Cours de « Résistance des matériaux »

Tire du chapitre :

A. DESCRIPTION SOMMAIRE DE L’ACTIVITE PEDAGOGIQUE

Compétence visée :

Préparer, organiser, gérer et suivre le chantier

Objectif global : Comprendre le comportement mécanique des matériaux et éléments utilisés dans la construction des ouvrages

Objectifs spécifiques :

Connaître les types et fonctions des différents ouvrages de Génie CivilComprendre comment sont schématisés les différents ouvrages de Génie Civil pour leurs étudesConnaître les différentes actions qui peuvent agir sur des ouvrages de Génie CivilComprendre les types de ruines que peuvent subir les ouvrages de Génie Civil eu égard aux actions agissantes.Définir les objectifs de la Résistance des matériaux en tant que discipline professionnelle

Démarche pour atteindre les objectifs :

1. Les différents ouvrages de Génie Civil2. La schématisation des ouvrages et parties d’ouvrages3. Les actions sur les ouvrages4. Les ruines des ouvrages5. Les objectifs de la Résistance des matériaux

B. CONTENU DETAILLE DU COURS

1. Les différents ouvrages de Génie Civil

Les ouvrages de Génie Civil sont des produits (éléments) crées par l’homme pour plusieurs raisons : - pour se protéger ou protéger ses biens contre les forces de la nature ;- pour utiliser les forces de la nature à ses besoins divers ;- pour faciliter ses activités de travail, etc.. ;

Comme ouvrages de Génie Civil, on peut citer :- les bâtiments divers ;- les ponts ;- les routes ;- les barrages, digues, canaux et autres ouvrages hydro-agricoles ;- les ouvrages portuaires ;- Les tunnels et autres ouvrages souterrains- Les réservoirs, les châteaux d’eau, les conduites d’eau et autres, etc…

Ces ouvrages diffèrent selon la destination. Par exemple :- les bâtiments sont destinés à se protéger et protéger les biens matériels contre les

intempéries. - Les ponts sont faits pour traverser les cours d’eau, les bas fons et autres obstacles.- Les routes sont conçues pour faciliter la circulation des véhicules, de même que les

tunnels qui, en plus servent à contourner un obstacle.- Les barrages et autres ouvrages hydro-agricoles sont réalisés pour utiliser les forces de

la nature : utilisation de l’énergie de l’eau, de l’eau pour l’irrigation, etc…

LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN TANT QUE DISCIPLINE PROFESSIONNELLE

- Les réservoirs et châteaux d’eau sont utilisés pour le ravitaillement des populations en eau potable.

2. La schématisation des ouvrages et parties d’ouvrages

Les éléments des ouvrages et machines constitués sont, en général, schématisés comme (voir fig. 1.1) :

- une barre ;- une plaque ;- une coque ;- un corps massif

Les barres sont des éléments dont une dimension, appelée dimension longitudinale est plus grande que les deux autres dimensions, appelées dimensions transversales. Les barres peuvent être rectilignes, brisées ou courbes.

Les plaques sont des corps limités par deux surfaces planes dont la distance entre elles (appelée épaisseur de la plaque) est petite par rapport aux dimensions des plans. Donc ici, il y a deux dimensions qui sont grandes par rapport à la troisième. Les plaques peuvent être rectangulaires, circulaire, triangulaire, polygonale ou de forme quelconque.

Les coques sont des corps limités par deux surfaces curvilignes dont la distance entre elles (appelée épaisseur de la coque) est petite par rapport aux dimensions des surfaces. Donc ici, il y a une dimension qui est petite par rapport aux deux autres dimensions. Il existe des coques cylindriques, coniques, sphériques, hyperboliques, etc...

Un corps massif est un corps dont les trois dimensions sont du même ordre de grandeur. Ce sont par exemple certaines fondations, digues, barrages, murs de soutènements.

Fig. 1.1.

3. Les actions sur les ouvrages

Les actions sur les corps sont constituées par les forces et effets agissant sur le corps. Ces actions sont, souvent appelées charges sur le corps ou charges sur la structure. Ce sont ainsi les forces d’interaction entre le corps considéré et d’autres corps.

Une force est une grandeur qui mesure quantitativement l’action mécanique réciproque des corps. C’est une grandeur vectorielle caractérisée par :

- son module (ou intensité), - sa direction (ou sa ligne d’action), - son sens et, - son point d’application.

Les forces peuvent être surfaciques ou massiques. Les forces surfaciques s’appliquent à la surface du corps; ce sont les forces ponctuelles ou réparties.

Une force ponctuelle ou concentrée est une force dont la surface d’application est petite (c’est-à-dire négligeable) par rapport aux dimensions du corps sur lequel agit cette force.

Une force répartie est une force dont la surface d’application n’est pas petite par rapport aux dimensions du corps sur lequel agit cette force. Cette force est ainsi répartie soit sur toute la surface (ou la longueur) du corps, soit sur une partie seulement de la surface (ou de la longueur) du corps. Les lois de variation d’une charge répartie d’un point à l’autre peuvent être les plus variées ; c’est ainsi qu’on a :

- des charges uniformément réparties: répartition constante ;- des charges linéairement réparties: répartition linéaire ;- des charges réparties suivant une loi quelconque: variation quelconque.

Les forces massiques ou volumiques se rapportent à la masse du corps; ce sont par exemple le poids propre du corps et la force d’inertie du corps en mouvement.

Les charges peuvent être aussi statiques ou dynamiques. Les forces statiques s’appliquent lentement sur la structure, alors que les forces dynamiques sont caractérisées par un très court temps d’application; c’est-à-dire qu’elles s’appliquent de façon instantanée.

Fig. 1.2.

Un peu de terminologie des forces :

Concept ExplicationForces équivalentes C’est des forces dont l’action de chacune d’elles provoque le même état

cinématique du corps (état de mouvement ou de repos).Force résultante C’est la force équivalente à un système de forcesForce d’équilibrage C’est la force de même module et de direction que la résultante, mais de

sens opposéForces extérieures C’est des forces issues de l’action des corps extérieurs au corps considéréForces intérieures Ce sont les forces agissant entre les points du système ou du corpsForce concentrée C’est une force appliquée en un point déterminée du corpsForces réparties C’est des forces agissant sur tous les points d’un volume donné (forces

massiques) ou d’une partie donnée de la surface (forces surfaciques) du corps

Les actions sont les forces et certains effets qui agissent sur les différents ouvrages de Génie Civil. Selon leur fréquence, on distingue :

- les actions permanentes ;- les actions variables ;- les actions accidentelles.

Les actions permanentes sont celles qui agissent sur l’ouvrage de façon permanente durant toute la durée de vie de l’ouvrage. C’est le cas par exemple du poids propre de l’ouvrage, de certains équipements fixes sur l’ouvrage ou de certaines déformations imposées à l’ouvrage.

Les actions variables sont celles dont l’intensité varie dans le temps ; elles sont subdivisées en plusieurs sous-groupes  qui sont :

- les actions d’exploitation qui sont celles qui agissent sur l’ouvrage pendant son exploitation : poids des personnes sur les planchers des bâtiments, poids des véhicules sur les ponts, poids du liquide dans les réservoirs, etc…

- les actions climatiques qui sont liées au climat : poids de la neige et action du vent ;- les actions dues aux variations de température : variations journalières et saisonnières de

la température ;- les actions de montage ou d’essai ou encore appliquées en cours d’exécution de

l’ouvrage : poids des ouvriers et des matériaux ; actions de certains équipements, etc…

Les actions accidentelles sont celles qui sont dues à des phénomènes très rares comme les tremblements de terre, les explosions, les chocs, les incendies, etc…

Pour déterminer les valeurs totales des actions qui agissent sur un ouvrage, on fait des combinaisons des différentes actions possibles.

4. Les ruines des ouvrages

La ruine = c’est quant l’ouvrage cesse de répondre aux fonctions pour lesquelles il a été conçu. La ruine intervient à la suite de :

- d’un effondrement ou écrasement (perte de résistance ou de forme) de l’ouvrage ;- d’une rupture quelconque (perte de résistance) d’un élément de l’ouvrage ou partie de

l’ouvrage ;- d’un renversement ou d’un basculement (perte de position) de l’ouvrage ;- d’une déformation très importante empêchant ou genant l’exploitation de l’ouvrage ;- de tout autre désordre empêchant l’exploitation de l’ouvrage.

Les ruines sont toujours suivies de :- perte en vies humaines ;- pertes économiques ;- impacts environnementaux ;- conséquences sociales néfastes.

Il apparaît donc nécessaire de concevoir les différents ouvrages de façon à éviter toute sorte de ruine. Cette conception des ouvrages passent par :

- un choix judicieux des matériaux de construction pour sa réalisation ;- donner les dimensions adéquates et la forme qu’il faut à l’ouvrage et à ses différents

éléments ;- une exécution professionnelle des travaux en respectant les règles de l’art.

5. Les objectifs de la Résistance des Matériaux

L’objectif fondamental de la Résistance des Matériaux, comme dicipline professionnelle, est de donner la forme la plus rationnelle à un ouvrage et déterminer ses dimensions en fonction du matériau choisi pour que cet ouvrage puisse résister, rester stable et rigide sous l’action des différentes actions qui peuvent agir sur lui.

La Résistance des Matériaux est une discipline fondamentale d’ingénieurs qui traite des méthodes employées pour le calcul de résistance, de rigidité et de stabilité des éléments des ouvrages et des machines.

La résistance est la capacité d’une structure et de ses éléments de supporter une charge déterminée sans se rompre ou sans s’écraser.

La rigidité est la capacité d’une structure et de ses éléments de s’opposer à l’action déformatrice (modification de la forme et des dimensions de l’élément) des charges extérieures. Il s’agit donc de limiter les déformations des éléments sous l’action des forces extérieures.

La stabilité est la capacité d’une structure ou d’un de ses éléments de conserver une forme ou une position initiale donnée correspondant à l’état d’équilibre. Il y a donc de types de stabilité:

- la stabilité de position (basculement, renversement) ;- la stabilité de forme (perte de la forme de l’élément: voilement, déversement,

flambement).

Pour atteindre son objectif, la Résistance des Matériaux se fonde sur des données théoriques (Mathématiques, Mécanique) et expérimentales (Physique, Technologie des matériaux de construction).

Titre du chapitre :

A. DESCRIPTION SOMMAIRE DE L’ACTIVITE PEDAGOGIQUE

Compétence visée

Préparer, organiser, gérer et suivre le chantier

Objectif global Comprendre le comportement mécanique des matériaux et éléments utilisés dans la construction des ouvrages

Objectifs spécifiques

Connaître les matériaux utilisés pour réaliser des maçonneriesMaîtriser les techniques de mise en œuvre des maçonneriesSuivre les travaux de maçonneries réaliséesIdentifier et exploiter les outils et équipements utilisés dans les travaux de maçonneries

Démarche pour atteindre les objectifs

1. Définitions de quelques concepts 2. Les liaisons des structures planes et leurs schématisations3. Les axiomes de la statique4. Système de forces. Equilibre du corps solide

B. CONTENU DETAILLE DU COURS

1. Définitions de quelques concepts

Concept DéfinitionLa mécanique rationnelle :

C’est la science qui étudie les lois générales du mouvement et de l’interaction mécanique des corps matériels.

La statique : C’est la partie de la mécanique rationnelle qui étudie les lois de la composition des forces et les conditions d’équilibre des corps soumis à l’action des forces.

Un corps est en équilibre :

s’il se trouve en état de repos par rapport à d’autres corps matériels immobiles (équilibre absolu) ou non (équilibre relatif).

Un corps solide : C’est un corps pour lequel la distance entre deux de ses points ne varie pas.

Liaisons : Ce sont tous ceux qui peuvent empêcher le mouvement libre d’un corps.Les réactions des liaisons :

Elles expriment l’action mécanique des liaisons sur les corps

Un corps lié : = corps non libre : C’est un corps auquel sont appliquées des liaisons.Un corps libre = corps non lié : C’est un corps sans liaisons.

HYPOTHESES ET PRINCIPES DE CALCUL DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX

Une structure : représente l’ossature porteuse d’un ouvrage; c’est l’ensemble des éléments de l’ouvrage qui supporte les différentes actions qui sont appliquées à l’ouvrage.

Structure plane  quand tous ses éléments constitutifs sont situés sur un même plan.

2. Les liaisons des structures planes et leurs schématisations

Les liaisons sont tous ceux qui peuvent empêcher le mouvement libre d’un corps. Sur un corps sont appliquées deux catégories de forces :

- les forces actives constituées par les charges données agissant sur le corps ;- les forces réactives constituées par les réactions de liaisons qui expriment l’action

mécanique des liaisons sur le corps.

La réaction d’une liaison s’exprime donc sous forme de force ; de plus, cette force est appliquée au corps ( = action de la liaison sur le corps).

Retenons ceux-ci :

La réaction d’une surface plane lisse est toujours perpendiculaire á cette surface (voir fig. 2.1, a, b ,c).

La réaction d’une barre est toujours dirigée le long de cette barre (voir fig. 2.1, d).

Fig. 2.1

Pour les structures planes, on rencontre, généralement, les liaisons suivantes :- les appuis simples ;- les appuis doubles ou articulations ;- les encastrements ou appuis triples.

Fig. 2.2.

Les appuis simples empêchent le mouvement dans une seule direction; la réaction est donc dirigée suivant cette direction (voir fig. 2.2, a, b, c, d).

Les articulations ou appuis doubles empêchent tout déplacement linéaire (translation) du corps; la réaction R a donc deux composantes: une horizontale H et une verticale V (voir fig. 2.2, e, f, g, h).

Les encastrements empêchent tout mouvement du corps (déplacements linéaire et rotation); la réaction comprendra une force R avec ses deux composantes H et V et un moment réactif MR (voir fig. 2.2, i).

3. Axiomes de la statique

Axiome de l’inertie. Un corps isolé est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme sous l’action des forces qui s’autoéquilibrent.

Axiome d’équilibre de deux forces.Si deux forces agissent sur un corps solide parfait, celui - ci ne peut se trouver en équilibre que dans le cas où ces deux forces sont de même intensité, de même direction et de sens opposé (voir fig. 2.3).

Fig. 2.3.

Axiome d’addition et d’enlèvement des forces équilibrées. L’action d’un système de forces sur un corps ne changera pas si l’on ajoute à ce système ou si l’on lui enlève un système de forces équilibrées.

Conséquences des trois axiomes.Sans changer l’action d’une force sur un corps solide, on peut transporter le point d’application de cette force le long de sa ligne d’action en un autre point du corps (voir fig. 2.4). Fig. 2.4.

Axiome du parallélogramme des forces.Deux forces concourantes appliquées sur un corps ont la résultante appliquée au point d’intersection des lignes d’action et représentée par la diagonale du parallélogramme ayant ces forces comme côtés (voir fig. 2.5). On obtient, ainsi :

Fig. 2.5.

R F F 1 2 et R = F F FF1

222

1 22 cos

Axiome d’égalité entre l’action et la réaction. A toute action F sur un corps correspond une réaction R de même intensité, mais de sens contraire. (

F R ).

Axiome de libération des liaisons. Tout corps solide non libre peut être considéré comme libre si l’on le libère des liaisons et remplacer leur action par les forces de réaction correspondantes.

4. Systèmes de forces. Equilibre du corps solide

4.1. Système de forces concourantes

Les forces concourantes sont des forces dont les lignes d’action ont un point d’intersection.

La projection sur un axe de la résultante R d’un système de forces Fi (i = 1, 2, ... n) est égale à la somme des projections des forces sur cet axe; c’est-à-dire que si

R Fi alors =

X X i ;

Y Yi ;

Z Zi ,

où, X, Y, Z sont les projections de R sur les axes x, y et z; Xi ; Yi ; Zi - sont les projections de Fi sur les mêmes axes.

Le module de R est : R = X Y Z2 2 2

Des forces concourantes s’équilibrent si leur résultante est nulle, c’est-à-dire si le polygone des forces (polygone construit avec ses forces comme grandeurs vectorielles) est fermé.

Si les forces s’équilibrent, alors on a R = 0, donc X Y Z2 2 2 = 0, cela est possible si et seulement si on a

X = 0 Xi = 0 Y = 0 ou encore Yi = 0 Z = 0 Zi = 0.

Ce sont ainsi les trois conditions utilisées pour résoudre les problèmes sur l’équilibre des forces concourantes dans l’espace. Avec ces trois équations, on peut résoudre le problème si le nombre d’inconnues ne dépasse pas trois.

Pour les forces concourantes coplanaires, on obtient deux équations seulement:Xi = 0 et Yi = 0;

donc, le nombre d’inconnues ne doit pas dépasser deux.

4.2. Systèmes de forces parallèles

a) Généralités. La résultante R de deux forces parallèles F1 et F2 est déterminée comme suit.

Deux forces de même sens Deux forces de sens opposés

Le module de R est égal à :R = F1 + F2

Fig. 2.6.

Le module de R est égal à : R = F1 - F2

Fig. 2.7.

b) Couple de forcesDans le cas où les forces F1 et F2 sont de même module, la résultante R est nulle, mais les deux forces ne peuvent pas s’équilibrer, car leurs lignes d’action ne sont pas confondues. Dans ce cas, on est en présence d’un couple de forces.

Donc, un couple de forces est un système de deux forces parallèles de même intensité et de sens opposé.

Le couple de forces tend toujours à produire une rotation du corps solide et son action est caractérisée par son moment M qui est défini comme suit:

M = F1 d ou encore M = F2 d (car F1 = F2)

où, d est la distance entre les deux forces; on l’appelle bras de levier (voir fig. 2.8).

Le vecteur M est dirigé perpendiculairement au plan d’action du couple dans le sens tel que si l’on regarde à la rencontre de ce vecteur, on voit le couple de forces tourner son plan d’action dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.

Généralement, à la place du vecteur M, on montre seulement le sens de la rotation du plan d’action; dans ce cas, le moment M est compté positif si les forces tendent à tourner leur plan d’action dans le sens contraire des aiguilles d’une montre (voir fig. 2.8, b). Il est négatif dans le cas

contraire. Fig. 2.8.

Sans changer l’action d’un couple, on peut le transporter en un endroit quelconque du plan d’action, tourner son bras de levier d’un angle quelconque, de même que changer le bras de levier et les modules des forces, sans changer les valeurs de leurs moments et le sens de la rotation (voir fig. 2.9).

Fig. 2.9.

L’action d’un couple ne change pas si l’on transporte ce couple du plan donné P1 dans un autre plan P2 parallèle au premier plan P1.

Un système de couples coplanaires Mi (i = 1, 2,...) est toujours équivalent à un couple résultant M tel que:

M = Mi = Fi di = F d

Un système de couples est en équilibre si et seulement si le couple résultant est nulM = Mi = Fi di = F d = 0

4.3. Moment d’une force

a) Moment d’une force par rapport à un point

Le moment Mo d’une force F par rapport à un point O est égal au produit de la force par le bras de levier, c’est-à-dire que Mo = F d où, d est la distance entre le point O et la force F. Le moment Mo

est compté positif si par rapport au point O la force F tourne dans le sens contraire des aiguilles d’une montre (voir fig. 2.10).

Fig. 2.10. Fig. 2.11.

b) Moment d’une force par rapport à un axe

Le moment Mx d’une force F par rapport à un axe x est défini comme suit:Mx = F1 d1

où, F1 est la projection de F sur le plan P1 perpendiculaire à l’axe x et d1 est la distance de F1 au point O d’intersection de l’axe x et du plan P1 (voir fig. 2.11).

Le moment Mx est compté positif si F1 tourne dans le sens contraire des aiguilles d’une montre par rapport au point O.

Le moment principal M d’un système de forces par rapport à un point O ou un axe x est le moment égale à la somme des moments de toutes les forces par rapport à ce point ou à cet axe:

Mo = Mio ; Mx = Mix

4.4. Conditions d’équilibre d’un système de forces

On ne change pas l’action d’une force F sur un corps solide en déplaçant cette force de son point d’application A parallèlement à elle même en un point quelconque C du corps à condition d’ajouter un couple dont le moment est égal au moment de la force par rapport au point en lequel on désire la déplacer (voir fig. 2.12).

Soient Fi un système de forces et O un point quelconque. En translatant les forces Fi au point O, on aura les forces Fi’ et les moments Mio = Fidi ; la résultante de Fi est R et est appelé le vecteur principal du système des forces. De même les couples Mi peuvent être remplacer par un moment Mo = Mio appelé moment principal.

Fig. 2.12.

Ainsi, tout système de forces agissant sur un corps solide peut être remplacer par une force résultante R égale au vecteur principal du système appliqué à un centre de réduction O et par un couple dont le moment Mo est égal ai moment principal du système par rapport au centre O. On a donc :

R = X Y Z2 2 2 et M = M M Mx y z2 2 2

Pour qu’un système de forces disposées arbitrairement dans l’espace s’auto équilibrent, il faut et il suffit que le vecteur principal R et le moment principal soient tous deux nuls, c’est-à-dire que les deux conditions suivantes doivent être remplies simultanément:

R = X Y Z2 2 2 = 0 et M = M M Mx y z2 2 2 = 0

Cela est possible si et seulement si : X = Xi = 0 ; Mx = Mix = 0 Y = Yi = 0 ; My = Miy = 0 Z = Zi = 0. ; Mz = Miz = 0

Ces équations expriment les conditions d’équilibre d’un système de forces disposées arbitrairement dans l’espace. Ainsi, par ces équations, les projections des forces dans les différentes directions (x, y et z) sont nulles ; de même les moments par rapport à ces axes sont nuls; autrement dit les déplacements suivant les différentes directions sont nulles, de même les rotations autour de ces axes sont nulles, par conséquent le corps solide est en équilibre: il ne bouge pas. Ces équations sont appelées équations d’équilibre de la statique.

Pour les systèmes de forces coplanaires, on a les formes suivantes des équations d’équilibre:1 ère forme : Xi = 0 ; Yi = 0 ; Mio = 0 ;

le point O étant un centre de réduction quelconque; x et y sont deux axes orthogonaux.2 ème forme : MiA = 0 ; MiB = 0 ; Xi = 0 ;

A et B étant deux centres quelconques; l’axe x n’est pas perpendiculaire à la droite (AB).3 ème forme : MiA = 0 ; MiB = 0 ; MiC = 0 ;

A, B et C sont trois centres quelconques non alignés.

Pour les forces coplanaires parallèles, on successivement:1ère forme: Yi = 0 ; Mio = 0; l’axe y est parallèle aux forces.2ème forme: MiA = 0 ; MiB = 0 ;

la droite (AB) ne doit pas être parallèle aux forces.

Application : Détermination des réactions des appuisExercices en classeDevoirs de contrôle