CURSO DE ESTADISTICA

UNIDAD II PRUEBA DE HIPOTESISLas secciones anteriores han mostrado cmo puede estimarse un parmetro a partir de los datos contenidos en una muestra. Puede encontrarse ya sea un slo nmero (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo de confianza). Sin embargo, muchos problemas de ingeniera, ciencia, y administracin, requieren que se tome una decisin entre aceptar o rechazar una proposicin sobre algn parmetro. Esta proposicin recibe el nombre de hiptesis. Este es uno de los aspectos ms tiles de la inferencia estadstica, puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el mundo de la ingeniera, pueden formularse como problemas de prueba de hiptesis. Una hiptesis estadstica es una proposicin o supuesto sobre los parmetros de una o ms poblaciones. Suponga que se tiene inters en la rapidez de combustin de un agente propulsor slido utilizado en los sistemas de salida de emergencia para la tripulacin de aeronaves. El inters se centra sobre la rapidez de combustin promedio. De manera especfica, el inters recae en decir si la rapidez de combustin promedio es o no 50 cm/s. Esto puede expresarse de manera formal como Ho; H1; La proposicin Ho; = 50 cm/s 50 cm/s

= 50 cm/s, se conoce como hiptesis nula, mientras que la

proposicin H1; 50 cm/s, recibe el nombre de hiptesis alternativa. Puesto que la hiptesis alternativa especifica valores de que pueden ser mayores o menores que 50 cm/s, tambin se conoce como hiptesis alternativa bilateral. En algunas situaciones, lo que se desea es formular una hiptesis alternativa unilateral, como en Ho; = 50 cm/s Ho; H1; < 50 cm/s H1; > 50 cm/s = 50 cm/s

Es importante recordar que las hiptesis siempre son proposiciones sobre la poblacin o distribucin bajo estudio, no proposiciones sobre la muestra. Por lo general, el valor del parmetro de la poblacin especificado en la hiptesis nula se determina en una de tres maneras diferentes:

1. Puede ser resultado de la experiencia pasada o del conocimiento del proceso, entonces el objetivo de la prueba de hiptesis usualmente es determinar si ha cambiado el valor del parmetro. 2. Puede obtenerse a partir de alguna teora o modelo que se relaciona con el proceso bajo estudio. En este caso, el objetivo de la prueba de hiptesis es verificar la teora o modelo. 3. Cuando el valor del parmetro proviene de consideraciones externas, tales como las especificaciones de diseo o ingeniera, o de obligaciones contractuales. En esta situacin, el objetivo usual de la prueba de hiptesis es probar el cumplimiento de las especificaciones. Un procedimiento que conduce a una decisin sobre una hiptesis en particular recibe el nombre de prueba de hiptesis. Los procedimientos de prueba de hiptesis dependen del empleo de la informacin contenida en la muestra aleatoria de la poblacin de inters. Si esta informacin es consistente con la hiptesis, se concluye que sta es verdadera; sin embargo si esta informacin es inconsistente con la hiptesis, se concluye que esta es falsa. Debe hacerse hincapi en que la verdad o falsedad de una hiptesis en particular nunca puede conocerse con certidumbre, a menos que pueda examinarse a toda la poblacin. Usualmente esto es imposible en muchas situaciones prcticas. Por tanto, es necesario desarrollar un procedimiento de prueba de hiptesis teniendo en cuenta la probabilidad de llegar a una conclusin equivocada. La hiptesis nula, representada por Ho, es la afirmacin sobre una o ms caractersticas de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la "creencia a priori"). La hiptesis alternativa, representada por H1, es la afirmacin contradictoria a Ho, y sta es la hiptesis del investigador. La hiptesis nula se rechaza en favor de la hiptesis alternativa, slo si la evidencia muestral sugiere que Ho es falsa. Si la muestra no contradice decididamente a Ho, se contina creyendo en la validez de la hiptesis nula. Entonces, las dos conclusiones posibles de un anlisis por prueba de hiptesis son rechazar Ho o no rechazar Ho. Prueba de una Hiptesis Estadstica Para ilustrar los conceptos generales, considere el problema de la rapidez de combustin del agente propulsor presentado con anterioridad. La hiptesis nula es que la rapidez promedio de combustin es 50 cm/s, mientras que la hiptesis alternativa es que sta no es igual a 50 cm/s. Esto es, se desea probar: Ho; H1; = 50 cm/s 50 cm/s

Supngase que se realiza una prueba sobre una muestra de 10 especmenes, y que se observa cual es la rapidez de combustin promedio muestral. La media muestral es un estimador de la media verdadera de la poblacin. Un valor de la media muestral que este prximo al valor hipottico = 50 cm/s es una evidencia de que el verdadero valor de la media es realmente 50 cm/s; esto es, tal evidencia apoya la hiptesis nula Ho. Por otra parte, una media muestral muy diferente de 50 cm/s constituye una evidencia que apoya la hiptesis alternativa H1. Por tanto, en este caso, la media muestral es el estadstico de prueba. La media muestral puede tomar muchos valores diferentes. Supngase que si 48.5 51.5, entonces no se rechaza la hiptesis nula Ho; = 50 cm/s, y que si 51.5, entonces se acepta la hiptesis alternativa H1; 50 cm/s.

Los valores de que son menores que 48.5 o mayores que 51.5 constituyen la regin crtica de la prueba, mientras que todos los valores que estn en el intervalo 48.5 51.5 forman la regin de aceptacin. Las fronteras entre las regiones crtica y de aceptacin reciben el nombre de valores crticos. La costumbre es establecer conclusiones con respecto a la hiptesis nula Ho. Por tanto, se rechaza Ho en favor de H1 si el estadstico de prueba cae en la regin crtica, de lo contrario, no se rechaza Ho. Este procedimiento de decisin puede conducir a una de dos conclusiones errneas. Por ejemplo, es posible que el valor verdadero de la rapidez promedio de combustin del agente propulsor sea igual a 50 cm/s. Sin embargo, para todos los especmenes bajo prueba, bien puede observarse un valor del estadstico de prueba que cae en la regin crtica. En este caso, la hiptesis nula Ho ser rechazada en favor de la alternativa H1cuando, de hecho, Ho en realidad es verdadera. Este tipo de conclusin equivocada se conoce como error tipo I. El error tipo I se define como el rechazo de la hiptesis nula Ho cuando sta es verdadera. Tambin es conocido como nivel de significancia. Si tuviramos un nivel de confianza del 95% entonces el nivel de significancia sera del 5%. Anlogamente si se tiene un nivel de confianza del 90% entonces el nivel de significancia sera del 10%. Ahora supngase que la verdadera rapidez promedio de combustin es diferente de 50 cm/s, aunque la media muestral caiga dentro de la regin de aceptacin. En este caso se acepta Ho cuando sta es falsa. Este tipo de conclusin recibe el nombre de error tipo II. El error tipo II error sta es falsa. se define como la aceptacin de la hiptesis nula cuando

Por tanto, al probar cualquier hiptesis estadstica, existen cuatro situaciones diferentes que determinan si la decisin final es correcta o errnea. Decisin Aceptar Ho Rechazar Ho Ho es verdadera No hay error Error tipo I Ho es falsa Error tipo II No hay error

1. Los errores tipo I y tipo II estn relacionados. Una disminucin en la probabilidad de uno por lo general tiene como resultado un aumento en la probabilidad del otro. 2. El tamao de la regin crtica, y por tanto la probabilidad de cometer un error tipo I, siempre se puede reducir al ajustar el o los valores crticos. 3. Un aumento en el tamao muestral n reducir y de forma simultnea. 4. Si la hiptesis nula es falsa, es un mximo cuando el valor real del parmetro se aproxima al hipottico. Entre ms grande sea la distancia entre el valor real y el valor hipottico, ser menor . PASOS PARA ESTABLECER UN ENSAYO DE HIPOTESIS INDEPENDIENTEMENTE DE LA DISTRIBUCION QUE SE ESTE TRATANDO 1. Interpretar correctamente hacia que distribucin muestral se ajustan los datos del enunciado. 2. Interpretar correctamente los datos del enunciado diferenciando los parmetros de los estadsticos. As mismo se debe determinar en este punto informacin implcita como el tipo de muestreo y si la poblacin es finita o infinita. 3. Establecer simultneamente el ensayo de hiptesis y el planteamiento grfico del problema. El ensayo de hiptesis est en funcin de parmetros ya que se quiere evaluar el universo de donde proviene la muestra. En este punto se determina el tipo de ensayo (unilateral o bilateral). 4. Establecer la regla de decisin. Esta se puede establecer en funcin del valor crtico, el cual se obtiene dependiendo del valor de (Error tipo I o nivel de significancia) o en funcin del estadstico lmite de la distribucin muestral. Cada una de las hiptesis deber ser argumentada correctamente para tomar la decisin, la cual estar en funcin de la hiptesis nula o Ho. 5. Calcular el estadstico real, y situarlo para tomar la decisin. 6. Justificar la toma de decisin y concluir. Tipos de Ensayo

Se pueden presentar tres tipos de ensayo de hiptesis que son:y y y

Unilateral Derecho Unilateral Izquierdo Bilateral

Dependiendo de la evaluacin que se quiera hacer se seleccionar el tipo de ensayo.y

Unilateral Derecho. El investigador desea comprobar la hiptesis de un aumento en el parmetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptacin y de rechazo. Ensayo de hiptesis: Ho; Parmetro x

H1; Parmetro " xy

Unilateral Izquierdo: El investigador desea comprobar la hiptesis de una disminucin en el parmetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptacin y de rechazo. Ensayo de hiptesis: Ho; Parmetro H1; Parmetro x x

y

Bilateral: El investigador desea comprobar la hiptesis de un cambio en el parmetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de rechazo. Ensayo de hiptesis: Ho; Parmetro = x H1; Parmetro x

Para realizar los ejemplos y ejercicios de ensayo de hiptesis se recomienda seguir los pasos mencionados anteriormente. Los ejemplos siguientes se solucionarn por los pasos recomendados, tenindose una variedad de problemas en donde se incluirn a todas las distribuciones muestrales que se han visto hasta aqu. Ejemplos: 1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el ao pasado muestra una vida promedio de 71.8 aos. Suponga una desviacin estndar poblacional de 8.9 aos, esto parece indicar que la vida media hoy en da es mayor que 70 aos? Utilice un nivel de significancia de 0.05. Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de medias con desviacin estndar conocida. 2. Datos: =70 aos = 8.9 aos = 71.8 aos n = 100

= 0.05 3. Ensayo de hiptesis Ho; H1; = 70 aos. > 70 aos.

4. Regla de decisin: Si zR 1.645 no se rechaza Ho.

Si zR> 1.645 se rechaza Ho. 5. Clculos:

6. Justificacin y decisin. Como 2.02 >1.645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en da es mayor que 70 aos. Existe otra manera de resolver este ejercicio, tomando la decisin en base al estadstico real, en este caso la media de la muestra. De la formula de la distribucin muestral de medias se despeja la media de la muestra:

Regla de decisin: Si Si 71.46 No se rechaza Ho

> 71.46 Se rechaza Ho

Como la media de la muestral es de 71.8 aos y es mayor al valor de la media muestral lmite de 71.46 por lo tanto se rechaza Ho y se llega a la misma conclusin. 2. Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviacin estndar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duracin promedio de 788 horas, muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duracin media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.04. Solucin: 1. Se trata de una distribucin muestral de medias con desviacin estndar conocida. 2. Datos: =800 horas = 40 horas = 788 horas n = 30 = 0.04 3. Ensayo de hiptesis Ho; = 800 horas

H1;

800 horas

4. Regla de Decisin: Si 2.052 ZR 2.052 No se rechaza Ho

Si ZR < -2.052 si ZR > 2.052 Se rechaza Ho 5. Clculos:

6. Justificacin y decisin: Como 2.052 -1.643 2.052 por lo tanto, no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.04 que la duracin media de los focos no ha cambiado. Solucin por el otro mtodo:

785.02 y 814.98

Regla de decisin: Si 785.02 Si < 785.02 814.98 No se rechaza Ho > 814.98 se rechaza Ho

Como la = 788 horas, entonces no se rechaza Ho y se concluye que la duracin media de los focos no ha cambiado. . Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maz pesan, en pomedio 5.23 onzas con una desviacin estndar de 0.24 onzas. Pruebe la hiptesis de que = 5.5 onzas contra al hiptesis alternativa, < 5.5 onzas en el nivel de significamcia de 0.05. Solucin: 1. Se trata de una distribucin muestral de medias con desviacin estndar desconocida, pero como el tamao de muestra es mayor a 30 se puede tomar la desviacin muestral como un estimador puntual para la poblacional. 2. Datos: = 5.5 onzas s= 0.24 onzas = 5.23 onzas n = 64 = 0.05 3. Ensayo de hiptesis Ho; H1; = 5.5 onzas < 5.5 onzas

4. Regla de decisin: Si ZR -1.645 No se rechaza Ho

Si ZR < -1.645 Se rechaza Ho 5. Clculos:

6. Justificacin y decisin: Como 9 < -1.645 por lo tanto se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que las bolsas de palomitas pesan en promedio menos de 5.5 onzas. Solucin por el otro mtodo:

Regla de decisin:

Si Si

5.45 No se Rechaza Ho < 5.45 Se rechaza Ho = 5.23 y este valor es menor que 5.45 pot lo tanto se rechaza Ho.

Como la

4. Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas las casas que se construyen hoy en da en la ciudad de Richmond. Estara de acuerdo con esta afirmacin si una investigacin de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.10. Solucin: 1. Se trata de una distribucin muestral de proporciones. 2. Datos: P= 0.70 p = 8/15 = 0.5333 n = 15 = 0.10 3. Ensayo de hiptesis Ho; P = 0.70 H1; P 0.70



6. Justificacin y decisin: Como 1.645 -1.41 1.645 No se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.10 que la afirmacin del constructor es cierta. Solucin por el otro mtodo:

= 0.505 y 0.894

Regla de decisin: Si 0.505 pR 0.894 No se rechaza Ho

Si pR < 0.505 si ZR > 0.894 Se rechaza Ho Como el valor del estadstico real es de 0.533 por lo tanto no se rechaza Ho y se llega a la misma conclusin.

Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de motores automovilsticos. El cliente requiere que la fraccin de controladores defectuosos en uno de los pasos de manufactura crticos no sea mayor que 0.05, y que el fabricante demuestre esta caracterstica del proceso de fabricacin con este nivel de calidad, utilizando

= 0.05. El fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que cuatro de ellos son defectuosos. El fabricante puede demostrar al cliente la calidad del proceso? Solucin:1. Se trata de una distribucin muestral de proporciones. 2. Datos: P= 0.05 p = 4/200 = 0.02 n = 200 = 0.05 3. Ensayo de hiptesis Ho; P = 0.05 H1; P < 0.05

4. Regla de decisin: Si ZR -1.645 No se rechaza Ho

Si ZR < -1.645 Se rechaza Ho 5. Clculos:

6. Justificacin y decisin:

Puesto que 1.946 0 Se desea rechazar Ho si el nuevo ingrediente disminuye el tiempo promedio de secado, por eso se pone la diferencia mayor a cero o sea positiva para poder probar que 2 es menor que 1.



6. Justificacin y decisin: Puesto que 2.52>1.645, se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la adicin del nuevo ingrediente a la pintura si disminuye de manera significativa el tiempo promedio de secado. Solucin por el otro mtodo:

Regla de decisin:

Si Si

5.88 No se rechaza Ho > 5.88 Se rechaza Ho

Puesto que = 121-112 = 9 y este nmero es mayor a 5.88 por lo tanto se rechaza Ho.

Se utilizan dos mquinas para llenar botellas de plstico con un volumen neto de 16.0 onzas. Las distribuciones de los volmenes de llenado pueden suponerse normales, con desviaciones estndar 1= 0.020 y 2 = 0.025 onzas. Un miembro del grupo de ingeniera de calidad sospecha que el volumen neto de llenado de ambas mquinas es el mismo, sin importar si ste es o no de 16 onzas. De cada mquina se toma una muestra aleatoria de 10 botellas. Se encuentra el ingeniero en lo correcto? Utilice

= 0.05MAQUINA 1

MAQUINA 2 16.01 15.96 15.98 16.02 15.99 16.02 15.97 15.96 16.01 15.99 16.03 16.04 16.02 16.01 16.00

16.03 16.04 16.05 16.05 16.02 Solucin:

1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de medias con desviacin estndar conocida. 2. Datos:1= 2=

0.020 0.025 Este dato se obtuvo calculando la media de los datos en la

mquina 1. Este dato se obtuvo calculando la media de los datos en la mquina 2.

n1=n2 = 10 = 0.05 3. Ensayo de hiptesis Ho;12

=0

H1; 1- 2 0 Si se cae en Ho se podr probar que el volumen de llenado es el mismo en las dos mquinas.



6. Justificacin y decisin: Como 1.96 0.987 1.96 entonces no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que las dos mquinas tienen en promedio la misma cantidad de llenado. Solucin por el otro mtodo:

-0.019 y 0.019

Regla de decisin: Si 0-019 Si < -0.019 0.019 No se rechaza Ho > 0.019 Se rechaza Ho

Como = 16.015 16.005 = 0.01, entonces cae en la regin de aceptacin y no se rechaza Ho.

Existen dos tipos de plstico apropiados para su uso por un fabricante de componentes electrnicos. La tensin de ruptura de ese plstico es un parmetro importante . Se sabe que 1= 2= 1.0 psi. De una muestra aleatoria de tamao 10 y 12 para cada plstico respectivamente, se tiene una media de 162.5 para el plstico 1 y de 155 para el plstico 2. La compaa no adoptar el plstico 1 a menos que la tensin de ruptura de ste exceda a la del plstico 2 al menos por 10 psi. Con base a la informacin contenida en la muestra, la compaa deber utilizar el plstico 1? Utilice

= 0.05 para llegar a una decisin. Solucin: 1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de medias con desviacin estndar conocida. 2. Datos:1= 2=

1.0 psi

n1= 10

n2= 12 = 0.05 3. Ensayo de hiptesis Ho;12

= 10

H1; 1- 2 > 10 Se desea rechazar Ho si la media del plstico 1 supera a la media del plstico 2 en por lo menos 10 psi.



6. Justificacin y decisin: No existe evidencia suficiente para apoyar el uso del plstico 1 ya que 5.83 1.645, por lo tanto no se rechaza Ho. Solucin por el otro mtodo:

Regla de decisin: Si Si 10.70 No se rechaza Ho > 10.70 Se rechaza Ho

Puesto que = 162.5-155 = 7.5 y este nmero es no es mayor a 10.7 por lo tanto no se rechaza Ho.

Se evalan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, para su posible uso en una operacin de pulido en la fabricacin de lentes intraoculares utilizados en el ojo humano despus de una ciruga de cataratas. Se pulen 300 lentes con la primera solucin y, de stos, 253 no presentaron defectos inducidos por el pulido. Despus se pulen otros 300 lentes con la segunda solucin, de los cuales 196 resultan satisfactorios. Existe alguna razn para creer que las dos soluciones para pulir son diferentes? Utilice

= 0.01 Solucin: 1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de proporciones. 2. Datos: p1= 253/300= 0.8433 p2 = 196/300= 0.6533 n1=n2 = 300 3. Ensayo de hiptesis: Ho; P1-P2 = 0 H1; P1-P2 0



En esta frmula se puede observar que en el denominador se tienen a las proporciones poblacionales o sea los parmetros, los cuales no se conocen, por lo que en el ensayo de hiptesis la frmula para poder calcular la ZR cambia, estimando a el parmetro comn P de la siguiente forma:

bien Entonces la frmula de ZR quedara de la siguiente manera:

Se calcular el valor de P:

6. Justificacin y decisin: Puesto que 5.36>2.575, se rechaza la hiptesis nula y se concluye con un nivel de significancia de 0.01 que los dos fluidos para pulir son diferentes. 10. Se tomar el voto entre los residentes de una ciudad y el condado circundante para determinar si se debe construir una planta qumica propuesta. El lugar de construccin est dentro de los lmites de la ciudad y por esta razn muchos votantes del condado consideran que la propuesta pasar debido a la gran proporcin de votantes que favorecen la construccin. Para determinar si hay una diferencia significativa en la proporcin de votantes de la ciudad y votantes del condado que favorecen la propuesta, se realiza una encuesta. Si 120 de 200 votantes de la ciudad favorecen la propuesta y 240 de 500 residentes del condado tambin lo hacen, estara de acuerdo en que la proporcin de votantes de la ciudad que favorecen la propuesta es ms alto que la proporcin de votantes del condado? Utilice un nivel de significancia de 0.025. Solucin: 1. Se trata de una distribucin muestral de diferencia de proporciones. 2. Datos: p1= 120/200= 0.60 p2 = 240/500= 0.48 n1 = 200 n2 = 500 3. Ensayo de hiptesis: Ho; P1-P2 = 0 H1; P1-P2 > 0


Si zR> 1.96 se rechaza Ho. 5. Clculos: Se calcular el valor de P:

6. Justificacin y decisin: Puesto que 2.9>1.96, se rechaza la hiptesis nula y se concluye con un nivel de significancia de 0.025 que la proporcin de votantes de la ciudad a favor de la propuesta es ms alta que la proporcin de votantes del condado. Uso de valores P para la toma de decisiones Al probar hiptesis en las que la estadstica de prueba es discreta, la regin crtica se puede elegir de forma arbitraria y determinar su tamao. Si es demasiado grande, se puede reducir al hacer un ajuste en el valor crtico. Puede ser necesario aumentar el tamao de la muestra para compensar la disminucin que ocurre de manera automtica en la potencia de la prueba (probabilidad de rechazar Ho dado que una alternativa especfica es verdadera).

Por generaciones enteras de anlisis estadstico, se ha hecho costumbre elegir un nivel de significancia de 0.05 0.01 y seleccionar la regin crtica en consecuencia. Entonces, por supuesto, el rechazo o no rechazo estricto de Ho depender de esa regin crtica. En la estadstica aplicada los usuarios han adoptado de forma extensa la aproximacin del valor P. La aproximacin se disea para dar al usuario una alternativa a la simple conclusin de "rechazo" o "no rechazo". La aproximacin del valor P como ayuda en la toma de decisiones es bastante natural pues casi todos los paquetes de computadora que proporcionan el clculo de prueba de hiptesis entregan valores de P junto con valores de la estadstica de la prueba apropiada.y y y

Un valor P es el nivel (de significancia) ms bajo en el que el valor observado de la estadstica de prueba es significativo. El valor P es el nivel de significancia ms pequeo que conduce al rechazo de la hiptesis nula Ho. El valor P es el mnimo nivel de significancia en el cual Ho sera rechazada cuando se utiliza un procedimiento de prueba especificado con un conjunto dado de informacin. Una vez que el valor de P se haya determinado, la conclusin en cualquier nivel particular resulta de comparar el valor P con

1. Valor P Valor P > . Ensayo Unilateral Derecho: rechazar Ho al nivel . No rechazar Ho al nivel

Ensayo Unilateral Izquierdo:

Ensayo Bilateral:

Ejemplos: 1. Calcular el valor de P para el primer ejemplo de ensayo de hiptesis en donde se quera probar que la edad media de los habitantes de Estados Unidos es superior a 70 aos. Solucin: 1. Ensayo de hiptesis Ho; H1; = 70 aos. > 70 aos.

2. Regla de decisin: Si P 0.05 se rechaza Ho.

Si P > 0.05 No se rechaza Ho. 3. Clculos:

Esta es el valor de Z que se utilizar para calcular el valor de P, como es un ensayo unilateral derecho se calcular el rea a la derecha de este valor.

4. Justificacin y decisin: Como el valor de P es 0.217 y es menor al valor del nivel de significancia de 0.05 por lo tanto se rechaza H0, y se concluye que la edad media de los habitantes es mayor a 70 aos. 1. Calcular el valor de P para el ejemplo 7 de esta seccin en donde se tiene dos mquinas y se quiere ver si tienen la misma cantidad promedio de llenado en las botellas de plstico. Solucin: 1. Ensayo de hiptesis Ho;12

=0

H1; 1- 2 0 Si se cae en Ho se podr probar que el volumen de llenado es el mismo en las dos mquinas.

2. Regla de Decisin: Si P 0.05 Se rechaza Ho

Si P > 0.05 No se rechaza Ho 3. Clculos:

Como este es un ensayo bilateral se proceder a calcular el valor de P mediante el valor de la ZR, positiva y negativa y luego se sumarn las reas.

Como el valor de P es mayor al de , se no se rechaza H0, y se concluye que las maquinas tienen el mismo llenado promedio. 1. Se afirma que un automvil se maneja en promedio ms de 20,000 kilmetros por ao. Para probar esta afirmacin, se pide a una muestra de 100 propietarios de automviles que lleven un registro de los kilmetros que viajen. Est de acuerdo con esta afirmacin si la muestra aleatoria tiene un promedio de 23,500 kilmetros y una desviacin estndar de 3900 kilmetros? Utilice un valor P para su conclusin.

Solucin: En este ejercicio no nos manejan ningn valor de por lo que se proceder a plantear el ensayo y luego calcular z para poder conocer el valor de P y llegar a una conclusin.1. Ensayo de hiptesis Ho; = 20,000 kilmetros.

H1;

> 20,000 kilmetros.

2. Clculos:

3. Decisin. Se observa que este valor de Z es muy grande, ni siquiera se encuentra en la tabla, entonces quiere decir que el rea a la derecha de ese valor es cero y este sera el valor de P, por lo que no apoya a la hiptesis nula y se concluye que los automviles se manejan en promedio ms de 20,000 kilmetros por ao. 4. Se estudia la fraccin de circuitos integrados defectuosos producidos en un proceso de fotolitografa. Para ello se somete a prueba una muestra de 300 circuitos, en la que 13 son defectuosos. Utilice los datos para probar Ho: P=0.05 contra H1: P 0.05. Utilice un valor de P para su conclusin. Solucin:1. Ensayo de hiptesis Ho; P = 0.05 H1; P 0.05

2. Clculos:

3. Decisin: Este valor de P de 0.596 es muy grande por lo que se concluye que la fraccin defectuosa de circuitos integrados es de 0.05, o sea no se rechaza Ho.

ERROR TIPO II Al evaluar un procedimiento de prueba de hiptesis, tambin es importante examinar la probabilidad del error tipo II, el cual se denota por . Esto es, = P(error tipo II) = P(aceptar Ho/ Ho es falsa) Para calcular se debe tener una hiptesis alternativa especfica; esto es, debe tenerse un valor particular del parmetro. Por ejemplo, supngase que es importante rechazar la hiptesis nula Ho: = 50 cada vez que la rapidez promedio de combustin es mayor que 52 cm/s o menor que 48 cm/s. Para ello, puede calcularse la probabilidad de un error tipo II para los valores = 52 y = 48, y utilizar este resultado para averiguar algo con respecto a la forma en que se desempear la prueba. De manera especfica, cmo trabajar el procedimiento de prueba si se desea detectar, esto es, rechazar Ho, para un valor medio de = 52 = 48? Dada la simetra, slo es necesario evaluar uno de los dos casos, esto es, encontrar la probabilidad de aceptar la hiptesis nula Ho: = 50 cuando el valor verdadero es = 52. Para hacer este clculo se tendr un tamao de muestra de 10 y una desviacin estndar de la poblacin de 2.5 cm/s. Adems se evaluar el error tipo II con un nivel de significancia de 0.06.

Ho: H1:

= 50 50

Como ya sabemos se trata de un ensayo bilateral por lo que se tendr que calcular el valor del estadstico de la siguiente manera:

Para facilitar los clculos se redondearn estos nmeros a 48.5 y 51.5

Para poder comprender mejor el clculo del error tipo II se delimitar el rea de la regin de aceptacin con dos lneas ya que es bilateral y se evaluar la probabilidad de caer en esa rea cuando la media tiene un valor de 52 y de 48.

Como se puede observar en cada calculo del valor se tuvieron que evaluar los dos valores de z. En el primer calculo de se tiene un valor de z=-4.43, esto quiere decir que no existe rea del lado izquierdo del 48.5, por lo que slo ser el rea que corresponda a la z=-0.63. Lo mismo pasa con el segundo clculo de . Como las medias de 52 y 48 son equidistantes del 50 por este motivo los valores del error tipo II son los mismos. En caso que no estn equidistantes se tienen que calcular por separado y calcular los valores correspondientes de z porque en ocasiones se tiene un rea que no est dentro de la regin de aceptacin, la cual no se tiene que tomar en cuenta para evaluar al error tipo II. A continuacin se proceder a generar algunas curvas caractersticas de operacin para evaluar al error tipo II, entre ms se aleja el valor verdadero de la media de la media de la hiptesis nula, menor es la probabilidad del error tipo II para un tamao de muestra y nivel de significancia dadas. A medida que el tamao de la muestra aumenta la probabilidad de cometer el error tipo II disminuye. Esto se observar en los ejercicios siguientes. Ejemplos:

1. Generar una curva caracterstica de operacin para el ejercicio nmero 1 de la seccin de ensayo de hiptesis con las siguientes medias supuestas:70.5, 71, 71.5, 72, 72.5, 73, 73.5, y 74.

2. Datos:=70 aos = 8.9 aos = 71.8 aos n = 100 = 0.05

3. Ensayo de hiptesisHo; H1; = 70 aos. > 70 aos.

Se calcular el estadstico lmite:

En la mayora de los libros de estadstica existen las curvas caractersticas de operacin para diferentes tamaos de muestra y stas se proporcionan tanto para = 0.05 como para = 0.01 (son las ms comunes). Para poder utilizar las curvas se define un parmetro llamado d, que estandariza para cualquier valor de y :

Si se quisiera consultar en un libro, cul es la probabilidad de cometer el error tipo II cuando la media verdadera es de 72?; se tendra que calcular el valor de d y buscar en las curvas la que pertenezca a un tamao de muestra de 100 con un = 0.05.

Este valor se encuentra en el eje de las x. Si se transforma la curva caracterstica de operacin con el valor de d quedara de la siguiente manera:

Se coment anteriormente que si el tamao de la muestra aumenta los dos tipos de errores y disminuyen. Para probar esto y especficamente en lo que se refiere al error tipo II se realizar el ejercicio anterior suponiendo que en lugar de tener 100 personas, el tamao de la muestra aumenta a 150 personas. Se calcular el estadstico lmite:

1. Generar una curva caracterstica de operacin (CCO) para el ejercicio 5 de ensayo de hiptesis. Suponer los siguientes valores de P; 0.04, 0.03, 0.025, 0.02 y 0.01. Enseguida se proporciona la informacin necesaria para realizar la CCO:

Datos: P= 0.05 p = 4/200 = 0.02 n = 200 = 0.05 Ensayo de hiptesis Ho; P = 0.05 H1; P < 0.05

Solucin: Se proceder a calcular el estadstico lmite pL:

En una distribucin muestral de proporciones, para graficar la CCO, se necesita calcular el valor de np, que es el que ir en el eje de las x para estandarizar la curva. 2. Genere un CCO para el ejercicio nmero 6 de la seccin anterior. Suponga las siguientes diferencias de medias: 1- 2 =2, 4, 6, 7, 9, 12 y 14. Datos:1= 2=

8

n1=n2= 10 = 0.05 Ensayo de hiptesis Ho; H1;112

=0 >0

2

Para graficar la curva se utilizar el valor de d, el cual para una distribucin muestral de diferencia de medias tiene la siguiente frmula:

En los libros de estadstica lo que se acostumbra en algunos de los ejercicios es preguntar slo un punto de la CCO, por lo que a continuacin se resolvern dos problemas tipo. 3. Se require que la tensin de ruptura de un hilo utilizado en la fabricacin de material de tapicera se al menos de 100 psi. La experiencia ha indicado que la desviacin estndar de la tensin de ruptura es de 2 psi. Se prueba una muestra aleatoria de nueve especmenes, y la tensin de ruptura promedio observada en ella es de 98 psi. Cual es la probabilidad de aceptar la hiptesis nula con un = 0.05 si la tensin promedio de ruptura verdadera de la fibra es 104 psi? Solucin: Ensayo de hiptesis: Ho; H1; = 100 > 100

Se calcula el estadstico lmite:

4. Del ejercicio nmero 7 de la seccin anterior encontrar el error tipo II suponiendo que la diferencia verdadera entre las medias de las mquinas es fe 0.03 Datos:1= 2=

0.020 0.025

n1=n2 = 10 = 0.05 Solucin: Ensayo de hiptesis Ho; H1;12

=0 0

1-

2

Por ser bilateral se calcularon dos valores de z, y como se puede observar del lado izquierdo de 0.019 ya no se encuentra rea, por lo que el error tipo II slo ser el rea a la izquierda del valor de la diferencia del estadstico lmite 0.019.Problemas propuestos

1. En un estudio para estimar la proporcin de residentes de cierta ciudad y sus suburbios que estn a favor de la construccin de una planta de energa nuclear, se encuentra que 63 de 100 residentes urbanos estn a favor de la construccin mientras que slo 59 de 125 residentes suburbanos la favorecen. Hay una diferencia significativa entre la proporcin de residentes urbanos y suburbanos que favorecen la construccin de la planta nuclear? Use un valor de P para su conclusin. 2. Una compaa petrolera afirma que un quinto de las casas en cierta ciudad se calientan con petrleo. Tenemos razn en dudar de esta afirmacin si, en una muestra aleatoria de 1000 casas en esta ciudad, se encuentra que 136 se calientan con petrleo? Utilice un nivel de significancia de 0.01.

3. Se sabe que la duracin, en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribucin aproximadamente normal, con una desviacin estndar de 25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la cual resulta tener una duracin promedio de 1014 horas. a. Existe evidencia que apoye la afirmacin de que la duracin promedio del foco es mayor que 1000 horas? Utilice un = 0.05. b. Cual es el valor P para la prueba? c. Cul es el valor de para la prueba del inciso a) si la verdadera duracin promedio del foco es de 1050 horas? 4. Se estudia la tasa de combustin de dos propelentes slidos utilizados en los sistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se sabe que la tasa de combustin de los dos propelentes tiene aproximadamente la misma desviacin estndar de 3 cm/s. Se prueban dos muestras aleatorias de 20 especmenes cada una, obtenindose medias de 18 y 24 cm/s respectivamente. a. Pruebe la hiptesis de que los dos combustibles slidos tienen la misma rapidez promedio de combustin. Utilice un = 0.05. b. Cul es el valor de P de la prueba? c. Cul es el valor de para la prueba del inciso a) si la verdadera diferencia en la rapidez promedio de combustin es 2.5 cm/s? 4. Un artculo publicado en Fortune afirma que casi la mitad de todos los ingenieros continan sus estudios acadmicos despus de obtener la licenciatura. Un artculo publicado en Engineering Horizons indica que 117 de 484 recin graduados planean continuar sus estudios. a. Los datos publicados en Engineering Horizons son consistentes con los publicados en Fortune? b. Encuentre el valor de P de la prueba. 6. En un invierno con epidemia de gripe, una compaa farmacutica bien conocida estudi 2000 bebes para determinar si la nueva medicina de la compaa era efectiva despus de dos das. Entre 120 bebes que tenan gripe y se les administr la medicina, 29 se curaron dentro de dos das. Entre 280 bebs que tenan gripe pero que no recibieron la medicina, 56 se curaron dentro de dos das. Hay alguna indicacin significativa que apoye la afirmacin de la compaa de la efectividad de la medicina? Calcule el valor P.

7. Se lanza 20 veces una moneda, con un resultado de cinco caras. Esta es suficiente evidencia para rechazar la hiptesis de que la moneda esta balanceada a favor de la alternativa de que las caras ocurren menos de 50% de las veces.? Realice la prueba con un nivel de significancia de 0.03 y cite un valor P. Se supone que los neumticos para automvil de cierto tipo recin comprados deben llenarse a una presin de 30 lb/pulg2. Se representa con el verdadero promedio de presin. Encuentre el valor P asociado con cada valor del estadstico z dado para probar Ho; a) 2.10 b) 1.75 c) 0.55 d) 1.41 e) 5.3 9. Se realiz un experimento para comparar la resistencia a la fractura del acero con nquel maragizado, con el acero de pureza comercial del mismo tipo. Para 32 especmenes, la resistencia promedio muestral fue de 65.6 para el acero de alta pureza, mientras que se obtuvo una media muestral de 59.8 en 38 especmenes del acero comercial. Debido que el acero de alta pureza es ms costoso, su uso para cierta aplicacin puede justificarse slo si su resistencia a la fractura excede la del acero de pureza comercial en ms de 5. Suponga que ambas distribuciones de resistencias son normales. a. Si se supone que 1 = 1.2 y usando = 0.001. b. Calcule! 2

!contra H1;

= 1.1, pruebe las hiptesis pertinentes

para la prueba del inciso anterior cuando

10. Se cree que la portada y la naturaleza de la primera pregunta de encuestas por correo influyen en la tasa de respuesta. Un artculo prob esta teora al experimentar con diferentes diseos de portadas. Una portada sencilla, y la otra utiliz la figura de un paracaidista. Los investigadores especularon que la tasa de devolucin sera menor para la portada sencilla.Portada Sencilla Paracaidista Nmero de envos 207 213 Nmero de devoluciones 104 109

Esta informacin apoya la hiptesis de los investigadores? Haga la prueba con un nivel de significancia de 0.10, calculando primero un valor P. Respuesta a los Problemas propuestos

1. z= 2.40; s, P=0.01 2. P2,

La siguiente figura presenta la grfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribucin t es similar a la de la distribucin normal estndar: ambas son simtricas y unimodales, y el valor mximo de la ordenada se alcanza en la media ! Sin embargo, la distribucin t tiene colas ms amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribucin normal. A medida que el nmero de grados de libertad tiende a infinito, la forma lmite de la distribucin t es la distribucin normal estndar.

Propiedades de las distribuciones t 1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0. 2. Cada curva t, est ms dispersa que la curva normal estndar z. 3. A medida que aumenta, la dispersin de la curva t correspondiente disminuye. 4. A medida que , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estndar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl = La distribucin de la variable aleatoria t est dada por:

Esta se conoce como la distribucin t con

grados de libertad.

Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias independientes que son todas normales

con media

y desviacin estndar

. Entonces la variable aleatoria

tiene una distribucin t con

= n-1 grados de libertad.

La distribucin de probabilidad de t se public por primera vez en 1908 en un artculo de W. S. Gosset. En esa poca, Gosset era empleado de una cervecera irlandesa que desaprobaba la publicacin de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibicin, public su trabajo en secreto bajo el nombre de "Student". En consecuencia, la distribucin t normalmente se llama distribucin t de Student, o simplemente distribucin t. Para derivar la ecuacin de esta distribucin, Gosset supone que las muestras se seleccionan de una poblacin normal. Aunque esto parecera una suposicin muy restrictiva, se puede mostrar que las poblaciones no normales que poseen distribuciones en forma casi de campana an proporcionan valores de t que se aproximan muy de cerca a la distribucin t. La distribucin t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamao de la muestra y siempre es mayor a uno. Unicamente cuando el tamao de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones sern las mismas.

Se acostumbra representar con el valor t por arriba del cual se encuentra un rea igual a . Como la distribucin t es simtrica alrededor de una media de

cero, tenemos ; es decir, el valor t que deja un rea de a la derecha y por tanto un rea de a la izquierda, es igual al valor t negativo que deja un rea de en la cola derecha de la distribucin. Esto es, t0.95 = -t0.05, t0.99=-t0.01, etc. Para encontrar los valores de t se utilizar la tabla de valores crticos de la distribucin t del libro Probabilidad y Estadstica para Ingenieros de los autores Walpole, Myers y Myers. Ejemplo: El valor t con = 14 grados de libertad que deja un rea de 0.025 a la izquierda, y por tanto un rea de 0.975 a la derecha, es t0.975=-t0.025 = -2.145

Si se observa la tabla, el rea sombreada de la curva es de la cola derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de . La manera de encontrar el valor de t es buscar el valor de en el primer rengln de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se intercepten obtendr el valor de t. Ejemplo: Encuentre la probabilidad de t0.025 < t < t0.05. Solucin: y se

Como t0.05 deja un rea de 0.05 a la derecha, y t0.025 deja un rea de 0.025 a la izquierda, encontramos un rea total de 1-0.05-0.025 = 0.925. P( t0.025 < t < t0.05) = 0.925 Ejemplo: Encuentre k tal que P(k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de tamao 15 que se selecciona de una distribucin normal. Solucin:

Si se busca en la tabla el valor de t =1.761 con 14 grados de libertad nos damos cuenta que a este valor le corresponde un rea de 0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. Entonces si se resta 0.05 y 0.045 se tiene un valor de 0.005, que equivale a Luego se busca el valor de 0.005 en el primer rengln con 14 grados de libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como el valor de est en el extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es t = -2.977 por lo tanto: P(-2.977 < t < -1.761) = 0.045 Ejemplo: Un ingeniero qumico afirma que el rendimiento medio de la poblacin de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milmetro de materia prima. Para verificar esta afirmacin toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmacin. Qu conclusin extraera

de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milmetro y una desviacin estndar de 40 gramos? Suponga que la distribucin de rendimientos es aproximadamente normal. Solucin: De la tabla encontramos que t0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711. Por tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmacin si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre 1.711 y 1.711. Se procede a calcular el valor de t:

Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02. De aqu que es probable que el fabricante concluya que el proceso produce un mejor producto del que piensa. INTERVALO DE CONFIANZA PARA Si ; CON DESCONOCIDA

y s son la media y la desviacin estndar de una muestra aleatoria de una , desconocida, un intervalo de confianza de

poblacin normal con varianza ( )100% para es:

donde /2 es el valor t con /2 a la derecha.

= n-1 grados de libertad, que deja un rea de

Se hace una distincin entre los casos de conocida y desconocida al calcular las estimaciones del intervalo de confianza. Se debe enfatizar que para el primer caso se utiliza el teorema del lmite central, mientras que para desconocida se hace uso de la distribucin muestral de la variable aleatoria t. Sin embargo, el uso de la distribucin t se basa en la premisa de que el muestreo se realiza de una distribucin normal. En tanto que la distribucin tenga forma aproximada de campana, los intervalos de confianza se pueden calcular cuando la varianza se desconoce mediante el uso de la distribucin t y se puede esperar buenos resultados.

Con mucha frecuencia los estadsticos recomiendan que aun cuando la normalidad no se pueda suponer, con desconocida y n 30, s puede reemplazar a y se puede utilizar el intervalo de confianza:

Por lo general ste se denomina como un intervalo de confianza de muestra grande. La justificacin yace slo en la presuncin de que con una muestra grande como 30, s estar muy cerca de la real y de esta manera el teorema del lmite central sigue valiendo. Se debe hacer nfasis en que esto es solo una aproximacin y que la calidad de este enfoque mejora a medida que el tamao de la muestra crece ms. Ejemplos: 1. El contenido de siete contenedores similares de cido sulfrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone una distribucin aproximadamente normal. Solucin: La media muestral y la desviacin estndar para los datos dados son: 10 y s= 0.283 En la tabla se encuentra que t0.025=2.447 con 6 grados de libertad, de aqu, el intervalo de confianza de 95% para es:

Con un nivel de confianza del 95% se sabe que el promedio del contenido de los contenedores est entre 9.47 y 10.26 litros.

2. Un artculo publicado en el Journal of Testing and Evaluation presenta las siguientes 20 mediciones del tiempo de combustin residual en segundos de especmenes tratados de ropa de dormir para nios: 9.85 9.93 9.75 9.77 9.67 9.87 9.67 9.94 9.85 9.75 9.83 9.92 9.74 9.99 9.88 9.95 9.95 9.93 9.92 9.89 Se desea encontrar un nivel de confianza del 95% para el tiempo de combustin residual promedio. Supngase que el tiempo de combustin residual sigue una distribucin normal. Solucin: La media muestral y la desviacin estndar para los datos dados son: 9.8525 y s= 0.0965 En la tabla se encuentra que t0.025=2.093 con 19 grados de libertad, de aqu, el intervalo de confianza de 95% para es:

Por lo tanto, se tiene una confianza del 95% de que el tiempo de combustin residual promedio se encuentra entre 9.8073 y 9.8977 segundos.PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCION NORMAL, VARIANZA DESCONOCIDA

Ciertamente sospechamos que las pruebas sobre una media poblacional

con

desconocida, debe incluir el uso de la distribucin t de Student. La estructura

de la prueba es idntica a la del caso de conocida, con la excepcin de que el valor en la estadstica de prueba se reemplaza por la estimacin de s calculada y la distribucin normal estndar se reemplaza con una distribucin t. Ejemplos: 1. El Instituto Elctrico Edison publica cifras del nmero anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos elctrodomsticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al ao. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al ao con una desviacin estndar de11.9 kilowatt-hora, esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la poblacin de kilowatt-hora es normal. Solucin:1. Datos: = 46 kilowatt-hora s= 11.9 kilowatt-hora = 42 kilowatt-hora n = 12 = 0.05 3. Ensayo de hiptesis Ho; H1; = 46 kilowatt-hora < 46 kilowatt-hora

4. Regla de decisin: Si tR -1.796 No se rechaza Ho

Si tR < -1.796 Se rechaza Ho 5. Clculos:

6. Justificacin y decisin: Como 1.16 > -1.796, por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el nmero promedio de kilowwatt-hora que gastan al ao las aspiradoras no es significativamente menor que 46. Solucin por el otro mtodo:

Regla de decisin: Si Si 39.83 No se Rechaza Ho < 39.83 Se rechaza Ho = 42 y este valor no es menor que 39.83 por lo tanto no se rechaza Ho.

Como la

Se puede aprovechar este ejemplo para calcular el valor de P , como el valor de t calculada es de 1.16, se busca en la tabla y se ve que el area a la izquierda de este valor es de 0.135 con 11 grados de libertad, por lo tanto no se rechaza Ho., ya que sera un valor alto para un nivel de significancia.

1. Un artculo publicado en la revista Materials Engineering describe los resultados de pruebas de resistencia a la adhesin de 22 especmenes de aleacin U-700. La carga para la que cada especmen falla es la siguiente en MPa: 19.8 15.4 11.4 19.5 10.1 18.5 14.1 8.8 14.9 7.9 17.6 13.6 7.5 12.7 16.7 11.9 15.4 11.9 15.8 11.4 15.4 11.4

Sugieren los datos que la carga promedio de falla es mayor que 10Mpa? Supngase que la carga donde se presenta la falla tiene una distribucin normal, y utilicese = 0.05. Calcule el valor de P. Solucin:1. Datos:

= 10 s = 3.55 = 13.71 n = 22 = 0.05 3. Ensayo de hiptesis Ho; H1; = 10 > 10

4. Regla de decisin: Si tR 1.721 no se rechaza Ho.

Si tR> 1.721 se rechaza Ho. 5. Clculos:

6. Justificacin y decisin. Como 4.90 >1.721 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la carga de falla promedio es mayor que 10Mpa. Existe otra manera de resolver este ejercicio, tomando la decisin en base al estadstico real, en este caso la media de la muestra. De la frmula de la distribucin muestral de medias se despeja la media de la muestra:

Regla de decisin: Si Si 11.30 No se rechaza Ho

> 11.30 Se rechaza Ho

Como la media de la muestral es de 13.71 MPa y es mayor al valor de la media muestral lmite de 11.30 por lo tanto se rechaza Ho y se llega a la misma conclusin. Para calcular el valor de P se va a la tabla y se busca en 21 grados de libertad el valor de t = 4.90. Se obseva que el valor mayor de t que se encuentra en la tabla con 21 grados de libertad es de 3.819 el cual le corresponde un rea a la derecha de 0.0005, por lo que para el valor de 4.90 el valor de P es practicamente cero, y esto apoya la decisin de rechazar Ho. 3. Los pesos en libras de una muestra aleatoria de bebs de seis meses son: 14.6, 12.5, 15.3, 16.1, 14.4, 12.9, 13.7 y 14.9. Haga una prueba con nivel de 5% de significancia para determinar si el peso promedio de todos los bebs de seis meses es distinto a 14 libras, suponga que sus pesos se distribuyen normalmente y calcule el valor de P. Solucin:1. Datos: = 14 libras s = 1.21 libras = 14.3 libras n=8

= 0.05 2. Ensayo de hiptesis Ho; H1; = 14 libras 14 libras

3. Regla de Decisin: Si 2.365 tR 2.365 No se rechaza Ho

Si tR < -2.365 si tR > 2.365 Se rechaza Ho 4. Clculos:

5. Justificacin y decisin: Como 2.365 0.7012 2.365 por lo tanto, no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el peso promedio de todos los bebs de seis meses es de 14 libras. Solucin por el otro mtodo:

12.98 y 15.01

Regla de decisin: Si 12.98 Si < 12.98 15.01 No se rechaza Ho > 15.01 se rechaza Ho

Como la

= 14.3 libras, entonces no se rechaza Ho .

Para calcular el valor de P se busca en la tabla el valor de 0.7012 con 7 grados de libertad. Se obseva que este valor no se encuentra pero se puede interpolar entre los valores de 0.549 y 0.896 con reas de 0.30 y 0.20 respectivamente. Interpolando linealmente se obtiene el valor de 0.2561.

Error tipo II El error tipo II se calcula de la misma forma en la que se calcul con la distribucin z. Se realizarn algunos ejercicios en los cuales se determinar la probabilidad de cometer el error tipo II, utilizando la tabla de la distribucin. Existen curvas caractersticas de operacin en los libros con diferentes grados de libertad para determinar los tamaos de muestra correspondientes segn el grado de error que se quiera, recordando que entre mayor sea el tamao de muestra menor ser el error.

1. Se sabe que los voltajes de una marca de pilas tamao C se distribuyen normalmente, se prob una muestra aleatoria de 15 y se encontr que la media es de 1.4 volts con una desviacin estndar de 0.21 volts. En el nivel de significancia de 0.01: a. Indica esto que la media de los voltajes es menor que 1.5 volts? b. Calcular la probabilidad de cometer el error tipo II si el voltaje promedio real de las pilas es de 1.3 volts. Solucin:1. Datos: = 1.5 volts. s= 0.21 volts = 1.4 volts. n = 15 = 0.01 2. Ensayo de hiptesis Ho; H1; = 1.5 volts < 1.5 volts

3. Regla de decisin: Si tR -2.624 No se rechaza Ho

Si tR < -2.624 Se rechaza Ho 5. Clculos:

6. Justificacin y decisin: Como 1.84 > -2.624, por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.01 que los voltajes de las pilas tamao C no son menores a 1.5. Para calcular el error tipo II se tiene que obtener el valor de forma: de la siguiente

Para encontrar el valor de se busca en la tabla de la distribucin t el valor de 1.05 con 14 grados de libertad. Como este valor no se encuentra en la tabla se interpola entre 0.868 y 1.076 con un rea de 0.20 y 0.15 respectivamente. Al interpolar se obtiene un rea de 0.15612 y esta es la probabilidad de cometer el error tipoII cuando la media verdadera es de 1.3 volts y un tamao de muestra de 15. 2. Para el ejercicio del peso de los bebs de 6 meses, calcular el error tipo II, si los pesos verdaderos hubieran sido de 11 y 14.5 libras. Solucin:

Primero se calculan los valores de

:

En este ltimo clculo para se tendr que analizar las reas de los dos extremos, pues estas no estn dentro de la regin de aceptacin, por lo tanto no se deben de tomar en cuenta para el error tipo II. Se busca en la tabla el valor de 3.55 con 7 grados de libertad, y al interpolar nos da un rea de 0.00475. El rea correspondiente a 1.19 con 7 grados de libertad es de 0.1479. Por lo que =1-(0.00475+0.1479)= 0.8473

3. Para el ejercicio en donde se dan los resultados de pruebas de resistencia a la adhesin de 22 especmenes de aleacin U-700., encontrar la probabilidad de cometer el error tipo II si la carga promedio de falla es igual a 11. Solucin:

Primero se obtendr el valor del estadstico lmite:

DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2) En realidad la distribucin ji-cuadrada es la distribucin muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una poblacin normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendr la distribucin muestral de varianzas. Para estimar la varianza poblacional o la desviacin estndar, se necesita conocer el estadstico X2. Si se elige una muestra de tamao n de una poblacin normal con varianza , el estadstico:

tiene una distribucin muestral que es una distribucin ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minscula de la letra griega ji). El estadstico ji-cuadrada esta dado por:

donde n es el tamao de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la poblacin de donde se extrajo la muestra. El estadstico ji-cuadrada tambin se puede dar con la siguiente expresin:

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada 1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0. 2. La forma de una distribucin X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un nmero infinito de distribuciones X2. 3. El rea bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1. 4. Las distribuciones X2 no son simtricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, estn sesgadas a la derecha. 5. Cuando n>2, la media de una distribucin X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1). 6. El valor modal de una distribucin X2 se da en el valor (n-3). La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

La funcin de densidad de la distribucin X2 esta dada por:

para x>0 La tabla que se utilizar para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadstica de Walpole, la cual da valores crticos (gl) para veinte valores especiales de . Para denotar el valor crtico de una distribucin X2 con gl grados de libertad se usa el smbolo (gl); este valor crtico determina a su 2 derecha un rea de bajo la curva X y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para 2 encontrar X 0.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y ao largo del lado superior de la misma tabla.

Clculo de Probabilidad El clculo de probabilidad en una distribucin muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviacin estndar en una muestra que proviene de una distribucin normal. Ejemplos: 1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobs para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribucin normal con una desviacin estndar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2. Solucin: Primero se encontrar el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el rengln de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un rea a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una poblacin normal con varianza , tenga una varianza muestral: a. Mayor que 9.1 b. Entre 3.462 y 10.745 Solucin. a. Primero se proceder a calcular el valor de la ji-cuadrada:

Al buscar este nmero en el rengln de 24 grados de libertad nos da un rea a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05 1. Se calcularn dos valores de ji-cuadrada:

y Aqu se tienen que buscar los dos valores en el rengln de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un rea a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un rea a la derecha de 0.01. Como se est pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el rea de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94. Por lo tanto la P(3.462 s2 10.745) = 0.94

Estimacin de la Varianza Para poder estimar la varianza de una poblacin normal se utilizar la distribucin ji-cuadrada.

Al despejar esta frmula la varianza poblacional nos queda:

Los valores de X2 dependern de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos . Si nos ubicamos en la grfica se tiene:

Ejemplos: 1. Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compaa: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la

varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compaa, suponga una poblacin normal. Solucin: Primero se calcula la desviacin estndar de la muestra:

al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2= 0.286. Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05. Despus con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X2.

Se puede observar en la grfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha. Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:

Graficamente:

Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es slo en la grfica. La interpretacin quedara similar a nuestros temas anteriores referentes a estimacin. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la poblacin de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado. 2. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estndar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efecta como parte del control de calidad, se analiz seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por milln fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la poblacin para este estndar, usando un nivel de confianza del 90%. Solucin: Al calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s2= 0.0285. Se busca en la tabla los valores correspondientes con 5 grados de libertad, obtenindose dos resultados. Para X2(0.95,5)= 1.145 y para X2(0.0,5)= 11.07. Entonces el intervalo de confianza esta dado por:

y

Ensayo de Hiptesis para la Varianza de una Poblacin Normal En la mayora de los casos se tiene el problema de desconocer la varianza o desviacin estndar de la poblacin, en donde las distribuciones son normales. Si se desea probar una hiptesis acerca de la varianza se puede hacer utilizando las medidas estadsticas con las que se construy el intervalo de confianza es con la distribucin Ji- cuadrada. Ejemplos: 1. Una compaa que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de dimetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s2 = 0.0003. Si se supone que las medidas del dimetro se distribuyen en forma normal, hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use = 0.05. Solucin: Como en todos los ensayos de hiptesis que se han realizado anteriormente el procedimiento es el mismo. Despus de que se identifican los datos, se plantea la hiptesis para determinar el tipo de ensayo. Datos: = 0.0002 n = 10 s2 = 0.0003 = 0.05 , esto

Ensayo de hiptesis: Ho; H1; = 0.0002 > 0.0002

Regla de decisin: Si X2R 16.919 no se rechaza Ho.

Si X2R>16.919 se rechaza Ho. Clculos:

Justificacin y decisin: Como 13.5 no es mayor que 16.919 por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que no se puede refutar la afirmacin del proveedor. Este ejercicio se puede aprovechar para calcular el valor de P. En la tabla se busca el valor de 13.5 en el rengln de 9 grados de libertad. Interpolando entre 0.10 y 0.20 se obtiene un valor de P de 0.1484.

2. El contenido de azcar del almbar de los duraznos enlatados tiene una distribucin normal, donde se cree que la varianza es = 18 mg2. Se toma una muestra de 10 latas dieron una desviacin estndar de 4.8 mg. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la varianza ha cambiado?. Use un = 0.05 y calcule el valor de P. Solucin: Datos: = 18 n = 10 s = 4.8 = 0.05 Ensayo de hiptesis: Ho; H1; = 18 18

Regla de decisin: Si 2.7 X2R 19.023 no se rechaza Ho.

Si X2R19.023 se rechaza Ho. Clculos:

Justificacin y decisin: Como 11.52 est entre 2.7 y 19.023, no se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la varianza del contenido de azcar del almbar no ha cambiado, esto es es de 18 mg2. Si recordamos al principio de este tema se dijo que la media de la distribucin ji-cuadrada es (n-1), por lo tanto la media de este ejercicio es de 9. Como el valor real de X2R = 11.52 este nmero se encuentra a la derecha de la media, lo cual quiere decir que el valor de P/2 ser el rea a la derecha del valor de X2R. Al buscar el valor de 11.52 en la tabla se obtiene un rea de 0.2423, por lo tanto P/2 = 0.2423 y P= (2)(0.2423) = 0.4846

3. Experiencia anterior indica que el tiempo que se requiere para que los estudiantes de ltimo ao de preparatoria completen una prueba estandarizada es una variable aletoria normal con una desviacin estndar de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de 20 estudiantes de ltimo ao de preparatoria y se obtiene una desviacin estndar de 4.51. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la desviacin estndar disminuy?. Utilice el valor de P para su decisin. Solucin: Datos: =6 n = 20 s = 4.51 Ensayo de hiptesis:

Ho; H1;

=6 0.10 si las desviaciones estndar = 0.05

Se quiere calcular el error tipo II verdaderas fueran de 0.12 y 0.14. Solucin:

Para poder calcular el error tipo II, primero se debe encontrar el valor de la varianza muestral lmite, esto es s2L, para poder calcular los valores de X2 y posteriormente calcular el rea. Al buscar en la tabla X2(0.05,19)=30.144, este valor se sustituir en la formula. Al despejar de la frmula original de X2 se obtiene:

2. Encontrar el error tipo II para el ejercicio 2 de esta seccin, en donde el ensayo es bilateral pues se quiere ver si la varianza del contenido de azcar en el almbar de los duraznos ha cambiado. Suponga una varianza real de 20 y 26. Solucin: Como este es un ensayo bilateral se tendrn dos valores de s2L. Los cuales se calcularn utilizando las ji-cuadradas lmites que eran de de 2.7 y 19.023.

y

Estos dos valores se utilizarn para calcular las nuevas ji-cuadradas para calcular el valor de

DISTRIBUCION "F" FISHER La necesidad de disponer de mtodos estadsticos para comparar las varianzas de dos poblaciones es evidente a partir del anlisis de una sola poblacin. Frecuentemente se desea comparar la precisin de un instrumento de medicin con la de otro, la estabilidad de un proceso de manufactura con la de otro o hasta la forma en que vara el procedimiento para calificar de un profesor universitario con la de otro.

Intuitivamente, podramos comparar las varianzas de dos poblaciones, y , utilizando la razn de las varianzas muestrales s21/s22. Si s21/s22 es casi igual a 1, se tendr poca evidencia para indicar que y no son iguales. Por otra 2 2 parte, un valor muy grande o muy pequeo para s 1/s 2, proporcionar evidencia de una diferencia en las varianzas de las poblaciones. La variable aleatoria F se define como el cociente de dos variables aleatorias jicuadrada independientes, cada una dividida entre sus respectivos grados de libertad. Esto es,

donde U y V son variables aleatorias ji-cuadrada independientes con grados de libertady

respectivamente.

Sean U y V dos variables aleatorias independientes que tienen distribucin ji cuadradas con grados de libertad, respectivamente. Entonces la

distribucin de la variable aleatoria

est dada por:

y se dice que sigue la distribucin F con grados de libertad en el denominador.

grados de libertad en el numerador y

La media y la varianza de la distribucin F son:

para

para

La variable aleatoria F es no negativa, y la distribucin tiene un sesgo hacia la derecha. La distribucin F tiene una apariencia muy similar a la distribucin jicuadrada; sin embargo, se encuentra centrada respecto a 1, y los dos parmetros proporcionan una flexibilidad adicional con respecto a la forma de la distribucin. Si s12 y s22 son las varianzas muestrales independientes de tamao n1 y n2 tomadas de poblaciones normales con varianzas , respectivamente, y entonces:

Para manejar las tablas de Fisher del libro de Introduccin a la Inferencia Estadstica del autor Genther, se tendr que buscar primero los grados de libertad dos para luego localizar el rea correspondiente, relacionndola con los grados de libertad uno, para calcular el valor de F. Las tablas tienen la siguiente estructura: P 6 0.0005 0.001 0.005 . . 0.9995 30.4

1 2 3 . .. 500

El valor de 30.4 es el correspondiente a una Fisher que tiene 3 grados de libertad uno y 6 grados de libertad dos con un rea de cero a Fisher de 0.995. Si lo vemos graficamente:

Como nos podemos imaginar existen varias curvas Fisher, ya que ahora su forma depende de dos variables que son los grados de libertad. Ejemplos : 1. Encontrar el valor de F, en cada uno de los siguientes casos: a. El rea a la derecha de F, es de 0.25 con b. El rea a la izquierda de F, es de 0.95 con c. El rea a la derecha de F es de 0.95 con conH

=4 y =15 y =6 y

=9. =10. =8.

El rea a la izquierda de F, es de 0.10 con con

=24 y

=24 Solucin: a. Como el rea que da la tabla es de cero a Fisher, se tiene que localizar primero los grados de libertad dos que son 9, luego un rea de 0.75 con 4 grados de libertad uno.

b. En este caso se puede buscar el rea de 0.95 directamente en la tabla con sus respectivos grados de libertad.

c. Se tiene que buscar en la tabla un rea de 0.05, puesto que nos piden un rea a la derecha de F de 0.95.

d. Se busca directamente el rea de 0.10, con sus respectivos grados de libertad.

1. Si s12 y s22 son las varianzas muestrales de muestras aleatorias independientes de tamaos n1=10 y n2 =20, tomadas de poblaciones normales que tienen las mismas varianzas, encuentre P(s12/s22 2.42). Solucin: Primero se establecen los grados de libertad. Como en el numerador est la poblacin uno y en el denominador la poblacin dos, entonces los grados de libertad uno equivalen a 10-1=9 y los grados de libertad dos a 20-1=19.

Se procede a ir a la tabla a buscar los grados de libertad dos que son 19 y se observa que no estn, por lo tanto se tiene que interpolar entre 15 y 20 grados de libertad, buscando el valor de fisher que quedara:

Este valor de 2.42 se busca en la columna de 9 grados de libertad uno, con 15 grados de libertad dos, y se encuentra los siguiente:Area 0.90 0.95 2.09 2.59

Al interpolar entre estos dos valores nos queda un rea de 0.933. Se procede a hacer lo mismo pero con 20 grados de libertad dos:Area 0.95 0.975 2.39 2.84

Al interpolar entre estos dos valores nos queda un rea de 0.9516. Ahora ya se tienen las dos reas referentes a los grados de libertad dos, por lo que se interpolar para ver cunto le corresponde a los grados libertad dos con un valor de 19.Area 15 20 0.933 0.9516

Al interpolar nos queda que para 9 grados de libertad uno y 19 grados de libertad dos con un valor de Fisher de 2.42 el rea a la izquierda es de 0.9478.

2. Si s12 y s22 representan las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamao n1= 25 y n2 = 31, tomadas de poblaciones 2 normales con varianzas 1 =10 y2 2

= 15, respectivamente, encuentre P(s12/s22 > 1.26).

Solucin: Calcular el valor de Fisher:

Luego se va a la tabla de Fisher a buscar 30 grados de libertad 2 con 24 grados de libertad uno. Cuando se este en esta posicin se busca adentro de la tabla el valor de Fisher de 1.89. Al localizarlo y ver a la izquierda de este valor se obtiene un rea de 0.95, pero esta rea correspondera a la probabilidad de que las relaciones de varianzas muestrales fueran menor a 1.26, por lo que se calcula su complemento que sera 0.05, siendo esta la probabilidad de que s12/s22 > 1.26.

Intervalo de Confianza para el Cociente de Varianzas de Dos Distribuciones Normales

Supngase que se tienen dos poblaciones normales e independientes con 2 2 varianzas desconocidas 2 , respectivamente. De este par de y poblaciones, se tienen disponibles dos muestras aleatorias de tamaos n1 y n2, respectivamente, sean s12 y s22 las dos varianzas muestrales. Se desea conocer

un intervalo de confianza del 100( 2 2 varianzas, 2 . 1 /

) por ciento para el cociente de las dos

Para construir el intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas poblacionales, se coloca la varianza muestral mayor en el numerador del estadstico F. Ejemplos: 1. Un fabricante de automviles pone a prueba dos nuevos mtodos de ensamblaje de motores respecto al tiempo en minutos. Los resultados se muestran el la tabla:Mtodo 1 n1 = 31 s12 = 50 Mtodo 2 n2 = 25 s22 = 24

2 2 2. Construya un intervalo de confianza del 90% para 2 . 1 / 3. Solucin: 4. Por la recomendacin de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente frmula:

5. 6. al despejar: . 7. F toma dos valores dependiendo del nivel de confianza y de los grados de libertad. En este caso los grados de libertad uno valen 30 y los grados de libertad dos 24.

8. 9. y 10. Estos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera:

11. Con un nivel de confianza del 90% se sabe que la relacin de varianzas 2 2 2 esta entre 1.07 y 3.93. Esto supondra que la varianza de la 1 / poblacin 1 es mayor a la varianza de la poblacin 2 entre 1.07 y 3.93. 12. Una compaa fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Al ingeniero de manufactura le gustara seleccionar el proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de n1=16 partes del primer proceso, la cual tiene una desviacin estndar s1 = 4.7 micropulgadas, y una muestra aleatoria de n2=12 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviacin estndar s2 = 5.1 micropulgadas. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 90% para 2 el cociente de las dos varianzas 1 / . Suponga que los dos procesos son independientes y que la rugosidad de la superficie est distribuida de manera normal.2 2

Solucin: Por la recomendacin de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente frmula:

al despejar:

.

En este caso los grados de libertad uno valen 11 y los grados de libertad dos 15.

y Estos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera:

Puesto que este intervalo de confianza incluye a la unidad, no es posible afirmar que las desviaciones estndar de la rugosidad de la superficie de los dos procesos sean diferentes con un nivel de confianza del 90%.

Ensayo de HiptesisSupngase que se tiene inters en dos poblaciones normales independientes, donde las medias y las varianzas de la poblacin son desconocidas. Se desea probar la igualdad de las dos varianzas, ya que para poder comparar las medias de estas dos poblaciones se utiliza la distribucin t de Student, en la cual podemos tener varianzas iguales o diferentes en la poblacin. Para conocer esto ltimo se requiere de la distribucin Fisher, y despus de utilizarla, se tomar la decisin de tener o no varianzas iguales en la poblacin, dando pi a realizar la comparacin de las dos medias segn estemos hablando. Primer caso en que las varianzas de la poblacin son desconocidas pero iguales, o en el caso dos donde se tienen varianzas desconocidas pero dismiles. Para el ensayo de hiptesis se utilizar la relacin de varianzas, la cual puede dar tres resultados:

En base a lo que se quiera probar, el ensayo podr ser unilateral derecho, izquierdo o bilateral. Ejemplos: 1. La variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos qumicos, utilizada para un proceso en particular, depende del tiempo que tarda el proceso. Un fabricante que emplea dos lneas de produccin 1 y 2, hizo un pequeo ajuste al proceso 2, con la esperanza de reducir la variabilidad, as como la cantidad media de impurezas en los productos qumicos. Muestras de n1=25 y n2=20 mediciones de dos lotes produjeron las siguientes medias y varianzas:

Presentan los datos evidencia suficiente para indicar que las variaciones del proceso son menores para el 2? Realice una prueba con un = 0.05. Solucin:

Datos: Poblacin 1 Poblacin 2

n1 = 25 n2 = 20 = 0.05 Ensayo de hiptesis:

Estadstico de prueba:

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno.1=

25-1 = 24 y

2

= 20-1=19.

Regla de decisin: Si Fc 2.11 No se rechaza Ho,

Si la Fc > 2.11 se rechaza Ho. Clculo:

Decisin y Justificacin: Como 2.04 es menor que 2.11 no se rechaza Ho, y se concluye con un = 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que la varianza del proceso 2 es menor que la del proceso 1. En su incansable bsqueda de un sistema de llenado adecuado, cierta empresa prueba dos mquinas. Robo-fill se usa para llenar 16 tarros y da una desviacin estndar de 1.9 onzas en el llenado. Con Automat-fill se llenan 21 frascos que dan una desviacin estndar de 2.1 onzas. Si la empresa tiene que elegir uno de estos sistemas en funcin de la uniformidad de llenado. Cual deber seleccionar? Use un = 0.10. Solucin: Datos: Robo-Fill sRF = 1.9 nRF = 16 = 0.10 Automat-Fill sAF = 2.1 nAF = 21 Ensayo de hiptesis:


La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno. 1= 21-1 = 20 y 2 = 16-1=15.

Regla de decisin: Si Fc 2.20 No se rechaza Ho,

Si la Fc > 2.20 se rechaza Ho. Clculo:

Decisin y Justificacin: Como 1.22 es menor que 2.20 no se rechaza Ho, y se concluye con un = 0.10 que la variacin de llenado de la mquina Robo-Fill no es menor a la de AutomatFill, por lo que se selecciona cualquier mquina. Las capas de xido en las obleas semiconductoras son depositadas en una mezcla de gases para alcanzar el espesor apropiado. La variabilidad del espesor es una caracterstica crtica de la oblea, y lo deseable para los siguientes pasos de la fabricacin es tener una variabilidad baja. Para ello se estudian dos mezclas diferentes de gases con la finalidad de determinar con cul se obtienen mejores resultados en cuanto a la reduccin en la variabilidad del espesor del xido. Veintin obleas son depositadas en cada gas. Las desviaciones estndar de cada muestra del espesor del xido son s1 = 1.96 angstroms y s2 = 2.13 angstroms. Existe evidencia que indique una diferencia en las desviaciones? Utilice

=0.05. Solucin: Datos: s1= 1.96 n1 = 21 s2 = 2.13 n2= 21 Ensayo de hiptesis:



Regla de decisin: Si 0.406 Fc 2.46 No se rechaza Ho,

Si la Fc < 0.406 si Fc > 2.46 se rechaza Ho. Clculo:

Decisin y Justificacin: Como 0.85 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza , y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales. Error Tipo II 1. Para el ejercicio anterior, encontrar la probabilidad de cometer error tipo II si la verdadera relacin

!.

Solucin:

1. Del ejercicio nmero 1 del ensayo de hiptesis en donde la variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos qumicos dependa del tiempo que tardaba el proceso y el fabricante empleaba dos lneas de produccin 1 y 2, e hizo un pequeo ajuste al proceso 2, calcular la probabilidad de cometer error tipo II si le relacin

! 1.5.

Solucin:

por lo tanto s12/s22 = 2.11 ya que esto fue lo que dio la tabla y al despejar nos queda los mismo. Se calcula un nuevo valor de F con la relacin de varianzas de 1.5.

Si se recuerda para este ejercicio se tienen 24 grados de libertad uno y 19 de grados de libertad dos, por lo que se tiene que hacer una doble interpolacin ya que 19 grados de libertad dos no vienen en la tabla.Primero se interpolar para 24 grados de libertad uno y 15 grados de libertad dos: Area 0.50 0.75 Valor de F 1.02 1.41

Al interpolar para un valor de Fisher de 1.406 se ve que este valor est muy cercano a 1.41, el cual le corresponde un rea de 0.75, por lo que queda un resultado de 0.7474 Ahora se procede a interpolar para 24 grados de libertad uno y 20 grados de libertad dos:Area 0.75 0.90 Valor de F 1.35 1.77

La interpolacin para un valor de Fisher de 1.406 es de 0.77. Teniendo los dos valores, se puede calcular el rea correspondiente a 24 grados de libertad uno y 19 grados de libertad dos:Area

15 20

0.7474 0.77

Por lo tanto al interpolar para 19 grados de libertad dos nos da un valor de 0.76548

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS En esta seccin se ver el caso en donde se tienen dos poblaciones con medias y varianzas desconocidas, y se desea encontrar un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias Si los tamaos de muestras n1 y n2 son mayores que 30, entonces, puede emplearse el intervalo de confianza de la distribucin normal. Sin embargo, cuando se toman muestras pequeas se supone que las poblaciones de inters estn distribuidas de manera normal, y los intervalos de confianza se basan en la distribucin t. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES Si s12 y s22 son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamao n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas pero iguales, entonces un intervalo de confianza del 100( ) por ciento para la diferencia entre medias es:

en donde:

es el estimador combinado de la desviacin estndar comn de la poblacin con n1+n2 2 grados de libertad. Ejemplos: 1. Un artculo publicado dio a conocer los resultados de un anlisis del peso de calcio en cemento estndar y en cemento contaminado con plomo. Los niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de hidratacin del cemento queda bloqueado y esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Al tomar diez muestras de cemento estndar, se encontr que el peso promedio de calcio es de 90 con una desviacin estndar de 5; los resultados obtenidos con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron de 87 en promedio con una desviacin estndar de 4. Supngase que el porcentaje de peso de calcio est distribuido de manera normal. Encuntrese un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias de los dos tipos de cementos. Por otra parte, supngase que las dos poblaciones normales tienen la misma desviacin estndar. Solucin: El estimador combinado de la desviacin estndar es:

Al calcularle raz cuadrada a este valor nos queda que sp = 4.41

expresin que se reduce a 0.72

6.72

Ntese que el intervalo de confianza del 95% incluye al cero; por consiguiente, para este nivel confianza, no puede concluirse la existencia de una diferencia entre las medias.

2. Se realiz un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel especfico en el torrente sanguneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada frmaco registrndose el tiempo en minutos que tard en alcanzar un nivel especfico en la sangre. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia del tiempo promedio. Suponga varianzas iguales.Medicamento A nA = 12 Medicamento B nB = 12

SA2= 15.57

SB2 = 17.54

Solucin:

2.35

&

%

9.25

Con un nivel confianza del 95% se sabe que el tiempo promedio para alcanzar un nivel especfico es mayor para el medicamento B.

PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS, POBLACIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALESLas situaciones que ms prevalecen e implican pruebas sobre dos medias son las que tienen varianzas desconocidas. Si el cientfico prueba mediante una prueba F, que las varianzas de las dos poblaciones son iguales, se utiliza la siguiente frmula:

donde:

Los grados de libertad estn dados por:

Ejemplos: 1. Para encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia, se seleccionan nueve ratones, todos con una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco ratones reciben el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de sobrevivencia en aos, a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes:Con Tratamiento Sin Tratamiento 2.1 1.9 5.3 0.5 1.4 2.8 4.6 3.1 0.9

Se puede decir en el nivel de significancia del 0.05 que el suero es efectivo? Suponga que las dos poblaciones se distribuyen normalmente con varianzas iguales. Solucin: Primero se probar el supuesto de varianzas iguales con un ensayo de hiptesis bilateral utilizando la distribucin Fisher. Datos: Con tratamiento

s= 1.97 n=5 Sin tratamiento

s = 1.1672 n=4 Ensayo de hiptesis:




Si la Fc < 0.10 si Fc > 15.1 se rechaza Ho.

Clculo:

Decisin y Justificacin: Como 2.85 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza , y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales. Con la decisin anterior se procede a comparar las medias: Ensayo de Hiptesis Ho; H1;CTCTST=0

ST

>0

Los grados de libertad son (5+4-2) = 7 Regla de decisin: Si tR 1.895 No se Rechaza Ho

Si tR > 1.895 se rechaza Ho Clculos:

por lo tanto sp = 1.848

Justificacin y decisin:

Como 0.6332 es menor que 1.895, no se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que el suero detiene la leucemia. Se realiz un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel especfico en el torrente sanguneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada frmaco registrndose el tiempo en minutos que tard en alcanzar un nivel especfico en la sangre. Calcule con = 0.05 si existe diferencia entre los tiempos promedio y obtenga el valor de P. Suponga varianzas iguales.Medicamento A nA = 12 Medicamento B nB = 12

SA2= 15.57

SB2 = 17.54

Solucin: Primero se pondr a prueba el supuesto de varianzas iguales mediante una prueba de hiptesis con = 0.10. Ensayo de hiptesis:


La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor .

Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno.1=12-1=11

y

2=12-1=11.


Si la Fc < 0.355 si Fc > 2.82 se rechaza Ho. Clculo:

Decisin y Justificacin: Como 1.13 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza , y se concluye con un = 0.10 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales. Con la decisin anterior se procede a comparar las medias: Ensayo de Hiptesis Ho; H1;BA=0

B-

A

0

Los grados de libertad son (12+12-2) = 22 Regla de decisin: Si 2.074 tc 2.074 No se rechaza Ho,

Si la tc < -2.074 si tc > 2.074 se rechaza Ho. Clculos:

Justificacin y decisin:

Como 3.49 es mayor que 2.074, no se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la media del tiempo para que el medicamento A llegue a un nivel especfico en el torrente sanguneo es distinta de la que toma al frmaco B alcanzar ese mismo nivel. Para calcular el valor de P se ubicar la t calculada en la grfica para proceder a buscar el rea y multiplicarla por dos ya que es bilateral.

P = (2)(0.00139) = 0.00278 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO DIFERENTES Consideremos ahora el problema de encontrar una estimacin por intervalos de cuando no es probable que las varianzas poblacionales desconocidas sean iguales. La estadstica que se usa con ms frecuencia en este caso es:

que tiene aproximadamente una distribucin t con

grados de libertad, donde:

Como rara vez es nmero entero, lo redondeamos al nmero entero ms cercano menor. Esto es si el valor de nu es de 15.9 se redondear a 15. Al despejar la diferencia de medias poblacionales de la formula de t nos queda:

Ejemplos:

1. El departamento de zoologa de la Universidad de Virginia llev a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofsforo qumico medido en dos estaciones diferentes del ro James. El ortofsforo se mide en miligramos por litro. Se reunieron 15 muestras de la estacin 1 y se ontuvo una media de 3.84 con una desviacin estndar de 3.07 miligramos por litro, mientras que 12 muestras de la estacin 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49 con una desviacin estndar 0.80 miligramos por litro. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia del contenido promedio real de ortofsforo en estas dos estaciones, suponga que las observaciones vienen de poblaciones normales con varianzas diferentes. Solucin: Datos:Estacin 1 n1 = 15 Estacin 2 n2 = 12

S1= 3.07

S2 = 0.80

Primero se proceder a calcular los grados de libertad:

Al usar =0.05, encontramos en la tabla con 16 grados de libertad que el valor de t es 2.120, por lo tanto:

que se simplifica a: 0.60

4.10

Por ello se tiene una confianza del 95% de que el intervalo de 0.60 a 4.10 miligramos por litro contiene la diferencia de los contenidos promedios reales de ortofsforo para estos dos lugares.

PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS, POBLACIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO DIFERENTES

Ejemplo:

1. Un fabricante de monitores prueba dos diseos de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente equivalente. El departamento de ingeniera ha obtenido los datos siguientes:Diseo 1 Diseo 2 n1 = 16 n2 = 10 s12 = 10 s2 = 402

2. Con = 0.05, se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos diseos, donde se s

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