Curs - 03 - Cfdp
description
Transcript of Curs - 03 - Cfdp
-
11/13/2013
1
Metoda Elementului Finitcurs
As. Dr. Ing. Crian Andreidep. de Construcii Civile i Mecanica Construciilor
Universitatea POLITEHNICA [email protected]
2013 - 2014 Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Introducere
Rezolvarea unei aplicaii simple resort
Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resorturi Folosirea celor 7 pai
Proprietile matricii de rigiditate
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Introducere Tipuri de sisteme rezolvate cu element finit
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Introducere Tipuri de sisteme rezolvate cu element finit
Sisteme discrete
Sisteme continue
Sunt sisteme cu un numr cunoscut (predefinit) de elemente Numrul de zbrele dintr-o grind cu zabrele
Numrul de resoarte ntr-un sistem de resoarte
Comportament lor poate fi relativ uor descris prin funcii matematice
De obicei sunt sisteme liniare (nu ntotdeauna)
Rezolvarea lor este, de obicei, simpl i direct
-
11/13/2013
2
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Introducere Tipuri de sisteme rezolvate cu element finit
Sisteme discrete
Sisteme continue
Sunt sisteme cu un numr necunoscut de elemente
Comportamentul sistemului NU poate fi uor descris prin funcii matematice
Ecuaiile folosite pentru a descrie comportamentul sistemului sunt complicate (de multe ori aproximative)
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Exemplu de element discret resort / zbrea
Poziie iniial
Poziie final
F = k
fora
deformata
constanta resortului (rigiditatea) k = dat de productor
F = 20 kNk = 1500 kN / m
= ?
= F / k = 20 / 1500 = 0,013 m = 13 mm
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Exemplu de element discret resort / zbrea
Poziie iniial
Poziie final
F = k
fora
deformata
rigiditatea axial a barei k = E A / L0
F = 20 kNA = 100 mm2
E = 210 000 N/mm2
L0 = 1 m
= ?
= F / k = F / (E . A / L) = F . L / E . A = 20 . 1 / (... ?) = 20 . 1 / 21 000 = 9.52 . 10-4 m = 0.952 mm
0.0001 m2
210 000 000 kN/m2
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 1: discretizarea sistemului de resoarte
-
11/13/2013
3
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 2: Selectarea funciilor de interpolare
Deformaia elementului (resortului) este liniar pe lungimea acestuianu este necesar nici o funcie de interpolare
F = k
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor
Poziie iniial
Poziie final
rigiditatea resortului, ke
L0 = 1 mL = 2 m = L L0 = 1 m
Dac se cunosc deplasrile la capete: e1 = 0.25 me2 = 1.25 m = e2 e1 = 1 m
F = 20 kNk = 1500 kN / m
Fe2 = ke . = ke (e2 e1) =
Fe2 = 1500 kN
Aplicnd condiiile de eq.Fx = 0: Fe1 + Fe2 = 0
Equaia elementului:Ke
. e = fe
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor
Poziie iniial
Poziie final
rigiditatea resortului, ke
L0 = 1 mL = 2 m = L L0 = 1 m
Dac se cunosc deplasrile la capete: e1 = 0.25 me2 = 1.25 m = e2 e1 = 1 m
Proprieti ale KeSimetric; Singular;nu are invers
Fizic: Un resort ncrcat la un capt cu o for nu se poate deforma dac nu este prins la cellalt capt
Pentru rezolvare Ke. e = fe
Condiii de margine
Matricea de rigiditate
Ke =
e =
fe = FF
=
F = 20 kNk = 1500 kN / m
Fe2 = ke . = ke (e2 e1) =
Fe2 = 1500 kN
Aplicnd condiiile de eq.Fx = 0: Fe1 + Fe2 = 0
Equaia elementului:Ke
. e = fe
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor
Compatibilitatea
Echilibrul
Sistemul discretizat
-
11/13/2013
4
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor
Compatibilitatea ntr-un nod, valorea necunoscut a deplasrilor trebuie s fie aceeai pentru toate elementele
conectate n acel nod
Sistemul discretizat
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor
Echilibrul Suma forelor n noduri trebuie se fie zero (nodul trebuie se fie n echilbru)
Suma forelor interne aplicate n nodul i trebuie s fie egal cu rezultanta forelor exterioare n nod
Sistemul discretizat
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor
Sistemul discretizat
= FF
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor
Sistemul discretizat
= FF
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
-
11/13/2013
5
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor
Sistemul discretizat
= FF
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor
Sistemul discretizat
= FF
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor
Sistemul discretizat
= FF
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor
Sistemul discretizat
= FF
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
-
11/13/2013
6
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor
Sistemul discretizat
= FF
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor
Sistemul discretizat
= FF
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor
Sistemul discretizat
ElementNod
Local Global
112
12
212
23
312
23
412
34
+ +
+
=
FFF
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor - COMPATIBILITATEA
ntr-un nod, valorea necunoscut a deplasrilor trebuie s fie aceeai pentru toate elementele conectate n acel nod
+ + + +
=
FFFF
-
11/13/2013
7
+ +
+
=
FFF
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor - COMPATIBILITATEA
ntr-un nod, valorea necunoscut a deplasrilor trebuie s fie aceeai pentru toate elementele conectate n acel nod
= FF
+ + + +
=
FFF
+ +
+
=
FFF
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor - COMPATIBILITATEA
ntr-un nod, valorea necunoscut a deplasrilor trebuie s fie aceeai pentru toate elementele conectate n acel nod
= FF
= FF
+
+ + + +
=
FFF
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor - COMPATIBILITATEA
ntr-un nod, valorea necunoscut a deplasrilor trebuie s fie aceeai pentru toate elementele conectate n acel nod
= FF
= FF
= FF
+ +
+ + + + +
=
FFF
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor - COMPATIBILITATEA
ntr-un nod, valorea necunoscut a deplasrilor trebuie s fie aceeai pentru toate elementele conectate n acel nod
= FF
= FF
= FF
= FF
+ +
+ + + + +
=
FFFF
-
11/13/2013
8
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor - COMPATIBILITATEA
ntr-un nod, valorea necunoscut a deplasrilor trebuie s fie aceeai pentru toate elementele conectate n acel nod
= FF
= FF
= FF
= FF
+ + + + +
=
FFFF
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor - ECHILIBRU
Suma forelor n noduri trebuie se fie zero (nodul trebuie se fie n echilbru)
Suma forelor interne aplicate n nodul i trebuie s fie egal cu rezultanta forelor exterioare n nod
1e
Fi e
Fi 1
Fi 2
Fi 3
Fi 4
Ri
F1 1
R1
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor - ECHILIBRU
Suma forelor n noduri trebuie se fie zero (nodul trebuie se fie n echilbru)
Suma forelor interne aplicate n nodul i trebuie s fie egal cu rezultanta forelor exterioare n nod
1
2
F1 1
R1
F2 1
F2 2
F2 3
R2 0
e
Fi e
Fi 1
Fi 2
Fi 3
Fi 4
Ri
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor - ECHILIBRU
Suma forelor n noduri trebuie se fie zero (nodul trebuie se fie n echilbru)
Suma forelor interne aplicate n nodul i trebuie s fie egal cu rezultanta forelor exterioare n nod
1
2
3
F1 1
R1
F2 1
F2 2
F2 3
R2 0
F3 2
F3 3
F3 4
R3 0
e
Fi e
Fi 1
Fi 2
Fi 3
Fi 4
Ri
-
11/13/2013
9
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor - ECHILIBRU
Suma forelor n noduri trebuie se fie zero (nodul trebuie se fie n echilbru)
Suma forelor interne aplicate n nodul i trebuie s fie egal cu rezultanta forelor exterioare n nod
1
2
3
4
F1 1
R1
F2 1
F2 2
F2 3
R2 0
F3 2
F3 3
F3 4
R3 0
F4 4
R4 P
e
Fi e
Fi 1
Fi 2
Fi 3
Fi 4
Ri
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 4: Asamblarea elementelor - ECHILIBRU
Suma forelor n noduri trebuie se fie zero (nodul trebuie se fie n echilbru)
Suma forelor interne aplicate n nodul i trebuie s fie egal cu rezultanta forelor exterioare n nod
1
2
3
4
F1 1
R1
F2 1
F2 2
F2 3
R2 0
F3 2
F3 3
F3 4
R3 0
F4 4
R4 P
FFFF
R
e
Fi e
Fi 1
Fi 2
Fi 3
Fi 4
Ri
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine
+ + + +
=
FFFF
1 0
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine
+ + + +
=
FFFF
1 0
-
11/13/2013
10
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine
+ + + +
=
FF
1 0
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine
+ + + +
=
R
1 0
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine
Matricea restrans, Kmod
1 0
+ + + +
=
R
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 6: Rezolvara sistemului de ecuaii
Ke. e = fe
Ke-1 . Ke
. e = Ke-1 . fe
I . e = Ke-1 . Fe
e = Ke-1 . fe
| Ke-1 (nmulire la stnga)
Kmod
k1 k2 k3 k2 k3 0
k2 k3 k2 k3 k4
k4
0
k4
k4
2
3
4
Kmod1
0
0
P
-
11/13/2013
11
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 6: Rezolvara sistemului de ecuaii
Ke. e = fe
Ke-1 . Ke
. e = Ke-1 . fe
I . e = Ke-1 . Fe
e = Ke-1 . fe
| Ke-1 (nmulire la stnga) 2
3
4
Kmod1
0
0
P
Kmod1
1
k1
1
k1
1
k1
1
k1
k1 k2 k3
k1 k2 k3
k1 k2 k3
k1 k2 k3
1
k1
k1 k2 k3
k1 k2 k3
k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3
k1 k4 k2 k3
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 6: Rezolvara sistemului de ecuaii
2
3
4
Kmod1
0
0
P
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 6: Rezolvara sistemului de ecuaii
2
3
4
1
k1
1
k1
1
k1
1
k1
k1 k2 k3
k1 k2 k3
k1 k2 k3
k1 k2 k3
1
k1
k1 k2 k3
k1 k2 k3
k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3
k1 k4 k2 k3
0
0
P
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 6: Rezolvara sistemului de ecuaii
2
3
4
1
k1P
k1 k2 k3
k1 k2 k3 P
k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3
k1 k4 k2 k3 P
-
11/13/2013
12
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 6: Rezolvara sistemului de ecuaii
2
3
4
1
k1P
k1 k2 k3
k1 k2 k3 P
k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3
k1 k4 k2 k3 P
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 6: Rezolvara sistemului de ecuaii
2
3
4
1
k1P
k1 k2 k3
k1 k2 k3 P
k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3
k1 k4 k2 k3 P
P 100 kN
k
1500
2000
2200
1200
kN
m
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 6: Rezolvara sistemului de ecuaii
P 100 kN
k
1500
2000
2200
1200
kN
m
2
3
4
0.06667
0.09048
0.17381
m
Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF
Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.
Pasul 6: Rezolvara sistemului de ecuaii (matricea asamblat a sistemului)
f
k1
k1
0
0
k1
k1 k2 k3 k2 k3 0
0
k2 k3 k2 k3 k4
k4
0
0
k4
k4
kN
m
1
2
3
4
fT 100 5.821 10
14 5.821 10
14 100 kN