Costruzioni Metalliche - Angelelli Maffei Sebastiani

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Sapienza Università di Roma Facoltà di Ingegneria Corso di laurea specialistica in Ingegneria Civile Anno Accademico 2008/09 COSTRUZIONI METALLICHE Analisi strutturale di un edificio in acciaio A cura degli studenti: Giorgio Angelelli Giandomenico Maffei Paolo Emidio Sebastiani Prof. Ing. F. Bontempi Ing. A. Rago Ing. F. Petrini Ing. L. Giuliani

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Anno Accademico 2008/09

COSTRUZIONI METALLICHE Analisi strutturale di un edificio in acciaio

A c u r a d e g l i s t u d e n t i :

G i o r g i o A n g e l e l l i

G i a n d o m e n i c o M a f f e i

P a o l o E m i d i o S e b a s t i a n i

P r o f . I n g . F . B o n t e m p i

I n g . A . R a g o

I n g . F . P e t r i n i

I n g . L . G i u l i a n i

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SOMMARIO

INTRODUZIONE ......................................................................................................................................................... 12

DESCRIZIONE GENERALE DELL’OPERA ............................................................................................................ 12

DETTAGLI ARCHITETTONICI ................................................................................................................................ 12

RENDERING ................................................................................................................................................................... 19

EDIFICI DI RIFERIMENTO ........................................................................................................................................ 21

NORMATIVA DI RIFERIMENTO ............................................................................................................................. 23

SOFTWARE UTILIZZATI ............................................................................................................................................ 23

DETTAGLI TECNICI ................................................................................................................................................... 25

MODELLO STRUTTURALE ....................................................................................................................................... 25

MATERIALI UTILIZZATI ........................................................................................................................................... 25

Acciaio .................................................................................................................................................. 25

Calcestruzzo fondazione ............................................................................................................... 26

Acciaio per armature di fondazione ......................................................................................... 27

CALCOLO DELLE AZIONI ......................................................................................................................................... 29

ANALISI DEI CARICHI SUL SOLAIO ...................................................................................................................... 29

AZIONE DEL VENTO ................................................................................................................................................... 34

Velocità di riferimento ................................................................................................................... 34

Azioni statiche equivalenti ........................................................................................................... 36

Pressione cinetica di riferimento .............................................................................................. 36

Il coefficiente dinamico ................................................................................................................. 36

Coefficiente di esposizione .......................................................................................................... 36

I coefficienti di forma ..................................................................................................................... 38

Osservazioni sulle superfici curvilineee ................................................................................. 40

Il coefficiente di attrito .................................................................................................................. 44

La Pressione del vento ................................................................................................................... 44

Azione tangenziale del vento ...................................................................................................... 44

Applicazione dell’azione del vento nel modello di calcolo ............................................. 45

AZIONE DELLA NEVE ................................................................................................................................................. 55

AZIONE SISMICA .......................................................................................................................................................... 56

Riferimenti normativi .................................................................................................................... 56

Calcolo del periodo di ritorno. .................................................................................................... 58

Calcolo dei parametri ......................................................................................... 59

Calcolo dei periodi notevoli dello spettro elastico di risposta in accelerazioni ..... 60

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Calcolo dello spettro elastico in accelerazioni ..................................................................... 61

Calcolo del fattore di struttura q. .............................................................................................. 62

Calcolo dello spettro di progetto ............................................................................................... 64

COMBINAZIONE DELLE AZIONI ............................................................................................................................ 66

PREDIMENSIONAMENTO DELLE MEMBRATURE ........................................................................................... 68

PREDIMENSIONAMENTO LAMIERA GRECATA .............................................................................................. 68

PREDIMENSIONAMENTO TRAVI SECONDARIE ............................................................................................. 69

PREDIMENSIONAMENTO TRAVI PRINCIPALI ................................................................................................ 70

PREDIMENSIONAMENTO COLONNE .................................................................................................................. 71

CALCOLO DEL SOLAIO E DELLE MEMBRATURE ORIZZONTALI ................................................................ 75

MODELLAZIONE DEL SOLAIO CON SAP2000 ................................................................................................ 75

La struttura del solaio .................................................................................................................... 75

Il modello nel SAP2000 ................................................................................................................. 79

La modellazione della rigidezza del solaio ............................................................................ 79

La modellazione dei carichi ......................................................................................................... 84

La modellazione della massa ...................................................................................................... 84

La Mesh ................................................................................................................................................ 85

Considerazioni sull’offset del solaio ......................................................................................... 92

La frequenza di risonanza del solaio ....................................................................................... 92

Verifica delle sezioni con “Steel Frame Design” .................................................................. 93

Ottimizzazione delle sezioni con “Steel Frame Design” ................................................... 98

Scelta dei profili utilizzati ...........................................................................................................101

Diagrammi di sollecitazione ......................................................................................................103

CONFRONTO TRA MODELLI: DIAFRAMMA DI PIANO & SHELL ............................................................107

Analisi dei carichi sulle travi secondarie .............................................................................107

Confronti tra i modelli .................................................................................................................117

CALCOLO DELLE MEMBRATURE VERTICALI ................................................................................................ 123

OTTIMIZZAZIONE ANALISI MODALE ...............................................................................................................124

Struttura non ottimizzata ...........................................................................................................126

Struttura Ottimizzata ...................................................................................................................129

PROGETTAZIONE TIPOLOGIA DI CONTROVENTI .......................................................................................134

Confronto tra due sistemi di controventatura ...................................................................134

Risultati in termini di spostamenti .........................................................................................135

Risultati in termini di sollecitazioni .......................................................................................136

Conclusioni e scelta progettuale ..............................................................................................138

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Approfondimento sull’utilizzo degli outrigger ..................................................................139

Comparazione in termini di rigidezza e spostamenti .....................................................141

LA MODELLAZIONE CON IL SAP2000 ...............................................................................................................142

Il coefficiente β delle colonne ...................................................................................................142

Dimensionamento di base con il sap2000 ...........................................................................143

Ottimizzazione colonne ...............................................................................................................156

Ottimizzazione controventi (trazione & compressione) ..............................................161

Ottimizzazione controventi (solo trazione) ........................................................................166

IL GRUPPO SCALE ......................................................................................................................................................172

ANALISI DEI COSTI ................................................................................................................................................. 183

CALCOLO DELLE FONDAZIONI ........................................................................................................................... 184

STRATIGRAFIA ...........................................................................................................................................................184

PREDIMENSIONAMENTO FONDAZIONE .........................................................................................................184

LA MODELLAZIONE CON IL SAP2000 ...............................................................................................................186

Modellazione solettone di fondazione ..................................................................................186

Modellazione del terreno ...........................................................................................................187

Modellazione dei pali ...................................................................................................................188

Sollecitazioni sul solettone ........................................................................................................189

Sollecitazioni sul terreno ............................................................................................................192

Effetti del vento ..............................................................................................................................194

sollecitazioni sui pali ....................................................................................................................196

Cedimenti e spostamenti ............................................................................................................197

I COLLEGAMENTI E LE UNIONI .......................................................................................................................... 200

VERIFICHE SULLE UNIONI BULLONATE .........................................................................................................200

Verifica a taglio del bullone .......................................................................................................201

Verifica a trazione del bullone .................................................................................................202

Verifica a rifollamento della lamiera .....................................................................................202

Verifica a punzonamento della lamiera ................................................................................202

Verifica interazione azioni .........................................................................................................203

Verifica rottura a strappo della lamiera (non da normativa) ......................................203

Verifica a trazione della lamiera (non da normativa) .....................................................203

MODELLAZIONE DELLE UNIONI CON SAP2000 ..........................................................................................204

Esempio di unione a taglio .........................................................................................................206

COLLEGAMENTO COLONNA-FONDAZIONE ...................................................................................................210

Calcolo reazioni alla base ...........................................................................................................211

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Dimensionamento e verfica dei tirafondi alla base .........................................................211

Dimensionamento e verifica della piastra di base ...........................................................218

Modellazione con il sap2000 ....................................................................................................221

UNIONE TRAVE-TRAVE A SBALZO ....................................................................................................................229

Modellazione con il sap2000 ....................................................................................................229

Verifica a rifollamento dell’ala della trave ..........................................................................232

Verifica a taglio dei bulloni ........................................................................................................234

spostamenti ......................................................................................................................................235

UNIONE COLONNA-COLONNA .............................................................................................................................236

Dimensionamento e verifica .....................................................................................................236

Verifica a taglio del bullone .......................................................................................................239

Verifica a trazione del bullone ..................................................................................................239

Verifica a punzonamento della lamiera ................................................................................239

Verifica interazioni ........................................................................................................................239

Modellazione con il sap2000 ....................................................................................................240

ANALISI INCREMENTALE (PUSHOVER) .......................................................................................................... 246

Introduzione ................................................................................................................................................................249

Definizione cerniere plastiche a sforzo normale ..........................................................................................252

Definizione cerniere plastiche a pressoflessione .........................................................................................253

Risultati dell’analisi di PUSHOVER sul telaio “Special” ..............................................................................261

Ottimizzazione telaio “Special” ............................................................................................................................272

ESERCITAZIONI ....................................................................................................................................................... 278

PLASTICITA’ .................................................................................................................................................................278

Esercizio 1 ................................................................... Errore. Il segnalibro non è definito.

Esercizio 2 ................................................................... Errore. Il segnalibro non è definito.

Esercizio 3 ................................................................... Errore. Il segnalibro non è definito.

INSTABILITA’ ..............................................................................................................................................................309

Esercizio 1 .........................................................................................................................................309

Esercizio 2 .........................................................................................................................................332

Esercizio 3 .........................................................................................................................................336

ERRORI NEL SAP2000 .......................................................................................................................................... 343

BIBLIOGRAFIA......................................................................................................................................................... 348

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DIAGRAMMA DI FLUSSO DEL PROCEDIMENTO

INIZIO

ANALISI CARICHI

MODELLAZIONE SOLAIO

SCELTA MODELLO STRUTTURALE

OTTIMIZZAZIONE SOLAIO

SAP2000

SCELTE PROGETTUALI

OK ?

MODELLAZIONE 3D

ANALISI MODALE

OTTIMIZZAZIONE ELEMENTI VERTICALI

CALCOLO REAZIONI ALLA BASE

MODELLAZIONE FONDAZIONI

CALCOLO UNIONI

FINE

OK ?

OK ?

COMMITTENTE

NORMATIVA

REPOSITORY

ANALISI COSTI

PUSHOVER

RENDERING

RELAZIONE

OK ?

SAP2000

SAP2000

DISPOSIZIONE CONTROVENTI

SCELTE PROGETTUALI

SCELTE PROGETTUALI

NO

NO

NO

NO

SI

SI

SI

SI

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INTRODUZIONE

DESCRIZIONE GENERALE DELL’OPERA

Oggetto del calcolo strutturale è un edificio in acciaio adibito ad uso ufficio ed esposizione

commerciale (Classe d’uso II) da realizzarsi presso il comune di Roma (RM). La struttura

presenta pianta a forma ellittica dissimmetrica le cui dimensioni massime sono 60 x 15 m; è

costituita da 20 piani abitabili per un’altezza complessiva di 60 m.

La particolare disposizione dei controventi trasversali ha reso necessario alternare la

disposizione architettonica delle tamponature da interno. Ne risultano due piani-tipo

caratterizzati da un’abitabilita di oltre 600 m^2.

L’edificio è dotato di due gruppi scale distinti e distanti tra loro 30 m disposti in maniera da

facilitare la fuga in caso di emergenza nel caso in cui l’accesso ai corridoi risulti precluso.

Inoltre sono presenti due coppie di ascensori (per un totale di quattro montanti) disposti

lungo il corridoio principale.

La struttura è da realizzarsi interamente in acciaio con solai collaboranti composti da lamiera

grecata e getto di completamento. Le tamponature esterne rivestono l’intero perimetro

curvilineo dell’edificio e sono costituite pannelli in vetro disposti all’interno di telai di

alluminio opportunamente agganciati ai solai ed alle travi di bordo.

Alla luce di un’indagine geotecnica si è ritenuto indispensabile garantire la trasmissione dei

carichi dalla struttura al terreno per mezzo di un sistema di fondazione mista composta da

una platea su pali. La platea in cemento armato (solettone) ha uno spessore di 2 metri ha un

profilo poligonale che segue quello curvilineo dell’edificio. I pali, anch’essi in calcestruzzo

armato, sono disposti in maniera da ripartire equamente le sollecitazioni sulla platea ed

impedire cedimenti differenziali. Il numero di pali utilizzati è 92.

DETTAGLI ARCHITETTONICI

Si riportano alcuni disegni dell’edificio modellato al calcolatore utili per capire

l’organizzazione architettonica del profilo e degli interni.

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RENDERING

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EDIFICI DI RIFERIMENTO Per l’elaborazione di tale progetto sono stati presi come riferimento diversi edifici similari di

cui si riportano alcune immagini. In tale maniera è stato possibile

Jiushi Headquarters (Shanghai 1995-2001)

“[…] Occupying one of the most significant sites in Shanghai, the tower looks over the Huangpu River to

the historical Bund and Pudong - the new business district. These views govern the structure of the

building, with its concrete core positioned away from the river to create flexible curved floor-plates on the

riverside, free of internal columns. Further animating the expansiveness of these views both inside the

building and out, a triple-skin ventilated glazing system allows the tower to enjoy maximum daylight

penetration without any attendant build-up of solar gain in the internal spaces. It is the first building in

the city to employ such a system.[…]”

Client: Juishi Corporation

Consultants: Obayashi, Claude Engle

Fonte: www.fosterandpartners.com

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Edificio INAIL in piazzale Pastore (Roma EUR 1965 - ristrutturato)

“Quando l’IBM compra dall’Alitalia l’edificio di via Giulio Pastore, si trova di fronte a un palazzo che

oramai ha fatto il suo tempo. Costruito nel 1965 e disegnato da uno studio di architettura milanese

secondo lo stile dell’edilizia per uffici dell’epoca, l’edificio è precocemente invecchiato. […] viene avanzata

l’idea di una ristrutturazione complessiva con ridisegno della facciata, degli spazi interni e degli impianti.

[…]L’incarico del progetto va a GINO VALLE, uno dei più valenti professionisti del settore. […]Innanzitutto

smussa gli angoli dell’edificio avvolgendolo all’interno di una superficie curvilinea. Elimina poi i contrasti

chiaroscurali generati dalla struttura della precedente facciata a nido d’ape. La sostituisce con una pelle

continua, a strisce alterne di vetro strutturale riflettente e di pannelli di alluminio verniciato bianco. Il

vetro riflette i cambiamenti di colore del cielo e con il suo instabile pallore contribuisce all’effetto di

smaterializzazione del prisma garantito dalla forma dolcemente curvilinea delle facciate. I pannelli di

alluminio con la loro meno mutevole apparenza, bilanciano l’effetto di sapore impressionista prodotto

dai vetri, riconducendo l’oggetto architettonico alla sua volumetrica corporeità.[…]”

Fonte: www.inail.it

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Particolare Scale centro commerciale Roma EST (roma 2008)

NORMATIVA DI RIFERIMENTO

La progettazione degli elementi strutturali e la valutazione delle azioni e delle combinazioni di

carico viene eseguita in conformità alle seguenti norme tecniche:

Testo Unico – Norme Tecniche per le Costruzioni DM 14 gennaio 2008.

SOFTWARE UTILIZZATI

Per l’analisi strutturale è stato utilizzato il software di calcolo SAP2000. Per l’analisi dei

risultati numerici e per il predimensionamento e le verifiche degli elementi strutturali è stato

utilizzato il foglio di calcolo elettronico EXCEL 2007. Per gli elaborati grafici, quindi la

carpenteria, è stato utilizzato AUTOCAD 2008. Per la stesura della relazione di calcolo è stato

utilizzato il software di videoscrittura WORD2007. Per La creazione dei rendering grafici è

stato utilizzato AUTOCAD REVIT 2009.

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DETTAGLI TECNICI

MODELLO STRUTTURALE Il modello strutturale adottato per la suddetta struttura in acciaio è quello di ritti pendolari

con controventi concentrici. In tale tipologia strutturale le forze orizzontali sono assorbite

principalmente da membrature soggette a forze assiali e le zone dissipative sono collocate

principalmente nelle diagonali tese. Pertanto determinate verifiche, come quelle in caso di

sisma, possono essere eseguite considerando solamente quei controventi per cui lo

snervamento delle diagonali tese precede il raggiungimento della resistenza delle aste

strettamente necessarie ad equilibrare i carichi esterni. Per garantire una corretta

ripartizione delle azioni orizzontali ed un corretto modo di vibrare è stato necessario

utilizzare numerose controventature trasversali (di cui alcune speciali “a scacchiera” come si

illustrerà più avanti) e longitudinali.

MATERIALI UTILIZZATI In sede di progettazione si possono assumere convenzionalmente i seguenti valori nominali

delle proprietà del materiale:

ACCIAIO Sulla base delle esigenze di progettazione è stato scelto di utilizzare la classe di resistenza

S355 (Fe510) le cui caratteristiche secondo normativa sono:

Modulo elastico:

E=210.000 N/mm^2

Modulo elasticità trasversale:

G=E/[2(1+ν)] N/mm^2

Coefficiente di Poisson:

ν=0,3

Coefficiente di espansione termica lineare:

α=12x10^-6 per °C (per temperature fino a 100°)

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Densità:

ρ=7850 Kg/m^3

Tensione caratteristica di snervamento:

Fyk=355 N/mm^2

Tensione caratteristica di rottura:

Ftk=510 N/mm^2

Resistenza di calcolo:

Ryd= = 308.69 N/mm^2

CALCESTRUZZO FONDAZIONE

Sulla base della denominazione normalizzata viene utilizzata la classe di resistenza C45/55:

Resistenza cubica caratteristica a compressione:

R ck [N/mm2] =30 N/mm2

Resistenza cilindrica caratteristica a compressione:

F ck [N/mm2] =0.83x R ck = 25 N/mm2

Resistenza caratteristica a trazione:

f ctk [N/mm2] =1.82 N/mm2

Resistenza a compressione di progetto:

f cd = = = 14.16 N/mm2

dove:

è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al calcestruzzo, pari a 1.5;

è il coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata, pari a 0.85;

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Resistenza a trazione di progetto:

f ctd = = = 1.21 N/mm2

ACCIAIO PER ARMATURE DI FONDAZIONE L’acciaio per cemento armato B450C è caratterizzato dai seguenti valori nominali delle

tensioni caratteristiche di snervamento e rottura da utilizzare nei calcoli:

Tensione caratteristica di snervamento:

f yk =450 N/mm2

Tensione caratteristica a rottura:

f tk =540 N/mm2

Resistenza di calcolo:

f yd = = N/mm2

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CALCOLO DELLE AZIONI

ANALISI DEI CARICHI SUL SOLAIO

Tutta l’analisi dei carichi è stata condizionata dall’esigenza di realizzare un pacchetto solaio

con uno spessore di soli 30 cm, per questo sono stati scelti, per la realizzazione del solaio,

materiali leggeri e che non necessitino di grandi spessori per l’alloggiamento.

Per la realizzazione del solaio si è utilizzata la lamiera grecata tipo SOLAC 55, caratterizzata

da un’altezza di 55 mm ed uno spessore di 1 mm.

Sopra questa è stato realizzata una soletta di 5 cm in cemento armato, lo spessore è stato

determinato dalla necessità di poter considerare il solaio infinitamente rigido nel suo piano,

rispetto alle colonne, e capace di distribuire le forze orizzontali ai vari elementi resistenti

verticali, evitando l’utilizzo dei controventi di piano, così come specifica la normativa italiana:

Per livellare la superficie è stata utilizzata una malta auto livellante, ULTRATOP della MAPEI, a

base di speciali leganti idraulici, ad indurimento ultrarapido, studiato per livellare e lisciare

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sottofondi in calcestruzzo allo scopo di renderli idonei a sopportare l’intenso traffico pedonale

di centri commerciali, uffici ed ecc. Di seguito è riportata la scheda tecnica:

Infine è stato applicato un pavimento vinilico, Pavinil Activity, scelto per il suo ridotto

spessore, solo 4 mm; sotto sono stati riportati alcuni esempi di applicazione e la scheda

tecnica del pavimento vinilico.

Per gli elementi divisori interni sono stati scelti dei tramezzi leggeri, data la destinazione

d’uso ad uffici, con peso al metro compreso tra 2,0 < G2 ≤ 3,0 KN/m, tradotto a carico

distribuito pari a g2=1,2 KN/m2, come suggerito dalle norme al punto 3.1.3.1.

Gli impianti, per la necessità di avere un pacchetto solaio compatto sono stati disposti nel

controsoffitto del corridoio, nel quale il limite dell’altezza per l’abitabilit{ è di 2,40 m, dove, da

questo, i vari impianti si distribuiscono nei vari uffici. Così il pacchetto solaio generico si è

caricato solo degli impianti elettrici.

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Infine il solaio è concluso con l’utilizzo di controsoffitti ignifughi, al fine di nascondere la

struttura e di proteggerla dagli incendi. Come carico variabile è stato utilizzato un carico

accidentale pari a 2 KN/m2, come indicato dalle norme al punto 3.1.4 per uffici non aperti al

pubblico.

ANALISI DEI CARICHI

Peso Peso Tot Spessore

KN/m^2 KN/m^2 cm

Permanenti Strutturali

Lamiera grecata SOLAC 55 (s=1 mm) 0,13

1,73

5,5

Riempimento nervature 0,57

Soletta in CLS alleggerito 1 5

Rete elettrosaldata 0,03

Permanenti non Strutturali

Pavimento vinilico Pavinil Activity 0,035

1,695

0,4

Malta autolivellante MAPEI Ultratop 0,2 1,5

Impianti (solo elettrici) 0,15

Tramezzi 1,2

Controsoffitto ignifugo 0,11 3,5

Variabili Antropici 2 2

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COMB. DELLE AZIONI (SLU)

Peso γ γ*P TOTALE

KN/m2

KN/m2 KN/m2

Permanenti Strutturali

1,73 1,3 2,249

7,7915

Permanenti non Strutturali

1,695 1,5 2,5425

Variabili 2 1,5 3

COMB. DELLE AZIONI (SLE)

Peso γ γ*P TOTALE

KN/m2

KN/m2 KN/m2

Permanenti Strutturali

1,73 1 1,73

4,425

Permanenti non Strutturali

1,695 1 1,695

Variabili 2 0,5 1

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AZIONE DEL VENTO Per il calcolo dell’azione del vento si è fatto riferimento a quanto espressamente indicato nelle

nuove norme tecniche per le costruzioni (DM Infrastrutture 14 gennaio 2008) con riferimento

alla relativa bozza di istruzioni per l’applicazione delle suddette norme (aggiornata al 7 marzo

2008). Il vento, la cui direzione si considera generalmente orizzontale, esercita sulle

costruzioni azioni che variano nel tempo e nello spazio provocando, in generale, effetti

dinamici. Per le costruzioni usuali tali azioni sono convenzionalmente ricondotte alle azioni

statiche equivalenti. Il problema si riconduce pertanto ad una valutazione quanto più corretta

e simile alla realtà di tali azioni statiche equivalenti tenendo in considerazione tutti i fattori

che possono amplificare gli effetti del vento, come la forma e le dimensioni dell’edificio. Non è

questo il caso, ma per le costruzioni di forma o tipologia inusuale, oppure di grande altezza o

lunghezza, o di rilevante snellezza e leggerezza, o di notevole flessibilità e ridotte capacità

dissipative, il vento può dare luogo ad effetti la cui valutazione richiede l’uso di metodologie di

calcolo e sperimentali adeguate allo stato dell’arte e che tengano conto della dinamica del

sistema.

VELOCITÀ DI RIFERIMENTO

Secondo quanto espresso dalle norme La velocità di riferimento è il valore caratteristico

della velocità del vento a 10 m dal suolo su un terreno di categoria di esposizione II, mediata

su 10 minuti e riferita ad un periodo di ritorno di 50 anni.

In mancanza di specifiche ed adeguate indagini statistiche è data dall’espressione:

dove:

, , sono parametri legati alla regione in cui sorge la costruzione in esame, in funzione

delle zone definite (si vedano le tabelle seguenti) è l’altitudine sul livello del mare (in m)

del sito ove sorge la costruzione.

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Nel caso in esame risulta pertanto:

ZONA 3

velocità di riferimento 27 m/s

altitudine di riferimento 500 m

altitudine sul livello del mare 200 m

Parametro della zona 0,2 1/s

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AZIONI STATICHE EQUIVALENTI Le azioni statiche del vento sono costituite da pressioni e depressioni agenti normalmente alle

superfici, sia esterne che interne, degli elementi che compongono la costruzione.

L’azione del vento sul singolo elemento viene determinata considerando la combinazione più

gravosa della pressione agente sulla superficie esterna e della pressione agente sulla

superficie interna dell’elemento. Nel caso di costruzioni o elementi di grande estensione, si

deve inoltre tenere conto delle azioni tangenti esercitate dal vento.

L’azione d’insieme esercitata dal vento su una costruzione è data dalla risultante delle azioni

sui singoli elementi, considerando come direzione del vento, quella corrispondente ad uno

degli assi principali della pianta della costruzione.

PRESSIONE CINETICA DI RIFERIMENTO

La pressione cinetica di riferimento (in N/m²) è data dall’espressione:

dove

è la velocità di riferimento del vento (in m/s);

è la densit{ dell’aria assunta convenzionalmente costante e pari a 1,25 kg/m3.

Nel caso in esame risulta pertanto:

pressione cinetica di riferimento 455,625 N/m²

IL COEFFICIENTE DINAMICO

Il coefficiente dinamico tiene in conto degli effetti riduttivi associati alla non contemporaneità

delle massime pressioni locali e degli effetti amplificativi dovuti alla risposta dinamica della

struttura. Esso può essere assunto cautelativamente pari ad 1 nelle costruzioni di tipologia

ricorrente, quali gli edifici di forma regolare non eccedenti 80 m di altezza ed i capannoni

industriali, oppure può essere determinato mediante analisi specifiche o facendo riferimento

a dati di comprovata affidabilità.

COEFFICIENTE DI ESPOSIZIONE

Il coefficiente di esposizione ce dipende dall’altezza z sul suolo del punto considerato, dalla

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topografia del terreno, e dalla categoria di esposizione del sito ove sorge la costruzione. In

assenza

di analisi specifiche che tengano in conto la direzione di provenienza del vento e l’effettiva

scabrezza e topografia del terreno che circonda la costruzione, per altezze sul suolo non

maggiori di z = 200 m, esso è dato dalla formula:

Dove:

, , sono assegnati in funzione della categoria di esposizione del sito ove sorge la

costruzione (si vedano le tabelle seguenti);

è il coefficiente di topografia.

In mancanza di analisi specifiche, la categoria di esposizione è assegnata in funzione della

posizione geografica del sito ove sorge la costruzione e della classe di rugosità del terreno

definita nelle tabelle che seguono. Nelle fasce entro i 40 km dalla costa delle zone 1, 2, 3, 4, 5 e

6, la categoria di esposizione è indipendente dall’altitudine del sito.

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Il coefficiente di topografia è posto generalmente pari a 1, sia per le zone pianeggianti sia

per quelle ondulate, collinose e montane. Nel caso di costruzioni ubicate presso la sommità di

colline o pendii isolati il coefficiente di topografia può essere valutato dal progettista con

analisi più approfondite, ma non è questo il caso poiché si considera una zona urbana.

Nel caso in esame risulta pertanto:

coefficiente dinamico 1

coefficiente di topografia 1

classe rugosità

A

categoria esposizione

IV

coefficiente di attrito 0,01

Parametri per il calcolo del

coefficiente di esposizione 0,22

8 m

0,3 m

I COEFFICIENTI DI FORMA

In assenza di valutazioni più precise, suffragate da opportuna documentazione o prove

sperimentali in galleria del vento, per il coefficiente di forma si assumono i valori riportati ai

punti seguenti, con l’avvertenza che si intendono positive le pressioni dirette verso l’interno

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delle costruzioni. Per la valutazione della pressione esterna si assumerà (vedere figure

seguenti ed esprimere α in gradi):

- per elementi sopravvento (cioè direttamente investiti dal vento), con inclinazione

sull’orizzontale α ≥ 60°, = + 0,8

- per elementi sopravvento, con inclinazione sull’orizzontale 20° < α < 60°, = +0,03α - 1

- per elementi sopravvento, con inclinazione sull’orizzontale 0° ≤ α ≤ 20° e per elementi

sottovento (intendendo come tali quelli non direttamente investiti dal vento o quelli investiti

da vento radente) = - 0,4

Per la valutazione della pressione interna si assumerà (vedere figure seguenti e scegliere il

segno che dà luogo alla combinazione più sfavorevole):

- per costruzioni che hanno (o possono anche avere in condizioni eccezionali) una parete con

aperture di superficie minore di 1/3 di quella totale: = ± 0,2

- per costruzioni che hanno (o possono anche avere in condizioni eccezionali) una parete con

aperture di superficie non minore di 1/3 di quella totale: = + 0,8 quando la parete aperta è

sopravvento, = - 0,5 quando la parete aperta è sottovento o parallela al vento;

- per costruzioni che presentano su due pareti opposte, normali alla direzione del vento,

aperture di superficie non minore di 1/3 di quella totale: + = ± 1,2 per gli elementi

normali alla direzione del vento, = ± 0,2 per i rimanenti elementi.

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Nella situazione in esame risulta pertanto:

coefficienti di forma (cp)

coefficiente pressione esterna sopravvento 0,8

coefficiente pressione esterna sottovento 0,4

coefficiente pressione interna 0,2

coefficiente dinamico 1

OSSERVAZIONI SULLE SUPERFICI CURVILINEEE Nel caso in esame, vista la particolare geometria dell’edificio, ed in mancanza di uno studio

specialistico sugli effetti di portanza generata dal vento, sono state maggiorate le azioni sulle

superfici curvilinee. La pianta dell’edificio presenta infatti due facciate con profilo curvilineo

assimilabile ad un corpo cilindrico a sezione circolare. In tal caso le pressioni massime locali

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vanno determinate utilizzando il coefficiente di forma , la cui distribuzione è rappresentata

in figura:

Per i corpi cilindrici a sezione circolare di diametro d e altezza h (ambedue espressi in metri) i

coefficienti di forma sono quindi i seguenti:

Dove:

(N/m²), con e definiti precedentemente.

L’azione di insieme esercitata dal vento va valutata con riferimento alla superficie proiettata

sul piano ortogonale alla direzione del vento. Le espressioni sopra indicate valgono anche per

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i corpi prismatici a sezione di poligono regolare di otto o più lati, essendo d il diametro del

cerchio circoscritto.

Per facilitare la modellazione delle azioni sulle travi di bordo nelle zone curvilinee sono stati

stabiliti degli intervalli angolari all’interno dei quali si considera un coefficiente di pressione

costante come segue:

α Valore

approssimato

0 1

1 10 0,9

20 0,55

30 0,05

40 -0,5 -1,7

50 -1,1

60 -1,7

-1,7 70 -2,15

80 -2,37

90 -2,45

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SCHEMATIZZAZIONE DELLE SUPERFICI CURVILINEE

Le due estremit{ dell’edificio vengono assimilate

a dei corpi cilindrici. L’azione del vento su tali

superfici sarà del tutto diversa da quella che

avverrebbe su di una superficie piana. In tal modo

si può valutare correttamente l’entit{ delle azioni

che sollecitano le travi di bordo in tali zone.

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IL COEFFICIENTE DI ATTRITO

In assenza di più precise valutazioni suffragate da opportuna documentazione o da prove

sperimentali in galleria del vento, si assumeranno i valori riportati nella seguente tabella:

LA PRESSIONE DEL VENTO

La pressione del vento è data dall’espressione:

dove

è la pressione cinetica di riferimento;

è il coefficiente di esposizione;

è il coefficiente di forma (o coefficiente aerodinamico), funzione della tipologia e della

geometria della costruzione e del suo orientamento rispetto alla direzione del vento. Il suo

valore può essere ricavato da dati suffragati da opportuna documentazione o da prove

sperimentali in galleria del vento;

è il coefficiente dinamico con cui si tiene conto degli effetti riduttivi associati alla non

contemporaneità delle massime pressioni locali e degli effetti amplificativi dovuti alle

vibrazioni strutturali. In particolare in questa situazione risulta essere:

valore caratteristico della velocità 27 m/s

pressione cinetica di riferimento 455,625 N/m²

coefficienti di forma (cp)

coefficiente pressione esterna sopravvento 0,8

coefficiente pressione esterna sottovento 0,4

coefficiente pressione interna 0,2

coefficiente dinamico 1

AZIONE TANGENZIALE DEL VENTO

L’azione tangente per unit{ di superficie parallela alla direzione del vento è data

dall’espressione:

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dove

è la pressione cinetica di riferimento;

è il coefficiente di esposizione;

è il coefficiente d’attrito, funzione della scabrezza della superficie sulla quale il vento

esercita l’azione tangente. Il suo valore può essere ricavato da dati suffragati da opportuna

documentazione o da prove sperimentali in galleria del vento.

PARAMETRI PER IL CALCOLO DELL’AZIONE DEL VENTO

ZONA 3

velocità di riferimento 27 m/s

altitudine di riferimento 500 m

altitudine sul livello del mare 200 m

Parametro della zona 0,2 1/s

pressione cinetica di riferimento 455,625 N/m²

coefficiente dinamico 1

coefficiente di topografia 1

classe rugosità A

categoria esposizione IV

coefficiente di attrito 0,01

Parametri per il calcolo del coefficiente di

esposizione 0,22

8 m

0,3 m

valore caratteristico della velocità 27 m/s

pressione cinetica di riferimento 455,625 N/m²

coefficienti di forma (cp)

coefficiente pressione esterna sopravvento 0,8

coefficiente pressione esterna sottovento 0,4

coefficiente pressione interna 0,2

coefficiente dinamico 1

APPLICAZIONE DELL’AZIONE DEL VENTO NEL MODELLO DI CALCOLO

L’azione del vento viene considerata applicata alle travi di bordo di ogni piano. Ciò è del tutto

coerente con il modello reale in quanto le facciate in vetro si appoggiano direttamente sul

solaio e le travi di bordo. Si veda in proposito la sezione relativa ai dettagli costruttivi.

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ei c

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hi o

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P

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re d

ei c

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hi o

rizz

on

tali

dovu

ti a

l ven

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m (

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imo

pia

no).

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P

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AZIONE DELLA NEVE Il carico provocato dalla neve sulle coperture è stato valutato mediante la seguente espressione:

qs i qsk CE Ct

dove:

qs k = 0.60 è il carico neve sulla copertura;

μi = 0.8 è il coefficiente di forma della copertura;

qsk è il valore caratteristico di riferimento del carico neve al suolo [kN/m2]

CE =1.0 è il coefficiente di esposizione;

Ct =1.0 è il coefficiente termico.

Si ipotizza che il carico agisca in direzione verticale e lo si riferisce alla proiezione orizzontale della

superficie della copertura.

Si è considerato un carico da neve valutato, a favore di sicurezza, in modo approssimato per eccesso,

pari ad 1 KN/m2.

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AZIONE SISMICA

RIFERIMENTI NORMATIVI In questo paragrafo si riporta il calcolo dell’azione sismica secondo le modalit{ previste dalle “nuove

norme tecniche per le costruzioni DM 14 gennaio 2008”. Si considera un edificio di civile abitazione

situato a Roma, avente le seguenti caratteristiche:

Classe d’uso della costruzione: II (seconda).

Vita nominale della costruzione ( nV ): 50 anni.

Categoria di sottosuolo: D (terreni a grana grossa scarsamente addensati).

Categoria topografica: T1 (superficie pianeggiante).

L’azione sismica di progetto consiste nel ricavare gli spettri elastici di risposta, che consentono di

ottenere il valore dell’accelerazione a cui è sottoposta la struttura in funzione del periodo proprio di

vibrazione. Tali spettri sono specifici del luogo in cui sorge la costruzione (macrozonazione), delle

caratteristiche topografiche e del sottosuolo (microzonazione) nonché dello stato limite ultimo

considerato. La nuova normativa italiana prevede, per l’azione sismica, l’adozione di quattro stati

limite, due per le condizioni di esercizio e due per quelle ultime. In particolare si ha:

Stati limite di esercizio:

I. Stato limite di operatività (SLO)

II. Stato limite di danno (SLD)

Stati limite ultimi:

I. Stato limite di salvaguardia della vita (SLV)

II. Stato limite di collasso (SLC)

Per questo lavoro si è fatto riferimento a due sole condizioni limite significative:

Stato limite di danno (SLD): a seguito del terremoto la costruzione nel suo complesso,

includendo gli elementi strutturali, quelli non strutturali, le apparecchiature rilevanti alla sua funzione,

subisce danni tali da non mettere a rischio gli utenti e da non compromettere significativamente la

capacità di resistenza e di rigidezza nei confronti delle azioni verticali ed orizzontali, mantenendosi

immediatamente utilizzabile pur nell’interruzione d’uso di parte delle apparecchiature.

Stato limite di collasso (SLC) a seguito del terremoto la costruzione subisce gravi rotture e

crolli dei componenti non strutturali ed impiantistici e danni molto gravi dei componenti strutturali; la

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costruzione conserva ancora un margine di sicurezza per azioni verticali ed un esiguo margine di

sicurezza nei confronti del collasso per azioni orizzontali.

Per ogni stato limite, la normativa prevede una determinata probabilità di superamento ( VRP) nel

corso del periodo di riferimento della struttura ( RV ), secondo quanto riportato nella tabella seguente.

Ai fini della normativa considerata le forme spettrali sono definite, per ogni stato limite, a

partire dai valori dei seguenti parametri su sito di riferimento rigido orizzontale:

ga :accelerazione orizzontale massima al sito.

0F :valore massimo del fattore di amplificazione dello spettro in accelerazione orizzontale.

*

CT :periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro in accelerazione orizzontale.

I valori dei parametri da considerare nei calcoli variano a seconda del periodo di ritorno

considerato che, a sua volta, varia a seconda dello stato limite e della vita nominale della costruzione.

Si ricaveranno quindi quattro periodi di ritorno (uno per ogni stato limite) e i valori dei relativi

parametri. La normativa fornisce i valori dei tre parametri in funzione della sismicità del sito dove

sorge la costruzione e per nove periodi di ritorno “notevoli”, che sono pari a: 30, 50 72, 101, 140, 201,

475,975 e 2475 anni.

Per una costruzione situata nel comune di Roma i valori dei parametri forniti dalla normativa sono

riportati nella tabella seguente:

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I valori dei parametri da considerare nei calcoli variano a seconda del periodo di ritorno considerato

che, a sua volta, varia a seconda dello stato limite e della vita nominale della costruzione. Si

ricaveranno quindi quattro periodi di ritorno (uno per ogni stato limite) e dalla tabella precedente si

ottengono i valori dei parametri. Se il periodo di ritorno non è quello esplicitamente riportato in

tabella, si procederà ad una interpolazione di tipo logaritmica.

In questo capitolo si vuole descrivere la procedura utilizzata per ricavare gli spettro elastici di risposta

in accelerazioni delle componenti orizzontali; inoltre, con riferimento ai soli stati limite ultimi, l’

“Analisi sismica di strutture in acciaio” per normativa consente di ricavare uno spettro di progetto che

considera azioni sismiche ridotte in relazione alla duttilità della struttura.

Il calcolo degli spettri di risposta si articola nei seguenti passi:

Calcolo del periodo di ritorno ( TR ) per ogni stato limite:

Calcolo dei parametri ag , F0* e TC:

Calcolo dei periodi notevoli dello spettro elastico di risposta in accelerazioni delle componenti

orizzontali:

Calcolo dello spettro elastico in accelerazioni:

Calcolo del fattore di struttura q:

Calcolo dello spettro di progetto:

CALCOLO DEL PERIODO DI RITORNO. Per calcolare il periodo di ritorno della struttura, in funzione dello stato limite considerato,

occorre ricavare preventivamente il periodo di riferimento della costruzione RV , mediante la

seguente formula:

unR CVV

dove uC è un coefficiente associato alla classe d’uso della costruzione, ricavabile dalla seguente

tabella.

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Nel caso dell’edificio oggetto dei calcoli si ricava uC =1, di conseguenza risulta RV =50anni.

Il periodo di ritorno si ricava applicando la formula seguente:

RR

VR

VT

Pln 1-

100

Nella seguente tabella sono presentati tutti i risultati:

CALCOLO DEI PARAMETRI

Qualora i tempi di ritorno ottenuti non dovessero coincidere con quelli riportati nella tabella si

ricavano i parametri mediante interpolazione logaritmica; chiamando con p il generico parametro, si

utilizza la seguente formula:

1

1

2

11

21 logloglog)log()log(

R

R

R

R

T

T

T

T

p

ppp

dove i logaritmi sono in base 10 e le grandezze con il pedice 1 e 2 sono le grandezze p contenute nella

tabella rispettivamente con RT minore e maggiore di quello calcolato per i vari stati limite. Per la

struttura oggetto dei calcoli, i tempi di ritorno ricadono con buona approssimazione nei casi notevoli

forniti dalla normativa, per cui i valori dei parametri risultano:

VR PVR TR

[anni] [%] [anni]

SLO 1 50 81 30.1

SLD 1 50 63 50.3

SLV 1 50 10 474.6

SLC 1 50 5 974.8SLU

CuSTATI

LIMITE

SLE

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CALCOLO DEI PERIODI NOTEVOLI DELLO SPETTRO ELASTICO DI RISPOSTA IN ACCELERAZIONI Per ricavare lo spettro elastico di risposta in accelerazioni, la normativa prevede il calcolo di tre

periodi notevoli dello spettro stesso, in particolare:

TC è il periodo corrispondente all’inizio del tratto a velocit{ costante dello spettro:

*C C CT =C T

TB è il periodo corrispondente all’inizio del tratto dello spettro ad accelerazione costante:

CB

TT =

3

TD è il periodo corrispondente all’inizio del tratto a spostamento costante dello spettro.

gD

aT =4 +1.6

g

dove le formule del coefficiente CC sono riportate in funzione della categoria di sottosuolo e di T*C nella

tabella seguente (dove ci sono anche le formule del coefficiente SS di cui si dirà in seguito).

I risultati ottenuti sono riportati in tabella:

ag F0 T*

c

[g] [-] [s]

SLO 0,041 2,532 0,255

SLD 0,051 2,515 0,270

SLV 0,107 2,633 0,310

SLC 0,130 2,660 0,321

STATI

LIMITE

SLE

SLU

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CALCOLO DELLO SPETTRO ELASTICO IN ACCELERAZIONI Lo spettro elastico in accelerazioni è dato dall’unione di quattro tratti, ai cui estremi sono presenti i

valori dei periodi notevoli calcolati al passo precedente. Le ordinate dello spettro vengono calcolate

con le formule seguenti:

Si nota che compaiono due nuovi coefficienti S e η, che è possibile calcolare applicando le relazioni

seguenti:

S TS=S S

η= 10/(5+ξ) 0.55

Il coefficiente S tiene conto della categoria di sottosuolo, mediante il coefficiente SS e delle condizioni

topografiche, per mezzo del coefficiente ST. Quest’ultimo coefficiente è ricavabile dalla tabella

sottostante.

T*

c TB Tc TD

[s] [s] [s] [s]

SLO 0,255 2,48 0,21 0,63 1,76

SLD 0,270 2,41 0,22 0,65 1,80

SLV 0,310 2,24 0,23 0,70 2,03

SLC 0,321 2,21 0,24 0,71 2,12

STATI

LIMITE

SLE

SLU

Cc

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Il fattore η altera lo spettro elastico per coefficienti di smorzamento viscosi convenzionali ξ diversi dal

5%. Per le caratteristiche topografiche del sito su cui sorge l’edificio (categoria T1) risulta ST =1,

inoltre si considera uno smorzamento pari a quello convenzionale del 5% per cui il fattore η risulta

avere valore unitario. Nella tabella successiva si riportano i valori di SS in funzione dello stato limite

considerato.

Si ottengono dunque i seguenti Spettri di risposta elastici:

CALCOLO DEL FATTORE DI STRUTTURA Q. Progettare la risposta di una struttura al sisma seguendo la stessa metodologia utilizzata per i carichi

statici, basata sul richiedere che la struttura risponda elasticamente alle sollecitazioni, implicherebbe

SLO 1,64

SLD 1,62

SLV 1,53

SLC 1,49SLU

S (=Ss)STATI

LIMITE

SLE

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0

Sd (g)

T (s)

SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI

SLC

SLD

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la necessità di realizzare strutture che rimangano in campo elastico anche per sismi violenti e

conseguentemente di realizzare strutture estremamente resistenti e quindi pesanti e costose.

Un’alternativa è quella di progettare strutture che possano rispondere in modo anelastico. In questo

caso la struttura può essere progettata per carichi sismici inferiori rispetto a quelli calcolati nel caso di

analisi elastica, purché le si attribuisca la capacit{ di dissipare l’energia sismica. La normativa consente

la riduzione delle azioni sismiche, cioè dello spettro elastico di risposta, mediante l’impiego di un

fattore di struttura q .

In particolare, il fattore di struttura q , tiene conto in modo semplificato della capacità

dissipativa anelastica della struttura, della sua sovra resistenza e dell’incremento del suo periodo

proprio a seguito delle plasticizzazioni. In questo caso lo spettro di progetto si ottiene dalle formule di

quello elastico sostituendo con q

1 .

Il valore di q da utilizzare per ciascuna direzione dell’azione sismica, dipende dalla tipologia

strutturale, dal grado di iperstaticità e dai criteri di progettazione adottati e prende in conto le non

linearità del materiale. Esso può essere calcolato mediante la seguente espressione:

RKqq 0

dove:

0q è il valore massimo del fattore di struttura che dipende dal livello di duttilità attesa, dalla tipologia

strutturale e dal rapporto 1u .

RK è un fattore riduttivo che dipende dalle caratteristiche di regolarit{ in altezza dell’edificio, con

valore pari ad 1 per le costruzioni regolari in altezza e pari a 0.8 per quelle non regolari.

Per l’edificio oggetto dei calcoli si adotta un coefficiente RK pari a 0.8 dato che questo non soddisfa

tutti i requisiti di regolarità in altezza.

Il rapporto 1u è tra il valore dell’azione sismica per il quale si verifica la formazione di un numero

di cerniere plastiche tali da rendere la struttura labile, e quello per il quale il primo elemento

strutturale raggiunge la plasticizzazione per flessione. I moltiplicatori hanno lo scopo di tenere

conto dell’incrudimento globale del comportamento strutturale, risultano di difficile determinazione.

Essi sono funzione del grado di iperstaticità della struttura, per costruzioni regolari in pianta possono

essere adottati i seguenti valori di 1u :

edifici a un piano u/ 1 = 1,1

edifici a telaio a più piani, con una sola campata u/ 1 = 1,2

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edifici a telaio con più piani e più campate u/ 1 = 1,3

edifici con controventi eccentrici a più piani u/ = 1,2

edifici con strutture a mensola o a pendolo inverso u/ = 1,0

Per l’edificio in questione risulta:

edificio a bassa duttilità, struttura con controventi concentrici a diagonale tesa attiva

414q

CALCOLO DELLO SPETTRO DI PROGETTO Ricordando che l’applicazione del fattore di struttura è relativa ai soli spettri di Stati limite ultimi,

osserviamo come cambi lo spettro di accelerazioni SLC.

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Si osserva come Sd non possa, per normativa, scendere al di sotto di 0,2ag.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0

Sd (g)

T (s)

SPETTRI DI RISPOSTA DI PROGETTO

SLC

SLD

SLC elastico

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COMBINAZIONE DELLE AZIONI

Le azioni caratteristiche (carichi, distorsioni, variazioni termiche, ecc.) devono essere definite in

accordo con quanto indicato nel capitolo 2 della normativa.

Per costruzioni civili o industriali di tipo corrente e per le quali non esistano regolamentazioni

specifiche, le azioni di calcolo si ottengono combinando le azioni caratteristiche secondo le seguenti

formule di correlazione:

Combinazione fondamentale, utilizzata per gli stati limite ultimi (SLU):

Combinazione frequente, impiegata per gli stati limite di esercizio reversibili (SLE):

Combinazione sismica, impiegata per gli stati limite ultimi (SLU) e di esercizio (SLE) connessi

con l’azione sismica E:

dove:

KG rappresenta il valore caratteristico della azione permanente (peso proprio, carichi permanenti

portati, precompressione, ecc);

KQ rappresenta il valore caratteristico dell'azione variabile;

KP rappresenta il valore caratteristico della deformazione impressa (effetto della temperatura,

deformazione del terreno, viscosità, ritiro, etc.);

E , G , Q , P sono i coefficienti parziali e 2i sono i coefficienti di combinazione delle azioni

variabili.

Nello spirito di quanto espresso nelle norme, è compito del Progettista identificare il numero delle

azioni di calcolo (combinazioni) da considerare e le specifiche caratteristiche di ciascuna di queste.

I valori dei coefficienti parziali e di modello sono riportati nelle seguenti tabelle. I coefficienti parziali

di amplificazione o riduzione sono riferiti ai casi in cui l’azione considerata è rispettivamente a sfavore

o a favore della sicurezza.

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PREDIMENSIONAMENTO DELLE MEMBRATURE Terminata l’analisi dei carichi, si è proceduto al dimensionamento delle travi di piano, anche

quest’operazione è stata condizionata dall’esigenza di realizzare un pacchetto solaio con uno

spessore di soli 30 cm, per questo sono stati scelti profilati HE B, così da ridurre l’altezza del

profilato, inoltre è stato scelto di utilizzare un acciaio di qualità S 355.

Per prima cosa si è verificato che la lamiera grecata fosse verificata.

PREDIMENSIONAMENTO LAMIERA GRECATA Si è deciso di avere la lamiera grecata continua solo per una lunghezza di due campate, dove la

campata media è di 1,75 m, quindi si sono ipotizzate le condizioni di carico peggiori:

- Condizione di carico A: massimo momento sull’appoggio

- Condizione di carico B: massimo momento in campata

Per prima cosa si è verificato che le tensioni indotte dal carico del solaio sulla lamiera grecata

fossero compatibili con la sua resistenza, e questo è stato fatto con la combinazione di carico

SLU.

Successivamente si è controllato che la deformazione della lamiera in fase di realizzazione

non fosse eccessiva, altrimenti si sarebbero dovuti utilizzare dei puntelli o altri dispositivi fino

al momento della presa del calcestruzzo della soletta per ridurre la freccia.

Questo calcolo è stato fatto con la combinazione di carico SLE applicando la seguente formula,

reperita in letteratura:

σMAX appoggio 108,59 N/mm2

σMAX campata 71,05 N/mm2

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Il risultato è ampliamente verificato, in quanto il limite di normativa è

superiore. Questa verifica è stata ripetuta quando tutto il solaio è collaborante ed ovviamente

la verifica è stata abbondantemente verificata.

PREDIMENSIONAMENTO TRAVI SECONDARIE Successivamente si è proceduto al predimensionamento della trave secondaria, questa ha una

luce di 4,4 m e una larghezza influente del solaio di 1,75 m.

Quindi si è calcolata la reazione massima del solaio sull’appoggio, condizione di carico A,

questo valore è stato preso come carico massimo distribuito sulla trave secondaria, si è

calcolato il momento che genera, conoscendo la tensione massima ammissibile dell’acciaio

fyd=338 MPa si è calcolato il modulo di resistenza elastica che deve avere la trave per

resistere Wx min=121,9 cm3.

Così è stata scelta la trave HE140 B, con Wx=216 cm3, è stata scelta questa trave per il

rispetto della deformata massima, che con la trave del segmento inferiore, HE120 B, pur

avendo un modulo elastico sufficiente, non rispettava la verifica della freccia massima.

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Le tensioni massime indotte dai carichi del solaio e dal peso proprio della trave sono pari a:

σMAX

SLU 188,86 N/mm2

SLE 107,52 N/mm2

La freccia massima risulta verificata:

PREDIMENSIONAMENTO TRAVI PRINCIPALI Infine si è passati al dimensionamento della trave principale, queste hanno lunghezze più

variabili rispetto alle travi secondarie, comunque si è scelto di assumere come lunghezza di

progetto quella di 5 m; questa misura poi è stata ulteriormente ridotta per tener conto delle

dimensioni della colonna ipotizzando che fosse almeno un’ HE300 B.

Il carico è rappresentato dalla reazione agli appoggi delle travi secondarie, e quindi viene

applicato come forze concentrate.

Il procedimento seguito per dimensionare la trave principale è lo stesso seguito per la trave

secondaria, quindi si calcola il momento provocato dai carichi, si ricava il modulo di resistenza

elastico necessario, in base al valore si scegli un profilato e si verificano sia che le tensioni

siano ammissibili, sia che la freccia massima rispetti le limitazioni di normativa.

Procedendo in questo modo si è calcolato un momento massimo pari a MSLU = 114,75 KN m,

il che implica WX = 371,7 cm3, così si è scelto un HE180 B, WX = 426 cm3.

Aggiungendo al carico anche il peso proprio si è calcolato che le massime tensioni sono pari a:

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Infine si è verificata la freccia massima:

In questo caso la verifica non è stata soddisfatta, ciò nonostante si assume il risultato

accettabile, in quanto nel nostro calcolo si è ipotizzato che trave fosse una HE180 B

perfettamente incernierata ai bordi. In realt{ quest’ipotesi non sono vere, in quanto la nostra

trave è stata resa collaborante con una soletta di calcestruzzo di 5 cm, ed inoltre, sia a causa

della soletta sia del collegamento con squadrette, i vincoli alle estremità avranno una certa

rigidezza flessionale.

Entrambe le precisazioni portano ad un irrigidimento della trave e quindi ad una riduzione

della freccia massima, per questo si ritiene che la HE180 B possa ritenersi verificata.

PREDIMENSIONAMENTO COLONNE Per il predimensionamento delle colonne si è scelta la colonna soggetta allo sforzo normale

maggiore, quindi si sono prese due colonne, una con la massima area d’influenza e l’altra, con

la massima area d’influenza tra le colonne di bordo. Per la colonna con l’area d’influenza

maggiore ( 4,5m x4,2m =18,9 m2), si è calcolato il peso unitario del solaio con una

combinazione agli stati limite ultimi, escludendo le forze orizzontali, poi il risultato è stato

moltiplicato per il numero di piani e si è ottenuto un carico assiale pari a N=3000KN . Invece

per la colonna di bordo si è calcolata l’area d’influenza (2,8m x 4,5m =12,6 m2),

moltiplicandola per il peso unitario del solaio, nello stato limite d’esercizio, e per il numero di

piani si è ottenuto uno sforzo di compressione pari a N=1300KN, inoltre, per questa colonna,

si è considerata la forza generata dalla pressione del vento agente sulla superficie dell’edificio,

la superficie che è stata utilizzata per il calcolo è pari all’altezza di interpiano per met{ della

distanza tra la colonna controventata, che abbiamo preso in riferimento, e le colonne vicine

controventate (L=6,75m).

σMAX

SLU 271,79 N/mm2

SLE 155,22 N/mm2

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Così si è calcolato il momento che genera il vento alla base, supponendo che questo sia

riequilibrato dalle colonne controventate solo con un lavoro di tira e spingi, facendo

l’equilibrio si ricava che la colonna più esterna è soggetta ad uno sforzo normale pari a 3400

KN, che sommato allo sforzo per i soli carichi verticali da uno sforzo normale complessivo di

NTOT =4700 KN.

Da questo valore si è dimensionata la colonna considerando in prima approssimazione solo la

tensione di snervamento ottenendo in prima approssimazione un’HE 300; subito dopo si è

considerata l’instabilit{.

Nel nostro caso la colonna è continua, quindi vincolata come se fosse un incastro, e lo

spostamento laterale è bloccato solo dalle travi. Facendo riferimento a casi analoghi presenti

in letteratura si è scelto di assumere il coefficiente β =1. Inoltre, il calcolo dell’instabilit{ viene

fatto nel piano più debole, quindi quello a cui corrisponde il minimo momento d’inerzia. Nel

nostro caso si è arrivati ad una colonna alla base HE 360. Il modello di calcolo considerando

l’instabilit{ è stato eseguito seguendo lo schema della pagina successiva.

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CALCOLO DEL SOLAIO E DELLE MEMBRATURE ORIZZONTALI

MODELLAZIONE DEL SOLAIO CON SAP2000

Il modello strutturale del solaio-tipo dell’edificio è stato analizzato, studiato e verificato con il

software di calcolo SAP2000. Ciò ha permesso anzitutto la verifica degli elementi di trave

precedentemente predimensionati con le classiche formule della scienza delle costruzioni, ed

in seguito l’ottimizzazione degli stessi in base all’algoritmo utilizzato dal software di

progettazione (“Steel Frame Design”).

Come descritto in precedenza uno dei requisiti richiesti al solaio è quello di permettere

un’abitabilit{ di 2,7 m per 20 piani. Ciò implica che il “pacchetto solaio” comprensivo di travi e

controsoffitti debba mantenersi al di sotto dei 30 cm di spessore circa. Ciò costituisce una

seria limitazione alla scelta del profilo utilizzabile e ne è stato tenuto conto in fase di

progettazione.

LA STRUTTURA DEL SOLAIO

Il solaio è composto da 44 travi principali disposte lungo la direzione Y, 83 travi secondarie

disposte lungo la direzione X ed infine 30 travi di bordo che seguono il perimetro in pianta del

solaio. L’orditura del solaio, come si può vedere dalla figura seguente, è invece diretta come le

travi principali (direzione longitudinale lungo la Y).

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(ORDITURA TRAVI PRINCIPALI)

(ORDITURA TRAVI SECONDARIE)

(ORDITURA TRAVI DI BORDO)

Per la ripartizione dei carichi è stata scelta una soletta collaborante di tipo SOLAC 55

composta da una lamiera grecata di spessore 1 mm ed altezza 5,5 cm ed un getto di

completamento di 5,5 cm al di sopra di una rete elettrosaldata. L’altezza del “pacchetto

solaio”, quindi, è di circa 11 cm.

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I profili che risultavano soddisfare le verifiche SLE e SLU nella fase di analisi dei carichi e di

predimensionamento sono i seguenti:

TRAVE PRINCIPALE: HE180B

TRAVE SECONDARIA: HE140B

TRAVE BORDO: HE160B

Per soddisfare il requisito di abitabilità (altezza abitabile > 2,7 m), la lamiera grecata della

soletta collaborante deve essere interrotta sopra le travi principali, dove sarà presente il solo

getto di completamento.

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IL MODELLO NEL SAP2000

Per lo studio del solaio tipo e le verifiche strutturali è stato creato un apposito modello dettagliato

all’interno del software SAP2000. Poiché la struttura è del tipo struttura a ritti pendolari in questo

modello tutti i vincoli tra le travi di piano e le colonne sono stati schematizzati da cerniere. Per

semplicità di analisi è stato analizzato un solo piano tipo e si è cercato di rendere quanto più fitta

possibile la mesh utilizzata per le SHELL di piano. Ciò ha permesso una corretta ripartizione dei carichi

sulle travi. Si consideri, però, che dato l’alto numero di elementi SHELL presenti, il modello è risultato

essere piuttosto pesante. Pertanto per il modello tridimensionale si è scelto di diminuire il numero di

tali elementi al fine di velocizzare l’analisi al calcolatore.

LA MODELLAZIONE DELLA RIGIDEZZA DEL SOLAIO

Per la modellazione della soletta sono stati utilizzati elementi di tipo SHELL.

Per effettuare una modellazione di questo tipo, è necessario operare alcune semplificazioni. E’

evidente, infatti, che una soletta collaborante, composta da più materiali (lamiera grecata,

getto di completamento, rete elettrosaldata, massetto, bottoni), caratterizzati da resistenze e

rigidezze diverse, deve essere modellata con un unico elemento SHELL equivalente. Per

ottenere quindi dei risultati apprezzabili e quanto più simili alla realtà è di fondamentale

importanza valutare accuratamente la reale rigidezza del solaio in esame calcolando e

ponderando le singole rigidezze degli elementi che lo compongono. In questo caso per il

calcolo sono stati considerati solamente la lamiera grecata ed il getto di completamento.

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Particolare attenzione è stata, inoltre, posta alle caratteristiche di rigidezza degli elementi

SHELL lungo le due direzioni ortogonali X ed Y. L’orientamento del solaio segue infatti la

direzione trasversale dell’edificio (ovvero lungo la Y) e la geometria della lamiera grecata

rende necessario stabilire una rigidezza per entrambe le direzioni. Lungo la direzione Y

(ovvero quella delle travi principali) dovrà, quindi, essere considerato il contributo delle

nervature inferiori di cls contenute dalla lamiera grecata. Lungo la direzione X (ovvero quella

delle travi secondarie) è stato, invece, trascurato il contributo di tali nervature. Questa

semplificazione risulta essere a favore di sicurezza.

Per entrambe le direzioni X ed Y sono stati calcolati il centro di massa, la rigidezza e l’altezza

di una sezione rettangolare di acciaio (e quindi di più facile implementazione all’interno del

software di calcolo SAP2000) avente le stesse caratteristiche del solaio. Per fare ciò è stato

necessario omogeneizzare le caratteristiche del calcestruzzo a quelle dell’acciaio secondo il

rapporto . Per i dettagli si vedano la tabella e le figure seguenti.

Dai calcoli emerge che il rapporto di rigidezza lungo le due direzioni è pari a 0,48. Questo

valore deve essere impostato all’interno della sezione “Stiffness Modifiers” per rendere la

rigidezza della SHELL diversa nelle due direzioni.

Si noti inoltre che, per quanto detto in precedenza, il solaio risulta essere caratterizzato da

uno spessore ridotto anche lungo le travi principali. Per tenere conto di questa caratteristica

sono stati definiti due gruppi di solai.

Il primo gruppo comprende tutte le SHELL che passano sopra le travi sencondarie,

caratterizzate da avere rigidezze diverse lungo le due direzioni X ed Y (con rapporto 0,48).

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Il secondo gruppo comprende invece tutte le SHELL che passano sopra le travi principali e

quindi sono caratterizzate dalla rigidezza del solo getto di completamento. In questo caso

quindi il fattore di riduzione della rigidezza (0,48) verrà applicato ad entrambe le direzioni X

ed Y.

CALCOLO RIGIDEZZA EQUIVALENTE

DIREZIONE X DIREZIONE Y

ACC CLS ACC CLS

Area: 15,6072 699,3553 10 440 cm

masse 0,000076 0,000025 0,000076 0,000025 KN/cm^3

E 20000 2485 20000 2485 KN m

Baricentro: 2,8 6,03 5,55 7,8 cm

J 80,7179 5081,475 0,0083 709,86 cm^4

Yg 5,959491 5,959491 7,75 7,75 cm

massa tot 0,0011861 0,017484 0,00076 0,011 KN/cm^2

Centro massa 5,8247911 5,824791 7,654592 7,654592 cm

Jgg 81,001078 5094,164 0,099327 713,8652 cm^4

Aeq 15,6072 46,62369 10 29,33333 cm^2

Jeq 81,001078 339,611 0,099327 47,59101 cm^4

Jtot 420,61203

47,69034

cm^4

H equiv 3,6956229

1,788699

0,484005

E eq 20000

20000

KN m

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Seguono le caratteristiche imposte alle SHELL per modellare il solaio.

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LA MODELLAZIONE DEI CARICHI

La funzione delle SHELL è quella di ripartire i carichi applicati al solaio sulle travi principali e

secondarie. In virtù con quanto detto nella sezione relativa al calcolo delle azioni, sono stati

applicati i seguenti carichi distribuiti alle SHELL:

G1 1,73 KN/m^2

G2 1,5 KN/m^2

Q 2 KN/m^2

Inoltre, per modellare l’effetto del peso proprio delle facciate sulle travi di bordo, su di esse è

stato applicato un carico uniformemente distribuito pari al peso della facciata.

F 1,8 KN/m

La presenza del solaio collaborante, sul quale si appoggiano direttamente le facciate

dell’edificio, assicura una ripartizione degli sforzi dovuti al vento direttamente sulle colonne.

Le travi di bordo, pertanto, verranno dimensionate solamente per i carichi verticali dovuti al

solaio ed alle facciate architettoniche in vetro.

LA MODELLAZIONE DELLA MASSA

Per modellare il solaio è stato considerato un materiale avente le caratteristiche dell’acciaio

ma peso e massa nulli. Questo perché i carichi applicati alle SHELL erano già comprensivi del

peso proprio del solaio ed in questo modo potevano essere opportunamente combinati con i

coefficienti di normativa in maniera più intuitiva.

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Nel far ciò è stato necessario modificare la sezione “Mass Source” all’interno del SAP2000 in

maniera da consentire il calcolo della massa a partire dai carichi assegnati. (Si noti che non

bisogna inserire il DEAD altrimenti viene calcolato 2 volte)

LA MESH

L’obiettivo del solaio, modellato tramite elementi bidimensionali di tipo SHELL, è quello di

consentire la trasmissione dei carichi verticali distribuiti sul piano alle travi secondarie e

principali, ovvero agli elementi FRAME. Per consentire una corretta ripartizione dei carichi

alle travi bisogna porre particolare attenzione alla presenza di nodi in comune tra solaio

(SHELL) e travi (FRAME).

In sostanza gli elementi SHELL e gli elementi FRAME “comunicano” tra loro solamente se tra

di essi è presente qualche nodo in comune. Pertanto risulta evidente come una corretta mesh

del solaio ricopra fondamentale importanza per la veridicità dei risultati. La particolare

geometria della pianta dell’edificio ha reso necessario l’utilizzo di elementi SHELL di tipo

triangolare e quadrangolare per ricoprire l’intera superficie.

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Per evitare problemi di irrigidimento dei solai o di ripartizione errata dei carichi i questi si

interrompono in prossimità di ogni colonna come si vede dalla figura seguente.

Naturalmente si è cercato di rendere quanto più fitta possibile la mesh utilizzata per le SHELL di piano.

Ciò ha permesso una corretta ripartizione dei carichi sulle travi. Si consideri, però, che dato l’alto

numero di elementi SHELL presenti, il modello è risultato essere piuttosto pesante. Pertanto per il

modello tridimensionale si è scelto di diminuire il numero di tali elementi al fine di velocizzare l’analisi

al calcolatore.

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CONSIDERAZIONI SULL’OFFSET DEL SOLAIO

Alcune considerazioni di natura teorica necessitano di essere fatte. Nella modellazione al

calcolatore di una struttura spesso si deve ricorrere ad alcuni espedienti o particolari

semplificazioni che possono cambiare non poco l’esito dei risultati. L’obiettivo resta

comunque quello di realizzare un modello quanto più simile alla realtà ed eventualmente

affetto da semplificazioni che lo mantengono comunque in sicurezza. Questo è uno di quei

casi. Nella realtà, infatti, un solaio collaborante contribuisce alla rigidezza della sezione della

trave. Ne risulta un comportamento più rigido e meno deformabile della struttura. Volendo

modellare questo incremento di rigidezza bisognerebbe di volta in volta spostare la posizione

della SHELL che rappresenta il solaio più in alto rispetto alla linea baricentrica di ogni frame.

Ciò permetterebbe di ridurre sensibilmente le deformazioni ed i profili utilizzati per il

modello. A queste considerazioni di carattere teorico fanno fronte però delle complicazioni di

ordine pratico. Il software di calcolo SAP2000, infatti, permette di impostare l’offset di una

SHELL, ma i risultati che ne conseguono sono del tutto sbagliati. Questo ci ha permesso di

comprendere appieno il concetto che il processo di progettazione deve sempre e comunque

essere tenuto sotto controllo da un occhio critico e pignolo. Pertanto abbiamo ritenuto

opportuno trascurare l’incremento di rigidezza dovuto all’offset del solaio in virtù del fatto

che tale semplificazione è comunque a favore di sicurezza.

LA FREQUENZA DI RISONANZA DEL SOLAIO

Le nuove norme tecniche sulle costruzioni (2008) prescrivono per lo stato limite di

vibrazione:

“Nel caso di solai caricati regolarmente da persone, la frequenza naturale più bassa della

struttura del solaio non deve in generale essere minore di 3 Hz.”

Nel caso specifico questa limitazione è ampliamente soddisfatta in quanto il periodo proprio

di vibrazione del solaio è di 4,65 Hz.

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VERIFICA DELLE SEZIONI CON “STEEL FRAME DESIGN”

Nel software di calcolo SAP2000 è presente un algoritmo in grado di ottimizzare le sezioni

utilizzate nel rispetto di una generica normativa come ad esempio l’Eurocodice 3. Tale

funzionalità permette non solo la verifica di ogni sezione nei riguardi delle sollecitazioni (SLU)

e delle deformazioni (SLE), ma anche il cambiamento in automatico qualora una di queste non

risultasse soddisfatta.

Per quanto riguarda la verifica di resistenza il programma calcola la tensione massima agente

su ogni sezione e verifica che sia:

Dove:

è la resistenza di progetto, valutata in base ai valori di progetto della resistenza dei

materiali e ai valori nominali delle grandezze geometriche interessate;

è il valore di progetto dell’effetto delle azioni.

In particolare dalla normativa si ha:

Dove per bisogna scegliere uno dei seguenti valori:

E’ importante quindi stabilire il valore corretto di da inserire all’interno della schermata

relativa ai coefficienti di verifica. Nel caso specifico è stato scelto .

Per quanto riguarda la verifica alla deformabilità, la normativa prescrive che la deformata in

mezzeria non superi un determinato rapporto rispetto alla luce della trave. Tale valore di

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spostamento è funzione della caratteristica strutturale della trave. In particolare, vengono

definite le seguenti grandezze di spostamento:

La normativa stabilisce i seguenti limiti superiori per gli spostamenti verticali:

SAP2000 permette di eseguire una verifica delle deformazioni imponendo un limite di

deformabilità (ad esempio in mezzeria). Nel caso specifico, in accordo con quanto

espressamente richiesto dalla normativa è stato scelto come limite di deformabilità L/250,

dove L è la luce della trave.

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Nelle impostazioni della sezione “Steel Frame Design” bisogna impostare le combinazioni di

calcolo utilizzate per le verifiche alle tensioni (STRENGHT) ed alle deformazioni

(DEFLECTION).

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Prima di procedere con un’ottimizzazione razionale delle travi utilizzate per il solaio abbiamo

verificato che il nostro predimensionamento fosse corretto. Attraverso la funzione “Start

Design/Check of Structure” è possibile valutare il tasso di lavoro di ogni elemento verificando al

contempo che nessuna sezione giunga al collasso strutturale.

PROFILO L P unit Ptot PTOT PTOT (x20)

m Kg/m ton ton ton

T. PRINCIPALI HEB 180 151,1 51,2 7,7

24,5 489,07 T. SECONDARIE HEB 140 338,2 33,7 11,4

T. BORDO HEB 160 124,9 42,6 5,3

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

PES

O (

ton

)

ELEMENTI STRUTTURALI DEL SOLAIO

PESO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALIT. PRINCIPALI

T. SECONDARIE

T. BORDO

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Ste

el

P-M

In

tera

ctio

n R

ati

os

(TP

= H

EB

18

0;

TS

= H

EB

14

0;

TB

= H

EB

16

0)

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OTTIMIZZAZIONE DELLE SEZIONI CON “STEEL FRAME DESIGN”

Il SAP2000, oltre che per le semplici verifiche, può essere anche impostato per

un’ottimizzazione automatica delle sezioni. In tal caso il procedimento è iterativo e richiede

più tempo in quanto al termine di ogni analisi strutturale seguirà un controllo delle sezioni

con eventuale variazione delle stesse. Per fare ciò bisognerà innanzitutto stabilire quali

FRAME dovranno avere le stesse sezioni; essi verranno, quindi, raggruppati in gruppi di

design. In questo caso ne sono stati definiti tre: travi di bordo, travi principali ed infine travi

secondarie.

Per ogni gruppo di design, in base alle sollecitazioni e deformazioni massime, il programma

sceglierà il profilo più piccolo che soddisfa tutte le verifiche tra quelli disponibili nella lista

delle “Auto selection List” da noi precedentemente definita.

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Il procedimento è iterativo, nel senso che il programma effettua un’analisi fino a che le sezioni

scelte dall’algoritmo di ottimizzazione non sono identiche a quelle utilizzate nella precedente

analisi.

Le sezioni ottimizzate ottenute in seguito all’analisi iterativa sopra descritta sono le seguenti:

TRAVE PRINCIPALE: HE160B

TRAVE SECONDARIA: HE120B

TRAVE BORDO: HE120B

PROFILO L P unit Ptot PTOT PTOT (x20)

m Kg/m ton ton ton

T. PRINCIPALI HEB 160 151,1 42,6 6,4

18,8 376,02 T. SECONDARIE HEB 120 352,2 26,7 9,4

T. BORDO HEB 120 110,8 26,7 3,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

PES

O (

ton

)

ELEMENTI STRUTTURALI DEL SOLAIO

PESO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALIT. PRINCIPALI

T. SECONDARIE

T. BORDO

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Ste

el

P-M

In

tera

ctio

n R

ati

os

(TP

= H

EB

16

0;

TS

= H

EB

12

0;

TB

= H

EB

12

0)

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SCELTA DEI PROFILI UTILIZZATI

Nonostante l’analisi di ottimizzazione abbia confermato la possibilit{ di scegliere dei profili

più piccoli per la nostra struttura abbiamo ritenuto comunque necessario fare qualche

considerazione. I profili calcolati con le classiche formule della scienza delle costruzioni

consideravano una ripartizione dei carichi direttamente dal solaio alle travi secondarie e da

queste ultime direttamente alle principali. Il modello in SAP2000, invece, essendo composto

da SHELL di piano che univano le travi principali e secondarie considerava una ripartizione di

tipo diverso, più uniforme. In virtù del fatto che il solaio sopra le travi principali è

caratterizzato da uno spessore ridotto esso risulta più funzionale ad una continuità della

soletta che non ad una vera e propria ripartizione dei carichi. A livello pratico, inoltre, la scelta

di profili troppo piccoli per le travi principali avrebbe richiesto la necessità di unioni più

complesse in quanto l’ala della trave secondaria sarebbe stata inferiore rispetto a quella della

principale.La scelta dei profili per le travi è stata, pertanto, la seguente:

TRAVE PRINCIPALE: HE180B

TRAVE SECONDARIA: HE120B

TRAVE BORDO: HE140B

Segue il calcolo del peso del solaio tipo ed il contributo totale per l’intero edificio di 20 piani.

PROFILO L P unit Ptot PTOT PTOT (x20)

m Kg/m ton ton ton

T. PRINCIPALI HEB 180 151,1 51,2 7,7

21,0 419,50 T. SECONDARIE HEB 120 338,2 26,7 9,0

T. BORDO HEB 140 124,9 33,7 4,2

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

PES

O (

ton

)

ELEMENTI STRUTTURALI DEL SOLAIO

PESO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALIT. PRINCIPALI

T. SECONDARIE

T. BORDO

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Ste

el

P-M

In

tera

ctio

n R

ati

os

(TP

= H

EB

18

0;

TS

= H

EB

12

0;

TB

= H

EB

14

0)

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103

DIAGRAMMI DI SOLLECITAZIONE

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104

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105

SCHEMA DEI MOMENTI SULLE TRAVI

SEZIONE A-A’

SEZIONE B-B’

SEZIONE C-C’

SEZIONE D-D’

SEZIONE E-E’

SEZIONE F-F’

SEZIONE G-G’

A-A’

B-B’

C-C’

D-D’

E-E’

F-F’

G-G’

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SEZIONE A-A’

SEZIONE D-D’

SEZIONE E-E’

SEZIONE F-F’

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CONFRONTO TRA MODELLI: DIAFRAMMA DI PIANO & SHELL

Oltre al modello in cui il solaio è stato rappresentato con le shell, è stato realizzato un altro

modello in cui non si è modellato il solaio, i carichi sono stati direttamente assegnati alle travi

secondarie, e il suo ruolo meccanico è stato sostituito collegando tutti i punti dello stesso

piano tramite un diaframma.

ANALISI DEI CARICHI SULLE TRAVI SECONDARIE Si è ipotizzato che il solaio gravi solamente sulle travi secondarie, trascurando il collegamento

tra la trave principale e la soletta in cls del solaio, e i carichi sulle travi secondarie sono stati

assegnati attraverso il principio dell’area influente. Data la geometria irregolare del solaio, si è

preferito assegnare i carichi con una distribuzione trapezia, il punto A è il punto a sinistra

della trave, mentre il punto B è il punto a destra.

Si riporta l’analisi dei carichi assegnati alle travi e la pianta dell’edifico dalla quale si possono

individuare i nomi assegnati alle travi secondarie:

Travi 1D-2D

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 0 0,85 2,8 0 2,38

S. perm. non strut. 0 0,85 1,63 0 1,3855

Qk 0 0,85 2 0 1,7

Travi 2E-3E/2C-3C

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

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S. perm.strut. 0,85 1,39625 2,8 2,38 3,9095

S. perm. non strut. 0,85 1,39625 1,63 1,3855 2,2758875

Qk 0,85 1,39625 2 1,7 2,7925

Travi 3E-4E/3C-4C

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,39625 2,0619 2,8 3,9095 5,77332

S. perm. non strut. 1,39625 2,0619 1,63 2,2758875 3,360897

Qk 1,39625 2,0619 2 2,7925 4,1238

Travi 4E-5E/4C-5C

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 2,0619 1,7 2,8 5,77332 4,76

S. perm. non strut. 2,0619 1,7 1,63 3,360897 2,771

Qk 2,0619 1,7 2 4,1238 3,4

Travi 4F-5F/4B-5B

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,2119 1,7 2,8 3,39332 4,76

S. perm. non strut. 1,2119 1,7 1,63 1,975397 2,771

Qk 1,2119 1,7 2 2,4238 3,4

Travi 5B-6B

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,7 1,425 2,8 4,76 3,99

S. perm. non strut. 1,7 1,425 1,63 2,771 2,32275

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109

Qk 1,7 1,425 2 3,4 2,85

Travi 5A-6A /5G-6G (anche se diverse il carico viene uguale)

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 0,85 1,136 2,8 2,38 3,1808

S. perm. non strut. 0,85 1,136 1,63 1,3855 1,85168

Qk 0,85 1,136 2 1,7 2,272

Travi 6G-7G

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,136 1,36 2,8 3,1808 3,808

S. perm. non strut. 1,136 1,36 1,63 1,85168 2,2168

Qk 1,136 1,36 2 2,272 2,72

Travi 7G-8G

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,36 1,59 2,8 3,808 4,452

S. perm. non strut. 1,36 1,59 1,63 2,2168 2,5917

Qk 1,36 1,59 2 2,72 3,18

Travi 6A-7A 1/2

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 0,56 0,69 2,8 1,568 1,932

S. perm. non strut. 0,56 0,69 1,63 0,9128 1,1247

Qk 0,56 0,69 2 1,12 1,38

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110

Travi 6A-7A 2/2

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,265 1,36 2,8 3,542 3,808

S. perm. non strut. 1,265 1,36 1,63 2,06195 2,2168

Qk 1,265 1,36 2 2,53 2,72

Travi 7B-8B

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,425 1,7 2,8 3,99 4,76

S. perm. non strut. 1,425 1,7 1,63 2,32275 2,771

Qk 1,425 1,7 2 2,85 3,4

Travi 7A-8A

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,36 1,59 2,8 3,808 4,452

S. perm. non strut. 1,36 1,59 1,63 2,2168 2,5917

Qk 1,36 1,59 2 2,72 3,18

Travi 8A-9A /8G-9G

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,59 1,7 2,8 4,452 4,76

S. perm. non strut. 1,59 1,7 1,63 2,5917 2,771

Qk 1,59 1,7 2 3,18 3,4

Travi 9A-10A /9G-10G

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

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111

S. perm.strut. 1,7 1,28 2,8 4,76 3,584

S. perm. non strut. 1,7 1,28 1,63 2,771 2,0864

Qk 1,7 1,28 2 3,4 2,56

Travi 9B-10B /9F-10F

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,7 2,12 2,8 4,76 5,936

S. perm. non strut. 1,7 2,12 1,63 2,771 3,4556

Qk 1,7 2,12 2 3,4 4,24

Travi 10B-11B /10F-11F

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 0,43 0,43 2,8 1,204 1,204

S. perm. non strut. 0,43 0,43 1,63 0,7009 0,7009

Qk 0,43 0,43 2 0,86 0,86

Travi 10A-11A /10G-11G

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,28 1,28 2,8 3,584 3,584

S. perm. non strut. 1,28 1,28 1,63 2,0864 2,0864

Qk 1,28 1,28 2 2,56 2,56

Travi 11A-12A /11G-12G

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,28 1,48 2,8 3,584 4,144

S. perm. non strut. 1,28 1,48 1,63 2,0864 2,4124

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112

Qk 1,28 1,48 2 2,56 2,96

Travi 11B-12B /11F-12F

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,7 1,415 2,8 4,76 3,962

S. perm. non strut. 1,7 1,415 1,63 2,771 2,30645

Qk 1,7 1,415 2 3,4 2,83

Travi 11C-12C /11E-12E (al contrario 9C-10C /9E-10E)

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 2,12 1,7 2,8 5,936 4,76

S. perm. non strut. 2,12 1,7 1,63 3,4556 2,771

Qk 2,12 1,7 2 4,24 3,4

Travi 12B-13B /12F-13F /13B-14B /13F-14F /6B-7B

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,415 1,415 2,8 3,962 3,962

S. perm. non strut. 1,415 1,415 1,63 2,30645 2,30645

Qk 1,415 1,415 2 2,83 2,83

Travi 12A-13A /12G-13G

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,48 1,18 2,8 4,144 3,304

S. perm. non strut. 1,48 1,18 1,63 2,4124 1,9234

Qk 1,48 1,18 2 2,96 2,36

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113

Travi 13A-14A /13G-14G

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,18 0,565 2,8 3,304 1,582

S. perm. non strut. 1,18 0,565 1,63 1,9234 0,92095

Qk 1,18 0,565 2 2,36 1,13

Travi 14C-15C /14E-15E

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 2,265 1,05 2,8 6,342 2,94

S. perm. non strut. 2,265 1,05 1,63 3,69195 1,7115

Qk 2,265 1,05 2 4,53 2,1

Travi 15D-16D

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,05 0 2,8 2,94 0

S. perm. non strut. 1,05 0 1,63 1,7115 0

Qk 1,05 0 2 2,1 0

Travi Tutte le altre

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,7 1,7 2,8 4,76 4,76

S. perm. non strut. 1,7 1,7 1,63 2,771 2,771

Qk 1,7 1,7 2 3,4 3,4

Travi di bordo 1-2

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

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COSTRUZIONI METALLICHE

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114

S. perm.strut. 1,23557692 1,23557692 2,8 3,45961538 3,45961538

S. perm. non strut. 1,23557692 1,23557692 1,63 2,01399038 2,01399038

Qk 1,23557692 1,23557692 2 2,47115385 2,47115385

Travi di bordo 2-3

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 0,5 1,05 2,8 1,4 2,94

S. perm. non strut. 0,5 1,05 1,63 0,815 1,7115

Qk 0,5 1,05 2 1 2,1

Travi di bordo 3-4

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,05 1,71 2,8 2,94 4,788

S. perm. non strut. 1,05 1,71 1,63 1,7115 2,7873

Qk 1,05 1,71 2 2,1 3,42

Travi di bordo 4-5

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 0,5 1,35 2,8 1,4 3,78

S. perm. non strut. 0,5 1,35 1,63 0,815 2,2005

Qk 0,5 1,35 2 1 2,7

Travi di bordo 5-6 sup

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 0,5 0,78 2,8 1,4 2,184

S. perm. non strut. 0,5 0,78 1,63 0,815 1,2714

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115

Qk 0,5 0,78 2 1 1,56

Travi di bordo 6-7 sup

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 0,78 1,01 2,8 2,184 2,828

S. perm. non strut. 0,78 1,01 1,63 1,2714 1,6463

Qk 0,78 1,01 2 1,56 2,02

Travi di bordo 7-8 sup

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,01 1,24 2,8 2,828 3,472

S. perm. non strut. 1,01 1,24 1,63 1,6463 2,0212

Qk 1,01 1,24 2 2,02 2,48

Travi di bordo 5-6 inf

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 0,5 1,06 2,8 1,4 2,968

S. perm. non strut. 0,5 1,06 1,63 0,815 1,7278

Qk 0,5 1,06 2 1 2,12

Travi di bordo 6-7 inf

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,06 1,285 2,8 2,968 3,598

S. perm. non strut. 1,06 1,285 1,63 1,7278 2,09455

Qk 1,06 1,285 2 2,12 2,57

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COSTRUZIONI METALLICHE

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116

Travi di bordo 7-8 inf

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,285 1,24 2,8 3,598 3,472

S. perm. non strut. 1,285 1,24 1,63 2,09455 2,0212

Qk 1,285 1,24 2 2,57 2,48

Travi di bordo 8-9

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,24 1,35 2,8 3,472 3,78

S. perm. non strut. 1,24 1,35 1,63 2,0212 2,2005

Qk 1,24 1,35 2 2,48 2,7

Travi di bordo 9-10 / 10-11

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,35 1,35 2,8 3,78 3,78

S. perm. non strut. 1,35 1,35 1,63 2,2005 2,2005

Qk 1,35 1,35 2 2,7 2,7

Travi di bordo 11-12

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,35 1,415 2,8 3,78 3,962

S. perm. non strut. 1,35 1,415 1,63 2,2005 2,30645

Qk 1,35 1,415 2 2,7 2,83

Travi di bordo 12-13

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

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117

S. perm.strut. 1,415 1,11 2,8 3,962 3,108

S. perm. non strut. 1,415 1,11 1,63 2,30645 1,8093

Qk 1,415 1,11 2 2,83 2,22

Travi di bordo 13-14

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,11 0,5 2,8 3,108 1,4

S. perm. non strut. 1,11 0,5 1,63 1,8093 0,815

Qk 1,11 0,5 2 2,22 1

Travi di bordo 14-15

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,915 0,7 2,8 5,362 1,96

S. perm. non strut. 1,915 0,7 1,63 3,12145 1,141

Qk 1,915 0,7 2 3,83 1,4

Travi di bordo 15-16

Carico L (m) in A L (m) in B KN/mq KN/m in A KN/m in B

S. perm.strut. 1,36 1,36 2,8 3,808 3,808

S. perm. non strut. 1,36 1,36 1,63 2,2168 2,2168

Qk 1,36 1,36 2 2,72 2,72

CONFRONTI TRA I MODELLI

I due modelli presentano a livello globale un comportamento molto simile, questa similitudine

si può riscontrare osservando i risultati dell’analisi modale, mettendo in mostra le masse

partecipanti normalizzate rispetto alla massa totale.

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TABLE: Modal Participating Mass Ratios

Modo Period UX UY RZ Modello

Adimens. Sec Adimens. Adimens. Adimens.

1 3,724 0,620 0,000 0,000

carichi

travi

2 2,549 0,000 0,523 0,060

3 2,286 0,000 0,083 0,555

4 0,868 0,217 0,000 0,000

5 0,555 0,000 0,158 0,046

6 0,522 0,000 0,056 0,173

1 3,168 0,617 0,001 0,000

shell

2 2,194 0,001 0,586 0,014

3 2,030 0,001 0,024 0,602

4 0,703 0,208 0,000 0,000

5 0,466 0,000 0,207 0,000

6 0,449 0,000 0,002 0,212

Si può notare come il modello con le shell risulti costantemente un po’ più rigido, dato

dimostrato dai periodi più ridotti; ciò nonostante si può osservare come le partecipazioni di

massa siano molto simili, ed in entrambi i casi i modelli hanno il primo modo verso X, questo

dato è giustificato dal fatto che la le travi sono collegati alle colonne tramite collegamenti che

non trasmettono momento, quindi non contribuiscono alle forze orizzontali, le quali vengono

assorbite solo dai controventi, e questi sono disposti maggiormente nell’altra direzione. I

controventi sono stati disposti in tal modo per far fronte all’azione del vento, che spinger{

molto di più nella direzione Y data la maggiore superficie e l’angolo d’incidenza mediamente

più vicino all’ortogonalità.

Maggiori differenze si hanno a livello locale, nelle sollecitazioni alle travi, soprattutto le travi

secondarie, le quali nel modello in cui gli assegnamo direttamente il carico sono

maggiormente sollecitate, ed infatti il dimensionamento automatico effettuato con lo stell

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frame design gli assegna delle travi HE140 B, come il dimensionamento a mano, mentre nel

modello con le shell assegna delle HE120 B. Questo deriva dal fatto che trascurando la soletta

e la lamiera grecata si trascura la reale distribuzione del carico, il quale si distribuirà in parte

anche sulla trave principale, sulla quale la soletta è appoggiata.

Di seguito si riportano i diagrammi del taglio e del momento della trave secondaria 8C-9C

ottenuti dai due modelli:

modello con i

carichi assegnati

direttamente alle

travi secondarie

modello con le

shell

Si può osservare come nel modello in cui assegnamo i carichi alle travi secondarie si

ottengono dei diagrammi tipici di una trave appoggiata, invece nel modello con le shell si nota

come la trave lavori in maniera differente, si può notare come anche la soletta collabori

attivamente. Nel diagramma del taglio si nota che questo varia con dei gradini, questo è

causato dai punti in comune tra la mesh della shell e della trave, poiché i due elementi

strutturali interagiscono solo in corrispondenza dei punti. Inoltre osservando anche il

diagramma del momento si può constatare come la soletta, essendo collegata a taglio con la

trave secondaria, tende a formare un sistema di tira e spingi simile a quello che si realizza in

una trave reticolare tra il corrente superiore e quello inferiore, questo irrigidisce il vincolo

alla rotazione all’estremit{ della trve e fa nascere un momento negativo all’appoggio.

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Questa trave secondaria è vincolata alle colonne, questo comporta che la soletta, in prossimità

della colonna, presenti un foro, affinché la colonna possa proseguire verso i piani superiori,

questo particolare si può cogliere osservando come vari bruscamente il taglio sulla trave

secondaria in prossimit{ dell’appoggio, quando tutto il taglio portato dalla soletta passa alla

trave; l’irrigidimento all’appoggio sopra la trave, discusso precedentemente, è presente anche

se la soletta è interrotta dal foro, in quanto nel piano è collegata con continuità.

Si può notare la trave

secondaria, sulla quale è

presente una shell, e la

relativa mesh.

Inoltre è presente anche il

foro nelle shell per la presenza

delle colonne.

Per le travi principali si hanno delle considerazioni analoghe a quelle fatte per le travi

secondarie.

Si riportano i diagrammi del taglio e del momento nei due modelli per poterle commentare,

della trave principale 7E-7BORDO:

modello con i

carichi assegnati

direttamente alle

travi secondarie

modello con le

shell

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Si può osservare come nel modello in cui assegnamo i carichi alle travi secondarie si

ottengono dei diagrammi tipici di una trave appoggiata soggetta a due forze concentrate, una

delle quali è maggiore. Le forze concentrate sono le reazioni vincolari dell’appoggio della travi

secondarie, la forza maggiore è data da una trave secondaria con un’area d’influenza

maggiore. Nel modello con le shell si nota, di nuovo, come la trave lavori in maniera differente,

si può osservare, da entrambi i diagrammi, come il carico sia distribuito in maniera molto più

uniforme dando un momento che è tra un diagramma parabolico e quello che si ottiene

dall’altro modello. Inoltre il diagramma del taglio mostra come la soletta collabori

significativamente alla distribuzione del carico dalla trave secondaria alla primaria, assegna

dolo maggiormente nel lato più vicino all’appoggio. Infine, anche in questo caso, la presenza

della soletta, che è collaborante con la trave principale, ne modifica il comportamento e il

vincolo.

Nonostante queste differenze, in entrambi i modelli, il dimensionamento automatico

effettuato con lo stell frame design assegna delle travi HE180 B.

Per le colonne i due modelli danno delle sollecitazioni con lo stesso andamento, ma con

sollecitazioni inferiori del 20% nel caso del modello con le shell, questo può essere

parzialmente giustificato dal leggero aumento dei carichi assegnati alle travi con l’analisi dei

carichi. Il dimensionamento automatico con lo stell frame design effettuato sul modello in cui

abbiamo applicato i carichi direttamente alle travi assegna infatti colonne leggermente più

grandi alla base HE550 B, invece di HE500 B, mentre in altezza si tende a convergere verso le

stesse sezioni.

modello con i carichi assegnati

direttamente alle travi secondarie

modello con le shell

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CALCOLO DELLE MEMBRATURE VERTICALI

Tramite replicazione in altezza del modello di solaio, opportunamente semplificato, si è

ottenuto il modello tridimensionale dell’edificio nel software SAP2000. Dato l’elevato numero

di elementi e la complessità del modello si è ritenuto opportuno diminuire il numero di shell

che componevano la mesh di ogni piano.

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OTTIMIZZAZIONE ANALISI MODALE L’analisi modale è una metodologia di calcolo strutturale che permette di valutare la risposta

di un edificio a sollecitazioni di tipo dinamico in base alle frequenze naturali ed i modi propri

di vibrare della stessa. Per modi propri di vibrare si intendono, in tale ambito, le deformate

della struttura che mantengono invariata la forma al variare del tempo al quale risulta legata

solo l’ampiezza della deformata. Ad ogni modo di vibrare è associata una frequenza di

vibrazione ed un fattore di partecipazione di massa. In sostanza detto lo spostamento del

generico nodo si può dire:

dove indica la forma della deformata, e la sua variabilità nel tempo.

In sostanza attraverso questo metodo di analisi è possibile conoscere quali sono le frequenze

di sollecitazione ciclica alle quali la struttura risulta essere più sensibile. Dato che ogni

sollecitazione dinamica, come ad esempio quella sismica, può essere scomposta in una serie di

Fourier (ovvero una sommatoria di funzioni sinusoidali ciascuna con una frequenza ed un

peso diverso), è gioco forza verificare quanto la struttura risulti “sensibile” a tali frequenze di

sollecitazione.

In tal modo è possibile calcolare le sollecitazioni di progetto in funzione delle caratteristiche

dinamiche dell’edificio ed i valori massimi di sollecitazioni e spostamenti associati ad ogni

modo proprio di vibrare della struttura. I risultati dell’analisi modale saranno

successivamente combinati tra di loro in funzione della partecipazione di massa di ciascuno di

essi. Per questo motivo è considerato il metodo normale per la definizione delle sollecitazioni

di progetto secondo normativa.

Risulta pertanto più che necessario assicurarsi che i modi di vibrare più “importanti” della

struttura, ovvero quelli che prevedono la maggiore partecipazione di massa, abbiano un

andamento desiderato, possibilmente quanto più regolare e simmetrico possibile. Il primo

modo di vibrare, ovvero quello a cui è associata la maggiore partecipazione di massa e la

frequenza minore è anche quello che ha la probabilità di essere più indicativo per quanto

riguarda le sollecitazioni in caso di sisma.

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STRUTTURA NON OTTIMIZZATA STRUTTURA OTTIMIZZATA

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STRUTTURA NON OTTIMIZZATA

I modo di vibrare

Il primo modo di vibrare risulta essere piuttosto regolare con una traslazione della massa

dell’edificio lungo l’asse longitudinale, ovvero l’asse X.

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II modo di vibrare

Il secondo modo di vibrare, invece, risulta essere irregolare in quanto alla traslazione della

massa dell’edificio lungo l’asse trasversale (ovvero l’asse Y) si sovrappone una rotazione

intorno al baricentro di ogni piano.

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III modo di vibrare

Il terzo modo di vibrare risulta essere piuttosto regolare con una rotazione della massa

dell’edificio lungo l’asse baricentrico parallelo all’asse Z.

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STRUTTURA OTTIMIZZATA

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I modo di vibrare

Come nel caso precedente, Il primo modo di vibrare risulta essere piuttosto regolare con una

traslazione della massa dell’edificio lungo l’asse longitudinale, ovvero l’asse X.

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II modo di vibrare

Il secondo modo di vibrare, è quello che ha risentito di più dell’aggiunta di controventi

trasversali e longitudinali. Risulta adesso essere regolare con una traslazione uniforme della

massa dell’edificio lungo l’asse trasversale, ovvero l’asse Y.

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III modo di vibrare

Il terzo modo di vibrare non risulta essere mutato. Il suo andamento è completamente

regolare con una rotazione della massa dell’edificio lungo l’asse baricentrico parallelo all’asse

Z.

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PROGETTAZIONE TIPOLOGIA DI CONTROVENTI

CONFRONTO TRA DUE SISTEMI DI CONTROVENTATURA

Si è effettuato uno studio comparativo tra due disposizioni differenti di controventi nel medesimo

telaio. L’ipotesi A, generalmente più usata, prevede la disposizione di controventi sulle due campate

laterali, lasciando libera quella centrale (cfr fig. 1.a). La soluzione che si è sviluppata, ipotesi B, prevede

invece una disposizione dei controventi a “scacchiera” come indicato in figura 1.b. Questa soluzione è

nata dall’esigenza di voler innanzitutto diminuire gli spostamenti orizzontali dovuti all’azione del

vento sulla struttura, e per cercare anche di ottimizzare la ripartizione delle forze che la struttura

trasmette in fondazione. Si è svolta un’analisi utilizzando il programma SAP2000: due modellazioni

che rappresentano i due schemi di controventatura sollecitati con le medesime azioni (vento), come

indicato nelle figure 1.a e 1.b, ed aventi elementi strutturali (travi, colonne e controventi) con le

medesime sezioni.

Fig. 1.a Fig.1.b

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RISULTATI IN TERMINI DI SPOSTAMENTI

Il primo confronto di risultati è stato in termini di spostamenti orizzontali; in figura 1.c , in cui è

riportato l’output del modello dell’ipotesi A, si osserva che lo spostamento orizzontale del punto a

quota z=60 m (evidenziato) è pari a 41,84 cm. In figura 1.d, riferita all’ipotesi B, lo spostamento del

medesimo punto è pari a 6,39 cm.

Fig. 1.c Fig 1.d

Si ricordi che questa analisi non è stata effettuata sul modello 3D di tutto l’edificio ma solamente su di

un telaio tipo di quest’ultimo, per cui i valori non devono essere valutati in termini assoluti ma relativi,

uno rispetto all’altro.

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RISULTATI IN TERMINI DI SOLLECITAZIONI

Il successivo confronto si è svolto in termini di sforzi assiali negli elementi. Entrambi i sistemi sono

infatti a ritti pendolari e tutti i collegamenti sono stati realizzati assegnando dei “release” per evitare

che potessero trasferire momenti flettenti; per questo gli sforzi più significativi sono quelli assiali, e si

è calcolato come si distribuissero negli elementi dei due modelli. Nelle figure 1.e e 1.f, rispettivamente

sempre dell’ipotesi A e B, si osserva come si instaurino due schemi resistivi molto differenti l’uno

dall’altro. Nel caso A è come se ci fossero due travi reticolari collegate in parallelo, ognuna delle quali

ha un suo meccanismo resistivo: si instaura infatti un fenomeno di “tira e spingi” tra le due colonne di

destra ed un altro tra le due colonne di sinistra, per cui le colonne risultano essere alternativamente

tese e compresse. Nel caso B non si ha più un meccanismo di travi reticolari in parallelo, bensì di

un’unica trave reticolare: le due colonne di destra risultano tese, mentre le due di sinistra compresse.

Fig. 1.e Fig. 1.f

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E’ interessante inoltre vedere quali siano le reazioni alla base delle colonne, sia come componenti

orizzontali che verticali, sempre in entrambi i casi. In figura 1.g si osservano delle componenti verticali

pari a 2149 kN (214,9 t) mentre per l’ipotesi B in figura 1.h le componenti verticali hanno valori

massimi pari a 1133 kN (113,4 t). In compenso le componenti orizzontali sono meglio distribuite

(quasi equi-distribuite) nell’ipotesi A rispetto alla B.

Fig. 1.g

Fig. 1.h

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CONCLUSIONI E SCELTA PROGETTUALE

La soluzione B rende lo schema molto più rigido, caratteristica positiva in termini di spostamenti e

deformazioni, e permette una miglior distribuzione degli sforzi negli elementi strutturali. Allo stesso

tempo richiede alla fondazione reazioni, in valori assoluti, più basse rispetto alla soluzione A. E’

necessaria però l’osservazione che le colonne non risultano alternativamente una tesa ed una

compressa ma da un lato tese e dall’altro compresse, questo potrebbe portare ad una situazione più

gravosa nel caso la fondazione sia di tipo superficiale in termini di verifica al ribaltamento.

In termini economici, considerando le sezioni che sono state dimensionate e verificate, la soluzione B

prevede l’utilizzo di 55,9 t d’acciaio a fronte di 59,26 t della soluzione A, con un risparmio d’acciaio del

5,67%. Le due soluzioni prevedono lo stesso numero di collegamenti.

Si è osservato che l’eventuale scelta di soli controventi di tipo B sui diversi allineamenti sarebbe stata

incompatibile con le esigenze architettoniche e di destinazione d’uso, la scelta progettuale è stata

quindi effettuata scegliendo entrambe le tipologie sopracitate, sfruttando al meglio le loro

caratteristiche. Il modello B, inoltre, se inserito nel modello completo dell’edificio tende a richiamare

su di sé le sollecitazioni sottraendole ai controventi adiacenti di tipo classico. Si è quindi effettuata la

scelta di inserire in due allineamenti quasi all’estremit{ dell’edificio i controventi di tipo B per

irrigidire in maniera simmetrica la struttura, compatibilmente con il progetto architettonico.

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APPROFONDIMENTO SULL’UTILIZZO DEGLI OUTRIGGER

Basandosi sugli argomenti trattati nel corso, si è voluta svolgere un’ulteriore analisi comparativa sia in

termini di sforzi che di deformazioni relativa all’utilizzo di outrigger.

Il primo esempio vede l’inserimento di una chiusura a met{ dell’edificio, si ricorda che il caso di carico

è sempre il medesimo dei casi precedenti e rappresenta l’azione del vento (fig. 1.i).

Fig. 1.i Fig. 1.l Fig. 1.m

Si osserva come gli sforzi si vadano ad accumulare sui controventi centrali di chiusura, su cui

certamente andrebbe fatto una verifica ad instabilità; sulle colonne alla base si hanno sforzi normali

inferiori rispetto al modello con controventatura “classica” ma sempre maggiori rispetto a quello a

scacchiera. Lo spostamento orizzontale in cima diminuisce, è pari a 12 cm, ma è sempre superiore a

quello del modello a scacchiera.

In seguito sono riportati altri due modelli sviluppati aumentando il numero di outrigger a due e a tre, i

risultati di tutte le analisi sono raccolti in una tabella comparativa a fine capitolo.

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Fig. 1.n Fig. 1.o Fig. 1.p

Nell’immagine qui a fianco si può

osservare il meccanismo che si sviluppa

nel controvento centrale; si ricorda che i

diagrammi in blu sui frame indicano

sforzi di trazione, mentre in rosso di

compressione. L’outrigger irrigidisce la

struttura e chiama a sé gli sforzi dai

controventi circostanti (i controventi del

piano superiore ed inferiore sono

praticamente scarichi).

Si è voluto evitare l’utilizzo degli outrigger per garantire una miglior fruibilit{ dell’edificio ed una

maggior superficie utile. La scelta dello schema di controventi a scacchiera, compatibilmente

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all’ideazione di due soluzioni architettoniche per i piani dispari e quelli piani, ha permesso di garantire

una rigidezza maggiore rispetto alla soluzione con gli outrigger massimizzando la fruibilit{ dell’opera.

COMPARAZIONE IN TERMINI DI RIGIDEZZA E SPOSTAMENTI

In questo paragrafo si vogliono comparare tutti i risultati ottenuti dai diversi modelli in termini di

spostamenti orizzontali. Si è focalizzata l’analisi su di un punto in cima all’edificio alla quota di 60

metri che subisce spostamenti massimi. Nella tabella successiva viene riportato lo spostamento del

punto in esame in ognuno dei modelli sviluppati.

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LA MODELLAZIONE CON IL SAP2000 IL COEFFICIENTE Β DELLE COLONNE

Di fondamentale importanza è la scelta di un corretto coefficiente β per le colonne. Tale coefficiente è

indice, infatti, della lunghezza libera di inflessione. Il SAP2000 può valutare automaticamente questo

fattore per ogni elemento strutturale, ma è anche possibile imporlo manualmente così da ottenere un

certo margine di sicurezza.

In base a quanto reperito in letteratura abbiamo ritenuto opportuno valutare il coefficiente β delle

colonne pari ad 1.

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DIMENSIONAMENTO DI BASE CON IL SAP2000

Nel software di calcolo SAP2000 è presente un algoritmo in grado di ottimizzare le sezioni

utilizzate nel rispetto di una generica normativa come ad esempio l’Eurocodice 3. Tale

funzionalità permette non solo la verifica di ogni sezione nei riguardi delle sollecitazioni (SLU)

e delle deformazioni (SLE), ma anche il cambiamento in automatico qualora una di queste non

risultasse soddisfatta.

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Per quanto riguarda la verifica di resistenza il programma calcola la tensione massima agente

su ogni sezione e verifica che sia:

Dove:

è la resistenza di progetto, valutata in base ai valori di progetto della resistenza dei

materiali e ai valori nominali delle grandezze geometriche interessate;

è il valore di progetto dell’effetto delle azioni.

In particolare dalla normativa si ha:

Dove per bisogna scegliere uno dei seguenti valori:

E’ importante quindi stabilire il valore corretto di da inserire all’interno della schermata

relativa ai coefficienti di verifica. Nel caso specifico è stato scelto .

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145

Per quanto riguarda la verifica agli spostamenti laterali alla sommità delle colonne, la

normativa prescrive che questi ultimi, calcolati per le combinazioni caratteristiche delle

azioni, non superino una frazione dell’altezza della colonna e dell’altezza complessiva

dell’edificio da valutarsi in funzione degli effetti sugli elementi portati, della qualit{ del

comfort richiesto alla costruzione, delle eventuali implicazioni di una eccessiva deformabilità

sul valore dei carichi agenti.

Tali valori limite di spostamento sono quelli riportati nella tabella seguente.

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146

SAP2000 permette di eseguire una verifica delle deformazioni imponendo un limite di

spostamento (ad esempio in un nodo di bordo). Nel caso specifico, in accordo con quanto

espressamente richiesto dalla normativa è stato scelto come limite di spostamento accettabile

H/500 = 0,12 m, dove H = 60 m è l’altezza complessiva dell’edificio.

Nelle impostazioni della sezione “Steel Frame Design” bisogna impostare le combinazioni di

calcolo utilizzate per le verifiche alle tensioni (STRENGHT) ed alle deformazioni

(DEFLECTION).

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148

Il dimensionamento di base è stato ottenuto per mezzo della funzione “Steel Frame Design” presente

all’interno del software SAP2000 e di cui si è gi{ parlato nel capitolo riguardante il solaio. In questo

caso i gruppi di design erano scelti in base ad una ipotetica rastremazione in altezza:

Design Group Quote Lunghezza tronco

D-COLONNE-1 Da 0 a 7,5 m 7,5 m

D-COLONNE-2 Da 7,5 a 16,5 m 9 m

D-COLONNE-3 Da 16,5 a 25,5 m 9 m

D-COLONNE-4 D a 25,5 a 34,5 m 9 m

D-COLONNE-5 D a 34,5 a 43,5 m 9 m

D-COLONNE-6 Da 43,5 m 52,5 m 9 m

D-COLONNE-7 Da 52,5 a 60 m 7,5 m

D-CONTR-TRAS-1 Da 0 a 12 m 12 m

D-CONTR-TRAS-2 Da 12 a 24 m 12 m

D-CONTR-TRAS-3 Da 24 a 36 m 12 m

D-CONTR-TRAS-4 Da 36 a 48 m 12 m

D-CONTR-TRAS-5 Da 48 a 60 m 12 m

D-CONTR-LONG-1 Da 0 a 12 m 12 m

D-CONTR-LONG-2 Da 12 a 24 m 12 m

D-CONTR-LONG-3 Da 24 a 36 m 12 m

D-CONTR-LONG-4 Da 36 a 48 m 12 m

D-CONTR-LONG-5 Da 48 a 60 m 12 m

T-SCALE Uguali in altezza

T-PIANEROTTOLO Uguali in altezza

Per ogni tipologia strutturale (colonne, controventi, travi di pianerottolo, travi per le scale), quindi, è

stato creato un set di profili utilizzabili tra i quali il software doveva scegliere quello che ottimizzava il

peso della struttura.

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152

RASTREMAZIONE COLONNE

RASTREMAZIONE CONTROV. TRASV.

RASTREMAZIONE CONTROV. LONG.

Per rappresentare efficacemente la divisione tra i vari

gruppi di design utilizzati nel SAP2000 si riportano le

figure nelle quali ad ogni gruppo corrisponde un colore

diverso. In particolare si tenga conto che alle travi di

piano non è stato assegnato nessun gruppo di design,

in tal modo esse non verranno cambiate dall’algoritmo

di ottimizzazione.

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153

Alla fine del processo iterativo di ottimizzazione il software ha selezionato i seguenti profili:

TIPOLOGIA PROFILO

Profili non ottimizzabili

TRAVI PRINCIPALI HE180B

TRAVI SECONDARIE HE120B

TRAVI DI BORDO HE160B

Profili ottimizzabili

COLONNE (I) HE450B

COLONNE (II) HE400B

COLONNE (III) HE320B

COLONNE (IV) HE300B

COLONNE (V) HE300B

COLONNE (VI) HE300B

COLONNE (VII) HE300B

CONTROVENTI TRASVERSALI (I) 2UPN300/10

CONTROVENTI TRASVERSALI (II) 2UPN280/10

CONTROVENTI TRASVERSALI (III) 2UPN260/10

CONTROVENTI TRASVERSALI (IV) 2UPN200/10

CONTROVENTI TRASVERSALI (V) 2UPN140/10

CONTROVENTI LONGITUDINALI (I) 2UPN260/10

CONTROVENTI LONGITUDINALI (II) 2UPN200/10

CONTROVENTI LONGITUDINALI (III) 2UPN160/10

CONTROVENTI LONGITUDINALI (IV) 2UPN140/10

CONTROVENTI LONGITUDINALI (V) 2UPN140/10

TRAVI SCALE UPN140

TRAVI DI PIANEROTTOLO HE140B

RIEPILOGO

PESO COMPLESSIVO (MANUALE) 1373,616 ton

PESO COMPLESSIVO (SAP2000) 1365,494 ton

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154

peso numero tasso peso

di cui

(ton) (n°) (%) (%)

TRAVI BORDO

106,3867 600 29,32 7,75

TRAVI PRINCIPALI

154,7391 920 23,16 11,27

TRAVI SECONDARIE

180,5982 1660 27,51 13,15

CONTROVENTI TRASVERSALI

239,1844 1560 37,77 17,41

CONTROVENTI LONGITUDINALI 113,8286 708 51,21 8,29

COLONNE

479,277 427 36,89 34,89

ALTRO (SCALE)

99,60171 200 38,83 7,25

tot 1373,616 6075 32,91 100,00

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

1

Nu

me

ro

ELEMENTI STRUTTURALI

NUMERO ELEMENTI STRUTTURALITRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 1001 2001 3001 4001 5001 6001

Tass

o d

i lav

oro

numero elemento

CURVA DI UTILIZZO

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155

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

1

Tass

o d

i lav

oro

ELEMENTI STRUTTURALI

TASSO DI LAVORO DEGLI ELEMENTI

TRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

1

PES

O (

ton

)

ELEMENTI STRUTTURALI

PESO ELEMENTI STRUTTURALI (ton)

TRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

1

Pe

so (

%)

ELEMENTI STRUTTURALI

PESO ELEMENTI STRUTTURALI (%)

TRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

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156

OTTIMIZZAZIONE COLONNE

Il primo passo per una corretta ottimizzazione delle colonne dell’edificio è quello di valutare una

diversificazione dei profili non solo in altezza ma anche in ogni orizzontamento. E’ ovvio, infatti, che le

colonne cui sono incernierati dei controventi saranno maggiormente sollecitate delle altre.

Valutando gli sforzi assiali nelle colonne al piano terreno abbiamo suddiviso queste ultime in tre

gruppi (contrassegnati in figura da colori diversi) caratterizzati da sollecitazioni crescenti.

COLORE TENSIONI TIPO

[0 – 2000] KN A

[2000 – 3500] KN B

[> 3500] KN C

Considerando, inoltre, che gli ultimi piani sono caratterizzati da valori di sforzi assiali piuttosto bassi e

confrontabili (gli sforzi maggiori si evidenziano nei primi 25 metri di altezza) abbiamo ritenuto

sufficiente considerare solamente 4 rastremazioni in altezza.

RASTREMAZ. QUOTE LUNGHEZZA

I Da 0 a 7,5 m 7,5 m

II Da 7,5 a 16,5 m 9 m

III Da 16,5 a 25,5 m 9 m

IV D a 25,5 a 60 m 34,5 m

In sostanza abbiamo 3 sezioni-tipo variabili lungo 4 rastremazioni in altezza per un totale di 12 gruppi

di design. tutti gli altri elementi all’infuori delle colonne non verranno modificati.

NB: nella figura seguente in rosso sono rappresentati i controventi trasversali.

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CO

LO

RE

T

EN

SIO

NI

TIP

O

[0

– 2

00

0]

KN

A

[2

00

0 –

35

00

] K

N

B

[>

35

00

] K

N

C

RA

ST

RE

MA

Z.

QU

OT

E

LU

NG

HE

ZZ

A

I D

a 0

a 7

,5 m

7

,5 m

II

Da

7,5

a 1

6,5

m

9 m

III

Da

16

,5 a

25

,5 m

9

m

IV

D a

25

,5 a

60

m

34

,5 m

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158

OTTIMIZZAZIONE COLONNE

I II III IV

A HE240B HE220B HE200B HE200B

B HE400B HE300B HE260B HE240B

C HE500B HE400B HE340B HE260B

RIEPILOGO

PESO COMPLESSIVO (MANUALE) 1173,981 ton

PESO COMPLESSIVO (SAP2000) 1248,414 ton

peso numero tasso peso

di cui

(ton) (n°) (%) (%)

TRAVI BORDO

106,3867 600 31,08 9,06

TRAVI PRINCIPALI

154,7391 920 25,24 13,18

TRAVI SECONDARIE

180,5982 1660 29,60 15,38

CONTROVENTI TRASVERSALI

239,1844 1560 43,05 20,37

CONTROVENTI LONGITUDINALI 113,8286 708 55,33 9,70

COLONNE

279,6426 427 48,76 23,82

ALTRO (SCALE)

99,60171 200 24,94 8,48

tot 1173,981 6075 36,42 100,00

Si noti che nella precedente ottimizzazione il contributo in peso delle sole colonne era quasi il doppio.

In sostanza un’ottimizzazione di questo tipo ha permesso un risparmio in peso del 42% di acciaio

rispetto al dimensionamento precedente, pari a 200 tonnellate circa.

Peso iniziale colonne 480 tonnellate

Peso finale colonne 280 tonnellate

Differenza 200 tonnellate

Risparmio (%) 42 %

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0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 1001 2001 3001 4001 5001 6001

Tass

o d

i lav

oro

numero elemento

CURVA DI UTILIZZO

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

1

Tass

o d

i lav

oro

ELEMENTI STRUTTURALI

TASSO DI LAVORO DEGLI ELEMENTI

TRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

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160

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

1

Pe

so (

ton

)

ELEMENTI STRUTTURALI

PESO ELEMENTI STRUTTURALI (ton)

TRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

1

Pe

so (

%)

ELEMENTI STRUTTURALI

PESO ELEMENTI STRUTTURALI (%)

TRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

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161

OTTIMIZZAZIONE CONTROVENTI (TRAZIONE & COMPRESSIONE)

Il passo successivo per l’ottimizzazione dell’edificio è quello di considerare una diversificazione dei

profili dei controventi trasversali non solo in altezza ma anche in ogni orizzontamento. Dall’analisi nel

SAP2000 risulta infatti che alcuni controventi (quelli speciali a scacchiera) sono più sollecitati rispetto,

ad esempio, ai controventi normali o quelli in prossimità delle scale.

Valutando gli sforzi assiali nei controventi al piano terreno abbiamo suddiviso questi ultimi in tre

gruppi (contrassegnati in figura da colori diversi) caratterizzati da sollecitazioni crescenti.

COLORE TENSIONI TIPO

[< 750] KN A

[750 - 1200] KN B

[> 1200] KN C

Considerando, inoltre, che gli ultimi piani sono caratterizzati da valori di sforzi assiali piuttosto bassi e

confrontabili (gli sforzi maggiori si evidenziano nei primi 25 metri di altezza) abbiamo ritenuto

sufficiente considerare solamente 4 rastremazioni in altezza analogamente a quanto è stato fatto per le

colonne.

RASTREMAZ. QUOTE LUNGHEZZA

I Da 0 a 12 m 12 m

II Da 12 a 24 m 12 m

III Da 24 a 36 m 12 m

IV D a 36 a 60 m 24 m

In sostanza abbiamo 3 sezioni-tipo variabili lungo 4 rastremazioni in altezza per un totale di 12 gruppi

di design.

I II III IV

A 1 4 7 10

B 2 5 8 11

C 3 6 9 12

Si noti che in questo caso tutti gli altri elementi all’infuori dei controventi non appartengono a gruppi

di design, sicché non verranno modificati.

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CO

LO

RE

T

EN

SIO

NI

TIP

O

[<

75

0]

KN

A

[7

50

- 1

20

0]

KN

B

[>

12

00

] K

N

C

RA

ST

RE

MA

Z.

QU

OT

E

LU

NG

HE

ZZ

A

I D

a 0

a 1

2 m

1

2 m

II

Da

12

a 2

4 m

1

2 m

III

Da

24

a 3

6 m

1

2 m

IV

D a

36

a 6

0 m

2

4 m

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163

OTTIMIZZAZIONE

CONTROVENTI

TRASVERSALI (UPN)

I II III IV

A 2X260 2X220 2X200 2X200

B 2X220 2X220 2X200 2X200

C 2X300 2X280 2X280 2X220

RIEPILOGO

PESO COMPLESSIVO (MANUALE) 1149,233 ton

PESO COMPLESSIVO (SAP2000) 1224,204 ton

peso numero tasso peso

di cui

(ton) (n°) (%) (%)

TRAVI BORDO

106,3867 600 30,39 9,26

TRAVI PRINCIPALI

154,7391 920 23,79 13,46

TRAVI SECONDARIE

180,5982 1660 28,92 15,71

CONTROVENTI TRASVERSALI

214,4357 1560 48,99 18,66

CONTROVENTI LONGITUDINALI 113,8286 708 55,87 9,90

COLONNE

279,6426 427 49,54 24,33

ALTRO (SCALE)

99,60171 200 25,83 8,67

tot 1149,233 6075 37,60 100,00

Questa volta il risparmio in peso dovuto all’ottimizzazione dei controventi è di piccola entit{.

In sostanza un’ottimizzazione di questo tipo ha permesso un risparmio in peso del 11% di acciaio

rispetto al dimensionamento precedente, pari a 26 tonnellate circa.

Peso iniziale controventi 240 tonnellate

Peso finale controventi 214 tonnellate

Differenza 26 tonnellate

Risparmio (%) 11 %

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COSTRUZIONI METALLICHE

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164

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 1001 2001 3001 4001 5001 6001

Tass

o d

i lav

oro

numero elemento

CURVA DI UTILIZZO

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

1

Tass

o d

i lav

oro

ELEMENTI STRUTTURALI

TASSO DI LAVORO DEGLI ELEMENTI

TRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

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COSTRUZIONI METALLICHE

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165

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

1

Pe

so (

ton

)

ELEMENTI STRUTTURALI

PESO ELEMENTI STRUTTURALI (ton)

TRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

1

Pe

so (

%)

ELEMENTI STRUTTURALI

PESO ELEMENTI STRUTTURALI (%)

TRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

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OTTIMIZZAZIONE CONTROVENTI (SOLO TRAZIONE)

Fino adesso il nostro modello ha preso in considerazione il contributo di resistenza dei controventi sia

in trazione che in compressione. Più specificatamente questi elementi strutturali sono stati

dimensionati sia per prevenire il collasso dovuto al raggiungimento di una tensione di snervamento sia

per prevenire l’instabilit{ dovuta ad un carico di compressione critico. Questo è il motivo per il quale le

sezioni risultano essere particolarmente grandi: all’aumentare dell’area della sezione, infatti, aumenta

anche il carico critico di instabilità. Questo criterio di dimensionamento è stato adottato sia per le

condizioni SLE che SLU.

Quello che non è stato preso in considerazione, però, è che l’instabilit{ dei controventi deve essere

garantita solamente in condizioni di stato limite di esercizio (SLE) mentre si può supporre che in

condizioni di stato limite ultimo tale condizione possa risultare non soddisfatta. In entrambi i casi però

le sezioni non devono assolutamente raggiungere la tensione di snervamento. Le Norme Tecniche per

le costruzioni (NTC 14 gennaio 2008) prescrivono infatti:

“Le strutture con controventi concentrici devono essere progettate in modo che la plasticizzazione delle

diagonali tese preceda la rottura delle connessioni e l’instabilizzazione di travi e colonne.

Le diagonali hanno essenzialmente funzione portante nei confronti delle azioni sismiche e, a tal fine,

tranne che per i controventi a V, devono essere considerate le sole diagonali tese.”

Il procedimento seguito per ottimizzare i controventi è stato, quindi, quello di eseguire prima un

dimensionamento in condizioni di stato limite ultimo SLU e poi una verifica nelle condizioni di stato

limite di esercizio SLE. Il dimensionamento in condizioni di stato limite ultimo prendeva in

considerazione solamente i controventi che lavoravano in trazione (o meglio: i controventi compressi

venivano considerati fuori servizio) per mezzo della funzione “Tension/Compression limit” e ne

garantiva la resistenza al collasso.

Successivamente le stesse sezioni venivano verificate anche in condizioni di esercizio (dove però è

stato considerato anche il contributo dei controventi compressi) nelle quali, però, oltre a garantire la

resistenza al collasso era garantita anche l’instabilit{. Per effettuare una tale dimensionamento è stata

eseguita un’analisi non lineare che tenesse conto anche degli effetti del secondo ordine (effetto P-Δ).

Segue un diagramma di flusso per spiegare il procedimento:

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167

Le modifiche effettuate al modello SLU prevedono il funzionamento dei controventi solamente in

trazione. Ciò si può ottenere per mezzo della funzione “Tension/Compression Limits” che però richiede

un’analisi non lineare.

Per poter sfruttare questa funzione è quindi opportuno trasformare tutte le combinazioni di carico

interessate (come quelle del vento) in non lineari.

“Make Auto-Selection Null” -> fisso le sezioni in modo che non vengano cambiate

Tolta l’impostazione “T/C Limit” (ora i controventi funzionano in traz. E comp.)

Cambio le combinazioni di verifica “SFD Combos” con quelle in esercizio

E’ SODDISFATTA LA VERIFICA SLE ?

No raggiungimento fyd No instabilità

DIMENSIONAMENTO SLU

No raggiungimento fyd Solo controventi in trazione

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E’ opportuno che tutte le sezioni risultino verificate in condizioni di esercizio:

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OTTIMIZZAZIONE CONTROVENTI

TRASVERSALI (UPN)

I II III IV

A 2X220 2X200 2X200 2X200

B 2X220 2X220 2X200 2X200

C 2X220 2X220 2X220 2X200

OTTIMIZZAZIONE CONTROVENTI

LONGITUDINALI (UPN)

I II III IV V

2X22

0

2X20

0

2X16

0

2X14

0

2X14

0

RIEPILOGO

PESO COMPLESSIVO (MANUALE) 1118,55724 ton

PESO COMPLESSIVO (SAP2000) 1194,0291 ton

peso numero tasso peso

di cui

(ton) (n°) (%) (%)

TRAVI BORDO

106,386718 600 29,58 9,51

TRAVI PRINCIPALI

154,739139 920 23,19 13,83

TRAVI SECONDARIE

180,598159 1660 28,52 16,15

CONTROVENTI TRASVERSALI

191,50868 1560 56,69 17,12

CONTROVENTI LONGITUDINALI 106,080241 708 59,11 9,48

COLONNE

279,6426 427 49,84 25,00

ALTRO (SCALE)

99,6017064 200 26,32 8,90

tot 1118,55724 6075 39,71 100,00

In sostanza un’ottimizzazione di questo tipo ha permesso un risparmio in peso del 15% di acciaio

rispetto al dimensionamento iniziale, pari a 55 tonnellate circa.

Peso iniziale controventi 352 tonnellate

Peso finale controventi 297 tonnellate

Differenza 55 tonnellate

Risparmio (%) 15 %

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170

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 1001 2001 3001 4001 5001 6001

Tass

o d

i lav

oro

numero elemento

CURVA DI UTILIZZO

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

1

Tass

o d

i lav

oro

ELEMENTI STRUTTURALI

TASSO DI LAVORO DEGLI ELEMENTI

TRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

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0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

1

Pe

so (

ton

)

ELEMENTI STRUTTURALI

PESO ELEMENTI STRUTTURALI (ton)

TRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

1

Pe

so (

%)

ELEMENTI STRUTTURALI

PESO ELEMENTI STRUTTURALI (%)

TRAVI BORDO

TRAVI PRINCIPALI

TRAVI SECONDARIE

CONTROVENTI TRASVERSALI

CONTROVENTI LONGITUDINALI

COLONNE

ALTRO (SCALE)

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IL GRUPPO SCALE Il progetto delle scale è iniziato dalla loro collocazione all’interno dell’edificio. Si è preferito mettere

due scale, invece che una sola, per evitare che la presenza di un incendio vicino all’unica scala potesse

mettere a rischio una veloce e completa evacuazione dell’edificio; quindi le due scale sono state

collocate nei due lati dell’edificio.

Inoltre, la progettazione è stata attenta al contenimento della zona soggetta all’incendio, come

richiedono le norme; a tal fine ogni piano è stato diviso in più zone, tramite il posizionamento nel

corridoio di porte resistenti al fuoco, per evitare una propagazione dell’ incendio e dei fumi all’interno

del piano stesso, e tramite l’installazione di scale protette, scale a prova di fumo, per evitare che

l’incendio in un piano possa propagarsi agli altri piani usando il vano scala come condotto di

comunicazione.

Per la realizzazione di scale a prova di fumo si sono dovute realizzare in un ambiente avente accesso

da ogni piano solo tramite un filtro a prova di fumo.

Per filtro a prova di fumo si intende un vano delimitato da strutture resistenti al fuoco, dotato di due

porte munite di congegno di autochiusura e resistenti al fuoco ed un dispositivo che mantiene il vano

in sovrappressione di almeno 0,3 bar.

Successivamente si sono studiate le rampe. Per quanto riguarda la lunghezza delle rampe è buona

norma che abbiano un numero di gradini maggiore di 3 ed inferiore a 15, noi abbiamo scelto 9 gradini,

scelta fatta in base all’alzata e all’altezza interpiano , come sar{ dopo spiegato.

La larghezza totale della rampa L si è determinata seguendo le indicazioni di norma, le quali affermano

che se le scale servono più di un piano al di sopra del piano terra, la larghezza della singola scala non

deve essere inferiore a quella delle uscite di piano che si immettono nella scala, mentre la larghezza

complessiva è calcolata in relazione all’affollamento previsto in due piani contigui con riferimento a

quelli aventi maggiore affollamento.

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Nel caso di edifici contenenti luoghi di lavoro a rischio di incendio basso o medio, la larghezza

complessiva delle scale è calcolata con la seguente formula:

L(metri) = Aff./50 x 0,6

Per il nostro edificio si è stimato un affollamento massimo per ogni piano pari a 80 persone. Quindi il

massimo affollamento su due piani contigui è 160 persone

LC =(160/50) x 0,6 ≈ 2 → L = LC/2 ≈ 1,2 m

Poiché la struttura ha due scale e il risultato deve essere un multiplo di 0,6, si è assunta la larghezza

delle rampe pari a 1,2 m. In seguito si è dimensionato la pedata e l’alzata attraverso la formul:

p + 2h ≈ 63,5

Si è determinata l’alzata in funzione della scelta di mettere un pianerottolo di interpiano e quindi ogni

rampa doveva avere un’elevazione pari a H/2 = 1,5m, inoltre e stato condizionante lo spazio

disponibile, che essendo piuttosto limitato, ha condotto ad una scelta di minima lunghezza di pedata e

minimo numero di gradini, sempre nel rispetto della formula scritta precedentemente e di un’alzata

accettabile. Così è stato scelto di dotare ogni rampa di nove gradini e quindi:

a = (H/2)/9 = 16,66 cm → p =30 cm.

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Compiute queste scelte di carattere architettonico si è passati alla progettazione strutturale. Come

prima cosa sono stati scelti i materiali in modo tale da poter fare l’analisi dei carichi. Data l’altezza

dell’edificio e l’uso dei controventi per le forze orizzontali si è deciso di puntare sulla leggerezza della

struttura, optando per delle scale con struttura metallica.

Inizialmente si era partiti con l’idea di realizzarle utilizzando due profilati a C (UPN) disposti ai lati

della rampa ed internamente al profilato, saldare una lamiera in acciaio, sagomata, che unisse i due

profilati e avesse la funzione di gradino. Questa scelta è stata poi bocciata in quanto diminuiva la

larghezza delle rampe per l’inserimento del profilato stesso, non facendo più rispettare la larghezza di

1,2 m, inoltre data l’inclinazione delle rampe, circa 30°, e le dimensioni dell’alzata e pedata, per saldare

all’interno del profilato la lamiera si sarebbe dovuti ricorrere ad almeno un’UPN 160.

Quindi si è optato di inserire le travi portanti al di sotto della lamiera e farle appoggiare sopra le travi

secondarie di piano. Per avere una maggiore resistenza e un’altezza minima del profilato si è preferito

scegliere il profilato tra le HE B. Un altro vincolo progettuale è stato quello di scegliere un profilato non

troppo alto, al fine che la sua altezza fosse paragonabile a quella del solaio di piano, poiché essendo

entrambi appoggiati alla trave secondaria nel caso di altezze molto diverse si sarebbe creata una

discontinuità. Così le travi delle scale sono appoggiate alla trave secondaria di piano e dall’altra parte

su una trave di pianerottolo, la quale è a sua volta fissata sulle colonne. Per la realizzazione delle scale

si è reso necessario aggiungere tre colonne, così che ad un ogni vertice del rettangolo descritto dal

vano scale sia presente una colonna.

Il gradino viene realizzato tramite la lamiera piegata, e la superficie di calpestio viene eseguita

sovrapponendo al gradino il pavimento vinilico, lo stesso utilizzato nei vari piani. Il pianerottolo viene

realizzato attraverso l’uso di un grigliato in acciaio, con maglia 15x 76 mm e barre portanti da 2x20

mm, specificatamente realizzato per realizzare pavimentazioni adatte a sopportare carichi di folla

compatta, quindi idoneo per lo scopo prefissato.

Per continuit{ estetica con le scale e con tutta la pavimentazione dell’edificio si preferisce pavimentare

anche il pianerottolo, sempre con l’utilizzo del pavimento vinilico, e per evitare danneggiamenti di

quest’ultimo dati dalla presenza di una superficie d’appoggio non continua, si interpone tra il grigliato

e il pavimento una sottile lamiera piana.

Il pianerottolo poggia sui profilati utilizzati per la realizzazione della scala, i quali proseguono, dopo

l’appoggio sulla trave di pianerottolo, per circa 1 m, creando il supporto per il grigliato.

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L’analisi dei carichi, così come descritta, è qui riportata:

Analisi carichi delle scale L s (m) KN/m3 KN/m2 Piastra

Strutt. Non Strutt. Variabile KN/m2

Rivestimento pedate in vinilico 1,3 0,004 0,04 0,04 0,035

Rivestimento alzata in vinilico 1,3 0,004 0,04 0,02 0,019

Gradini in acciaio 1,3 0,005 78,5 0,39 0,39 0,393

Parte in verticale (alzata) 1,3 0,005 78,5 0,39 0,22 0,218

Controsoffitto 1,3 0,01 0,30 0,30 0,3

Incidenza parapetto in ferro 1,3 0,20 0,2

Totale 3,51 1,16 0,611 0,554 4

Analisi carichi Pianerottolo s (m) KN/m3 KN/m2

Strutt. Non

Strutt. Variabile

Rivestimento pedate in

vinilico 0,004

0,035

0,035

Piastra ripartitrice 0,005 78,5 0,393 0,393

Grigliato oriz. (15x76,h=20) 0,02

0,25 0,25

Controsoffitto 0,01

0,3

0,3

Totale

0,978 0,643 0,335 4

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La sollecitazioni sono state studiate tramite il programma agli elementi finiti SAP 2000 v.12.

Le travi d’appoggio, cioè la trave secondaria di piano e la trave di pianerottolo, sono state

schematizzate come travi incernierate alle colonne, questo è stato fatto tramite in comando release M3,

le travi delle scale invece sono state schematizzate come delle travi continue, costituite da due parti, la

prima costituita da un segmento rettilineo che collega la trave di piano a quella di pianerottolo, e la

seconda è un tratto di trave a sbalzo che parte dalla trave di pianerottolo e va verso l’interno

dell’edificio. Vincolare questa trave è stato più impegnativo in quanto si voleva schematizzare

l’appoggio come un vincolo capace di impedire spostamenti relativi verticali, ma tale da non evitare

piccoli spostamenti trasversali, questo perché altrimenti le scale nel modello avrebbero potuto

lavorare come controventi, assorbendo le forze orizzontali. Questo in realtà non accade in quanto la

rigidezza dei controventi è molto maggiore, e questo il modello lo percepisce, ma oltre a ciò, il reale

collegamento tra le travi delle scale e quelle su cui sono appoggiate sono collegate con un’unione

bullonata non di forza, e quindi con piccoli gioghi tali da permettere piccoli spostamenti. Così, per

tener conto di ciò nel modello, si è fatta partire la trave delle scale dalla trave secondaria di piano,

svincolando le rotazioni, e nel l’altro appoggio si è preferito inserire un braccetto rigido, alto quanto la

somma delle altezze dei profilati dimezzate, con entrambe le estremità lo svincolo alle rotazioni, così si

è modellato un pendolo, il quale impedisce alla scala di lavorare come controvento, e lo sforzo normale

è frutto solo del peso proprio.

Per modellare i gradini si è utilizzata una piastra equivalente, rettangolare, alla quale si è modificata la

rigidezza nelle due direzioni, questa è stata modificata nella direzione longitudinale in seguito a delle

prove, eseguite con il programma agli elementi finiti, in cui si è misurata la rigidezza attraverso

l’applicazione di forze e misurando gli spostamenti confrontando i risultati tra la piastra sagomata e

quella piana utilizzata nel modello. Nella direzione trasversale si è preferito analizzare una lunghezza

pari a quella di un gradino e confrontare l’inerzia delle due piastre.

Così il risultato ottenuto è che la rigidezza della piastra sagomata è il 77,5% di quella della piastra

equivalente nella direzione longitudinale e il 134,5% nella direzione trasversale.

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In questa immagine, si può notare come è stata realizzata la scala nel modello di calcolo, inoltre si

possono notare la disposizione delle colonne e la loro differenza di sezione causata dall’inserimento

del controvento.

In questa immagine si è voluto mostrare la modellazione delle travi delle scale e di pianerottolo, si può

notare il braccio rigido (di color blu) che rialza le travi delle scale rispetto quella di pianerottolo

simulando il vincolo del pendolo.

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Il pianerottolo è stato modellato semplicemente con una shell, in questo caso non si è calcolato

l’equivalenza con il pianerottolo della realt{, in quanto poco influente sulla risposta, ci si è limitati ad

assegnare i carichi distribuiti, la shell è stata realizzata con acciaio di spessore di 0,5 cm senza massa,

la quale le è stata assegnata come carico. Il dimensionamento delle sezioni è stato realizzato con lo

“STELL FRAME DESIGN” incluso nel programma di calcolo. Questo ha dato le seguenti sezioni

Travi scale HE 100B

Trave di pianerottolo HE 120B

Inoltre conferma la sezione della trave secondaria di piano che da l’appoggio alla rampa, è la sezione è

HE 120B. La trave di pianerottolo è sovradimensionata poiché le sollecitazioni sono contenute dato la

luce ridotta (L=2,9 m) e la piccola area d’influenza, il momento massimo risulta MMAX =6,7 KN m, il

taglio verticale è la sollecitazione principale ma è comunque contenuta TMAX =33,6 KN m, mentre il

taglio orizzontale è praticamente inesistente grazie al vincolo scelto; ciò nonostante si è preferito dare

questa sezione per avere maggiore

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Un particolare costruttivo importante a cui si dovr{ far attenzione è quello dell’appoggio delle travi

delle scale sulla trave secondaria di piano, sulla quale si deve appoggiare anche il solaio. In questo

punto si dovrà sagomare la lamiera grecata, e quindi il solaio, in maniera tale che in corrispondenza

dell’appoggio delle travi delle scale il solaio non appoggia, ma appoggerà in corrispondenza del

gradino.

Particolari delle scale:

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Particolare inizio rampa

Particolare del pianerottolo

Particolare arrivo rampa al piano superione

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Rampe scale con pianerottolo e dimensioni caratteristiche

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ANALISI DEI COSTI

In base alle singole ottimizzazioni effettuate sugli elementi del solaio, sugli elementi di

controventamento e sulle colonne si può stabilire una prima stima del costo finale della struttura

ottimizzata.

RIEPILOGO

PESO COMPLESSIVO EDIFICIO 1118,55 ton

peso numero tasso peso

di cui

(ton) (n°) (%) (%)

TRAVI BORDO

106,386718 600 29,58 9,51

TRAVI PRINCIPALI

154,739139 920 23,19 13,83

TRAVI SECONDARIE

180,598159 1660 28,52 16,15

CONTROVENTI TRASVERSALI

191,50868 1560 56,69 17,12

CONTROVENTI LONGITUDINALI 106,080241 708 59,11 9,48

COLONNE

279,6426 427 49,84 25,00

ALTRO (SCALE)

99,6017064 200 26,32 8,90

tot 1118,55724 6075 39,71 100,00

Analisi costi

COSTO ACCIAIO ≈ 2,50 €/Kg

Riepilogo

COSTO TOTALE 2’800’000 €

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CALCOLO DELLE FONDAZIONI

STRATIGRAFIA

La struttura è posta su di un terreno che ha le seguenti caratteristiche:

z da 0 a -20 metri → sabbia E=200 kg/cm2 g=18 kN/m3 f= 27°

sotto lo strato di sabbia è presente uno strato indefinito di ghiaia:

→ ghiaia E=2000 kg/cm2 g=18 kN/m3 f= 37°

La falda acquifera è disposta al di sotto dello strato di terreno d’interesse.

PREDIMENSIONAMENTO FONDAZIONE A causa dello strato di sabbia molto deformabile

superficiale si è scartata l’idea di una fondazione

diretta optando per una fondazione profonda

con un sistema misto solettone-pali. Si è però

voluto modellare comunque la soluzione di

un’eventuale fondazione diretta per fare una

stima dei cedimenti che ne sarebbero derivati. Ai

fini di un predimensionamento del solettone di

fondazione, sia in termini di spessore che di

larghezza e lunghezza, è stata realizzata una

verifica al ribaltamento in presenza di carichi

solo permanenti ed azione del vento nella

direzione più gravosa. Nelle tabelle che seguono

vi è il calcolo del momento ribaltante offerto dal

vento, si è implementato il problema in excel

variando le tre dimensioni del solettone per

ottimizzare il risultato. Nei paragrafi successivi

verrà riportata la scelta finale di fondazione

mista con solettone di spessore di 2m e 92 pali Ø

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800 di 23 m.

Calcolato il momento ribaltante si sono poi calcolate le forze verticali dovute al peso proprio ed ai

carichi permanenti. L’effetto stabilizzante è infatti possibile solo grazie a queste forze; da qui il

predimensionamento dello spessore del solettone, cioè del quantitativo di calcestruzzo necessario per

stabilizzare la struttura.

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Nella tabella precedente sono riportati il peso dell’edificio comprensivo di un solettone di 2 m di

spessore, sia nel caso più gravoso per la resistenza del terreno (struttura carica con combinazione

SLU) che nel caso più gravoso in termini di ribaltamento (struttura carica con soli permanenti).

Viene quindi calcolata l’eccentricit{ e data dal rapporto Momento ribaltante/Npeso proprio; essendo

questo valore superiore ad 1/6 della larghezza del solettone inizialmente ipotizzato si allarga di 1,5 m

per parte, così da ottenere il risultato espresso nella seguente tabella.

LA MODELLAZIONE CON IL SAP2000

MODELLAZIONE SOLETTONE DI FONDAZIONE Il solettone è stato modellato con elementi shell, ed è stata data particolare attenzione all’interazione

struttura-fondazione controllando sempre che ci fosse un valido collegamento dal punto di vista

computazionale tra i nodi alla base delle colonne ed i nodi delle shell, unici punti che per il programma

possono ricevere forze applicate o spostamenti obbligati. Allo stesso modo è poi stata effettuata

l’interazione solettone terreno, poiché i nodi delle shell devono necessariamente coincidere con i nodi

degli elementi solidi sottostanti per poter realizzare un collegamento valido.

In figura è riportata la disposizione delle shell, in alcuni punti non è stato sempre possibile far

coincidere il nodo di un elemento con il nodo di un altro, il nodo andava così ad affiancarsi al lato

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dell’elemento adiacente. Poiché questo è computazionalmente errato si è ovviato al problema

utilizzando il comando “automatic mesh area based on points on area edges”, questo consente di

realizzare una mesh interna automatica che il programma utilizza per la risoluzione: l’elemento sar{

suddiviso utilizzando sottoelementi triangolari che includeranno il nodo dell’elemento adiacente.

Ricorrere a questa opzione è stato necessario per rendere

poi possibile la modellazione del terreno, ma questo verrà

esposto in maniera più dettagliata nel successivo paragrafo.

MODELLAZIONE DEL TERRENO Si è modellato il terreno con elementi solid a 8 nodi, con le

caratteristiche del materiale “sabbia” o “ghiaia” per

realizzare l’intero volume di terreno interessato. Questo

avrebbe dovuto avere in pianta dimensioni 2Ax2B dove A e B sono le due dimensioni dell’area di

impronta del solettone ed una profondità sufficiente per poter osservare l’estinzione delle tensioni

indotte nel terreno. E’ però stato riscontrato un onere computazionale troppo elevato, dato dal grande

numero di elementi utilizzati. Si è quindi cercato di ottimizzare il modello:

- Diminuendo il grado di discretizzazione via via che ci si allontana dall’area d’impronta

- Diminuendo le dimensioni del volume di terreno fin quando fosse possibile

- Realizzando gli elementi solid di dimensioni sempre confrontabili ma non uguali

Il volume di terreno modellato risulta quindi avere dimensioni pari a:

l=100 m di lunghezza

b=50 m di larghezza

h=80 m di profondità

Il terreno è composto da 104000 elementi solid. L’utilizzo di soli elementi rettangolari per la

modellazione del solettone ha consentito di realizzare, attraverso un comando di estrusione,

direttamente gli elementi solid. Ciò ha permesso di ottenere elementi diversi con facce complanari, con

possibili visualizzazioni dei risultati sezionando con un piano il terreno (come è possibile vedere nelle

successive figure)

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Nelle figure sono riportate due sezioni del terreno, sul piano xz e yz.

MODELLAZIONE DEI PALI

I pali sono stati modellati attraverso elementi

monodimensionali beam, si è prestata particolare

attenzione alla loro discretizzazione poiché è stato

necessario far coincidere ogni nodo del palo con i nodi ai

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vertici degli elementi solid. Allo stesso modo il palo dovrà avere in testa un nodo in comune con gli

elementi shell del solettone. Sono stati modellati 92 pali Ø 800 di 23 m, lunghi a sufficienza per potersi

intestare nello strato di ghiaia più profondo. Il materiale utilizzato per i pali è un calcestruzzo con

Rck=25.

SOLLECITAZIONI SUL SOLETTONE

Nelle figure seguenti sono riportate le sollecitazioni flettenti espresse in kNm/m, i valori massimi si

riscontrano in prossimità della base delle colonne più sellecitate a sforzo normale, cioè quelle collegate

ad i controventi trasversali che reagiscono all’azione del vento. In particolare il sistema colonne

controventi a scacchiera, nelle tavole gli allineamenti I valori oscillano da un minimo di 220 kNm/m

ad un massimo di 2000 kNm/m, con delle punte locali alla base di alcune colonne. Nella prima figura

sono riportati i momenti M11 dovuti all’inviluppo massimo, nella seconda i momenti M22 con le

convenzioni riportate di seguito.

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M11

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M22

Tutti gli elementi shell sono orientati con l’asse locale x rivolto longitudinalmente alla fondazione e

l’asse y traversalmente.

Quindi per M11 si intendono i momenti intorno all’asse y e per M22 intorno all’asse x.

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SOLLECITAZIONI SUL TERRENO Nell’immagine seguente è possibile vedere gli stress S33 rilevati negli elementi solid, per S33 si

intendono le sz sulla faccia parallela a xy. Nelle sezioni di terreno trasversali e longitudinali è possibile

vedere il bulbo delle pressioni e dove queste si estinguono. I valori di tensioni sono espressi in kN/m2,

ed oscillano tra 0 e 540 kN/m2. I valori massimi si ottengono alla base del palo e tandono a diminuire

fino ad annullarsi allontanandosi da quest’ultimo.

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DETTAGLIO SEZIONE LONGITUDINALE

Figura 3

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EFFETTI DEL VENTO

Anche per controllare la funzionalità del modello si sono diagrammate le tensioni nel terreno dovute ai

soli carichi del vento. Nell’immagine è possibile riconoscere l’asimmetria della distribuzione delle

tensioni, spostate sulla destra. Si è infatti nella condizione di vento lungo x, che investe la struttura

nella direzione più sfavorevole. I valori delle tensioni sono molto più bassi del caso precedente perché

questa condizione di carico prevede il solo vento privo di coefficienti amplificativi di condizioni SLU o

SLE.

I valori di tensione variano in un range che ha come minimo valori di tensione nulli, ad esempio in

prossimità del piano di campagna, e come massimi valori di 100 N/mm2 sotto i pali.

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SOLLECITAZIONI SUI PALI Si sono calcolati i valori di sollecitazioni sui pali, per poter dimensionare l’armatura necessaria e per

poter effettuare una verifica su carico orizzontale limite in testa, momento flettente massimo, carico

limite del palo e controllare che non ci fossero pali che andavano in trazione.

Lo schema del palo è quello di palo incastrato in testa, questo a causa della presenza del solettone di

fondazione che realizza un vincolo di incastro in testa ad ogni palo.

Il valore di momento massimo misurato in testa è pari a 196,77 kNm.

Nella successiva figura sono diagrammati gli sforzi normali in condizioni di esercizio dovuti ai pesi

propri, la compressione massima è pari a 844 kN (84,4 t) a palo.

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CEDIMENTI E SPOSTAMENTI

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200

I COLLEGAMENTI E LE UNIONI

I sistemi di unione elementari, in quanto parti costituenti i collegamenti strutturali tra le

membrature in acciaio, devono essere accuratamente calcolati e verificati affinché soddisfino

la condizione di resistenza imposta per ognuno di essi. Inoltre è richiesto che le deformazioni

derivanti da tale distribuzione delle sollecitazioni non superino la capacità di deformazione

degli elementi di unione.

VERIFICHE SULLE UNIONI BULLONATE

Le verifiche da effettuare su una qualsiasi unione bullonata prendono in esame la resistenza

dei materiali che compongono i bulloni e le piastre di unione. Seguono le indicazioni generali

sulle verifiche da effettuarsi sulle unioni come prescritto dalla normativa NTC 2008.

Secondo quanto prescritto da tale normativa, per il calcolo della resistenza a taglio delle viti e

per il rifollamento delle piastre collegate, si adottano i fattori parziali descritti nella

seguente tabella.

Naturalmente le posizioni dei fori, che devono essere dello stesso diametro del bullone o

eventualmente maggiore di 1,5 mm se necessario, sono anch’essi regolati e limitati secondo

quanto descritto dal seguente schema:

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VERIFICA A TAGLIO DEL BULLONE

La resistenza di calcolo a taglio dei bulloni di classe 4.6, 5.6 e 8.8, per ogni piano di taglio

che interessa il gambo dell’elemento di connessione, può essere assunta pari a:

Dove:

è l’area resistente del gambo del bullone

è la resistenza a rottura del materiale di cui è composto il bullone

è il coefficiente di sicurezza per le unioni bullonate

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202

VERIFICA A TRAZIONE DEL BULLONE

La resistenza di calcolo a trazione degli elementi di connessione può essere assunta pari

a:

Dove:

è l’area resistente del gambo del bullone

è la resistenza a rottura del materiale di cui è composto il bullone

è il coefficiente di sicurezza per le unioni bullonate

VERIFICA A RIFOLLAMENTO DELLA LAMIERA

La resistenza di calcolo a rifollamento del piatto dell’unione, bullonata o chiodata, può

essere assunta pari a:

Dove:

è il diametro del gambo del bullone

è lo spessore della piastra

è la resistenza a rottura del materiale della piastra

è il diametro nominale del foro

VERIFICA A PUNZONAMENTO DELLA LAMIERA

Nelle unioni bullonate soggette a trazione è necessario verificare la piastra a punzona mento.

La resistenza a punzonamento del piatto collegato è pari a:

Dove:

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è il minimo tra il diametro del dado e il diametro medio della testa del bullone

è lo spessore del piatto

è la resistenza a rottura del materiale della piastra

VERIFICA INTERAZIONE AZIONI

La resistenza complessiva della singola unione a taglio è perciò data da min( ; ),

mentre la resistenza della singola unione a trazione è ottenuta come min( ; ). Nel

caso di presenza combinata di trazione e taglio si può adottare la formula di interazione

lineare:

con la limitazione ;

dove:

ed sono rispettivamente le sollecitazioni di taglio e di trazione;

ed sono rispettivamente le resistenze a taglio ed a trazione.

VERIFICA ROTTURA A STRAPPO DELLA LAMIERA (NON DA NORMATIVA)

VERIFICA A TRAZIONE DELLA LAMIERA (NON DA NORMATIVA)

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MODELLAZIONE DELLE UNIONI CON SAP2000

La modellazione all’interno del software di calcolo SAP2000 si è articolata prendendo in

considerazione alcuni accorgimenti. Innanzitutto per la modellazione delle piastre di acciaio, delle ali e

delle anime delle travi sono stati utilizzati elementi SHELL in quanto particolarmente sottili e quindi

schematizzabili con elementi bidimensionali. Per modellare i bulloni sono stati invece utilizzati

elementi FRAME aventi, di volta in volta, le giuste caratteristiche di sezione e rigidezza inerziale.

Per simulare il corretto funzionamento dell’interazione bullone-piastra e piastra-piastra sono state

modellate due tipologie di LINK.

Per modellare correttamente il comportamento dei bulloni all’interno dei fori sono stati utilizzati degli

elementi LINK_BULLONE funzionanti solo a compressione e disposti a raggiera ad entrambe le

estremit{ del bullone per collegare quest’ultimo ai nodi delle SHELL opportunamente disposti su di

una circonferenza. Ogni spostamento al di fuori del piano è stato completamente impedito mentre gli

spostamenti al suo interno sono stati permessi.

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Per simulare, invece, il corretto funzionamento delle piastre di acciaio sono stati utilizzati altri

elementi LINK_PIASTRA. Le piastre di acciaio, infatti, in quanto modellate per mezzo di SHELL non

possono giacere sullo stesso piano altrimenti i loro nodi risulterebbero vincolati tra di loro. Per

simulare il reale comportamento di due piastre di acciaio appoggiate che collaborano quando sono

compresse e non collaborano quando sono in trazione, ogni nodo di una è stato collegato per mezzo di

un LINK al corrispondente nodo dell’altra. Questi link funzionano solamente in compressione.

SHELL

LINK_BULLONE

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Entrambi gli elementi LINK di tipologia GAP (cioè funzionamento solamente in compressione) sono

caratterizzati da un’elevata rigidezza (Stiffness) ed un’apertura decisamente piccola (10 E-09). Tale

valore di “apertura” indica la soglia del valore di sforzo di compressione necessario a far funzionare

l’elemento.

ESEMPIO DI UNIONE A TAGLIO

Prima di procedere con la modellazione delle unioni più complesse nel SAP2000 è stato scelto di

analizzare un caso più semplice. In questo modo è stato possibile controllare che tutti i parametri che

definiscono le caratteristiche dei LINK, dei FRAME e delle SHELL fossero correttamente modellati e

che i risultati non si allontanassero troppo dalla realtà.

Come caso più semplice è stata scelta l’unione tra due piastre di acciaio (100x50 mm) per mezzo di un

bullone (D = 18 mm). La piastra inferiore risulta vincolata mentre quella superiore, svincolata, viene

sollecitata da una forza di 1 KN che viene interamente distribuita sul bullone come sforzo di taglio.

SHELL

LINK_PIASTRA

F

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La discretizzazione della mesh delle piastre si modifica in prossimità dei fori per permettere il

posizionamento dei LINK_BULLONE che mantengono centrato il bullone.

Per modellare lo scorrimento delle due lastre di acciaio sono stati, invece, utilizzati i LINK_PIASTRA.

Nella seguente immagine si vede, tratteggiato, il frame che modella il bullone

Seguono i diagrammi delle tensioni indotte sulle piastre di acciaio

Seguono i diagrammi degli spostamenti orizzontali delle due piastre di acciaio:

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Come prova della correttezza e della bontà del modello verifichiamo che il bullone sia soggetto ad un

taglio costante e pari ad 1 KN.

A causa però della presenza di un minimo offset tra le due SHELL (e pari allo spessore di una piastra),

il modello risulterà affetto da un errore tanto più trascurabile quanto più piccolo è il contributo del

momento al raggiungimento delle condizioni critiche del bullone.

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209

Infine si noti come, date le condizioni al contorno applicate al bullone, quest’ultimo si deformi

rimanendo ortogonale alla sezione della piastra.

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COLLEGAMENTO COLONNA-FONDAZIONE Il pilastro in acciaio trasmette alla fondazione le tre caratteristiche di sollecitazione : N, T, M. La

fondazione a sua volta trasmette le stesse caratteristiche al terreno (salvo un diverso valore di N che

tenga conto del peso proprio della fondazione stessa). Dal punto di vista tecnologico il collegamento

viene eseguito annegando preliminarmente nella fondazione in C.A. il cestello formato dai tirafondi e

dalle dime (piastre o profili che tengono in posizione i tirafondi stessi); successivamente il pilastro in

acciaio, con alla base già saldata la piastra forata ed irrigidita, viene calato sui tirafondi e messo a

“piombo” mediante dei dadi di registro disposti sotto la piastra. Una volta che il pilastro è posizionato

viene fissato con dei controdadi disposti sopra la piastra. La piastra viene resa solidale con la

fondazione mediante sigillatura con malta espansiva.

Per fare in modo che le tensioni agenti sull’acciaio vengano trasmesse adeguatamente al calcestruzzo

non si può far altro che allargare l’area di impronta della colonna mediante una piastra

sufficientemente rigida. La sezione di contatto piastra-plinto potrà essere verificata come una normale

sezione presso inflessa di calcestruzzo dove i tirafondi hanno la funzione delle armature. Si farà, in

questa sede, riferimento all’inviluppo delle combinazioni di carico più critiche (SLU_INVILUPPO) per il

corretto dimensionamento del collegamento. In particolare, essendo in questo caso la struttura del

tipo “a ritti pendolari” con controventi, i vincoli alla base delle singole colonne possono essere con

buona approssimazione assimilati a delle cerniere in cui sono presenti solamente sforzi di

trazione/compressione e taglio essendo i momenti flettenti di piccola entità.

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CALCOLO REAZIONI ALLA BASE

Dal modello strutturale implementato nel software di calcolo SAP2000 è possibile estrapolare

informazioni relative alle reazioni presenti alla base dell’edificio. Dall’inviluppo delle

combinazioni di carico più critiche (SLU_INVILUPPO) si ottengono le seguenti sollecitazioni

massime e minime:

REAZIONI ALLA BASE

F1 F2 F3 M1 M2 M3

KN KN KN KN-m KN-m KN-m

MAX 524,748 1007,388 6621,215 110,7415 18,5911 22,7336

MIN -520,396 -1027,485 -3110,856 -111,3474 -19,2113 -22,0752

DIMENSIONAMENTO E VERFICA DEI TIRAFONDI ALLA BASE

Per il dimensionamento della piastra di collegamento colonna-fondazione bisogna anzitutto valutare

gli sforzi alla base presenti alla base dei ogni colonna. Il numero dei tirafondi e la dimensione della

piastra di base dipendono infatti dagli sforzi di trazione, compressione e taglio. Tale combinazione di

sollecitazioni, ripartita per un numero “n” di tirafondi deve pertanto verificare la seguente

espressione:

In questo caso il procedimento di dimensionamento è stato iterativo: una volta stampato su un foglio

di calcolo le sollecitazioni presenti nei nodi alla base è stato eseguito un criterio di verifica automatico

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212

che si basava sui seguenti dati da noi imposti in step successivi fino al soddisfacimento del criterio di

verifica imposto per la maggior parte dei nodi.

PPM 39

n° 12

ATTENZIONE PER I NODI VALE:

Nu 516,1

NB: -=trazione,+= compressione

Tu 107,8

Di volta in volta, infatti, sono state eseguite le verifiche utilizzando le caratteristiche di resistenza della

seguenti classi di tirafondi:

Volendo, per semplicità, dimensionare tutte le piastre di collegamento allo stesso modo è bastato

considerare il nodo più sollecitato. Seguono le caratteristiche dimensionali della classe di tirafondi

menzionati più sopra.

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I tirafondi utilizzati sono stati evidenziati in rosso.

Dalle tabelle che seguono si può notare come solamente qualche nodo sia in condizioni critiche e

possa sostanzialmente essere ritenuto comunque valido.

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TABLE: Joint Reactions

Joint OutputCase CaseType StepType F1 F2 F3 M1 M2 M3 VERIFICA VERIFICA

Text Text Text Text KN KN KN KN-m KN-m KN-m < 1 ? < 1 ?

B01 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,346 14,555 1189,823 72,2148 2,8116 0,0025 0 0 OOOOK

B01 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,226 -10,908 602,398 -75,6868 -1,2969 -0,0027 0 0 OOOOK

B02 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,378 11,271 1191,749 74,2837 2,8761 0,0021 0 0 OOOOK

B02 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,212 -13,761 609,372 -72,9352 -1,27 -0,0026 0 0 OOOOK

B03 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,269 15,518 2034,727 70,2459 2,7212 0,000101 0 0 OOOOK

B03 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,227 -9,661 907,531 -74,8238 -1,3037 -0,0033 0 0 OOOOK

B04 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,446 10,076 2025,867 73,7774 2,9665 0,0014 0 0 OOOOK

B04 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,14 -14,832 897,905 -70,7695 -1,1893 -0,0021 0 0 OOOOK

B05 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,391 891,832 5522,305 67,6626 3,0025 0,0782 0 0 OOOOK

B05 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,267 -433,976 -2719,656 -75,7793 -1,4152 -0,2035 0,333796 0,56689 OOOOK

B06 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,834 22,214 3216,541 68,4416 2,5014 0,1731 0 0 OOOOK

B06 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,602 -412,908 -321,418 -71,0017 -1,7227 -0,0961 0,019395 0,2375 OOOOK

B07 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,858 420,738 3235,11 70,6216 2,5481 0,0986 0 0 OOOOK

B07 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,598 -19,565 -309,205 -68,6633 -1,7129 -0,1705 0,01842 0,022124 OOOOK

B08 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,496 433,11 5552,94 75,158 3,1962 0,2001 0 0 OOOOK

B08 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,23 -892,428 -2705,656 -67,865 -1,3437 -0,0819 0,331505 0,941075 OOOOK

B09 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,235 954,981 6141,781 65,1183 2,8215 0,0792 0 0 OOOOK

B09 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,344 -468,496 -2978,644 -72,8275 -1,4491 -0,1618 0,376841 0,634975 OOOOK

B10 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,079 -41,707 3452,056 66,5239 2,6988 0,1452 0 0 OOOOK

B10 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,442 -376,06 -120,066 -67,1552 -1,5332 -0,0869 0,005232 0,197787 OOOOK

B11 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,108 378,007 3485,628 67,1397 2,7998 0,0812 0 0 OOOOK

B11 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,434 38,526 -138,345 -66,7107 -1,4934 -0,1577 0,006314 0,015523 OOOOK

B12 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,256 470,907 6199,212 74,135 2,9229 0,1548 0 0 OOOOK

B12 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,347 -962,248 -2987,658 -64,6623 -1,428 -0,0838 0,378362 1,052328 NO

B13 SLU_ENVELOPE Combination Max 243,014 -0,576 2980,069 71,09 3,5536 0,437 0 0 OOOOK

B13 SLU_ENVELOPE Combination Min -58,855 -15,295 -663,026 -75,8417 -0,9561 -0,2784 0,067076 0,053528 OOOOK

B14 SLU_ENVELOPE Combination Max 4,682 333,53 2844,138 14,5075 15,1542 0,1175 0 0 OOOOK

B14 SLU_ENVELOPE Combination Min -2,904 7,652 -520,299 -16,2728 -9,1154 -0,1305 0,037089 0,037864 OOOOK

B15 SLU_ENVELOPE Combination Max 3,55 95,233 3577,536 11,3071 13,2924 0,1112 0 0 OOOOK

B15 SLU_ENVELOPE Combination Min -3,28 -419,303 -1222,359 -11,84 -9,8592 -0,1375 0,115261 0,337573 OOOOK

B16 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,405 13,702 2724,654 71,4234 2,9109 0,00031 0 0 OOOOK

B16 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,242 -13,348 1100,57 -70,2826 -1,3119 -0,00082 0 0 OOOOK

B17 SLU_ENVELOPE Combination Max 276,955 18,954 3283,531 73,3957 4,2122 0,2559 0 0 OOOOK

B17 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,653 3,542 357,711 -68,9277 -0,6407 -0,5166 0 0 OOOOK

B18 SLU_ENVELOPE Combination Max 5,61 2,567 998,032 11,6364 14,2308 0,000487 0 0 OOOOK

B18 SLU_ENVELOPE Combination Min -2,341 -3,016 343,946 -11,4861 -9,6039 -0,0011 0 0 OOOOK

B19 SLU_ENVELOPE Combination Max 5,571 2,851 1154,496 11,2936 14,3662 0,0034 0 0 OOOOK

B19 SLU_ENVELOPE Combination Min -2,186 -2,504 323,648 -11,6655 -9,228 0,0015 0 0 OOOOK

B20 SLU_ENVELOPE Combination Max 73,881 414,046 3825,098 67,0056 1,7099 0,3126 0 0 OOOOK

B20 SLU_ENVELOPE Combination Min -226,106 -108,57 -1270,616 -79,7501 -2,4138 -0,6509 0,218731 0,15775 OOOOK

B21 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,835 145,262 3969,006 74,8067 3,283 0,1705 0 0 OOOOK

B21 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,047 -396,996 -1504 -70,4384 -1,2195 -0,0425 0,151512 0,358516 OOOOK

B22 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,587 499,236 4961,155 69,8592 1,9783 0,0579 0 0 OOOOK

Page 215: Costruzioni Metalliche - Angelelli Maffei Sebastiani

Università degli Studi di Roma – La Sapienza Facoltà di Ingegneria – Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile

COSTRUZIONI METALLICHE

Giorgio Angelelli 1221018 Giandomenico Maffei 800403 Paolo Emidio Sebastiani 801405

215

TABLE: Joint Reactions

Joint OutputCase CaseType StepType F1 F2 F3 M1 M2 M3 VERIFICA VERIFICA

Text Text Text Text KN KN KN KN-m KN-m KN-m < 1 ? < 1 ?

B22 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,892 -117,767 -1248,731 -76,7504 -1,9849 -0,1414 0,118294 0,159187 OOOOK

B23 SLU_ENVELOPE Combination Max 18,515 39,496 4609,983 84,299 1,2333 0,679 0 0 OOOOK

B23 SLU_ENVELOPE Combination Min -270,938 -505,456 -677,531 -63,7845 -3,1707 -0,2084 0,176705 0,337979 OOOOK

B24 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,696 515,279 5224,049 62,9908 2,1033 0,0848 0 0 OOOOK

B24 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,677 -75,542 -1107,357 -80,903 -1,8799 -0,0775 0,100773 0,123387 OOOOK

B25 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,892 60,028 4966,539 75,3009 2,2957 0,0947 0 0 OOOOK

B25 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,573 -459,217 -805,296 -65,6146 -1,7636 -0,0697 0,065909 0,317232 OOOOK

B26 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,01 456,814 4934,241 65,8016 2,4021 0,0687 0 0 OOOOK

B26 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,507 -61,527 -819,974 -75,0453 -1,7015 -0,0991 0,067509 0,084713 OOOOK

B27 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,75 76,508 5203,23 80,9214 2,0917 0,0765 0 0 OOOOK

B27 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,629 -513,818 -1116,545 -63,0596 -1,8521 -0,0883 0,101885 0,393822 OOOOK

B28 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,013 18,468 2452,123 64,5959 2,5137 0,0044 0 0 OOOOK

B28 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,507 -11,085 1068,368 -70,3872 -1,6305 -0,0013 0 0 OOOOK

B29 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,422 12,343 3086,208 68,5029 1,739 -0,00041 0 0 OOOOK

B29 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,162 -16,751 1388,915 -65,543 -2,2925 -0,0017 0 0 OOOOK

B30 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,413 16,864 3081,717 65,4535 1,7223 0,0018 0 0 OOOOK

B30 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,172 -12,281 1389,69 -68,6509 -2,3149 0,000634 0 0 OOOOK

B31 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,983 11,13 2448,703 70,322 2,4443 0,0012 0 0 OOOOK

B31 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,514 -18,407 1069,324 -64,6401 -1,6523 -0,0043 0 0 OOOOK

B32 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,24 686,33 4900,258 65,283 2,803 0,1349 0 0 OOOOK

B32 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,475 -289,138 -2407,002 -82,8376 -1,7141 -0,1278 0,283654 0,419274 OOOOK

B33 SLU_ENVELOPE Combination Max 166,108 135,994 2549,074 55,7466 3,0801 -0,0898 0 0 OOOOK

B33 SLU_ENVELOPE Combination Min -12,188 -105,34 338,997 -58,7238 -1,8249 -0,3137 0 0 OOOOK

B34 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,426 135,669 3825,886 71,5687 1,874 0,1275 0 0 OOOOK

B34 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,266 -488,761 -1387,797 -66,878 -2,4703 -0,1287 0,136204 0,409254 OOOOK

B35 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,429 511,862 3970,536 67,3519 1,8779 0,1263 0 0 OOOOK

B35 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,252 -160,204 -1543,665 -72,2007 -2,452 -0,1279 0,156958 0,218592 OOOOK

B36 SLU_ENVELOPE Combination Max 162,191 108,131 2349,736 58,1583 3,085 0,3206 0 0 OOOOK

B36 SLU_ENVELOPE Combination Min -8,968 -138,004 518,042 -55,4898 -1,8134 0,0825 0 0 OOOOK

B37 SLU_ENVELOPE Combination Max 1,242 263,514 4726,7 81,4282 2,7894 0,1287 0 0 OOOOK

B37 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,474 -656,479 -2258,156 -64,335 -1,7222 -0,1345 0,260513 0,665275 OOOOK

B38 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,541 14,349 1771,521 59,457 1,7563 0,000849 0 0 OOOOK

B38 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,988 -9,485 668,478 -66,0255 -2,3609 -0,004 0 0 OOOOK

B39 SLU_ENVELOPE Combination Max -22,395 264,908 2335,155 56,8283 1,8507 0,4221 0 0 OOOOK

B39 SLU_ENVELOPE Combination Min -131,146 91,381 200,837 -66,4892 -2,8506 -0,0312 0 0 OOOOK

B40 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,9 119,5 3727,154 69,8106 2,062 0,1093 0 0 OOOOK

B40 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,634 -452,196 -1343,715 -66,1812 -2,1467 -0,1675 0,130412 0,376619 OOOOK

B41 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,825 416,583 3498,416 65,4623 2,0217 0,1712 0 0 OOOOK

B41 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,678 -82,51 -1109,606 -68,9314 -2,2352 -0,1084 0,101046 0,126488 OOOOK

B42 SLU_ENVELOPE Combination Max -21,81 -63,212 2588,051 66,9889 1,8838 -0,0056 0 0 OOOOK

B42 SLU_ENVELOPE Combination Min -130,517 -286,488 -57,877 -57,7392 -2,841 -0,4027 0,048939 0,135959 OOOOK

B43 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,519 9,707 1763,666 65,5519 1,7499 0,0058 0 0 OOOOK

B43 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,049 -14,216 651,947 -59,8986 -2,4189 -0,00034 0 0 OOOOK

Page 216: Costruzioni Metalliche - Angelelli Maffei Sebastiani

Università degli Studi di Roma – La Sapienza Facoltà di Ingegneria – Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile

COSTRUZIONI METALLICHE

Giorgio Angelelli 1221018 Giandomenico Maffei 800403 Paolo Emidio Sebastiani 801405

216

TABLE: Joint Reactions

Joint OutputCase CaseType StepType F1 F2 F3 M1 M2 M3 VERIFICA VERIFICA

Text Text Text Text KN KN KN KN-m KN-m KN-m < 1 ? < 1 ?

B44 SLU_ENVELOPE Combination Max 219,82 409,774 4002,132 62,1996 2,2823 0,6583 0 0 OOOOK

B44 SLU_ENVELOPE Combination Min -67,035 -107,966 -1409,456 -75,871 -1,8896 -0,2866 0,158267 0,175421 OOOOK

B45 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,109 111,3 3782,798 67,688 1,3017 0,0471 0 0 OOOOK

B45 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,789 -345,515 -1307,95 -64,656 -3,2542 -0,1435 0,125921 0,297778 OOOOK

B46 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,981 421,67 4613,86 63,4758 2,0417 0,1278 0 0 OOOOK

B46 SLU_ENVELOPE Combination Min -0,585 -59,541 -836,979 -70,2205 -2,0109 -0,0612 0,069388 0,085848 OOOOK

B47 SLU_ENVELOPE Combination Max 330,317 71,509 5073,185 80,9309 3,1243 0,3223 0 0 OOOOK

B47 SLU_ENVELOPE Combination Min -78,263 -530,929 -1124,694 -60,3924 -1,4954 -0,8179 0,12659 0,40785 OOOOK

B48 SLU_ENVELOPE Combination Max 2,244 2,331 1059,089 10,6015 9,5847 0,0022 0 0 OOOOK

B48 SLU_ENVELOPE Combination Min -6,174 -2,758 371,145 -10,5391 -15,1144 -0,00072 0 0 OOOOK

B49 SLU_ENVELOPE Combination Max 2,375 2,658 1148,935 10,2886 9,6033 -0,00059 0 0 OOOOK

B49 SLU_ENVELOPE Combination Min -5,531 -2,267 346,538 -10,7834 -14,3457 -0,0026 0 0 OOOOK

B50 SLU_ENVELOPE Combination Max 54,62 -4,354 2790,04 62,635 0,9433 0,2535 0 0 OOOOK

B50 SLU_ENVELOPE Combination Min -242,997 -18,413 -443,941 -68,4664 -3,7072 -0,4407 0,137358 0,033227 OOOOK

B51 SLU_ENVELOPE Combination Max 2,745 301,029 2644,225 12,6133 9,0699 0,1443 0 0 OOOOK

B51 SLU_ENVELOPE Combination Min -5,417 41,58 -344,922 -14,7768 -16,2631 -0,1173 0,021944 0,031489 OOOOK

B52 SLU_ENVELOPE Combination Max 3,379 79,398 3440,219 10,1138 10,149 0,1399 0 0 OOOOK

B52 SLU_ENVELOPE Combination Min -3,792 -391,747 -1159,703 -11,1207 -13,6638 -0,1146 0,107549 0,310494 OOOOK

B53 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,279 459,064 4502,589 61,4275 1,4116 0,0961 0 0 OOOOK

B53 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,513 -23,154 -692,013 -69,0807 -3,1428 -0,1017 0,053942 0,058501 OOOOK

B54 SLU_ENVELOPE Combination Max 49,97 15,341 4810,435 75,4087 0,8654 0,6528 0 0 OOOOK

B54 SLU_ENVELOPE Combination Min -330,086 -451,436 -776,578 -57,8724 -4,8676 -0,2661 0,224608 0,308456 OOOOK

B55 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,293 856,461 5584,488 56,4085 1,4196 0,1789 0 0 OOOOK

B55 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,423 -376,355 -2611,633 -65,7954 -3,1339 -0,0913 0,316338 0,509006 OOOOK

B56 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,532 33,904 3243,99 56,1509 1,6737 0,0992 0 0 OOOOK

B56 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,076 -440,379 -196,171 -58,6412 -2,7678 -0,1664 0,0101 0,247726 OOOOK

B57 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,553 445,367 3239,004 57,0225 1,6672 0,2056 0 0 OOOOK

B57 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,051 -33,439 -202,777 -56,9288 -2,8047 -0,0813 0,01055 0,018118 OOOOK

B58 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,392 380,861 5533,004 63,2024 1,5429 0,0404 0 0 OOOOK

B58 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,274 -845,706 -2632,524 -57,1264 -2,9611 -0,2879 0,3197 0,887006 OOOOK

B59 SLU_ENVELOPE Combination Max -0,015 8,031 1566,211 52,6714 1,0744 0,0082 0 0 OOOOK

B59 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,828 -5,545 696,246 -55,4102 -3,3653 -0,002 0 0 OOOOK

B60 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,266 5,358 1527,577 54,4381 1,3474 0,0209 0 0 OOOOK

B60 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,298 -8,602 681,354 -53,312 -2,8139 -0,0104 0 0 OOOOK

B61 SLU_ENVELOPE Combination Max 0,194 6,199 630,182 52,3611 1,2772 0,0016 0 0 OOOOK

B61 SLU_ENVELOPE Combination Min -1,446 -5,689 347,093 -54,0131 -3,0013 -0,0011 0 0 OOOOK

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Verifica a snervamento dei tirafondi in trazione

La barra filettata dei tirafondi è ricavata da tondi di acciaio S355(Fe510)

Risulta quindi verificata in quanto:

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DIMENSIONAMENTO E VERIFICA DELLA PIASTRA DI BASE

La piastra di base come già accennato ha la funzione di ripartire le tensione trasmesse dalla colonna su

un’area maggiore per renderle compatibili con la resistenza del calcestruzzo. Per poter svolgere il suo

compito la piastra deve essere sufficientemente rigida flessionalmente. Poiché si è scelto di adottare

una piastra irrigidita con delle costolature dal diametro uguale a quello dell’anima della colonna (14,5

mm per una HEB 500) lo schema di verifica semplificato è quello di una trave continua appoggiata a

livello degli irrigidimenti e caricata sempre dal diagramma delle tensioni sul calcestruzzo.

Tensione limite nel CLS:

Classe RCK C35/45

Area netta piastra di base

Dimensioni piastra di base: 800x620 mm (Area =496000 mm^2)

Tensione di compressione nel CLS

A-A’

B-B’

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Si verifica che sia:

PROSPETTO A-A’ PROSPETTO B-B’

Come anticipato in precedenza lo schema di verifica classico della piastra è quello di trave continua

appoggiata a livello degli irrigidimenti e caricata sempre dal diagramma delle tensioni sul calcestruzzo.

Si considera una striscia di piastra di lunghezza n=72mm e si approssima il suo comportamento a

quello di una trave su doppio appoggio. Il carico distribuito su tale trave sarà dato da:

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220

Il momento massimo in mezzeria su tale trave è pari a:

Avendo stabilito per la piastra uno spessore s di 40mm, e tenendo conto che il momento può essere

ridotto almeno del 50% per la presenza degli irrigidimenti trasversali, senza commettere apprezzabile

errore nei limiti del grado di approssimazione del problema si può scrivere:

La piastra risulta pertanto soddisfatta in quanto:

n

a

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MODELLAZIONE CON IL SAP2000

All’interno del software di calcolo SAP2000 è stata modellata anche l’unione colonna-piastra di

fondazione. Per mezzo di SHELL di un opportuno spessore sono state modellate le ali, l’anima, le

piastre di irrigidimento e la piastra di base. I bulloni, come in precedenza, sono stati modellati tramite

elementi FRAME, ed infine il collegamento tra la piastra ed il calcestruzzo di fondazione è stato

simulato tramite degli elementi LINK di cui si parlerà dettagliatamente più avanti.

Per mezzo di un’analisi non lineare è stato studiato l’effetto delle seguenti combinazioni di carico:

COMPRESSIONE 6700 KN

TRAZIONE 3200 KN

TAGLIO 1100 KN

Le suddette sollecitazioni sono state applicate ad una piastra di spessore elevato posta ad una distanza

sufficiente dalla base da non esercitare alcun effetto di bordo su quest’ultima.

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Come accennato in precedenza, per il collegamento tra la piastra di base e la superficie di calcestruzzo

della fondazione sono stati utilizzati degli elementi LINK funzionanti solamente in compressione ed

aventi una rigidezza K proporzionata alla rigidezza del CLS e calcolata nel seguente modo:

Compressione Come previsto, dalla prova di compressione i momenti di sollecitazione sono risultati essere ripartiti

nelle zone di irrigidimento. La deformata risulta essere coerente con le ipotesi fatte.

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M11 [Nmm] M22 [Nmm]

La sezione della piastra è stata verificata anche con il criterio della tensione tangenziale ottaedrica

(Von Mises) secondo la seguente formula:

SVM [N/mm^2]

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Sforzo di compression sui link

Trazione

M11 [Nmm] M22 [Nmm]

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SVM [N/mm^2]

Sforzo di trazione sui bulloni

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Taglio

M11 [Nmm] M22 [Nmm]

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SVM [N/mm^2]

Sforzo di taglio sui bulloni

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UNIONE TRAVE-TRAVE A SBALZO

MODELLAZIONE CON IL SAP2000 In figura è possibile localizzare l’unione:

Per la necessit{ architettonica di non avere una colonna all’estremit{ dell’edificio (allineamento A) si è

dovuto realizzare una trave secondaria a sbalzo in grado di supportare i carichi del solaio sovrastante

e delle due travi di bordo con relativi carichi. Per far questo è stato necessario realizzare un giunto di

continuità flangiato. Si è quindi progettato e modellato il seguente collegamento:

Vengono realizzate in stabilimento tre travi speciali, tutti profili HE180 B. Due con ognuna una

piastra saldata in testa (trave A e trave B) e la terza (trave C) con due piatti di rinforzo in

mezzeria, saldati tra le ali

Le travi hanno già i fori predisposti per l’unione che avviene per mezzo di due piastre,

superiore ed inferiore.

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La modellazione è stata effettuata con elementi shell per le travi, elementi beam per i bulloni ed

elementi gap di due tipologie per realizzare il contatto tra le piastre (elementi reagenti a sola

compressione) e tra il bullone ed il foro.

In seguito sono riportate le sollecitazioni sui diversi elementi espresse in N/mm

Piastra superiore F11

A

B

C

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Piastra inferiore F11

Ali superiori

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Ali inferiori

VERIFICA A RIFOLLAMENTO DELL’ALA DELLA TRAVE

La resistenza di calcolo a rifollamento del piatto dell’unione, bullonata o chiodata, può

essere assunta pari a:

Dove:

= 1,4 cm

= 1,4 cm

= 355 N/mm2

=1,8

Considerando il diametro del foro di 18 mm, sarebbero ?

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Sigma von mises

Taglio sui bulloni

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VERIFICA A TAGLIO DEI BULLONI

La resistenza di calcolo a taglio dei bulloni di classe 8.8, per ogni piano di taglio che

interessa il gambo dell’elemento di connessione, può essere assunta pari a:

Dove:

è pari a 115 mm2, relativo a bulloni di diametro 14 mm, è la resistenza a rottura del

materiale di cui è composto il bullone, per la classe 8.8 è 396 N/mm2, è il coefficiente di

sicurezza per le unioni bullonate ed è pari a 1,25. La verifica a taglio risulta verificata, poiché

sul singolo bullone c’è una forza di taglio pari a 6,25 kN.

Il taglio sui bulloni varia da un minimo di 5 ad un massimo di 8 kN, quindi la verifica è

superata. In termini di resistenza a taglio sarebbe stato sufficiente un numero inferiore di

bulloni, magari di sezione leggermente superiore, ma questa soluzione avrebbe portato

problemi in termini di verifica al rifollamento della piastra. Si è quindi optato per una

soluzione con più bulloni di sezione più piccola (M14) per diffondere al meglio le tensioni.

Nel successivo paragrafo saranno evidenziati i campi di spostamento delle travi.

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SPOSTAMENTI

Per calcolare gli spostamenti è stato necessario realizzare un modello che includesse

interamente gli elementi interessati, quindi la trave C è stata modellata da colonna a colonna e

la trave B dalla successiva trave secondaria fino alla trave A a sbalzo. Gli spostamenti verticali,

tutti verso il basso, variano da un massimo di 2 mm in punta allo sbalzo, a dei valori medi di

0,8 mm

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UNIONE COLONNA-COLONNA

DIMENSIONAMENTO E VERIFICA

Attraverso il programma agli elementi finiti SAP2000 è stato modellato anche il collegamento tra la

colonna di base e la colonna disposta superiormente. Le colonne, per un’ discorso di ottimizzazione,

con l’altezza si riducono di dimensione, nel nostro caso passando da una HE500 B ad una HE400 B,

inoltre per mantenere come filo fisso il lato esterno le due colonne si sovrappongono facendo

coincidere l’ala esterna. Il collegamento è stato realizzato tramite l’inserimento di una piastra saldata

al termine dei profilati, la quale deve giungere in cantiere già saldata, e nel luogo di costruzione viene

collegata con le altre colonne tramite bullonatura. Questo tipo di collegamento è abbastanza usuale ma

spesso viene realizzato con l’unione dei due profilati alla stessa piastra ed entrambi già saldati. In

letteratura viene proposto con queste caratteristiche.

Nel nostro caso questo non era possibile per motivi di trasporto, per questo motivo si è cercato di

ridurre la lunghezza massima dei profilati a 12m, inoltre si è preferito eseguire la saldatura in cantiere

data la alta importanza di questo collegamento, quindi è stato deciso di farla bullonata.

Per mezzo di SHELL di un opportuno spessore sono state modellate le ali, l’anima, le piastre di

irrigidimento e le piastre di contatto. I bulloni, come in precedenza, sono stati modellati tramite

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elementi FRAME, ed infine il collegamento tra le piastre è stato simulato tramite degli elementi LINK di

cui si è par lato dettagliatamente precedentemente.

Per mezzo di un’analisi non lineare è stato studiato l’effetto dei seguenti carichi, poi combinati tra

loro:

COMPRESSIONE -4361 KN

TRAZIONE 2200 KN

TAGLIO 15 KN

MOMENTO 35 KN

Le suddette sollecitazioni sono state applicate ad un elemento frame, collegato ad una piastra, ed

entrambi gli elementi sono stati opportunamente irrigiditi, aumentandone lo spessore e la rigidezza di

un ordine di grandezza, per la piastra, e di due ordini di grandezza per l’elemento frame; inoltre sono

stati posti ad una distanza sufficiente dal collegamento da non esercitare alcuna influenza su questo.

Il collegamento è stato realizzato l’utilizzo di 8 bulloni, disposti in due allineamenti, classe 10.9 e

diametro φ30. Si è reso necessario l’utilizzo di un irrigidimento per irrigidire il collegamento e

distribuire meglio le tensioni. L’unione è stata realizzata come si mostra nelle figure successive:

Prima di procedere alla modellazione si sono verificati i collegamenti tramite le formule di normativa

ritenute inerenti al tipo di unione.

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VERIFICA A TAGLIO DEL BULLONE La resistenza di calcolo a taglio dei bulloni di classe 10.9, per ogni piano di taglio che interessa il

gambo dell’elemento di connessione, può essere assunta pari a:

Dove:

(φ30) = 561 mm2

= 1000 MPA

= 1,25

VERIFICA A TRAZIONE DEL BULLONE La resistenza di calcolo a trazione degli elementi di connessione può essere assunta pari a:

VERIFICA A PUNZONAMENTO DELLA LAMIERA Nelle unioni bullonate soggette a trazione è necessario verificare la piastra a punzona mento. La

resistenza a punzonamento del piatto collegato è pari a:

Dove:

= 46 mm (diametro testa del bullone)

= 40 mm

VERIFICA INTERAZIONI La resistenza complessiva della singola unione a taglio è perciò data da min( ; ), mentre la

resistenza della singola unione a trazione è ottenuta come min( ; ). Nel caso di presenza

combinata di trazione e taglio si può adottare la formula di interazione lineare:

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con la limitazione ;

MODELLAZIONE CON IL SAP2000

Compressione Con questa immagine si può notare come le tensioni si ridistribuiscono con l’altezza SVM (N/mm2)

Visione degli SVM (N/mm2) dell’unione guardandola dal lato delle ali

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Sforzi di compressione nei link

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Trazione

Deformata SVM (N/mm2)

Distribuzione degli sforzo di trazione nei bulloni, con il diagramma del valore massimo.

Con la modellazione dell’unione si mette in evidenza come la reale distribuzione degli sforzi, possa

mettere in crisi alcuni elementi, per questo motivo la norma utilizza i coefficienti di sicurezza,

che in questo caso sono più che sufficienti.

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SVM (N/mm2) da altra angolazione

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ANALISI INCREMENTALE (PUSHOVER)

L’analisi di pushover o analisi di spinta è una procedura statica non lineare impiegata per determinare

il comportamento di una struttura a fronte di una determinata azione applicata. Essa consiste nello

“spingere” la struttura fino a quando questa collassa; la spinta è data applicando in modo incrementale

monotono un profilo di forze o di spostamenti prestabilito.

In sostanza l’analisi di spinta è una tecnica di soluzione incrementale-iterativa delle equazioni di

equilibrio statico della struttura in cui la forzante è rappresentata dal sistema di spostamenti o forze

applicato. L’analisi di pushover consente di definire un legame scalare forza-spostamento

caratteristico del sistema studiato, detto curva di capacità.

Le analisi sulle strutture d’interesse per l’ingegneria sono strutture a più gradi di libertà, sistemi

MDOF, in questo caso la spinta alla struttura avviene tramite l’applicazione di un profilo di forze

orizzontali i corrispondenza di ciascun piano, e che per descrivere il comportamento dell’intero

sistema in termini di legame forza-spostamento, è necessario scegliere un solo parametro di forza ed

un solo parametro di spostamento. La scelta di tali parametri non è univoca e può dar luogo a

differenti curve di capacità; solitamente come parametri si selezionano il taglio alla base e lo

spostamento del baricentro dell’ultimo piano dell’edificio, anche se, questa scelta non ha un preciso

fondamento teorico ma deriva dalle originali applicazioni di questa tecnica alle pile da ponte.

Concettualmente l’analisi dinamica viene condotta con le forze inerziali per cui l’analisi di spinta a

forze imposte sarebbe più appropriata ma, i un’analisi dinamica, perfino quando un modo è

dominante, l’andamento delle forze di piano non rimane inalterata ( ossia non variano

proporzionalmente ad un fattore costante), per cui applicare una distribuzione di forze costante non è

comunque esatte; inoltre possono sorgere delle difficoltà nel condurre analisi anelastiche stabili con

controllo in forze, poiché non sono in grado di cogliere un’eventuale comportamento di softening della

struttura, d’altra parte con un’analisi a spostamenti imposti, si vincola la deformata della struttura, per

cui si rischia di conseguire campi di forze completamente sbagliati, poiché la struttura risulterebbe

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più rigida. Per questo l’approccio più seguito è quello basato sull’applicazione della forza, anche per

motivi di maggiore semplicità.

I profili di carico intendono rappresentare la distribuzioni delle forze inerziali indotte dal sisma, che

variano al variare dell’intensit{, della durata del sisma ed in funzione delle deformazioni plastiche

dell’edificio. Si possono distinguere essenzialmente due tipi di profili di carico: quelli fissi o invarianti e

quelli adattivi.

I profili di carico fissi sono preferiti per la loro semplicità, ma nessuno di loro è in grado di tener conto

della ridistribuzione delle forze inerziali dovuta alla plasticizzazione e di seguire le variazioni delle

proprietà vibrazionali della struttura, per sopperire a tali problemi sono nati i profili adattivi.

L’uso di un profilo di carico fisso o invariante nel tempo implica l’assunzione che la distribuzione di

forze inerziali rimanga sostanzialmente costante durante l’evento sismico e che le deformazioni

massime ottenute con tale profilo siano confrontabili con quelle attese durante il terremoto. Queste

ipotesi sono ragionevoli se la risposta strutturale non è significativamente influenzata dagli effetti dei

modi superiori e se la struttura ha un unico meccanismo di snervamento. In questi casi l’uso di profili

di carico costanti conduce a stime adeguate delle richieste di deformazione.

L’impiego di profili di carico fissi determina comunque risultati approssimati e, in particolare per

strutture con periodi lunghi e con meccanismi di snervamento localizzati, può addirittura portare a

previsioni fuorvianti. Per tale motivo si raccomanda (Krawinkler, 1998; FEMA-273, 1997, FEMA-356,

2000) l’uso di almeno due profili di carico che ci si aspetta possano inviluppare la distribuzione di

forze inerziali. Quindi, si applicano dapprima i carichi verticali e poi almeno due profili di carico

laterale.

Uno dovrebbe essere un profilo di carico uniforme, ossia con forze di piano proporzionali alle masse di

piano, che esalta le richieste nei piani più bassi rispetto a quelle nei piani più alti ed accresce

l’importanza delle forze di taglio di piano rispetto ai momenti ribaltanti.

Questa distribuzione di forze è ovviamente uniforme solo se tutte le masse di piano sono uguali.

L’altro dovrebbe essere un profilo di carico uni-modale o multi-modale (che considera gli effetti dei

modi superiori).

Nella figura che segue si mostra l’influenza del profilo di carico applicato sulla curva di capacit{ e sugli

stati limite di collasso per un dato edificio. Si osserva che la curva forza-spostamento descrive la

risposta globale dell’edificio ed è funzione del punto di applicazione della risultante delle forze

applicate.

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Alla distribuzione uniforme corrisponde il punto di applicazione più basso e quindi la massima

resistenza ed i minori spostamenti allo snervamento ed allo stato limite di collasso. La risultante della

distribuzione triangolare è applicata nel punto più alto e presenta di contro la minore resistenza ed i

maggiori spostamenti allo snervamento ed allo stato limite di collasso.

La normativa italiana accetta l’analisi di pushover (analisi statica non lineare) come metodo d’analisi

della risposta strutturale alle azioni sismiche. La norma prescrive che la curva di domanda deve essere

rappresentata dalle risultanti delle forze d’inerzia, taglio alle base, e lo spostamento del centro di

massa del piano più elevato, escludendo eventuali torrini.

Inoltre, per l’applicazione della forza, obbliga l’utilizzo di almeno due distribuzioni di forze d’inerzia,

una distribuzione principale ed una secondaria:

Gruppo 1 - Distribuzioni principali:

- distribuzione proporzionale alle forze statiche di cui al § 7.3.3.2, applicabile solo se il modo di

vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al

75% ed a condizione di utilizzare come seconda distribuzione la 2 a);

- distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni proporzionale alla forma del

modo di vibrare, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata

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ha una partecipazione di massa non inferiore al 75%;

- distribuzione corrispondente alla distribuzione dei tagli di piano calcolati in un’analisi dinamica

lineare, applicabile solo se il periodo fondamentale della struttura è superiore a TC.

Gruppo 2 - Distribuzioni secondarie:

a) distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una distribuzione uniforme di

accelerazioni lungo l’altezza della costruzione;

b) distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento del punto di controllo in

funzione della plasticizzazione della struttura.

Nel nostro caso si sono scelte le seguenti distribuzioni:

distribuzione principali: distribuzione proporzionale ai tagli di piano calcolati con l’analisi

dinamica lineare, applicabile in quanto nella nostra struttura il periodo fondamentale della

struttura è maggiore a TC.

distribuzione secondaria: distribuzione uniforme di forze, da intendersi come distribuzione

uniforme delle accelerazioni lungo l’altezza, data una distribuzione costante delle masse tra i

vari piani.

INTRODUZIONE Per eseguire l’analisi si è dovuto inserire una non linearit{ di materiale, legame elastico-rigido

perfetto, che comporta la definizione di cerniere plastiche. Il SAP prevede numerose tipologie di

cerniere plasiche, che si definiscono per ogni grado di libertà, ma tutte a plasticità concentrata. Questo

comporta che tutte le deformazioni plastiche avvengono in un unico punto, per questo è necessario

definire una lunghezza di cerniera plastica, nella quale si integra per avere le grandezze di

spostamento.

L’analisi di pushover, data la sua difficolt{ e onere computazionale, si preferisce semplificarla il più

possibile, e qualora non si possa evitare, complicarla ogni volta che l’analisi precedente si rivela poco

affidabile per la carenza di qualche particolare, che quindi verrà aggiunto.

Un problema matematico delle analisi statiche non lineari e che queste non sempre garantiscono un

soluzione univoca. La mancanza delle forze d’inerzia, presente nelle analisi dinamiche e nella realtà

limita le possibili soluzioni; questo è particolarmente vero nei casi in cui la non linearità è geometrica

o del materiale. Nel nostro caso si risente di questo problema avendo definito delle cerniere plastiche,

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le quali raggiunta la loro resistenza massima, devono essere scaricate, e il programma deve

ridistribuire il carico tolto dalla cerniera al resto della struttura.

Per risolvere questo problema il SAP fornisce tre metodi:

1. UNLOAD ENTIRE STRUCTURE: quando una cerniera raggiunge il suo limite, il programma

allora smette di incrementare il carico e scarica tutta la struttura, a questo punto ricaricherà di

nuovo tutta la struttura in maniera tale che il carico dell’elemento collassato sar{ ridistribuito

al resto della struttura. Questo metodo è il più robusto e deve essere il primo ad essere

utilizzato, ciò nonostante può avere problemi se lo scarico comporta una significativa

riduzione del carico applicato alla struttura.

2. Apply Local Redistribuition: questo metodo è molto simile al metodo precedente , ma a

differenza di quello, quando una cerniera raggiunge il suo limite il programma scarica solo

quella cerniera cercado di ridistribuire il carico tolto agli elementi strutturali vicini, questo è

stato fatto per imitare il lavoro delle forze di inerzia che vanno a caricare gli elementi più

vicini. Questo metodo è migliore rispetto al metodo preedente, me richiede un maggior onere

computazionale, necessitando un numero maggiore di steps ed avendo molti steps nulli, di

solito richiede che il limite degli steps nulli sia settato dal 40% al 70% degli steps totali. Il

limite di questo metodo è se nello stesso elemento ci sono più cerniere plastiche, e solo una

raggiunge il limite, allora il programma non riesce più a procedere in quanto incapace di capire

se devee continuare a caricare o no l’elemento.

3. RESTART USING SECANT STIFFNESS: questo metodo, invece, quando una cerniera raggiunge

il ramo plastico, l’analisi si interrompe, la cerniera viene riformulata con una rigidezza secante

e l’analisi riparte con questa differenza. Questo metodo ha più senso se si usa nel caso di

forzanti cicliche, inoltre è il metodo più complicato dei tre e richiede un numero di steps che

cresce molto velocemente con l’aumentare dello spostamento imposto, ciò nonostante è anche

il più robusto se la forza di gravità non è molto influente rispetto le forze orizzontali.

Il carico è stato applicato in controllo di spostamento, avendo fissato uno spostamento di

riferimento. Però la struttura prima di essere sottoposta al profilo di forze orizzontali, viene

sottoposta ad un carico gravitazionale che stressa la struttura in maniera tale da simulare lo stato

tensionale della struttura sottoposta ai carichi gravitazionali quando viene colpita delle forze

orizzontali.

Questo è stato realizzando applicando delle forze concentrate ai nodi e dei carichi distribuiti alle

travi di piano al fine di avere nelle colonne uno sforzo normale analogo a quella che si è ottenuto,

per quelle stesse colonne, dall’analisi del modello dell’edificio sottoposto solo ai carichi verticali.

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Questa condizione viene realizzata nel SAP caricando il modello con un carico definito nel load

pattern, modificato nel load case in un carico non lineare, quindi selezionare il carico incrementale

ed imporgli di non partire dalla struttura scarica ma dalla struttura già presollecitata dal carico

verticale.

Come detto precedentemente, si preferisce iniziare l’analisi dal caso più semplice: controllando il

comportamento della struttura analizzando soltanto la plasticità nei controventi.

In questo caso, siccome l’analisi vuole studiare la struttura fino a rottura, quindi in condizioni di SLU,

allora si ipotizza che i controventi compressi vadano in instabilità e quindi si trascura il loro

contributo. Questo è stato fatto, semplicemente, cancellando i controventi che avrebbero lavorato

compressione.

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DEFINIZIONE CERNIERE PLASTICHE A SFORZO NORMALE

Le cerniere plastiche a sforzo normale sono state definite attraverso i seguenti passaggi:

Define

Section Properties

Hinge Properties

Add New Property…

Frame Hinge Properties Data: definire la cerniera plastica a solo sforzo normale ed in funzione

della deformazione (duttilità)

Modify/Show Hinge Property…:

Definire il legame costitutivo, nel nostro caso si è assunto rigido plastico simmetrico. I valori

Strain/SF rappresentano il rapporto tra la deformazione attuale e la deformazione a

snervamento, avendo utilizzato un acciaio S355 si ha che εSY sia pari a 0,1609 %, mentre per

convenzione la deformazione ultima εU si assume pari al 5%, quindi il rapporto tra questi due

valori è 31. Inoltre, affianco, bisogna specificare se il legame definito è tra forza e spostamento

o tra tensione e deformazione, nel nostro caso si è definito tra tensione e deformazione, avendo

il vantaggio che si definisce una sola cerniera plastica e la si può applicare a tutti gli elementi,

anche se hanno sezioni diverse, purchè siano tutti dello tesso materiale.

Inoltre, poiché nel programma di calcolo le cerniere sono concentrate, bisogna definire una

lunghezza di integrazione, questa nel caso delle cerniere a sforzo normale viene definita pari

alla lunghezza totale dell’elemento, in quanto lo sforzo di normale è costante lungo tutto

l’elemento.

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Definite le cerniere plastiche si devono selezionare gli elementi a cui si vuole assegnarle, ed

assegnarle attraverso il comando:

1. Define

2. Frame

3. Hinge

Le cerniere plastiche così definite sono applicabili a tutti gli elementi, che si vogliono studiare a sforzo

normale, quindi si possono applicare sia ai controventi ma anche alle colonne.

DEFINIZIONE CERNIERE PLASTICHE A PRESSOFLESSIONE

Per la definizione delle cerniere plastiche a pressoflessione si è dovuto calcolare, per prima cosa, il

dominio di interazione tra il momento e lo sforzo normale.

Il dominio di resistenza èdefinito come l'insieme delle coppie di punti (N,M) che comportano

il collasso della sezione.

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Con riferimento alla figura è possibile esprimere lo sforzo normale N ed il momento flettente M in

funzione della distanza d dell'asse neutro dall'asse baricentrico x.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 500 1000 1500 2000

N

M

DOMINIO M-N (HE500 B)

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Utilizzando le formule precedenti si ottengono dei grafici simmetrici rispetto agli assi con questo

andamento, per esempio si mostra la curva di dominio di profilato HE 500B. Si può osservare che il

grafico ha un comportamento quasi lineare, tranne che per valori di sforzo normale molto bassi. Per

questo si è preferito approssimarlo con una funzione lineare.

Infine il programma necessità anche il rapporto tra la curvatura attuale rispetto la curvatura che

provoca lo snervamento, questo è stata calcolata come , sostituendo alla deformazione ε la

deformazione di snervamento e ultima dell’acciaio, e come h l’altezza della sezione. Quando è applicato

uno sforzo normale N, la curvatura ne risente, in quanto, alle deformazioni di snervamento e ultime gli

viene sottratto la deformazione causata dallo sforzo normale, nel caso in cui si ha lo sforzo normale

massimo, la sezione non è più in grado di far fronte ad un momento e quindi anche la curvatura sarà

nulla, sia quella di snervamento sia quella ultima.

Nel nostro caso si è approssimata la curvatura di dominio M-N con una retta, prendendo come

riferimento i punti di massimo momento M e di massimo sforzo normale N, quindi anche i rapporti tra

le curvature sono stati forniti solo per questi due punti. Questo è possibile in quanto il programma, per

valori intermedi, di sforzo normale e di momento, rispetto a quelli assegnati andrà ad interpolare i dati

da noi assegnati, come spiega il manuale del SAP:

Applicando le formule descritte si sono ottenuti i seguenti risultati per le varie sezioni delle colonne:

Sezioni N M Χy χU Χu/Χy

HE 500B

0 1582,089 6,44E-06 0,0002 31,05634

7856,657 0 0 0 1

HE 400B

0 1056,675 8,05E-06 0,00025 31,05634

6475,2 0 0 0 1

HE 340B

0 784,0266 9,47E-06 0,000294 31,05634

5566,4 0 0 0 1

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Sezioni N M Χy χU Χu/Χy

HE 300B

0 605,3497 1,07E-05 0,000333 31,05634

4828,676 0 0 0 1

HE 260B

0 415,836 1,24E-05 0,000385 31,05634

3837,381 0 0 0 1

HE 240B

0 343,4811 1,34E-05 0,000417 31,05634

3455,333 0 0 0 1

Per definire una cerniera plastica a pressoflessione bisogna seguire i seguenti passaggi:

Define

Section Properties

Hinge Properties

Add New Property…

Frame Hinge Properties Data: definire la cerniera plastica per sforzo normale e momento, in

funzione della deformazione (duttilità)

Modify/Show Hinge Property…:

Bisogna definire il tipo di cerniera plastica, nel nostro casi si è studiata quella momento-

curvatura, definendo una lunghezza di plasticizzazione assoluta pari all’altezza della sezione.

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Per tener conto del diverso contributo alla rotazione dato dalla cerniera plastica alla base, a

causa di una ridotta lunghezza di plasticizzazione, si avrebbe dovuto assegnare ad ogni

cerniera una lunghezza pari a met{ altezza della sezione e posizionare la cerniera all’inizio ed

alla fine di ogni frame, ma quest’operazione ha dato dei problemi di convergenza. Così si è

preferito assegnare ad ogni frame una sola cerniera, posizionata all’inizio del frame, con una

lunghezza di plasticizzazione pari all’altezza ella sezione, ed alla base, disporre cerniere con

una lunghezza dimezzata.

Porre il ceck all’opzione Moment Curvature Dependence is Symmetric, in quanto, come detto

precedentemente il dominio di interazione è simmetrico rispetto agli assi.

Bisogna definire per quanti valori di sforzo normale si sono forniti i dati necessari, nel nostro

caso sono soltanto 2: il valore massimo e quando è nullo.

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Bisogna definire la curva di interazione momento-sforzo normale, questa può essere definita

come suggerita da varie norme tecniche o definita dall’utente

Nel nostro caso si è preferita definirla personalmente:

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In questa schermata il programma richiede la curva di interazione M-N esprimibile come

rappresentazione di spezzate che hanno come vertice i vari valori calcolati, per l’asse positivo

del momento, in quanto questo basta per la simmetria. Nel nostro caso sono sufficienti 3 punti.

Inoltre il programma richiede i valori di interazioni e questi possono essere espressi

normalizzati rispetto al valore massimo del momento e dello sforzo normale, rispettivamente, i

quali vengono immessi negli spazi sulla sinistra.

Infine il programma richiede il legame tra il momento e la curvatura, al variare dello sforzo

normale, questo viene indicato in alto dove il programma richiede rispetto a quale sforzo

normale, tra quelli inseriti precedentemente, si stanno inserendo gli ulteriori dati. Anche in

questo caso il legame scelto è rigido plastico, e Curvature/SF indica il rapporto tra la curvatura

attuale rispetto la curvatura di snervamento, e questo rapporto è stato calcolato

precedentemente a mano, i valori intermedi sono solo di controllo.

Le Acceptance Criteria sono solo dei valori di controllo dello stato di deformazione, mentre i dati sulla

parte destra servono solo a visualizzare il legame impostato i diverse visuali.

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RISULTATI DELL’ANALISI DI PUSHOVER SUL TELAIO “SPECIAL”

Si è iniziata l’analisi considerando solamente le cerniere plastiche a sforzo normale dei controventi.

La curva di capacità per il profilo di carico costante è la seguente:

Da questa curva si possono mettere in evidenza le seguenti grandezze:

F (KN) δ (m)

Snervamento 2840 0,65

Valore ultimo 4345 3,86

Da questi valori si possono ricavare dei parametri descrittivi della struttura quali α e q

Di seguito sono disposti le immagini di come la plasticiz- zazione della struttura si sviluppi all

aumentare delle forze laterali

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La curva di capacit{ per il profilo di carico variabile con l’altezza è il seguente:

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Da questa curva si possono mettere in evidenza le seguenti grandezze:

F (KN) δ (m)

Snervamento 2050 0,904

Valore ultimo 4340 3,86

Da questi valori si possono ricavare dei parametri descrittivi della struttura quali α e q

Facendo un confronto fra i risultati dati dal telaio sottoposto ai due differenti profili di carico si può

osservare che sostanzialmente al collasso la struttura reagisce con la stessa forza e con lo stesso

spostamento, le differenze fra i due profili si possono riscontrare nell’entrata in campo plastico, con il

profilo costante la struttura si dimostra più rigida, plasticizzando per uno spostamento inferiore ma

con una forza superiore. Guardando le sollecitazioni, lo sforzo normale, in entrambe le condizioni di

carico, si può osservare che le colonne alla base sono sottoposte a compressioni di almeno 16000 KN,

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ed a trazioni di 1200 KN. Per questo motivo si è ritenuto opportuno ripetere l’analisi con l’aggiunta

delle cerniere plastiche anche alle colonne.

Quindi si sono inserite le cerniere plastiche a sforzo normale anche alle colonne, queste sono state

definite come quelle nei controventi, ed anche queste inserite al centro di ogni elemento. La curva di

capacità per il profilo di carico costante è la seguente:

Da questa curva si possono mettere in evidenza le seguenti grandezze:

F (KN) δ (m)

Snervamento 2180 0,58

Valore ultimo 3047 1,96

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Da questi valori si possono ricavare dei parametri descrittivi della struttura quali α e q

La curva di capacit{ per il profilo di carico variabile con l’altezza , con le cerniere a sforzo normale sia

ai controventi che alle colonne, è il seguente:

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Da questa curva si possono mettere in evidenza le seguenti grandezze:

F (KN) δ (m)

Snervamento 1415 0,63

Valore ultimo 1912 1,99

Da questi valori si possono ricavare dei parametri descrittivi della struttura quali α e q

Facendo un confronto fra i risultati dati dal telaio sottoposto ai due differenti profili di carico si può

osservare che sostanzialmente al collasso la struttura reagisce, in questo caso, solo con lo stesso

spostamento e non più la stessa forza, la quale è sempre superiore per il profilo di carico costante, a

conferma dell’osservazione, effettuata nella precedente analisi di pushover, di una rigidezza maggiore.

Ciò nonostante, gli indici sintetici di risposta strutturale, quali α e q, hanno valori più simili tra le due

analisi, e più vicini ai valori suggeriti nella letteratura.

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Anche in questo caso si sono andate ad osservare le sollecitazioni trascurate nell’applicazione delle

cerniere plastiche, al fine di assicurarsi che il modello non trascuri fenomeni importanti. Infatti,

osservando il taglio, si può constatare che questo ha valori piuttosto bassi e che considerarlo

nell’analisi comporterebbe solo un onere computazionale; invece, i valori del momento sono piuttosto

elevati, soprattutto ai piani più bassi, con una tendenza del valore massimo a spostarsi verso i piani più

alti all’avanzare dell’analisi, ed anche se questi sono sempre sostenibili dalle sezioni in un’analisi di

flessione semplice, potrebbero mettere in seria difficoltà la sezione in una condizione di

pressoflessione, che per le colonne è la condizione reale. Il grafico mostra come esempio i valori del

momento flettente in uno degli step in cui il telaio esprime la sua resistenza massima.

Così si è deciso di procedere in un’analisi di pushover in cui sono state inserite le cerniere plastiche a

sforzo normale solo nei controventi e nelle colonne in cui il momento nell’analisi precedente non è di

grande interesse, queste colonne sono ovviamente quelle dei piani più alti, fino ad arrivare a metà del

terzo piano delle colonne interne e metà del sesto piano delle colonne esterne. Questa differenzazione

è giustificata dal fatto che si vuole realizzare un’analisi più realistica possibile, senza però eccedere con

l’onere computazionale. Inoltre, si ricorda che le cerniere plastiche a pressoflessione degli elementi

alla base sono state opportunamente modificate nella loro lunghezza d’integrazione, per tener conto

del vincolo.

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La curva di capacità per il profilo di carico costante , con le cerniere a sforzo normale ed a

pressoflessione, è il seguente:

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Da questa curva si possono mettere in evidenza le seguenti grandezze:

F (KN) δ (m)

Snervamento 1730 0,45

Valore ultimo 2636 0,89

Da questi valori si possono ricavare dei parametri descrittivi della struttura quali α e q

La curva di capacità per il profilo di carico variabile , con le cerniere a sforzo normale ed a

pressoflessione, è il seguente:

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Da questa curva si possono mettere in evidenza le seguenti grandezze:

F (KN) δ (m)

Snervamento 1153 0,52

Valore ultimo 1703 0,97

Da questi valori si possono ricavare dei parametri descrittivi della struttura quali α e q

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Facendo un confronto fra i risultati dati dal telaio sottoposto ai due differenti profili di carico si può

osservare che la struttura reagisce, con il profilo di forze variabili, in maniera sempre più duttile

rispetto l’altro profilo, e più si è sensibilizzata la struttura con cerniere plastiche disposte dove era

necessario, più queste differenze sono diventate marcate, anche nella condizione di snervamento .

Inoltre osservando i risultati delle differenti analisi, si nota come i valori di spostamento e di forza si

sono ridotti, questo è giustificabile dal fatto che la struttura aumenta la sua sensibilità, e quindi il

modello, ad un incremento di forza può subire un danno che prima non subiva, in quanto prima era

insensibile ad alcuni effetti che l’incremento di carico comporta.

Oltre a ciò, osservando i disegni che mostrano come si elasticizza la struttura all’aumentare del carico,

si può rilevare come la plasticità, al progredire della sensibilità del modello, tenda a concentrarsi

maggiormente negli elementi alla base. Comportamento spiegabile dal fatto che in tutti i modelli le

prime cerniere plastiche si sviluppano alla base, dove le sollecitazioni sono superiori, ma poi, al

progredire delle forze, potendo la struttura compensare le prime cerniere plastiche sfruttando oltre un

reale limite le altre forme di resistenza di cui dispone, fa in modo che la base diventi più resistente

degli elementi superiori che quindi si plasticizzano. Invece con l’introduzione di nuove cerniere

plastiche, che vanno a limitare i meccanismi secondari, dopo le prime plasticizzazioni, all’incremento

delle sollecitazioni la struttura alla base di risposta dovrà chiamare in causa i meccanismi di resistenza

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secondari, i quali però, possono esprimere una resistenza limitata prima di danneggiarsi, e quindi di

compromettere l’intera struttura.

OTTIMIZZAZIONE TELAIO “SPECIAL”

Per ottimizzazione si intende la ricerca di una configurazione strutturale simile all’originale, ma con

una risposta all’analisi di pushover migliore, con questo termine si intende ricercare una

configurazione strutturale tale da rispondere con una forza simile alla prima ma aumentando la

duttilità e la sovraresistenza. Per semplicità si è preferito proseguire in questo compito considerando

soltnto un profilo di carico, e si è scelto il profilo di carico costante, in quanto questo non è sensibile

alla variazione di risposta causata dalle differenze di collocazione degli elementi strutturali, mentre

l’altro profilo ne è sensibile.

Si è partiti osservando il progredire delle plasticizzazioni nella struttura incrementando il carico, e si è

notato che la debolezza della struttura sono le colonne alla base più esterne, le quali,

conseguentemente ad un piccolo incremento di carico, sono soggette ad un incremento di

sollecitazione molto maggiore rispetto agli altri elementi strutturali.

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Si è iniziata questa ricerca di ottimizzazione con l’inserimento di un Outrigger nei piani intermedi,

nella speranza che questa soluzione, omogeneizzando gli spostamenti nel piano, riesca a contribuire a

caricare i telai più interni, scaricando un po’ quelli esterni.

Le risposte sono esposte in tabelle, in cui nella prima colonna sono indicati i piani in cui sono stati

inseriti gli outrigger e nelle colonne successive sono indicati la forza e lo spostamento i cui avviene la

prima plasticizzazione di un’elemento strutturale, la forza e lo spostamento in cui la struttura diventa

labile, infine i parametri sintetici α e q; nella prima riga, con la scritta in rosso ci sono i risultati

dell’analisi sul telaio di riferimento:

Piano Fy δy (m) Fu δu (m) α q

Rif. 1730 0,45 2636 0,89 1,52 1,98

15 1719 0,4497 2547 0,8179 1,48 1,82

14 1720 0,4486 2626 0,8966 1,53 2,00

13 1728 0,4497 2547 0,8073 1,47 1,80

12 1711 0,4482 2608 0,8556 1,52 1,91

11 1720 0,45 2618 0,91 1,52 2,02

10 1712 0,4471 2627 0,8897 1,53 1,99

9 1721 0,4505 2599 0,9 1,51 2,00

8 1718,6 0,44 2547 0,76 1,48 1,73

Come si può notare non si è raggiunto alcun miglioramento, questo forse è spiegabile in quanto il

telaio di partenza riusciva gi{ uniformare gli spostamenti, tanto che l’inserimento degli outrigger si è

rivelato inutile. Successivamente sono state aumentate le dimensioni delle colonne esterne alla base,

portandole da:

HE 500B HE 600B

HE 400B HE 500B

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Con questa configurazione sono stati ottenuti i seguenti risultati:

Da questi valori si possono ricavare dei parametri descrittivi della struttura quali α e q

F (KN) δ (m)

Snervamento 1838 0,45

Valore ultimo 2811 0,9228

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Anche questa soluzione non ha avuto successo, in quanto si è riuscito solamente ad aumentare i valori

della forza resistente, sia a snervamento sia ultimo, ma senza riuscire a ampliare la plasticizzazione

nella struttura, come mostra l’immagine qui affianco.

Il tentativo precedente è fallito in quanto, le colonne esterne alla base, pur essendo un po’ più

resistenti dei casi precedenti, venivano sempre troppo caricate in quanto il disegno strutturale le

sollecita notevolmente.

Così, come ultimo tentativo, partendo dalle sezioni dell’telaio sopra discusso, è

stato provato l’inserimento di altri controventi nei telai interni fino al sesto piano.

Con questa modifica si vuole far contribuire di più le colonne centrali irrigidendole.

Con questa configurazione sono stati ottenuti i seguenti risultati:

Da questi valori si possono ricavare i parametri descrittivi della struttura quali α e q

Anche in questo caso si ha un leggero incremento di carico, ma la duttilità è rimasta troppo bassa. In

tutti i tentativi precedenti si è cercato di aumentare la duttilità agendo sulle colonne e sulla

disposizione dei controventi ma senza riuscire nell’intento. Così si è deciso di diminuire i controventi

dei piani superiori, in quanto probabilmente sono troppo resistenti per partecipare alla duttilità della

struttura. I controventi sono stati diminuiti selezionando il profilato immediatamente più piccolo della

tipologia degli UPN /10, la diminuzione è avvenuta gradualmente ogni tre piani, in maniera tale che i

controventi che partecipano all’unione delle colonne esterne siano della stessa sezione, questo per i

primi sei piani, oltre invece la dimensione dei profilati si è ridotta ogni tre piani per evitare che i

F (KN) δ (m)

Snervamento 2095 0,5017

Valore ultimo 3000 1,0858

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controventi sullo stesso piano, ma di correnti diverse avessero dimensioni diverse, causando una

diversa distribuzione di forze;questo problema è stato trascurato nei primi sei piani per la presenza di

un controvento in più.

La curva di capacità ottenuta è la seguente:

Con questa configurazione sono stati ottenuti i seguenti risultati:

Da questi valori si possono ricavare i parametri descrittivi della struttura quali α e q

Finalmente si sono ottenuti dei risultati con una buona duttilità e una ottimo coefficiente di sovra

resistenza, quindi l’ottimizzazione si ritiene conclusa.

F (KN) δ (m)

Snervamento 2064 0,5495

Valore ultimo 2980 1,88

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ESERCITAZIONI

PLASTICITA’

ESERCIZIO 1 Analisi statica incrementale a controllo di spostamento Geometria e sistema di riferimento

Svolgimento analitico

Definiti con N1 N2 N3 gli sforzi rispettivamente nelle aste OBOCOA , si calcolano sforzi e

spostamenti in campo elastico, imponendo l’equilibrio e la congruenza.

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L

EAN1

,

L

EAN

EA

NLN

2

1

4cos

4cos 2

22

;

per la congruenza 21

2

1

2

2

1NN

L

EAN

L

EAN

si impone l’equilibrio delle forze nel nodo O:

04

cos2 21 NNP

Mettendo a sistema le due equazioni si ottiene

)22(

)2

21(

2

1

PN

PN

Risulta evidente che lo sforzo assiale nell’asta centrale aumenta in rapporto 2:1 rispetto agli sforzi

nelle altre due aste. L’asta centrale sar{ la prima a plasticizzarsi, verr{ ora calcolato il carico Pel

corrispondente a questo stato.

A C B

O

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L’asta OA si plasticizza per un valore di 01 AN (punto A)

elel P

PAN

)2

21(

012

210A

Raggiunta la plasticizzazione, l’asta OA non può offrire più alcuna resistenza oltre al valore 01 AN

quindi all’aumentare di nell’asta =cost.

L’equilibrio al nodo O diventa:

010

22 ;2

04

cos2 ANAP

NNAP

Gli sforzi nelle aste laterali aumentano fino a che non si plasticizzano anch’esse (punto B), questo

accade quando anche 2N raggiunge il valore di 0A

000 )21(

2APA

APcr

cr

Si osserva che il rapporto tra Pcr e Pel è pari a

2el

cr

P

P mentre il valore di spostamento critico è pari a

elcrcrE

L

EA

LN

EA

NL2

22

4cos

4cos 022

Sostituendo i valori numerici:

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L a curva carico spostamenti è la seguente:

Sezione

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0 5 10 15 20 25 30 35

cari

co P

[kN

]

spostamento vert nodo O [mm]

A

B

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Definizione cerniere plastiche

Ordine di formazione delle cerniere plastiche e loro stato

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Curva di Pushover

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ESERCIZIO 2 Analisi statica incrementale a controllo di spostamento

Geometria e sistema di riferimento

Definizione cerniere plastiche

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Ordine di formazione delle cerniere plastiche e loro stato

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Curva di Pushover

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Procedimento teorico

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ESERCIZIO 3 Trave doppiamente incastrata

Procedimento teorico

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Procedimento con codice di calcolo

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Curva di Pushover

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303

ESERCIZIO 4 Determinazione lunghezza cerniera plastica

Per la determinazione delle carniere plastiche si è utilizzato il programma SAP 2000, nel quale si è

modellata la trave attraverso numerosi frame, di lunghezza decrescente verso il centro della trave, con

una lunghezza che varia da questi estremi:100 mm, 25 mm, 12,5 mm.

Le cerniere plastiche sono state inserite solamente nei tratti più interni e con una lunghezza pari alla

lunghezza dell’elemento frame che lo ospita.

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Nel modello a plasticità concentrata si è modellato la trave con due frame, in modo tale che al centro ci

fosse un nodo per poter monitorare lo spostamento e per applicare la forza.

La cerniere plastiche sono state applicate agli estremi degli elementi frame nel lato del nodo,

assumendo una lunghezza della cerniera complessivamente pari all’altezza della sezione, come

specificato in letteratura, ma avendo definito due cerniere contigue ad ognuna è stata data metà

dell’altezza della sezione.

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Confrontando i risultati dello spostamento rispetto alla forza applicata si ottiene un’ottima

corrispondenza, come mostra il grafico:

L’unica differenza è lo spostamento ultimo dei due modelli.

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-500 -400 -300 -200 -100 0

Cerniere diffuse

Cerniere concentrate

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INSTABILITA’ L’instabilit{ di sistemi Euleriani avviene per biforcazione della configurazione fondamentale,

caratterizzata da piccoli spostamenti. L’approccio del secondo ordine consente sia di calcolarla

correttamente che di identificare i valori del carico per cui da essa dipartono configurazioni di

equilibrio adiacenti, il più piccolo dei quali definito carico critico Pcr. Questo approccio, però, non è in

grado di seguire l’evoluzione dei percorsi diramati che in una struttura reale, inevitabilmente sede di

imperfezioni, avvicina in fase post critica. Esso individua solamente la parte del primo ordine degli

spostamenti e si limita a stabilire che, comunque piccole siano le imperfezioni, questa diviene illimitata

quando il carico P si avvicina al carico critico Pcr.

Gli spostamenti di cui la teoria non è in grado di valutare l’entit{, non sono allora confondibili con la

loro parte del primo ordine. Per tale motivo il carico viene definito “critico”: secondo tale dizione tali

spostamenti sono intollerabili. Ma il carico critico può anche essere superato in misura non marginale,

al prezzo di spostamenti accettabili in situazioni estreme (si veda la “biforcazione dell’equilibrio” negli

esempi successivi) oppure può accadere che esso non venga neppure avvicinato in quanto la curva

della risposta strutturale reale raggiunge un punto di massimo per valori sensibilmente inferiori. Per

tali motivi la teoria del secondo ordine non fornisce, da sola, abbastanza indicazioni in proposito e

pertanto necessita di essere integrata da uno studio del comportamento post-critico.

Nei seguenti esercizi (nei quali le aste sono considerate infinitamente rigide) le biforcazioni si

manifestano per P=Pcr ovvero quando la rigidezza delle molle è stata annullata dagli effetti geometrici.

Ma i percorsi diramati possono evolvere in tre maniere diverse: stabile, instabile ed asimmetrica.

ESERCIZIO 1 1-A – comportamento post-critico stabile Si considera un’asta vincolata alla base da una cerniera ed una molla rotazionale. L’asta è caricata

all’estremit{ superire da una forza unitaria P. Le caratteristiche geometriche del problema sono le

seguenti:

Lunghezza dell’asta: L = 1 m;

Area sezione asta: A = 1 m^2

Rigidezza molla: K = 1 kNm/rad

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Biforcazione dell’equilibrio

Ammettendo che l’asta sia perfetta (ovvero priva di difetti e rotazioni iniziali, quindi perfettamente

rettilinea) e che la molla risulti scarica quando l’elemento è in posizione verticale, la condizione di

equilibrio risulta essere soddisfatta fino al raggiungimento del carico critico Pcr.

Nell’ipotesi di piccoli spostamenti possiamo effettuare la seguente semplificazione:

L’equilibrio allora è raggiunto nel seguente modo:

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Il raggiungimento della condizione di carico critico è rappresentata dall’annullamento fattore

all’interno della parentesi. Analiticamente risulterà:

Il carico critico risulta essere confermato anche dall’analisi di Buckling eseguita mediante il software

di calcolo SAP2000.

Nel caso in cui siano presenti degli spostamenti non trascurabili allora sarà:

Analiticamente, al variare del parametro , si ottengono i seguenti risultati:

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COSTRUZIONI METALLICHE

Giorgio Angelelli 1221018 Giandomenico Maffei 800403 Paolo Emidio Sebastiani 801405

312

L’asta presenta dunque una biforcazione simmetrica accompagnata da un recupero di rigidezza, in

quanto nelle configurazioni non banali l’equilibrio sussiste sotto carichi crescenti.

Comportamento Asintotico (imperfezione con effetti P-Δ)

Si consideri ora la stessa trave caratterizzata da una imperfezione come ad esempio una rotazione alla

base pari a:

Sempre nell’ipotesi di piccoli spostamenti possiamo effettuare la seguente semplificazione:

L’equilibrio è allora in questo caso raggiunto nel seguente modo:

Analiticamente, al variare del parametro , si ottengono i seguenti risultati:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

P [

KN

]

q [radianti]

Biforcazione dell'equilibrio

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313

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

P [

KN

]

q [radianti]

Comportamento Asintotico

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314

Comportamento Post-Critico (imperfezione con grandi spostamenti)

Mantenendo sempre un’imperfezione iniziale pari a:

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315

Ma trascurando l’ipotesi di piccoli spostamenti:

L’equazione di equilibrio è allora in questo caso:

Da cui:

Analiticamente, al variare del parametro , si ottengono i seguenti risultati:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

P [

KN

]

q [radianti]

Comportamento Post-Critico

Post Critico [θ>0,q>0]

Post Critico [θ<0,q>0]

Post Critico [θ>0,q<0]

Post Critico [θ<0,q<0]

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316

Sovrapponendo i tre grafici si ottiene:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

P [

KN

]

q [radianti]

Analisi di instabilità

Post Critico [θ>0,q>0] Post Critico [θ<0,q>0]

Post Critico [θ>0,q<0] Post Critico [θ<0,q<0]

Biforcazione dell'equilibrio P<Pcrit

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317

Si nota subito come l’asta possa effettivamente raggiungere (ed in una certa misura superare) il carico

critico teorico seppur al prezzo di rotazioni elevate.

Lo stesso modello analizzato tramite il software di calcolo SAP2000 fornisce i seguenti risultati:

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318

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

P [

KN

]

q [radianti]

Comportamento Asintotico [confr.]

Soluzione Analitica

SAP2000

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

P [

KN

]

q [radianti]

Comportamento Post - Critico [confr.]

Soluzione Analitica

SAP2000

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COSTRUZIONI METALLICHE

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319

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320

1-B– comportamento post-critico instabile Si considera un’asta vincolata inferiormente con una cerniera, e superiormente con una molla

estensionale.. L’asta è caricata all’estremit{ superire da una forza unitaria P. Le caratteristiche

geometriche del problema sono le seguenti:

Lunghezza dell’asta: L = 1 m;

Area sezione asta: A = 1 m^2

Rigidezza molla: K = 1 kNm/rad

Biforcazione dell’equilibrio

Ammettendo che l’asta sia perfetta (ovvero priva di difetti e rotazioni iniziali, quindi perfettamente

rettilinea) e che la molla risulti scarica quando l’elemento è in posizione verticale, la condizione di

equilibrio risulta essere soddisfatta fino al raggiungimento del carico critico Pcr.

Nell’ipotesi di piccoli spostamenti possiamo effettuare le seguenti semplificazioni:

L’equilibrio allora è raggiunto nel seguente modo:

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321

Il raggiungimento della condizione di carico critico è rappresentata dall’annullamento fattore

all’interno della parentesi. Per cui risulterà:

Nel caso in cui siano presenti degli spostamenti non trascurabili allora sarà:

Per cui l’equilibrio sar{ rappresentato dalla seguente equazione:

Analiticamente, al variare del parametro , si ottengono i seguenti risultati:

Anche in questo caso l’asta presenta una biforcazione simmetrica, anche se in questo caso decrescente.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

P [

KN

]

q [radianti]

Biforcazione dell'equilibrio

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322

Comportamento Asintotico (imperfezione con effetti P-Δ)

Si consideri ora la stessa asta caratterizzata da una imperfezione iniziale come ad esempio una

rotazione alla base pari a:

Sempre nell’ipotesi di piccoli spostamenti possiamo effettuare le seguenti semplificazioni:

L’equilibrio è allora in questo caso raggiunto nel seguente modo:

Per cui risulterà:

Analiticamente, al variare del parametro , si ottengono i seguenti risultati:

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323

Comportamento Post-Critico (imperfezione con grandi spostamenti)

Mantenendo sempre un’imperfezione iniziale pari a:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

P [

KN

]

q [radianti]

Comportamento Asintotico

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324

Ma trascurando l’ipotesi di piccoli spostamenti:

L’equazione di equilibrio è allora in questo caso:

Da cui:

Analiticamente, al variare del parametro , si ottengono i seguenti risultati:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

P [

KN

]

q [radianti]

Comportamento Post-Critico

Post Critico [θ>0,q>0]

Post Critico [θ<0,q>0]

Post Critico [θ>0,q<0]

Post Critico [θ<0,q<0]

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325

Sovrapponendo i tre grafici si ottiene:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

P [

KN

]

q [radianti]

Analisi di instabilità

Post Critico [θ>0,q>0] Post Critico [θ<0,q>0]

Post Critico [θ>0,q<0] Post Critico [θ<0,q<0]

Biforcazione dell'equilibrio P<Pcrit

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326

In questo caso risulta, invece, che può collassare anche per un carico minore a quello critico e pari

all’ordinata dei punti di massimo della curva di instabilit{ post-critica che hanno concavit{ verso l’alto.

Lo stesso modello analizzato tramite il software di calcolo SAP2000 fornisce i seguenti risultati:

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327

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

P [

KN

]

q [radianti]

Comportamento Asintotico [confr.]

Soluzione Analitica

SAP2000

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

P [

KN

]

q [radianti]

Comportamento Post - Critico [confr.]

Soluzione Analitica

SAP2000

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328

1-C– comportamento post-critico asimmetrico Si considera un’asta vincolata inferiormente con una cerniera, e superiormente con una molla

estensionale inclinata di 45° rispetto all’orizzontale. L’asta è caricata all’estremit{ superire da una forza

unitaria P. Le caratteristiche geometriche del problema sono le seguenti:

Lunghezza dell’asta: L = 1 m;

Area sezione asta: A = 1 m^2

Rigidezza molla: K = 1 kNm/rad

Biforcazione dell’equilibrio

Ammettendo che l’asta sia perfetta (ovvero priva di difetti e rotazioni iniziali, quindi perfettamente

rettilinea) e che la molla risulti scarica quando l’elemento è in posizione verticale, la condizione di

equilibrio risulta essere soddisfatta fino al raggiungimento del carico critico Pcr.

Dalla letteratura sappiamo inoltre che il ramo di biforcazione dell’equilibrio è il seguente:

Analiticamente, al variare del parametro , si ottengono i seguenti risultati:

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329

In questo caso invece la biforcazione dell’equilibrio non è più simmetrica, bensì asimmetrica,

risultando decrescente per valori di rotazione q>0 e crescente per rotazioni q<0.

Comportamento Post-Critico (imperfezione con grandi spostamenti)

Mantenendo sempre un’imperfezione iniziale pari a:

Ma trascurando l’ipotesi di piccoli spostamenti:

L’equazione di equilibrio è allora in questo caso:

Analiticamente, al variare del parametro , si ottengono i seguenti risultati:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

P [

KN

]

q [radianti]

Biforcazione dell'equilibrio

Page 330: Costruzioni Metalliche - Angelelli Maffei Sebastiani

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330

L’eccentricit{ del carico elimina le biforcazioni, sospingendo le aste verso uno dei percorsi diramati. In

particolare nel grafico si può notare il comportamento nel caso di una eccentricità positiva ed una

negativa del carico (corrispondenti a degli angoli di imperfezione iniziale maggiori o minori di zero).

Sovrapponendo i tre grafici si ottiene:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

P [

KN

]

q [radianti]

Comportamento Post-Critico

Post Critico [θ>0,q>0]

Post Critico [θ<0,q<0]

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

P [

KN

]

q [radianti]

Analisi di instabilità

Post Critico [θ>0,q>0] Post Critico [θ<0,q<0]

Biforcazione dell'equilibrio P<Pcrit

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331

La risposta dell’asta dipende dal segno dell’imperfezione dal momento che questo non è in genere noto

a priori. Occorre peraltro considerare la situazione più sfavorevole: anche in questo caso il carico

critico euleriano rappresenta quindi solamente un valore teorico che la struttura non può di fatto

raggiungere.

In tutti questi casi è evidente che risulta importante evidenziare la natura crescente o decrescente del

comportamento post-critico della struttura perfetta. Di regola è sufficiente determinare l’andamento

iniziale dei percorsi diramati.

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332

ESERCIZIO 2

Si vuole diagrammare l’andamento del carico critico Pcr in funzione della rigidezza della molla nel

seguente schema strutturale:

Anzitutto è bene sottolineare che al variare della rigidezza della molla variano anche le condizioni di

vincolo dell’asta. In particolare i due casi estremi sono:

Molla infinitamente rigida : le condizioni di vincolo sono le medesime di un’asta

vincolata da due cerniere.

Molla di rigidezza nulla : le condizioni di vincolo sono le medesime di una mensola

incastrata.

Asta vincolata da una cerniera e da una molla Si considera dapprima il caso di un’asta vincolata da una cerniera e da una molla.

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333

Dalla teoria sappiamo che ad ogni valore della rigidezza della molla corrisponde un valore del

parametro secondo la relazione:

In particolare esiste un valore del parametro oltre il quale non ha più senso andare poiché il

vincolo già corrisponde a quello di una cerniera. A tale valore corrisponde una rigidezza definita nel

seguente modo:

Esplicitando otteniamo:

Dove Pcr è il carico critico di un’asta doppiamente incernierata.

Considerando le seguenti caratteristiche geometriche:

Sezione: IPE200

Jx: 1943,0 cm^4

L = 3 m

Di conseguenza analiticamente risulterà:

Pcr=4470 KN

K*=1490KN/m

L’andamento della curva Pcr-K* sarà allora:

0,0

500,0

1000,0

1500,0

2000,0

2500,0

3000,0

3500,0

4000,0

4500,0

5000,0

-200 300 800 1300 1800 2300

P [

kN]

k [kNm]

Pcr - K

Soluzione Analitica

Sap2000

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334

Nel precedente grafico sono stati inseriti i diagrammi delle curve Pcr-K* ottenuti sia tramite sviluppo

analitico sia tramite simulazione con il software SAP2000 (dove sono stati considerati solamente

alcuni casi intermedi).

Soluzione Analitica

Soluzione SAP2000

k Pcr Pcr

[kN/m] [kN] [kN]

0 0,0 0

100 300,0 300

200 600,0 600

300 900,0

500 1500,0 1500

600 1800,0

700 2100,0

800 2400,0 2400

1000 3000,0

1100 3300,0 3300

1200 3600,0

1400 4200,0 4200

1500 4474,5 4270

1600 4474,5 4270

1700 4474,5

1900 4474,5 4270

2000 4474,5 4270

Asta vincolata da un incastro e da una molla

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335

Questo diagramma diventa ancora più significativo quando si utilizza come ascissa il parametro

anziché la rigidezza della molla K.

Si noti come al variare del parametro cambia anche il carico critico. In particolare per un valore

il carico critico Pcr è uguale a quello di una mensola incastrata, Per il carico critico Pcr è

uguale a quello di una mensola incastrata ed incernierata.

0,0

1000,0

2000,0

3000,0

4000,0

5000,0

6000,0

7000,0

8000,0

9000,0

10000,0

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

Pcr

[kN

]

K

Pcr - K

Soluzione Analitica

SAP2000

0,0

1000,0

2000,0

3000,0

4000,0

5000,0

6000,0

7000,0

8000,0

9000,0

10000,0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Pcr

[kN

]

ξ

Pcr - ξ

Soluzione Analitica

SAP2000

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336

ESERCIZIO 3

In virtù della sua simmetria, la struttura può essere vista come un sistema ad un grado di libertà, il cui

parametro è lo spostamento verticale della cerniera centrale v. Detta L la lunghezza iniziale delle due

aste e l il suo valore deformato, si possono dedurre e seguenti relazioni geometriche:

h = L sinθ v = h – l sinφ Lo = L cosθ = l cos φ

Da queste si può ricavare le seguenti relazioni:

La struttura viene risolta prima assumendo la linearità precritica, cioè considerando gli spostamenti

infinitesimi. Quindi l’equilibrio nella configurazione in deformata è:

Dove ΔL , ΔL = L - l = v sin θ

Sostituendole in P:

Introducendo le quantità adimensionali:

Si ottiene:

Con questa equazione si definisce la configurazione fondamentale della struttura, in cui c’è una

proporzionalit{ tra carico e spostamento. Questa configurazione diviene instabile quando l’azione

assiale nelle aste raggiunge il valore critico Euleriano

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337

Sostituendolo nell’equazione dell’equilibrio si ottiene:

Che definisce il carico critico della struttura.

Operiamo ora nell’ipotesi dei grandi spostamenti, l’equilibrio viene realizzato nella configurazione

deformata, quindi caratterizzata dall’angolo φ. L’equilibrio sar{:

Il legame costitutivo non cambia, cambierà, invece, la congruenza, la quale ora dovrà essere valido non

solo per l’ipotesi di piccoli spostamenti e sar{:

Sostituendo tutto nell’equazione d’equilibrio, si ottiene l’equazione del carico in funzione della

rotazione:

Riconducendo alla forma adimensionalizzata:

Mentre lo spostamento adimensionalizzato è:

Calcolando per diversi φ, decrescenti da θ, le due equazioni precedenti si ottiene il diagramma

rappresentativo della risposta dell’arco; il coefficiente angolare della tangente all’inizio è dato

dall’equazione che definisce la configurazione fondamentale della struttura, nell’ipotesi di piccoli

spostamenti, cioè quando φ è pari a θ. Inoltre, derivando l’equazione rispetto l’angolo φ si ottiene

l’angolo, e quindi l’ascissa per la quale si ottiene il massimo carico φMAX=0.05786 rad

da cui ηMAX =0.04236 ed infine pMAX = 0.000387 λ2

In η = ηMAX le curve hanno tangente orizzontale, indicando che la rigidezza della configurazione è

diminuita fio a svanire, per questo continuando a caricare l’arco a tre cerniere non è più in grado di

resistere e si in stabilizza, passando ad una configurazione stabile, che è quella ribaltata, cioè in cui le

aste lavorano a trazione; questo fenomeno di instabilità è chiamato SNAP THROUGH BUCLING.

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L’instabilit{ sopra descritta è una instabilit{ di struttura, ciò nonostante l’instabilit{ può essere

raggiunta anche attraverso l’instabilit{ a compressione dei singoli elementi, poiché abbassandosi

l’arco per l’equilibrio richiede sforzi di compressione sempre maggiori.

Il valore per il quale si ottiene l’instabilit{ euleriana delle aste, si ottiene sostituendo nell’equazione

dell’equilibrio alla P la Pe, cioè il carico critico euleriano, ottenendo:

La formula del carico critico euleriano sul grafico η - p è una retta che parte dal punto (0 ; 1,974) ed

arriva al punto (0,1 ; 0), Se questa retta interseca le curve rappresentative delle configurazioni

dell’arco al variare dell’abbassamento, vuol dire che giunge alla biforcazione dell’equilibrio.

Come si vede dalla figura per l’asta con snellezza λ=50 la biforcazione dell’equilibrio viene raggiunta

quando il sistema è gi{ andato in instabilit{, in instabilit{ a scatto; nell’altro caso λ=75, invece, la curva

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viene intersecata prima del massimo e la crisi avviene per biforcazione; questo comporta sempre il

rovesciamento dell’arco, ma con la differenza che si manifesta quando la configurazione fondamentale

non ha ancora perso la sua rigidezza.

Il testo dell’esercitazione forniva solo la snellezza (λ =50 e λ =75) e il rapporto H0/L0=0,1, quindi per

determinare le dimensioni geometriche si è scelta una sezione e dalle caratteristiche geometriche di

questa (Area, Inerzia) si è determinata la lunghezza che l’asta dove avere per rispettare i vincoli

imposti.

= 4,27 m L0=4,248 m H0=0,4248 m

= 6,37 m L0=6,373 m H0=0,6373 m

L’esercizio svolto a mano ha seguito le formule sopra indicate dando i seguenti risultati:

Poi i due problemi si sono svolti con ‘ausilio del programma di calcolo SAP.

Per effettuare questa analisi si è dovuto procedere attraverso un’analisi Non Lineare con l’ipotesi dei

Grandi Spostamenti e procedendo con il controllo di spostamento, come indica il manuale del SAP, qui

riportato:

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

λ 50 Carico critico Euleriano λ 75

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Così si è proceduto nella definizione di un carico da assegnare nella cerniera centrale con una forza

unitaria applicata verso il basso, poi in LOAD CASES si è impostata l’analisi con le seguenti

impostazioni:

statica non lineare

grandi spostamenti

carico applicato in controllo di forza fino ad uno spostamento verticale di 0,9 m della cerniera

centrale

salvando steps lungo il procedimento

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Il programma di calcolo, pur dopo numerosi tentativi, non si è riuscito a far convergere, in quanto il

programma riscontrava dei problemi poco dopo che lo spostamento superava quello di intersezione

con il carico critico euleriano

Confrontando i risultati del SAP con quelli ottenuti per via analitica si ottengo risultati molo vicini, tali

che per via grafica quasi si sovrappongono, come illustrato nella figura:

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

Carico critico Euleriano

SAP λ=50

SAP λ=75

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

λ 50 Carico critico Euleriano

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ERRORI NEL SAP2000 Si riportano, a titolo puramente espositivo, alcuni dei simpatici errori del software SAP2000 che hanno

allietato la progettazione del nostro edificio.

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BIBLIOGRAFIA

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Nunziata, Dario Flaccovio Editore, 2008.

STRUTTURE IN ACCIAIO, Giulio Ballio & Federico Mazzolani, Hoepli, 2007.

PROGETTARE STRUTTURE IN ACCIAIO, Giulio Ballio & Claudio Bernuzzi, Hoepli,

2007.

MECCANICA DELLE STRUTTURE Vol.3 La valutazione della capacità portante,

Leone Corradi dell’Acqua, McGraw Hill Libri Italia, 1994.

PRONTUARIO PER IL CALCOLO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALI, BiagioFuriozzi,

Claudio Messina e Leonardo Paolini, Le Monnier, 2003.

FONDAZIONI, Carlo Viggiani, Helvelius Edizioni, 2003

REINFORCED CONCRETE STRUCTURES, R. Park and T. Paulay, Wiley Interscience,

1975

ELEMENTI STRUTTURALI Vol. IV, L. Finzi, E. Nova, Italsider, 1969

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