http://www.fiec.espol.edu.ec/

Corriente continua (DC)

Corriente alterna (AC)

No varia con el tiempo

Varia con el tiempo en forma sinusoidal tanto el voltaje como la corriente

La corriente rms ( Irms ) es el valor de

corriente alterna que produciría en un resistor el mismo efecto de calentamiento que una corriente continua.

2máx

rms

II

2máx

rms

VV

Los voltímetros y amperímetros están diseñados para medir valores rms de la corriente o la tensión.

Valor Eficaz (Rms)

• Éstos significan la misma cosa para los circuitos AC :– “voltaje de C.C. equivalente ”

– “voltaje eficaz ”

– “voltaje rms”– RMS = root mean square

max2

1VVVV rmseffequivalentDC

Corriente alterna en elementos de circuito

I.I. Corriente alterna en una resistenciaCorriente alterna en una resistencia

La tensión aplicada y la corriente están en fase

tcosR

)t(I o tcosI)t(I o

Para calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V

R I R Itcoso

tVtv o cos)(

Notación fasorial

La corriente y el voltaje pueden representarse mediante vectores bidimensionales llamados fasores.

Podemos representar la caída de potencial en

una resistencia como un vector de módulo VR,

que forma un ángulo con el eje XEl valor instantáneo de la caída de tensión es la componente x del vector VR, que gira en sentido antihorario con una velocidad .

A cos(t-) Fasor A A

B cos(t-) Fasor B B BAC

Uso de los fasoresCualquier función A cos(t-), será la componente x de un fasor que forma un ángulo (t-) con el eje x

Combinar cantidades sinusoidales con diferencias de fase utilizando fasores se convierte en una suma de vectores

Representación de fasor de voltaje AC y de la corriente

oinstantane voltaje cos0 tVv

Un fasor (vector rotatorio ) de longitud V 0 y una frecuencia ω tiene un componente en “x” igual al voltaje AC .

Un fasor similar puede representar la corriente.

El ángulo entre los fasores voltaje y corriente es el adelanto/retraso entre la corriente y el voltaje.

i = I0 cosωt Corriente instantanea

Relación De Fase

= ángulo de fase

• Para adelanto v=Vpcos(t+)

• Para retraso v=Vpcos(t-)

Circuito AC que contiene solamente la resistencia R

donde: VR0 = I0R

tIRiRvR

cos

tVvRR

cos

tIiRR

cos

P = IrmsR 2

Cada medidor da valores rms

2maxV

Vrms VVrms 7.702

100

R

VI rms

rms AI rms 95.2

24

7.70

Una fuente de potencia de ca produce un voltaje máximo Vmáx = 100 V. Esta alimentación de potencia se conecta a un resistor de 24 Ω y se miden la corriente y el voltaje en el resistor con un amperímetro y un voltímetro de ca ideales, como en la figura. ¿Cuáles son los valores que registra cada medidor?

6.184.102.8 TotalR AR

VI

Totalcircuito 806.0

6.18

15

RIP altavozaltavoz2

2

1 WPaltavoz 38.34.10806.0

2

1 2

Un amplificador de audio, representado por medio de la fuente de ca y de un resistor en la figura, entrega a un altavoz voltaje alterno a frecuencias de audio. Si el voltaje de salida tiene una amplitud de 15.0 V, R= 8.20 Ω, y el altavoz es equivalente a una resistencia de 10.4 Ω, ¿cuál es la potencia promedio en el tiempo que se le entrega?

Las tres lámparas están en paralelo

V

PII 1

21 AII 25.1120

15021

21

1 9625.1

120R

I

VR

AV

PI 833.0

120

10033 144

833.0

120

33

I

VR

AIIII total 33.3833.025.125.1321

La figura muestra tres lámparas conectadas a un suministro de voltaje doméstico de 120 V ca (rms). Las lámparas 1 y 2 tienen focos de 150 W y la lámpara 3 tiene un foco de 100 W. Encuentre la corriente rms y la resistencia de cada foco.

Circuito AC que contiene solamente la inductancia L

tIi cosdt

diLv

L

tIdt

dLvL cos

Para calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V

0dtdI

L

dtdI

Ltcoso

Circuito AC que contiene solamente la inductancia L

El voltaje se adelanta 90º a la corriente

o

LLtVv 90cos

0

o

LtLIv 90cos

tLsenIvL

En el punto a la corriente comienza a incrementar en la dirección positiva

En este instante la rapidez de cambio de la corriente está en un máximo y, por ende, el voltaje a través del inductor también está a un máximo

Conforme la corriente aumenta entre los puntos a y b, di/dt disminuye en forma gradual hasta que alcanza cero en el punto b. Como resultado, el voltaje a través del inductor está disminuyendo durante este mismo intervalo de tiempo.

Reactancia o impedancia inductiva

XL se llama la reactancia inductiva.

Asi como un resistor impide el flujo de cargas , un inductor impide también el flujo de cargas en una corriente alterna debido a la fem autoinducida.

V 0 = I0XL XL = L

Ejemplo Reactancia de una bobina.

Una bobina tiene una resistencia R = 1 y una inductancia de 0.3 H. Determinar la corriente en la bobina si:

(a) se aplican 120-V dc;

(b) se aplican 120-V ac (rms) a 60.0 Hz.

AR

VI 120

1

120

LIVL

Lf

V

L

VI rmsL

2

2 3.0602

1202

I

3.135.7

100

I

VX L

Hf

XXL LL 0424.0

502

3.13

2

405.2

100

I

VX L

srad

L

X L 9430424.0

40

a)

b)

En un circuito de ca puramente inductivo, como en la figura, Vmax = 100 V. a) Si la corriente máxima es 7.5 A a 50 Hz, calcule la inductancia L. b) ¿A qué frecuencia angular ω la corriente máxima es 2.5 A?

XL = L

Circuito AC que contiene solamente un capacitor C

El voltaje retrasa a la corriente en 90º

tIdt

dqi cos

tsenI

q

CCvq

oC t

C

Iv 90cos0

dttcosIdttcosIq

El voltaje retrasado con corriente en 90º

Circuito AC que contiene solamente un capacitor C

capacitiva Reactancia 1

CX

C

oC t

C

Iv 90cos0

CCXI

C

IV

0

0

Ejemplo Reactancia del condensador. Cuáles son la corriente pico y rms en el circuito mostrado si C = 1.0 F y Vrms = 120 V? Calcular para f = 60 Hz

C

IV

C

CfVIC2 CfVI

rms22

A.IMax

06401016021202 6

A..

.II Max

rms0450

411

0640

2

Cf

IV

C 2

VVV rms 3.282022max

maxmax CVQC

QVC

nCQ 77.23.281098 12max

Un capacitor de 98.0 pF está conectado a un suministro de potencia de 60.0 Hz que produce un voltaje rms de 20.0 V. ¿Cuál es la carga máxima que aparece en cualesquiera de las placas del capacitor?

a) ¿Para qué frecuencias lineales un capacitor de 22.0 μF tiene una reactancia por debajo de 175 Ω? b) Sobre este mismo intervalo de frecuencia, ¿cuál es la reactancia de un capacitor de 44.0 μF?

Relaciones RMSResistencia

rms

rms

I

VR

Reactancia Capacitiva

fCI

VX

rms

rmsC 2

1

Reactancia Inductiva

fLI

VX

rms

rmsL 2

La unidad de la resistencia y de la reactancia es ohmios.

Potencia

Resistencia Capacitancia Inductancia

RIP rms2

La energía disipada en un resistor se convierte al calor.

Crms XIP 2 Lrms XIP 2

El condensador es un dispositivo de almacenaje de la energía.

Durante el ciclo la energía se almacena temporalmente en el campo eléctrico.

Por lo tanto, la potencia no es una potencia verdadera sino potencia reactiva llamada en unidades de voltio-amperio-reactivo (VAR).

El inductor es un dispositivo de almacenaje de la energía.

Durante el ciclo AC la energía se almacena temporalmente en el campo magnético

La potencia no es potencia verdadero sino reactiva en unidades VAR.

Impedancia Z de un circuito

Es la relación de la amplitud de voltaje en un circuito a la amplitud de corriente en el circuito

I

VZ

CfX C 2

1 8

12 1033.11020602

1

CX

22CXRZ 82823 1033.11033.11050 Z

AZ

VI 5

8 1077.31033.1

5000

personapersona IRV

VVpersona 88.110501077.3 35

Una persona está trabajando cerca del secundario de un transformador, como se muestra en la figura. El voltaje primario es 120 V a 60 Hz. La capacitancia Ci, que es la capacitancia entre la mano y el devanado secundario, es 20.0 pF. Suponiendo que la persona tiene una resistencia de cuerpo a tierra Re = 50.0 k Ω. determine el voltaje rms a través del cuerpo. Sugerencia: Redibuje el circuito con el secundario del tranformador como una fuente de ca simple.

Circuito RLC en Serie

Solamente una corriente en la conexión de serie utilizada como referencia.

VR e I están en fase , VL adelanta la corriente en 90º y VC se retrasa a la corriente en 90º

Voltaje total - los fasores se suman de la misma manera que los vectores.

222

0

0

CLR

LCR

VVVV

VVVV

La misma relación para valores RMS

22

222

CL

rmsrms

CLRrms

XXRZ

ZIV

VVVV

Impedancia en ohms.

Z

ELICE

Factor de Potencia, Potencia Real y reactiva

ZIV rmsrms

Factor de potencia = pf =cos

WcosrmsrmsVIP

Solamente los elementos resistivos disipan energía.

Los elementos reactivos almacenan energía temporalmente en una parte del ciclo AC . Esta energía se devuelve en otra parte del ciclo .

Sin embargo, las fuente de energía y otros equipos tal como transformadores deben poder manejar el VA máximo requerido .

22CL XXRZ

R

XX CL tan

VAR sinrmsrmsR VIP

R

LQ 0

0

00

f0 frecuencia de resonancia

Factor de Calidad

La fuente de voltaje en la figura tiene una salida V = (100 V) cos( 1000t ). Determine a) la corriente en el circuito y b) la potencia suministrada por la fuente, c) Muestre que la potencia disipada en el resistor es igual a la potencia suministrada por la fuente.

XL = L XL = 1000(50x10-3Ω

1

CX C

20

10501000

16CX

22CL XXRZ

50205040 22Z

La fuente de voltaje en la figura tiene una salida V = (100 V) cos( 1000t ). Determine a) la corriente en el circuito y b) la potencia suministrada por la fuente, c) Muestre que la potencia disipada en el resistor es igual a la potencia suministrada por la fuente.

ZIV rmsrms

R

XX CL tan

AZ

VI rms

rms 250

100

o9.3640

2050tan 1

cosIVP 2

1 W.cosP 809361002

2

1

RIP 2

02

1 WP 80402

2

1 2

5005.01000LX

20010501000

16CX

22CL XXRZ 500200500400 22 Z

Z

VI max

max AI 2.0500

100max

RIP 2max2

1 WP 0.84002.0

2

1 2

Un voltaje de ca de la forma v = (100 V) sen(1000t) se aplica a un circuito RLC en serie. Si R = 400 Ω, C= 5.0 μ F, y L = 0.50 H, encuentre la corriente máxima y la potencia promedio disipada en el circuito.

XL = L

1

CX C

Un resistor de 80 Ω, un inductor de 200 mH y un capacitor de 0.150 μF se conectan en paralelo a través de una fuente de 120 V (rms) que opera a 374 rad/s. a) Calcule la corriente rms en el resistor, inductor y capacitor b) Cuál es la corriente rms entregada por la fuente , c) Cuál es la frecuencia resonante del circuito

12.8 Transformadores

Un transformador es un dispositivo utilizado para aumentar o disminuir el voltaje en un circuito sin pérdida apreciable de potencia. Consta de dos bobinas arrolladas sobre un núcleo de hierro.

Primario Secundario

dtd

NV 11

El flujo que atraviesa cada espira en ambos arrollamientos es el mismo, luego la tensión que aparece en el secundario es

dtd

NV 22

Comparando las dos ecuaciones 1

1

22 V

NN

V

Transformador Reductor

1212 VV NN

Transformador Elevador

1212 VV NN

Au t

ore s

Mar

Art

igao

Cas

ti llo

, Man

uel S

ánch

ez M

a rtín

e z

Dp t

o d e

Fí s

ica

Apl

icad

a, E

scue

la P

olit é

cni c

a S u

per i

or d

e A

lbac

ete

(UC

LM

)

Si colocamos una resistencia de carga en el secundario, aparecerá una corriente I2 en fase con V2 y aparecerá un flujo adicional proporcional a N2 I2

Como el flujo en el primario debe tener el mismo ritmo de variación al estar conectado a una fem externa, debe aparecer una corriente I1en el primario de forma que

2211 ININ

Si no existen pérdidas, se debe cumplir que 2ef2ef1ef IVI

Uso de los transformadores

Transporte de energía eléctrica con pérdidas mínimas de energía por efecto Joule utilizando alto voltaje y baja corriente.

Au t

ore s

Mar

Art

igao

Cas

ti llo

, Man

uel S

ánch

ez M

a rtín

e z

Dp t

o d e

Fí s

ica

Apl

icad

a, E

scue

la P

olit é

cni c

a S u

per i

or d

e A

lbac

ete

(UC

LM

)

Ejemplo:En Albacete, con una población de 100.000 habitantes, si suponemos que cada uno consume una potencia media de 1.5 kW, se necesita para cada persona una corriente

A 7220

1500I I VP

La corriente total necesaria para Albacete sería de 700.000 A, para lo cual se necesitarían gruesos cilindros de cobre con grandes pérdidas.

Si se utilizan transformadores de alta (elevadores) para transportar la potencia, la corriente necesaria se reduce a

2ef2ef1ef IVI A 250000.700000.600

220I ef2

Dentro de la ciudad se sitúan transformadores que reducen el valor del voltaje hasta 10.000 V, por ejemplo. Cerca de las casa se sitúan nuevos transformadores que reducen el voltaje de nuevo hasta 220 V. Debido a esta facilidad para aumentar o reducir el voltaje de la corriente alterna, se utiliza este tipo de corriente y no la corriente continua.

Au t

ore s

Mar

Art

igao

Cas

ti llo

, Man

uel S

ánch

ez M

a rtín

e z

Dp t

o d e

Fí s

ica

Apl

icad

a, E

scue

la P

olit é

cni c

a S u

per i

or d

e A

lbac

ete

(UC

LM

)

Hallar la corriente máxima y el ángulo de desfase. Hallar también la potencia media suministrada por la f.em. Datos: Vo = 100 V, R= 1 W, L=0.003 H, C=0.002 F, =120 rad/s

a

c

biL iC

iR

Nodo bLCR

iiii 0

CVibcC

LVi

bcL 1

LCVi

bc 1

0

LVCVi

bcbc 1

0

CiXiV

CCCC 1

LiXiV LLLL

i0

222

0 bcabVVV Fasores se suman

como vectores

2

2

022

0

2

01

LC

iRiV

2

22

0

2

01

1

LC

RiV

2

2

0

0

1

1

LC

R

Vi

cos2

1VIP R

Z

IR

IZ

V

V

ab

bc tan

RL

C

1

tan

EJERCICIOS DE REPASO

1. Una batería de diferencia de potencial constante E es conectada a dos resistores y dos inductores idénticos de la manera como se muestra en la figura. Inicialmente, no circula corriente en ninguna parte del circuito. Al instante t=0, el interruptor en la parta baja del circuito se cierra.

a) Inmediatamente después que el interruptor es cerrado, ¿cuál es la corriente IR! a través del resistor R1?