Cuaderno de Recuperación          

 

               

Nombre: Grupo: Año académico:

 

Indica, sin realizar la división, el tipo de expresión decimal de estos números.

a) —161— b) —

1393— c) —

2174— d) —

7570—

Señala cuáles de los siguientes números decimales no son periódicos.

a) 1,7 17 117 1117… c) �5� � 2,2360679774…

b) 3,012351235123… d) 8,163264128256…

Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.

a) �0,1234567891011… c) 8,023023023…

b) �6� � 2,4494897427… d) �3

8� � 2

Dado el número 53,2647, escribe:

a) Las mejores aproximaciones por defecto y por exceso, y los redondeos con una, dos y tres cifras de-cimales.

b) Los errores absolutos y relativos asociados a los redondeos.

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Una buena aproximación al número � es la fracción —272—. Si una fuente circular mide 12 metros de radio,

¿qué errores absoluto y relativo cometemos al medir su circunferencia tomando esta aproximación de �?

NÚMEROS REALES

· 1 ·

Expresa en notación científica estas cantidades.

a) Longitud de un paramecio: 0,000025 metros

b) Edad del universo: 15 000 millones de años

Calcula:

a) 3,62 � 1012 � 2,4 � 1012 c) (4,35 � 108) � (2,1 � 107)

b) 2,45 � 108 � 6,12 � 107 d) (4,6 � 1017) : (8 � 1012)

Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales.

a) �3�, �5

2�, �10

5�

b) 3, �2�, �3

5�, �6

3�

Indica cuántas raíces tienen los siguientes números y calcúlalas cuando sea posible.

a) �0,49� c) ��4�

b) �3

216� d) �3

�125�

De los siguientes pares de potencias, ¿cuáles son equivalentes?

a) 21�15�, 21�1

20� c) 7�

24�, 7�

13

50�

b) 13�58�, 13�

67� d) 10�

23�, 100,666...

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· 2 ·

Expresa los siguientes radicales como potencias y, si es posible, simplifícalas.

a) �3

64� c) �4

49�

b) �27� d) �6

4096�

Escribe tres potencias equivalentes a:

a) 3 �12� b) 7 �

15�

Expresa como radicales estas potencias.

a) 16�23� c) 81 �

35�

b) 125 �24� d) 100 �

52�

Los lados de tres cuadrados miden, respectivamente, 5�14�, 5�

16� y 5�

23� metros.

Ordénalos de menor a mayor según sus correspondientes áreas.

Haz las siguientes operaciones.

a) �6� � �8� � �3� c) �3

3� � �5

2�

b) �4

8� : �4

2� d) �3

10� : �5�

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· 3 ·

Realiza las operaciones siguientes.

a) �10

4� � �5

9� : �3� c) �3

�4

5��

b) ��322��2

d) ��3

�3

27���2

Simplifica extrayendo factores.

a) �180� c) �3

72�

b) �4

162� d) �3

24000�

Introduce los factores enteros en los radicales.

a) 2�5� c) 10�3

2�

b) 11�7� d) 5�4

2�

Opera y simplifica.

a) �3

16� � 3�3

18� � �3

50�

b) �20� � 6�45� � �80�

c) �4

32� � �4

162� � 3�4

48�

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· 4 ·

Racionaliza las siguientes expresiones.

a) ��1

5�� c) �

�4

1

72��

b) ��3

1

12�� d) �

�4

2

1

00��

Racionaliza y simplifica.

a) ��5� �

1

�2�� b) �

�3���

3��5�

� c) �1 �

1

�2��

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· 5 ·

Calcula el valor numérico pedido para las siguientes expresiones algebraicas.

a) f(x) � —x2

3�

x2

4—; x � 2

b) g(a, b) � 3a2 � 5ab; a � �1, b � 4

c) h(x, y) � x(y � 3) � xy 2; x � 2, y � 0

Identifica los coeficientes y los grados parciales y total de los siguientes monomios.

a) �3x3yz2 c) —4x

5

2yz2

—

b) ab2c4 d) �—12

— p 4q 2r

Realiza las siguientes operaciones.

a) (x4 � 3x3 � 3x2 � 2x) � (4x4 � 2x3 � 3x2 � 5x)

b) (�2x3 � x � 6) � (x3 � 3x2

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Escribe las expresiones algebraicas que corresponden al volumen de un cono y de una

esfera.

� 2x � 7)

POLINOMIOS

· 6 ·

Efectúa estos productos de polinomios.

a) (x4 � 2x3 � 3x2 � x � 2) � (x3 � 3)

b) (�5x3 � 6x � 3) � (x2 � 2x � 1)

c) 2x � (5x2 � 2x � 1) � (�x3

Calcula el cociente y el resto de la división (2x5 � 7x4 � x2 � 4x � 1) � (x2 � 3x � 2) y comprueba queD(x) � d(x) � C(x) � R(x).

Dados los polinomios P(x) � (3x3 � 3x2 � 1), Q(x) � (2x4 � 5x2) y R(x) � (�x3 � x � 2), efectúa estasoperaciones.

a) P (x) � Q(x) � R (x) c) [Q(x)]3

b) P (x) � Q(x) � R (x) d) Q(x) � R (x)

Resuelve las siguientes operaciones.

a) (m � 2n)2 d) ��4x � —23

— y�2

b) (�5 � 9b)2 e) (�3x � y)3

c) (2a � 3b)2 f) (4a � 5)3

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� 4)

· 7 ·

Descompón en factores estas expresiones.

a) y2 � 16 c) (3x � 2)2 � (3x � 2)2

b) 9z2 � 6zy � y2 d) 27x3 � 8 � 54x2 � 36x

Completa en tu cuaderno estas expresiones para que correspondan al cuadrado de un binomio.

a) a2 � 4ab � � c) 4x2 � � � 9

b) x2 � —23

—xy � � d) � � 6zyx3 � 9z2

Utiliza la fórmula a2 � b2 � (a � b)(a � b) para calcular mentalmente las siguientes operaciones.

a) 152 � 52 c) 1252 � 252

b) 552 � 452 d) 7002 � 3002

Realiza estas divisiones.

a) (x3 � 3x2 � 5x � 10) � (x � 3)

b) (x4 � 2x2 � 6x � 7) � (x � 1)

Utiliza la regla de Ruffini para hallar el número k que hay que añadir al polinomio x3 � 2x2 para que,al dividirlo entre x � 4, el resto sea 0.

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· 8 ·

Operaciones con polinomios

Dados los polinomios P(x) � 2x4 � x3 � —12

—x2 � 3x � 1, Q(x) � 3x3 � x2 � —23

—x � 2 y R(x) � �4x4 � x2

� 4, realiza las siguientes operaciones.

a) P(x) � Q(x) c) R(x) � Q(x) � P(x)

b) Q(x) � R(x) d) P(x) � Q(x) � R(x)

Rellena en tu cuaderno cada recuadro con el coeficiente adecuado.

a) (2x2 � �x � 1) � (�3x2 � 5x � �) � 5x2 � 2x � 4

b) (3x4 � x � 2) � (�x4 � �x � �) � 4x4 � 3x � 3

c) (5x3 � �x2 � �) � (�x3 � x2 � 2) � 2x3 � 3x2

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· 9 ·

Calcula estas potencias.

a) (x � y � 2z)2 b) (3a � 2b � c)2

Identidades notables

Efectúa estas operaciones.

a) (2x2 � 3y)2 d) (2x4 � x2)2

b) (3x � 2y)3 e) (5a � 3b) � (5a � 3b)

c) (3x3 � �x�)2f) (2xy � 4zt) � (2xy � 4zt)

División de polinomios. Regla de Ruffini

Realiza las siguientes divisiones de polinomios.

a) (6x3 � 2x2 � 1) � (x2 � x �2)

b) (�3x4 � x2 � 2x � 3) � (3x2 � 2x � 1)

c) (x6 � 2x3 � 3x � 3) � (�2x3 � x � 2)

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· 10 ·

Factorización de polinomios

Calcula las raíces enteras de los siguientes polinomios.a) P(x) � 2x3 � 6x2 � 2x � 6b) Q(x) � x4 � 2x3 � 7x2 � 8x � 12c) R(x) � x4 � x3 � 8x2 � 9x � 9

Escribe un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean x1 � �1, x1 � 2 y x1 � �4.¿Existen más polinomios que verifiquen esas condiciones? ¿Por qué?

Factoriza los siguientes polinomios.a) P(x) � x3 � x2 � 6xb) Q(x) � x3 � 3x2 � 4x � 12c) R(x) � x5 � x4 � x3 � 2x2

d) S(x) � 6x3 � 5x2 � 3x � 2e) T(x) � 2x4 � 7x3 � 8x2

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· 11 ·

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) —x4

— � —x6

— � 20 c) —2x

3� 3— � —

7x4� 5— � 7

b) �—x4

— � 1�—23

— � —x �

21

— � 2x d) 1 � —2(x

5� 1)— � —

3(22� x)—

Calcula la solución de estas ecuaciones.a) x2 � 10x � 24 � 3 c) �x2 � 2x � 0 e) 2x � 6 � 2x(x � 2)b) 5x2 � 9x � 4 � 0 d) x(2x � 5) � 6 � x f) x2 � 9 � �2x2

ECUACIONES Y SISTEMAS

· 12 ·

Resuelve las siguientes ecuaciones.a) x4 � 5x2 � 4 � 0 d) x6 � 64x3 � 0b) x6 � 10x3 � 9 � 0 e) 4x2 � 8x � 0c) x4 � 26x2 � �25 f) 3x3 � 12x2 � 12x � 0

Halla las soluciones de estas ecuaciones.

a) x 3 � 2x 2 � x � 2 � 0b) x3 � 6x 2 � 3x � 10 � 0

Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones racionales.

a) —2x

— � —2x

�

�

x3

— � 1

b) —x �

x1

— � —x �

22

— � 3

· 13 ·

Resuelve estas ecuaciones radicales.

a) �x2 � 5�x � 1� � x � 2

b) �40 ��x2� � 4 � x

c) �2x ��1� � �x � 4� � 6

d) �6 � x� � 2x � �2

Resuelve las siguientes ecuaciones.a) 2 log2 x � 10

b) logx 625 � 4

c) 3 logx � �6

d) ln (3 � x) � 0

Encuentra la solución de estas ecuaciones.a) logx � log50 � 4

b) logx � log100 � 0

c) logx3 � 2 logx � log10

d) log3x � 1 � 0

· 14 ·

¿Es correcto el proceso de resolución de estas ecuaciones? En caso contrario, indica el error.

a) log (x � 1) � log2 � logx ⇒ log �—x �

21

—� � logx ⇒ �—x �

21

—� � x ⇒ x � 1 � 2x ⇒ x � 1

b) log (x � 2) � log2 � logx ⇒ log (x � 2)2 � logx ⇒ (x � 2)2 � x ⇒ x2 � 5x � 4 � 0 ⇒ x � 4, x � 1

Encuentra la solución de estas ecuaciones.a) 4 � 5x � 500

b) 5 � 52x � 2500

c) 62x � 2 � 46656

d) 7 � 3x � 1

Resuelve estas ecuaciones exponenciales.a) 2x � 2x � 1 � 384

b) 5x � 5x � 1 � 5x � 2 � 775

c) 9x � 10 � 3x � 1 � 81 � 0

d) 4x � 9 � 2x

Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales.

a) �b) �2(2x � 1) � 9 � 8 � 3y

6x � y � 7

—34x— � —

23y— � 5

—x2

— � y � 5

� � 20

� 567

· 15 ·

Calcula la solución de las siguientes ecuaciones de segundo grado.a) 6x2 � 11x � 3 � 0

b) x2 � 6x � 7 � 0

c) x2 � 6x � 9 � 0

d) �2x2 � 2x � 24 � 0

e) 3x2 � x � 5 � 0

f) 4x2 � 4x � 1 � 0

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado utilizando un procedimiento diferente de lafórmula general.a) 3x2 � 27 � 0

b) x2 � 2x � 1 � 0

c) �7x2 � —52

— x � 0

d) (x � 2)2 � 25 � 0

· 16 ·

Halla la solución de estas ecuaciones de segundo grado.

a) —32x2

— � —4x

4�1— � —

2x(x6� 3)— � —

1172—

b) 3x2 � 4x � 5(x2 � 2) � —3x(x

2� 2)— � 14

c) 6x2 � 1 � —2x(�x

3� 3)— � —

5x2

6� 2— � 4x2 � —

569—

d) —3(�x

5� 2)— � 4x�—�2x

3� 1—� � x(�3x � 1) � —

12

—

e) —3x

5� 1— � —

4x1�

35

—

Resolución de otros tipos de ecuaciones

Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando un cambio de variable.a) x4 � 13x2 � 36 � 0b) 3x4 � 15x2 � 12 � 0c) x6 � 7x3 � 8 � 0d) x6 � 2x3 � 1 � 0e) x8 � 17x4 � 16 � 0

· 17 ·

Encuentra la solución de estas ecuaciones por factorización.a) �2x3 � 4x2 � 18x � 36 � 0b) 4x3 � 24x2 � 48x � 32 � 0c) �3x4 � 3x3 � 12x2 � 12x � 0

· 18 ·

Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.

a) —x �

42

— � —x �

63

— � —13

— c) —x2

4�

x2�

x2� 1

— � —32

— � —xx

�

�

51

—

b) —3xx

�

�

12

— � —2xx

�

�

51

— � —32

— d) —x �

31

— � —x �

64

— � —4x

�

�

28

—

Halla la solución de estas ecuaciones radicales.a) x � �x� � 6 � 0

b) �8 � x� � 2 � x

c) �x� � —�2

x�— � 1

d) 2�x � 1� � 5 � —�x

3

� 1�—

e) x � �x � 1� � 3 � 0

f) �7x ��1� � 2�x � 4�g) �5x ��1� � 2 � �x � 1�

· 19 ·

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciones de tipo exponencial.

a) 63 � x � 216 c) 3x�—13

—�x � 3

� �—217—�

x

e) 132x � 6 � 13x � 5 � 0

b) �—37

—�3x � 7

� �—73

—�7x � 3

d) 3 � 4x � 3 � 4x � 1 � 4x � 2 � 62 f) 10x � 5x � 1 � 2x � 2 � 950

· 20 ·

Resuelve estas ecuaciones de tipo logarítmico.a) log (x � 1) � log (x � 1) � 3 log2 � log (x � 2)

b) log (x � 2) � —12

— log (3x � 6) � log2

c) log9 �5

27� � 2x � 1

Sistemas de ecuaciones

Indica el número de soluciones de los siguientes sistemas lineales. Hállalas.

a) � b) �

Resuelve los siguientes sistemas.

a) � b) � c) � d) �—x3

— � —y2

— � 0

—x6

— � —y4

— � 2

3(�2x � 1) � 4y � 14x� 2(3y � 1) � 8

x � y � 1

—25

—x � —34

—y � 5

—x5

— � —23y— � 6

—�

10x— � —

56y— � �6

2x � y � 54x � 3y � 5

4x � y � 2x � 3y � 7

d) logx —�5

28�— � �0,4

e) log7 (x � 2) � log7 (x � 2) � 1 � log7 (2x � 7)

· 21 ·

Resuelve los siguientes sistemas no lineales.

a) � d) �

b) � e) �

c) � f) �x2 � y 2 � 17

x � xy � y � 9x 2 � xy � y 2 � 7x � y � 5

(x � y)2 � 49x 2 � 2xy � y 2 � 9

4x 2 � y 2 � �20xy � �12

5x 2 � y 2 � 253x 2 � y 2 � �25

x 2 � xy � 53x � y � 1

· 22 ·

Resuelve las siguientes inecuaciones aplicando las reglas de la suma y del producto.

a) 3x � 5 � 4x c) 4 � x � x � 6

b) 3x � 6 � 2x � 10 d) 2 � 6x � 2x � 3

Resuelve las siguientes inecuaciones.

a) 3(2x � 2) � 3(3x � 4) c) 1 � 2(x � 5) � �3 e) x � —1 �

6x

— � 2 � —2 �

2x

—

b) —5x

3� 7— � x � 5 d) 2x � 5 � 2(x � 1) � x f) 3x � —

1 �

22x

— � 4 � x

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INECUACIONES Y SISTEMAS

· 23 ·

Resuelve las siguientes inecuaciones.

a) x 2 � 2x � 3 � 0 d) x 2 � 1 � 0

b) x 2 � 8x � 12 � 0 e) x (x � 1)(x � 2) � 0

c) 4x 2 � 4x � 3 � 0 f) x 3 � 9x � 0

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· 24 ·

Encuentra la solución de estas inecuaciones.

a) —x �

12

— � 0 c) —xx

�

�

35

— � 0 e) �x 2

x�

21

� � 0

b) —x �

x2

— 0 d) —x1

�

�

4x

— � 0 f) �x 2

x�3

�x

4� 2

� � 0

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· 25 ·

Resuelve, por el método de factorización, las siguientes inecuaciones de segundo grado.

a) x 2 � 2x � 4 � 0 c) (3x � 1) (�5x � 2) � 0

b) �10x 2 � 17x � 3 � 0 d) �7 (4x � 1) (�x � 2) � 0

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· 26 ·

Indica la medida de estos ángulos en radianes.

a) 0º c) 60º

b) 45º d) 120º

Expresa en grados los siguientes ángulos.

a) —�

6— rad b) 0,8 rad c) —

34�— rad d) 3� rad

Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo sabiendo que la hi-potenusa y uno de sus catetos miden 13 y 5 centímetros, respectivamente.

Calcula las restantes razones trigonométricas de un ángulo agudo sabiendo que:

a) sen � � —�53�— b) cos � � —

13

—

6 m

10 m

8 m

Calcula las razones trigonométricas del ángulo agudo de menor amplitud.

TRIGONOMETRÍA

· 27 ·

La tangente de un ángulo agudo � es igual a —43

—. Halla sen � y cos �.

Simplifica la siguiente expresión: (sen2 � + cos2 �) + (sen2 � – cos2 �).

Calcula las razones trigonométricas de estos ángulos.

a) � rad b) 270º

La tangente de un ángulo del tercer cuadrante es tg � � 4. Halla las otras dos razones trigonométri-cas de este ángulo.

Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas.

a) sen —56�— b) cos ��—

�

6—�

Halla las razones trigonométricas de estos ángulos.

a) 150º c) 225º

b) �120º d) 300º

· 28 ·

Con la ayuda de la calculadora, halla el seno, el coseno y la tangente de estos ángulos.

a) 275º b) 124º 16’ c) 1,5 rad d) �25�� rad

Resuelve estas ecuaciones trigonométricas.

a) tg x � �1 c) sen x � 0

b) cos x � —�22�— d) cos x � �0,7561

Inés mide 158 centímetros y la altura de su aula es de 3 metros.

Si se sitúa a 2 metros de la pared, ¿qué ángulo de elevación obtiene?

Desde el suelo se ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de 30º con la horizontal. Si nosacercamos 75 metros hacia su pie, este ángulo mide 60º. Halla la altura de la antena.

75 m

60°

x

h

30°

2 m

α3 m

1,58 m

· 29 ·

Halla las razones trigonométricas del ángulo � en cada triángulo rectángulo.

a) b)

Calcula las razones trigonométricas del ángulo �.

Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo � si sen � � 0,6.

Halla el seno y la tangente de un ángulo agudo � cuyo coseno vale —45

—.

Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo � si su tangente es igual a �5�.

24 cm

25 cm

20 m

52 m16 m

12 m

· 30 ·

Halla las otras dos razones trigonométricas del ángulo � en cada caso.

a) Si cos � � —67

— y 270º � � � 360º

b) Si sen � � �38

� y 90º � � � 180º

c) Si tg � � �2� y 180º � � � 270º

Calcula las razones trigonométricas del ángulo �, expresado en radianes, en cada caso.

a) Si tg � � 5 y 0 � � � —�

2—

b) Si cos � � 0,8 y —32�— � � � 2�

Si � es un ángulo agudo y cos � � —59

—, ¿cuáles son las razones trigonométricas del ángulo � 180º?

· 31 ·

En el momento del día en que los rayos del sol forman un ángulo de 60º con la horizontal, la sombraque proyecta un árbol en el suelo es de 2,6 metros.

Para medir la distancia entre dos puntos muy alejados A y B, se han situado dos personas sobre ellos.Una tercera persona está en un punto C, a 50 metros de distancia de A.

Calcula la distancia que separa los puntos A y B.

Unas cigüeñas han construido su nido sobre el tejado de un edificio a 25 metros del suelo. Un chico loobserva desde un punto situado a 50 metros del edificio.

Calcula el ángulo de observación.

Juan ha subido en un globo aerostático hasta una altura de 50 metros. Sus padres siguen el vuelo des-de el suelo.

a) ¿A qué distancia del punto A se encuentran los padres de Juan?

b) Si el globo continúa subiendo en la misma dirección y se detiene cuando el ángulo de observación deJuan es de 60º, ¿a cuántos metros de altura se encuentra el globo en este momento?

El tronco de una palmera mide 3,5 metros y crece de forma inclinada debido al peso de la parte supe-rior. La perpendicular desde su parte más alta hasta la tierra mide 2 metros.

Calcula el ángulo de inclinación del tronco respecto a la vertical.

¿Cuánto mide el árbol?

· 32 ·

Alba va a poner una bombilla de bajo consumo en una lámpara que está situada a 2 metros del suelo.

Alba mide 1,53 metros, y cada lado de la escalera, 70 centímetros. Averigua si alcanza con ella para po-ner la bombilla.

En el centro de una plaza de forma circular de 300 metros de diámetro hay una estatua sobre un pe-destal que mide 2,5 metros de altura.

Con un teodolito situado en el borde de la plaza se observa la parte más alta de la estatua bajo un án-gulo de 6º. Si la mira del teodolito se encuentra a 1,2 metros sobre el suelo, ¿cuánto mide la estatua?

150 m

6°1,2 m2,5 m

h

· 33 ·

Desde un lugar situado junto al pie de una montaña se observa el pico más alto de la misma con unángulo de elevación de 45º. Si se retrocede 1061 metros, el ángulo es de 30º.

Una antena se ha clavado en el suelo. Para que permanezca vertical y bien sujeta se han colocado dosanclajes en el suelo a ambos lados de la antena alineados con su base.

La distancia entre los anclajes es de 40 metros y, si se observa la parte más alta de la antena desde cadauno de ellos, los ángulos de elevación son de 30º y 60º, respectivamente.

Calcula la altura de la montaña.

Calcula la altura de la antena.

· 34 ·

Resolución de triángulos

Calcula las medidas de los ángulos y de los lados desconocidos de estos triángulos.

a) b) c) d)

Resuelve estos triángulos.

a) b) c)

64 c

m

49 cm

16 cm

38 cm

18 cm42°

24 cm

53°

19 dm25 dm

100°

15 d

m

85°

45°

20 dm

12 dm

30°

115510_SOL_U07 15/7/08 10:21 Página 149

· 35 ·

Las coordenadas de los vértices de un rectángulo son A(2, 2); B(2, 5); C(6, 5), y D(6, 2).

Halla las coordenadas y representa los vectores AB��, BC��, CD�� y DA��. ¿Qué relación existe entre AB�� yCD��? ¿Y entre BC�� y DA��?

Las coordenadas de un punto A son (3, 1) y las del vector AB�� son (3, 4). ¿Cuáles son las coordenadasdel punto B? Determina otro punto C de modo que el vector AC�� tenga el mismo módulo y la mismadirección que el vector AB��, pero distinto sentido.

Representa los vectores a�� � (2, 2); b�� � (7, 0); c�� � (�6, 2); d�� � (3, �1), y e�� � (�6, 0) con origen en elorigen de coordenadas. ¿Qué coordenadas tienen los extremos de cada vector?

Dados los vectores u�� � (6, 5); v�� � (�3, 0) y w�� � (2, �4), calcula:a) 2u��b) 3v�� � w��

c) 5(u�� � v��) � w

Los vértices de un paralelogramo son A(3, 4); B(�4, 4); C(3, �4), y D. ¿Cuáles son las coordenadas de D?

1

1

O

Y

X

A (3, 4)B (–4, 4)

C (3, –4) D

115510_SOL_U08 23/7/08 14:45 Página 156

GEOMETRÍA ANALÍTICA

��

· 36 ·

¿Qué ángulo forman dos vectores opuestos? ¿Qué ángulo forman dos vectores equipolentes? Razonatu respuesta con un dibujo.

Dados los vectores u�� � (4, 3) y v�� � (12, 5), halla el ángulo que forman estas parejas.a) u�� y v�� b) �u�� y �v�� c) �u�� y v�� d) u�� y �v��

Dado el punto A(3, 2), halla las coordenadas de otro punto B sabiendo que se encuentra en el eje deordenadas y que dista 5 unidades de A.

Las coordenadas del punto medio del segmento AB son (3, 5). Halla las del punto B siendo A(2, 9).

115510_SOL_U08 23/7/08 14:45 Página 158

Los vértices de un triángulo son A(1, 2); B(6, 2), y C(4, 6). Calcula las longitudes de sus lados.

· 37 ·

Sean A(2, 3) y B(�8, 7) dos puntos del plano. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento AB.

Determina todas las formas de la ecuación de la recta que pasa por el punto A(�2, 5) y lleva ladirección v�� � (4, 1).

Halla la ecuación punto-pendiente y la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto A(2, 8) ytiene como vector director v�� � (�1, 9).

Indica un punto y un vector de estas rectas.

a) (x, y) � (2, 4) � t (5, �3) c) �b) —

x �

33

— � —y �

22

— d) 2x � 3y � 8 � 0

Halla todas las formas de la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene comopendiente m � �7.

Halla la ecuación en forma continua de la recta que pasa por los puntos P(�4, 0) y Q(0, 2).

x � �1 � 9ty � �8 � 6t

115510_SOL_U08 23/7/08 14:45 Página 159

· 38 ·

Halla todas las formas de la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(3, 0) y Q(0, �3).

Representa gráficamente la recta que pasa por los puntos A(3, �1) y B(8, 9), y halla todas las formas desu ecuación.

Representa la recta de ecuación y � �4x � 12, y halla las restantes formas de su ecuación.

Dadas la recta r, determinada por los puntos A(2, 3) y B(4, 7), y la recta s, determinada por los puntosC(2, 7) y D(7, 8), razona si r y s son paralelas o secantes.

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 2) y es paralela a la recta de ecuación5x � 3y � 7 � 0.

1

1

O

Y

XA

B

1

1

O

Y

X

y = –4x + 12

115510_SOL_U08 23/7/08 14:45 Página 160

· 39 ·

Determina un vector cuyo módulo mida �10� unidades y que sea perpendicular a v�� � (6, �2).

Calcula la distancia entre los puntos:a) A(4, �2) y B(0, 9)b) C(�1, 10) y D(8, �5)

Halla las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo de vértices A(2, 1); B(2, 5) y C(�2, 3).

Ecuaciones de la recta

Determina un punto por el que pasan y un vector director de cada una de las siguientes rectas.

a) —x

�

�

23

— � —y �

54

— c) �b) 4x � y � 0 d) (x, y) � (4, 0) � t(2, �6)

Halla todas las formas de la ecuación de la recta de la figura.

Escribe la ecuación segmentaria de la recta que pasa por los puntos A(5, 0) y B(0, 2).

x � 2 � ty � 5 � 3t

XO 1

1

Y

r

115510_SOL_U08 23/7/08 14:45 Página 164

Expresa en forma continua la recta y � 2x � 1.

Halla la pendiente de la recta 3x � 2y � 6 � 0.

· 40 ·

Escribe en todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3, 1) y tiene ladirección del vector u�� � (5, �2).

Calcula la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(�3, 6) y B(4, 1).

Comprueba si el punto B(4, �6) pertenece a alguna de estas rectas.a) y � 9 � 3xb) 5x � 3y � 2 � 0

¿Son secantes las rectas r: 4x � 5y � 2 � 0 y s: y � 2x � 4? En caso afirmativo, calcula su punto de corte.

Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas.a) r : 4x � 6y � 10 � 0

s : 2x � 3y � 4 � 0b) r : 2x � 3y � 6 � 0

s : 6x � 9y � 18 � 0

Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P(0, 2) y tiene la misma pendiente

que —x

�

�

11

— � —y �

32

—.

¿Cuál es la posición relativa de las dos rectas?

115510_SOL_U08 23/7/08 14:45 Página 170

· 41 ·

Calcula la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto en el que 6x � 9y � 12 � 0corta al eje de abscisas y es paralela a —

x4

— � —y3

— � 1.

Los lados de un triángulo vienen dados por las rectas de ecuaciones 3x � y � 6 � 0,3x � y � 18 � 0 e y � 0.a) Halla sus vértices.b) Clasifica el triángulo en función de sus lados.c) Halla las ecuaciones de las rectas determinadas por sus medianas.

Las rectas r: x � y � 1 � 0, s: x � y � 7 � 0, t: x � y � 5 � 0 y u: x � y � 5 � 0 forman uncuadrilátero.a) Calcula la medida de sus lados y de sus ángulos interiores.b) ¿Qué tipo de cuadrilátero es?

115510_SOL_U08 23/7/08 14:45 Página 172

· 42 ·

Halla el dominio y el recorrido de estas funciones.

a) f (x) � 3x � 1 b) g (x) � � x � c) h (x) � x3

Calcula el dominio de estas funciones.

a) f (x) � �x 2

5�x

1� b) g (x) � �x 2 ��x � 6� c) h (x) � �

x2(xx

2��

31)

� d) j (x) � �x 2 ��2x ��1�

Estudia el crecimiento o decrecimiento de la función f(x) � x 3

Indica en qué intervalos es creciente o decreciente la función y � x 4 � 2x 2.

Señala los máximos y mínimos de estas funciones.

Indica los máximos y mínimos de estas funciones.

a) y � 3x � 2 b) y � � x � c) y � (x � 2)2 � 3 d) y � x2

1

1 X

Y

O

1

1 X

Y

O

a) b)

1

1 X

Y

Of (x) = x 4 _ 2x2

1

1 X

Y

O

f (x) = x3

115510_SOL_U10 15/7/08 10:37 Página 196

FUNCIONES

· 43 ·

Representa estas funciones definidas a trozos.

a) y � b) y �

Observa estas dos representaciones gráficas y escribe las fórmulas de las funciones a las que corres-ponden.

1

1 X

Y

O

1

1 XO

Ya) b)

4 x �2�x2 �2 x 42x � 3 x � 4

x2 si x �1x � 2 si �1 x 12 si x � 1

115510_SOL_U10 15/7/08 10:37 Página 199

· 44 ·

Un automóvil parte desde Logroño hacia Palencia a 100 km/h. Simultáneamente, otro sale desde Pa-lencia hacia Logroño a 60 km/h.

Sabiendo que ambas capitales distan 200 kilómetros, ¿a qué distancia de Logroño se producirá el en-cuentro?

Resuelve de nuevo la situación del ejercicio anterior si la velocidad de cada coche aumentase en 20 km/hpor hora.

¿A qué distancia de Logroño se cruzarían en este caso?

Concepto de función

Construye una tabla de 6 valores para las funciones:

a) f(x) � 5x � 3 b) g(x) � x 2 � 2x c) y � —2xx

�

�

13

— d) y � �10 ��x�

115510_SOL_U10 15/7/08 10:37 Página 200

· 45 ·

Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.

a) f (x) � 4x � 6 c) y � �x 2 ��2� e) h(x) � �3 � 2�x�

b) y � x 2 � 3 d) g (x) � �15 ��3x� f) y � �8x ��6�

Dibuja una función:

a) Que su dominio sea R � {2} y su recorrido R.

b) Que su dominio sea (��, 0].

c) Que su dominio sea [�6, 6] y su recorrido [0, 12].

Calcula el dominio de estas funciones.

a) f (x) � —24xx 2

�

�

x6

3

— c) g (x) � —3xx 2

�

�

23

— e) h(x) � —2x

x� 8—

b) y � —x 3

1� 8— d) y � —

2 �

1x

— f) y � —x 2

3�

x 2

5�

x �

64

—

Escribe la fórmula de una función:

a) Cuyo dominio sea [3, ��).

b) Cuyo dominio sea R, y su recorrido, R�.

c) Cuyo dominio sea [0, ��), y su recorrido, R�.

Halla el dominio de estas funciones.

a) y � —2x 2

x�

2 �

x �

110

— b) y � —x1

3

�

�

53xx 2

�

�

x4

2

x—

xc) y � —

x 2 �

x �

5x3� 4

— d) y � —134

25444—

�x � 7�

115510_SOL_U10 15/7/08 10:37 Página 201

· 46 ·

Representa estas funciones cuadráticas encontrando primero el vértice de las parábolas.

a) y � x2 b) y � x2 � 2x � 3 c) y � �x2 � 2x � 1

Representa en los mismos ejes estas funciones.

a) y � —4x

—

b) y � —1x0—

c) y � —3x0—

115510_SOL_U12 23/7/08 14:42 Página 240

Representa las siguientes funciones lineales e indica el valor de sus pendientes.

a) y � �3

b) y � 5x � 1

c) y � �2x � 1

· 47 ·

Halla el dominio de estas funciones.

a) y � —23xx

�

�

46

— b) y � —x1

2

�

�

x22— c) y � —

x 2 � 81x � 16—

Asigna en tu cuaderno a cada una de las funciones representadas la fórmula que le corresponde.

a) y � —x �

11

— b) y � —x

�

�

11

— c) y � —x �

61

—

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones en los mismos ejes.

a) y � —x �

43

—

b) y � —x

�

�

13

—

c) y � —x �

83

—

Y

1

O 1 XI

IIIII

115510_SOL_U12 23/7/08 14:43 Página 248

· 48 ·

Representa las siguientes funciones lineales, e indica su pendiente y su ordenada en el origen.

a) y � 4x � 6 b) y � �x � 3 c) y � 2 d

Sin dibujar la gráfica, explica si son crecientes o decrecientes estas funciones.

a) y � —14

— x b) y � 5x � 7 c) y � 2 � 3x

115510_SOL_U12 23/7/08 14:43 Página 256

) y � 6x

Representa las siguientes funciones.

a) y � —xx

�

�

94

— b) y � —xx

�

�

21

— c) y � —xx

2

�

�

39

—

· 49 ·

Calcula el vértice de las parábolas y luego dibújalas.

a) y � x 2 � 4x � 5 b) y � x 2 � 9 c) y � �2x 2 � 16x d) y � x 2 � 4x � 2

Representa en los mismos ejes estas funciones.

a) y � —8x

— b) y � —1x2— c) y � —

3x

—

115510_SOL_U12 23/7/08 14:43 Página 257

· 50 ·