Corriente Alterna

Producción de fem Alterna Sinusoidales

Valores Medios y Eficaces

Corriente Alterna en Elementos de Circuito

Circuitos LCR. Impedancia

Notación Fasorial

Potencia en Corriente Alterna

Resonancia. Factor de Calidad

Transformadores

BIBLIOGRAFÍA- Alonso; Finn. "Física ". Cap. 27. Addison-Wesley Iberoamericana.

- Edminister. “Circuitos eléctricos”. Cap. 8, 9 y 30. McGraw-Hill

- Fraile Mora. “Electromagnetismo y circuitos eléctricos”. E.T.S.I.T. Madrid.

- Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 31 McGraw-Hill.

- Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 39. CECSA.

- Roller; Blum. "Física". Cap. 39. Reverté.

- Serway. "Física". Cap. 33. McGraw-Hill.

- Tipler. "Física". Cap. 30. Reverté

Producción de fem Alterna Sinusoidal

Se dice que una corriente es alterna si cambia de sentido periódicamente.

Generador de corriente alterna

Una espira que gira con velocidad angular constanteen el seno de un campo magnético uniforme

θ=Φ cos S BB

Como ot θ+ω=θ

)t cos( S B oB θ+ω=Φ

Tomando θo=π/2, para una espira con N vueltas

t sen S B NB ω−=Φ

Aplicando la ley de Faraday t cos S B Ndt

d B ωω=Φ−=ε

t cos o ωε=ε Generador de corriente alterna

Representación gráfica

εo: fem. Amplitud de onda Fuerza electromotriz máxima

T=2π/ω: Periodo de la fem Tiempo que tarda en recorrer un ciclo completo

f=1/T: Frecuencia Ciclos realizados por unidad de tiempo (Hz)

Valores Medios y Eficaces

Caracterización de una corriente utilizando valores medios

∫=T

0

dt fT1f ∫=

T

0

dt VT1V

∫=T

0

dt IT1I

ωπ=ω= 2Tcon tcosVV Si o

[ ]∫ =ωπ

=ωπ

ω= ωπT

0

/20oo 0tsenV

21dtt cosV

2V

[ ]∫ =ωπ

=ωπ

ω= ωπT

0

/20oo 0tsenI

21dtt cosI

2I

Los valores medios nodan información sobre lascorrientes alternas.

Caracterización de las corrientes alternas utilizando valores eficaces

2ef ff =

2ef VV =

2ef II =

Los voltímetros y amperímetros están diseñados para medir valores eficaces de la corriente o la tensión.

∫ ∫ =ωπ

πω=+ω

πω=ω

πω=

ωπT

0

202

o

/2

0

2o

22o

2

2V2

21V

2dt

21t2cosV

2dtt cosV

2V 2

VV oef =

∫ ∫ =ωπ

πω=+ω

πω=ω

πω=

ωπT

0

202

o

/2

0

2o

22o

2

2I2

21I

2dt

21t2cosI

2dtt cosI

2I

2II o

ef =

Corriente Alterna en Elementos de Circuito

I. Corriente alterna en una resistencia

La tensión aplicada y la corriente están en fase

tcosR

)t(I o ωε= tcosI)t(I o ω=

II. Corriente alterna en un condensadorPara calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V

CqVc ==ε C

qtcoso =ωε

tcosC)t(q o ωε=

Dondeω

=ΧC1

c Reactancia capacitiva o capacitancia

En este caso, corriente yvoltaje están desfasados: lacorriente está adelantada π/2respecto del voltaje

tsen Cdt

)t(dq)t(I o ωωε−==

π+ω=

π+ω

ωε=

2tosc I

2tosc

C/1)t(I o

o

III. Corriente alterna en una bobinaPara calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V

0dtdIL =−ε dt

dILtcoso =ωε

Donde ω=Χ LL Reactancia inductiva o inductancia

En este caso, corriente yvoltaje están desfasados: lacorriente está atrasada π/2respecto del voltaje

dt tcosL

dI o ωε=

π−ω=

π−ω

ωε=

2tosc I

2tosc

L)t(I o

o

Circuito LCR en serie

Circuitos LCR: Impedancia

dtdILR I

Cqtcoso ++=ωε

Derivando con respecto al tiempo

2

2

o dtIdL

dtdIR

CItens ++=ωωε−

Ángulo de fase R tg CL Χ−Χ=δ

Corriente máxima( ) ZR

I o2

CL2

oo

ε=Χ−Χ+

ε=

CL Χ−Χ Reactancia total

( )2CL

2RZ Χ−Χ+= Impedancia

Esta ecuación es una ecuación diferencial,con dos constantes de integración, cuyasolución se puede escribir de la forma

)tcos(II o δ−ω= constantes :,Io δ

Notación fasorial

La relación entre corriente y voltaje en una bobina o en un condensador puede representarse mediante vectores bidimensionales llamados fasores.

Podemos representar la caída de potencial en una resistencia como un vector de módulo IoR, que forma un ángulo θ con el eje XEl valor instantáneo de la caída de tensión es la componente x del vector VR, que gira en sentido antihorario con una velocidad ω.

A cos(ωt-δ1) Fasor A ( )A

B cos(ωt-δ2) Fasor B ( )B BAC

+=

Uso de los fasores Cualquier función A cos(ωt-δ), será la componente x de un fasor que forma un ángulo (ωt-δ) con el eje x

Esta representación fasorial, la podemos llevar a cabo en el plano complejo

θ

r

a

b

Re

Im

Coordenadas cartesianas jbaz +=

Coordenadas polares θ= rz

Cambio de coordenadas

Cartesianas a polaresabtg arc

bar 22

=θ

+=

Polares a cartesianas θ=θ=

sen rbcosra

Fórmula de Euler θ±θ=θ± sen jrcosrre j

Representación compleja de elementos de corriente alterna

Vamos a reproducir las corrientes encontradas en circuitos de corrientealterna utilizando el formalismo de los números complejos.Representaremos por ε e i las tensiones y corrientes, teniendo en cuentaque las magnitudes de interés físico serán Re(ε) y Re(i). Así, los circuitosde corriente alterna se pueden resolver considerando la ley de Ohm conel formalismo de los números complejos.

Fuente de tensión δε=ε o )tcos()Re( o δ+ωε=ε)t(joe δ+ωε=ε

Resistencia RZR =Corriente y tensión estánen fase.

Condensador ω−=

CjZC

Corriente adelantada π/2respecto de la tensión.

Inducción ω= jLZL Corriente atrasada π/2respecto de la tensión.

I. Corriente alterna compleja en una resistencia

RZe

R

tjo

=ε=ε ω

Aplicando la ley de Ohm

tjo

Re

RZi ωε

=ε

= tcosR

)iRe(I o ωε

==

II. Corriente alterna compleja en un condensador

ω−=

ε=ε ω

CjZ

e

C

tjo

Aplicando la ley de Ohm

)/t(jotjo

Ce

C/e

C/jZi 2

1π+ωω

ωε

=ω−

ε=

ε= )/tcos(

C/)iRe(I o 2

1π+ω

ωε

==

III. Corriente alterna compleja en una bobina

ω=ε=ε ω

jLZe

L

tjo Aplicando la ley de Ohm

)/t(jotjo

Le

Le

jLZi 2π−ωω

ωε

=ω

ε=

ε= )/tcos(

L)iRe(I o 2π−ω

ωε

==

Circuito LCR en serie

)XX(jR)C

L(jRZ

e

CLT

tjo

−+=ω

−ω+=

ε=ε ω

1

tj

CL

o

Te

)XX(jRZi ω

−+ε

=ε

=

RXXtan CL −

=δ

22 )XX(RI

CL

oo

−+

ε=

)tcos(I)iRe(I o δ−ω==

Multiplicando numerador ydenominador por el conjugado,se obtiene

)t(j

CL

o

Te

)XX(RZi δ−ω

−+

ε=

ε=

22

Para una impedancia cualquiera y un circuito que no sea RCL enserie, tendremos, suponiendo que el voltaje no tiene fase inicial,magnitudes del tipo

δ

ω

=

=j

tjo

eZZ

eVv

Para calcular la corriente compleja aplicamos la ley de Ohm de forma que, operando con fasores podemos escribir

)t(jo eZ

VZvi δ−ω==

)tcos(Z

V)iRe(I o δ−ω==Con lo cual

)ZRe()ZIm(tan =δ

ZVI o

o =

12.6 Potencia en corriente alterna

Potencia en una resistencia

Potencia instantánea )t(I)t()t(P ε=

Como la resistencia no introduce diferencia de fase entre corriente y voltaje, podemos escribir

tcosR

tcostcosI)t(P ooo ω

ε=ωωε= 2

2

Potencia media212

22

Rtcos

R)t(PP oo ε

=ωε

==

La resistencia disipa energía en forma de calor por efecto Joule.

Con valores eficaces I RR

P efef 22

=ε

=

Potencia en un condensadorEn un instante dado, la energía puede estar entrando o saliendodel condensador, dependiendo si en ese momento se carga o sedescarga. Como la corriente oscila sinusoidalmente, la energíapromedio disipada en el condensador es cero.

Potencia instantánea )t(I)t()t(P ε=

tsen tcosX

)/tcos(tcosI)t(PC

ooo ωω

ε−=π+ωωε=

22

Potencia media 02

=ωωε

−== tsen tcosX

)t(PPC

o

Potencia en una bobina: Ocurre lo mismo que con el condensador, luego

Potencia instantánea )t(I)t()t(P ε=

tsen tcosX

)/tcos(tcosI)t(PL

ooo ωω

ε=π−ωωε=

22

Potencia media 02

=ωωε

== tsen tcosX

)t(PPL

o

Caso general

Supongamos un circuito caracterizado por )tcos(IItcosVV

o

oδ−ω=

ω=

siendoZ

VI oo =

)ZRe()ZIm(tan =δ

Potencia instantánea )t(I)t(V)t(P =

)tos(c tcosIV)t(P oo δ−ωω=

Potencia mediaδωω+δω=δωω== sent sen tcosIVcostcosIV)-tcos( tcosIV)t(PP oooooo

2

0δ== cosIV)t(PP oo2

Con valores eficaces δ= cosIVP efef

Potencia complejaδ

δ−ω

ω

=

=

=

j

)t(jo

tjo

eZZ

eIi

eVv

)sen j(cosIVeIV21i v

21S efef

joo δ+δ=== δ∗

Cada uno de los términos de esta potencia compleja tiene un significado

Potencia activa (se mide en Watios, W) δ== cosIV)SRe(P efef

Potencia reactiva (se mide en Voltio·Amperio reactivo, VAR)

δ== sen IV)SIm(Q efef

Potencia aparente (se mide en Voltio·Amperio, VA) efef IVSS ==

Factor de potencia

SPcos =δ

Con estos tres términos se define el triángulo de potencias, de forma que

jQPS +=δ

SQ

P

Resonancia. Factor de calidad

En un circuito RCL en serie, tanto la corriente máxima como la diferencia de fase dependen de la frecuencia angular ω.

Respuesta máxima del circuito

Frecuencia natural de oscilaciónLa frecuencia de la fuerza impulsora(fem alterna) coincide con estafrecuencia natural

RXXtan CL −

=δ

22

oo

C1LR

I

ω−ω+

ε=

En este caso la impedanciaalcanza su valor mínimo y lacorriente su valor más alto

Circuito en resonancia

δ vale cero y el factor depotencia vale 1

Io será máxima cuando CL XX =Frecuencia de resonancia

oLC1 ω==ω

Curvas de resonancia Representan la potencia media suministradapor el generador al circuito en función de lafrecuencia del generador.

La potencia media es máxima cuando ω = ωo.Cuando R es pequeña, la anchura de la curvatambién lo es, mientras que se ensancha amedida que R aumenta.

Anchura de resonancia

∆ω = Diferencia entre losdos puntos de la curva enque la potencia es lamitad de su valor máximo

Factor de calidad

RLQ oω= Q alto implica curva de

resonancia estrecha ω∆ω= oQ

Transformadores

Un transformador es un dispositivo utilizado para aumentar o disminuir elvoltaje en un circuito sin pérdida apreciable de potencia. Consta de dosbobinas arrolladas sobre un núcleo de hierro.

Primario Secundario

dtdNV 11

φ=

El flujo que atraviesa cada espira en ambosarrollamientos es el mismo, luego la tensión queaparece en el secundario es

dtdNV 22

φ=

Comparando lasdos ecuaciones 1

1

22 V

NNV =

Transformador Reductor

1212 VV NN <⇒<

Transformador Elevador 1212 VV NN >⇒>

Si colocamos una Resistencia de Carga en el secundario, apareceráuna corriente I2 en fase con V2 y aparecerá un flujo adicionalproporcional a N2 I2

Como el flujo en el primario debe tener el mismo ritmo de variación al estarconectado a una fem externa, debe aparecer una corriente I1en el primariode forma que

2211 ININ −=

Si no existen pérdidas, se debe cumplir que 2ef2ef1ef IVI =ε

Uso de los transformadoresTransporte de energía eléctrica conpérdidas mínimas de energía por efectoJoule utilizando alto voltaje y bajacorriente.

Ejemplo:Consideremos una ciudad, con una población de 100.000habitantes, si suponemos que cada uno consume una potenciamedia de 1.5 [kW], se necesita para cada persona una corriente

[ ]I A= =1500 7220I VP =

La corriente total necesaria para la misma sería de 700.000 A, para locual se necesitarían gruesos cilindros de cobre con grandes pérdidas.

Si se utilizan transformadores de alta (elevadores) para transportar la potencia, la corriente necesaria se reduce a

2ef2ef1ef IVI =ε [ ]efI . A.

= =2220 700 000 250

600 000

Dentro de la ciudad se sitúan transformadores que reducen el valor del voltajehasta 10.000 V, por ejemplo. Cerca de las casas se sitúan nuevostransformadores que reducen el voltaje de nuevo hasta 220 [V]. Debido a estafacilidad para aumentar o reducir el voltaje de la corriente alterna, se utiliza estetipo de corriente y no la corriente continua.