División

Definición:

La división es repartir entre partes o grupos iguales.

Éste es el resultado de una "repartición limpia".

Ejemplo: hay 12 chocolates, y 3 amigos quieren repartirlos. ¿Cómo deben dividir los chocolates?

 

12 Chocolates 12 Chocolates Divididos por 3

Respuesta: 12 dividido por 3 es 4: tienen 4 cada uno.

Símbolos

÷ /:Usamos el símbolo “÷” o a veces el símbolo “/” o el símbolo “:”para indicar división:

12 ÷ 3 = 412 / 3 = 4

Usaré ambos símbolos aquí para que te acostumbres.

Contrario de Multiplicar

La división es el contrario de multiplicar. Si conoces un factor de la multiplicación entonces puedes encontrar un factor de la división:

Ejemplo: 3 × 5 = 15, así que 15 / 5 = 3. (También 15 / 3 = 5.)

¿Porqué?

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Bueno, es fácil entenderlo si piensas en los números en filas y columnas como en esta ilustración:

Multiplicación... ...División

3 grupos de 5 hacen 15...

así que 15 dividido por 3 es 5

   

y también:  

   

5 grupos de 3 hacen 15...

así que 15 dividido por 5 es igual a 3

   

Aquí hay cuatro hechos relacionados:

3 × 5 = 15 5 × 3 = 15

15 / 3 = 5

15 / 5 = 3

¡Así que conocer tus Tablas de Multiplicar puede ayudarte con la división!

Ejemplo: ¿Cuánto es 56 ÷ 7 ?

Buscando en la tabla de multiplicar encuentras que 56 es 7 × 8, así que 56 dividido por 7 debe ser 8. Respuesta: 56 ÷ 7 = 8.

Nombres

Hay nombres especiales para cada número en una división:

dividendo ÷ divisor = cociente

Ejemplo: en 12 ÷ 3 = 4:

2

12 es el dividendo  .3 es el divisor   .4 es el cociente .   resto cero División exacta: en una división exacta el dividendo es igual al divisor por el

cociente. (resto cero)

Por ejemplo: 10 ÷ 2 = 5 entonces 10 =2 x 5

División inexacta o entera: en una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. (con resto distinto de cero)

Por ejemplo: 30 ÷ 7 = 4 (resto 2), por lo tanto,

dividendo= divisor x cociente + resto = 7 x 4 + 2 = 28 + 2 = 30 = dividendo.

Dividendo: es la cantidad que se reparte Divisor: señala el número de partes que se hacenCociente:es la cantidad que le toca a cada parteResto:es la cantidad que queda sin repartir

(Elementos de la división)

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LA DIVISIÓNDividir es repartir una cantidad en partes iguales.TIPOS DE DIVISIONESUna división es exacta cuando su resto es cero.Una división es entera o inexacta cuando su resto no es cero.

LA PRUEBA DE LA DIVISIÓN O RELACIONES ENTRE LOS ELEMNTOSDividendo = divisor x cociente + resto17 = 2X 8 + 123 = 7X3 +1

357 = (21x17) + 0 358 = (21 x 17) + 1

DIVIDIR ENTRE LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROSPara dividir un número acabado en ceros entre 10, 100 ó 1.ooo, suprimimos en el número tantos ceros finales como ceros tenga el divisor.8.000 : 10 = 800 8.000 : 100 = 80 8.000 : 1.000 = 8Si el dividendo no acaba en ceros, o el número de ceros es menor que los que posee el divisor la división no será exacta sino entera y procederemos así:2.543 : 100 = 25 de cociente y 43 de resto4.560 : 1.000 = 4 de cociente y 560 de resto

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN EXACTASi el dividendo y el divisor de una división exacta se multiplican o se dividen por el mismo número, el cociente no varía.Ejemplo: La división 56 : 8 da de cociente 7. Primero multiplicamos dividendo y divisor por tres y comprobamos que el cociente es el mismo. Después dividimos el dividendo y el divisor por 2 y el cociente sigue sin variar.

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Reglas que deben seguirse para dividir correctamente, llamadas propiedades de la división

¿Cuáles son las propiedades de la división?La división es una operación matemática que consiste en repartir en partes iguales el total de un todo numérico.

Las propiedades de la división son:

Propiedad no interna: el resultado de dividir dos números naturales o enteros no siempre es otro número natural o entero. Por ejemplo: 2 ÷ 6 ∄ N. (se lee 2 dividido 6 no existe en conjunto de números naturales)

Propiedad no conmutativa: si cambiamos el orden de los números de una división, se altera el resultado. Por ejemplo: 10 ÷ 2 = 5      pero    2 ÷ 10 = 0, 2 .

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Cero dividido entre cualquier número da cero. Por ejemplo: 0 ÷ 5 = 0. No se puede dividir por 0: porque no existe ningún cociente que multiplicado por

0 sea igual al dividendo.

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Propiedad no asociativa: si se descomponen uno o todos los números de una división, o se agrupan de diferentes maneras, el cociente o resultado puede cambiar. Por ejemplo: 400 ÷ 10 ÷ 5 puede dar 8 o 200 según como se asocie (agrupe).

Si realizamos (400 ÷ 10) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8,

pero es diferente a 400 ÷ (10 ÷ 5) = 400 ÷ 2 = 200.

Propiedad distributiva: es válida la propiedad distributiva con respecto de la división cuando se descompone el dividendo en una suma o en una resta.

Por ejemplo: 400 ÷ 10 = puede escribirse (descomponerse) como la suma de 200+200

400 ÷ 10=

=200 ÷ 10 + 200 ÷ 10

= 20 +20=40

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Anexo: problemas de lasdiferentes etapasPrimera etapa: la división como herramienta para resolver problemas deorganización rectangular1. El piso del aula es rectangular y tiene en total 330 cerámicos. Todos los cerámicosson cuadrados y están enteros. En cada fila hay más de 12 y menos de 18 cerámicos.¿Cuántos cerámicos hay en cada fila?¿Cuántos en cada columna?¿Hay una sola posibilidad? ¿Por qué?

2. Una escuela rural recibió una donación de 176 plantas. Van a colocarlas en un sectorrectangular. En cada fila pueden ubicar 11 plantas.¿Cuántas filas pueden completar?

3. Un tablero de ajedrez está formado por 64 cuadraditos blancos y negros dispuestos en filasiguales. Cada fila está formada por 8 cuadraditos.¿Cuántas filas tiene el tablero?Escribí el cálculo que realizaste para resolver este problema.

4. Se quieren dibujar en hoja cuadriculada distintos rectángulos formados por 18 cuadraditos.¿Cuántas posibilidades hay?¿Cómo hiciste para averiguarlo?

5. Se quieren dibujar en hoja cuadriculada distintos rectángulos formados por 36 cuadraditos.¿Cuántas posibilidades hay?¿Cómo hiciste para averiguarlo?

Segunda etapa: cómo averiguar el dividendo y el divisor a partir del cociente y elresto1. a) Escribí una operación de dividir entre números naturales que tenga cociente 25 y resto 12.b) ¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles?c) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué?

2. a) Escribí una cuenta de dividir entre números naturales que tenga cociente 12 y resto 7.b) ¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles?c) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué?

3. Al dividir un número por 32, se obtuvo 16 y un resto de 4. ¿Qué número se dividió?

4. Completa el dividendo y el divisor de esta cuenta. ¿Hay una única posibilidad? /_____ 4 6

5. Completa la tabla

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Tercera etapa: cómo varían el resto o el dividendo cuando se modifican los otrosnúmeros

1. Lisandro hizo la cuenta 103 : 12, obteniendo de cociente 8 y resto 7.

Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir:

104 : 12 105 : 12 106 : 12 107 : 12

a) ¿Puede Lisandro determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible, explicacómo puede hacerlo. Si no, explica por qué no.

b) ¿En cuánto tiene que modificar Lisandro el dividendo de la cuenta que hizo para obtenerde cociente 9 y resto 0 manteniendo el mismo divisor?

c) ¿Cuántas cuentas puede escribir Lisandro que tengan como divisor 12, como cociente 9 ycomo resto no necesariamente 0?

2. Agustina hizo la cuenta 1029 : 12, obteniendo de cociente 85 y resto 9.Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir:1030 : 12 1032 : 12 1035 : 12a) ¿Puede Agustina determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible, explicacómo puede hacerlo. Si no, explica por qué no.b) ¿En cuánto tiene que modificar Agustina el dividendo de la cuenta que hizo para obtenerde cociente 87 y resto 0 manteniendo el mismo divisor?c) ¿Cuántas cuentas puede escribir Agustina que tengan como divisor 12, como cociente 86y como resto no necesariamente 0? 3. Fernando hizo la cuenta 153 : 8, obteniendo de cociente 19 y resto 1.Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir:155 : 8 158 : 8 160 : 8 162 : 8¿Puede Fernando determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible, explica cómopuede hacerlo. Si no, explica por qué no.

4. Completa las siguientes cuentas colocando dividendo y resto. / 6______ / 7______ 7 6

5. a) Completa los números que faltan en las cuentas.b) ¿Cuántas soluciones puede tener cada una?

/ 15 _______ / 8_______ 22 /_______6 3 5 4 3

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Cuarta etapa: cómo determinar divisor y resto o dividendo y cociente.Averiguar el resto usando la calculadora.1. ¿Cuál o cuáles de los siguientes números pueden completar correctamente esta cuenta?24 /__________ 3

2. a) Escribí una cuenta que tenga divisor 12 y resto 5.b) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir que cumplan con esas condiciones?

3. Lisandro llevó una bolsa con 315 caramelos para compartir con sus compañeros y maestraporque era su cumpleaños. Le dijo a la maestra:-”Estos caramelos son para compartir entre todos mis compañeros y yo, que somos 30.Para cada uno la misma cantidad de caramelos. Los que sobran son para vos seño”.Marcelo, su amigo, para saber cuántos caramelos le tocaba a cada uno, tomó la calculadorae hizo el cálculo 315 : 30. Al apretar el signo =, en el visor de su calculadoraapareció el número 10.5Y dijo a su maestra: “Son 10 caramelos para cada uno de nosotros y 5 para vos”.¿Te parece que la solución que aporta Marcelo a partir del uso de la calculadora escorrecta? ¿Por qué?

4. ¿Cuál o cuáles de los siguientes números pueden completar correctamente esta cuenta?65 /__________ 5

5. A las siguientes cuentas les faltan números. Complétalas.

/ 4____ 96 /____ / 9____7 7 5¿Cuántas soluciones hay para cada cuenta?

6. Constanza tenía que resolver este problema: “Se quieren colocar globos en cada una de las 12aulas de la escuela de manera que en cada aula se coloque la misma cantidad. Tienen 126globos. ¿Cuántos se van a colocar en cada aula? ¿Sobran? ¿Cuántos?”

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Constanza hizo la cuenta 126 : 12 y en el visor de la calculadora apareció el siguienteresultado: “10,5”. Escribió esta respuesta: “Se deben colocar 10,5 globos en cadaaula”. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué?

7. Luis usó la calculadora para resolver la siguiente división: 237 : 5. En el visor de la calculadoraapareció en número 47,4. Luis dice que usando la calculadora pudo averiguar el resto de estadivisión. ¿Estás de acuerdo? ¿Cómo habrá hecho Luis para averiguarlo?

8. ¿Cómo se puede resolver este problema usando la calculadora? “En una escuela se organiza laexposición de trabajos que los alumnos realizaron para participar de un concurso. Se recibieron318 dibujos del mismo tamaño. Hay 22 paneles para colgarlos, se coloca la misma cantidad encada panel. Se necesita saber cuántos quedan sin colgar”.

Quinta etapa: reorganizar los problemas y sistematizar el estudio1. Hay que colocar 288 cerámicos. Se sabe que cada fila tiene que tener entre 14 y 17 cerámicos,¿cuántas filas habrá si no sobra ningún cerámico?

2. Escribí una cuenta de dividir entre números naturales que tenga cociente 19 y resto 6.¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles?¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué?

3. Inés hizo la cuenta 346 : 7, obteniendo de cociente 49 y resto 3.Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir:347 : 7 348 : 7 350 : 7 352 : 7¿Puede Inés determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible, explica cómopuede hacerlo. Si no, explica por qué no.

4. Verónica hizo la cuenta 87 : 6 y en el visor de la calculadora apareció el siguiente resultado:“14,5”Puede averiguar el resto de esta cuenta usando la calculadora. Explicá cómo puede averiguarlo.

5. ¿Cuál o cuáles de los siguientes números pueden completar correctamente esta cuenta?96 /__________ 8

6. A las siguientes cuentas les faltan números. Complétalas. / 6 ___ 86 / ___ / 8___ 6 5 2¿Cuántas soluciones hay para cada cuenta?

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