B. TUGASAN2 : MENYELESAIKAN ALIRAN TRAFIK Gambarajah di bawah menunjukkan aliran trafik di sebuah pekan A. Anggapkan aliran sentiasa positif.

i.

Bentukkan sistem persamaan linear dengan , , dan .ii. Dapatkan penyelesaian yang optimum bagi sistem persamaan linear dengan menggunakan operasi baris permulaan.iii. Anda juga dikehendaki menyelesaikannya dengan menggunakan perisian komputer dengan menggunakan perisian Linear Algebra Toolkit yang boleh diakses melalui laman web http://www.math.odu.edu/~bogacki/lat/.iv. Buat perbandingan di antara kaedah penyelesaian secara manual dengan penyelesaian menggunakan perisian komputer. Huraikan kekuatan dan kelemahan setiap kaedah yang anda telah gunakan.v. Jika aliran trafik ke dihadkan kepada 22 buah kereta sejam. Apakah perubahan aliran trafik pada AB?vi. Apakah julat bagi aliran trafik melalui AB?

TUGASAN 2Penyelesaian Aliran Trafik Secara Manual

Penyelesaian Manual

Bentukkan sistem persamaan linear dengan , , dan

a.

Nod A: + 164= + 94 . (1)b.

Nod B: + 108= + 200 .. (2)c.

Nod C: + 175= + 97 .. (3)d.

Nod D: + 75= + 131 .. (4)

ii.

- = -70

-= 92

-= -78

-+= 56 Pindahkan ke dalam bentuk matriks Pemindahan bentuk persamaan linear ini kepada bentuk matriks untuk meringkaskan persamaan yang ada di samping membantu mencari nilai-nilai anu dengan mudah.

1-100-70

-110092001-1-78-100156

(LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN)1. Sifarkan semua pemasukan pada lajur pertama kecuali pelopor lajur pertama untuk menjadikan bentuk matriks imbuhan tersebut berbentuk segitiga.

2. Kemudian, sifarkan pemasukan lajur kedua yang terletak dibawah pelopor baris kedua.

+

2. Kemudian, sifarkan pemasukan lajur kedua yang terletak dibawah pelopor baris kedua.

+

3. Seterusnya, sifarkan pemasukan lajur ketiga yang terletak dibawah pelopor baris ketiga B4 + B3

4. Susun semula

P(A) P(A/B) = P(U) , Maka penyelesaian tak terhingga daripada matriks yang diatas

- = -70

-= 92

-= -78

Katakan = t, t R, maka

-= -78

= - 78

= t 78 (1)

-= 92

= + 92 (2)

= (t-78) + 92 (1) ke dalam (2)

= t + 14 .. (3)

- = -70

= - 70 . (4)

= (t+14)-70 . (3) into (4)

= t 56

Oleh kerana semua x adalah positif. Maka,( t 56 , t +14 , t 78 , t) , t R.

Maka, 0t 78 0t 78maka, penyelesaian optimum apabila t 78,

=78-56=22

=78+14=92

=78-78=0

=t=78.

Kita membuat andaian atau menggangap nilai x4 = t pada awal persamaan untuk mencari nilai-nilai x dalam persamaan di atas. Nilai bagi x4 adalah tidak terhingga namun kita perlu menggunakan nilai yang mana membolehkan kita mendapat nilai bagi sesuatu persamaan itu bukan negatif. Nilai t yang digunakan ialah 78 dan rasional nilai ini digunakan ialah nilai ini merupakan nilai yang paling sesuai untuk semua persamaan di mana ianya menyediakan nilai yang paling minimum pada persamaan (3) di mana ianya merujuk kepada nombor positif atau tiada kenderaan yang melalui laluan tersebut / x 78 untuk mengelakkan nilai menjadi negatif. Nilai- nilai x ini merupakan bilangan minimum kereta yang melalui laluan tersebut.Menurut jalan pengiraan manual di atas, kita akan dapat mencari kesimpulan yang mana (oleh kerana semua x adalah positif. Maka,( t 56 , t +14 , t 78 , t) , t R.Dan setelah memasukkan nilai t = 78 ke dalam persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan tiga, kita akan memperolehi nilai pembolehubah yang bukan negatif iaitu x1 = 22, x2 = 92, dan x3 = 0. Rasional untuk nombor atau nilai positif dalam aplikasi aliran atau laluan trafik ini ialah, jika salah satu persamaan yang hasilnya ialah negatif, bermaksud kereta itu melebihi tampungan jalan raya yang menyebabkan kesesakan lalu lintas yang memungkinkan beberapa kenderaan berpata balik. Oleh itu, bilangan minimum kereta yang boleh melalui setiap laluan ialah: (x1 > 22, x1 > 92, x3 > 0, x4 > 78)

TUGASAN 2PenyelesaianAliran TrafikMenggunakanPerisian komputer

1. Akses laman web yang diberikan iaitu http://www.math.odu.edu/~bogacki/lat/Paparan adalah seperti berikut :

2. Seterusnya, klik pada Solving a linear system of equation.

3. Setelah itu, paparan di bawah akan muncul

4. Langkah seterusnya ialah dengan memasukkan nilai bagi dan juga Nilai bagi m dan n adalah bergantung kepada jumlah lajur dan baris bagi operasi matrik. Seterusnya, klik pada butang SUBMIT. Paparan yang akan muncul seterusnya adalah seperti berikut

5. Langkah seterusnya ialah mengisi data pada tempat yang disediakan. Pastikan kesemua petak diisi kerana sekiranya petak tidak diisi, ia akan dianggap mempunyai nilai 0.6. Seterusnya klik SUBMIT dan paparan seterusnya adalah mengenai langkah langkah penyelesaian.

7. Terdapat 2 langkah penyelesaian iaitua. Langkah 1 : menukarkan persamaan linear kepada bentuk baris ekselon.b. Langkah 2 : mentafsir bentuk baris ekselon.8. Klik pada STEP 1: TRANSFORM AUGMENTED MATRIZ TO THE REDUCED ROW ECHELON FORM9. Langkah penyelesaian akan dipaparkan seperti gambarajah di bawah

BANDING BEZA KAEDAH PENYELESAIAN SECARA MANUAL DAN PERISIAN

Persamaan kaedah kedua-dua cara ini iaitu kaedah manual dan menggunakan perisian ialah, kedua-dua cara menggunakan kaedah yang sama iaitu penghapusan Gauss dan penggantian ke belakang. Berbanding kaedah lain seperti penghapusan dan pengantian, kedua-dua kaedah ini lebih sesuai bagi bilangan anu yang banyak seperti 4 anu ke atas. Maksudnya kedua-dua kaedah ini sesuai untuk persamaan atau masalah yang melibatkan banyak anu.Selain itu, kedua-dua cara yang di gunakan menghasilkan jawapan akhir yang sama. Untuk mendapatkan nilai anu yang sama antara cara manual dan perisian komputer, nilai anu terakhir yang di pilih perlu sifar. Ini kerana, baris terakhir dalam kedua-dua matriks adalah sifar. Jadi, saya boleh meletakkan sebarang nilai bagi anu terakhir kerana ianya bersifat arbitrari. Perisian komputer telah memilih untuk meletakkan nilai tersebut dengan sifar, maka ianya sama dengan jawapan akhir saya kerana saya turut menggunakan sifar bagi nilai anu yang terakhir. Dengan itu, saya dapat menyemak jawapan antara cara manual dan perisian komputer. Walaupun begitu, sekiranya nilai anu terakhir di letakkan sebarang nilai seperti 1, 2 atau 3 dalam pengiraan manual, ianya masih tetap betul tetapi jawapan akhir berbeza dengan jawapan komputer kerana perisian tersebut memilih nilai sifar. Nilai anu terakhir akan mempengaruhi nilai anu yang lain kerana kaedah pengantian ke belakang digunakan.Di samping itu, dengan menggunakan kedua-dua kaedah ini, ianya juga mempunyai persamaan yang perlu dititikberatkan iaitu, ketelitian perlu ada untuk membuat pengiraan dan juga memasukkan data bagi persamaan-persamaan yang terlibat. Untuk kaedah OBP atau BEB, kekeliruan boleh berlaku dan jika tidak teliti membuat pengiraan, kemungkinan besar pengiraan itu akan membawa hasil yang salah dan tidak tepat. Begitu juga dengan menggunakan perisian, jika tersalah masukkan data, maka semuanya akan menjadi salah. Oleh itu, ketelitian perlu diutamaan untuk kedua-dua kaedah ini.Berikut merupakan perbezaan ketara bagi kedua-dua cara. Pertama, dengan menggunakan kaedah manual, tahap untuk melakukan kesalahan dalam pengiraan adalah tinggi. Hal ini kerana, matriks yang terlibat seperti 4x4 dan keatas memerlukan pengiraan yang terperinci dan juga panjang. Berbanding dengan perisian komputer, apabila pekali bagi setiap anu di masukkan ke dalam formula, perisian tersebut akan melakukan proses pengiraan. Makanya, jika tiada kesilapan memasukkan data, maka tahap kesilapan yang berlaku dalam pengiraan tidak aka n ada kerana sistem akan mengira secara automatik.Selain itu, untuk menyelesaikan persamaan dengan menggunakan kaedah matriks dengan cara manual, ianya perlu di lakukan secara berperingkat-peringkat dan ini menyebabkan pengiraan menjadi lambat dan namun terperinci. Untuk mendapatkan nilai-nilai x atau anu-anu yang terdapat dalam sesebuah set persamaan terdapat beberapa peringkat yang perlu dilakukan iaitu, menyelesaikan dengan menggunakan OBP dan BEB yang cukup panjang dan mengelirukan dan seterusnya membuat kaedah pengantian ke belakang untuk mencari dan mengenalpasti nilai anu persamaan-persamaan yang ada. Manakala dengan menggunakan perisian proses yang terlibat hanyalah memasukkan data dan menyemak jawapan di mana pengiraan ke belakang tidak perlu dilakukan. . Berdasarkan kepada perbezaan langkah antara manual dan komputer, di dapati cara manual akan memakan masa yang banyak.

Secara tuntasnya, saya mendapati bahawa cara komputer lebih berkesan dan efisen bagi menyelesaikan persamaan yang melibatkan bilangan anu yang banyak seperti 4x4 dan ke atas. Hal ini kerana, penggunaan perisian ini lebih berbaloi di mana ianya membantu pelajar untuk menjimatkan masa, memudahkan pengiraan, meminimakan kesilapan dan juga senang dan mudah digunakan.

iv ) Huraikan kekuatan dan kelemahan setiap kaedah yang digunakan

PENYELESAIAN SECARA MANUALPENYELESAIAN MENGGUNAKAN PERISIAN

KEKUATAN

Memberikan kefahaman yang menyeluruh berkaitan dengan aliran trafik/masalah yang wujud dengan menggunakan persamaan linear dan ketaksamaan linear serta mengaplikasikan kaedah OBP dan juga BEB.Pelajar dapat menjimatkan masa untuk menyiapkan pengiran kerana ianya hanya melibatkan memasukkan data dan menyemak langkah yang diberikan setelah selesai memasukan data ke dalam perisian komputer yang digunakan.

Pelajar akan lebih teliti, dan mendapat kefahaman menyeluruhJawapan didapati dnegan mudah dan tepat berbanding kaedah manual.

Fokus akan lebih tinggi terhadap sesuatu masalah.Jawapan dapat disemak dengan lebih cepat.

Memberikan satu gambaran penuh tentang masalah yang berlaku dan membantu pelajar menyelesaikan masalah yang berlaku itu.Menjimatkan penggunaan kertas di mana dapat memupuk kelestarian dalam pengajaran matematik.

Kesalahan dapat dibetulkan dengan cepat dan mudah.

Mesra Pengguna, mudah digunakan.

KELEMAHAN

Tahap melakukan kesilapan dan kekeliruan adalah tinggi. Kesilapan yang biasa seperti symbol-simbol negatif dan sebagainya berpotensi untuk terjadi yang menyebabkan ralat pada pengiraan persamaan tersebut.Jawapan mudah sangat diperoleh di mana tidak dapat memberi kefahaman yang lebih mendalam mengenai cara menyelesaikan aliran trafik.

Tidak menjimatkan masa, hal ini kerana, peniraan persamaan ini melibatkan jalan kerja yang banyak dan panjang.Membuatkan pelajar malas dan terlalu bergantung dengan perisian.

Banyak menggunakan kertas untuk pengiraan.

Kesilapan dan juga pembetulan sukar dilakukan dan dikesan.

v) Jika aliran trafik ke dihadkan kepada 22 buah kereta sejam. Apakah perubahan aliran trafik pada AB?

- = -70 ------------ (1)

-= 92-------------- (2)

-= -78 ----------- (3)

Penyelesaian :Masukkan x3=22 ke dalam (2) dan (3) untuk mendapatkan nilai x2 dan x4Persamaan (2)x2 x3 = 92x2 22 = 92x2 = 114

Persamaan (3)x3 -x4 = - 7822 - x4 = - 78x4 = 100

Masukkan nilai x2 = 114 ke dalam persamaan (1)x1 -x2 = - 70x1 -114 = - 70x1 = - 70 + 114x1 = 44

Kesimpulannya, jika aliran trafik ke dihadkan kepada 22 buah kereta sejam. Semua aliran trafik akan mengalami perubahan di mana aliran trafik AB turut berubah. Jika aliran trafik ditentukan kepada 22 buah kereta sejam, nilai x1, x2, dan x4 mengalami perubahan seperti berikut;(x1= 44, x2=114 dan x4=100)

VI) Julat bagi aliran trafik AB merujuk kepada kenderaan minimum iaitu t 78 yang mana kenderaan minimum yang boleh melalui laluan tersebut. Kita dapat mengenalpasti jumlah minimum dan maksimum kenderaan yang melalui sesuatu laluan dengan mencari julat laluan.

= 22

= 92Tanpa had/had

= 0

= 78.

Dengan had x3= 23x1 = 44x2 = 114x3 = 100

Oleh itu,22