Física Vectorial

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1

TEMA 1

MAGNITUDES Y UNIDADES

1.- Magnitudes Físicas

Una magnitud física es toda cantidad susceptible de medición y que describeconvenientemente una propiedad física.Ejm: masa, fuerza, velocidad, volumen, etc.

2.- Clasificación de las Magnitudes

2.1.- Por su Origen

• Magnitudes Fundamentales.- Son aquellas que se toman como basepara establecer un sistema de unidades. Ejm.: longitud (L), masa (M),tiempo (T).

• Magnitudes Derivadas.- Son aquellas que se expresan en función de lasfundamentales. Ejm.: velocidad, volumen, etc.

2.2.- Por su Naturaleza

• Magnitudes Escalares.- Son aquellas que quedan perfectamentedefinidas conociendo su valor numérico y la unidad respectiva. Ejm.longitud, masa, volumen, temperatura, tiempo, trabajo, carga eléctrica,etc.

• Magnitudes Vectoriales.- Son aquellas que quedan perfectamentedefinidas cuando de ellas se conoce su valor o intensidad, su dirección ysentido.Ejm.: el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el impulso,etc.

3.- Sistema Internacional de Unidades (S. I. U.)La XI Conferencia Internacional de pesas y medidas en 1960 (París-Francia)amplía y perfecciona el sistema métrico, basado en tres unidades fundamentales(metro, kilogramo, segundo) creando un sistema de unidades fundamentales(básicas), denominada Sistema Internacional de Unidades (S. I. U.) osimplemente S. I. El S. I. tiene la siguiente estructura:

3.1.- Unidades de Base o FundamentalesSon las que se toman como base para definir todas las demás:

Magnitud (Símbolo) Unidad (Símbolo)Longitud (L)Masa (M)Tiempo (T)Int.de Corriente Eléctrica (I)Temperatura Termodinámica (θ)Intensidad Luminosa (J)Cant. de Sustancia (N)

metro(m)kilogramo (Kg.)segundo (s)Amperio (A)Kelvin (K)candela (cd)mol (mol)

3.2.- Unidades Suplementarias

Magnitud (Símbolo) Unidad (Símbolo)Angulo plano (ϕ)Angulo sólido (Ω)

Radián (rad)Estereorradián (sr)

3.3.- Unidades Derivadas.- Se expresan en función de las unidades de base o delas suplementarias.Ejm: Velocidad (v)

TLv =

; smv =

4.- Prefijos.-Existen además una serie de prefijos para formar múltiplos o sub múltiplos de lasunidades fundamentales.

4.1.- Prefijos para formar Múltiplos:

Prefijo Símbolo Factoryotazetaexapetateragigamegakilohectodeca

YZEPTGMkh

da

10241021101810151012109106103102101

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2

4.2.- Prefijos para formar Submúltiplos:

Prefijo Símbolo Factor Equivalenciadecicentimilimicronanopicofemtoattozeptoyocto

dcmunpfazy

10-110-210-310-610-9

10-1210-1510-1810-2110-24

0,10,010,0010,0000010,0000000010,0000000000010,0000000000000010,----0,----0,----

5.- Ecuaciones Dimensiónales

5.1.- Ecuación Dimensional.- Son aquellas que sirven para expresar la relaciónexistente entre las magnitudes derivadas y las magnitudesfundamentales o dimensiones.

Ejm.: hallar la E. D. de velocidad si , siendo e= espacio yt = tiempo

Solución:[V]= Se lee: La Ec. Dimensional de velocidad; [e]= L , [t]= T ; luego:[V]= L/T[V]=LT -1

5.2.- Forma general de la Ecuación Dimensional.- En el S.I. tiene la siguienteforma.

[x]= La Mb Tc Id θe Jf Ng

x = magnitud derivadaa, b, c, d, e, f, g = constantes numéricas

5.3.- Principio de Homogeneidad Dimensional.- Toda ecuación física correctaes dimensionalmente homogénea, esto quiere decir, que cada sumandode una fórmula física debe tener la misma ecuación dimensional.

Ejm. Sea: x = Vo.t + 1/2 at2Homogeneidad dimensional quiere decir: [x] = [Vo.t] = [1/2at2]

Observaciones:

1. La ecuación dimensional de números (diferente de cero) de ángulos, funcionestrigonométricas, logaritmos y de constantes adimensionales es igual a la unidad.

2. El exponente de una magnitud física es siempre una cantidad adimensional.(esto no significa que una magnitud física no puede aparecer en el exponente)Fn = Correcto, si n es adimensionalFnt = Sólo es correcto si nt es una cantidad adimensionalFt = Incorrecto, donde t = tiempo

3. La suma o diferencia de las mismas magnitudes da como resultado las mismasmagnitudes.Ejm:L + L = LL - L = L

5.4.- Aplicaciones de las Ecuaciones DimensiónalesSirven para:

1.- Comprobación de fórmulas2.- Determinar las unidades de las magnitudes3.- Conversión de unidades

6.- Problemas tipo:

6.1.-Hallar la E.D. de K, si:

C = Velocidad.e = Diámetro.P = Presión.d = Densidad.

edPKC

.

3

=

6.2.-Hallar la E. D. de a, en la siguiente ecuación.a2d1 = Sen60º (d+d2)2 ωDonde :d, d1, d2= Ac. Angular

ω = Velocidad Angular

A. L 1 / 3

B. L 1 / 2

C. L 1 / 3 MD. L M3

E. L3

A. T 2

B. T –1 / 2

C. T 3 / 2

D. T –3 / 2

E. T -2

tev =

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3

6.3.-Hallar xyz, si la Potencia viene dada por la siguiente ecuación:

P = zyX drKωω = Veloc. Ang. r = Radio. d = Densidad. K = adimensional

6.4.- Efectuar las siguientes conversiones:1) 90 km/h a m/s 2) 5g / cm3 a kg / m3

3) 12 m3 /min a Lt/s 4) 5x10-3 Em a µm

6.5.- Determinar la unidad de Potencia en el S. I.Si P = W/t (W = Trabajo ; t = tiempo)

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. ¿Cuál de las siguientes magnitudes es fundamental?a) velocidad b) fuerza c) intensidad luminosad) energía e) potencia

2. Señalar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:I. El °C es la unidad fundamental de temperatura.II. La velocidad es una magnitud escalar.III. La aceleración es una magnitud vectorial.a) VFV b) VVV c) FFV d) FVF e) FFF

3. Si la siguiente ecuación: X = a t + b t2 – c t½ es dimensionalmente homogénea,siendo x = posición y t = tiempo, Hallar las dimensiones de b y c.

a) LT -2, LT -1/2 b) LT 2, LT ½ c) LT, LT -1/2

d) LT 2, LT e) LT, LT -1

4. En la siguiente ecuación f = ma + mbt3, hallar las unidades de b si f = fuerza,m = masa y t = tiempo.a) ms2 b) m/s5 c) m/s3 d) m/s-2 e) m/s4

5. ¿Cuál (es) de las (s) siguientes afirmaciones son falsas?I. El peso es una magnitud vectorialII. La ecuación dimensional de la presión es L-1 M T -2

III. El Kwh es unidad de potencia

a) solo I b) I y III c) I y II d) solo III e) II y III

6. Sabiendo que la ecuación: c = es homogénea, hallar las dimensiones

de K siendo c = velocidad, P = presión, D = densidad, g = aceleraciónD = diámetroa) L T b) L 1/3T c) LT 1/3 d) L 1/3 T -1/3 e) L 1/3T 1/3

7. En la siguiente ecuación U = 3 n KT, donde U = energía, n = número de moles yT = temperatura. Encontrar las dimensiones de K.

a) L2 M T-2 θ-1N-1 b) L2 M T-1 θ-1N-1 c) LMT-2θNd) L M T θ N e) L2 M T θ N

8. Encontrar las unidades de G en la siguiente ecuación: 221

dmGmF = donde

F = fuerza, d = distancia, m1 y m2 = masas.

a) 2

2

Kgsm b)

skgm c) m2 kg s2 d)

kgsm e)

kgsm

2 2

322

9. Hallar las dimensiones de A en la siguiente expresión:

AwPdPSZ−

= , si P = peso, d = densidad y w = velocidad angular.

a) L2 M2T b) L-2 M2 T c) L M T -1 d) L-2 M2 T -1 e) L2 M2 T -1

10. En la siguiente ecuación E = mx cy, donde E = energía, m = masa yc = velocidad. Hallar x + y

a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 5

11. Encontrar los valores de x e y para siguiente ecuación YxaLfπ41

= siendo

f = frecuencia, L = longitud, a = aceleración.

a) -1, 1 b) 0,21

c)21,

21

−− d)21,

21

− e)21,

21

12. Si la siguiente ecuación de rotación Q = A gx hy es correcta, hallar xy, sabiendoque Q = caudal ( se mide en m3/s), g = aceleración de la gravedad , h = altura,A= Área

A. 10B. 15C. 8D. 20E. 16

dgDPK3

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4

a) ½ b) 1 c) ¼ d) 1/8 e) –1/2

13. La energía cinética de rotación de una partícula se expresa de la siguiente

manerawrm zyxE

21

=, donde m = masa, r = radio y w = velocidad

angular. Encontrar la formula correcta.

a) wmr 2

21 b)

21 mrw c)

21 rwm d) mrw

21 e)

21 wmr2 2 2 2 2

14. Para la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea determinar el valor dex – y + z si:F = PX yY AZ, donde F = fuerza, P = peso específico, v = velocidad, A = áreaa) 2,5 b) 1 c) -2 d) -1 e) 4

15. En la siguiente ecuación mxx

WFt += , ¿Qué magnitud representa x ?

Siendo: F = fuerza ; t = tiempo ; W = trabajo ; m = masa

a) aceleración b) velocidad c) longitud d) tiempo e) masa

16. Sabiendo quevtEy = , donde v = velocidad, t = tiempo y E = energía ¿Qué

magnitud corresponde a y ?

a) masa b) aceleración c) fuerza d) potenciae) presión

17. En la siguiente expresión

=

yavAyZ log8 2 donde A = área,

a = aceleración angular, v = velocidad. Hallar las dimensiones de Z.

a) LT3 b) L4 T -6 c) T 3 d) T6 e) LT2

18. Hallar las dimensiones de x en la siguiente ecuación dimensionalmentehomogénea.

zvaS

wax

2

24 +++= , donde v = velocidad, w = energía.

a) M b) M-1 c) LM d) LM-1 e) L2M

19. En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea 2mtPaRbtgx π+

= ,

donde P = peso, m = masa y t = tiempo. Hallar las dimensiones de a.

a) L-1 T4 b) L T -4 c) M L2 d) L-1 M e) LMT4

20. Si V = C + AE + PE2 + BE2 es dimensionalmente homogénea, donde

V = volumen y E = energía. Hallar las dimensiones deCAPZ =

a) L2MT-2 b) L-2M-2T-2 c) L2 d) LM-1T2 e) L-3M-3T6

TEMA 2

VECTORES

Vector.- Es un elemento matemático que presenta fundamentalmente trescaracterísticas (ver Fig. 2.1) módulo (3 unidades), dirección (recta OP) ysentido(segmento dirigido de O a P). Su utilidad en física es representarmagnitudes vectoriales.

Fig. 2.1.

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5

Para denotar un vector se puede utilizar cualquier letra del alfabeto con una flecha

en su parte superior, por Ejm.→

r , o mediante dos letras, siendo la primera el origen

del vector y la segunda el extremo por Ejm.→

OP .

Magnitud de un vector.- También denominado módulo, es la longitud en valorabsoluto del segmento de recta que representa al vector, en física esta puede tenerdiferentes unidades como m/s, para velocidad y para la fuerza N etc.

La magnitud de un vector R es representada por R o |R | siempre positivo.

Igualdad de vectores.- Dos o más vectores son iguales si las tres características;módulo, dirección y sentido son las mismas.

Suma de vectores.- Es necesario que para sumar dos vectores ambos representenla misma entidad física. Existen métodos gráficos y analíticos para adición devectores.

Entre los métodos gráficos se tiene el método del paralelogramo y el método delpolígono mostrados en la Fig. 2.2

Fig. 2.2.

Método del paralelogramoLa suma es la diagonal

Método del triánguloLa suma es el segmento que completa el triángulo

Método del polígono para sumar varios vectoresLa suma es el segmento que completa el polígono

Nota: En física, cuando los vectores representan desplazamientos consecutivos laresultante es denominada vector desplazamiento.

Analíticamente el módulo de la suma de dos vectores

+→→→→

BAByA puede ser

calculado mediante la Ley de Cósenos.

=180- cos = cos (180- ) = -cos

Y la dirección mediante La Ley de Senos,dada por el ángulo γ

Siendo: Sen = Sen (180- ) = Sen Sin embargo en el caso de la suma de más de dos vectores es de preferencia usarel método de componentes rectangulares mostrados más adelante en la presentebalota.

Sustracción de vectores.- Dados dos vectores→→

ByA que representan la misma

cantidad física, la diferencia→→

− BA se define como la suma de→

A con el negativo

del vector

−

→→

BB . Así tenemos:

La magnitud del vector diferencia “D” puede ser calculado mediante:

θcos222 ABBAD −+=

Y su dirección por la ley de senos, calculando γGráficamente en la Fig.2.3

θγ senD

senA

=

Fig. 2.3.

→→→→→

=−+=− DBABA )(

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6

A

B C

D

I. AC DC + BCII. DB AD - ABIII. AC AB + DC

A

B

E

C

D

F

60°

IAI 1,5 uIBI 2,5 u

Multiplicación de un vector por un escalar.- Dado un escalar m, real y un vector→

A , se puede obtener otro vector→→

= AmP , de la misma entidad física de→

A .

Si 0<m <1→

P lleva la misma dirección y es una contracción de→

A .

Si m>1→

P lleva la misma dirección y es una dilatación de→

A .

Si m<-1→

P lleva dirección opuesta y es una dilatación de→

A .

Si –1<m<0→

P lleva dirección opuesta y es una contracción de→

A .

Componentes de un vector en dos dimensiones.- Dado un vector→

A en el plano

ver Fig. 2.4, es factible, su descomposición en dos componentes rectangulares una

sobre el eje x y la otra sobre el eje y de la siguiente forma:

YX AAA→→→

+=

Siendo los módulos de las componentes vectoriales YX AyA→→

:

θcosAAx = ;θAsenAy =

Cómo puede deducirse inmediatamente de la Fig. 2.4.

La magnitud de A está dada por:22 )()( AyAxA +=

La dirección de A está dada por :)(1

AxAy

tg −=θ Fig. 2.4.

Vector unitario.- Es aquel cuya magnitud es la unidad, dado un vector→

A , su

vector unitario está dado por AAuA /→

= .Los vectores unitarios en las direcciones “x” e “y” positivas del plano cartesiano son

denotados por→

i y→

j ver Fig.2.5. Así el vector A puede escribirse como:→→→

+= jAiAA YX

Método de componentes rectangulares para la suma vectorial.-Para sumar vectores mediante este método analítico, se descompone cada uno delos vectores en sus componentes rectangulares x e y, para luego realizarindependientemente la suma de las componentes (Rx) y las componentes (Ry). Elvector suma su magnitud y dirección son dados por.

→→→

+= jRyiRxR ; ( ) ( )22 RyRxR += ; = tg -1 ( Ry / Rx )

PROBLEMAS DE VECTORES

1. El módulo de un vector no nulo se expresa siempre por:a) un número realb) un número racional positivoc) un número enterod) un número real positivoe) un número irracional

2. Dos vectores de 3 y 5 unidades forman entre sí un ángulo de 60°. Calcular elmódulo de su suma.a) 6 µ b) 7 µ c) 5,5 µ d) 5 µ e) 8 µ

3. En el paralelogramo ABCD, indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientesafirmaciones:

a) VFV b) VFF c) FVV d) VVV e) FFF

4. Encontrar la magnitud de la suma del sistema de vectores de la figura.

a) 6 µb) 5 µ

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7

53°

2A + 3B

A + 2B

37°45°

53°

10 u

Y

X

5 u

2 2 u

D

C

B

A

c) 7 µd) 4 µe) 8 µ

5. Se tienen dos vectores colineales y del mismo sentido y el módulo de susuma es 14 µ, al girar uno de ellos un ángulo de 90° el módulo de su suma es10 µ ¿Cuál es el modulo del vector mayor?

a) 8 µ b) 6 µ c) 14 µ d) 2 µ e) 10 µ

6. Determinar el ángulo entre dos vectores de magnitudes 10 µ y 5 µ, cuandosu diferencia forma un ángulo de 30° con el vector de mayor magnitud.

a) 120° b) 60° c) 37° d) 53° e) 90°

7. Sabiendo que µ72 =+→→

BA y µ1532 =+→→

BA . Hallar→→

+ BA

a) 18 µb) 25 µc) 20 µd) 30 µe) 15 µ

8. Hallar el módulo y el ángulo que forma en el eje +X, el vector suma delsiguiente sistema de vectores:

a) 4 µ , 60°b) 4 µ , 45°c) 5 µ , 53°

d) 4v2 µ ,37°

e) 4v2 µ ,45°

9. La figura es un rectángulo donde µ4=→

A y µ3=→

D . Hallar el modulo

del vector→→→→

+++ DCBA .

a) 4 13

b) 5 13

c) 13d) 2 13e) 6 13

10. Dado el siguiente vector (2x + 1)→

i + (y-2)→

j ; hallar x e y para que dicho

vector sea igual al vector:17→

i – 12→

ja) 8, -10 b) 8, 10 c) -8, 10 d) -8, -10 e) 4, -5

11. Dados los vectores y ; expresar el vector en

función de los vectores→

a y→

b .

a)

→→→

+= bap 43 b)

→→→

−−= bap 43 c)

→→→

+= bap 34

d)

→→→

−= bap 34 e)

→→→

−−= bap 34

12. Un estudiante sale del punto A y recorre 3m horizontalmente a la derecha,luego dobla haciendo un ángulo de 53° con su trayectoria original caminando5m y por ultimo camina 4m verticalmente. Halla el vector unitario de sudesplazamiento.

a) b) c) d) e)

13. Encontrar el valor de X para que el vector→→

+− jix 122 sea paralelo al

vector→→

+ ji 32

→→→

−= jia 32→→→

+−= jib 2→→→

+−= jip 2

→→

+ ji54

53 →→

− ji54

53 →→

ji53

54 +

→→

− ji53

54 →→

+ ji53

53

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8

A

C

D

4 u

B

3 u5 u

Q

P S

AbR

Cc

Aa

N

M

53° 37°

Yy

C

D

Xx

B

a) 4 b) -4 c) 8 d) -8 e) 214. Hallar el ángulo que forma con el eje +X, la suma de cuatro vectores que

tienen sus orígenes en el origen de un sistema de coordenadas y susextremos en los puntos (2,5) ; (-3,6) ; (-1,-4) y (4,-4)

a) tg -1

32

b) tg

23

c) tg

2-3

d) tg

32

e) tg ( )3-1 -1 -1 -1

15. Hallar el módulo de la suma del sistema de vectores de la figura que es unrectángulo.

a) 10 µb) 8 µc) 12 µd) 4 µe) 7 µ

16. Si PQRS es un cuadrado de 2m de lado y M y N son los puntos medios de

QR y RS respectivamente, expresar el vector→a en función de los vectores

→b y

→c y hallar el módulo de la suma I

→→→

++ cba I

a) mcb 25;2

+

→→

b) mcb 25;31

+

→→

c) mcb 25;32 →→

+

d) mcb 52;32

−

→→

e) mcb 52;31

−

→→

17. Dado el sistema de vectores indicado en la figura, encontrar un vector→

A

para que el módulo de la suma→→→→

+++ DCBA sea cero. Los módulos de losvectores dados son B = 5 µ , C= D = 10

a)→→

− ji2

b)→→

+ ji2

c)→→

− ji 2

d)→→

+− ji 2

e)→→

− ji 22

18. Dados los vectores→→→

+= jiA 25 ,→→→

+−= jiB 33 y→→→

+= jiC 46 .

Encontrar un vector→

D , para que se cumpla la igualdad vectorial→→→→

−=+ DCBA

a)→→

+− ji 32 b)→→

+ ji 145 c)→→

+ ji 514 d)→→

− ji 23 e)→→

+ ji 32

19. Para los vectores→→→→→→→→→→

−=−=+−= ByjiDjiCjiA 56,43,24 , se

cumple la igualdad vectorial:→→→→

−=− DCBA . Hallar el ángulo que forma elvector B con el eje + x.a) 45° b) 135° c) 90° d) 180° e) 120°

20. Si→→→

−= jnimA 25 ,→→→

+= jminB 43 . Calcular los valores de m y n para

que:→→→→

+=− jiAB 23a) m = 0 , n = 1b) m = 1 , n = 2c) m = 2 , n = 1d) m = 4 , n = 3

Dibujar PQRScomo cuadrado

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9

e) m = 1 , n = 0TEMA 3

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

Sistema de referencia: Es un objeto que se le supone fijo en el origen (o) de unsistema de coordenadas, desde el cual se realiza mediciones.

Sistema de referencia en una dimensión Sistema de referencia dedos dimensiones

Partícula: Es un objeto al que no se le considera dimensiones y es tomado comopuntual.Trayectoria: Es una línea recta o curva que describe una partícula en un sistema dereferencia; su movimiento se le conoce completamente si se conoce su posición entodo momento en el espacio.

Desplazamiento: Es el cambio de posición de una partícula.

ix = posición inicial x∆ es positivo si fx > ix

fx = posición final x∆ es negativo si ix > fx

Velocidad Promedio ( v )Es la razón del desplazamiento de una partícula ( x) y el intervalo de tiempo ( t).

if

if

ttxx

txv

−

−=

∆∆

=−

Rapidez: Es la magnitud de la velocidad de una partícula .

Movimiento Unidimensional con Velocidad Constante

Es un movimiento en línea recta y la velocidad es constante en magnitud y dirección.

ox : posición de la partícula en t = 0 (inicial) x : posición de la partícula en el instante t (final)

La velocidad promedio es:txv

∆∆

=→

En este movimiento el valor de la velocidad promedio en todo instante, es el mismo

que el de la velocidad, por ser constante: vv =Entonces:

txx

0txx

txv oo −

=−−

=∆∆= > x - ox = vt > txx o υ+=

A este resultado se le denomina función posición tiempo.

El valor absoluto del desplazamiento es la distancia recorrida por la partícula en elintervalo de tiempo t.

dx =∆ || > td υ=

x=xf - xi

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10

Gráfica de la función posición – tiempoEsta gráfica en un sistema de coordenadas xt es una línea recta y su pendiente estádada por

tx

∆∆ y ésta representa la velocidad.

Gráfica de la función velocidad – tiempo

Como la velocidad es constante su gráfica en el sistema de coordenadas vt es unarecta paralela al eje de la abscisas.El área bajo la recta es la distancia recorrida por la partícula.

Aceleración promedio (_

a )Es la razón del cambio de velocidad ( v) y el intervalo de tiempo ( t).

if

if

ttvv

tva

−

−=

∆∆

=_

Movimiento Unidimensional con Aceleración Constante

Es el movimiento en el que la trayectoria es una línea recta y la aceleración esconstante en magnitud y dirección.

v0 v

Donde : ox : posición de la partícula en t = 0 (inicial)

x : posición de la partícula en t (final)

ov : velocidad de la partícula en t = 0 (inicial)

v : velocidad de la partícula en t (final)

En este movimiento, el valor de la aceleración promedio en cualquier instante es elmismo que el de la aceleración:

aa =_

Entonces: tvv

otvv

tva oo −

=−−

=∆∆

=

Luego: atvv o =−

De aquí:atvv o +=

(1)

Esta ecuación es la función velocidad – tiempo y permite determinar la velocidad encualquier instante de tiempo t. Se puede expresar la velocidad promedio en

cualquier intervalo de tiempo, como la media aritmética de la velocidad inicial ( ov ) yla final (v) porque la velocidad varía linealmente en el tiempo.

2vvov

+=

Como : tvxx o

_

=−

Entonces :

tvv

xx oo )

2(

+=−

(2)Si la ecuación (2) se reemplaza en la (1) se obtiene :

tatvv

xx ooo )

2(

++=−

2

2attvxx oo +=−(3)

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11

Siavvt 0−

= se reemplaza en la ecuación (2), se obtiene:

))(2

(avvvvxx oo

o−+

=−

avvxx o

o 2

22 −=−

(4)

De la ecuación (3) obtenemos la función posición – tiempo en el movimientounidimensional con aceleración constante.

2

2attvxx oo ++=

Sabemos que = x-x0 = d (distancia recorrida por la partícula), luego:

tvvod )2

( += (5) 2

2atv tod += (6) avvd o

2

22 −= (7)

Si a > 0 el movimiento es acelerado.

Si a < 0 el movimiento es desacelerado.

Grafica de la función posición – tiempo

Debido a que la función2

2

00attvxx ++= es cuadrática, su grafica es una

parábola.

Gráfica de la función aceleración – tiempo

Esta grafica es una línea recta paralela al eje de las abscisas porque la aceleraciónes constante.

Gráfica de la función velocidad – tiempoLa función atvv += 0 es lineal

Movimiento acelerado

Movimiento desacelerado

En la gráfica, la pendiente representa la aceleración: tg = a

Objetos que caen libremente

Un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba y otro que se lanza verticalmentehacia abajo, experimenta la misma aceleración que un objeto que se deja caerdesde el reposo. Todo objeto que esta en caída libre, se mueve afectado por supropio peso. Su aceleración es la de la gravedad con dirección vertical hacia abajo yde magnitud constante (g = 9,8 2/ sm ) en las proximidades de la superficieterrestre, por lo que sus ecuaciones cuando son lanzados hacia abajo son:

gtvv o += tvvh o )2

(+

=2

2gttvh o +=gvv

h o

2

22 −=

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

12

4

2

8

X (m)

T (s)

Y cuando el lanzado hacia arriba son:

tvvh o )2

( +=

2

2gttvh o −=

gvovh

2

22

−−=

Cuando un objeto se lanza verticalmente hacia arriba, el tiempo en alcanzar lamáxima altura y la altura máxima son :

gtvo −=0 → gv

t o=gvovh

2

22

max −−= → g

vh o

2

2

max =;

PROBLEMAS

1. Una partícula que se mueve en el eje x con aceleración constante tiene unarapidez V1, en el instante t=0 y en el instante t su rapidez es V2. Determinar la

rapidez de la partícula en el instante23t

.

a)2

21 VV +b)

221 VV −

c) V1 +V2 d)2

3 12 VV −e)

2)(3 21 VV +

2. Un auto que se desplaza hacia el norte a 70 Km/h pasa junto a otro auto queviaja hacia el sur a 70 Km/h. ¿ Los dos autos viajan con la misma rapidez?¿Viajan con la misma velocidad?

3. En 5 segundos la velocidad de un auto que se mueve en línea recta aumenta de72 Km/h a 144 Km/h, mientras un camión va del reposo a 72 Km/h en línearecta. ¿Cuál de los dos tiene mayor aceleración? ¿Cuál es la aceleración decada uno de ellos?a) Ambos tienen la misma aceleración; 6 2/ smb) Ambos tienen la misma aceleración porque tienen el mismo cambio de

rapidez; 4 2/ smc) El auto tiene mayor aceleración; por qué tienen rapidez 2 2/ sm y 4 2/ smd) el camión tiene mayor aceleración; 2 2/ sm y 4 2/ sme) El auto tiene menor aceleración; 4 2/ sm y 5 2/ sm

4. Una manzana cae de un árbol y llega al suelo en un segundo. ¿Cuál es suvelocidad al llegar al suelo? ¿A qué altura se encontraba antes de caer?(g=10 2/ sm )a) 10 m/s ,4 m b) 8 m/s , 6 m c) 4 m/s , 8 md) 10 m/s , 5 m e) 2 m/s , 4 m

5. Identificar la afirmación incorrecta:a) La velocidad mide los cambios de posición de un móvil a través del tiempo.b) En el movimiento rectilíneo, el desplazamiento y la velocidad son siempre

colineales.c) Si la velocidad es constante la trayectoria es necesariamente rectilínea.d) Una aceleración nula implica una velocidad uniformemente variada.e) En un movimiento desacelerado la aceleración actúa en contra de la

velocidad.

PROBLEMAS DE MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

1. La posición de una partícula en t = 1 s es x = 3 m y en t = 3 s es x = 13 m. Sila partícula se mueve con velocidad constante, hallar la función posición –tiempo.

a) x = 2 + 5t b) x = –2 – 5t c) x = 2 – 5td) x = 3 + 5t e) x = –2 + 5t

2. Si una partícula que se mueve con una velocidad constante de 10 m/s seencuentra en la posición x = 6m en t = 1s, determinar en que instante suposición es x = 20 m.

a) 1,2 s b) 4,2 s c) 1,5 s d) 2,4 s e) 1,6 s

3. La figura muestra la gráfica posición-tiempo del movimiento de una partícula.Hallar la distancia recorrida por la partícula de T = 2 s a T = 10 s.

a) 10 mb) 12 mc) 15 md) 17 me) 5 m

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

13

-6

2

v (m/s)

tt(s)

12

6

21 2

tt(s)

xx(m)

4. Dos móviles pasan por el mismo punto y se mueven en el mismo sentido convelocidades de 5 m/s y 7 m/s. delante de ellos y a 120 m hay un árbol. Losmóviles equidistaran del árbol después de:a) 20 s b) 10 s c) 5 s d) 40 s e) 15 s

5. Dos cuerpos se mueven en sentidos opuestos acercándose con velocidadesde 2 m/s y 3 m/s respectivamente. Si inicialmente estaban separados 20 m¿Qué tiempo deberá transcurrir para que estén separados 12 m por segundavez?a) 2,4 s b) 4 s c) 6,4 s d) 1,6 s e) 4,2 s

6. Una persona se dirige a una ciudad en su auto viajando a 30 km/h y luegoretorna al punto de partida por la misma trayectoria caminando a razón de 5km/h. si el viaje de ida y vuelta duro 7 h ¿Qué distancia existe entre el puntode partida y la ciudad?

a) 20 km b) 30 km c) 40 km d) 25 km e) 35 km

7. Un automóvil parte de un punto A y llega a un punto B, la mitad de su caminola recorre con cierta velocidad constante y en la segunda mitad duplica suvelocidad empleando 40s menos, luego el tiempo con que recorrió ladistancia AB es:a) 80 s b) 120 s c) 100 s d) 60 s e) 110 s

8. Una partícula parte del reposo con aceleración constante y después de 5 salcanza su velocidad máxima de 20 m/s. Luego se desplaza con estavelocidad y después se detiene en un tiempo de 4 s. Hallar la distancia totalrecorrida por la partícula si estuvo en movimiento 20 s.

a) 80 m b) 90 m c) 420 m d) 300 m e) 310 m

9. Un cuerpo que se mueve con una aceleración constante de 3 2/ sm tiene enun determinado instante una velocidad de 20 m/s. Encuentra su velocidad 3 santes.a) 16 m/s b) 14 m/s c) 11 m/s d) 18 m/s e) 15 m/s

10. Un cuerpo con MRUV acelera a razón de 4 2/ sm de tal manera que al cabode 12 s cuadruplica su velocidad. Calcular la distancia recorrida en esetiempo.

a) 500 m b) 240 m c) 580 m d) 480 m e) 960 m

11. Un móvil que tiene una velocidad de 8 m/s acelera a razón de 1 2/ sm yrecorre una distancia de 18 m. Calcular su velocidad final.

a) 10 m/s b) 8 m/s c) 5m/s d) 4 m/s e) 15 m/s

12. La siguiente gráfica velocidad-tiempo representa el movimiento de unapartícula que parte del origen del sistema de referencia. Hallar la posición dela partícula en t = 2 segundos

a) 6 mb) -6 mc) 4 md) 2 me) -4 m

13. A partir de la siguiente gráfica posición-tiempo, determinar la velocidad inicialde la partícula.

a) 2 m/sb) 4 m/sc) 5 m/sd) 3 m/se) 1 m/s

14. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo demora 10 s enregresar al punto de partida. Hallar la altura máxima que alcanza(g=10 2/ sm )

a) 125m b) 250 m c) 175 m d) 200 m e) 100 m

15. Desde un globo que sube con una velocidad constante de 5 m/s se suelta unobjeto, el cual demora 2 s en llegar al suelo ¿A qué altura se encontraba elglobo cuando se soltó el objeto? (g = 10 2/ sm )

a) 20 m b) 10 m c) 30 m d) 15 m e) 12 m

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

14

ir→ r→

fr→

16. Desde una altura de 60 m sobre el suelo se lanza verticalmente hacia arribauna piedra con una velocidad de 20 m/s. Hallar el tiempo que emplea lapiedra en golpear el suelo y con que rapidez lo hace. (g = 10 2/ sm )a) 6 s ; 40 ms b) 4 s ; 30 m/s c) 6 s ; 30 m/sd) 5 s ; 25 m/s e) 7 s ; 40 m/s

17. Un cuerpo que se encuentra cayendo libremente choca con la superficieterrestre con una velocidad de 40 m/s. Determine el tiempo que tarda enrecorrer los últimos 60 m. (g = 10 2/ sm )

a) 3 s b) 2 s c) 1 s d) 1,5 s e) 2,5 s

18. Desde cierta altura se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con unavelocidad de 20 m/s, si llega al suelo después de 7 s, encontrar la velocidadcon que golpea el suelo (g= 10 2/ sm )

a) 50 m/s b) 60 m/s c) 70 m/s d) 20 m/s e) 30 m/s

19. En el instante en que se lanza un cuerpo con una velocidad de 100 m/sverticalmente hacia arriba, se deja caer otro desde una altura de 1000 m¿Qué tiempo tardara en cruzarse? (g = 10 2/ sm )

a) 5 s b) 10 s c) 20 s d) 50 s e) 100 s

20. Tres segundos antes de alcanzar su altura máxima un cuerpo lanzadoverticalmente hacia arriba se encuentra a una altura de 10 m sobre el suelo.Calcular al altura máxima que alcanza respecto del suelo (g = 10 2/ sm )

a) 35 m b) 40 m c) 45 m d) 50 m e) 55 m

TEMA 4

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

Vector posición

En el movimiento en dos dimensiones la posición de la partícula se determinamediante un vector que se orienta del origen del sistema de coordenadas hacia la

partícula P, denominado vector posición cuyas componentes son la abscisa X y laordenada Y es decir:

→→→

+= jyixr

Vector desplazamiento

El vector desplazamiento de una partícula que se mueve de un punto P a un punto

Q es igual a la diferencia entre su vector posición final ( ) y su vector posicióninicial ( ). Se representa por

Entonces

if rrr→→→

−=∆

Vector velocidad promedio

La velocidad promedio de una partícula durante el intervalo de tiempo if ttt −=∆

es la razón entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo:trV p

∆∆

=

→→

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

15

El vector velocidad promedio apunta en la dirección de→

∆ r , por ser t∆ >0

Vector aceleración promedio

La aceleración promedio de una partícula que se mueve de P a Q en el intervalo de

tiempo if ttt −=∆ , es el cambio del vector velocidad if vvv→→→

−=∆ en dicho

intervalo de tiempo t∆ , o sea

tva p

∆∆

=

→→

Siendo: fV el vector velocidad en el instante ft , cuya dirección es tangente a la

trayectoria en el punto Q y iV el vector velocidad en el instante it cuya dirección estangente a la trayectoria en el punto P.

Movimiento bidimensional con aceleración constante

Es aquel movimiento en el plano xy, en el cual el vector aceleración:→→→

+= jaiaa yx , mantiene constantes su magnitud y su dirección, por lo tanto sus

componentes yx aa , son constantes. Es posible aplicar las ecuaciones del

movimiento unidimensional con aceleración constante a los componentes yx VV ;de la velocidad en el instante t, y a los componentes x, y de la posición en el instantet y se obtiene:

tavv xoxx += (I)

tavv yoyy += (II)

2

2tatvxx x

oxo ++= (III) 2

2tatvyy y

oyo ++= (IV)

Donde: yx VV 00 ; son los componentes del vector velocidad inicial (t =0):

→→→

+= jvivv yx 000

00 , yx son los componentes del vector posición inicial (t =0):

→→→

+= jyixr 000

El vector velocidad en el instante t es: Cuya magnitud es;

→→→

+= jvivv yx22

yx vvv +=

El vector posición en el instante se expresa:

→→→

+= jyixr

Movimiento de proyectiles

Si desde el origen de un sistema de coordenadas xy se lanza un proyectil con una

velocidad inicial→→→→

+= jViVV yx 000 que forma un ángulo con el eje + x y seignora la resistencia del aire, el proyectil en todo instante de su movimiento estasujeto a una aceleración constante que es la aceleración de la gravedad g, cuyascomponentes son:

0=xa ,

gay −=.

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16

Luego es posible aplicar las ecuaciones I, II, III y IV a dicho movimiento haciendo:

0== oo yx,

0=xa,

ga y −= y se tiene:

xx vv 0= (V)

tvx x0= (VI)

gtvv yy −= 0 (VII)

2

2

0gt

tvy y −= (VIII)

De la figura se deduce:

θCosVV x 00 = θSenVV y 00 =

El vector velocidad en cualquier instante t es→→→

+= jvivv yx tiene direccióntangente a la trayectoria y magnitud:

22yx vvv += . Si la ecuación VII se despeja

xvxt0

= y se reemplaza en la

ecuación VIII se obtiene la ecuación de la trayectoria.

22

0

0 )2

()( xvgx

vv

yoxx

y −=

, Siendo x

y

vv

tg0

0=θ

⇒ 220

)2

()( xvgxtgy

x

−= θ

Comoθcos00 vv x = ⇒

222

)cos2

()( xv

gxtgyo θ

θ −=

La ecuación de la trayectoria corresponde a una parábola.Altura máxima y alcance horizontal.

Cuando el proyectil alcanza su altura máxima 0=yv , luego de la ecuación VII

se obtieneg

vt x0= tiempo necesario para alcanzar la altura máxima. Si se

reemplazag

vt x0= en la ecuación VIII se obtiene:

gv

h ymax 2

20=

ó

gvhmax 2

sen 220 θ

=

El alcance horizontal (R) se obtiene haciendo y =0 en la ecuación VIII y se deduceque:

gvv

R xy 002=

con gv

t y0= que es tiempo para alcanzar (R)

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

17

También se puede deducir que:g

vR θ2sen20=

. El mayor valor posible de R

es cuando 12sen =θ y °= 45θ .

Finalmente se puede demostrar que:R

htg max4=θ

Movimiento Circular UniformeEs aquel movimiento en el cual la trayectoria de la partícula es una circunferencia yla magnitud de la velocidad lineal o tangencial es constante.

Radio Vector.- Es un vector que se orientadel centro de la circunferencia a la partícula.

Revolución.- Es una vuelta completa de lapartícula en rotación.

Periodo (T).- Es el tiempo que emplea lapartícula en efectuar una revolución.

Frecuencia ( f ).- Se define como la inversa delperiodo e indica el numero de revoluciones porunidad de tiempo

Tf 1

=

Si T se mide en segundos, la unidad de f es el Hertz (Hz)

Desplazamiento Angular (θ ) .- Es el ángulo barrido por el radio vector y se mideen radianes.

Velocidad Angular (ω ) .- Se define como el desplazamiento por unidad de tiempo

tθ

ω = se mide en rad/s.

Relación entre las velocidades Lineal y Angular

La magnitud de la velocidad lineal es tsv =

y rs

=θ ⇒ θrs = ⇒ trv θ

=,

pero ωθ

=t

⇒ ωrv =

La magnitud de la velocidad lineal es igual al producto del radio por la velocidadangular.En el movimiento circular uniforme al ser constantes v y r , ω también esconstante. Además en este movimiento se cumplen las siguientes relaciones.

Trv π2

=Tπ

ω2

= T = Periodo

Aceleración Centrípeta (ac)

Cuando una partícula describe un movimientocircular uniforme la dirección de la velocidad linealcambia en el tiempo. Este cambio es producidopor la aceleración centrípeta que es un vectorperpendicular a la velocidad lineal dirigido alcentro de la circunferencia cuya magnitud es:

rva c

2

= ó

2ωrac =Aceleración AngularSe define como la rapidez con que cambia la velocidad angular en el tiempo.

Movimiento circular con aceleración angular constante

Es aquel movimiento circular en el cual lavelocidad angular cambia uniformemente enel tiempo por efecto de la aceleraciónangular constante

En este movimiento la aceleración angularesta dada por:

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18

Hh

Dd

Vvo

t0ωω

α−

=; donde =0ω velocidad

angular inicial (t = 0) w = velocidad angular final (t) t =intervalo de tiempo.

La unidad de α es2s

rad

Las ecuaciones del movimiento circular con aceleración angular constante sonanálogas a las ecuaciones del movimiento unidimensional con aceleraciónconstante.

tαωω += 0 t)2

( 0 ωωθ

+=

2

2

0tt α

ωθ +=αωω

θ2

22−= o

θ = desplazamiento angularSI:α > 0 el movimiento es acelerado

α < 0 el movimiento es desacelerado.

PROBLEMAS DE MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

1. En el instante t = 0 una partícula que se mueve en el plano xy tiene unavelocidad

→→

− ji4 (m/s) y en el instante t=3s, su velocidad esta dada por

)/(810 smji→→

+ . Determinar la aceleración de la partícula.

a) )/(23 smji→→

+−

b) )/(32 smji→→

+−

c) )/(23 smji→→

+

d)→→

+ ji 32 (m/s2)

e)→→

− ji 23 (m/s2)

2

2

2. Una partícula parte del origen del plano xy con una velocidad )/(22 2smji→→

+

y una aceleración )/(42 2smji→→

+ . En el instante t=2s, encontrar su rapidez ysu posición.

a) msm )10,8(;/133b) msm )10,8(;/132 −c) msm )8,4(;/133d) msm )4,8(;/132e) msm )10,8(;/13 −

3. Un proyectil es disparado en una superficie horizontal con una velocidad

inicial )/(1020 smji→→

+ . Determinar la altura máxima y el alcance horizontal.

(g=10 2/ sm ).

a) 10 m; 20 m b) 5 m; 40 m c) 20 m; 15 md) 12 m; 18 m e) 8 m; 25 m

4. Si el tiempo de vuelo de un proyectil es 4 s, encontrar la altura máxima.(g=10 2/ sm )a) 15 m b) 10 m c) 30 m d) 20 m e) 40 m

5. Si un proyectil se mueve de tal manera que la altura máxima alcanzada es45m y Vx= 20 m/s, hallar el alcance horizontal (g= 10 2/ sm )

a) 100 m b) 120 m c) 80 m d) 60 m e) 40 m

6. En la figura un piedra es lanzada horizontalmente con una velocidad inicial de5 m/s. Si el alcance horizontal es la mitad de la altura h, encontrar el valor deh (g=10 2/ sm )

a) 15 mb) 10 mc) 20 md) 12 me) 5 m

7. Desde una altura de 21m sobre el suelo se dispara un proyectil con unavelocidad inicial de 10 m/s que forma un ángulo de 53° encima de lahorizontal. Encontrar los componentes de la velocidad cuando el proyectilgolpea el suelo (g= 10 2/ sm )

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19

53° 37°

B

AO

vvo

2m

37°4m

Q

P

O

vvo

32m

a) smvysmvx /22,/6 ==b) smvysmvx /22,/6 −==c) smvysmvx /1,/5 ==d) smvysmvx /22,/5 −==e) smvysmvx /20,/10 ==

8. Desde el punto O de la figura se dispara un proyectil con una velocidad inicialde 10 m/s. Si el proyectil golpea en el punto B del plano inclinado, hallar ladistancia AB.(g= 10 2/ sm )

a) 4 mb) 3 mc) 5 md) 6 me) 8 m

9. Desde la azotea de un edificio de 20m de altura se dispara un proyectil conuna velocidad inicial de 25 m/s que forma un ángulo de 37° debajo de lahorizontal. Calcula a que distancia de la base del edificio cae el proyectil(g=10 2/ sm )

a) 10 m b) 20 m c) 18 m d) 15 m e) 30 m

10. Encontrar la velocidad de lanzamiento bajo un ángulo de 37° para que elproyectil impacte en el punto P. (g= 10 2/ sm )

a) 14 m/sb) 18 m/sc) 10 m/sd) 20 m/se) 23 m/s

11. Un automóvil ingresa a una pista circular de 10m de radio y su velocidadangular es 2 rad/s ¿Cuál será su velocidad lineal en km/h?

a) 80 b) 72 c) 70 d) 60 e) 50

12. Una piedra atada a una cuerda de 8 m de longitud experimenta un MCU conuna rapidez de 16 m/s. Hallar su velocidad angular y su aceleracióncentrípeta.

a) 2 rad/s, 32 2/ sm b) 2 rad/s, 10 2/ sm c) 2 rad/s, 4 2/ smd) 2 rad/s, 8 2/ sm e) 2 rad/s, 16 2/ sm

13. Una partícula describe un MCU con una rapidez de 80 cm/s. Si da una vuelta

en 11 s ¿Cuál es la aceleración centrípeta? )722( =π

a) 0,46 2/ sm b) 0,32 2/ sm c) 0,42 2/ sm d) 0,35 2/ sm e) 0,52 2/ sm

14. Una partícula con rapidez constante de 8 m/s describe un arco de 80m delongitud y 2m de radio. ¿Cuáles son su velocidad angular y sudesplazamiento angular?

a) 2 rad/s, 20 rad b) 4 rad/s, 10 rad c) 2 rad/s, 40 radd) 4 rad/s, 40 rad e) 2 rad/s, 50 rad

15. Una rueda que gira a razón de 8 rad/s desacelera a razón de 2 rad/s2 hastadetenerse. Determinar el desplazamiento angular y el tiempo empleado endetenerse.

a) 5 rad, 8 s b) 4 rad, 16 s c) 16 rad, 4 sd) 16 rad, 2 s e) 8 rad, 2 s

16. Desde el reposo y con aceleración angular constante de 10 π rad/s2 unapartícula describe una circunferencia de 4m de radio. Hallar el número devueltas que dará la partícula hasta que su velocidad lineal sea 80 π m/s.

a) 26 b) 10 c) 13 d) 30 e) 15

17. Encontrar el número de revoluciones de una rueda durante los dos últimossegundos de su movimiento al ser desacelerado a razón de 5 π rad/s2.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

18. Una rueda que gira a 600 R.P.M es desacelerada hasta detenerse despuésde ejecutar 100 revoluciones ¿Qué tiempo emplea la rueda en detenerse?

a) 10 s b) 30 s c) 20 s d) 8 s e) 5 s

19. Un automóvil aumenta su velocidad de 36 km/h a 72 km/h en 10 s. Si eldiámetro de sus ruedas es 40 cm. Hallar la aceleración angular de las ruedas.

a) 3 rad/s2 b) 5 rad/s2 c) 2 rad/s2 d) 6 rad/s2 e) 1 rad/s2

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

20

20. Sobre un auto cuyas llantas tienen una velocidad angular de 30 rad/s actúauna aceleración de 3 2/ sm durante 7 s. Si el diámetro de los llantas es 60 cm,hallar su velocidad angular final.

a) 50 rad/s b) 100 rad/s c) 80 rad/s d) 55 rad/s e) 90 rad/s

TEMA 5

DINÁMICA

Parte de la mecánica que estudia la relación entre las interacciones de los cuerpos ylos cambios en su estado de movimiento.

Fuerza. Es toda causa capaz de producir aceleraciones o deformaciones en loscuerpos. Para que existan fuerzas deben estar presentes dos cuerpos por lo menosinteractuando entre sí.Masa Inercial. La masa de un cuerpo es una medida cuantitativa de su inercia, esdecir, de la respuesta del cuerpo a una fuerza externa que se manifiesta mediante laoposición del cuerpo a cambiar su velocidad. La masa de un cuerpo es constantecuando su velocidad es mucho menor que la velocidad de la luz. La unidad de lamasa es el kilogramo.

Leyes del movimiento de Newton

Las leyes de Newton no son de validez universal, pero encuentran aplicación práctica enlas Ciencias Naturales. Estas leyes se cumplen en sistemas de referencia inerciales, o seaaquellos sistemas que mantienen constante su velocidad.

*Primera ley de Newton:“Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneocon velocidad constante cuando la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es cero”

*Segunda ley de Newton, Esta ley define la relación cuantitativa entre la fuerzaproveniente de las interaccionas y el cambio de movimiento de los cuerpos.“Todo cuerpo sometido a la acción de una fuerza neta “F” adquiere una aceleración“a” en la misma dirección de la fuerza, cuya magnitud es directamente proporcionala la magnitud de la fuerza e inversamente proporcional a la masa “m” del cuerpo”

→→→

→

=⇒= amFmFa La magnitud de F es F = ma; La unidad S.I. de la fuerza en el

Newton2s

mKgN ==

*Tercera ley de Newton. Esta ley responde a la pregunta de cómo interactúan loscuerpos.“Si dos cuerpos interactúan entre si las fuerzas que actúan sobre ellostienen la misma magnitud y direcciones opuestas”

→

12F =Fuerza ejercidapor el cuerpo 1 sobre elcuerpo 2.

Se cumple: F12=F21 y vectorialmente F12= -F21 ;

→

21F =Fuerza ejercida por elcuerpo 2 sobre el cuerpo 1.

Peso (W): Es la fuerza gravitacional con que la Tierra atrae los cuerpos. Como latierra comunica a los cuerpos una aceleración de magnitud “g”. La magnitud delpeso es:

W = mg

Y su dirección hacia el centro de la Tierra.

Fuerzas de Fricción o de Rozamiento: Cuando dos superficies están en contactoaparecen fuerzas tangenciales que se oponen al movimiento relativo de unasuperficie respecto de las otras, denominadas fuerzas de fricción.

a) Fuerzas de Fricción Estáticas.- Se presentan entre dos superficies en reposo. Su magnitud varía desde cero hasta un valor máximo. Cuando el cuerpo en contacto esta por moverse, la magnitud de la fuerza

estática máxima (fe max) es proporcional a la normal (N)

fe max= e N

Donde: e =Coeficiente de fricción estático

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21

b) Fuerzas de Fricción Cinéticas.- Se presentan entre dos superficies enmovimiento relativo. La magnitud de la fuerza de fricción cinética es proporcional a lanormal.

fc = cN

c =Coeficiente de fricción cinéticoc< e => fc< fe

Segunda Ley de Newton aplicada al Movimiento Circular

La segunda Ley de Newton se aplica almovimiento circular mediante la ecuación

Fr = mac

Siendo: Fr = suma de fuerzas radiales.ac = aceleración centrípeta = V2 / R

PROBLEMAS

1.- En la figura se muestran dos bloques de masa m1=1kg , m2=3kg, sobre unasuperficie sin fricción. Si se aplica una fuerza F=20N al bloque m1 Calcular: a) Laaceleración de los bloques. b) La tensión en la cuerda.a) 8 2/ sm , 6Nb) 5 2/ sm , 15Nc) 10 2/ sm , 10Nd) 4 2/ sm , 8Ne) 2 2/ sm , 10N

2.- Hallar la aceleración con que baja un bloque de masa “m” por el plano inclinado(g=10m/s2). No hay fricción.

a) 5 2/ smb) 8 2/ smc) 10 2/ smd) 2 2/ sme) 4 2/ sm

3.- Dos bloques de masas m1 y m2, donde m1 > m2 están unidos por una cuerda quepasa por una polea ligera sin fricción. Hallar: a) La aceleración de los bloques. b) Latensión en la cuerda.

a)21

21

21

12 ,)(mmgmm

mmgmm

++−

b)21

21

21

21 2,)(mm

gmmmm

gmm++

−

c)21

21

21

21 ,mmgmm

mmmm

+−+

d)21

1

21

1 2,mmgm

mmgm

++

e)21

2

21

2 2,mmgm

mmgm

+−

4.- La figura muestra dos bloques unidos por una cuerda si el bloque m2 se deslizasobre la mesa con un coeficiente de fricción de 0,2 ¿Cuál es la tensión en la cuerda?(g=10 2/ sm )

a) 30.4Nb) 20.6Nc) 20Nd) 25.2Ne) 30N

5.- En la figura se muestran una piedra de 2kg unido a una cuerda de 1m delongitud, que gira en una circunferencia vertical. Si la piedra en el punto A tiene unavelocidad de 5m/s, en B 10m/s y en C 15 m/s. Calcular las tensiones en la cuerda enlos puntos A,B,C. (g=10 2/ sm )

a) 30N, 220N, 450Nb) 20N, 120N, 250Nc) 30N, 200N, 470Nd) 15N, 150N, 300Ne) 30N, 70N, 50N

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22

BANCO DE PREGUNTAS

1.-Si se desea reducir la aceleración de un cuerpo a la cuarta parte de su valororiginal ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son correctas?I. Cuadruplicar la fuerza sin variar la masa.II. Reducir la fuerza a la mitad de su valor original sin variar su masa.III. Reducir la fuerza a la mitad y duplicar la masa.IV. Cuadruplicar la masa sin variar la fuerza.V. Reducir la fuerza a la cuarta parte sin variar la masa.

a) III, IV y V b) I, II y III c) I y IId) I, IV y V e) IV y V

2.-Un cuerpo de masa m, tiene una aceleración “a” cuando la fuerza que actúa sobrele es F. Si se agrega una masa m2, manteniendo la misma fuerza, la aceleraciónresultante será igual a:

a)1

21 )(m

amm + b)2

21 )(m

amm + c) amm

+

21

11

d)21

2

mmam

+ e)

21

1

mmam

+

3.- Un hombre se encuentra dentro de un ascensor si en un instante dado suelta unamoneda y esta en vez de caer permanece flotando entonces se concluye que: (noconsiderar la fricción)

a) El ascensor sube con aceleración constante.b) El ascensor se mueve con velocidad constante.c) Esta sucediendo un fenómeno que escapa a las leyes de la física.d) El ascensor esta en caída libre.e) El ascensor esta en reposo.

4.- Un bloque de 40 kg de masa, se mueve en una superficie horizontal cuyocoeficiente de fricción cinética es 0,1 por acción de una fuerza de 500N que formaun ángulo de 53º por encima de la horizontal, entonces se puede afirmar:

I) La aceleración del bloque es 7,5 2/ smII) La aceleración del bloque es 6,5 2/ smIII) La fuerza de fricción cinética es 40NIV) La fuerza de fricción cinética es cero

¿Cuál de las afirmaciones son verdaderas?

a) I y III b) I y IV c) II y III d) II y IV e) Solo I

5.- En la figura determinar el tiempo que empleará el bloque de 10kg de masa enllegar a la base del plano si los coeficientes de fricción entre el bloque y el plano son0,5 y 0,6. (g=10 2/ sm )

a) s52b) s10c) s4d) s2e) s5

6.- Una persona de 60kg se encuentra dentro de un ascensor y sobre una balanza.Si el ascensor acelera hacia abajo a razón de 2 2/ sm ¿Cuál es la lectura de labalanza? (g=10 2/ sm )

a)600N b)500N c)490N d)400N e)480N

7.- Determinar la tensión en la cuerda que une los bloques de la figura, si elcoeficiente de fricción cinético de los bloques con la superficie es 0,1.(g=10 2/ sm )

m1=20kg ; m2=30kg ; F=150N.

a) 50Nb) 150Nc) 60Nd) 80Ne) 100N

8.- Determinar la aceleración mínima de los bloques para que el bloque m noresbale respecto del bloque M.

( e= 0,5) (g=10 2/ sm )

a) 20 2/ smb) 10 2/ smc) 30 2/ smd) 15 2/ sme) 12 2/ sm

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23

9.- Un bloque de masa m= 5Kg se encuentra en reposo sobre una superficiehorizontal. Si el coeficiente de fricción estática es 0,5 y el cinético es 0,4 ¿Quéfuerza horizontal se debe aplicar al bloque para que se mueva con una aceleraciónde 2 2/ sm ? (g = 10 2/ sm )

a) 20 N b) 10 N c) 30 N d) 40 N e) 50 N

10.- En la figura para comunicar al bloque m2 una aceleración de 2m/s2 hacia arribahalle la magnitud de la fuerza F. (No existe fricción) (g=10 2/ sm )

a) 260Nb) 200Nc) 100Nd) 180Ne) 156N

11.- El bloque de la figura tiene un masa de 40kg y se mueve sobre una superficiehorizontal cuyo coeficiente de fricción cinético es 0,5 por acción de la fuerzaF=300N. Determinar la aceleración del bloque. (g=10 2/ sm )

a) 1 2/ smb) 5,25 2/ smc) 3,25 2/ smd) 2,25 2/ sme) 1,25 2/ sm12.- Hallar la fuerza de contacto entre los bloques A y B de masas 6kg y 4kgrespectivamente sabiendo que F1=120N , F2=80N y que no existe fricción.

a) 90Nb) 91Nc) 96Nd) 92Ne) 95N

13.- En la figura mA + mB = 50kg y el coeficiente de fricción cinético de cada bloquecon la superficie es 0,2. Si F = 200N .Hallar la aceleración de los bloques(g=10 2/ sm )

a) 1 2/ smb) 2 2/ smc) 3 2/ smd) 0,5 2/ sme) 1,5 2/ sm

14.- Un bloque de 2kg se mueve sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente defricción cinético es 0,5 con una aceleración de 0,5 2/ sm .Determinar la fuerza F.(g=10 2/ sm )

a) 10Nb) 12Nc) 5Nd) 8Ne) 11N

15.- Hallar la aceleración máxima del sistema mostrado en la figura tal que el bloquem no resbale sobre el bloque M. Coeficiente de fricción estático 0,4. (g=10 2/ sm )

a) 4 2/ sm

b) 2 2/ sm

c) 3 2/ sm

d) 5 2/ sm

e) 6 2/ sm

16.- La masa total de un ascensor es de 3000kg y el cable puede soportar unatensión máxima de 36000N. Determinar la máxima aceleración del ascensor sin quese rompa el cable. (g=10 2/ sm )

a) 12 2/ sm b)6 2/ sm c)2 2/ sm d)10 2/ sm e)8 2/ sm

17.- En el techo de un carro se encuentra suspendida una piedra cuando el carroacelera el hilo forma un ángulo con la vertical. Hallar la aceleración del carro.

a) gSen b) gCos c) gTg d) gCtg e) gSec

m2=12kgm1=6kg

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24

18.- Un bloque de masa m=4kg se mueve con una aceleración de 2 2/ sm en unasuperficie horizontal cuya coeficiente de fricción es 0,2 por acción de una fuerzahorizontal F. Hallar la fuerza vertical P que se debe aplicar al bloque para que semueva con velocidad constante. (g=10 2/ sm )

a) 50Nb) 30Nc) 20Nd) 10Ne) 40N

19.- Una esfera de masa m se impulsa verticalmente hacia abajo en la posición A yse sabe que al pasar por la posición más baja la tensión en la cuerda es igual alquíntuplo del peso de la esfera. Determinar la velocidad de la esfera en la posiciónmas baja si la cuerda tiene 50cm de longitud. (g=10 2/ sm )

a) 52 m/s

b) 53 m/s

c) 5 m/sd) 4m/se) 0,5m/s

20.- Una piedra de 1kg unida al extremo de una cuerda de 0,4m de longitud describeun movimiento circular uniforme en una circunferencia vertical. Si la tensión mínimaen la cuerda es cero, hallar la tensión máxima. (g=10 2/ sm )

a) 10N b) 30N c) 5N d) 20N e) 8N

TEMA 6

ESTÁTICA

Equilibrio.- Es un caso particular del movimiento donde las aceleraciones lineal yangular son iguales a cero: a = 0, = 0

Primera condición de equilibrio.- Un cuerpo está en equilibrio de traslacióncuando la fuerza neta es cero. Esto significa que el cuerpo está en reposo o enmovimiento rectilíneo con velocidad constante.

0== ∑→→

FF Neta, en dos dimensiones Fx = 0, Fy = 0

Momento de Torsión o torque de una fuerza.-Es la medida de la tendencia de una fuerza a hacer girar un cuerpo alrededor de uneje, la magnitud del momento de torsión o torque se define por medio de laexpresión:

= Fd

donde: = momento de torsión de F

d = brazo de momento (brazo de palanca) que es la distancia perpendicular del eje ala línea de acción de la fuerza.

El torque es (+) si F tiene tendencia a producir rotación en el sentido antihorario yel torque es (-) si F tiene tendencia a producir rotación en el sentido horario.

Segunda condición de equilibrio.-Un cuerpo está en equilibrio de rotación cuando la suma de los momentos de torsiónde todas las fuerzas que actúan sobre él respecto de cualquier eje es cero.

= 0

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25

PROBLEMAS

1. Para el sistema mostrado en la figura, hallar las tensiones T1 y T2, si g = 10 2/ sm

a) 45N , 75Nb) 50N , 60Nc) 80N , 100Nd) 50N , 50Ne) 40N , 60N

2. En la figura, hallar la tensión T2. Si T1 = T3 y T2=2 T1 (g = 10 m/s²)

a) 100 Nb) 360 Nc) 80 Nd) 36 Ne) 200 N

3. La figura muestra una viga de peso despreciable sobre la que actúa un sistemade fuerzas ¿Cuál es el valor de las reacciones en los apoyos A y B?

a) 10 N y 50 Nb) 20 N y 30 Nc) 15 N y 45 Nd) 27,5 N y 32,5 Ne) 5N y 5,5 N

4. La figura muestra una viga ABC de sección uniforme y 50 N de peso apoyadaen B, el extremo C se halla sometido a la tensión de un cable. Si el sistema estáen equilibrio ¿Cuál es la tensión en el cable? (g = 10 m/s²)

a) 60 Nb) 45 Nc) 75 Nd) 30 Ne) 65N

5. La figura muestra una viga de 60 N que es mantenida en equilibrio como se

muestra en la figura. Si la tensión en la cuerda es 20 3 N ¿Cuál es el valor delángulo ?a) 60°b) 37°c) 53°d) 45°e) 30°

BANCO DE PREGUNTAS

1. Cuando un cuerpo está en equilibrio, se puede afirmar que:a) Necesariamente sus velocidades lineal y angular son iguales a cero.b) Su aceleración lineal es cero y su aceleración angular diferente de cero.c) Sus aceleraciones lineal y angular son iguales a cero.d) Sus velocidades lineal y angular son variables.e) Sus aceleraciones lineal y angular son diferentes de cero.

2. Señale la verdad (V) o falsedad ( F ) en las siguientes afirmaciones:I. El equilibrio traslacional se garantiza cuando el cuerpo no tiene aceleración.II. Si la velocidad de un cuerpo es cero, está necesariamente en equilibrio.III. Si un cuerpo está en equilibrio, estará necesariamente en reposo.

a) VFF b) FVF c) FFV d) FVV e) VVF

3. En la figura se muestra una faja de peso despreciable que ha logrado equilibrarun tronco de 900 N de peso apoyándose sobre una pared vertical lisa ¿Cuál es lareacción de la pared?a) 900 Nb) 1800 Nc) 1600 Nd) 3600 Ne) 1000 N

4. Sobre un bloque de masa m actúa una fuerza horizontal F que permite que elbloque resbale con velocidad constante por el plano sin fricción entonces el valor detg es :a) F/mgb) F/mc) Fg/md) mg/F e) m/F

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26

5. En la figura determinar la máxima fuerza F permisible para el equilibrio estáticodel bloque de 35 N si los coeficientes de fricción entre la pared y el bloque son 0,75y 0,60.

a) 50 Nb) 80 Nc) 100 N Fd) 150Ne) 200 N

6. Sobre una viga homogénea de masa despreciable y de 8 m de longitud actúa elsistema de fuerzas verticales de la figura. Hallar las reacciones en los apoyos.

a) 100 N, 500 N b) 250 N, 350 Nc) 200 N, 400 N d) 300 N, 300 Ne) 275 N, 325 N

1m

7. En el dispositivo de la figura, la tensión en la cuerda 1 es 12 N, entonces elobjeto W pesa:

a) 36 Nb) 16 Nc) 20 Nd) 12 Ne) 32 N

8. La escalera homogénea de la figura tiene 5 m de longitud y 10 N de peso. Si laescalera se apoya en una pared lisa y un piso rugoso, entonces la reacción de lapared es:

a) 20 Nb) 10 Nc) 20/3 Nd) 10/3 Ne) 5/3 N

9. En la figura el peso del cuerpo es W = 7 N y las tensiones en las cuerdas sonT1=5N y T2=3N, el ángulo es igual a:

a) 53°b) 30°c) 60°d) 37°e) 45°

10. Para el sistema mostrado en la figura, hallar el momento resultante de lasfuerzas respecto al punto A sabiendo que R= 2 m y F = 5 N.

a) 25 2 Nmb) 50 2 Nmc) 50 Nmd) 25 Nme) 75 Nm

11. La figura muestra una estructura de peso despreciable que soporta una cargade 100( 13 –1) N apoyada en A y mantenida en equilibrio mediante un cable.Si la reacción en A es la doble de la tensión en el cable, ¿Qué valor tiene latensión?

a) 200 N

b) 300 N

c) 150 N

d) 100 N

e) 120 N

12. En la figura la cuerda y las poleas se comportan idealmente. El sistema seencuentra en equilibrio. Si m1 = 2Kg ¿Cuál es el valor de m2? (g = 10m/s²)

a) 4 kg

b) 2 kg

c) 1 kg

d) 3 kg

e) 0,5 kg

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27

13. Una viga homogénea que pesa 10N se encuentra apoyada en los puntos A y Bque están separados 4 metros ¿A que distancia X del punto de apoyo A se debeaplicar una Fuerza vertical de 20N para que la reacción en los apoyos cumpla lacondición RA =1/2 RB

a) 2m b) 2,5m c) 3m d) 3,5m e) 2,8m

14. Un bloque de 10 Kg de masa sube con velocidad constante por acción de lafuerza horizontal F1 = 50 N y la fuerza F2 paralela al plano. Calcular la fuerza F2 y lareacción normal sobre el bloque, no existe fricción (g = 10 m/s²)

a) 80 N, 120 Nb) 20 N, 92 Nc) I00 N, II0 Nd) 20 N, 110 Ne) 100 N, 80 N

15. Encontrar la suma de los módulos de las reacciones ejercidas sobre la esferade masa M por las superficies lisas que muestra la figura.

a) Mg53 b) Mg

52 c) Mg

54 d) Mg

57 e) Mg

16. La barra homogénea de la figura tiene un peso W y la tensión en la cuerda es T.Encontrar el peso P del cuerpo.

a) (T-W)/ 2b) (T+ W)/ 2c) 2T + Wd) T + 2We) 2T - W

17. El sistema mostrado está en equilibrio y considerando que la polea móvil pesa50 N y el bloque B 250 N determinar la tensión T en la cuerda central

a) 100 N

b) 50 N

c) 175 N

d) 250 N

e) 300 N B

18. La figura muestra los pesos iguales W suspendidas por cuerdas y colocadassimétricamente. Calcular las tensiones T1 y T2

a) T1 = 2W, T2 = 2 W

b) T1 = W/ 2 , T2 = W 3

c) T1 = W/ 2 , T2 = W/ 3

d) T1= W/2, T2 = W/3

e) T1 = 2W, T2 = 2 W

19. Los bloques A y B descansan sobre superficies lisas y están unidas por cuerdasa una viga de peso despreciable de la manera indicada en la figura. El peso delbloque A es 400 N y del bloque B de 200 N. Determinar la fuerza F para que losbloques estén en equilibrio.

a) 200 N

b) 600 N

c) 400 N

d) 100 N

e) 150 N

37 53o

X F

BA

6m

12m

6m

A

B

30º

F

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28

20. Una viga homogénea de 400 N de peso y de 4 m de longitud se encuentraapoyada de la manera indicada en la figura. Determinar la máxima distancia (x) queun hombre de 200 N de peso puede caminar respecto del punto A.

a) 2,5 m

b) 4,5 m

c) 3,5 m

d) 3,2 m

e) 4,2 m

TEMA 7

TRABAJO Y ENERGÍA

Trabajo Efectuado por una fuerza constante.-

El trabajo realizado por una fuerza constante actuando sobre un cuerpo es elproducto de la componente de esta fuerza en la dirección del desplazamiento por lalongitud de dicho desplazamiento. Ver Fig. 7.1

θθ FsCossCosFW == )(

Fig. 7.1

Donde:W: es el trabajo realizado por la fuerza constante F . F: es la magnitud de la fuerza vectorial F S: la magnitud del desplazamiento sθ :el ángulo que hace F con la dirección de s (0º<θ <180º)Es importante observar que cuando:

θ = 0 ⇒ W = Fs

θ = 90° ⇒ W = 0

y que para ángulos agudos y obtusos el trabajo es positivo y negativorespectivamente.La unidad en el SI de W es el joule (J), J = Nm.

El producto escalar de dos vectores.-Dados dos vectores A y B, como muestra la Fig. 7.2 se define el producto escalar

→→

ByA :→→

BA = θABCos

Fig. 7.2

Los productos escalares posibles, que se puede realizar con los vectores unitarios

en el plano→

i y→

j son:→

i .→

i =→

j .→

j =1→

i .→

j =→

j .→

i =0

Esto debido a que la magnitud de los mismos es la unidad y el ángulo entre ellos es0° si son iguales y 90° si son ortogonales.Ejemplo: Dados los vectores en el plano:→

A =Ax→

i + Ay→

j y→

B = Bx→

i + By→

j

YYxxYxYx BABAjBiBjAiABA +=

+

+=•

→→→→→→

Haciendo referencia a la definición de producto escalar y a la relación fundamentalde trabajo este concepto se puede redefinir

→→

•= sFW

Es bueno notar que si sobre un cuerpo, actúan concurrentemente muchas fuerzas, Fen la ecuación anterior, es la suma vectorial de todas las fuerzas y el trabajo sedenomina trabajo neto.

Energía cinética y el teorema del trabajo y la energía.-

Si un cuerpo de masa m, sometido a una fuerza neta F, cambia su velocidad en untramo de su recorrido de vi a vf. el trabajo realizado es evaluado de la siguienteforma:

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Dado que F = m a yd

vva if

2

22 −= siendo d la distancia recorrida. Ver Fig. 7.3.

Fig. 7.3

Entonces F =d

vvm if

2

22 −

De aquí

222

2222ifif

netomvmvvvmFdW −=

−==

La expresión2

2mvK = , se denomina energía cinética, de unidades en el SI las

misma que de trabajo. Así, entonces:

Wneto = Kf - Ki = ∆ K

Este último resultado se denomina teorema del trabajo y la energía, y se enuncia: "Eltrabajo neto al desplazarse un cuerpo es igual al cambio de su energía cinética"

Energía mecánica y su conservación.-

Un cuerpo mantenido a una altura determinadarespecto a una superficie de referencia, almacenaenergía denominada “energía potencial gravitacional”.Si se desea determinar la energía potencial del cuerpoal caer libremente de una posición yi a yf ; ver Fig. 7.4;es sólo calcular el trabajo realizado por el peso delcuerpo al descender tal recorrido.

Fig. 7.4

W = (-mg→

j ) (yf - yi)→

j = -mg yf + mgyi

A la cantidad mgy, se denomina energía potencial gravitacional, U. Entonces siUi= mgyi y Uf = mgyf son las energías potenciales inicial y final del cuerpo, eltrabajo realizado por el peso del cuerpo es:Wmg = -Uf + Ui = -(Uf – Ui); Uf – Ui = ∆ Uentonces: Wmg = - ∆ U

Ahora, si consideramos el gráfico mostrado en la Fig. 7.5, en la posición yi el cuerpotiene una velocidad vi y en la posición yf su velocidad es vf.

Fig. 7.5

Como por un lado W = ∆ K = Kf - Ki y por otro Wmg = - ∆ U = Ui - Uf, al descenderel cuerpo, siendo el trabajo el mismo se tiene:

Kf - Ki = Ui - Uf ó Ki + Ui = Kf + Uf

Es decir que la suma de la energía cinética más la energía potencial gravitacional esconstante. A este resultado se denomina conservación de la energía mecánica,E=K+U. A las fuerzas, como el peso, las cuales conservan la energía cinética máspotencial (pudiendo ser esta última no sólo de origen gravitacional), se denominanfuerzas conservativas

Cambios en la energía mecánica cuando se presentan fuerzas noconservativas.-

Fuerzas no conservativas (FNC) son aquellas que producen cambios en la energíamecánica, un ejemplo de tales fuerzas es la fuerza de fricción. En tales casos, eltrabajo realizado por tales fuerzas es:

WFNC = Ef – Ei = ∆ E = ∆ K + ∆ U

Siendo WFNC, trabajo realizado por la fuerza no conservativa, i y f son los estadosinicial y final.

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30

PROBLEMAS

1. Un bloque de 5 kg es desplazado horizontalmente hacia la derecha por una fuerzahorizontal de 25N. Si el coeficiente de fricción cinética es 0,1 Hallar el trabajo netoluego de recorrer 10m (g = 10 m/s²)

a) 100 J b) 150 J c) 200 J d) 250 J e) 300 J

2. Sobre un bloque de masa de 2Kg actúa un conjunto de fuerzas concurrentescomo muestra la Fig. Determinar el trabajo neto realizado por la fuerza neta aldesplazarse al bloque horizontalmente 5m , sobre una superficie sin fricción(Cos 37º ≈ 4/5)

a) 5 Jb) 50 Jc) 10 Jd) 25 Je) 30 J

3. Una fuerza de 10N actúa sobre una partícula ubicada en el origen del plano xycomo muestra la fig. como consecuencia de la aplicación de dicha fuerza, la

partícula realiza un desplazamiento dado por el vector (2→

i -→

j ) 2 (m). Calcular eltrabajo realizado.

a) 5 Jb) 15 Jc) 10 Jd) 5 2 Je) 10 2 J

4. Un bloque de 8Kg de masa es desplazado horizontalmente hacia la derecha,desde el reposo, por una fuerza horizontal constante de 16 N . Determinar lavelocidad adquirida luego de recorrer 4m. (Suponer que no hay fricción)


5. Una partícula de 2Kg de masa, que se mueve en el plano xy, efectúa un

desplazamiento→

S =→

i +→

j m debido a una fuerza→

F =5→

i +6→

j (N) desde un

punto donde su velocidad fue 3→

i + 4→

j (m/s). Calcular su energía cinética y suvelocidad al culminar el tramo recorrido.

a) 36 J, 6 m/s b) 25 J, 5 m/s c) 16 J, 4 m/sd) 4 J, 2 m/s e) 49 J, 2 m/s

6. Un cuerpo de 1Kg de masa es lanzado verticalmente hacia arriba con unavelocidad inicial de 20m/s. Determinar la energía potencial con referencia al puntode lanzamiento en: a) El punto de lanzamiento b) a la mitad de la trayectoria y c) enel punto más alto de la trayectoria (g = 10 m/s²)

a) 0 , 50 , 100 J d) 10 , 20 , 40 Jb) 0 , 100 , 200 J e) 5, 2, 4 Jc) 20 , 50 , 100 J

7. Una partícula realiza la trayectoria mostrada en la figura. Determinar la velocidaden B y la altura alcanzada en C, tal que su velocidad sea la mitad de la velocidad enel punto B. (despreciar la fricción con la trayectoria)

a) 4 gR , 3R/2

b) gR , R

c) 2 gR , 3R/2

d) 4 gR , R/2

e) 2 gR , R/2

8. Desde la base de un plano inclinado de 37º, se lanza un bloque hacia arriba,deslizándose 5m hasta detenerse debido a la fricción con el plano. Determinar lavelocidad con que se lanzó el bloque ( µ =0,5)Usar Sen 37º = 3/5, g = 10 m/s²


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31

53° 37°

100 N50 N

20 N

60° 37°

F1

F2

37°

F

37°

YyS

XxO


1. Un fuerza F que al actuar sobre un cuerpo en una dirección que forma unángulo de 37° debajo de la horizontal lo desplaza 10 m en una superficiehorizontal y realiza un trabajo de 100 J. Hallar la fuerza F.

a) 16,5 N b) 15,5 N c) 14,5 N d) 12,5 N e) 11,5 N

2. Calcular el trabajo que realiza el peso de un cuerpo, cuando dicho cuerpodesciende por un plano inclinado 45° desde una altura de 4 m hasta la basedel plano. (mg=10 N)

a) 40 J b) 80 J c) 20 J d) 0 J e) 50 J

3. Sobre el bloque de la figura actúa el sistema de fuerzas indicado. Si el bloquese desplaza 20 m en la superficie ¿Cuál es el trabajo neto realizado? (no hayfricción)

a) 600 Jb) 800 Jc) 1800 Jd) 500 Je) 1200 J

4. En la figura se tiene un bloque de 9 kg sometido a la acción de dos fuerzasF1=50N y F2=40N. Calcular el trabajo que desarrolla F2 para un recorrido “d”,si F1 realiza un trabajo de 400 J. (g=10 m/s²)

a) 200 Jb) -400 Jc) 400 Jd) -200 Je) 300 J

5. Un bloque que pesa 40N sube con velocidad constante por un plano sinfricción inclinado 37° por acción de una fuerza horizontal F recorriendo unadistancia de 5 m. Calcular el trabajo de la fuerza F.

a) 150 J b) 130 J c) 120 J d) 110 J e) 100 J

6. La fuerza F traslada el bloque de masa m=11 kg con velocidad constante enuna superficie horizontal cuyo coeficiente de fricción es 0,5 una distancia de5m Calcular el trabajo que realiza F.

a) 100 Jb) 200 Jc) 300 Jd) 250 Je) 150 J

7. La fuerza )(35 NjiF→→→

−= al actuar sobre una partícula situada en el origendel plano xy le produce un desplazamiento s=10 m indicado en la figura.Hallar el trabajo que realiza F. (g=10 m/s²)

a) 30 Jb) 10 Jc) 18 Jd) 20 Je) 22 J

8. Una partícula de 4 kg de masa que se mueve en el plano xy por acción de

una fuerza )(1925 NjiF→→→

+= efectúa un desplazamiento )(24 mjiS→→→

+=desde el punto A al punto B. Calcular su rapidez en A si su velocidad en B fue

)/(125 smji→→

+


9. Sobre un bloque de 10 kg que tiene una velocidad de 2 m/s actúa una fuerzahorizontal de 55 N y desplaza al bloque 20 m en una superficie horizontalcuyo coeficiente de fricción es 0,4. Calcular la velocidad final del bloque.(g=10 m/s²)


_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

32

4 m/s 2 m/s

A Bdd

6 m

A

B37°

A

30°

B

A

B

VvO

hh5 m

A

B

CRROR

3R

37°

R

B

A

10. Un bloque de 0,5 kg de masa es lanzado en el punto A con un velocidad de 4m/s y cuando llega al punto B su velocidad es 2 m/s. Si el coeficiente defricción es 0,1; determinar la distancia d. (g= 10 m/s²)

a) 1 mb) 6 mc) 4 md) 0,5 me) 2 m

11. Un cuerpo de 1 kg de masa es lanzado verticalmente hacia arriba desde lasuperficie del suelo con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué altura respecto delsuelo su energía cinética se habrá reducido al 10% de la que tieneinicialmente? (g=10 m/s²)

a) 18 m b) 20 m c) 15 m d) 10 m e) 8 m

12. Si el plano inclinado de la figura tiene un coeficiente de fricción de 0,2 duranteel recorrido AB. Calcular el cambio de energía potencial y el cambio deenergía cinética. (g=10 m/s²)

m=2kg a) 120 J, 88 Jb) 120 J, 80 Jc) -120 J, 88 Jd) 120 J, 80 Je) 100 J, 88 J

13. Un proyectil de 2 kg de masa es disparado horizontalmente en el punto A yllega al punto B situado en el suelo con una velocidad de 20 m/s que forma unángulo de 30° con la vertical. Hallar la energía potencial del proyectil en elpunto A respecto del suelo. (g= 10 m/s²)

a) 200 Jb) 300 Jc) 400 Jd) 100 Je) 50 J

14. La altura h requerida para que un cuerpo partiendo del punto A con unarapidez de 4 m/s, llegue a B con una rapidez de 10 m/s según la figura es:(g= 10 m/s²)

a) 8,5 mb) 9,2 mc) 9,8 md) 8,9 me) 8,2 m

15. Un cuerpo de masa m= 2 kg desliza sin fricción a partir del reposo en el puntoA en un pista en forma de rizo sin fricción cuyo radio es R=20 m. Determinaren el punto C la fuerza normal que ejerce la pista sobre el cuerpo. (g=10m/s²)

a) 30 Nb) 40 Nc) 50 Nd) 80 Ne) 20 N

16. Desde la base de un plano inclinado 37° se lanza un bloque de 4 kg de masacon una velocidad de 10 m/s y después de deslizar sin fricción 5 m sobre elplano lo abandona. Calcular la energía potencial en el punto más alto de sutrayectoria, respecto a la base del plano (g=10 m/s²)

a) 184,5 J b) 180,2 Jc) 174,4 J d) 148,8 Je) 85,6 J

17. ¿Cuál es la energía cinética del cuerpo cuando pasa por el punto B, si sesuelta en el punto A?

a) mg R/2b) mg R/3c) mg R/4d) 3 mgR

e) 3 mgR/2

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

33

10 m

5 m

xx

A

B37°

9 m

18. Una esfera parte del reposo y se desliza sin fricción por la superficie curva,como muestra la figura. Calcular el alcance horizontal x (g=10 m/s²)

a) 10 mb) 5 mc) 8 md) 6 me) 4 m

19. Una pequeña esfera cae desde una altura h=2 m e ingresa al lodo que leofrece una resistencia igual al doble de su peso. Si la rapidez en B es cero¿Cuánto vale y? (Despreciar la resistencia el aire). (g=10 m/s²)

a) 1 mb) 3 mc) 4 md) 2 me) 5 m

20. El bloque de la figura de masa m= 5 kg tiene en el punto A una rapidez de 10m/s ¿Cuál será su energía cinética cuando llegue a B si µ=0,25 y g= 10 m/s²

a) 750 Jb) 650 Jc) 700 Jd) 640 Je) 550 J

TEMA 8

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

1. Movimiento Armónico Simple (MAS):Es aquel movimiento periódico y oscilatorio de un cuerpo a través de una

línea recta, que se produce por una fuerza recuperada y que mate-

máticamente se describe mediante las funciones trigonométricas Seno y

Coseno (Armónico). El objeto con MAS, oscila entre dos posiciones, durante

un tiempo indefinido sin perder energía mecánica.

2. Fuerza recuperadora de un resorte:

Si consideramos un resorte en sus

tres posiciones características, el

resorte ejerce una fuerza

recuperadora o restauradora, que trata

que éste recupere su longitud original.

Ley de Hooke: La fuerza deformadora o restauradora es proporcional a la

deformación (x).

xKF −= K = Constante de fuerza del resorte

x = Deformación

El MAS se puede considerar como la proyección de un

movimiento circular uniforme a lo largo de su diámetro.

A

B

Yy

Hhlodo

aire

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

34

Elementos MAS

• Oscilación simple (A – A’ )

• Oscilación doble o completa (A –A’ – A)

• Período (T)

• Frecuencia (f) f =T1

, sf 1

=(Hertz)

• Elongación (x):

3. Ecuaciones del MAS:

Cuando una masa unida a un resorte ejecuta unMAS, su desplazamiento x, su velocidad v y suaceleración a, varían periódicamentecumpliéndose las siguientes ecuaciones:

3.1 Para la Elongación (x)

x = A Cos θx = A Cos wt

3.2 Para la Velocidad (V)

VMAS = V x = V ,A

xAtSen22 −

=ω

V = - A Sen t , V =+22 xA −

Vmax = A (x = 0)

3.3 Para la Aceleracióna MAS = ax (Componente x de la aceleración centrípeta)

a = - 2A Cos t , Cos t =Ax

, a = 2x

amáx = + 2A

3.4 Periodo (T)

(A) En función de a:t

xa πωω

2.2 =∧= ⇒axT π2=

(B) En función de la masa

kmT

fxaammkxkFamF π

π 24.. 2

2

=⇒=⇒=⇒=∧=

∗mk

=ω Frecuencia angular

3.5 Energía del Oscilador Armónico Simple2

21 KAE =

PROBLEMAS TIPO

1. Al suspender en un resorte un cuerpo de 39,2 N el alargamiento es de 10cm¿Cuál será el periodo de oscilación del cuerpo?a) 0,4 s b) 0,5 s c) 0,6 s d) 0,7 s e) 0,8 s

2. Un cuerpo de masa m cuelga del extremo de un resorte y oscila verticalmentecon un periodo de 4s. Al adicionar al cuerpo una masa de 0,5 kg el nuevoperiodo de oscilación es 5s. ¿Cuál es el valor de la masa m ?

a) 8/5 kg b) 8/7 kg c) 8/3 kg d) 8/11 kg e) 8/9 kg

3. Un cuerpo ejecuta un MAS con un amplitud 2 m y frecuencia angular π rad/s.Determinar a) El desplazamiento;

b) La velocidad, c) La aceleración en t = 0,25sRptas: a) 1m b) -π m/s c) -π 2m/s2

4. Una masa de 2 kg cuelga de un resorte. Cuando se añade una masa de 0,2 kgal resorte éste se alarga 2cm más. Si se quita el cuerpo de 0,2 kg y se haceoscilar el sistema, determinar el período del movimiento.

a) 0,89 s b) 0,70 s c) 0,60 s d) 0,50 s e) 1,00 s

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

35

Péndulo Simple

1. Péndulo Simple.-Es un sistema físico constituido por unamasa puntual m, suspendida por un hiloinextensible de longitud L que puedeoscilar alrededor de su posición deequilibrio en un plano vertical por influenciadel peso de la masa pendular, con unmovimiento que es aproximadamenteArmónico Simple. Sus elementos son losdel MAS.

2. Análisis del Movimiento PendularLa Fig. muestra una masa m sujeta a una cuerda de longitud L. Las fuerzas queobran sobre m son su peso mg y la tensión T en la cuerda. El peso sedescompone en F1 y F2; F1 se anula con la Tensión T y la fuerza recuperadora esF2 . Entonces:T = F1 = mg θCos , F2 = Fr =-mg θSen ∧ Fr =- Kx ⇒

kxSenmg =θ ; para pequeñas amplitudes del ángulo θ el arco S es casi

rectilíneo y se puede hacer que: S ≅ x , entonces.LxSen =θ . Luego

KxLxmg = y

gL

km

=

Sabemos que:kmT π2=

Entonces:

gLT π2= Periodo del Péndulo

gLt π= Semiperiodo

Lgf

Tf

π21;1

== Frecuencia

3. Propiedades en el Péndulo

Para pequeñas amplitudes (0º ∠ θ ≤ 15°) los periodos de oscilación soniguales (Isocronismo).

El periodo de oscilación de un péndulo es independiente de la masa pendular. El plano de oscilación del Péndulo es invariable. Para dos péndulos, sus períodos de oscilación son directamente proporcionales

a las raíces cuadradas de sus respectivas longitudes:2

1

2

1

LL

TT

=

Para un mismo péndulo en diferentes puntos de la Tierra sus periodos soninversamente proporcionales a las raíces cuadradas de las aceleraciones de la

gravedad: 1

2

2

1

gg

=TT

4. Una de las principales aplicaciones del péndulo es para medir el tiempo, para locual se usa un péndulo de segundos, es decir un péndulo cuyo tiempo deoscilación simple sea de un segundo

gLt π=

Entonces:2

2

πgtL =

. Si t=1s2π

gL = Longitud de un

Péndulo de segundo

PROBLEMAS TIPO

1. ¿Qué longitud debe tener un péndulo simple par que su frecuencia sea de 150osc/min? (g=π2 m/s2)a) 0,02 m b) 0,03 m c) 0,04 m d) 0,05 m e) 0,06 m

2. Un péndulo simple de 8m de longitud oscila con un período de 2s. Si el periodose duplica ¿Cuál será la longitud del Péndulo?a) 30 m b) 31 m c) 33 m d) 32 m e) 29 m

3. El período de oscilación de un péndulo simple es 10 s; si su longituddisminuye en un 10%. Determinar su nuevo período.a) 5 s b) 4 s c) 3 s d) 2 s e) 1 s

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

36

4. La frecuencia de un péndulo simple es de 6 Hertz, luego es llevado a la Luna,en donde la gravedad es la sexta parte que de la tierra. ¿Cuál es el valor de lafrecuencia en la Luna? (Hertz)

a) 3 b) 2 c) /66 d) /33 e) 6

5. Se tiene un péndulo en el interior de un ascensor que sube con una aceleraciónde 6 m/s2, ¿Cuál es el período del péndulo, si L = 4m y g = 10 m/s2?

a) s2 /π b) π s c) s4 /π d) 2 s e) 1,5 s


1. Para alargar un resorte 1 cm se necesita una fuerza de 4 N, si se une alresorte una masa de 1 kg, se alarga el resorte 10 cm, se suelta la masa yejecuta un MAS. Determinar la ecuación desplazamiento – tiempo.

a) ))(10cos(01.0 mtX =b) ))(20cos(1.0 mtX =c) ))(20cos(01.0 mtX =d) ))(10cos(10 mtX =e) ))(5cos(01.0 mtX =

2. Calcular la frecuencia de una MAS, sabiendo que su velocidad al pasar por elpunto de equilibrio es 0,2 m/s y su aceleración en su desplazamiento máximoes 0,4 m/s2.

a) Hzπ1

b) Hzπ c) 4π Hz d) Hzπ41

e) πHz23

3. La frecuencia de una masa que ejecuta un MAS es 2Hz. Hallar su aceleracióncuando x=0,1 m.

a) 1,6π2 m/s2 b) -1,6π2 m/s2 c)0,2π2 m/s2 d) -2π2 m/s2 e) -0,8π2 m/s2

4. Una masa que ejecuta un MAS con período 4 s pasa por la posición deequilibrio con un velocidad de 2 m/s, determinar la amplitud.

a) mπ4

b) 4π c) π d) mπ3

e) mπ2

5. Una masa ejecuta un MAS con una frecuencia angular de 5 rad/s y unaamplitud de 0,5 m ¿Qué velocidad tendrá la masa cuado su desplazamientosea 0,3 m?

a) 4 m/s b) 3m/s c) 2 m/s d) 1 m/s e) 0,5 m/s

6. Un bloque de masa 3 kg se mueve en una superficie horizontal sin friccióncon una velocidad de 5 m/s. Si el bloque choca contra un resorte deconstante 48 N/m ¿Cuál es la máxima comprensión del resorte?

a) 1,40 mb) 1,25 mc) 1,32 md) 1,05 me) 1,50 m

7. En un MAS la razón entre la velocidad máxima y la velocidad en un instantedado es 2. Encontrar la razón entre el desplazamiento y la amplitud en elinstante dado.

a)21

b)31

c)32

d)23

e)41

8. Después de que tiempo de iniciado el MAS de una partícula sudesplazamiento es igual a la mitad de su amplitud, si el periodo delmovimiento es 36 s y en t=0 se encuentra en el extremo derecho.

a) 5 s b) 4 s c) 8 s d) 6 s e) 9 s

9. El desplazamiento en función del tiempo de una partícula que ejecuta un MAS

esta dado por6

cos4 tx π= donde x esta en metros y t en segundos.

Determinar la aceleración de la partícula es t=2 s.

a)18

2π b) π2 c) -18

2π d) -π2 e)36

2π

10. Un oscilador armónico simple formado por una masa unida a un resorte,triplica su período si su masa se incrementa en 8 kg ¿Cuál es su masa?a) 2 kg b) 1 kg c) 0,5 kg d) 3 kg e) 4 kg

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37

11. Un cuerpo que ejecuta un MAS cuando se encuentra a 2 cm de la posición deequilibrio posee una velocidad V y cuando su desplazamiento se duplica su

velocidad es2v

; determinar su amplitud.

a) 3 5 cm b) 2 5 cm c) 5 cm d) 4 5 cm e)5 5 cm

12. Si en un mismo lugar se aumenta nueve veces la longitud de un péndulosimple, entonces:

a) Su período se duplicab) Su período se reduce a la tercera partec) Su frecuencia se triplicad) Su período no cambiae) Su frecuencia se reduce a la tercera parte

13. Tres péndulos simples oscilan con la misma amplitud, el péndulo A tiene los

52

de la frecuencia del péndulo B, y el péndulo C tiene25

del período del

péndulo A ¿Qué afirmación no es correcta?

a) B y C oscilan con la misma frecuenciab) A oscila con mayor frecuencia que Cc) B oscila con mayor frecuencia que Cd) A tiene menor período de oscilación que Ce) La frecuencia de oscilación de C es la menor de todas

14. Determinar el número de oscilaciones por minuto que ejecuta un péndulo de4m de longitud (g=π2 m/s2)

a) 12 b) 13 c) 16 d) 15 e) 14

15. Se tiene un péndulo simple cuyo período es 10 s ¿Cuál será su nuevoperíodo si la longitud del péndulo aumenta en un 44%?

a) 12 s b) 14 s c) 13 s d) 11 s e) 15 s

16. Un péndulo simple tiene un período de 1 s cuando se encuentra en la Tierra. Acontinuación es llevado a Júpiter donde la aceleración de la gravedad es 4 vecesmayor que en la Tierra ¿Cuál es el valor de la frecuencia del péndulo en Júpiter?

a) 4 Hz b) 3 Hz c) 1 Hz d) 0,5 Hz e) 2 Hz17. Un péndulo simple tiene una longitud de 1 m. Para que su período aumente

en 2 s ¿Cuánto debe aumentar su longitud? (g=π2 m/s2)

a) 3m b) 4 m c) 1 m d) 2 m e) 5 m

18. Si la frecuencia de oscilación de un péndulo simple en la Tierra es 1 Hz y enel planeta x 3 Hz. Determinar la aceleración de la gravedad del planeta x.

a) g b) g31

c) 3 g d) g91

e) 9 g

19. Un péndulo simple de 3 m de longitud se encuentra oscilando dentro de unascensor que baja con una aceleración constante a. Si el período delpéndulo es 2π s ¿Cuál es el valor de aceleración a? (g=10 m/s2)

a) 4 m/s2 b) 8 m/s2 c) 6 m/s2 d) 7 m/s2 e) 5 m/s2s2

20. Si al aumentar en 2 m la longitud de un péndulo simple su período aumentaen 1 s ¿Cuál es el la longitud del péndulo? (g=π2 m/s2)

a) m4

15 b) m

47

c) m427

d) m949

e) m1649

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38

TEMA 9

MECÁNICA DE FLUIDOS

El término fluido se aplica a los líquidos y a los gases por la propiedad que tienen defluir, es decir deformarse indefinidamente. Los fluidos por esta propiedad adoptan laforma del recipiente que los contiene. Los líquidos tienen volumen definido y lasfuerzas de cohesión entre sus moléculas son débiles. Los gases no tiene volumendefinido y tratan de ocupar el máximo volumen posible debido a al gran energíacinética de sus moléculas. Desde el punto de vista mecánico los fluidos no puedensoportar una fuerza aplicada en un punto como ocurre con los sólidos. Para que unfluido soporte una fuerza se debe aplicar en un punto como ocurre con los sólidos.Para que un fluido soporte una fuerza se debe aplicar por medio de una superficie. Ala fuerza aplicada por medio de una superficie se le denomina presión.

Densidad ( ρ )

Es la masa de un cuerpo contenida en la unidad de volumen.

Vm

=ρ Donde m = masa v = volumen

La unidad SI de densidad es el kg/m³

La densidad relativa ( rρ ) de los sólidos y líquidos, es la densidad de cuerpoexpresado en relación a la densidad del agua.

aguar ρ

ρρ =

Peso especifico ( eρ ) .El peso específico de un cuerpo es el peso de la unidad devolumen.

Vmg

e =ρ peroVm

=ρ ge ρρ =

Presión (P): Si sobre una superficie se aplica una fuerza, esta produce una presiónque es directamente proporcional a la componente normal de la fuerzainversamente proporcional al área de la superficie a la cual se aplica la fuerza.

AFP N= La unidad SI de presión es el pascal (Pa) 2m

NPa =⇒

Variación de la presión en la profundidad

En la figura se considera un líquido de densidad p en reposo y abierto en laatmósfera. En el líquido se selecciona un cilindro imaginario de área de la seccióntransversal “A” que se extiende desde la superficie hasta una profundidad “h”.La fuerza en la cara superior del cilindro es PoA, en la cara inferior PA y el peso delcilindro es mg = pVg como el cilindro esta en equilibrio se cumple:

∑ +=⇒= pAhgAghPPAFy 00

ghPP ρ+= 0

Donde: 0P = Presión Atmosférica

0P = 1,01 x 105 Pa = 1 atm( a nivel del mar )P = presión absoluta

ghρ = presión que ejerce el fluido

A la diferencia 0PP − se le denomina presión manométricaLuego la presión absoluta a una profundidad “h” debajo de la superficie de un liquidoabierto a la atmósfera es igual a la presión atmosférica mas la presión que ejerce elliquido a dicha profundidad.

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39

Principio de Pascal-(ley de Pascal)

“La presión ejercida en el punto de un liquido encerrado se transmite a todos lospuntos del liquido en todas las direcciones y con el mismo valor” una aplicación de laley de Pascal es la prensa hidráulica, que es un dispositivo constituido por doscilindros y dos pistones con émbolos deslizantes, en uno de los cuales se colocauna carga que se desea elevar y en el otro (en el de menor diámetro) se aplica lafuerza correspondiente. En la hidráulica se cumple:

2

2

1

1

2

22

1

11

21

AF

AF

AF

PAF

P

PP

=

=∧=

=

Principio de Arquímedes (ley de Arquímedes)

Todo cuerpo sumergido total o parcialmenteen un fluido estático experimenta una fuerzavertical dirigida hacia arriba, denominadaempuje o fuerza de flotación cuya magnitudes igual al peso de fluido desalojado.Empuje (B) es la resultante de todas lasfuerzas que el fluido aplica sobre el cuerpo.Empuje = peso del fluido desalojado )( fdW

PROBLEMAS

1. Un bloque cúbico de acero de 2 m de arista y 50 kg de masa se encuentra enreposo en un plano inclinado por acción de una fuerza horizontal F=1000 Ncomo muestra la figura. Calcular la presión en la base del cubo (g=10 m/s2)

a) 275 Pab) 175 Pac) 200 Pad) 300 Pae) 100 Pa

2. El recipiente de la figura contiene aceite y agua cuyas densidades son 700kg/m3 y 1000 kg/m3, respectivamente. Determinar la diferencia de presionesPB-PA (g= 10 m/s2)

a) 50 K Pab) 30 K Pac) 44 K Pad) 14 K Pae) 40 K Pa

3. ¿Cuál es la presión absoluta en el fondo del recipiente de la figura, quecontiene dos líquidos no miscibles de densidades 800 kg/m3 y 1000 kg/m3respectivamente? (Po=105 Pa) (g=10 m/s2)

a) 120 K Pab) 130 K Pac) 128 K Pad) 132 K Pae) 126 K Pa

4. La fuerza ejercida sobre el émbolo de la figura de 10 cm2 de área es F=20 N.si la densidad del liquido es 800 kg/m3, hallar la presión sobre el fondo derecipiente (g=10m/s2)

a) 18,5 K Pab) 16,2 K Pac) 22,4 K Pad) 20,3 K Pae) 21,5 K Pa

5. Se tiene una prensa hidráulica cuyos diámetros son 10 cm y 40 cmrespectivamente. Si en el émbolo menor se aplica una fuerza de 200 N, esterecorre una distancia de 20 cm, hallar la fuerza que se puede equilibrar en elémbolo mayor y la distancia que éste recorre.

a) 3 KN; 1,28 cm b) 2,5 KN; 1,42 cm c) 5 KN; 1,32 cmd) 3,5 KN; 1,35 cm e) 3,2 KN; 1,25 cm

fdWB =

F

53°

A

B

2 m

3 m

1 m

2 m

30 cm

F

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40

6. Dos líquidos no miscibles están en equilibrio en un tubo en U de la maneraindicada en la figura. Hallar la relación entre las presiones hidrostáticas en lospuntos A y B.

a) 1,2b) 1,5c) 1,8d) 1,3e) 0,375

7. En un tubo en U se tiene tres líquidos no miscibles que están en equilibriocomo se muestra en la figura. Calcular el peso específico del líquido A, siPB=800 kg/m3 , PC=1000 kg/m3 y g=10m/s2.

a) 2 KNb) 1 KNc) 0,5 KNd) 0,8 KNe) 0,2 KN

8. El tubo en U que se muestra en la figura contiene agua en la rama izquierda yun líquido desconocido en la rama derecha. Hallar la densidad relativa dellíquido desconocido.

a) 1,2b) 1,5c) 1,8d) 2,5e) 1,6

9. ¿Qué perdida de peso experimenta un cuerpo cuando se lo pesa estandocompletamente sumergido en agua, sabiendo que su peso en el aire es 2400N? densidad relativa del cuerpo 1,2 ; g= 10m/s2.

a) 2 KN b) 1 KN c) 0,5 KN d) 0,8 KN e) 0,2 KN

10. Un tubo de 10 cm de arista flota en el agua de la manera indicada en lafigura. Determinar la masa del cubo.

a) 8 kgb) 0,8 kgc) 0,08 kgd) 10 kge) 0,008 kg

11. Un bloque que tiene una masa de 100 kg y un volumen de 0,04m3 seencuentra en el fondo de una piscina llena de agua ¿Qué fuerza mínima esnecesario para sacar el cuerpo del agua? (despreciar la fricción del agua(g=10 m/s2)a) 400 N b) 600 N c) 1000 N d) 800 N e) 300 N

12. Si un cuerpo pesa en el aire 100 N y completamente sumergido en agua pesa80 N ¿Cuál es su densidad relativa? (g=10 m/s2)

a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5

13. Un bloque cúbico de madera de 0,2 m de arista y 600 kg/m3 de densidad flotaen el agua ¿Qué peso se debe colocar sobre el cubo para que flote de lamanera indicada en el figura? (g=10 m/s2)

a) 20 Nb) 22 Nc) 25 Nd) 32 Ne) 40 N

14. La esfera de la figura tiene una masa de 2 kg y un volumen de 2000 cm3 estaatada al fondo del recipiente mediante una cuerda. Si la densidad relativa delliquido que contiene el recipiente es 1,5. Calcular la tensión en la cuerda.(g=10 m/s2)

a) 20 Nb) 40 Nc) 30 Nd) 20 Ne) 10 N

15. Un bloque de 10 kg de masa y 5000 kg/m3 de densidad que cuelga de unacuerda, se encuentra completamente sumergido en agua como muestra lafigura. Hallar la tensión en la cuerda. (g=10 m/s2)

a) 50 Nb) 60 Nc) 80 Nd) 90 Ne) 70 N

A

15 cmB

C

10 cm

10 cm

12 cm18 cm

8 cm

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

41

16. Una esfera de plástico cuya masa es 2 kg flota en agua con el 80% de suvolumen sumergido. Encontrar la fuerza mínima vertical que se debe aplicar ala esfera para que se sumerja completamente en el agua (g=10 m/s2)

a) 4 Nb) 5 Nc) 3 Nd) 2 Ne) 1 N

17. Un cubo de 2 m de arista cuyo peso es 30 KN flota como muestra la figura. Laesfera tiene el 50% de su volumen sumergido en agua y su peso es 90 KNhallar el volumen de la esfera (g=10 m/s2)

a) 12 m3b) 8 m3c) 16 m3d) 10 m3e) 60 m3

18. Calcular la densidad de un cilindro sólido de 80 cm de altura que flota en doslíquidos no miscibles cuyas densidades relativas son 0,8 y 1 respectivamente.

a) 575 Kg/m3b) 642 Kg/m3c) 580 Kg/m3d) 645 Kg/m3e) 725 Kg/m3

19. Una pelotita de ping pong se suelta en A a una profundidad de 30 cm en unliquido cuya densidad es tres veces la densidad de la pelotita ¿Qué alturamáxima logra alcanzar la pelotita sobre la superficie del liquido? Despreciartoda forma de fricción g=10 m/s2.

a) 0,2 mb) 0,1 mc) 0,5 md) 0,3 me) 0,6 m

20. Una esfera de 1,6 kg de masa y 800 kg/m3 de densidad se libera del fondo deun recipiente que contiene agua. Encontrar la aceleración de la esfera si elagua le ofrece una fuerza de fricción igual a

81 de su peso g=10 m/s2.

a) 2,25 m/s2 b) 0,25 m/s2 c) 1,25 m/s2

d) 3,14 m/s2 e) 2,15 m/s2

TEMA 10

TEMPERATURA

Temperatura.- La temperatura es una magnitud escalar que indica de maneradirecta el grado de movilidad de las moléculas de un cuerpo, es decir, que latemperatura de un cuerpo está relacionada con la energía cinética promedio pormolécula.

TermómetrosSon instrumentos que sirven para definir y medir la temperatura de un sistema. Eltipo más común de termómetro, es el de mercurio. Este termómetro esta basado enque el cambio de temperatura produce cambios en los volúmenes del mercurio y delvidrio; pero debido a que la dilatación del mercurio es mayor que la del vidrio seproduce una variación en la longitud de la columna liquida, la cual sirve para medirla temperatura.

Escala Centígrada o CelsiusEsta escala termométrica se construye en base a dos puntos fijos que son el puntode fusión del hielo y el punto de ebullición del agua a la presión atmosférica normal

de (P 0 =1,01×105Pa =1 atmósfera). Al punto de fusión del hielo se le atribuye latemperatura de 0°C y al punto de ebullición del agua 100°C, luego se divide elintervalo entre estos puntos en 100 pequeños intervalos iguales correspondiendo acada uno 1°C, después esta graduación se extiende por debajo de 0°C y por encimade 100°C.

F

20 cm

30 cm

B

A

Hh

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42

Escala Kelvin o Escala Absoluta CentígradaEn esta escala su cero corresponde al llamado cero absoluto (-273°C ) que esaquella temperatura en la cual la energía cinética promedio por molécula es igual acero, y cuyos intervalos de 1o son iguales a los de la escala centígrada la unidad detemperatura en esta escala se denomina kelvin (°K) y se tiene que 1°K = 1°C .El segmento gráfico muestra la relación entre las escalas Kelvin y Centígrada:

Para convertir grados centígrados a kelvin se usa la relación 273+= ck TT ; donde

=kT temperatura en Kelvin y cT = temperatura en °C

Dilatación LinealEs el cambio de longitud que experimentan los cuerpos lineales al producirsecambios en su temperatura. Experimentalmente se demuestra que el cambio delongitud )( L∆ es proporcional al cambio de temperatura )( T∆ y a la longitud inicial

iL o sea TLL i∆=∆ α Donde:

if LLL =∆ Cambio de longitud

=fL Longitud final

=iL Longitud inicial

if TTT −=∆ (Cambio de temperatura)

=fT Temperatura final

=iT Temperatura inicialα = Coeficiente de dilatación lineal

Si en la ecuación TLL i∆=∆ α se reemplazara if LLL −=∆ se obtiene:

)1( TLL if ∆+= αLa unidad de α=°C-1 ó K-1

Dilatación superficial

Es el cambio de área que experimentan aquellos cuerpos en las cuales dos de susdimensiones son las principales, debido a cambios de temperatura.

En la dilatación superficial se cumpleTAA i∆=∆ β Donde:

Ti if AAA −=∆Cambio de Área

fA = Área final

iA = Área inicial


Tf =β Coeficiente de dilatación superficial y αβ 2=Si en la ecuación TAA i∆=∆ βreemplazara if AAA −=∆ se obtiene:

)1( TAA f ∆+= β

Dilatación cúbica o volumétrica

Es el cambio de volumen que experimentan aquellos cuerpos en los cuales sus tresdimensiones son las principales, debido a los cambios de temperatura. Los líquidosy gases se dilatan volumétricamente.

Se verifica que TVV i∆=∆ γ Donde if VVV −=∆Cambio de Volumen

Ti fV = Volumen final

iV = Volumen inicial


=γ Coeficiente de dilatación cúbica o volumétrica

Tf αγ 3=Si la ecuación TVV i∆=∆ γ se remplaza en

if VVV −=∆ se obtiene )1( TVV if ∆+= γ

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43

Ecuación de Estado del Gas Ideal

Se considera un gas de masa m confinado en un recipiente de volumen V a unapresión P y temperatura absoluta kelvin T. Una ecuación que interrelaciona estascantidades se denominan ecuación de estado. Un gas de baja densidad recibe elnombre de gas ideal. La mayoría de gases a la temperatura ambiente y a la presiónatmosférica se comportan como gases ideales.La ecuación de estado del gas ideal se expresa PV=nRT donde: P = presión,V=volumen,

T = temperatura absoluta (kelvin), n = número de moles,Mmn = donde: m=masa

molar, M=masa que se expresa gramo por mol (g/mol) o kilogramo por mol (kg/mol)R = constante universal de los gases.

En el S.IKmol

JR.

31,8= Si la presión se expresa en atmósferas (atm) y el

volumen en litros ( l )KmollamtR

..082,0= .

De la ecuación de estado del gas ideal se define:

1° Para n constantef

ff

i

ii

TVP

TVPKnR

TPV

=⇒==⇒

2° Para n y T constantes ffii VPVPKnRTPV =⇒==⇒

3° Para n y P constantesf

f

i

i

TV

TVK

TnR

TV

=⇒==⇒

4° Para n y V constantesf

f

i

i

TP

TPK

VnR

TP

=⇒==⇒

PROBLEMAS

1) Un termómetro con escala arbitraria tiene como punto de fusión del hielo -20° ycomo punto de ebullición del agua 180°, cuando en este termómetro se lee 60°¿Cuánto vale dicha temperatura en la escala centígrada y en la de kelvin?

a) 30 °C, 303 Kb) 20 °C, 293 Kc) 40 °C, 313 Kd) 10 °C, 283 Ke) 50 °C, 323 K

2) Se construyen dos escalas termométricas A y B de tal manera que 304 °Aequivalen a 60°B y – 40°B corresponden a 4°A. Encontrar; a) una fórmula deconversión de B a A. b) la temperatura en la que la lectura de ambas escalas es lamisma.a) A = 3B + 124 ; – 62° b) A = 3B – 124 ; 62° c) A = 2B + 4 ;-4°d) A = 4B + 15 ; -5° e) A = 3B + 120 ; -60°

3) Determinar el incremento de temperatura de las barras A y B para que susextremos se junten ( 13102 −− °×= CAα , 13101 −− °×= Cbα ). Suponer queúnicamente se dilatan las barras.a) 50 °C b) 100 °C c) 150 °C d) 125 °C e) 25 °C

4) Un vaso de vidrio cuya capacidad es de 1000 cm3 se encuentra completamentelleno de mercurio a 0°C. Cuando el vaso y mercurio se calientan a 100°C sederrama 15.5cm3 de mercurio. Si el coeficiente de dilatación lineal del vidrio es

16109 −− °× C .Hallar el coeficiente de dilatación cúbica del mercurio.

a) 15105,15 −− °× C b) 15105,16 −− °× C c) 15102,18 −− °× Cd) 15103,16 −− °× C e) 15102,12 −− °× C

5) Un recipiente contiene hidrogeno a la presión de 2atm y a la temperatura de300K. Si el volumen del recipiente es 200cm3 .Determinar la masa de hidrogeno

contenida en el recipiente (M=2g /mol). UsarKmollamtR

..08,0=

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44

a) 0,02g b) 0,03g c) 0,04g d) 0,05g e) 0,01g

6) Una masa de helio ocupa un volumen de 240cm3 en determinadas condiciones.Si su presión se triplica y su temperatura kelvin se reduce a la mitad, ¿Cuál es elnuevo volumen?

a) 10 cm3 b) 20 cm3 c) 30 cm3 d) 40 cm3 e) 50 cm3

BANCO DE PREGUNTAS

1. En la escala A el punto de ebullición del agua corresponde a 350°A y el puntode fusión del hielo a 50°A, deducir una fórmula de conversión de la escala A ala escala centígrada.

a) C= A – 50 b) C= 3 (A + 50) c) C= 3 (A – 50)

d) C=31

(A – 50) e) C=31

(A + 50)

2. En la escala B el punto de fusión del hielo corresponde a -20°B y el punto deebullición del agua a 240°B, encontrar a que temperatura las escalas B ycentígrada darán la misma lectura.

a) 12,5 b) 11,5 c) 10,5 d) 9,5 e) 8,5

3. El punto de fusión de hielo corresponde a 546°X en la escala absoluta X ¿Acuántas °X equivale el punto de ebullición del agua?

a) 646°X b) 746°X c) 846°X d) 946°X e) 750°X

4. ¿A qué temperatura centígrada la temperatura kelvin será igual a siete vecesla lectura en el termómetro centígrado?

a) 20,5°C b) -20,5°C c) -45,5°C d) 45,5°C e) 90,5°C

5. Un termómetro mal calibrado marca 97° en el punto de ebullición del agua y1° en el punto de fusión del hielo. Cuando en éste termómetro se lee 49º¿Cuánto vale dicha temperatura en la escala kelvin?

a) 320K b) 323K c) 230K d) 233K e) 400K

6. En la escala absoluta X el punto de fusión del hielo es 136,5°X. Encontrar latemperatura a la cual las escalas X y centígrada darán la misma lectura.

a) 173 b) 73 c) 273 d) 373 e) 473

7. Las escalas A y B coinciden en -100°C y las escalas A y C coinciden O°C. Siel punto de ebullición del agua es 300°A y 400°B. Hallar la temperatura delcero absoluto en la escala B.

a) -604,5 b) -700,5 c) -800,5 d) -700,5 e) -532,5

8. ¿Para qué cambio de temperatura la longitud de una barra aumenta en un0,3%? α=6x10-6 °C-1

a) 50°C b) 500°C c) 200°C d) 100°C e) 300°C

9. Una barra de hierro tiene una longitud de 10 cm a O°C. Cuando la barra secaliente a 100 °C su longitud es 10,012 cm. Determinar el coeficiente dedilatación lineal del hierro.

a)12µ°C-1 b)1,2µ°C-1 c)14 µ°C-1 d)16µ°C-1 e)1,4µ°C-1

10. Se tiene dos barras metálicas 1 y 2 cuyas longitudes son 1,2 m y 1 mrespectivamente a la misma temperatura. Encontrar el cambio de temperaturaque deben experimentar las barras para que tengan la misma longitudα1=1x10-3 °C-1 ; α2=2x10-3 °C-1

a) 200°C b) 350°C c) 150°C d) 300°C e) 250°C

11. Un cubo metálico a 0°C tiene una masa de 90 kg y una densidad de 12 g/cm3.Si se coloca en un ambiente cuya temperatura es diferente su nuevo volumenes 9,75 dm3. Hallar la temperatura del cubo en el nuevo ambiente.(α= 5x10-4 °C-1)

a) 200°C b) 300°C c) 100°C d) 400°C e) 150°C

12. ¿Qué volumen de mercurio habrá de introducirse en una vasija cerrada devidrio de volumen 240 cm3 a O°C, para que al calentar el conjunto no varié elvolumen de la parte vacía. Hg= 18x10-5 °C-1 ; vidrió =3x10-5 °C-1.

a) 60 cm3 b) 50 cm3 c) 40 cm3 d) 30 cm3 e) 80 cm3

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45

13. Un disco metálico tiene un radio de 10 cm a 2°C ¿Cuánto aumenta susuperficie cuando su temperatura es 202°C? α= 10-5 ºC-1.

a) 2π cm2 b) 40π cm2 c) 4π cm2 d) 0,4π cm2 e) 3π cm2

14. Un recipiente metálico contiene mercurio hasta los109 de su volumen. Si los

coeficientes de dilatación cúbica del mercurio y del recipiente guardan larelación MHg γγ 3= . Hallar el máximo cambio de temperatura del conjunto

para que no se derrame el mercurio.

a)Hg17

3 b)Hg3

17 c)3

17 Hg d)17

3 Hg e)3Hg

15. Una masa de 2 g de un gas ideal se encuentra a la presión de 2 atm y a latemperatura de 27°C. Hallar la masa molar del gas si ocupa un volumen de 6 l

(KmollamtR

..08,0= )

a) 12 g/mol b) 8 g/mol c) 5 g/mol d) 2 g/mol e) 4 g/mol

16. Un cilindro cuyo volumen es 10 l contiene oxigeno a la presión de 1 atm y a latemperatura de 200 K. Si la temperatura se duplica, que masa de oxigeno

escapa del cilindro si la presión no cambia. (M=32 g/mol,KmollamtR

..08,0= )

a) 5 g b) 20 g c) 10 g d) 8 g e) 6 g

17. Una masa de gas ideal ocupa un volumen de 2 l en determinadascondiciones. Si su presión se reduce a la quinta parte y su temperatura kelvinse triplica. Hallar su nuevo volumen.

a) 30 l b) 20 l c) 10 l d) 8 l e) 2 l

18. Un recipiente contiene hidrogeno a la presión de 3x105 Pa y a la temperaturade 27°C. Si el volumen del recipiente es 16,62 l, determinar la masa dehidrogeno contenida en el recipiente (M= 2 g/mol)

a) 1 g b) 2 g c) 4 g d) 5 g e) 6 g

19. Un recipiente 8 moles de helio a la presión de 2x105 Pa y a la temperatura de27°C. Si la temperatura del gas aumenta hasta 127°C, escapa gas paramantener constantes la presión y el volumen. Calcular el número de moles degas que han escapado.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

20. Un globo inflado con helio que tiene un volumen de 900 l, se eleva hasta unaaltitud de 6000 m donde la presión atmosférica se reduce a 0,45 atm ¿Cuáles el volumen final del globo? (suponer que la temperatura permanececonstante)

a) 2000 l b) 1000 l c) 3000 l d) 1500 l e) 1200 l

TEMA 11

ENERGÍA TÉRMICA

1.- Calor: Es la energía que se transfiere de unsistema a otro, debido a una diferencia detemperaturas la transferencia de energíatérmica (calor) se produce hasta que loscuerpos en contacto térmico alcanzan elequilibrio térmico

(TA=TB=TE)

2.- Unidades de Calor:

El calor es una forma de energía, en consecuencia en el S.I. su unidad es el

Joule (J). Tradicionalmente se sigue utilizando las siguientes unidades:

2.1.- Caloría (cal).- Es la cantidad de calor que se debe proporcionar a un gramode agua para elevar su temperatura en 1°C (en el intervalo de 14,5°C a

15,5°C). También se le define: hwCal .860

1=

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2.2.- Kilocaloría (Kcal).- Es la cantidad de calor que se debe suministrar a 1Kgde agua para elevar su temperatura en 1°C (14,5°C a 15,5°C).

3.- Equivalente Mecánico de Calor:

De: hwCal .860

1= se deduce que cal = 4,186J. También de cal = 4,186J se

deduce que 1J = 0,24cal. Estas dos igualdades constituyen el equivalentemecánico de calor:

1J = 0,24cal y 1 cal = 4,186J

4.- Capacidad Calorífica (K):

Es la razón entre la cantidad de calor (Q) que gana o pierde un cuerpo y el

cambio de temperatura que se produce.

∆Τ=

QKC

calK o=C

KcalK o=

0TT −=∆Τ CJouleK o=

5.- Calor Específico (c):

Es la capacidad calorífica del cuerpo por unidad de masa.

mKc = y

TQK

∆= ⇒

TmQc∆

= → TmcQ ∆= Calor Sensible

Agua: c = 1cal/g°C = 1kcal/kg°C , también: c = 4186J/ kg°C

6.-Calorimetría.-

Tiene por objeto el estudio de las medidas de la cantidad de calor queintercambian dos o más cuerpos que están a diferentes temperaturas

+: Calor ganado por el cuerpo

-: Calor cedido o perdido

Como los calores ganados son positivos y loscalores perdidos son negativos, el “Principio deConservación de la Energía” establece que:

Q = 0 ó Qg = Qp Qg + Qp = 0 Q = Suma de calores transferidos.

6.1.-Calorímetro.- Es un recipiente térmicamente aislado que se utiliza paradeterminar el calor especifico de los cuerpos.

Procedimiento:1° Se calienta una sustancia cuyo ce sedesea determinar hasta una temperaturaTS.

2° Se toma la temperatura de equilibrio delagua y calorímetro T1

3° Se introduce el cuerpo al calorímetrotomando luego la temperatura final deequilibrio (TS > T2 > T1).

4° Se aplica el Principio de Conservación de la Energía:Q = 0 * TmcQ ∆=

Q s + Q a + Q c = 0 También:

Calor cedido = Calor ganado por el agua por la sustancia y el calorímetro

5° Se despeja Cs =Calor especifico de la sustancia.

Cambios de estado

Es aquella transformación física que experimenta una sustancia al absorber o alperder una determinada cantidad de calor manteniendo constante la presión ytemperatura.

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47

1. Diagramas de cambios de estado físico.-

2. Calor Latente de cambio de Fase (L).-Es la cantidad de calor que debe ganar o perder la unidad de masa de unasustancia para que cambie de fase o estado físico a temperatura constante.

mQL = → mLQ =

Unidades : J/Kg; Cal/g; Kcal/Kg

3. Calor Latente de Fusión (LF).-Es la cantidad de calor que debe ganar o perder la unidad de masa que esta encondiciones de cambiar de fase, para que pase del estado sólido al estadolíquido o viceversa.

mQLF = → FmLQ =

Para el hielo: LF = 80 cal/g = 80 kcal /kg ; LF = 3,35 x 105 J / kg

4. Calor Latente de Vaporización (Lv).-Es la cantidad de calor que debe ganar o perder la unidad de masa de unasustancia que esta en condiciones de cambiar de fase, para que pase del estadolíquido al gaseoso o viceversa.

mQLV = → VmLQ =

Para el agua: LV = 540 cal/g =540Kcal/Kg. También: LV = 2,26 x 106 J / kg

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. ¿Qué cantidad de agua se puede llevar al punto de ebullición consumiendo 3Kwh de energía? La temperatura inicial es de 10°C

a) 18kg b) 29kg c) 30kg d) 41kg e) 50kg

2. ¿Qué cantidad de hielo a 0°C se requiere para mezclar con 1kg de agua parabajar su temperatura de 80°C a 40°C?

a) 1 / 2kg b) 2kg c) 5 / 2kg d) 1 / 3kg e) 3kg

3. Un kg de hielo a 0°C choca contra un lago congelado con una velocidad de40m/s¿Cuántos gramos de hielo funde si el lago esta a 0°C?

a) 2,0g b) 2,1g c) 2,2g d) 2,3g e) 2,4g

4. En un litro de agua que esta a 25°C se echan 4 cubitos de hielo de 50g cadauno, que están a -5°C. ¿Qué temperatura de equilibrio se obtiene?(Ce hielo = 0,5 kcal / kg ºC)

a) 7°C b) 6°C c) 8°C d) 9°C e) 5°C

PROBLEMAS PROPUESTOS ENERGÍA TÉRMICA

1. La temperatura de 100 litros de agua desciende de 80°C a 10°C ¿Cuántaenergía a emitido? (1Cal=4,18 J)

a) 29,4 MJ b) 32,5 MJ c) 50,1 MJ d) 27,3 MJ e) 28,5 MJ

2. ¿Cuál es el calor específico de un cuerpo enKgK

J cuya masa es 800 g si

necesita 40 cal para elevar su temperatura de 40°C a 45°C? (cal=4,2J)

a) 0,04 b) 168 c) 200 d) 42 e) 420

3. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio de la mezcla de 3 masas iguales demercurio a 10°C, 30°C y 80°C respectivamente?

a) 50°C b) 60°C c) 55°C d) 45°C e) 40°C

L: Calor latenteQ: Cantidad de calor para el cambio de fasem: masa

L: Calor latenteQ: Cantidad de calor para el cambio de fasem: masa

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48

4. Para obtener 400 g de agua a 50°C ¿Qué masas de agua a 70°C y 20°C sedeben mezclar?

a) 200 g y 200 g b) 250 g y 150 g c) 240 g y 160 gd) 230 g y 170 g e) 260 g y 140 g

5. Hallar la temperatura de una mezcla de mg de agua a 20°C con 2mg de aguaa 40°C y en 5m g de agua a 60°C.

a) 48°C b) 45°C c) 52°C d) 50°C e) 55°C

6. Un recipiente de hierro (c=0,1cg

cal°

) de 2 kg contiene 1 litro de agua a 10°C.

Si se proporciona al sistema 12 Kcal ¿Cuál será la temperatura de equilibrio?

a) 12°C b) 20°C c) 15°C d) 18°C e) 16°C

7. Un cuerpo de 50 kg de masa está compuesto de una aleación que contiene el

80% de cobre (c=0,09cg

cal°

) y el 20% de aluminio (c=0,22 cal/ºc). Calcular la

energía necesaria para elevar su temperatura en 10°C.

a) 58 kcal b) 60 kcal c) 70 kcal d) 49 kcal e) 32 kcal

8. Un bloque de aluminio (c=0,22cg

cal°

) de 100 g de masa a 100°C se introduce

en un recipiente de cobre (c=0,09cg

cal°

) de 200 g de masa que contiene 60 g

de agua a 20°C. Encontrar la temperatura final.

a) 40,2°C b) 39,1°C c) 37,6°C d) 41,5°C e) 36,5°C

9. Se realiza una mezcla de un líquido A con un liquido B, la masa del líquido Bes el doble de la masa del líquido A, e inicialmente las temperaturas de loslíquidos A y B son 10°C y 70°C respectivamente y la temperatura de equilibrioes 20°C. Determinar la razón del calor específico del líquido A al calorespecífico del líquido B.

a) 10 b) 5 c) 0,1 d) 0,5 e) 0,2

10. Un cuerpo de 300 g de masa tienen una capacidad calorífica deKJ36 . Si su

temperatura cambia de 289 K a 300 K. ¿Qué cantidad de calor habráabsorbido y cual es su calor específico?

a)KgK

JJ 120,396

b)KgK

JJ 100,400

c)KgK

JJ 100,496

d)KgK

JJ 120,400

e)KgK

JJ 100,200

11. Un poste cuyo calor especifico esCKg

J°

500 sufre el impacto de un auto de

4000kg de masa que lleva una velocidad de 72 km/h, la masa del poste es80kg y el 30% de la energía que lleva el auto se convierte energía térmicatransmitida al poste. Hallar el cambio de temperatura que sufre el poste.

a) 5°C b) 6°C c) 3°C d) 4°C e) 2°C

12. Si a 8 g de hielo a –6°C se le suministran 956 cal, ¿Cuál será la temperatura

final? (Cg

calChielo °= 5,0 )

a) 37,5°C b) 38,5°C c) 39,5°C d) 40,5°C e) 36,5°C

13. Se tiene 20g de agua a 10°C ¿Qué cantidad de calor se necesita paraconvertirlo en vapor a 120°C?.(Cvapor= 0,5 cal/gºc) (Lv=540 cal/g)

a) 10 Kcal b) 11,8 Kcal c) 11 Kcal d) 13,2 Kcal e) 12,8 Kcal

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14. ¿Qué masa de hielo a –20°C se debe mezclar con 165 g de agua a 40°C para

que la temperatura del agua descienda a 20°C (Cg

calChielo °= 5,0 )

a) 30 g b) 20 g c) 10 g d) 40 g e) 50 g

15. Si a un depósito que contiene 160 g de agua a O°C se introduce 160 g dehielo a –40°C ¿Qué masa de agua solidifica? Despreciar las perdidas de calor(

CgcalChielo °

= 5,0 )

a) 160 g b) 80 g c) 40 g d) 20 g e) 10 g

16. A 20 g de un líquido X cuya temperatura es 50°C se le agrega 2 g de hielo a–40°C. Si la mezcla líquida que resulta tiene una temperatura de 20°C ¿Cuáles el calor especifico del líquido X en

Cgcal°

? (Cg

calChielo °= 5,0 )

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,4 d) 0,8 e) 0,3

17. Hallar la temperatura de una mezcla de 80 g de hielo a –5°C con 500 g deagua a 60°C. (

CgcalChielo °

= 5,0 ).

a) 50,2°C b) 41,4°C c) 40,3°C d) 42,1°C e) 38,7°C

18. ¿Qué masa de agua a O°C se puede convertir en vapor a 120°C si se disponede 130 kcal? (Cvapor= 0,5 cal/gºc; Lv=540 cal/g)a) 148 g b) 150 g c) 200 g d) 180 g e) 300 g

19. Si se suministran 960 cal a 20 g de hielo a –10°C ¿Cuál será el estado finaldel sistema? (

CgcalChielo °

= 5,0 )

a) 8 g de hielo y 12 g de agua a 0°Cb) 20 g de hielo a 0°Cc) 9,25 g de hielo y 10,75 g de agua a 0°Cd) 12 g de hielo y 8 g de agua a 0°Ce) 10 g de agua a 0°C

20. Se dispara un proyectil de 10 kg de masa sobre un bloque de hielo que seencuentra a –20°C, con una velocidad de 100 m/s, si después de atravesar elhielo su velocidad es 50 m/s, hallar la masa de hielo que se funde.(

CgcalChielo °

= 5,0 )

a) 100 g b) 90 g c) 80 g d) 70 g e) 60 g

TEMA 12

TERMODINÁMICA

La termodinámica realiza el estudio de las transformaciones entre calor, trabajo yenergía dentro y/o fuera de un sistema térmico.

Primera ley de la termodinámica.- Se enuncia en base a la conservación de laenergía y establece que la variación de energía en un proceso termodinámico esigual al calor ganado o perdido por el sistema menos el trabajo realizado por o sobreel sistema.

WQU −=∆Donde:

U∆ : (+), si aumenta la energía del sistema (-), si disminuye la energía del sistemaQ : (+), si el sistema gana calor (-), si el sistema pierde calorW : (+), si el sistema realiza trabajo (-), si se realizar el trabajo sobre el sistema

El cambio de energía ∆ u, se refiere fundamentalmente al cambio en las energíastraslacional, rotacional y vibracional de las moléculas constituyentes del sistematermodinámica.

Procesos termodinámicos:

Proceso isobárico.- El que se verifica a presión constante, produciéndose uncambio en el volumen del sistema, en él:

( )if VVPW −=Donde:P = es presión constante

fV = volumen final del sistema

iV = volumen inicial del sistema.

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

50

1

21

QQQe −

=

1QWe =

Si fV > iV , el sistema realiza trabajo y si fV < iV , se realiza trabajo sobre el

sistema.

Proceso isométrico.- También llamado isócoro, el que se verifica a volumenconstante, en él:

Entonces: QU =∆W = 0

Proceso isotérmico.- El que se verifica a temperatura constante.

Proceso adiabático.- El que verifica sin perdidas ni ganancias de calor, en él:

0=Q

Entonces: U = -W

Segunda ley de la termodinámica y máquinas térmicas.-

Considera los procesos que no pueden ocurrir espontáneamente. Puede enunciarsede la siguiente forma: No existe una máquina térmica que funcionando en un cicloperiódico, no produzca otro efecto que el de tomar calor de un foco caliente yconvertir Íntegramente este calor en trabajo. (Siendo una máquina térmica, undispositivo mecánico que transforma la energía calorífica en energía mecánica)

Así la segunda ley de la termodinámica imposibilita totalmente la idea de convertirtodo el calor transferido en trabajo mecánico.

Eficiencia de una máquina térmica (e).- Es la razón entre el trabajo neto entregadopor una máquina térmica y el calor utilizado por la misma, proveniente de un fococaliente.

Donde: 21 QQw −= , por lo tanto

Siendo: e=eficiencia, coeficiente adimensionalW = trabajo neto

1Q = calor entregado por el foco caliente

2Q = calor expulsado al foco frío.

Ciclo de Carnot.- Utiliza como sistema un gas ideal y se produce en cuatroprocesos consecutivos formando un ciclo cerrado y periódico.Procesos:

1. Expansión isotérmica (a-b).- El sistema recibe calor (Q1) y se expande a

temperatura constante (T1)

2. Expansión adiabática (b-c).- El sistema continua en expansión sin ingreso

ni salida de calor. La temperatura disminuye basta T2

3. Compresión isotérmica (c-d).- El sistema se comprime a temperatura

constante (T2) y expulsa calor (Q2)

4. Compresión adiabática (d-a).- El sistema se comprime sin ingreso ni salida

de calor basta llegar a la temperatura T1

La eficiencia de un ciclo de Carnot es:

1

21

TTT

e−

=

Siendo: T1= Temperatura del foco caliente T2= Temperatura del foco frío.

Q=O

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

51

Comparando con la relación general de eficiencia de una máquina térmica

2

1

2

1

QQ

TT

=

PROBLEMAS

1. Bajo un proceso termodinámico, un sistema realiza 500 J de trabajo, para elloabsorbe 1100 J de calor ¿Cuál es la variación de energía interna del sistema?

a) 500J b) 600 J c) 1600J d) –600J e) –1600J

2. Un gas ideal sufre una compresión isobarica a una presión constante de0.7x105 N/m2 de 9dm3 a 2dm3. Durante el proceso se libera 500J de energíatérmica. Determinar el trabajo efectuado por el gas y el cambio de energíainterna del sistema..a) 700J, 200Jb) –7700J, -7200Jc) –490J, -10Jd) 490J, -10Je) 7700J, 7200J

3. Un sistema termodinámico formado por un gas ideal realiza los cambios deestado ab y bc, al final de los cuales ha recibido una cantidad neta de calor de500 J. ¿Qué cantidad de calor deberá recibir cuando realiza el proceso directoac?

a) 600Jb) 800Jc) 100Jd) 200Je) 500J

4. Un gas ideal a 27°C se expande isobáricamente a una presión de 105N/m2. Sisu volumen cambia de 1dm3 a 3dm3 y se transfiere al gas 500J de energíatérmica. Calcular el cambio de energía interna y la temperatura final del gas.a) 300J, 327°Cb) –300J, 327°Cc) 300J, -227°Cd) –300J, -227°Ce) 300J, 627oC

5. Una máquina de Carnot tiene un rendimiento del 25%. El foco frío tiene unatemperatura de 30°C. Determinar la temperatura del foco caliente.a) 200°Cb) 158°Cc) 92°Cd) 131°Ce) 120°C


1. Encontrar el cambio de energía interna de un sistema que absorbe 200 cal yrealiza un trabajo de 200 J (cal=4,2 J)

a) 0 J b) 840 J c) 500 J d) 400 J e) 640 J

2. Un cilindro cerrado por un embolo que contiene 2 l de un gas ideal a lapresión de 1 KPa, se lo calienta a presión constante y su volumen aumentahasta 6 l ¿Cuál es el trabajo que realiza el gas?

a) 400 J b) 4 J c) 40 J d) 0,4 J e) 8 J

3. En un proceso isobarico 4 g de hidrógeno son calentados desde 25°C hasta75°C, calcular el trabajo realizado por el gas. (M=2 g/mol)

a) 620 J b) 500 J c) 831 J d) 450 J e) 290 J

4. En el proceso AB la energía interna cambia en 418 J mientras que en elproceso AC la energía interna aumenta en 608 J. Hallar el cambio de energíainterna en el proceso BC.

a) 190 Jb) 180 Jc) 200 Jd) 150 Je) 160 J

5. A la presión constante de 105Pa un gramo de agua se transforma en 161 cm3

de vapor cuando hierve. Calcular el cambio de energía interna del sistema.(Lv=540 cal/g , 1cal=4,2 J)

a) 2120 J b) 2000 J c) 2168 J d) 2230 J e) 2252 J

P

A

B C

V

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

52

6. En el esquema P-V se muestra un proceso en el cual se han liberado del gas2000 J de calor, determinar el cambio de energía interna.

a) -2KJb) 1 KJc) -1KJd) 3KJe) 2KJ

7. Un sistema gaseoso pasa del estado A al estado C siguiendo el camino ABC.Calcular el trabajo realizado por el gas en el proceso ABC.

a) 2,3 KJb) 1,5 KJc) 1,2 KJd) 1,3 KJe) 1,8 KJ

8. En el proceso AB el gas pierde 4 KJ de calor y su energía en el estado A es600 J. Determinar la energía del gas en el estado B.

a) 1 KJb) 2KJc) -1KJd) -3KJe) -2KJ

9. Cuando un sistema gaseoso pasa del estado A al estado C siguiendo elcamino ADC 1,2 KJ de calor ¿Cuánto calor recibe el sistema a lo largo delcamino ABC?


10. El proceso de la figura lo realiza un gas ideal. Si la temperatura en el punto Aes 27°C y en el punto B 127°C, encontrar el trabajo realizado por el gas.

a) 1420 Jb) 1880 Jc) 1670 Jd) 1200 Je) 1300 J

11. La siguiente gráfica representa un proceso termodinámico que ejecuta un gasideal. En el proceso AB se suministran 6 KJ de calor al gas y en el procesoBC 2 KJ. Hallar el calor suministrado en el proceso directo AC.


12. Una máquina de Carnot absorbe en cada ciclo 6 KJ de un foco caliente yentrega 3 KJ a un foco frío. Si la temperatura del foco frío es 27°C ¿Cuál es latemperatura del foco caliente?

a) 600°C b) 100°C c) 200°C d) 327°C e) 127°C

13. Una maquina que opera con el ciclo de Carnot ejecuta la expansiónisotérmica a 127°C durante la cual recibe 2 KJ de calor. Si la comprensiónisotérmica se efectúa a 27°C, hallar el trabajo neto.

a) 0,2 KJ b) 0,5 KJ c) 0,4 KJ d) 0,3KJ e) 0,1 KJ

14. Una máquina térmica que ejecuta el ciclo de la figura absorbe 150 KJ deenergía en cada ciclo. Encontrar el calor liberado en cada ciclo.

a) 126 KJb) 140 KJc) 105 KJd) 100 KJe) 110 KJ

A

B

0,2 0,6

P(Pa)

3000

2000

V(m )3

P(Pa)

4000

2000A

BC

V(m )3

0,2 0,3 0,6

P(Pa)

8

0,3 0,6

B A

V(m )3

P(Pa)

4000

0,5 0,9

B

A

V(m )3

P(Pa)

1200

0,3 0,8

B

AV(m )3

800

C

D

P(Pa)

30

0,02 0,05

B

A

V(m )3

80 C

P(Pa)

6x10

0,4 1

AV(m )3

2 x10

D

4

4

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

53

15. La temperatura del foco caliente en una máquina de Carnot es 227°C y la delfoco frío 27°C. Si se sabe que el rendimiento real es el 25% del rendimientoideal, hallar el rendimiento real.

a) 8% b) 5% c) 12% d) 10% e) 11%

16. Una maquina térmica que ejecuta el ciclo de la figura entrega en cada ciclo3000 cal al foco frío ¿Cuál es su eficiencia? (cal=4,2 J)

a) 39%b) 49%c) 28%d) 32%e) 50%

17. Si la eficiencia de una máquina de Carnot es 50% estando su foco caliente a227°C ¿En cuántos grados centígrados hay que disminuir la temperatura desu foco frío para que su eficiencia sea 60%?

a) 100°C b) 50°C c) 60°C d) 80°C e) 40°C

18. Una máquina térmica de Carnot opera con una temperatura de foco calientede 3000 K y temperatura de foco frío de 1500 K. El calor liberado por estamáquina es absorbido por una segunda máquina de Carnot cuya eficiencia esla mitad de la primera. Si la temperatura del foco caliente de la segundamáquina es 1500 K, calcular la temperatura del foco frío de la segundamáquina.

a) 1000 K b) 1200 K c) 1125 K d) 10050 K e) 900 K

19. Si el rendimiento térmico de la máquina que ejecuta el ciclo de la figura es 2/3y la máquina entrega en cada ciclo 1 KJ de calor ¿Cuánto calor absorbe encada ciclo?

a) 2 KJb) 3 KJc) 1,5 KJd) 5 KJe) 4 KJ

20. Una máquina térmica ejecuta el ciclo de la figura con una eficiencia del 20%.Cuando el gas pasa del estado A al estado B por el camino 1 absorbe 800 Jde calor y ejecuta 500 J de trabajo. Cuando el gas vuelve al estado A por elcamino 2 ¿Cuánto calor libera el gas y que trabajo se realiza sobre él?

a) 640 J, 160 Jb) 500 J, 120 Jc) 400 J, 160 Jd) 350 J, 130 Je) 640 J, 340 J

TEMA 13

CAMPOS ELÉCTRICOS

1. La Electrostática.- Es una parte de la física que estudia los fenómenosrelacionados con las cargas eléctricas estáticas (reposo), que se ponen demanifiesto por el frotamiento de los cuerpos.Todo cuerpo está constituido de partículas subatómicas tales como electrones,

protones, neutrones y otras de vida efímera. De las partículas estables los únicos

que tienen carga eléctrica son los electrones y los protones.

2.- Propiedades de las cargas eléctricas. La carga eléctrica es una propiedadfundamental de la materia. Entre cuerpos que tienen esta propiedad semanifiestan fuerzas de atracción o de repulsión. El hecho de que existan dostipos de fuerzas, se debe a la existencia de dos clases de carga eléctrica que sedenominan positiva y negativa, protones y electrones respectivamente, entrequienes se establecen fuerzas de atracción (signos opuestos)y fuerzas derepulsión(mismo signo).

P(Pa)

0,2 1V(m )3

4x10

2 x104

4

P(Pa)

3

1V(m )3

4

3 4

P

V

A B

1

2

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

54

La carga eléctrica de un cuerpo está dada por la diferencia entre el número deprotones y electrones que están presentes en él. Un cuerpo es eléctricamenteneutro, si el número de protones y electrones son iguales.Tendrá carga positiva si tiene exceso de protones y negativa si tiene exceso deelectrones.La carga eléctrica mínima que se da en la naturaleza es la carga del electrón o ladel protón, a la cual se le denomina carga elemental. En consecuencia la cargade cualquier cuerpo es un múltiplo entero de la carga elemental, esto es:

q = Carga del CuerpoeNq .= N = Número entero

e = Carga elemental

El valor de la carga elemental fue determinada por el físico R.Millikan y es: e = 1,6x10-19 C

En términos modernos se dice que la carga q está cuantizada, es decir, queexiste como pequeños paquetes discretos de carga.Otra propiedad de la carga eléctrica es que siempre se conserva, esto quieredecir, que cuando un cuerpo se frota contra otro no se crea carga en el proceso,estos cuerpos se electrizan por transferencia de carga de un cuerpo a otro, o seaque un cuerpo se cargará negativamente por la cantidad de electrones que ganadel otro cuerpo y éste se cargará positivamente por el número de electronesperdidos o protones que quedan libres.

3. Aisladores y Conductores.- Aquellos materiales que tienen la facilidad dedesplazar cargas eléctricas se llaman conductores, son buenos conductores losmetales en general, el agua impura, la madera húmeda, el cuerpo humano. Porotro lado, los aislantes son aquellos que no permiten o dificultan el movimiento delas partículas cargadas eléctricamente. Aquellos materiales que tienen pocafacilidad de trasportar cargas eléctricas se denominan semiconductores, que enrealidad son materiales intermedios entre conductores y no conductores oaisladores.

4. Ley de CoulombFue establecida en 1875 por Charles Agustín Coulomb.

Establece que:"La fuerza de interacción en el aire o vacío entre dos partículaseléctricas es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia quelas separa."

F = Fuerza eléctrica

q1 , q2 = Cargas eléctricas

r = r12 = Distancia entre q1 y q2

K = Constante de proporcionalidad que depende del medio

En el vació o aire2

29

0 109C

NmKK ×==

=0ε Permitividad del aire o vacío

También:04

1πε

=k ;2

212

0 1085,8NmC−×=ε

Entonces:2

21

0

.4

1rqqF

πε=

5. Unidades de carga eléctrica

5.1 Carga elemental qe = e = carga electrónica e = -1,6x10-19 C qp = p = carga protónica p = +1,6x10-19 C5.2 En el S.I.U.

En el S.I. la unidad de carga eléctrica es el Coulomb (C) y se define como "lacarga que colocada frente a otra igual en el vacío a una distancia de un metro laatrae o repele con la fuerza de 9x109 N"

5.3 Valores importantes:- Masa del protón y neutrón: mp = mn = 1,67x10-27 Kg- Masa del electrón: me = mp => me=9,11x10-31 Kg

1836- Coulomb (C) = 6,25x1018 e

212

21

rqqkF =

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

55

6. Campo EléctricoSi en un punto del espacio se coloca una carga de prueba (qo), que es cualquiercarga puntual positiva, y si sobre ella se ejerce una fuerza eléctrica, se afirma queen dicho punto existe un campo eléctrico, en caso contrario se afirmará que enese punto no existe un campo eléctrico.Se puede generalizar que un Campo eléctrico es el espacio que rodea a unacarga y donde se manifiestan las acciones eléctricas de atracción o repulsión,esto quiere decir que son las cargas las que crean el campo eléctrico.

6.1 Intensidad de Campo Eléctrico (→

E )Es una magnitud vectorial, que sirve para describir cuantitativamente el campoeléctrico creado por una carga q.La intensidad del campo eléctrico es la fuerza que el campo eléctrico ejerce sobrela carga de prueba ubicada en un punto de dicho campo eléctrico.

magnitud

Unidad deCNEE =

→

: S.I

6.2 Intensidad de Campo Eléctrico debido a una carga puntual.

a) Sabemos que:0q

FE =

b) Por la ley de Coulomb:

c) Reemplazando en:

6.3 Campo Eléctrico de una distribución discreta de cargas.

Sean las cargas q1,q2,...qn que crean uncampo eléctrico en el punto P, dondeubicamos la carga de prueba qo, laintensidad del Campo Eléctrico en elpunto P debido a dichas cargas será lasuma vectorial de las intensidades deCampo Eléctrico que cada carga ejercesobre la carga de prueba en dicho punto.

Donde:

→→→→

+++= nEEEE .....21 ;2

n

nn r

qkE =

∑→→

= iEE

6.4 Campo Eléctrico Uniforme(CEU) Se tiene un campo eléctrico uniforme,cuando se carga dos placas paralelas con igual cantidad de cargas y de signocontrario, en cualquier punto del Campo Eléctrico el vector campo eléctrico es elmismo (módulo, sentido y dirección). Las líneas de fuerza son paralelas.

Ecuaciones:

qmaEmaF

qFE =⇒==• ,

mEqa =•

tm

qEvtav .. =⇒=•

22

22 tmEqeate =⇒=•

oqFE→

→

=

oqFE =

2rqqkF o=

2

2

rqkE

qr

kqq

Eo

o

=⇒=

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

56

PROBLEMAS

1. Se tiene tres cargas puntuales q1 = 1x10-3c , q2 = 3 x 10--4c y q3 = - 16 x 10-4cdistribuidos como muestra la figura Hallar la expresión vectorial de la fuerzaresultante sobre q1

a) 300→

i + 500→

j

b) 300→

i + 400→

j

c) 300→

i - 400→

j

d) 400→

i + 300→

j

e) 400→

i - 300→

j

2. Dos cargas puntuales q1=+4C y q2=+1C están separadas entre sí una distancia de3m. ¿A qué distancia de q1 se debe colocar una carga q=+9C para que la fuerzaresultante sobre ella sea nula en Newton?

a) 1m b) 2m c) 3m d) 1,5m e) 0,5m

3. En los vértices de un triángulo equilátero de 0,3m de lado se colocan tres cargaspuntuales de magnitudes q1=+10 C; q2=+20 C y q3=-30 C. Determinar lamagnitud de la fuerza resultante que actúa sobre q1 en Newtons.

a) 2,6 x1013 b)1,6x1013 c)3,6x1013 d) 1,8 x1013 e)6,5 x1013

4. Se tiene dos cargas puntuales q1=+3Cµ y q2=-12µC separadas por una distanciade 1m. Determinar a que distancia medida a la izquierda de q1 será nulo el campoeléctrico resultante debido a las cargas.

a) 1m b) 2m c) 3m d) 1,5m e) 0,5m

5. Dos cargas puntuales q1= 16 nC y q2=9nC estan separadas entre si 5 m. Calcularel modulo del campo electrico en un punto situado a 4 m de q1 y a 3 m de q2

6. En los vértices de un cuadrado de lado "a" se colocan las cargas q y Q(fig).¿Cuál debe ser la relación entre q y Q para que el Campo Eléctrico resultante enel vértice A sea cero?a) q= -2 Qb) Q=-2 qc) Q=2q

d) Q=-2 2 qe) Q=-q

BANCO DE PREGUNTAS

1. Calcular la fuerza de atracción entre un protón y un electrón cuando estánseparados entre sí una distancia de 3 pm (e=1,6x10-19C)

a) 22,3 µN b) 25,6 µN c) 15,2 µN d) 12,7 µN e) 18,3 µN

2. Si un cuerpo gana 5x1014 electrones ¿Qué carga adquiere? (e=1,6x10-19C)

a) -80µc b) +80 µc c) -60 µc d) +60 µc e) -50 µc

3. En un laboratorio de física se miden experimentalmente las magnitudes decuatro cargas eléctricas y se obtienen los siguientes resultados.Q1=+5,6µc , Q2= - 12,8 µc , Q3= +14,4 µc , Q4= +10,4 µc.¿Cuáles de los resultados anteriores son correctos?

a) Q1 y Q2 b) Q1 y Q4 c) Q2 y Q4 d) Q3 y Q4 e) Q2 y Q3

-+

+

6m

3m

q2

q1 q3

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

57

4. Dos cargas puntuales q1= +8C y q2=+4C están separadas entre sí 9 m.Calcular la fuerza resultante ejercida sobre una carga q3=-1C situada a 3 mde q1 en el segmento que une q1 con q2.

a) 9 GN b) 6 GN c) 7 GN d) 5 GN e) 8 GN

5. Dos cargas punto q1=+2µc y q2=+18µc están separadas entre sí 2 m ¿A quedistancia de q1 en el segmento que une las cargas se debe colocar unacarga+q para la fuerza resultante sobre ella sea nula?

a) 0,5 m b) 0,3 m c) 0,2 m d) 0,4 m e) 0,6 m

6. Cuando dos cargas iguales son colocadas a 1 m de distancia la fuerza entreellas es F. Si la distancia entre ellas aumenta hasta 2m y las cargas seduplican ¿Cuál será la fuerza de repulsión?

a)4F b)

2F c) F d) 2F e) 4F

7. En la figura las pequeñas esferas tienen cargas +q y –q respectivamente y lamisma masa m. Si el sistema esta en equilibrio, hallar la distancia d.

a)q

Kmg b)mgKq c)

Kmgq

d)q

mgK e)mgKq

8. Tres cargas puntuales q1=+3C, q2=- C920

y q3=+4C están distribuidos como

muestra la figura. Hallar la fuerza resultante ejercida sobre q3.

a) 12 GN b) 5 GN c) 8 GN d) 11 GN e) 13 GN

9. Se tiene dos pequeñas esferas cargadas positivamente, la suma de lascargas que contienen es 5 nc. Si la fuerza de repulsión entre ellas es 6 nN,cuando están separadas 3 m ¿Cuál es la carga de cada esfera?

a) 2 nc y 3 nc b) 1 nc y 4 nc c) 1,5 nc y 3,5 ncd) 1,2 nc y 3,8 nc e) 1,8 nc y 3,2 nc

10. Dos pequeñas esferas que tienen el mismo peso w=0,96 N y la misma cargaq están unidas a hilos de seda de 2,6 m de longitud y cuelgan de un puntocomún. Si la distancia entre las esferas es 2 m ¿Cuánto vale la carga q?(g=10m/s2)

a) b) c)

d) e)

11. Calcular la intensidad del campo eléctrico en un punto situado a 3 cm de unacarga puntual de -7 nc.

a) 5x104 N/C b) 6x104 N/C c) 7x104 N/C d) 4x104 N/C e) 7x105 N/C

12. Dos cargas puntuales q1=-10µc y q2= 6µc están separados entre sí 6 cm.Determinar el módulo del campo eléctrico resultante en el punto medio delsegmento que une las cargas.

a) 110 MN/C b) 40 MN/C c) 160 MN/C d) 150 MN/C e) 130 MN/C

13. Dos cargas puntuales q1=-2µc y q2=-8µc están separadas entre sí 12 cm ¿Aqué distancia de q1 será nulo el campo eléctrico resultante debido a lascargas?

a) 2 cm b) 3 cm c) 5 cm d) 4 cm e) 6 cm

14. Encontrar el módulo del campo eléctrico resultante en el punto medio de lahipotenusa del triangulo rectángulo isósceles de la figura.

a)2

4aKg b)

2

3akq c)

2

2akq

d)2

5aKq e)

2aKq

Mm

Mm Q-q

Q+q

Dd

Qq1

3m

Qq3

Qq2

4m

5m

Qq Qq2m

Qq

Qq

Aa

AaQq

Cµ3

50 Cµ3

20

Cµ331

Cµ322

Cµ3

40

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

58

15. En el sistema mostrado en la figura q1=-3nc y q2=5nc. Encontrar el módulo delcampo eléctrico resultante en el punto P.

a) 5 N/C b) 7 N/C c) 14 N/C d) 8 N/C e) 6 N/C

16. En dos vértices de un triangulo rectángulo se colocan las cargas puntoq1=3nc y q2= 4nc. Determinar el módulo del campo eléctrico en el vértice A.

a) 2 11 N/Cb) 3 17 N/Cc) 2 17 N/Cd) 3 14 N/Ce) 3 13 N/C

17. En los vértices de un cuadrado están colocadas las cargas Q, 2Q, 3Q y 4Q.Si la carga Q genera en el centro del cuadrado un campo eléctrico de25 2 N/C. Encontrar el módulo del campo eléctrico resultante en el centrodel cuadrado.

a) 100 N/C b) 50 N/C c) 25 N/C d) 75 N/C e) 125 N/C

18. En tres vértices de un cuadrado de lado a se colocan las cargas q y Q comose muestra en la figura. Encontrar la relación entre q y Q para que el campoeléctrico resultante en el vértice P sea nulo.

a) q = 2Qb) q= -2Qc) q= - 2 Q

d) q= 2 2 Q

e) q= 2 2 Q

19. En dos vértices del triangulo rectángulo ABC se colocan las cargas q1= -64µcy q2. Hallar la magnitud de q2 para que el campo eléctrico resultante en elvértice A sea horizontal.

a) 130 µc b) 125 µc c) 120 µc d) 160 µc e) 110 µc

20. En un sistema de coordenadas cartesianas dos cargas puntuales q1= -16nc yq2=100nc se ubican q1 en el origen y q2 en el punto (3,0)m. Hallar la expresiónvectorial del campo eléctrico resultante en el punto (0,4)m.

a) )/(1,172,20 CNji→→

−

b) )/(3,121,10 CNji→→

+−

c) )/(8,196,21 CNji→→

+−

d) )/(6,218,19 CNji→→

−

e) )/(936 CNji→→

−

Qq2Qq1

30°

P

3m 3m

Qq2

Qq1

A

3m

2m

Qq

Aa

Aa

Aa Aa

Q

Q

P

B

5m 4m

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

59

TEMA 14

POTENCIAL ELÉCTRICO

Diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico.

Es el trabajo por unidad de carga realizado por una fuerza externa, que en todoinstante equilibra la fuerza del campo eléctrico, al trasladar una carga de prueba deun punto a otro de un campo eléctrico.

extF→

=Fuerza externa

F→

=Fuerza del campo eléctrico

→→

−= FextF

qWVV AB

BA→=−

(1)

VA -VB = Diferencia de potencial entre los puntos A y B.WB→A = Trabajo realizado de B hacia A al trasladar la carga q.

PotencialSi se considera el caso de que la carga q, se traslada desde el infinito hasta ciertopunto del campo eléctrico, sin aceleración y haciendo el convenio de que elpotencial en el infinito es igual a cero se tiene:

qWVV AB

BA→=− ; 0==⇒∞→ ∞VVB B y AW →∞

qWV A

A→∞=⇒

Al trabajo realizado por la fuerza externa al trasladar la carga q del infinito al punto Adel campo eléctrico se le denomina energía potencial eléctrica de la carga q en elpunto A, o sea:

AW →∞ = U (Energía potencial eléctrica de q en A)Entonces el potencial en un punto de un campo eléctrico es la energía potencialeléctrica por unidad de carga

qUV =

(2)

Unidad de PotencialEn el S.I. la unidad de potencial es el voltio (V)

CoulombioJoulevoltio =

; CJV =

Potencial eléctrico debido a cargas puntuales

a) Una carga puntualEl potencial de la carga puntual q en el punto A está dado por:

(3) V = Potencial de q en A r = Distancia de la carga q al punto A

rKqV =

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

60

b) Un grupo de cargas punto.

El potencial total en el punto A es igual a lasuma de los potenciales V1,V2,...Vn creados porq1,q2,...qn respectivamente o sea:

V = V1 + V2+...Vn ;1

11 r

KqV = ,

2

22 r

KqV = , ... ,n

nn r

KqV =

1

11 r

KqV = +2

2

rKq

+ ..... +n

n

rKq

⇒

+++=

n

n

rq

rq

rqKV ...

2

2

1

1 ∑=

=n

i i

i

qqKV

1 (4)

Nota: Al aplicar las ecuaciones (1),(2),(3) y (4) se debe reemplazar el valor de lacarga considerando su signo.

Problemas

1. Se tiene dos cargas puntuales q1=+60nC y q2=+40nC separadas entre sí unadistancia de 70cm. A 30cm de q1 hay un punto P en el segmento que une lascargas ¿Cuál es el potencial en el punto P?

a) 2,5KV b) 2,6KV c) 2,7KV d) 2,8KV e) 2,9KV2. Dos cargas puntuales q1=+9µC y q2=-3µC están separadas una distancia de

60cm. Calcular la energía potencial de una carga punto q=+3µC situada en elpunto medio del segmento que une q1 con q2

a) 0,54J b) -0,54J c) 0,45J d) -0,45J e) 0,34J3. Se tiene una carga q1=-2x10-4C como muestra la figura. Calcular el trabajo que

debe realizar la fuerza externa para llevar una carga q=+4x10-5C desde B hastaA.

a) 36Jb) 63Jc) -36Jd) -63J e) 3,6J

4. Tres cargas puntualesq1=+40µC, q2=-50µC yq3=+30µC están situadas en tresvértices de un rectángulo cuyoslados miden 40 cm y 30 cm comomuestra la figura. Calcular eltrabajo que debe realizar lafuerza externa al trasladar unacarga q=-2µC desde el punto Ahasta el punto B.a)0,63J d)0,36Jb)-0,63J e)-0,36Jc)6,3J

BANCO DE PREGUNTAS

1. El potencial eléctrico de una carga puntual en un punto es 20V. Determinar elnuevo potencial cuando la distancia se cuadruplica.

a) 2 V b) 3 V c) -3 V d) -5 V e) 5 V

2. ¿Cuál es la carga puntual que a una distancia de 90 mm crea un potencial de-0,1V?

a) 10-12C b) -10-12C c) 10-13C d) 10-11C e) -10-11C

3. Dos cargas puntuales q1=+8µc y q2=-4µc están separadas entre sí 12 cm.Calcular el potencial debido a las cargas en un punto situado a 8 cm de q1 enel segmento que une las cargas.

a) 18 µV b) -18 µV c) 0 d) 1,8 V e) -1,8 V

4. Dos cargas puntuales q1=+2C y q2=-1C están separadas entre sí 60 cm ¿Aqué distancia de q1 en el segmento que une las cargas será nulo el potencialdebido a las cargas?


5. Dos cargas puntuales q1= 16nc y q2= 20nc están separadas entre sí 8 cm.Hallar la energía potencial de una carga q=-5nc situada en el punto medio delsegmento que une q1 con q2.

a) 40,5 µJ b) -40,5 µJ c) 20,5 µJ d) -20,5 µJ e) -30,5 µJ6. Haciendo referencia a la figura q1=8x10-8C q2=-14x10-8C y el potencial total

es P es 90V, hallar X.

1m 1m

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61

a) 2 m b) 4 m c) 3 m d) 5 m e) 1,5 m

7. En la figura si el potencial en el punto A es 15V y el campo eléctrico en elpunto B es 45/4 N/C, hallar el valor de q.

a) 8 nC b) -5 nC c) 5 nC d) -8 nC e) 4 nC

8. Hallar la energía potencial de una carga q=3µc cuando se sitúa en el punto Pde la figura si q1= 2nc y q2= -24nc

a) 9 µJ b) 27 µJ c) -27 µJ d) 12 µJ e) -12 µJ

9. Cuatro cargas punto q1= 2µc, q2= -3µc, q3= 4µc y q4= -5µc se ubican en lasvértices de un cuadrado de 2 m de lado. Encontrar la energía potencial deuna carga q= -1,5µc situado en el centro del cuadrado.

a) 18 mJ b) -15 mJ c) 27 mJ d) -30 mJ e) -27 mJ

10. Cuatro cargas puntuales q1= 4 nc, q2= -8nc, q3= 5nc y q4= -10nc estáncolocadas en el mismo orden en un rectángulo de dimensiones 3m x 8mcomo se muestra en la figura. Hallar el potencial en el punto medio del ladoque une q1 y q2.

a) 2 Vb) -9 Vc) 9 Vd) -18 Ve) 18 V

11. Cuatro cargas puntuales Q, 2Q, 3Q y 4Q se sitúan en los vértices de uncuadrado de 2m de lado. Si el potencial que crea la carga Q en el centro delcuadrado es 9 2 V, calcular el potencial total en el centro del cuadrado.

a) 30 2 V b) 90 2 V c) -90 2 V d) 50 2 V e) -50 2 V

12. Tres cargas punto q1= -4µc, q2= -6µc y q3= 12µc se ubican en tres vértices deun triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 4 m. Calcular eltrabajo necesario para trasladar una carga q= -2µc desde el infinito hasta elpunto medio de la hipotenusa.

a) 2 mJ b) -9 mJ c) 9 mJ d) -18 mJ e) 18 mJ

13. Cuatro cargas puntuales iguales cada una de carga 2nc se encuentranubicadas en los vértices de un cuadrado de 10 2 cm de lado ¿Cuántotrabajo se requiere para llevar una carga q= - 6µc desde el centro delcuadrado hasta el infinito?

a) 4,32 mJ b) -4,32 mJ c) 7,2 mJ d) -7,2 mJ e) 5,4 mJ

14. Tres cargas puntuales q1= 5µc, q2= -10µc y q3= 15µc se ubican en 3 vérticesde un rectángulo de dimensiones 4m x 3m. Hallar la carga que se debe ubicaren el cuarto vértice para que el potencial total en el centro del rectángulo seanulo.

a) 10 µc b) -10 µc c) 5 µc d) -5 µc e) 8 µc

15. Dos cargas puntuales q1= 2µc y q2= - 4µc están distribuidas como muestra lafigura. Hallar el potencial en el punto P.

a) 0,8 MV b) 0,9 MV c) -0,9 MV d) 0,7 MV e) 0,6 MV

16. Una carga punto q1= 6µc se ubica como muestra la figura. Hallar el trabajoexterno para trasladar un carga q= -3µc del punto A al punto B.

a) 54 mJ b) -54 mJ

Qq2Qq1P1m 7m

Qq B 1m A

Qq2Qq1

P

Xx 14m

Qq4Qq1

Qq3Qq2

M 8m

3m

P

2 cm 2 cm

Qq1 B4m

A2m

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

62

c) 27 mJ d) -27 mJ e) 15 mJ

17. En un sistema de coordenadas cartesianas una carga puntual q1= 2µc seubica en el origen y una segunda carga q2= -10µc se ubica en el punto (0,3)m. Calcular el trabajo externo que se debe realizar para trasladar una cargaq= 3µc del punto A (4,0) m al punto B (4,3) m.

a) 162 mJ b) -162 mJ c) 1,62 mJ d) -16,2 mJ e) 16,2 mJ

18. Una carga puntual q= -13nc se ubica en el origen de su sistema decoordenadas cartesianas. Determinar el trabajo de la fuerza externa paratrasladar una carga q= 10nc del punto A (12,5) m al punto B (-5,-12) m.

a) 36 J b) -18 J c) 18 J d) 0 e) -36 J

19. Dos cargas punto q1= +8nc y q2= -4nc están separadas entre si 2 cm ¿Quétrabajo externo se debe efectuar para situar estas cargas a una distancia de 8cm entre sí?

a) 10,8 µJ b) -10,8 µJ c) 1,08 µJ d) -1,08 µJ e) 108 µJ

20. En un cuadrado de lado a hay cuatro cargas Q ubicadas en cada vértice¿Qué trabajo se debe realizar sobre una de las cargas para moverla hasta elcentro del cuadrado?

a) 425(2

−aKQ

) b) 42( −a

KQ)

c) 425(2

+a

KQ) d) )425(

2−

aKQ

e) )425(2

2

−a

KQ

TEMA 15

CAPACITANCIA

Definición de capacitancia.-

Capacidad de un condensador es una magnitud física escalar que nos expresa lacantidad de carga “q” que se le debe entregar o sustraer a un cuerpo conductor,para modificar en una unidad el potencial eléctrico en su superficie, es decir es larazón entre el valor absoluto de la carga de uno de los conductores, Q, y ladiferencia de potencial entre las armaduras, V = V+-V-

C: Capacitancia

Q: Carga eléctrica VQC =

V: Potencial eléctrico

Nota: La capacitancia es una magnitud independiente de la carga del condensador yde la diferencia de potencial, sólo depende de la forma geométrica de losconductores y del medio que existe entre ellos.

Unidad de la capacitancia.-En el S.I. la unidad de la capacitancia es el Faradio

VC==

VoltioCoulombFaradio

Siendo el Faradio una unidad muy grande, en la práctica se utiliza los submúltiplossiguientes: 1 micro Faradio = 1uF = 1x10-6 F. 1 pico Faradio = 1pF = 1x10-12 F. 1 mili Faradio = 1mF = 1x10-3 F. 1 nano Faradio = 1nF = 1x10-6 F.

Definición de condensador,.-Es un dispositivo electrostático que sirven para almacenar cargas eléctricas porpoco tiempo a bajo potencia. Un condensador consiste de dos superficiesconductoras (armaduras o placas) que poseen cargas iguales y opuestas, estasestán separadas por una sustancia aisladora a la que se llama Dieléctrico; una

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63

distancia que es significativamente pequeña en relación a las dimensiones de lassuperficies. Entre los dos conductores existe el campo eléctrico y una diferencia depotencial V+-V- (Ver Fig. )

Un condensador es representado por el símbolo:

Capacitancia de un Condensador de Láminas Paralelas.-

Es aquel dispositivo formado por dos placas conductoras paralelas, con igualmagnitud de carga pero de signos diferentes +Q y –Q y separadas una distancia d.La distancia de separación entre las placas debe ser relativamente menorcomparado con las dimensiones de placa, con el fin de obtener un campohomogéneo entre las placas.Se entiende por carga de un condensador al valor absoluto de la carga q de una delas placas.La capacidad eléctrica de un condensador es directamente proporcional al área delas placas e inversamente proporcional a la distancia de separación entre ellas. (VerFig.)

0ε = Constante eléctricaC = Capacitancia

A = Área (m2)dAC 0ε=

d = Distancia (m)0 = 8,85x10-12 C2 / Nm2

Cuando un aislante (dieléctrico) llena completamente el espaciocomprendido entre las placas del condensador, (Ver Fig.) sucapacidad es:

dAC ε=

Donde:

ε = Permitividad eléctrica del dieléctrico 0εε dK=Kd = Constante del dieléctrico (magnitud adimensional)Nota: La constante dieléctrica del vacío es Kd = 1

Asociación de condensadores:Asociar dos o mas condensadores, es reemplazar por uno solo que tenga losmismos efectos.

Asociación de Condensadores en Serie.-

Dos o más condensadores están en serie, cuando la placa positiva de uncondensador, se encuentra cerca o conectada a la placa negativa del otro y asísucesivamente. En este caso, las cargas que circulan en cada condensador es lamisma. (Ver Fig.)

Propiedades:1. Todos los condensadores almacenan la misma carga:

...21 === QQEQ

2. La diferencia de potencial equivalente es igual a la suma de las diferencias depotencial de los condensadores asociados:

VE = V1 + V2 + …

3. La inversa de la capacitancia equivalente es igual a la suma de las inversas delas capacitancias de los condensadores asociados.

...2

11

11 ++= CCEC

Asociación de Condensadores en Paralelo.-

Dos o más condensadores estarán en paralelo, cuando las placas positivas estánconectadas entre sí, lo mismo que las placas negativas. En este caso la diferenciade potencial en cada condensador es la misma. (Ver Fig.)

Q1 QQ2

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64

Propiedades

1. Todos los condensadores tienen la misma diferencia de potencial:VE = V1 + V2 + …

2. La carga equivalente es igual a la suma de las cargas de loscondensadores asociados:

...21 === QQEQ3. La capacitancia equivalente es igual a la suma de las capacitancias de los

condensadores asociados:

CE = C1 + C2 + …

Energía de un condensador cargado:

Un condensador cuando se carga almacena energía dentro del campo eléctricodentro de sus armaduras (placas) y esta energía es igual al semiproducto de lacapacitancia del condensador o capacitor por el cuadrado de la diferencia depotencial entre sus armaduras.

2

2CVU = ;2

VQU = ;C

QV2

2

= ; Con:CQV =

PROBLEMAS

1. Un condensador está formado por dos placas planas paralelas separadas poruna capa de parafina de 0.1 cm de espesor, siendo el área de cada armadurade 100 cm2. Se conecta el condensador a una fuente de tensión de 100V .Calcular la capacidad que adquieren las armaduras y la energía almacenada enel condensador. (Kd parafina =2)

a) 8,85 nF b) 17,7 pF c) 8,85 pF d) 17,7µF e) 8,85 µF1,77x -7 J 8,85x10-7 J 1,77J 8,85x 10-6 J 8,85x10-7J

2. Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos a y b del grupo decondensadores conectados como indica la Fig.

a) 3 µFb) 4 µFc) 2 µFd) 9 µFe) 12 µF

3. Se tiene dos capacitores cuyas capacitancias son C1 y C2 cargados a diferenciade potencial V1 = 400V y V2 = 250V, respectivamente. Luego se unen en paraleloresultando que la diferencia de potencial equivalente es 350V. Hallar C1

sabiendo que C2=12µF.

a) 28µF b) 30µF c)24µF d) 64µF e)32µF

4. La diferencia de potencial entre dos puntos a y b del sistema de condensadoresmostrados en la fig. es de 90V. Determinar la carga que circula por elcondensador de 2µF y la caída de potencial en el condensador de 6µF.a) 180µC; 30Vb) 60µC; 60Vc) 180µC; 60Vd) 60µC; 30Ve) 120µC; 30V

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65

5. Entre las placas de un condensador de placas paralelas se introduce una placade un conductor perfecto cuyo espesor es a, como se muestra la Fig. ¿Cuál es larelación entre las capacitancias antes y después de introducir el conductor?a) 2 - a/bb) 2 - b/ac) 1 - 2a/bd) 1 - a/be) 1 - b/a

Banco de Preguntas1. Se tiene un condensador de láminas paralelas con dialéctrico (kd=5). El área

de cada placa es 20 cm2 y la distancia entre placas es 5 cm. Encontrar lacapacitancia del condensador.

a) 8,85 pF b) 1,77 pF c) 17,7 pF d) 0,354 pF e) 3,54 pF

2. Encontrar la carga de un condensador de láminas paralelas, en el vacio elcual esta formado por dos placas de 90 cm2 de área y separadas entre sí unadistancia de 3 mm, cuando la diferencia de potencial entre sus placas es 100V.

a) 26,55 nC b) 1,77 nC c) 2,655 nC d)88,5 nC e) 17,7 nC

3. Las placas de un condensador de láminas paralelas son círculos de 2 cm deradio y la distancia entre ellas es 4 mm. Si se aplica al condensador unadiferencia de potencial de 100 V, encuentre la energía que almacena.

a) 2,752 π nJ b) 8,85 π nJ c) 88,5 π nJ d) 4,425 π nJ e) 27,52 π nJ

4. Se tiene un condensador de láminas paralelas cuya capacitancia es 4 pF.Encontrar la capacitancia de otro condensador cuyas láminas tengan un áreatriple y estén separadas una distancia doble.

a) 6 pF b) 6 µF c) 5 pF d) 5 nF e) 8 pF

5. El proceso de carga de un capacitor viene dada por el siguiente grafico dondela carga Q esta en µC y la diferencia de potencial V en voltios. Hallar laenergía almacenada en el condensador cuando Q= 9µC.

a) 12,5 µJb) 13,5 µJc) 10,5 µJd) 14,5 µJe) 16,5 µJ

6. El condensador de láminas paralelas de la figura contiene dos dialéctricos deconstantes K1 y K2. Si A es el área de cada lámina y d la distancia entreellos, encontrar la capacidad del condensador.

a) )2(2

KK1doA

+∈

b) )21(2

KKdoA

+∈

c) )231(2

KKdoA

+∈

d) )213( KKdoA

+∈

e) )231(4

KKdoA

+∈

K1

K23A4

A4

7. Hallar la capacidad equivalente del sistema de condensadores de la figura.


8. Hallar la capacitancia equivalente entre los puntos A y B de la conexión decondensadores de la figura.


9. Cuando dos capacitores se conectan en paralelo su capacitancia equivalente es 9 µFy cuando se conectan en serie es 2 µF. Hallar la capacitancia de los capacitores.

a) 2 µF y 7 µF b) 3 µF y 6 µF c) 4 µF y 5 µFd) 1 µF y 8 µF e) 2,5 µF y 6,5 µF

36

12

9

a(uc)

V(v)

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66

10. Encontrar la energía que almacena el sistema de condensadores de lafigura.

a) 72 µJb) 64 µJc) 30 µJd) 32 µJe) 60 µJ

11. Determinar la carga que almacena el siguiente sistema de capacitores.

a) 2 mCb) 6 mCc) 4 mCd) 8 mCe) 3 mC

12. Si el sistema de condensadores de la figura almacena 216 µJ de energía,determinar la diferencia de potencial entre los puntos A y B.

a) 10 Vb) 15 Vc) 14 Vd) 12 Ve) 13 V

13. Para los condensadores idénticos de la figura, encuentre la caída depotencial entre los puntos A y B.

a) 50 Vb) 40 Vc) 70 Vd) 60 Ve) 80 V

14. Un condensador C1= 1 µF cargado de una diferencia de potencial de 8 V, seconecta en paralelo a otro condensador descargado C2= 3µF. Hallar la cargaque adquiere el condensador C2.

a) 2 µc b) 8 µc c) 6 µc d) 5 µc e) 1 µc

15. Se tiene dos condensadores de capacidades C1= 2 µF y C2= 4 µFconectados en paralelo a una diferencia de potencial de 20 V, luego loscondensadores se unen en serie, hallar la diferencia de potencial de cadacondensador después de la unión.

a) 10 V y 35 V b) 15 V y 30 V c) 14 V y 32 Vd) 5 V y 40 V e) 12 V y 33 V

16. Tres condensadores C1= 2 µF, C2= 5 µF y C3= 3 µF están conectados enparalelo. Si la carga del condensador C2 es 600 µC, hallar la cargaequivalente.

a) 1,2 mC b) 1,4 mC c) 1,3 mC d) 1,1 mC e) 1,5 mC

17. En el sistema de condensadores de la figura la diferencia de potencial entrelos puntos A y B. Determinar la carga del condensador C2 y la diferencia depotencial del condensador C1.

a) 250 µc, 250 Vb) 250 µc, 150 Vc) 750 µc, 250 Vd) 300 µc, 200 Ve) 375 µc, 125 V

18. Si la carga equivalente de la conexión de condensadores de la figura es24 µc encontrar la diferencia de potencial entre los puntos A y B.

a) 40 Vb) 20 Vc) 30 Vd) 10 Ve) 50 V

19. Las capacidades de 3 condensadores en serie son 3C, 6C y 9C, estánconectados a una batería de 110 V. Calcular la diferencia de potencial encada condensador.

a) 60 V, 30 V, 20 V b) 50 V, 50 V, 10 V c) 50 V, 40 V, 20 Vd) 60 V, 40 V, 10 V e) 70 V, 30 V, 10 V

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67

20. En el sistema de condensadores de la figura encontrar la carga y ladiferencia de potencial del condensador de 4 µF.

a) 160 µC, 40 Vb) 60 µC, 15 Vc) 120 µC, 30 Vd) 40 µC, 10 Ve) 80 µC, 20 V

TEMA 16

CORRIENTE Y RESISTENCIA

Corriente eléctrica: Es el movimiento de cargas eléctricas libres a través de unmedio conductor debido a la fuerza proporcionada por un campo eléctrico (F = qE)el cual es originado por una diferencia de potencial (V). Ver Fig. 16.1

La dirección convencional de la corriente eléctrica es la misma que la del campoeléctrico que la provoca.

Intensidad de corriente eléctrica (I): Es la cantidad neta de carga eléctrica quepasa por la sección recta de un conductor por unidad de tiempo.

Siendo:I = Intensidad de corrienteq = Carga eléctrica netat = Tiempo

Unidad. La unidad de la intensidad de corriente en el SI es el amperio (A).

Amperio (A) = Coulombio (C)/ segundo (s)

Resistencia eléctrica: Es la razón entre la diferencia de potencial entre los extremosdel material que conduce carga eléctrica y la intensidad de corriente que pasa por él:

R = Resistencia eléctricaV = V1 – V2 diferencia de potencialI = Intensidad de corriente

IVR =

Unidad. La unidad de la resistencia eléctrica en el SI es el Ohmio ( Ω )Ohmio ( Ω ) = Voltio (V)/ Amperio (A).

Ley de Ohm: La diferencia de potencial entre los extremos de un conductor esproporcional a la intensidad de corriente eléctrica que pasa por él.Donde R es la resistencia eléctrica del conductor, si ésta es constante, el conductores denominado óhmico. La característica V-I de este material será la mostrada enla Fig.

Resistividad (p): Es una característica física, constante de un material óhmico. Estárelacionada con la resistencia eléctrica (R) de la siguiente forma (Ley de Pouiliet):

ALR ρ=

Siendo:L = Longitud del conductorA = área de la sección transversal del conductorUnidad: Ω mEnergía Eléctrica: Es el trabajo que realiza el campo eléctrico al trasladar lascargas libre, es dado por: Siendo:W = q V q = Carga eléctrica libre V = Diferencia de potencial creadora del campo eléctrico

V = IR

I=qt

tgR= tg

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68

Si consideramos la definición de corriente eléctrica y la ley de Ohm, la energíaeléctrica también puede ser expresado por:

RtVRtIIVtW

22 ===

Al pasar la corriente eléctrica por un conductor con una determinada resistencia, laenergía eléctrica se transforma en calor (Q). A este fenómeno se denomina efectoJoule: Recordar que 1 cal = 4,186 J (1J = 0,24 cal).

Potencia eléctrica: Es la rapidez con que realiza trabajo la fuerza del campoeléctrico.

RVPRIPIVP

tWP

22 ,,, ====

PROBLEMAS1. Si la longitud del conductor se duplica y su sección se reduce a la mitad,

entonces su resistencia.

a) Se duplica b) Se reduce a la cuarta partec) No varía d) Se triplica e) Se cuadruplica

2. Calcular la carga eléctrica transportada por la corriente que recorre unconductor de 50 Ω bajo una diferencia de potencial de 220 V en 0,5 horas.

a) 7920 C b) 7000 C c) 9700 C d) 1000 C e) 6900 C

3. Por una resistencia de 4 Ω pasa una corriente de 5 A. Hallar la energíacalorífica disipada por la resistencia en un minuto.

a) 20 KJ b) 6 KJ c) 50 KJ d) 1 KJ e) 10 KJ

4. Si una resistencia de 1KΩ consume una potencia de 10 w ¿Cuál es elmáximo voltaje al cual se la puede conectar?

a) 220 V b) 120 V c) 100 V d) 110 V e) 50 V

5. Cuando una corriente atraviesa cierta resistencia, ésta disipa una potenciade 80w. Si la corriente disminuye en un 50%, determinar la potencia disipadapor la resistencia.

a) 20 w b) 100 w c) 50 w d) 10 w e) 30 w

6. Si un alambre uniforme de 20 cm de longitud y elevada resistencia seconecta a una batería de 30 V entre sus extremos ¿Cuál es la diferencia depotencial entre los puntos M y N que distan respectivamente 3 cm y 15 cmde un extremo?a) 10 V b) 18 V c) 12 V d) 30 V e) 15 V

7. A un alambre de cobre de 10 Km de longitud y 2 cm2 de sección recta se leaplica una diferencia de potencial de 85 V. Determinar la corriente en elalambre ( cu= 1,7x10–8 Ωm)

a) 10 A b) 1 A c) 100 A d) 0,1 A e) 1000 A

8. ¿Cuántos electrones pasan por la sección de un conductor en 3 s si lacorriente tiene una intensidad de 3,2 A? (e= 1,6x10–19C)

a) 4x1019 b) 6x1019 c) 1,6x1019 d) 3,2x1019 e) 8x10-19

9. Una instalación eléctrica consume una corriente de 20 A durante 1 hora. Elconsumo de energía eléctrica es de 360 KJ. Determinar la tensión de lafuente de corriente que alimenta a la instalación.

a) 25 V b) 100 V c) 5 V d) 2220 V e) 50 V

10. Un alambre de cobre se estira uniformemente haciéndolo 0,1% mas largo¿En qué porcentaje varía su resistencia eléctrica? (suponga constantes, ladensidad, el volumen y la resistividad)

a) 0,2 % b) 0,1 % c) 1,2 % d) 2 % e) 10 %

11. Por un alambre conductor pasan 3 KC en 10 minutos debido a una diferenciade potencial de 20 V. Encontrar la resistencia del conductor.

a) 5 Ω b) 4 Ω c) 3 Ω d) 2 Ω e) 1 Ω

12. ¿Qué tiempo debe circular una corriente eléctrica de 10A por una resistenciade 20 Ω para que con el calor disipado se logre elevar la temperatura de480 g de agua de 40°C a 80°C?

a) 20 s b) 10 s c) 4 s d) 40 s e) 30 s

13. ¿Cuánto cuesta mantener encendida durante 8 h una lámpara que tiene unaresistencia de 100 Ω por la que circula una corriente de 1,5A sabiendo que elKwh vale S/. 0,30?

a) S/. 0,54 b) S/. 5,4 c) S/. 4,5 d) S/. 0,42 e) S/. 0,36

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

69

14. Por un alambre de hierro de 4 m de longitud y 2 mm12 de sección que tieneuna resistividad de 10-7Ωm pasa una corriente generada por una diferenciade potencial de 0,6V, determinar la intensidad de dicha corriente.

a) 5 A b) 4 A c) 2 A d) 3 A e) 1 A

15. Cuando una cocina eléctrica se conecta a 220 V, consume una potencia de2 KW. Si la cocina se conecta a 110 V ¿Qué potencia consumirá?

a) 3 KW b) 1,5 KW c) 0,5 KW d) 1 KW e) 2 KW

16. Las características V-I de una plancha eléctrica son las que muestran en lafigura. Si la plancha funciona a una tensión de 100 V, encontrar la energíaque consume en 2 horas de funcionamiento.

a) 10 Kwhb) 5 Kwhc) 2 Kwhd) 8 Kwhe) 3 Kwh

17. Una casa tiene 8 focos de 60w cada uno y todos funcionan durante 5 horasdiarias. Calcular el costo de consumo en un mes, si el precio del Kwh es S/.0,30 (1 mes= 30 días)

a) S/. 20,50 b) S/.22,40 c) S/. 21,60 d) S/.23,10 e) S/. 24,10

18. Hallar la potencia que consume un conductor cilíndrico de 10 m de longitud,7mm de diámetro de sección transversal y 3,85x10-5Ωm de resistividad,

cuando la caída de potencial en el conductor es 220 V. )722( =π

a) 2,25 Kw b) 4,84 Kw c) 3,63 Kw d) 8,21 Kw e) 5,42 Kw

19. Una cocinilla eléctrica que funciona con una corriente de 10A y una tensiónde 220V, estuvo encendida durante 10 minutos ¿Qué carga paso por ella ycuánto calor irradia?

a) 6 KC; 316,8 Kcal b) 3 KC; 316,8 Kcal c) 6 KC; 31,68 Kcald) 2 KC; 3,168 Kcal e) 6 KC; 418,23 Kcal

TEMA 17

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

Circuitos de Corriente Eléctrica

Un circuito eléctrico es el recorrido o conjunto de recorridos por los cuales sedesplazan las cargas eléctricas. Los circuitos eléctricos están constituidos porgeneradores de corriente eléctrica, resistores, capacitares, bobinas, etc. El circuitomás simple que puede existir está constituido por un generador y un resistor.

Los generadores de corriente son dispositivos que transforman alguna forma deenergía (química, mecánica, térmica, nuclear) en energía eléctrica.

Todo generador de corriente continua tiene dos bornes o polos denominándose polopositivo (+) al que se encuentra a mayor potencial y polo negativo (-) al que seencuentra a menor potencial. Simbólicamente un generador de corriente continua serepresenta por:

+-

Todo generador tiene una resistencia; denominada resistencia interna.

Fuerza electromotriz (FEM)

La fuerza electromotriz de un generador de corriente, es el trabajo que realiza porunidad de carga:

qW

=

Donde: = Fuerza electromotriz W = Trabajo q = Carga

La unidad SI de FEM es el voltio:CJV =

4

2Qo

V(V)

I(A)

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

70

Resistor.- Es un conductor con resistencia. Se representa por el símbolo:

R

Dos o más resistores están en serie cuando se conectan de tal manera que portodos ellos pasa la misma intensidad de corriente y para ello deben tener un puntocomún por par.

R1,V1 R2,V2 R3,V3

I

RE,VE

I

=

Resistores en serie Resistor equivalente

Propiedades:

1. Por todos los resistores pasa la misma corriente

I1 = I2 = I3 = ... = IE

2. La diferencia de potencial equivalente es igual a la suma de las diferencias de

potencial de los resistores asociados

VE = V11 + V2 + V3 + ...

3. La resistencia equivalente es igual a la suma de las resistencias de los resistores

asociados, en efecto:

VE = V11 + V2 + V3 + ...

y VE = REI , V1 = R1I, V2 = R2I, V3 = R3I, …

⇒ REI = R1I + R2I + R3I +…

⇒

Resistencia en paraleloEn una asociación en paralelo, los resistores se conectan de tal manera que ladiferencia de potencial sea la misma para todos ellos.

R2

R1

R3

I3

I2

I1

I I RE

IE

Resistores en paralelo Resistor equivalente

Propiedades1. La diferencia de potencial es la misma para todos los resistores

V1 = V2 = V3 = ... = VE

2. La intensidad de la corriente equivalente es igual a la suma de las intensidades

de las corrientes que pasan por los resistores asociados.

IE = I1 + I2 + I3 + ...

3. La inversa de la resistencia equivalente es igual a la suma de las inversas de lasresistencias de los resistores asociados:En efecto: IE = I1 + I2 + I3 + ...

y ........;RVI;

RVI;

RVI;

RVI

33

22

11

EE ====

⇒ ........RV

RV

RV

RV

321E+++= ⇒ ........

R1

R1

R1

R1

321E+++=

Reglas de Kirchhoff

Regla de los nudos

Un nudo dentro de un circuito es un punto donde se unen tres o más conductores.La regla de los nudos es una consecuencia de la conservación de la carga eléctricay establece que:La suma algebraica de las intensidades de corriente que concurren en un mismonudo es igual a cero.

∑ I =0

RE = R1 +R2 + R3+ …

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

71

Convenio de los signos

Si una corriente ingresa a un mudo es positiva (+) y si la corriente sale del nudo esnegativo (-). Si un circuito tiene n nudos se pueden plantear n-1 ecuaciones de udosque sean independientes

nudo I2

I3

I1

(-)

(-)

(+)

Regla de las Mallas

Una malla dentro de un circuito es cualquier recorrido cerrado dentro del mismo.La regla de las mallas es una consecuencia de la conservación de la energía en loscircuitos y establece que:“En toda malla la suma algebraica de las FEM es igual a la suma algebraica de losproductos de las resistencias por las intensidades de las corrientes que pasan porellas”.

∑ ε = ∑ RI

Convenio de los signosa) Para las FEM (fuentes de potencial)

Una FEM es positiva (+)si el recorrido es del polo negativo al polo positivo y esnegativa (-) si el recorrido es del polo positivo al polo negativo

+- + -

Recorrido Recorrido (+) (-)

b) Para los productos RI (caídos de potencial)

El producto RI es positivo (+) si el recorrido tiene el mismo sentido de la corrienteque pasa por la resistencia R; y producto RI es negativo (-), si el recorrido tienesentido opuesto al de la corriente que pasa por R.

R

I I

R

Recorrido Recorrido RI (+) RI (-)

PROBLEMAS

1. Determinar la resistencia equivalente de la asociación de resistores que semuestra en la figura.

3,8 Ω

2 Ω

3 Ω

5 Ω

a) 4,5 Ωb) 3,5 Ωc) 1,5 Ωd) 2,5 Ωe) 5,5 Ω

2. Cuando dos resistencias se conectan en serie su resistencia equivalente es9 Ω y cuando se conectan en paralelo en 2 Ω . Hallar las resistencias

a) 2 Ω y 7Ω b) 1Ω y 8Ω c) 3Ω y 6Ω d) 4 Ω y 5Ω e) 2,5 Ω y 6,5 Ω

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

72

3. En la asociación de resistores de la figura, hallar la resistencia equivalente entreA y B y la diferencia de potencial entre A y C

a) 10 Ω , 36 Vb) 5 Ω , 12 Vc) 8 Ω , 30 Vd) 12 Ω , 36 Ve) 9 Ω , 12 V

4. Se tiene una lámpara de 40 W y 120 V. ¿Qué resistencia complementaria hayque conectar en serie con la lámpara para que su funcionamiento sea normalcuando la red tenga una tensión de 220 V?

a) 80 Ω b) 300 Ω c) 100 Ω d) 400Ω e) 200 Ω

5. Si en la asociación de resistencias que se muestra, la corriente que pasa por laresistencia R2 es 10A, Calcular: a) La corriente que pasa por R3 b) La diferenciade potencial en la resistencia R1

R1 =12 Ω

R2 = 3

R3 = 6

I1

Ω

Ω

a) 10 A; 240 V

b) 5A; 120 V

c) 10A ; 220 V

d) 15A; 120 V

e) 5A; 180 V

6. Determinar la corriente en el circuito que se muestra en la figura

a) 1 A

b) 3 A

c) 2 A

d) 0,5 A

e) 1,5 A

7. En el circuito de la figura, hallar: a) La corriente en el circuito b) La potencia queconsume la resistencia de 3Ω

14 Ω15 V

2 Ω

10 V

1 Ω

20 V

1 Ω

4Ω

50 V 3Ωa) 1 A ; 5 W

b) 1 A ; 4 W

c) 1 A ; 3 W

d) 1 A ; 6 W

e) 2 A ; 5 W

8. De acuerdo al circuito mostrado ¿Cuál es la corriente en la resistencia de 6Ω?

Ω

4Ω

6 Ω3

Ω3

18 V

a) 1/3 Ab) 4/3 Ac) 5/3 Ad) 2/3 Ae) 7/3 A

B

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

73

9. Calcular las corrientes en cada conductor del circuito de la figura

a) 1A, 2A, 3Ab) 2A, 3A, 5Ac) 3A, 4A, 7Ad) 4A, 5A, 9Ae) 0,5A, 1,5A, 2A

10. En el circuito de la figura, determinar las corrientes en cada conductor

a) 1A, 2A, 3Ab) 3A, 4A, 5Ac) 2A, 3A, 5Ad) 1A, 2A, 4Ae) 2A, 3A, 4A

PROBLEMAS

1. Hallar la resistencia equivalente entre los puntos A y B del sistema deresistores de la figura.

a) 5 Ωb) 3 Ωc) 8 Ωd) 4 Ωe) 6 Ω

2. Hallar la resistencia equivalente de la asociación de resistores de la figura.

a) 5 Ωb) 4 Ωc) 3 Ωd) 2 Ωe) 1 Ω

3. En la figura I= 22A, R1= 2Ω, R2= 4Ω y R3= 6Ω ¿Qué corriente pasa por cadaresistencia?

a) 11 A, 8 A, 3 Ab) 10 A, 8 A, 4 Ac) 12 A, 6 A, 4 Ad) 9 A, 7 A, 6 Ae) 13 A, 7 A, 2 A

4. En la figura la diferencia de potencial entre A y C es 8v y entre A y B es 20V¿Cuál es el valor de la resistencia R?

a) 3 Ωb) 4 Ωc) 5 Ωd) 7 Ωe) 2 Ω

5. En la combinación de resistores de la figura se aplica una diferencia depotencial de 24V entre los puntos A y B ¿Cuál es la caída de potencial en laresistencia de 3Ω?

a) 3 Vb) 6 Vc) 4 Vd) 5 Ve) 7 V

6. Si se combinan en paralelo las resistencias 2R, 3R y 6R la resistenciaequivalente es 2Ω. Hallar la resistencia equivalente cuando las resistenciasse conectan en serie.

a) 20 Ω b) 18 Ω c) 22 Ω d) 11 Ω e) 24 Ω

7. En el circuito de la figura hallar la corriente que pasa por la resistencia de4Ω.

a) 8 Ab) 12 Ac) 4 Ad) 3 Ae) 6 A

12

1

3

2

3 3B

A

4

6 1

12

312

4

R1

R2

R3

I

2 R

C BA

9 3

4

BA

4

6

12

8

120V

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

74

8. En el circuito de la figura, hallar: a) la corriente en la batería b) la diferenciade potencial entre A y C.

a) 4A, 14 Vb) 3A, 10 Vc) 5A, 12 Vd) 7A, 14 Ve) 2A, 14 V

9. Calcular la potencia que disipa el circuito de la figura.

a) 64 wb) 50 wc) 60 wd) 80 we) 30 w

10. Si el circuito de la figura disipa 72 w, encontrar las corrientes I1 e I2.

a) 2A y 5Ab) 2A y 4Ac) 1A y 3Ad) 2A y 6Ae) 3A y 6A

11. En el circuito de la figura, hallar la corriente en la batería.

a) 2Ab) 3Ac) 4Ad) 5Ae) 6A

12. En el circuito de la figura, si R= 2Ω, encontrar la diferencia de potencial entreA y B.

a) 20 Vb) 30 Vc) 40 Vd) 50 Ve) 60 V

13. En el circuito de la figura, la corriente que circula en la resistencia R es 2A¿cuánto vale dicha resistencia?

a) 2 Ωb) 4 Ωc) 1 Ωd) 3 Ωe) 5 Ω

14. Encontrar la corriente en el circuito que se muestra en la figura.

a) 0,5 Ab) 1,5 Ac) 2,5 Ad) 3,5 Ae) 0,25 A

18V

6

1212

3

3A

B

C

1

22

2

16V

3 3

3

V

I2

I1

3

218

127

845v

R

R

RA

220V

R

R

R

B

18V6

4

R

4

3

1

2

18 V

7 V

12 V

8 V

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

75

15. En el circuito de la figura, hallar le energía que consume la resistencia de4 Ω en un minuto.

a) 500 Jb) 960 Jc) 800 Jd) 450 Je) 860 J

16. Determinar las corrientes en cada conductor del circuito de la figura.


17. Para el circuito de la figura, hallar la corriente que pasa por cada resistencia.a) 1A, 3A, 4Ab) 2A, 3A, 5Ac) 2A, 4A, 6Ad) 1A, 2A, 3Ae) 2A, 5A, 7A

18. Determine las corrientes en cada conductor en el circuito de la figura.


19. En el circuito de la figura, determinar que valor debe tener la resistencia Rpara que por ella pase una corriente de 5A en el sentido de A a B.

a) 3 Ωb) 4 Ωc) 2 Ωd) 1 Ωe) 5 Ω

20. En el circuito de la figura, determinar el valor de la fuerza electromotriz (E) ysu polaridad para una batería que colocada en la caja vacía haga que paseuna corriente de 1A por la resistencia de 6Ω en el sentido de A a B.

a) 3 V b) 2 V

c) 4 V d) 4 V

e) 2 V

TEMA 18

CAMPOS MAGNÉTICOS

Campo magnético.- Decimos que en un punto de un espacio existe un campomagnético, si se ejerce una fuerza sobre una carga en movimiento pasando pordicho punto (además de la fuerza electrostática).La intensidad de un campo magnético se puede describir por una magnitud vectorial

denominada campo magnético, y simbolizada por→

B .

Experimentalmente se encuentra que un campo magnético ejerce sobre una cargaen movimiento una fuerza (ver Fig. 1) la cual es:

2

2

4

3

1

1

112 V

14 V

8 V

16 V1

20 V

8 V 2 16

43

1 4

24 3

14 V10 V

3

1

2

5 V7 V

36 R

B

A

5A

28 V 16 V

2 46

1A

B

16V E2 V

A

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

76

- proporcional al módulo de la componente de la velocidad con que semueve la partícula cargada en dirección ortogonal al campo magnético.

- proporcional a la magnitud de la carga de la partícula- perpendicular al plano formado por la dirección del campo magnético y la

velocidad de la partícula.

v

BF

v sen

qFig. 1 +

En base a estos resultados experimentales se puede definir la intensidad del campomagnético utilizando una carga de prueba que se mueve en el campo magnético. Laintensidad de este campo, se define por:

θqvsenFB =

Donde:B = magnitud del campo magnéticoF = magnitud de la fuerza magnética ejercida sobre qv = magnitud de la velocidad de qθ = ángulo formado entre la velocidad y el campo magnético.

La dirección del campo magnético se determina por medio de la regla de la manoderecha. Con éste propósito se coloca la mano derecha con el pulgar en la direccióny sentido de la fuerza y los restantes dedos orientados en la dirección y sentido delvector velocidad girando hacia el vector campo magnético (si la carga es positiva).

Unidad.- En el S.I. la unidad del campo magnético es el tesla (T), de acuerdo a larelación anterior:

AmN

smC

NT ==

Fuerza magnética sobre una carga en movimiento.- Despejando de la ecuaciónde campo magnético, la magnitud de la fuerza magnética ejercida sobre una cargaen movimiento está dada por:

θqvBsenF =

Observaciones:- Para una carga positiva la dirección y sentido de la fuerza magnética es la

del pulgar en la regla de la mano derecha. Por otro lado, para una carganegativa es la del sentido opuesto al indicado por el pulgar, según la mismaregla.

- Si→

v =0, entonces→

F =0

- Si θ = 0° ó 180°, esto es→

v //→

B , entonces→

F = 0

- Si θ = 90° , esto es→

v ⊥→

B entonces→

F es máxima.

Movimiento de una carga puntual en un campo magnético.- Consideremosúnicamente el movimiento de una partícula cargada en un campo magnéticouniforme (magnitud y dirección constante) y con velocidad perpendicular al campo.Siendo la fuerza magnética perpendicular a la velocidad constante de la partículacargada; entonces el movimiento es circular uniforme. Aplicando la segunda Ley deNewton, a este movimiento.

RvmmaqvB c

2

== ; de aquí que: qBmvR =

Siendo R el radio de la circunferencia que describe la carga:

En este movimiento se cumplen todas las ecuaciones del movimiento circular.

RaRva

Tf

TTRvRv cc

22122

ωπ

ωπ

ω ====== ; ; ; ; ;

Campo magnético creado por una corriente rectilínea.- Una corriente rectilínea infinita creaun campo magnético cuya dirección es representada por líneas de campo, que sonvectores tangentes a circunferencias concéntricas al conductor situadas en un planoperpendicular a la dirección de la corriente (ver Fig. 2). La dirección y sentido del camposon determinados según la siguiente regla: se toma el conductor en la mano derecha demodo que el pulgar extendido señale la dirección de la corriente, el giro que hacen losdedos al tomar el conductor indica la dirección y sentido del campo magnético.

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

77

Ley de Biot-Savart.- La magnitud del campo magnético creado por un conductor rectilíneoinfinito en un punto es directamente proporcional a la intensidad de la corriente (I) que pasapor él e inversamente proporcional a la distancia (r) del punto al conductor.

rIK

B m2=

siendo Km = 10-7T/m, la constante magnética del vacío. Esta constante puede serexpresada en función de otra (µ0), denominada permeabilidad magnética del vacío.

De aquí, el valor de µ0 es:

ATm /104 70

−×= πµ

Por lo tanto en función de esta nueva constante:

rI

Bπ

µ2

0=

Campo magnético de un solenoide.- Un solenoide es una bobina cilíndricaconstituida por un gran número de espiras que forman una línea helicoidal. (Ver Fig.)Cuando por las espiras del solenoide pasa una corriente (I) se genera en el interiordel mismo un campo magnético uniforme paralelo al eje del solenoide, mientras queen el exterior el campo magnética es en buena aproximación nulo.La dirección del campo magnético en el interior del solenoide se determina por lasiguiente regla: se toma al solenoide con la mano derecha, con el pulgar extendido,de manera que los dedos de forma envolvente indiquen la dirección de la corriente,luego el pulgar indicará la dirección del campo magnético.

La magnitud del campo magnético en el interior de un solenoide muy largo de nespiras por unidad de longitud por el que pasa una corriente I está dado por:

nIB 0µ= siendo: LNn =

Donde N = número total de espiras; L = longitud del solenoide. Así, también:

PROBLEMAS1. Determinar la intensidad del campo magnético en que se mueve una carga

puntual de +6 µ C, con una velocidad de 100 m/s cuya dirección forma unángulo de 30° con la dirección del campo magnético y sobre la que seejerce una fuerza de 3 x 10-6 N.a) 0,1 T b) 0,01 T c) 0,2 T d) 0,02 T e) 1 T

2. Una partícula cargada q=-0,4C, penetra perpendicularmente al planoformado por dos campos magnéticos de intensidades B1=2T y B2=5T, conuna velocidad de 5 m/s, como muestra la figura. Determinar la expresiónvectorial de la fuerza magnética que se ejerce sobre la carga cuando cruzala intersección de los campos.

a) 10

→

i +4

→

j (N)

b) -10

→

i -4

→

j (N)

c) -10

→

i +4

→

j (N)

d) 10

→

i -4

→

j (N)

e) 4

→

i +10

→

j (N)Uà Dirección de penetración de q, cruzando el

plano del papel, hacia adentro.

LNIB 0µ

=

π

µ

40=mK

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

78

3. Un haz de electrones cuya velocidad es de 1,6 x 106 m/s es curvado 90° por unimán que genera un campo magnético homogéneo. (Ver Fig.) Determinar laintensidad del campo magnético del imán en µ T y el tiempo en µ s que durael proceso de curvatura (masa de electrón = 9x10-31 kg)

a) 30; 0,1π

b) 6; 0,2π

c) 9; 0,5π

d) 3; 0,9π

e) 60; 0,2π

4. La figura muestra dos secciones de conductores rectilíneos separados entre sí10 cm, por los que pasan corrientes I1=2A e I2=3A. Calcular a qué distancia deI1 será nula la intensidad del campo magnético resultante generado por lascorrientes.

a) 4 cm b) 2 cmc) 6 cm d) 8 cme) 10 cm

5. La figura muestra las secciones de tres conductores rectilíneos infinitos pordonde circulan corrientes iguales de 30A. Determinar la intensidad de campomagnético resultante en el punto A. (expresión vectorial)

a) (18→

i +6→

j ) x 10-7 T b) (6→

i -18→

j ) x 10-7 T

c) (-6→

i -18→

j ) x 10-7 T d) (-6→

i +18→

j ) x 10-7 T

e) ( 6→

i +18→

j ) x 10-7 T

6. Una solenoide tiene 1 m de longitud y está compuesta de dos embobinados dehilo concéntricos. El embobinado interior consta de 100 espiras y el exterior de50. la corriente que circula es de 5 A, como muestra la fig. ¿Cuál es el módulode la intensidad del campo magnético en el eje central del solenoide?

a) 0,5π x 10-4Tb) π x 10-4Tc) 2π x 10-4Td) 3π x 10-4Te) 4π x 10-4T


1. Calcular la fuerza magnética ejercida sobre una carga de 2 µC cuando semueve en un campo magnético de intensidad 0,5T con una velocidad de10m/s que forma un ángulo de 37° con la dirección del campo.

a) 5 µN b) 6 µN c) 4 µN d) 3 µN e) 8 µN

2. Una partícula cuya carga es q=+0,5C sale perpendicularmente a laintersección de dos campos magnéticos de intensidades B1= 3T y B2= 4Tcon una velocidad de 20 m/s. Encontrar el modulo de la fuerza magnéticaejercida sobre la carga cuando cruza la intersección de los campos.

a) 40 Nb) 30 Nc) 50 Nd) 70 Ne) 60 N

3. Respecto a tres partículas que mueven en un campo magnético uniforme ycuyas trayectorias están indicadas en la figura se hacen las siguientesafirmaciones.

I. La partícula 1 tiene carga positivaII. La partícula 2 no tiene cargaIII. La partícula 3 tiene carga negativa

a) FVF b) VVF c) VFVd) FVV e) FFF

X

1

23

B

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

79

4. Encontrar la distancia a un conductor rectilíneo infinito por el cual circula unacorriente de 20 A si el campo magnético es 2 µT.

a) 2 m b) 0,5 m c) 4 m d) 1 m e) 3 m

5. Una partícula que tiene una masa de 2 g y una carga de 10 C se mueve enun campo magnético de 1T en una circunferencia de 2m radio. Calcular laenergía cinética de la partícula.

a) 10 µJ b) 1 µJ c) 0,1 µJ d) 2 µJ e) 0,2 µJ

6. Un electrón se dirige perpendicularmente a un campo magnético de 4 mT.Halle el radio de la circunferencia que describe el electrón cuando actúasobre el una fuerza magnética de 16x10-17 N. (e=1,6x10-19C , m= 9x10-31Kg)

a) 0,35 mm b) 0,25 mm c) 0,45 mm d) 0,15 mm e) 0,75 mm

7. En la figura I1= 12 A e I2= 5 A, hallar el campo magnético resultante en elpunto P (los conductores son infinitos)

a) 1,2 µTb) 1,3 µTc) 5 µTd) 1,4 µTe) 1,5 µT

8. Una partícula de 1g de masa que tiene una carga de 1 µC se muevehorizontalmente con una velocidad de 105 m/s ¿Cuál debe ser el módulo delcampo magnético perpendicular a la velocidad de la partícula que lamantendrá en movimiento horizontal? (g= 10 m/s2)

a) 0,1 T b) 1 T c) 10 T d) 2 T e) 0,2 T

9. La figura muestra las secciones de dos conductores rectilíneos por lo quepasan corrientes I1= 4A e I2= 2 A separados entre sí 12 cm ¿A qué distanciade I1 será nulo el campo magnético debido a las corrientes?

a) 4 cm b) 8 cm c) 6 cmd) 5 cm e) 7 cm

10. La figura muestra las secciones de dos conductores rectilíneos por los quefluyen corrientes I1= 9 A e I2= 16 A. Calcular el módulo del campo magnéticoresultante en el punto P.

a) 2 µT b) 10 µT c) 1 µTd) 0,1 µT e) 3 µT

11. Una partícula que tiene una carga de –2 µC es lanzada paralelamente a unacorriente I= 10 A con una velocidad de 30 m/s. Calcular la expresiónvectorial de la fuerza magnética ejercida sobre la partícula.

a) 240→

i (PT) b) -240→

i (PT)

c) 24→

i (PT) d) 240

→

j (PT)

e) -240

→

j (PT)

12. Una carga puntual q se mueve paralelamente a y entre dos conductores muylargos que transportan corriente I1 y I2 como muestra la figura, si la masa dela carga es despreciable ¿Qué relación guardan entre si I1 e I2 para que lapartícula continué moviéndose como al inicio?

a) 22

1

II = b) I1=2I2

c) I1 = I2

d) I1= 3I2 e) I1= 32I

13. Una partícula de carga q= +5 µC ingresa con una velocidad de 100 m/sperpendicularmente al plano que contiene dos secciones de conductoresrectilíneos por los que pasan corriente I1= 30 A e I2= 5A, saliendo del planodel papel. Calcular la fuerza magnética sobre la carga cuando ingresa alplano.

a) 2 µN b) 5 µN c) 2,5 µNd) 0,25 µN e) 25 µN

I1 12cm I2

3m 4m

5mI1

P

X

I2

Y

X00,5m

q v

I

v

d

dq

I1

+

I2

I1 1cm 1cm2cm

X

I2

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

80

14. Calcular el módulo del campo magnético en el punto A de la figura debido ala corriente I1= I2= 2 A.

a) 4 2 x10-7T b) 3 2 x10-7Tc) 2 2 x10-7T d) 2 3 x10-7Te) 2x10-7T

15. Por dos vértices opuestos de un cuadrado del lado a ingresan corrientes de5 A ¿Qué corriente I debe salir por otro de sus vértices para que el campomagnético total sea nulo en el vértice restante?

a) 10Ab) 5Ac) 5 2 Ad) 2 Ae) 8 2 A

16. Hallar el campo magnético en el interior de un solenoide de 2m de longitudque contiene 500 espiras, cuando la corriente en el es de 8 A.

a) 6πx10-4T b) 8πx10-4T c) 5πx10-4T d) 2πx10-4T e) 7πx10-4T

17. Se tiene dos solenoides concéntricos el primero con 400 espiras y elsegundo con 100 espiras. Si las corrientes en los solenoides son I1= 2 A eI2= 4 A. Calcular el campo magnético resultante en el eje común de lossolenoides. La longitud de los solenoides es 2m.

a) 60 πµTb) 80 πµTc) 160 πµTd) 0,8 πµTe) 8 πµT

18. Un electrón es lanzado perpendicularmente al eje de un solenoide con unavelocidad de 105 m/s. Calcular la fuerza magnética ejercida sobre el electrónsi el solenoide tiene 1000 espiras, 0.5 m de longitud y una corriente de 10 A(e=1,6x10-19C)

a) 215 π aN b) 158 π aN c) 128 π aN d) 115 π aN e) 125 π aN

19. Una carga de 80C es lanzada con una velocidad de 100 m/s a 10 cm yparalelamente a un conductor rectilíneo infinito. Si la fuerza magnética sobrela carga en el instante en que fue lanzada es 3,2 N. Hallar la corriente en elconductor.

a) 20 Ab) 200 Ac) 2 Ad) 2000 Ae) 0,2 A

20. En la figura I1= 6 A e I2= 10 A. Encontrar la expresión vectorial del campomagnético resultante en el punto P.

a) (-3,2→i +1,6

→

j ). 10-7(T)

b) (-3,2→

i +0,8

→

j ). 10-7(T)

c) (1,6→

i +3,2

→

j ). 10-7(T)

d) (4→

i +4

→

j ). 10-7(T)

e) (-3,2→

i +2,4

→

j ). 10-7(T)

X

X

I

P

5A

5A Aa

Aa

Aa

Aa

X

A

I1

2m 2m

30° 30°I2

Y

X

XI2

4m

3m PI1

X

10cm

Qq Vv

I

I1

I2

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

81

TEMA 19

LA LUZ1. La Luz.

• Es una onda de naturaleza electromagnética, que es capaz de impresionar laretina originando el fenómeno de la visión.

• La luz está construida por una onda eléctrica lo cual implica un campo eléctrico,que se propaga vibrando en un plano, y una onda magnética (Campo Magnético)que se propaga vibrando en otro plano que es perpendicular al plano donde vibrael campo eléctrico (Onda eléctrica).

• La luz es portadora de energía, que se le denomina, energía luminosa.

2. Propagación de la Luz

• La luz, en todo medio homogéneo es isótropo se propaga en línea recta y entodas las direcciones posibles.

• Se denomina medio isótropo a todo medio que tiene las mimas propiedadesfísicas en todas las direcciones.

3. Velocidad de la Luz

• En los medios homogéneos e isótropos la luz se propaga en línea recta convelocidad constante. Su velocidad en el vacío es:

C=2.997x108 m/s ; C= Velocidad de la Luz.

que aproximadamente se toma: C=3x108 m/s.

4. Flujo Luminoso ( φ )

• Es la energía luminosa que emite un foco luminoso por unidad de tiempo.

Siendo:φ = Flujo Luminoso.E = Energía Luminosa.t = Tiempo.

4.1 Unidad de flujo Luminoso

• En el S. I. es el Lumen (Lm)

- Lumen (Lm): Es el flujo luminoso emitido por una lámpara de luz verde cuyapotencia es igual a 1/ 685 Watts

Lm Watts=1

685

También el Lumen se define como la cantidad de luz que se emite la candela(Cd) a través de la Unidad de Ángulo Sólido o Estereorradián.También:

Siendo

φ = Flujo.

I = Intensidad.Ω = Unidad Ángulo Sólido

5. Intensidad Luminosa (I)

• Es el flujo luminoso emitido a través de la unidad ángulo sólido.Siendo:

I = Intensidad Luminosa.φ = Flujo Luminoso.

Ω = Ángulo Sólido.

φ =Et

Ω= .Iφ

I =φΩ

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

82

5.1 Ángulo Sólido ( Ω ).

Está formado por tres o más semirrectas no coplanares que tienen un origencomún.

5.2 Medida del Ángulo Sólido.

Es la razón entre el área (A) de una superficie esférica y el cuadrado del radio (R)de la superficie esférica , o sea:

Ω Ω= ⇒ =AreaR

AR2 2

5.3 Unidad de Medida.

- Del Ángulo Sólido: Es el Estereorradián. (Sr) y es aquel ángulo sólido queabarca una superficie de 1m2 y radio 1m.

Ω = ⇒ =AreaR

Sr mm2 21 1

1→→

AreaRadio

El Ángulo Sólido que subtiende una superficie esférica de radio R tiene lasiguiente cantidad de estereorradianes.

Ω Ω Ω= ⇒ = ⇒ =A

RR

RR2

2

224 4π

π

Donde: A R= 4 2π (Área de la Superficie)- De la Intensidad Luminosa: En el S. I. es la candela (Cd)

I Candela LumenSr

Cd LmSr

= → = ⇒ =φΩ

1

6. Iluminación (Y)

• Es el Flujo Luminoso emitido por un foco sobre la unidad de área o superficie.

Siendo:Y = Iluminación.φ = Flujo Luminoso.A= Área Iluminada.

6.1 Unidad de Iluminación:

En el S. I. es el Lux (Lx)

Lux Lumenm

Lx Lmm

= ⇒ =2 2

6.2 Leyes de la Iluminación:

1ra. La Iluminación es directamente proporcional a la intensidad del foco luminoso.

2da. La Iluminación es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia delfoco luminoso a la superficie iluminada.

3ra. Ley de Lambert: La Iluminación es directamente proporcional al coseno delángulo formado entre el rayo luminoso (incidente) y la normal a la superficieiluminada.

y C o sy y y

y Id

C o s

A B C

α θ

θ

> >

= 2

AY φ

=

E

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

83

7. Fotómetro

7.1 Es un dispositivo que permite determinar la intensidad luminosa de un foco,comparando la iluminación que produce, con la iluminación producida por otrocuya intensidad se conoce.

7.2 El fotómetro más conocido es el de BUNSEN (Fig.) que está constituido por dosfocos luminosos, una regla graduada y una pantalla móvil.Para determinar la intensidad de uno de los focos la pantalla se mancha conaceite, luego se la mueve hasta conseguir que la mancha se haga invisible, enese momento la pantalla estará igualmente iluminada por ambos lados, y seaplica la siguiente relación:

a) b) c) Finalmente:.

Y Id

Y Id

A

B

=

=

1

12

2

22

Y yA B=Id

Id

=1

12

2

22

II

dd

1

2

12

22=


1. ¿Cuál es la iluminación que produce un flujo luminoso de 0,16 lm cuandoincide en una superficie de 40 cm2?

a) 40 lx b) 16 lx c) 20 lx d) 30 lx e) 60 lx

2. Halla el flujo luminoso que atraviesa un área de 1800 cm2 de un superficieesférica de 30 cm de radio en cuyo centro se ubica un foco luminoso de 40cd.

a) 75 lm b) 80 lm c) 60 lm d) 50 lm e) 25 lm

3. Se tiene un foco puntual que se encuentra en el centro de una superficieesférica de 2 cm de radio y emite un flujo luminoso de 70 lm hacia lasuperficie con un área de 4 cm2. Calcular.A) Su intensidad luminosa.

B) El flujo luminoso total que emite este foco )722( =π

a) 70 cd, 880 lm b) 40 cd, 880 lm c) 70 cd, 500 lmd) 40 cd, 420 lm e) 30 cd, 300 lm

4. ¿Cuál es el flujo luminoso que produce una iluminación de 20 lx en un

superficie circular de 7 cm de diámetro? )722( =π

a) 0,008 lm b) 0,077 lm c) 0,066 lmd) 0,082 lm e) 0,073 lm

5. Con una lámpara de 100 cd se desea iluminar un punto de una superficie enun ángulo de inclinación de 53° respecto de la superficie. Si la iluminaciónrequerida es 20 lx ¿A que distancia del punto se debe colocar la lámpara?

a) 3 m b) 2 m c) 1 m d) 1,5 m e) 0,5 m

6. Un foco luminoso tiene una intensidad de 28 cd. Encontrar el flujo luminoso

que irradia. )722( =π

a) 300 lm b) 400 lm c) 452 lm d) 352 lm e) 381 lm

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

84

7. Calcular la iluminación producida en el punto P de la figura por dos focosluminosos de intensidades I1= 100 cd e I2= 160 cd.

a) 2 lxb) 8 lxc) 10 lxd) 6 lxe) 4 lx

8. En un fotómetro Bunsen dos focos luminosos de intensidades I1= 8cd eI2= 32 cd están separados una distancia de 120 cm ¿A qué distancia de I1 sedebe colocar la pantalla para que quede igualmente iluminada por amboslados?


9. Dos focos luminosos I1 e I2 se encuentran separados entre sí una distanciade 160 cm, e I1 es nueve veces más intenso que I2 ¿A qué distancia de I1 sedebe colocar una pantalla para que reciba igual iluminación por amboslados?


10. ¿En qué relación se encuentran las intensidades luminosos I1 e I2 de losfocos que se muestran en la figura para que produzca igual iluminación en lapantalla?

a) 0,5 b) 0,4c) 0,2 d) 0,16e) 0,25

11. En la figura se muestra dos focos luminosos de igual intensidad luminosa I.La iluminación total que producen en el punto P es 18 lx ¿Cuánto vale I?

a) 10 cd b) 8 cdc) 15 cd d) 18 cde) 16 cd

12. Una lámpara de 32cd cuelga sobre el centro de una mesa circular de 120 cmde diámetro a una altura de 80 cm. Calcular la diferencia entre lasiluminaciones máximas y mínima producidas en la superficie de la mesa.

a) 24,4 lx b) 25,6 lx c) 50,3 lx d) 22,5 lx e) 23,7 lx

13. Un automóvil se acerca con una rapidez de 5 m/s iluminando una pared conincidencia normal, si la intensidad de sus focos es en total 200 cd ¿Cuál serála distancia recorrida cuando la iluminación en la pared cambia de 12,5 lx a50 lx?

a) 2 m b) 4 m c) 3 m d) 1 m e) 6 m

14. En un instante dado una lámpara ilumina con incidencia normal una pantallacon 1600 lx y después de 5 s la iluminación es 100 lx ¿Cuál es la velocidadde la lámpara que se aleja de la pantalla si su intensidad luminosa es 400cd?

a) 0,2 m/s b) 0,1 m/s c) 0,3 m/s d) 1 m/s e) 0,5 m/s

15. En un fotómetro Bunsen dos focos luminosos A y B de intensidades 1 cd y2 cd respectivamente están separados entre sí 60 cm ¿A qué distancia delfoco A se debe colocar la pantalla para que la iluminación que produzca elfoco A sea doble de la que produce el foco B?


16. Dos focos luminosos cuyas intensidades guardan la relación I1= 5I2 seubican como muestra la figura, determinar X para que la pantalla reciba igualiluminación.

a) 2,5 m b) 1,5 m c) 5,5 m

d) 3,5 m e) 4,5 m

17. En un fotómetro Bunsen si la intensidad de un de los focos es el doble de ladel otro ¿En qué relación se encuentran sus distancias a la pantalla paraobtener la misma iluminación sobre ella?

a) 2 b) 3 /2 c) 3 d) 3 /3 e) 2

2m 5m

I1 I2

I2 I1

4m5m

53° 30°P

I2

I1

Pantalla

3m53°

XI I

2m 1m

P

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

85

18. Una célula fotoeléctrica recibe del sol una iluminación de 105 lx. Sabiendoque la distancia entre la Tierra y el sol es 1,5x108 km, hallar la intensidadluminosa provocada por el sol.

a) 2,25x1027cd b) 2,25x1022cd c) 1,5x1017cdd) 1027cd e) 1,5x1027cd

19. En un fotómetro Bunsen la intensidad luminosa del primer foco es el triple dela intensidad del segundo. Para que la iluminación del primer foco sea nueveveces la del segundo en la pantalla ¿En qué relación deben encontrarse lasdistancias de los focos a la pantalla?

a)92 b)

93 c)

33 d)

23 e) 2

20. Una pequeña superficie se ilumina con una lámpara de 90 cd. Esta lámparaes sustituída por otra lámpara de 40 cd. ¿En cuántas veces será necesariodisminuir la distancia de la lámpara a la superficie para que la iluminación enella no varíe?

a) d32

b) d31

c) d41

d) d43

e) d51

TEMA 20

ÓPTICA GEOMÉTRICA

Reflexión de la Luz

La reflexión de la luz, es el cambio de dirección que experimenta un rayo luminoso,al incidir sobre una superficie que le impide continuar su propagación en la mismadirección. En el fenómeno de reflexión la luz se propaga en el mismo medio y con lamisma velocidad.

Elementos de la Reflexión

1. Rayo incidente.- Es el rayo luminoso que llega a la superficie, a un puntodenominado, punto de incidencia.

2. Rayo reflejado.- Es el rayo que cambia de dirección a partir del punto deincidencia, para continuar propagándose en el mismo medio.

3. Normal.- Es la recta perpendicular a la superficie en el punto de incidencia.4. Ángulo de incidencia(i).- Es el ángulo formado por el rayo incidente y la normal

a al superficie en el punto de incidencia.5. Ángulo de reflexión(r).- Es el ángulo formado por el rayo reflejado y la normal a

la superficie en el punto de incidencia.

Clases de la reflexión

Reflexión Regular

Cuando un haz de rayos luminosos paralelos incide sobre una superficie planaperfectamente pulida, los rayos reflejados son paralelos entre sí, en este caso lareflexión se denomina regular.

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

86

Reflexión Difusa o IrregularCuando un haz de rayos luminosos paralelos incide sobre una superficie planarugosa, los rayos reflejados no son paralelos entre sí, en este caso la reflexión sedenomina difusa.

Leyes de la Reflexión (Regular)

1. La medida del ángulo de incidencia es igual a la medida del ángulo de reflexión

∧∧

= ri

2. El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal están en un mismo plano,denominado de incidencia, el cual es perpendicular a la superficie de reflexión oreflectante.

Espejos

Es una superficie reflectante, perfectamente pulida, en la cual se cumplen las leyesde la reflexión.Los espejos se clasifican en planos y curvos, en ambos casos dividen al espacio quelos rodea en dos zonas:

a) Zona real (ZR), la que está frente al espejo, donde cualquier distancia que semida se considera positiva.

b) Zona virtual (ZV), la que está detrás del espejo, donde cualquier distancia que semida se considera negativa.

ObjetoEs el punto o conjunto de puntos de los cuales parten los rayos luminosos queinciden en el espejo.

ImagenEs el punto o conjunto de puntos que se obtienen mediante la intersección de losrayos reflejados o de sus prolongaciones.

Imagen realSe caracteriza por:− Se forma en las intersecciones de los rayos reflejados(Zona real del espejo)− Es invertida− Se puede recibir en una pantalla

Imagen virtualCaracterísticas de una imagen virtual

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87

− Se forma en las intersecciones de las prolongaciones de los rayosreflejados(Zona virtual del espejo)

− Es derecha− No se puede recibir en una pantalla.

Espejo plano

Es una superficie reflectante, plana perfectamente pulida donde se produce reflexiónregular.

Formación de la imagen de un punto en un espejo plano.Para obtener la imagen de un punto, se trazan dos rayos incidentes al espejo y sedetermina donde se cortan los rayos reflejados o sus prolongaciones.

Formación de la imagen de un objeto en un espejo plano.Para obtener la imagen de un objeto en un espejo plano, se determinan lasimágenes de varios puntos y luego se unen dichos puntos. Si el objeto es linealbasta determinar las imágenes de sus dos puntos extremos y luego se los une.

Se puede observa que los espejos planos, forman imágenes virtuales, derechas, delmismo tamaño del objeto y simétricas ( la imagen y el objeto son equidistantesrespecto al espejo)

Espejos esféricos

Son casquetes de esfera cuya superficie reflectante puede ser la interna o laexterna.Si la superficie de reflexión es la interna el espejo se denomina cóncavo, y si es laexterna se denomina convexo.

Elementos de los espejos esféricos

- Centro de curvatura(c).- Es el centro de la esfera a la cual pertenece el espejo.- Vértice (V).- Es el centro geométrico del espejo.- Eje principal.- Es la recta que pasa por el centro de curvatura y el vértice.- Foco principal (F).- Es el punto ubicado en el eje principal en el cual concurren

los rayos reflejados o sus prolongaciones, provenientes de rayos incidentesparalelos al eje principal.

- Radio de curvatura (R).- Es el radio de la esfera a la cual pertenece el espejo.- Distancia focal (f).- Es la distancia entre el foco principal y el vértice (f=R/2)- Abertura (MN).- Es la cuerda que subtiende al casquete.

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

88

Rayos principales en los espejos esféricos

− Si un rayo que incide en el espejo es paralelo al eje principal, el rayo reflejado osu prolongación pasa por el foco principal.

− Si un rayo incidente o su prolongación pasa por el foco principal, el rayo reflejadoes paralelo al eje.

− Si un rayo incidente o su prolongación pasa por el centro de curvatura el rayoreflejado sigue la misma trayectoria.

Formación de imágenes en los espejos esféricos

Para obtener la imagen de un objeto, formada por un espejo esférico esindispensable intersectar dos de los tres rayos principales, estudiadosanteriormente.

Construcción de imágenes de un espejo cóncavo

Casos

1. El objeto se encuentra situado más allá del centro de curvatura.

Imagen real, invertida y de

menor tamaño que el objeto.

2. El objeto se encuentra en el centro de la curvatura.

Imagen real, invertida y del

mismo tamaño que el objeto.

3. El objeto se encuentra entre el foco y el centro de curvatura.

Imagen real, invertida y de

mayor tamaño que el objeto.

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

89

4. El objeto se encuentra situado en el foco principal.

No se forma imagen porque los

rayos reflejados no se cortan.

Se suele decir también que la

imagen se forma en el infinito.

5. El objeto se encuentra situado entre el foco principal y el vértice del espejo.

La imagen es virtual, derecha y

de mayor tamaño que el objeto.

Construcción de imágenes de un espejo convexo.

Un espejo esférico convexo forma siempre una imagen virtual, derecha y de menortamaño que el objeto.

Ecuación de Descartes de los Espejos Esféricos.

La ecuación de Descartes de los espejos esféricos se aplica para el caso de rayosincidentes muy próximos al eje principal (rayos para - axiales), relaciona la distanciadel objeto al espejo (p) con la distancia de la imagen al espejo (q) y la distancia focal(f) del espejo.

fqp111

=+

2Rf

Como

=⇒

Rqp211

=+

Al aplicar la Ecuación de Descartes se debe tener en cuenta la siguiente regla designos:

+ Real.Objetop

−+

..

ConvexoEspejoEspejo Cóncavo

f

−+

.ImReal.ImVirtualagen

agenq

−+

..

ConvexoEspejoCóncavoEspejo

R

Aumento (m)

Es la relación entre el tamaño de la imagen (y’) y el tamaño del objeto (y).O sea:

yym '

=pqm −=

−

+

ReImIm

al.agenVirtual.agen

m−

+

.Im.Im

InvertidaagenDerechaagen

m

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

90

Refracción de la luz

Es el cambio de dirección que experimenta un rayo luminoso al pasar de un medio aotro de diferente densidad, debido al cambio de velocidad que sufre el rayo luminosoal propagarse de un medio a otro de densidad diferente. Para una incidencia normalal rayo no cambia de dirección.

Elementos de refracción

1.- Rayo incidente.- Es el rayo luminoso que llega a la superficie que separa los dosmedios o superficies de refracción.

2.- Rayo refractado.- Es el rayo luminoso que atraviesa la superficie que separa losdos medios.

3.- Normal.- Es la recta perpendicular a la superficie.4.- Ángulo de incidencia ( i ).- Es el ángulo formado por el rayo incidente y lanorma a la superficie.

5.- Ángulo de refracción ( r ).- Es el ángulo formado por el rayo refractado y lanormal a la superficie.

Rayo incidente

Medio (1)v1 = Velocidad de la luz en el medio (1)

v2 = Velocidad de la luz en el medio (2)

Superficie que separa los dos medios

Medio (2)

Rayo refractado

i

Se debe tener en cuenta que cuando el rayo de luz pasa de un medio a otro demayor densidad, el rayo refractado se acerca a la norma, y si el rayo de luz pasa deun medio a otro de menor densidad, el rayo refractado se aleja de la normal.

Índice de refracción de un medio (n)

Es el cociente de la velocidad de la luz en el vacío(c) y la velocidad de la luz en elmedio (v)

υcn = n ≥ 1

El índice de refracción del aire es igual a 1.

Leyes de la Refracción

1ra. Ley.- El rayo incidente, el rayo refractado y la normal están contenidos en unmismo plano, el cual es perpendicular a la superficie que separa los dos medios.

2da. Ley.- El seno del ángulo de incidencia es al seno del ángulo de refracción comola velocidad de la luz en el medio en el cual se propaga el rayo incidente es a lavelocidad de la luz en el medio en el cual se propaga el rayo refractado.

( )( ) 2

1

υυ

=rSeniSen

Ley de Snell

Por la segunda ley de la refracción se tiene:

( )( ) 2

1

υυ

=rSeniSen

⇒ ( ) ( )rSeniSen21

11υυ

=

_____________________________________________________________________FÍSICA___________________________________________________________________

91

Multiplicando los dos miembros de la última igualdad por la velocidad de la luz en elvacío (c)

( ) ( )rSenciSenc

21 υυ=

Pero:

11

nc=

υ Índice de refracción del medio (1) ;

22

nc=

υ Índice de refracción del medio (2)

Luego:n1 sen1=n2 sen r

ley de Snell

Lentes

Una lente es un medio transparente limitada por dos superficies, de las cuales unade ellas por lo menos debe ser esférica.

Clases de lentes

a) Convergentes.

Los lentes convergentes se caracterizan porque la parte central es más ancha quelos bordes y todos los rayos refractados de rayos incidentes paralelos al eje principalpasan por un punto denominado foco.

b) Divergentes.

Los lentes divergentes se caracterizan porque los bordes son mas anchos que laparte central y todos los rayos refractados de rayos incidentes paralelos al ejeprincipal se separan de tal manera que sus prolongaciones se cortan en un puntodenominado foco.

Elementos de una lente

1.- Centro óptico (o).- Es el centro geométrico de la lente.2.- Centros de curvatura (C1 y C2).- Son los centros de las superficies esféricas que

limitan la lente.3.- Radios de curvatura (R1 y R2).- Son los radios de las superficies esféricas que

limitan la lente.4.- Eje Principal.- Es la recta que pasa por el centro óptico y los centros de

curvatura de la lente.5.- Foco objeto (F0).- Es el foco situado en la región donde se encuentra el objeto.6.- Foco imagen (Fi).- Es el foco ubicado en la región donde no se encuentra el

objeto.

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7.- Foco principal (F).- Es el punto situado en el eje principal por el cual pasan losrayos refractados o sus prolongaciones, provenientes de rayos incidentes queprovienen de rayos incidentes paralelos al eje principal. El foco principalpuede ser el foco objeto o el foco imagen.

8.- Distancia focal (f).- Es la distancia entre el foco principal y el centro óptico dela lente.

Rayos principales en las lentes

− Si un rayo incidente es paralelo al eje principal, el rayo refractado o suprolongación pasa por el foco.

− Si un rayo incidente o su prolongación pasa por el foco entonces, el rayorefractado es paralelo al eje.

− Si un rayo incidente pasa por el centro óptico, el rayo refractado sigue la mismadirección.

F F F F FFO

OO

Rayos Principales en las Lentes Divergentes.

Formación de imágenes en las lentes

Para obtener la imagen de un objeto, formada por una lente es indispensableintersectar dos de los tres rayos principales.

Construcción de imágenes de una lente convergente.

Casos

1.- El objeto se encuentra a una distancia: d>2f

Imagen real, invertida ymás pequeña que elobjeto.

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2.- El objeto se encuentra a una distancia: d=2f

3.- El objeto se encuentra a una distancia: f<d<2f

4.- El objeto se encuentra a una distancia: d = f (en el foco)

5.- El objeto se encuentra a una distancia: 0<d<f

Construcción de imágenes de una lente divergente

Una lente divergente, forma siempre una imagen virtual, derecha y de menor tamañoque el objeto.

Ecuaciones de las lentes

1.- Ecuación del constructor de lentes

f = Distancia Focal de la Lente.n = Índice de Refracción de la Lente.R1 =Radio de Curvatura de la Superficie máscercana al objeto.R2 =Radio de Curvatura de la Superficiemenos cercana al objeto.

( )

+−=

21

1111RR

nf

Imagen real, invertida ydel mismo tamaño queel objeto.

Imagen real, invertida yde mayor tamaño queel objeto.

No se forma imagenporque los rayosrefractados no secortan. Se suele decirque la imagen seforma en el infinito.

Imagen virtual, derecha yde mayor tamaño que elobjeto.

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Si la superficie que limita la lente es convexa, su radio de curvatura es positivo (+), sies cóncava es negativa (-) y si es plana el radio de curvatura es infinito ( ∞ ).

2.- Ecuación de Descartes

p = Distancia del objeto a lalente.q = Distancia de la imagen a lalente.f = distancia focal de la lente.

−

+

.ImReal.ImVirtualagen

agenq

+ Real.Objetop

−

+

Divergente.LenteLente

f−Convergente.−

AUMENTO (m)

yym '

= ópqm −=

y’ = tamaño de la imageny = tamaño del objeto

−+

.ReIm.Im

alagenVirtualagen

m−+

.Im.Im

InvertidaagenDerechaagen

y’

Potencia de una lente (P)

La potencia de una lente es la inversa de la distancia focal o sea

fP 1

=

Si la distancia focal se mide en metros, la unidad de potencia de la lente sedenomina DIOPTRIA.

PROBLEMAS

1.- Hallar la longitud mínima que debe tener un espejo plano vertical situado a unadistancia d de una persona de estatura h para que la persona pueda ver su imagencompleta.

a) h b) h/2 c)h/3 d)2h/3 e) h/5

2.- Un objeto se encuentra a 30 cm de un espejo cóncavo de 40 cm de radio. Hallarla distancia de la imagen al espejo y el aumento.

a) 60 cm,-2 b) 60 cm,2 c)30 cm,-2 d)30 cm, -3 e) 20 cm,3

3.- Se tiene un espejo convexo de 15 cm de distancia focal y un objeto situado a 5cm del espejo. Calcular la distancia de la imagen al espejo y el aumento.

a) -3,25 cm;0,25 b) -3,50 cm;0,50 c) -3,75 cm;0,75 d) -2,75cm;0,75 e) -3,50 cm;0,50

4.- Determinar a que distancia de un espejo cóncavo de 12 cm de radio se debe colocar unobjeto para obtener una imagen real y tres veces más grande que el objeto.


5.- Un rayo de luz que se propaga en el aire llega a la superficie del agua con unángulo de incidencia de 53°. Hallar: a) La velocidad del rayo que se propaga en elagua. b) El ángulo de refracción (índice de refracción del agua = 4/3).

a) 2,25x108 m/s;37° b) 2,25x108 m/s;30° c) 2,15x108 m/s;45°

d) 2,75x108 m/s;37° e) 2,75x108 m/s;60°

6.- Hallar a que distancia de una lente divergente de 5 cm de distancia focal se debecolocar un objeto para obtener una imagen 4 veces más pequeña que el objeto.


7.- Hallar la potencia en dioptrías de una lente que forma una imagen real y 4 vecesmás grande que un objeto situado a 10 cm de la lente.

a) 13 b) 12 c) 12,5 d) 13,5 e) 10,5

fqp111

=+

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8.- Los radios de curvatura de una lente biconvexa de índice de refracción 1,5 son 4cm y 12 cm. Determinar la posición de la imagen y el aumento de un objeto colocadoa 4 cm de la lente.

a) -10 cm;2 b) -12 cm;3 c)-12 cm;4 d) 12 cm;3 e) 10 cm;2

9.- Se coloca un objeto frente a una lente plano - cóncava y se obtiene una imagen virtualcinco veces más pequeña que el objeto, si el radio de la superficie cóncava es 20 cm;hallar: a) La distancia del objeto a la lente. b) La distancia de la imagen a la lente (n=1,5).

a) p = 160 cm b) p = 80 cm c) p = 32 cm d) p = 80 cm e) p = 90 cmq = -32 cm q = -16 cm q = 160 cm q = 16 cm q = -30 cm

BANCO DE PREGUNTAS

1. Una persona de estatura h se sitúa a una distancia d de un espejo planovertical que se encuentra a nivel de la cabeza. Determinar la longitud mínimade espejo para que la persona vea la imagen de la mitad de su cuerpo.

a)2h

b) h c)3h

d)5h

e)4h

2. Una persona se encuentra 1 m delante de una espejo plano vertical, detrásde la persona y a 4 m hay un árbol de 6 m de altura ¿Qué longitud mínimade espejo necesita la persona para ver la imagen del árbol completo?

a) 1m b) 1,5 m c) 1,2 m d) 2 m e) 2,5 m

3. Un objeto se coloca a 120 cm de un espejo esférico cóncavo de 60 cm deradio, hallar la posición de la imagen y el aumento.

a) 60 cm, -1/2 b) 50 cm, -5/12 c) 30 cm, -1/4d) 20 cm, -1/6 e) 40 cm, -1/3

4. Un espejo esférico convexo tiene 40 cm de radio de curvatura. Si se colocaun objeto a una distancia de 60 cm del espejo, determinar la distancia de laimagen al espejo y al aumento.

a) –10 cm; 0,6 b) –30 cm; 0,5 c) –10 cm; 0,4d) –15 cm; 0,25 e) –20 cm; 0,3

5. Un espejo esférico cóncavo cuyo radio de curvatura es de 50 cm forma unaimagen real y 5 veces más grande que el objeto. Hallar la distancia de laimagen al espejo.a) 1,2 m b) 1,3 m c) 1,4 m d) 1,5 m e) 1,6 m

6. Si frente a un espejo esférico cóncavo de 20 cm de radio se coloca un objetode 5 mm de altura a una distancia de 15 cm del espejo, entonces se puedeafirmar:

I. El espejo forma una imagen real.II. La altura de la imagen es 15 mmIII. La imagen se encuentra a 30 cm del espejo.Indicar verdadero (V) o falso (F)

a) VVV b) VVF c) VFV d) FVF e) FFV

7. Si un objeto de 10 cm de altura se coloca a 20 cm de un espejo esféricocóncavo de 15 cm de distancia focal entonces la imagen formada es:a) Real, de tamaño mayor a 10 cm y se ubica a más de 30 cm del espejo.b) Real, de tamaño igual a 10 cm y se ubica a menos de 30 cm del espejo.c) Real, de tamaño mayor a 10 cm y se ubica a 30 cm del espejod) Real, de tamaño mayor a 10 cm y se ubica menos de 30 cm del espejo.e) Virtual, de tamaño mayor a 10 cm y se ubica a menos de 30 cm del

espejo.

8. Un objeto situado a 10 cm de un espejo esférico cóncavo produce unaimagen real a 8 cm del espejo. Si el objeto se mueve a una nueva posición a40 cm del espejo ¿Cuál es la posición y naturaleza de la última imagen?

a) –5 cm, virtual b) 2 cm, real c) 4 cm, reald) –2 cm, virtual e) 5 cm, real

9. Si un espejo esférico convexo forma una imagen virtual y cuatro veces máspequeña que el objeto, sabiendo que la distancia focal del espejo es –10 cmdeterminar la distancia del objeto al espejo.


10. Un espejo esférico forma una imagen virtual a 4 m del espejo cuando elobjeto se encuentra a 8 m del espejo. Determinar la distancia focal delespejo e indicar su naturaleza.a) 4 m, cóncavo b) –4 m, convexo c) 8 m, cóncavod) –8 m, convexo e) –5 m, convexo

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11. Si se coloca un objeto frente a un espejo esférico se forma una imagen realde tamaño cuádruple del objeto. Si la distancia entre el objeto y la imagen es9 cm, calcular la distancia focal del espejo.

a) 2,4 cm b) 3,2 cm c) 5,1 cm d) 4,3 cm e) 6,2 cm

12. Si la distancia entre el objeto y la imagen virtual que forma un espejoesférico cóncavo de 4 cm de distancia focal es 6 cm, hallar la distancia delobjeto al espejo.

a) 3 cm b) 2 cm c) 1 cm d) 0,5 cm e) 15, cm

13. Un rayo de luz que se propaga en una sustancia de índice de refracción 1,2llega al aire con un ángulo de incidencia de 30°. Encontrar el ángulo derefracción.a) 45° b) 90° c) 37° d) 53° e) 60°

14. Encontrar el índice de refracción del líquido de la figura.

a)226

b) 13

c)3132

d)213

e)426

15. Un objeto situado a 4 cm de un lente divergente produce una imagen a 2 cmde la lente. Si el objeto se mueve hasta quedar a 8 cm de la lente ¿Cuál serála posición de la segunda imagen?

a) –1,5 cm b) –1,2 cm c) –1,6 cm d) –1,4 cm e) –1,3 cm

16. ¿Cuál es el aumento que produce una lente divergente de –32 cm dedistancia focal de un objeto situado a 8 cm de la lente?

a) 0,8 b) 0,6 c) 0,5 d) 0,7 e) 0,4

17. Un objeto que se encuentra a 6 cm de una lente forma una imagen sobreuna pantalla ubicada a 30 cm de la lente. Determinar la potencia de la lenteen dioptrías.

a) 15 b) 10 c) 20 d) 30 e) 5

18. Se coloca un objeto a un distancia de 30 cm de una lente biconvexa cuyapotencia es 5 dioptrías. Encontrar el aumento.

a) 2 b) -2 c) 3 d) 1/2 e) –1/2

19. La distancia entre un objeto y su imagen virtual es 20 cm. Si el aumento es0,5 ¿Cuál es la distancia focal de la lente?

a)-30 cm b)-40 cm c) 40 cm d) 10 cm e) –10 cm

20. Los radios de curvatura de una lente biconvexa son 3 cm y 6 cm y su índicede refracción 1,5. Hallar a que distancia de la lente se forma la imagen de unobjeto situado a 8 cm de la lente.

a) 6 cm b) 8 cm c) 5 cm d) 7 cm e) 4 cm55

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