Transformada Discreta del Coseno DCTUNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE

Departamento de Elctrica y ElectrnicaSangolqu, Ecuador

Autores: Aguinaga Diana, Cachago Francis, Carchi Mara, Estvez Alexis, Guzmn Diegodsaguinaga@espe.edu.ecfacachago@espe.edu.ecmbcarchi@espe.edu.ecadestevez1@espe.edu.ecddguzman1@espe.edu.ec

Abstract.- This paper discusses the Discrete Cosine Transform,DCT coming from the English language Discrete Cosine Transform,is an operation based on the Discrete Fourier Transform, but thisonly works on periodic functions symmetrical pair, and the resultis a sequence of real numbers. The resulting DCT presents a finitesequence of several points as the amount of solution various signalsin multiple frequency cosenoidades.It is usually used to represent the most representative recordsusing spectral components so that the reconstructed signal still hassimilarity to the original signal.

I. INTRODUCCIN

Este documento trata sobre la Transformada Coseno Discreta,DCT que proviene del idioma ingls Discrete Cosine Transform, esuna operacin basada en la Transformada Discreta de Fourier, peroesta solo acta sobre funciones peridicas con simetra par y elresultado es una secuencia de nmeros reales. La DCT nos presentacomo resultado una secuencia finita de varios puntos como solucinde la suma de distintas seales cosenoidades en frecuencias mltiplo.Suele ser usada para la representacin de registros empleando lascomponentes espectrales ms representativas de tal forma quela seal reconstruida an tenga semejanza con la seal original.Algunos algoritmos que usan la DCT son:

DvAC-3JPEGMJEPGMJEPG-1MJEPG-2MJEPG-4Vorbis

El proceso de descomponer un conjunto de muestras, en unconjunto ponderado de funciones base cosenoidales de denominaDCT y al mtodo de reconstruir el conjunto de muestras a partirdel conjunto ponderado de funciones base cosenoidales se le conocecomo IDCT que es la transformada discreta del coseno inversa. Sila secuencia muestreada es mayor de 8 muestras, puede dividirse engrupos de 8 muestras y la DCT puede calcularse independientementepara cada grupo.

Debido a que las funciones base cosenoidales siempre tienen elmismo conjunto de valores en cada uno de los puntos de muestreodiscretos, solamente cambian los valores de los coeficientes.

La DCT provee coeficientes de frecuencias correspondientes auna seal discreta variable en el tiempo.

Dado que aplica la DFT en el sentido horizontal y vertical, losvalores en el tiempo de cada pixelm tendr coeficientes muy precisosde frecuencias verticla y horizontal.

A. Transformada Discreta del Coseno Unidimensional DCT-1D

La respuesta del sistema visual humano depende de la frecuenciaespacial. Si pudiramos, de algn modo descomponer una imagenen un conjunto de imgenes, cada una con una frecuencia espacialparticular, podramos separar la estructura de la imagen que el ojopuede ver a partir de la estructura que es imperceptible. La DCTpuede proporcionar una buena aproximacin a esta descomposicin.

La Transformada Discreta del Coseno Directa (DCT) es un tipode transformada real y ortogonal, encargada de compactar la energapara datos altamente correlacionados. Sea una matriz cuadradaortogonal C, entonces la inversa de dicha matriz ser completamenteigual a la transpuesta de la misma. O bien, si multiplicamos lamatriz ortogonal C con su respectiva transpuesta, el resultado es lamatriz identidad.

C CT = IEl conjunto ponderado de funciones base cosinusoidales sonrepresentados mediante formas de onda con una propiedad deortogonalidad, es decir si multiplicamos dos funciones basecosinusoidales cualesquiera, el resultado ser nulo. De igual forma,si multiplicamos una funcin base cosinusoidal por s misma, elresultado del producto dar una constante.

B. Transformada Discreta del Coseno Biidimensional DCT-2D

La DCT es ortogonal y separable. Esto implica que una DCTbidimensional pueda implementarse mediante dos transformadasunidimensionales. Esta propiedad permite que los algoritmosdesarrollados para una dimensin puedan extenderse directamentea dos dimensiones. Esto es una ventaja desde el punto de vista desimulacin y tambin para la realizacin del hardware.La Transformada Discreta del Coseno Bidimensional o DCT-2Dse obtiene a partir de una extensin de la DCT-1D. Es decir, esaplicado sobre imgenes digitales que no vienen hacer otra cosaque matrices representando un conjunto de pixels. Por esta razn esnecesario aplicar la DCT-1 consecutivamente, primero a cada unade las filas, y luego a cada una de las columnas.

II. CARACTERISTICAS SOBRESALIENTES DE LA DCT

La DCT posee una buena capacidad de compactacon de laenerga al dominio transformado, es decir, que la transformada decoseno discreta consigue concentrar la mayor parte de la informacinen pocos coeficientes transformados tal y como podemos visualizaren la Figura1, adems de poseer la capacidad de ser independientea los datos. Presenta un algoritmo el cual no da como resultadovariaciones con los datos que recibe al ser comparados con otrosmtodos.

Tiene una interpretacin frecuencial de los componentestransformados. La capacidad de interpretar los coeficientes desdeel punto de vista frecuencial permite aprovechar al mximo lacapacidad de compresin.

La DCT est bastante relacionada con la DFT , con la diferenciade que es una transformada real, debido a que los vectores basese componen exclusivamente de funciones coseno muestreadas.Adems la DCT minimiza algunos de los problemas que surgencon la aplicacin de la DFT a series de datos, como veremos msadelante.

La DCT tiene una buena capacidad de compactacin de la energaal dominio transformado, es decir, que la transformada de cosenodiscreta consigue concentrar la mayor parte de la informacin enpocos coeficientes transformados tal y como muestra la imagen.

La transformacin es independiente de los datos. El algoritmoaplicado no vara con los datos que recibe, como si sucede en otrosalgoritmos de compresin.

Hay frmulas para el clculo rpido del algoritmo, como podraser la FFT para la DFT.

Produce pocos errores en los lmites de los bloques imagen. Laminimizacin de los errores a los bloques imagen permite reducir elefecto de bloque en la imgenes reconstruidas.

Tiene una interpretacin frecuencial de los componentes trans-formados. La capacidad de interpretar los coeficientes en el puntode vista frecuencial permite aprovechar al mximo la capacidad decompresin.

Figura 1. Concentracin de pontencia de una DCT-II bidimensional compa-rada con la concentracin de potencia de una DFT tambin bidemensional.

III. CUANTIFICACIN Y REPRESENTACIN DE LA DCTENTERA

La DCT trabaja con un conjunto de muestras de una seal par yperidica, al usar la DCT se compactan seales con informacin,pero estas seales no son peridicas, no son pares y almacenarlasocupara un gran espacio.

La decorrelacion de coeficientes es muy importante para lacompresin de imagenes ,ya que, el posterior tratamiento de cadacoeficiente se puede realizar de forma independietne, sin prdidade eficiencia de compresin. Otro aspecto importante de la DCTes la capacidad de cuantificar los coeficientes utilizando valores decuantificacin que se eligen de forma visual.

La DCT de una secuencia x(k), k=0,1,...,N-1 est definida por:

G(r) =2c(r)

N

N1k=0

x(k) cos[pi(2k + 1)

r

2N

]

r = 0,1,...,N-1

Donde:

c(r) =12

para r =0

y c(r) = 1 para r=1,2,...,N-1

Esta transformada tiene aplicaciones en procesamiento deimagenes. El mtodo convensional para aplicar la DCT usa unalgoritmo de la DFT de 2N muestras.

Aplicaremos un mtodo mas eficiente de evaluar la DCT.Concidere el clculo de:

F (r) =

N1k=0

x(k) cos[pi(2k + 1)r

2N]

Para: r = 0,1,...,N-1

Si asumimos que N es parm definimos una nueva secuencia y(k)por:y(k) = x(2k)y(N 1 k) = x(2k + 1)con k = 0,1,...,(N/2)-1.

Con esto F(r)se reescribe y nos queda de la siguiente manera:

F (r) =

(N/2)1k=0

y(k) cos[pi(4k + 3)r

2N]+

(N/2)1k=0

y(N 1 k) cos[pi(4k + 3) r2N

]

Si decimos que k = N 1 k en la segunda sumatoria,simplificando las dos ecuaciones obtenemos:

F (r) =

N1k=0

y(k) cos[pi(4k + 3)r

2N]

y F(r) puede ser evaluada como F (r) = Re[H(r)]

Donde:

H(r) = ejpir/2NN1k=0

y(k)ej2pirk/2N

Transformada Discreta del Coseno Inversa

Si denotamos a Y(r) a la IDCT de la secuencia y(k), la ecuacionanterior pasa a ser:

H(r) = ejpir/2NY (r)

Se puede verificar facilmente que:

H(N r) = j[H(r)]Donde * denota una conjugacion compleja. Y separando las

partes real e imaginaria tenemos:

F (r) = Re[H(r)]

F (N r) = Im[H(r)] Para:r=0,1,...,(N/2)

El clculo de la IDTC se puede realizar de la siguiente manera:

x(k) =

N1r=0

c(r)G(r) cos[pi(2k + 1)

r

2N

],para k=0,1,2,...,N-1

Las muestras pares son evaluadas como:

x(2k) =

N1r=0

[c(r)G(r)ejpir/2N ]ej2pirk/N

,para k=0,1,2,...,N-1

Para obtener los puntos impares note que:

x(2k + 1) = x[2(N 1 k)]

y entonces la secuencia x(k), k0,1,...,N-1 puede obtenerse calculandola parte real de la IDFT de la secuencia.

c(r)G(r)ejpir/2N

, r=0,1,...,N-1

El nmero de operaciones requeridas para calcular la Inversa dela DCT es el mismo que para calcurar la DCT.

A. CuantificacinLa cuantificacin nos permite reducir la precisin con la que los

coeficientes de la DCT se representan cuando se convierte la DCTa una representacin entera.Esto puede ser muy importante en compresin de imagen, en dondese tiende a anular muchos coeficientes- especialmente los de altasfrecuencias espaciales.Los valores cuantificados pueden ser asignados individualmente paracada coeficiente DCT, utilizando el criterio basado en la visibilidadde las funciones base.Si medimos el umbralde visibilidad de una funcin base determinada,la amplitud del coeficiente a partir de la cual la funcin base esdetectable por el ojo humano, podemos dividir (cuantificar) loscoeficientes por ese valor.Si multiplicamos (decuantificar) los coeficientes as obtenidos porese valor antes de la reconstruccin, crearemos una condicinen la que el ojo no podra detectar ninguna diferencia entre loscoeficientes DCT cuantificados y sin cuantificar.Si estamos dispuestos a tolerar algunos defectos visibles en laimagen reconstruida, podramos dividir por un valor ms grande queel correspondiente al umbral de visibilidad.Este proceso de ponderacin y truncamiento de los coeficientesde la DCT a valores enteros se denomina cuantificacin, y elrestablecimiento aproximado de la magnitud de los coeficientesoriginales de la DCT recibe el nombre de decuantificacin.

Despues de obtener los coeficientes de la DCT, se procede arealizar la cuantificacin con la finalidad de conseguir an mascompresion representando los coeficientes DCT sin mas precisionque la que es necesaria para conseguir la calidad de la imagendeseada.

Lo que se pretende con este proceso es descartar la informacionque no es visualmente relevante. La cuantificacion en una aplicacionde muchos a uno, y entonces tiene perdidas, de hecho es la principalfuente de perdidas en los codificadores basados en la DCT.

En el proceso de cuantificaicon de la DCT los coeficientes dealta frecuencia son divididos por un valor n > 1 y el resultadose redondea al entero mas cercano, el valor de n varia con larelacion de que a frecuencias mas altas, se asignan valores mas altos,estos se cuantifican con pasos grandes y tienen una S/N baja, comoresultado los coeficientes que representas frecuencias espaciales bajasson cuantificados con pasos relativamente bajos y tienen una S/N alta.

IV. ALGORITMOS DCT

Para trabajar con seales que no son pares, peridicas y cuyoregistro requiere de gran almacenamiento se recurre al siguientealgoritmo:

1. Se toman espacios muestrales de corta duracin2. Cada espacio muestral se considera la mitad de una seal par y

peridica. Al respecto hay cuatro estrategias que pueden usarsepara convertir el espacio muestral en una seal par y peridica.La figura 2 ilustra estas estrategias.

3. Se aplica un una DCT modificada segn la estrategia usadapara convertir el espacio muestral en una seal par y peridica.

Figura 2. Extensiones par e impar de la DCT para muestras N=11 (puntosrojos). Cada tipo de extensin origina una modificacin especial a la DCTque se nombra en forma numrica

De la figura 2 podemos observar distintas estrategias para convertirun conjunto de muestras en una seal con cierta simetra consisteen concatenar una extensin de muestras. Esta extensin es unaversin reflejada del conjunto original. Segn el tipo de extensinse pueden generar diferentes versiones de la DCT numeradas connmeros romanos del I al IV. Finalmente, cada versin de la DCTdebe deducirse a partir de la DFT.

A. Relacin de la DCT con la DFTExiste una relacin entre ambas transformadas, donde aparece

un factor complejo de proporcionalidad. Su mdulo, no obstante,es unitario, de forma que las propiedades de compactacin deenerga no se ven afectadas por el mismo (ntese que en trminosestrictos esta igualdad es slo cierta para los coeficientes [k, l] con(k, l) 6= (0, 0) no para la componente continua. Pero, como es obvioes en estos trminos en quienes nos centramos para analizar lacompactacin de energa pues sabemos a priori que la componentecontinua de cualquier imagen es muy elevada).

A modo de resumen destacaremos las propiedades msimportantes de la DCT:

1. La DCT es real y ortogonal, es decir, C = C y C1 = CT2. La DCT no es la parte real de la DFT unitaria. Sin embargo,

la DCT de una secuencia est relacionada con la DFT de suextensin simtrica.

3. La DCT es una transformada rpida. La DCT de un vector de Nelementos puede calcularse en (N log2 N) operaciones a travsde una FFT de N-puntos. Para demostrar esto definimos unanueva secuencia Fo (n) en la que reordenamos los elementospares e impares de F(n).

4. La transformada discreta del coseno tiene una excelente com-pactacin de energa para datos altamente correlados. Esto esdebido a las siguientes propiedades:

Los vectores base de la transformada discreta del coseno(es decir, filas de C) son los vectores base de la matrizQC con tridiagonal simtrica.La transformada discreta del coseno NxN esta muyrelacionada con la transformada KL de una secuenciaestacionaria de Markov de primer orden de longitud N(siendo R su matriz de covarianza), cuando el parmetrode correlacin D es prximo a la unidad. La razn es queR -1, es una matriz de diagonal simtrica.

V. EJEMPLO DCT-1

Extension peridica de tipo 1 para la DCT-1 de una secuenciade cuatro puntos Para la DCT-1, x[n] se modifica primero en sus

Figura 3. Extensin peridica de tipo 1 para la DCT-1

extremos y despus se extiende para que su periodo sea 2N 2 yla secuencia resultante es

x1[n] = x[((n))2N2] + x[((n))2N2]

en donde x[n] es la secuencia modificada x = [n]x[n], con

[n] =

1

2, n=0 y N-1

1 ,1 n N 2Para encontrar

x1[n] = x[((n))2N2] + x[((n))2N2]

Se necesita

x[n] = [(1

2)(4) 1(3) 1(2) (

1

2)(1)]

Con 2N 2 se tiene 8 2 = 6

x[n6] = [2 3 21

20 0]

x[n6] = [2 0 0 12

2 3]

x1[n] = [4 3 2 1 2 3]

La DCT-1 se define mediante :

xc1[k] = 2

N1n=0

[n]x[n]cos(pikn

N 1) 0 n N 1

xc1[k] = 2

3n=0

[n]x[n]cos(pikn

3) 0 n 3

xc1[0] = 2(1

2(4))cos(0)+1(3)cos(0)+1(2)cos(0)+

1

2(1)cos(0) = 15

xc1[1] = 2(1

2(4))cos(0)+1(3)cos(

pi

3)+1(2)cos(

2pi

3)+

1

2(1)cos(pi) = 4

xc1[2] = 2(1

2(4))cos(0)+1(3)cos(

2pi

3)+1(2)cos(

4pi

3)+

1

2(1)cos(2pi) = 0

xc1[3] = 2(1

2(4))cos(0)+1(3)cos(pi)+1(2)cos(2pi)+

1

2(1)cos(3pi) = 1

xc1[k] = [15 4 0 1]

Figura 4. DCT-1 de la secuencia de 4 puntos

A. Relacin de la DCT-1 con la DFTLa DCT-1 de una secuencia de N puntos es idntica a la DFT de

(2N 2) puntos de la secuencia ampliada simtricamente x1[n] ,con:

x1[n] = [4 3 2 1 2 3]

Utilizando la DFT con 2N 2 = 2(4) 2 = 6:

x[k] =

N1n=0

xN [n]ej2piknN 0 k N 1

x[k] =

5n=0

x6[n]ej2pikn6 0 k 5

x[k] = [15 4 0 1]

Confirmando que:xc1[k] = x[k]

VI. APLICACIONES

La DCT es una de las principales herramientas de compresinde datos para aplicaciones en teleconferencia, videotelfonos,transmisin de imagen progresiva, videotexto, HDTV, etc... En loque se refiere al tratamiento digital de imgenes, repasaremos lasprincipales aplicaciones en orden de importancia.

Codificacin de Imagenes

La DCT (al igual que las dems transformadas discretas) puedeaplicarse a codificacin de imagen, desde un punto de vista dereduccin de ancho de banda o compresin de datos. El objetivoes conseguir que una imagen(dominio espacial) o secuencia deimgenes(dominios espacial-temporal), se traslade a un dominiotransformado de tal forma que se reduzca el ancho de banda parala transmisin o losrequerimientos para elalmacenamiento; detalforma que la subsiguiente recuperacin de la imagen o secuenciade imgenes mediante la transformada inversa, no presente unadistorsin perceptible.

Filtrado de Imagen

Algunos ejemplos de filtrado basado en la DCT se ilustran enla Figura 3 Conformando la respuesta del filtro, se puede obtenerla imagen filtrada deseada. Si elegimos un filtro para realzar lasaltas frecuencias (filtro pasa altos), Figura 3 , se obtienen imgenescon mayor nitidez (detalles de alta frecuencia) sin errores debidos aefectos de bloque (tambin denominados efectos de borde).

Figura 5. Filtrado de imgenes basado en la DCT

Transmisin Progresiva de Imagenes

Otra aplicacin de la DCT, que se deriva de la compresin, esla transmisin de imgenes sobre canales con un ancho de bandapequeo, tales como lneas telefnicas. Si una imagen se enva ensu forma original sobre canales de banda estrecha, la transmisin dela imagen completa puede llevar un tiempo considerable.El objetivo que persiguen estos mtodos es desarrollar lascaracteristicas significativas de la imagen en una etapa inicial,

para que al visualizarla se pueda responder de modo interactivo.Otras consideraciones, tales como la complejidad de la tcnica y larobustez frente al ruido asociado al canal, juegan papeles importantesen las ventajas de un mtodo. Las aplicaciones de la transmisinprogresiva de imagen incluyen teleconferencia, telediagnsticomdico, videotexto, servicios de seguridad, etc...

La transmisin progresiva de imgenes basada en la DCT serealiza de la siguiente manera, en general una imagen NxM sedivide en bloques, cada uno de tamao KxL. Despus de conformarlos bloques en el dominio transformado, los coeficientes de latransformada cuantificados son transmitidos en una cierta secuenciaal receptor. El receptor reconstruye la imagen conformando lainversa de los grupos de coeficientes de la transformada y aadiendosucesivamente a la imagen informacin basada en las etapas previas.Los detalles y la fidelidad de la imagen se mejoran sucesivamente,casi sin prdidas en la imagen, en la etapa final.

Reconocimiento de Patrones

VII. CONCLUSIONES

Dado que la DCT aplica la DFT en el sentido horizontaly vertical, los valores en el tiempo de cada pixelm tendrcoeficientes muy precisos de frecuencias verticla y horizontal.Una DCT es equivalente a una DFT de una secuencia de tamaodoble.

VIII. BIBLIOGRAFA1. TRANSFORMADA DISCRETA DEL COSENO, Autor:

Alfonso Martin

2. ETAPAS DE COMPRESIN DE IMGENES

3. PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMGENESUTILIZANDO FILTROS, Autor: Gustavo Aguilar Carrera

4. Transformada discreta del coseno

5. TRANSFORMADA COSENO DISCRETA, Autor: MI. MarioAlfredo Ibarra Carrillo

6. Procesamiento de imgenes utilizando la transformada discretacoseno, Autor: Antonio Lloris, P. G. Fernndez, J. Ramrez

IntroduccinTransformada Discreta del Coseno Unidimensional DCT-1DTransformada Discreta del Coseno Biidimensional DCT-2D

Caracteristicas sobresalientes de la DCTCuantificacin y representacin de la DCT enteraCuantificacin

Algoritmos DCTRelacin de la DCT con la DFT

Ejemplo DCT-1Relacin de la DCT-1 con la DFT

AplicacionesConclusionesBibliografa