Costruzione di macchine 2 - dispensa

8/10/2019 Costruzione di macchine 2 - dispensa

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Appunti di Costruzione di Macchine 2

a cura di

Stefano Beretta

Politecnico di Milano, Dipartimento di Meccanica

10 giugno 2012



Indice

I Analisi stato di sforzo e deformazione 4

1 Richiami di Analisi dello stato di sforzo 5

1.1 Azioni-reazioni e sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Tensore degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Sforzo agente su un piano generico . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Trasformazione riferimento per sforzo piano . . . . . . . . 81.3 Sforzi principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Sforzi principali nello stato di sforzo piano . . . . . . . . . 111.4 Riferimento principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Sforzi normali e tangenziali su un piano generico . . . . . 141.4.2 Cerchi di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3 Stato di sforzo su piani ottaedrali . . . . . . . . . . . . . . 161.4.4 Componente di sforzo idrostatica e deviatorica . . . . . . 17

1.5 Equazioni indefinite di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.1 Riferimento cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2 Riferimento sferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Deformazioni e legame sforzi-deformazioni 22

2.1 Spostamenti e piccole deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Tensore delle deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Deformazione in una direzione nei problemi piani . . . . . 252.2.2 Deformazione volumica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Variazione delle deformazioni in un continuo - Equazioni di con-gruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.1 Problemi bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.2 Problemi tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.3 Compatibilità per il FEM* . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Legame elastico lineare per materiali isotropi . . . . . . . . . . . 312.4.1 Direzione sforzi e deformazioni principali . . . . . . . . . . 322.4.2 Sforzo idrostatico e deformazione volumica . . . . . . . . 33

2.5 Legame sforzi-deformazioni in campo elastico . . . . . . . . . . . 342.5.1 Convenzione degli indici ripetuti . . . . . . . . . . . . . . 342.5.2 Legge di Hooke generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1



6 Lastre circolari piane 97

6.1 Flessione semplice di una lastra in due direzioni ortogonali . . . . 97

6.1.1 Composizione dei momenti in un punto . . . . . . . . . . 986.1.2 Lastre con momento uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2 Lastre circolari assialsimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.2.1 Carico distribuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2.2 Carico concentrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2.3 Lastra anulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3 Esercizi e problemi sul quaderno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7 Lastre cilindriche 110

7.1 Risoluzione del problema elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.1.1 Deformazioni ed azioni sul concio di lastra . . . . . . . . . 1127.1.2 Equazione risolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.1.3 Un approccio basato sulla teoria delle travi . . . . . . . . 114

7.1.4 Integrali particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2 Cilindri lunghi caricati su un bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.2.1 Coefficienti di bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.3.1 Forza radiale su un parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3.2 Vincolo radiale su un tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3.3 Cerchiatura del tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.4 Recipienti cilindrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.4.1 Fondi sferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.4.2 Recipiente con fondi semisferici . . . . . . . . . . . . . . . 1287.4.3 Altri recipienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

III Applicazioni ed organi di macchina 131

8 Fatica degli elementi saldati 132

8.1 Introduzione alla resistenza a fatica dei giunti saldati . . . . . . . 1328.2 Approccio agli sforzi nominali secondo le normative . . . . . . . . 139

8.2.1 Effetto dello sforzo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.2.2 Multiassialità degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.2.3 Sforzi ad ampiezza variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.3 Metodo hot-spot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.4 Difetti di saldatura e calcolo della vita a fatica . . . . . . . . . . 1588.5 Accorgimenti di fabbricazione per aumentare la resistenza a fatica 162

3



Parte I

Analisi stato di sforzo e

deformazione

4



Capitolo 1

Richiami di Analisi dello stato

di sforzo

Si richiamano qui i concetti fondamentali dello stato di sforzo nei solidi, già visti nel Corso

di Costruzione di Macchine 1. Questi concetti ci serviranno quindi, nei capitoli successivi,

per analizzare il legame con le deformazioni e lo stato di sollecitazione in diversi tipi di

problemi elastici relativi allo stato di sforzo in organi delle macchine 1.

I testi di riferimento per consultazione ed approfondimento sono: [1], [2], [3].

1.1 Azioni-reazioni e sforzi

Consideriamo un corpo soggetto a forze esterne, come mostrato in Fig. 1.1,che generano delle azioni interne all’interno del corpo. Per esaminarne l’effettoin un punto Q interno al corpo, tagliamo il corpo su un piano a-a (passanteper Q), che divida il corpo in due parti. Le forze che agiscono sulla parte checonsideriamo devono essere equilibrate da delle forze presenti sulla sezione a-a .

Analizziamo ora un piccolo elemento di area ∆A intorno al punto Q e chia-miamo ∆F la forza agente su ∆A: chiamiamo ∆F x-∆F y-∆F z le componenti di∆F rispetto ad una terna locale x −y −z (l’asse x è diretto perpendicolarmentea ∆A) . Le componenti di ∆F danno origine ad uno stato di sforzo definitocome:

σx = lim∆A→0

∆F x∆A

τ xy = lim∆A→0

∆F y

∆A ,

τ xz = lim∆A→0

∆F z∆A

(1.1)

1a cura di S. Beretta

5



Figura 1.1: Azioni e reazioni interne: a) sezione del corpo; b) equilibrio tra azionied azioni interne; c) componenti di ∆F [2].

Queste definizioni forniscono le componenti dello stato di sforzo nel punto Q suun piano di normale x. La definizione ∆A → 0 ha un significato ingegneristico:consideriamo sforzi medi su aree piccole in confronto alla dimensione del corpo,ma maggiori delle dimensioni microstrutturali del materiale di cui è costituitoil componente.

La componente di ∆F normale alla superficie da origine ad uno sforzo nor-male , mentre le componenti parallele alla superficie danno origine a sforzi di ta-glio. Dimensionalmente, per la (1.1), gli sforzi sono espressi come [forza/superficie]e sono quindi espressi in [P a] oppure [MP a].

1.1.1 Tensore degli sforzi

Generalizzando quanto visto sopra, se consideriamo nel punto Q i piani per-pendicolari agli assi y e z definiamo in modo completo lo stato di sforzo nelpunto, connesso alle azioni interne, che è identificato da 9 componenti scalariche possiamo così rappresentare nell’intorno di un punto materiale (il cubettinodi Fig.1.2 si immagina abbia dimensioni evanescenti).

Le convenzioni che prendiamo in tale rappresentazione sono:

• la notazione σij si riferisce rispettivamente a sforzo agente sulla faccia -i-(i è la normale alla faccia) in direzione - j- ;

• per le facce la cui normale uscente è diretta come uno degli assi coordinati,il segno delle componenti del tensore sono positive con la direzione degliassi mentre per le facce aventi normale uscente contraria agli assi sonoinvece positive le componenti sforzo aventi direzione contraria agli assi.

Per l’equilibrio alla rotazione di una porzione di materiale infinitesima intorno

al punto deve essere: σij = σji per i = j (1.2)

quindi le componenti di sforzo indipendenti sono solo sei e le componenti deltensore degli sforzi, secondo il riferimento cartesiano x − y − z, possono essere

6



rappresentati da un tensore del secondo ordine2:

[σij] =

σxx σxy σxzσxy σyy σyzσxz σyz σzz

(1.3)

Le componenti dello stato di sforzo, come rappresentato da [σij ] cambiano alvariare delle direzioni secondo cui si immagina di sezionare il corpo nel puntoQ (cambia da punto a punto nel corpo per effetto della variazione della forza∆F). Nel seguito vedremo come cambiano queste componenti al ruotare degliassi x, y, z.

1.2 Sforzo agente su un piano generico

Lo stato di sforzo agente su un piano generico si ricava mediante le relazioni del’tetraedro di Cauchy’ già viste nel corso di Costruzione di Macchine 1 [4].In particolare se consideriamo un piano la cui normale è identificata dai

coseni direttori [i,l ,m] ([i,l ,m] sono le componenti, nel sistema di riferimentox − y − z, del versore −→n della normale al piano), il vettore della forza unitariaS (forza per unità di superficie) agente sul piano è:

−→S =

S x

S yS z

= [σij] ·

i

lm

(1.4)

Figura 1.2: Generico stato di sforzo.

2vale la notazione: σii = σi e σij = τ ij .

7



lo sforzo normale σn agente sul piano di normale −→n non è altro che la proiezionedi

−→S su

−→n ovvero:

σn =−→S × −→n =

i l m

· [σij ] · i

lm

(1.5)

La procedura sopravista potrebbe essere utilizzata per proiettare−→S su direzioni

diverse da −→n permettendo così di ottenere componenti di sforzo su tali direzioni.Generalizzando quindi la procedura della eq.(1.5) si può esprimere il tensore disforzo [σij ] dal riferimento X − Y − Z al un altro riferimento X − Y − Z . Inparticolare possiamo scrivere:

[σij ] = T · [σij ] · T T (1.6)

dove:

T =

i1 l1 m1

i2 l2 m2

i3 l3 m3

(1.7)

la matrice T contiene per righe i coseni direttori degli assi X − Y − Z rispettoalla terna X − Y − Z . Quindi il tensore di sforzo può essere trattato come unamatrice (1.3), collegata a una legge di trasformazione (1.6).

1.2.1 Trasformazione riferimento per sforzo piano

La matrice T nel caso di trasformazione di uno stato di sforzo piano da unriferimento X − Y ad un riferimento X − Y assume la seguente espressione:

T =

cos θ sin θ− sin θ cos θ

(1.8)

e la Eq.1.6 restituisce le espressioni:

σx = σx cos2 θ + σy sin2 θ + 2σxy cos θ sin θ

σy = σx sin2 θ + σy cos2 θ − 2σxy cos θ sin θ

σxy = −(σx − σy)cos θ sin θ + σxy(cos2 θ − sin2 θ)

(1.9)

E’ possibile riscrivere queste equazioni in funzione di 2θ come:

σx = 1

2(σx + σy) +

1

2(σx − σy)cos2θ + τ xy sin 2θ

σy = 12

(σx + σy) − 12

(σx − σy)cos2θ − τ xy sin 2θ

τ xy = −1

2(σx − σy)sin2θ + τ xy cos 2θ

(1.10)

8



X

Y

X'

Y'

!

Figura 1.3: Cambio del sistema di riferimento in un piano.

1.3 Sforzi principali

Con direzioni principali si intendono le direzioni normali a quei piani in cui

la componente di sforzo è rappresentata solo da uno sforzo normale σ p (dettosforzo principale ). Se esiste un tale piano allora le componenti del vettore

−→S

risultano:

−→S =

S x

S yS z

=

σ p · i

σ p · lσ p · m

Dovendo valere la Eq.(1.4), risulta che gli sforzi principali sono quei valori di σ pche soddisfano:

(σxx − σ p) σxy σxzσxy (σyy − σ p) σyzσxz σyz (σzz − σ p)

= 0 (1.11)

Risolvendo il determinante si ottiene un’equazione cubica le cui radici sono glisforzi principali σ p:

σ3 p − I 1σ2

p + I 2σ p − I 3 = 0 (1.12)

dove le quantità:

I 1 = σx + σy + σz

I 2 = σxσy + σxσz + σyσz − σ2xy − σ2

xz − σ2yz

I 3 = σxσyσz + 2σxyσxzσyz − σxσ2yz − σyσ2

xz − σzσ2xy

(1.13)

Tale equazione risolta ammette 3 radici σ1, σ2 e σ3 che vengono detti gli sforzi principali . Gli sforzi principali sono gli autovalori della matrice [σij ].

Introducendo le soluzioni σ1, σ2 e σ2 nel sistema (considerando inoltre la

relazione i2

+ l2

+ m2

= 1) si ricavano tre terne di coseni direttori (i, l, m) chedefiniscono le direzioni principali (o con altra terminologia gli autovettori dellamatrice).

Rifacendosi alle proprietà degli autovalori ed autovettori si possono enunciarele seguenti regole:

9



• se i 3 sforzi principali sono distinti, allora le 3 direzioni principali sonodistinte ed ortogonali;

• se 2 valori di σ p coincidono allora una sola direzione principale è definita(corrisponde allo sforzo principale diverso dagli altri due) mentre le altresono infinite perché corrispondono alle normali alla prima;

• se i 3 valori di σ p coincidono allora ogni direzione è principale (sforzoidrostatico: la pressione è identica su qualsiasi superficie).

Le tre radici σ1, σ2, σ3 (ordinate in modo che σ1 > σ2 > σ3) hanno un impor-tante significato: σ1 è il massimo valore dello sforzo normale in un punto (alvariare della giacitura del piano), mentre σ3 è lo sforzo normale minimo.

I termini I 1, I 2 ed I 3 dell’eq. 1.13 sono dette invarianti perchè non variano alvariare dell’orientamento del sistema di riferimento. In particolare, se riferiti

alle direzioni principali, assumono il valore:

I 1 = σ1 + σ2 + σ3

I 2 = σ1σ2 + σI σ3 + σ2σ3

I 3 = σ1σ2σ3

(1.14)

Esempio 1.1 Si consideri lo stato di sforzo rappresentato in Fig. 1.4: calcolare glisforzi e le direzioni principali (i valori sono espressi in [MPa]).

Figura 1.4: Calcolo degli sforzi principali tramite Eq. (1.12).

Scrivendo il tensore dello stato di sforzo:

[σij ] =

0 0 100

0 0 100100 100 0

Calcolando gli invarianti si ricava:

I 1 = 0 I 2 = −2 · 1002 I 3 = 0

Introducendo nella (1.12) i valori ricavati si ottengono gli sforzi principali (i valori sonoespressi in [MPa]):

σI = 100√

2 σII = 0 σIII = −100√

2

10



Introducendo gli angoli θ p nella prima delle (1.10) si ottengono i valorimassimo e minimo di σx:

σ1,2 = σx + σy

2 ±

σx − σy

2

2

+ τ 2xy (1.17)

Alla equazione precedente si può anche arrivare (come in [4]) attraverso l’an-nullamento del determinante della (1.11). In particolare per uno stato di sforzopiano gli sforzi principali sono le soluzioni di:(σxx − σ p) σxy

σxy (σyy − σ p)

= 0 (1.18)

risolvendo tale equazione si ottiene ancora la (1.17) per esprimere gli sforziprincipali.

Esempio 1.3 Si consideri la porzione di un albero del diametro di 30 mm soggettoad una coppia M t = 250[N m] ed alla pressione p = 1 0 [MP a], calcolare gli sforziprincipali e le direzioni principali.

Mt

Pp

(a) (b)

X

Y

Z

-p

-p

(c)

Figura 1.5: Albero soggetto ad un momento torcente ed una pressione esterna:a-b) sollecitazioni; c) stato di sforzo dovuto alla pressione esterna.

Gli sforzi agenti sulla sezione (espressi in [MPa]) sono uno sforzo di scorrimento:

τ = 16M tπ · d3

= 47.2

ed uno stato di sforzo piano (Fig. 1.5 (c)) dovuto alla pressione esterna. Rappresen-tando il tensore degli sforzi:

[σij] =

−10 −47.2 0−47.2 0 0

0 0 −10

A rigore si tratta di uno stato di sforzo tridimensionale, ma poichè la direzione z è una direzione principale, possiamo eliminare dal tensore una riga ed una colonna

12



ottenendo3:

[σij] = −10 −47.2

−47.2 0

Gli sforzi principali risultano (tendendo conto che conosciamo già σz = −10):

σ1 = 42.46 σ2 = −10 σ3 = −52.46

Dalla (1.16) si ottiene (considerando solo la prima direzione):

θp = 0.6806

La matrice di rotazione T della (1.8), riferita allo stato di sforzo tridimensionale, cheesprime lo stato di sforzo nelle direzioni principali risulta:

T =

cos θp sin θp 0− sin θp cos θp 0

0 0 1

(1.19)

Tramite la (1.16), tenedendo conto di questo esempio, è anche facile verificareche, sovrapponendo uno stato di sforzo idrostatico ad uno stato di sforzo piano,le direzioni principali non cambiano.

1.4 Riferimento principale

Nel riferimento principale (ovvero nella terna identificata dalle direzioni princi-pali) il tensore [σij] assume la forma diagonale:

[σij ] =σ1 0 0

0 σ2 00 0 σ3

(1.20)

ovvero non vi è nessuno sforzo di taglio (vedi Fig. 1.6). Considereremo taleriferimento per calcolare in modo semplice alcune importanti proprietà dellostato di sforzo in un punto.

Figura 1.6: Trasformazione del tensore di sforzo nel riferimento principale [3].

3possiamo anche immaginare di guardare il tensore dall’asse z riguardando lo stato disforzo come piano.

13



1.4.1 Sforzi normali e tangenziali su un piano generico

Riferendosi alla terna delle direzioni principali, le componenti del vettore −→S (suun piano la cui normale è identificata da −→n = [i l m]T ) si calcolano dalla (1.4) erisultano:

S x = σ1i S y = σ2l S z = σ3m (1.21)

Lo sforzo normale sul piano (dalla 1.5) risulta:

σn =−→S × −→n = σ1i2 + σ2l2 + σ3m2 (1.22)

Il valore dello sforzo di taglio sul piano si calcola come:

τ 2 = S 2 − σ2n = σ2

1i2 + σ22l2 + σ2

3m2 − (σ1i2 + σ2l2 + σ3m2)2 (1.23)

da cui [2] si ottiene:

τ =

(σ1 − σ2)2i2l2 + (σ2 − σ3)2l2m2 + (σ1 − σ3)2i2m21/2 (1.24)

Esaminando la (1.22) è facile verificare che (con la convenzione σ1 > σ2 > σ3),il valore massimo di σn è σ1 e si raggiunge per [i = 1, l = m = 0], mentreil minimo è σ3 e si raggiunge per [i = l = 0, m = 1]: ciò conferma che σ1 eσ3 rappresentano il massimo ed il minimo sforzo normale in un dato punto, alvariare della giacitura del piano.Considerando invece τ , il massimo si raggiunge sui piani per cui i2 = m2 = 1/2

ed l2 = 0 (i = m = ±√ 2/2 ed l = 0): queste giaciture identificano due piani

paralleli alla direzione 2 ed inclinati di 45 gradi rispetto alle direzioni 1 e 34. Suquesti piani il massimo sforzo tangenziale vale:

τ max =±

(σ1 − σ3)

2 (1.25)

mentre lo sforzo σn vale:

σn = σ1 + σ3

2 (1.26)

1

2

3

1

3

Figura 1.7: Piani corrispondenti a τ max.

4le 4 giaciture corrispondono alle due direzioni della normale per ognuno dei piani.

14



1.4.2 Cerchi di Mohr

Consideriamo un piano avente la giacitura parallela alla direzione 3 (ovvero lanormale al piano è perpendicolare all’asse 3 ed m = 0).

1

2

3

!1

!2

!n

"n

!n"n

!2

!1 n

2

#

(a) (b)

Figura 1.8: Costruzione del cerchio di Mohr per piani paralleli alla direzione 3: a)identificazione dello stato di sforzo agente; b) convenzioni di segno.

Detto θ l’angolo che la normale forma con l’asse 1 e fissando come positiva ladirezione oraria dello sforzo di scorrimento sulla faccia di normale n, possiamoscrivere dalle (1.10)5:

σn =

1

2(σ1 + σ2) +

1

2(σ1 − σ2)cos2θ

τ n = 1

2(σ1 − σ2)sin2θ

(1.27)

da cui è facile verificare che:

σn −

1

2 (σ1 + σ2)2

+ τ

2

n =1

2 (σ1 − σ2)2

(1.28)Questa equazione rappresenta, in un piano σ − τ detto piano di Mohr , unacirconferenza di centro C e raggio R con:

C

(σ1 + σ2)

2 , 0

, R =

(σ1 − σ2)

2

ovvero i punti P (σn, τ n), per i piani con m = 0, descrivono al variare di θ unacirconferenza di centro C e raggio R, che passa per gli sforzi principali σ1 e σ2.La costruzione grafica del cerchio di Mohr permette di visualizzare in modosemplice lo stato di sforzo e di calcolare graficamente gli sforzi principali (nonsi usa più ovviamente per questo motivo, ma aiuta a visualizzare la soluzione).

Ripetendo la costruzione per i piani paralleli agli assi 1 e 3 si ottengonoaltre due circonferenze: in totale i 3 cerchi di Mohr permettono di visualizzarein modo semplice i valori massimi e minimi dello stato di sforzo nel punto. Sipuò dimostare che lo stato di sforzo su una giacitura generica (non parallela adun asse principale) appartiene alla regione compresa tra il cerchio fondamentale (quello passante per σ1 e σ3) e gli altri due.

5rispetto alle (1.10) dobbiamo considerare σx e τ xy cambiando di segno a quest’ultima

15



!1!2 !1

!3 !2

(a) (b)

Figura 1.9: Cerchi di Mohr per lo stato di sforzo: a) il cerchio rappresentante inpiani con m = 0; b) i tre cerchi che descrivono lo stato di sforzo nel punto al variaredella giacitura del piano considerato.

1.4.3 Stato di sforzo su piani ottaedrali

Si dicono piani ottaedrali quei piani che hanno una inclinazione uguale rispettoa tutti gli assi principali, in particolare (il nome ottaedrali deriva dalla figurageometrica identificata da tali piani) questi piani hanno coseni direttori:

i2 = l2 = m2 = 1

3

Introducendo tali valori nella (1.22) si ottiene:

σott = σ1 + σ2 + σ3

3 =

I 13

(1.29)

che viene anche chiamato sforzo idrostatico ed indicato con il simbolo σh. Lo

sforzo tangenziale sui piani ottaedrali vale:

τ ott = 1

3

(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ1 − σ3)2)

1/2(1.30)

Figura 1.10: Piani ottaedrali

16



Lo sforzo τ ott può essere riscritto, svolgendo i quadrati, come:

τ ott = √ 23

σ21 + σ2

2 + σ23 − σ1σ2 − σ1σ3 − σ2σ3 (1.31)

La τ ott, impiegata come vedremo nei capitoli successivi per le verifiche di resi-stenza, può anche essere scritta come:

τ ott = 1

3

2I 21 − 6 · I 2

1/2(1.32)

che può quindi utilmente permettere, sostituendo i valori degli invarianti, discrivere τ ott in termini delle componenti del tensore in coordinate cartesiane:

τ ott = 1

3(σx − σy)2 + (σy − σz)2 + (σx − σz)2 + 6τ 2xy + 6τ 2yz + 6τ 2xz

1/2(1.33)

1.4.4 Componente di sforzo idrostatica e deviatorica

É utile considerare un generico stato di sforzo σij come sovrapposizione di unostato di sforzo idrostatico e di uno deviatorico. In particolare, detto σh:

σh = σott = σ1 + σ2 + σ3

3 =

σx + σy + σz3

il generico stato di sforzo [σij] può essere scritto come:

σij = hij + sij (1.34)

dove:

hij =σh 0 0

0 σh 00 0 σh

(1.35)

e:

sij =

σx − σh σxy σxz

σxy σy − σh σyzσxz σyz σz − σh

(1.36)

Gli sforzi principali del tensore sij risultano:

sI = σI − σh sII = σII − σh sIII = σIII − σh (1.37)

Gli invarianti del tensore [sij] vengono indicati con J 1, J 2 e J 3. Si può ancheesprimere τ ott come:

τ ott =

23

J 2 (1.38)

17



Esprimendo la (1.40) nel sistema di coordinate cilindriche [3] si ottiene:

∂σr

∂r + 1

r∂τ rθ∂θ

+ ∂ τ rz∂z

+ 1r

(σr − σθ) + F r = 0

∂τ rθ∂r

+ 1

r

∂σθ

∂θ +

∂ τ θz∂z

+ 2

rτ rθ + F θ = 0

∂τ rz∂r

+ 1

r

∂τ θz∂θ

+ ∂ σz

∂z +

1

rτ rz + F z = 0

(1.42)

x

y

z

Figura 1.12: Sforzi in un riferimento cilindrico

1.5.2 Riferimento sferico

In coordinate cilindriche lo stato di sforzo risulta espresso da:

[σij ] =

σr τ rφ τ rθ

τ rφ σφ τ φθτ rθ τ φθ σθ

(1.43)

Esprimendo la (1.40) nel sistema di coordinate sferiche [3] si ottiene:

∂σr

∂r +

1

r

∂τ rφ∂θ

+ 1

r sin φ

∂τ rθ∂θ

+ 1

r(2σr − σφ − σθ + τ rφ cot φ) + F r = 0

∂τ rφ∂r

+ 1

r

∂σφ

∂φ +

1

r sin φ

∂τ φθ∂θ

+ 1

r[(σφ − σθ)cot φ + 3τ rφ] + F φ = 0

∂τ rθ∂r + 1r ∂τ φθ∂φ + 1r sin φ ∂σθ∂θ + 1r (2τ φθ cot φ + 3τ rθ) + F θ = 0

(1.44)

19



x

y

z

Figura 1.13: Sforzi in un riferimento sferico

1.6 Esercizi

Esercizio 1.1 Si consideri un tubo (De=36 mm, Di=30 mm) soggetto ad un momen-to Mt=450 Nm ed una forza F=30 kN. Calcolare:

• lo stato di sforzo su un punto della superficie esterna del tubo considerando ilriferimento x − y − z di figura (x direzione radiale ed y circonferenziale);

• lo stato di sforzo su un piano inclinato di 45 gradi rispetto agli assi y e z ;

• valutare l’effetto dell’introduzione di una pressione interna di 10 MPa sullo stato

di sforzo calcolato ai punti precedenti.

y

y

z

z

x

F

Mt

Figura 1.14: Schema di un tubo soggetto ad una forza assiale e del piano su cuicalcolare lo stato di sforzo.

20



Esercizio 1.2 Calcolare gli sforzi principali nell’esercizio precedente e verificare, at-traverso il calcolo degli sforzi principali di sij le (1.37). Le direzioni principali coinci-

dono con quelle di σij ?

Esercizio 1.3 Considerando un albero del diametro d=18 mm soggetto ad una coppiatorcente di 50Nm ed un momento flettente pari a 60 Nm:

• ricavare lo stato di sforzo nel punto P;

• calcolare gli sforzi principali e da questi ricavare τ max;

• calcolare τ ott.

Mt

P

X

Y

Z

Mf

Figura 1.15: Schema di un albero soggetto ad un momento flettente ed unmomento torcente.

21



Capitolo 2

Deformazioni e legame

sforzi-deformazioni

Si richiamano qui i concetti fondamentali dello stato di deformazione nei solidi, eviden-

ziando le diverse componenti del tensore di deformazione. Si espongono quindi i diversi

tipi di legame sforzi-deformazioni che verranno utilizzati nel corso1.

2.1 Spostamenti e piccole deformazioni

Consideriamo un solido, di cui la posizione dei diversi punti materiali (con cuipossiamo pensare di schematizzare le particelle elementari) in un dato istante tidentifica la configurazione dell’elemento considerato.

Identifichiamo un punto materiale con le coordinate (x,y,z) della posizioneall’istante di tempo t0 ed immaginiamo che ad un diverso istante t, il solido sitrovi in una diversa configurazione con i diversi punti che hanno subito deglispostamenti u(x,y,z,t) in direzione x, v(x,y,z,t) in direzione y e w(x,y,z,t)in direzione z . Il solido si trova in una configurazione deformata.

Dato il campo di spostamenti nel solido possiamo calcolare il corrispondentecampo di deformazioni, nell’ipotesi di piccoli spostamenti. In particolare con-sideriamo all’istante t tre punti A-B-C che formino tra di loro un angolo di π/2delimitato dai segmenti AB e AC di lunghezza iniziale rispettivamente dx e dy(Fig.2.1). Se consideriamo il segmento AB , possiamo calcolare la deformazionelungo l’asse x come:

x

= ∆l

l =

u(x + dx,y,z,t)

−u(x,y,z,t)

dx (2.1)

Nella configurazione deformata la linea AC ruota attorno all’asse z di un angolo:

u(x, y + dy,z,t) − u(x,y,z,t)

dy =

∂u

dy (2.2)

1a cura di S. Beretta e S. Foletti

22



BA

C

u(x,y+dy,z,t)

u(x,y,z,t) u(x+dx,y,z,t)

dx

dy

Figura 2.1: Spostamento u dei punti A,B e C all’istante t.

Similmente, la rotazione del segmento AB attorno all’asse z risulta:

v(x + dx,y,z,t) − v(x,y,z,t)

dx =

∂v

dx (2.3)

Lo scorrimento γ xy nel piano xy risulta pari a:

γ xy = ∂u

∂y +

∂v

∂x. (2.4)

Per un solido 3D nello spazio lo stato di deformazione è descritto da un totaledi sei componenti:

x = ∂u∂x

, y = ∂v∂y

, z = ∂w

∂z

γ xy = ∂u

∂y +

∂v

∂x, γ yz =

∂v

∂z +

∂ w

∂y , γ xz =

∂u

∂z +

∂ w

∂x

(2.5)

Le Eq. (2.5), scrivendo γ xy = 2xy, possono essere rimpiazzate dalla notazionesintetica2:

ij = 1

2

∂ui

∂xi+

∂ uj∂xj

(2.6)

Poichè γ xy è l’angolo di cui si distorce l’angolo ˆABC , si deve dunque essereγ xy = γ yx e quindi ij = ji.

Esempio 2.1 Si consideri in un sistema di riferimento polare una porzione di materia-le ABCD sottesa dall’angolo dθ: i punti abbiano coordinate A(r, 0), B(r+dr, 0), C (r, dθ)e D(r + dr, dθ). Supponendo che il corpo si deformi con spostamenti solo radiali (taletipo di problema si dice assialsimmetrico), calcolare le componenti di deformazione.

2vale la notazione: ii = i.

23



A B

C

D

A' B'

C'

D'

d!

Figura 2.2: Deformazione nei problemi assialsimmetrici

Le componenti di deformazione si calcolano facilmente con la Eq.(2.1). In particolaredetto u lo spostamento radiale dei punti A e C e u + du lo spostamento dei punti B e D(lo spostamento dipende solo dalla coordinata r), possiamo calcolare le deformazionicome:

r = AB − AB

AB=

[(r + dr + u + du) − (r + u)] − dr

dr =

du

dr

θ = AC − AC

AC =

[(r + u)dθ] − rdθ

rdθ =

u

r

(2.7)

Tali relazioni, cui si può arrivare anche semplificando le (2.86) per tener conto del-l’assialsimmetria, verranno impiegate nei capitoli successivi per la soluzione di alcuniproblemi assialsimmetrici (dischi e cilindri, lastre cilindriche).

2.2 Tensore delle deformazioni

Stante la simmetria ij = ji, le deformazioni possono essere rappresentate daltensore del secondo ordine simmetrico:

[ij] =

xx xy xz

xy yy yzxz yz zz

(2.8)

Conoscendo il tensore delle deformazioni in un riferimento (secondo una ternadi direzioni), le deformazioni

ij in una nuova terna X

−Y

−Z si ricavano

ancora attraverso la matrice di trasformazione T con la relazione (simile alla1.6):

[ij ] = T · [ij] · T T (2.9)

dove la matrice di trasformazione è già stata definita in (1.7).

24



Per il tensore [ij] valgono le stesse proprietà del tensore degli sforzi, in par-ticolare esiste una terna di direzioni che identificano le direzioni dei piani sui

quali agiscono le deformazioni principali , ovvero i valori massimi e minimi cheassumono le deformazioni ii.

La ricerca delle deformazioni principali 1 − 2 − 3 può essere effettuataricercando, con gli opportuni algoritmi, gli autovalori della matrice ij oppurericercando i valori p che soddisfano la relazione:

(xx − p) xy xzxy (yy − p) yzxz yz (zz − p)

= 0 (2.10)

Risolvendo il determinante si ottiene un’equazione cubica le cui radici sono ledeformazioni principali p:

3

p − E 12

p + E 2 p − E 3 = 0 (2.11)dove le quantità:

E 1 = x + y + z

E 2 = xy + xz + yz − 2xy − 2xz − 2yz

E 3 = xyz + 2xyxzyz − x2yz − y2xz − z2xy

(2.12)

dove E 1 − E 2 − E 3 sono chiamati invarianti delle deformazioni (come già vistoper gli sforzi, gli invarianti assumono espressioni molto semplici se espressi intermini delle deformazioni principali).

Nel riferimento principale il tensore [ij ] assume la forma diagonale:

[ij ] =1 0 00 2 0

0 0 3

ovvero non vi è nessuna deformazione al taglio: un parallelepipedo orientatosecondo tale riferimento si deformerebbe quindi mantenendo la propria formaortogonale pur cambiando le lunghezze dei tre lati.

2.2.1 Deformazione in una direzione nei problemi piani

In un problema bi-dimensionale, noto lo stato di deformazione in un riferimentoX − Y , lo stato di deformazione in un riferimento X − Y ruotato di un an-golo θ si calcola attraverso la matrice T espressa dalla (1.8). In particolare ladeformazione nella direzione X , formante un anglo θ con l’asse X (l’angolo simisura positivo in senso antiorario), risulta:

X = x cos2 θ + y sin2 θ + γ xy sin θ cos θ (2.13)

Tale espressione viene utilizzata per analizzare le misure estensimetriche neiproblemi piani. In particolare, nel caso in cui in cui non si conosca a priori la

25



direzione delle deformazioni principali, è necessario misurare le deformazioni intre direzioni per ricavare tutte le componenti di [ij ]3.

(a) (b) (c)

Figura 2.3: Rilievo delle deformazioni in problemi paini: a) rosetta a 120 gradi; b)rosetta -45/0/45 gradi; c) schema generale di una rosetta.

Speciali combinazioni di estensimetri dette rosette estensimetriche sono di-sponibili per tale tipo di misure e consistono in tre griglie estensimetriche co-munemente disposte con angoli di 120 gradi (disposizione a Y) o 0 − 45 − 90gradi. Considerando una rosetta con griglie a − b − c caratterizzata dagli angoliθa−θb−θc rispetto all’asse X , le deformazioni per i tre sensori si scrivono come:

a = x cos2 θa + y sin2 θa + γ xy sin θa cos θa

b = x cos2 θb + y sin2 θb + γ xy sin θb cos θb

c = x cos2 θc + y sin2 θc + γ xy sin θc cos θc

(2.14)

Risolvendo il sistema si ricavano le componenti di [ij] e da queste si ricavano

le deformazioni principali e l’angolo di cui ruotare il riferimento per ottenere ledeformazioni principali (vedasi esempio seguente).

Esempio 2.2 Si consideri una rosetta estensimetrica con angoli θa = 0◦, θb = 60◦ eθc = 120◦, che ha fornito la seguente lettura:

a = 190µ b = 200µ c = −300µ

Determinare lo stato di deformazione e le deformazioni principali.

Dalle Eq. (2.14) si ottiene:

abc

=

1 0 01

4

3

4

√ 3

4

1

4

3

4 −√ 3

4

·

xy

γ xy

Si ottiene:x = 190µ y = −130µ γ xy = 577µ

3infatti se non sono note le direzioni principali, il problema ha tre incongnite (x, y, γ xy)ed è quindi naturale che servano tre misure per determinarle.

26



Per le deformazioni principali si può applicare una formula uguale alla (1.17), inparticolare:

1,2 = x + y

2 ±

x − y

2

2

+

γ xy

2

2

(2.15)

ottenendo:1 = 360µ 2 = −300µ

L’angolo tra la direzione del riferimento principale e l’asse X si calcola ancora con unaformula uguale alla (1.16):

2θp = tan−1 γ xyx − y

(2.16)

da cui si ottiene: θp = 0.53232 (θp = 30.5◦).

2.2.2 Deformazione volumica

Considerando un parallelepipedo di materiale avente volume V = A × B × C ,con i lati paralleli agli assi x − y − z (Fig.2.4) le deformazioni risultano:

x = dA

dx, y =

dB

dy , z =

dC

dz

la variazione del volume V risulta:

dV = ∂V

∂AdA +

∂ V

∂BdB +

∂ V

∂C dC, (2.17)

dividendo per V otteniamo la deformazione volumica:

dV

V = V =

dA

A +

dB

B +

dC

C = x + y + z (2.18)

A

A+dA

C+dC

C

B

B+dBx

y

z

Figura 2.4: Calcolo deformazione volumica v

27



2.3 Variazione delle deformazioni in un continuo

- Equazioni di congruenzaIn Eq.2.5 si sono ricavate le relazioni tra deformazioni e spostamenti: date 3funzioni continue per gli spostamenti u - v - w è possibile ricavare le 6 compo-nenti delle deformazioni. E’ semplice immaginare che, se integrassimo le ij perricavare gli spostamenti, le 6 componenti di deformazioni non possano essereindipendenti e deve esistere una certa relazione tra le componenti di deforma-zione. Ricaveremo queste relazioni dapprima per il caso 2D e poi per il caso3D.

Per capire meglio il concetto, prima di sviluppare le relazioni matematiche,consideriamo dapprima una semplice interpretazione geometrica [3] (vedasi Fig.2.5). Consideriamo un solido discretizzato in elementi (a) nella configurazioneindeformata in (b). Consideriamo ora di assegnare agli elementi una deforma-

zione e tentiamo di ricostruire il solido: in (c) gli elementi sono stati deformatiin modo da tener conto della continuità con gli elementi vicini fornendo uncampo continuo di spostamenti, mentre in (d) gli elementi sono stati deformatiindividualmente senza alcun rispetto della continuità con gli elementi adiacenti.

Figura 2.5: Raffigurazione del concetto di congruenza delle deformazioni [3].

2.3.1 Problemi bidimensionali

Dalle Eq.2.5, per un solido 2D possiamo semplicemente scrivere:

x = ∂u

∂x, y =

∂v

∂y, γ xy =

∂u

∂y +

∂ v

∂x (2.19)

28



con derivazioni successive è possibile scrivere le relazioni:

∂ 2x∂y2

= ∂ 3u∂y2∂x

∂ 2y∂x2

= ∂ 3v∂x2∂y

∂ 2γ xy∂x∂y

= ∂ 3u∂y2∂x

+ ∂ 3v∂x2∂y

da cui otteniamo l’equazione di congruenza (nei testi inglesi viene detta compa-tibilità ):

∂ 2x∂y2

+ ∂ 2y

∂x2 =

∂ 2γ xy∂x∂y

(2.20)

Tale equazione differenziale deve essere soddisfatta dalle componenti di deforma-zione per assicurare che esistano funzioni u e v continue che possano esprimerele deformazioni attraverso la Eq. 3.3.

2.3.2 Problemi tridimensionali

Nei problemi tridimensionali si possono scrivere altre due equazioni simili allaEq. 2.20 permutando gli indici x − y − z e si ottiene:

∂ 2x∂y2

+ ∂ 2y

∂x2 =

∂ 2γ xy∂x∂y

∂ 2y∂z2

+ ∂ 2z

∂y2 =

∂ 2γ yz∂y∂z

∂ 2x∂z2

+ ∂ 2z

∂x2 =

∂ 2γ xz∂x∂z

(2.21)

Altre tre equazioni possono essere ottenute con uguale procedimento:

∂ 2x∂y∂z =

∂

∂x−

∂ yz∂x +

∂ xz∂y +

∂ xy∂z

∂ 2y∂x∂z

= ∂

∂y

− ∂ xz

∂y +

∂ xy∂z

+ ∂ yz

∂x

∂ 2z∂x∂y

= ∂

∂z

− ∂ xy

∂z +

∂ yz∂x

+ ∂ xz

∂y

(2.22)

Si può dimostrare che le 6 equazioni differenziali del secondo ordine 2.21 e 2.22sono equivalenti a tre equazioni differenziali del quarto ordine [3].

2.3.3 Compatibilità per il FEM*

Avendo introdotto la compatibilità attraverso la semplice spiegazione di Fig.

2.5, vale la pena approfondire come la compatibilità sia verificata in una analisiad Elementi Finiti.

Quando un solido viene discretizzato in elementi finiti, ad essi viene associatoun campo di spostamenti (u(x, y) e v(x, y) per problemi 2D, u(x,y,z), v(x,y,z)e w(x,y,z) per problemi 3D) che permetta di interpolare gli spostamenti nodali,

29



garantendo la compatibilità. Solitamente si assume una funzione polinomiale,per esempio per u(x, y) si adotta una funzione del tipo

u(x, y) = β 1 + β 2x + β 3y + β 4xy + β 5x2 + ... (2.23)

Il numero di coefficienti deve essere uguale al numero di nodi per permetterel’interpolazione (per esempio, un elemento a quatto nodi potrà avere soltantoquattro termini). La scelta di questi termini è dettata dal rispetto della condizio-ne di compatibilità, cioè in modo tale da evitare compenetrazioni o lacerazioninel modello quando i nodi dell’elemento subiscono spostamenti 4. All’internodell’elemento la condizione di compatibilità è automaticamente soddisfatta inquanto la funzione polinomiale è continua.

Resta allora da garantire la compatibilità tra un elemento e l’altro, cioè leespressioni dei campi di spostamento per elementi diversi aventi un lato in co-mune devono essere uguali quando valutate lungo questo lato comune. Nel caso

di elementi a quattro nodi, la scelta che rispetta questa condizione corrispondea un’espressione del tipo:

u(x, y) = β 1 + β 2x + β 3y + β 4xy (2.24)

Si può facilmente verificare che quando valutata lungo un lato, per esempio illato 1-2 dell’elemento di Fig. ??, l’espressione (2.24) diventa lineare. Infattiponendo x = x2 = x3, si avrà un espressione del tipo:

u(x, y) = β 1 + β 2x2 + β 3y + β 4x2y = α1 + α2y (2.25)

dove i valori dei coefficienti α1 e α2 dipenderanno solo dai valori assunti daglispostamenti nodali u1 e u2 dei nodi 1 e 2 posti agli estremi del lato in questione.

Questa considerazione vale in generale, qualsiasi sia l’elemento avente i nodi1 e 2 ai vertici di un lato, pertanto l’espressione sarà la stessa per l’elementostudiato e per quello adiacente avente il lato 1-2 in comune. La condizione dicompatibilità risulta allora soddisfatta.

1

23

4

u1

u2

x

u

y

v

Figura 2.6: Compatibilità degli spostamenti in elementi a 4 nodi.

4Il termine costante β1 deve essere presente per poter rappresentare moti rigidi.

30



y

x

z

stampo

materiale

!z

Figura 2.7: Schema di un materiale la cui deformazione lungo y è impedita.

La rigidezza del materiale lungo la direzione z è quindi:

E = σz

z=

E

1 − ν 2

Qundi l’impedire una deformazione risulta in una maggiore rigidezza del materiale sesollecitato nelle altre direzioni.

2.4.1 Direzione sforzi e deformazioni principali

Pensando all’analisi sperimentale dello stato di deformazione tramite rilievo conestensimetri, sorge spontanea la domanda se la direzione delle deformazioni

principali è la stessa degli sforzi principali.Analizzando uno stato piano di deformazione, possiamo riscrivere la eq.(2.13) come (consideriamo la deformazione θ = X):

θ = x + y

2 +

x − y2

· cos2θ + γ xy

2 sin2θ (2.27)

Sostituendo i valori delle deformazioni espressi in termini degli sforzi tramitela legge di Hooke per un materiale isotropo, è quindi possibile calcolare queivalori di θ p per i quali dθ/dθ = 0 (stiamo dunque cercando la direzione delledeformazioni principali). Risolvendo si ottiene:

dθdθ

= 0 → tan2θ p = 2 1+ν

E τ xy1+ν

E

(σx−

σy) =

2τ xy(σx

−σy)

ovvero in campo elastico lineare la direzione degli sforzi principali coincide conla direzione delle deformazioni principali. Questo risultato è generalizzabile aqualsiasi problema elastico lineare con materiale isotropo.

32



Esempio 2.5 Si consideri lo stato di deformazione dell’esempio 2.2: calcolare gli sfor-

zi principali.

In un problema piano la direzione perpendicolare alla superficie libera è scarica equindi σz = 0. Con questa condizione è possibile calcolare gli sforzi principali tramiteinversione delle (2.26) ottenendo:

σ1 = E

1 − ν 2

1 + ν2

σ2 = E

1 − ν 2

2 + ν1 (2.28)

da cui: σ1 = 59.34 MPa e σ2 = −42.2 MPa (nella realtà gli sforzi principali, in accordoalla regola σ1 > σ2 > σ3, sono: σ1 = 59.34, σ2 = 0 e σ3 = −42.2) .

2.4.2 Sforzo idrostatico e deformazione volumica

Introducendo le Eq.(2.26) nella definizione di deformazione volumica V nerisulta:

V = 1 − 2ν

E (σx + σy + σz) (2.29)

da cui si può vedere come la deformazione volumica sia controllata da I 1 (oppuredallo sforzo idrostatico σh = I 1/3). Va anche annotato, per il comportamentoplastico, come per ν = 0.5 → V = 0.

33



2.5.2 Legge di Hooke generalizzata

Utilizzando la convenzione degli indici ripetuti è possibile esprimere la legge diHooke generalizzata che stabilisce il legame elastico tra le componenti di sforzoe quelle di deformazione:

σij = C ijklkl con i, j, k,l = 1, 2, 3 (2.36)

dove σij e kl rappresentano rispettivamente il tensore del secondo ordine deglisforzi e quello delle deformazioni. Il legame lineare elastico e rappresentato daltensore C ijkl del quarto ordine.

In riferimento all’Eq.(2.36) la prima componente del tensore degli sforzi puòessere scritta come:

σ11 = C 11klkl =C 11111111 + C 11121112 + C 11131113

+ C 11211121 + C 11221122 + C 11231123+ C 11311131 + C 11321132 + C 11131133

(2.37)

e in maniera analoga è possibile scrivere tutte le altre componenti del tensoredegli sforzi. Il tensore C ijkl, considerando che ciascun indice può variare da 1 a 3,presenta quindi 3×3×3×3 = 81 costanti. Introducendo la simmetria del tensoredegli sforzi e di quello delle deformazioni il numero di costanti indipendenti siriduce. La simmetria del tensore dgli sforzi impone che:

σij = σji (2.38)

e quindi:

σij = C ijklkl = σji = C jiklkl (2.39)

che impone la seguente condizione:

C ijkl = C jikl (2.40)

che riduce il numero di costanti indipendenti. Si consideri per esempio il casoi = 1, j = 2:

σ12 = C 12klkl = σ21 = C 21klkl (2.41)

che introduce le seguenti 9 relazioni tra le 81 costanti:

C 12kl = C 21kl =

C 1211 = C 2111C 1212 = C 2112C 1213 = C 2113

C 1221 = C 2121C 1222 = C 2122C 1223 = C 2123C 1231 = C 2131C 1232 = C 2132C 1233 = C 2133

(2.42)

35



In maniera analoga si può definire la matrice di cedevolezza [S ]:

ij = S ijklσkl =⇒ [] = [S ] [σ] = i = S ijσj =⇒

123456

=

S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 16S 12 S 22 S 23 S 24 S 25 S 26S 13 S 23 S 33 S 34 S 35 S 36S 14 S 24 S 34 S 44 S 45 S 46S 15 S 25 S 35 S 45 S 55 S 56S 16 S 26 S 36 S 46 S 56 S 66

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

(2.53)

2.5.4 Simmetria nei materiali

I materiali possono presentare delle simmetrie che riducono ulteriormente ilnumero delle costanti indipendenti della matrice di rigidezza.

Un materiale presenta una simmetria rispetto a due sistemi di riferimento,xi e xi, se la matrice di rigidezza che lega sforzi e deformazioni rimane la stessa:

σij = C ijklkl ⇐⇒ σi = C ijj

σij = C ijklkl ⇐⇒ σi = C ijj

(2.54)

Quindi se C ijlk = C ijlk.

Piano di simmetria

Si ipotizzi che il materiale abbia un comportamento simmetrico rispetto al pianox1 − x2, vedi Figura 2.8.

Figura 2.8: Piano di simmetria materiale.

Si può definire la matrice di rotazione per passare dal sistema di riferimentoxi al sistema xi:

T =

1 0 0

0 1 00 0 −1

(2.55)

38



ottenendo:

[σ] = [T ] [σ]

T T

=⇒σ11 σ12 σ13

σ12 σ22 σ23σ13 σ23 σ33

=

1 0 0

0 1 00 0 −1

σ11 σ12 σ13

σ12 σ22 σ23

σ13 σ23 σ33

1 0 0

0 1 00 0 −1

=⇒

σ11 σ12 σ13

σ12 σ22 σ23σ13 σ23 σ33

=

σ11 σ12 −σ13

σ12 σ22 −σ23

−σ13 −σ23 σ33

(2.56)e pasando alla notazione vettoriale, Eq.(2.45) e Eq.(2.46):

σ1σ2σ3σ4σ5σ6

=

σ11σ22σ33σ23σ13σ12

=

σ11σ22

σ33

−σ23

−σ13

σ12

=

σ1σ2

σ3

−σ4

−σ5

σ6

(2.57)

Lo stesso procedimento può essere esteso alle deformazioni, ottenendo:

123456

=

123

−4

−5

6

(2.58)

Introducendo la matrice di rigidezza si può scrivere:

σi = C ijj =⇒ σi = C i11 + C i22 + C i33 + C i44 + C i55 + C i66 (2.59)

nel sistema di riferimento xi, e in maniera analoga:

σi = C ijj =⇒ σi = C i11 + C i22 + C i33 + C i44 + C i55 + C i66 (2.60)

nel sistema di riferimento xi.Considerando per esempio i = 1 si ottiene:

σ1 = C 111 + C 122 + C 133 + C 144 + C 155 + C 166 (2.61)e, considerando l’Eq.(2.58) e la simmetria che impone C ij = C ij :

σ1 = C 111 + C 122 + C 133 + C 144 + C 155 + C 166= C 111 + C 122 + C 133 − C 144 − C 155 + C 166= C 111 + C 122 + C 133 − C 144 − C 155 + C 166

(2.62)

39



Ricordando infine che σ1 = σ 1, vedi Eq.(2.57), si ottiene:

C 14 = −C 14C 15 = −C 15

(2.63)

che presenta come unica soluzione C 14 = C 15 = 0.Allo stesso modo si può dimostrare che:

C 24 = C 25 = C 34 = C 35 = C 46 = C 56 = 0 (2.64)

Tre piani di simmetria

Estendendo il discorso precedente al caso di 3 piani di simmetria si ottiene, vediFig.(2.8):

Piano di simmetria x1 − x2 : C 14 = C 15 = C 24 = C 25 = C 34 == C 35 = C 46 = C 56 = 0

Piano di simmetria x2 − x2 : C 16 = C 26 = C 36 = C 45 = 0Piano di simmetria x1 − x3 : nessuna condizione aggiuntiva su C ij

(2.65)

La matrice di rigidezza diventa così formata da 9 costanti indipendenti:

C ij =

C 11 C 12 C 13 0 0 0C 12 C 22 C 23 0 0 0C 13 C 23 C 33 0 0 0

0 0 0 C 44 0 00 0 0 0 C 55 00 0 0 0 0 C 66

(2.66)

Asse di simmetria

x1

x2

x3

x’ 1

x’ 3 x’ 2

θ

θ

Figura 2.9: Asse di simmetria.

40



Con procedimento analogo al precedente si può dimostare che nel caso dimateriale che presenta una simmetria rispetto ad una asse di rotazione x1, vedi

Fig.(2.9), il numero di costanti indipendenti della matrice di rigidezza si riducea 5:

C ij =

C 11 C 12 C 12 0 0 0C 12 C 22 C 12 0 0 0C 12 C 12 C 33 0 0 0

0 0 0 C 22−C 332 0 0

0 0 0 0 C 66 00 0 0 0 0 C 66

(2.67)

Tre assi di simmetria

Nel caso di 3 assi di simmetria il numero di costanti indipendenti si riduce a 2:

C ij =

C 11 C 12 C 12 0 0 0C 12 C 11 C 12 0 0 0C 12 C 12 C 11 0 0 0

0 0 0 C 11−C 122 0 0

0 0 0 0 C 11−C 122 0

0 0 0 0 0 C 11−C 122

(2.68)

2.5.5 Materiale anisotropo

Un materiale anisotropo non presenta nessun simmetria. La matrice di rigidezza,o cedevolezza, è formata da 21 costanti indipendenti, vedi Eq.(2.52) e Eq.(2.53).

2.5.6 Materiale ortotropoUn materiale ortotropo presenta 3 piani di simmetria riducendo il numero dicostanti indipendenti a 9, vedi Eq.(2.66).

Le 9 costanti indipendenti vengono generalmente espresse rispetto ai modulidi elasticità E i e ai coefficienti di Poisson ν ij valutati sperimentalmente nellediverse direzioni del materiale ortotropo.

La matrice di cedevolezza può così essere scritta come:

i = S ijσj =⇒ [] = [C ] [σ]

=⇒

12

3456

=

1E 1

−ν 21E 2

−ν 31E 3

0 0 0

−ν 12E 1

1E 2

−ν 32E 3

0 0 0

−ν 13E 1 −

ν 23E 2

1E 3 0 0 0

0 0 0 1G23

0 0

0 0 0 0 1G13

0

0 0 0 0 0 1G12

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

(2.69)

dove per simmetria valgono le seguenti relazioni:

41



ν 21

E 2=

ν 12

E 1ν 31E 3

= ν 13E 1

ν 23E 2

= ν 32E 3

(2.70)

Allo stesso modo la matrice di rigidezza può così essere scritta come:

σi = C ijj =⇒ [σ] = [C ] [] =⇒

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

=

1−ν 23ν 32E 2E 3∆

ν 21+ν 23ν 31E 2E 3∆

ν 31+ν 21ν 32E 2E 3∆

0 0 0ν 21+ν 23ν 31E 2E 3∆

1−ν 13ν 31E 1E 3∆

ν 32+ν 12ν 31E 1E 3∆

0 0 0ν 31+ν 21ν 32E 2E 3∆

ν 32+ν 12ν 31E 1E 3∆

1−ν 12ν 21E 1E 2∆

0 0 0

0 0 0 G23 0 00 0 0 0 G13 00 0 0 0 0 G12

123456

(2.71)

dove:

∆ = (1 − ν 12ν 21 − ν 23ν 32 − ν 13ν 31 − 2ν 21ν 32ν 13)

E 1E 2E 3(2.72)

2.5.7 Materiale isotropo

Un materiale isotropo presenta 3 assi di simmetria riducendo il numero dicostanti indipendenti a 2, vedi Eq.(2.68).

Le 2 costanti indipendenti vengono generalmente espresse rispetto al modulo

di elasticità E e al coefficienti di Poisson ν .La matrice di cedevolezza può così essere scritta come:

i = S ijσj =⇒ [] = [S ] [σ]

=⇒

123456

=

1E − ν

E − ν E 0 0 0

− ν E

1E − ν

E 0 0 0− ν

E − ν E

1E 0 0 0

0 0 0 1G 0 0

0 0 0 0 1G 0

0 0 0 0 0 1G

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

(2.73)

dove si può dimostare che:

G = E

2 (1 + ν ) (2.74)

Tale legame può anche essere espresso in maniera semplice utilizzando lanotazione indiciale:

42



ij = 1 + ν

E σij

− ν

E σkkδ ij (2.75)

dove:

σkk = σ11 + σ22 + σ33 (2.76)

e δ ij rappresenta il delta di Kronecker:

δ ij =

1 se i = j0 se i = j

(2.77)

E’ possibile anche introdurre la notazione tensoriale:

ij = S ijklσkl (2.78)

dove:

S ijkl = − ν

E δ ijδ kl +

1 + ν

2E (δ ikδ jl + δ jkδ il) (2.79)

Allo stesso modo la matrice di rigidezza può così essere scritta come:

σi = C ijj =⇒ [σ] = [C ] [] =⇒

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

=

(1−ν )E (1+ν )(1−2ν )

νE (1+ν )(1−2ν )

νE (1+ν )(1−2ν ) 0 0 0

νE (1+ν )(1−2ν )

(1−ν )E (1+ν )(1−2ν )

νE (1+ν )(1−2ν ) 0 0 0

νE (1+ν )(1−2ν )

νE (1+ν )(1−2ν )

(1−ν )E (1+ν )(1−2ν ) 0 0 0

0 0 0 G 0 00 0 0 0 G 00 0 0 0 0 G

12345

6

(2.80)

dove:

G = E

2 (1 + ν ) (2.81)

Anche in questo caso è possibile introdurre la notazione indiciale:

σij = E

1 + ν ij − νE

(1 + ν )(1 − 2ν )kkδ ij (2.82)

dove:

kk = 11 + 22 + 33 (2.83)E’ possibile infine anche introdurre la notazione tensoriale:

σij = C ijklkl (2.84)

dove:

43



C ijkl = − νE (1 + ν )(1 − 2ν )

δ ijδ kl + E 2(1 + ν )

(δ ikδ jl + δ jkδ il) (2.85)

44



2.6 Appendice

E’ utile scrivere le relazioni tra spostamenti e deformazioni nei riferimenti, di-versi da quello cartesiano finora adottato, cilindrico e sferico. Tali relazioniverranno utilizzate nei capitoli successivi per la soluzione di alcuni problemi re-lativi allo stato di sforzo.

Riferimento cilindrico (r, θ, z)

Detti (u, v, w) gli spostamenti nelle direzioni (r, θ, z), le deformazioni si espri-mono come:

r = ∂u

∂r, θ =

1

r

∂v

∂θ + u

, z =

∂w

∂z

γ rθ = 1

r

∂u

∂θ +

∂ v

∂r − v

rγ rz =

∂w

∂r +

∂ u

∂r

γ θz =

∂v

∂z +

1

r

∂w

∂θ

(2.86)

Riferimento sferico (r, θ, φ)

Detti (u, v, w) gli spostamenti nelle direzioni (r, θ, φ) (dove φ misura l’angolotra il raggio considerato e la direzione positiva dell’asse z) , le deformazioni siesprimono come:

r = ∂u

∂r, θ =

1

r

∂v

∂θ + u

, z =

1

r sin θ

∂w

∂φ + u sin θ + v cos θ

γ rθ =

1

r

∂u

∂θ +

∂ v

∂r − v

r

γ rφ =

∂w

∂r − w

r +

1

r sin θ

∂u

∂φ

γ θφ = 1

r sin θ

sin θ

∂w

∂θ − w cos θ +

∂v

∂φ

(2.87)

45



Parte II

Problemi elastici

46



Capitolo 3

Soluzione analitica di

problemi elastici piani

Si illustra la soluzione di una serie di problemi elastici importanti sulla base del potenziale

di Airy. Questo tipo di analisi sono sono dello stesso tipo di quelle adottate per le lastre

piane e lo stato di sforzo all’apice di fratture 1.

3.1 Problemi piani

3.1.1 Stato di sforzo piano

Consideriamo ora il problema della determinazione dello stato di sforzo in unsolido bidimensionale sottile in cui le facce laterali siano scariche (Fig. 3.1(a)).

In tal caso σz, σxz, σyz = 0 e lo stato di sforzo si riduce alle sole componenti:σx σxy

σy

che devono anche soddisfare le condizioni al contorno:σxnx + σxyny = tx

σxynx + σyny = ty(3.1)

dove tx, ty sono le componenti delle forze di superficie applicate bordo del solidoe nx, ny sono le componenti del versore che definisce la direzione della normale albordo. Risolvere lo stato di sforzo nel solido significa ricavare le tre componenti

incognite con le condizioni già viste:

1a cura di S. Beretta e M. Sangirardi

47



(a) (b)

Figura 3.1: Problemi piani: a) stato di sforzo piano; b) stato di deformazionepiana.

equazioni di equilibrio :

∂σx

∂x +

∂ σxy∂y

= 0

∂σxy

∂x +

∂ σy∂y

= 0

(3.2)

legame sforzi-deformazioni

x = 1E (σx − νσy), y =

1E (σy − νσx), γ xy =

2(1+ν )E σxy

z = ν E (σx + σy) γ xz = γ yz = 0

(3.3)

Sembra ragionevole pensare che nella membrana bidimensionale che stiamo con-siderando gli spostamenti u, v siano funzione solo delle variabili x ed y e chenon vi sia alcuno spostamento w fuori dal piano: nella realtà z = 0 e quindi lamembrana varia di spessore da punto a punto.

3.1.2 Stato di deformazione piana

Se consideriamo u = u(x, y) e v = v(x, y) insieme con la condizione γ xz = γ yz =0, dalle Eq.2.5 si ricava che:

∂w

∂x =

∂w

∂y = 0

ovvero w è indipendente da x ed y e, se consideriamo dei problemi come quelloin Fig.3.1(b) in cui il corpo è esteso indefinitamente nella direzione z , ci imma-giniamo facilmente che z non dipenda da z. Poichè z = ∂w/∂z ne segue chez = c = cost.

48



Questo tipo di stato di deformazione corrisponde a quello di un solido in cuile dimensioni del corpo lungo z fanno sì che le sezioni (perpendicolari all’assez) si mantengano piane . Se come in Fig.3.1(b) il corpo è vincolato lungo z, ladeformazione è impedita e z = 0 2. Dalle Eq.2.5 si ricava che in tale condizione:

σz = ν (σx + σy) (3.4)

Il legame sforzi-deformazioni risulta quindi:

x = 1 − ν 2

E

σx − ν

1 − ν σy

y = 1 − ν 2

E

σy − ν

1 − ν σx

γ xy = 2(1 + ν )

E σxy, γ xz = γ yz = 0

(3.5)

Lo stato di deformazione piana è quindi corrispondente allo sforzo piano con leposizioni (come già visto anche nell’esempio 2.4):

E = E

1 − ν 2, ν =

ν

1 − ν (3.6)

3.1.3 Soluzione

Se ricordiamo la Eq. (2.20) di congruenza:

∂ 2x∂y2

+ ∂ 2y

∂x2 =

∂ 2γ xy∂x∂y

esprimendo le deformazioni in termini degli sforzi si ottiene:

∂ 2

∂y2(σx − νσy) +

∂ 2

∂x2(σy − νσx) = 2(1 + ν )

∂ 2σxy∂x∂y

Derivando rispetto a x e y le equazioni di equilibrio e facendo la somma di taliderivate si ottiene:

∂ 2σx∂x2

+ ∂ 2σy

∂y2 = −2

∂ 2σxy∂x∂y

(3.7)

Introducendo tale equazione in quella precedente finalmente è possibile riscriverela Eq.(2.20) come:

∂ 2

∂x2 +

∂ 2

∂y2

(σx + σy) = 0 (3.8)

Questa equazione, insieme con le equazioni al contorno, permette di risolvere in

forma chiusa dei problemi elastici 2D. L’ulteriore importante osservazione è cheσx + σy deve essere una funzione armonica indipendente dalle caratteristiche delmateriale.

2Se non vi fossero vincoli la condizione z = c si può ottenere facilmente sovrapponendoallo stato di sforzo corrispondente a z = 0 uno sforzo uniforme che annulli la risultante deglisforzi in z .

49



3.2 Funzione di Airy

Un modo particolarmente efficace di trovare soluzioni per problemi elastici 2D fuproposto da Airy [1] che formulò che la soluzione potesse essere trovata tramiteuna funzione Φ = Φ(x, y) detta funzione di sforzo tale che:

σx = ∂ 2Φ

∂y2

σy = ∂ 2Φ

∂x2

σxy = − ∂ 2Φ

∂x∂y

(3.9)

Introducendo tali posizioni, che soddisfano le condizioni di equilibrio, nellaEq.(3.8) si ottiene:

∂ 4

Φ∂x4

+ 2 ∂ 4

Φ∂x2y2

+ ∂ 4

Φ∂y4

= 0 (3.10)

ovvero la funzione Φ deve essere biarmonica. Questo semplifica la ricerca del-la soluzione dei problemi elastici in quanto esistono dei metodi per ’costruire’funzioni biarmoniche [5]. Nel seguito esaminiamo alcuni semplici esempi.

3.2.1 Semplici esempi di funzione Φ

Consideriamo dapprima Φ in termini di un semplice polinomio del secondoordine:

Φ = a2

2 · x2 + b2 · xy +

c22 · y2 (3.11)

Per le (3.9) risulta: σx = c2

σy = a2σxy = −b2

(3.12)

ovvero la (3.11) rappresenta la funzione di sforzo che descrive una membranasoggetta ad uno stato di sforzo uniforme. Una funzione polinomiale del terzoordine del tipo:

Φ = a3

6 · x3 +

b32 · x2y +

c32 · xy2 +

d3

6 · y3 (3.13)

fornisce delle componenti di sforzo che variano linearmente con le coordinatex, y:

σx = c3x + d3yσy = a3x + b3y

σxy = −b3x − c3y

(3.14)

se solo d3 = 0 allora le componenti di sforzo diventano:

σx = d3yσy = 0

σxy = 0(3.15)

50



ovvero la Φ descrive una membrana soggetta a flessione semplice.

3.2.2 Soluzioni per serie

Semipiano elastico con pressione cosinusoidale

y

x

LL

Figura 3.2: Semipiano indefinito caricato da una pressione tipo cos kx.

Consideriamo un semipiano elastico caricato da uno sforzo σy = σ0 cos kx conk = 2π/L. Poichè lo stato di sforzo superficiale ha una risultante nulla (su unalunghezza d’onda L) ci si aspetta che ad una distanza sufficiente all’interno delsemispazio elastico lo stato di sforzo si annulli. Se consideriamo una funzionedi sforzo del tipo:

Φ(x, y) = f (y) · cos kx (3.16)

introducendo tale funzione nella Eq.(3.10) ne risulta una equazione differenziale:

d4f

dy4 − 2k2

d2f

dy2 + k4f = 0 (3.17)

la cui soluzione è del tipo:

f (y) = A · eky + B · e−ky + C · y · eky + D · y · e−ky (3.18)

Le costanti A,B, C,D si ricavano con le condizioni al contorno. In particolarela condizione che per y → ∞ lo stato di sforzo si annulli impone che A = C = 0.Ricavando le componenti di sforzo ed imponendo le condizioni al contorno siricavano le costanti B e D , in particolare:

σy(x, 0) = σ0 cos kx

σxy(x, 0) = 0 →

B = −σ0/k2

D = −σ0/k

Lo stato di sforzo nel semipiano elastico risulta quindi:

σy = (1 + ky)σ0 · e−ky · cos kx

σx = (1 − ky)σ0 · e−ky · cos kx

σxy = −kσ0 · y · e−ky · sin kx

(3.19)

51



Si può facilmente verificare come lo stato di sforzo diminuisca rapidamente al-l’interno del semipiano elastico (ad esempio risulta σy(x, L) = 0.014σ0 cos kx),

confermando il principio di Saint-Venant.

Barretta caricata assialmente da una pressione locale

Consideriamo il problema di una barretta caricata su due lati da una pres-sione costante q su un segmento di lunghezza 2a. La pressione q può essererappresentata dalla seguente serie:

q = A0 +

∞m=1

Am cos mπx

L (3.20)

dove:

A0 = qa

L Am =

1

L a

−aq cos

mπx

L dx =

2q sin(mπa/L)

mπ

La Φ che risolve il problema conterrà un termine in x2 e dei termini come quellidella Eq.(3.16) per ognuna delle m armoniche. Lo stato di sforzo [1] σy risulta:

σy = −qa

L

∞m=1

sin αa

m

(αc cosh αc + sinh αc)cosh αy − αy sinh αy sinh αc

sinh2αc + 2αc cos αx

(3.21)in cui α = mπ/L.

Se immaginiamo il caso di una barretta caricata da una forza P concentratasi può utilizzare la stessa soluzione immaginando che a → 0 e qa = P/2. Inparticolare la distribuzione di sforzo σy nella barretta appare quasi uniformegià ad una distanza pari alla larghezza della barretta, similmente ai risultati già

ottenuti con lo smorzamento delle tensioni nel semipiano elastico, in accordo alprincipio di Saint-Venant.

52



y

x

LL

aa

q

q

c

c

Figura 3.3: Barretta caricata da una pressione localizzata.

y

x

LL

P

c

c

P

(a) (b)

Figura 3.4: Barretta caricata da un carico concentrato: a) schema; b) soluzione [1].

53



La funzione di Airy in coordinate polari è una funzione Φ tale che:

σr = 1r

∂ Φ∂r

+ ∂ 2Φr2∂θ2

σθ = ∂ 2Φ

∂r2

σrθ = 1

r2∂ Φ

∂θ − 1

r

∂ 2Φ

∂r∂θ

(3.28)

Con tali posizioni, che soddisfano le condizioni di equilibrio, la (3.27) diventa: ∂ 2

∂r2 +

∂

r∂r +

∂ 2

r2∂θ2

∂ 2Φ

∂r2 +

∂ Φ

r∂r +

∂ 2Φ

r2∂θ2

= 0 (3.29)

Problemi assialsimmetrici

Consideriamo ora un sottoinsieme di problemi elastici piani: i problemi elasticinei quali lo stato di sforzo e deformazione non dipende da θ (lo sforzo e defor-mazione è uguale per ogni θ e possiamo quindi dire che ogni piano radiale è disimmetria). In tali condizioni l’unico campo di spostamento è ur e le Eq.(3.22)si semplificano in:

r = ∂ur

∂r θ =

urr

γ rθ = 0 (3.30)

Immaginiamo per i problemi assialsimmetrici una funzione di sforzo Φ = Φ(r),in tal caso l’equazione biarmonica diventa una equazione differenziale:

d2

dr2 +

1

r

d

dr

d2Φ

dr2 +

1

r

dΦ

dr

(3.31)

che ammette una soluzione del tipo:

Φ(r) = A log r + Br2 log r + Cr2 + D (3.32)

3.3.1 Membrana forata soggetta a carico biassiale

Consideriamo il problema di una membrana contenente un foro di raggio ae soggetta ad un carico remoto S biassiale (Fig.3.6), il problema può essererisolto sulla base della Φ(r) prima vista. In particolare le componenti di sforzorisultano:

σr =

A

r2 + B(1 + 2 log r) + 2C

σθ = − A

r2 + B(3 + 2 log r) + 2C

σrθ = 0

(3.33)

55



S

S

S

S 2a

Figura 3.5: Membrana forata soggetta ad uno sforzo remoto S biassiale (S,S, 0)

Poichè per r → ∞ lo sforzo deve essere finito deve essere B = 0 4, imponendole ulteriori condizioni al contorno si ottengono le costanti A e C . In particolare:

σr = S per r → ∞σr(a) = 0

→

2C = S A = −Sa2

Lo stato di sforzo nella membrana forata risulta quindi:

σr = S 1 − a2

r2 σθ = S 1 + a2

r2 (3.34)

Si può vedere come per r = a risulta σθ = 2S , ovvero nella membrana soggettaad un carico biassiale un foro piccolo (piccolo rispetto alle dimensioni dellamembrana) crea una concentrazione di sforzo con K t = 2.

3.3.2 Foro in una membrana indefinita soggetto a caricoradiale

Consideriamo una membrana indefinita con una foro di raggio a soggetta ad uncarico radiale S. La soluzione è ancora del tipo precedente con:

σr = A

r2 + 2C

σθ = − Ar2 + 2C

σrθ = 0

(3.35)

4il termine B corrisponde a spostamenti non assialsimmetrici [1] e può venire annullatoanche imponendo che il campo di spostamenti del problema in esame (come in questo caso)sia assialsimmetrico.

56



S

2a

Figura 3.6: Membrana forata soggetta ad un carico radiale S

Imponendo le condizioni al contorno si ottiene la distribuzione di sforzo:

σr = 0 per r → ∞

σr(a) = S →

σr = S a2

r2

σθ = −S a2

r2

(3.36)

Possiamo quindi dire che un carico distribuito sul contorno del foro da unaconcentrazione di sforzo locale con un K t = −1.

Esempio 3.1 Si può arrivare allo stesso risultato immaginando che lo stato di sforzodi Fig. 3.6 sia la sovrapposizione di due stati di sforzo qui di seguito rappresentati, dicui il primo è uno stato di sforzo biassiale uniforme.

S

2a

S

S

S

S

(a)

2a

S

S

S

S

(b)

Figura 3.7: Membrana forata soggetta a carico assiale come sovrapposizione di:a) sforzo uniforme; b) sforzo (−S, −S, 0).

57



3.3.3 Membrana forata soggetta a taglio

Consideriamo la membrana forata indefinita già esaminata soggetta ad unosforzo remoto (0, 0, S ):

σx = 0 σy = 0 σxy = S

lo sforzo remoto in coordinate polari risulta:

σr = S sin2θ σθ = −S sin2θ σrθ = S cos2θ

Per θ = π/4 si ha σr = S, σθ = −S, σrθ = 0 che corrisponde allo stato di sfor-zo nelle direzioni principali (Fig.3.8(b)). Ricordando le Eq.(3.28) ricerchiamo,come già visto in Sez.3.2.2, una funzione di sforzo del tipo:

Φ(r, θ) = f (r)sin2θ

Con tale posizione l’equazione biarmonica diventa: d2

dr2 +

1

r

d

dr − 4

r2

d2f

dr2 +

1

r

df

dr − 4f

r2

(3.37)

Inserendo una soluzione del tipo f (r) = rm si ottengono le 4 radici 2, −2, 0, 4e corrispondentemente la funzione di sforzo sarà:

Φ(r, θ) =

Ar2 + Br4 +

C

r2 + D

sin2θ (3.38)

2a

S

S

(a)

2a

S

S

AB

(b)

Figura 3.8: Membrana forata soggetta a taglio: a) sforzo (0, 0, S ); b) sforzo incoordinate polari (è evidenziato lo stato di sforzo per θ = π/4).

58



Le componenti di sforzo risultano:

σr = −2A + 6C r4

+ 4Dr2

sin2θ

σθ =

2A + 12Br2 +

6C

r4

sin2θ

σrθ =

− 2A − 6Br2 +

6C

r4 +

2D

r2

cos2θ

Imponendo le condizioni al contorno: σr = S sin2θ per r → ∞σrθ = S cos2θ per r → ∞ →

A = −S/2

B = 0

e:

σr(a) = 0

σrθ(a) = 0 → D = Sa2

C = −Sa4/2

Lo stato di sforzo nella membrana risulta quindi:

σr = S

1 + 3a4

r4 − 4

a2

r2

sin2θ

σθ = −S

1 + 3a4

r4)sin2θ

σrθ = S

1 − 3a4

r4 + 2

a2

r2

cos2θ

(3.39)

Se analizziamo lo stato di sforzo nei punti A (θ = π/4) e B (θ = 3π/4) sul bordodel foro otteniamo:

σθ(a,

π

4) =

−4S

σθ(a, 3

4π) = 4S

Considerando lo stato di sforzo remoto (di trazione per θ = π/4 e di compres-sione per θ = 3π/4), ne possiamo concludere che uno sforzo remoto tangenzialeprovoca sul bordo del foro un fattore di concentrazione degli sforzi K t = 4 incorrispondenza delle direzioni degli sforzi principali.

3.3.4 Membrana forata soggetta a carico assiale

Soluzione analitica

Lo stato di sforzo nella membrana (vedasi il riferimento di Fig.3.9) risulta:

σr = S 2

(1 + cos 2θ)

σθ = S

2 (1 − cos2θ)

σrθ = −S

2 sin2θ

(3.40)

59



S SA

B

I

II

x

y r

!

2a

Figura 3.9: Membrana forata soggetta ad un carico assiale.

Dovendo imporre le condizioni al contorno remoto e sul foro circolare scarico, si

può utilizzare una funzione di Airy del tipo:

Φ(r, θ) = Ar2 + B log r + Cr2 cos2θ + D

r2 cos 2θ + F cos 2θ (3.41)

Tramite le Eq.(3.28) si ottengono le componenti di sforzo. Imponendo che perr → ∞ lo stato di sforzo equivalga alle (3.40) si ottiene:

A = S/4C = −S/4

Imponendo che per r = a:

σr(a, θ) = 0σrθ(a, θ) = 0

→

B = −Sa2/2F = Sa2/2

D = −Sa4/4

La distribuzione finale di sforzo risulta:

σr(r, θ) = S

2 − S a2

2r2 +

S

2 cos2θ + 3

Sa4

2r4 cos2θ − 2

Sa2

r2 cos2θ

σθ(r, θ) = S

2 +

S a2

2r2 − S

2 cos2θ − 3

Sa4

2r4 cos2θ

σrθ(r, θ) = −S

2 sin2θ + 3

Sa4

2r4 sin2θ − S a2

r2 sin2θ

(3.42)

Sul bordo del foro lo sforzo risulta:

σr = 0

σθ = S ·

(1−

2cos2θ)

τ rθ = 0

(3.43)

I massimi e minimi di σtheta sono:

σθ,A = 3S per θ = π/2, 3π/2

σθ,B = −S per θ = 0, π

60



Se consideriamo la sezione I − I , che passa per il centro del foro e corrispondea θ = π/2, gli sforzi dalla (3.42) risultano (Fig. 3.10):

σr = 3

2S

a2

r2 − a4

r4

σθ = 1

2S

2 +

a2

r2 + 3

a4

r4

τ rθ = 0

(3.44)

E’ facile vedere il carattere locale della concentrazione di sforzo in quanto σθdecresce molto rapidamente e tende allo sforzo S . Già per r/a = 5 si ottieneσθ = 1.02S e quindi a partire da una tale distanza l’effetto del foro è trascurabile.

Lungo la linea I I − II (θ = 0) gli sforzi sono (Fig. 3.11):

σr = 12

S

2 − 5 a2

r2 + 3 a

4

r4

σθ = 1

2S

a2

r2 − 3

a4

r4

τ rθ = 0

(3.45)

Anche in questo caso va annotato il carattere locale dello sforzo circonferenzialein B, l’andamento di σθ cambia di segno in quanto la risultante di tali sforzilungo la linea I I − II deve essere nulla.

Soluzione come sovrapposizione degli effetti

Se consideriamo una membrana caricata da uno sforzo (0, S, 0) si può notare

come lo stato di sforzo possa ottenersi come sovrapposizione dei due stati di

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

r/a

! "

/ S , !

r / S

!" / S

!r / S

Figura 3.10: Sforzi adimensionalizzati lungo la linea I − I .

61



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10!1

!0.8

!0.6

!0.4

!0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/a

! "

/ S , !

r / S

!" / S

!

r

/ S

Figura 3.11: Sforzi adimensionalizzati lungo la linea I I − II .

sforzo mostrati in Fig.3.12 dei quali già conosciamo le soluzioni. In partico-lare nel punto A (sulla base dei K t delle sezioni precedenti) lo stato di sforzocirconferenziale risulta:

σθ = 2 · (0.5S ) + 4 · (0.5S ) = 3S

0.5 S

0.5 S

0.5 S

0.5 S

(a)

0.5 S

0.5 S0.5 S

0.5 S

(b)

Figura 3.12: Membrana forata soggetta a carico assiale come sovrapposizione di:a) sforzo (0.5S, 0.5S, 0); b) sforzo (

−0.5S, 0.5S, 0).

e nel punto B:σθ = 2 · (0.5S ) − 4 · (0.5S ) = −S

Lo stato di sforzo lungo le linee I e I I può altresì essere ottenuto sovrapponendoσr e σθ dei due casi.

62



3.3.5 Carico concentrato su un semispazio elastico

Data una membrana caricata da una forza concentrata P (P è una forza per unitàdi lunghezza poichè ripartita sull’intero spessore della membrana di spessoreunitario, Fig. 3.13), è possibile calcolare in modo semplice la distribuzione disforzo esatta nella membrana. Poichè per r → ∞ lo sforzo deve annullarsi èfacile immaginare (anche dal punto di vista dimensionale) che le componenti disforzo debbano essere espressi da relazioni del tipo:

σij(r, θ) = P

r gij(θ) (3.46)

Se ipotizziamo una funzione di sforzo del tipo:

Φ = rP f (θ) (3.47)

introducendo nella Eq.(3.29) diventa una equazione differenziale ordinaria:

f + 2d2f

dθ2 +

d4f

dθ4 = 0 (3.48)

la cui soluzione è:

f (θ) = A sin θ + B cos θ + Cθ sin θ + Dθ cos θ (3.49)

Ne risulta una funzione di sforzo:

Φ = rP

A sin θ + B cos θ + Cθ sin θ + Dθ cos θ

(3.50)

Poichè i termini in sin θ e cos θ non danno contributi agli sforzi (essendo x =

r cos θ ed y = r sin θ) e cerchiamo una soluzione tale che σr sia simmetricarispetto a θ = 0, se ne ricava che la funzione di sforzo sarà:

Φ(r, θ) = rPCθ sin θ (3.51)

Figura 3.13: Carico P concentrato sul bordo di una membrana.

63



La costante C si ricava imponendo che lungo una semicirconferenza di raggio rvi sia equilibrio alla traslazione in x:

π/2−π/2

σr cos θrdθ = −P (3.52)

da cui si ottiene C = −1/π. Le equazioni dello stato di sforzo risultano:σr = −2P

π

cos θ

rσθ = σrθ = 0

(3.53)

ovvero la forza P da origine solo a degli sforzi radiali mentre le altre componentidi sforzo sono nulle. E’ importante annotare come lo stato di sforzo sia sin-golare, ovvero per r

→ 0 σr

→ ∞: tuttavia in un componente vero a mitigare

questa singolarità interviene la non-linearità del contatto (se immaginiamo adesempio il contatto di una superficie cilindrica di raggio qualunque sul semipia-no elastico, il contatto idealmente è puntiforme come in Fig.3.13 ma gli sforzifanno deformare le superfici a contatto facendo aumentare l’area di contatto)ed eventualmente la plasticizzazione localizzata nella zone di applicazione delcarico.

Se calcoliamo le componenti di sforzo nel riferimento X − Y di Fig. 3.13 aduna distanza h dal bordo della membrana otteniamo:

σx = σr cos2 θ = −2P

π

cos3 θ

r = −2P

πhcos4 θ

σy = σθ sin2 θ = −2P

πhsin2 θ cos2 θ

σxy = σrθ sin θ cos θ = −2P πh

sin θ cos3 θ

(3.54)

L’andamento di tali sforzi è riportato in Fig.3.15: si nota come gli sforzi (il cuivalore massimo è inversamente proporzionale ad h) decrescano rapidamente conla distanza dalla retta di applicazione del carico.

Una soluzione approssimata σ∗x per la componente di sforzo nella direzione delcarico può essere trovata immaginando che gli sforzi σ∗x dovuti a P si sviluppi-no su un settore angolare del semipano di semiampiezza π/4 [6]. Il valore ditale sforzo vale σ∗x = −P/2h e sottostima del 27% il valore massimo effettivoσx,max = −2P/πh.

64



Capitolo 4

Intagli e concentrazione di

sforzo

Si riprendono alla luce del Cap. 2 i concetti di coefficiente d’intaglio, già esposti nel

Corso di Costruzione di Macchine 1, illustrando il concetto di ellisse equivalente e come

si possano applicare a problemi reali i dati/grafici dei coefficienti d’intaglio disponibili in

letteratura per geometrie semplificate 1.

4.1 Concentrazione di sforzo nella membrana fo-

rata

Nel Cap. 2 abbiamo visto come la concentrazione di sforzo al bordo di un foro

in una membrana indefinita sia caratterizzato da una una concentrazione disforzo con σθ,max = 3 · S per θ = ±π/2 (dove S è lo sforzo remoto applicato).Richiamando il concetto di coefficiente d’intaglio:

K t = σmax

σnom(4.1)

si ricava che il coefficiente d’intaglio per un foro in una lastra indefinita (ovverouna lastra molto più grande delle dimensioni del foro) è K t = 3.

Se consideriamo una applicazione reale in cui una lastra di dimensioni finiteè soggetta ad uno sforzo assiale σ, si può vedere come il coefficiente d’intagliodiminuisca al variare del rapporto d/H (Fig. 4.1) partendo da un valore 3 perd/H = 0 (quando d → 0 il foro è infinitesimo rispetto alle dimensioni della lastratorniamo al caso visto nel capitolo precedente). La ragione di tale variazioneè che, pensando all’analogia idrodinamica già vista nel corso di Costruzione diMacchine 1 [4], il flusso degli sforzi intorno al foro diminuisce all’aumentare delledimensioni dello stesso. In particolare riferendosi alla sezione nominale minima


67



Figura 4.1: Coefficiente d’intaglio in una membrana forata di dimensioni finite [7].

della lastra:σnom =

σ

H − d (4.2)

ed il coefficiente d’intaglio K t può essere approssimato con la formula [7] (otte-nuta come interpolazione di risultati sperimentali):

K t = 2 +

1 − d

H

3

(4.3)

Se il coefficiente d’intaglio viene invece riferito alla sezione lorda - K t,g - la con-centrazione di sforzo tende invece a salire, perché all’aumentare delle dimensionidel foro si riduce sempre di più la sezione minima e lo sforzo nominale tende ad

innalzarsi rispetto allo sforzo remoto σ . In particolare:

K t,g = K t

(1 − d/H ) (4.4)

L’effetto della superficie libera su K t,g è simile a quello che si ritroverà sul fattoredi forma per esprimere il SIF all’apice delle fratture.

68



4.2 Membrana con foro ellittico

Nel caso di una membrana di dimensioni indefinite contenente un foro ellitticodi semiassi a, b e soggetta ad uno sforzo remoto σ (in direzione y), lo stato disforzo può essere espresso in diverse formulazioni abbastanza complicate. Quelloche qui ci interessa annotare è che lo sforzo tangente al foro in A risulta:

σA =

1 +

2a

b

· σ (4.5)

mentre quello in B risulta σB = −σ (come nel foro circolare) indipendentementedal rapporto a/b. Il coefficiente d’intaglio per un foro ellittico è quindi:

K t = 1 + 2a

b (4.6)

che può altresì essere riscritta come:

K t = 1 + 2

t

ρ (4.7)

dove t = a è la semilarghezza della cavità e ρ è il raggio di curvatura in A (perun ellisse ρ = b2/a).

Figura 4.2: Membrana con foro ellittico [7].

Esempio 4.1 Si consideri una membrana indefinita soggetta ad uno sforzo di 100[MPa] contenente un foro ellittico delle dimensioni 20, 10 [mm]: valutare la concen-trazione di sforzo al variare della giacitura della cavità (asse maggiore orizzontale o

69



verticale).

Consideriamo dapprima l’asse del foro orizzontale: in tal caso 2a = 20 [mm] e 2b = 10[mm]: per la Eq.(4.6) risulta K t = 5. Al semiasse maggiore è presente uno sforzoσA = 500 [MPa] ed al semiasse minore uno sforzo σB = −100 [MPa].

Nell’altra giacitura dell’ellisse K t = 2: lo sforzo massimo sulla periferia del foro èpari a 200 [MPa].

La Eq. (4.7) mostra come per ρ → 0 (come nel caso di una cavità ellittica chesi assottiglia fino a diventare una frattura) lo stato di sforzo diventi singolarecon σA → ∞. Nel caso di fratture abbandoneremo il K t ed analizzeremo lostato di sforzo (per eseguire le verifiche di resistenza) sulla base del SIF (Stress Intensity Factor ), un parametro che descrive l’intensità del campo di sforzosingolare all’apice della frattura.

4.3 Determinazione dello stato di sforzo in organi

di macchina

4.3.1 Ellisse equivalente

La determinazione esatta dello stato di sforzo indotto da intagli di varia formapresenti negli organi di macchina va fatta sulla base di geometrie (più o menosemplificate) presenti nei manuali oppure attraverso analisi numeriche.

Tuttavia è possibile in molti casi ricavare indicazioni di prima approssima-zione, peraltro in molti casi vicine al vero, senza bisogno di analisi complicateadottando il concetto di ellisse equivalente .

!

!

!

" " #

%) " ) " 8

9

8

:#

Figura 4.3: Foro di forma romboidale [8].

70



Consideriamo ad esempio il caso della cavità romboidale di Fig. 4.3 in unamembrana soggetta allo sforzo remoto σ. Per stimare il coefficiente d’intaglio

nel punto A immaginiamo un’ellisse che abbia la stessa larghezza della cavitàed lo stesso raggio di raccordo ρA. Il coefficiente d’intaglio può essere stimatocome:

K t,A = 1 + 2

a

ρA

!

!

"

"

Figura 4.4: Intaglio sul bordo di una membrana [8].

Consideriamo ora un intaglio a V sul bordo di una membrana: anche in questocaso si può adottare il concetto di ellisse equivalente, immaginando un’ellisse

che approssima la forma sulla base della profondità e del raggio di raccordo alfondo dell’intaglio. In particolare risulta dalla Eq.(4.7):

K t = 1 + 2

t

ρ

Esempio 4.2 Si consideri un intaglio semicircolare sul bordo di una membra: stimareil coefficiente d’intaglio.

Adottando in questo caso la Eq.(4.7) risulta: K t,A ∼= 3. Il valore vero del coefficiented’intaglio è K t = 3.06 [7]. La ragione per cui questa concentrazione di sforzo è molto

!! A

Figura 4.5: Intaglio semicircolare.

71



In casi come questo in cui le dimensioni geometriche di un intaglio sono moltominori di quelle dell’altro si può ragionare in questo modo:

• lo stato di sforzo indotto dal foro è K t1 = 3;

• lo stato di sforzo indotto dal piccolo intaglio semicircolare non è in gra-do di perturbare la distribuzione di sforzo intorno al foro grande e diconseguenza l’intaglio è investito da uno sforzo pari a K t1 · σ;

• l’intaglio è approssimabile all’intaglio semicircolare al bordo di una mem-brana semi-infinita e caratterizzato da K t2 = 3.06.

In conseguenza dei punti precedenti la concentrazione di sforzo al bordo dell’in-taglio risulta:

K t1,2 = K t1 · K t2 = 9.18

Un altro caso simile è quello di un foro al fondo di uno spallamento o la gola diun albero: considerando un albero con un foro piccolo al fondo di una gola (comesi verifica per i fori di lubrificazione in alberi motore) soggetto a torsione, dettoK t,tors il coefficiente d’intaglio a torsione dell’albero, al bordo del foro si ha K t =4·K t,tors. Nel caso invece di intagli di dimensioni simili le considerazioni semplici

Figura 4.8: Intagli multipli [7]: albero con un foro piccolo al fondo di una gola incui il K t è ricavabile tramite moltiplicazione dei coefficienti d’intaglio.

sopraesposte non possono essere applicate (Fig. 4.9(a)): la concentrazione disforzo può essere stimata sulla base del concetto di ellisse equivalente. Unsimile concetto si può applicare anche al caso di gole negli alberi (Fig. 4.9(b)),scegliendo geometrie sostitutive (intagli a U o iperbolici) con la stessa profonditàe raggio al fondo.

4.3.3 Sovrapposizione degli effetti

Nel caso un pezzo sia soggetto a diversi carichi, lo stato di sforzo al fondo degliintagli si ottiene come semplice sovrapposizione degli effetti. In particolare,

73



(a) (b)

Figura 4.9: Intagli multipli costituiti da geometrie di dimensione simile non risol-vibili con la moltiplicazione dei coefficienti d’intaglio: a) foro con intagli ellittici; b)albero con gola doppia.

Figura 4.10: Sovrapposizione di carichi su un elemento intagliato.

74



Capitolo 5

Problemi assialsimmetrici

Si considera una classe particolare di problemi assialsimmetrici, molto comuni nelle appli-cazioni meccaniche. A questa classe di problemi appartengono dischi e cilindri soggetti a

pressioni radiali e a effetti di forze centrifughe dovute a rotazione con velocità angolare ω

costante 1.

5.1 Problema termoelastico lineare

Si considerano una classe particolare di problemi assialsimmetrici in cui le con-dizioni di carico, gli sforzi e le deformazioni dipendono solo dalla coordinataradiale r. Sia per gli effetti elastici sia per gli effetti termici si fa l’ipotesi cheil mezzo sia isotropo. Le componenti del generico stato di sforzo sono σr, σθ,σz, funzioni solo della coordinata radiale r, come indicato nella Fig. 5.1(a) e

τ r,θ = τ r,z = τ θ,z = 0. Quindi σr, σθ, σz sono sforzi principali. Su un elementino

(a)

!r

!r+ d!

r

d"

r

dr

!"

!"

Fr

X

Y

(b)

Figura 5.1: Problemi assialsimmetrici: a) stato di sforzo; b) equilibrio radialeelemento.

1a cura di A. Loconte e S. Beretta

76



isolato in coordinate cilindriche agisce, oltre agli sforzi di superficie, anche laforza di massa per unità di volume F r.

Scrivendo la condizione di equilibrio in direzione radiale (l’unica non identi-camente soddisfatta) si ha:

−σr ·rdθdz+(σr+dr)·(r+dr)·dθdz−2σθdrsindθ

2 ·dz+F R

r +

dr

2

·dθdrdz = 0

(5.1)Sviluppando e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al terzo e dividen-do per dz dθ si ricava:

σr dr + dσr r − σθdr + F Rrdr = 0

σr + dσr

dr r − σθ + F Rr = 0

Infine l’equazione di equilibrio in direzione radiale si scrive:

ddr

(σrr) − σθ + F Rr = 0 (5.2)

Una porzione di materiale (come nella Fig. 5.1(a)(a)) sottesa dall’angolo dθpuò solo muoversi in direzione radiale con uno spostamento u. Considerando lecomponenti di deformazioni di tale caso, nell’esempio 2.1 avevamo ottenuto leEq. (2.1):

r = du

dr θ =

u

rche possiamo combinare in:

d(θr)

dr =

du

dr = r

per ottenere l’equazione di congruenza:d(θr)

dr − r = 0 (5.3)

Alla equazione di congruenza si devono aggiungere le condizioni al contorno ela legge costitutiva del materiale così espressa dalle relazioni termoelastiche:

r = 1

E [σr − ν (σθ + σz)] + α T (r)

θ = 1

E [σθ − ν (σr + σz)] + α T (r)

z = 1

E [σz − ν (σr + σθ)] + α T (r)

(5.4)

Si introduce a questo punto la funzione di sforzo Φ(r) che diventa l’incognitadel problema, essa rende identicamente soddisfatta l’equazione di equilibrio. Inquesto caso si pone:

σr r = Φ

σθ = dΦ

dr + F R r

(5.5)

77



in funzione degli sforzi ed introducendole nell’equazione di congruenza (5.3) siottiene:

r

E

ddr

(σθ − νσr) + α r ddr

T (r) + 1

E (σθ − νσr) − 1

E (σr − νσθ) = 0

σθ − νσr − σr + νσθ + r dσr

dr − r ν

dσrdr

+ α E r dT

dr = 0

Introducendo gli sforzi, espressi attraverso la funzione di sforzo Φ, si ha

r2 d2(Φ)

dr2 + r

d(Φ)dr

− Φ = −ρω2r3 (3 + ν ) − αEr2 dT

dr (5.9)

che è un’equazione differenziale lineare completa di Eulero. Per la ricercadell’integrale generale dell’omogenea associata si pone:

(Φ) = rλ

da cui:

d(Φ)

dr = λrλ−1

d2(Φ)

dr2 = λ (λ − 1) rλ−2

Sostituendo si ottiene:

r2 λ (λ − 1) rλ−2 + r λ rλ−1 − rλ = 0 → rλ [λ (λ − 1) + λ − 1] = 0 (5.10)

che dovendo valere per ogni r esige che

λ1 = 1 λ2 = −1 (5.11)

e la soluzione dell’omogenea associata è:

(Φ) = C 1 rλ1 + C 2 rλ2 = C 1 r + C 2

r (5.12)

L’integrale particolare è:

(Φ) = −3 + ν

8 ρω2r3 − α E

1

r

rk

T r dr (5.13)

e quindi l’integrale generale risulta:

Φ = (Φ) + (Φ) = C 1 r + C 2r − 3 + ν

8 ρω2r3 − α E 1

r

r

k

T r dr (5.14)

in cui C 1 e C 2 sono costanti da determinare imponendo le condizioni al contorno.Si vede la sovrapposizione degli effetti dovuti alla rotazione (terzo addendo) ealla distribuzione della temperatura (quarto addendo).

79



Ricordando il legame tra la Φ e gli sforzi definito mediante la funzione del Airy,si ricava infine

σr = Φ

r = C 1 +

C 2r2

− 3 + ν

8 ρ − α E

1

r2

rk

T r dr (5.15)

σθ = dF

dr + Rr = C 1 − C 2

r2 − 1 + 3ν

8 ρ + α E

1

r2

rk

T r dr − α E T (5.16)

Se T (r) = costante, gli integrali si spezzano nella somma di un termine costantee di uno in r−2 che si conglobano in C 1 e in C 2. Solo se la temperatura non èuniforme ci sono sforzi termici.

5.2.1 Disco con sole pressioni sui contorni

Disco pieno

La soluzione generale si riduce a quella del Lamé (citato in [9]).

σr = C 1 + C 2r2

σθ = C 1 − C 2r2

per cui:σr + σθ = 2 C 1 (5.17)

Il disco si deforma in modo che le superficie laterali rimangono piane e paralleleinfatti:

r =

1

E (σr − νσθ)

θ = 1

E (σθ − νσr)

z = − ν

E (σθ + σr) = −2νC 1

E = costante

(5.18)

Questa condizione, superficie laterali che rimangono piane durante la deforma-zione, per simmetria deve essere verificata anche per un concio infinitesimo diun cilindro infinitamente lungo (paragrafo ??) quindi per l’unicità della soluzio-ne del problema elastico, la soluzione del Lamé, qui data per i dischi, è anchesoluzione del problema dei cilindri infinitamente lunghi, pieni o cavi, con solepressioni sui contorni.

Se il disco non ha un foro centrale deve essere C 2 = 0 affinché, per r → 0, glisforzi non tendano all’infinito e quindi 2:

σr = C 1 σθ = C 1

2Si poteva anche arrivare alla stessa conclusione considerando che per r = 0 deve essereσr = σθ .

80



pe

pe

pe p

e

pe

Figura 5.3: Stato di sforzo in un disco sottile soggetto a pressione esterna pe.

La costante C 1 si determina quindi imponendo l’unica condizione sul contornoesterno:

σr = − pe per r = re

dove il segno − deriva dall’aver assunto positivi gli sforzi di trazione. Si hadunque in ogni punto del disco:

σr = − pe

σθ = − pe(5.19)

con uno stato di sforzo piano idrostatico (nel piano) come indicato nella figu-ra 5.3.

Disco forato

Nel caso in cui il disco sia forato è necessario scrivere le condizioni sia sulcontorno interno sia su quello esterno:

σr = − pi per r = ri − pi = C 1 + C 2r2

σr = − pe per r = re − pe = C 1 + C 2r2

Si ricava

C 1 = pir

2i − per2e

r2e − r2iC 2 =

( pe − pi) r2i r2er2e − r2i

(5.20)

81



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1!1

!0.5

0

0.5

1

1.5

2

! / p

i

(r!ri)/(r

e!r

i)

!

r

/pi

!"/p

i

a=3

a=2.5

a=2.5 a=2

a=3

a=2

Figura 5.4: Andamento di σr e σθ per pressione interna pi e diversi valori di a.

e quindi l’espressione degli sforzi è la seguente:

σr = pir

2i − per2e

r2e − r2i+

( pe − pi) r2i r2er2e − r2i

1

r2

σθ = pir

2i − per2e

r2e − r2i− ( pe − pi) r2i r2e

r2e − r2i

1

r2

(5.21)

Nel caso di sola pressione esterna ( pi = 0), indicando con a = re

ri, si ha:

σr = pea2

a2 − 1

r2ir2

− 1

ovunque di compressione

σθ = pea2

a2 − 1

−r2i

r2 − 1


(5.22)

All’intradosso dove si ha il massimo valore assoluto di σθ è

σr = 0 e σθ = − pe2 a2

a2 − 1 (5.23)

e nel caso di foro molto piccolo (ri → 0 rispetto alle dimensioni esterne deldisco) si ha3:

limri→0

σθ = −2 pe

3Allo stesso risultato si può arrivare considerando le (5.19) ed il coefficiente d’intaglio perun foro in una lastra soggetta a stato di sforzo biassiale (crf. Cap.2).

82



All’estradosso si ha:

σr = − pe e σr = − pe a2

+ 1a2 − 1 (5.24)

Si osserva che |σθ| è sempre maggiore di pe e tende a pe per re → ∞. Va ancheannotato come i valori degli sforzi non dipendono dalle dimensioni assolute deldisco ma dal rapporto a = re/ri.Nel caso della sola pressione interna (Fig. 5.4) con pe = 0 si ha:

σr = pia2 − 1

1 − a2 r2i

r2


σθ = pia2 − 1

1 +

a2 r2ir2

ovunque di trazione

(5.25)

All’intradosso dove σθ è massima si ha:

σr = − pi

σθ = pia2 + 1

a2 − 1 > pi

(5.26)

In questo caso la σθ è sempre maggiore di pi e tende a pi per re → ∞ o perri → 0. All’estradosso si ha

σr = 0

σθ = 2 · pia2 − 1

Esempio 5.1 Si consideri un disco in realizzato in Fe510 avente diametro esterno

pari a 30 mm e forzato su un albero di diametro 10 mm. Si calcoli il valore massimodella pressione che, per effetto del forzamento, si può ammettere sul diametro internoaffinché il coefficiente di sicurezza rispetto allo snervamento sia pari a 1.2.

Il punto più sollecitato si ha all’intradosso dove:

σr = − pi e σθ = pia2 + 1

a2 − 1 (5.27)

Indicando con σ∗ lo sforzo di confronto di Guest-Tresca, essendo σz = 0, si ha:

σ∗ = σθ − σr = pia2 + 1

a2 − 1 + pi (5.28)

Assumendo per il materiale Fe510 lo sforzo di snervamento pari a 355 MPa ed essendoa = re/ri = 3, si può scrivere:

σ∗ = pi (32 + 1

32 − 1 + 1) =

355

1.2 (5.29)

da cui pi,max = 132 MPa, σr=-132 MPa, σθ = 165 MPa e σ∗ = 297 MPa.

83



5.2.2 Disco rotante a ω costante

Le espressioni degli sforzi sono:

σr = C 1 + C 2r2

− 3 + ν

8 ρω2r2

σθ = C 1 − C 2r2 p

− 1 + 3ν

8 ρω2r2

e la dilatazione lungo z è:

z = − ν

E (σr + σθ) = − ν

E

2C 1 − ρω2r2

1 + ν

2

che mostra come le superficie laterali non restino piane; C 1 e C 2 si determinanoimponendo le condizioni al contorno.

Disco pieno

Nel caso del disco pieno, se la superficie esterna è scarica, si ha:

σr = σθ per r = 0

σr = 0 per r = re

e si ottiene:

C 1 = 3 + ν

8 ρω2r2 C 2 = 0

Con questi valori delle costanti le espressioni degli sforzi diventano:

σr = 3 + ν

8 ρ ω2 (r2e − r2) ovunque di trazione

σθ = 3 + ν

8 ρ ω2 r2e −

1 + 3ν

8 ρ ω2 r2 ovunque di trazione

(5.30)

Al centro del disco, per r = 0, è

σr = σθ = 3 + ν

8 ρ ω2 r2e

e nel caso di ν = 0.3: σr = σθ = 0.412 ρ ω2 r2e .Alla periferia del disco, per r = re, si ottiene:

σr = 0

σθ = 1 − ν 4

ρ ω2 r2e

La deformazione assiale z risulta variabile con r :

z = − ν

E ρ ω2

3 + ν

4 r2e −

1 + ν

2 r2

84



0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

! / ( " #

2

r e 2

)

r/re

!r

/(" #2 re

2)

!$/(" #

2 re

2)

(a) (b)

Figura 5.5: Disco rotante a ω costante: a) stato di sforzo; b) deformata qualitativadel disco.

L’andamento degli sforzi è mostrato nella Fig. 5.5(a). La deformata qualitativadel disco è mostrata in Fig. 5.5(b): si può immediatamente notare come lasoluzione dei dischi rotanti non possa essere valida anche per i cilindri in quantoz varia radialmente. Nel cilindro rotante dovrà quindi nascere una σz (variabilelungo il raggio) tale da rendere z = cost.

Esempio 5.2 Si consideri un disco pieno in acciao (ρ = 7800kg/m3) rotante con ve-

locità periferica vp = 100 m/s. Assumendo re =1 m (ω=100 rad/s), e lo spessore deldisco (s) pari a 20 mm, si calcoli lo stato di sforzo al centro del disco e la massimariduzione di spessore del disco per effetto della rotazione.

Al centro del disco:

σr = σθ = 3 + ν

8 ρ ω2 r2e =

3 + ν

8 · 7800 · 1002 = 32.4 · 106 [P a] = 32.4 [MP a].

. La massima riduzione di spessore del disco si ha al centro del disco stesso dove èmassimo in valore assoluto il valore di z. Per r = 0 si ha:

z = − ν

E ρ ω2

3 + ν

4 r2e

Assumendo ν = 0.3, E = 200000 MPa ed esprimendo tutto nel SI si ha:

z = − 0.3

200000 106 7800 1002 3 + 0.3

4 = −96 · 10−6

= −96 [µ]

. La massima riduzione di spessore al centro del disco risulta:

∆s = z · s = −96 · 10−6 · 20 [mm] = 0, 002[mm]

85



Disco forato

Se il disco rotante è forato, le condizioni al contorno sonoσr = 0 per r = ri

σθ = 0 per r = re

e le espressioni degli sforzi sono:

σr = 3 + ν

8 ρ ω2

r2i + r2e −

r2e r2ir2

− r2

ovunque di trazione

σθ = 3 + ν

8 ρ ω2

r2i + r2e +

r2e r2ir2

− 1 + 3ν

3 + ν r2

ovunque di trazione

(5.31)

Il valore massimo di σr è:

(σr)max = 3 + ν

8 ρω2

r2i − r2e

=

3 + ν

8 ρω2 r2

1 − 1

a

2

e si ha per r =√

ri re, mentre il valore massimo di σθ è

(σθ)max = 3 + ν

4 ρ ω2

r2e +

1 − ν

3 + ν r2i

=

3 + ν

4 ρ ω2 r2e

1 +

1 − ν

3 + ν

1

a2

e si manifesta all’intradosso.All’estradosso si ha il minimo valore di σθ:

(σθ)r=re =

3 + ν

4 ρω2

r2

i +

1

−ν

3 + ν r2

e

=

3 + ν

4 ρω2

r2

e 1

a2 +

1

−ν

3 + ν

L’andamento degli sforzi è mostrato nella Fig. 5.6. Si può osservare che il valoredegli sforzi dipende dalla forma (rapporto re/ri), dalla densità ρ, dal coefficientedel Poisson ν e dalla velocità periferica v p = ω re.

E’ interessante notare come per un foro molto piccolo presente sull’asse (ri → 0),cioè per a → ∞, si ottiene:

σθ,max = 3 + ν

4 ρω2r2e

che è il doppio del valore di σθ al centro di un disco pieno rotante.

Esempio 5.3 Si consideri un disco pieno in acciaio (ρ = 7800kg/m3) rotante convelocità di rotazione ω = 3000 [g/min], avente re =1 [m] e ri=0.2 [m], con uno spes-sore s= 40 [mm]. Alla periferia del disco sono vincolate 64 palette avente ognuna unamassa mp = 1[kg], si calcoli lo stato di sforzo all’intradosso del disco.

86



0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

! / ( " #

2

r e 2

)

(r!

ri)/(re!

ri)

!r/(" #

2 re

2)

!$/(" #

2 re

2)

Figura 5.6: Andamento di σr e σθ per il disco rotante a ω costante con re/ri = 4.

Calcolando la risultante totale dovute alla forza centrifuga delle palette (ω = 314.15 [rad/s])si ottiene che:

F r = 64 · mp · ω2 · re = 6.316 · 106 [N ]

dividendo per l’area totale su cui è applicata F r (la superficie esterna del disco) nerisulta:

σext = F r

2π · re · s = 25.13 [MP a]

Lo stato di sforzo all’intradosso del disco turbina è quindi la sovrapposizione dello

sforzo dovuto a σext(che già contiene la forza centrifuga delle palette) e di quellodovuto alla rotazione del disco. In particolare:

σθ = σθ,ω + σθ,σext = 640.46 + 52.35 = 692.81 [MP a]

Come si vede chiaramente dall’esempio, nel disco rotante gli sforzi circonferen-ziali maggiori sono all’intradosso e, nei casi di interesse applicativo in cui (ω ·re)assume valori elevati, sono sicuramente impegnativi per i materiali di comuneimpiego. Nelle turbine (a vapore o a gas) il profilo dei dischi (che sono an-che soggetti alle forze radiali centrifughe delle palette) presentano uno spessoremaggiore all’intradosso proprio per presidiare tali sforzi circonferenziali.

Le palette vengono fissate all’esterno del disco mediante opportuni collega-

menti che permettono un facile montaggio delle pale ed il trasferimento deglielevati carichi al disco turbina attraverso un accoppiamento di forma (vedasiFig. 5.7(b)).

87



(a)

(b)

Figura 5.7: Applicazione analisi dischi: a) disco turbina con palette; b) particolareattacco palette.

88



questa seconda, esprimendo l’uguaglianza delle deformazioni circonferenziali,impone l’uguaglianza degli spostamenti radiali. Le due equazioni precedenti,

queste possono essere scritte per ognuno delle (n − 1) superfici di contatto,formando quindi con le (5.32) un sistema di (2 · n) incognite in (2 · n) equazioni.

In molti casi pratici, per esempio dischi di bassa pressione di turbine a va-pore, in cui lo spessore aumenta molto verso il mozzo, l’approssimazione piùgravosa sta nel considerare valide le relazioni che danno gli sforzi ricavati perspessore infinitesimo. La variabilità dello spessore può essere seguita molto be-ne aumentando il numero delle corone, introducendo tutta la procedura in unopportuno programma di calcolo.

E’ interessante notare come le espressioni soprascritte esprimono il metodo delle forze con i passi usuali, in particolare:

• mettiamo in evidenza le iperstatiche (le forze radiali σ

(i)r

·hi);

• calcoliamo le iperstatiche in modo da ricostruire le congruenza delle de-formazioni.

5.3 Cilindri lunghi

Il problema dei dischi sottili è un problema di sforzo piano, σz = 0, mentrenei cilindri indefinitamente lunghi ogni piano normale all’asse del cilindro è unpiano di simmetria e quindi tale sezione può spostarsi solo parallelamente a sestessa, cioè z = costante (le sezioni si mantengono piane).

Per il cilindro deve inoltre valere la condizione globale di equilibrio:

A

σz dA = N (5.35)

essendo N la forza assiale agente sulle basi. L’effetto di altri carichi (flessione,taglio, torsione) si considera a parte e poi si applica la sovrapposizione deglieffetti poiché si è in campo elastico lineare.

Procedendo come già fatto per i dischi e introducendo il legame sforzi-deformazioni nell’equazione di congruenza si ottiene:

(1 + ν ) σθ − (1 + ν )σr + r dσθ

dr − r ν

dσrdr

− r ν dσz

dr + α E r

dT

dr = 0 (5.36)

Dall’espressione della dilatazione assiale:

z = 1

E [σz − ν (σr + σθ)] + α T (r)

poiché z = cost lungo la sezione, deve essere:

dzdr

= 0 = 1

E

ddr

[σz − ν (σr + σθ)] + α T (r)

dr (5.37)

90



da cui si ottiene:dσz

dr = ν

d

dr(σ

r + σ

θ) + α

T (r)

dr (5.38)

Tenendo conto di questa espressione si ottiene:

(1+ ν )σθ−(1+ ν )σr+r(1−ν 2)dσθdr

−r ν (1+ ν )dσrdr

+(1+ν )αE rdT

dr = 0 (5.39)

e infine introducendo ancora la funzione di sforzo F si ottiene ancora un’equazio-ne di Eulero, analoga a quella dei dischi, in cui al secondo membro la ν comparein modo diverso:

r2 d2Φ

dr2 + r

dΦ

dr − Φ = −ρ ω2r3

3 − 2ν

1 − ν − αE

1 − ν r2

dT

dr (5.40)

Integrando si ottiene:

Φ = C 1 r + C 2

r − 3 − 2ν

8(1 − ν )ρω2r3 − αE

1 − ν

1

r

rk

T r dr (5.41)

e successivamente:

σr = C 1 + C 2r2

− 3 − 2ν

8(1 − ν )ρω2r2 − αE

1 − ν

1

r2

rk

T r dr

σθ = C 1 − C 2r2

− 1 − 2ν

8(1 − ν )ρω2r2 +

αE

1 − ν

1

r2

rk

T r dr − αE

1 − ν T

(5.42)

Da queste si ricava:

σr + σθ = 2 C 1 − 1

2(1 − ν ) ρω

2

r

2

− αE

1 − ν T (5.43)

e quindi:

dσzdr

= ν ddr

(σr + σθ) − αE dT

dr = − ν

1 − ν ρω2r − ν

1 − ν αE

dT

dr − αE

dT

dr (5.44)

e integrando si ha l’espressione di σz:

σz = − ν

2(1 + ν )ρω2r2 − αE

1 − ν T + C 3 (5.45)

C 3 si calcola imponendo l’equilibrio sulle basi, per esempio

N = reri

σzdA ,

e si ottiene

C 3

r2e2 − r2i

2

=

N

2π +

ν

2(1 + ν )ρω2

r4e4 − r4i

4

− αE

1 − ν

reri

T r dr

91



Si vede che nell’espressione di σz i termini che dipendono da r sono quelli dovutialla rotazione.

Nel caso in cui agiscano solo le pressioni interna ed esterna si ha lo sforzoσz = costante = N/A. Se N = 0 non si hanno sforzi assiali. In questo caso lasoluzione è quella già trovata per i dischi che dà z = cost., come deve essereper l’unicità della soluzione del problema termoelastico.

5.3.1 Cilindro rotante a velocità angolare costante

Cilindro pieno

Nel caso del cilindro pieno con superficie esterna scarica e con N = 0 si ottiene

σr = 3

−2ν

8(1 − ν ) ρ ω2 r2e

1 − r2

r2e

ovunque di trazione

σθ = 3 − 2ν

8(1 − ν ) ρ ω2 r2e

1 − 1 + 2ν

3 − 2 ν

r2

r2e

ovunque di trazione

σz = ν

4(1 − ν ) ρ ω2 r2e

1 − 2

r2

r2e

si annulla per r =

re√ 2

(5.46)

L’andamento di tali sforzi lungo il raggio è riportato nella Fig. 5.9. Al centro

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1!0.2

!0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

! / ( " #

2

r e 2

)

r/re

!r/(" #

2 re

2)

!$/(" #

2 re

2)

!z/(" #

2 re

2)

Figura 5.9: Andamento degli sforzi lungo il raggio di un cilindro rotante (ν = 0.3).

92



del cilindro per r = 0 si ha:

σr = σθ = 3 − 2ν 8(1 − ν )

ρ ω2 r2e

σz = ν

4(1 − ν ) ρ ω2 r2e

(5.47)

per ν = 0.3 tali relazioni forniscono:σr = σθ = 0.428 ρ ω2 r2e

σz = 0.107 ρ ω2 r2e

I valori sono leggermente maggiori di quelli trovati per il disco sottile, ma nelcilindro è presente anche uno sforzo σz > 0: il confronto dei cerchi di Mohr neidue casi è mostrato in Fig. 5.10.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

!0.2

!0.15

!0.1

!0.05

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

!/(" #2 re

2)

$/(" #2 re

2)

Disco

Cilindro

!z

!z

!%=!

r

Figura 5.10: Cerchi di Mohr per disco e cilindro rotanti pieni in corrispondenzadell’asse con ν = 0.3.

Calcolando la sollecitazione equivalente di Guest-Tresca:

σGT,cil = (0.428 − 0.107) ρ ω2 r2e = 0.321 ρ ω2 r2e

σGT,dis = (0.412 − 0) ρ ω2 r2e = 0.412 ρ ω2 r2e

si può facilmente verificare come il lo stato di sforzo nel disco sia più gravoso diquello del cilindro.

93



Al bordo esterno gli sforzi sono:

σr = 0

σθ = 1 − 2 ν

4(1 − ν ) ρ ω2 r2e

σz = − ν

4(1 − ν ) ρ ω2 r2e

per ν = 0.3 tali sforzi risultano:

σr = 0; σθ = 0.146 ρ ω2 r2e ; σz = −0.107 ρ ω2 r2e

Cilindro cavo

Se il cilindro è cavo supponendo che le superficie laterali siano scariche, le

condizioni al contorno si esprimono come:σr = 0 per r = ri

σr = 0 per r = re

Imponendo tali condizioni al contorno e ricavando le costanti C 1 e C 2 si ottiene:

σr = 3 − 2ν

8(1 − ν ) ρ ω2 r2e

1 +

1

a2 − r2i

r2 − r2

r2e

ovunque di trazione

σθ = 3 − 2ν

8(1 − ν ) ρ ω2 r2e

1 +

1

a2 +

r2ir2

− 1 + 2ν

3 − 2ν

r2

r2e

ovunque di trazione

σz = ν

4(1 − ν )

ρ ω2 r2e 1 + 1

a2

−2

r2

r2e

(5.48)

L’andamento degli sforzi in funzione del raggio, per a = 4, è riportato nella

figura 5.11. Si ha σz = 0 per r =

r2i+r

2e

2 .

La σr è massima quando è minima la somma r2ir2 + r2

recioè, dato che il prodotto

dei due addendi è costante, quando r2ir2 = r2

r2ee quindi per r =

√ ri re dove vale:

σr max = 3 − 2ν

8(1 − ν ) ρ ω2 r2e

1 − 1

a2

La σθ e la σz sono massime all’intradosso dove valgono:

σθ max = 3 − 2ν

4(1 − ν ) ρ ω2 r2e

1 +

1 − 2ν

3 − 2ν

1

a2

per r = ri

σz max = ν

4(1 − ν ) ρ ω2 r2e

1 − 1

a2

per r = ri

(5.49)

94



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1!0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

! / ( " #

2

r e 2

)

(r!ri)/(r

e!r

i)

!r/(" #2 re2)

!$/(" #

2 re

2)

!z/(" #

2 re

2)

Figura 5.11: Sforzi in un cilindro lungo rotante per a = 4 (ν = 0.3).

Sulla superficie esterna si ha il valore minimo sia di σz sia di σθ

σθ min = 3 − 2ν

4(1 − ν ) ρ ω2 r2e

1 − 2ν

3 − 2ν +

1

a2

per r = re

σz min = − ν

4(1−

ν ) ρ ω2 r2e 1 − 1

a2per r = re

Nel caso di un foro molto piccolo presente al centro del cilindro rotante, dalleequazioni precedenti per a → ∞, si ottiene:

σθ,max = 3 − 2ν

4(1 − ν )ρω2r2e

σz,max = ν

4(1 − ν )ρω2r2e

E’ facile verificare che σθ,max in presenza del foro è il doppio del valore di uncilindro pieno, mentre la σz rimane inalterata in quanto un foro, lungo l’asse z ,non provoca alcuna concentrazione di tensioni.

5.4 EserciziEsercizio 5.1 Dato un disco forato (D=60 mm) su cui viene calettato un disco forato(Di = 60 mm, De = 160 mm), ambedue i dischi sono in acciaio:

• calcolare l’interferenza necessaria ad assicurare una pressione di contatto di 60MPa;

95



• calcolare la pressione di contatto se l’insieme dei due corpi viene posto in rota-zione ad una velocità di 3000 [g/min](il calcolo si fa immaginando che per effetto

della rotazione le superfici dei due dischi subiscano uno spostamento radiale);

• verificare che la soluzione del punto precedente poteva essere ottenuta medianteil principio di sovrapposizione degli effetti.

Esercizio 5.2 Si abbia un tubo da realizzare in acciaio inox AISI 17-4 PH (Rm =1100[MP a], Rp0.2 = 1000[MP a]), costituente un intensificatore di pressione per unwater-jet, con un diametro di 30 mm soggetto ad una pressione interna pulsante di250[MP a]. Quesiti:

• calcolare il minimo diametro esterno del tubo in modo che il tubo possa resisterea fatica illimitata (si assuma la superficie interna del tubo rettificata);

• calcolare come cambia il coefficiente di sicurezza a fatica sulla superficie inter-na del tubo se a questo (mediante forzamento di una camicia esterna) venisse

imposta una pressione esterna di 50 [MP a].

Esercizio 5.3 Dimensionare la camicia esterna, realizzata nello stesso acciaio del tu-bo, che permetta di avere una pressione di contatto di 50 [MP a] tra i due tubi dell’e-sercizio precedente.

Calcolare inoltre come cambia lo stato di sforzo nel foro dell’intensificatore per effettodella camicia forzata.

96



Capitolo 6

Lastre circolari piane

Si analizza in questo capitolo, a partire dal legame tra curvature e momenti delle lastrepiane, si analizza lo stato di sforzo in lastre circolari caricate simmetricamente soggette a

condizioni di carico che si rifanno alle comuni applicazioni nei recipienti in pressione1.

6.1 Flessione semplice di una lastra in due dire-

zioni ortogonali

Consideriamo una lastra di spessore t inflessa nei due piani xz ed yz da coppieuniformemente ripartite [11]. Chiamiamo M x ed M y i momenti per unità dilunghezza di ciascun lato. La lastra si inflette in entrambe le direzioni ed ilpiano medio xy diventa una superficie a doppia curvatura, la superficie elastica della lastra.

Analogamente a ciò che accade nelle travi, ogni segmento perpendicolare alpiano medio si mantiene rettilineo e normale alla superficie elastica. Inoltre, segli spostamenti w dei punti del piano medio sono piccoli rispetto allo spessore t,possiamo ritenere che le deformazioni x ed y siano proporzionali alla distanzaz dal piano medio (ovvero le deformazioni sono nulle sul piano medio). Inparticolare:

x = z

ρx, y =

z

ρy(6.1)

Se dalle deformazioni ricaviamo gli sforzi otteniamo:

σx = E · z

1 − ν 2

1

ρx+ ν

1

ρy

, σy =

E · z

1 − ν 2

1

ρy+ ν

1

ρx

(6.2)

I momenti per unità di lunghezza applicati alla lastra stanno in relazione congli sforzi (prendendo delle porzioni di larghezza unitaria) tramite le:

M x =

+t/2−t/2

σx · 1dz · z, M y =

+t/2−t/2

σy · 1dz · z (6.3)


97



Sostituendo le (6.2) si ottiene:

M x = D

1ρx

+ ν 1ρy

(6.4)

e:

M y = D

1

ρy+ ν

1

ρx

(6.5)

dove:

D = E

1 − ν 2

+t/2−t/2

z2dz = Et3

12(1 − ν 2) (6.6)

rappresenta la rigidezza flessionale della lastra.

!

!#$

!#$

Figura 6.1: Flessione semplice in due piani di una lastra [11].

6.1.1 Composizione dei momenti in un punto

Considerando le sollecitazioni σx e σy agenti in un punto, possiamo calcola-re le sollecitazioni agenti su un piano avente normale n con coseni direttori[cos α sin α] con le relazioni del cerchio di Mohr:

σn = σx cos2 α + σy sin2 ατ nt = (σy − σx)sin α cos α

(6.7)

Se gli sforzi σx e σy sono gli sforzi generati ad una distanza z dal piano mediodai momenti M x ed M y in una fetta di lastra, se ne deduce che sulla facciainclinata nascono: un momento normale M n, che genera σn, ed un momento

98



6.1.2 Lastre con momento uniforme

Nel caso di M x = M y = m (flessione uniforme), le due curvature 1/ρx ed 1/ρysono uguali tra di loro e risulta:

1

ρ =

m

(1 + ν )D (6.9)

ovvero la superficie elastica diventa una sfera (una porzione di sfera) avente unraggio ρ.

Se consideriamo una lastra circolare soggetta ad un momento distribuito mcostante sul contorno (essendo M x = M y = m si ha un momento costante intutte le direzioni), ci troviamo in tale situazione. In particolare detto R il raggiodella lastra, la rotazione α al contorno e la freccia f al centro risultano:

w

Figura 6.4: Lastra circolare soggetta a momento costante m sul contorno [11].

α = R

ρ =

m · R

(1 + ν )D (6.10)

f = 2R2

8ρ =

mR2

2(1 + ν )D (6.11)

La superficie secondo cui si atteggia la lastra è descritta dall’equazione:

w = m

2(1 + ν )D R2 − r2

(6.12)

6.2 Lastre circolari assialsimmetriche

Analizziamo come si possa arrivare ad un’equazione risolvente che ci permettadi determinare la soluzione del problema elastico nel caso di lastre circolarisoggette ad una distribuzione di carico assialsimmetrica [12].

100



Se consideriamo una lastra circolare soggetta da una distribuzione di sforzoassialsimmetrica, la deformata sarà anch’essa dello stesso tipo e ci basta ana-

lizzare la deformata lungo un qualsiasi diametro. Consideriamo l’origine O delnostro riferimento al centro della lastra ed indichiamo con w l’abbassamentodella lastra. La curvatura della lastra in direzione radiale in un punto A risultaespressa da:

1

ρr= −d2w

dr2 (6.13)

e quella in direzione circonferenziale (la superficie dei punti lungo lo spessoreavente la medesima distanza r dal centro si atteggia secondo un cono aventecentro in B) con:

1

ρθ= −1

r

dw

dr (6.14)

Il legame tra momenti e curvature risulta quindi2:

Figura 6.5: Raggi di curvatura nella deformazione di una lastra circolare.

M r = −D

d2w

dr2 +

ν

r

dw

dr

(6.15)

M θ = −D

1

r

dw

dr + ν

d2w

dr2

(6.16)

Consideriamo una porzione di lastra abcd di larghezza dr e delimitata dall’angolodθ e soggetta ad un carico distribuito q : sulle facce ab e cd agiscono le forze ditaglio Q ed i momenti M r, mentre sulle facce ad e bc (per la condizione di

assialsimmetria) agiscono solo i momenti M θ.

2alla stesse equazioni si poteva arrivare, come visto a lezione, trasformando in coordinatepolari (e tenendo conto che ∂w/∂θ = 0 in un problema assialsimmetrico) il legame tra momentie curvature delle lastre in coordinate cartesiane.

101



(a)

M!

M!

d!M

r

Mr+ dM

r

(b)

Figura 6.6: Equilibrio di una porzione di lastra: a) posizione geometrica e sezione;

b) i momenti flettenti presenti sul concio [12].

In particolare si può notare come le due coppie M θ diano come risultante unmomento radiale (diretto come il momento M r agente su cd) pari a:

2 · M θ sin dθ

2 dr = M θdrdθ

Scrivendo quindi l’equilibrio alla rotazione dell’elementino abcd si ottiene:M r +

dM rdr

dr

(r + dr)dθ − M rrdθ − M θdrdθ + Qrdrdθ = 0 (6.17)

trascurando gli infinitesimi di ordine superiore e dividendo per drdθ l’equazionedi equilibrio si semplifica in:

M r + dM r

dr · r − M θ + Q · r = 0 (6.18)

Esprimendo i momenti flettenti in termini di curvature, si ottiene la equazionedifferenziale:

d3w

dr3 +

1

r

d2w

dr2 − 1

r2dw

dr =

Q

D (6.19)

che può essere riscritta come:

d

dr

1

r

d

dr

r

dw

dr

=

Q

D (6.20)

Il taglio Q è in equilibrio con il carico distribuito q tramite la relazione:

Q · 2πr =

r0

q · 2πrdr (6.21)

L’equazione differenziale può essere quindi riscritta come:

102



Figura 6.7: Equilibrio tra taglio Q e carico distribuito q .

d

dr1

r

d

dr

rdw

dr

= 1

r · D r0

q · rdr (6.22)

differenziando rispetto ad r e dividendo per r si ottiene:

1

r

d

dr

r

d

dr

1

r

d

dr

r

dw

dr

=

q

D (6.23)

Nei paragrafi successivi vedremo come integrando tale relazione, a dispetto del-la lunghezza della formula, sia semplice ottenere la soluzione in alcuni casiapplicativi di interesse.

6.2.1 Carico distribuito

Consideriamo una lastra soggetta ad un carico distribuito q , esaminando la Fig.6.7 possiamo esprimere Q come:

Q = qr

2 (6.24)

Se consideriamo la Eq.(6.20) possiamo quindi scrivere:

d

dr

1

r

d

dr

r

dw

dr

=

qr

2D (6.25)

integrando una volta:1

r

d

dr

r

dw

dr

=

qr2

4D + C 1

Moltiplicando per r ed integrando otteniamo:

rdw

dr =

qr4

16D +

C 1r2

2 + C 2

da cui:dw

dr =

qr3

16D +

C 1r

2 +

C 2r

103



Integrando ancora una volta otteniamo finalmente la soluzione (costituita daun’omogenea con i termini C 1, C 2 e C 3 e da un’integrale particolare contenenteq ):

w = qr4

64D +

C 1r2

4 + C 2 log r + C 3 (6.26)

Lastra incastrata

!

Figura 6.8: Lastra incastrata soggetta al carico distribuito q .

Consideriamo ora una lastra incastrata di raggio a, le condizioni al contorno delproblema sono:

dwdr = 0 per r = a

dwdr = 0 per r = 0

→

C 2 = 0

C 1 = − qa2

8D

Otteniamo che la equazione risolvente è:

w = qr4

64D − qa2r2

32D + C 3

Imponendo:

w(a) = 0 → C 3 = qa4

64D

In conclusione la soluzione è:

w = q

64D

a2 − r2

2(6.27)

La freccia massima al centro risulta:

f max = qa4

64D

I momenti flettenti risultano:

M θ = q

16

a2(1 + ν ) − r2(3 + ν )

(6.28)

M r = q

16

a2(1 + ν ) − r2(1 + 3ν )

(6.29)

104



I momenti nella sezione d’incastro (r = a) risultano:

M r = −qa2

8 M θ = −ν qa2

8 (6.30)

Gli sforzi si ricavano dai momenti flettenti come:

σr = 6M r

t2 σθ =

6M θt2

L’andamento degli sforzi è riportato nella Fig. 6.9: si può vedere come il puntopiù sollecitato per una lastra incastrata sia sul bordo esterno.

Figura 6.9: Distribuzione degli sforzi nella lastra incastrata soggetta a pressione(carico distribuito) costante.

Lastra appoggiata

La lastra appoggiata si può ricavare a partire da quella della lastra incastratasovrapponendo alla soluzione dell’incastro, quella di una lastra soggetta a deimomenti radiali uguali e contrari al momento radiale d’incastro. Poichè nellasoluzione che sovrapponiamo M r = M θ = −qa2/8 costante, ci basta sovrapporretale valore alle equazioni dei momenti per la lastra incastrata.

In particolare i momenti flettenti nella lastra appoggiata soggetta a caricodistribuito risultano:

M θ = q

16

a2(3 + ν ) − r2(1 + 3ν )

(6.31)

M r = q

16(3 + ν )(a2 − r2) (6.32)

6.2.2 Carico concentrato

Considerando una lastra circolare appoggiata caricata al centro da un caricoconcentrato P, la soluzione della deformata può essere ottenuta come limite (per

105



Figura 6.10: Soluzione della lastra circolare soggetta a pressione appoggiata, comesovrapposizione della soluzione incastrata (a) più una lastra soggetta a momentidistribuiti che liberano radialmente il bordo.

c → 0) della soluzione di una lastra in cui il carico P sia ripartito su un’area diraggio c (tale soluzione si può ottenere con un metodo delle forze ricostruendola congruenza tra la lastra centrale con carico distribuito ed una lastra anularecaricata dal taglio Q e da un momento M [12]).

P

a

Figura 6.11: Lastra circolare caricata al centro.

Quando c → 0 la deformata della lastra risulta espressa da:

w = P

16πD

3 + ν

1 + ν (a2 − r2) + 2r2 log

r

a

(6.33)

I momenti flettenti risultano:

M θ = P

4π(1 + ν )log

a

r (6.34)

M r = P 4π

(1 + ν )log a

r + 1 − ν

(6.35)

Quando r → 0 le espressioni precedenti non possono essere utilizzate per valu-tare i momenti flettenti e gli sforzi nella lastra in quanto tendono all’infinito.Le assunzioni su cui è stata impostata la soluzione dei problemi delle lastre non

106



Q

a

c

M

Figura 6.12: Lastra circolare caricata su una zona centrale: la soluzione si ottienecercando le iperstatiche M e Q che ristabiliscono la congruenza degli spostamentitra le due porzioni di lastra.

valgono vicino al punto di applicazione del carico: quando c → 0 l’intensitàdella pressione P/πc2 non è più trascurabile in confronto agli sforzi flessionali,così come la deformazione dovuta alle azioni taglianti. Lo stato di sforzo vero èquello di una porzione di lastra cui si sovrappone la distribuzione locale dovutaal carico carico concentrato (esaminato nella Sez. 3.3.5).

Figura 6.13: Azioni localizzate in presenza di un carico concentrato [12].

6.2.3 Lastra anulare

Momenti applicati

Consideriamo una lastra anulare (di raggio interno b e raggio esterno a) soggettaalle coppie M 1 ed M 2 applicate ai bordi: il taglio è nullo, la soluzione si puòtrovare a partire dalla (6.26) con i termini della soluzione dell’omogenea. In

particolare riscriviamo per comodità l’integrale dell’omogenea come:

w = C 1r2

4 + C 2 log

r

a + C 3 (6.36)

107



a

b

M1

M1

M2

M2

Figura 6.14: Lastra anulare con momenti sui bordi.

Il momento M r risulta:

M r = −D

C 12 − C 2

r2 + ν

C 12

+ C 2r2

(6.37)

Imponendo che: M r = M 1 per r = bM r = M 2 per r = a

Si ottiene:

C 12

= −

a2M 2 − b2M 1

(1 + ν )D(a2 − b2) C 2 = − a2b2(M 2 − M 1)

(1 − ν )D(a2 − b2) (6.38)

Dovendo essere w(a) = 0 si ottiene:

C 3 = −C 1a2

4 (6.39)

E’ interessante notare che se b → 0, allora C 2 = 0 e gli altri termini diventano:

C 12

= − M 2(1 + ν )D

C 3 = M 2a2

2(1 + ν )D (6.40)

e l’equazione della deformata diventa identica alla (6.12) (là il raggio esternoera R): ciò significa che la presenza di un foro piccolo al centro della lastra nonaltera la deformazione della lastra, ma ovviamente crea una concentrazione disforzo da valutare con i concetti esposti nel Cap. 2.

Carico sul bordo interno

Consideriamo una lastra anulare caricata sul bordo interno da un carico P

uniformemente ripartito sul bordo interno. La forza di taglio Q risulta:

Q = Qob

r =

P

2πr (6.41)

Integrando la (6.23) si ottiene una equazione del tipo [12]:

108



Qo

a

b

Figura 6.15: Lastra anulare caricata sul bordo interno.

w = P r2

4πD log

r

a +

C 1r2

4 + C 2 log

r

a + C 3 (6.42)

Le costanti possono essere determinate imponendo che sul bordo esterno:

(w)r=a = 0 − D

d2w

dr2 +

ν

r

dw

dr

r=a

= 0

e sul bordo interno:

−D

d2w

dr2 +

ν

r

dw

dr

r=b

= 0

Nel caso b → 0 (un forellino infinitesimo) le costanti diventano:

C 1 = −1 − ν

1 + ν

P

4πD C 2 = 0 C 3 =

P a2

16πD

1 − ν

1 + ν (6.43)

e la espressione della deformata coincide con la (6.33), confermando ancora come

la presenza di un forellino al centro non faccia cambiare la deformata generaledella lastra.

6.3 Esercizi e problemi sul quaderno

Esercizio 6.1 Dato il fondo piano superiore del recipiente in pressione adottato nel-l’esercitazione sperimentale, valutare la rigidezza flessionale con la presenza del forocentrale confrontandola con quella di una lastra non forata.

Problema 6.1 Ricavare la distribuzione dei momenti flettenti in una lastra inca-strata soggetta a carico concentrato P al centro della lastra, utilizzando la soluzionedella lastra appoggiata + quella della lastra circolare soggetta a momento radiale diestremità.

Problema 6.2 Dato un acciaio con Rp0,2=240 MPa ed un carico P=1000 [N], cal-colare lo spessore t minimo per una lastra di raggio 500 mm che sopporti il carico ericavare la freccia massima.

109



Capitolo 7

Lastre cilindriche

In questo capitolo, seguendo la notazione di Timoshenko [12], si analizza lo stato di sforzoin lastre cilindriche indefinitamente lunghe caricate simmetricamente. Nelle applicazioni,

affrontate con il metodo dei coefficienti elastici di bordo, si esaminano quindi comuni casi

relativi ai recipienti in pressione1.

7.1 Risoluzione del problema elastico

Consideriamo una lastra cilindrica come nella Fig. 7.1: è facile ricavare dalleequazioni di equilibrio delle lastre che, per le condizioni di assialsimmetria, leuniche azioni flessionali presenti sono i momenti M x ed M φ (quest’ultimo co-stante lungo una circonferenza), l’unica azione tagliante è T x e le componentimembranali sono N x ed N φ (anche questa costante lungo una circonferenza per

assialsimmetria).

Consideriamo un concio di lastra di dimensioni dx × Rdϕ (considerando che leuniche azioni che variano sui lati dell’elemento sono M x e T x, vedasi Fig. 7.2)soggetto ad una pressione distribuita p. Scrivendo l’equilibrio lungo la direzionex del concio di lastra otteniamo:

∂N x∂x

Rdxdϕ = 0 (7.1)

L’equazione di equilibrio lungo la direzione z risulta:

T x + ∂ T x

∂x dxRdϕ − T xRdϕ + N ϕsin (dϕ) dx + pRdxdϕ = 0 (7.2)

che si può semplificare come:

∂T x∂x

Rdxdϕ + N ϕdϕdx + pRdxdϕ = 0 (7.3)

1a cura di S. Beretta e M. Sangirardi

110



(a)

M!

Tx Mx

(b)

Nx

N!

(c)

Figura 7.1: Lastra cilindrica con carichi assialsimmetrici: a) posizione del problema;b) schematizzazione dell’elemento come lastra; c) schematizzazione dell’elementocome membrana.

da cui: ∂T x∂x

+ N ϕ

R = − p (7.4)

Con riferimento ancora alla Fig. 7.2 e imponendo l’equilibrio alla rotazione

111



p

Figura 7.2: Equilibrio dell’elemento infinitesimo.

intorno alla direzione circonferenziale si ottiene:M x +

∂ M x∂x

dx

Rdϕ − M xRdϕ − T xRdϕdx = 0 (7.5)

da cui:∂M x

∂x − T x = 0 (7.6)

Cercando di risolvere in forma chiusa il problema ci troviamo di fronte aduna difficoltà in quanto abbiamo due equazioni (la 7.4 e la 7.6) in tre funzioniincognite.

7.1.1 Deformazioni ed azioni sul concio di lastra

Considerando gli spostamenti elastici membranali: la simmetria implica chela componente di spostamento circonferenziale uϕ = 0, restano le componentiassiale u e radiale w. In particolare le componenti di deformazione sono:

xm = ∂u

∂x (7.7)

ϕm = (R − w) dϕ − Rdϕ

Rdϕ = −w

R (7.8)

Esprimendo quindi gli sforzi in funzione delle deformazioni, possiamo scrivere:

σxm = E

1 − ν 2 (xm + νϕm) (7.9)

σϕm = E

1 − ν 2 (ϕm + νxm) (7.10)

112



Figura 7.3: Componenti di deformazione.

da cui le azioni membranali (essendo s lo spessore della lastra):

N x = Es

1 − ν 2 (xm + νϕm) (7.11)

N ϕ = Es

1 − ν 2 (ϕm + νxm) (7.12)

Sostituendo le deformazioni in funzione degli spostamenti:

N x = Es

1 − ν 2

∂u

∂x − ν

w

R

(7.13)

N ϕ = Es

1 − ν 2

−w

R + ν

∂u

∂x

(7.14)

Se consideriamo lastre cilindriche non soggette ad alcun carico assiale N x = 0 edovrà essere quindi2:∂u

∂x = ν

w

R (7.15)

sostituendo quindi nella eq.(7.14) si ottiene:

N ϕ = Es

1 − ν 2

−w

R + ν 2

w

R

= −Es

w

R (7.16)

Se consideriamo il legame tra momenti flettenti e curvature già visto nel Cap. 3,poiché il problema è assialsimmetrico la superficie media della lastra si può solospostare in direzione radiale, mantenendo costante la curvatura circonferenziale.Risulta quindi:

M x = − E (1 − ν 2)

s312

∂ 2w∂x2

= − E

(1 − ν 2)s312

∂ 2w∂x2

(7.17)

2questa è una ipotesi importante della quale dovremo ricordarci per la soluzione dei pro-blemi pratici: in caso di sforzi assiali dovremo risolvere il problema come sovrapposizionedegli effetti di sforzi assiali (ricavabili dell’equilibrio assiale) e sforzi circonferenziali dovutialla pressione.

113



M ϕ = − E

(1

−ν 2)

s3

12 ν ∂ 2w

∂x2 = − νE

(1

−ν 2)

s3

12

∂ 2w

∂x2 (7.18)

7.1.2 Equazione risolvente

Derivando la (7.4) in x ed introducendo i termini nella Eq.(7.6) si ottiene:

∂ 2M x∂x2

+ N ϕ

R = − p (7.19)

Sostituendo ora nell’eq.(7.19) le espressioni di N ϕ e M x delle equazioni (7.16) e(7.17), si ottiene:

∂ 4w

∂x4 +

12

1 − ν 2

s2R2 w =

p

D, (7.20)

dove:

D = Es3

12(1 − ν 2)

è il modulo di elasticità flessionale della lastra. Ponendo:

3

1 − ν 2

s2R2 = β 4 (7.21)

l’equazione risolutiva diventa:

∂ 4w

∂x4 + 4β 4w =

p

D (7.22)

L’omogenea ( p = 0) ha per soluzione:

w = eβx

(C 1cos (βx) + C 2sin (βx)) + e−βx

(C 3cos (βx) + C 4sin (βx)) (7.23)

7.1.3 Un approccio basato sulla teoria delle travi

Si può arrivare all’equazione risolvente delle lastre cilindriche a partire dallateoria delle travi [11].Consideriamo dapprima un concio di lastra cilindrica de-limitato dall’angolo dϕ, ed immaginiamo che subisca uno spostamento radialew.Per effetto dello spostamento radiale, la deformazione circonferenziale cui èsoggetto il concio è:

ϕ = −w

R

Ne segue che lo sforzo circonferenziale che ne nasce è:

σϕ = −E · w

R

la cui risultante è la forza circonferenziale:

N ϕ = −Es · w

R

114



Se componiamo radialmente il contributo di N ϕ sui due lati del concio, imma-ginando che sia assimilabile ad una pressione radiale ρ otteniamo:

2 · −Es · w

R · dϕ

2 = ρ · Rdϕ (7.24)

da cui:

ρ = −Es

R2 · w (7.25)

Consideriamo ora una striscia longitudinale (sempre sottesa dall’angolo dϕ) dellalastra soggetta alla pressione p. Ricordando che l’equazione di equilibrio dellatrave soggetta ad un carico distribuito è:

EJ · wIV = p (7.26)

Possiamo adattare questa equazione alla nostra striscia di lastra, considerandoche per una una strisciolina di lastra (date le deformazioni trasversali impedite)al posto di E J va considerato il termine:

Es3

(1 − ν 2)12

Inoltre dobbiamo aggiungere al carico distribuito p il carico trasversale ρ dovutoalla cerchiatura esercitata dalla lastra cilindrica sulla striscia, quindi al posto di

p dobbiamo considerare:

p + ρ = p − E sw

R2

L’equazione differenziale di equilibrio della trave risulta quindi:

Es312(1 − ν 2)

wIV + E sR2

w = p (7.27)

ovvero questa equazione coincide con la (7.22).

R

w

N!N

!

d!

"

Figura 7.4: Risultante radiale ρ per effetto dello spostamento radiale w .

115



!

p

Figura 7.5: Striscia di lastra soggetta a ρ e p.

7.1.4 Integrali particolari

Se p varia lungo il tubo con una legge del tipo p = cxn, l’integrale particolaredella (7.22) è 3:

w = cxn

4β 4D =

cxnR2

Es =

pR2

Es (7.28)

Le forze circonferenziali che conseguono a questi spostamenti:

N ϕ =

−

Es

R

pR2

Es

=

− pR (7.29)

Gli sforzi:

σϕ = N ϕ

s = − pR

s (7.30)

Gli sforzi circonferenziali sono proporzionali solo alla pressione, con dei terminipari allo sforzo di Mariotte. Da notarsi che gli sforzi sono negativi in quanto lapressione va nello stesso verso dell’asse z, nei recipienti in pressione più comu-nemente si ha una pressione maggiore all’interno del recipeinte: in questo caso

p sarebbe negativa, come pure (dalle equazioni soprascritte) w, N ϕ e σϕ.

7.2 Cilindri lunghi caricati su un bordo

Consideriamo una lastra cilindrica indefinitamente lunga al cui bordo estremosiano applicati delle forze di taglio T o e delle coppie M o (forze e coppie perunità di lunghezza quindi dimensionalmente sono [N/m] e [N · m/m]), comerappresentato in Fig. 7.6.

3vale la relazione: 4β4D = Es/R2

116



Per β x = π:

x = π

β

= πs

0.575 ≈1.74πs = 5.47s

e−π = 0.043

quindi già ad una distanza pari a metà lunghezza d’onda gli spostamenti sono di dueordini di grandezza inferiori rispetto a quelli delle estremità caricate del bordo.

Ad una distanza β x = 2π il termine e−βx diventa e−2π = 0.0019 e gli spostamentisono di tre ordini di grandezza inferiori rispetto al bordo.

Supponendo che vi sia solo M 0:

M x = − E

(1

−ν 2)

s3

12

∂ 2w

∂x2 =

E

(1

−ν 2)

s3

12β 2e−βx (−2C 3sin (βx) + 2C 4cos (βx))

(7.33)Per x = 0:

M x(x = 0) = E

(1 − ν 2)

s3

12β 22C 4 = M 0 (7.34)

C 4 = 12

1 − ν 2

2Es3β 2

M 0 (7.35)

Per determinare il valore di C 3, ricordando l’eq.(7.6):

T x = − E

(1 − ν 2)

s3

122β 3e−βx ((C 4 − C 3) sin (βx) + (C 4 + C 3) cos (βx)) (7.36)

da cui, imponendo che per x = 0 sia T = 0:

T x(x = 0) = − E

(1 − ν 2)

s3

122β 3 (C 3 + C 4) = 0 (7.37)

si ottiene:

C 3 = −C 4 = −12

1 − ν 2

2Es3β 2 M 0 (7.38)

Gli spostamenti e le azioni sulla lastra risultano:

w[M 0] = 6

1 − ν 2

Es3β 2 e−βxM 0 (−cos (βx) + sin (βx)) (7.39)

M x[M 0] = M 0e−βx

(sin (βx) + cos (βx)) (7.40)T x[M 0] = −2βM 0e−βxsin (βx) (7.41)

118



Esempio 7.2 Considerando ancora un cilindro con 2R = 10s ed s = 10 mm sogget-

to ad una coppia M 0 = 100 [Nmm/mm], calcolare le azioni interne nel tubo e gli sforzi.

Applicando la (7.40) e la (7.41) è facile ottenere l’andamento lungo il tubo delle azionisulla lastra. E’ facile verificare come i punti di stazionarietà di M x si ottengano perβx = 0 e β x = π, ovvero i punti nei quali T x è nullo.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100!20

0

20

40

60

80

100

x [mm]

Mx

Tx

(a)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100!1

0

1

2

3

4

5

6

x [mm]

!" m

!x

!" f

(b)

Figura 7.7: Cilindro con momento su un bordo: a) azioni interne sulla lastra; b)sforzi all’intradosso.

Lo stato di sforzo sull’intradosso (dove il contributo di M x è positivo) è facilmentecalcolabile:

σx,M =

6M x

s2 σϕ,f = ν · σx,M σϕ = −E

w

RI diversi termini sono riportati in Fig. 7.7: va annotato come gli sforzi sull’estradosso(per la sola componente flessionale) vadano calcolati con il segno negativo rispetto allerelazioni soprascritte.

Considerando ora il caso che vi sia solo T 0, imponendo la condizione x = 0 nelledue eq.(7.33) e (7.37) si ottiene:

M x(x = 0) = 0 =⇒ E

(1 − ν 2)

s3

12β 2 (2C 4) = 0 =⇒ C 4 = 0 (7.42)

e:

T x(x = 0) = T 0 =⇒ − E (1 − ν 2)

s3

12β 3C 3 = T 0 =⇒ C 3 = −T 0 6

1 − ν

2Es3β 3 (7.43)

Spostamenti ed azioni sulla lastra dovute a T 0 risultano quindi:

w[T 0] = −6

1 − ν 2

Es3β 3 T 0e−βxcos (βx) (7.44)

119



M x[T 0] = T 0

β e−βxsin (βx) (7.45)

T x[T 0] = −T 0e−βx (sin (βx) − cos (βx)) (7.46)

Esempio 7.3 Considerando ancora un cilindro con 2R = 10s ed s = 10 mm soggettoad una forza radiale T 0 = 10[N/mm], calcolare le azioni interne nel tubo e gli sforziall’intradosso.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100!10

0

10

20

30

40

50

60

x [mm]

Mx

Tx

(a)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100!1

0

1

2

3

4

5

6

x [mm]

!" m

!x

!" f

(b)

Figura 7.8: Cilindro con forza radiale su un bordo: a) azioni interne sulla lastra;b) sforzi all’intradosso.

In complesso, in presenza sia di M 0 sia di T 0:

w = 6

1 − ν 2

Es3β 2 e−βx

M 0 (−cos (βx) + sin (βx)) − T 0

β cos (βx)

(7.47)

∂w

∂x =

6

1 − ν 2

Es3β 2 e−βx [2βM 0cos (βx) + T 0 (cos (βx) + sin (βx))] (7.48)

M x = e−βx

M 0 (sin (βx) + cos (βx)) + T 0

β sin (βx)

(7.49)

T x = e−βx

[−2βM 0sin (βx) − T 0 (sin (βx) − cos (βx))] (7.50)

La derivata ∂w/∂x rappresenta la rotazione del bordo cui vengono applicate leazioni: con le convenzioni prese per w ed x, la rotazione è positiva se diretta insenso orario.

120



7.2.1 Coefficienti di bordo

Gli effetti di M 0 e T 0 li possiamo trattare con dei coefficienti che diano sposta-menti e rotazioni per effetto di forze e coppie unitarie. In particolare calcolandogli spostamenti e le derivate prime in x = 0:

wM = − 1

2β 2D (7.51)

wT = − 1

2β 3D (7.52)

dwM

dx = θM =

1

βD (7.53)

θT = 1

2β 2D (7.54)

Va annotato come i termini misti dovrebbero essere uguali per il Th. di Maxwell,in realtà il segno è discorde perché abbiamo preso il verso di T discorde con w.I coefficienti di bordo inoltre soddisfano questa relazione:

wT · θM = 2 · wM · θT (7.55)

7.3 Applicazioni

7.3.1 Forza radiale su un parallelo

Calcoliamo le azioni che nascono su un tubo che venga ‘premuto’ su un paralleloda una forza radiale P .

Figura 7.9: Tubo lungo premuto da una forza radiale P lungo un parallelo.

Una striscia del cilindro, lungo la generatrice, è come una trave caricata sull’assedi simmetria: la forza P si ripartisce egualmente sulle due metà del cilindro epossiamo mettere in evidenza un momento iperstatico M , come visibile in Figura7.10.

121



Figura 7.10: Sezione del cilindro nella zona di applicazione della forza P .

Avendo diviso il problema in due cilindri, uniti per un bordo, possiamo usarei coefficienti di bordo. Il momento M deve essere tale da ‘riportare’ a zerol’angolo che la lastra forma per effetto di P /2. In particolare:

1βD

M − P 2

12β 2D

= 0 =⇒ M = P 4β

= P/22β

(7.56)

Lo spostamento del tubo sotto l’azione di P può essere calcolato ancora con icoefficienti di bordo, sotto l’azione di M e P /2:

w|x=0 = − P

4β

1

2β 2D +

P

2

1

2β 3D =⇒ w|x=0 =

P

8β 3D (7.57)

7.3.2 Vincolo radiale su un tubo

Si abbia un tubo soggetto ad una pressione interna p, vincolato a non espandersiradialmente su un parallelo. Calcolare lo stato di sforzo.

(a) (b)

Figura 7.11: Cilindro in pressione vincolato su un parallelo: a) problema; b)schematizzazione.

Calcoliamo, con i concetti del metodo delle forze , la forza T che ‘riporta’ a zerolo spostamento radiale del parallelo vincolato, quando il cilindro è soggetto allapressione interna.

T 1

8β 3D − pR2

Es = 0 =⇒ T =

2 p

β (7.58)

122



Il momento M si ricava dalla soluzione già vista per la lastra caricata su unparallelo.

M = p

2β 2 (7.59)

Si poteva arrivare alla stessa soluzione cercando le forze T 0 e M 0 da applicareal bordo di un tubo per impedire lo spostamento radiale (per il vincolo) e larotazione (per la simmetria).

1βD M 0 + 1

2β2DT 0 = 0

− 12β2DM 0 − 1

2β3DT 0 − p4β4D = 0

(7.60)

Notare che T 0 ha verso diverso rispetto a T della soluzione precedente.

M 0 = p

2β 2

T 0 =

−

p

β

(7.61)

Ovviamente la soluzione trovata fa sì che lo spostamento radiale del parallelosia nullo:

w|x=0 = − 1

2β 3D

β

p

2β 2 − p

β

− p

4β 4D = 0 (7.62)

Lo spostamento risulta:

w(x) = e−βx

2β 3D

β

p

2β 2 (sin (βx) − cos (βx)) +

p

β cos (βx)

− p

4β 4D (7.63)

di cui l’ultimo termine corrisponde all’integrale particolare. Il momento M xvale:

M x

= e−βx p

2β 2 (sin (βx) + cos (βx))

− p

β 2sin (βx) (7.64)

Esempio 7.4 Considerando un cilindro con R = 200 [mm] ed s = 10 mm soggetto aduna pressione interna p = 15[N/mm2] che è impedito di spostarsi radialmente su unparallelo, calcolare gli sforzi all’intradosso del tubo.

Applicando le relazioni trovate si ottengono dapprima w ed M x (è presente anche ilmomento anticlastico M ϕ = ν M x), gli sforzi risultano:

σx = 6M x

s2 σϕ,f = ν · σx,m σϕ,m = −E

w

R

L’andamento degli sforzi rappresentato in Fig. 7.12. Val la pena notare come nellasezione di mezzeria, essendo impedito lo spostamento radiale, lo sforzo σϕ,m = 0.

La seconda osservazione che si può fare è che lo sforzo circonferenziale membranale

può essere anche calcolato come:

σϕ,m = −E

Rw(M 0, T 0) +

pR

s (7.65)

ovvero come somma del contributo dovuto allo spostamento indotto dalle iperstatichee del contributo dovuto allo sforzo di Mariotte.

123



0 50 100 150 200 250 300

!200

!100

0

100

200

300

400

500

600

x [mm]

!" m

!x

!" f

Figura 7.12: Sforzi all’intradosso del tubo, con una pressione interna p =15 [M P a], la cui espansione è impedita su un parallelo.

Si può facilmente vedere come lo sforzo σϕ,m sia massimo per βx = π = 109.3 [mm].Per β x = 2π gli effetti di bordo sono trascurabili: per x > 2π/β il cilindro non risentedella presenza del vincolo (lo stato di sforzo e deformazione corrisponde ai soli effettidella pressione interna) e si comporta come un cilindro di lunghezza indefinita.

7.3.3 Cerchiatura del tubo

Si abbia un tubo soggetto ad una pressione p, rinforzato su un parallelo da unanello di sezione trasversale A (supponiamo la sezione sufficientemente strettada immaginare che i due corpi si scambino azioni su un parallelo): vogliamocalcolare lo stato di sforzo.

Risolvendo con il metodo delle forze, il problema è ricercare la forza radialeT che si scambiano anello e cilindro, imponendo che i due corpi abbiano lostesso spostamento radiale. Conosciamo già la cedevolezza del tubo premutoradialmente, dobbiamo calcolare quella della trave anulare 4.

Considerando la trave anulare soggetta ad una forza radiale T , la trave risulta

soggetta (facendo l’equilibrio radiale su un semi-anello) ad un’azione assiale N

4La schematizzazione a trave è corretta se l’altezza dell’anello è piccola, altrimenti l’anelloandrebbe schematizzato come un disco forato

124



p

A

(a)

T

(b)

Figura 7.13: Cilindro in pressione rinforzato su un parallelo: a) problema; b)schematizzazione con il metodo delle forze.

che genera uno sforzo circonferenziale σϕ:

N = T · R ⇒ σϕ = T · R

A

Poichè la deformazione circonferenziale è ϕ = u/R, lo spostamento radiale chesubisce l’anello risulta:

u = T · R2

E · A (7.66)

Scrivendo l’equazione di congruenza (spostamento cilindro = spostamento anel-lo) si ottiene:

T · 1

8β 3D − p

4β 4D = −T · R2

E · A (7.67)

da cui con alcuni semplici passaggi (ricordando che 4β

4

D = Es/R

2

) si ottiene:

T

β

2 +

s

A

= p

da cui:T =

pβ2 + s

A

(7.68)

Val la pena notare come se A → ∞, allora T = 2 p/β (come nel caso del vincoloradiale sul parallelo), mentre se A → 0 allora T → 0.

Esempio 7.5 Considerando un cilindro con R = 200[mm] ed s = 10[mm] soggettoad una pressione interna p = 15[N/mm2] su cui è saldato un anello avente sezione20× 50 [mm], calcolare gli sforzi all’intradosso del tubo e lo sforzo assiale sul rinforzo.

Applicando le formule precedenti si ottiene T = 615.47 [N/mm], da cui si ricavanole azioni applicate sul bordo del cilindro nella sezione di mezzeria: M 0 = T /4β eT 0 = −T /2. Lo spostamento w ed M x dovuto alle iperstatiche si calcolano quindisemplicemente con la (7.47) e la (7.49). Lo sforzo circonferenziale medio si calcola

125



quindi in modo semplice con la (7.65). In particolare gli sforzi sono rappresentati nellaFig. 7.14 : lo sforzo circonferenziale medio in x = 0 risulta meno del 50% dello sforzo

di Mariotte nel cilindro semplice.Lo sforzo nell’anello risulta: σϕ,an = 123.1 [MP a]: è da notare che tale valore

corrisponde allo sforzo circonferenziale membranale nel tubo.

0 50 100 150 200 250 300!100

!50

0

50

100

150

200

250

300

350

x [mm]

!" m

!x

!" f

Figura 7.14: Sforzi all’intradosso di un tubo (R = 200[mm], s = 1 0 [mm])rinforzato con un anello di dimensioni 20 × 50 [mm] soggetto ad una pressioneinterna p = 15 [M P a].

Come si vede dall’esempio precedente, la cerchiatura provoca una drasticariduzione dello sforzo σϕ,m nel tubo. Questo è il principio su cui funzionano lecondotte cerchiate, su cui vengono messi degli anelli equispaziati, per ridurre losforzo nel tubo e permettere alla tubazione di assorbire sovrapressioni e colpid’ariete (in questo modo si risparmia materiale rispetto ad una condotta dispessore uniforme). Nelle reali applicazioni gli anelli vengono forzati sul tubo peragevolare il collegamento meccanico e precaricare in compressione la condotta.

La distanza tra gli anelli in una cerchiatura reale deve essere minore dellametà di λ = 2π/β altrimenti l’effetto benefico si limita a brevi zone sotto ciascuncerchio [11].

7.4 Recipienti cilindrici

La risoluzione della giunzione tra lastre cilindriche ed altri elementi (travi adanello, fondi piani, fondi sferici) tramite il metodo delle forze, come visto nelle

126



applicazioni precedenti, permette di trovare lo stato di sforzo presente nei re-cipienti in pressione. Avendo già analizzato fondi piani e travi ad anello, nel

seguito si esaminano i coefficienti elastici e lo stato di sforzo nelle fondi (cupole)sferici, per poi calcolare lo stato di sforzo in un recipiente a spessore costantesoggetto a pressione interna

7.4.1 Fondi sferici

Consideriamo una porzione di fondo sferico di raggio R e spessore s ed indi-chiamo con ωf l’angolo che il fondo forma con il piano che contiene il bordo.Si dimostra che sotto l’azione di forze radiali T unitarie applicate al bordo, glispostamenti risultano [11]:

wT = −sin2 ωf

2β 3D θT =

sin2 ωf

2β 2D (7.69)

e che per effetto di coppie M unitarie risultano:

wM = −sin2 ωf

2β 2D θM =

sin2 ωf

βD (7.70)

Osservando le equazioni precedenti, si osserva facilmente che per ωf = 90 icoefficienti di bordo sono quindi uguali a quello di un cilindro lungo.

!fR

TM

Figura 7.15: Applicazione di forze al bordo di una porzione di fondo sferico.

Considerando il fondo sferico soggetto alla pressione p, gli sforzi membranali(uguali lungo lungo i meridiani e lungo i paralleli) presenti sono:

σϕ = − pR

2s (7.71)

127



con le stesse convenzioni di segno già assunte per i cilindri (pressione positivase agente sulla superficie esterna). Nella risoluzione dei problemi andrà quindi

tenuto in conto che lo spostamento radiale del fondo, ricavabile dagli sforzimembranali, è diverso da quello del mantello cilindrico.

7.4.2 Recipiente con fondi semisferici

Consideriamo un recipiente cilindrico di raggio R e spessore s con fondi se-misferici di uguale spessore, soggetto alla pressione interna p. Per effetto della

T

M

T

Mp

p

Figura 7.16: Forze che si sviluppano alla giunzione fondo-cilindro di un recipientein pressione.

pressione interna le deformazioni circonferenziali nei due corpi (cilindro e fondo)sono rispettivamente:

ϕ,c = 1

E

pR

2s (2 − ν ) ϕ,f =

1

E

pR

2s (1 − ν ) (7.72)

Gli spostamenti radiali (essendo ϕ = u/R) sono:

uc = 1

E

pR2

2s (2 − ν ) uf =

1

E

pR2

2s (1 − ν ) (7.73)

Nascono quindi delle azioni iperstatiche M e T che ristabiliscono la congruenza

delle deformazioni tra i corpi. In particolare, scrivendo la prima equazione dicongruenza degli spostamenti angolari:

1

βDM − 1

2β 2DT = − 1

βDM − 1

2β 2DT (7.74)

128



da cui si ottiene M = 0 (ciò è dovuto al fatto che T genera delle rotazioni ugualisui due corpi e non è quindi ulteriormente necessario M ). Dalla congruenza

degli spostamenti radiali (sapendo già che M = 0):

1

2β 3DT − 1

E

pR2

2s (2 − ν ) = − 1

2β 3DT − 1

E

pR2

2s (1 − ν ) (7.75)

da cui si ricava:T =

p

8β (7.76)

Gli sforzi si ricavano quindi dalle (7.47) ed (7.49) (nelle quali T 0 = −T per laconvenzione di Fig. 7.16 contraria a quelle che avevamo assunto per gli effettidi bordo). In particolare:

M x = − p

8β 2e−βx sin βx

T x = p8β

e−βx(sin βx − cos βx)

Il massimo di M x si raggiunge quando T x = 0, ovvero per βx = π4 . In corri-

spondenza di tale distanza lo sforzo σx,f è massimo (il segno negativo di M xsignifica che sono tese le fibre all’estradosso) a cui va sommato lo sforzo membra-nale σx,m = pR/2s. In particolare lo sforzo massimo all’estradosso del cilindrorisulta:

σx,max = σx,f,max + σx,m = 3

√ 2R

8s

3(1 − ν 2)e−π/4 p +

pR

2s (7.77)

tale valore è circa pari a 1.29 · σx,m.

Esempio 7.6 Considerando un recipiente cilindrico a fondi semisferici con R = 200 [mm]ed s = 10[mm] soggetto ad una pressione interna p = 15[N/mm2], calcolare gli sforzisul mantello cilindrico.

Dalla (7.76) ricaviamo T 0 = −65.23 [N/mm] e possiamo rappresentare gli sforzi in Fig.7.17. Va annotato come il calcolo dello sforzo membranale circonferenziale, poichèsiamo in un caso in cui N x = 0, può essere fatto solo attraverso la (7.65): la ragionesta nel fatto che lo spostamento radiale del mantello cilindrico (a causa della presenzadello sforzo assiale) non è più descritto dalla (7.28).

7.4.3 Altri recipienti

La soluzione vista prima per il recipiente con fondi semisferici (M 0 = 0) valesolo per il caso di cilindro e fondi aventi medesimo spessore. In tutti gli altricasi (o nel caso di giunzioni con altri elementi quali travi ad anello o fondi piani)le due equazioni di congruenza formano un sistema 2 × 2 da cui si ricavano leazioni iperstatiche M 0 e T 0.

129



0 50 100 150 200 250 3000

50

100

150

200

250

300

350

x [mm]

!

!",m

!",i

!",e

!x,i

!x,e

Figura 7.17: Sforzi all’intradosso di un recipiente cilindrico (R = 200[mm], s =10 [mm] costante) con fondi semisferici, soggetto ad una pressione interna p =15 [M P a].

7.5 Esercizi

Esercizio 7.1 Calcolare gli spostamenti e la distribuzione di sforzi in un tubo pereffetto di un sistema di coppie applicate lungo un parallelo (è il duale della forza

radiale sul parallelo). Perchè σϕ.m deve risultare nullo in corrispondenza del parallelodi applicazione delle forze ?

Esercizio 7.2 Perchè in un tubo cerchiato lo sforzo circonferenziale sul tubo è pari aquello sull’anello ?

Esercizio 7.3 Calcolare la distribuzione di sforzi nel mantello cilindrico di un reci-piente a fondi chiusi (R = 100[mm] e s = 1 0 [mm]), rinforzato da un anello 50 ×20 [mm] soggetto ad una pressione di 300 bar.

130



Parte III

Applicazioni ed organi di

macchina

131



Capitolo 8

Fatica degli elementi saldati

Si espongono i concetti fondamentali delle verifiche a fatica degli elementi saldati alla lucedelle vigenti normative, insieme con una descrizione delle verifiche basate sul concetto di

hot-spot . Per un quadro più completo, si accenna quindi alla propagazione di difetti ed ai

metodi per incrementare la resistenza a fatica di un giunto saldato1.

8.1 Introduzione alla resistenza a fatica dei giunti

saldati

La saldatura è una tecnica di giunzione di materiali, solitamente metalli, percoalescenza. Ciò si ottiene provocando la fusione locale delle parti da collegare,eventualmente con l’aggiunta di materiale d’apporto. In questo modo si formauna mescolanza di materiale fuso che, una volta raffreddato, costituisce unagiunzione resistente. Le fonti di energia per la saldatura possono essere unafiamma a gas, un arco elettrico, un laser o un fascio di elettroni. A saldaturaavvenuta, nella zona di saldatura si possono riconoscere un certo numero di zonedistinte.

Figura 8.1: Saldatura e zona termicamente alterata

La saldatura vera e propria è la cosiddetta zona fusa (dove è stato eventual-mente disposto il materiale d?apporto). Le proprietà della zona fusa dipendono

1a cura di A. Bernasconi e M. Filippini

132



Figura 8.2: configurazioni tipiche dei giunti saldati

essenzialmente dal materiale d?apporto utilizzato e dalla sua compatibilità conil materiale base. La circonda la zona termicamente alterata, fatta di materialebase la cui microstruttura e le cui proprietà sono state alterate dal processo disaldatura (si veda il profilo di durezza in corripsondenza della zona termicamen-te alterata in Figura 8.1). In questa zona si sviluppano le tensioni residue cheverranno descritte nel seguito.

I giunti saldati si classificano in base alla geometria e alla disposizione deilembi delle lamiere che vengono collegate tra loro. In Figura 8.2 sono riportatele configurazioni più diffuse:

1. giunto di testa (butt joint )

2. giunto di testa con preparazione (single V butt joint )

3. giunto a sovrapposizione (lap joint )

4. giunto a T (T-butt weld )

La preparazione consiste in una lavorazione dei lembi da saldare atta a favorirela disposizione del materiale d’apporto in modo tale da ottenere la completapenetrazione, cioè il completo ripristino della sezione resistente.

Come si può vedere in Figura 8.3, la presenza di una saldatura modifica lacurva S-N di un acciaio in misura molto più gravosa di un semplice intaglio, conun abbassamento del limite di fatica e un incremento della pendenza della curvastessa. La presenza di saldature riduce la resistenza a fatica di un componenteessenzialmente per le seguenti ragioni:

133



Figura 8.3: Confronto tra le curve S-N del materiale base, intagliato e saldato

Figura 8.4: Posizione del piede e della radice di una saldatura

• concentrazione di sforzi dovuta alla forma della saldatura e alla geometriadel giunto;

• concentrazione di sforzi causata dai difetti di saldatura;

• sforzi residui introdotti durante la saldatura.

I punti di possibile nucleazione di fratture si trovano solitamente in corri-spondenza del piede del cordone, della base della saldatura (radice, secondo laterminologia di Figura 8.4), o nei punti di interruzione del cordone nel caso disladature discontinue o interrotte.

La geometria locale di un cordone di saldatura è variabile da punto a puntoe si discosta dalla geometria nominale per la forma (non necessariamente trian-

golare) e per la presenza di sporgenze e rientranze non sempre riconducibili araggi di raccordo. Quanto anche sia possibile riconoscere dei dettagli geometriciassimilabili a raggi di raccordo, i valori presentano un’elevata dispersione al va-riare della posizione lungo il cordone lungo il quale si effettuano i rilievi. A titolodi esempio, in Figura 8.5 è riportata la micrografia di una sezione trasversaledi una saldatura su cui sono stati rilevati i raggi di raccordo e il grafico con la

134



distribuzione dei raggi di raccordo misurati . I difetti presenti in una saldatura

Figura 8.5: Rilievo dei raggi di raccordo in una sezione trasversale di un cordonedi saldatura e distribuzione dei valori di raggio rilevati [13].

sono di diverso tipo (in Figura 8.6 sono rappresentati i difetti più ricorrenti)e sono provocati da meccanismi essenzialmente riconducibili alla successione diriscaldamento e rapido raffreddamento, nonché alla deposizione di materiale diapporto. Per individuare i difetti le saldature sono soggette a controlli non di-struttivi (radiografie, ultrasuoni) e pertanto ill livello e la qualità del controllocontribuisce a determinare i valori degli sforzi ammissibili.

Figura 8.6: Difetti tipici presenti in una saldatura.

Gli sforzi residui si sviluppano in corrispondenza della saldatura per effet-to della contrazione del materiale fuso durante il raffreddamento, che viene in

parte contrastata dal materiale base che, avendo raggiunto una temperaturainferiore, ha subito una deformazione iniziale inferiore. Come tutte le tensioniresidue, anche quelle derivanti dal processo di saldatura sono autoequilibrate(cioè la risultane delle forze ad essi associate è nulla). La distribuzione tipica diqueste tensioni è mostrata in Figura 8.7, dove si può osservare che è presenteuna componente di trazione residua che si estende per un lungo trato lungo il

135



Figura 8.8: Componenti di sforzo considerate nella definizione delle efficienze

a fatica di una giunzione saldata e quella del materiale base. Solitamente fannoriferimento al limite di fatica; vedremo nel seguito che il concetto di limite di

fatica trova una definizione convenzionale nell’ambito delle normative di riferi-mento per la verifica delle saldature. Questi fattori di riduzione sono definiti conriferimento alle ampiezze delle componenti di sforzo agenti in direzione perpen-dicolare σ⊥, parallela σ e tangente τ al cordone di saldatura (v. Figura 8.8).Se indichiamo con ∆σ⊥,A, ∆σ,A e ∆τ ,A i limiti di fatica associati a queste trecomponenti, con ∆σD e ∆τ D i limiti di fatica del materiale base (a trazione e ataglio, rispettivamente), le corrispondenti efficenze γ ⊥, γ γ τ sono espresse nelseguente modo:

γ ⊥ = ∆σ⊥A

∆σD(8.1)

γ = ∆σA

∆σD(8.2)

γ τ = ∆τ A

∆τ D(8.3)

Valori caratteristici delle efficienze per un acciaio da costruzione simile al-l’Fe360 sono riportati nella tabella di Figura 8.10, in cui ∆σD = 240 MPa(questo valore, corrispondente P f =10%, è relativo a un rapporto di ciclo R = 0,cioè a fatica pulsante, mentre la resistenza a fatica alternata, cioè a R= -1, del-l’Fe360 è ∆σD,R=−1/2 = 180 MPa; questi valori sono coerenti con il diagrammadi Haigh di Figura 8.9 ). Si noti che le efficienze sono indicate con il simbolo γ a indicare che fanno riferimento a proprietà del materiale base ∆σD ricavate daprovini estratti da lamiera grezza e non da provini lucidati (diverso effetto dellafinitura superficiale). Una tabella analoga, valida per le leghe di alluminio, èriportata in Figura 8.11

137



Figura 8.12: Coefficienti di sicurezza per la resistenza a fatica γ MF proposti daEurocodice 3.

8.2 Approccio agli sforzi nominali secondo le nor-

mative

Poiché la saldatura è molto utilizzata come tecnica per realizzare opere e struttu-re per uso civile, oltre che per la realizzazione di apparecchi in pressione, in tutti

i paesi sono state pubblicate norme e linee guida per la verifica di giunzioni sal-date. In Italia, fino a pochi anni fa era attiva la normativa CNR UNI 10011 [15],che riguardava in generale le strutture in acciaio2 e che presenta anche una parteriguardante la verifica di resistenza a fatica delle giunzioni saldate. Normativesimili sono pubblicate in altri paesi. Ad esempio, le normative inglesi (BS) [16]pubblicano alcune normative che sono specifiche per il calcolo a fatica. Oggi ilriferimento normativo più aggiornato sulla verifica a fatica di strutture saldatesono le normative europee (Eurocode 3 per le strutture ini acciaio [17], Euroco-dice 9 [18] per le strutture in alluminio). In aggiunta alle normative, esistonolinee guida per la progettazione e la verifica a fatica dell saldature, come quellaprodotta dall’IIW, International Institute of Welding [19]. Pur non avendo valo-re normativo, le linee guida presentano importanti suggerimenti e complementialle prescrizioni dell normative.

Nel caso della progettazione a fatica, le norme possono essere intese comerequisito minimo per la garanzia dei prodotti, e un’ulteriore analisi si deve ren-dere necessaria per quei componenti che si ritengono critici per la sicurezza (sipensi alle costruzioni impiegate per il trasporto ferroviario). Si tenga conto cheimportanti campi della tecnica non utilizzano codici e normative per la proget-tazione, come ad esempio il settore automobilistico e il settore aerospaziale, purfacendo largo uso della tecnica della saldatura.

In generale, le normative si basano sul calcolo degli sforzi nominali. Le normeimpongono di verificare che le ampiezze di variazione degli sforzi nominali, ∆σsiano sempre inferiori ad un’ampiezza nominale ammissibile, ottenuta dividendol’ampiezza limite per un opportuno coefficiente di sicurezza corrispondente, aseconda dei casi, a durata illimitata, o a durata finita oppure ancora al caso dicondizioni di carico variabili. In Figura 8.12 è riportata la tabella dei coefficientidi sicurezza γ MF proposti da Eurocodice 3.

2Per gli apparecchi in pressione sono previste normative specifiche: in questi casi i controllie le verifiche sono ancora più dettagliate. Infatti in questo settore delle costruzioni meccaniche,la tecnica di saldatura riveste, a ragione, importanza fondamentale.

139



Figura 8.13: Curve SN utilizzate dalla normativa Eurocodice 3. .

Gli sforzi ammissibili in funzione del numero di cicli atteso, sono dati sottoforma di curve SN in funzione della classe della giunzione. In Figura 8.13 sonoriportate le curve SN relative agli acciai da costruzione (sono valide per tuttigli acciai da costruzione con f

y ≤690N/mm2), tratte da Eurocodice 3. Queste

curve S-N sono ottenute per traslazione lungo l’asse dei ∆σ di una curva diriferimento, riportata in Figura 8.14. Sono caratterizzate dallo stesso valoredell’inverso della pendenza m1 = 3 del tratto a termine, mentre si distinguonoper il valore della resistenza ∆σC a N = 2 · 106 cicli. Questo tratto rettilineo siestende fino a durate pari a N C = 5 · 106 cicli. Oltre a questa durata, nel casodi fatica ad ampiezza costante, si considera che esista un valore ∆σD al di sottodel quale non sia necessaria alcuna verifica (linea c trattegiata in figura 8.14).L’ulteriore tratto continuo che in Figura 8.14 termina con il tratto orizzontaled verra spiegato nel seguito con riferimento alla verifica a fatica in presenza disforzi ad ampiezza variabile.

Curve S-N analoghe sono disponibili per i giunti saldati in lega di aluminio,come riportato in Figura 8.15. La norma di riferimento in questo caso è Euro-

codice 9 [18] (in questa norma, per alcuni tipi di giunzioni in alluminio, sonopreviste pendenze del tratto a termine diverse da quelle degli acciai e diverse alvariare della classe del giunto).Concorrono alla definizione della classe tre elementi principali: la geometria(in ultima analisi il tipo di discontinuità o intaglio), il tipo di sollecitazione(il tipo di forze che deve trasmettere il giunto e la posizione del loro punto

140



Figura 8.14: Curva SN di riferimento utilizzata dalla normativa Eurocodice 3.

Figura 8.15: Curve SN relative alle costruzioni in alluminio [19].

141



Figura 8.16: Esempio di tabella relativa alle classi di resistenza delle saldature,tratta da Eurocodice 3.

142



di applicazione) ed infine la qualità della fabbricazione e/o il tipo e il livellodi controlli eseguiti. Come mostrato in Figura 8.16, le normative propongono

tabelle dove nella prima colonna è riportato il valore di ∆σ, nella seconda unoschea della giunzione e delle forze che trasmette, nella terza una descrizionee infine nella quarta eventuali precisazioni o considerazioni sulle modalità direalizzazione o sul livello di controllo.

Dalle espressioni delle curve SN, del tipo ∆σm · N = ∆σmC · N C , si ricava

l’espressione della durata corrispondente a un dato ∆σ nominale applicato: peril tratto a termine (cioè per ∆σ > ∆σC , vale a dire per N < 5 · 106), si ha

N = 2 · 106

∆σC ∆σ/γ MF

m1

(8.4)

Il valore dello sforzo nominale applicato, da cui si ricava ∆σ, è calcolato seguen-do la definizione corrispondente alla classe del giunto, cioè con riferimento ad

una determinata configurazione di carichi e ad una sezione resistente indicatadalla norma. Si osservi che ai fini della verifica è richiesto di consideare solol’ampiezza ∆σ della variazione degli sforzi, trascurando il valore medio. Ciò ègiustificato dalla presenza, nelle giunzioni saldate che non siano state soggette atrattamento termici di distensione, degli sforzi residui di trazione (come abbia-mo già visto possono raggiungere il carico di snervamento del materiale base).La presenza di questi sforzi residue rende di fatto trascurabile la presenza diuna componente media aggiuntiva, sia essa di trazione o di compressione, legataagli sforzi applicati. Nel caso di giunzioni distese è invece previsto che si tengain conto l’effetto degli sforzi medi.

Figura 8.17: Disegno e dimensioni della struttura da verificare

143



Esempio 8.1 Sia data una struttura come quella disegnata in Figura 8.17. Si trattadi una porzione di una trave a struttura scatolare, con due rinforzi saldati sulle piat-

tabande superiore ed inferiore, terminati con una sagoma semicircolare. Il modulo diresistenza della sezione nominale è quello della sezione rettangolare cava di dimensioni330 x 400 x 10, e vale

W = 1

12

330 · 4003 − 310 · 3803

· 400

2 = 1, 71 · 106mm4 (8.5)

Supponendo che in corrispondenza della sezione A-A, posta al termine del rinforzosemicircolare, agisca l’azione interna momento flettente pulsante ∆M = 128,5 kNm,si calcola uno sofrzo nominale σ = M/W = 75MP a. Ipotizzando l’impiego di unacciaio strutturale, la classe di dettaglio riportata in Eurocodice 3 più simile a questaconfigurazione è la qunta dall’alto tra quelle riportate in Figura 8.16. Il valore di ∆σC

associato è 50 MPa e pertanto si calcola una durata

N = 2 · 10

6 50

753

= 592.000 (8.6)

8.2.1 Effetto dello sforzo medio

Nel caso in cui la giunzione abbia subito un trattamento termico di distensionedelle tensioni residue, è opportuno tenere conto dell’effetto della componentemedia del ciclo degli sforzi sulla resistenza a fatica. Come è noto, una compo-nente di compressione ha l’effetto di aumentare la resistenza a fatica. Poichéle curve di riferimento fanno rifermento a prove di fatica pulsante (rapporto diciclo R = 0), qualora una parte del ciclo degli sforzi sia di compressione, anziché

modificare le curve, Eurocodice 3 prevede di modificare il valore dello sforzo no-minale ∆σ, secondo lo schema riportato in Figura, cioè aggiungendo alla partepositiva del ciclo il 60% della frazione di compressione.

Un approccio molto più chiaro è quello proposto dalle linee guida dell’IIWprevedono di modificare il valore di ∆σC , moltiplicandolo per un fattore cor-rettivo f R che tenga conto del rapporto di ciclo R, i cui valori sono riportatiin Figura 8.19. Ad esempio considerando una saldatura completamente distesasoggetta ad uno sforzo alternato simmetrico (R = −1), lo sforzo ammissibile∆σC della saldatura può aumentare di un fattore 1.6 rispetto ai valori usualiriportati nelle tabelle di resistenza delle varie classi di saldatura.

8.2.2 Multiassialità degli sforzi

Nel caso di giunzioni saldate di elementi in acciaio, qualora lo stato di sforzonominale consista in una componente di taglio agente in direzione parallela alcordone di saldatura, è prevista l’adozione di due curve S-N espresse in terminidi ∆τ , caratterizzate da una pendenza del tratto a termine minore (m1 = 5)di quella associata a sforzi ∆σ agenti in direzione perpendicolare al cordone di

144



Figura 8.18: Modifica del ciclo degli sforzi per giunzioni distese, secondo normativaEurocodice 3.

saldatura (m1 = 3). In Figura 8.20 sono riportate le curve corrispondenti alleclassi contemplate da Eurocodice 3.

Nel caso di presenza contemporanea di sforzi normali ∆σ e tangenziali ∆τ ,qualora per la classe di dettaglio in questione non sia espressamente previstadalla normativa una formula che permetta di calcolare un’ampiezza di variazionedegli sforzi di riferimento, si procede alla combinazione delle due componentisecondo la seguente formula di verifica

∆σ

∆σC

3

+

∆τ

∆τ C

5

≤ 1.0 (8.7)

Il significato fisico della (8.7) è che tale equazione corrisponde a combinare i ∆σed i ∆τ in modo che il danno (vedi sezione seguente) sia 1, in corrispondenzadi 2 · 106 cicli. Nel caso di verifica per un numero di cicli inferiore, effettuandoquindi un calcolo simile, si può applicare più intuitivamente la relazione:

n

N

σ

+

n

N

τ

≤ 1.0 (8.8)

8.2.3 Sforzi ad ampiezza variabile

Nel caso di verifiche a fatica in presenza di sforzi ad ampiezza variabile, le curveS-N di riferimento vengono modificate in moto tale da ammettere un contributoal danno per fatica anche di cicli di ampiezza inferiore a ∆σD. Esiste ancoraun limite di fatica, ma questo limite è spostato più in basso, al valore ∆σL,corrispondente a durate superiori a N = 108 cicli. Il tratto compreso tra ∆σD e

145



Figura 8.19: Fattore di correzione della resistenza a fatica, secondo le line guidadell’IIW.

Figura 8.20: Curva SN utilizzate dalla normativa Eurocodice 3 per la verifica inpresenza di sforzi di taglio.

146



∆σL si assume che abbia una pendenza pari a 1/m2, dove m2 = 2 · m1 − 1 = 5per gli acciai.

Nel caso di sforzi ad ampiezza variabile Eurocodice 3 prevede una proce-dura riassunta in figura8.21. Per prima cosa è necessario costruire la sequenzatemporale degli sforzi nominali in corrispondenza del dettaglio da verificare.Successivamente, con un opportuno metodo (per esempio il metodo Rainflow)si procede all’individuazione dei cicli e al loro conteggio, al fine di costrure unospettro di carico, caratterizzato da blocchi di ampiezza ∆σi che si estendonoper un numero di cicli ni. Per ciascuno di questi blochhi, con rifernimento allacurva S-N del dettaglio in questione, si calcola il numero di cicli a rottura N i.La verifica finale è condotta applicando una legge di somma lineare del danno(legge di Miner) ni

N i≤ D = 1.0 (8.9)

dove N i viene calcolato applicando le seguenti equazioni:

∆σi > ∆σC → N i = 2 · 106

∆σC ∆σi/γ MF

m1

(8.10)

∆σ < ∆σC → N = 2 · 106

∆σC ∆σi/γ MF

m2

2

5

m1

(8.11)

Il valore della somma del danno D uguale a 1.0 è ritenuta dall’IIW nonconservativo. Pertanto viene proposto un valore ridotto a 0.5.

147



Figura 8.21: Schema proposto da Eurocodice 3 per la verifica in presenza di sforziad ampiezza variabile.

148



8.3 Metodo hot-spot

Qualora il manufatto che è oggetto della verifica non sia riconducibile a nessunadelle classi previste dalle normative, è possibile applicare un metodo, detto hotspot [20], basato sull’intensità delle azioni interne, valutate in corrispondenzadel cordone di saldatura mediante opportune tecniche di estrapolazione (ovvia-mente nulla vieta di applicare il metodo hot spot anche a giunzioni contemplatetra ii dettagli strutturali contemplati dalle normative). L’estrapolazione è ne-cessaria in quanto la distribuzione degli sforzi nello spessore di una lamiera incorrispondenza di una saldatura non è direttamente riconducibile ai valori delleazioni interne che la hanno generata. Ciò è dovuto alla presenza del cordone disaldatura che genera una concentrazione di sforzo e una distribuzione non linea-re degli sforzi lungo lo spessore, come mostrato in Figura 8.22. Le sole azioni

Figura 8.22: Distribuzione degli sforzi nello spesssore in corrispondenza di unagiunzione saldata.

Figura 8.23: Distribuzione lineare degli sforzi nello spesssore, in corrispondenza diuna giunzione saldata, atttribuibile alle sole azioni interne.

interne (momento flettente, che genera σb, ed azione assiale membranale, chegenera σm) infatti genererebbero una distribuzione lineare, quale quella mostatain Figura 8.23. Questa distribuzione di sforzi prende il nome di sforzi strutturali,in quanto appunto legati alle sole azioni interne. A questa si aggiunge una com-ponente non lineare σnlp, il cui andamento dipende dalla geometria locale del

149



cordone di saldatura. Poiché, come abbiamo visto, tale geometria presenta unavariabilità elevata, con il metodo hot spot si mira a ottenere uno sforzo locale

di riferimento in corrispondenza del punto più sollecitato, l’hot spot appunto,che non dipenda da queste condizioni locali non note.

Figura 8.24: Distanza minima dal giunto da cui si procede per l’estrapolazionedegli sforzi strutturali.

Per ricavare il valore dello sforzo strutturale nell’hot spot viene prescrittaun’estrapolazione a partire dai valori segli sforzi strutturali calcolati in prossi-mità del giunto, a partire da una distanza minima fissata in 0, 4t, dove t è lospessore della lamiera di base. Il valore di 0, 4t è quello che nella maggior partedei casi garantisce che la distribuzione degli sforzi nello spessore non risenta piùdella componente non lineare σnlp, come mostrato in Figura 8.24. Poiché nella

magior parte dei casi si procede ad un’estrapolazione lineare, il secondo puntosi posiziona ad una distanza pari allo spessore t della lamiera di base.Mediante questa tecnica di estrapolazione, lo sforzo strutturale nell’hot spot

risulta più basso dello sforzo di picco reale, ma maggiore dello sforzo nominale,come mostrato schematicamente in Figura 8.25. Rispetto allo sforzo nominaleσn, lo sforzo di hot spot σHS risulta pertanto amplificato di un coefficiente K s,per cui

σHS = K s · σn (8.12)

Il metodo hot spot si presta particolarmente all’applicazione ad analisi agli ele-menti finiti di strutture. E’ sufficiente disporre della coppia di nodi (di estremità,ma anche intermedi, o mid-node) posti alle distanze prescritte, come mostratoin Figura 8.26. Poiché nella pratica è frequente l’impiego di elementi aventi me-diamente tutti le stesse dimensioni, è ammesso il ricorso all’estrapolazione anche

a partire da nodi intermedi posti alle distanze di 0, 5t e 1, 5t, come mostrato inFigura 8.27

Le formule che forniscono il valore dello sforzo nell’hot spot sono, per l’e-strapolazione eseguita a partire da punti posti alle distanze di 0, 4t e 1, 0t,

σhs = 1, 67 · σ1,0t − 0, 67 · σ0,4t (8.13)

150



Figura 8.25: Definizione del coefficiente K s.

Figura 8.26: Estrapolazione degli sforzi strutturali da un modello FEM

Figura 8.27: Estrapolazione degli sforzi strutturali da un modello FEM con nodiequidistanti

151



mentre per l’estrapolazione a partire da punti posti alle distanze 0, 5t e 1, 5t

σhs = 1, 5 · σ1,5t − 0, 5 · σ0,5t (8.14)

Il tipo di elemento ottimale da impiegare per questo tipo di analisi deveessere quello che permetta di calcolare σHS con il minor numero di elementi. Intal senso si consiglia di utilizzare (v. Figura 8.28):

• elementi solidi quadratici, con un solo elemento nello spessore, a inte-grazione ridotta, con rappresentazione del cordone di saldatura medianteelementi di tipo prismatico

• elementi shell quadratici con rappresentazione del cordone di saldaturamediante:

– elementi rigidi verticali;

– elementi shell verticali;

– elementi shell inclinati, a riprodurre la geometria nominale del cor-done di saldatura.

Figura 8.28: Tipi di elementi adatti per analisi hot spot [20]

I valori di ampiezza degli sforzi di hot spot ammissibili sono stati determi-nati mediante estese campagne sperimentali, come quella i cui risultati sonoriportati in Figura 8.29, che hanno portato alla conclusione che sia possibile

152



Figura 8.30: Tabella dei valori di resistenza hot spot riportata in Eurocodice 3.

Figura 8.31: Modello agli elementi finiti della struttura.

154



Figura 8.32: Particolare del modello in corrispondenza del cordone di saldatura

Figura 8.33: Simulazione della presenza del cordone di saldatura mediante elementiinclinati o mediante elementi rigidi verticali

struttura reale. Diversamente, se non fossero stati presenti gli elementi inclinati, masolo elementi verticali, eventualmente di tipo rigido, l’hot spot nel modello si sarebbevenuto a trovare spostato a sinistra rispetto alla posizione assunta nella struttura reale.

L’analisi fornisce la distribuzione degli sforzi σx agenti in direzione parallella all’as-se della trave riportata in Figura 8.34. Il valore massimo di σx si registra in prossimitàdella mezzeria della piattabanda, laddove agisce perpendicolarmente al cordone di sal-datura. Tuttavia nel nodo posizionato esattamente all’intersezione tra il cordone disaldatura e la piatttabanda si registra una sollecitazione apparentemente inferiore, co-

me si può vedere in Figura 8.35, a causa dell’operazione di resitituzione al nodo diun valore medio dei valori nodali di sforzo associato agli elementi aventi quel nodo incomune. Non è quindi possibile utilizzare il valore di sforzo agente nell’hot spot leggen-dolo direttamente in corrispondenza del nodo posto nell’hot spot, bensì è necessarioprocedere all’estrapolazione secondo la procedura vista. In Figura 8.36 è riportatol’andamento dei valori di σx in funzione della distanza dall’hotspot. Il risultato del-

155



Figura 8.34: Distribuzione degli sforzi σx nella piattabanda superiore

l’estrapolazione lineare a partire dai valori di sigmax letti in corrispondenza dei nodiposti alle distanze 0, 5t e 1, 5t, rispettivamente pari a 144,4 MPa e 158,8 MPa, portaa valutare una sollecitazione ∆σhs = 1, 5 · 158, 8− 0, 5 · 144, 4 = 166MP a. Assumendouna classe ∆σC = 100MP a, sulla base dello schema riportato in Figura 8.30, si calcolauna durata pari a

N = 2 · 10

6 100

1663

= 547.000 (8.15)

valore molto prossimo a quello ottenuto applicando il metodo basato sugli sforzinominali.

156



Figura 8.35: Particolare della distribuzione degli sforzi σx nella piattabandasuperiore; si osservi la riduzione apparente in corrispondenza dell’hot spot

Figura 8.36: Grafico dei valori di σx in funzione della distanza dall’hot spot

157



Figura 8.40: Velocità di propagazione ricavata da prove di laboratorio su proviniprecriccati. Si noti che la velocità di propagazione non viene influenzata dal tipo dimicrostruttura.

160



Figura 8.41: Fattori di intensità degli sforzi per giunti saldati di differenti geometrie.

Figura 8.42: Curve di propagazione a frattura per materiali diversi.

Questo risultato è inquadrabile nel comportamento a frattura dei materialimetallici in cui le diverse classi di materiali (leghe Al, leghe Ti, acciai ferritico-perlitici e martensitici) mostrano, all’interno della stessa classe, curve di propa-gazione molto simili (vedasi Figura 8.42). I valori dei coefficienti della curva diParis pe questi materiali sono riporati in Tabella 8.1.

Legame tra curve S-N e fratture

E’ interessante notare che dalla 8.16 possiamo ricavare:

N f = cost

C · ∆S m (8.17)

ovvero la pendenza del diagramma S-N è la stessa della curva di Paris. Daquesto punto di vista si capisce come i diagrammi S − N previsti normativeabbiano una pendenza m1 = 3 molto diversa dagli usuali diagrammi S − N

161



Materiale C m

mm/ciclo

MP a√ m macc. ferritici perlitici 6, 9 · 10−9 3,0

acc. austenitici 5, 6 · 10−9 2,37075 T6 2, 7 · 10−8 3,7Ti6Al4V 1, 0 · 10−8 3,2

Tabella 8.1: Valori dei coefficienti della legge di Paris per alcuni materiali (R=0)[21]

dei componenti (costruiti a partire dal diagramma S − N del materiale), checorrisponde invece al m = 3 nella propagazione a frattura degli acciai.

Una ulteriore conferma del fatto che il comportamento delle saldature cor-

risponde a quello di componenti che contengono fratture si ha dalla minoreefficienza saldature in leghe Al. Infatti la minore efficienza non è descrivibi-le in termini di intaglio (le leghe Al hanno una minore sensibilità all’intaglio).La differenza fondamentale sta nelle minori proprietà a frattura delle leghe Al:usualmente hanno valori di ∆K th che sono pari al 30 − 50% dei valori tipici pergli acciai e, a pari ∆K , hanno velocità di propagazione maggiori.

8.5 Accorgimenti di fabbricazione per aumentare

la resistenza a fatica

Nella maggior parte dei casi il migliore accorgimento per aumentare la resisten-za a fatica dei giunti saldati consiste in regole di buon progetto. D’altro canto

però la maggior parte delle misure adottate per incrementare la resistenza sta-tica, essenzialmente irrigidimenti e aumento delle sezioni che reggono i carichi,sono del tutto inefficaci se non deleterie, dal punto di vista della resistenza afatica. Infatti un aumento dello spessore dei cordoni e di lembi costituisce unaumento del fattore di concentrazione degli sforzi, che aumentano bruscamentein corrispondenza dei “rinforzi”.

In generale, gli accorgimenti di processo per migliorare la resistenza di uncordone si possono classificare come segue:

• miglioramento della forma del cordone volta a diminuire le concentrazionidi sforzo

• miglioramento delle condizioni del materiale del cordone attraverso la

rimozione di micropori, microinclusioni e microcriccature• introduzione di sforzi residui di compressione, favorevoli per l’aumento

della resistenza a fatica, nella zona della saldatura

• protezione dalla corrosione

162



Figura 8.43: Molatura del cordone di saldatura. La soluzione b) ha efficacia,mentre la resistenza della geometria a) è poco differente da quella del cordoneoriginale.

I principali processi per aumentare la resistenza sono:

Molatura la molatura del cordone di saldatura ha lo scopo, oltre a ridurre ilK t complessivo, di eliminare le microcricche che si trovano nella zona ditransizione tra il materiale di riempimento e i lembi. Mediante la molaturasi ottiene anche un leggero indurimento superficiale. È comumque fonda-mentale che si realizzi uno scavo profondo (figura 8.43), poiché altrimentinon si raggiunge l’effetto desiderato.

TIG dressing l’uso della tecnica di saldatura TIG, con la fusione locale delcordone migliora la forma del cordone e rimuove i microintagli che potreb-bero presentarsi nel cordone. I migliori risultati si ottengono per saldaturetrasversali e per gli acciai ad elevata resistenza.

Sovraccarico sollecitando la zona del cordone sopra il limite elastico con uncarico monotono, durante la successiva fase di scarico, si riescono a lasciare

sforzi residui di compressione nella zona del piede della saldatura.Sforzi residui un’altra possibilità per introdurre sforzi residui di compressio-

ne consiste nella pallinatura (oppure di analogo trattamento tipo needle-peening dei cordoni e soprattutto della zona del piede della saldatura.

L’aumento della resistenza a fatica a seguito degli accorgimenti di fabbricazionesono indicati nella figura 8.44. A parte alcuni casi specifici, indicazioni generalidi come si possa tenere conto di questi accorgimenti nel calcolo possono esseretrovate in IIW.

163



Figura 8.44: Aumento della resistenza a fatica di acciai strutturali (R = 0)realizzato mediante l’applicazione di differenti accorgimenti di fabbricazione.

164



Bibliografia

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dei materiali . McGraw-Hill, Milano, 2005.

166



Appendice

Una lista delle correzioni e delle aggiunte nelle edizioni per A.A. 2010-11:

• nella revisione del 4 giugno 2011 corretta la simbologia per le iperstatichedi bordo nel recipiente in pressione (ora M e T );

• nella revisione del 8 giugno 2011 rivisti gli esercizi del Cap. 5;

• nella revisione del 7 maggio 2012 corretto errore formula τ ott ed introdottisforzi nei cilindri (Cap. 5);

• nella revisione del 10 giugno 2012 corretto errore formula (7.60).

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