Adalberto Alejo MolinaDoctor en Ciencias

TemarioUnidad 1. Funciones

• Definición de Función y Otras Definiciones Fundamentales

• Tipos de Funciones

• Operaciones Básicas con Funciones

• Función Inversa

• Paridad de Funciones

• Continuidad de Funciones

Unidad 2. Derivadas e Integrales

Definición Formal de la Derivada Reglas de Derivación BásicasDefinición Formal de la Integral Reglas de Integración Básicas Técnicas de Integración más Comunes

Unidad 3. Vectores

Definiciones Básicas Producto Escalar o Producto Punto Producto Vectorial o Producto Cruz Triple Producto Punto Triple Producto Vectorial

Unidad 4. Matrices

Definición Tipos de MatricesMatriz TranspuestaMatriz InversaOperaciones Básicas Funciones Matriciales

Unidad 5. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

• Definición de Determinante• Cálculo de Determinantes• Solución de Ecuaciones Lineales Utilizando Determinantes

Unidad 6. Transformación de Coordenadas

• Traslación: Vectores y Funciones• Rotación: Vectores y Funciones

Unidad 7. Ecuaciones Diferenciales

• Ecuaciones lineales de primer orden• Ecuaciones lineales de segundo orden

MÉTODO DE EVALUACIÓN

Examen de admisión de 20 preguntas con opciónmúltiple.

FunciónUna función f de un conjunto X a un conjunto Yes una regla que asocia a cada elemento de x en Xun único elemento de y en Y. El elemento y sellama la imagen de x bajo f y se denota por f(x).El conjunto X se llama dominio de la función. Elrango de la función consta de todas las imágenesde los elementos de X.

1x2x

3x

1 1f x y

2 2f x y

3 3f x y

X

Y

Representación GráficaLa gráfica de una función es la curva que resulta de la representación de las parejas ordenadas (x, f(x)) en un sistema de coordenadas cartesianas. 

Tipos de funciones

11 1 0

n nn nf x a x a x a x a

Función identidad Valor absoluto Función polinomial

f x x f x x

Función racional

f xq x

h x

donde f(x) y h(x) son polinomios. El dominio excluye los ceros del polinomio h(x).

• Cúbica 3 2

Función definida por tramos (trozos)

, 0

, 0 22, 2

x xf x x x

x

Funciones algebraicas: Son las que seconstruyen utilizando operaciones algebraicastales como suma, resta, multiplicación, divisióny raíces.

4 2

316 2 1x xg x x xx x

Funciones Trascendentes

Son funciones que no son algebraicas, incluyen las siguientes:

Trigonométricas Trigonométricas inversas Exponenciales  LogarítmicasHiperbólicasOtras que no han recibido nombre.

Seno y Coseno

Dominio = ,

Rango = 1,1Ceros de sen : cuando , entero

2 1Ceros de cos : cuando , entero

2Periodo 2

x x n nn

x x n

cos x

sen x

Tangente

Dominio: Es indefinida siempre que cos 0, 2 1 ,2

enteroRango = ,Periodo

x x nn

sentancos

xxx

Cotangente

Dominio: Es indefinida siempre que sin 0, , enteroRango = ,Periodo

x x nn

coscotsen

xxx

Secante

2 1Dominio: Es indefinida siempre que , entero

2Rango: Excluye el intervalo 1,1Periodo 2

nx n

1seccos

xx

Cosecante

Dominio: Es indefinida siempre que , enteroRango: Excluye el intervalo 1,1Periodo 2

x n n

1cscsen

xx

Función Exponencial Son funciones de la forma xf x a

La constante a se conoce como la base y es definida positiva

Dominio = ,

Rango = 0,

xf x e

Familia de Exponenciales

Funciones Hiperbólicas

senh2

Dominio = ,

Rango = ,

x xe ex

cosh2

Dominio = ,

Rango = 1,

x xe ex

senhtanhcosh

Dominio = ,

Rango = 1,1

xx

Operaciones Básicas con FuncionesSean dos funciones f y g con dominios A y B, respectivamente. Entonces,

f g x f x g x

f g x f x g x

fg x f x g x

, 0

f xf x g xg g x

Dominio =A B

Composición de FuncionesSean dos funciones f y g con dominios A y B, respectivamente. Entonces,

f g x f g x

Recuerde que

f g x g f x

XY f x

g x

Z

Ejemplo de Composición

2Sean 1 y 2 . Encuentre

y . También mencione los dominios y rangos de todas las funciones

p x x q x x p q x

q p x

22 1 2 1 1p q x p q x x x x

2 2 22 1 2 1 3q p x q p x x x x

Función Inversa

f

Función

Inversa

Función Biunívoca

Una función f de X a Y es una función uno a uno si siempre que a ≠ b en X, entonces f(a) ≠ f(b) en Y.

Ejemplo

Receta

Paso 1. Escriba y = f(x)

Paso 2. Resuelva la ecuación para x en términos de y, si es posible

Paso 3. Para expresar f 1 como una función de x, intercambie x y y. La ecuación resultante es 

y = f 1(x)

1f x x

2

2

2

111

,1

y xy xx yx y y xy x

1 2 1f x x

1 2 21 1f f x x x x

Inversa de Funciones Trascendentes

xf x e

1 lnf x x

ParidadUna función f es par si 

Una función f es impar si 

f x f x

f x f x

Sino satisface ninguno de los criterios anteriores no es par ni impar.

En general, un polinomio formado con solopotencias pares será par y uno formado solo conpotencias impares será impar. Si existen términoscon potencias pares e impares no será par niimpar.

Las funciones pares e impares siguen una regla análoga a la ley de los signos para la multiplicación y la división.

Por otro lado, la suma de dos funciones paresda otra función par y lo mismo es cierto para lasfunciones impares, pero la suma de unafunción par y una impar da una función que noes par ni impar.

Paridad de Funciones TrascendentesAlgunas funciones trascendentes tienen paridadintrínseca mientras que otras no tienen unaparidad definida. Un ejemplo del primer caso esel coseno y del segundo la exponencial.

cosf x x senf x x

Continuidad de Funciones

Intuitivamente…

La gráfica de la función es una curva suave

No tiene saltos, huecos ni rupturas

Puede dibujarse con un solo trazo (sin despegar el lápiz del papel)

Formalmente…

Una función f(x) es continua en un punto x = a sicumple simultáneamente las siguientescondiciones

1.

2. lim

3. limx a

x a

f a

f x

f x f a

lim x a

f x f a

Ejemplos

Tipos de Continuidad Si x = a es una asíntota vertical para la gráfica y = f(x),entonces se dice que f tiene una discontinuidadinfinita (esencial, o asintótica) en x = a .

Si los límites laterales en x = a existen pero nocoinciden, entonces se dice que f tiene unadiscontinuidad finita o discontinuidad de salto en x = a.

Si el límite en x = a existe pero f(a) no está definida of(a) existe pero no es igual al límite, se tiene unadiscontinuidad removible en x = a.