Deflexiones y giros
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Teoría de Vigas 4ta parte
Ejemplo de giros y deflexiones
2a/3
a
b
q P
A
B C
- Deflexión o flecha en B - Giro en A
Ejemplo de giros y deflexiones
B P
a q
2P/3 P/3
2P/3
A
C
Ejemplo de giros y deflexiones
q 2P/3 C
- Flecha en B
Ejemplo de giros y deflexiones
Viga análoga
EI
xM
dx
vd )(2
2
EI
x
dx
dv )(
EI
xV
dx
vd )(3
3
EI
q
dx
vd
4
4
Viga análoga (Analogía de Mohr)
2
2
dx
Md
dx
dVq
Teorema Fundamental
de Vigas: 2
2
dx
d
dx
d
EI
M
Ecuación de la elástica:
Las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión son análogas a las ecuaciones fundamentales de la viga, en el sentido en que en ambas aparecen tres términos, (M/EI, θ, ν) y (q, V, M) respectivamente, relacionados mediante la primera y segunda derivada.
El método consiste en crear una viga que es cargada con una carga análoga q, equivalente a los valores de M/EI de nuestra viga real, y con condiciones de borde en V y M, que reflejen las condiciones de borde de θ y ν de la viga real.
V My qEI
M
“viga análoga”
Apoyo fijo Apoyo fijo
Apoyo deslizante Apoyo deslizante
Empotramiento
Empotramiento
Libre
Libre
Apoyo fijo
Apoyo deslizante
Articulación
Articulación
Articulación Apoyo deslizante
qEI
M V Mv
Ejemplo
P
M/(EI)
Viga Análoga
θ=V*
v=M*
-
-
P
Viga Original
PL/EI
Viga análoga (Analogía de Mohr) Ejemplo con otras condiciones de borde.
MvVqEI
M ;; Determinar el descenso de D.
Tramo BCD Suma (F)= 0 RB+Rc=P Suma(MB)=0 L.RC-3/2L.P=0 RC=3/2.P RB=-1/2.P
Tramo BCD
Tramo AB
RB=1/2.P
Tramo AB Suma (F)= 0 1/2.P+RA=0 RA=-1/2.P Suma(MA)=0 MA-L/2.P/2=0 MA=P*L/4
RA
MA
-P/2
P P
-P/2 -
+
V
M
PL/4
-PL/2
+
-
Viga análoga: vínculos
Viga original
Viga análoga
Carga
MvVqEI
M ;;
PL/(4EI)
-PL/(2*(2EI) =-PL/(4EI)
140 MPa
18 kN/m
Asumiendo q=1kN/m RA+RB+RC= 12 Suma Mder_art=0 5*2.5-3*RC=0 RC=12.5/3 kN
Suma Mizq_art=0 2*RB2+7*RA- 7*3.5=0 RA= 1.767 kN RB = 6.066 kN
A B C
Diagramas
M
V
q admisible
Mmax= -3.666 σ>Mmax/Wx 140 MPa> 3.666*q/278 q< 140*10^6*278/10^6/3.666 q< 10.6 kN/m
Módulo Resistente
PNI 22 IxPNI22= 3060 cm4
Ix= 3060 + 2*[(d*1.5^3)/12+d*1.5*(11+1.5/2)2]
Ix= 3060+2*d*207.4 cm3
Wx=Ix/y Wx = (3060+2*d*207.4)/12.5
Espesor d
q= 18 kN/m σ>Mmax/Wx 140 MPa> Mmax/(3060+2*d*207.4)/12.5 140,000 kPa > 3.7*18 kNm /[ (3060 * 10-6 +2*d*207.4 * 10-4)/12.5] 140,000> 3.7*18/(244.8* 10-6+33.2*d*10-4) d> 7 cm