Deducción de Las Expresiones y Problemas Resueltos Sobre Vmáx y Qmáx

Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Prez

Sede Medelln Escuela de Geociencias y Medio Ambiente

DEDUCCIN DE EXPRESIONES PARA DETERMINAR EL CAUDAL MXIMO Y LA

VELOCIDAD EN CONDUCTOS ABOVEDADOS

En general, en flujos en canales abiertos, conforme la profundidad del flujo aumenta, el caudal

tambin se incrementa. Sin embargo, en conductos de seccin abovedada, tales como los que se

muestran a continuacin, lo anterior es cierto hasta cierto valor de la profundidad, a partir del cual

un aumento en el valor de la profundidad ya no produce un incremento en el caudal, sino que, por

el contrario, el caudal disminuye. Ello, por lo tanto, produce un valor del caudal, Qmx.

Deduccin de la expresin para determinar la velocidad mxima en conductos abovedados

A partir de la ecuacin de Manning:

=

2/301/2 (1)

Las dos condiciones que deben cumplirse/ satisfacerse son:

= 0 (2) y

2

2= 0 (3)



Donde es una variable de la cual depende el rea y el permetro mojados (y, , m, etc.)

Derivando (1) con respecto a , se tiene:

= (

0

1/2)

(

23 )

= (

0

1/2)

2

3

1/3

=

2

3(

0

1/2)

1

1/3

= 0

=

2

3(

0

1/2)

1

1/3

= 0 (4)

= 0 (5)

(

)

=

2= 0 (6)

= 0 (7)

=

(8)

Expresin para determinar el caudal mximo en conductos abovedados

=

2/30

1/2=

5/3

2/30

1/2= (

01/2

) (

5/3

2/3) (9)

= (

01/2

)

(

5/3

2/3) = (

01/2

) [

2/3(5/3)

5/3

(2/3)

(2/3)2 ] (10)

= (

0

1/2) [

2/35

32/3(

)5/3

2

31/3(

)

4/3] = (

0

1/2) [

5

32/32/3(

)

2

3

5/3

4/3(

)

4/3] (11)

= (

0

1/2) [

5

3(

2/3

2/3) (

)

2

3(

5/3

5/3) (

)] = (

0

1/2) [

5

3(

)

2/3(

)

2

3(

)

5/3(

)]

(12)

= (

0

1/2) [

5

3

2/3(

)

2

3

5/3(

)] = 0 (13)

(

0

1/2) [

5

3

2/3(

)

2

3

5/3(

)] = 0

Dividiendo la expresin por 2/3

se tiene:



5

3

2/3

2/3 (

)

2

3

53

23

(

) =

0

23

(14)

5

3(

) 3

2

3 (

) 3 = 0(3) (15)

2 (

) = 5 (

) (16)

5

= 2

(17)

PROBLEMA 1

Un canal de concreto (n=0.014) de seccin abovedada presenta la forma y las dimensiones que se

ubican en la figura.

Para una pendiente S0 =1,5% y un dimetro D=1.5m. Determinar el valor de la velocidad mxima

del flujo y el caudal mximo.

Solucin:

Expresin para el permetro mojado, P

=

(

)

2/30

1/2 (1)

= 2 + 2 + 2 (2)

sin =

=

/2

/2=

2

1 (3)

= sin1 (2

1) (4)



sin =

; cos =

=

2

sin =

/2 ; =

2sin (5)

=

2=

2cos (6)

= 2 = 2

2cos = cos ; = cos (7)

=

2 =

1

2 sin1 (2

1) (8)

= =

4 (9)

= 2 + 2 = (

2)

2+ (

4)

2 (10)

=

4

2+

16

2=

2

16(4 + 1) =

45 (11)

= 2 (

45) + 2

4+ 2

2 (12)

= 2 (5

4+

1

4+

1

2) =

2

4(5 + 1 + 2) (13)

=

2(1 + 5 + 2) (14)

=

2(0 + 0 + 2) = (15)

Expresin para el rea mojada, A

= 1 + 2 + 3 (16)

1 =

4

2=

2

8 (17)

2 =

4=

2

4 (18)

3 = . + 2 . (19)

=1

2 =

1

2 (

2) =

1

2( cos ) (

2sin ) (20)



=2

4sin cos (21)

sin( + ) = sin 2 = sin cos + cos sin = 2 sin cos (22)

sin cos = 1/2 sin 2 (23)

=2

4(

1

2sin 2) =

2

8sin 2 (24)

ngulo rea

2 (rad) D2/4

(rad) A. Sector circular

=2/4

2=

1

82 (25)

3 =2

8sin 2 + 2

1

82 =

2

8sin 2 +

2

4 (26)

3 =2

8(2 + sin 2) (27)

=2

8+

2

4+

2

8(2 + sin 2) =

2

8[1 + 2 + (2 + sin 2)] (28)

=2

8[3 + (2 + sin 2)] =

2

8(3 + 2 + sin 2) (29)

=

2

8[0 + 2 + cos(2) (2)] =

2

8(2 + 2 cos 2) =

22

8(1 + cos 2) (30)

=

2

4(1 + cos 2) (31)

Calculo de la velocidad mxima, Vmx

Se parte de la siguiente expresin:

=

(32)

2(1 + 5 + 2)

2

4(1 + cos 2) =

2

8[3 + (2 + sin 2)] (33)

3

8(1 + 5 + 2)[1 + cos(2)] =

3

8[3 + 2 + sin(2)] (34)

(1 + 5 + 2)[1 + cos(2)] = 3 + 2 + sin(2) (35)



(1 + 5)(1) + (1 + 5) cos(2) + 2 + 2 cos(2) = 3 + 2 + sin(2) (36)

(1 + 5 3) + (1 + 5) cos(2) 2 cos(2) sin(2) = 0 (37)

Las siguientes son las races factibles en un rango de 0 /2

1.5352788 rad

= 0.6080233 rad (38)

2.6364927 rad

5.5754247 rad

=

(

)

2/3

01/2

=

0

1/2(

2

8)

2/3

[3+2+sin(2)]2/3

(

2)

23(1+5+2)2/3

(39)

Para = 0.608023 rad y = 1.535278 rad , se tiene:

= 3.33909 = 4.72997 (40)

= 1.44952 = 1.72732

=1

0.014(

1.4495

3.33909)

2/3

0.0015 = 1.58603/ (41)

=1

0.014(

1.72731

4.72497) 0.0015 = 1.41338/ (42)

Luego: Vmx = 1.58603 m/s (43)

Calculo del caudal mximo, Qmx

Se parte de la siguiente ecuacin:

2

= 5

(44)

22

8[3 + 2 + sin 2] = 5 (

2) (1 + 5 + 2) (

2

4) (1 + cos 2) (45)

3

4[3 + 2 + sin 2] =

53

8(1 + 5 + 2)(1 + cos 2) (46)

2[3 + 2 + sin 2] = 5[(1 + 5) + (1 + 5) cos(2) + 2 + 2 cos(2)] (47)

6 + 4 + 2 sin(2) = 5(1 + 5) + 5(1 + 5) cos(2) + 10 + 10 cos(2) (48)



5 55 6 + (10 4) + 5(1 + 5) cos(2) + 10 + 10 cos(2) 2 sin(2) = 0 (49)

6 + 5(1 + 5) cos(2) + 10 cos(2) 2 sin(2) (1 + 55) = 0 (50)

Con la calculadora Hp 48gx

-17.644 rad

-16.9057 rad

-0.220012 rad

= 0.521363 rad

2.30944 rad

60.7742 rad

64.8851 rad

5.338784 rad

2.309435 rad

0.521363 rad

= 10.49753 rad

14.674262 rad

19.891074 rad

24.073072 rad

Luego con = 0.521363055055 rad.

A = 1.37996 m2; P = 3.2091 m

=

5/3

2/30

1/2= (

11/3/

0.014) [

(1.37996)5/310/3

(3.2091)2/32/3] 0.0015 = 2.17493/

= 2.17493/

PROBLEMA 2

= = 2 + 2 = 22 = 2 (1)



=

(2)

2=

2

2

2

=2(2)

2 (3)

= 2(2 ) (4)

= = 2

2 (5)

= 2 + 2 (6)

= = (7)

= 2 + 2 = 22 = 2 = 2 = ( 2

2) 2 (8)

= 2 22

2 = 2

2

2 = 2 (9)

Deduccin de la expresin para el permetro mojada, P

= 2 + 2 = 2(2 ) + 2 = 22 2 + 2 (10)

= 22 (11) ;

= 22 (12)

Deduccin de la expresin para el rea mojada, A

A = ARectangulo ATriangulo = L2

1

2MN SR = L2

1

2(T)(2L y) = L2

1

2[2(2L y)](2L y)

A = L2 (2L y)(2L y) = L2 (2L y) = L2 (2L y)2

= L2 (2L2 22Ly + y2) (14)

A = L2 2L2 + 22Ly y2 = L2 + 22Ly y2 = L(22y L) y2 (15)

A = (22y L)L y2 (16)

A = 22Ly L2 y2 ; dA

dy= 22L 2y = 2(2L y) (17)

Calculo de la relacin Y/L para la velocidad mxima, Vmx

Para el clculo de la relacin de la velocidad y/L correspondiente a la Vmx, se debe cumplir la

siguiente relacin:

=

(18)



Reemplazando (11), (12), (16) y (17) en (18), se tiene:

(22)[2(2 )] = [(22 ) 2](22) (19)

22 22 = 22 2 2

22 22 = 22 2 2

2 = 2 (20)

2

2= 1

(y

l)

2= 1 (21) ;

y

L= 1 (22)

Clculo de la relacin y/L para el caudal mximo, Qmx

Para ello se debe partir de la siguiente expresin:

5 (

) = 2 (

) (23)

Nuevamente sustituyendo (11), (12), (16) y (17) en (23), se tiene:

5(22)[2(2 )] = 2[(22 ) 2](22)

10(2 ) = 2(22 2 2)

102 102 = 42 22 22

62 82 + 22 = 0

Dividiendo entre 2:

32 42 + 2 = 0

Dividiendo entre L2

32

2 4

2

2+

2

2= 0

32

4 (

)

2

+ 1 = 0



4 (

)

2

32 (

) 1 = 0

(

)

1,2=

(32) (32)2 4(4)(1)

2(4)=

32 9(2) + 16

8=

32 + 34

8= 1.2595

= 1.2595

PROBLEMA 3

En la figura se presenta un canal visitable de una red de alcantarillado combinado, concebido para

conducir y evacuar aguas residuales y pluviales. El colector est hecho de hormign (n = 0.013), y

tiene una pendiente longitudinal, So = 0.006.

Para un caudal de 7.0 m3/s, calcule la profundidad normal del flujo en rgimen uniforme.

Datos

n = 0.013; So = 0.006; Q = 7.0 m3/s

Solucin:

Para encontrar el valor de la profundidad normal, yn, dado que se trata de una seccin compuesta, se

supone primero dnde se encuentra el nivel del agua dentro del canal, as:

Suponiendo que: 0.00 m yn 0.25 m

En este caso el problema se reduce al de medio crculo, y para la seccin circular, se tiene:



=0

4(1

sin

) (1)

=0

8( sin ) (2)

= 2 cos1 (1 2

0) (3)

Reemplazando en la ecuacin de Manning para flujo uniforme, se tiene:

=(

02

8(sin ))(

04

(1sin

))

2/3

01/2

(4)

Haciendo el reemplazo aritmtico respectivo, tomando do = 0.50 m, se tiene:

7.0 =(

0.502

8(sin ))(

0.50

4(1

sin

))

2/3

0.0061/2

0.013 (5)

Resolviendo la ecuacin, se obtiene:

= 148.832402429 (6)

Reemplazando el valor obtenido en la ecuacin para el ngulo interno se obtiene:

y = 0.50 m (7)

El valor encontrado est por encima del intervalo propuesto; por lo tanto, en esta zona no se

encuentra la profundidad normal, obsrvese adems que el ngulo encontrado es muy superior a 2, lo cual implica que ni aun estando completamente lleno un canal circular de radio 0.25 m podra

conducir el caudal dado para las condiciones propuestas.

Suponiendo que: 0.25 m yn 1.75 m

Para este caso, es necesario considerar el rea compuesta.

= 1 + 2 (8)

=0

2

8+ ( 0.25) (9)

= 1 + 2 (10)

=0

2+ 0.70 + 2( 0.25) (11)



Por lo tanto: =0

2

8+(0.25)

02

+0.70+2(0.25) (12)

Reemplazando en la ecuacin de Manning, se tiene:

=

(0

2

8+(0.25))(

02

8+(0.25)

02

+0.70+2(0.25))

2/3

01/2

(13)

Reemplazando los valores numricos, se tiene:

7.0 =

( 0.502

8+1.20(0.25))(

0.502

8 +1.20(0.25)

0.502

+0.70+2(0.25))

2/3

0.0061/2

0.013 (14)

Resolviendo la ecuacin (14), resulta:

y = 1.87917542148 m (15)

Nuevamente, el valor encontrado no se encuentra en el intervalo propuesto, lo cual quiere decir que

el flujo utiliza parte de la seccin semicircular superior.

Suponiendo que: 1.75 m yn 2.35 m.



= 1 + 2 (16)

3 = (17)

3 =1

2

1

2=

1

2() (18)

=

2(0 1) + 3.70 +

1

2 (19)

= 1 + 2 + 3 (20)

3 = (21)

3 =1

2

8( sin )

12

8 (22)

=

8(0

2 12) + +

12

8(sin ) (23)

=

8(0

212)++

12

8(sin )

2(01)+3.70+

12

(24)

Reemplazando en la ecuacin de Manning, se obtiene:

=[

8(0

212)++

12

8(sin )]

5/3

01/2

(

2(01)+3.70+

12

)2/3

(25)

7.0 =[

8((0.50)2(1.20)2)+(1.50)(1.20)+

(1.20)2

8(sin )]

5/3

0.0061/2

[

2(0.501.20)+3.70+

(1.20)

2]

2/30.013

Resolviendo para , empleando una calculadora programable, resulta:

= 3.58209081423 rad (26)

Adems, se sabe que: = 2 cos1 (1 2

0) (27)

De donde: y = 0.731 m (28)

Este valor sera el equivalente en un crculo de dimetro 1,20 m, pero, dado que slo se oper con la

seccin superior, se tiene:

= 0.60 = 0.13108361589 (29)



As, para la seccin total, resulta:

= 0.25 + 1 + 0.13108361589 = 1.8810836158 (30) Dado que este valor s se encuentra en el intervalo propuesto, se concluye que:

yn =1.8811m

Deducción de Las Expresiones y Problemas Resueltos Sobre Vmáx y Qmáx

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