Definición de derivada - Matematicas Online · 2016-04-07 · Ejercicio nº 6.- Calcula la...
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1
Definición de derivada
Ejercicio nº 1.-
Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo 1, 2] e indica
xxxf 32 2
Ejercicio nº 2.-
.3
1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,
xxff´
Ejercicio nº 3.-
. 3
1función la paracalcula derivada, de definición la Utilizando
xxf f´(x)
Ejercicio nº 4.- Halla la función derivada de:
523a) 4 xxxf
xexf b)
Ejercicio nº 5.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:
12
2a)
2
x
xxf
xxexf b)
Ejercicio nº 6.- Calcula la derivada de la función:
14 3 xxf
Ejercicio nº 7.- Consideramos la función:
2
12
xxf
Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo. Ejercicio nº 8.-
1]3,[ intervalo el en3
función la de media variación de tasa la Calcula a) x
xf
b) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿crece o decrece la función en dicho intervalo?
2
Ejercicio nº 9.- Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:
0,1 a)
2,1 b)
Ejercicio nº 10.-
.2
13 siendo1)(calcula derivada, de definición la Utilizando
xxf,f´
Ejercicio nº 11.-
.x
xf,f'2
siendo 1calcula derivada, de definición la Aplicando
Ejercicio nº 12.-
.3
1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,
xxff´
Ejercicio nº 13.-
derivada.dedefiniciónlaaplicando2,en1funciónla de derivada la Halla2
xxxf
Ejercicio nº 14.- Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:
12 xxf
Ejercicio nº 15.-
., derivada de definición la aplicando2 función la de derivada la Halla 2xxf
Ejercicio nº 16.-
. 3
1función la paracalcula derivada, de definición la Utilizando
xxf f´(x)
Ejercicio nº 17.-
1.siendoderivada,dedefiniciónlaaplicandoHalla 2 x(x)ff´(x),
3
Ejercicio nº 18.-
.x
xf, xf' 1
siendocalcula derivada de definición la Aplicando
Cálculo de derivadas
Ejercicio nº 19.- Halla la función derivada de:
234a) 23 xxxf
xtgxf b)
Ejercicio nº 20.- Calcula la función derivada de:
12a) 23 xxxf
lnxxf b)
Ejercicio nº 21.- Halla la derivada de:
5
13a) 23 xxxf
xcosxf b)
Ejercicio nº 22.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:
3
2a) 5 xxxf
xsenxf b)
Ejercicio nº 23.- Halla la función derivada de:
523a) 4 xxxf
xexf b)
Ejercicio nº 24.- Calcula f´(x) en cada caso:
32
3a)
2
x
xxf
xsenxxf 3b)
4
Ejercicio nº 25.- Halla la función derivada de:
3
1a)
2
x
xxf
xlnxxf b)
Ejercicio nº 26.- Calcula la derivada de las funciones siguientes:
2
13a)
2
x
xxf
xsenxxf 2b)
Ejercicio nº 27.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:
12
2a)
2
x
xxf
xxexf b)
Ejercicio nº 28.- Halla la derivada de las siguientes funciones:
x
xxf2
a)
xe
xxf
13b)
Ejercicio nº 29.- Halla la derivada de las siguientes funciones:
x
xxf2
a)
xe
xxf
13b)
Ejercicio nº 30.- Calcula la derivada de la función:
14 3 xxf
Ejercicio nº 31.- Halla la función derivada de:
423 xxxf
5
Ejercicio nº 32.- Halla f´(x) para la función:
xxexf 24 3
Ejercicio nº 33.- Calcula la función derivada de:
32
1
x
xsenxf
Aplicaciones de la derivada
Ejercicio nº 34.-
Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 3x que tenga pendiente 7.
Ejercicio nº 35.-
14
1recta la a paralela sea que curva la a tangente recta la de ecuación la Halla xyx y
Ejercicio nº36.-
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 + 2x 1 en el punto de abscisa x = 1.
Ejercicio nº 37.-
Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 2x en el punto de abscisa x 2.
Ejercicio nº 38.- Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva y = 3x
2 + x -1.
Ejercicio nº 39.- Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:
2
3 2
x
xxf
Ejercicio nº 40.- Halla y representa gráficamente los puntos singulares de la función:
24 2xxxf
6
Ejercicio nº 41.- Determina los puntos de tangente horizontal de la función:
2
3
x
xxf
Ejercicio nº 42.- Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente función y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos:
xxxxf 156 23
Ejercicio nº 43.- Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función:
193 23 xxxy
Ejercicio nº 44.- Dada la función:
32xxf
determina los tramos en los que la función crece y en los que decrece. Ejercicio nº 45.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:
123 2 xxxf
Ejercicio nº 46.- Estudia dónde crece y dónde decrece la función:
23123 xxxf
Ejercicio nº 47.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función:
2
132
xxxf
Ejercicio nº 48.- Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:
22 xxf
7
SOLUCIONES
Definición de derivada
Ejercicio nº 1.-
Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo 1, 2] e indica
xxxf 32 2
Solución:
31
3
1
12
1
12
12
12 2 1, T.V.M.
ff
Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en el intervalo [1, 2]. Ejercicio nº 2.-
.3
1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,
xxff´
Solución:
3
1
3
13
03
11
111'
00
00
hh
hh
l imh
h
lim
h
h
limh
fhflimf
Ejercicio nº 3.-
. 3
1función la paracalcula derivada, de definición la Utilizando
xxf f´(x)
Solución:
3
1
3
3311
3
1
31
'
000
00
h
hlim
h
h
limh
xhx
lim
h
xhx
limh
xfhxflimxf
hhh
hh
8
Ejercicio nº 4.- Halla la función derivada de:
523a) 4 xxxf
xexf b)
Solución:
221' 3 xxfa)
xexf 'b)
Ejercicio nº 5.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:
12
2a)
2
x
xxf
xxexf b)
Solución:
22
2
22
2
2
12
422
12
4224
12
22122'a)
x
xx
x
xxx
x
xxxxf
xxx exxeexf 1'b)
Ejercicio nº 6.- Calcula la derivada de la función:
14 3 xxf
Solución:
14
6
142
1212
142
1'
3
2
3
22
3
x
x
x
xx
x
xf
Ejercicio nº 7.- Consideramos la función:
2
12
xxf
Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo.
9
Solución:
1
2
2
2
2
1
2
3
2
2
1
2
3
02
022,0 T.V.M.
ff
Como la tasa de variación media es positiva, la función crece en ese intervalo. Ejercicio nº 8.-
1]3,[ intervalo el en3
función la de media variación de tasa la Calcula a) x
xf
b) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿crece o decrece la función en dicho intervalo? Solución:
1
2
2
2
13
31
13
31
311,3 T.V.M.a)
ff
b) Como la tasa de variación media es negativa, la función es decreciente en el intervalo dado. Ejercicio nº 9.- Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:
0,1 a)
2,1 b)
Solución:
21
11
1
11
10
100,1T.V.M. a)
ff
Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en [-1,0]. (También se puede apreciar directamente en la gráfica).
21
20
12
122,1T.V.M. b)
ff
La función decrece en este intervalo.
10
Ejercicio nº 10.-
.2
13 siendo1)(calcula derivada, de definición la Utilizando
xxf,f´
Solución:
2
3
2
3lim
23
lim22133
lim22
2133
lim
22
2
113
lim11
lim1'
0
000
00
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
fhff
h
hhh
hh
Ejercicio nº 11.-
.x
xf,f'2
siendo 1calcula derivada, de definición la Aplicando
Solución:
2
1
2
1
2
1
2
12
1222
1
122
21
2
111'
00
000
00
hlim
hh
hlim
h
hh
limh
hh
limh
h
h
lim
h
hlimh
fhflimf
hh
hhh
hh
Ejercicio nº 12.-
.3
1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,
xxff´
Solución:
3
1
3
13
03
11
111'
00
00
hh
hh
l imh
h
lim
h
h
limh
fhflimf
11
Ejercicio nº 13.-
derivada.dedefiniciónlaaplicando2,en1funciónla de derivada la Halla2
xxxf
Solución:
22
2
212111
112222'
00
2
0
2
0
2
0
2
00
hlimh
hhlim
h
hhlim
h
hhlim
h
hlim
h
hlim
h
fhflimf
hh
hhh
hh
Ejercicio nº 14.- Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:
12 xxf
Solución:
22
222121
211111'
0
0
2
0
2
0
2
00
hlim
h
hhlim
h
hhlim
h
hhlim
h
hlim
h
fhflimf
h
hhh
hh
Ejercicio nº 15.-
., derivada de definición la aplicando2 función la de derivada la Halla 2xxf
Solución:
xxhlim
h
xhhlim
h
xhhlim
h
xxhhxlim
h
xxhhxlim
h
xhxlim
h
xfhxflimxf
hhh
hh
hh
4424242
2422222
22'
00
2
0
222
0
222
0
22
00
12
Ejercicio nº 16.-
. 3
1función la paracalcula derivada, de definición la Utilizando
xxf f´(x)
Solución:
3
1
3
3311
3
1
31
'
000
00
h
hlim
h
h
limh
xhx
lim
h
xhx
limh
xfhxflimxf
hhh
hh
Ejercicio nº 17.-
1.siendoderivada,dedefiniciónlaaplicandoHalla 2 x(x)ff´(x),
Solución:
xxhlim
h
xhhlim
h
xhhlim
h
xxhhxlim
h
xhxlim
h
xfhxflimxf
h
hhh
hh
22
22112
11'
0
0
2
0
222
0
22
00
Ejercicio nº 18.-
.x
xf, xf' 1
siendocalcula derivada de definición la Aplicando
Solución:
20
000
000
11
11
'
xhxxlim
hxhx
hlim
h
hxxh
limh
hxxhxx
lim
h
hxx
hxx
limh
xhxlimh
xfhxflimxf
h
hhh
hhh
13
Cálculo de derivadas
Ejercicio nº 19.- Halla la función derivada de:
234a) 23 xxxf
xtgxf b)
Solución:
xxxf 612'a) 2
xcos
xtgxf2
2 11'b)
Ejercicio nº 20.- Calcula la función derivada de:
12a) 23 xxxf
lnxxf b)
Solución:
xxxf 26' 2 a)
x
x'f1
b)
Ejercicio nº 21.- Halla la derivada de:
5
13a) 23 xxxf
xcosxf b)
Solución:
xxxfa 63') 2
xsenx'f)b
Ejercicio nº 22.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:
3
2a) 5 xxxf
xsenxf b)
14
Solución:
3
110'a) 4 xxf
xcosx'f)b
Ejercicio nº 23.- Halla la función derivada de:
523a) 4 xxxf
xexf b)
Solución:
221' 3 xxfa)
xexf 'b)
Ejercicio nº 24.- Calcula f´(x) en cada caso:
32
3a)
2
x
xxf
xsenxxf 3b)
Solución:
2
2
2
2 2
2
2
3 2
18 6
3 2
6 18 12
3 2
2 3 3 2 6
x
x x
x
x x x
x
x x x x ' f ) a
xsenxxf 31'b)
xcosxxsenx
xcosxxsenxxf 3
3 2
3132
3
1
3
1'
Ejercicio nº 25.- Halla la función derivada de:
3
1a)
2
x
xxf
xlnxxf b)
Solución:
2
2
2
22
2
2
3
16
3
162
3
132'a)
x
xx
x
xxx
x
xxxxf
11
'b) xlnx
xxlnxf
15
Ejercicio nº 26.- Calcula la derivada de las funciones siguientes:
2
13a)
2
x
xxf
xsenxxf 2b)
Solución:
22
2
22
22
22
2
2
623
2
2663
2
21323'a)
x
xx
x
xxx
x
xxxxf
xcosxsenxxxf 22'b)
Ejercicio nº 27.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:
12
2a)
2
x
xxf
xxexf b)
Solución:
22
2
22
2
2
12
422
12
4224
12
22122'a)
x
xx
x
xxx
x
xxxxf
xxx exxeexf 1'b)
Ejercicio nº 28.- Halla la derivada de las siguientes funciones:
x
xxf2
a)
xe
xxf
13b)
Solución:
2
2
2
1'a)
xxxf
xx
x
x
xx
e
x
e
xe
e
exexf
32133133'b)
22
16
Ejercicio nº 29.- Halla la derivada de las siguientes funciones:
x
xxf2
a)
xe
xxf
13b)
Solución:
2
2
2
1'a)
xxxf
xx
x
x
xx
e
x
e
xe
e
exexf
32133133'b)
22
Ejercicio nº 30.- Calcula la derivada de la función:
14 3 xxf
Solución:
14
6
142
1212
142
1'
3
2
3
22
3
x
x
x
xx
x
xf
Ejercicio nº 31.- Halla la función derivada de:
423 xxxf
Solución:
1634'32 xxxxf
Ejercicio nº 32.- Halla f´(x) para la función:
xxexf 24 3
Solución:
212' 224 3
xexf xx
17
Ejercicio nº 33.- Calcula la función derivada de:
32
1
x
xsenxf
Solución:
32
1
32
5
32
1
32
2232
32
2132
32
1'
2
22
x
xcos
x
x
xcos
x
xx
x
xx
x
xcosxf
Aplicaciones de la derivada
Ejercicio nº 34.-
Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 3x que tenga pendiente 7.
Solución:
34' xy
17347' es recta la de pendiente La xxy
.5,1 Cuando yx
La recta será:
27775175 xxxy
Ejercicio nº 35.-
14
1recta la a paralela sea que curva la a tangente recta la de ecuación la Halla xyx y
Solución:
xy
2
1'
44
1
2
1
4
1' es recta la de pendiente La x
xy
2,4Cuando yx
La recta será:
1
4
11
4
124
4
12 xxxy
Ejercicio nº36.-
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 + 2x 1 en el punto de abscisa x = 1.
18
Solución:
22' xy
.41' es recta la de pendiente La y
Cuando x = 1, y = 2
La recta será:
24442142 xxxy
Ejercicio nº 37.-
Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 2x en el punto de abscisa x 2.
Solución:
23' 2 xy
.102' es recta la de pendiente La y
.4,2Cuando yx
La ecuación de la recta será:
1610201042104 xxxy
Ejercicio nº 38.- Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva y = 3x
2 + x -1.
Solución:
16' xy
17167' es recta la de pendiente La xxy
.3,1 dos Cuando yx
La ecuación de la recta será:
47773173 xxxy
Ejercicio nº 39.- Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:
2
3 2
x
xxf
Solución:
2
2
2
22
2
2
2
34
2
342
2
322'
x
xx
x
xxx
x
xxxxf
0340340' 22 xxxxxf
6,3 Punto 3
2,1 Punto 1
2
24
2
12164
x
x
x
19
Ejercicio nº 40.- Halla y representa gráficamente los puntos singulares de la función:
24 2xxxf
Solución:
1,1Punto1
0,0Punto0
11Punto1
01444' 23
x
x
,x
xxxxxf
Hallamos las ramas infinitas:
2424 22 xxlimxxlimxx
1
1
1
0,0 en máximo ; 1,1 eny 1,1 en Mínimo
Ejercicio nº 41.- Determina los puntos de tangente horizontal de la función:
2
3
x
xxf
Solución:
2
23
2
323
2
32
2
62
2
63
2
23'
x
xx
x
xxx
x
xxxxf
27,3 Punto 3
0,0 Punto 0
0620620' 223
x
x
xxxxxf
Ejercicio nº 42.- Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente función y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos:
xxxxf 156 23
Solución:
054015123' 22 xxxxxf
20
100,5 Punto 5
8,1 Punto 1
2
64
2
20164;
2
64
2
20164
x
x
xx
xxxlimxxxlimxx
156156 2323
Máximo en (5, 100) y mínimo en (1, 8). Ejercicio nº 43.- Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función:
193 23 xxxy
Solución:
2
12420323963' 22 xxxxxy
26,3 Punto 3
6,1 Punto 12
42
x
x
Hallamos las ramas infinitas para saber si son máximos o mínimos:
193193 2323 xxxlimxxxlim
xx
1 3
26
6
Máximo en (1, 6 ) y mínimo en (3, 26). Ejercicio nº 44.- Dada la función:
32xxf
determina los tramos en los que la función crece y en los que decrece.
21
Solución:
26' xxf
.creciente es función la0' Como xf
Ejercicio nº 45.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:
123 2 xxxf
Solución:
26' xxf
Estudiamos el signo de la derivada:
3
126026
3
1
6
226026
3
1026
xxx
xxxx
xx
.3
1 en mínimo un tieney ,
3
1 en crece ,
3
1, en decrece función La
x
Ejercicio nº 46.- Estudia dónde crece y dónde decrece la función:
23123 xxxf
Solución:
xxf 612'
Estudiamos el signo de la derivada:
21266120612
21266120612
20612
xxxx
xxxx
xx
La función es creciente en (, 2) y decreciente en (2 +) y tiene un máximo en x 2). Ejercicio nº 47.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función:
2
132
xxxf
Solución:
2
32'
xxf
Estudiamos el signo de la derivada:
22
2
3320320
2
322
3320320
2
322
30320
2
32
xxxx
xxxx
xxx
.2
3 en mínimo un tieney ,
2
3 en crece y
2
3, en decrece función La
x
Ejercicio nº 48.- Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:
22 xxf
Solución:
22' xxf
Estudiamos el signo de la derivada:
202022
202022
202022
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La función decrece en , 2 y crece en 2, y tiene un mínimo en x 2.