Tema 9 Derivadas. Técnicas de derivaciónTema 9 Derivadas.Técnicas de derivación 1. Definición...
13
Tema 9 Derivadas. Técnicas de derivación 1. Definición de función derivada. Halla la función derivada de 3 ) ( x x f utilizando la definición. Función derivada: 3 ) ( ; ) ( ) ( lim ) ( 0 h x h x f h x f h x f x f h ; . 0 0 3 3 lim ) ( 0 h x h x x f h Indeterminación. Multiplicamos numerador y denominador por 3 3 x h x para poder simplificar la fracción: 3 2 1 3 3 1 lim 3 3 3 3 lim ) ( 0 2 2 0 x x h x x h x h x h x x f h h Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Comprobaremos el resultado calculando la derivada de la función. Para ello, primero escribimos la función y luego, la derivamos: Figura 1. *Para insertar el apóstrofe que nos sirve para derivar, tenemos dos opciones: la primera es insertarla desde el teclado, y la segunda es con el icono en la pestaña Análisis:
Transcript of Tema 9 Derivadas. Técnicas de derivaciónTema 9 Derivadas.Técnicas de derivación 1. Definición...
Tema 9 Derivadas. Técnicas de derivación
1. Definición de función derivada.
Halla la función derivada de 3)( xxf utilizando la definición.
Función derivada: 3)(;)()(
lim)(0
hxhxfh
xfhxfxf
h ; .
0
033lim)(
0
h
xhxxf
h Indeterminación.
Multiplicamos numerador y denominador por 33 xhx para poder simplificar la fracción:
32
1
33
1lim
33
33lim)(
0
22
0
xxhxxhxh
xhxxf
hh
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Comprobaremos el resultado calculando la derivada de la función. Para ello, primero escribimos la función y
luego, la derivamos:
Figura 1.
*Para insertar el apóstrofe que nos sirve para derivar, tenemos dos opciones: la primera es insertarla desde el
teclado, y la segunda es con el icono en la pestaña Análisis:
Matemáticas II – Tema 9 .
2
Figura 2.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
2. Derivadas laterales.
Demuestra, utilizando la definición de derivada, que la función: 1)( xxxf no es derivable en x = 1.
1
1
1
11
xsi
xsi
x
xx
1
11)(
2
2
x
x
si
si
xx
xxxxxf
1)1(lim)1()1(
lim)1()1(
lim)1(0
2
0
(*)
0
hh
hh
h
fhff
hhh (*) Si 11,0 hh
1)1(lim)1()1(
lim)1(0
2
0
hh
hhf
hh Como no es derivable en x = 1. fff ),1()1(
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Calcularemos el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda. Para insertar el límite sólo tenemos que ir a la
pestaña ‘Análisis’:
Figura 3.
2. A continuación se estudiará el límite por la derecha, por lo que se hará lo mismo que en el primer paso, pero
cuando h tiende a 0 por la derecha:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
3
Figura 4.
Como los límites tanto por la derecha como por la izquierda no coinciden la función no es derivable en el
punto, en este caso, x=0.
)(xf
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
3. Función derivada.
Dada la función: xxxf 3)( halla su función derivada.
Definimos por intervalos teniendo en cuenta que: f
0
033
333
xsix
xsixx
xsix
xsixx
xxx
xx
30
33
x 3
3
30
0
32
3
32
)(
xsi
xsi
xsi
x
x
xf
3
30
0
2
0
2
)(
xsi
xsi
xsi
xf
)0()0( porque 0en x derivable es No 0)0(',2)0( ffff
)3()3( porque 3en x derivable es No2)3(',0)3( ffff
Matemáticas II – Tema 9 .
4
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En primer lugar, derivamos las tres partes en las que dividimos la función. Para ello, escribimos la función entre
paréntesis y escribimos un apóstrofe tras él. Obtendremos el resultado pulsando igual:
Figura 5.
2. Para saber si es derivable en el punto x=0, lo sustituimos en la función derivada. Esto lo haremos escribiendo
f(x) y luego la función lista para derivarla. A continuación, y siempre dentro del mismo bloque, escribimos f(0)
para sustituir cada x por 0:
Figura 6.
2. Para saber si es derivable en el punto x=3, realizamos los mismos pasos que en el paso anterior:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
5
Figura 7.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
4. Función no derivable.
Estudia la derivabilidad de la función
2,84
22,4
2,84
)( 2
xsix
xsix
xsix
xf
f está definida por funciones polinómicas en los intervalos 2,2(),2, y .,2
lim
Por tanto, es continua y
derivable en esos intervalos. es continua en x = -2 y en x = 2, porque:
f
(f 0)2)(2
xfx
f y
0)2()(2
fxflimx
Estudiamos su derivada:
2,4
22,2
2,4
)('
xsi
xsix
xsi
xf2en derivable es no )2()2(
2en derivable es )2()2(
xfff
xfff
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Representamos la función, para verla gráficamente. En ella se puede ver como tiene un punto anguloso en x=2.
Matemáticas II – Tema 9 .
6
Figura 8.
Figura 9.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
7
2. Derivamos cada parte de la función, para saber si por cada lado son iguales al sustituir el punto, y por lo tanto,
derivables. Si se representa la función se puede ver que no existe en 'f .2x
Figura 10.
Figura 11.
Matemáticas II – Tema 9 .
8
Figura 12.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
5. Reglas de derivación. Halla la función derivada de estas funciones:
)12() 2xxsenarcya 21
)x
xtgarcyb
x
xyc
11)
a)
22
2
22
2
222
22
2
2
22 1
2
1
)21(2
21
1
1
42
)21(
1
1
212
441
1)12(
121
1
xx
x
xx
x
xx
xx
xxxxD
xxy
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
9
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. De la misma forma que en ejercicios anteriores, para resolver este, escribimos la función entre paréntesis, y
luego escribimos el apóstrofe. Después, sólo tenemos que pulsar el botón de igual y obtenemos la derivada:
Figura 13.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
b) 222
22
2
2
22
2
22
2
1
1
1)1(
1)1(
1
12
21
)1(1
11
1
xxxx
x
x
xx
xx
xD
x
xy
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para resolver este apartado, escribiremos la función y luego la derivaremos:
Figura 14.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
Matemáticas II – Tema 9 .
10
c)
x
xxxy
y
xx
xy
11
11
1ln1
1ln1
1lnln2
2
;
x
xxxyy
xxy
11
1
111ln
1
111ln
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Este apartado también lo resolveremos escribiendo la función entre paréntesis y escribiéndo el apóstrofe después:
Figura 15.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
6. Pendiente de la tangente. Prueba si existe un punto de la curva y en el que la tangente a esa curva es paralela a la bisectriz del primer
cuadrante.
x
xtgarcy
1
1
Sabemos que es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de )( 0xf xfy en el punto de abcisa . En
este caso buscamos un tal que pendiente de la bisectriz.
0x
0x ,1)( 0 xf
01)(1
1
1
11
1
)1(
)1()1()(
222
xxf
x
x
xx
xxxf ;
En la tangente a la curva es paralela a la bisectriz. ,00 x Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para resolver este ejercicio, escribiremos la función y después la derivaremos como anteriormente:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
11
Figura 16.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
7. Función continua y derivable. Halla el valor que ha de tener m para que la función f (x) sea derivable en x = 1.
12
13)(
2
xsimx
xsimxxf
Para que sea derivable en x = 1, ha de ser continua en x=1. f
Si f es continua en x = 1, ;3 m)1()(lim fxf1x
mmxxf
mmxxf
xx
xx
22lim)(lim
3)3(lim)(lim
11
2
11
0232
3 2 mmm
m 1
2
m
m
f Es continua en x = 1 si m = 1 o m = 2.
f será derivable en x = 1 si ).1(f )1( f
o Para m = 1.
1x
2
13)(
2
six
xsixxf
12
12)(
2xsi
x
xsixxf
21(
2)1(
f
f
)
f Es derivable en x = 1 si m = 1.
Matemáticas II – Tema 9 .
12
o Para m = 2.
11
123)(
2
xsix
xsixxf
11
14)(
2xsi
x
xsixxf
1)1(
4)1(
f
f
f No es derivable en x = 1 si m = 2. Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Derivamos ambas partes de la función para m=1:
Figura 17.
2. Sustituimos el punto (en este caso 1) en ambas partes derivadas:
Figura 18.
3. Derivamos ambas partes de la función para m=2:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
13
Figura 19.
4. Sustituimos el punto (1) en ambas partes derivadas:
Figura 20.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
