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Criterio Unico
di Divisibilità
(Primo Fondamentale Modello Generale)
__________
Gianluca R. M. Pisano
Prima Edizione
© 2010
2
Sommario
__________
1. Prefazione 5
2. Introduzione 6
3. La scrittura posizionale in base dieci 8
4. I criteri di divisibilità eterogenei 10
5. Criterio Unico di Divisibilità
Primo Fondamentale Modello Generale 16
6. Caratteristiche del
Criterio Unico di Divisibilità 24
7. Proprietà del
Criterio Unico di Divisibilità 28
8. Considerazioni 36
3
Criterio Unico di Divisibilità
Dedicato a Ornella…
4
…indi l’essere e il non essere si generano l’un l’altro
il difficile ed il facile si completano a vicenda
lungo e corto si foggiano a vicenda
alto e basso si invertono a vicenda
sòno e tono si accordano a vicenda
prima e dopo si seguono a vicenda…*
Estratto da: La regola celeste – Lao Tse – RCS Sansoni Editrice
S.p.A., Firenze – Titolo originale Tao Tê Ching
5
Prefazione a cura dell’autore.
È stata semplice curiosità, o forse qualcosa di più: il tentativo
di trovare una efficace descrizione dell’operazione matematica
di divisione, al fine di poter individuare con semplicità la
primalità di un qualunque numero intero, cioè la sua
indivisibilità.
Un percorso da me iniziato circa dieci anni fa, nell’anno 2000.
Durante la realizzazione di un programma informatico
potenzialmente in grado di migliorare le prestazioni di calcolo
dei personal computer, Stefano Contessa, amico e collega di
studi universitari, mi chiese dell’importanza dei numeri primi,
domanda che scatenò quella semplice curiosità di cui parlavo.
In seguito mi resi conto che la possibilità di poter effettuare
operazioni di divisione mirate e sintatticamente coerenti
assumeva un ruolo cruciale, ma i limiti imposti dalle leggi
informatiche e dall’hardware a disposizione rendevano
necessaria la ricerca di una risoluzione in altri lidi.
Dopo un gran numero di tentativi inutili, mi accorsi che il mio
primo passo doveva essere la scoperta di ordini alternativi a
quelli già conosciuti presenti nella disposizione dei numeri
naturali, perciò si rendeva necessaria almeno la rivisitazione
dei tradizionali criteri di divisibilità. La loro diversità, ciò che
chiamo eterogeneità dei criteri di divisibilità, a sua volta mi
indusse a formulare la seguente domanda:
Esiste un criterio unico di divisibilità che segua una regola
generale omogenea, semplice da trovare, per tutti i possibili
infiniti divisori?
Il desiderio di rispondere a questo interrogativo mi ha
condotto, verso la fine dell’anno 2007, alla scoperta di ciò che
oggi mi accingo ad illustrare.
Manduria, 01/10/2010
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1. Introduzione
In Aritmetica i criteri di divisibilità sono algoritmi che
permettono di verificare la divisibilità di un numero per un
fattore, senza eseguire la divisione esplicita.
Consistono in una serie di operazioni da effettuare sulle cifre
che compongono il numero, operazioni che dovrebbero
apparire talmente semplici da poter essere eseguite
mentalmente o, comunque, essere più rapide della divisione
canonica.
Dati due numeri naturali a e b diversi da 0, per verificare
se b divide a, è necessario svolgere la divisione completa al
fine di calcolare il resto r, poiché b divide a se e solo se
r è uguale a 0.
La divisione è tuttavia un’operazione lunga e operativamente
tortuosa, con una discreta probabilità di errori di calcolo.
E' perciò utile poter disporre di criteri di divisibilità intesi come
condizioni necessarie e sufficienti affinché un numero sia
divisibile e praticamente più semplici dello svolgimento della
divisione completa, che consentano eventualmente di
distinguere la nullità del resto della divisione a prescindere dal
suo svolgimento.
Per questo motivo un criterio di divisibilità per un numero
naturale b diverso da 0 dovrebbe essere una condizione,
indicata con c ed applicata al numero naturale a, che soddisfa
due richieste:
1. b divide a se e solo se la condizione c è verificata su a;
2. la verifica della condizione c è discretamente più semplice
e rapida dello svolgimento della divisione completa di a
per b.
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È utile considerare che stabilire se un numero sia divisibile da un altro, o se un numero naturale sia primo e in caso contrario
trovare i suoi divisori primi, è di solito un problema difficile,
per il quale non disponiamo di metodi generali tranne
sostanzialmente quello di svolgere la divisione completa.
Più di duemila anni fa i matematici greci dimostrarono che
ogni numero intero non primo può essere scritto come prodotto
di numeri primi.
Da allora un metodo generale rapido ed efficiente per
individuare i numeri primi con cui si costruiscono gli altri
numeri continua a eludere i matematici. Ciò che manca è
l’equivalente della spettroscopia, (1) che permette ai chimici di
stabilire quali elementi della tavola periodica sono i costituenti
di una sostanza composta. (2)
Si conoscono tuttavia alcuni criteri di divisibilità, la maggior
parte dei quali correlati alla scrittura posizionale in base dieci.
Taluni criteri permettono anche di conoscere il resto della
divisione mentre altri si limitano alla verifica di divisibilità.
____________________
(1) Branca della Fisica che studia gli spettri elettromagnetici emessi o
assorbiti dagli atomi e dalle molecole e, in senso più ampio, quella
parte della Fisica moderna che studia e classifica i livelli energetici di
ogni sistema quantistico. Nel 1860 G. Kirchhoff enunciò una legge
fondamentale della spettroscopia che sostiene che ogni gas assorbe le
radiazioni della stessa lunghezza d’onda che è in grado di emettere.
Questa legge, fondata su principi generali della termodinamica,
permise a Kirchhoff di interpretare le righe di Fraunhofer e il
raffronto della posizione di queste righe con gli spettri emessi dai gas
incandescenti gli consentì di riconoscere l’esistenza di elementi
chimici in corpi celesti non soggetti ad analisi diretta.
(2) Estratto da: L’Enigma dei Numeri Primi – Marcus Du Sautoy
Edizione Mondolibri S.p.A., Milano, pag. 414.
8
2. La scrittura posizionale in base dieci
La scrittura dei numeri si avvale della convenzione che ogni
cifra posta a sinistra di un’altra è di ordine immediatamente
superiore all’ordine di questa.
Si nota quindi che ogni cifra ha un valore assoluto, che è la
quantità di unità, ed un valore relativo che varia al variare del
posto che essa occupa nel numero. Il nostro sistema di
numerazione decimale, che utilizza dieci simboli cioè le dieci
cifre arabiche 0, 1, 2, 3,…9, (3) è quindi un sistema posizionale,
poiché ogni cifra ha un valore particolare dipendente dalla
posizione occupata all’interno del numero. (4)
Nella scrittura posizionale in base dieci per esempio il numero
1365 equivale a:
1 · 1000 + 3 · 100 + 6 · 10 + 5 · 1
vale a dire
1 · 103 + 3 · 102 + 6 · 101 + 5 · 100
In generale dividendo un numero naturale a per 10, si ottiene
il quoziente q, cioè il numero formato dalle cifre di a senza
l’ultima cifra a destra, quella delle unità, mentre il resto r è
proprio tale ultima cifra.
____________________
(3) Nonostante originarie dell’India, le cifre arabiche, o arabe, furono
introdotte in Italia nel 1200 circa dal mercante e matematico
Leonardo Pisano o da Pisa, detto Fibonacci (da filius Bonaccii), che
le apprese infatti dagli Arabi. Egli scrisse il Liber Abaci, uno dei più
importanti libri antichi di Aritmetica che si conosca.
(4) L’Assemblea generale dell’Unione Internazionale di Fisica,
riunitasi ad Amsterdam nel 1949, stabilì che i grandi numeri si
possono dividere in classi, ma queste non devono essere separate da
punti o virgole.
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Ciò introduce il basilare criterio di divisibilità, semplice e particolarmente noto, qui riportato per esemplificare ciò che si
intende per condizione c, e come intervengono sia il criterio di
divisione che la scrittura posizionale in base dieci dei numeri.
Un numero naturale a è divisibile per 10 se e solo se l’ultima
cifra a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci, cioè
la cifra delle unità, è 0.
Osserviamo che, in questo caso, la condizione c è dichiarata
nelle parole l’ultima cifra a destra nella sua scrittura
posizionale in base dieci è 0.
Per la dimostrazione è sufficiente ricordare che a è divisibile
per 10 se e solo se il resto della divisione di a per 10 è 0 e
che, nella scrittura posizionale in base dieci, l’ultima cifra a
destra di a sia proprio tale resto.
Esempio:
1365 = 1360 + 5 cioè
1365 = 10 · 136 + 5 non divisibile da 10.
Analogamente un numero naturale a è divisibile da 100 se e
solo se sono nulle le ultime due cifre a destra nella sua scrittura
posizionale in base dieci poiché queste sono il resto della
divisione di a per 100.
Ciò vale anche per 1000, 10000, ..., 10n, se sono nulle le ultime
3, 4, ..., n, cifre a destra nella sua scrittura posizionale in base
dieci.
Esempio:
1365 = 1300 + 65 cioè
1365 = 100 · 13 + 65 non divisibile da 100.
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3. I criteri di divisibilità eterogenei
L’aspetto eterogeneo dei criteri di divisibilità si evidenzia con
la risposta che taluni riservano alla domanda:
Esiste un criterio unico di divisibilità che segua una regola
generale omogenea, semplice da trovare, per tutti i possibili
infiniti divisori?
La risposta alla domanda è semplice, ed è no! Le motivazioni
sono complesse e coinvolgono alcune questioni fondamentali di
teoria dei numeri (una delle branche più profonde e
impegnative di tutta la matematica...): le varie tecniche sono
applicazioni della teoria delle congruenze, propria della
cosiddetta aritmetica modulare. (5)
È quindi evidente che l’apparente assenza di una regola
generale omogenea dà luogo all’eterogeneità dei criteri di
divisibilità finora scoperti, qui di seguito riportati in una breve
descrizione:
Criterio di divisibilità per 2.
Un numero naturale a è divisibile da 2 se e solo se la
cifra delle unità nella sua scrittura posizionale in base dieci
è 0 oppure pari, vale a dire 2, 4, 6, 8.
Esempio: 54 è divisibile da 2 perché la cifra delle unità è
pari, cioè 4.
510 è divisibile da 2 perché la cifra delle unità è
0.
____________________
(5) La risposta, comunicata all’autore tramite mail, proviene da un
illustre matematico.
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Criterio di divisibilità per 3.
Un numero naturale a è divisibile da 3 se e solo se la
somma delle cifre nella sua scrittura posizionale in base
dieci è un multiplo di 3. La procedura può essere reiterata.
Esempio: 123 → 1 + 2 + 3 = 6
615 → 6 + 1 + 5 = 12
e reiterando
1 + 2 = 3
Criterio di divisibilità per 4.
Un numero naturale a è divisibile da 4 se le ultime due
cifre a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci
sono 0 oppure multiplo di 4, o le ultime due cifre sono tali
che la sua penultima è dispari e l’ultima è 2 o 6, oppure
la sua penultima cifra è pari e l’ultima è 0, 4, 8.
Esempio: 728 è divisibile da 4 poiché le ultime 2 cifre
sono 2 e 8, cioè 28, multiplo di 4.
136 è divisibile da 4 poiché la cifra delle unità è
6 e la cifra delle decine è dispari.
Criterio di divisibilità per 5.
Un numero naturale a è divisibile da 5 se e solo se la
cifra delle unità nella sua scrittura posizionale in base dieci
è 0 oppure 5.
Esempio: 125 è divisibile da 5 poiché la cifra delle unità è
5.
320 è divisibile da 5 poiché la cifra delle unità è
0.
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Criterio di divisibilità per 6.
Un numero naturale a è divisibile da 6 se e solo se è
divisibile da 2 e da 3.
Esempio: 930 è divisibile da 6 poiché è divisibile
simultaneamente da 2 e da 3.
Criterio di divisibilità per 7.
Un numero naturale a è divisibile da 7 se nella sua
scrittura posizionale in base dieci il numero, che si ottiene
sottraendo il doppio della cifra delle unità dal numero
formato con le rimanenti cifre è 0 oppure multiplo di 7.
In alcuni casi, come 14 e 119, il risultato è negativo perciò
si considera in valore assoluto. La procedura può essere
reiterata.
Esempio: 63 → 2 · 3 – 6 = 0
182 → 2 · 2 – 18 = -14 o ㅣ14ㅣ
e reiterando
2 · 4 – 1 = 7
Criterio di divisibilità per 8.
Un numero naturale a è divisibile da 8 se e solo se nella
sua scrittura posizionale in base dieci le ultime tre cifre a
destra sono uguali a 0 oppure divisibili da 8 .
Esempio: 13000 è divisibile da 8 poiché le ultime 3 cifre
a destra sono uguali a 0.
2168 è divisibile da 8 poiché le ultime 3 cifre
a destra sono divisibili da 8.
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Criteri di divisibilità per 9.
Un numero naturale a è divisibile da 9 se e solo se la
somma delle cifre nella sua scrittura posizionale in base
dieci è divisibile per 9. La procedura può essere reiterata.
Esempio: 1827 → 1 + 8 + 2 + 7 = 18
e reiterando
1 + 8 = 9
Criterio di divisibilità per 11. (6)
Un numero naturale a è divisibile da 11 se e solo se nella
sua scrittura posizionale in base dieci la differenza tra la
somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di
posto dispari è 0 oppure multiplo di 11. La procedura
può essere reiterata.
Esempio: 1342 → (1 + 4) – (3 + 2) = 0
Criterio di divisibilità per 13.
Un numero naturale a con più di due cifre è divisibile da
13 se e solo se nella sua scrittura posizionale in base dieci
la somma del quadruplo della cifra delle unità con il
numero formato dalle rimanenti cifre è 13 o multiplo di 13.
Esempio: 169 → 16 + 4 · 9 = 52
e reiterando
5 + 4 · 2 = 13
____________________
(6) In qualunque base B, i criteri di divisibilità indicati sopra per 9 e
11 possono essere generalizzati al criterio di divisibilità per B - 1 e
B + 1.
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Criterio di divisibilità per 17.
Un numero naturale a con più di due cifre è divisibile da
17 se e solo se nella sua scrittura posizionale in base dieci
la differenza, in valore assoluto, fra il numero ottenuto
eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra
delle unità è 0 oppure 17 o un multiplo di 17.
Esempio: 153 → 15 - 5 · 3 = 0
391 → 39 - 5 · 1 = 34
e reiterando
3 - 5 · 4 = -17 o ㅣ17ㅣ
Criterio di divisibilità per 19.
Un numero naturale a è divisibile da 19 se e solo se il
doppio della sua ultima cifra, cioè la cifra delle unità,
sommato alla cifra delle decine è uguale ad un multiplo di
19. Si continua in questo modo fino ad esaurire tutte le
cifre di a. La procedura può essere reiterata.
Esempio: 437 → 7 · 2 + 3 = 17
17 · 2 + 4 = 38
8 · 2 + 3 = 19
Criterio di divisibilità per 10n – 1.
Il criterio descritto per il numero 19 si può generalizzare ai
numeri interi che hanno 9 come cifra delle unità, cioè a tutti
gli interi nella forma 10n – 1 e cioè 9, 19, 29, 39, ecc. Invece
di moltiplicare per 2, come nel caso del 19, si moltiplica per n.
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Criterio di divisibilità per 25.
Un numero naturale a è divisibile da 25 se e solo se nella
sua scrittura posizionale in base dieci lo è il numero
formato dalle ultime 2 cifre a destra, cioè 00, 25, 50, 75
Esempio: 3175 è divisibile da 25 poiché il numero
formato dalle ultime 2 cifre a destra, cioè 75, è
divisibile da 25.
Criterio di divisibilità per 125.
Un numero naturale a è divisibile da 125 se e solo se nella
sua scrittura posizionale in base dieci lo è il numero
formato dalle ultime 3 cifre a destra, cioè 000, 125, 250,
375, 500, 625, 750, 875.
Esempio: 13875 è divisibile da 125 poiché le ultime 3
cifre a destra sono divisibili da 125.
Criterio di divisibilità per 1001.
Il criterio è simile a quello per 11, solo che le cifre sono
sottratte tra loro a gruppi di tre.
Esempio: 171171 : 1001 → 171 - 171 = 0
16
4. Criterio Unico di Divisibilità
Primo Fondamentale Modello Generale
Il Criterio Unico di Divisibilità non è eterogeneo, piuttosto lo si
può definire come un modello generale di criterio di divisibilità
semplicemente omogeneo, valido per qualunque possibile
divisore e che, per mezzo della condizione indicata con c e
applicata al numero naturale a, soddisfa i due requisiti
precedentemente esposti:
1. b divide a se e solo se la condizione c è verificata in a;
2. la verifica della condizione c è discretamente più semplice
e rapida dello svolgimento della divisione completa di a
per b.
Per comprendere la semplicità del Criterio Unico è sufficiente
ricordare il principio di funzionamento dei quasi leggendari
orologi ad acqua o, con un po’ più di difficoltà, immaginare un
numero come fosse strutturato in un pallottoliere dinamico, che
si ricorda cioè del possibile divisore che conferma la
condizione di divisibilità.
Questa visione di movimento descrive la caratteristica di un
numero naturale a generato dalla somma reiterata di singole
unità che a loro volta generano decine, che a loro volta
generano centinaia, ecc.
La serie dei numeri naturali è l’insieme di tutti i numeri
naturali ordinati in modo che ciascuno sia seguito dal suo
successivo.
È proprio per questo particolare meccanismo di azione che il
possibile divisore, anch’esso interpretabile come un numero
naturale b generato dalla somma reiterata di singole unità che
a loro volta generano decine, che a loro volta generano
centinaia, ecc., è legato strettamente ad a.
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Poiché la scrittura posizionale in base dieci utilizza appunto dieci cifre è vero che un gruppo di dieci unità forma una nuova
unità di ordine superiore.
Così dieci unità realizzano una decina evidenziando appunto
due entità distinte, ma collegate, che possono dare forma ai
numeri naturali a e b:
1. le unità, U;
2. le decine, D.
Nonostante il concetto possa essere esteso ad altre entità e per
di più ad altre scritture posizionali dei numeri, questo studio
illustra esclusivamente le proprietà del legame tra le due
grandezze U e D, cioè unità e decine, da sole sufficienti alla
realizzazione del primo fondamentale modello generale di
Criterio Unico di Divisibilità valido per qualunque divisore.
È inoltre opportuno considerare la condizione di divisibilità di
un numero naturale a non come una condizione passiva di
divisibilità di a, bensì come la capacità di un numero naturale
b di colmare pienamente la distanza che lo separa da a.
Il Criterio Unico, di cui qui si tratta, prende in considerazione
il numero di unità U mancanti a qualunque divisore per
raggiungere la sua più vicina grandezza di paragone, in questo
caso la sua più vicina decina D.
Per questo motivo siffatto Criterio Unico può essere chiamato
Primo Fondamentale Modello Generale.
Riconosciuti i due termini di comparazione, cioè le due
grandezze U e D, è possibile compilare un elenco delle
distanze o intervalli, cioè le quantità di unità U che separano i
possibili divisori b dalle loro decine più vicine D:
18
10 2 8
10 3 7
10 4 6
10 5 5
10 6 4
10 7 3
10 8 2
10 9 1
10 10 0
10 11 1
10 12 2
10 13 3
10 14 4
10 15 5
20 16 4
20 17 3
20 18 2
20 19 1
20 20 0
20 21 1
20 22 2
20 23 3
20 24 4
20 25 5
30 26 4
30 27 3
30 28 2
30 29 1
30 30 0
30 31 1
30 32 2
30 33 3
30 34 4
30 35 5
40 36 4
40 37 3
40 38 2
ecc.
D
(decina di riferimento) b
(divisore) U
(unità)
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Il numero delle unità U del relativo divisore b è il coefficiente
delle decine D di un numero naturale a sul quale si applica il
criterio di divisibilità e il numero delle decine di riferimento D
del medesimo divisore b è il coefficiente della quantità di unità
U del numero naturale a.
Il metodo è simile a quello che si utilizza nel bilanciamento
delle reazioni chimiche (7) le quali sono vincolate alla legge
fenomenologica conosciuta come Legge di conservazione della
massa. (8)
È necessario pertanto distinguere le unità U e le decine D di
un divisore b, e le unità U e le decine D del numero naturale a:
Ub = quantità di unità di b;
Db = quantità di decine di b;
Ua = quantità di unità di a;
Da = quantità di decine di a;
Si considerano dunque i seguenti prodotti:
Ub · Da
Db · Ua
___________________
(7) Per bilanciare una reazione chimica occorre adoperare i
coefficienti di bilanciamento al fine di mantenere costante il numero
degli atomi che prendono parte alla reazione.
(8) Nel XVIII secolo il chimico e naturalista francese Antoine Laurent
Lavoisier scoprì che in una reazione chimica la massa complessiva
dei reagenti è uguale alla massa complessiva dei prodotti. Questa
osservazione venne resa pubblica come Legge della conservazione
della massa che in Fisica si ripresenta come Legge di conservazione
dell’energia.
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Per verificare la condizione di divisibilità tra b e a è necessario determinare la somma o la differenza dei due
prodotti, cioè:
Ub · Da ± Db · Ua
Se la decina di riferimento Db è minore di b allora si utilizza
la differenza che, se b riesce a colmare pienamente la
distanza che lo separa da a, è uguale a 0 oppure a b o ad
un multiplo di b; se invece Db è maggiore di b si utilizza la
somma che, se b riesce a colmare pienamente la distanza che lo
separa da a, è uguale a b o ad un suo multiplo.
Perciò:
con Db < b
Ub · Da - Db · Ua = 0, b o multiplo di b
con Db > b
Ub · Da + Db · Ua = b o multiplo di b
se e soltanto se sussiste la condizione di divisibilità tra il
divisore b ed il dividendo a.
Naturalmente qualora il risultato sia maggiore di 0 oppure di b
si reitera il procedimento sul numero ottenuto riutilizzando i
coefficienti del divisore b.
Esempio: 182 : 13 → 3b · 18a - 1b · 2a = 52
e reiterando
3b · 5 - 1b · 2 = 13
3b · 1 - 1b · 3 = 0
329 : 47 → 3b · 32a + 5b · 9a = 141
e reiterando
3b · 14 + 5b · 1 = 47
quindi 182 è divisibile da 13 e 329 da 47.
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Qui di seguito è riportata una tabella esemplificativa per tutti i possibili divisori.
Dato a formato da Da e Ua, applicando alle parti il
Criterio Unico, b divide pienamente a se:
2 8 Da + 1 Ua = 2; 4; 6; 8
3 7 Da + 1 Ua = 3; 6; 9
4 6 Da + 1 Ua = 4; 8
5 5 Da + 1 Ua = 5
6 4 Da + 1 Ua = 6
7 3 Da + 1 Ua = 7
8 2 Da + 1 Ua = 8
9 1 Da + 1 Ua = 9
10 0 Da ± 1 Ua = 0
11 1 Da - 1 Ua = 0
12 2 Da - 1 Ua = 0
13 3 Da - 1 Ua = 0
14 4 Da - 1 Ua = 0
15 5 Da - 1 Ua = 0
16 4 Da + 2 Ua = 16
17 3 Da + 2 Ua = 17
18 2 Da + 2 Ua = 18
19 1 Da + 2 Ua = 19
20 0 Da ± 2 Ua = 0
21 1 Da - 2 Ua = 0
22 2 Da - 2 Ua = 0
23 3 Da - 2 Ua = 0
24 4 Da - 2 Ua = 0
25 5 Da - 2 Ua = 0
26 4 Da + 3 Ua = 26
27 3 Da + 3 Ua = 27
28 2 Da + 3 Ua = 28
29 1 Da + 3 Ua = 29
30 0 Da ± 3 Ua = 0
ecc.
b (divisore)
Ub Db
(coefficienti di a)
22
La precedente tabella può essere ampliata e riordinata, con solo i divisori b dispari ordinati per numero di unità, escluso il
5 ed i suoi multipli:
11 1 Da - 1 Ua = 0
21 1 Da - 2 Ua = 0
31 1 Da - 3 Ua = 0
41 1 Da - 4 Ua = 0
51 1 Da - 5 Ua = 0
61 1 Da - 6 Ua = 0
ecc.
13 3 Da - 1 Ua = 0
23 3 Da - 2 Ua = 0
33 3 Da - 3 Ua = 0
43 3 Da - 4 Ua = 0
53 3 Da - 5 Ua = 0
63 3 Da - 6 Ua = 0
ecc.
7 3 Da + 1 Ua = 7
17 3 Da + 2 Ua = 17
27 3 Da + 3 Ua = 27
37 3 Da + 4 Ua = 37
47 3 Da + 5 Ua = 47
57 3 Da + 6 Ua = 57
ecc.
9; 3 1 Da + 1 Ua = 3 ; 6; 9
19 1 Da + 2 Ua = 19
29 1 Da + 3 Ua = 29
39 1 Da + 4 Ua = 39
49 1 Da + 5 Ua = 49
59 1 Da + 6 Ua = 59
ecc.
b (divisore)
Ub Db
(coefficienti di a)
23
Riassumendo, con solo i divisori b dispari ordinati per numero di unità escluso il 5 ed i suoi multipli, si può riscrivere
sinteticamente:
(-) (+)
1 Da ± 1 Ua = 0; 11 3; 6; 9
1 Da ± 2 Ua = 0; 21 19
1 Da ± 3 Ua = 0; 31 29
1 Da ± 4 Ua = 0; 41 39
1 Da ± 5 Ua = 0; 51 49
1 Da ± 6 Ua = 0; 61 59
3Da ± 1 Ua = 0; 13 7
3Da ± 2 Ua = 0; 23 17
3Da ± 3 Ua = 0; 33 27
3Da ± 4 Ua = 0; 43 37
3Da ± 5 Ua = 0; 53 47
3Da ± 6 Ua = 0; 63 57
Con questo prospetto si può affermare che, se sono false tutte le
uguaglianze e se a è dispari non multiplo di 5 e a < 632,
allora b non divide pienamente a che perciò è un numero
primo. (9)
____________________
(9) Un numero maggiore di 1 si dice primo se è divisibile soltanto per
se stesso e per 1, diversamente si dice composto.
“The problem of distinguishing prime numbers from composite
numbers and of resolving the latter into their prime factors is known
to be one of the most important and useful in arithmetic. It has
engaged the industry and wisdom of ancient and modern geometers
to such an extent that it would be superfluous to discuss the problem
at length... Further, the dignity of the science itself seems to require
that every possible means be explored for the solution of a problem
so elegant and so celebrated.”
Karl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, 1801
Estratto da: Primes is in P - Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin
Saxena - Department of Computer Science & Engineering Indian
Institute of Technology – Kanpur - INDIA
24
5. Caratteristiche del Criterio Unico di Divisibilità
I primi 3 divisori minori di 5, cioè 2, 3 e 4, hanno la prima
decina, vale a dire 10, come decina di riferimento perciò, come
già visto in precedenza, i coefficienti Db e Ub da applicare su
a per la verifica di divisibilità sono:
10 2 8
10 3 7
10 4 6
Da cui:
2 8 Da + 1 Ua = 2; 4; 6; 8
3 7 Da + 1 Ua = 3; 6; 9
4 6 Da + 1 Ua = 4; 8
Esempio: 24 : 2 → 8 · 2 + 1 · 4 = 20
e reiterando
8 · 2 + 1 · 0 = 16
8 · 1 + 1 · 6 = 14
8 · 1 + 1 · 4 = 12
8 · 1 + 1 · 2 = 10
8 · 1 + 1 · 0 = 8
Il numero 24 è anche divisibile da 4 difatti:
24 : 4 → 6 · 2 + 1 · 4 = 16
e reiterando
6 · 1 + 1 · 6 = 12
6 · 1 + 1 · 2 = 8
Db (decina di riferimento)
b (divisore)
Ub (unità)
b (divisore)
Ub Db
(coefficienti di a)
25
È quindi evidente, nell’esempio precedente, che, poiché il numero 8 è il più grande multiplo di 2 e di 4 e minore di 10, il
Criterio Unico per 8 determina anche quelli per 2 e 4, infatti, se
applichiamo per esempio al numero 38, non divisibile ne da 8
ne da 4, il Criterio Unico per 8 al fine di verificare la
divisibilità per 2, si ha:
Esempio: 38 : 2 → 2 · 3 + 1 · 8 = 14
e reiterando
2 · 1 + 1 · 4 = 6
che soddisfa la condizione di divisibilità per 2 se si prendono in
considerazione, come possibile risultato, i multipli di 2 minori
di 10.
Ciò accade anche per il numero 4. Difatti, utilizzando il
Criterio Unico per 8 al fine di verificare la divisibilità per 4, si
ottiene:
Esempio: 52 : 4 → 2 · 5 + 1 · 2 = 12
e reiterando
2 · 1 + 1 · 2 = 4
che soddisfa la condizione di divisibilità per 4 se si prendono in
considerazione, come possibile risultato, i multipli di 4 minori
di 10.
Analogamente si comporta il Criterio Unico per 9 il quale
vincola quello per 3, infatti, utilizzando il Criterio Unico per 9
allo scopo di verificare la divisibilità per 3, si ha:
Esempio: 78 : 3 → 1 · 7 + 1 · 8 = 15
e reiterando
1 · 1 + 1 · 5 = 6
che soddisfa la condizione di divisibilità per 3 se si tengono in
considerazione, come possibile risultato, i multipli di 3 minori
di 10.
26
La condizione del 5 è speciale poiché il coefficiente da applicare a Da è uguale al divisore stesso:
5 5 Da + 1 Ua = 5
Esempio: 75 : 5 → 5 · 7 + 1 · 5 = 40
e reiterando
5 · 4 + 1 · 0 = 20
5 · 2 + 1 · 0 = 10
5 · 1 + 1 · 0 = 5
È questa l’unica condizione di equilibrio coerente presente nel
metodo che permette di poter utilizzare la differenza anziché la
somma e simultaneamente ridurre il numero di operazioni,
come si evince confrontando l’esempio predente:
5 Da - 1 Ua = 0
Esempio: 75 : 5 → 5 · 7 - 1 · 5 = 30
e reiterando
5 · 3 - 1 · 0 = 15
5 · 1 - 1 · 5 = 0
La condizione del 10 e dei suoi multipli è un’altra condizione
di equilibrio ma rappresenta anche la condizione limite. È
comunque vera e, per ovvi motivi, permette di utilizzare
ugualmente somma o differenza:
Esempio: 80 : 10 → 0 · 8 - 1 · 0 = 0
oppure
0 · 8 + 1 · 0 = 0
b (divisore)
Ub Db
(coefficienti di a)
27
Come già visto, il Criterio Unico utilizza le operazioni di somma e sottrazione per confrontare le grandezze del divisore
Ub e Db con quelle del dividendo Da e Ua conformemente
al procedimento usato nei criteri eterogenei convenzionali per
3 e 11:
Criterio di divisibilità per 3.
Un numero naturale a è divisibile da 3 se e solo se la somma
delle cifre nella sua scrittura posizionale in base dieci è un
multiplo di 3. La procedura può essere reiterata.
Criterio di divisibilità per 11.
Un numero naturale a è divisibile da 11 se e solo se nella
sua scrittura posizionale in base dieci la differenza tra la
somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto
dispari è 0 oppure 11 o multiplo di 11. La procedura può
essere reiterata.
Di fatto, nel Criterio Unico il modo del 9 vincola quello del 3
se si prendono in considerazione, come possibile risultato, i
multipli di 3 minori di 10:
1 Da + 1 Ua = 3; 6; 9
Il modo per 11 è identico al suo criterio eterogeneo:
1 Da - 1 Ua = 0
Queste similitudini determinano l’appartenenza dei criteri
eterogenei di 3 e di 11 al modello del Criterio Unico, poiché
essi, nella loro descrizione, solo in apparenza sono privi dei
coefficienti che invece, nella realtà del computo, sono presenti.
Analogamente accade per il processo di reiterazione del
calcolo e per la considerazione del valore assoluto che, a
conferma di quanto esposto, già presenti nei criteri eterogenei
convenzionali, sono necessari anche nel Criterio Unico.
28
6. Proprietà del Criterio Unico di Divisibilità
La varietà dei criteri eterogenei fa trasparire la sensazione che
l’esame del fenomeno abbia perso di vista l’aspetto quantitativo
descritto invece chiaramente nel Criterio Unico, tanto da farlo
somigliare all’algoritmo adoperato in Chimica per il
bilanciamento delle reazioni chimiche.
Questo aspetto è da solo sufficiente a spiegare il motivo per cui
il Criterio Unico è valido anche con altri sistemi di scrittura
posizionale dei numeri.
Infatti, scrivendo per esempio in base 8, si nota che il criterio
di divisibilità per 5 è identico al Criterio Unico per 7 in base
10, e quello per 7 + 4 in base 8 è identico a quello di 13 in
base 10: (10)
Criterio per 710 → 3 Da + 1 Ua = 710
perciò 58 → 3 Da + 1 Ua = 58
Esempio: 25 in base 10 è uguale a 31 in base 8
cioè 2510 = 318
318 : 58 → 3 · 38 + 1 · 18 = 128
e reiterando
3 · 18 + 1 · 28 = 58
che soddisfa la condizione di divisibilità per 58 cioè 510 del
numero 318 cioè 2510.
____________________
(10) La base 8 utilizza solo otto cifre cioè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 perciò il
numero 11 in base 10 è uguale a 13 in base 8, equivalente a sua volta
a 7 + 4 se si considera il limite imposto dalle cifre contenute nella
scrittura in base 8.
29
Criterio per 1310 → 3 Da - 1 Ua = 0
perciò 138 → 3 Da - 1 Ua = 0
Esempio: 33 in base 10 è uguale a 41 in base 8 cioè
3310 = 418 e 1110 = 138
418 : 138 → 3 · 48 - 1 · 18 = 138
e reiterando
3 · 18 - 1 · 38 = 0
che soddisfa la condizione di divisibilità per 138 cioè 1110 del
numero 418 cioè 3310.
Come già visto alla nota (6), in qualunque base B, i criteri di
divisibilità convenzionali per 9 e per 11 possono essere
generalizzati al criterio di divisibilità per B - 1 e B + 1.
Nel Criterio Unico tale caratteristica risulta estesa anche agli
altri divisori, perciò, come osservato nel precedente esempio in
base 8 dei numeri 58 e 138, cioè 510 e 1110, si può
affermare che in qualunque base B, i criteri di divisibilità per 7
e per 13 possono essere generalizzati al Criterio Unico di
divisibilità per B - 3 e B + 3.
In generale, il Criterio Unico è valido in qualunque base di
scrittura numerica ed i coefficienti necessari all’algoritmo
sono calcolati sulle grandezze U e D della base di scrittura
utilizzata.
30
Nel Criterio Unico vale la regola generale per la quale è possibile verificare la condizione di divisibilità di un numero
naturale a per uno o più fattori di b utilizzando il Criterio
Unico per b.
Per esempio, volendo verificare la condizione di divisibilità per
7 del numero 91 è possibile utilizzare il Criterio Unico per 42
di cui 7 è uno dei fattori:
Criterio per 42 → 2 Da - 4 Ua = multiplo di 7
Esempio: 91 : 7 → 2 · 9 - 4 · 1 = 14
che soddisfa la condizione di divisibilità per 7:
14 : 7 → 3 · 1 + 1 · 4 = 7
Un’altra caratteristica della suddetta regola generale è la
capacità di verificare la condizione di divisibilità di un numero
naturale a per uno o più fattori di b finanche nella
condizione in cui a < b.
Per esempio, volendo verificare la condizione di divisibilità per
7 del numero 35 è possibile utilizzare il Criterio Unico per 91
di cui 7 è uno dei fattori:
Criterio per 91 → 1 Da - 9 Ua = multiplo di 7
Esempio: 35 : 91 → 1 · 3 - 9 · 5 = - 42 o ㅣ42ㅣ
e reiterando
1 · 4 - 9 · 2 = - 14 o ㅣ14ㅣ
che soddisfa la condizione di divisibilità per 7:
14 : 7 → 3 · 1 + 1 · 4 = 7
Il risultato dell’algoritmo del Criterio Unico è sempre
considerato in valore assoluto.
31
Le due regole sopra esposte di solito semplificano discretamente le operazioni necessarie alla verifica della
condizione di divisibilità, o meglio offrono la possibilità di
affermare che un numero naturale a è semplicemente
divisibile senza specificare da quale divisore.
Per esempio, volendo verificare la condizione di divisibilità per
7 oppure 17 o 37 del numero 48433 è possibile utilizzare il
Criterio Unico per 4403 di cui 7, 17 e 37 sono i fattori primi:
Esempio:
48433 : 4403 → 3 · 4843 - 440 · 3 = 13209
3 · 1320 - 440 · 9 = 0
Perciò, il numero 48433 è divisibile dai fattori del divisore
utilizzato, cioè 4403.
È significativo ciò che si evince da questo esempio, cioè la
quantità limitata di operazioni necessarie che invece sarebbero
state più numerose con il metodo tradizionale di divisione.
È altresì possibile capovolgere l’ordine degli operandi, anche se
in questo specifico caso non è conveniente dal punto di vista
semplificativo delle operazioni necessarie:
Esempio:
4403 : 48433 → 3 · 440 - 4843 · 3 = - 13209
3 · 1320 - 4843 · 9 = - 39627
3 · 3962 - 4843 · 7 = - 22015
3 · 2201 - 4843 · 5 = - 17612
3 · 1761 - 4843 · 2 = - 4403
cioèㅣ4403ㅣche soddisfa la condizione di divisibilità di uno o
più di uno dei fattori di 48433.
32
Il bilanciamento tra le grandezze considerate nel Primo Fondamentale Modello Generale può essere esteso e applicato
al legame esistente tra il numero di unità U mancanti a
qualunque divisore per raggiungere la sua nuova più vicina
grandezza di paragone, in tale ulteriore caso le sue più vicine
centinaia C.
Riconosciuti i nuovi termini di comparazione, cioè le due
grandezze Ub e Cb è possibile compilare un elenco delle
distanze o intervalli, cioè le quantità di unità Ub che separano i
possibili divisori b dalle loro centinaia più vicine Cb :
…. … …
100 97 3
100 98 2
….. … …
300 301 1
300 313 13
Per cui, applicando il Criterio Unico alle grandezze Ua e Ca di
un numero naturale a si ottiene:
97 3 Ca + 1 Ua = 97
98 2 Ca + 1 Ua = 98
301 1 Ca - 3 Ua = 0
313 13 Ca - 3 Ua = 0
Esempio: 291 : 97 → 3 · 2 + 1 · 91 = 97
686 : 98 → 2 · 6 + 1 · 86 = 98
903 : 301 → 1 · 9 - 3 · 3 = 0
2191 : 313 → 13 · 21 - 3 · 91 = 0
che soddisfano la condizione di divisibilità per 97, 98, 301 e
313.
Cb (centinaia di riferimento)
b (divisore)
Ub (unità)
33
Perciò questa estensione, che può essere chiamata Secondo Metodo Generale, semplifica maggiormente il calcolo
numerico poiché permette di verificare la condizione di
divisibilità di un numero di n cifre con il computo operato su
numeri di n – 1 cifre. (11)
La proprietà può essere ulteriormente sviluppata prendendo in
considerazione le migliaia, centinaia di migliaia, ecc. come
nuove grandezze, rendendo possibile la verifica della
condizione di divisibilità di numeri particolarmente grandi che
non possono cioè essere interamente scritti adoperando
programmi applicativi informatici come, per esempio, Excel di
Microsoft Office.
____________________
(11) L’Informatica affronta la risoluzione di tale problematica tramite
lo studio delle possibili diverse rappresentazioni, o codifiche, dei
numeri, tra le quali una delle più note è la rappresentazione in
complemento a due dei numeri negativi. Queste codifiche sono utili
al fine di impegnare meno bit per eseguire i calcoli con il computer
(dall’inglese binary digit cioè cifra binaria, intesa come unità minima
di informazione). Ciononostante gli algoritmi necessari per le
operazioni aritmetiche risultano particolarmente macchinosi.
Fondamenti di Informatica Uno – Angelo Meo, Marco Mezzalama,
Federico Peiretti, Rosellina Meo – UTET Libreria S.r.l. – via P.
Giuria, 20 – 10125 Torino
Esercizi di fondamenti di Informatica – Michela Meo, Rosa Meo,
Marco Mezzalama – Consorzio Nettuno – pag. 57
34
In Aritmetica la divisione è definita come l’operazione inversa della moltiplicazione poiché, dati il prodotto di due numeri ed
un fattore, consente di trovare l’altro fattore. (12)
Perciò, volendo sapere se per esempio 169 è divisibile da 13,
sviluppando la divisione si ottiene:
Esempio: 169 : 13 = 13
39
0
che soddisfa la condizione di divisibilità per 13.
Il numero 169 è però semplice da dividere poiché il valore
posizionale delle sue cifre rende comodo il computo, cosa che
non avviene con altri numeri:
Esempio: 117 : 13 = ?
In questo caso si procede per tentativi moltiplicando il divisore
per un numero tale che il prodotto ottenuto sia minore, in caso
di resto, o uguale all’ipotizzato quoziente.
Il Criterio Unico permette invece di verificare la condizione di
divisibilità senza procedere per tentativi e senza determinare il
quoziente:
Esempio: 117 : 13 → 3 · 11 - 1 · 7 = 26
e reiterando
3 · 2 - 1 · 6 = 0
che soddisfa la condizione di divisibilità per 13.
____________________
(12) Tratto da: Scienze Matematiche – Aritmetica – Mario Mariscotti
Petrini editore – Torino, 1982 – pag. 139
35
Qualora non sussista la condizione di divisibilità, il Criterio Unico permette in alcuni casi di conoscere facilmente il resto r
della divisione.
Esempio: 95 : 7 → 3 · 9 + 1 · 5 = 32
e reiterando
3 · 3 + 1 · 2 = 11
r = 11 - 7 = 4
che corrisponde al resto della divisione di 95 per 7.
Esempio: 119 : 13 → 3 · 11 - 1 · 9 = 24
e reiterando
3 · 2 - 1 · 4 = 2
r = 2
che corrisponde al resto della divisione di 119 per 13.
Perciò in questi casi:
1. Se l’algoritmo utilizzato richiede la somma come
operazione di confronto tra le grandezze U e D, il resto
r è la cifra ottenuta dalla differenza tra il divisore b
adoperato e la cifra, maggiore di b ma minore di un suo
multiplo, conseguita alla fine della reiterazione del calcolo.
2. Se l’algoritmo utilizzato richiede la differenza come
operazione di confronto tra le grandezze U e D, il resto
r è uguale alla cifra ottenuta alla fine della reiterazione del
calcolo.
La procedura di cui al primo punto è l’ulteriore conferma
dell’appartenenza dei criteri convenzionali di 3 o 9 e di 11 al
modello del Criterio Unico, poiché la proprietà di tali criteri è:
il resto della divisione di un numero per 3 o per 9 è uguale al
resto della divisione per 3 o per 9 della somma delle cifre del
numero dato.
36
7. Considerazioni
È utile introdurre il concetto di equazione chimica:
Una equazione chimica consiste di simboli e formule che
rappresentano una reazione chimica. Per esempio la
equazione:
Zn + 2 HCl = ZnCl2 + H2 ↑
è la reazione tra lo zinco metallico e due molecole di acido
cloridrico, che danno una molecola di cloruro di zinco e una
molecola di idrogeno gassoso… (13)
…l’equazione si equilibra segnando gli opportuni coefficienti,
avanti agli elementi o composti, in maniera che il numero
totale degli atomi nel membro di sinistra, sia uguale al numero
totale degli atomi nel membro di destra. In genere il
coefficiente 1 non si segna. (14)
Il Criterio Unico, in virtù delle corrispondenze prima descritte,
sembra contenere i criteri convenzionali di 3 o 9 e di 11, ma
sarebbe meglio dire che essi rappresentano il punto di partenza
dello sviluppo del Criterio Unico, cioè sono gli estremi di ciò
che può essere definito intervallo fondamentale.
Oltre a ciò, come già notato in precedenza, i criteri
convenzionali di 3 o 9 e di 11, nella loro descrizione,
appaiono solo privi dei coefficienti che invece, nella realtà del
computo, sono presenti.
____________________
(13) Tratto da: Mario Giordani – L’avvenire è nella Chimica – Angelo
Signorelli – Editore – Roma – Volume primo, pag.76
(14) Anche nel bilanciamento delle reazioni di ossido-riduzione si
adotta il medesimo algoritmo per il calcolo dei coefficienti delle
cariche elettriche degli atomi coinvolti nella reazione.
37
Immaginando un periodo storico in cui i discepoli della scuola pitagorica seguivano il Maestro Pitagora tra Crotone e
Metaponto, ascoltando i suoi meravigliosi insegnamenti
sull’armonia dei rapporti musicali, sull’astronomia, sulla
filosofia e anche sui comportamenti nella vita pratica e,
stimando le precedenti considerazioni, compresa la valutazione
dell’algoritmo da un punto di vista quantitativo e alchimistico,
è lecito supporre che siffatto Criterio Unico di Divisibilità sia
già stato scoperto in epoca remota ma sia stato anche
dimenticato nel corso del tempo. (15)
La semplicità è infatti la chiave di lettura del Criterio Unico,
palesata soprattutto nel rintracciamento dei coefficienti
necessari all’algoritmo ma anche nella formula di
bilanciamento utilizzata, cionondimeno significati profondi
sono nascosti nelle proprietà di tale criterio che, promettendo
nuove sorprese, offre un panorama un po’ più decifrabile
dell’affascinante e multiforme trama dei numeri naturali.
____________________
(15) Con semplici sassolini Pitagora dimostrava il suo teorema: infatti
con 3, 4 e 5 sassolini, o 5, 12, 13 ed anche 7, 24, 25 sassolini, egli
costruiva triangoli rettangoli perfetti. Era così possibile verificare che
32 + 42 = 52 e 52 + 122 = 132 e 72 + 242 = 252.
Esistono poi reperti archeologici che evidenziano come i popoli
antichi già studiassero i numeri ed i loro rapporti: la tavoletta della
Plimpton Collection, conservata presso la Columbia University,
testimonianza della civiltà babilonese risalente al periodo compreso
tra il 1900 ed il 1600 a.C., riporta tre colonne di numeri che possono
essere interpretati come lati di triangoli rettangoli ed i relativi
rapporti tra essi.
E ancora, narra la leggenda che migliaia d’anni fa, nella Piramide di
Cheope, i Sacerdoti d’Ammone portarono alla luce, tra i preziosi ed
aurei manufatti del sovrano, alcuni logori papiri ricchi di arcaiche
conoscenze che svelavano i misteri dell’essere umano, raffiguranti la
Forza della Vita in semplice forma geometrica.
38
Un ringraziamento particolare a
mio fratello Carlo e a mia madre Aldina,
per il loro sostegno
e per le lunghe ore di conversazione
senza le quali non avrei potuto completare
questo lavoro.
39
