Cours 11 Le risque et lincertitude Une introduction Louis Parent, ing. MBA.

Cours 11 Le risque et lincertitude Une introduction Louis Parent, ing. MBA

GIA 400- Cours 11 2 Contenu Mthodes de dfinition des sources de risque de projet Prsentation classique dune analyse de sensibilit Concepts lmentaires de probabilits Analyse de la distribution statistique de la PE Quand lincertitude nest relie qu une seule variable Quand lincertitude est relie des variables indpendantes Quand lincertitude est lie des variables dpendantes Comparaison de projets de niveaux de risque diffrents Matriel optionnel: Covariance et coefficient de corrlation Les dcisions squentielles et la valeur de l'information additionnelle Rfrence: AEI, Sections 13.1 13.5

GIA 400- Cours 11 3 volution des proccupations des entreprises sur la rentabilit de projet Avant 1960: Quel est le dlai de rcupration de l'investissement? 1960 1990: Est-ce que la valeur actualise de ce projet est positive? Depuis 1990: Quelle est la valeur actualise de ce projet avec un niveau de confiance de 95%? Dans le cas de trs grands projets comme par exemple le dveloppement d'un avion: quelle est la probabilit qu'une PE ngative excde la valeur des capitaux propres de l'entreprise? Depuis 2000: Quelle est la PE stratgique de ce projet? Quelle est la PE du projet, incluant la valeur des options stratgiques qui y sont enchsses?

GIA 400- Cours 11 4 Les sources de risque d'un projet Prvisions de ventes incertaines Taille et taux de croissance du march potentiel Prix, ractions des concurrents et parts de march Technologie: Problmes de performance du produit Innovations des concurrents et dsutude Prvisions de cots incertaines Hypothses de cots irralistes Cots de l'investissement Dpassements budgtaires, imprvus Retards dans la construction Hypothses financires: Taux d'intrt Taux de change Etc..

GIA 400- Cours 11 5 Mthodes de dfinition du risque 1.Analyse de sensibilit 2.Analyse du point mort 3.Analyse de scnarios

GIA 400- Cours 11 6 Analyse de sensibilit Mesurer l'impact sur la PE du projet de changements dans une ou des variables du modle financier. Exemples: Qu'arrive-t-il si les ventes ne sont que de 1 000 units/anne au lieu de 2 000? Qu'arrive-t-il si la croissance des ventes n'est que de 2% par anne au lieu de 5%? Mthode de prsentation utile et pratique: le graphique de sensibilit X : variation en % d'une variable d'entre au modle Y : PE(TRAM) La pente de la droite indique la sensibilit de la PE un changement dans la variable d'entre. Exemple: Plus la pente est leve, plus la PE est sensible la variation des ventes

GIA 400- Cours 11 7 Analyse de sensibilit: Exemple 13.1 La socit SMW dsire obtenir un contrat de 5 ans pour la fabrication de coffres de transmission. Pour fabriquer ces pices, elle doit investir 125 000$ dans une nouvelle machine forger. Le volume annuel est estim 2 000 units par anne, un prix unitaire de 50$. Les frais variables s'lveraient 15$/unit et les frais fixes 10 000$ par anne. Le taux de DPA est pour la machine est de 30% et sa valeur de rcupration dans 5 ans serait de 32% du cot initial. Le TRAM est de 15% et le taux d'impt de 40% Les incertitudes ou lments de risque: Avant d'obtenir un contrat ferme, la socit doit fournir des chantillons et investir dans l'quipement ncessaire. Le prix unitaire pourrait baisser en fonction de la qualit des chantillons La demande pourrait tre plus basse que prvue, car le client ne garantit pas de quantits minimales. Si ses affaires baissaient, il pourrait dcider de rapatrier la fabrication de ces pices l'interne. La socit connat moins bien ce genre d'quipement. Son estimation des cots variables et fixes pourrait tre errone. La valeur de rcupration dans 5 ans n'est qu'une estimation.

GIA 400- Cours 11 8 Analyse de sensibilit: Exemple 13.1 Le projet: la situation de rfrence ("Base case")

GIA 400- Cours 11 9 Analyse de sensibilit: Exemple 13.1 (suite) Identifier les variables d'entre fondamentales de ce projet: 1.Le prix unitaire 2.La demande 3.Le cot variable unitaire 4.Les cots fixes 5.La valeur de rcupration Faire varier chacune des variables sur une fourchette plausible, par exemple +/- 20%: Calculer la PE(TRAM) pour chacune de ces valeurs Sur Excel, ceci peut se faire rapidement avec la fonction "Table"

GIA 400- Cours 11 Le graphique standard de sensibilit 10

GIA 400- Cours 11 11 Analyse du point mort Technique centre sur la quantit vendue: Jusqu' quel point est-ce que les ventes peuvent baisser avant que le projet commence ne plus tre rentable? Solution par ordinateur avec le Solveur d'Excel : 1 425 units/anne, soit 28.74% de moins que le cas de rfrence

GIA 400- Cours 11 12 Analyse du point mort: Approche analytique Nous pouvons tablir que le changement dans le flux montaire annuel FM reli un changement de volume V est de: On sait que la PE du projet V = 2 000 units est de 40 460$. On cherche donc le changement de volume dont leffet sur le flux montaire annuel FM une PE est gale 40 460$, ce qui rendrait alors la PE du projet gale 40 460$ - 40 460$ = 0$. (Volume x contribution marginale aprs impt)

GIA 400- Cours 11 Analyse du point mort: Approche analytique 13 PE = - 40 460$ V = 40 460 (A/P, 15%, 5) = 12 061 V = 12 061/21 = 575 Ou: V = nsolve(npv(15,0,{21V},{5})=-40460,V)=-574.8 V PM = V base + V = 2 000 575 = 1 425 units 21 V

GIA 400- Cours 11 14 Analyse de scnarios Faon simple de tenir compte de l'interaction entre et/ou du changement simultan de plusieurs variables. La pratique commune: 3 scnarios Pire scnario (worst case) Meilleur scnario (best case) Scnario le plus probable (most likely case) Exemple 13.3 (fourchette de demande modifie): Les questions qu'il faut maintenant adresser: Quelle est la probabilit que chaque scnario se concrtise? Quelle est la probabilit que la PE soit ngative?

GIA 400- Cours 11 Analyse de scnarios sur le tableur TI-nSpire 15 Scnario le plus probable (ou de base) Meilleur scnario (ou optimiste) Pire scnario (ou pessimiste)

GIA 400- Cours 11 16 Analyse de la distribution statistique de la PE Les questions qu'il faut maintenant adresser: Quelle est la probabilit que chaque scnario se concrtise? Quelle est la probabilit que la PE soit ngative?

GIA 400- Cours 11 17 Revue des concepts lmentaires de probabilits utiles la dcision d'investissement Distribution des probabilits Esprance et variance Distribution des probabilits de variables indpendantes

GIA 400- Cours 11 18 Distribution de probabilits Une variable alatoire X est un paramtre, ou variable, qui peut prendre plusieurs valeurs aux quelles sont associes des probabilits ou chances de ralisation. La distribution de probabilits f(x) est une fonction, discrte ou continue, qui donne la probabilit p i de chacune des valeurs x i que peut prendre X. La distribution cumulative de probabilits F(x) indique la probabilit que X atteigne une valeur infrieure ou gale une valeur quelconque x. Exemple:

GIA 400- Cours 11 valuation des probabilits 1.Analyse statistique de donnes historiques 2.valuation qualitative, base sur lexprience et le jugement (deux mots qui ne servent qu camoufler notre ignorance profonde des processus intellectuels utiliss par les gestionnaires comptents!) : 19

GIA 400- Cours 11 20 Valeur espre et variance La valeur espre (ou la moyenne) de X, E(X) ou, est une moyenne pondre, selon les probabilits, des valeurs que peut prendre la variable alatoire X. La variance de X, VAR(X) ou est une mesure-cl du risque car elle indique le niveau de dispersion ou d'cart des valeurs possibles de X par rapport sa valeur espre E(X). La variance est la moyenne pondre, selon les probabilits, du carr des carts entre x et E(X). L'cart-type est la racine carre de la variance. E(V)E(V)VAR(V) V =316.23 E(P)E(P)VAR(P) V =1.73

GIA 400- Cours 11 21 Valeur espre et variance sur TI-nspire Entrer les donnes sur une feuille de tableur/liste Calculer les statistiques

GIA 400- Cours 11 Quand la PE ne dpend que dune seule variable alatoire Revenons lexemple de SMW et supposons que la seule variable alatoire du modle est le volume V. Si nous voulons connatre la distribution statistique de la PE, connaissant celle de V, nous devons exprimer la PE en fonction de V et des termes constants qui ne dpendent pas de V: 22 On peut dabord trouver la part de la PE qui ne dpend pas de V en calculant l a PE pour V = 0, partir de la PE que nous connaissons pour V = 2000 La part de la PE qui ne dpend pas de V est donc de -100 330.

GIA 400- Cours 11 Quand la PE ne dpend que dune seule variable alatoire 23 La part de la PE en fonction de V est donc de:

GIA 400- Cours 11 Expression de la PE en fonction de V directement avec le modle financier 24

GIA 400- Cours 11 Quand la PE ne dpend que dune seule variable alatoire 25 Soit une variable Y dont la valeur est donne par une fonction linaire dune variable alatoire X : Lesprance et lcart-type de Y sont donns par: Nous avons tabli que E(V) = 2000 et que V = 316.23 Lesprance et lcart-type de la PE sont donc de:

GIA 400- Cours 11 0 40460 22621 3.7% - Quand la PE ne dpend que dune seule variable alatoire (suite) Si nous sommes prts supposer que la PE suit une distribution normale, nous pouvons maintenant faire quelques calculs sur la probabilit que la PE prenne certaines valeurs: Quelle est la probabilit que la PE soit ngative? Rp: 3.7% TI: normCdf(limite infrieure, limite suprieure, esprance, cart-type) 26 Quelle est la probabilit que la PE soit entre 20 000$ et 60 000$? Rp: 62.3% Quelle est la probabilit que la PE soit suprieure 60 000$? Rp: 19.4%

GIA 400- Cours 11 27 Probabilits conjointes de variables alatoires indpendantes La probabilit conjointe P(x,y) est la probabilit que X et de Y prennent des valeurs prcises en mme temps. Si X et Y sont des variables alatoires indpendantes (i.e. la valeur de l'une ne dpend pas de la valeur de l'autre), P(x,y) est donne par le produit de P(x) et de P(y) : Reprenons l'exemple de SMW: Si le nombre d'units vendues est indpendant du prix unitaire une hypothse souvent irraliste dans la pratique la probabilit que le nombre d'units vendues soit de 1 500 et que le prix soit de 48$, est de 6%:

GIA 400- Cours 11 28 Quelle est la probabilit que ce projet ne soit pas rentable? Autrement dit, quelle est la probabilit que la PE de ce projet soit ngative? Pour rpondre des questions de ce type, nous devons, encore ici, connatre la distribution statistique de la PE, mais cette fois en fonction de deux variables. Variables indpendantes: La distribution de la PE Exemple 13.6: Reprenons l'exemple de SMW et supposons que le volume et le prix peuvent varier en mme temps et de faon indpendante de la manire suivante:

GIA 400- Cours 11 29 Variables indpendantes: Exemple 13.6 Pour connatre la distribution statistique de la PE, il nous faut d'abord formuler la PE en fonction des deux variables alatoires V et P. Nous avons dj tabli la page 22 que: Donc la PE en fonction de P et de V seulement est donne par: Pour connatre les paramtres de la distribution de la PE nous devrons numrer toutes les combinaisons possibles de P et V et calculer la PE laide la fonction ci- haut.

GIA 400- Cours 11 Expression de la PE en fonction de V et P directement avec le modle financier 30

GIA 400- Cours 11 31 Variables indpendantes: La distribution de la PE On peut conclure que si le prix et le volume sont des variables alatoires indpendantes: La probabilit que la PE soit infrieure 0 est de 6%. Un dcideur qui voudrait avoir l'assurance 95% que le projet serait rentable, devrait donc le refuser! La probabilit que la PE soit infrieure la valeur de rfrence de 40 460$ est de 38%. Le cas de rfrence peut donc tre qualifi de conservateur car la probabilit que la PE soit d'au moins 40 460$ est de 62%. L'esprance de la PE est de 40 460$ et son cart-type est de 23 352$:

GIA 400- Cours 11 32 Calculs des statistiques de la PE avec la Voyage 200 Enter les donnes dans l'application Stats/List Editor. Pour voir les statistiques: F4, 1 List: pe, freq: fpv

GIA 400- Cours 11 33 Variables dpendantes Il arrive trs souvent en pratique que la valeur d'une variable alatoire dpend de la valeur d'une autre variable alatoire. Par exemple le volume est presque toujours influenc par le prix. Dans l'exemple 13.5, la socit pourrait disposer des donnes suivantes qui indiquent que le volume est clairement, mme si imparfaitement, reli au prix. Notation des probabilits conditionnelles: Prob(V=1500|P=48) = 10% Prob(V=2000|P=50) = 64% Prob(V=2500|P=53) = 10% Les probabilits conjointes sont alors calculs comme ceci:

GIA 400- Cours 11 34 Variables dpendantes: Distribution de la PE Pour connatre la distribution de la PE rsultant de chaque combinaison possible de P et V, nous devons, comme auparavant calculer la probabilit conjointe de chaque combinaison. Par exemple: Prob(V=2000,P=50) = Prob(P=50) Prob(V=2000|P=50) = 0.5*0.64 = 0.32 Nous pouvons aussi calculer l'esprance et l'cart-type de P et V, et constater que l'introduction d'une probabilit conditionnelle P a chang l'esprance et l'cart-type de V.

GIA 400- Cours 11 35 Variables dpendantes: Distribution de la PE partir des probabilits conjointes, on peut, comme prcdemment, calculer la distribution de la PE : L'esprance de la PE est de 44 202$ et son cart-type est de 22 207$. L'introduction de la relation entre le prix et le volume a donc augment l'esprance de la PE et diminu son cart-type, ce qui est favorable au projet. La probabilit que la PE soit ngative n'est plus que de 3%. Un dcideur qui voudrait avoir l'assurance 95% que le projet serait rentable, devrait donc maintenant l'accepter.

GIA 400- Cours 11 Variables dpendantes: Distribution de la PE 36 Si on est prt accepter que la PE suit une distribution de probabilit normale, on peut rpondre diffrentes questions: Quelle est la probabilit que la PE soit ngative? Rp: 2.3% TI: normCdf(limite infrieure, limite suprieure, esprance, cart-type) Quelle est la probabilit que la PE soit entre 20 000$ et 60 000$? Rp: 62.4% Quelle est la PE avec un niveau de confiance de 95%? Rp: 7 674$

GIA 400- Cours 11 37 Un concept-cl en analyse de risque: Le coefficient de corrlation Le coefficient de corrlation ( xy ou r xy ) est une mesure du degr de dpendance entre deux variables alatoires X et Y. Le coefficient de corrlation peut prendre des valeurs entre -1 et + 1. xy = 1 variables parfaitement, mais inversement, corrles xy = +1 variables parfaitement, et positivement, corrles xy = 0 variables non corrles, ou indpendantes xy = +1 xy = -1 xy = 0 xy = 0.7 Mathmatiquement: Note: La covariance entre X et Y est aussi dnote XY.

GIA 400- Cours 11 38 Calcul du coefficient de corrlation: exemple Dans l'exemple prcdent, le coefficient de corrlation entre le volume et le prix est de -0.4061:

GIA 400- Cours 11 39 Estimation du coefficient de corrlation avec des donnes historiques En pratique le coefficient de corrlation provient rarement d'un calcul partir des probabilits conjointes, mais de l'analyse de donnes historiques. Par exemple, les donnes historiques de vente aurait pu permettre au personnel du marketing de SMW de dterminer empiriquement que le coefficient de corrlation entre le prix et le volume de vente de produits comparables est de -0.40: xy = -0.40 Donnes historiques

GIA 400- Cours 11 40 Plusieurs variables alatoires dpendantes ou non Il peut rapidement devenir trs fastidieux d'numrer chaque cas possible des valeurs de plusieurs variables alatoires et d'en calculer les probabilits conjointes. De plus, la recherche de lesprance et de lcart-type d'une distribution de PE lie plusieurs variables d'entre dpendantes peut rapidement devenir assez difficile calculer, surtout lorsque la fonction de PE comprend une combinaison non linaire de variables comme le produit du volume et du prix, comme dans lexemple prcdent. Pour tudier la distribution statistique de la PE, les praticiens prfrent alors procder par une simulation Monte Carlo, ce qui aussi l'avantage de ne pas exiger d'hypothse pralable sur la distribution statistique de la PE Reprenons lexemple prcdent: Cette expression inclut la valeur prsente de la valeur de rcupration de: 0.32 x 125 000 = 40 000$, moins leffet fiscal de la disposition de 5 796$, pour une valeur nette de disposition de 34 204$. Traitons maintenant la valeur de rcupration ( S ) comme une variable alatoire indpendante de P et V

GIA 400- Cours 11 Plusieurs variables alatoires: Un exemple 41 La PE pour S=0 est donc de: Lexpression de la PE en fonction de P, V et S est donc de: La PE de la valeur de rcupration inclue dans la PE du cas de base est donn par:

GIA 400- Cours 11 42 Qu'est-ce qu'une simulation Monte Carlo? Prix ( P ) Volume ( V ) 48$ 50$ 53$ 30% 50% 20% Pp(P)p(P) 1 500 2 000 2 500 18% 52% 30% Vp(V)p(V) Une simulation Monte Carlo est une exprience qui vise dterminer la distribution statistique d'une variable dont les valeurs dpendent de la valeur de variables alatoires. = -0.40 Chaque urne contient des boules dont la distribution des couleurs correspond aux probabilits d'observer une valeur donne de la variable alatoire. L'exprience consisterait ici tirer une boule de chaque urne des milliers de fois, calculer la PE pour chaque couple p, v puis compter la distribution statistique des PE ainsi obtenues. Cependant il ne suffit pas de tirer des boules de chaque urne de manire indpendante. La simulation doit gnrer des nombres alatoires corrls selon le coefficient de corrlation dsir. E(P) =50$ P = 1.73$ E(V) =2 060 V = 341

GIA 400- Cours 11 43 Exemple de simulation Monte Carlo. Muni du puissant outil de travail qu'est la TI-nspire, nous allons contruire une simulation. Ce qui nous permettra de poser l'hypothse plus raliste que le volume peut prendre davantage que 3 valeurs. Supposons donc que la distribution des valeurs du volume est bien reprsente par une distribution normale : E(Prix) =50$ Prix = 1.73$ E(Vol) =2 060 Vol = 341 Prix Volume = -0.40 f(P)f(V) 2 0603 080 1040 +3 -3 Pour rendre le problme encore plus raliste, nous supposerons de plus que la valeur de rcupration S, en pourcentage de la valeur originale, peut prendre une valeur entre 0% (0$) et 40% (50 000$), selon une distribution triangulaire dont la valeur la plus probable est de 32% (40 000$): P(S 32%) = 20% P(S 32%) = 80% 32% 40%0% f(S) 1 acb 50$53$ 48$ 30% 50% 20% Valeur de rcupration (S)

GIA 400- Cours 11 44 Simulation sur nspire Entrer les paramtres des distributions: Note: Comment gnrer des nombres alatoires selon une distribution triangulaire 32%40%0% f(S) 1 acb Gnrer des nombres alatoires U selon une distribution uniforme sur l'intervalle (0,1) Transformer les nombres U en nombres X distribus triangulairement de la manire suivante:

GIA 400- Cours 11 45 Simulation sur nspire Effectuer la simulation A.Gnrer 1 000 cas de prix distribus uniformmen t =rand (n)*100 B.Transformer cette distribution en distribution multinomiale: p:=iffn(a[]cfprix[1],prix[1], iffn(a[]cfprix[2],prix[2],prix[3])) C.Normaliser p: zp:=(p-mp)/sp D.Gnrer 1 000 cas de volume distribus normalement v:=randnorm(mv,sv,n) E.Normaliser v: zv:=(v-mv)/sv F.Forcer la corrlation entre p et de v: volcor:=zp*r+zv*sqrt((1-r^2))*sv+mv G.Gnrer 1 000 nombres alatoires distribus uniformment entre 0 et 1 = rand(n) H.Transformer ces nombres en valeurs de rcupration distribues triangulairement s:=iffn(g[]'fc,'a+(g[]*('b-'a)*('c-'a)), 'b-((1-g[])*('b-'a)*('b-'c))) I.Calculer la PE de chacun des 1 000 cas. Avec l'quation de la page 38: pe:=2.0113*volcor*p-30.1694*volcor+37288*s-112263

GIA 400- Cours 11 46 Les rsultats de la simulation Histogramme de la PE Corrlation prix- volume Analyse de la distribution de la PE La PE espre est de 42 507$ et son cart-type de 22 431$. Au cours de la simulation la PE a varie entre -33 508$ et 114 007$. Il y a une probabilit de 50% que la PE soit suprieure a 42 764$ (la mdiane). La probabilit que la PE soit ngative est de 3.5%. On peut donc conclure que le projet est rentable avec un niveau de confiance d'environ 1-3.5% = 96.5% La PE minimale avec un niveau de confiance de 95% est de 5 529$. Accepter le projet

GIA 400- Cours 11 Comparaisons doptions indpendantes et de niveaux de risque diffrents 47

GIA 400- Cours 11 48 Comparaison d'options indpendantes et de niveau de risque diffrent: Exemple13.8 L'entreprise Technologies Vertes a conu un appareil permettant un vhicule de passer de l'essence au gaz naturel. Elle a dvelopp des prototypes pour 4 segments de march diffrents: automobile compacte (modle 1), automobile standard (modle 2), VUS (modle 3) et camion (modle 4). N'tant pas convaincue de la demande du public, elle aimerait commencer par commercialiser l'appareil dans un seul segment. L'quipe du marketing de Technologies Vertes a compil la distribution potentielle de la PE de chacun des modles comme s'il tait commercialis indpendamment l'un de l'autre: Recommandez lequel devrait tre choisi comme produit de lancement.

GIA 400- Cours 11 49 Comparaison d'options indpendantes tape 1: Calcul de la PE espre et de l'cart-type de la PE chaque option Exemple de calcul pour le modle 1: h1=mean('pe,'p1) h2=mean('pe,'p2) h3=mean('pe,'p3) h4=mean('pe,'p4) i1=stdevpop('pe,'p1) i2=stdevpop('pe,'p2) i3=stdevpop('pe,'p3) i4=stdevpop('pe,'p4)

GIA 400- Cours 11 50 Comparaison d'options indpendantes (suite) tape 2: limination des options inefficaces du point de vue risque-rendement Le dfenseur initial est l'option la plus grande PE: Modle 2 liminer toutes les options ayant un cart-type plus grand que celui du Modle 2. limination des Modles 3 et 4: Offrent la mme PE ou moins, mais avec plus de risque. Le Modle 1 est laspirant

GIA 400- Cours 11 51 Comparaison d'options indpendantes (suite) tape 3: valuation des options restantes Calculer la probabilit de tous les cas o le dfenseur (Modle 2) a une PE infrieure celle de laspirant (Modle 1): La probabilit que M1 ait une PE suprieure M2 est infrieure 50%, ce qui devrait inciter un dcideur rationnel choisir M2 Cependant, la probabilit que le bon choix soit M1 est quand mme relativement lev 45%. Si linvestissement initial de M2 tait beaucoup plus lev que celui de M1, au point de rendre le cot d'un chec du lancement de M2 prohibitif pour la socit, un dcideur qui a une aversion au risque pourrait prfrer M1.

GIA 400- Cours 11 52 Comparaison d'options indpendantes (suite) tape 3: Raccourci par la Loi Normale On peut s'viter la tche d'avoir numrer tous les cas o la PE de M2 est infrieure celle de M1. Si on suppose que la distribution de PE M2 PE M1 suit une distribution normale et en calculant la probabilit que PE M2 PE M1 < 0.

GIA 400- Cours 11 53 La tolrance pour le risque dpend de la taille relative de l'enjeu Lorsque l'enjeu d'un pari risque d'avoir un effet significativement dfavorable sur leur niveau richesse, la plupart des gens prfrent viter le risque. Il en va de mme pour les entreprises. Un projet qui aurait un risque, mme relativement faible, de 5%, de rsulter en une PE ngative de 50 M$ et de 95% d'avoir une PE positive de 50 M$ serait probablement rejet par une entreprise dont les capitaux propres sont de 10 M$. Le mme projet serait probablement accept par une entreprise dont les capitaux propres sont de 10 G$. Une branche de la finance, la thorie de l'utilit de la richesse et de l'aversion au risque s'intresse ce sujet fondamental pour la modlisation de la valeur de produits financiers, notamment celle des produits drivs.

GIA 400- Cours 11 54 Comparaison doptions indpendantes (suite) Taux de rendement sans risque Courbe d'indiffrence du march financier (ou fonction de compromis entre le risque et le rendement) Indice de risque (, ou autre) TRAM Prime de risque LA faon correcte et sans quivoque de dpartager les options 1 et 2 serait de calculer leur PE en fonction d'un TRA M ajust pour le risque. Un sujet qui serait abord longuement dans un cours de Finance de niveau intermdiaire

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