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  • FONCTION TRANSMETTRE LNERGIE

    Aspect Physique

    Cours ; Exercices 2

    me STM

    Doc : lve

    294 DYNAMIQUE ASPECT PHYSIQUE

    DYNAMIQUE I- DFINITION : La dynamique est le chapitre de la mcanique qui tudie les mouvements des solides en relation avec les forces qui les produisent. Ltude et la comprhension de ce chapitre suppose lacquisition des connaissances abordes en statique et en cinmatique (1er STM). Sur un plan historique, les dcouvertes des principes de la dynamique sont plus rcentes que celles relatives la statique. Galile (1564-1642), le premier, effectua une approche scientifique des phnomnes. Ses travaux, dterminants, sont lorigine des rsultats de Huygens et Newton. Newton fut le premier formuler correctement le principe fondamental de la dynamique et la loi de la gravitation universelle. Par la suite, Euler, dAlembert, Lagrange, Laplace, Poinsot, Coriolis, Einstein et dautres apportrent une contribution importante au dveloppement de cette science essentielle. En ce qui concerne la technologie et ses applications, la dynamique est plus rcente et se dveloppe avec lre industrielle et la construction des machines travaillant aux vitesses leves avec ou sans chocs.

    Remarque : Il y a trois mthodes possibles pour traiter un mme problme de dynamique, chacune ayant ses avantages et ses inconvnients : 1- par application directe de la loi de Newton ou du principe fondamental ; 2- par utilisation des thormes relatifs au travail et lnergie (voir le chapitre nergtique) ; 3- partir des thormes portant sur les quantits de mouvement et le moment cintique.

    II- RAPPELS :

    Il est indispensable de maitriser la cinmatique et la statique afin dacqurir ce nouvel outil de la mcanique. 2.1- Action mcanique (Statique): Torseur statique exprimant le PFS Torseur statique exprim au mme point

    1

    /

    /

    1 , ,

    0

    0

    n

    i

    i

    s s nA

    A i

    iA x y z

    Fext

    Fext

    M

    /1

    /

    / /( / )1 1 , ,

    n

    is si

    s s n nA

    A G i i is si iA x y z

    R Fext

    M Fext AG Fext

    M

    2.2- Cinmatique : quations du mouvement de translation : quations du mouvement de rotation autour dun axe fixe : rectiligne uniforme uniforme

    Acclration : 20 ( / )a m s

    Acclration : 2'' 0 ( / )rad s

    Vitesse : ( / )V constante m s Vitesse : ' ( / )constante rad s

    Dplacement : ( )ix V t x m Dplacement : ( )it rad

    rectiligne uniformment vari uniformment vari

    Acclration : 2( / )a constante m s

    Acclration : 2'' ' ( / )constante rad s

    Vitesse : ( / )iV a t V m s Vitesse : ' '' ' ( / )it rad s

    Dplacement : 21 ( )

    2i ix a t V t x m Dplacement :

    21 '' ' ( )2

    i it t rad

    Formule utile : 2 2 2 ( )i iV V a x x

    Formule utile : 2 2 2 ' ( )i i

    Remarque : Relation vectorielle entre les vitesses dun solide en mouvement plan (Translation + Rotation):

    A BV V AB

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    295 DYNAMIQUE ASPECT PHYSIQUE

    2.3- Relation vectorielle entre les acclrations (tangentielle et normale) dun solide : Quelle que soit la nature des mouvements, on a :

    0/ tA n

    a a a

    R ;

    avec et en cas de : Translation : Rotation :

    III- PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE : 3.1- Cas dun solide en translation rectiligne : a- nonc :

    Lnonc propos sapplique indiffremment un point matriel de masse m ou un solide en translation rectiligne de masse m et de centre de gravit G. 1er loi : La premire loi correspond au principe fondamental de la statique (voir partie statique). Elle sapplique aussi bien un solide en quilibre qu un solide voluant vitesse constante.

    2me loi : Lacclration Ga du centre de gravit G dun solide en translation rectiligne

    par rapport un repre (ou solide) absolu est proportionnelle la rsultante extF

    des forces ou actions extrieures agissant sur le solide et a mme direction et mme sens que celle-ci.

    Le PFD se traduit par les relations :

    extF

    : rsultante des forces extrieure en (N)

    ext GF m

    a avec m : Masse du solide en (kg)

    0G extF M G

    a : Acclration du solide en (m/s2)

    Remarque : Le PFD nest applicable que dans un repre Galilen (ex : le mouvement dune tte dusinage sera tudi sur un repre Galilen, li au bti de la machine).

    La rsultante ext GF m a

    doit passer par G sinon il y a mouvement plan.

    -Gm a

    : est appele force dinertie, cette force est oppose lacclrationGa

    .

    (Principe de dAlembert)

    3me loi : En statique et en dynamique, les actions mutuelles entre deux solides sont gales et opposes.

    Acclration tangentielle

    At t

    dVa a

    dt

    Acclration normale 2

    An n

    Va a n n

    R

    Acclration tangentielle

    '

    t t

    At A

    a a

    da R R

    dt

    Acclration normale

    2 2'

    n n

    n

    a a n

    a R n R n

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    296 DYNAMIQUE ASPECT PHYSIQUE

    b- Repre absolu ou galilen :

    Pour que lapplication du principe fondamental soit correcte, lacclration Ga doit tre

    une acclration absolue. Par commodit, lacclration Ga est gnralement repre ou

    dtermine par rapport un repre li la terre prise comme rfrence absolue. Cependant, la terre nest pas un rfrentiel absolu ou galilen rigoureux mais approch. Pour la plupart des problmes de mcanique usuels, cette approximation suffit et amne des erreurs ngligeables. Pour un certain nombre de problmes faisant intervenir des avions, fuses, missiles et autres, il est parfois ncessaire de faire intervenir les acclrations engendres par le mouvement de la terre. Exemple : pour un corps en chute libre, la rotation de la terre engendre une lgre acclration dirige vers lest (acclration de Coriolis) crant une perturbation du mouvement de chute libre. Le solide ne tombe pas exactement verticalement mais subit une lgre dviation

    vers lest gale : 32 2

    cos3

    hd

    g

    c- Temps relatif et temps absolu : Dans lquation de Newton, le temps est considr comme une grandeur absolue, scoulant inexorablement darrire en avant au rythme rgulier indiqu par les pendules et les calendriers. Daprs Einstein, le temps nest pas absolu mais relatif et dpend de la vitesse propre de lobservateur et de la position finale de celui-ci. Cependant, la notion de temps relatif nest vraiment sensible que pour des particules se dplaant de trs hautes vitesses (proches de celle de la lumire : 300 000 km/s).

    Exemple : Une Sphre de 2,5 kg en chute libre, rsistance de lair nglig. Calculer la force extrieure. (Avec g = 10 m/s2)

    extF P vecteur poids

    Ga g acclrationde la pesanteur

    PFD : ext GF m a

    ce qui donne GP m a

    En projection sur laxe verticale z P m g

    donc : 2,5 10 25P N

    3.2- Cas dun solide en rotation par rapport un axe fixe : a- Cas o le centre de gravit est situ sur laxe de rotation :

    Le solide de masse m tourne la vitesse

    angulaire autour de laxe de rotation (A,z ),

    le centre de gravit G est sur cet axe et Ga

    est lacclration angulaire du mouvement.

    xA

    et yA

    sont les actions exerces par

    la liaison pivot sur le solide. JG est le moment

    dinertie du solide par rapport laxe (G,z ) qui est aussi laxe de rotation.

    Le PFD se traduit par les relations :

    1 2 ... 0ext x yF A A F F

    ''G ext A ext Gz GzF F J J

    M M

    avec : = 0,729.10-4 rad/s (vitesse rotation terre) g = 10 m/s2 h : hauteur de chute en m

    : latitude nord ou sud

    G extFM : Moment rsultante par rapport laxe

    zG

    des extF

    (N.m)

    1 2...G ext G GF F F

    M M M

    GzJ : Moment dinertie du solide par rapport laxe zG

    (kg.m2)

    ''

    : Acclration angulaire du solide autour de laxe zG

    (rad/s2)

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    297 DYNAMIQUE ASPECT PHYSIQUE

    3.3- Quelques moments dinertie usuelle :

    Le moment dinertie est un scalaire qui dpend de la gomtrie, de la masse et de laxe de rotation autour duquel se fait le mouvement. Cylindre plein Cylindre creux Sphre

    Masse 2m R L 2 2( )m R r L 34

    3m R

    Moment dinertie

    2

    2G x

    m RJ

    2 2

    4 12Gy

    m R m LJ

    2 2

    4 12Gz

    m R m LJ

    2 2( )

    2G x

    m R rJ

    2 2 2( )

    4 12Gy

    m R r m LJ

    2 2 2( )

    4 12Gz

    m R r m LJ

    22

    5GxJ m R

    22

    5GyJ m R

    22

    5GzJ m R

    Paralllpipde Cne plein Tore

    Masse m a b L 21

    3m R h 2 22m r R

    Moment dinertie

    2 2( )12

    Gx

    mJ a b

    2 2( )12

    Gy

    mJ a L

    2 2( )12