Cours de Cm Clermont Farrand

5/28/2018 Cours de Cm Clermont Farrand

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CENTRE UNIVERSITAIRE DES SCIENCES ET TECHNIQUES

DPARTEMENT GNIE CIVILUNIVERSIT BLAISE PASCAL - CLERMONT-FERRAND 2

Jean-Pierre MUZEAU Septembre 2010

CCOONNSSTTRRUUCCTTIIOONN MMEETTAALLLLIIQQUUEE

Eurocode 3Version EN 1993-1-1

Rsistances des sections et des barres


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Eurocode 3 : version EN 1993 Contruction Mtallique Rsistance des sections et des barres

Jean-Pierre MUZEAU Page 1/66 Septembre 2010

SOMMAIRE

CARACTRISTIQUES MCANIQUES DES ACIERS DE CM ............................... 3

RSISTANCE DES SECTIONS ET DES BARRES ................................................. 4

1 - Prambule........................................................................................................... 4

2 - Coefficients partiels ........................................................................................... 4

1-RSISTANCE DES SECTIONS TRANSVERSALES ............................................ 6

1 Gnralits ........................................................................................................ 6

2 - Caractristiques des sections transversales ....................................................... 7

2.1 - Aire brute .............................................................................................. 7

2.2 - Aire nette ............................................................................................... 73 - Effort axial de traction ....................................................................................... 8

4 - Effort axial de compression .............................................................................. 9

5 Moment flchissant .......................................................................................... 10

5.1 Flexion simple ...................................................................................... 10

5.2 - Flexion dvie........................................................................................ 11

6 Cisaillement ..................................................................................................... 13

6.1 Calcul plastique .................................................................................... 13

6.2 - Calcul lastique ..................................................................................... 15

6.3 - Rsistance au voilement par cisaillement ............................................. 16

7 Moment flchissant et effort tranchant ............................................................. 16

8 Moment flchissant et effort axial .................................................................... 17

8.1 Flexion compose.................................................................................. 17

8.2 - Flexion compose dvie....................................................................... 21

9 Moment flchissant, effort tranchant et effort axial .......................................... 22

2RSISTANCE DES BARRES .......................................................................... 23


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Eurocode 3 : version EN 1993 Contruction Mtallique Rsistance des sections et des barres


1 Les courbes europennes de flambement ......................................................... 23

1.1 - Origine des courbes europennes de flambement ................................. 23

1.2 - lancement de rfrence et courbe dEuler .......................................... 23

1.3 - Formulation des courbes europennes de flambement ......................... 25

2 - Flambement des barres uniformes comprimes ................................................ 29

2.1 - Rsistance au flambement..................................................................... 29

2.2 - Courbes de flambement ........................................................................ 30

2.3 - lancement pour le flambement par flexion ......................................... 33

2.4 - lancement pour le flambement par par torsion ou par flexion- torsion 33

3 - Dversement des barres flchies ........................................................................ 35

3.1 - Rsistance au dversement ................................................................... 35

3.2 - Courbes de dversement ........................................................................ 363.3 - Courbes de dversement pour profils lamins ou sections soudesquivalentes.................................................................................................... 37

4 - Barres uniformes flchies et comprimes........................................................... 38

4.1 - Rgles pour les barres de sections transversales de Classes 1 et 2 ....... 39

4.2 - Rgles pour les barres de sections transversales de Classe 3 ................ 42

4.3 - Rgles pour les barres de sections transversales de Classe 4 ................ 43

4.4 - Sensibilit la dformation par torsion ................................................. 43

4.5 - Vrification aux extrmits de la barre ................................................. 44

ETATS LIMITES DE SERVICE .......................................................................... 45

1 - Prambule........................................................................................................... 45

2 Les dplacements............................................................................................... 46

2.1 - Flches verticales ................................................................................... 46

2.2 - Flches horizontales............................................................................... 47

3 Les vibrations (effets dynamiques).................................................................... 48

BIBLIOGRAPHIE............................................................................................. 50

ANNEXE 1 :Capacit de rsistance dune section transversale soumise une flexioncompose ........................................................................................................ 53

ANNEXE 2 :Valeurs tabules des 5 courbes de flambement .................................. 63


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Eurocode 3 : version EN 1993 Construction Mtallique - Rsistance des sections et des barres


CARACTRISTIQUES MCANIQUES DES ACIERSDE CONSTRUCTION MTALLIQUE

Aciers rpondant la norme EN 10025-2 : aciers de construction non allis

paisseur S 235 S 275 S 355 S 450

< t fy fu fy fu fy fu fy fu(mm) (MPa)

0 40 235 360 275 430 355 510 440 550

40 80 215 360 255 410 335 470 410 550

Aciers rpondant la norme EN 10025-4 : aciers de construction obtenus parlaminage thermomcanique

paisseur S 275 M/ML S 355 M/ML S 420 M/ML S 460 M/ML< t fy fu fy fu fy fu fy fu(mm) (MPa)

0 40 275 370 355 470 420 520 460 540

40 80 255 360 355 450 390 500 430 530


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RSISTANCE DES SECTIONS ETDES BARRES

1-PRAMBULE

Ce document concerne les sous-paragraphes de l'EN 1993-1-1 [1] et de lAnnexeNationale franaise [2] suivants :

- 6.2:Rsistance des sections transversales,

- 6.3:Rsistance des barres aux instabilits,

- Annexe AX1de lAnnexe Nationale :Moment critique de dversement.

Il suit la prsentation des mthodes d'analyse structurale (Clause 5) et celle concernantla classification des sections (Clause 5.5).

Enfin, il ne concerne que les instabilits de flambement et de dversement.

Il est noter que la version finale EN de lEurocode ne fournissant plus dlments ausujet de la longueur de flambement, il est conseill de se rfrer une annexe de la versionENV [3] :

- Annexe E:Longueur de flambement d'un lment comprim.

Le prsent document est scind en deux chapitres principaux. Le premier concerne la

rsistance des sections transversales et le second le calcul des barres.

2-COEFFICIENTS PARTIELS

Les coefficients partiels ncessaires la dtermination des capacits portantes dessections et des barres sont les suivants (Clause 6.1) :

- rsistance des sections transversales, quelle que soit la classe :

0,10=M


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- rsistance des barres aux instabilits :

0,11=

- rsistance la rupture des sections transversales en traction (rsistance de la sectionnette dans les zones dassemblages) :

25,12=M


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1 - RSISTANCE DES SECTIONS TRANSVERSALES

Aprs un bref rappel des notions de section brute et section nette, nous tudionssuccessivement la rsistance des sections transversales lorsqu'elles sont soumises dessollicitations provoques par les actions suivantes :

- effort axial de traction,

- effort axial de compression,

- moment flchissant,

- effort tranchant,

- moment flchissant et effort tranchant,

- moment flchissant et effort axial,

- moment flchissant, effort tranchant et effort axial.

1 -GNRALITS

Il est noter que toutesles classes de sections peuvent tre vrifies vis--vis de leurrsistance lastique ( condition de prendre en compte les proprits de la section efficace

pour la Classe 4).

Pour une vrification en lasticit, le critre limite suivant peut tre utilis au pointcritique de la section transversale, sauf si dautres formules dinteraction sappliquent (cas des 5.2, 7 et 8 du prsent document) :

13

2

00

,

0

,

2

0

,

2

0

,

+

+

M

yEd

M

yEdz

M

yEdx

M

yEdz

M

yEdx fffff

si : Edx, est la valeur de calcul de la contrainte longitudinale locale au point considr,

Edz, est la valeur de calcul de la contrainte transversale locale au point considr,

Ed est la valeur de calcul de la contrainte de cisaillement locale au point considr.


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Ce type de vrification place gnralement en scurit puisquil ne prend pas en compteune distribution plastique partielle des contraintes mais il ne conduit pas undimensionnement conomique.

Comme approximation plaant en scurit pour toutes les classes de sections

transversales, on peut galement utiliser une sommation linaire des rapports Sollicitation/ Rsistance propres chaque sollicitation agissante du type :

1,

,

,

,

+

+

Rdz

Edz

Rdy

Edy

Rd

Ed

M

M

M

M

N

N

si : RdN , RdyM , et RdzM , sont respectivement les valeurs de calcul de la rsistance

axiale et en flexion selon les deux axes,

EdN , EdyM , et EdzM , sont respectivement les valeurs de calcul de leffort normal

et des moments flchissants selon les deux axes.

2 -CARACTRISTIQUES DES SECTIONS TRANSVERSALES

2.1 - Aire brute

L'aire brute est calcule partir des dimensions nominales des pices sans dduire les

trous pratiqus pour les fixations (Clause 6.2.2.1). Elle est note A .

2.2 - Aire nette

L'aire nette est gale l'aire brute diminue des aires des trous et autres ouvertures(Clause 6.2.2.2). Elle est note netA .

Lorsque les trous sont en quinconce, l'aire dduire est la plus grande des valeurssuivantes :

aire des trous qui ne sont pas en quinconce dans n'importe quelle sectiontransversale perpendiculaire l'axe de la barre,

p

sdnt

4

2

0

si : s est le pas en quinconce ou lentraxe de deux trous conscutifs dans la ligne, mesurperpendiculairement laxe de la barre (figure 1),

p est lentraxe de deux mmes trous mesur perpendiculairement laxe de la barre

test lpaisseur,

n est le nombre de trous situs sur toute ligne diagonale ou en zigzag stendant sur lalargeur de la barre ou partie de barre,


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0d est le diamtre de trou.

ss

2

3

5

1

p

p

4

Direction dela sollicitation

Figure 1 - Calcul de la section nette

Cette valeur forfaitaire ( )pts 4/2 est issue des travaux de Cochrane [4]. Elle prsentel'avantage d'une formulation simple en sachant que l'erreur commise comparativement unethorie plus fine ne dpasse pas 10 15 %.

3 -EFFORT AXIAL DE TRACTION

La valeur de calcul de leffort de traction EdN dans chaque section transversale doit

vrifier la condition : RdtEd NN , (Clause 6.2.3) si RdtN , est la rsistance de calcul de la

section la traction.

Cette dernire est, en gnral, gale la plus petite des deux valeurs :

2

0

90M

unetRd,u

MyRd,pl

fA,N

fAN

=

=

La premire expression correspond la rsistance plastique de calcul de la section brute et laseconde la rsistance ultime de calcul de la section nette au droit des trous de fixation.

Les notations yf et uf correspondent respectivement la limite d'lasticit et la

rsistance la traction de l'acier considr (voir Clause 3.2).


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Il est noter que, dans le cas d'assemblages de catgorie C, cest--dire pour lesassemblages par boulons hr prcontraints pour lesquels aucun glissement n'est autoris l'tatlimite ultime (EN 1993-1-8 Clause 3.4.1), une troisime expression doit tre vrifie :

0, M

ynet

Rdnet

fA

N =

Lorsqu'un comportement ductile est ncessaire, c'est--dire lorsque la section brute doitse plastifier avant rupture de la section nette (dimensionnement en capacit), il convient devrifier une condition supplmentaire :

RduRdpl NN ,,

de manire ce que l'assemblage ne constitue pas une zone de rupture potentielle.

Cette condition peut encore scrire :

209,0

M

unet

M

y fAfA

ou encore :0

29,0M

M

u

ynet

f

f

A

A

et on peut remarquer que si

0

2

9,0M

M

u

ynet f

fAA

< , relation qui ne dpend que de

caractristiques gomtriques, mcaniques et de coefficients partiels, la condition ne peut pastre vrifie. Cest le cas de certaines cornires par exemple.

4 -EFFORT AXIAL DE COMPRESSION

La valeur de calcul de leffort de compression EdN dans chaque section transversale

doit satisfaire la condition : RdcEd NN , (Clause 6.2.4) si RdcN , est la rsistance de calcul

la compression de la section transversale.

Pour les sections transversales de Classe 1, 2 ou 3, RdcN , est gal leffort de

rsistance plastique de calcul, soit :

0,,

M

yRdplRdc

fANN

==

Ainsi, la diffrence de la traction, il n'y a pas lieu de dduire les trous de fixation pourvrifier une section comprime. L'aire de calcul est donc celle de la section brute. Toutefois,si des trous oblongs ou surdimensionns existent, il convient de diminuer laire de sectionrsistante en consquence.


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Pour les sections de Classe 4, elle devient :

0,

M

yeffRdc

fAN

=

si effA est laire efficace de la section transversale (pour prendre en compte les effets de

voilement local).

Il est important de souligner que cette vrification des sections comprimes nest querarement dterminante car elle ne s'applique qu'aux barres trs faible lancement (pourlesquels le flambement nest pas craindre).

En effet, si la condition 2,0 (oE

fy

= si est llancement de la barre :

ic

l

= , avec cl longueur critique de flambement et i rayon de giration) nest pas vrifie,

il convient de sassurer de la rsistance de la barre vis--vis du flambement. Dans ce cas, uncoefficient vient rduire la capacit portante de la barre et le facteur partiel prendre en

compte n'est plus 0M mais 1M (Clause 6.3.1).

La vrification de la section transversale la compression est donc limite au cas despoteaux courts ou trapus.

5 -MOMENT FLCHISSANT

Nous nous limitons ici aux vrifications effectuer dans le cas de sollicitations deflexion simple ou dvie. Il importe toutefois de rappeler que la flexion peut induire dudversement. Si cette instabilit risque de se produire, la dmarche de vrification est pluscomplexe. Elle est indique dans la deuxime partie de ce document car elle concerne alors lavrification de la barreconcerne.

La valeur de calcul du moment flchissant EdM dans chaque section transversale doit

satisfaire la condition : RdcEd MM , o RdcM , est la rsistance de calcul de la sectiontransversale la flexion. Attention, RdcM , est dtermin en prenant en compte les trous de

fixation ventuels.

5.1 - Flexion simple

5.1.1 - Sections sans trous de fixation

En labsence deffort tranchant, la rsistance de calcul d'une section sans trous de

fixation (Clause 6.2.5 (2)) est gale aux expressions suivantes (fonction de la Classe de lasection transversale) :


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- Section de Classe 1 ou 2 :0

,,M

yplRdplRdc

fWMM

== , moment de rsistance

plastique de calcul de la section brute,

- Sections de Classe 3 : 0

min,,,

M

yelRdelRdc

fW

MM == , moment de rsistance

lastique de calcul de la section brute,

- Sections de Classe 4 :0

min,,0,

M

yeffRdRdc

fWMM

== , moment de rsistance de

calcul de la section brute ou voilement local.

Les notations plW et min,elW correspondent respectivement au module plastique et au

module lastique minimal de la section brute alors que min,effW correspond au modulelastique minimal de la section efficace.

Pour le lecteur intress, il est bon de signaler que la rfrence [5] contient des rappelsconcernant la dtermination du module plastique des sections courantes.

5.1.2 - Sections avec trous de fixation

Dans certains cas, lorsque la section comporte des trous de fixation, le calcul est men,pour une section rduite (Clause 6.2.5 (4)).

Si la condition :02

.9,0

M

yf

M

unetf fAfA

est vrifie, le calcul peut tre men en section brute sans tenir compte des trous de fixation( netfA . est la section nette de la semelle tendue et fA sa section brute).

Dans le cas contraire, on adopte pour la semelle tendue, une aire rduite qui respectecette condition.

5.2 - Flexion dvie

Attention, cette vrification napparat pas explicitement dans lEN 1993-1-1 mais elleest intgre la Clause concernant la combinaison Flexion et effort normal (Clause 6.2.9).Pour vrifier une section en flexion dvie, en labsence deffort tranchant, il suffit donc dedterminer les diffrentes valeurs de calcul correspondant au cas o leffort normal est nul.


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5.2.1 - Sections transversales de classe 1 ou 2

Pour vrifier la rsistance la flexion dvie des sections de Classe 1 ou 2(Clause 6.2.9.1 (6)), il faut, en premier lieu, valuer la rsistance plastique suivant les deuxdirections y et z , soit RdyplM .. et RdzplM .. .

La vrification est alors la suivante :

1,,

,

,,

,

+

Rdzpl

Edz

Rdypl

Edy

M

M

M

M

o et dpendent de la nature des lments tudis :

- sections en I ou en H : 2= et 1=

- profils creux circulaires : 2== - profils creux rectangulaires : 66,1==

- barres rectangulaires et plats : 73,1==

5.2.2 - Sections transversales de classe 3

Pour ces sections (Clause 6.2.9.2), il convient que la contrainte longitudinale maximalesatisfasse le critre suivant :

0.

MyEdx

f

si Edx. est la valeur de calcul de la contrainte longitudinale locale due la combinaison des

moments suivants les deux axes principaux y et en prenant en compte les trous de fixationventuels.

Ceci peut encore s'crire :

0min,,

,

min,,

,

M

y

zel

Edz

yel

Edy f

W

M

W

M

+


Pour ces sections (Clause 6.2.9.3), la vrification consiste s'assurer que la contraintelongitudinale maximale Edx. calcule en utilisant les largeurs efficaces des paroiscomprimes remplit la condition :

0.

M

yEdx

f


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ce qui peut encore s'crire :

0min,,

,

min,,

,

M

y

zeff

Edz

yeff

Edy f

W

M

W

M

+

avec min,effW , module lastique minimal de la section efficace, la section transversale tant

suppose uniquement soumise un moment flchissant suivant l'axe considr (y ou z ).

6 -CISAILLEMENT

La valeur de calcul de leffort tranchant EdV dans chaque section transversale doit

satisfaire la condition :RdcEd

VV,

oRdc

V,

est la valeur de calcul de la rsistance au

cisaillement (Clause 6.2.6).

Par un calcul plastique, RdplRdc VV ,, = . Pour un calcul lastique, RdcV , est la valeur

de calcul de la rsistance lastique au cisaillement.

6.1 Calcul plastique

En labsence de torsion, la rsistance de calcul RdplV , est gale la valeur :

0,

3

M

y

vRdpl

f

AV

=

si vA est l'aire de cisaillement.

On retrouve donc ici le critre de plasticit de Von Miss :3

yy

f= .

y y

z

z

b

tw

tf

hy y

z

z

b

tw

tf

y y

z

z

b

tr r

Figure 2 - Notations


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Pour les sections courantes, et en utilisant les notations de la figure 2, l'aire decisaillement vA peut tre dtermine par les relations suivantes :

- sections lamines en I ou en H, flchies dans le plan de l'me :

( ) fwfvz trttbAA 22 ++=

z

z

y yG

Avz

hw

z

z

y y

Awz

Figure 3 - Aire de cisaillement pour les profils en I ou en H flchis autour de l'axe fort

Cette aire, reprsente la figure 3, ne doit pas tre infrieure ww th si wh est la hauteur

de lme ( )2 fw thh = . La valeur 1= est conseille mais lEN 1993-1-1 renvoie

lEN 1993-1-5 (plaques planes) pour plus de renseignements

- sections lamines en U flchies dans le plan de l'me :

( ) fwfvz trttbAA ++= 2

- sections soudes en I, en H ou en caisson flchies dans le plan de l'me :

= )( wwvz thA

- sections soudes en I, en H ou en caisson, flchies dans un plan perpendiculaire l'me :

)(= wwvy thAA

- sections creuses rectangulaires lamines d'paisseur uniforme flchies dans un planparallle la hauteur :

hb

hAAvz +

=

- sections creuses rectangulaires lamines d'paisseur uniforme flchies dans un plan

perpendiculaire la hauteur :


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hb

bAAvy +

=

- sections creuses circulaires d'paisseur uniforme :

AAv

2=

Pour les autres types de sections, la dtermination de l'aire de cisaillement vA doit tre

dtermine par analogie.

6.2 Calcul lastique

Pour un calcul lastique et en labsence de risque de voilement (voir suivant), lecritre suivant peut tre utilis pour un point critique de la section transversale :

0

3

M

y

EdEd

f

tI

SV

=

si : EdV est la valeur de leffort tranchant de calcul,

Sest le moment statique de laire, quel que soit le ct du point considr,

Iest le moment dinertie de flexion de la section transversale considre,

test lpaisseur au point considr.

Pour les sections en I ou en H, lexpression prcdente peut tre approche par larelation suivante :

0

3

M

y

w

EdEd

f

A

V

= si : 6,0

w

f

A

A

avec : fA aire dune semelle,

wA aire de lme ( www thA = , voir figure 3).

6.3 Rsistance au voilement par cisaillement

L'instabilit relative aux actions de cisaillement est le voilement.

Bien qu'il ne soit pas tudi dans ce document, il convient de souligner que pour uneme non raidie, le voilement nest pas craindre si llancement de cette me est tel que :


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72

w

w

t

h

o peut tre pris gal 1 en se plaant du ct de la scurit et o yf/235= .

Dans tous les autres cas, il convient de se rfrer lEN 1993-1-5.

7 -MOMENT FLCHISSANT ET EFFORT TRANCHANT

Dans le cas, le plus frquent, o le moment flchissant qui agit sur une sectiontransversale est associ un effort tranchant, la combinaison de ces deux sollicitations dpendde leur intensit relative (Clause 6.2.8). En effet, pour les petites valeurs de l'effort tranchant,

la rduction de la capacit portante de la section est si faible qu'elle est compense parl'crouissage du matriau et qu'elle peut donc tre nglige.

Si la valeur de calcul de l'effort tranchant ne dpasse pas 50 % de la rsistance plastiquede calcul au cisaillement RdplV , , alors seul l'effet du moment flchissant est pris en compte.

Dans le cas contraire, la valeur de rsistance la flexion de la section transversale

RdVM , est rduite de la manire suivante :

- pour les sections transversales semelles gales flchies dans le plan de l'me :

0

2

,,, 4 M

y

w

wyplRdVy

f

t

AWM

= mais : RdycRdVy MM ,,,,

avec :

2

,12

=

Rdpl

Ed

V

V

- pour les autres cas, RdVM , est pris gal au moment de rsistance plastique de la

section transversale dtermin en utilisant une limite d'lasticit rduite : ( ) yf1 pour l'aire de cisaillement sans dpasser RdcM , .

8 -MOMENT FLCHISSANT ET EFFORT AXIAL

Il convient de ne pas oublier que la combinaison moment flchissant et effort axial peutinduire des instabilits de flambement et de dversement. Il est donc trs important d'effectuergalement ces vrifications qui sont explicites dans la seconde partie de ce document.


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8.1 - Flexion compose

8.1.1 - Sections transversales de Classe 1 ou 2

En l'absence d'effort tranchant, la vrification effectuer (Clause 5.4.8.1) est la

suivante :

RdNEd MM ,

avec RdNM , , moment de rsistance plastique de calcul rduit par la prise en compte de

l'effort normal.

Pour les sections comportant des semelles, l'Eurocode 3 considre que la rduction dumoment plastique, due la prsence d'un effort normal faible, est compense par l'crouissagede l'acier et peut ainsi tre nglige. Lorsque l'effet de l'effort normal mobilise la moiti de la

rsistance plastique de l'me la traction ou le quart de celle de la section transversalecomplte, il n'est plus possible de faire cette hypothse et la section doit tre vrifie enflexion compose. Ces hypothses sont mises en vidence par les courbes relles d'interactiondonnes la figure 4 [6]. Elles sont dmontres dans lAnnexe 1 du prsent document.

Flexion autourde l'axe fort - yy

Rd,y,pl

Ed

M

M

Rd,pl

Ed

N

N

Rd,y,pl

Ed

M

M

Rd,pl

Ed

N

N

Figure 4-1 - Interaction Effort normal - Moment flchissant / axe y-y


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Flexion autourde l'axe faible - zz

Rd,z,pl

Ed

M

M

Rd,pl

Ed

N

N

Rd,z,pl

Ed

M

M

Rd,pl

EdN

N

Figure 4-2 - Interaction Effort normal - Moment flchissant / axe z-z

En posantRdpl

Ed

N

Nn

,= , rapport de l'effort normal de calcul sur la rsistance plastique

de calcul, et en posant galement

A

tbAa

f2= (rapport de l'aire de l'me sur l'aire totale du

profil) avec la condition 5,0a , on obtient les expressions suivantes :

pour un plat sans trou de fixation, on retrouve lexpression bien connue(Clause 6.2.9.1 (3)) :

=

2

,,, 1

Rdpl

EdRdplRdN N

NMM

La vrification scrit alors :

1

2

,,

+

Rdpl

Ed

Rdpl

Ed

N

N

M

M


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pour les sections transversales de profils lamins en I ou en H (Clause 6.2.9.1 (5)) :

- Flexion daxe fort :

= a

n

MM RdyplRdyN 5,01

1

,,,, mais : RdyplRdyN MM ,,,,

Cette condition est reprsente sur le diagramme de la figure 5. On remarque quedaprs la condition prcdente, linfluence de leffort normal est nglige tant

que : RdyplRdyN MM ,,,, , soit

a

n

5,01

11 , soit na 15,01 , ou encore :

Rdpl

Ed

N

Nna

,5,0 = , ce qui scrit finalement : RdplEd NaN ,5,0< .

NEd

MEd

Npl,Rd

0,5 a Npl,Rd

Diagrammesimplifi

Courbe relle

Mpl,y,RdMel,y,RdMN,y,Rd

NEd

Figure 5 - Diagramme simplifi retenu pour les sections en I ou en H flchies selon laxe fort

- Flexion daxe faible, si an> :

=2

,,,, 11

a

anMM RdzplRdzN

- Flexion daxe faible, si an :

RdzplRdzN MM ,,,, =


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- pour les profils creux rectangulaires paisseur uniforme, ces relations s'crivent :

=w

RdyplRdyN a

nMM

5,01

1,,,, mais : RdyplRdyN MM ,,,,

et :

=f

RdzplRdzN a

nMM

5,01

1,,,, mais : RdzplRdzN MM ,,,,

avec :A

thAaf

2= mais : 5,0fa

et :

A

tbAaw

2= mais : 5,0aw


En l'absence d'effort tranchant, il s'agit de vrifier (Clause 6.2.9.2) que la contraintelongitudinale remplit la condition :

0,

M

yEdx

f

soit encore : 1

0min,,

,

0min,,

,

0

++

M

yzel

Edz

M

yyel

Edy

M

y

Edf

W

Mf

W

Mf

A

N

qui correspond, bien sr, une vrification en lasticit.


En l'absence d'effort tranchant et comme prcdemment, il s'agit de vrifier

(Clause 6.2.9.3) que la contrainte longitudinale

0,

M

yEdx

f

calcule en utilisant les largeurs efficaces des parois comprimes.

Soit la condition :

1

0min,,

,

0min,,

,

0

+

++

+

M

yzeff

NzEdEdz

M

yyeff

NyEdEdy

M

yeff

Ed

fW

eNM

fW

eNM

fA

N


22/99



o : Ne est le dcalage daxe neutre selon laxe de flexion considr en supposant la

section transversale soumise la seule compression.

8.2 - Flexion compose dvie

Dans le cas d'une flexion bi-axiale avec effort normal (Clause 6.2.9.1 (6)), lavrification prend la forme :

1,,

,

,,

,

+

RdzN

Edz

RdyN

Edy

M

M

M

M

o et dpendent de la nature des lments tudis.

Pour se placer en scurit, les termes et peuvent tre pris gaux 1mais, pour uncalcul plus prcis, les valeurs suivantes peuvent tre avantageusement utilises :

- sections en I ou en H : 2= et n5= mais avec 1

- profils creux circulaires : 2==

- profils creux rectangulaires :213,11

66,1

n== et en respectant : 6 et 6

O dans tous les cas :Rdpl

Ed

N

Nn

,=

9 -MOMENT FLCHISSANT,EFFORT TRANCHANT ET EFFORT AXIAL

Si RdplEd VV ,5,0 (soit 50 % de la rsistance plastique au cisaillement), on peut

ngliger son influence pour la combinaison effort axial - moment flchissant (Clause 6.2.10).On est alors ramen au cas prcdent.

SiRdplEd

VV,

5,0> , on ne peut plus ngliger son influence et il convient d'utiliser une

limite d'lasticit rduite yf)1( avec

2

,12

=

Rdpl

Ed

V

V .


23/99



2 - RSISTANCE DES BARRES

1 -LES COURBES EUROPENNES DE FLAMBEMENT

Les courbes europennes de flambement sont la base de la vrification des instabilitsdes barres au sens de la norme EN 1993-1-1. Issues dun vaste programme dessais au niveau

europen, elles ont ensuite t mises sous la forme analytique qui est celle qui a t retenuedans la norme europenne.

1.1 - Origine des courbes europennes de flambement

A partir de 1960, un programme exprimental t men par la Convention Europennede la Construction Mtallique (C.E.C.M.) pour tudier le comportement au flambement de

poteaux en acier. Plus de 1100 essais ont t raliss dans toute lEurope sur des lmentsvaris (I, H, T, U, tubes carrs et circulaires) et pour diffrentes valeurs de l'lancement( 17040 ). Une approche probabiliste associe une analyse thorique a montr qu'il

tait possible de tracer des courbes dcrivant la rsistance des poteaux en fonction d'unlancement de rfrence .

Les imperfections qui ont t prises en compte, sont, d'une part, une imperfectiongomtrique de la forme d'une demi-onde sinusodale d'amplitude gale 1/1000 de lalongueur du poteau et, d'autre part, les effets des contraintes rsiduelles relatives chaqueforme de section transversale.

1.2 lancement de rfrence et courbe dEuler

Si l est la longueur critique de flambement dune barre idale comprime, lexpression

de sa force critique dEuler est :2

2

l

EINcr

= .

La contrainte critique dEuler scrit alors :2

2

lA

EI

A

Ncrcr

== .


24/99



En utilisant le rayon de giration A/Ii= et llancement i/l= , cr , elle devient :

2

2

Ecr= .

On peut ainsi tracer la courbe correspondante dans un diagramme , (figure 6).

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150

Limite en compression simple

Courbe de flambement

d'Euler

fy

Figure 6 Courbe dEuler dans un diagramme ,

En appelant 1 llancement pour lequel ycr f= , il vient :yf

E =1 . Cet

lancement correspond ainsi llancement maximum pour lequel la barre idale peut tresollicite sa limite dlasticit.

En posant 1/= et yf/= , le diagramme prcdent peut tre trac dans un

repre adimensionnel ), qui devient ainsi indpendant de la valeur de la limitedlasticit. Ce nouveau diagramme est reprsent la figure 7.


25/99



0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,01



d'Euler

1

Figure 7 Courbe dEuler dans un diagramme ),

Cest dans ce repre que seront reprsentes les courbes europennes de flambement.On note que dans ce systmes daxes, le point dintersection entre la courbe de flambement

dEuler et la limite en compression simple a pour coordonnes (1, 1).

Llancement rduit1

= est gal

E

fy

= .

Il peut galement sexprimer sous la forme :cr

pl

cr

yy

N

N

N

fA

E

f===

2

2

.

1.3 - Formulation des courbes europennes de flambement

La mise en quation des courbes europennes de flambement est due R. Maquoi etJ. Rondal [7]. Elle correspond une formulation d'Ayrton-Perry.

Si l'on considre un dfaut de rectitude initial de forme sinusodale et d'amplitudemaximale 0e (figure 8), la dformation initiale peut tre crite sous la forme :

=

L

xey

sin00


26/99



N

N

x

y

e

e

o

Dforme initiale

Dforme finaleL

Figure 8 - Flambement d'un poteau avec dfaut initial

L'quation diffrentielle de la dforme d'un poteau bi-articul charg axialement etpossdant un dfaut de rectitude initial, est la suivante :

( ) 002

2

=++ EIyyNdxyd

En remplaant y0 par son expression et aprs introduction des conditions aux limites,la solution de cette quation est :

=

L

xsin

1N

Ne

ycr

0

crN tant l'effort axial critique d'Euler.

La flche maximale totale e au milieu du poteau ( )/Lx 2= s'crit alors sous la forme :

cr

0

cr

00

N

N1

e

1N

Ne

ee

=

+=

qui fait apparatre le terme ( )crNN/1/1 appel facteur d'amplification.


27/99



En prenant en compte le moment flchissant maximal ( eN ) d au flambement et en

appelant elW le module de flexion lastique de la section ( I/vWel= ), l'atteinte de la premire

plastification dans un poteau libre de contraintes rsiduelles rpond au critre :

yel

maxmax fW

eN

A

N=+

Si maxN est l'effort normal maximum limit par le flambement et b la contrainte

normale maximale (A

Nmaxb = ), nous avons :

yel

bbel

maxmax fW

Ae

W

Ae

A

N

A

N=+=+

ou, en introduisant la contrainte critique d'Euler2

2

Ecr= :

yel

cr

bbb fW

Ae=

+

1

0

qui peut tre facilement crit sous la forme :

( )( ) elcrbbybcr WA

ef 0 =

Cette quation est la forme de base de l'quation d'Ayrton-Perrysi l'on pose :

elW

Ae0=

Le terme reprsente l'imperfection de rectitude initiale du poteau mais il peut aussireprsenter d'autres dfauts comme les contraintes rsiduelles ou l'excentricit des chargesappliques par exemple. Il est alors appel facteur d'imperfection gnralise.

En posantl

e0= , on peut crire ce terme sous la forme :

elW

Al=

En utilisant les termes i/l= , v/IWel= et A/Ii =2 , peut tre exprim de la

manire suivante :


28/99



v

i

=

o le terme v/i correspond au diamtre relatif de l'ellipse d'inertie suivant la direction o

apparat le flambement.

Posonspl

max

y

b

N

N

f ==

. Comme yf/E= , en introduisant 1= quand

0 , la relation prcdente s'crit, pour MPa255=yf :

v

i, 01590

=

car, en effet, les courbes europennes de flambement ont t tablies pour une valeur fixe dela limite dlasticit, la valeur relle de yf n'ayant qu'une influence trs faible sur le rsultat

comparativement aux autres paramtres.

En posant :v/i

,

1590=

nous obtenons : )0 = .

En revenant l'criture de l'quation d'Ayrton-Perry et en divisant par le produitycrf , il vient :

y

b

y

b

cr

b

ff =

11

y

b

y

b

cr

y

y

b

ff

f

f =

11

( ) =

11

2

ou, en dveloppant : 011222 =+

++

En remplaant par son expression en fonction de et en rsolvant cette quation dusecond degr en , si nous retenons la plus petite racine, nous obtenons :


29/99



( ) ( )2

2220

20

2

411

++++

=

En posant : ( )

++=

220150 ,, et en choisissant 200 ,= , il vient :

2

22

=

En multipliant numrateur et dnominateur par le terme conjugu,22 + , nous

obtenons :

22222

222 1

+=

+

+=

qui est la formulation des courbes europennes retenue dans l'Eurocode 3 :

22

1

+=

Cinq valeurs diffrentes de ont t choisies pour reprsenter les diffrents rencontrsdans la pratique. Elles sont associes l'intensit des imperfections et croissent avec elles.Elles ont ainsi conduit cinq courbes distinctes nommes respectivementa0, a, b, cet d.

2 -FLAMBEMENT DES BARRES UNIFORMES COMPRIMES

Comme nous venons de le voir, au sens de lEurocode 3, l'tude du flambement desbarres comprimes est fonde sur lutilisation des courbes europennes de flambement.

2.1 Rsistance au flambement

Pour sassurer de la rsistance d'une barre comprime vis--vis du flambement(EN 1993-1-1, 6.3.1.1), il convient de vrifier lexpression suivante :

0,1,

Rdb

Ed

N

N

o : EdN est la valeur de calcul de leffort de compression,


30/99



Rd,bN est la rsistance de calcul de la barre comprime au flambement.

Dans le cas gnral, cette dernire est prise gale :

1M

yRd,b

fA

N

= pour les sections transversales de Classes 1, 2 et 3,

1M

yeffRd,b

fAN

= pour les sections transversales de Classe 4.

o : est le coefficient de rduction pour le mode de flambement appropri.

2.2 Courbes de flambement

Pour les barres section transversale constante, le coefficient de rduction tablidans le paragraphe prcdent, sexprime par la relation suivante (EN 1993-1-1, 6.3.1.2) :

11

22

+=

:mais

o : ( )

++=

220150 ,,

avec : facteur dimperfection (donn dans le tableau 1)

cr

pl

N

N= pour les sections de Classes 1, 2 et 3,

cr

yeff

N

fA= pour les sections de Classe 4.

si : A est l'aire de la section brute,

et si : crN est leffort normal critique de flambement lastique pour le mode de

flambement appropri, bas sur les proprits de la section brute.

Tableau 1 - Facteurs d'imperfections des cinq courbes de flambement

Courbe de flambement a0 a b c d 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76


31/99



Les cinq courbes de flambement )(f = sont traces la figure 9. Les valeurstabules donnant les valeurs de pour les diffrentes valeurs du facteur dimperfection sontdonnes en Annexe 2 la fin du document. Le facteur dimperfection est li aux types desections transversales, aux modes de fabrication, aux axes de flambement1 et la limite

dlasticit de lacier. Pour le flambement par flexion, il est donn dans le tableau 2.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

Courbe a0Courbe aCourbe bCourbe cCourbe dLimite d'lasticit

Courbe d'Euler

0,2



d'Euler

a

d

b

c

a0

Figure 9 - Courbes de flambement

La vrification de la stabilit au flambement doit tre effectue si > 0 2, ou si

040,N

N

cr

Ed > .

Dans le cas contraire, si 20, ou si 040,NN

cr

Ed , elle nest pas ncessaire.

1Nota: Le flambement est assimilable une sollicitation de flexion compose. L'axe de flambement est celui quicorrespond l'axe qui porte le moment quivalent N e. Exemple :

N N x

y e

Axe deflambement z-z


32/99



En dautres termes, pour les faibles lancements, le flambement nest pas craindre etseules les vrifications de sections transversales sappliquent. Cest pourquoi les courbes deflambement prsentent un palier pour les faibles lancements rduits.

Tableau 2 Choix de la courbe de flambement selon les sections transversales

Courbes deflambement

Section transversale Limites

Flambementselon laxe

(ou autour delaxe)

S235S275S355S420

S460

tf40 mmy-yz-z

ab

a0a0

h/b

>1,2

40 mm tf100

y-yz-z bc aa

tf100y-yz-z

bc

aa

Sectionslaminesen

IouenH

tf z

z

y y

b

h

h/b

1,2

tf> 100y-yz-z

dd

cc

tf40 mmy-yz-z

bc

bc

Sec

tionsIou

H

soudes

tf tfz

z

y y

z

z

y y

tf> 40 mm

y-y

z-z

c

d

c

d

Finies chaud Quelconque a a0

Sections

creuses

Formes froid Quelconque c c

En gnral Quelconque b b

Sectionse

ncaisson

soudes

b

h

z

z

y y

tf

tw

Soudures paissesa >0,5 tf

b/tf< 30h/tw< 30

Quelconque c c

Sections en U, T et pleines Quelconque c cSections en L Quelconque b b


33/99



2.3 lancement pour le flambement par flexion

Nous avons dtermin, dans le paragraphe prcdent, les expressions de llancementrduit dans le cas du flambement par flexion (figure 10) :

crpl

N

N= pour les sections transversales de Classes 1, 2 et 3,

cr

yeff

N

fA= pour les sections transversales de Classe 4.

G

Figure 10 - Flambement par flexion

Nous avons galement montr que 1 sexprime sous la forme :yf

E =1 .

En posant =235

fy, comme E = 210 GPa, si yf est exprim en MPa, il scrit :

9931 ,= .

La difficult principale rside dans la dtermination de leffort critique de flambement

crN et plus prcisment de la longueur de flambement. Si lAnnexe E de la version ENV de

lEurocode 3 donnait des indications pour dterminer cette longueur de flambement, il nenest rien dans la version finale de lEN 1993-1-1. Une possibilit pour dterminer la longueurde flambement rside dans le recours une analyse non linaire. Il reste bien sr possible decontinuer utiliser lAnnexe E de lENV [3] qui, rappelons-le, sappuie sur les abaques deWood [8].

2.4 lancement pour le flambement par torsion ou par flexion- torsion

Pour les barres constitues de sections transversales ouvertes non bi-symtriques, il peuttre ncessaire de mener une vrification de la rsistance au flambement par torsion et parflexion-torsion.


34/99



G GC

Figure 11 - Flambement par torsion Figure 12 - Flambement par flexion-torsion

Ce type de flambement est souvent le cas :

pour les sections ouvertes centre de symtrie sensibles au flambement partorsion (figure 11 par exemple),

pour les sections ouvertes non symtriques sensibles au flambement par flexion-torsion (figure 12 par exemple).

Il convient alors de dterminer llancement rduit T pour le flambement par torsionou par flexion-torsion par :

cr

y

T N

fA

= pour les sections transversales de Classes 1, 2 et 3,

cr

yeffT

N

fA= pour les sections transversales de Classe 4,

o : TF,crcr NN = mais cr,Tcr NN < .

cr,TN est leffort critique de flambement lastique par torsion,

Ncr,TF est leffort critique de flambement lastique par flexion-torsion

Ces deux grandeurs dpendent des sections transversales :

+=

2

2

20

1

T,cr

wtT,cr

EIGI

iN

l

si : 20

20

2220

zyiii zy +++=

avec : 0y et 0z coordonnes du centre de cisaillement par rapport au centre de

gravit de la section brute (figure 13).


35/99



GC

y0 z

zy

y

Figure 13 Centre de cisaillement - Notations

Pour une section symtrique par rapport laxe y-y par exemple

+

+=

ycr

Tcr

ycr

Tcr

ycr

TcrycrTFcr

N

N

i

y

N

N

N

NNN

,

,2

0

0

2

,

,

,

,,, 411

2

avec :2

0

01

=

i

y

Dautres informations sont disponibles dans la partie 1-3 de lEurocode 3 (EN 1993-1-3) qui concerne les lments parois minces forms froid pour lesquels ce type dinstabilitest tudier presque systmatiquement.

3 -DVERSEMENT DES BARRES FLCHIES

3.1 Rsistance au dversement

La rsistance de calcul d'une barre flchie non maintenue latralement, et doncsusceptible de dverser (EN 1993-1-1, Clause 6.3.2.1), doit tre prise gale :

1MyyLTRd.b fWM =

o : yW est le module de rsistance appropri pris de la faon suivante :

y,ply WW = pour les sections transversales de Classe 1 ou 2,

y,ely WW = pour les sections transversales de Classe 3,

y,effy WW = pour les sections transversales de Classe 4,

LTest le coefficient de rduction pour le dversement.


36/99



3.2 Courbes de dversement

La valeur de ce coefficient LTpeut tre obtenue par l'expression :

22

1

LTLTLTLT +

=

o : ( )

++=

220150 LTLTLTLT ,,

avec :cr

yyLT

M

fW=

Mcr

est le moment critique pour le dversement lastique.

LTest le facteur d'imperfection pour le dversement, il est donn dans le tableau 3.

Tableau 3 Valeurs recommandes pour les facteurs dimperfection des courbes dedversement

Courbe de dversement a b c d

LT 0,21 0,34 0,49 0,76

Le choix des courbes de dversement est prcis dans le tableau 4.

Tableau 4 Choix des courbes de dversement

Sections transversales Limites Courbes de dversement2h/b aSections en I lamines2h/b> b2h/b cSections en I soudes2h/b> d

Autres sections - d

La vrification au dversement n'est ncessaire que lorsque 20,LT > . Dans le cascontraire ou si la poutre est maintenue latralement sur toute sa longueur, le dversement (ouflambement latral) n'est pas craindre.

Il est noter que la dtermination du moment critique de dversement lastique nestpas indiqu dans la version finale de lEN 1993-1-1 alors quelle correspondait lAnnexe Fde la version ENV. Lannexe AX1 de lAnnexe Nationale [2] apporte nanmoins tous les

lments ncessaires lvaluation de crM .


37/99



3.3 Courbes de dversement pour profils lamins ou sections soudesquivalentes

Daprs cette Annexe Nationale, une section soude quivalente est une sectionreconstitue soude en I telle que :

le rapport des inerties de semelles dans leur plan est 1,2

la section est symtrique par rapport lme

3w

maxf

t

t

Dans ce cas, les valeurs de LT peuvent tre dtermines par les expressionssuivantes :

22

1

LTLTLTLT

+= mais

21

01

LTLT

LT ,

( ) 20150 LT,LTLTLTLT , ++=

avec au maximum 400 ,,LT = et au minimum 750,= .

LAnnexe Nationale prcise comment dterminer 0,LT et LT :

Sections lamines en I doublement symtriques :

h

b,,,LT 10200 += et 02040

2= LTLT h

b,,

Sections soudes en I doublement symtriques :

h

b,,LT 300 = et 025050

2= LTLT h

b,,

Autres types de sections :

200

,,LT = et 760,LT =

et pour toutes les sections : 01,=

Dans ce cas, le choix des courbes de dversement est prcis dans le tableau 5.


38/99



Tableau 5 Choix des courbes de dversement associes aux profils lamins ou sectionssoudes quivalentes

Sections transversales Limites Courbes de dversement2h/b bSections en I lamines2h/b> c2h/b cSections en I soudes2h/b> d

4 BARRES UNIFORMES FLCHIES ET COMPRIMES

Les sollicitations de flexion sont amplifies par l'effet de flambement (figure 14).

M

N

M

N

v

x

y

M

N.v

N

Effort axial Moment flchissant

l

(effets du 2 ordre)me

Figure 14 - Sollicitation de flexion compose

Au sens de lEN 1993-1-1, la vrification des barres uniformes flchies et comprimessapplique aux barres sections transversales bi-symtriques non sensibles ladistorsion.

Une distinction est faite entre :

les barres qui ne sont pas sensibles aux dformations par torsion (sections creusesou sections maintenues en torsion),

les barres sensibles aux dformations par torsion (sections transversales ouvertes

et non maintenues en torsion).


39/99



La stabilit en flexion compose avec risque de flambement et de dversement, s'appuiesur les relations gnrales suivantes :

1

1

111

111

+

++

+

+

++

+

M

Rk,z

Ed,zEd,zzz

M

Rk,yLT

Ed,yEd,yzy

M

Rkz

Ed

M

Rk,z

Ed,zEd,zyz

M

Rk,yLT

Ed,yEd,yyy

M

Rky

Ed

M

MMk

M

MMk

NN

M

MMk

M

MMk

NN

o :

EdN , Ed,yM et Ed,zM sont les valeurs de calcul de leffort de compression et de

moments maximaux dans la barre par rapportrespectivement laxe y-y et laxe z-z.

Ed,yM et Ed,zM sont les moments provoqus par le dcalage de laxe

neutre pour les sections transversales de Classe 4.

y et z sont les facteurs de rduction dus au flambement par

flexion

LT est le facteur de rduction d au dversement

yyk , yzk , zyk , zzk sont les facteurs dinteraction. Ils ont t drivs partir

de deux approches alternatives. La mthode 1, dite mthode franco-belge et la mthode 2 encore appele mthode germano-autrichienne .

Les deux mthodes sont proposes dans lEN 1993-1-1 en laissant le soin aux AnnexesNationales de fixer ou non le choix entre ces mthodes. Cest la mthode 1 qui a t retenuepar lAnnexe Nationale franaise [2]. Cest donc la seule que sera prsente ici. Il est noterquun document explicatif va tre publi trs prochainement [8]. Il expose la construction deces deux mthodes de calcul et il contient de nombreux exemples dapplication quiddramatisent lapparente complexit des deux formulations.

4.1 - Rgles pour les barres de sections transversales de Classes 1 et 2

Pour les barres dont les sections transversales sont de Classes 1 et 2, les expressionsprcdentes se rduisent :


40/99



1

1

++

++

Rd,z,pl

Ed,zzz

Rd,y,plLT

Ed,yzy

Rd,plz

Ed

Rd,z,pl

Ed,zyz

Rd,y,plLT

Ed,yyy

Rd,ply

Ed

M

M

kM

M

kN

N

M

Mk

M

Mk

N

N

avec les coefficients :yy

y,cr

Ed

ymLTmyyy C

N

NCCk

1

1=

y

z

yz

z,cr

Ed

ymzyz w

w,

C

N

NCk 60

1

1=

z

y

zy

y,cr

Ed

zmLTmyzy w

w,

CN

NCCk 60

1

1=

zz

z,cr

Ed

zmzzz

CN

NCk

1

1=

dans lesquels :

y,cr

Edy

y,cr

Ed

y

N

N

N

N

=1

1

z,cr

Edz

z,cr

Ed

z

N

N

N

N

=1

1

si : 51,W

Ww

y,el

y,ply =

51,W

Ww

z,el

z,plz =

1MRk

Edpl

/N

Nn

=


41/99



avec :

y,pl

y,elLTplmaxmy

ymaxmy

yyyy W

WbnC

w

,C

w

,)w(C

+=

222 6161211

o :Rdzpl

Edz

RdyplLT

EdyLTLT M

M

M

Mab

,,

,

,,mod,

,205,0

=

z,pl

z,el

y

zLTpl

z

maxmzzyz W

W

w

w,cn

w

C)w(C 6014211

5

22

+=

RdyplLTmy

Edy

LTLT MC

Mac

,,mod,

,

4

20

510

+=

y,pl

y,el

z

yLTpl

y

maxmyyzy W

W

w

w,dn

w

C)w(C 6014211

5

22

+=

Rdzplmz

Edz

RdyplLTmy

Edy

zLTLT MC

M

MC

Mad

,,

,

,,mod,

,4

0

1,02

+=

+= plLTmz

zmz

zzzz neCw

Cw

wC2max

2max

2 6,16,12)1(1

RdyplLTmy

Edy

zLTLT MC

Mae

,,mod,

,4

0

1,07,1

+=

si :

=z

ymax

max

et si :

=

2LT

mod,LT

mod,LTLT

mod,LT 10,1

maisf

avec : ( ) ( ) 1fmais8,021k15,01f 2LTc

=

et si : 01 =

y

TLT

I

Ia qui doit tre pris gal 0 si le dversement est empch ( LTa est

destin assurer la transition entre les sections ouvertes et les sections fermes)


42/99



Les valeurs du moment uniforme quivalent sont donnes dans le tableau 6.

Tableau 6 Facteur de moment uniforme quivalent

Diagramme de moment 0,miC

M1M1

-1 1

i,cr

Edii,mi N

N),(,,,C 3303602107900 ++=

M(x)

M(x)

i,cr

Ed

Ed,i

xi,mi N

N

)x(ML

IEC

+= 11

2

2

0

)x(Edi,M : moment maximal Edy,M ou Edz,M

x : flche maximale locale le long de la barre

i,cr

Ed,mi N

N,C 18010 =

i,cr

Ed

,mi N

N

,C 03010 +=

4.2 - Rgles pour les barres de sections transversales de Classe 3

Pour les barres dont les sections transversales sont de Classe 3, les expressionsprcdentes deviennent :

1

1

++

++

Rd,z,el

Ed,zyz

Rd,y,elLT

Ed,yyy

Rd,ply

Ed

Rd,z,el

Ed,zzzRd,y,elLT

Ed,yzyRd,plz

Ed

M

Mk

M

Mk

N

N

MMk

MMk

NN

avec :

y,cr

Ed

ymLTmyyy

N

NCCk

=

1


43/99



z,cr

Ed

ymzyz

N

NCk

=

1

y,cr

EdzmLTmyzy

N

NCCk

=

1

z,cr

Ed

zmzzz

N

NCk

=

1

Les autres termes sont identiques ceux donns prcdemment.

4.3 - Rgles pour les barres de sections transversales de Classe 4

Pour les barres dont les sections transversales sont de Classe 4, les expressions devrification scrivent :

1

111

+

++

+

M

yz,eff

Edz,NEd,zzz

M

yy,effLT

Edy,NEd,yzy

M

yeffz

EdfW

NeMk

fW

NeMk

fAN

1

111

++++

M

yz,eff

Edz,NEd,zyz

M

yy,effLT

Edy,NEd,yyy

M

effy

EdfW

NeMkfWNeMk

fyAN

4.4 - Sensibilit la dformation par torsion

Elle dpend de la valeur de 0 , lancement rduit dans le cas du moment flchissantuniforme, cest--dire 01,y = dans la tableau 6.

Llancement lim,0 limite a pour expression :

4,,

1lim,0 112,0

=

TFcr

Ed

zcr

Ed

N

N

N

NC

Les valeurs de 0 infrieures lim,0 correspondent des barres qui ne sont passensibles aux dformations par torsion linverse des valeurs suprieures. Le tableau 7synthtise les termes myC , mzC et mLTC prendre en compte selon les cas.


44/99



Tableau 7 Coefficients mC selon la sensibilit aux dformations par torsion

Si lim,00 Si lim,00 > ,

0,mymy CC =

0,mzmz CC =

01,CmLT =

LTy

LTy,my,mymy

aa)C(CC

++=

11 00

0,mzmz CC =

=

T,cr

Ed

z,cr

Ed

LTmymLT

N

N

N

N

aCC

11

2

y,elEd

Ed,yy W

A

N

M= pour les sections transversales de Classes 1, 2 et 3

y,eff

eff

Ed

Ed,yy W

A

N

M= pour les sections transversales de Classe 4

Dans ces expressions sont utilises les grandeurs suivantes :

y,crN effort normal critique de flambement lastique par flexion selon laxe y-y

z,crN effort normal critique de flambement lastique par flexion selon laxe z-z

T,crN effort normal critique de flambement lastique par torsion

TF,crN effort normal critique de flambement lastique par flexion-torsion

TI inertie de torsion de ST Venant

yI moment dinertie de flexion par rapport laxe y-y

1C facteur dpendant du chargement et des conditions aux extrmits prendre dans la littrature.

4.5 Vrification aux extrmits de la barre

En plus de la vrification de la rsistance aux instabilits, il convient de vrifier larsistance des sections transversales chaque extrmit de la barre.


45/99



ETATS LIMITES DE SERVICE

1PRAMBULE

Les Etats Limites de Service (E.L.S.) correspondent aux tats au-del desquels les

exigences daptitude au service (ou lutilisation) de la structure ne sont plus respectes. Ondistingue :

- les ELS irrversibles : ce sont ceux qui resteront dpasss en permanence lorsqueles actions lorigine du dpassement auront disparu ;

- les ELS rversibles : ce sont ceux qui ne seront plus dpass lorsque les actions lorigine du dpassement auront disparu.

Ces tats limites concernent donc :

laptitude au fonctionnement de la structure,

le confort des utilisateurs,

laspect du btiment ou de louvrage.

On peut citer quelques exemples dELS :

- Les dformations (flches) qui altrent laptitude au fonctionnement ou laspect delouvrage ou de ses installations, qui engendrent des dgts aux lmentssecondaires (cas de cloisons qui fissurent du fait quelles reposent sur de poutrestrop flchies) et qui affectent galement le confort des utilisateurs.

- Les vibrations, qui perturbent et limitent laptitude au fonctionnement(exploitation) de la structure et qui nuisent au confort des personnes.

- Les fissurations, qui altrent laspect et la durabilit de louvrage (cloisons, murssecondaires, bardages) et qui peuvent, long terme, affecter la capacit portante delouvrage (fissuration sur appui dune poutre mixte continue).

- Les dfauts dtanchit, qui limitent laptitude au fonctionnement de louvrage.


46/99



2LES DPLACEMENTS

Nous donnons ici les dplacements maximums autoriss sous les combinaisonsdactions propres lELS.

2.1 - Flches verticales

La figure 15 reprsente les flches verticales dans le cas dune poutre flchiesimplement appuye.

wc

wmaxwtot

w3

w1

Figure 15 Dcomposition des diffrentes flches dune poutre flchie

Les symboles utiliss sont les suivants :

1w : flche due aux actions permanentes,

3w : flche additionnelle due aux actions variables,

cw : contreflche dans llment structural non charg,

La flche totale, totw , est donc telle que : 31tot www +=

La flche rsiduelle totale maxw , incluant la contreflche, a pour expression :

c31max wwww +=

Les valeurs limites recommandes pour les flches verticales des poutres de btimentsont donnes dans le tableau 7 o L est la porte de la poutre. Il convient de leur comparer lesvaleurs calcules partir des combinaisons caractristiques. Pour les poutres en porte--faux,la longueur L considrer est gale deux fois la longueur du porte--faux.


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Tableau 7 Valeurs limites maximales recommandes pour les flches verticales

LimitesConditions

wmax w3

Toitures en gnral (non accessibles aux usagers) L / 200 L / 250

Toitures supportant frquemment du personnel autre que lepersonnel d'entretien

L / 200 L / 300

Planchers en gnral L / 200 L /300

Planchers et toitures supportant des cloisons en pltre ou enautres matriaux fragiles ou rigides

L / 250 L / 350

Planchers supportant des poteaux L / 400 L / 500

Cas o wmaxpeut nuire laspect du btiment L /250

2.2 - Flches horizontales

LEC3 propose galement des limites pour les dplacements horizontaux reprsents la figure 16.

Figure 16 Dfinition des dplacements horizontaux

Ici, les symboles utiliss sont les suivants :

u : dplacement horizontal sur la hauteur H du btiment

iu : dplacement horizontal sur la hauteur iH dun tage

iH : hauteur du poteau ou de ltage ;

H : hauteur totale de la structure ;

iL : distance entre deux portiques conscutifs ou la longueur de la lisse.


48/99



Tableau 8 Valeurs limites recommandes pour les flches horizontales

Type de construction Limites

Btiments industriels niveau unique sans pont roulant, avec parois non fragiles

-dplacement en tte de poteaux-dplacement diffrentiel en tte entre deux portiques conscutifs

150/H 150/H

Elments supports de bardage mtallique (hors encadrement de baies)

-lisses

-montants (flche propre)

150/Li

150/Hi

Autres btiments niveau unique, sans pont roulant

-dplacement en tte de poteaux

-dplacement diffrentiel en tte entre deux portiques conscutifs

250/Hi

200/Li

Btiments industriels plusieurs niveaux, sans pont roulant, avec parois non fragiles

-entre chaque tage

-pour la structure dans son ensemble: si H 30 m

si H > 30 m

200/Hi

200/H

300/H

Autres btiments plusieurs niveaux sans ponts roulants

-entre chaque tage 300/Hi

-pour la structure dans son ensemble : si H 10 m 300/H

si 10 m < H 30 mH10200

H

+

si H > 30 m 500/H

Pour les ossatures supports de chemin de roulement (non abordes dans le cadre de cecours), le lecteur est invit consulter le tableau 3 de lAnnexe Nationale.

3LES VIBRATIONS (effets dynamiques)

Les constructions doivent galement tre prmunies contre les effets des vibrations etles amplifications dynamiques dues aux phnomnes de rsonance. Ces effets peuvent trecauss par les machines, laction du vent, les dplacements de personnes lintrieur de

btiments.

Pour le fonctionnement de la structure ou le confort de lutilisateur, il convient de

maintenir la frquence naturelle des vibrations de la structure ou de llment structural au-dessus de valeurs appropries, selon la fonction du btiment et la source des vibrations.


49/99



En labsence de spcifications particulires, les limitations sur les frquences propres devibrations les plus basses des planchers des structures sont donnes au tableau xxx

Dans le calcul de la frquence propre, la masse retenir relative aux chargesdexploitation correspond 20 % des charges dexploitation prise en compte dans la

combinaison caractristique. Lorsquune part des charges dexploitation correspond deslments non structuraux rigidement fixs la construction (cloisons lgres par exemple), lamasse correspondante retenir est 100 % de cette part et 20 % pour le reste.

Lorsque la premire frquence propre est infrieure la frquence limite recommande(tableau 10.2), il convient de procder une analyse plus affine de la rponse dynamique dela structure, en tenant compte de lamortissement.

Tableau 9 Valeurs limites des frquences de vibrations les plus basses des planchers

Nature des locaux Frquence propre

Habitations, bureaux 2,6 Hz

Gymnases, salles de danse 5 Hz


50/99



BIBLIOGRAPHIE

OUVRAGES DE BASE EN FRANAIS

APK Construction Mtallique et Mixte Acier-Bton. Tome 1 : Calcul etdimensionnement, Eyrolles 1996.

APK Construction Mtallique et Mixte Acier-Bton.Tome 2 : Conception et mise en

uvre, Eyrolles 1996.

M. HIRT et R. BEZ Construction Mtallique. Notions fondamentales et mthodes dedimensionnement, Trait de Gnie Civil de lEPFL, Vol. 10, Presses Polytechniqueset Universitaires Romandes, Lausanne, 1994.

J. BROZZETTI, M. HIRT et R. BEZ Construction Mtallique. Exemples numriquesadapts aux Eurocodes, Complment au Trait de Gnie Civil de lEPFL, Vol. 10,Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1994.

M. HIRT et M. CRISINEL Charpentes Mtallique. Conception et dimensionnementdes halles de btiments, Trait de Gnie Civil de lEPFL, Vol. 11, PressesPolytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 2004.

P. MATRE Formulaire de la Construction Mtallique, ditions du Moniteur,2medition, 2001.

ESDEP - CD-ROM : Support pdagogique pour lenseignement de la ConstructionMtallique, Cahiers de lAPK, n23, OTUA 1999

SSEDTA CD-ROM : Eurocodes pour les Structures en Acier. laboration duneApproche Transnationale, Cahiers de lAPK, n29, OTUA 2001.

NFATEC CD-ROM : Web-based training for Engineers in the Eurocodes forStructural Steel Designen version franaise, Cahiers de lAPK, n42, OTUA 2006.

OUVRAGE DE BASE EN LANGUE ANGLAISE

P. DOWLING, P. KNOWLES et G. OWENS - Structural Steel Design, Butterworths,1988.


51/99



OUVRAGES TECHNOLOGIQUES INTRESSANTS LIRE EN COMPLMENT

Le MONITEUR - Construire en acier,ditions du Moniteur, 1993.

OTUA -Lexique de Construction Mtallique et de Rsistance des Matriaux, 1992.

F. HART, W. HENN et H. SONTAG - Structure acier - Btiments tages, Publimtal,1986.

OUVRAGES OU ARTICLES SPCIALISS RFRENCS DANS LE TEXTE

[1] EN 1993-1-1 :2004 Eurocode 3 - Calcul des structures en acier. Partie 1-1: Rglesgnrales et Rgles pour les Btiments. CEN/TC 250, dcembre 2004.

[2] NF EN 1993-1-1, Annexe Nationale Eurocode 3 - Calcul des structures en acier.Partie 1-1: Rgles gnrales et Rgles pour les Btiment. AFNOR, aot 2005.

[3] ENV 1993-1-1 - EUROCODE 3 et Document d'Application Nationale - Calcul desstructures en acier. Partie 1-1: Rgles gnrales et Rgles pour les Btiments.P 22-311-0, Eyrolles 1996.

[4] COCHRANE V.H.-Rules for rivets holes deductions in tension members.EngineeringNews-Record, n89, novembre 1922.

[5] LEQUIEN P.-Modules plastiques de sections courantes.Construction Mtallique, n4,1990.

[6] LESCOUARC'H Y.- Capacit de rsistance d'une section soumise divers types desollicitations.Construction Mtallique, n2, 1977.

[7] MAQUOI R. et RONDAL J.-Mise en quation des nouvelles courbes europennes deflambement.Construction Mtallique, n1, 1978.

[8] WOOD R.H.- Effective lengths of columns in multi-storey buildings. The StructuralEngineer, Vol.52 :7, 235-244, 1974.

[9] BOISSONNADE N., GREINER R. et JASPART J.P. -Rules for Member stability inEN 1993-1-1. Background documentation and design guidelines. CECM-TC8Stabilit ( paratre fin 2006-dbut 2007).


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Annexe 1

CCAAPPAACCIITTDDEERRSSIISSTTAANNCCEEDDUUNNEESSEECCTTIIOONNTTRRAANNSSVVEERRSSAALLEESSOOUUMMIISSEE

UUNNEEFFLLEEXXIIOONNCCOOMMPPOOSSEE

Ce texte est issu de la rfrence [1] dont la dmarche est adapte aux notations actuelles desEurocodes.

1 - Plastification dune section transversale en flexioncompose

Soit une section transversale bi-symtrique, soumise une sollicitation de flexion compose.Les efforts ultimes correspondant la plastification de la section, sont nots Nuet Mu.

Laxe neutre plastique est la distance z0de laxe de symtrie.

Nu

Mu

- fy

fy

z0

z

Gy

b(z)h/2 ANP

Ce diagramme peut tre dcompos en deux diagrammes spars ayant pour rsultante uneffort normal seul Nuet lautre un moment de flexion seul Mude la manire suivante :

+=Nu Nu

Mu Mu

fy

- fy

- fy

- fy

fy

Z0


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Les efforts ultimes correspondant la plastification de la section transversale sont donns parles deux quations suivantes :

dzzbfNz

yu ).(20

0= (1)

dzzbzfMh

zyu).(.2

2/

0= (2)

1.1.- Section rectangulaire

Dans le cas dune section rectangulaire, les expressions (1) et (2) deviennent :

000..2..2.2 0

0zfbzfbdzbfN y

zy

zyu === (3)

Nu

Mu

- fy

fy

z0

z

Gy

b

h

ANP

( )

=

=== 20

2202

2/

22/2

.22

2/.22

.2..2

00

zhfbzhfbzfbdzbzfM yy

h

z

yh

zyu (4)

En liminant 0z entre les deux quations, nous obtenons :

y

u

fb

Nz

.20= (5)

do :

=

22

.22. yuyu fb

NhfbM (6)

Leffort normal et le moment plastique dune telle section transversale sont respectivement :

ypl fhbN ..= (7)

et :4

..

4.

2..2

2y

yplfhb

fhh

bM == (8)

Nous pouvons alors crire les efforts ultimes des quations (5) et (6) sous la forme :


54/99



=

==

=

ypl

upl

plpl

upl

pl

upl

y

uyfu

fhbN

NhM

MN

NhM

N

NhM

fb

NbhM

...

.1

.4

.1

4

.

.44 2

22222

=

2

21

pl

upluNNMM

soit :

2

1

=

pl

u

pl

u

N

N

M

M (9)

La courbe correspondant cette fonction est donne la figure suivante :

1.2.- Section en I flchie autour de laxe fort

Les notations sont les suivantes :

y y

z

z

b

tw

tfr


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Pour ce calcul, nous allons ngliger la prsence des rayons de raccordement me-semelle.

Posons laire de lme Aw gale : fw tbAA ..2=

Pour une telle section, leffort normal et le moment plastique sont les suivants :

ypl fAN .= (10)

et : ywfyffypl ftth

fthtbM .2

)(.2

,

+= (11)

ou :( ) ( ) ywffwypl ftthth

AAM

+

= 2, .24

1)(

2

soit encore : ( ) ywffwypl fAththAAM

+= .2

41)(

2, (12)

Pour calculer les expressions analytiques des courbes dinteraction des quations (1) et (2), ilconvient de distinguer la position de laxe neutre plastique : dans lme ou dans une semelle.

1.2.1. - Si laxe neutre plastique passe par lme du profil(cest--dire siA

A

N

N w

pl

u 0 ) :

+=Nu Nu

Mu, Mu,

fy

- fy

- fy

- fy

fy

z0

ANP

000..2..2.2 0

0zftzftdztfN yw

zyw

zwyu === (13)

2

2

2222

2

2, 2..2

2.2..2..2

00

h

th

y

th

z

yw

h

thy

th

z wyyu

f

f

f

f zfb

zftdzbzfdztzfM

+=+=

+

=22

20

2

, 22.

2. fyfywyu t

hhfbzt

hftM


56/99



( )fyffywyu thftbzth

ftM +

= ..2

. 20

2

, (14)

De l quation (13), on dduit :

yw

u

ft

Nz

.20= (15)

En remplaant 0z par sa valeur dans (14), il vient :

( )fyfyw

ufywyu thftbft

Nt

hftM +

= ...22

.

22

, (16)

2

,

22

, 2.

.22.

+

= fywyplyw

ufywyu t

hftM

ft

Nt

hftM (17)

yplyw

uywyu Mft

NftM ,

2

, .2. +

= (18)

yplyw

u

ypl

yu

Mft

N

M

M

,

2

,

,

..41

= (19)

2,

2

,

,

..4

11

pl

yplyw

pl

u

ypl

yu

N

Mft

N

N

M

M

= (20)

Daprs lexpression (12), nous avons :

( ) ywffwypl fAththAA

M +

= .241

)(2, (12)

Le terme du dnominateur de lquation (20) scrit :

: ( ) ( )

( )22

2,

..2

4

1)(

24..4

y

ywff

ww

pl

yplyw

fA

fAthth

AAt

N

Mft

+

=

( )22

, 1.2)(12..4

A

Athth

A

AAt

N

Mft wff

ww

pl

yplyw

+

=


57/99



( )22

, 1.2)(1.2..4

AAthtth

A

AtA

N

Mft wfwf

ww

pl

yplyw

+

= (21)

En remarquant que : wfw tthA ).2( = , il vient :

22

2, 1

)(1.2

.2..4A

AthA

A

th

AA

N

Mft wf

w

f

w

pl

yplyw

+

=

soit :2

22

, 11

.22..4

AAAA

A

A

th

th

N

Mft ww

w

f

f

pl

yplyw

+

=

ou :

2

2

,

1.22..4

+

= A

A

A

A

A

A

th

th

N

M

ftwww

f

f

pl

ypl

yw (22)

Lexpression (20) peut donc scrire sous la forme indique dans la rfrence [1] :

2

2

,

,

12

2

11

+

=

AAAth

thN

N

M

M

www AAA

f

fpl

u

ypl

yu (23)

1.2.2. - Si laxe neutre plastique passe par les semelles(cest--dire si 1pl

uw

NN

AA )

fy

th

ywz

thy

th

wyut

h

zzfbzftdzbfdztfN

f

f

f

+=+=

2

.2.2.2.20

2

02

20

0 (24)

( )

+= fyfywu th

zfbthftN2

.22. 0 (25)

=== 20

22/22/, 4

.2

.2..2

00

zh

fbz

fbdzzbfM y

h

z

yh

zyyu (26)

De (25) on tire :

+

= fy

fywut

h

fb

thftNz

2.2

2.0 (27)


58/99



En remplaant 0z par sa valeur dans (26), il vient :

( )

+=

22

, 2..22.

4. f

yfywuyyu thfb

thftNhfbM

( ) ( )

+

+

+= fy

fywuf

y

fywuyyu t

h

fb

thftNht

h

fb

thftNhfbM

2..2

2.

22..2

2.

2.,

( )

( ) ( )

+= y

fywu

fy

fywu

fyyu fb

thftN

tfb

thftN

thfbM ..2

2.

..2

2.

.,

( ) ( ) ( )

+=y

fywuf

fywuffyyu fb

thftNht

thftNtthfbM

..2

2.)2(

2

2..,

qui scrit finalement comme dans la rfrence [1] :

( ) [ ]

+=

yf

ywfuffywuyffyu b

ftthNththftNfthtbM

..2

).2().2().2(.

2

1., (28)

qui peut encore se mettre sous une forme un peu plus condense :

( ) ( )

++=

y

ywufywuyffyu fb

fANthfANfthtbM

..2

.)2(.

2

1.,

Selon lquation (26),

=

fy

ywut

hz

fb

fAN

2.2

.0 . En consquence, si ft

hz =

20,

0.2

. =y

ywu

fbfAN et si

20hz = , f

y

ywu tfb

fAN =.2

. .

Donc, lorsque laxe neutre plastique est situ dans une semelle,y

ywu

fb

fAN

.2

est compris

entre 0 et ft .

En dautres termes, lquation suivante place toujours en scurit :

( ) ( ) )(.21., fywuyffyu thfANfthtbM

Cours de Cm Clermont Farrand

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