UUNNIIDDAADD 11IIII Funciones vectoriales de una variable real

Competencia a desarrollar:

Reconoce una funcin vectorial en distintos contextos y manejarla como un vector. Contenido temtico

3.1 Definicin de funcin vectorial de una variable real. 3.2 Graficacin de curvas en funcin del parmetro t. 3.3 Derivacin de funciones vectoriales y sus propiedades. 3.4 Integracin de funciones vectoriales. 3.5 Longitud de arco. 3.6 Vector tangente, normal y binormal. 3.7 Curvatura. 3.8 Aplicaciones.

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Referencias bibliogrficas (De acuerdo al APA)

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Quien fue Jacques Bernoulli? y cul fue su aportacin a las

matemticas (relacionado con el clculo vectorial)?

Investigar

Qu es una funcin?

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Cul es la definicin de lmite? y Cmo se expresa matemticamente? _________________________________________________________________________________

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Cul es la definicin de continuidad en los lmites? _________________________________________________________________________________

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A partir de las definiciones anteriores, crea el concepto de funcin vectorial.

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Cul es el dominio de una funcin vectorial? y Por qu es necesario en la graficacin de una funcin vectorial? _________________________________________________________________________________

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Referencias bibliogrficas (De acuerdo al APA)

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REPASO DE CLCULO DIFERENCIAL Y CLCULO INTEGRAL Indicar las respuestas correctas y su solucin de los siguientes ejercicios 1. Cul de las siguientes afirmaciones pueden ser ciertas? si f (x) = 5x2/3

a) f (x) = 4x -1/3

b) f (x) = 5x -5/3+1

c) f (x) = 5x -1/3

d) f (x) = 3x 5/3 + 6

2.- Encuentre f ( x) de

1

2

1

33 1

6 1

xy

x

a) 16132

430

3 2

xx

x

b) 1613

29

3 2

xx

x

c) 16)13(

415x

3 2

xx

3.- Encuentre Dxy de x xy e e

a)

2

2

x

xe x e

x

b)

2

4

x

xe x e

x

c) 22

xe

x

4.- Encuentre la derivada de

cos 2y sen sen x Aplicar frmulas

5.- Encuentre la derivada de

22 233)( rrrrf a) 6229 2 rr

b) 6102 rr

c) 6166 2 rr

6.- Encuentre dy/dx de

12xxnly

a)

1

11

2

2

xx

xx

b)

1

212

1

2

2

12

xx

xxx

c)

1

212

11

2

2

12

xx

xx

7.- Encuentre dy/dx de 2sen2 senxxy

8.- Derivar cos

1

42

x

xy

9.- Encuentre dy/dx de 1

1

x

xy

Repaso de clculo diferencial.

Encontrar la derivada de las siguientes funciones.

1. 4( 4 )y sen x

2. 3y x

3. tan 1 3y x

4. 2tan (3 2)y x

5. 3ln( 2)( 3)y x x

6. 2ln(3 1)y x

7. 24 5y sen x x

8. 3cos xy e

9. 24 3sen xy e

10. 3xy e x

Repaso de clculo integral.

Encontrar la solucin de las siguientes integrales.

1. 2( 6 )x x dx

2. 3 3( 2)x dx

3. 26xe xdx

4. 4 2x dx

5. cos3xdx

6. 3 24sen x x dx

7. 1

3 2tan x x dx

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE LERDO Unidad III Clculo vectorial

Funciones vectoriales de una variable real Examen de diagnstico

Nombre: _________________________________________ No. Control_________________ Fecha: ______________ Instrucciones: Lea con atencin el examen, de acuerdo a su conocimiento conteste el examen al reverso de la hoja indicando el nmero de problema.

Competencia a desarrollar: Reconoce una funcin vectorial en distintos contextos y manejarla como un vector.

1. Resolver las siguientes operaciones:

a) Encontrar el dominio de r (t) y determinar su curva.

3 21( )4

r t t i t j

b) Encontrar el siguiente lmite: 2

4

16lim 7 6

4t

tt i j t k

t

c) Dada la siguiente funcin vectorial 4 21

( ) 2 53

tr t i t j t k

Encontrar en un tiempo

1. La velocidad

2. La aceleracin

d) Evaluar la siguiente integral definida: 5

1

8ti tj k dt

e) Hallar ( )d

a bdt

y ( )d

axbdt

Si 2 35 3a t i tj t k y ( ) cos( )b sen t i t j

2.- Determinar los vectores unitarios tangente y normal T(t) y N(t) a la curva C

determinada por 3 2( ) 3 (2 6 )r t t i tj t t k . Trazar la grfica de C y representar

geomtricamente T(t) y N(t) correspondientes al valor de t = 1.

3.1 Definicin de funcin vectorial de una variable real.

En la unidad anterior definimos una curva plana como un conjunto de pares ordenados (f(t), g(t)) junto con sus ecuaciones paramtricas x= f(t) y y=g(t)

Ahora, extenderemos esto al espacio: una curva en el espacio r(t) es un conjunto de todas las ternas ordenadas (f(t), g(t), h(t)) junto con sus ecuaciones paramtricas.

x= f(t) y=g(t) z= h(t) (1)

Donde f, g, y h son funciones continuas de t en un intervalo I.

Existe una estrecha relacin entre las funciones vectoriales y las curvas en el espacio.

Con notacin vectorial podemos definir las ecuaciones dadas en (1) de la siguiente manera: funciones continas de t en un intervalo I.

x= f(t) y=g(t) z= h(t)

r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k (2)

La ecuacin (2) es una funcin vectorial que da la posicin de un cuerpo en un tiempo determinado. En este tipo de funciones se asignan a los vectores nmeros reales

Definicin:

Sea D un conjunto de nmeros reales. Una funcin vectorial r con dominio D una correspondencia que asocia a cada numero t en D un vector nico r(t) en V3 o R. El contradominio de r consta de todos los vectores r(t) para t en D.

Teorema:

Si D es un subconjunto de R, entonces r es una funcin vectorial con dominio D si y solo si para todo t en D.

r (t) = f (t)i + g (t)j + h (t)k

Donde f, g, h son funciones escalares con dominio D

Sea r (t) = (t+2)i + (2t-3)j + tk, encontrar:

a) El domino r (t) b) Calcular r (1) y trazar su vector posicin c) Calcular r (2) y trazar su vector posicin

a) D = {t: t R}

b) r (1) = 3i j + k

c) r (2) = 4i + 5j + 8k

Ejemplo 1

3.2 Graficacin de curvas en funcin del parmetro t.

El estudio que se realiz en la unidad anterior sobre las rectas y curvas en el plano. Se extiende con facilidad al espacio tridimensional. Una curva en el espacio se determina mediante una triada de ecuaciones paramtricas.

x=f(t) y=g(t) z=h(t) t I

Z

X

Y

Vector posicin

Z

Vector posicin

Y

X

Siendo f,g y h funciones continuas en el intervalo I. Una curva se especifica dando el vector posicin r(t) del punto P(t)

( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) r r t f t g t h t f t i g t j h t k

La punta de r traza la curva cuando t recorre el intervalo I, como se ve en la figura 1.

El dominio de una funcin vectorial es la interseccin de los dominios de cada una de las funciones componentes., es decir:

Si 1 2 3( ) [ ( ), ( ), ( )......... ( )]nf t f t f t f t f t el dominio es: 1 2 3 .......... nD f D f D f D f D f

O expresado de otro modo 1

n

i

i

D f D f

Por ejemplo: el dominio de 21

( ) 41

r t i t jt

son los valores reales que se encuentran en el

intervalo [-2,2], excepto cuando t=1.

El dominio de la funcin 2

1( ) ln( 1) 4 1

4

rr t t i j r k

r

es la interseccin de los dominos de

( ) ln( 1)f t t , 2

1( )

4

rg t

r

y ( ) 4 1h t r donde: ( 1, )fD , { 2,2}gD R y

1[ , ]4h

D , o sea que el dominio de r(t) es: 1[ ,2) (2, )4r

D

Y

Z

X P

R

Figura 1.

Una partcula se mueve en el espacio con la siguiente funcin

vectorial: 2 3( ) 2 3r t ti t j t k

a) Graficar su movimiento en el espacio en un intervalo de 0 t 4 b) En qu posicin del espacio se encuentra la partcula en t = 3.7 seg?

b) 2 3( ) 2 3r t ti t j t k 2 3(3.7) 2(3.7) 3(3.7) (3.7)

(3.7) 7.4 41.07 50.65

r i j k

r i j k

Ejemplo 2 a)

Para rastrear una partcula que se mueve en el espacio, trazamos un vector r del origen de la partcula y estudiamos los cambios en r.

Si las coordenadas de la posicin de la partcula son funciones dos veces diferenciables respecto al tiempo, entonces tambin lo es r y podemos encontrar los vectores velocidad y aceleracin de la partcula en un tiempo cualesquiera diferenciando r. Inversamente, si tenemos el vector de velocidad y aceleracin podemos determinar la posicin de la partcula en cualquier tiempo mediante integracin.

a) Realizar tabla de datos y generar la grfica.

b) Hacer uso del software Mathcad y anexar la grfica.

curva t( )

4cos t( )

4sin t( )

t

tinf 0 tsup 4 Grafica CreateSpace curva tinf tsup

a) Graficar la siguiente funcin vectorial.

( ) 4cos 4r t t i sen t j tk en un intervalo de 0 4t

Ejercicios

3.3 Derivacin de funciones vectoriales y sus propiedades. Lmites de funciones vectoriales

La manera en que definimos los lmites de funciones vectoriales es similar a como definimos los lmites de funciones de valores reales.

Las funciones vectoriales se pueden sumar y restar, multiplicar por un escalar, tomar su lmite, derivarlas, integrarlas, etc.

Sea r(t) una funcin vectorial y L un vector. Decimos que r tiene lmite L, cuando t tiende a t0 y escribimos:

lim ( )ot tr t L

Donde L = L1 i + L2 j + L3 k

lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )o o o ot t t t t t t tr t f t i g t j h t k L

Siempre y cuando f, g, h tengan limite cuando t tiende a to. Definicin Una funcin vectorial r es continua en a si lim ( ) ( )

t ar t r a

Evaluar el lmite de la funcin vectorial cuando 2t :

22 1( ) ( 1)5

r t ti t j kt

Solucin:

2

2 2

2(2) 1lim ( ) lim (2) ((2) 1)

5 2

4 1(2) (4 1)

5 2

4 1(2) 3

5 2

t tr t r i j k

r i j k

r i j k

Ejemplo 1

Evaluar el lmite de la funcin vectorial cuando 2t : 2 3 2 2

2

3 10 2 4 2( )

2 2 6 8

t t t t t tr t i j k

t t t t

Solucin:

Factorizar para eliminar la indeterminacin

3 2 2

2 2 2 2

3 2 2

2

2

( 5)( 2) 2 4 2lim ( ) lim lim lim

2 2 ( 2)( 4)

(2) 2(2) (2) 4(2) 2lim (2) (2 5)

2 2 (2 2)(2 4)

8 8 4 8 2 0 6lim (2) 7 7 7 0

2 2 (0)( 2) 4 0

t t t t

t

t

t t t t t tr t i j k

t t t t

r i j k

r i j k i j k i j k

ya que la indeterminacin no se elimina en la componente k, la funcin vectorial no se

puede evaluar para t=2

Ejemplo 2

Evaluar el lmite de la funcin vectorial cuando t : 3 2

3 2 2

3 1 4 2 1 2( )

t t tr t i j k

t t t

Solucin:

3 2

3 3 2 2 2 2

3 2 2

3 2 2

3 2 2

3 1 4 2 1 2

lim ( ) lim lim lim

1 2 1 23 4

lim ( ) lim lim lim1 1 1

3 0 4 0 0 0lim ( )

1 1 1

3 4lim ( )

1 1

lim ( )

t t t t

t t t t

t

t

t

t t t

t t t t t tr t i j kt t t

t t t

t t t tr t i j k

r t i j k

r t i j

r t

3 4i j

Ejemplo 3

Cualquier nmero dividido entre un

indeterminado da como resultado cero (0)

1. Dado ( ) cos( ) ( )r t t i sen t j tk encontrar el lmite de dicha funcin vectorial cuando

4t

4

lim ( )t

r t

Evaluar los lmites de las funciones vectoriales:

Ejercicios

Evaluar el lmite de la funcin vectorial cuando 1t : 2 2 22 3 2 2 2 8

( )1 1 2

t t t t t tr t i j k

t t t

Solucin:

Se factoriza para eliminar trminos

1 1 1 1

1 1 1 1

1

1

( 3)( 1) 2 ( 1) ( 4)( 2)lim ( ) lim lim lim

1 1 2

lim ( ) lim( 3) lim 2 lim( 4)

lim ( ) ( 1 3) 2( 1) ( 1 4)

lim ( ) ( 4) 2 5

t t t t

t t t t

t

t

t t t t t tr t i j k

t t t

r t t i tj t k

r t i j k

r t i j k

Ejemplo 3

2. Encontrar el lmite de las siguientes funciones vectoriales:

a) 3 2 2

2 3

2 16 2 3 1( )

6 1

t t t tr t i j k

t t t t

2lim ( )t

r t

b) 2 2

3

3

16 2( ) ( 6 )

4 5 2

t tr t t t i j k

t t

4lim ( )t

r t

c) 4 5 5 6 2

7 3 6 2 3

4 3 2 4 6( )

2 3 3 2 8 5 8

t t t t tr t i j k

t t t t t

lim ( )t

r t

Derivacin de funciones vectoriales

La funcin vectorial r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k es diferenciable en t = t0 si f, g y h son diferenciables en t0. Se dice tambin que r es diferenciable si es diferenciable en todo momento de su dominio.

dr df dg dhi j k

dt dt dt dt

El vector dr/dt, cuando es diferente de 0, es tambin un vector tangente a la curva. La recta tangente a la curva en un punto (f(t0), g(t0), h(t0)) se define como la recta que pasa por el punto, paralela a dr/dt en t = t0.

Definicin de Derivacin: Sea r(t) una funcin vectorial. La derivada de r(t) es la funcin vectorial r(t) definida por:

0

( ) ( )'( ) lim

t

r t t r tr t

t

Para toda t en el que el lmite existe.

Teorema: Si r (t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k, donde f, g y h son derivables entonces: r (t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

Sea r (t) = (ln t)i + e-3t j + t k, encontrar: a) El dominio de r(t)

b) r (t) y r(t)

Solucin:

a) D = {t: t R; t > 0}

b) 3 2

3

3

2

( ) (ln )

1'( ) 3 2

1''( ) 3 2

t

t

t

r t t i e j t k

r t i e tkt

r t i e kt

Ejemplo 1

a) Determinar r(t) y r(t) para: 4 21( )4

r t t i t j

b) Determinar r(t) y r(t) para: 3 3( )r t t i t j

Encontrar el D de r(t) y calcule r(t) y r(t) de :

Solucin:

a) 2( ) tan( ) 3r t t i t j k

3{ :0 }2 2 2

D t t t

2

2

'( ) 2 sec ( )

''( ) 2 2sec ( ) tan( )

r t ti t j

r t i t t j

b) 2( ) tr t ti e j tk

{ : ; 0}D t t R t

2

12

2

32

'( ) 22

''( ) 44

t

t

ir t e j k

t

ir t e j

t

Ejemplo 2

Realizar los siguientes ejercicios

Ejercicios

c) Determinar r(t) y r(t) para: ( ) (2 1) (4 )r t t i t j

d) Dados los siguientes vectores 2 23 5 2 3A t i tj k y B i tj t k realiza las siguientes

operaciones:

a) ( )d

A Bdt

b) ( )d

AxBdt

e) Siendo ( ) cos( ) , cos( ) 3 2 3A sen u i u j uk B u j k y C i j k

Hallar: ( ( ))d

Ax BxCdt para u=0

Si r es el vector de posicin de una partcula que se mueve a lo largo de una curva suave en el espacio, entonces,

( )( )

dr tv t

dt

es el vector velocidad de la partcula, tangente a la curva. En cualquier tiempo t, la direccin de v es la direccin del movimiento, la magnitud de v es la rapidez de la partcula y la derivada,

( )( )

dv ta t

dt

cuando sta existe, es el vector aceleracin de la partcula.

Definiciones importantes:

1. La velocidad es la derivada de la posicin: ( )

( )dr t

v tdt

2. La rapidez es la magnitud de la velocidad: ( )rapidez v t

3. La aceleracin es la derivada de la velocidad: 2

2

( ) ( )( )

dv t d r ta t

dt dt

4. El vector unitario ( )

( )

v t

v t es la direccin del movimiento con respecto al tiempo t

( )( ) ( )( )

( )

v tvelocidad v t rapidez direccin

v t

El vector 2( ) 3cos( ) 3 ( )r t t i sen t j t k da la posicin de un cuerpo en

el tiempo t. Encuentre la rapidez del cuerpo y su direccin cuando t = 2. :

Solucin:

a) '( ) 3 ( ) 3cos( ) 2r t sen t i t j tk

Rapidez:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

( ) '( ) ( 3 ( )) (3cos( )) (2 )

( ) '( ) 9 ( ) 9cos ( ) 4

( ) '( ) 9( ( ) cos ( )) 4

( ) '( ) 9 4

v t r t sen t t t

v t r t sen t t t

v t r t sen t t t

v t r t t

Ejemplo 2

a) 2( ) ( 1) ( 1) 2 ; 1r t t i t j tk t

El vector r(t) es la posicin de una partcula en el espacio en el tiempo t. Determinar la velocidad, rapidez, aceleracin y direccin de dicha partcula.

Ejercicios

Solucin:

b) Direccin

2

2

( ) 3 ( ) 3cos( ) 2

( ) 9 4

2

(2) 3 (2) 3cos(2) 2(2)

(2) 9 4(2)

(2) 3 (2) 3 (2) 4

(2) 5 5 5

(2) 2.7279 1.2484 4

(2) 5 5 5

v t sen t i t j tk

v t t

t

v sen i j k

v

v sen i cos j k

v

v i j k

v

b) ( ) (2cos ) (3 ) 4 ;2

r t t i sent j tk t

c) 2

2( ) (2ln( 1)) ; 12

tr t t i t j k t

3.4 Integracin de funciones vectoriales. La integral indefinida de r con respecto a t es el conjunto de todas las antiderivadas de r y se denota por:

( )r t dt Para obtener la integral de r(t) se hace lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )r t dt f t dt i g t dt h t dt k

(cos( ) (2 )t i j t k dt Si las componentes de r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k son integrales sobre [a,b], entonces lo es tambin r y la integral definida de r entre a y b: Definicin. Sea ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k , la integral definida desde a hasta b de r(t) es :

( ) ( ) ( ) ( )b b b b

a a a ar t dt f t dt i g t dt j h t dt k

Siempre y cuando f, g y h sean integrable en [a, b] Teorema. Si r(t) es un antiderivada de R(t) en [a,b] entonces:

Realizar la siguiente integral indefinida

Ejercicios

Calcular 2

0( )r t dt para

3 2 1( ) 12 4 ( 1)tr t t i e j t k

Solucin:

2 2 2 23 2 1 3 2 1

0 0 0 0

24

2 22

000

4 4 2(2) 2(0)

(12 4 ( 1) ) 12 4 ( 1)

122 ln 1

4

3(2) 3(0) 2 2 ln 2 1 ln 0 1

48 0 109 2 1.09 0

48 107 1.09

t t

t

t i e j t k dt t idt e jdt t kdt

ti e j t k

i e e j k

i j k

i j k

Ejemplo 1

Evaluar las siguientes integrales:

a) 1

3 2

1( 5 8 3 )ti t j t k dt

b) 40

( ( ) cos( ) tan( ) )sen t i t j t k dt

Solucin:

a) 1

3 2

1( 5 8 3 )ti t j t k dt

1 1 13 2

1 1 1

2 4 32 4 3

2 2 3 3

5 8 3

5 8 32.5 2

2 4 3

2.5(1) 2.5( 1) 2(1) 2( 1) (1) ( 1)

2.5 2.5 2 2 1 1

2

tidt t jdt t kdt

t t ti j k t i t j t k

i j k

i j k

k

Ejemplo 2

a) Determinar ( )u t si 2 3'( ) (6 1) 8u t t i t j t k y (0) 2 3u i j k haciendo c=u(0)

b) Dados los siguientes vectores 2 23 5 2 3A t i tj k y B i tj t k realiza las siguientes

operaciones:

- 2

0( )A B dt

Solucin:

b) 40

( ( ) cos( ) tan( ) )sen t i t j t k dt

4 4 4

0 0 0

44 4

0 0 0

( ) cos( ) tan( )

cos( ) ( ) ln sec( )

cos( ) cos(0) ( ) (0) ln sec( ) ln sec(0)4 4 4

0.7071 1 0.7071 0 1.4141 0

0.7071 0.7071 1.4142

sen t idt t jdt t kdt

t i sen t j t k

i sen sen j k

i j k

i j k

Realizar la siguiente integral indefinida

Ejercicios

- 1

0( )AxB dt

c) La velocidad de una partcula que se mueve en el espacio es cos( ) ( )dr

t i sen t j kdt

encontrar la posicin de la partcula en funcin de t si (0) 2r i k

d) La aceleracin de una partcula es ( ) 12cos(2 ) 8 (2 ) (16 )dv

a t t i sen t j t kdt

Sabiendo que la velocidad y el desplazamiento son nulos en t = 0 (v(0) = r(0) = 0). Encontrar:

- El vector velocidad v en t = 0

- El vector posicin r en t = 0 NOTA: Se debe calcular la constante de integracin cv en t = 0 y se le agrega al vector velocidad obtenido en a). De manera anloga, calcular la constante cr en dicho punto y agregar al vector posicin obtenido en b)

3.5 Longitud de arco. La longitud de una curva ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k , a t b, que es exactamente recorrida una

sola vez conforme t crece de t = a a t = b, es

2 2 2b b

a a

df dg dhL v dt dt

dt dt dt

2 2 2b

a

dx dy dzL dt

dt dt dt

Encontrar la longitud de arco de una vuelta de la hlice

c) ( ) cos( ) ( )r t t i sen t j tk

Solucin:

2 2 2

2 2 2

2 2

cos( ) ( )

( ) cos( ) 1

( ) cos ( ) 1

1 1

2

d t dsen t dtL dt

dt dt dt

L sen t t dt

L sen t t dt

L dt

L t

Ejemplo 1

Encontrar la longitud de arco de una vuelta de la hlice

d) ( ) cos( ) ( )r t t i sen t j tk

Solucin:

2 2 2

2 2 2

2 2

cos( ) ( )

( ) cos( ) 1

( ) cos ( ) 1

1 1

2

d t dsen t dtL dt

dt dt dt

L sen t t dt

L sen t t dt

L dt

L t

Ejemplo 2

( ) 4cos( ) 4 ( ) 3r t t i sen t j tk

0

2t

3.6 Vector tangente, normal y binormal.

Cuando viaja un cuerpo a lo largo de una curvatura en el espacio, existe un sistema de referencia de vectores unitarios mutuamente ortogonales que siempre viajan con el cuerpo:

El primero es el vector tangente unitario T.

El segundo es el vector unitario normal: N que da la direccin de dT/dt.

El tercero es el vector binormal: B = T x N.

Estos vectores nos dan informacin importante sobre la orientacin de un cuerpo en el espacio, por ejemplo, |dT/dt| nos dice que tanto gira, a la izquierda o a la derecha, la trayectoria de un cuerpo que se desplaza y se le llama curvatura de la trayectoria del cuerpo. El nmero -(dB/dt) nos dice qu tanto gira o se tuerce, fuera de su plano de movimiento, la trayectoria del cuerpo que se desplaza y se le llama torsin de la trayectoria del cuerpo.

Determinar la longitud de la porcin indicada de la siguiente curva:

Ejercicios

Vector tangente unitario

Este vector es uno de los tres vectores unitarios que se utilizan para describir el movimiento en el espacio de partculas u objetos en tres dimensiones.

El vector tangente unitario de una curva diferencial r(t) se determina mediante:

'( )

'( )

dr

r t vdtTdr r t v

dt

Vector normal unitario

Este vector nos da la informacin que seala la direccin en que el vector tangente unitario est cambiando y seala el lado cncavo de la curva:

'

'

TN

T

Vector binormal

Es un vector unitario ortogonal a T y a N, juntos T, N y B definen un sistema de referencia vectorial derecho, que juega un papel importante en el clculo de trayectorias de vehculos espaciales.

B TxN

N

T

B

Figura 1. Representacin de los vectores unitarios

T,N y B

3.7 Curvatura.

La magnitud de la razn con que t cambia por unidad de longitud a lo largo de la curva se llama

Curvatura (cappa). La curvatura nos indica que tanto gira ala izquierda o ala derecha la trayectoria del objeto que se desplaza.

Consideramos la longitud de arco S medida a partir de un punto fijo de r(t). La variacin de T con respecto de S es una medida de la curvatura de la curva r(t) y se obtiene por:

dT

ds

La direccin de dT/ds en un punto cualquiera de r(t) es la correspondiente a la normal (perpendicular) a la curva en dicho punto. El vector unitario N en la direccin de la normal se llama normal principal a la curva. As:

dTN

ds siendo la curvatura de r(t) en el punto dado.

El recproco de la curvatura: 1/ y se llama radio de curvatura.

Entonces la curvatura est dada por:

dT

dTdtdr dS

dt

a) r (t) = (3 sen t) i + (3 cos t) j + 4t k b) r (t) = (t3/3) i + (t2/2) j 3.8 Aplicaciones.

Determinar T, N, B y para las curvas espaciales: Ejercicios

Tarea para realizarla durante el transcurso de la unidad III

UNIDAD III