Curso de nivelación Matemática
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UNIDAD I CONJUNTO DE NÚMEROS REALES ¡HOLA!!! Bienvenidos a este curso de revisión de las matemáticas. Para poder comenzar este recorrido del área se hace imprescindible conocer aquellos elementos con los que se trabajaran a lo largo de este curso de nivelación. Uno de esos elementos es el número. Al recorrer la matemática, usted se ha encontrado con varios conjuntos numéricos, cuya organización y formación es muy sencilla, y la repasaremos a continuación. El conjunto más fundamental con el que comenzamos es el Conjunto de Números Naturales (N), también llamados números para contar. = , , , , , … A veces se utiliza la expresión N 0 para referirse al conjunto de los naturales comenzando desde el cero. = , , , , , … Este conjunto es infinito, ya que no posee último elemento, por eso se utilizan los tres puntos a la derecha de los elementos mencionados. Otro conjunto numérico al que se hace referencia con mucha frecuencia, es el Conjunto de Números Enteros (Z). = … , −, −, −, , , , , … Estos números, que incluyen a los naturales, pueden ser representados en una recta numérica, localizando a los naturales y a sus opuestos. Por ejemplo: el opuesto del 2 está ubicado a dos unidades a la izquierda del cero, en la recta numérica y se lo llama -2 (menos dos). Así, 2 y -2 son simétricos con respecto al cero, es decir, ambos se encuentran a una misma distancia de este. Como este también es un conjunto infinito, ubicamos los símbolos −∞ y ∞ para indicarlo.
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UNIDAD I
CONJUNTO DE NÚMEROS REALES
¡HOLA!!! Bienvenidos a este curso de revisión de las matemáticas.
Para poder comenzar este recorrido del área se hace imprescindible conocer
aquellos elementos con los que se trabajaran a lo largo de este curso de nivelación.
Uno de esos elementos es el número.
Al recorrer la matemática, usted se ha encontrado con varios conjuntos
numéricos, cuya organización y formación es muy sencilla, y la repasaremos a
continuación.
El conjunto más fundamental con el que comenzamos es el Conjunto de
Números Naturales (N), también llamados números para contar.
𝑵 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, …
A veces se utiliza la expresión N0 para referirse al conjunto de los naturales
comenzando desde el cero.
𝑵𝟎 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, …
Este conjunto es infinito, ya que no posee último elemento, por eso se utilizan
los tres puntos a la derecha de los elementos mencionados.
Otro conjunto numérico al que se hace referencia con mucha frecuencia, es el
Conjunto de Números Enteros (Z).
𝒁 = … , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, …
Estos números, que incluyen a los naturales, pueden ser representados en una
recta numérica, localizando a los naturales y a sus opuestos. Por ejemplo: el opuesto
del 2 está ubicado a dos unidades a la izquierda del cero, en la recta numérica y se lo
llama -2 (menos dos). Así, 2 y -2 son simétricos con respecto al cero, es decir, ambos se
encuentran a una misma distancia de este. Como este también es un conjunto infinito,
ubicamos los símbolos −∞ y ∞ para indicarlo.
Obsérvese, así mismo, que los enteros positivos se localizan a la derecha del 0,
en tanto que los enteros negativos están ubicados a la izquierda del 0. Si bien el
número 0 es entero, no se lo considera ni positivo ni negativo. Se puede ver que cada
número entero es la coordenada de un punto sobre la recta numérica.
Cabe aclarar que, si bien cada entero corresponde a un punto en la recta
numérica, no todo punto de la recta numérica se corresponde con un entero.
Una segunda extensión consiste en agregar los números racionales, ya que,
obviamente, aunque no hay ningún número natural ni entero entre, por ejemplo, el 5 y
el 6, existen muchos otros números en medio de ellos, como ser 5,2 y 𝟒𝟑
𝟖. Es posible
identificar algunos de estos números considerando que todos se pueden escribir de la
forma 𝒂
𝒃, donde a y b son enteros, con b ≠ 0. El conjunto de los números que se
pueden representar de este modo recibe el nombre de Conjunto de Números
Racionales (Q).
𝑸 = 𝒂
𝒃=
𝟒𝟑
𝟖, 𝒂 ∈ 𝒁, 𝒃 ∈ 𝒁 𝒚 𝒃 ≠ 𝟎
Así, cada entero es un número racional porque se lo puede escribir como el
cociente de dos enteros. Por ejemplo: 4 =4
1.
Sin embargo, no todos los racionales son enteros, 2
3 𝑦 −
3
8 son ejemplos de
números racionales (fraccionas) que no son enteros.
Todo racional se puede escribir de forma decimal. A veces tenemos decimales
exactos, como ser: 3
4= 0,75
7
8= 0,875
2
10= 0,2
Otros producen decimales periódicos (puros o mixtos):
−∞ ∞
−5 − 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 5
2
3= 0,66666 … = 0, 6
19
22= 0,86363 … = 0,863
3
7= 0,428571428571… = 0, 428571
Un número decimal periódico puede ser expresado como fracción de acuerdo a lo
siguiente:
a) Sea 0,252525 …, es periódica pura y el periodo tiene dos cifras.
𝑥 = 0,252525 … … Multiplicamos por la unidad seguida de tantos
ceros como cifras tiene el período.
100 𝑥 = 25,2525 … .. Restamos miembro a miembro ambas
expresiones.
100 𝑥 = 25,2525 … ..
𝑥 = 0,252525 … …
99 𝑥 = 25
𝒙 =𝟐𝟓
𝟗𝟗
b) Sea 𝑥 = 0,2212121 …. Es periódica mixta. En este caso, la parte no periódica tiene
una cifra y la periódica dos cifras. Como hay tres cifras decimales, multiplicamos por
1000 ambos miembros y también por 10, ya que hay una cifra no periódica y luego
procedemos como en el caso anterior.
1000 𝑥 = 221,2121 ….
10 𝑥 = 2,212121 ….
990 𝑥 = 219
𝒙 =𝟐𝟏𝟗
𝟗𝟗𝟎=
𝟕𝟑
𝟑𝟑𝟎
Resumiendo: el pasaje de una expresión decimal periódica a fracción, puede
hacerse de acuerdo a las siguientes reglas:
Una expresión decimal periódica pura es igual a una fracción cuyo
numerador es igual al período menos lo que no es periódico, y el
denominador, un numero formado por tantos 9 como cifras contiene
el período.
Una expresión decimal periódica mixta es igual a la fracción cuyo
numerados se obtiene como en el caso anterior, y el denominador
está formado por tantos 9 como cifras tenga el período, seguidos de
tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.
Ejemplos:
o 𝟏, 𝟐𝟑𝟐𝟑 … =𝟏𝟐𝟑−𝟏
𝟗𝟗=
𝟏𝟐𝟐
𝟗𝟗
o 𝟏, 𝟒𝟐𝟑𝟐𝟑 … =𝟏𝟒𝟐𝟑−𝟏𝟒
𝟗𝟗𝟎=
𝟏𝟒𝟎𝟗
𝟗𝟗𝟎
Ahora bien, existen algunos decimales que no son exactos ni periódicos.
Probablemente, ya ha utilizado algunas veces, o escuchó mencionarlo, al número
(pi). Este no es un número racional; no se puede obtener como cociente entre dos
enteros. La representación decimal de pi continúa indefinidamente sin repeticiones:
𝜋 = 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209 …
Lo mismo ocurre con las raíces: 2, 5, 12, 43
, por mencionar algunos
ejemplos. Estos números decimales no se pueden expresar como el cociente de dos
enteros, por lo tanto, no son racionales. A este tipo de números se les da el nombre de
números Irracionales.
Cuando se combina el conjunto de los racionales (naturales, enteros y
fracciones) con el de los irracionales, se obtiene el Conjunto de los Números Reales,
denotado por la letra R.
Cada número real se puede representar por medio de un decimal. Si resulta
exacto o periódico, entonces es racional; caso contrario, se trata de un número
irracional.
Todo número real es la coordenada de algún punto en la recta numérica, y todo
punto de la recta numérica recibe su nombre por medio de algún número real. Por
ello, la recta numérica se llama Recta Real.
Este último conjunto numérico es muy estudiado debido a su gran a aplicación a
distintos campos del saber. Pero existen situaciones analizadas por medio de
ecuaciones de la forma 𝑥𝑛 − 𝑎 = 0, con n par y a < 0, que no tienen solución en R; por
ejemplo, no existe ningún número real que verifique:
𝑥2 + 4 = 0
La imposibilidad de resolver situaciones como estas, creó la necesidad de
extender el concepto de número, dando origen a la ampliación del conjunto de
números reales, mediante la introducción de los números imaginarios. Mediante esta
ampliación del conjunto de los reales con los imaginarios, se forma finalmente el
Conjunto de Números Complejos (C).
A continuación se sugieren algunas actividades a fin de fijar los conocimientos
aprendidos hasta el momento.
ACTIVIDADES
1. Realice la lista de los elementos de cada conjunto.
a) El conjunto de los números naturales menores que 5.
b) El conjunto de los números enteros entre 2 y 7.
c) El conjunto de los enteros negativos mayores que -3.
d) El conjunto de los números naturales menores que 1.
e) El conjunto de los números naturales entre -1 y -5.
f) El conjunto de los números naturales que no son enteros.
g) El conjunto de los enteros que también son racionales.
h) El conjunto de enteros negativos entre -7 y -8.
i) El conjunto de los enteros entre -3 y 4.
j) El conjunto de los racionales entre -7 y -8.
k) El conjunto de los enteros que no son racionales.
2. Responda cada aseveración como verdadera o falsa. Si responde falso, explique
por qué.
a) Todo número natural es entero.
b) Todo entero es un número racional.
c) Todo número real es un número racional.
d) Todo punto de la recta numérica se puede asociar con un número racional.
e) Todo número racional es la coordenada de un punto en la recta numérica.
f) Todo entero es un número natural.
g) Todo número racional es un entero.
h) Todo número irracional es un número real.
i) Todo punto de la recta numérica se puede asociar con un número real.
j) Todo número real es un número racional o irracional.
3. Responda cada afirmación con verdadero o falso. Si responde falso, justifique.
a) Todo número real es un número complejo.
b) Todo número complejo es un número real.
c) Todo número irracional es un número complejo.
d) Todo entero se puede escribir de la forma a + bi.
e) Todo número complejo se puede expresar como un número irracional.
f) Todo número entero negativo se puede escribir como numero imaginario puro.
4. Complete el siguiente esquema, de manera que represente las relaciones entre
los conjuntos numéricos.
Enteros negativos
Irracionales
Reales
5. Clasifique cada número como parte de uno o más de estos conjuntos numéricos:
números naturales (N), números naturales incluido el cero (N0), números enteros
(Z), números racionales (Q), números irracionales (I), números reales (R).
a. 0
b. 5
c.
d. 0,66666…
e.
f. -3
g.
h.
i.
j.
k.
l. -1
m. -2,54
n.
o. 10
UNIDAD II
OPERACIONES
El campo de las Matemáticas está regido por una serie de propiedades y reglas,
cuyo conocimiento es indispensable para desenvolvernos en esta área del saber y en
otras ciencias, que hacen de las Matemáticas su herramienta básica.
Al igual que se aprende a nadar luego de mucha práctica y algunos fracasos, se
aprende las Matemáticas, con sus reglas, al trabajar con ellas; su aprendizaje no solo
estriba en llegar al resultado correcto, sino, fundamentalmente, en la búsqueda de los
caminos alternativos, en el ensayo y en el error, en el planteo de los problemas y en la
transferencia de los conocimientos matemáticos a hechos concretos de la vida diaria.
Indudablemente, usted está familiarizado con muchas de las propiedades básicas
de las operaciones numéricas, aunque es posible que algunas se le hayan olvidado por
falta de práctica. Entonces, para salvar posibles baches, les proponemos la lectura de
estas reglas y las apliquen a las actividades dadas, de ser posible sin ayuda, o
consultando con el docente a cargo del curso.
Recuerde:
La suma de dos números de igual signo es otro número del mismo signo
que los sumandos y su valor absoluto es la suma de los valores
absolutos de estos.
La suma de dos números de distinto signo es otro número del mismo
signo que el sumando de mayor valor absoluto y su valor absoluto es la
diferencia entre los valores absolutos de los sumandos.
Por ejemplo:
5 + 4 = 9 -10 + 4 = -6
-3 – 5 = - 8 8 + (-3) = 8 – 3 = 5
Otras reglas que son de gran utilidad a la hora de llegar a una solución correcta,
son:
Todo paréntesis, corchete o llave, precedido por un signo +, puede
suprimirse conservando los signos de los términos que encierra.
Todo paréntesis, corchete o llave, precedido por un signo , puede
suprimirse cambiando los signos de los términos que encierra.
Por convención, suprimimos primero los paréntesis, luego los corchetes y
por último las llaves.
Por ejemplo:
Además se sabe que:
El producto (o cociente) de dos o más números es:
o Positivo si la cantidad de factores negativos es par.
o Negativo si la cantidad de factores negativos es impar.
En el caso de potencias an:
o Si a 0 entonces an 0
o Si a 0 y n es par entonces an 0.
o Si a 0 y n es impar entonces an 0.
o Si a =0 y n = 0 no existe resultado, es decir, o0 es una
indeterminación matemática.
El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma
base, cuyo exponente es la suma de los exponentes dados. an . am = an+m
El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma
base cuyo exponente es la diferencia de los exponentes dados. an: am =
an – m
Una potencia elevada a otra potencia es una nueva potencia de igual
base que la anterior, cuyo exponente será igual al producto de los
exponentes anteriores. (an)m = an.m
En el caso de raíces :
o Si b 0 y n es par, entonces admite dos resultados de igual
valor absoluto y de distinto signo.
o Si b 0 y n es par, entonces no admites raíces dentro del
conjunto de números Reales. Las raíces son imaginarias.
o Si n es impar, entonces admite una única raíz dentro del
conjunto de los números Reales, de igual signo que el radicando
b.
La raíz de otra raíz es una nueva raíz cuyo índice resulta de multiplicar
los índices dados.
Ahora que ya se ha efectuado un repaso de las reglas generales de la operatoria,
le proponemos una serie de ejercicios para poder ponerlas en práctica.
ACTIVIDADES
1. Calcule:
a) −5 + 2 − 4 3 − 5 + 3(4 − 7) =
b) 1
2 −2 +
2
3 + 5
3
25− 1 =
c) −2 + 3 −6 + 5 − 2 7 − 4 =
2. Plantee la operación correspondiente y luego halle el resultado:
a) A la suma de -4 más 10, réstele la diferencia entre 9 y -2.
b) A la suma entre -13 y -4, reste la diferencia entre -8 y el opuesto de 10.
3. Efectúe las siguientes operaciones, aplicando la propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la adición.
a) −2 . 4 − 2𝑎 + 3𝑥 — 5 −9 + 5𝑎 − 𝑥 =
b) 10 −4𝑥 + 3𝑦 + −6 −𝑥 − 𝑦 + 2 =
4. Señale la respuesta correcta: 1 + 3𝑎 − 2 2 =
a) −3 + 9𝑎2
b) 5 − 3𝑎
c) 5 − 12𝑎 + 9𝑎2
5. Plantee y efectúe las siguientes operaciones:
a) El cuadrado de la suma entre a y b.
b) El cubo de la suma entre a y b.
c) El cuadrado de la suma entre a y el cuadrado de b.
d) El cuadrado de la diferencia entre 2 y el cubo de x.
e) El cubo de la diferencia entre el doble de x y el triple del cuadrado de y.
6. Calcule:
a) 2 −1
2 +
1
2−
1
3 +
1
3−
1
4 +
1
4−
1
5 =
b) 42:7+2 −6
4+ −3 6−10=
c) 2 1
2
2
232−5 =
d) 2𝑥2𝑦3 −3𝑥𝑦4 =
e) 21 2 2−3 2 20 =
f) 36𝑥4𝑦2: 12𝑥3𝑦3 =
g) 1,29 + 0,73 − 2, 5 =
7. Exprese como potencia de exponente fraccionario, o como raíz, según
corresponda:
a) 𝑏4
b) 𝑎2 − 𝑏2 3
c) −3
4
35
d) (1 + 𝑎3)2 3
2
8. Racionalice los denominadores
Recordemos que para racionalizar denominadores, multiplicamos el numerador
y el denominador por el conjugado del denominador. Luego aplicamos la
propiedad distributiva del producto y simplificamos.
o 𝟑
𝟐=
𝟑 𝟐
𝟐 𝟐=
𝟑 𝟐
𝟐𝟐 =
𝟑 𝟐
𝟐
o 𝟕
𝟑+ 𝟐=
𝟕( 𝟑− 𝟐)
𝟑+ 𝟐 .( 𝟑− 𝟐)=
𝟕( 𝟑− 𝟐)
𝟑𝟐− 𝟐
𝟐 =𝟕( 𝟑− 𝟐)
𝟏= 𝟕( 𝟑 − 𝟐)
a) 2−𝑎
𝑎=
b) 2𝑥
4𝑥=
c) 10
𝑎+𝑏=
d) 𝑎−𝑏
𝑎− 𝑏=
e) 4−𝑥2
4+ 𝑥=
9. Señale la expresión correcta
𝒙 − 𝒚 𝑖) 𝑥 + 𝑦
𝑥 + 𝑦
𝑖𝑖)𝑥 − 𝑦
𝑥 − 𝑦
𝑖𝑖𝑖)𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
UNIDAD III
NOTACIÓN CIENTÍFICA
En matemáticas no siempre es necesario buscar casos extraordinarios para
encontrarse con cifras gigantes o con cantidades extremadamente pequeñas. Se las
pueden encontrar en nuestro entorno cotidiano e incluso dentro de nuestro propio
cuerpo; únicamente hay que saber descubrirlos. Por ejemplo, si observamos al
microscopio una gota de sangre, veríamos que en ella nada una multitud enorme de
corpúsculos pequeñísimos de color rojo, que son los que dan el color rojo a la sangre,
se los llama glóbulos rojos. Su número es realmente fantástico. Cada persona tiene
aproximadamente 15 billones de glóbulos rojos, y sus dimensiones son del orden de
los 0,007 milímetros de diámetro y de 0,002milimetros de grueso. ¿Sorprendente, no?
Es por eso que cuando se hace necesario representar y utilizar números
excesivamente grandes o pequeños, se recurre a la notación científica. Consiste en
escribir al número dado como una multiplicación de un número cuyo valor absoluto es
mayor o igual a 1 y menor que 10, por una potencia de 10. Por ejemplo, si se quiere
escribir 390.000.000 en notación científica, se tendría 3,9. 108 o, si tuviéramos
0,0000027, lo expresaríamos como 2,7.10-6.
Ahora le proponemos practicar con esta notación:
1. La superficie que ocupan todos los continentes e islas de nuestro
planeta tiene un área de 135.000.000.000.000 m2. Exprese esta
cantidad en notación científica.
2. El periodo de revolución de la Tierra, tiempo que tarda en dar una
vuelta completa alrededor del sol, es de 365 días. Calcule este tiempo
en segundos y luego expréselo como notación científica.
3. La luz viaja a una velocidad aproximada de 300.000 km/seg (186.000
millas/seg). La distancia desde el sol a la Tierra es de 150.000.000 de km
(93.000.000 de millas). Use la notación científica para averiguar cuánto
tarda la luz del sol en llegar a la Tierra.
4. Calcule cual es la distancia recorrida por la luz durante un año.
5. Una profesora de Biología dio los siguientes datos; expréselos en
notación científica:
Tamaño de algunos virus:
a. Influenza o gripe: 0,0002 mm.
b. Mosaico del tabaco: 0,0002 mm.
c. Fiebre aftosa: 0,000023 mm.
6. Resuelva las operaciones indicadas, aplicando notación científica:
a) 0,0000000000053 . 15160000000 =
b) (1260000000 . 0,0047) : 40000 =
c) 200 . (0,0033 : 0,0015) =
d)
e)
f)
g)
UNIDAD IV
LOGARITMACIÓN
Sabemos que la potenciación posee dos operaciones inversas: la radicación y la
logaritmación. La primera consiste en hallar la base de la potencia dada conociendo el
exponente, en cambio, la segunda consiste en hallar el exponente conociendo la base
y la potencia. Es decir:
Ejemplos:
Enunciamos a continuación las propiedades de los logaritmos, ya que en
determinadas ocasiones resultan verdaderamente útiles.
El logaritmo de 1 en cualquier base siempre es cero. Ej: 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝟏 =
𝟎 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝟗𝟎 = 𝟏
El logaritmo de la base siempre es 1. Ej: 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝟗 = 𝟏 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝟗𝟏 = 𝟗
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores. Esto se debe al producto de potencias de igual base.
Ej: 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝟒. 𝟐) = 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟒 + 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟐 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del
dividendo y del divisor. Esto se debe al cociente de potencias de igual bases.
Ej: 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝟒: 𝟐) = 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟒 − 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟐 = 𝟐 − 𝟏 = 𝟏
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el
logaritmo de la base. Esto se debe a la potencia de otra potencia.
Ej: 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟒𝟑 = 𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟒 = 𝟑. 𝟏 = 𝟑
En muchas ocasiones, no será posible calcular mentalmente el logaritmo de un
número, por lo que resulta conveniente utilizar el cambio de base. Esto permitirá
trabajar con logaritmos en base 10 (que junto con la base e, son las únicas bases con
las que trabajan algunos modelos de calculadoras). Las forma de hacerlo es utilizando
la siguiente expresión:
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑴 =𝐥𝐨𝐠 𝑴
𝐥𝐨𝐠 𝒃
Como se hizo anteriormente, a continuación proponemos una serie de
ejercicios para poner a prueba sus habilidades.
1) Resuelva mentalmente los siguientes logaritmos:
i. log2 =
ii. log31
27=
iii. log4 0,25 =
2) Obtenga los siguientes logaritmos con la calculadora:
i. log1,3 0,05 =
ii. log 2 =
iii. log1
5
78125 =
3) Resuelva las siguientes operaciones aplicando la definición de logaritmo y sus
propiedades:
i. log2 24. 163
=
ii. log 2(4. 2) =
iii. log3
2
3
2
−1
.4
9 =
iv. log 5 25.1
5=
v. log2
7
49 − log2 16 =
vi. log −2 −8 − log31
3
1
2=
4) Utilice los logaritmos comunes para resolver las siguientes situaciones
problemáticas:
i. Cuando se invierten C pesos en un banco que paga interés compuesto
con el i `por ciento anual de interés (expresado en forma decimal), la
cantidad M de lo retirado, luego de t años, está dada por la expresión M
= C (1+ i)t.
a) Encuentre el valor de M con C = 2500, i = 0,09 (9%) y para t = 3.
b) Una inversión de $ 3750 gana intereses con la tasa del 11,2 % de
interés compuesto anual. Encuentre el tiempo en el que este se
convierte en $ 4500.
ii. Un buque cisterna transporta 253 000 barriles de petróleo crudo, el cual
producirá 1 830 000 galones (6 926 550 litros) de cierto tipo de
combustible. ¿cuántos galones de dicho combustible se producen con
un litro de petróleo crudo? (1 barril = 31,5 galones = 119,2275 litros).
iii. Aplique, hasta donde sea posible, las leyes de los logaritmos para
escribir lo siguiente como una expresión que incluya sumas, diferencias
y productos de logaritmos naturales:
ln𝑥3
𝑥 + 1 𝑥2 + 2=
UNIDAD V
NÚMEROS COMPLEJOS
Al comienzo de este curso se presentó al Conjunto de Números Complejos como
el mayor conjunto numérico conocido, al menos hasta ahora. Este conjunto, debido a
sus características, recibe el nombre de Campo Numérico.
Se llama número complejo a todo número que está compuesto por una parte
real y una parte imaginaria. Definido de esta manera, se lo puede escribir en lo que se
conoce como forma binómica de un complejo. La parte real corresponde a los valores
numéricos de la recta real, mientras que la parte imaginaria corresponden a los valores
numéricos colocados sobre el eje de coordenadas y. la forma que toman entonces, es
la siguiente: z = a + bi, donde z es el nombre del numero, a es la parte o componente
real y bi es la parte imaginaria (aunque b es un valor real). La parte imaginaria se
reconoce por la letra i, que corresponde a la unidad imaginaria.
Se define como unidad imaginaria i, al número que elevado al cuadrado da por
resultado -1. Es decir: i2 = -1.
Con esta nueva forma de números, es posible resolver, entre otras cuestiones,
raíces de índice par y radicando negativo. Por ejemplo: −𝟒 = 𝟐𝒊 𝒚 − 𝟐𝒊. Esto es así
por lo siguiente:
o (𝟐𝒊)𝟐 = 𝟐𝟐𝒊𝟐 = 𝟒. −𝟏 = −𝟒.
o (−𝟐𝒊)𝟐 = (−𝟐)𝟐𝒊𝟐 = 𝟒. −𝟏 = −𝟒.
Opuesto de un número complejo: se define como opuesto de un número
complejo, al número complejo cuyos términos son opuestos del primero en cuanto al
signo. Se lo designa como –z. Ejemplo: si z = 3 – 5i, entonces –z = -3 + 5i.
Conjugado de un complejo: se dice que dos números complejos son conjugados
cuando difieren en el signo de la parte imaginaria. Se lo designa 𝒛 . Ejemplo: z = 3 + 4i,
entonces su conjugado será 𝒛 = 𝟑 − 𝟒𝒊.
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS.
Suma y diferencia
Para sumar o restar números complejos en su forma binómica, procedemos de
la misma manera que con los números reales.
La suma o diferencia de números complejos es otro número complejo cuya
parte real es igual a la suma o diferencia de las partes reales de los números
dados, y la parte imaginaria será igual a la suma o diferencia de las partes
imaginarias de los números dados. Por ejemplo:
Z = 4 + 3i
W = -2 +5i
Z + w = (4 – 2) + (3 + 5) i = 2 + 8i.
Producto
Para multiplicar números complejos en la forma binómica, se aplica la
propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la diferencia. Se
debe tener en cuenta también la definición de unidad imaginaria: 𝒊𝟐 = −𝟏.
Por ejemplo:
3 + 2𝑖 . −2 + 4𝑖 = 3. −2 + 2𝑖. −2 + 3. 4𝑖 + 2𝑖. 4𝑖
= −6 − 4𝑖 + 12𝑖 + 8𝒊𝟐 = −6 − 8 + −4 + 12 𝑖 = −𝟏𝟒 + 𝟖𝒊
𝑐𝑎𝑏𝑒 𝑎𝑐𝑙𝑎𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖2𝑓𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
− 1 𝑦 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 8.
Cociente
Para la división, utilizamos el proceso similar a la racionalización de
denominadores, es decir, multiplicamos el dividendo y el divisor por el
conjugado del divisor. Luego realizamos los productos resultantes. Ejemplo:
4 − 2𝑖
3 − 4𝑖=
4 − 2𝑖 (𝟑 + 𝟒𝒊)
3 − 4𝑖 (𝟑 + 𝟒𝒊)=
12 − 6𝑖 + 16𝑖 + 8
9 + 16=
20 + 10𝑖
25=
𝟒
𝟓+
𝟐
𝟓𝒊
Recordemos que cada vez que aparece i2, se lo reemplaza por su valor -1.
A continuación le proponemos la ejercitación para la aplicación de números
complejos.
I. 2 + 5𝑖 + −3 + 4𝑖 + 2 − 8𝑖 =
II. 3𝑖 − 1 + 2𝑖 =
III. 4 5 − 3𝑖 − 2𝑖 −3 + 5𝑖 =
IV. 2 −1
2𝑖 + 2𝑖 + − 8 + 𝑖 +
2
3𝑖 + −1 −
1
2𝑖 =
V. 2
3−
1
2𝑖 −
3
2+
1
3𝑖 =
VI. 5 − 2𝑖 3 + 4𝑖 2𝑖 =
VII. 1 − 𝑖 1 + 𝑖 =
VIII. 2+3𝑖
3+𝑖=
IX. 3+5𝑖 −2+2𝑖
10−3𝑖=
X. 2 − 𝑖 2 =
XI. 2
5+ 𝑖
3
=
XII. 2+3𝑖 2−4
3+𝑖 −1−𝑖 =
XIII. Una de las reglas para operar con radicales consiste en que 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏,
donde a y b son números reales positivos. Demuestre que esta regla so se
cumple cuando a y b son simultáneamente negativos.
XIV. Escriba 𝑎+𝑏𝑖
𝑐+𝑑𝑖 de la forma 𝑥 + 𝑦𝑖, multiplicando dividendo y divisor por el
conjugado – 𝑐 + 𝑑𝑖 . Sin embargo, es más conveniente multiplicar por el
conjugado 𝑐 − 𝑑𝑖 . Explique por qué.
XV. Responda:
i. ¿Cuál es el inverso aditivo de la unidad imaginaria?
ii. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de la unidad imaginaria?
iii. Compare los resultados de i y ii y extraiga conclusiones al
respecto.
UNIDAD VI
ECUACIONES E INECUACIONES
Una ecuación es una igualdad entre dos cantidades, en las que figuran uno o
más valores desconocidos llamados incógnitas.
Las ecuaciones son de gran utilidad para resolver diversas cuestiones.
Existen diferentes clases de ecuaciones, pero para nuestro estudio, únicamente
utilizaremos las lineales con una incógnita, las cuadráticas con una incógnita, las
exponenciales y las logarítmicas.
Ecuaciones lineales: son aquellas en las que la incógnita aparece elevada a la
potencia 1 como máximo exponente.
Ecuaciones cuadráticas: son aquellas en las que la incógnita aparece elevada a la
potencia 2 como máximo exponente, pudiendo aparecer la potencia 1 además.
Ecuaciones exponenciales: son aquellas en las que la incógnita a parece como
exponente de una potencia.
Ecuaciones logarítmicas: son aquellas en las que la incógnita figura como parte
del logaritmo de un número.
Comencemos analizando las siguientes situaciones:
La suma de un número y 32 es igual a 21.
Sabemos que 32 es uno de los sumandos y que 21 es el resultado. No sabemos
cuál es el numero al que le debemos sumar 32 para que nos de 21. Entonces, al ser
desconocido, lo vamos a llamar x. entonces, el planteo de la situación es: x + 32 = 21.
Esta última expresión es la que recibe el nombre de ecuación y, lo que hicimos,
fue pasar el problema del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico o matemático.
Una vez planteado el problema, lo que haremos es resolver la ecuación. Resolver
una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita que satisface dicha ecuación.
Este valor recibe el nombre de solución o raíz.
Resolvamos la ecuación siguiendo los pasos importantes:
𝑥 + 32 = 21
𝑥 + 32 − 32 = 21 − 32 Se resta 32 a ambos miembros de la
ecuación.
𝑥 = −11
Siempre es conveniente verificar la solución sustituyendo x en la
ecuación por valor encontrado -11. Resulta: −11 + 32 = 21
Para resolver una ecuación, se utilizan una serie de propiedades básicas, que en
conjunto reciben el nombre de propiedad uniforme, ya que permiten operar en la
ecuación sin que esta varíe o cambie de forma.
PROPIEDADES
A. Si a ambos miembros de una igualdad se suma o resta un mismo número,
la igualdad se mantiene. 𝑺𝒊 𝒂 = 𝒃 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂 + 𝒄 = 𝒃 + 𝒄 𝒚 𝒂 − 𝒄 =
𝒃 − 𝒄.
B. Si a ambos miembros de una igualdad se multiplica o divide por el mismo
número, la igualdad se mantiene. 𝑺𝒊 𝒂 = 𝒃 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂𝒄 = 𝒃𝒄 𝒚 𝒂
𝒄=
𝒃
𝒄.
Estas propiedades son las que se utilizan también para resolver ecuaciones más
complicadas. El procedimiento consiste en reunir todos los términos donde aparece la
variable o incógnita en un solo lado de la ecuación y todas las constantes del otro.
Si bien la mayoría de los pasos se los puede realizar mentalmente, el siguiente
ejemplo contiene los pasos para demostración o resolución formal aplicándolas
propiedades antes mencionadas:
2(𝑥 + 4) = 𝑥 + 3 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒊𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒕𝒊𝒗𝒂:
2𝑥 + 8 = 𝑥 + 3 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝟖 𝒂 𝒂𝒎𝒃𝒐𝒔 𝒎𝒊𝒆𝒎𝒃𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅
2𝑥 + 8 − 8 = 𝑥 + 3 − 8
2𝑥 = 𝑥 − 5 𝒂𝒉𝒐𝒓𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒙 𝒂 𝒂𝒎𝒃𝒐𝒔 𝒎𝒊𝒆𝒎𝒃𝒓𝒐𝒔
2𝑥 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 − 5
𝒙 = −𝟓
Verifique esta resolución.
Muchas clases de problemas se pueden resolver por medio de la utilización de
las ecuaciones. Así, por ejemplo:
En la escenografía de una obra teatral hay que tirar un cable que una dos
vértices opuestos, uno superior y otro inferior, de un ambiente con forma
cubica y donde cada arista mide 6 metros. ¿Cuánto metros de cable son
necesarios?
En este caso se debe calcular la longitud de la diagonal D del cubo. Por medio
del conocido Teorema de Pitágoras, encontramos la expresión para el cuadrado
de la diagonal de la base del cubo:
𝑑2 = 62 + 62 = 72
Aplicando de nuevo el Teorema, calculamos D:
𝐷2 = 𝑑2 + 62
𝐷 = 72 + 36
Luego: D1 = 10,3923 y D2 = - 10,3923.
Si bien la segunda solución es una solución de la ecuación, no se la considera
solución del problema, ya que no existen distancias negativas.
D d
6 m
Debemos ahora dar una aproximación para que el cable alcance bien, lo haremos
por exceso, ya que si se lo hace por defecto, el cable no nos alcanzaría. Además, esta
aproximación debe ser acorde al problema, por ejemplo, por redondeo a los decimos,
la solución será 10,40 metros.
En la siguiente guía de actividades, trate de resolver la mayor cantidad posible de
problemas y recuerde que el tiempo y la práctica, le ayudarán a adquirir habilidad en la
resolución de situaciones problemáticas.
ACTIVIDADES
I. Exprese mediante el lenguaje simbólico las condiciones que describen cada una
de las siguientes frases.
a) El doble de su edad más el triple de la misma.
b) Su edad dentro de 30 años.
c) Dos tanques con distinta capacidad suman 25 litros.
d) Mañana saldremos de pesca y debes aportar el dinero faltante para
completar los $ 45 del total, partiendo de los $ 35,5 que aportaré yo.
e) Cuatro veces la diferencia del quíntuple y doble.
f) Asistirán a la fiesta el triple de personas, más otras 12 que acaban de
avisar.
g) Un cuarto de tu edad dentro de ocho años.
II. Calcule el valor de x y verifique los resultados obtenidos.
a) 5𝑥 − 12 = −5𝑥 + 8
b) 6 𝑥 − 2 = 7 2𝑥 − 3
c) 𝑥 𝑥 + 1 = 𝑥2 − 27
d) 𝑥 + 1 2 = 𝑥 𝑥 + 4
e) 10𝑥+1
5=
5+2𝑥
2
f) 𝑥+2
5+
𝑥
2=
𝑥
10
g) 𝑥4+16
32= 1
h) (2 + 3𝑥)3 = 125
i) 4𝑥2 + 5 = −3
j) 𝑥 + 7 = 3
k) 𝑥2 − 5 = 20
l) 𝑥−3
𝑥+4 =
5
2
III. Utilizando logaritmos y sus propiedades, resuelva las siguientes ecuaciones.
a) 9𝑥 = 27
b) log 𝑥 25 = 5
c) log1
3
−𝑥 + 4 = −2
d) 3. 2𝑥 + 2𝑥+1 = 40
e) 3. 4𝑥 − 6 = 0
f) log4 𝑥 + 3 log4 𝑥 = 2
g) 2𝑥 = 8
h) 1
3𝑥−1 = 81
i) 𝑏𝑥2−𝑥 = 1
j) 𝑒ln 2𝑡−1 = 5
IV. Resuelva los siguientes problemas utilizando las ecuaciones que sean
necesarias.
a) Un hotel de dos pisos posee 54 habitaciones. Se sabe que las del primer
piso duplican el número de las del segundo. ¿Cuántas habitaciones tiene
cada piso?
b) La suma de tres números consecutivos es igual a 126. ¿Cuáles son estos
tres números?
c) La suma de las edades de cuatro miembros de una familia es igual a 80.
El padre tiene 6 veces la edad del hijo, la hija tiene la novena parte de la
edad del padre, y la madre tiene la edad del padre menos la diferencia
entre la edades del hijo y la hija. ¿Cuántos años tiene cada uno?
d) Las tres quintas partes de la distancia entre dos ciudades equivale a 54
km. ¿Qué distancia separa a ambas ciudades?
e) Se sabe que la suma de los tres ángulos interiores de cualquier
triangulo es igual a 180. Si en un triangulo el menor de los ángulos
mide la mitad del mayor y 14 menos que el intermedio, ¿cuánto mide
cada ángulo?
f) Entre A, B y C, se tienen que repartir $ 126 000. La parte de B es el doble
de la parte de A y a C le toca el triple de la de B. ¿Cuánto dinero le
corresponde a cada uno?
g) Entre hombres y mujeres, a una reunión asistieron 200 personas,
habiendo pagado $ 40 cada hombre por su entrada y $ 20 cada mujer
por la suya. ¿Cuántos hombres y mujeres había en la fiesta, si en total se
recaudaron $ 5860?
h) Dividir 200 en dos partes tales que, dividiendo la primera por 16 y la
segunda por 10, la diferencia de los cocientes sea 6.
i) ¿Qué número es igual a su mitad, más su cuarta parte, más su quinta
parte más uno?
j) Una persona tiene impuesta la mitad de su capital al 15 % bimestral, la
tercera parte al 20 % bimestral y el resto al 24 % bimestral. Si en total
gana $ 5360 bimestral, ¿qué cantidad gana dicha persona?
k) En una fábrica hay dos tipos de obreros: calificados y no calificados. Se
les paga a los obreros no calificados $ 2,40 la hora y a los calificados $
2,80 por hora. Si en la fábrica hay en total 500 obreros y se pagan por
día de trabajo un total de $ 10 500, ¿Cuántos obreros de cada clase
hay?
V. Dadas las siguientes ecuaciones, analice si poseen solución en R (conjunto de
los números reales); si no la tienen, justifique por qué.
a) 𝑥2 = 9
b) 𝑥2 = −9
c) 𝑥2 = −16
d) 𝑥2 =16
25
e) 1 + 𝑥2 = 5
f) 2𝑥2 = −200
Hasta aquí el trabajo referido a las ecuaciones o igualdades. Ahora nos
abocaremos al estudio de las llamadas inecuaciones. ¿Qué es una inecuación?
Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen una o más cantidades
desconocidas, llamadas incógnitas.
Es una desigualdad que está condicionada a ciertos valores que puede tomar la
variable. Son ejemplos de inecuaciones:
2𝑥 − 3 < 1
𝑥2 − 3𝑥 + 5 > 0
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 − 𝑥
𝑥 ≥ 2
En este curso solo trabajaremos von las desigualdades lineales, es decir,
aquellas en las que las variables tienen exponente 1.
Tal como en el caso de las ecuaciones, las inecuaciones cumplen con una serie
de propiedades o reglas que nos permiten resolverlas, es decir, encontrar todos los
valores de la incógnita que satisfacen la desigualdad.
PROPIEDADES
A. Si a ambos miembros de una desigualdad se suma o resta un mismo
número, la desigualdad se mantiene. 𝑺𝒊 𝒂 𝒃 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂 + 𝒄
𝒃 + 𝒄 𝒚 𝒂 − 𝒄 𝒃 − 𝒄.
B. Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por el
mismo número positivo, la desigualdad se mantiene.
𝑺𝒊 𝒂 𝒃 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂𝒄 𝒃𝒄 𝒚 𝒂
𝒄
𝒃
𝒄.
C. Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por el
mismo número negativo, la desigualdad cambia el sentido.
𝑺𝒊 𝒂 𝒃 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂𝒄 𝒃𝒄 𝒚 𝒂
𝒄
𝒃
𝒄.
Ejemplos:
𝑥 + 2 < 7
𝑥 + 2 + −2 < 7 + −2
𝑥 < 5
Interpretando la última expresión, debemos razonar que todos los
valores de x que son menores que 5, satisfacen la desigualdad.
Como estamos trabajando dentro del conjunto de los números
reales, el conjunto soluci9on se expresa como: 𝑺 = 𝒙 𝒙 < 5
5 3 − 2𝑥 ≥ 10
1
5. 5 3 − 2𝑥 ≥
1
5. 10
3 − 2𝑥 ≥ 2
3 − 2𝑥 + −3 ≥ 2 + −3
−2𝑥 ≥ −1
−1
2 −2𝑥 ≤ −1. −
1
2
𝒙 ≤𝟏
𝟐
El conjunto solución es 𝑆 = 𝑥 𝑥 ≤1
2
Este conjunto solución puede ser representado en la recta
numérica real:
ACTIVIDADES
Resuelva las siguientes situaciones
A. En un colegio las edades de los estudiantes de primaria oscilan entre los 6
y los 12 años, y las edades de los alumnos de secundaria oscilan entre los
10 y los 20 años.
a) Encuentre la desigualdad que representa las edades entre las que
oscila el alumnado en general.
b) Encuentre la desigualdad que representa las edades comunes a
los alumnos de los dos niveles.
c) Encuentre el intervalo de edades que son exclusivamente de la
primaria.
d) Encuentre el intervalo de edades que son exclusivamente de la
secundaria.
1
2
1 0 −1
B. Responda:
a) Al sumar a ambos miembros de la desigualdad 4 < 9, el número
3, ¿Qué sentido tiene la nueva desigualdad?
b) Al multiplicar los dos miembros de la desigualdad 2 < 8, por 5,
¿Qué sentido tiene la nueva desigualdad? Justifique la respuesta
dada.
c) Al multiplicar los dos miembros de la desigualdad 3 < 7, por −2,
¿Qué sentido tiene la nueva desigualdad? Justifique la respuesta.
C. Las siguientes afirmaciones son falsas, muestre su falsedad con un
contraejemplo.
a) 𝑎 < 𝑏 → 𝑎2 < 𝑏2
b) 𝑎 < 𝑏 → 𝑎
𝑏< 1
c) 𝑎 < 𝑏 → 𝑎−1 < 𝑏−1
d) 𝑎 = 𝑎2
e) 𝑎 < 0 → 𝑎2 < 0
D. Indique si os siguientes razonamientos son correctos. En caso de no serlo,
indique por qué.
a) −3𝑎 + 4 < − 3𝑏 − 7
−3𝑎 + 4 < −3𝑏 + 7
−3𝑎 + 4 < −3𝑏 + 4 + 3
−3𝑎 < 3 −𝑏 + 1
𝑎 < −𝑏 + 1
𝑎 < 𝑏 − 1
b) Se puede afirmar que ∀ 𝑐 ∈ 𝑅, si 𝑎 < 𝑏 se verifica que 𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐
E. Simbolice los siguientes enunciados.
a. La suma de un numero y 10 es menor que 15
b. El producto de un número por 3 es, a lo menos, 12
c. Si un número se disminuye en 4, el resultado es menor que 8
d. Si a un número se le agrega su cuarta parte, la suma es menor o igual
que la cuarta parte del número.
F. Resuelva e interprete gráficamente las siguientes desigualdades
a. 3𝑥 − 6 > 0
b. 8 − 2𝑥 < 0
c. 5𝑥 − 2 ≤ 0
d. 6— 𝑥 − 2 ≤ −𝑥 −2
3
e. 4𝑥2 − 15𝑥 + 10 ≥ 1
f. 𝑥2 − 3𝑥 − 4 < 0
g. 𝑥 + 2 𝑥 − 1 > 0
h. 𝑥 − 2 𝑥 + 5 𝑥 −
3≤0
i. 1
𝑥< 0
j. −2
𝑥+3≥ 0
k. 𝑥
2−𝑥 2 < 0
l. 𝑥+2
𝑥−1≥ 0
m. 2
𝑥+1> 0
n. 1
𝑥−2≤
𝑥
𝑥2−4𝑥+4
o. 1 ≤3𝑥−2
𝑥≤ 10
p. 𝑥 + 7 ≤ 3
q. 2𝑥 − 5 > 8
G. Resuelva los siguientes problemas, planteando la inecuación
correspondiente
a. ¿Cuáles son los números de dos cifras tales que, al multiplicar por 7,
el producto resulta como máximo, 658?
b. ¿Cuáles son los números de dos cifras tales que cada uno de ellos
cumple la siguiente condición: la mitad de ese número más dos
tercios del mismo no supera 14?
c. Las notas que obtuvo Javier en sus dos primeros exámenes de álgebra
fueron 89 y 91. ¿Cuál es la nota más baja que puede obtener en el
tercer parcial para tener una media de al menos 85?
d. Juan, Pedro y Pablo son hermanos. Pablo tiene 11 años, Juan tiene 5
años más que Pedro y, la suma de las edades de Juan y Pedro no
alcanza a la de Pablo. ¿Cuántos años tiene Pedro si su edad es un
número impar de años?
e. Una persona posee un capital de $ 20 000. Invierte al 6 % el doble de
lo que invierte al 4 %, y el resto, al 5 %. Si quiere tener un ingreso
anual de $ 11 500, al menos, ¿Cuál es la cantidad mínima que debe
invertir al 6%?
f. Si Hugo tuviera en su cuenta de ahorros cinco veces el dinero que
tiene en realidad tendría, al menos, $1000 más de lo que tiene ahora.
¿Cuál es la cantidad mínima que puede tener Hugo en su cuenta?
UNIDAD VII
POLINOMIOS
DEFINICIÓN 1
Definimos a un polinomio como una expresión con dos o más términos, en los
que aparecen una o más variables o indeterminadas.
DEFINICIÓN 2
Se llama polinomio en la indeterminada x, a toda expresión de la forma:
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛+1 + ⋯ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎0 Siendo 𝒂𝒏 ≠ 𝟎
𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 Se llaman coeficientes y son números reales o complejos.
Ejemplo: 𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓
o Podemos expresar un polinomio de la siguiente manera:
𝑷 𝒙 = 𝒂𝒊𝒙𝒊𝒏
𝒊=𝟎 Que se lee: sumatoria desde i = 0 hasta n, de ai xi
El subíndice i indica que ai es el coeficiente correspondiente a la potencia xi de la
variable.
o Los polinomios pueden tener uno, dos o más términos. De acuerdo a ello,
algunos reciben nombres específicos:
Monomios: 1 término
Binomios: 2 términos
Trinomios: 3 términos
Cuatrinomios: 4 términos
Grado de un polinomio: El grado de 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛+1 + ⋯ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎0
es n, si an ≠ 0.
Ejemplos:
𝑃(𝑥) = 2𝑥5 + 5𝑥3 − 3𝑥2 − 6𝑥 + 1 Es un polinomio de grado 5 o de quinto grado.
𝑄(𝑥) =1
2 Es un polinomio constante, su grado es cero.
𝑅(𝑥) = 0 Es el polinomio nulo. No tiene grado.
El coeficiente del término de mayor grado, es el coeficiente principal del
polinomio.
Un polinomio es mónico cuando su coeficiente principal es 1.
Al término a0 se lo llama término independiente.
Polinomio ordenado: un polinomio está ordenado si los términos que lo componen
están escritos en forma creciente o decreciente según sus grados.
Polinomio completo: un polinomio esta completo si en el figuran todas las potencias
de la variable, desde x0 hasta xn. En caso contrario, se dice que está incompleto.
Completar un polinomio significa agregar los términos faltantes con
coeficientes nulos, a partir de an ≠ 0.
Ejemplo: Polinomio incompleto: 𝑃 𝑥 = 4𝑥3 − 2𝑥 + 3
Polinomio completo: 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 + 0𝑥2 − 2𝑥 + 3
Igualdad de polinomios:
Dos polinomios son iguales si tienen igual grado y losa coeficientes
correspondientes son iguales entre sí.
Si dos polinomios no tienen grado, son iguales entre sí.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
ADICIÓN DE POLINOMIOS
Dados dos polinomios P(x) y Q(x), se llama suma P(x) + Q(x) al polinomio que se
obtiene sumando los términos del mismo grado de P(x) y Q(x).
El grado del polinomio suma, si existe, es menor o igual al mayor de los grados de
los polinomios dados.
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 3𝑥4 + 5𝑥3 − 2𝑥 + 3
𝑄 𝑥 = 2𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 − 3
3𝑥4 + 7𝑥3 − 6𝑥2 + 3𝑥
Propiedades de la adición:
Se puede demostrar que ∀ 𝑃 𝑥 , ∀ 𝑄(𝑥), ∀𝑅(𝑥), pertenecientes a los Reales o
Complejos, se cumplen las propiedades:
Asociativa: 𝑃 + 𝑄 + 𝑅 = 𝑃 + (𝑄 + 𝑅)
Conmutativa: 𝑃 + 𝑄 = 𝑄 + 𝑃
Existencia del elemento neutro: existe el polinomio nulo 0, tal que ∀ 𝑃 resulta:
P+0= P.
Existencia del elemento simétrico (opuesto): ∀𝑃 ∈ 𝐶, ∃ −𝑃 ∈ 𝐶,
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑃 + −𝑃 = 0
DIFERENCIA DE POLINOMIOS
Dados dos polinomios P(x) y Q(x), se llama diferencia P(x) - Q(x) al polinomio
que se obtiene sumando al primero, el opuesto del segundo.
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 𝑃(𝑥) + (−𝑄(𝑥))
Ejemplo: 3𝑥4 − 7𝑥3 + 3𝑥 + 8 − 2𝑥4 + 3𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥 − 1 =
= 3𝑥4 − 7𝑥3 + 3𝑥 + 8 + −2𝑥4 − 3𝑥3 + 5𝑥2 − 4𝑥 + 1 =
= 𝑥4 − 10𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥 + 9
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
El producto de dos polinomios se efectúa aplicando la propiedad distributiva, ya
que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición, tanto en el conjunto de
los reales como en el de los complejos.
El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores.
Ejemplo: 3𝑥 − 2 . 7𝑥 + 𝑥2 − 8 = 3𝑥. 7𝑥 + 𝑥2 − 8 − 2. 7𝑥 + 𝑥2 −
8 =
= 21𝑥2 + 3𝑥3 − 24𝑥 − 14𝑥 − 2𝑥2 + 16 =
= 19𝑥2 + 3𝑥3 − 38𝑥 + 16 =
= 3𝑥3 + 19𝑥2 − 38𝑥 + 16
Propiedades de la multiplicación:
Puede demostrarse que ∀ 𝑃 𝑥 , ∀ 𝑄(𝑥), ∀𝑅(𝑥), pertenecientes a los Reales o
Complejos, se cumplen las propiedades:
Asociativa: 𝑃. 𝑄 . 𝑅 = 𝑃. 𝑄. 𝑅
Conmutativa: 𝑃. 𝑄 = 𝑄. 𝑅
Existencia del elemento neutro: existe el polinomio unidad 1, tal que:
∀𝑃 𝑒𝑠: 𝑃. 1 = 𝑃
Distributiva de la multiplicación con respecto a la adición:
𝑃. 𝑄 + 𝑅 = 𝑃. 𝑄 + 𝑃. 𝑅
PRODUCTOS ESPECIALES
I. Cuadrado de un Binomio: el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del
primer término, mas el doble producto del primer término por el segundo, más
el cuadrado del segundo término. El polinomio que se obtiene al elevar un
binomio al cuadrado, se llama Trinomio Cuadrado Perfecto.
En símbolos: 𝒙 + 𝒂 𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐
Ejemplo: 𝟑 + 𝒙 𝟐 = 𝟗 + 𝟔𝒙 + 𝒙𝟐
II. Cubo de un binomio: el cubo de un binomio es igual al cubo del primer
término, más el triple producto del segundo por el cuadrado del primero, más
el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del
segundo término.
En símbolos: 𝒙 + 𝒂 𝟑 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟑𝒂 + 𝟑𝒙𝒂𝟑 + 𝒂𝟑
Ejemplo: 𝟐𝒙 − 𝟓 𝟑 = 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟑. 𝟐𝒙 𝟐. −𝟓 + 𝟑. 𝟐𝒙. −𝟓 𝟐 + −𝟓 𝟑 =
= 𝟖𝒙𝟑 − 𝟔𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝟎𝒙 − 𝟏𝟐𝟓
III. Producto de la suma por la diferencia de dos términos: el producto de la suma
de dos términos, por la diferencia de ellos mismos, es igual al cuadrado del
primer término, menos el cuadrado del segundo término.
En símbolos: 𝒂 + 𝒃 . 𝒂 − 𝒃 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
Ejemplo: 𝟐𝒙 + 𝟏 . 𝟐𝒙 − 𝟏 = (𝟐𝒙)𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏
IV. Producto de la forma 𝒙 + 𝒂 . 𝒙 + 𝒃 : este producto es igual al cuadrado del
primer término más el producto del primer término por la suma de los
segundos términos de cada factor, más el producto de los segundos términos.
En símbolos: 𝒙 + 𝒂 . 𝒙 + 𝒃 = 𝒙𝟐 + 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂𝒃
Ejemplo: 𝒙 + 𝟐 . 𝒙 + 𝟑 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔
DIVISION DE POLINOMIOS
Para hallar el cociente entre dos polinomios, se aplica el siguiente teorema:
Teorema: dados los polinomios 𝑃(𝑥)𝑦 𝑄(𝑥), existen otros dos únicos polinomios
𝐶(𝑥)𝑦 𝑅(𝑥) tales que:
𝑷(𝒙) = 𝑸(𝒙). 𝑪(𝒙) + 𝑹(𝒙) y 𝒈𝒓𝑹(𝒙) < 𝑔𝑟 𝑸(𝒙) 𝒐 𝑹 𝒙 = 𝟎
P(x) se llama Dividendo, Q(x) divisor, C(x) cociente y R(x) resto.
Ejemplo: 𝟐𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒 : 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 =
2𝑥4 − 3𝑥3 + 𝑥2 + 0𝑥 − 4 𝑥2 − 2𝑥 + 1
−2𝑥4 + 4𝑥3 − 2𝑥2 2𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥3 − 𝑥2 + 0𝑥
−𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥
𝑥2 − 𝑥 − 4
−𝑥2 + 2𝑥 + 1
𝑥 − 5
𝐶(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑦 𝑅(𝑥) = 𝑥 − 5
División de un polinomio por otro de la forma 𝒙 − 𝒂
Para este tipo de divisiones, se utiliza la Regla de Ruffini.
Ejemplo: 3𝑥4 − 5𝑥3 + 2𝑥 + 5 : 𝑥 − 1 =
o Dibujamos un cuadro como el que figura más abajo.
o En el cuadro escribimos en la parte superior, los coeficientes del
dividendo, completo y ordenado con sus respectivos signos. En la
segunda fila, escribimos el opuesto de a, en nuestro caso es 1.
o En la tercera fila escribimos os coeficientes del cociente. El
primer coeficiente es el primer coeficiente del dividendo, en
nuestro caso es el 3.
o Multiplicamos el primer coeficiente por el opuesto de a, en el
ejemplo, 3.1=3. Este número lo escribimos en la segunda fila
debajo del segundo coeficiente, es decir (- 5), sumamos ambos
números y obtenemos el segundo coeficiente.
o Procediendo de la misma manera, obtenemos los demás
coeficientes.
o El último valor que figura en el cuadro, corresponde al resto de la
división.
3 − 5 0 2 5
1 3 − 2 − 2 0
3 − 2 − 2 0 5 Resto
𝐶 𝑥 = 3𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 𝑦 𝑅(𝑥) = 5
En estas divisiones de un polinomio por un binomio de la forma 𝑥 − 𝑎 , es
decir, por un binomio completo, mónico y de grado 1, el resto será de grado
cero o bien, el resto será igual a cero.
Recordemos que el cociente será siempre de un grado menor que el dividendo.
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS: dados dos polinomios P(x) y Q(x), si existe un
polinomio C(x) tal que P(x) = Q(x). C(x), se dice que P(x) es divisible por Q(x)
VALOR DE UN POLINOMIO PARA 𝐱 = . FUNCIONES POLINOMICAS
Dado un polinomio P(x), se llama valor del polinomio en , al número que resulta de
sustituir, en el polinomio, x por .
Si P(x) 𝜖 𝑅, para cada valor de 𝜖 𝑅 se obtendrá un polinomio real P(). Se
puede decir, entonces, que el polinomio P(x) define una función cuyo dominio
es R y cuyo codominio también es R. si, en cambio, P(x) 𝜖 𝐶 𝑦 𝛼 𝜖 𝑅, el
polinomio define una función desde los reales hacia los complejos. Es decir
𝑷: 𝑹 → 𝑪
P () es la imagen de dada por la función P(x).
Ejemplo: Si 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟓 → 𝑷(𝟐) = 𝟏𝟏
Ceros o raíces de un polinomio
Un valor de x es cero o raíz de P(x) si el polinomio se anula para dicho valor.
𝑥 = 𝛼 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑃 𝑥 𝑃 = 0
Si el polinomio es de segundo grado, las raíces se pueden obtener por medio de la
fórmula resolvente de la ecuación cuadrática.
Ejemplo: 𝑥 = 6 𝑦 𝑥 = −5 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑃 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 −
30 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒: 𝑃 6 = 0 𝑦 𝑃 −5 = 0
TEOREMA DEL RESTO
El resto R de la división de un polinomio 𝑃(𝑥)𝑝𝑜𝑟 𝑥 − 𝛼 , es igual al valor del
polinomio en . Es decir, R = P()
Demostración: 𝑺𝒊 𝑷 𝒙 : 𝒙 − = 𝑪 𝒙 𝑷 𝒙 = 𝒙 − . 𝑪 𝒙 + 𝑹
𝑺𝒊 𝒙 = 𝑷 = − . 𝑪 𝒙 + 𝑹
𝑷 = 𝟎. 𝑪 𝒙 + 𝑹
𝑷 𝜶 = 𝑹
Este teorema es especialmente útil para comprobar las divisiones que se realizan por
medio de la regla de Ruffini.
Corolario: un polinomio es divisible por 𝑥 − 𝑎 si y solo si se anula para 𝑥 = 𝛼.
𝑃 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑥 − 𝛼 𝑃 = 0
𝑃 𝛼 = 0 𝑃 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − )
TEOREMA DEL FACTOR
Un número es una raíz de un polinomio P(x) si y solo si 𝑥 − 𝛼 es un factor de P(x).
Si es una raíz de P(x), 𝑅 = 𝑃 = 0. Por lo tanto se puede escribir el polinomio
como 𝑃 𝑥 = 𝑥 − . Q x
Ejemplo: Determinar si (𝑥 − 2) es factor de 𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 4
𝑅 = 𝑃 2 = 0, por lo tanto 2 es una raíz y (𝑥 − 2) es un factor del
polinomio.
DIVISIBILIDAD: TRANSFORMACION EN PRODUCTO
Si un polinomio P(x) es divisible por otro Q(x), se puede expresar como el
producto de Q(x) por el cociente de la división de P(x) por Q(x). Esto se denomina
transformación en producto factorización de un polinomio.
Un polinomio está factorizado cuando se lo expresa como el producto entre su
coeficiente principal y polinomios primos mónicos.
Ejemplos:
Polinomio desarrollado Polinomio factorizado
𝑇 𝑥 = 9𝑥 + 27 𝑇 𝑥 = 9(𝑥 + 3)
𝑈 𝑥 = −3𝑥2 + 12𝑥 + 15 𝑈 𝑥 = −3 𝑥 − 5 (𝑥 + 1)
𝑉 𝑥 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 − 8 𝑉 𝑥 = 𝑥 − 4 (𝑥2 + 2)
CASOS DE FACTORIZACION
Extracción de Factor Común
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común, se aplica la
inversa de la propiedad distributiva para factorizarlo. Se extrae ese factor común y se
expresa el producto de dicho factor por el cociente de la división del polinomio por el
factor.
Ejemplos:
6𝑥3𝑦2 − 3𝑥2𝑦 + 9𝑥𝑦 = 𝟑𝒙𝒚. 2𝑥2𝑦 − 𝑥 + 3
5𝑎𝑥2 − 10𝑎𝑥 = 𝟓𝒂𝒙. (𝑥 − 2)
12𝑥4 + 9𝑥3𝑦 − 12𝑥2𝑦2 = 𝟑𝒙𝟐. (4𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 4𝑦2)
Extracción de Factor Común por Grupos
En algunos polinomios no todos los términos poseen un factor común, pero se
los puede agrupar de modo que cada grupo formado tenga factores comunes. En este
caso se factoriza cada grupo, con la condición de que los paréntesis que resulten de
cada grupo luego de extraer el factor común, sean iguales, para extraerlos, a su vez,
como factor común.
Ejemplos:
𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑
= 𝒄 𝑎 + 𝑏 + 𝒅 𝑎 + 𝑏
= 𝒂 + 𝒃 . (𝑐 + 𝑑)
𝑥𝑦 + 3𝑥 + 𝑎𝑦 + 3𝑎 =
2𝑎3 + 2𝑎2 − 𝑎 − 1 =
6𝑎𝑏 + 2𝑏 + 3𝑎 + 1 =
2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎 − 𝑏𝑦 + 5𝑏 =
Diferencia de Cuadrados
Cuando se tiene una diferencia entre dos cuadrados exactos, se factoriza como el
producto de dos binomios conjugados.
Ejemplos:
𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝒚 . 𝒙 − 𝒚
𝒙𝟒 − 𝟖𝟏 = 𝒙𝟐 + 𝟗 . 𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝒙𝟐 + 𝟗 . 𝒙 + 𝟑 . (𝒙 − 𝟑)
𝟏𝟔 − 𝒃𝟐 =
𝟏𝟎𝟎𝒃𝟐 − 𝟒𝟗𝒂𝟔 =
Trinomios Cuadrados
i. Trinomio cuadrado perfecto: un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio en
el que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el tercero es el doble
producto de las raíces de los dos primeros. Para factorizarlo, se escribe el
trinomio como la suma o diferencia de las raíces de sus cuadrados perfectos.
Ejemplos:
9𝑥2 + 24𝑥𝑦 + 16𝑦2 = (𝟑𝒙 + 𝟒𝒚)𝟐
(3𝑥)2 (4𝑦)2
2. 3𝑥 . 4𝑦
144𝑎2 − 120𝑎 + 25 = (𝟏𝟐𝒂 − 𝟓)𝟐
(12𝑎)2 52
2. 12𝑎 . 5
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 =
𝟏 + 𝒂𝟏𝟎 − 𝟐𝒂𝟓 =
Si el signo del doble producto es positivo, significa que las dos raíces tienen
el mismo signo.
Si el signo del doble producto es negativo, significa que las raíces son de
signos diferentes.
ii. Trinomios de la forma 𝒙𝟐 + 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂𝒃: esta expresión se factoriza de la
siguiente manera:
𝒙 + 𝒂 . (𝒙 + 𝒃)
En la mayoría de los casos, las raíces de estos trinomios se calculan utilizando la
formula resolvente de la ecuación cuadrática.
Ejemplos:
𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝒙 + 𝟒 . (𝒙 + 𝟓)
𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟐 = 𝒙 + 𝟒 . 𝒙 + 𝟖
𝒂𝟐 + 𝟑𝟑 − 𝟏𝟒𝒂 =
𝒎𝟐 − 𝟐𝟎𝒎 − 𝟑𝟎𝟎 =
Cuatrinomio Cubo Perfecto
Este caso se puede aplicar cuando el polinomio tiene la forma del cuatrinomio
que se obtiene al desarrollar el cubo de un binomio.
Ejemplo:
𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝟑 Comprobamos los términos: 3. 𝑥2. 2𝑦 = 𝟔𝒙𝟐𝒚
3. 𝑥. (2𝑦)2 = 𝟏𝟐𝒙𝒚𝟐
𝑥 2𝑦
(𝒙 + 𝟐𝒚)𝟑
Factorizar: 𝟏 − 𝟗𝒂𝒙 + 𝟐𝟕𝒂𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝟕𝒂𝟑𝒙𝟑
Divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado
Este caso nos permite determinar en qué casos la división de un binomio es
exacta. Ambos términos del binomio deben estar elevados al mismo exponente, y se lo
divide por la suma o diferencia de las bases de acuerdo a las siguientes reglas:
𝑥𝑛 + 𝑎𝑛 se puede dividir por (𝑥 + 𝑎) solo en el caso en que n sea
impar.
𝑥𝑛 + 𝑎𝑛 no se puede dividir por (𝑥 − 𝑎) nunca.
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛 se puede dividir por (𝑥 + 𝑎) solo cuando n es par.
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛 se puede dividir por 𝑥 − 𝑎 siempre.
Ejemplos:
𝒙𝟒 − 𝒂𝟒 se puede dividir por 𝑥 − 𝑎 y también por 𝑥 + 𝑎 , en
cambio 𝒙𝟒 + 𝒂𝟒 no se puede dividir por 𝑥 + 𝑎 por tener
exponente par, y tampoco por 𝑥 − 𝑎 . Aplicando Ruffini, se
obtiene como resultado, al utilizar el divisor 𝑥 − 𝑎 :
𝒙𝟒 − 𝒂𝟒 = 𝒙 − 𝒂 (𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝒙 + 𝒂𝟑)
𝒙𝟑 + 𝟖 =
𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝟓 =
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
Si un polinomio tiene grado positivo, tiene al menos una raíz compleja (raíz real
o imaginaria).
Un polinomio de grado n tiene n raíces, considerando las reales y las no reales.
Una consecuencia del teorema es que, un polinomio de grado n tiene como
máximo n raíces reales.
Veamos los siguientes ejemplos:
POLINOMIO POLINOMIO FACTORIZADO RAICES REALES RAICES
REALES
𝑃 𝑥 = 𝑥4 − 16 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑥 + 2 (𝑥2 + 4) 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = −2 Dos
𝑄 𝑥 = 𝑥3 − 15𝑥2 + 72𝑥 − 112 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 7 𝑥 − 4 (𝑥 − 4) 𝑥 = 7 𝑦 𝑥
= 4 (𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒) Tres
𝑅 𝑥 = 𝑥3 + 15𝑥2 + 75𝑥 + 125 𝑅 𝑥 = 𝑥 + 5 𝑥 + 5 (𝑥 + 5) 𝑥 = 5(𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒) Tres
𝑆 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 𝑆 𝑥 = 𝑥 − 2 (𝑥 − 2) 𝑥 = 2 (𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒) Dos
Si al escribir un polinomio como producto hay más de un factor que tiene la misma
raíz, a esta se la llama raíz múltiple.
Ejemplo: por eso, x = 4 es raíz doble de Q(x). Se cuentan como dos raíces.
En la tabla figuran las raíces reales, pero un polinomio puede tener raíces reales y
no reales.
ACTIVIDADES
I. Siendo 𝑃 𝑥 = 6𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥; 𝑄 𝑥 = −2𝑥2 + 5𝑥3 − 2;𝑅 𝑥 = 3 − 𝑥,
calcule:
i. 𝑃 + 𝑄
ii. 𝑃. 𝑄
iii. 5𝑅 − 𝑄
iv. 𝑃. 𝑅
II. Determine el cociente y el resto de la división del polinomio P(x) por el
polinomio Q(x), donde:
i. 𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 9𝑥2 − 5 ; 𝑄 𝑥 = 𝑥2 − 1
ii. 𝑃 𝑥 = 8𝑥4 − 6𝑥2 − 2𝑥 + 2 ; 𝑄 𝑥 = 2𝑥2 − 1
iii. 𝑃 𝑥 =3
4𝑥4 −
5
2𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 + 5 ; 𝑄 𝑥 =
1
2𝑥2 − 𝑥
iv. 𝑃 𝑥 = 2𝑥2 − 7𝑥 − 17 ; 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 5
III. Compruebe los resultados obtenidos en el ejercicio anterior.
IV. Encuentre el polinomio P(x) tal que si se lo divide por 𝑄 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 3 se
obtiene como cociente 𝐶 𝑥 = 6𝑥 − 2 y resto 𝑅 𝑥 = 3𝑥 + 2.
V. Idem si 𝑄 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 2 ; 𝐶 𝑥 = 4𝑥 − 3 ; 𝑅 𝑥 = 2𝑥 + 1.
VI. Encuentre el cociente y el resto de la división del primer polinomio por el
segundo.
i. 2𝑥2 − 3𝑥3 + 4𝑥 − 5 ; 𝑥 − 2
ii. 𝑥3 − 8𝑥 − 5 ; 𝑥 +1
2
iii. 0,3𝑥3 + 0,04𝑥 − 0,034 ; 𝑥 + 0,2
iv. 6𝑥 − 9𝑥3 + 27𝑥4 ; 𝑥 −1
3
VII. En el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥 + 𝑥4 + 1, calcule: P(2), P(-1) y P(-2).
VIII. Calcule el resto de la división entre el polinomio P(x) y El binomio dado.
i. 𝑃 𝑥 = 3𝑥3 − 𝑥2 + 5𝑥 − 4 ; 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2
ii. 𝑃 𝑥 = 9𝑥3 − 6𝑥2 + 3𝑥 − 4 ; 𝑄 𝑥 = 𝑥 −1
3
iii. 𝑃 𝑥 = 𝑥12 − 4096 ; 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2
IX. Determine cuales de las siguientes expresiones son divisibles por :
𝑥 + 2 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑥 − 2
i. 𝑥2 − 4
ii. 𝑥2 + 4𝑥 + 4
iii. 𝑥2 − 4𝑥 + 4
iv. 8𝑥2 + 16𝑥
v. 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 − 8
vi. 𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 − 8
X. Determine la veracidad de las siguientes afirmaciones:
i. 𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑥 − 2
ii. 𝑥 − 1 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥2 − 6𝑥 + 5
iii. 𝑥3 + 𝑥 + 2 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑥 + 1 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑒 (𝑥 − 1)
XI. Factorice los siguientes polinomios:
i. 144𝑎2 − 120𝑎 + 25
ii. 36𝑥2 − 25
iii. 4𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥
iv. 9 − 𝑛2 − 25 − 10𝑛
v. 1 − 𝑝3
vi. 6𝑥2 + 𝑥 − 5
vii. 𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥 + 4
viii. 2𝑥2 + 𝑥
ix. 15𝑥3𝑦 − 5𝑥2 + 10𝑥4
x. 𝑦4 − 0,49
xi. 𝑥5 + 32
xii. 0,001𝑥3 + 0,06𝑥2𝑏2 + 1,2𝑥𝑏4 + 8𝑏6
xiii. 8𝑥3 − 3𝑥2 +3
8𝑥 −
1
64
xiv. 24𝑚4 − 36𝑚3𝑛 + 18𝑚2𝑛2 − 3𝑚𝑛3
xv. 4𝑎2 +1
9+
4
3𝑎
xvi. 9𝑥2 + 6𝑥𝑎2 + 𝑎10
xvii. (4𝑚 + 2𝑛)2 − (3𝑚 − 2𝑛)2
xviii. −𝑥2 + 8𝑥 − 16
UNIDAD VIII
FUNCIONES
Las funciones son un tipo particular de relaciones, a las que se las estudia debido
a su especial importancia, en las diversas ramas de la ciencia y la tecnología.
A continuación, comenzaremos este análisis considerando distintas situaciones:
1º Suponga usted que va en un automóvil cuya velocidad promedio es de 40
km/h. Si realizáramos una tabla que relacione el tiempo empleado con la
distancia recorrida en ese lapso, tendríamos:
Tiempo en
horas 2 4 6 8 10
Distancia
en km 80 160 240 320 400
Observemos que a cada intervalo de tiempo le corresponde una sola
distancia
2º La figura define una relación de 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑒𝑛 𝐵 = 𝑟, 𝑠, 𝑡, 𝑢 :
A B
a
b
c
d
r
s
t
u
La imagen de la relación es el conjunto 𝐼𝑚 𝑅 = 𝑠, 𝑡, 𝑢 . Observe que r no
pertenece a este conjunto porque no es imagen de ningún elemento del
dominio.
3º Si relacionamos cada número del conjunto 𝐴 = 1,2,3 con aquel del
conjunto 𝐵 = 6,9,12 que sea su cuadrado mas tres:
A B
4º Cada elemento del conjunto 𝐴 = 1,4 es el cuadrado del correspondiente
en 𝐵 = 1, −2,2 :
A B
En los dos primeros ejemplos podemos observar que a cada elemento del primer
conjunto o conjunto de salida se le asigna un único elemento del conjunto de llegada. A
las relaciones que presentan estas características se las llama relaciones funcionales,
aplicaciones o simplemente funciones.
Las relaciones del ejemplo 3º no es una función porque existen elementos del
conjunto de partida que no tienen imagen en el conjunto de llegada.
Tampoco la relación del ejemplo 4º es una función, pues existen elementos de A
que no tienen una única imagen.
1
2
3
6
9
12
1
4
1
-2
2
𝑆𝑒𝑎𝑛 𝐴 𝑦 𝐵 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑣𝑎𝑐í𝑜𝑠, 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑚𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑒 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:𝒇 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒐 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑨 𝒆𝒏 𝑩, 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒇 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑨 𝒚 𝑩,
𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒂 𝒕𝒊𝒐𝒅𝒐 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒖𝒏𝒊𝒄𝒐 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐.
O bien, simbólicamente, f de A en B es una función si satisface:
∀ 𝒂 ∈ 𝑨, ∃ 𝒃 ∈ 𝑩/(𝒂, 𝒃) ∈ 𝒇 Esta es la condición de existencia.
𝒂, 𝒃 ∈ 𝒇 𝒂, 𝒄 ∈ 𝒇 (𝒃 = 𝒄) Condición de unicidad de la imagen.
Generalmente, las funciones se denotan con f, g, h, etc. Por ejemplo: sea f una
función de A en B, entonces escribimos:
𝑓: 𝐴 → 𝐵
que se lee “f es una función definida de A en B”, o “f aplica A en B”.
Si a A, entonces hacemos que 𝑓(𝑎), que se lee “f de a”, denote el elemento
único de B que f asigna a a; se le llama imagen de a bajo f, o valor de f en a.
Nota: en este tipo especial de relaciones, llamadas relaciones funcionales o
funciones, al conjunto de llegada se lo llama comúnmente codominio o rango de la
función, y al conjunto imagen recorrido de la función.
Frecuentemente una función se puede expresar por medio de una fórmula
matemática. Esto se puede notar en el ejemplo 1º, donde la relación entre el tiempo y
la distancia recorrida está dada por la expresión matemática:
𝑑 𝑡 = 40. 𝑡
Donde d representa la distancia recorrida para un determinado tiempo t (40
indica la velocidad).
Como vemos en la tabla, para 𝑡 = 2 𝑑 2 = 40.2 = 80
Las unidades de estas magnitudes físicas han sido obviadas para centrar la
atención en la expresión matemática.
De manera semejante, para cada valor específico de 𝑡 ≥ 0, la ecuación produce
exactamente un valor para d.
Primero escogemos un valor para t, luego hay un valor correspondiente de d,
que depende de t; d es la variable dependiente y t es la variable independiente de
esta función.
Las letras específicas usadas para las variables independientes y dependientes no
tienen importancia. Habitualmente emplearemos x para la variable independiente e y
para la variable dependiente; no obstante, pueden resultar útiles las letras que
sugieren algo, como la t para el tiempo y la d para la distancia.
Así, si a un elemento x le corresponde un elemento y a través de la función f,
decimos que y es la imagen de x, y lo escribimos 𝒚 = 𝒇(𝒙); también podemos decir
que x es la pre imagen de y.
En contraste, en el ejemplo 4º, podemos escribir 𝒚𝟐 = 𝒙, pero esta ecuación no
define a y como función de x; para x = 4 existen dos imágenes, 𝒚𝟐 = 𝟒, entonces y = 2
e y = -2.
Por ejemplo, si consideramos las siguientes relaciones definidas mediante
diagramas de Venn, tenemos que:
a) La relación no es función porque hay un elemento del primer conjunto que
no posee imagen.
b) La relación no es una función porque existe un elemento del primer conjunto
que posee dos imágenes.
a
b
c
1
2
3
c) La relación si es una función, ya que cumple con las condiciones de existencia
y de unicidad.
d) También es una función
Nota: Cabe aclarar que las mencionadas condiciones de existencia y
unicidad, deben ser consideradas siempre sobre el conjunto de partida de la
relación.
a
b
c
1
2
3
1
2
3
4
a
b
c
a
b
c
d
1
2
3
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
Se puede extraer mucha información respecto de una relación funcional
estudiando su grafica. La más indicativa es la representación en sistema de
coordenadas rectangulares o ejes cartesianos ortogonales.
En un plano tomamos un par de rectas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical. La horizontal se llama eje de las abscisas o simplemente eje de las x y la
vertical es el eje de las ordenadas o eje de las y.
Ahora tomamos un sistema lineal de coordenadas sobre cada una de ellas, con
las condiciones siguientes: el origen para ambas es el punto de intersección. El eje x
está orientado hacia la izquierda y hacia la derecha, y el eje y lo está hacia arriba y
hacia abajo. Se considera la dirección positiva de las x hacia la derecha del origen,
mientras que en la vertical se toma como positivo hacia arriba del origen.
Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro cuadrantes. Estos se enumeran en
dirección contraria al giro de las agujas del reloj, como se ilustra en la siguiente figura:
A cada punto del plano le corresponde una pareja de números, las que se llaman
coordenadas del punto; el primer elemento del par se llama coordenada en x o abscisa
del punto P y la segunda, coordenada en y u ordenada del punto P. de esta forma,
todo punto del plano tiene asociado a él un único par de números reales y,
recíprocamente, cada par de números reales está asociado a un único punto en el
plano. Decimos que el par ordenado de números constituye las coordenadas del punto
P.
Por ejemplo: P (2; 3) y Q (4;-2)
x
y
I II
III IV
Elaborar la grafica de una función significa localizar todos los puntos del plano
cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada.
Por ejemplo, dada una función en x, 𝒚 = 𝒙 + 𝟐.
Si sustituimos x por 3 se obtiene y = 3 + 2 = 5. Por lo tanto decimos que el par
ordenado (3;5) satisface la ecuación dada, 𝒚 = 𝒙 + 𝟐.
Si consideramos que tanto el conjunto dominio como el conjunto codominio de
esta función es el conjunto de los números reales, tendremos un número infinito de
pares ordenados que satisfacen esta ecuación y todos se localizan sobre la misma línea
recta. La siguiente tabla de valores, muestra algunos de ellos:
𝑥 𝑦 = 𝑥 + 2
−3 −1
−2 0
−1 1
0 2
1 3
2 4
x
y
P (2; 3)
Q (4;-2)
En este caso es posible unir estos puntos con una recta porque nuestra función
está definida de los reales en los reales; esto no siempre es posible, como vemos en el
siguiente ejemplo:
Sea 𝑓: 𝑍 → 𝑍 tal que la imagen de cada entro es su opuesto aumentado en una
unidad, es decir: 𝒇 𝒙 = −𝒙 + 𝟏.
x
y Como resultado de la unión de los
puntos de la tabla, se obtiene una
línea recta. Por ser una recta, su
gráfica continúa indefinidamente
en ambas direcciones.
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Función Inyectiva: se llama así a la función tal que a distintos elementos del
dominio, le corresponden distintos elementos del codominio. Esto es, los
elementos del conjunto imagen son imágenes de un único elemento del
dominio.
Función Suryectiva: una función de A en B es suryectiva con respecto al
codominio B si todo elemento de B es imagen de algún elemento de A.
Función Biyectiva: una función es biyectiva, si es inyectiva y suryectiva. Se la
llama función uno a uno.
Ejemplos:
x
y
A B
f1
a
b
c
d
1
2 6
3
4 5
Inyectiva, no suryectiva.
No inyectiva, suryectiva.
No inyectiva, no suryectiva.
Inyectiva, suryectiva, Biyectiva.
C D
f2
1
2
3
4
a
b
c
f3
E F
1
2
3
4
m
n
p
q
G E
f4
m
n
p
q
1
2
3
4
ACTIVIDADES
1. Analice las siguientes graficas y luego diga si o no, según corresponda.
A B
Inyectiva
F1 es: Suryectiva
Biyectiva
C D
Inyectiva
F2 es: Suryectiva
Biyectiva
f3
E F
1 a
b
c
f1
m
n
p
q
1
2
3
4 5
6
f2
1
2
3
4
5
a
b
c
d
Inyectiva
F3 es: Suryectiva
Biyectiva
f4
G H
Inyectiva
F4 es: Suryectiva
Biyectiva
2. Indique cuales de las siguientes relaciones de A en B son funciones.
Justifique
a)
b)
x
y
x
y
A
B
A
B
1
2
3
m
n
p
c)
d)
3. Indique si estas correspondencias son funciones o no. Justifique cada caso.
a. A cada persona le corresponde su número de teléfono.
b. A cada minuto de comunicación le corresponde su precio.
c. A cada argentino le corresponde su número de DNI.
d. A cada persona le corresponde su hijo.
e. A cada hijo le corresponde su madre.
4. Determine si la ecuación dada define a y como función de x. En caso
positivo indique dominio y codominio, en caso contrario, restrinja el
dominio y codominio para que lo sea. Considerando algunos puntos,
construya los gráficos aproximados de las funciones sobre los ejes
coordenados.
a) 𝑦 = 𝑥3
b) 𝑦 = 𝑥3
c) 𝑦 =1
𝑥
d) 𝑦2 = 2𝑥
e) 𝑦 = 𝑥 3
y
x
y
x
A
B
A
B
f) 𝑦 =1
𝑥+1
g) 𝑦 =1
1 ∓ 𝑥
h) 𝑦 = 𝑥
5. Determine si las siguientes tablas representan funciones, si no lo hacen,
explique por qué.
x Y
3 4
2 3
1 2
2 1
x Y
-1 0
0 1
1 2
2 -1
6. Clasifique cada expresión como verdadera o falsa. Si es falsa, corríjala para
obtener la ecuación correcta. Para cada una 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 3
a) 𝑓 3 = −6
b) 𝑓 3 + 𝑓 −2 = 2
c) 𝑓 𝑥 − 𝑓 4 = − 𝑥 − 4 2 + 3
d) 𝑓 4 + = −2 − 10
e) 𝑓 3 . 𝑓 2 = −33
f) 𝑓 3 − 𝑓 2 = −5
g) 𝑓 𝑥 − 𝑓 4 = 𝑥2 − 19
h) 3. 𝑓 2 = −33
i) 𝑓 2 − 𝑓 3 = 11
j) 𝑓 4 + = −2 − 8 − 13
ANÁLISIS DE FUNCIONES A PARTIR DE SU GRÁFICA
Los gráficos de funciones permiten visualizar fenómenos con mucha claridad y,
según el caso, no es necesario volcar la información punto por punto.
Por ejemplo, en la siguiente tabla figuran las distancias entre el lugar de trabajo y
el domicilio de algunas personas y lo que pagan para realizar dicho trayecto:
Distancia x (km) 0,9 1,8 2,2 2,8 3 3,4 3,8 4,5 5 6,7 30
Precio y ($) 0 0,7 1,4 1,4 2,1 2,1 2,1 2,8 3,5 4,2 21
Podemos establecer que:
Hasta que el cuentakilómetros marca el primer kilometro recorrido, el viaje
cuesta $ 0. Desde el primer kilometro y hasta que marque el segundo, el viaje cuesta $
0,7. Desde el segundo kilometro y hasta que merque el tercero, el viaje cuesta $ 1,4. Y
así, sucesivamente, obtenemos este gráfico, que no fue realizado en su totalidad en
este caso:
Nótese que la misma información que nos suministra la tabla podemos obtenerla
a partir del grafico simplemente.
x
y
INVERSA DE UNA FUNCIÓN
Definición: dad una función 𝒇: 𝑨 → 𝑩 , la inversa de f es la relación de B en A
definida por 𝒇−𝟏 = 𝒙, 𝒚 /(𝒚, 𝒙) ∈ 𝒇
Ejemplo:
𝐴 = 1,2,3 ; 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 . 𝑆𝑒𝑎 𝑓 = 1, 𝑎 , 2, 𝑎 , 3, 𝑎 .
La inversa de f es 𝒇−𝟏: 𝑩 → 𝑨, tal que 𝒇−𝟏 = 𝒂, 𝟏 , 𝒂, 𝟐 , 𝒅, 𝟑
En este caso es fácil ver que la inversa de la función f no es una función, ya
que no cumple con las condiciones de existencia y unicidad.
La inversa de una función también es función, únicamente si la primera es
una función biyectiva, es decir, una función uno a uno. Caso contrario, la
inversa solo será una relación.
Para lograr agilidad en la lectura de gráficos, le proponemos las siguientes
actividades:
ACTIVIDADES
1. Clasifique las funciones representadas según los dominios y codominios que se
indican.
a) i) 𝑓: 𝑅 → 𝑅
ii) 𝑓: 𝑅 → 0; ∞)
iii) 𝑓: 0; ∞) → 0; ∞)
x
y
0
b)
i) 𝑓: 𝑅 → 𝑅
ii) 𝑓: 𝑅 → 0; ∞)
iii) 𝑓: 0; ∞) → 0; ∞)
c) i) 𝒇: 𝑹 → 𝑹
ii) 𝒇: 𝑹 → −𝟏; 𝟏
iii) 𝒇: −𝝅
𝟐;𝝅
𝟐 → −𝟏; 𝟏
2. Dadas las funciones:
𝒇: 𝑵 → 𝑵, definida por 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
𝒈: 𝒁 → 𝒁, definida por 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1
𝒉: 𝑹 → 𝑹, definida por 𝑥 = 2𝑥 + 1
Se pide:
i) Represente gráficamente.
x
y
𝜋
2 −
𝜋
2
𝜋 −𝜋
1
−1
x
y
ii) Clasifique.
iii) Defina las inversas de cada función.
iv) Diga si las inversas son funciones.
v) Represente las inversas en el mismo sistema de ejes que las respectivas
funciones.
3. Responda verdadero o falso, según las proposiciones lo sean.
i. Una función es suryectiva con respecto a un codominio, si a distintos
elementos del codominio le corresponden distintos elementos del dominio.
ii. Una función es inyectiva, si todo elemento del codominio está relacionado
con algún elemento del dominio.
iii. Una función es suryectiva con respecto a un codominio, si el dominio
coincide con el conjunto imagen.
iv. Si una función es inyectiva, entonces todos los elementos del conjunto
imagen son imágenes de un único elemento del dominio.
UNIDAD IX
TRIGONOMETRIA
Vamos a comenzar la revisión de esta rama de la Matemática, analizando
primero los ángulos y los dos sistemas más utilizados para su medición: sexagesimal y
circular.
Recordemos primero que un ángulo es una figura formada por dos rayos que
poseen un punto en común llamado vértice.
SISTEMA SEXAGESIMAL
Se basa en la asignación de 360° al ángulo que se forma mediante una rotación
completa en sentido contrario al de las agujas del reloj.
Los otros ángulos se miden, entonces, en términos de un ángulo de 360. Si la
rotación es en sentido anti horario, la medida angular será positiva, caso contrario, es
decir, en sentido horario, la medida angular será negativa. Así, dos rotaciones
Vértice
Lado
Lado
360°
y
x
completas en sentido horario, serán −720°, un cuarto de rotación en sentido anti
horario, serán 90.
Minutos y segundos
Además de los grados, al medir ángulos también se utilizan unidades más
pequeñas, que son el minuto y el segundo. El uso de estas unidades es muy parecido al
que le damos en la medición del tiempo horario:
𝟏° = 𝟔𝟎´
𝟏´ = 𝟔𝟎´´
Cuando utilizamos las calculadoras, es siempre conveniente escribir las
fracciones de ángulo de forma decimal, como por ejemplo, 25,56.
Utilizando esta forma de nomenclatura, un ángulo de 30 grados, 25 minutos y 43
segundos, se escribirá como: 𝟑𝟎° 𝟐𝟓´ 𝟒𝟑´´.
En la mayoría de las calculadoras científicas, aparece una tecla especial para
convertir ángulos que se encuentran en grados decimales a grados, minutos y
segundos y viceversa: ° ´ ´´ .
A continuación se presentan unos ejemplos de conversión de medidas angulares
en forma manual:
Convertir 72,26 en grados, minutos y segundos.
La parte entera 72, corresponde a la cantidad de grados. La parte
decimal 0,26 debe ser multiplicada por 60 (recordemos que 1 = 60´),
dándonos como resultado 15,6´. Los 0,6 de la parte decimal
corresponden a los segundo, por lo que lo multiplicamos por 60,
dándonos ahora 36´´. Entonces la medida del ángulo mencionado será
72° 15´ 36´´.
Convierta 17° 47´ 13´´.
Como 1 = 60´, entonces 1´ = 1
60
°
. De la misma manera, 1´´ = 1
60
´
=
1
3600
°
Entonces tenemos que: 17° 47´ 13´´ = 17° + 47´ + 13´´ =
= 17° + 1
60
°
+ 13 1
3600
°
=
= 17° + 0,7833° + 0,0036° =
= 17,7869°
SISTEMA CIRCULAR
Otra forma de medir ángulos es utilizando la medida denominada radián,
utilizada comúnmente en casi todas las aplicaciones de la trigonometría que requieren
de cálculos.
Esta medición de un ángulo cualquiera 𝜽 en radianes, se basa en la longitud de
un arco de circunferencia. Si hacemos coincidir el vértice del ángulo con el centro del
circulo de radio r, entonces 𝜽 se denomina ángulo central. La región de círculo
contenida dentro del ángulo central se denomina sector circular. Si denotamos son s la
longitud del arco subtendido por 𝜽, entonces la medida de 𝜽 en radianes se define:
𝜽 =𝒔
𝒓
Esta definición no depende del tamaño de la circunferencia, es decir, sin
importar las dimensiones de la circunferencia, vamos a obtener la misma medida en
radianes para 𝜽.
Teniendo en cuenta esto, una rotación completa supone un arco de igual medida
que la longitud de la circunferencia: 𝟐𝝅𝒓. Entonces tenemos que:
𝑼𝒏𝒂 𝒓𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 =𝒔
𝒓=
𝟐𝝅𝒓
𝒓= 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔
FÓRMULAS DE CONVERSIÓN
La medida en grados para el ángulo correspondiente a una rotación completa en
sentido anti horario es de 360, mientras que la medida en radianes para el mismo
ángulo es de 2 radianes. Por lo tanto, 360 = 2 radianes o 180 = radianes.
s
r
𝟏° =𝝅
𝟏𝟖𝟎 𝒓𝒂𝒅𝒊á𝒏
𝟏 𝒓𝒂𝒅𝒊á𝒏 = 𝟏𝟖𝟎
𝝅
°
Si usamos una calculadora para realizar las divisiones, encontramos que:
1° ≅ 0,0174533
1 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎á𝑛 ≅ 57,29578°
Una ayuda para poder recordar estas expresiones más fácilmente, es trabajar
con la proporción:
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒆𝒏 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝜽
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒆𝒏 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝜽=
𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔
𝟏𝟖𝟎°
Por ejemplo:
Convertir 20 a radianes.
Tenemos que:
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒆𝒏 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝜽
𝟐𝟎°=
𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔
𝟏𝟖𝟎°
De donde 𝜃 = 𝜋
9 𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛.
Ya que la medida de un ángulo es el cociente entre dos longitudes, esta
no tiene dimensiones. Por ello, el término “radián” se omite a veces
cuando los ángulos son medidos en radianes. Cuando no se especifique
la unidad de medida, se sobreentiende que los ángulos se han medido en
radianes.
Convertir a radianes:
𝛼 =7
6𝜋
Al no poseer medida angular, sobreentendemos que esta
expresado en radianes. La conversión será entonces:
7
6𝜋 =
7
6𝜋
180
𝜋
°
= 210°
𝛽 = 2
De manera similar, tenemos:
2 = 2 180
𝜋
°
≅ 114,59°
ACTIVIDADES
1. Exprese en radianes cada uno de los siguientes ángulos.
a) 30
b) 135
c) 25 30´
d) 42 24´ 35´´
2. Expresar en grados, minutos y segundos cada uno de los siguientes ángulos.
a) 𝜋
3𝑟𝑎𝑑
b) 5
9𝜋 𝑟𝑎𝑑
c) 2
5𝜋 𝑟𝑎𝑑
d) 4
3𝜋 𝑟𝑎𝑑
3. Un ángulo central determina un arco de 6 cm en una circunferencia de 30 cm de
radio. Exprese dicho ángulo en radianes y en grados.
4. Una vía férrea ha de describir un arco de circunferencia. ¿Qué radio hay que
utilizar si la vía tiene que cambiar su dirección en 25 en un recorrido de 120 m?
RAZONES TRIGONOMETRICAS
El término Trigonometría se refiere a la medición de triángulos. Proviene del
griego trigonos, que significa triangular, y metría, que significa medida.
La trigonometría relaciona las medidas de los lados de un triángulo con sus
ángulos.
Definiremos las seis razones o funciones trigonométricas: seno, coseno,
tangente, cosecante, secante y cotangente, como las razones de las longitudes de los
lados de un triángulo rectángulo. Los nombres de las razones se suelen abreviar como
sen, cos, tg, csc, sec y ctg, respectivamente.
Como lo muestra la figura anterior, si AOB es un triangulo rectángulo, entonces
el lado AB se denomina opuesto al ángulo . El lado OA se llama adyacente al ángulo
. La hipotenusa, OB, es el lado opuesto al ángulo recto. Las longitudes de estos lados
se demarcan por: op, ady e hip, respectivamente.
Las seis funciones o razones trigonométricas de un ángulo agudo se definen
así:
𝒔𝒆𝒏 𝜶 =𝒐𝒑
𝒉𝒊𝒑
𝒄𝒐𝒔 𝜶 =𝒂𝒅𝒚
𝒉𝒊𝒑
𝒕𝒂𝒏 𝜶 =𝒐𝒑
𝒂𝒅𝒚
𝒄𝒕𝒈 𝜶 =𝒂𝒅𝒚
𝒐𝒑
𝒄𝒔𝒄 𝜶 =𝒉𝒊𝒑
𝒐𝒑
𝒔𝒆𝒄 𝜶 =𝒉𝒊𝒑
𝒂𝒅𝒚
El dominio de cada una de estas funciones es el conjunto de todos los ángulos
agudos (aunque se puede extender este dominio al conjunto de los números reales).
Los valores de las seis funciones trigonométricas dependen únicamente de la medida
del ángulo y no del tamaño del triángulo rectángulo con el que se trabaje.
𝛼
Hipotenusa
Lado adyacente a
Lado opuesto a
O
p
o
t
e
n
u
s
a
A
B
Para la resolución de problemas utilizaremos, en general, sen , cos y tg , y
hallaremos sus valores por medio de la calculadora científica.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Existen muchas relaciones importantes entre las razones trigonométricas. Las
básicas se denominan identidades elementales, y realmente vale la pena
memorizarlas. Las siguientes identidades se obtienen fácilmente de las definiciones de
las razones trigonométricas.
IDENTIDADES DE COCIENTE
𝐭𝐚𝐧 𝜶 =𝒔𝒆𝒏 𝜶
𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒕𝒈 𝜶 =
𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝒔𝒆𝒏 𝜶
IDENTIDADES RECIPROCAS
𝒔𝒆𝒄 𝜶 = 𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒔𝒄 𝜶 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒄𝒕𝒈 𝜶 =
𝟏
𝒕𝒈 𝜶
IDENTIDAD PITAGÓRICA
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏
RESOLUCION DE PROBLEMAS
Las aplicaciones de la trigonometría en campos como la topografía y la
navegación, requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “resolver un
triangulo” hace referencia a la necesidad de encontrar la longitud de cada lado y la
amplitud de cada ángulo del mismo.
Así, utilizando la trigonometría, podemos calcular el ancho de un río sin tener
que atravesarlo.
Si se localiza un árbol o algún otro punto de referencia en la orilla opuesta, se
puede marcar el punto A, ubicado enfrente del árbol y en la orilla desde la que se va a
hacer la medición, como lo indica el grafico siguiente:
Río
Luego se marca el punto B, ubicado a cierta distancia de A, 200 metros por
ejemplo, y se mide el ángulo , utilizando por ejemplo, un teodolito (instrumento
utilizado por agrimensores para medir ángulos).
Supongamos que el ángulo sea de 35:
Como 𝑡𝑔 𝛼 =𝑜𝑝
𝑎𝑑𝑦
Tendremos: 𝑡𝑔 35° =𝑥
200
𝑥 = 200. 𝑡𝑔 35°
𝑥 = 200.0,7
𝑥 = 140
El ancho del río es, entonces, de 140 metros.
A
B
x Llamamos x al ancho del río
que queremos calcular
200 m
ACTIVIDADES
1. Resuelva con la calculadora
a) Sen 30 25´
b) Cos 120
c) Sec 30 52´
d) Cos 2
e) Cos 2
3𝜋
f) Sen 220 28´
g) Tg 𝜋
4
h) Tg 120 54´´
i) Csc 𝜋
6
j) Ctg 0
k) Arc cos 0,899
l) Arc tg 2,58
m) Arcctg 23
n) Arc sen 0,62
2. Encuentre el valor de cada una de las siguientes expresiones
a) 𝑠𝑒𝑛 30° + tan 45° =
b) 𝑐𝑡𝑔 45° + cos 60° =
c) cos 30°. 𝑐𝑜𝑠 60° − 𝑠𝑒𝑛 30°. 𝑠𝑒𝑛 60° =
d) csc 30°+𝑐𝑠𝑐 60°+csc 90°
sec 0°+sec 30°+sec 60°=
3. En cada uno de los triángulos dados, calcular la longitud indicada por x.
a)
0,8 cm
x
30
b)
2,75 cm
x
25
BIBLIOGRAFIA
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