6 octobre 2003 1 Mesure indirecte en dynamique Approche probabiliste pour cerner lincertitude Vers...
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6 octobre 2003 1
Mesure indirecte en dynamiqueApproche probabiliste pour cerner
l’incertitude
Vers des applications en Sûreté-Supervision-Surveillance
Présentation à l’ENSAM
Hana BAILI
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Définitions
Système : réalité naturelle ou artificielle à étudier
Mesure : quantité à observer au sein d’un système (directe, indirecte)Observation : valeur effective d’une mesure directe
Modèle : description mathématique d’un système : ensemble de relations entre certaines quantités (la mesure)
Données d’un modèle : quantités qui une fois fixées déterminent les autres
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Définitions
Contexte dynamique : la mesure évolue dans le temps et le modèle comporte au moins une relation dynamique
Relation dynamique : comprend une dérivation ou une intégration par rapport au temps relation statique Incertitude : certaines données du modèle sont inconnues
Information a priori sur une donnée inconnue : ensembliste moyenne, variance… empiriques
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Ainsi dans un problème d’estimation (mesure indirecte), quand on est en présence d’incertitude, la méthode d’estimation doit faire face au fait de propager l’incertitude des données inconnues à la quantité d’intérêt (la mesure)
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Plan
Exemples de problèmes de mesure indirecte en dynamique
Modélisation Méthodes d’estimation d’une DDP à partir du
modèle sous forme d’une EDS Conclusion
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Exemple 1
7
Exemple 2
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Applications traitées
Dimensionnement d’un micro-accéléromètre
Reconstruction d’un signal électrique distordu le long d’une ligne de transmission
Vers des applications en finance, en Sûreté-Supervision-Surveillance…
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ModélisationModèle sous forme canonique
statistiquement indépendants entre eux
de distribution de probabilité jointe connue et statistiquement indépendants des
Dépendance de f et g directement de
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Pourquoi la forme canonique ?
On veut exploiter la théorie des équations différentielles stochastiques (EDS)
EDS selon McShane
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Pourquoi McShane ?
Sa définition de l’intégrale stochastique pose moins de restrictions sur les processus intégrateurs qui souvent, modélisent des perturbations, pourvu des hypothèses légèrement plus restrictives sur l’intégrant, qui est connu.
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Quel est le modèle sous forme d’une EDS qui correspond au modèle sous forme
canonique ?
Dilemme brownien-lipschitzienLe processus le plus réaliste et le processus pertinent pour le calcul n’ont rien en commun
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Qualités du modèle sous forme d’une EDS
Inclusivité : l’EDS est définie (existence d’une, et une seule solution) pour une famille de processus intégrateurs qui comprend les processus lipschitziens et les mouvements browniens.
Consistance : la solution de l’EDS calculée avec les deux types de processus a la même expression, comme fonction des processus intégrateurs.
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Conditions sur les processus intégrateurs pour qu’une EDS soit définie en théorie de
McShane
Ces conditions sont vérifiées par les mouvements browniens et les processus lipschitziens sur [0,t].
Ainsi, toute EDS définie, selon la théorie de McShane, possède la qualité d’inclusivité en tant que modèle d’un système donné.
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Résultat sur la consistance
Si l’égalité suivante est vérifiée
et si les deux membres de l’égalité ne dépendent pas de t et de x, alors on doit rajouter le terme suivant
au second membre de l’EDS
pour qu’elle devienne un modèle consistant.
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Retour à la mesure
1. On raisonne sur une quantité scalaire à la fois mesure scalaire.
2. On construit un vecteur dit « mesure étendue » en remplaçant, dans x, une composante par la mesure. Cette composante est choisie de telle sorte que l’application
soit un homéomorphisme.3. La formule de composition de McShane donne l’EDS qui
détermine la mesure étendue à partir de celle de x.
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Estimation de densité Équation de Fokker-Planck
On considère l’EDS modèle où les processus intégrateurs sont des mouvements browniens
Conditions supplémentaires :1. Les incréments de deux processus intégrateurs différents
sont statistiquement indépendants2. Les conditions initiales de l’EDS sont statistiquement
indépendantes des incréments des processus intégrateurs
lien avec le modèle canonique
p( x ; t )
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Estimation de densitéÉquation de Fokker-Planck
Condition imposée à la solution de l’EDP, relativement à la variable indépendante t du type « valeur initiale » :
Objectif : résolution numérique
Premier souci : les conditions imposées à la solution de l’EDP, relativement aux variables indépendantes xi
Elles doivent être de quel type pour garantir l’existence d’une et une seule solution ?
Type : « valeurs aux limites »
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Estimation de densitéÉquation de Fokker-Planck
La solution de l’EDP est une DDP domaine relatif à xi absorbant
Deuxième souci : résolution numérique stable
La stabilité est liée aux variables qui correspondent à des conditions du type « valeur initiale »; il faut choisir des schémas numériques tels que l’équation aux différences finale qui en résulte soit implicite par rapport à ces variables
Choix : schéma de Crank-Nicholson
Application à l’exemple 2 (problème thermique)
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Estimation de densitéMéthode utilisant une technique
MCMC
On considère l’EDS modèle où les processus intégrateurs sont des mouvements browniens
On considère la discrétisation d’Euler de l’EDS sur l’intervalle
[0,t] :
Idée, cas n =1 et r =1 :
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Estimation de densitéMéthode utilisant une technique
MCMC
Ainsi on dispose d’une expression explicite de la densité
la simuler par une technique MCMC
Algorithme de Hasting-Metropolis
Choix de la densité instrumentale
Application à l’exemple 2
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Estimation de densitéMéthode utilisant une espérance
généralisée
On considère l’EDS modèle où les processus intégrateurs sont des mouvements browniens
On considère la discrétisation d’Euler de l’EDS sur l’intervalle
[0,t] écrite sous forme vectorielle :
Pour N =1, on une expression explicite de la densité
Pour N >>1
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Estimation de densitéMéthode utilisant une espérance
généralisée
Ensemble de réalisations de YN-1 à partir de l’EDS discrétisée
Moyenne empirique de p(YN-1, y) Approximation de la DDP de la mesure étendue à l’instant t
Application au problème de reconstruction d’un signal électrique distordu le long d’une ligne de transmission
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Illustration - Reconstruction d’un signal électrique distordu le long d’une ligne de
transmission
Modèle de connaissance
)(te
dzz z
Rdz Ldz
Cdz dzG
1Z
000
0
tzGuz
i
t
uC
z
uRi
t
iL
),0()( tutm ),(),( tiZtu )(),0( tetu
),()( tutO
Ete )(
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Illustration - Reconstruction d’un signal électrique distordu le long d’une ligne de
transmission
Modèle sous forme canonique
Calcul opérationnelLa dimension du modèle sous forme canonique est induite
par l’ordre de troncature d’une série de Taylor
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Illustration - Reconstruction d’un signal électrique distordu le long d’une ligne de
transmission
Modèle sous forme d’EDS
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Illustration - Reconstruction d’un signal électrique distordu le long d’une ligne de
transmission Estimation de densité
Estimation de la DDP de me à l’instant t sachant l’observation O sur l’intervalle [0, t ]
Méthode utilisant une espérance généralisée
Estimée de la DDP de la mesure
La médiane approxime avec précision le valeur, sans bruit, de la mesure
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Illustration – Problème thermique
Modèle de connaissance
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Illustration – Problème thermique
Modèle sous forme canonique
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Illustration – Problème thermique
Modèle sous forme d’EDS
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Illustration – Problème thermique
Estimation de densité
Estimation de la DDP de me à l’instant t Résolution de l’équation de Fokker-Planck
Estimée de la DDP de la mesure
Limitation : dimension du modèle
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Illustration – Problème thermique
Estimation de densité
Estimation de la DDP de me à l’instant t Méthode utilisant une technique MCMC
Estimée de la DDP de la mesure
Compromis précision-mémoire
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Ouverture
• Résolution de l’équation de Fokker-Planck par découplage espace-temps et représentation DAF
• Cas où certaines quantités sont modélisées par des processus à réalisations discontinues (EDS plus générale)
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Conclusion Approche probabiliste pour cerner
l’incertitude (modéliser et propager), traiter l’information dans la cadre d’un problème d’estimation – une mesure indirecte, le contexte étant dynamique continu
Approche fondée sur la théorie de McShane
Erreur de troncature contrôlée