D C B A FE H DEFINICIÓN 1 ÑO B A C G T SR F H V K L M N F A B C D E H G Pirámide cuadrangular...
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D
CB
A FE
H
DEFINICIÓN 1
ÑO
B
A
C
GT
SR
F
H
V
K
LM
NF
A
BC
D
EHG
Pirámide cuadrangular
Pirámide octagonalPirámide hexagonal
• Una pirámide es regular si su base es un polígono regular.
• Una pirámide regular tiene: arista, altura, apotema de la pirámide, apotema de la base, lado de la base y radio de la base.
DEFINICIÓN 2
Arista (ar ): son los segmentos de recta que se forman por la intersección de las caras laterales de la pirámide.
Lado de la base (l): son los segmentos de recta que representan la intersección de cada una de las caras laterales con la base de la pirámide.
DEFINICIÓN 3
H
E FA
B C
D
ar
l
Apotema de la pirámide (ap): es la altura de una de los triángulos o caras laterales de la pirámide.
DEFINICIÓN 4
E
ap
B
G
F
A H
C
D
T
Apotema de la base (ab): es la altura de los triángulos que forman la base de la pirámide.
E
ab
B
G
F
A H
C
D
TP
La altura de la pirámide (h): es el segmento trazado en forma perpendicular desde la cúspide de la pirámide hasta el puno central de la base de la pirámide.
El radio de la base de la pirámide (r): es el segmento que une, el centro del polígono correspondiente a la base de la pirámide, con un vértice de dicha base.
DEFINICIÓN 5
E
B
A
C
D
h
rF
ar
E
B
A
C
D
h
rF
ar
ar2 = r2 + h2ar2 = r2 + h2
1
CONSIDERANDO LAS DEFINICIONES 3,4 y 5, PODEMOS CONCLUIR:
E
B
A
C
D
2
h
ab
ap
Hap
2 = ab2 + h2ap
2 = ab2 + h2T
EJEMPLO 1Si la apotema de una pirámide ap, mide8 cm y la altura de la pirámide h, mide 6 cm; calcule el valor de la apotema de la base de la pirámide, ab.
E
B
A
C
D
h
ab
ap
HT
= 6cm= 8cm
Respuesta:
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
aa
72
28
28
3664
68
h
2
2
222
2b
22p
EJEMPLO 2Encuentre la longitud de la arista ar, de una pirámide, si la altura h es de 15 m y el radio de la base, r = 10m.
E
ar
r = 10m
h = 15m
A F
Respuesta:
ma
ma
a
a
ra
135
325
100225
1015
h
r
r
2r
222r
222r
DEFINICIÓN 6
DEFINICIÓN 6.1
Área lateral (AL): el área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales.
E
B
A
C
D
GP
H
J
F
J
B
K
E
GA
U
D
HC
EJEMPLO: Encuentre el área lateral AL, de una pirámide pentagonal regular si el lado de la base mide 6 cm y la apotema de la pirámide es de 8cm.
cmaFJ
cmlDE
p 8
6
Respuesta:
2
2
2
120
245
#
24
2
862
2
cmA
cmA
AsdeA
cmA
A
alA
AlturaBaseA
L
L
L
p
DEFINICIÓN 6.2
2pb
L
aPA
A FMELDKCJI B HPGN
V VVVV VV
ap
AL es la suma de las áreas de los triángulos
l
Número de triángulos
2
2
#2
22222
654321
pbL
pL
pL
pppppL
L
aPA
alnA
sdenal
nA
alalalalalA
AAAAAAA
l = 5cm
EJEMPLO: Encuentre el área lateral, AL de una pirámide regular hexagonal, si el lado de la base mide 5cm y la altura de la pirámide corresponde a 8cm.
H
E FA
B C
D
H
KK PP
ap
ab
h = 8cm
Respuesta:
22
2222222
2222
50,1362
10,930
2
10,9833,4
33,432
5554
2
14
2
1
3056
cmcmaP
A
cmhaahaa
rl
cmcmcmlra
cmcmlnP
pbL
bpbp
b
b
DEFINICIÓN 7
2
bpbT
aaPA
22bbpb
T
bLT
aPaPA
AAA
E
B
A
C
D
EJEMPLO: Dada una pirámide de base cuadrada de 8cm de lado y 12 cm de altura, encuentre el área total, AT
E
B
A
C
D
GG
4cm
ap
ab
h
4cm8cm
222
2
22
2222
39,2666439,202
642
432
2
39,20210642
10432
2
3284
104412
42
8
2
cmcmcmAAA
cmcmcmaP
A
cmcmcmcmaP
A
cmcmlnP
aha
cml
a
bLT
bbb
pbL
b
bp
b
DEFINICIÓN 8
El volumen de la pirámide (V):
hAV b 3
1
l = 4m
h= 6,5m
ab = 3,46m
EJEMPLO: El tejado de una torre tiene forma de pirámide hexagonal regular. Si el lado de la base y la apotema de la base respectivamente 4m y 3,46m; y la altura de la pirámide mide 6,5m, ¿cuál es el volumen del tejado?
252,41
2
46,3242
mA
mmA
aPA
b
b
bbb
Respuesta:
3
2
96,89
5,652,413
13
1
mV
mmV
hAV b
Presentación elaborada y expuesta por Anthony Alfaro, estudiante de
undécimo año, Liceo Santa Gertrudis
generación 2006