CURSO PROPEDÉUTICO 2013

7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013

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CURSO PROPEDUTICO2013

FISICO-MATEMTICA


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UNIDADES

1. lgebra2. Geometra Plana3. Introduccin a la Fsica4. Sistema Internacional

5. Notacin Cientfica6. Grficas7. Trigonometra

8. Vectores9. Geometra Analtica


3/382


4/382

LEYES DE LOS EXPONENTES

xphppxh

mnnm

n

nn

nnn

baba

aa

b

a

b

a

baab

aa

010


5/382


tst

s

xx

yxyx

hhh

eee

aaa

22


6/382


n

m

n m

u

u

u

u

bb

mm

mm

1

1


7/382


8/382

EJEMPLOS

nanan

a

ab

abbaba

baba

mnnmm

nm

21121

12

10

4

10

441037122

312

72

122

10101010

771

71

71

568

2

33

2

33

2

33


9/382

EJEMPLOS

xx

bcbc

nn

xx

aa

933

842

632

22


10/382

EJEMPLOS

393

3

3

3

11223

3

12

123

1291293343

2222

27

8

3

2

3

2

3

2

72999

25,05,05,0

cacacaca

ca

xxx

aaa

bbddbb

db

db

aaa


11/382

EJEMPLOS

babababa

nnn

xx

3333312

23

6

3 6

4

3

4 3


12/382

EJEMPLO

2363

33

3 633

222

1

6

6

6

12

6

3

6 6123

2424 1836936

nnnnnn

yxxyxxyxx

ayxyxayxayxa

xyyxxyx


13/382

PRODUCTOS NOTABLES

Cuadrado de la suma de un binomio. Cuadrado de la diferencia de un binomio.

Producto de la suma por la diferencia. Cubo de la suma de un binomio. Cubo de la diferencia de un binomio.


14/382

Cuadrado de la suma de

un binomio.

222 2 bababa


15/382

PRCTICA

2

2

222

3

24

2

nca

bxxa


16/382

SOLUCIN

nnn ccaaca

xbbxaxabxxa

224

2

2

423224222

9

4

3

1616

3

24

442


17/382

Cuadrado de la diferencia

de un binomio

222 2 bababa


18/382

PRCTICA

2

22

3

4

3

23

yx

x


19/382

SOLUCIN

22

2

4222

9

1689

3

43

412923

yxyxyx

xxx


20/382

Producto de la suma por

la diferencia

22 axaxax


21/382

PRCTICA

22

41

32

41

32

88

yxyx

bb


22/382

SOLUCIN

4222

2

16

1

9

4

4

1

3

2

4

1

3

2

648888

yxyxyx

bbbbb


23/382

Producto de la forma

(x+a)(x+b)

abxbaxbxax 2


24/382

PRCTICA

92

84

76

53

yy

mm

aa

xx


25/382

SOLUCIN

18792

32484

421376

15853

2

2

2

2

yyyy

mmmm

aaaa

xxxx


26/382

Cubo de la suma de un

binomio

32233

33 babbaaba


27/382

PRCTICA

34

3

74

2

x

a


28/382

SOLUCIN

3435883366474

81262

481234

233

xxxx

aaaa


29/382

Cubo de la diferencia de

un binomio

32233

33 babbaaba


30/382

PRCTICA

34

3

74

2

x

a


31/382

SOLUCIN

3435883366474

81262

481234

233

xxxx

aaaa


32/382

FACTORIZACIN Factor Comn Monomio Factor Comn Polinomio Diferencia de Cuadrados Suma de Cubos Diferencia de Cubos Trinomio Cuadrado Perfecto Trinomio de la forma

Frmula General

cbxx 2


33/382

FACTOR COMN

MONOMIO

xmmxmxmxmxm

yxyx

dcbaxxdxcxbxa

2346121824

58408

222234


34/382

FACTOR COMN POLINOMIO

133333

111111

axxxaxxa

xaaaxaax

bayxyxbyxa


35/382

DIFERENCIA DE

CUADRADOS

bcabcacbacbacbacba

babababababa

bababa

22224224224448

22222244

22


36/382

SUMA DE CUBOS

222333

23

2233

46923827

25104521258

dabdbadabdba

aaaa

babababa


37/382

DIFERENCIA DE CUBOS

222333

23

2233

46923827

25104521258

dabdbadabdba

aaaa

babababa


38/382

TRINOMIO CUADRADO

PERFECTO

22224

222

222

3894864

2

2

babbaa

bababa

bababa


39/382

EJEMPLO ESPECIAL

xbaxbaxba

xbabaxbaba

22

222222

22


40/382

Trinomio de la forma

796316

35158

2

2

2

xxxx

xxxx

bxaxabxbax

cbxx 2


41/382

FRMULA GENERAL

a

acbbt

2

42

02 cbtat


42/382

PRCTICA

Determine los valores que satisfacen lasiguiente ecuacin, por frmula general:

2

02

9

09

029

01872

m

m

m

m

mm

mm


43/382

SOLUCIN

92

2

117

2

1217

2

72497

2

1814497

2

4

18710187

21

2

2

mm

m

m

a

acbb

m

cbamm

M d d l


44/382

Mtodo de Igualacin

Se despeja la misma incgnita en las dosecuaciones.

Se igualan las expresiones resultantes.

Se resuelve la ecuacin resultante, obteniendoel valor de una de las incgnitas. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera

de las ecuaciones del sistema, para encontrar elvalor de la otra incgnita.

EJEMPLO


45/382

EJEMPLO

23

41223

41232

3876

7638

7242018

4207218

1541236

615

4123

6

15156

4

1231234

yxy

y

yy

yy

yy

yyy

xyx

yxyx


46/382

Mtodo de Sustitucin

Se despeja una incgnita en una de lasecuaciones.

Se sustituye esta incgnita en la otra ecuacin. Se resuelve la ecuacin resultante, obteniendo

el valor de una de las incgnitas. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera

de las ecuaciones del sistema, para encontrar elvalor de la otra incgnita.


47/382

EJEMPLO

236

3

122

34

3124

23

3857

5738

3602018

13

12456

3

124

156

3124

156

1234

xyx

x

xx

xx

xy

yx

xy

yx

yx


48/382

Mtodo de Reduccin

Se elimina una de las incgnitassumando miembro a miembro las dos

ecuaciones. Se despeja la incgnita que qued yse sustituye en cualquiera de las

ecuaciones originales para encontrarel valor de la otra incgnita.


49/382

EJEMPLO

1

33

9639323

923

3

571939156

1846

1352

923

3

2

1352

923

x

x

xx

yxLuego

y

yyx

yx

yx

yx

yx

yx


50/382

MTODO GAUSS-JORDAN

23

273

62

122

1

542

122

1

43

2

1

xyz

z

zy

zyx

zy

zy

zyx

zyx

zyx

zyx


51/382

LAS LNEAS


52/382

LAS LNEAS

Una lnea puede ser curva o recta.

LAS LNEAS


53/382

LAS LNEAS

Las lneas se extienden por ambos ladosindefinidamente. A veces se recuerda estocon flechas en ambos extremos, como semuestra enseguida con la recta m:

SEGMENTO


54/382

SEGMENTO Un segmento es una porcin de lnea

recta que est limitada por dos puntosque son sus extremos. Por ejemplo, losextremos del siguiente segmento son los

puntos A y B:

SEGMENTOS CONGRUENTES


55/382

SEGMENTOS CONGRUENTES Como las lneas se extienden

indefinidamente, no se pueden medir. Lossegmentos s se pueden medir. Cuando dos segmentos tienen la misma

medida se dice que son congruentes. Porejemplo, los segmentos CD y EF soncongruentes

SEMI RECTAS


56/382

SEMI-RECTAS Tambin puede haber porciones de lnea

recta que slo estn limitadas en unextremo. En este caso se habla de semi-rectas.

Por ejemplo, la siguiente semi-recta estlimitada por el punto P y se extiendeindefinidamente hacia el otro lado.

RECTAS PARALELAS


57/382

RECTAS PARALELAS

Dos rectas que estn en el mismo plano ynunca se cruzan son paralelas.


58/382

RECTAS PERPENDICULARES

Son dos rectas que al cortarse formanngulos rectos.


59/382

NGULOS

Porcin de plano limitada por dossemi-rectas.

NGULO RECTO


60/382

NGULO RECTO ngulo que mide 90. Al ngulo que forman entre s dos semi-

rectas perpendiculares se le llama ngulorecto; se suele denotar con un cuadrito

junto al vrtice.

NGULO LLANO


61/382

NGULO LLANO

ngulo que mide 180. Consideremos ahora una recta y unpunto P en ella. El punto P se puedeconsiderar como el vrtice de un nguloentre dos semi-rectas, y al ngulo quese forma se le llama ngulo llano.

NGULO DE GIRO


62/382

NGULO DE GIRO

Es el ngulo de 360.

NGULOS


63/382

NGULOS ngulo agudo: es menor que un ngulo

recto, como el que tiene vrtice en elpunto A de la figura.

ngulo obtuso: es mayor que un ngulo

recto pero menor que un ngulo llano,como el que tiene vrtice en el punto Bde la figura.

RECTAS PARALELAS CORTADAS


64/382

RECTAS PARALELAS CORTADASPOR UNA TRANSVERSAL

1 2

3 4

5

7

6

8

Son ngulos opuestos por elvrtice: 1 y 4, 2 y 3, 5 y 8,6 y 7.

Son ngulos alternos internos:

3 y 6, 4 y 5.Son ngulos alternos externos:1 y 8, 2 y 7.

Son ngulos correspondientes:1 y 5, 3 y 7, 2 y 6, 4 y 8.

NGULOS


65/382

NGULOSCOMPLEMENTARIOS

Son aquellos cuya suma es igual a 90.

BA

A + B = 90

NGULOS SUPLEMENTARIOS


66/382

NGULOS SUPLEMENTARIOS

Son aquellos cuya suma es igual a 180. Tambin se les llama adyacentes.

AB

A + B = 180


67/382

BISECTRIZ DE UN NGULO

Es la recta que divide a un ngulo en dosngulos iguales.

2

2

CIRCUNFERENCIA Y CRCULO


68/382

CIRCUNFERENCIA Y CRCULO

Una circunferencia es una lnea cerrada en laque todos los puntos estn a la mismadistancia de otro punto, que no pertenece aella.

A ese punto se le denomina centro de lacircunferencia. El interior de lacircunferencia recibe el nombre de crculo.

ELEMENTOS DE LA


69/382

ELEMENTOS DE LACIRCUNFERENCIA

Radio de una circunferencia es un segmento queva desde el centro hasta la circunferencia.

Cuerda es un segmento que va de un punto de lacircunferencia a otro.

Dimetro es un segmento que va de un punto de la

circunferencia a otro, pasando por el centro. Tangente a una circunferencia es una recta quetoca a la circunferencia en un solo punto.

LONGITUD DE


70/382

LONGITUD DECIRCUNFERENCIA

radior

rC

2


71/382

REA DE UN CRCULO

2

rA

REA DE UNA CORONA


72/382

REA DE UNA CORONACIRCULAR

22rRA

R

r

REA DE UN SECTOR


73/382

REA DE UN SECTORCIRCULAR DE NGULO

360

2r

A

LONGITUD DE UN ARCO


74/382

LONGITUD DE UN ARCO

360

2 rl

POSICIONES RELATIVAS DE


75/382

POSICIONES RELATIVAS DENGULOS Y CIRCUNFERENCIAS

ngulo Central: Su vrtice est en elcentro del crculo y est limitado pordos radios.

NGULO INSCRITO


76/382

NGULO INSCRITO

NGULO SEMI INSCRITO


77/382

NGULO SEMI-INSCRITO

NGULO INTERIOR


78/382

NGULO INTERIOR

NGULO EXTERIOR


79/382

NGULO EXTERIOR

PROPIEDADES


80/382

PROPIEDADES Los ngulos inscritos que abarcan el

mismo arco son iguales.

PROPIEDADES


81/382

PROPIEDADES

Todos los tringulos inscritos en unasemicircunferencia son rectngulos.

PROPIEDADES


82/382

PROPIEDADES Un ngulo inscrito mide la mitad del arco que

abarca.

2

EL TRINGULO


83/382

EL TRINGULO

Figura geomtrica de tres lados. Se clasifican de acuerdo a sus lados y

de acuerdo a sus ngulos.

CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS


84/382

DE ACUERDO A SUS LADOS

Tringulo Equiltero: todos sus lados soncongruentes. Tringulo Issceles: dos de los lados son

congruentes. Tringulo Escaleno: los tres lados son

diferentes entre s.

equiltero issceles escaleno

PROPIEDADES


85/382

PROPIEDADES

La suma de los ngulos internos de todotringulo es 180.

Todo tringulo equiltero es equingulo. El tringulo issceles tiene dos ngulosiguales.

CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS DE


86/382

L F DE L L DEACUERDO A SUS NGULOS

Tringulo Rectngulo: Tiene un ngulo de90. Tringulo Acutngulo: Sus tres ngulos

internos son agudos. Tringulo Obtusngulo: Tiene un ngulo

obtuso.

rectngulo acutngulo obtusngulo

TRINGULO RECTNGULO


87/382

TRINGULO RECTNGULO Se caracteriza porque uno de sus ngulos

es recto. Los lados que forman el ngulorecto se denominan catetos y el tercero,que es siempre el ms grande, se denomina

hipotenusa. Un tringulo rectngulo puede ser

issceles o escaleno.

REA DE UN


88/382

REA DE UNTRINGULO

alturah

baseb

bhA

2

PERMETRO DE UN TRINGULO


89/382

PERMETRO DE UN TRINGULO

El permetro de un tringulo es la suma de sustres lados.

cbaP

a c

b

RECTAS NOTABLES DE UN


90/382

E LE DETRINGULO

Mediatriz Bisectriz

Mediana Altura

MEDIATRIZ


91/382

MEDIATRIZ Es la perpendicular en el punto medio de cada lado. El punto de interseccin de las tres mediatrices de un

tringulo se llama circuncentro. El circuncentro es el centro de la circunferencia

circunscrita al tringulo.

BISECTRIZ


92/382

Es la recta que divide a un ngulo en dosngulos iguales.

El punto de interseccin de las tresbisectrices se llama incentro.

El incentro es el centro de lacircunferencia inscrita al tringulo.

MEDIANA


93/382

MEDIANA

Es el segmento trazado desde un vrticehasta el punto medio del lado opuesto. El punto de interseccin de las tres

medianas se llama baricentro. El baricentro dista dos tercios del vrtice

de la mediana correspondiente.

ALTURA


94/382

ALTURA

Es la perpendicular trazada desde unvrtice al lado opuesto o a suprolongacin.

El punto de interseccin de las tresalturas se llama ortocentro.

TEOREMA DE THALES


95/382

TEOREMA DE THALES Los segmentos determinados en un lado de un

ngulo por dos paralelas son proporcionales a lossegmentos determinadosen el otro lado.

CB

NM

A

NC

MB

AN

AM

TEOREMA DE THALES


96/382

EOREMA DE HALES La razn (cociente) de dos segmentos situados en

uno de los lados es igual a la de loscorrespondientes en el otro.

CB

NM

A

ACAN

ABAM

yNC

AN

MB

AM

SEMEJANZA


97/382

Las figuras semejantes son las quetienen la misma forma, pero distintotamao.

SEMEJANZA DE TRINGULOS


98/382

SEMEJANZA DE TRINGULOS Los tringulos son semejantes cuando

tienen sus ngulos iguales y los ladosproporcionales.

Pero no hace falta comprobar todosestos requisitos para poder afirmar quedos tringulos son semejantes; basta

con que se cumpla alguna de lassiguientes condiciones.



99/382

SEMEJANZA DE TRINGULOS1. Si dos tringulos estn en posicin de

Thales, son semejantes.

CB

NM

A

BC

MN

AC

AN

AB

AMalesproporcionsonladosLos

NC

MBAA

igualessonngulosLos

:

:



100/382

SEMEJANZA DE TRINGULOS2. Si dos tringulos tienen dos ngulos iguales,

son semejantes.

'

'

':

CC

BB

AAigualessonngulosLos



101/382

SEMEJANZA DE TRINGULOS3. Si dos tringulos tienen un ngulo igual y

los lados que lo forman son proporcionales,entonces son semejantes.

''

''

'

CA

BA

AC

AB

AA



102/382

4. Si dos tringulos tienen los treslados proporcionales, son semejantes.

'''''' AC

CA

CB

BC

BA

AB

POLGONO


103/382

POLGONO

De origen griego. Polys: mucho

Gona: ngulo Polgono: figura geomtrica de tres oms lados.

CLASIFICACIN DE LOSPOLGONOS


104/382

POLGONOS

3 lados.............tringulo 4 lados.............cuadriltero 5 lados.............pentgono

6 lados.............hexgono 7 lados.............heptgono 8 lados.............octgono 9 lados.............enegono 10 lados...........decgono

CLASIFICACI N DELOS POLGONOS


105/382

11 lados.................undecgono 12 lados................dodecgono

15 lados................pentadecgono 20 lados...............icosgono

LOS POLGONOS

POLGONOS REGULARES


106/382

POLIEDROS IRREGULARES


107/382

No todas sus caras son de la mismaforma ni del mismo tamao.

Ejemplos: Pirmides, Prismas yparaleleppedo (prisma recto).

POLIEDROS IRREGULARES

PARALELEPPEDO O PRISMA RECTO


108/382

PRISMA TRIANGULAR


109/382

PRISMA HEXAGONAL


110/382

PIRMIDE TRIANGULAR


111/382

PIRMIDE CUADRANGULAR


112/382

PIRMIDE PENTAGONAL


113/382

PIRMIDE HEXAGONAL


114/382

DE E

PIRMIDE OCTAGONAL


115/382

PIRMIDE TRUNCADA


116/382

POLIEDROS REGULARES


117/382

POLIEDROS REGULARES

Los poliedros cuyas caras sonregiones poligonales regulares de lamisma forma y el mismo tamaoreciben el nombre de poliedrosregulares.

POLIEDROS REGULARES


118/382

POLIEDROS REGULARES

TETRAEDRO HEXAEDRO

OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

TETRAEDRO


119/382

Tiene 4 caras en forma de tringulo

equiltero. Es una pirmide de base triangular.

HEXAEDRO


120/382

HEXAEDRO

O CUBO Tiene 6

caras en

forma decuadrados.

OCTAEDRO


121/382

Tiene 8 caras en

forma detringuloequiltero.

Son dos pirmidesde base cuadradaunidas por dichabase.

DODECAEDRO12


122/382

Tiene 12

caras enforma depentgonoregular

ICOSAEDRO


123/382

Tiene 20caras enforma de

tringulosequilteros.

REA O SUPERFICIE DE UN CUBO


124/382

Se reduce a calcular el rea de una cara

y luego multiplicar por 6, ya que el cubotiene 6 caras que son cuadrados.

26aA

REA DE LOS POLIEDROS REGULARES


125/382

Para calcular el rea o superficie delos poliedros regulares, basta concalcular el rea de una de sus caras yluego multiplicarla por el nmero decaras del poliedro.

REA DE POLGONOS REGULARES


126/382

En cualquier polgono regular de n

lados podemos trazar desde el centron tringulos. El rea de un polgono regular es n

veces el rea de un tringulo.

REA DE POLGONOSREGULARES


127/382

REGULARES

al

a = apotemaApotema = altura del

tringulol = longitud de cada lado.

REA DE POLGONOS


128/382

REGULARES

al 2

#2

2

1

PaA

nPPermetropero

ladosnan

A

aA

REA O SUPERFICIE DEUNA ESFERA


129/382

UNA ESFERA

24 rA

VOLUMEN DE LA ESFERA


130/382

VOLUMEN DE LA ESFERA

3

3

4rV

VOLUMEN


131/382

DEL CUBO

3aV

VOLUMEN DEL PARALELEPPEDO(ORTOEDRO)


132/382

bahV

VOLUMEN DEL CILINDRO


133/382

hrV

hAV base2

E E


134/382

VOLUMEN DEL CONO

3

2hrV

VOLUMEN DE LA PIRMIDE


135/382

hnlaV

hAV base

231

3

1


136/382

INICIACIN AL MTODOCIENTFICO


137/382

CIENTFICO

El conocimiento cientfico secaracteriza por ser verificable.

Un hecho ser consideradoverdadero siempre que pueda serconfirmado con los procedimientosque establece el mtodo cientfico.



138/382

Las ciencias pueden ser divididasen ciencias abstractas (ejm: la

Matemtica) y ciencias materiales(ejm: la Fsica). El criterio de la verdad de la

Matemtica es la lgica.

CIENTFICO



139/382

El criterio de veracidad de la Fsicanecesita de la lgica y la

experimentacin. Cuando un enunciado verificableposee un grado de generalidad se le

llama hiptesis cientfica.

CIENTFICO



140/382

Cuando las hiptesis son comprobadasexperimentalmente se convierten en

leyes o en teoras cientficas.

CIENTFICO



141/382

Cuando se aplique el mtodocientfico debemos: Observar hechos particulares.

Formular preguntas precisas. Recoger y analizar datossistemticamente de acuerdo a las

reglas de la estadstica.

CIENTFICO



142/382

El mtodo cientfico establece unprocedimiento flexible (es decir

que no es riguroso).

CIENTFICO

INICIACI N AL M TODOCIENTFICO


143/382

El mtodo cientfico est constituido por: Planteamiento del problema. Construccin de un modelo terico

(seleccin de las variables). Deduccin de consecuencias. Pruebas de las hiptesis.

Conclusiones.



144/382

Una de las formas de estimular unpensamiento creativo es adquirirconocimientos de ramas diversas

del quehacer humano.

CIENTFICO



145/382

El mtodo cientfico se aplica entodos los rdenes de la vida

excepto en el arte, la religin yen el amor.

CIENTFICO

APLICACIN DEL MTODOCIENTFICO EN FSICA


146/382

CIENTFICO EN FSICA

Existe una infinidad de casos queilustran la aplicacin del mtodocientfico para el desarrollo de

modelos que expliquen lanaturaleza.

APLICACIN DEL MTODOCIENTFICO EN FSICA


147/382

El mtodo cientfico es elinstrumento vlido cuandodeseamos determinar las leyes que

rigen los fenmenos naturales. Su aplicacin correcta implica unainteraccin permanente entre

teora y experimentacin.

NATURALEZA DE LA FSICA


148/382

La Fsica es la ciencia que estudialos fenmenos de la naturalezaque pueden ser modelados

matemticamente.



149/382

La Fsica utiliza el lenguaje de laMatemtica.

La Fsica puede ser dividida enFsica Experimental y Fsica

Terica.



150/382

La Fsica Experimental se basa enpruebas y experiencias para

descubrir nuevos fenmenos ycomprobar las leyes de la Fsica.



151/382

La Fsica terica enuncia las leyesque explican los fenmenosnaturales, a la vez que predicenuevos fenmenos.

L f i dbilNATURALEZA DE LA FSICA


152/382

La fuerza macroscpica ms dbiles la fuerza gravitatoria.

La fuerza gravitatoria es slo decarcter atractiva. Su efecto es

de largo alcance. Es la responsable de la existencia

de las estrellas, planetas y del

equilibrio csmico.

L f l t tiNATURALEZA DE LA FSICA


153/382

La fuerza electromagntica es

mayor que la gravitatoria.

La fuerza electromagntica puedeser atractiva o repulsiva.

HISTORIA DE LA FSICA


154/382

Entre los siglos V a.C. Y II d.C.Diferentes culturas hicieronaportes significativos al

conocimiento de la naturaleza.

HISTORIA DE LA FSICA


155/382

Los egipcios utilizaron el planoinclinado, la palanca y la polea. Los chinos estudiaron la inercia

de los cuerpos, la fuerzagravitatoria, los fundamentos dela ptica y utilizaron el

magnetismo de los cuerpos.

LOS INDIOS


156/382

Los indios postularon ideasatomistas, estudiaron el

movimiento, el peso de loscuerpos, los fluidos, la viscosidad.

LOS GRIEGOS


157/382

Tales de Mileto: Observ algunas manifestaciones

de la electricidad y el magnetismo.

Predijo el eclipse de sol del ao565 a.C.

Demcrito:LOS GRIEGOS


158/382

Demcrito: Idea del tomo como

constituyente de la materia.

Ptolomeo: Desarrolla la Geometra en sus

inicios.

LOS GRIEGOS


159/382

Arqumedes: Postul la ley de las palancas.

Postul el principio de flotacin.

E lidLOS GRIEGOS


160/382

Euclides: Descubre las leyes de la

propagacin rectilnea, de la

reflexin y de la refraccin de laluz.

LOS GRIEGOS


161/382

Durante la Edad Media, algunos delos postulados de Aristtelesfueron acogidos como dogma por laIglesia, lo que produjo un freno enel desarrollo de la ciencia.

Aristteles compendi parte de los

conocimientos de su poca.

SIGLO XVIIGALILEO GALILEIS nt l s b s s d l Fsi m


162/382

Sent las bases de la Fsica como

ciencia. Es considerado el Padre de la Fsica. Introdujo la modelacin matemticay la experimentacin.

Establece la Ley de la Inercia.

Descubre que la cada libre de loscuerpos no depende de la masa.

GALILEO GALILEI - ITALIANOE


163/382

Estudi fenmenos astronmicos,pticos y trmicos.

Galileo entr en conflicto con la

Iglesia de su poca. Es considerado el primercientfico de la humanidad.

ISAAC NEWTON - INGLS


164/382

En 1687 publica su libro PrincipiosMatemticos de la Filosofa Natural. Postula la Ley de la gravitacin

universal. Hace aportes en ptica,

termodinmica y mecnica de fluidos.

JAMES MAXWELL - ESCOCS


165/382

En 1873 public el libro Tratado deElectricidad y Magnetismo.

Redonde el estudio de laelectrodinmica clsica.

LA FSICA MODERNA


166/382

Al principio del siglo XX los fsicosintrodujeron el concepto de

probabilidad.

ALBERT EINSTEIN - ALEMNE 1905 l l Ef


167/382

En 1905 explic el EfectoFotoelctrico.

Introduce la hiptesis de lacuantizacin de la energa de Planck.

Por esto ltimo, se le concede elPremio Nbel de Fsica en 1921.

Desarrolla la Teora de la Relatividad.

EL TOMO En 1910 el estadounidense Robert


168/382

Millikan aisl el electrn y determin elvalor de su carga elctrica. En 1911 el neocelands Ernest

Rutherford demostr que el tomoestaba constituido por un pequeoncleo con carga positiva, balanceadospor una nube de electrones.

EL TOMO


169/382

En 1912 el dans Niels Bohrpresenta el primer modelo

predictivo del tomo.

MARIA CURIE


170/382

Primera mujer en ganar un PremioNbel.

La nica en ganar 2 PremiosNbel en dos reas: en Fsica (laradiactividad) y en Qumica

(descubri el radio y el polonio).

RELACI N DE LA F SICA CONOTRAS CIENCIAS


171/382

La palabra Fsica proviene del griegophsis que significa naturaleza.

La palabra Ciencia proviene del latnscire que significa conocer.

RELACIN DE LA FSICA CONOTRAS CIENCIAS


172/382

Astrofsica: Fsica del cosmos. Biofsica: Fsica de los seres vivos. Fsica de la Atmsfera: Es el

estudio de los fenmenosmeteorolgicos y atmosfricos.

Geofsica: Fsica de la Tierra.

RELACI N DE LA F SICA CONOTRAS CIENCIAS


173/382

Fsica de los Materiales: Fsica delos metales, cermicos y Fsica delestado slido.

Fsica del Micromundo: Fsica

atmica y Fsica Nuclear.

RELACIN DE LA FSICA CONOTRAS CIENCIAS


174/382

La Fsica no slo es importante porel estudio de la naturaleza en s, sinoque contribuye con el progreso delas condiciones sociales del hombre.

LA FSICA EN EL DESARROLLODE PANAM


175/382

En 1855 el primer ferrocarriltransocenico: impulsado por lalocomotora de vapor, la cual se basa

en los trabajos de James Watt. El Dr. Justo Arosemena utilizaanalogas de fenmenos fsicos para

el estudio de fenmenos sociales.

LA F SICA EN EL DESARROLLODE PANAM


176/382

En 1935 se crea la Universidad dePanam. El Dr. Bernardo Lombardo es el

primer panameo en obtener unttulo universitario de Fsica. Fuenombrado Padre de la Fsica enPanam.


177/382

LAS UNIDADES HISTRICASDE MEDICIN EN PANAM


178/382

El sistema de unidades de base 10

se basa en el nmero de dedos delas manos.

LAS UNIDADES HISTRICAS DEMEDICIN EN PANAM


179/382

La Burrada: unidad de masa iguala la carga que puede transportarun burro.



180/382

El puado: unidad de masa igual ala masa que puede agarrarse alcerrar el puo.



181/382

La lata: unidad de volumen igual ala capacidad de una lata de aceite

de base cuadrada.



182/382

La Bangaa: unidad de volumenigual a la capacidad del recipientehecho de corteza del fruto detotumo o calabazo (esta unidades igual a la totuma).



183/382

La Braza: unidad de longitud igual a ladistancia que resulta de extender losbrazos horizontalmente, agarrando yestirando lo que va a medir entre laspuntas de los dedos de cada mano.



184/382

La Vara: Unidad de longitud igual a ladistancia que resulta de tomar lo quese vaya a medir con la punta del dedo

corazn y el pulgar, extendiendo elbrazo hasta la clavcula.



185/382

La Sangradera: unidad de longitudigual a la distancia que va desde la

punta del dedo corazn hasta dondese une el brazo con el antebrazo.



186/382

La Cuarta: unidad de longitud iguala la distancia que va del dedomeique a la punta del dedo pulgaral extender la mano.

LAS UNIDADES HIST RICAS DEMEDICIN EN PANAM


187/382

El Jeme: Unidad de longitud igual ala distancia que va del dedo ndice ala punta del dedo pulgar alextender la mano sin forzarla.



188/382

El Coco: Unidad de longitud igual ala distancia que resulta cuando secierra el puo y se extiende el dedo

pulgar, tomando el largo desde elpunto en que el dedo meique seune a la palma de la mano hasta la

punta del pulgar.

DESARROLLO DEL SI En la antigedad las unidades de


189/382

En la antigedad, las unidades de

medida se definan arbitrariamente. Primer intento por unificar el sistema

de unidades lo hizo: Carlomagno. El primer patrn de medida de

longitud lo estableci Enrique I de

Inglaterra.

Enrique I llam yarda a la distanciaDESARROLLO DEL SI


190/382

E q m y

desde su nariz hasta la punta de sudedo pulgar con la mano abierta y elbrazo extendido.

En 1770, Jorge III de Inglaterradecidi que el galn correspondera ala capacidad volumtrica de su orinal.

El 7 de abril de 1795 se decreta

DESARROLLO DEL SI


191/382

El 7 de abril de 1795 se decretaen la Revolucin Francesa, elSistema Mtrico Decimal.

Napolen Bonaparte hizoobligatoria la enseanza delSistema Mtrico en las escuelas.

En 1840 se declara ilegal el uso deDESARROLLO DEL SI


192/382

En 1840 se declara ilegal el uso detoda unidad que no perteneciera alSistema Mtrico Decimal.

Desde el 3 de mayo de 1961 se usael SI en todos los pases del mundomenos en E.U.A. y sus satlites.

SISTEMA DE UNIDADES


193/382

Un sistema de unidades es elconjunto de unidades formado deacuerdo a las reglas establecidas.

Sistemas de MedidasSistema Cgs o Sistema


194/382

S st ma

Internacional

gs o

Gaussiano

S st ma

InglsLongitud metro (m) centmetro

(cm)pie (ft)

Masa kilogramo(kg)

gramo (g) slug

Tiempo segundo (s) segundo (s) segundo (s)

UNIDADES FUNDAMENTALES


195/382

Son las unidades de magnitudesfsicas elegidas arbitrariamenteal construir un sistema.

UNIDADES FUNDAMENTALES


196/382

El SI define 7 unidades fundamentales,de las cuales resultan ms de 100

unidades derivadas.

UNIDADES FUNDAMENTALESMAGNITUD UNIDAD SMBOLO


197/382

Longitud metro mMasa kilogramo kgTiempo segundo s

Temperatura kelvin KIntensidad de Corriente amperio AIntensidad Luminosa candela cd

Cantidad de Sustancia mol mol

Magnitudes Bsicas y suDimensin


198/382

Longitud [L] Masa [M] Tiempo [T]

LONGITUD


199/382

En 1983 el metro se redefini como ladistancia que la luz recorre en elvaco durante un intervalo de tiempo

de 1/299 792 458 de segundo.

MASA


200/382

La unidad de masa en el SI, el kilogramo, sedefine como la masa de un cilindroespecfico de una aleacin de Platino (90%)

e Iridio (10%), cuyo dimetro y alto son 39mm, que se guarda en la OficinaInternacional de Pesos y Medidas de

Sevres, Francia.

Prototipo de Kilogramo


201/382

p

TIEMPO


202/382

En 1967 se redefine el segundo como9 192 631 700 veces el perodo de

oscilacin de la radiacin del tomode Cesio.

UN IDADES DERIVADAS


203/382

Son las que relacionan unidades atravs de leyes fsicas.

UNIDADES DERIVADASMagnitud Relacin Unidades Smbolo


204/382

Rapidez d/t m/sAceleracin v/t m/s2Fuerza ma kg m/s2 N (Newton)

Energa Fd kg m2

/s2

=N m J (Joule)Potencia W/t Kg m2/s3=J/s W(Watt)Cargaelctrica

It A s C (Coulomb)

Frecuencia 1/t s-1 Hz (Hertz)

CONVENCIONES DEL SI La separacin entre los enteros y


205/382

los decimales se hace por mediode una coma.

Cuando se escribe un nmeromenor que 1 se coloca un ceroantes de la coma decimal.

Los miles se dividen en grupos de

CONVENCIONES DEL SI


206/382

Los miles se dividen en grupos de3 dgitos, separados por unespacio. No se usa coma ni puntopara separarlos.

La parte decimal tambin sedivide en grupos de 3 dgitos

separados por un espacio.

Cuando se trata de un ao, losCONVENCIONES DEL SI


207/382

miles no se separan. Los smbolos de las unidades nollevan punto al final, excepto que

estn al final de una frase. Los smbolos que se deriven denombres propios se escriben con la

primera letra mayscula.

Los smbolos de las unidades noCONVENCIONES DEL SI


208/382

tienen plural. Entre el nmero y el smbolo debedejarse un espacio, excepto en las

medidas angulares. Los productos de unidades seexpresan dejando un espacio entre

los smbolos.

MLTIPLO

PREFIJO

ABREVIATURA

1024 Yotta Y

1021 Zetta Z

1018 Exa E

1015 Peta P


209/382

1012 Tera T

109 Giga G

106 Mega M

103 Kilo k

102 Hecto h

10 Deca da

10-1 Deci d

10-2 Centi c

10-3 Mili m

10-6 Micro

10-9 Nano n

10-12 Pico p

10-15 Femto f

10-18 Atto a

10-21 Zepto z

10-24 Yocto y


210/382

MEDICIN


211/382

La medicin es una sucesin deoperaciones y de clculos realizadoscon el fin de determinar el valor de

cierta magnitud fsica quecaracteriza a un objeto o fenmenoespecfico.

MEDICIONES DIRECTAS


212/382

Son una evaluacin de una magnitudcomparndola con otra de su mismaespecie, tomada como patrn.

MEDICIONES INDIRECTAS


213/382

Son aquellas en las cuales el valorbuscado se determina a travs de unaecuacin matemtica que expresa la

dependencia entre las magnitudesdirectamente medidas.

CIFRASSIGNIFICATIVAS


214/382

Son aquellas cifras, producto demediciones, que tienen significado

fsico. Comprenden las cifras ciertas y lacifra estimada.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS Los ceros a la izquierda no son cifras


215/382

significativas. Los ceros a la derecha s son cifrassignificativas.

Los ceros entre cifras diferentes decero s son cifras significativas. Los nmeros sin unidades poseen

infinitas cifras significativas.

REGLAS DE REDONDEO


216/382

Los nmeros menores que 5 noredondean. Es decir, no alteran alnmero antecedente.

Ejemplo: Redondear a 2 cifrassignificativas 7,83 m Tendramos que 7,83 m = 7,8 m

REGLAS DE REDONDEO


217/382

Los nmeros mayores que 5 sredondean. Es decir, aumentan unaunidad al nmero antecedente.

Ejemplo: Redondear a 3 cifrassignificativas 7,837 m Tendramos que 7,837 m = 7,84 m

REGLAS DE REDONDEO


218/382

El 5 redondea si tiene a su derechanmeros distintos de cero. Ejemplo: Redondear a 3 cifras

significativas 3,46507 s Tendramos que 3,46507 s = 3,47 s

REGLAS DE REDONDEO Si el 5 tiene a su derecha ceros o no


219/382

tiene nmeros, debemos determinarsi la cifra anterior es par o impar. Redondea a los impares. No redondea a los pares. Ejemplo: Redondear a 2 c.s.: 9,45 kg = 9,4 kg

8,35 kg = 8,4 kg

OPERACIONES CON CIFRASSIGNIFICATIVAS


220/382

Al sumar o restar, se debe redondearlas cantidades al mismo nmero dedecimales del nmero que menos

decimales tenga.

OPERACIONES CON CIFRASSIGNIFICATIVAS


221/382

Al realizar operaciones de multiplicacin,divisin, potenciacin y radicacin,primero se realiza la operacin y

posteriormente se redondea, de talmanera que el resultado tenga la mismacantidad de cifras significativas que el

nmero que menos tiene.

NOTACIN CIENTFICA


222/382

La notacin cientfica sirve paraexpresar en forma cmoda aquellascantidades que son demasiado

grandes o demasiado pequeas.

NOTACIN CIENTFICA


223/382

La notacin cientfica consiste enrepresentar un nmero real como elproducto de dos factores, uno de los

cuales es un nmero cuyo valorabsoluto es mayor o igual que 1 peromenor que 10, y el otro es una

potencia entera de base 10.

CANTIDADES MAYORES QUE 1

0101


224/382

6

5

4

3

2

1

10000000110000100

1000010

100001

10100

1010

CANTIDADES MENORES QUE 1dcimo)(un100,1

-1


225/382

o)millonsim(un100010,000

mo)cienmilsi(un10010,000mo)diezmilsi(un1010,000

milsimo)(un100,001

centsimo)(un100,01

6-

5-

4-

3-

2-

NOTACIN CIENTFICA

es un nmero escrito en71048,3 X


226/382

notacin cientfica porque cumple ladefinicin, es decir:

3,48 es un nmero mayor que 1, peromenor que 10.

es una potencia entera de base 10.

,

710

DE NOTACIN CIENTFICA ADECIMAL


227/382

Si el exponente es positivo, la coma decimalse corre hacia la derecha, tantos espacioscomo lo indique el exponente.

Si el exponente es negativo, la comadecimal se corre hacia la izquierda, tantosespacios como lo indique el exponente.

DE DECIMAL ANOTACIN CIENTFICA Si el nmero es igual o mayor que 10 la coma


228/382

decimal se corre hacia la izquierda hastaque la parte entera del nmero quedecomprendida entre 1 y 9, y se indica con unexponente positivo el nmero de espacios

que se corri. Si el nmero es menor que 1 la coma decimal

se corre hacia la derecha hasta que la parteentera del nmero quede comprendidaentre 1 y 9, y se indica con un exponentenegativo el nmero de espacios que secorri la coma decimal.

TRANSFORMAR A NOTACINDECIMAL O A BASE DE DIEZ

0


229/382

2

3

0

1

2

109,1019,0

10389,63896

1077

026,01026,0

57041070,45501050

X

X

X

X

XX

MULTIPLICACIN Se multiplican los nmeros


230/382

correspondientes a la parte decimal. Se multiplican las potencias, es decir,se suman algebraicamente losexponentes.

Se reescribe el resultado en notacincientfica, tomando en cuenta las cifrassignificativas.

EJEMPLO34


231/382

106,51048,3 XXa) Se multiplica 3,48 por 5,6 = 19,488.

b) Se multiplican las potencias 104 x 103 = 104+3 = 107.

c) El producto ser 19,488 x 107, pero al reescribir elresultado finalmente se expresar:

19,488 x 107

= 1,9488 x 107+1

= 1,9 x 108

.

DIVISIN Se divide la parte decimal.


232/382

Se dividen las potencias; para lo cualse realiza una resta algebraica de losexponentes.

Se reescribe el resultado en notacincientfica, tomando en cuenta lascifras significativas.

EJEMPLO4106,8 X


233/382

10646

4

10101010

6107,5 Xa) Se divide 8,6 entre 5,7 = 1,50b) Se dividen las potencias de base 10:

c) El cociente ser 1,5 x 1010.

SUMA Y RESTA Se igualan los exponentes.


234/382

Se redondea de acuerdo a la regla decifras significativas. Se suma o resta (segn sea el caso) la

parte decimal. Se escribe la base 10 con el exponente

comn.

Se reescribe el resultado en notacincientfica, si es necesario.

EJEMPLO3,24 x 103 + 8,5 x 104


235/382

= 0,324 x 103+1 + 8,5 x 104

= 0,3 x 104 + 8,5 x 104

= 8,8 x 104.

EJEMPLO8,3 x 10-3 + 54,3 x 10-1

-3+2 -1


236/382

= 0,083 x 10 + 54,3 x 10 = 0,083 x 10-1 + 54,3 x 10-1= 0,1 x 10-1 + 54,3 x 10-1

= 54,4 x 10-1

= 5,44 x 10-1+1= 5,44 x 100

= 5,44.

POTENCIACIN Se eleva la parte decimal al exponente


237/382

indicado. Se eleva la potencia al exponenteindicado (recuerda que se multiplicanalgebraicamente los exponentes).


EJEMPLO


238/382

7

16

6

23223

10x1,18

10x1,18

10x11,7649

)(10x(3,43))10x(3,43

EJEMPLO


239/382

10-

212-

12-

3-433-4

10x3,0

10x3,00763

10x300,763

)(10x(6,7))10x(6,7

RADICACIN Se extrae la raz a la parte decimal.


240/382

Se extrae la raz a la potencia; paraesto se divide el exponente de lacantidad subradical entre el ndice de

la raz.


EJEMPLO


241/382

4

28

88

10x2,06=

10x2,06=

10x4,25=4,25x10

EJEMPLO


242/382

4

3

12

3 1233 -12

100,4

100,4

106464x10

x

x

x

ASIGNACIN # 11. Escriba los siguientes nmeros en


243/382

notacin cientfica:a) 0,003 4b) 456 000

c) 3 570 000d) 0,399e) 3 456

ASIGNACIN # 12. Escriba los siguientes nmeros en


244/382

notacin decimal:

2-

4

3

3-

5

10x6,4510x40,003

10x5,480

10x4,67

10x3,4

ASIGNACIN # 2


245/382

1. Escribe en notacin cientfica lassiguientes longitudes expresadas enmetros:

a) El radio de Saturno: 60 300 000 mb) El tamao de una molcula orgnica:

0,000 000 000 7m

ASIGNACIN # 22. Expresa en notacin cientfica los


246/382

siguientes intervalos de tiempo medidos ensegundos:a) Vida media del hombre: 1 000 000 000 s

b) Intervalo entre los latidos del corazn: 1 sc) Tiempo que tarda la Tierra en girar sobres misma: 86 400 s

ASIGNACIN # 23. Expresa en notacin cientfica las


247/382

siguientes masas medidas en kilogramos

a) Masa del tomo:

0,000 000 000 000 000 000 000 1 kg

b) Masa de un toro: 420 kg

ASIGNACIN # 24. Escribe en notacin decimal:


248/382

a) El dimetro de una clula humana:

b) La masa de Jpiter:c) La vida media del hombre: sx 9100,1

kgx

27

1096,1

cmx5

101,1

ASIGNACIN # 3

)10)(4 56710(53 8)

:cionesmultiplicasiguienteslasEfecta

36


249/382

)10x)(710x(3,48f)

)10x)(2,910x(43,64e)

)10x)(8,6410x(2,18d)

)10x)(31,34510x(72,8c)

)10x)(4,3510x(5,0946b)

)10x)(4,56710x(53,8a)

5-5-

85-

4-8

4-8

7-5-

36-

ASIGNACIN # 4Realiza las siguientes divisiones:

54


250/382

6-9

5-5-

37

5-4

10x6,87entre10x4,649d)

10x2,14entre10x2,54c)

10x8,765entre10x2,673b)

10x2,96entre10x32,45a)

ASIGNACIN # 5Efecta las siguientes operaciones:

55


251/382

4-3-3-

5-6-

7-6-

43

56

55

10x5,07-10x4,8210x4,21f)

10x3,35-10x8,85e)

10x4,56-10x7,65d)

10x5,8610x6,23c)

10x3,6510x5,49b)

10x1,2110x6,46a)

ASIGNACIN # 61. Resuelva las siguientes operaciones:

)10(2 6) 24


252/382

)10x(3,006c)

5x10b)

)10x(2,6a)

2-5-

39-

24

ASIGNACIN # 62. Resuelva las siguientes operaciones:

6


253/382

0,27x10)

12,5x10)

100x10)

1075)

31-

3 10

4-

6

d

c

b

xa

ASIGNACIN # 71- Exprese en notacin cientfica y

realice la operacin indicada:


254/382

a) 1 500 x 260b) 220 x 35 000

c) 40 : 20 000d) 82 800 : 0,12e)

0001728,0

28,17728,1 x

ASIGNACIN # 72- Realice la operacin indicada:

21002000016


255/382

32000,0006,00002

2,1002,000016

025000,040014

3 43 7 1025,1107,2 xx

2532 102103 xx

321028 x

ORDEN DE MAGNITUD Cuando hablamos del orden de

magnitud de una cantidad nos


256/382

referimos a la potencia de 10(positiva o negativa) que ms cercaest de dicha cantidad.

Para obtener el orden de magnitud deuna cantidad dada es necesarioexpresar la cantidad como unapotencia de 10.

ORDEN DE MAGNITUD


257/382

Si en un nmero escrito en notacincientfica la parte decimal es menor oigual que 3,16 entonces el orden de

magnitud est dado directamente porel exponente que tenga la potencia.

ORDEN DE MAGNITUD


258/382

Si en un nmero escrito en notacincientfica la parte decimal es mayorque 3,16 entonces para determinar el

orden de magnitud se le suma unaunidad al exponente.

ORDEN DE MAGNITUD


259/382

CANTIDAD ORDEN MAGNITUD

sx2

1089,7

Ax5

1016,3

Jx3

1025,1

mx8

1057,2

kgx7

1019,4

m8

10s1

10

kg8

10A

510

J3

10


260/382

Existen 4 formas bsicas de representar


261/382

Existen 4 formas bsicas de representarlos datos de una experiencia:

A travs de una tabla de datos.

A travs de una representacin grfica.

A travs de un enunciado oral o escrito.

A travs de la ecuacin matemtica.

Es la forma ms simple de representar los


262/382

Es la forma ms simple de representar losdatos de una experiencia para su anlisis.

Los datos deben estar ordenados paraque se puedan obtener ciertos resultadoscualitativos con relacin a la dependenciaentre las variables.

Se ha estudiado el movimiento de un

cuerpo en donde se ha medido la


263/382

cuerpo, en donde se ha medido ladistancia recorrida por ste a medida queel tiempo transcurra:

Cuando el tiempo fue de 1,0 s el cuerpohaba recorrido 3,0 m; al cabo de 2,0 s elrecorrido fue de 6,0 m; luego de 3,0 s elrecorrido fue de 9,0 m; en 4,0 s el

recorrido fue de 12,0 m; y al cabo de 5,0 sel recorrido fue de 15,0 m.

Los datos de esta experiencia se puedenrepresentar de forma correcta en unatabla horizontal:


264/382

t(s) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

d(m) 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0

Los datos tambin se puedenrepresentar en una tabla vertical:

t(s) d(m)


265/382

1,0 3,0

2,0 6,0

3,0 9,0

4,0 12,0

5,0 15,0

Los pasos para construir una grfica son:


266/382

Los pasos para construir una grfica son:1- Dibujar el plano cartesiano, trazando los

dos ejes, horizontal y vertical:

2- Colocar el nombre de la grfica en laparte superior centrado, colocando elsmbolo de la variable dependiente

versus el smbolo variablei d di t


267/382

versus el smbolo variableindependiente:

d vs t

t (s)

d(m)

3- Coloca el smbolo de la variabledependiente en el eje vertical y el smbolode la variable independiente en el ejehorizontal; con sus respectivas unidadesent e pa ntesis


268/382

entre parntesis.

4- Selecciona una escala apropiada paracada uno de los ejes, procurando que el

grfico abarque por lo menos el 75% delrea de la hoja.

5- Escribe debajo del ttulo del grfico la

escala utilizada en cada eje.

6- Marca los valores en los ejes, considerandoque deben estar equidistantes y llevar unorden secuencial.

7 Localiza de acuerdo a las escalas lasd d d d d


269/382

7- Localiza, de acuerdo a las escalas, lascoordenadas para cada par de datos.

8- Une los puntos localizados en formacontinua. Si los puntos experimentalesparecen comportarse segn una recta pero noestn alineados perfectamente, debes trazaruna recta que sea equidistante a todos los

puntos, o sea una recta promedio.


270/382

Proceso que nos permite encontrar un valor

que no est en la tabla de datos, pero que cae

dentro del rango de valores que hemos

medido.


271/382

Proceso que nos permite encontrar un valor

que est fuera del rango de valores que

hemos medido. Se prolonga la grfica ms

all de los puntos experimentales.

d vs t

13

14

15

16


272/382

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 1 2 3 4 5 6

t(s)

d

(m)

Ser i

Las grficas que dan como resultado unal i l d


273/382

Las grficas que dan como resultado unalnea recta, por convencin, se les dadenominaciones especiales:

1- Relacin Directamente Proporcional.

2- Relacin Lineal General o Funcin Lineal.

Representa una recta que pasa por el origen


274/382

Representa una recta que pasa por el origen.

Su ecuacin es: y = mx

Donde y = ordenada

x = abscisa

m = pendiente de la recta.

Representa una recta que no pasa por el

origen


275/382

origen.

Recta que corta al eje vertical en el punto b.

Su ecuacin es: y = mx+b

Donde y = ordenadax = abscisam = pendiente de la recta.b = intercepto con el eje vertical

XvsF

10


276/382

02

468

10

0 2 4 6

F(N)

X

(cm)

Funcin

Lineal

Si b es positivo, la recta corta al eje verticalpor encima de cero.

b

y


277/382

0

0

b

b

x

x

y

Si b es negativo, la recta corta al eje verticalpor debajo de cero.

y y


278/382

x x

-b -b

0 0

Tanto en la ecuacin y=mx como en laecuacin y=mx+b la m representa la

pendiente


279/382

pendiente.Si m es +

Si m es

Si m=0

Ejemplo:Determine la pendiente y el intercepto enlas siguientes ecuaciones:


280/382

y=5x m=5 b=0

y=-4x m=-4 b=0

y=6x+4 m=6 b=4

y=-8x-1 m=-8 b=-1

y=(1/2)x-6 m=1/2 b=-6

Se eligen dos puntos cualesquiera de la recta


281/382

Se eligen dos puntos cualesquiera de la recta. Dibujar el tringulo rectngulo que se formacon los dos puntos seleccionados.

Determinar el incremento o variacin en el ejevertical:

if yyy

Determinar el incremento o variacin en el ejehorizontal:

if


282/382

if xxx Calcular el cociente entre la variacin vertical y

la variacin horizontal.

if

if

xx

yy

x

y

m

Veamos el EJEMPLO anterior

d vs t


283/382

036

91215

0 1 2 3 4 5

t(s)

d(cm)

P1

P2

md

mmd

9

312

st

sst

3

14

Al calcular la pendiente del grfico obtenemos:

ss

mm

tt

dd

t

d

m 14

31212


284/382

smm

smm

sstttm

3

39

1412

Luego la ecuacin que define a lagrfica es:

dvst


285/382

td

mtd

tddvst

3

Ecuacin de proporcionalidad

Ecuacin algebraica

Ecuacin matemtica

S imxyy


286/382

Su ecuacin es

Donde es la constante de proporcionalidad

(intercepto)

m = es la potencia de la funcin

(pendiente). Puede ser positiva,

negativa, entera o fraccionaria.

xyy 0

0y

GRFICA POTENCIALDependiendo del valor de la potencia m

tenemos 5 casos:


287/382

m Ecuacin Grfica

m=0 Y = KRecta paralela al eje x.

m=1 Y = kx Recta que parte del origen.

m>1 Y = kx2 Parbola que abre hacia arriba si k es+.

0


288/382

En la siguiente tabla de datos aparece lavelocidad de un cuerpo de masa 1 kg y laenerga debida al movimiento que adquieredicho cuerpo.

V(m/s) 2 4 6 8 10 12

E(J) 2 8 18 32 50 72

1- Grafica E vs V (en hoja milimetrada)

2- Eleva al cuadrado los valores correspondientes

al eje horizontal (en este caso la velocidad).

3 Grafica (en hoja milimetrada)2

EvsV


289/382

3- Grafica (en hoja milimetrada)

4- Calcula la pendiente de este grfico.

5- Escribe las ecuaciones:

a- De proporcionalidad.

b- Algebraica.

c- Matemtica.

EvsV

Grfico Potencial1

60

EvsV


290/382

0

15

30

45

0 2 4 6 8 10 12

V(m/s)

E(J)

2- Elevar al cuadrado losvalores de la velocidad

4 16 36 64 100 1442

2 mV


291/382

4 16 36 64 100 144

E(J) 2 8 18 32 50 72

2

2

s

mV

3- Graficar 2EvsV

70

802

EvsV


292/382

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120 140

E

(J)

2

2

2

s

mV

4- Clculo de la Pendiente

2

2

EEm

V

Em

if


293/382

2

2

2

2

2

2

22

2

1

44

22

100144

5072

sm

Jm

sm

Jm

sm

Jm

VVm

if

5- Ecuaciones

EvsV2


294/382

matemticaecuacinVE

ebraicaaecuacinmVE

alidadproporciondeecuacinVE

2

2

2

2

1

lg

FUNCIN POTENCIAL

La funcin potencial involucra dos constantes:el exponente y el factor de proporcionalidad


295/382

La funcin potencial involucra dos constantes:el exponente y el factor de proporcionalidad.

Para poder escribir la expresin matemticaque relaciona a las variables, se hace necesarioencontrar el valor de estas constantes.

mxyy0

Se le aplica logaritmo a ambos miembrosde la ecuacin:

0

0

)log()log()log(

)log()log(

xyy

xyy

xyy

m

m

m


296/382

0

0

0

loglog)log(

)log()log()log(

)log()log()log(

yxmy

yxy

xyy

m

Como se observa en la ltima ecuacin lam representa la pendiente del grfico hechoen hoja doblemente logartmica yrepresenta el intercepto con el eje vertical.

0y


297/382

ll

Tambin m puede ser calculada si setoman dos puntos de la tabla devalores y se determina:


298/382

if

if

xx

yym

loglog

loglog

La constante de proporcionalidades el valor de y que correspondecuando x = 1. Es decir, es el

intercepto de la recta con el ejel

0y


299/382

intercepto de la recta con el ejevertical.

Si este valor no es posiblelocalizarlo a travs del grfico,entonces lo buscamos por clculonumrico, de la siguiente forma:

mx

yy 0

Hoja doblementelogartmica Para confeccionar un grfico en unahoja doblemente logartmica se debe


300/382

Para confeccionar un grfico en unahoja doblemente logartmica, se debeescoger una escala apropiada en

ambos ejes. Los ejes estn calibrados en ciclos

logartmicos de base 10.

Pasos para escoger la escalaen hoja log-log:

1. Identificar los valores mnimos y mximos delas variables.


301/382

1. Identificar los valores mnimos y mximos delas variables.

2. Determina entre qu nmeros de base 10estn comprendidos los valores mnimos ymximos de las variables.

Pasos para escoger laescala en hoja log-log:

3 Divide el nmero mayor de base


302/382

3. Divide el nmero mayor de basediez entre el nmero menor de basediez y expresa el resultado en

notacin cientfica. La potencia deeste cociente es el nmero de cicloslogartmicos que son necesarios para

confeccionar el grfico.

Su ecuacin esmx

eyy 0


303/382

Su ecuac n es

Donde es la constante de proporcionalidad

(intercepto). m = Es la potencia de la funcin (pendiente). Puede ser positiva, negativa, entera o fraccionaria.

yy

0y

FUNCIN EXPONENCIAL Se utiliza para representar fenmenos

que en la naturaleza tienen un rpidocrecimiento o decrecimiento


304/382

que en la naturaleza tienen un rpidocrecimiento o decrecimiento.

Para determinar la ecuacinmatemtica de una funcin exponencialse debe graficar en papelsemilogartmico.

PAPEL SEMILOGARTMICO Este papel tiene escala logartmica

slo en el eje vertical El eje horizontal empieza en cero


305/382

slo en el eje vertical.El eje horizontal empieza en cero. El eje vertical empieza en una

potencia de 10. La pendiente no se puede calculargeomtricamente midiendo. Se debe

utilizar la siguiente ecuacin:

PENDIENTE DE FUNCINEXPONENCIAL


306/382

if

if

xx

yy

m

lnln

EJEMPLO La carga elctrica de un capacitor vara conel tiempo de acuerdo a los siguientes datos.

Determine la ecuacin matemtica.t( ) 10 40 60 90 100 150


307/382

t(s) 10 40 60 90 100 150

Q(mC) 74 30 16 7 5 1

SOLUCIN

t030


308/382

teQ

03,0100


309/382

TRIGONOMETRA

Ciencia que estudia las relacionesmtricas entre los lados y los ngulos


310/382

Ciencia que estudia las relacionesmtricas entre los lados y los ngulosde un tringulo a travs de las

proporciones de sus lados.

FUNCIONESTRIGONOMTRICAS

hi topuestoladoSen


311/382

adyacentelado

opuestoladoTan

hipotenusa

adyacentelado

Cos

hipotenusa



312/382


adyacenteladoCot


313/382

opuestoladohipotenusaCsc

adyacenteladohipotenusaSec

opuestolado

yCot

NGULOS Los ngulos se pueden medir en grados o en

radianes.


314/382

Para transformar de grados a radianesmultiplicamos por:

Para transformar de radianes a grados

multiplicamos por:

180

180

EQUIVALENCIAS

revrad

3601180


315/382

radrad

rad

rev

rad

rev

017,0180

1

3,57180

1

21

3602

3601

FUNCIONES DE 30

2

130 Sen

30


316/382

3

3

3

3

3

130

2

330

Tan

Cos

30

60

1

23

FUNCIONES DE 60

2360 Sen

30


317/382

3

1

360

2

1

60

2

Tan

Cos

30

60

1

2

3

FUNCIONES DE 45

2

2

2

2

2

1

45 Sen45


318/382

11

145

2

2

2

2

2

145

Tan

Cos

45

45

1

1

2

CUADRANTESY

I QII Q


319/382

III Q IV Q

RADIO VECTORy


320/382

Radio vector: r

y

x

x

SIGNOS DE LAS FUNCIONESTRIGONOMTRICAS

1. El radio vector es siempre positivo.2 La abscisa es positiva en el I y IV


321/382

p p2. La abscisa es positiva en el I y IVcuadrante.

3. La ordenada es positiva en el I y IIcuadrante.

SIGNOS DE LAS FUNCIONESTRIGONOMTRICAS

Sen Cos Tan Cot Sec CscI + + + + + +


322/382

I + + + + + +

II + - - - - +

III - - + + - -

IV - + - - + -

FUNCIONES DE 0 Y 360y

0

0

0 rr

y

Sen


323/382

(r,0)

x

00

0

10

rx

yTan

r

r

r

xCos

FUNCIONES DE 90

(0,r)

y

190 r

r

r

ySen


324/382

x

090

00

90

r

x

yTan

rr

xCos

FUNCIONES DE 180y

00

180 rr

ySen


325/382

(-r,0)

x

00

180

1180

rx

yTan

r

r

r

xCos

FUNCIONES DE 270y

1270 r

r

r

ySen


326/382

(0,-r)

x

0270

00

270

r

x

yTan

rr

xCos

EL TEOREMA DE PITGORAS Se utiliza para resolver tringulos rectngulos.

222 cba


327/382

cba

a

b

c

1. DEMOSTRACIN DE PITGORAS (S. VI a.C.)Pitgoras haba viajado a la

antigua Babilonia y aEgipto donde posiblementeconoci la propiedad que


328/382

conoci la propiedad queverifican los lados de un

tringulo rectngulo.

En una tablilla de arcillaprocedente de Babiloniaconocida por PLIMPTON 322y fechada en el 1900 a.C.aparecen, colocadas en

columnas, ternas de

nmeros que verifican elteorema de Pitgoras son

las llamadas "TERNASPITAGRICAS".

Un cuadrado de lado b+c se divide en dos cuadrados de ladosb y c y en cuatro tringulos rectngulos de catetos b y c ehipotenusa a.

Por tanto igualando las


329/382

Por tanto igualando lasdos reas obtenemos:

LEY DEL SENO Se utiliza con los tringulos obtusngulos

SenCc

SenBb

SenAa


330/382

SenCSenBSenA

Ab

c

C

aB

LEY DEL COSENO

acCosBcab

bcCosAcba

2

2

222

222


331/382

abCosCbac 2222

Ab

c

C

aB

IDENTIDADESTRIGONOMTRICAS

22

1CosSen


332/382

22

22

11

CscCotSecTan

RELACIONES IMPORTANTES

SecCos

CscSen

1

1


333/382

Sen

CosCot

Cos

SenTan

Cot

Tan

Sec

1

FUNCIN PAR


334/382

CosCos

FUNCIN IMPAR


335/382

SenSen

SUMA DE NGULOS

ysenxyxsenyxsen

coscoscos

coscos


336/382

yx

yxyx

ysenxsenyxyx

tantan1

tantantan

coscoscos

NGULO DOBLE

cos2cos

cos22

22xsenxx

xsenxxsen


337/382

2

2cos1

22cos1cos

2

2

xxsen

xx


338/382

MAGNITUDES ESCALARES Son aquellas que quedan determinadas

por su mdulo y su unidad.


339/382

Ejemplos: distancia, tiempo, masa,densidad, rapidez, temperatura, energa,superficie, volumen, potencial elctrico,etc.

MAGNITUDES VECTORIALES

Son aquellas que quedan determinadaspor su mdulo (con su unidad), direcciny sentido


340/382

y sentido.

Ejemplos: desplazamiento, velocidad,aceleracin, fuerza, peso, momento,campo elctrico, etc.

NOTACIN VECTORIAL Son representadas por una flecha. La longitud de la flecha es proporcional

a la magnitud del vector. La cabeza de la flecha representa la


341/382

direccin. Se usa una flecha en la parte superior: Se usa la letra en negrita: A A

SENTIDO

NE

NO

N


342/382

SESO

Al norte del este

Al sur del esteAl sur del oeste

Al norte del oeste

S

O E

PROPIEDAD DE LOS VECTORES Igualdad de dos vectores:

Dos vectores son iguales si ellos tienen la

misma magnitud y la misma direccin. Vectores Opuestos


343/382

Vectores Opuestos Dos vectores son opuestos si ellos tienen la

misma magnitud pero direccin opuesta.A = -B Vector Resultante:

El vector resultante es la suma de los

vectores dados.

ADICIN DE VECTORES Cuando sumamos vectores, sus direcciones

deben ser tomadas en cuenta.

Las unidades deben ser las mismas.


344/382

Mtodos Grficos:

Polgono y Paralelogramo. Mtodos Analticos: Mtodo de las componentes rectangulares. Ley del Seno y Ley del Coseno.

MTODO DEL POLGONO Escoja una escala. Dibuje el primer vector con la apropiada

longitud y en la direccin especificada, conrespecto al sistema de coordenadas.


345/382

Dibuja el prximo vector con la apropiadalongitud y en la direccin especificada, conrespecto al sistema de coordenadas cuyoorigen es el final del vector A y paralelo al

sistema de coordenadas usado para A.

MTODO DEL TRINGULO Continuamos dibujando losvectores cabeza-cola

La resultante es dibujadadesde el origen de A hasta elfi l d l l i


346/382

final del ltimo vector. Medimos la longitud de R y

su ngulo. Use el factor escala para

convertir la longitud a la actualmagnitud.

MTODO DEL POLGONO Cuando tienes

muchos vectores, se

repite el procesohasta incluirlos atodos


347/382

todos. La resultante es

dibujada desde elorigen del primervector hasta el finaldel ltimo vector.

MTODO DEL PARALELOGRAMO Cuando tienes slo

dos vectores, puedes

usar Mtodo delParalelogramo.


348/382

Todos los vectores,incluyendo laresultante, se dibujandesde el origencomn.

OBSERVACIONES Los Vectores

obedecen a la LeyConmutativa de laAdicin.


349/382

El orden en que sesumen los vectoresno afectan losresultados.

RESTA DE VECTORES Es un caso especial de

la suma de vectores

Si A B, entoncesusamos A+(-B)


350/382

Continuamos con elprocedimiento deadicin de vectores.

Multiplicacin o Divisin de un Vectorpor un escalar

El resultado de la multiplicacin o divisin es unvector.

Cuando la magnitud del vector es multiplicada odividida por el escalar:


351/382

dividida por el escalar:

Si el escalar es positivo, el sentido delresultado es el mismo que el del vector original. Si el escalar es negativo, el sentido del

resultado es opuesto al del vector original.

Trigonometra y vectores

F

Componentes de un vector Fuerza resultante

R

F

F

Adems:


352/382

Fx = Fcos Fy = Fsen

Fy

Fx

Fy

Fx

Por el teorema de Pitgoras:

R F Fx y 2 2

x

y

F

F1

tan

COMPONENTES DE UN VECTOR Una componente es

una parte. Se usan

componentes


353/382

prectangulares Estas son las

proyecciones delvector a lo largo delos ejes x, y.

COMPONENTES DE UN VECTOR La componente x de un vector es la proyeccin

a lo largo del eje x:

cosAxA


354/382

La componente y de un vector es la proyeccin

a lo largo del eje y:

Entonces,

AsenAy

x

y

yxAAyAAA 122 tan

Las ecuaciones anteriores son vlidas slosi es medido con respecto al eje x.

COMPONENTES DE UN VECTOR


355/382

Si es medido con respecto al eje ylas

ecuaciones sern las siguientes:

AsenAx cosAAy

SUMA ANALTICA DE VECTORES Dibuja un sistema de coordenadas y

determina los vectores. Encuentra las componentes x-y det d l t


356/382

todos los vectores.

Sume todas las componentes x As, xx vR

SUMA ANALTICA DE VECTORES Suma todas las componentes y

As Use el Teorema de Pitgoras para encontrar

la magnitud de la Resultante:

yy

vR


357/382

la magnitud de la Resultante:

Use la funcin tangente inversa paraencontrar la direccin de R:

2

y

2

x RRR

x

y1

R

Rtan

REPRESENTACIN DE UN VECTOR

yVxVV

sentidoVV

yx

,,


358/382

kVjViVV

zVyVxVV

y

zyx

zyx

yx

MDULO DE UN VECTOR

22

yx AAV


359/382

222

zyxAAAV

PRODUCTO ESCALAR DE DOSVECTORES

2121 cosVVVV


360/382

21

211

21

cosVVVV

VyVentrenguloeles

PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar tambin es llamadoproducto punto.


361/382

El producto escalar de dos vectores esun escalar.

PRODUCTO ESCALAR DE DOS

VECTORES

zyxzyx

zyx

zyx

zByBxBzAyAxABA

zByBxBB

zAyAxAA


362/382

222222

1cos

zyxzyx

zzyyxx

zzyyxx

BBBAAA

BABABA

BABABABA

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

2121 senVVVV


363/382

21

211

21

VV

VVsen

VyVentrenguloeles

PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial tambin esllamado producto cruz.


364/382

p

El producto vectorial de dos vectoreses un vector.

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS

VECTORES

zByBxBB

zAyAxAA

zyx

zyx


365/382

zBABAyBABAxBABABA

BBB

AAA

zyx

BA

xyyxxzzxyzzy

zyx

zyx


366/382

SISTEMA DE COORDENADASCARTESIANAS

Tambin llamado

sistema decoordenadasrectangulares


367/382

rectangulares Ejes x - y Los puntos se

denominan (x,y)

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 212

2

12, yyxxBAd

y


368/382

2

x1

xx

dA

B2y

1y

PENDIENTE DE UNA RECTA

12

12

xx

yym

y


369/382

2

x1

xx

dA

B2y

1y

12 yy

CURSO PROPEDÉUTICO 2013

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