SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ TRƯỜNG THPT THANH THỦY. ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐH-CĐ LẦN II NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán A. Thời gian: 180 phút ( Không kể giao đề).

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm).

Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 23 2 2 2 3 (1)y x x m x m .

1) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số trên khi 2m .

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt ( ) : 2d y x tại 3 điểm phân biệt (1; 1)K , M, N sao cho tam giác AMN cân tại A và

có diện tích bằng 6 2 , biết 2; 2A .

Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình: 32sin 2.sin

tan 2 tan4sin cos sin 2

cos cos3 2

x xx x

x x xx x

.

2) Giải hệ phương trình:2 23 1 2 ( 1) 4 2 1

( ) 3 3

y y x y x y

y y x y

.

Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 2

3 2

1

ln(1 )I x x x dx Câu IV (1 điểm)

Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thang cân có đáy lớn 2.AD a Biết góc hợp bởi BC’ và

(ABCD) bằng 600, góc hợp bởi A’D với (ABCD) là sao cho 3tan , ' ' , ' ' ' ' .

2CD ABB A A B CDD C

Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB’ và CD’.

Câu V (1 điểm) Cho 1

, , : 1, , 1, 14

x y z x y z xyz . Chứng minh rằng: 1 1 1 22

1 1 1 15x y z

.

II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)).1. Theo chương trình Chuẩn :

Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với hai trung tuyến : 2 0,AN x y : 7 6 0,BM x y

đỉnh 1; 1B . Biết tam giác ABC có diện tích bằng 2. Xác định tọa độ các đỉnh A, C của tam giác.

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm (0; 0; 2), (4; 2; 2)A B , có tâm

nằm trên ( ) : 2 0P x y z và tiếp xúc vói 3 1 2:

1 1 1

x y z .

Câu VII.a (1 điểm) Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức 1w iz , biết z là số phức thỏa

mãn: 32 1 8z i .

2. Theo chương trình Nâng cao :Câu VI.b (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2( ) : 1 2 4C x y . Viết phương trình đường tròn ( ')C đi qua

(2;1)M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB song song với ( ) : 2 0d x y , biết tâm của (C’) nằm trên

đường thẳng ( ) : 2 0x y

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1

1 2 1:

1 1 1

x y zd

và 2

2 1( ) : .

2 1 1

x y zd

Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua O đồng thời cắt (d1), (d2) theo thứ tự tại A và B sao cho đường thẳng AB đi qua

điểm 2; 3; 2E .

Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: 3 2 1 2

2 01 2

z i z iz

i i

.

………….HẾT………….

Thí sinh làm bài nghiêm túc, Giám thị không giải thích thêm. http://thanhthuy.edu.vn

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

Câu Nội dung Điểm

Câu 1(2,0)

1) Học sinh trình bày đúng, đủ các bước theo sơ đồ khảo sát hàm số2) Phương trình hoành độ giao điểm:

3 2 3 23 2 2 2 3 2 3 2 3 2 1 0x x m x m x x x m x m

22

1( 1) 2 2 1 0

2 2 1 0 (*)

xx x x m

x x m

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biết khác 1 khi và chỉ khi:

2

' 2 00

1 2.1 2 1 0

mm

m

.

Khi đó 1 1 2 2( ; 2), ( ; 2)M x x N x x . Theo Định lí Viet thì 1 2 2x x nên dễ dàng

có được K là trung điểm của MN. Nhận thấy (3; 3)AK

vuông góc với vecto chỉphương của (d) nên tam giác AMN luôn cân tại A.Ta có

2 22 1 2 1 1 2

1 1. 6 2 3 2. 2( ) 2 2 . ( ) 4 .

2 2AMNS AK MN x x x x x x

Mà cũng theo Định lí Viet ta có: 1 2 1 22, . 2 1x x x x m nên ta có phương trình:

2 2 8 1m m .Kết luận: Đối chiếu điều kiện 0m thấy 1m thỏa mãn.

1,0

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu Nội dung ĐiểmCâu 2(2,0)

1)Điều kiện: cos .cos2 0x x .Phương trình tương đương với:

32sin 2.sin

sin4sin cos sin 2

2cos 2 .cos 2cos .cos 2

x xx

x x xx x x x

32sin 2.sin sin sin cos sin 24

x x x x x x

3 2 22sin sin cos sin sin cos 2sin .cosx x x x x x x x 22sin .(sin cos ) (sin cos ) sin (sin cos ) 0x x x x x x x x

2(sin cos ) 2sin sin 1 0 sin cos 0 ( cos 2 0)x x x x x x loai vi x

Vậy phương trình vô nghiệm.

0,25

0,5

0,25

2) Điều kiện: 2 2 1 0x y .Hệ phương trình tương đương với:

2

2 2 22 2 1 2 1 2 2 (1)

( ) 3 3 (2)

y x y y x y xy y

y y x y

2

22

2

2 2 1 (3)

3 3 (4)

y x y y x

xy y y

Ta có:

2 2

2 2

2 2 1 2 1(1)

2 2 1 2 1 3

y x y y x x y y x

y x y y x x y y x

0,25

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

22 2

222

2 1 , 0 2 1 2 , 0 ( )

9 2 1 6 , 3 0 ( )2 1 3 , 3 0

x y y x x y y y xy x y a

y y xy y x bx y x y y x

+) Kết hợp (4) và (a) ta có hệ: 2 2

2

2 1 2 3 3 , 0

3 3

y y y y x y

xy y y

2

2

1

13 4 7 0, 0

3 3 7 / 3( )

41/ 21

y

xy y x y

xy y y yloai

x

+) Kết hợp (4) và (b) ta có hệ:

2 2 2

22

9 2 1 6 3 3 , 3 0 3 20 17 0, 3 0

3 33 3

y y y y y x y y y x

xy y yxy y y

1

1

17 / 3

415 / 51

y

x

y

x

.

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm:

1

1

y

x

,17 / 3

415 / 51

y

x

.

0,25

0,25

0,25

Câu Nội dung Điểm

Câu III(1,0)

23 2

1

ln(1 )I x x x dx Đặt:

2 3 4 22

2 1 1ln(1 ), , 1 1

1 4 2

xu x v x x u v x x

x

ta có:

2

4 2 2 2 2

1

21 1 11 ln(1 ) 1 ln(1 ) ( 1)

14 2 2I x x x x x x x dx

4 2 225 1 1 25 21ln5 ln 2 ln 5 ln 2

14 8 4 4 8I x x

0,5

0,5

Câu Nội dung Điểm

Câu IV(1,0) +) Từ giả thiết ' ' , ' ' ' ' .CD ABB A A B CDD C

Suy ra được ' , 'AA AB AA CD nên

' ( )AA ABCD .Suy ra lăng trụ đã cho làlăng trụ đứng.Do đó góc hợp bởi BC’ và (ABCD) chính là góc� 0' 60C BC , góc hợp bởi A’D và (ABCD)

chính là góc �'A DA .

Gọi E AB CD thì tamgiác ADE vuông cân tại E.

0,25

I

N

M

CB

C'B'

A D

E

A' D'

E'

F'

F

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

Đặt BC x thì 0 6' . tan 60 3 , ' ' . tan

2

aCC x x CC AA AD

Suy ra: 2

2

ax , suy ra BC là đường trung bình của tam giác ABE và .AE a

Vậy 2 3

. ' ' ' '

6 3 3 6'. '. .

2 8 16ABCD A B C D ABCD EAB EBC

a a aV AA S AA S S .

+) Gọi F là đỉnh thứ 4 của hình bình vuông AEDF. Dựng hình hộp đứng AEDF.A’E’D’F’.Gọi M là trung điểm của AF và N là trung điểm cạnh A’F’ thì dễ có

'/ / ', '/ / '/ /CD MF MF AN CD AN . Suy ra: '/ /( ')CD ANB , nên khoảng cách giữa CD’và AB’ chính là khoảng cách từ D’ đến (ANB’). Trong mặt phẳng (A’E’D’F’) gọi ' ' 'I A D B N

thì '. '

'

9( ', ( ')) 3 ( ', ( ')) A ANB

ANB

Vd D ANB d A ANB

S ; mà

2 3 2

'. ' ' ' '

1 1 6 6 1 1 26 2 13'. . , . ' .

3 3 2 8 48 2 2 4 2 8A ANB NA B ANB

a a a a a aV AA S S AI B N

Vậy khoảng cách cần tìm là '. '

'

9 3 78( ', ( ')) 3 ( ', ( '))

26A ANB

ANB

V ad D ANB d A ANB

S .

0,25

0,25

0,25

Câu Nội dung Điểm

Câu V(1,0) +) Bằng biến đổi ta chứng minh được:

1 1 2, ( , 1).

1 1 1y z

y z yz

Do đó ta sẽ chứng minh:1 2 22

1 1511P

yzyz

. Đặt [1; 2]yz t t .

+) Xét hàm số: 2 3

2 2 2 2

2 ( 1)(1 2 )( ) , ( ) 0 [1; 2]

1 1 ( 1) ( 1)

t t t tf t f t t

t t t t

.

Vậy hàm số này nghịch biến trên [1; 2].

Suy ra: 22

( ) (2)15

f t f . Suy ra đpcm.

0,25

0,5

0,25

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

Câu Nội dung Điểm

Câu VIa(2,0)

1) Ta có trọng tâm G AN BM nên 2 4

;3 3

G

.

Vì ( ; 2 )N AN N n n suy ra (2 1; 5 2 )C n n , vì N là trung điểm BC.Ta có:

1 1 1( ; ). ( ; ). .

2 3 2CBG ABCS d C BM CG S d C BM CG

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

1.

3GBC ABCS S Từ đó có:2 1 5 2 2 2

( ; ). ( ; )3 2 3 5

d C BM d C BM

112 8 2 212 8 4

1/ 355 2

nnn

n

. Khi đó có tọa độ G, B, C nên:

+ ) Với (1; 3)C thì (0; 2)A .

+) Với 1 13

;3 3

C

thì 4 2

;3 3

A

.

Vậy (0; 2)A , (1; 3)C hoặc 4 2

;3 3

A

,1 13

;3 3

C

.

2) Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB là: ( ) : 2 5 0Q x y , gọi

( ) ( ) ( )d P Q thì : 5 2

7 3

x t

d y t

z t

. Khi đó tâm mặt cầu là

( 2; 2 1; 3 1) ( ) ( 2; 2 1; 3 3)I t t t d AI t t t

.

Lấy điểm ( 2; 2; 3) ( )M ta có

( 4; 2 3; 3 6)MI t t t

. Ta có: , 1; 2 8 7MI u t t t

Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với ( ) nên khoảng cách từ I đến ( ) bằng IA.

Khi đó: 2

2, 6 48 114

14 18 14 ...3

MI u t tIA t t

u

2 3 / 26 12 0

4 / 3

tt t

t

.

+) Với 7 7 74

; 2; ,2 2 2

I R AI

thì phương trình mặt cầu là

2 2

27 7 37( ) : 2

2 2 2S x y z

.

+) Với 2 11 566

; ; 5 ,3 3 3

I R AI

thì phương trình mặt cầu là

2 2

22 11 566( ) : 5

3 3 3S x y z

.

Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn bài toán trên.

0,5

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

G

M

N

A

B C

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

Câu Nội dung Điểm

Câu VIIa.(1,0)

Ta có: 33z z nên 3

32 1 2 2 1 2z i z i (*).

Đặt .w x y i

Ta lại có: 1 .w iz z i iw z i i w . Đặt .w x y i thì (*)trở thành:

2 2 2 23 1 2 1 3 2 1 3 4iw i y x y x .

Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn w trên mặt phẳng phức là đường tròn

2 2( ) : 3 1 4C x y .

0,25

0,5

0,25

Câu Nội dung Điểm

Câu VIb.(2,0)

1) Giả sử 2 2 2 2( ') : 2 2 0, ( 0).C x y ax by c a b c Khi tọa độ của hai điểm A, B thỏa mãn đồng thời 2 phương trình đường tròn nên: 2 2 2 22 2 2 4 1x y ax by c x y x y .Khi đó AB: (2 2) (2 4) 1 0a x b y c .

Vì ( ')M C nên: 4 2 5a b c (1),

Lại có: AB//(d) nên: 2 2 2 4

1 2 3 (2)1 1

a ba b a b

Tâm của (C’) là ( ; ) ( )I a b nên: 2 0 (3)a b .

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

4 2 5 1

3 2

2 0 5

a b c a

a b b

a b c

Suy ra: 2 2( ') : 2 4 5 0.C x y x y Thử lại thấy phương trình hai đường tròn này không cắt nhau nên không có đường tròn nào thỏa mãn.

2) Vì 1( )A d nên 1 1 1(1 ; 2 ;1 )A t t t , 2( )B d nên 2 1 1(2 ;1 ; )B t t t .

Ta có: 1 1 1 2 2 2( 3; 5; 3), (2 4; 4; 2)EA t t t EB t t t

;

mà E, A, B thẳng hàng nên ,EA EB

cùng phương. Khi đó dễ có: 2 22, 4t t

và

1 2 1 2 11 1 1

1 1 22 2 2

5 2 3 4 13 5 33 2 3 12 4 4 2

t t t t tt t tt t tt t t

.

Khi đó: (2; 3; 0), (0; 0; 1)A B và mặt phẳng cần tìm là:

( )OAB có vectơ pháp tuyến là , 3; 2; 0OA OB

và đi qua (0; 0; 0)O

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là ( ) : 3 2 0OAB x y .

0,25

0,5

0,25

0,25

0,5

0,25

(d)

BI

I'A

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

Câu Nội dung Điểm

Câu VIIb.(1,0)

Biến đổi phương trình thành: 3 2

2 01 1

z i z i

i i

.

Đặt 1

z iw

i

phương trình trở thành: 3 2 22 0 1 2 2 0w w w w w

22 2

11

2 2 0 1 0

ww

w w w i

1

1

1

w

w i

w i

. Khi đó:

1 2

2

z i

z i

z i

.

Vậy phương trình có 3 nghiệm:

1 2

2

z i

z i

z i

0,25

0,25

0,25

0,25

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com