Cuadratura gaussiana-deducción
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA CON PUNTOS DE BASE EQUIDISTANTE
Diana Lizbeth Buenfil LeónJessica Sharlin Landeros Juárez
Ricardo José Lara CastellanosNayla Berenice Muñoz Euan
Daniela Pérez Yáñez
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CUADRATURA DE GAUSSIntroducción
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Cuadratura de gauss con dos puntos
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CUADRATURA GAUSSIANA
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Los siguientes gráficos muestran como se integra usando el trapezoide uniendo el punto A de coordenadas (a,f(a)) con el punto B de coordenadas (b,f(b)) con h=(b-a)
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Deducción de la técnica Gaussiana
Consideremos la figura a seguir donde se desea encontrar la integral de la función mostrada entre los limites -1 y 1 si los limites fueran diferentes se hace un cambio de variable con la finalidad de pasar a -1 y +1 , los puntos C y D se seleccionan sobre la curva y se forma el trapezoide , E,F, G y H .
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“Polinomios de Legendre”
Es un conjunto {P0(x), P1(x),...,Pn (x),... } que tienen las siguientes propiedades:
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Debemos decir que todos estos polinomios tienen raíces distintas y se encuentran en el intervalo [-1,1] y se ubican simétricamente con respecto al origen y lo mas importante son los nodos que se utilizan para resolver nuestro problema.
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Debemos tener en cuenta los nodos que son necesarios para generar una formula de integración numérica que sea exacta en los polinomios de grado menor o igual a 2n-1 son las raíces del polinomio de Legendre de grado n. En donde los coeficientes apropiados para evaluar las funciones en cada nodo son dado de la siguiente manera:
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Para la comodidad debemos decir que tanto las raíces de los polinomios de Legendre como los coeficientes se encuentran
tabulados.
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EJEMPLO
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Instrumentación computacional de la Cuadratura de Gauss
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Instrumentación computacional de la cuadratura de
Gauss.
function s= cgauss(f, a, b) t1= -(b-a)/2*1/sqrt(3)+(b+a)/2; t2= (b-a)/2*1/sqrt(3)+(b+a)/2; s = (b-a)/2*(f(t1)+f(t2));
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Para mejorar la precisión de esta fórmula se la puede aplicar mas de una vez dividiendo el intervalo de integración en sub-intervalos.
Ejemplo: use la función cgauss para calcular
>> syms x>> f=x*exp (x)>> s=cgauss (inline(f),1,2) s = 7.3832
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Ejemplo: aplique dos veces la cuadratura de Gauss en el ejemplo anterior.
En cada sub-intervalo se le aplica la fórmula de la Cuadratura de Gauss:>> syms x>> f= x*exp (x);>> s= cgauss(inline(f),1,1.5)+ cgauss(inline(f),1,1.5,2) s = 7.3886 Se puede dividir el intervalo en
más sub-intervalos para obtener mayor precisión.
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Instrumentación extendida de la Cuadratura de Gauss
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function t=cgaussm(f, a, b, m)
h=(b-a)/m;
t=0;
x=a;
for i=1:m
a=x+(i-1)*h;
b=x+i*h;
s=cgauss(f,a,b);
t=t+s;
end
m es la cantidad de sub-intervalos
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Ejemplo: aplicar sucesivamente la Cuadratura de Gauss incrementando el número de sub-intervalos, hasta que la respuesta tenga 4 decimales exactos.
>> syms x
>> f=x*exp (x);
>> s=cgaussm (inline(f), 1,2,1)
s=
7.3833
>> s=cgaussm(inline(f), 1,2,2)
s=
7.3887
>> s=cgaussm(inline(f), 1,2,3)
s=
7.3890
>> s=cgaussm(inline(f), 1,2,4)
s=
7.3890
En el último calculo se han usado 4 sub-intervalos. El valor obtenido tiene 4 decimales fijos. Para obtener fórmulas de cuadratura de Gauss con más puntos no es practico usar el método de coeficiente indeterminados.
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Bibliografía
http://es.slideshare.net/KikePrieto1/an-23-integracionnumericasegundaparte#