Gráfico de ControleCUSUM e MMEP

Introdução

Gráficos de Controle CUSUM

Algoritmo CUSUM

Gráfico de Controle de MMEP

Introdução

Até aqui, vimos métodos básicos do controle estatístico doprocesso e analise de capacidade. Muitas dessas técnicas,como o gráfico de controle de Shewhart, têm sido usadaspor bem mais de 50 anos. No entanto, a ênfase crescentena redução da variabilidade, o realce na produção e amelhoria do processo, juntamente com o sucesso dosmétodos básicos, têm levado ao desenvolvimento demuitas técnicas novas de monitoramento e CEP.

Por isso, hoje apresento CUSUM e MMEP.

Introdução Além da simplicidade, os gráficos de Shewhart são

imbatíveis para detecção de grandes desvios da média doprocesso, ou de aumentos significativos da variância;

Entretanto, perdem eficiência em processos mais robustos(interferência menos profunda de causas especiais);

Em processos sujeitos a pequenas perturbações, sãoindicados gráficos em que a decisão é baseada emdiversas amostras e não apenas na última delas. São eles:

gráfico de controle de somas acumuladas (CUSUM)

gráfico de controle de média móvel exponencialmenteponderada (MMEP)

Gráficos de Controle de CUSUMUsa informações acumuladas dos desvios de 𝑋, através de:

𝐶𝑖 = 𝑗=1𝑖 ( 𝑋𝑗 − 𝜇0) = 𝐶𝑖−1+ (𝑋𝑖 - 𝜇0)

• onde 𝑋𝑗: média da j-ésima amostra. Comportamento:

enquanto a μ permanecer ajustada, 𝑪𝒊 oscilaráaleatoriamente em torno de 0;

Se μ deslocar, a estatística 𝑪𝒊 crescerá (ou decrescerá)indefinidamente.

Gráficos de Controle de CUSUM• O gráfico de CUSUM, além de sinalizar o

desajuste, ainda informa quando este ocorreu(basta observar o EXEMPLO, quando os valores de𝑪𝒊 começam a crescer).

• Pelo fato de os gráficos de CUSUM basear-se nohistórico do processo, e não apenas na últimaobservação, ele, naturalmente, não sinaliza osdesajustes de imediato, independentemente damagnitude deste; portanto, para grandes desviosda média, o gráfico de 𝑋 é sempre mais ágil.

Algoritmo CUSUMMostramos, agora, como o CUSUM tabular pode serconstruído para o monitorar a media de um processo. OsCUSUMs podem ser construídos tanto para observaçõesindividuais, quanto para as médias de subgrupos racionais.O caso de observações individuais ocorre muitofrequentemente na prática.

O CUSUM tabular trabalha acumulando desvios de 𝜇0 que

estão acima do alvo, com uma estatística 𝐶+, e acumulandodesvios de 𝜇0 que estão abaixo do alvo, com outra

estatística 𝐶− . As estatísticas 𝐶+ e 𝐶− são chamadasCUSUMs unilaterais superior e inferior respectivamente.

Algoritmo CUSUMO Algoritmo CUSUM trabalha com as seguintes quantidades:

em que os valores iniciais para Ci+ = Ci

- = 0. O valor de referência k é a metadeentre o valor da média µ0 e o valor da média fora de controle, que se teminteresse em detectar rapidamente. Ou seja, o valor de referência k édeterminado entre o valor pretendido µ0 e o valor da média fora de controleestatístico µ1. O valor de referência k deve ser escolhido de forma que o valor dasoma µ0 + ks ou (µ0 - kσ) esteja situado entre a média do processo µ0 e a médiadeslocada (fora de controle estatístico) que se deseja avaliar. Se a mudança éexpressa em unidades de erros padrão quando µ1 = µ0, então k representa ametade da magnitude desta mudança

Algoritmo CUSUM

A escolha dos parâmetros k e h, que compõem o gráfico decontrole CUSUM Tabular, deve ser realizada de modo quesua seleção forneça bom desempenho para o NMA até oalarme.

De acordo com Montgomery (2009), um valor razoávelpara H é cinco vezes o valor do erro padrão (σ), ou seja, H =5σ. Definindo H = hσ e K = kσ, e utilizando h = 4 ou h = 5e k = 0,5, resultará em um CUSUM com boas propriedadesdo NMA contra uma mudança na média do processo de1,5σ (erros padrão).

Recomendações para o Planejamento do CUSUM

Gráfico de Controle de MMEP

• O gráfico de controle de media móvel exponencialmenteponderada (MMEP) é também uma boa alternativa aográfico de controle de Shewhart, quando estamosinteressados em detectar pequenas mudanças. Odesempenho do gráfico de controle MMEP éaproximadamente equivalente ao do gráfico de somasacumulativas, e é, de certa forma, mais fácil deestabelecer e operar. Assim como no caso do CUSUM, oMMEP é tipicamente usada com observações individuais .

Gráfico de Controle de MMEP

O procedimento de controle baseado na estatística EWMA (𝑧𝑖) paramonitorar o valor médio de um processo é dado por:

𝑧𝑖 = 𝜆𝑥𝑖 + (1 − 𝜆)𝑧𝑖−1

Onde 0 < 𝜆 ≤ 1, 𝑥𝑖 são observações de uma característica dequalidade utilizadas no monitoramento de processos, e é a constantede ponderação ou fator de alisamento. Esta constante expressa quãoremota é a memória do gráfico e o valor inicial desta estatística (exigidocom a primeira amostra em 𝑖 = 1) é o alvo do processo, de modo que,𝑍0 = 𝜇0. O valor de λ é determinado através de tabelas ou a partir degráficos baseados no desempenho de ARL desejado. Quando 𝜆= 1, ográfico EWMA reduz-se ao gráfico de Shewhart, assim como 𝜆 = 0,𝑍0 = 𝜇0.

Gráfico de Controle de MMEP A escolha dos parâmetros λ e L para o procedimento de planejamentoótimo de um gráfico EWMA consistem na seleção adequada destacombinação (λ, L) capaz de fornecer o melhor desempenho de ARL.Quando L = 3 (os limites 3 usuais) funciona razoavelmente bem,particularmente com valores maiores de 3. No entanto, quando épequeno, por exemplo, λ = 0,1 existe uma vantagem de reduzir aamplitude do limite de controle pela utilização de um L entre 2,6 e 2,8. Oanalista de processos deve ter em mente qual o menor valor de λescolher para detectar pequenos deslocamentos. Assim, se um valor λpequeno for utilizado, como λ = 0,01, então L deve ser reduzido, porexemplo, para L = 2. Outro aspecto importante é o comportamento doslimites de controle. Como |1 − λ| < 1 a sequência 1 − 𝜆 2𝑖 tende para

zero e 𝑖 tende para o infinito. Já o termo 1 − 1 − 𝜆 2𝑖 aproxima-se

da unidade 𝑖 tornando-se grande. Isto significa que, após o gráfico decontrole EWMA ter percorrido diversos períodos de tempo, os limites decontrole têm a forma assintótica e aproximam-se dos valores de posiçãofixa, dados por:

Gráfico de Controle de MMEP

Para monitorar o processo, as observações 𝑧𝑖 são demarcadas no gráficoEWMA cujos limites de controle são obtidos por :

𝐿𝑆𝐶 = 𝜇0 + 𝐿𝜎

𝑛

𝜆

2−𝜆1 − 1 − 𝜆 2𝑖 (1)

𝐿𝐶 = 𝜇0 (2)

𝐿𝐼𝐶 = 𝜇0 − 𝐿𝜎

𝑛

𝜆

2−𝜆1 − 1 − 𝜆 2𝑖 (3)

onde o fator L é a extensão dos limites de controle, ou seja, o númerode múltiplos de desvio padrão em que os limites de controle estarãodistante da linha central (LC).

Gráfico de Controle de MMEP

𝐿𝑆𝐶 = 𝜇0 + 𝐿𝜎

𝑛

𝜆

2−𝜆

𝐿𝐶 = 𝜇0

𝐿𝐼𝐶 = 𝜇0 − 𝐿𝜎

𝑛

𝜆

2−𝜆

As equações acima são mais simples para efetuar o cálculo.No entanto, utilização das equações (1), (2) e (3) sãoaltamente recomendável para pequenos valores de 𝑖. Oslimites de controle no gráfico EWMA podem ser utilizadospara sinalizar quando um 𝜇𝑖+1 ajuste é necessário, e adiferença entre o alvo e a previsão da média 𝜇𝑖+1 pode serusada para determinar quanto de ajuste é necessário.

Obrigado!!!