
5
0
5
Deret Fourier dari fungsi genap fdirepresentasikan dalam deret cosinus.
1
0 cosn
n naaf
Deret Fourier dari fungsi ganjil fdirepresentasikan dalam deret sinus.
1
sinn
n nbf
Contoh 2. Tentukan deret Fourier dari fungsi periodik berikut.
ff 2
xjikaxxf 2
3321
21
21
23
20
x
x
x
dxxdxxfa
nxdxx
dxnxxfan
cos1
cos1
2
Gunakan integral parsial.
nn
an cos42
ganjiln jika42n
an
genapn jika42n
an
Karena fungsi tersebut genap.
Maka, 0nbDeret Fourier dari fungsi tersebut adalah
222
2
44cos
33cos
22coscos4
3xxxx