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logro de las competencias de los programas de matemáticas del

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Material de lectura

Construcciones con regla y compás y su justificación matemática

Material recopilado y organizado de Wikipedia y gaussianos.com.

Instructor del Curso: Dr. Salvador Moreno Guzmán

Introducción

La construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de recta

y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. La geometría

clásica griega impuso esa norma para las construcciones, aunque los griegos

también investigaron las que pueden obtenerse con instrumentos menos básicos.

A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o

trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra

súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse

directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la separación de sus

puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás

parece muy incómoda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro

lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar

de forma indirecta.

Cualquier punto que sea obtenible usando regla y compás puede conseguirse

también usando únicamente compás; lo que evidentemente no se puede hacer es

trazar el segmento de recta entre dos puntos previamente construidos. Como se

verá, algunos problemas de geometría plana clásica imponen la restricción de

"sólo compás".

Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución "con regla y

compás" son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del

ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular, el

primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla y

compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente

demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el

ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el

compás idealizados de la geometría griega.

Pese a esa "imposibilidad lógica" insalvable, muchos persisten en el intento de

resolver estos famosos problemas. Quizás, porque no aciertan a explicarse la

imposibilidad, dado que son resolubles si se permiten transformaciones

geométricas que no pueden realizarse con regla y compás "euclídeos". Duplicar el

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cubo es posible utilizando algunas construcciones geométricas que sólo requieren

un poco más que la regla y el compás clásicos.

La regla y el compás de la geometría clásica

La regla y el compás de las construcciones geométricas son idealizaciones de las

reglas y compases del mundo real. Son conceptos matemáticos abstractos, como

pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos.

El compás puede trazar circunferencias de cualquier radio dado, pero a

diferencia de la mayoría de compases reales, no tiene ninguna marca que

permita repetir una abertura predeterminada. Sólo puede abrirse entre puntos

que hayan sido previamente construidos, así que en realidad su única función

es trazar una circunferencia, o parte de ella, con un centro predeterminado y

un radio también determinado por un punto prefijado. Además, se trata de un

compás "idealizado", que en cuanto deja de tocar el papel se cierra, perdiendo

todo recuerdo del radio de la circunferencia que acaba de trazar.

La regla es "infinitamente larga" (es decir, puede prolongar una recta tanto

como se quiera), carece de marcas que permitan medir con ella, y sólo tiene

un borde, cosa insólita en las reglas mundanas (si tuviera, por ejemplo, dos

bordes, permitiría trazar rectas paralelas). Puede usarse sólo con un fin

modesto: trazar una recta entre dos puntos que ya existan en el papel, o bien

prolongar (tanto como se desee, eso sí) una de esas rectas.

Por supuesto, la regla y compás ideales deben usarse para hacer construcciones

ideales. Los dibujos del mundo real tienen imperfecciones: los puntos son en

realidad manchas tridimensionales, los segmentos de recta son en realidad cuasi-

paralelepípedos o "franjas" algo irregulares de cierta anchura y altura, etc. Estas

manchas proyectan sombras cuando son iluminadas por lámparas especiales de

luz rasante, que se utilizan profesionalmente para el estudio de las falsificaciones,

pues permiten distinguir si un trazo está por encima de otro observando las

sombras. Pero las construcciones con regla y compás de la geometría clásica se

hacen en la mente, más que en el papel, y son tan idealmente precisas como el

álgebra.

Puestas así las cosas, parecería que las construcciones con regla y compás son

un simple "juego", más que una disciplina científica seria. Buscar la solución a

cualquier construcción particular es un pasatiempo interesante, pero el verdadero

interés científico, que estuvo abierto durante más de dos mil años hasta ser

resuelto en el siglo XIX, coincidiendo con la demostración de los teoremas

fundamentales sobre ecuaciones polinómicas, con la comprensión profunda de los

números irracionales y trascendentes y con la aparición del álgebra abstracta, está

en los problemas que desbordan los límites de lo factible con regla y compás. Lo

interesante es lo que no se puede hacer con regla y compás.

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Los tres problemas insolubles clásicos de construcción con regla y compás son: Cuadratura del círculo: Se trata de dibujar un cuadrado que tenga la misma

superficie que un círculo dado. Se aporta como dato de partida el círculo a

cuadrar (su centro y uno de los puntos de su circunferencia), y se considera

resuelto el problema cuando consigue trazarse el segmento de recta que es un

lado del cuadrado que iguala el área de dicho círculo.

Duplicación del cubo: Ha de dibujarse el lado de un cubo cuyo volumen

duplique al de otro cubo del que se da el lado como dato de partida.

Trisección del ángulo: Debe dividirse un ángulo dado en tres ángulos más

pequeños, los tres del mismo tamaño, cuya suma sea igual al ángulo dado. Se

aporta como dato el ángulo a trisecar (las dos rectas que lo forman, o puntos

que permitan trazarlas) y se consideraría resuelto el problema cuando se traza

un ángulo cuya apertura es un tercio de la del ángulo dado.

Estos problemas resistieron durante 2000 años los incontables intentos de

encontrar construcciones que los resolvieran con regla y compás, de acuerdo con

las normas antes indicadas. A mediados del siglo XIX se demostró

matemáticamente que es imposible hacerlo.

Los tres problemas clásicos no son los únicos cuya solución se ha demostrado

imposible. La construcción de determinados (infinitos) polígonos regulares, como

por ejemplo el heptágono (polígono regular de 7 lados) o el endecágono (polígono

regular de 11 lados) también es imposible con regla y compás.

Las construcciones básicas

Todas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de cinco

construcciones básicas, usando en cada una los puntos, líneas y círculos que se

hayan creado en fases anteriores. Esas cinco únicas construcciones posibles son:

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1. Crear el segmento de recta que une dos puntos preexistentes (en realidad,

la recta: recuérdese que la regla es de longitud infinita).

2. Crear el círculo con centro en un punto dado y cuya circunferencia toca otro

punto dado.

3. Crear el punto en el que se intersecan dos rectas no paralelas.

4. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen)

una línea y una circunferencia.

5. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen)

dos circunferencias.

Por ejemplo, partiendo de dos puntos dados, se puede crear una recta, o bien se

pueden crear dos círculos (cada punto hace de centro de un círculo y de extremo

de otro). Si optamos por los dos círculos, su intersección dará lugar a dos nuevos

puntos. Si trazamos segmentos de recta entre los puntos originales y uno de los

nuevos puntos, habremos construido un triángulo equilátero. Así pues, el

problema: "construir un triángulo equilátero dado uno de sus lados (o los puntos

extremos de uno de sus lados) es trivialmente resoluble con regla y compás.

Puntos y longitudes construibles

Hay muchas formas distintas de demostrar que algo es imposible. La estrategia

que se seguirá en este artículo para presentar un esquema informal de las

demostraciones de imposibilidad de los problemas clásicos es la de determinar en

primer lugar los límites de la regla y el compás —lo que se puede hacer y lo que

no se puede hacer con ellos—, y mostrar seguidamente que para resolver los

problemas deberían superarse tales límites.

Usando regla y compás se pueden definir coordenadas en el plano. Se parte de

dos puntos que han de considerarse "dados", y se traza la recta que pasa por

ambos. Se llama al resultado "eje ", y se define la longitud entre los dos puntos

dados como unidad de longitud.

Por tanto, tener dos puntos como datos de partida es equivalente a tener un eje de

coordenadas y una unidad de longitud.

Ahora bien: una de las construcciones más sencillas con regla y compás es la de

trazar una recta perpendicular a otra dada, así que se hace precisamente eso, con

lo que se obtiene un "eje ".

Así pues, tener dos puntos como datos es equivalente a tener un sistema de

coordenadas cartesianas, con ejes e , y con unidad de distancia.

Por otro lado, un punto en el plano euclídeo puede identificarse con el

número complejo . En la construcción con regla y compás, se empieza con

un segmento de recta de longitud unitaria. Si se es capaz de construir un punto

dado, un punto cualquiera, en el plano complejo, entonces se podrá decir que ese

punto es un número complejo construible.

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Por ejemplo, si se dan dos puntos como datos, los números complejos , ,

, , etc. son fácilmente construibles.

De hecho, con construcciones conocidas de la geometría euclidiana se pueden

construir los números complejos de la forma x + yi siempre que x e y sean

números racionales. De modo más general, usando las mismas construcciones,

uno puede, dados dos números complejos a y b, construir a + b, a − b, a × b, y

a/b.

Esto muestra que los números construibles forman un cuerpo, que por tanto es un

subcuerpo de los números complejos. Puede demostrarse algo más: dada una

longitud construible es posible construir su conjugado y su raíz cuadrada.

Como se ha visto, las únicas formas de construir puntos nuevos es como

intersección de dos rectas, o de una recta y una circunferencia, o de dos

circunferencias. Usando las ecuaciones de las rectas y de las circunferencias,

puede demostrarse que los puntos en los que se intersecan yacen en una

extensión cuadrática del cuerpo más pequeño, F, que contenga dos puntos en la

recta, el centro del círculo, y el radio del círculo. Es decir, que los puntos con

intersección son de la forma , donde , y están en F.

Dado que el cuerpo de los puntos construibles es cerrado para las raíces

cuadradas, contiene a todos los puntos que puedan obtenerse por una secuencia

finita de extensiones cuadráticas con coeficientes racionales del cuerpo de los

números complejos. Por lo dicho en el párrafo anterior, se puede demostrar que

todo punto construible puede obtenerse por una tal secuencia de extensiones.

Como corolario, se encuentra que el grado del polinomio mínimo para un número

construible (y por tanto para cualquier longitud construible) es una potencia de 2.

En particular cualquier punto o longitud construible es un número algebraico,

sin embargo no cualquier número algebraico puede ser construido.

Ángulos construibles

Hay una biyección entre los ángulos construibles y los puntos que son construibles

en cualquier circunferencia construible. Los ángulos construibles forman un grupo

abeliano bajo la suma-módulo (que se corresponde con la multiplicación de los

puntos sobre la circunferencia unitaria, considerados como números complejos).

Los ángulos construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o

equivalentemente, su seno o su coseno) es un número construible. Por ejemplo, el

heptadecágono regular (polígono de 17 lados iguales) es construible porque...

como descubrió Gauss.

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El grupo de los ángulos construibles es cerrado bajo la operación que biseca los

ángulos (que se corresponde con la obtención de raíces cuadradas). Los únicos

ángulos de orden finito que pueden construirse empezando con dos puntos son

aquellos cuyo orden es el producto de una potencia de 2 por un elemento de un

conjunto de diversos números primos de Fermat. Además, hay un conjunto denso

de ángulos construibles de orden infinito.

Construcciones con regla y compás como operaciones de aritmética compleja

Dado un conjunto de puntos en el plano euclídeo, basta seleccionar cualquiera de

ellos para llamarlo 0 y cualquier otro para llamarlo 1, y elegir arbitrariamente una

orientación, para poder considerar los puntos como un conjunto de números

complejos.

Dada cualquiera de tales interpretaciones de un conjunto de puntos como

números complejos, los puntos construibles utilizando construcciones válidas con

regla y compás son precisamente los elementos del mínimo cuerpo que contiene

al conjunto de puntos original, y que es cerrado con respecto a las operaciones de

conjugación de complejos y raíz cuadrada (para evitar ambigüedades, puede

limitarse la raíz cuadrada, imponiendo que el argumento complejo sea menor de

).

Los elementos de este cuerpo son precisamente aquellos que pueden expresarse

como una fórmula en la que intervienen los puntos originales y que sólo incluye las

operaciones de suma, resta, multiplicación, división, complejo conjugado y raíz

cuadrada. Es fácil demostrar que los elementos así obtenidos son un subconjunto

numerable, pero denso, del plano complejo. Cada una de las seis operaciones

citadas se corresponde con una construcción simple con regla y compás. Por

tanto, de la fórmula que define un número puede extraerse directamente la

secuencia de construcciones simples con regla y compás que hay que realizar

para construir el punto reflejado por la fórmula.

En suma: si se aporta un conjunto de puntos (números complejos) como datos

iniciales, y se pide la construcción de otro número complejo, que depende de los

datos a través de una fórmula que sólo contiene sumas, restas, multiplicaciones,

divisiones, conjugación de complejos y raíces cuadradas, ese número "objetivo" es

siempre construible en un número finito de pasos (de las construcciones básicas

que se han descrito arriba), pasos que además se deducen automáticamente de la

fórmula, aunque en muchos casos pueden encontrarse construcciones alternativas

más eficientes, atajos de menos pasos.

Hay una alternativa que evita la elección arbitraria de dos puntos para que hagan

de 0 y de 1. Dada una orientación arbitrariamente elegida, un conjunto de puntos

determina un conjunto de ratios complejas dadas por la razón entre las diferencias

de cualesquiera dos pares de puntos. El conjunto de ratios de ese tipo construible

usando regla y compás a partir de tal conjunto inicial de ratios es precisamente el

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cuerpo más pequeño de los que contienen los ratios originales, y es cerrado para

la conjugación compleja y la raíz cuadrada.

Por ejemplo, la parte real, imaginaria, y el módulo de un punto o ratio (eligiendo

uno de los dos puntos de vista antes descritos, el de asignar arbitrariamente

puntos 0 y 1 o el de trabajar con ratios) son construibles, dado que pueden

expresarse como:

La duplicación del cubo y la trisección del ángulo requieren ratios que son solución

de ecuaciones cúbicas, en tanto que la cuadratura del círculo requiere un ratio

trascendente. Ninguno de esos casos forma parte de los cuerpos antes descritos,

y por tanto no existe construcción con regla y compás para estos problemas. Una

excepción, en el caso de la trisección del ángulo, se da con ángulos especiales

como cualquier tal que sea un número racional que tenga como

denominador el producto de una potencia de dos y de distintos números primos de

Fermat.

Construcciones imposibles

Cuadratura del círculo

El más famoso de los problemas griegos, la cuadratura del círculo plantea la

construcción de un cuadrado cuya superficie sea la misma de la uncírculo dado; y,

por supuesto, resuelto con regla y compás.

Se ha demostrado que cuadrar el círculo de esta forma es imposible, dado que

implica encontrar un número trascendente, a saber . Usando regla y compás

sólo es posible generar números algebraicos. La frase "cuadratura del círculo" o

"cuadrar el círculo" se usa frecuentemente con el sentido de "hacer algo

imposible". Con gran fortuna, puesto que es tan imposible como obtener algo

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distinto de cuatro sumando dos más dos, o dibujar en el plano euclídeo un

triángulo que tenga los tres ángulos obtusos.

Sin embargo, si no se exige resolver el problema con sólo regla y compás, resulta

sencillo hacerlo con una amplia variedad de métodos geométricos y algebraicos.

El problema fue resuelto de esta forma muchas veces, ya en la antigüedad.

Duplicación del cubo

Duplicar el cubo consiste en construir el lado de un cubo que tenga el doble de

volumen que otro cubo cuyo lado se da como dato del problema. Por supuesto,

debe hacerse con regla y compás. Es imposible, porque la raíz cúbica de 2, pese

a ser un número algebraico, no puede obtenerse de los números enteros por

suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, que son las

únicas operaciones que pueden hacerse con regla y compás. Esto es así porque

el polinomio mínimo de la raíz cúbica de 2 sobre los racionales tiene grado 3.

Basta con que se permita utilizar una regla con dos marcas y un compás para que

sea posible duplicar el cubo.

Trisección del ángulo

Partiendo de un ángulo dado, trisecarlo significa construir un ángulo que mida

justo un tercio del ángulo dado. Se demuestra que ello requiere obtener la raíz

cúbica de un número complejo cualquiera, con valor absoluto 1. Resulta imposible

hacerlo sólo con regla y compás.

Se puede esbozar una demostración más completa para el caso de que el ángulo

sea de 60°. Si fuera trisecable, entonces el polinomio mínimo de cos 20° tendría

que ser de un grado potencia de dos (2,4,8,...). Esto es así porque, como se ha

visto antes, construir un ángulo equivale a construir un punto en la circunferencia

que subtienda ese ángulo, por lo que tangente, seno y coseno del ángulo deberían

ser números construibles, y ya se ha visto que sólo los que resultan de polinomios

de grado potencia de 2 son construibles.

Usando la identidad trigonométrica

cos(3α) = 4cos³(α) − 3cos(α),

se obtiene, haciendo cos 20° = y,

8y³ − 6y − 1 = 0,

de modo que, con el cambio de variable, x = 2y,

x³ − 3x − 1 = 0.

Si ese polinomio pudiera reducirse a grado 2, tendría una raíz racional, que por el

teorema de la raíz racional, debería ser 1 o −1, que evidentemente no son raíces.

Por lo tanto, el polinomio mínimo para cos 20° es de grado 3, de modo que cos

20° no es construible y por tanto el ángulo de 60° no puede ser trisecado.

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La trisección del ángulo, como muchas otras construcciones imposibles con regla

y compás, puede llevarse a cabo fácilmente con el sistema más potente, aunque

físicamente sea muy sencillo, de papeles doblados denominado origami. Los

axiomas de Huzita (tipos de operaciones de doblado) permiten construir

extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes dadas, en tanto que con regla

y compás sólo pueden construirse extensiones cuadráticas (raíces cuadradas).

Ver matemáticas de la papiroflexia

Construyendo polígonos regulares

Polígono construible.

Algunos polígonos regulares (un ejemplo es el pentágono) son fácilmente

construibles con regla y compás; otros no. Esto nos lleva a la pregunta: ¿es

posible construir cualquier polígono regular con regla y compás?

El primer avance relevante para resolver este problema se debe a Gauss, que

mostró en 1801 que un polígono regular de n lados puede construirse con regla y

compás siempre que los factores primos impares de n sean primos de Fermat

distintos. Gauss conjeturó que esta condición debía ser también necesaria, pero

no aportó una demostración de este hecho, que fue lograda por Pierre Wantzel en

1837.

Construcciones sólo con regla, o sólo con compás

Es posible, de acuerdo con el teorema de Mohr-Mascheroni, obtener sólo con

compás cualquier construcción que pueda hacerse con regla y compás (excepto el

hecho de trazar una recta). Es imposible obtener una raíz cuadrada sólo con regla,

de modo que muchas construcciones factibles con compás no lo son con regla.

Pero el teorema de Poncelet-Steiner demuestra que basta con disponer

previamente de un único círculo y su punto central para que todo lo construible

con compás lo sea también sólo con regla (y el círculo y su centro previamente

trazados).

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Elementos matemáticos que fundamentan las construcciones con regla y compás

Estructura algebraica

En álgebra abstracta, una estructura algebraica, también conocida como sistema algebraico,1

es una n-tupla (a1, a2, ..., an), donde a1 es un conjunto dado no vacío, y {a2, ..., an} un conjunto de

operaciones aplicables a los elementos de dicho conjunto.

Cuerpo o campo (matemáticas)

En álgebra abstracta, un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones

llamadas adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades: asociativa,

conmutativa y distributiva de la multiplicación respecto de la adición , además de la existencia de

inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un elemento neutro para la adición y otro para la

multiplicación, los cuales permiten efectuar las operaciones de sustracción y división (excepto la

división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.

Los cuerpos son estructuras algebraicas importantes de estudio en diversas ramas de la

matemática: álgebra, análisis matemático, teoría de los números, puesto que proporcionan la

generalización apropiada de dominios de números tales como los conjuntos de números

racionales, de los números reales, o de los números complejos. Los cuerpos eran llamados

dominios racionales.

El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las

transformaciones de estos objetos, dadas por matrices, dos objetos en el álgebra lineal cuyos

componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. La teoría de Galois estudia las

relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de

sus raíces y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de

cuerpos correspondientes.

Conjunto numerable

En matemáticas, un conjunto es numerable o contable cuando sus elementos pueden ponerse en

correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales o un subconjunto finito del mismo.

Algunos autores toman una definición alternativa de conjunto numerable que incluye también a los

conjuntos finitos. Esta definición establece que un conjunto es numerable cuando existe

correspondencia uno a uno entre el conjunto y algún subconjunto de los números naturales y es por esto

que en ocasiones se especifica conjunto infinito numerable o a lo sumo numerable para evitar

ambigüedades, refiriendo la primera expresión únicamente a conjuntos infinitos y la segunda

permitiendo conjuntos finitos.

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Georg Cantor fue el primero que hizo uso de este concepto en un artículo publicado en 1874 que

marcaría el nacimiento de la teoría de conjuntos.1 Sin embargo, su importancia se manifiesta en

numerosos campos de las matemáticas, en particular en el análisis, en teoría de la medida y en

topología.

Número de Fermat

Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos, 3 (n=0), 5

(n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4) lo son), pero Leonhard Euler probó que no era así en

1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es primo.

Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se conocían

en tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2009 sólo se conoce la factorización

completa de los doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11). Estas son algunas de

las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:

1. ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?

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2. ¿Existen infinitos primos de Fermat?

Números algebraicos

Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una

ecuación polinómica de la forma:

Donde:

, es el grado del polinomio.

, los coeficientes del polinomio son números enteros

Ejemplos

Todos los números racionales son algebraicos porque toda fracción de la forma a / b es

solución de . Todos los números construibles son algebraicos.

Algunos números irracionales como: √ y √

también son algebraicos porque son

soluciones de x2 - 2 = 0 y 8x3 - 3 = 0, respectivamente. Otros irracionales no son algebraicos, como π (Lindemann, 1882) y e (Hermite, 1873). Son,

en consecuencia, trascendentes. i es algebraico, siendo raíz de .

Si un número real o complejo no es algebraico, se dice que es trascendente. Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, y no es

solución de una ecuación polinómica de grado menor m < n, entonces se dice que es un número algebraico de grado n (n > 0).

Los números racionales son números algebraicos de primer grado, pues para todo racional

, siempre podemos escribir una ecuación polinómica de grado uno con

coeficientes enteros cuya solución es precisamente .

En cambio, los irracionales -aunque pueden ser números algebraicos- nunca pueden ser

números algebraicos de grado 1.

Propiedades del conjunto de los números algebraicos

1. El conjunto de los números algebraicos es contable, i.e. puede establecerse una biyección con el conjunto de los números naturales.

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2. La suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos números algebraicos resulta ser algebraico, y por lo tanto los números algebraicos constituyen un grupo aditivo, un anillo con 4 "unidades" (1, -1, i, -i) y un cuerpo matemático.

3. Como consecuencia de lo anterior, todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operaciones aritméticas +, -, *, /, potencias y raíces son algebraicos. Sin embargo, existen números algebraicos que no pueden escribirse de esta forma, y son todos de grado >5. Ésta es una consecuencia de la Teoría de Galois.

4. Puede demostrarse que si los coeficientes ai son números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuación volverá a ser un número algebraico. En otras palabras, el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado. De hecho, los números algebraicos son el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los racionales (su clausura algebraica).

El conjunto de los números algebraicos, a veces denotado como forma un cuerpo con las

operaciones heredadas de los complejos . A diferencia de los números complejos los

números algebraicos son un conjunto numerable. y por tanto su cardinal es alef 0). Esto es

una consecuencia de que el conjunto de polinomios con coeficientes enteros es numerable.

Clasificación de números

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales

1: uno

Naturales primos

Naturales compuestos

0: Cero

Enteros negativos

Fraccionarios

Fracción propia

Fracción impropia

Irracionales

Irracionales algebraicos

Trascendentes

Imaginarios