cap28 - Corriente Alterna

5/10/2018 cap28 - Corriente Alterna - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/cap28-corriente-alterna 1/45

La mayor parte de llneas de

transrnisien de energta elkirica alarga distancla utilizan en 13

actualidad tensiones muy elevadas y

corriente alterna. Historicamente, losprincipales inconvenientes y

desventajas de la transmislon de

energla mediante corriente continuade alta tensi6n radicaban en la

difkultad y elevados gasros que

suponia la conversion de la ca en

cc en 1 '1 extreme origen (que podriaser una central generadora de energia

hidroelecrrlca) y luego volver a

transformarla en ca en los puntos

de consume. Debido a los recientes

avances de la tecnolcgia, se ha

reavivado 1'1inreres por 1'1empleo en

las lineas de transmisi6n de alta

tension de corriente continua. En la

ilustraci6n puede verse una estacion

de conversion de cc a ca cercana

a Boston (Estados Unldos), estaci6n

que se encuentra enlazada par lineas

de alta tension con corriente

continuaa una unidad de generacion

hidroelectrlca situada en James, Bay,

Quebec (Canada), Las valvulaeconvertidoras son elementos especiales

denominados tiristores que 51' unen

mediante conexi ones t1-Y (lTiangujo-

estrella) a las barras de conexi6n quetienen salida al exterior de la central.

Esta estacien concreta se utiliza para

convertir corriente continua en

corriente alterna, pero, como otras

muchas semejantes pueden funcionar

en sentido inverso '

Capitulo 28

Circuitos de corriente alterna

Hacia finales del siglo XIX, se plantae un calido debate acerca de si deberia utili-

zarse la corriente continua 0 alterna para suministrar energia electrica a los con-

sumidores de los Estados Unidos. Thomas Edison trataba de imponer el empleo

de la corriente continua rnientras que Nikola Tesla y George Westinghouse apo-

yaban el empleo de la corriente alterna. En 1893. se escogio la corriente alterna

para ilurninar la Exposici6n Mundial de Chicago y se Ie proporciono un contratoa Westinghouse para alimentar los hogares y las fc:ibricas americanas con la co-

rriente alterna generada en las Cataratas del Niagara.

La corriente altema tiene la gran venraja de que la energia electrica puede

transportarse a largas distancias a tensiones muy elevadas y corrientes bajas para

reducir las perdidas de energia en forma de calor por efecto Joule. Luego puede

transformarse, can perdidas minimas de energia, en tensiones mas bajas y segu-

ras con las correspondientes corrientes mas altas para su empleo ordinaria. Los

transformadores que realizan estos cambios de tensi6n y de corriente, Iuncionan

sobre la base de la induccion magnetica. Estudiarernos los transformadores en

la secci6n 28-6.

Mas del 99 por ciento de la energia electrica utilizada hoy en dia se produce

mediante generadores electricos en forma de corriente altema. En Norteamerica

la potencia electrica se suministra mediante una corriente sinusoidal de 60 Hz,

mientras que en pracricamenre todo el resto de.1mundo la frecuencia es de 50 Hz.Hay otros aparatos, como )05 radios, los equipos de television y los homos de



~(ci6n ~1 Corriente altemaen una resistancia 899

microondas que detectan 0gene ran corrientes alternas de [recuencias mucho mas

altas. La.corriente alterna se genera fiicilmente mediante inducci6n magnetics en

los generadores de ca,como vimos en el capitulo 26. Aunque los generadores

industriales son mucho mas compltcados que el sencillo disposhivo que estudia-

mos en la secci6n 26-6., esUin proyectados para producir una fern alterna. Vere-mos que, cuando es sinusoidal la salida de un generador, es tambien sinusoidal

la corriente en una bobina, un condensador o una resistencia, aunque general-

mente no est£! en fase con la fern del genera dar . Cuando tanto la fern como Ia

corriente son sinusoidales, pueden relacionarse fkilmente entre 5 1 sus valores

maximos, Elestudio de las corrientes sinusoidales es importance porque incluso

las corrientes que no sonsinusoidales pueden analizarse en funci6n de sus com-

ponentes sinusoid ales u ti l izando el anal isis de Fourier.

Examinarernos en primer lugar el comportamiento de la corrienre alterna en

resistencias, inductores 0bobinas y condensadores, y en algunos circultos senci-

llos que contienen estes elementos.

28-1 Corriente alterna en una resistencia

A J realizer el estudio de los circuitos de cc en el capitulo 23, senalabamos que

las reglas de KirchhoH se aplican a cualquier circuito en estado estacionario. Ob-

servabamos tambien que los estados estacionarios se alcanzanen los elementos

del circuito casi inmedlatamente despues de que se introduzcauna variacion en

la tension oen la corriente. Puesto que el tiempo que se tarda en alcanzar el esta-

do estacionario es mucho menor que e l periodo de oscilaci6n de los circuitos de

ca, podemos aplicar las reglas de Kirchhoff a los circuitos de corriente altema

del mismo modo que 10 hicimos can los de corriente continua.

Puede verse en la Figura 28-1 un circuito simple de ca compuesto por un gene-

rador y una resistencia. En Ia figura, los signos mas y menos indican el extreme

de potencial rnaselevado y mas bajo respectivamente de la Fuente de fern, cuan-

do Ia corriente tiene el sentido supuesto en la misma. Tambren se han colocado

signos mas y menos en Ja resistencia para indicar el sentido de la calda de potencial

correspondienteal sentido supuesto de la corriente, Observese que el punto par

el que la corriente entra en Ia resistencia esta a un potencial mas alto que aquel

por el que sale. La caida de tension a traves de la resistencia VR viene dada par

VR=V+-V =IR 28-1

Si la fern suministrada por el generador es tf', la aplicacicn de la regia de las rna-

Ilas de Kirchhoff a este circuito nos da

tf'-VR=O

Si el generador produce una fern" dada por

G '=Ifm5. cos lO t

se rendra

rf"", cos wt-/R=O

La corriente en la resistencia es

28-2

1= 6 ' 0 ; . . . cos lO t

R

EI maximo valor de I se presents cuando coswt tiene su valor maximo iguala

1, en cuyo caso

28-3

l . ~ rf~.'h~m.. R

As! podernos escribir la ecuacion 28-3 como

1=1", , , -~cos wt

28-4

• Se via en Ia seccien 26-6 que la ecuaci on genera I. para la f em de un generador era ,{!,.

if....sen (..,1+0). Se tiene llbertad para' escoger cualquier valor dela constante de fase li

conveniente, puesto que depende simplernente de la selec;-.:-i6ndel origen de tiempos, Por sen-cillez, escogemos 0= "7(/2. de modo que t . " ' = < tf.....el l (..,1+7(/2)= tf'... cos ..,1.

+

R

Figura 28-1 Genera dor de (a en some

COil una resistencia R .



900 Capitulo 28 Circnitos de corrienteahema

Figura 28-2 Repr~ntaci6n grafica de

la potencia disipada en la resistencia

dela . figura 28-1 en funcion delriempo. L a palencia varia desde cera

a un valor maximo 1 ~)R .. L apalencia mediaes la mitad de la

potenda maxima

Defil1l'ciol1 d e c or rien ie e fic :a z

Observese que la corriente que circula par la resistencia esta en. fase can la ten-

si6n aplicada a la misma.

La potencia disipada en la resistencia varia con eltiempo. Su valor instanta-

neo es

28-6

Puede verse en Ia figura 28-2 una representacion de 1a potenciaen funcion del

tiempo. Varia, como puede verse, desde cero hasta su valor maximo 1 ~ ! J x R .

Normalmente nos interesa la potencia media a 1 0 largo de uno a mas ciclos. La

energia WT Iiberada durante el tiempo de un periodo (t= T=211"/w) es

WT= 1 :P dt=f l~b R cos' wt dt

Sustituyendo 8=wt, se tiene

P R J l rWr=~ cos' 8 d O

w 0

La integral deesta expresion puede hallarse en lastablas y vale 11". La potencia

media liberada por la resistencia durante un periodo es esta energia dividida par T:

P =WT

'" T

(1I"i;bR)/W

2'1r/w

12. R-1",.1>2

Podriarnos haber obtenido tambien directamente este resultado a partir de la

ecuaci6n 28-6 dandose cuenta de que el valor medio de cos' wt sabre uno 0mas

periodos es - t o Esto puede verse faciimente a partir de la identidad cos' wt+

serf wt=l. La representaci6n del senwt tieneel mismo aspecto que la del cos'

wt, perc esta desplazadaen 90". Ambas tienen el miszno valor media en uno 0

mas periodos y, como su suma es I,el valor medio de cada una deellas debe

ser i- . Por tanto, Ia potencia media disipadaen la resistencia vale

Pm=(PR)m=il~.I-'" R 28-7

Valores eficaces

La mayoria de los arnperimetros y voltirnetros estan disefiados para medir valo-

reseficaces ef tambien llamados a veces valores cuadraticos medios de la corrien-

te 0 de la tension en Jugar de los valores maximos 0 de pico. Se defineei valor

eficaz ef de una corrienre f L . j como

28-8

El valor media de Jl es

(I l)" ,=

( 1 " , . 1 . cos w t ) l l " , = 1 - 1 : ; ' .en donde hemos utilizado (cos! wtjm =-}. Sustituyendo i-l~b en lugar de (P)", en

la ecuaci6n 28-8, se tiene

28-9L=--·-I,__. . . .J 2 m..

El valor eficaz de una magnitud cualquiera que varia sinusoidalmente es

igual al valor maximo de la misma dividida por . . . r i .

Sustituyendo -tI~l. por nen la ecuaci6n 28-7, obtenemos para la petenciamedia disipadaen la resistencia



Seccion 28-1 Corriente alterna en una resistencia 901

28-10

A partir de esta ecuacion podemos ver que 1 3 corriente eficaz es igual a la co-

rriente continua constante que produciria 1"1mismo calentamiento Joule que la

corr iente alterna de la ecuaci6n 28-5.

En el case de este circuito simple de la figura 28-1, ia potencia media suminis-

lrada per 1" 1generadores igual a la disipadaen la resistencia.

P m = ( ,r n " , = r ( , . m,O< cos wll{l m.l< cos wi ) 1 m = ,. m . ,) m , ,, (cos1wl)m

o bien

Util izando ftl.= Im , ,1 .J2 Y /'1= ,fm,,I.f2, puede escrl birse asi

28-11

L ac orrien te ef ic az esta relacionada con 13 fern ef lcaz de 1 3 misma forma que la

corrienre maxima esta relacionada con la fem maxima . Puede verse esto divi-

diendo cada miembro de la ecuacicn 28-4 por 2 y utilizando Ict=Im~/ .J2 Y

~,I= r'",,,rv2;

28-12

Las ecuaciones 28-10, 28-11 Y 28-12 tienen la misma forma que las ecuacionesco r respond ien tes a los c i r cu i t os de corr iente continua, susti tuyendo en estas ulti-

mas I por / cJ y ,r pOT ,. ._~. As! pues, si uti Iizamos va 1 0 res eficaces para Ia co-

rriente y la fern , po dem os c alcular la po tenc ia y 1" 1c alo r generad o em pleand o las

mismasecuaciones obtenidas en corriente continua.

£jercido

Se conecta una resistencia de 12 n a una fern sinusoidal que tiene un va lo r

d e pic e d e 48 V . H allar (Ill l a c o rr ie nt e elicaz, (b ) la po tenc ia m ed ia y (c) la

potencia maxima . [Respuestas: Ill) 2,83 A, (b ) 96 w . (c) 192 WI

La energia electrlca que Sf! suministra a nuestras viviendas par la campania

de electricidad tiene una frecu·encia de 50 Hz y una tension de 220 V eficaces.

(E n a ig un as instalaciones antiguas, la tension es d e 127 V so lam en te , Para un

consume de potencia determinado, Sf! requiere s610 la mitad aproximadamente

d e co rriente a 220 V gut" a 127 V , perc la tensio n de 220 V es mucho mas peligro-

sa que la de 127 V. Si se recibe una descarga con 220 V, las prcbabilidades de

que se a Fatal son mas elevadas que sl Sf! recibiese a 127 V.) Si se conecta un calen-

tad o r d e 1600 W. consumi ra una corr iente de

I = . .£ . m . .. = 1600 W 7.27 A.1 -', 220 V

L a tensi6n en todos los enc hufes se mantierie a 220 V. con independencia de la

corriente que circule. Por tanto, todos los aparatos enchuFados en la red estan

esencialmente en paralelo , De este modo, sl se enchufa un tosrador de 500 Wen

otro punto del circultoenel que esta conectadoel calentador, extraera una co-

rriente de 500 W /220 V=, 27 A. de modo q Ill" la corriente total a Iraves del cir-

cuito sera proxlma a los 10 A. La rnayoria de los cab!eados d e las casas estan

calculadcs para soportar unas corrientes rnaximas del orden de 15 a 20 A. Una

corriente mayor que esta sobrecalentara el cableado y habra peligro de incendio.

Por conslguiente, cada circuito esta equipado con un interrupter automatico del

ci rcui to (0 un fusible en lo s ed if ic io s ant iguo s) En el c aso de un c irc ui to d e 20 A.

el in terrupto r se abre (01"1 fusible «salta») interrurnpiendose el circuito, cuandola corrienteexcede de 20 A. La carga de potencia max ima que soporrara un

P ote ncia m e dia ced id apor un generador



90.2 Capitulo 28 Circuitos de corriente alrerna

T

Figura 1,8..), Onda en forma de dientede sierra correspondiente a la

corrlente del ejemplo .28-1.

Fi,gura .28-4 Generador de ca en seriec on una bobina cuya inductancia es L .

circuito can un interrupter general de 20 A es

Pm=rdJcr=(220V)(20 Aj=4,4 kW

Puesto que la mayorla de los edificios modern os necesitan potencias considera-

blemente rnayores que 4,4 kW, se instalan varlos circuitos separados, cada unocon su interrupter independiente y con los enchufes necesarios.

Ejemplo 28-1

Se utiliza a veces en electr6nica una corriente cuya onda tiene forma de diente

de sierra, como se ve en la Figura 28-3 _En la regi6n 0 < t <T, la corriente vie-

ne dada por / = 001 T)~.Hallar (a) la corriente media y(b) la corriente eFicaz

correspondiente a esta forma de onda.

(a) El valor medic de cualquier magnitud en un cierto intervalo T es la

integral de dicha magnitud en todoese intervale dividido por T.La corriente

media es, pues

1_ =1 ._ J T 1 d t= " ' !' . J T ([ IT)I dt= _!_g _ t: = . l _ ['" ToT 0 0 T" 2 2 0

La corriente media es la mitad de la corriente maxima, como era de esperar.

(b ) La corriente al cuadrado tiene un valor medio de

(P) =l_ J T P dt="!" J T ( U n Z t2 dt=_____!i_ _ _ _ _ E _ _ . . =lpm To Too'· P 3 3

0

Por tanto la corriente eficaz es /.(= T o/ . . / 3 .

Cuestiones

1. LCua!es la corriente media que circula por Ja resistencia de la figura 28-11

2. La potencia instantanea en la resistencia de la Figura28-1, Le5alguna vez negativa?

28-2 Corriiente alterna en bobinas

y condensadores

El comportamiento de la corriente alterna en las bobinas y condensadores es

muy diferente del que se tiene con corriente continua. Por ejemplo, cuando un

coadensador esta en serie en un circuito de cc, la corriente se interrumpe por

completo cuando al condensador esta totalmente cargado. Pero si la corriente

es alterna, la carga A uye con rinua mente entrando y saliendo al terna tivamentede las placas del condensador, Veremos que 5 1 la frecuencia de la corrienre alter-

na es grande, uncondensador casi no impide la circulacion de la corriente. Inver-

samente, una bobina norrnalmente tiene una resistencia pequefia y. por tanto,su efecto sobre la corriente continua tambien loes. Perc cuando la corriente que

circula por Ia bobinaesta cambiando continuamente, se genera una fuerza COI1-

traelectrornotriz que es proporcional al ritmo de variaci6n de la corriente. Cuan-

to mayor es la frecuencia de la corriente que circula por una bobina, mayor serasu variacion por unidad de tiernpo y, por tanto, mayor sera laFuerza contraelec-

trornotriz. As!' una bobina ejerce sabre la corrlente alterna un efecto que es jus-

tamente eJ opuesto al que realiza uri condensador. A frecuencias muy bajas, una

bobina apenas ofrece impedimento a Ia corrienre. pero a altas frecuencias se opo-

ne grandemente alflujo de corriente debido a dieha Iuerza c;ontraeJectromotriz.

Bobinas

En la Figura 28-4 puede vers-e una bobina conectada a los terminales de un gene-

rador de ca. Cuando la corriente va aurnentando en la bobina. se genera en ellauna fern de valor L d/l dt debida al Hujo variable (ecuaci6n 26-20). Normalmente



Seccion 28-2 Corriente alterna en bobinas y condensadores903

la caida de potencial en la bobina debida a esta fern es mucho mayor que la origi-

nada por la resistencia de Ia misma, lR. En la Figura se han colocado sobre la

bobina unos signos mas y rnenos para indicar elsentido de la caida de potencial

euando dlldt es positive para el sentido supuesto de la corriente. Observese que

para dlldt positivo, el punto par el que entra la corriente en la bobina esta. a

un potencial mas elevado que el punta por el que sale. La caida de tension enla bobina VL viene dada entonces par

VL=V -V=L_:!!_+ - . dt 28-13

Aplicando la regia de las malJas de Kirchhoff a este circuito, se obtiene

rf-VL =0

en donde VL =L dl/ d! es eJ valor de la fem de la bobina. Hacienda que la fern

del generador sea igual a rbcos wt, se riene

dl,.r= L --= r r . cos wt

dt m .,28-H

Multiplicando ambos miembros por dt y dividiendo par L, tendremos

df= rm. . .cas wt dt 28-15L

Se obtiene el valor de la corriente / integrando ambos miembros de esta ecua-

ci6n:

/ " J . / " '1 = . : . .. . . .. . m M coswt d t = ~ senwt+C

L . . w L28-16

en donde C es una constante de integration. La constante es el valor medic de

la corriente, puesta que el valor promedio de sen wi en una a mas ciclos es cera.

Escogiendae! components de cc de la corriente como nulo, tendremos

I r. I=~ sen wi = m o , sen wtw L

28-17

en donde

28-18

esel valor maximo de la corriente.

En la Figura 28-5 se indican Ia corriente 1 y lacafda de tension V L en la

bobina en Iuncion del tiempo. La corrlente no esta en fase con la caida de ten-

si6n en la bobina, que es igual a la tension del generador. A partir de la rnisma

pademas ver que el valor maxima de la tensi6n se produce 900 0 un cuarto

de periodo antes de que se presente el correspondiente valor maximo de la co-

rriente. As] pues, se dice que la caida de tension I'm una bobina adelanta a la

corrienie ' !11 90". Pedemos cornprender esto fisicamen.te .. Cuando la corrientees cera, perc estacreciendo. su variaci6n por unidad de ti.empo tiene su valor

maximo, de modo que la fem inducida en la bobina esta en su valor maximo.

Un cuarto de ciclo mas tarde, la corriente pasa por su maximo. En este momen-

ta, dlldt es cera, de Forma que VL es lambien cero. Utilizanda la idenlidad

trigonornetrica sen wt=cos (wl-7f/2), puede escribirse la ecuacion 28-17 para

I a corriente como

28-19

La relaci6n entre la corriente maxima (a eficaz) y Ia tensi6n maxima (0 eficaz)

en el caso de una bobina. puede escribirse de una Forma semejante a la ecuacion

28-4 correspondiente a una resistencia, Segun Ia ecuacion 28-18, tenemas

28-20

Figura 28~S La corriente y la tension

que circula y se aplica a la bobina de

la Figura 28-4 en funcion del tiempo ,

La tension maxima aparece un cuarto

de periodo antes que se presenteelma_x;ma de la corriente, As! pues, se

dice que la tension adelantaa la

corriente en un cuarto de periodc

0900



904 Capitulo 2$ Circuitos de cor riente altern"

Reactancia induct iva

Figura 28-6 Generador de ca en seriecon un condensador de capacidad C.

en donde

28-21

se denom ina reactancia inductiva a inductancia. Como [.1='m,'! 2 yr < ! = , . , m"J.J2. la corriente viene dada par

28-22

Al igual que 1 .1 resistencia, la reactancia inductiva tiene unidades de ohmio.

Como puede verse en la ecuaci6n 28-20, cuanto mayor sea la reectancia para una

fern dada. menor es 1. 1corriente. A diferencia de 1. 1 resistencia .. la reactancia in-

duct iva depende de la frecuencia de [a corriente-cuanto mayor es la frecuencia.

mayor e s la reactancia.

La potencia instantanea cedida a la bobina par e l generador es

P> 61=( ';m •• cos wt)(!m•• sen wt)

=rmb/m: . . cos wt sen wt

y la pote.ncia media correspondiente es nula. Puede verse utilizando la relaci6n

cos wi sen wI = + sen 2wt

El valor de es re termino oscila dos veces durante c ad a c ic lo yes n eg at iv e 1 .1m it ad

del tiempo Y positive la otra mitad. Par tanto, la b o bi na no dis ipa ninguna ener-

gia. (Esto resu 1ta cierto s610 si puede despreciarse la resistencia de la bobina. J

Ejemplo 28·2

Se coloca una bobina conectada a un generador de ca que tiene una fern rna-

xima de 120 V . H allar la re ac ta nc ia in du cti va y la c o rri en te m ax im ac uartd o

la Frecuencla es 60 Hz Y cuando vale 2000 Hz..

La reactancia inductiva a 60 Hz es

Xu=wl=21Tf!L={21r)(60 Hz){40X10 l H)=15,1 n

Ya 2000 Hz vale

X L 2 = W 2 L = 2 1 T f l L = (2.11")(2000HzH40X 10 J HJ =503 n

EI valor maximo de las corrientes a estas frecuencias es

l20Vi 2 m • • =---=O,239 A. 503 0

I . =~= 120V =7,95 Al.m.. X ! I 15,10

Condensad 0res

En. l a Figura 28-6 se muestra un condensador conectado a los terrninales de un

generador. Para el sentido de la corrlente indicaclo, la corriente esta relacionada

con la carga par

l= dQ

dt

De nuevo se han colocado los signos mas y menos sabre las placas del condense-dar indicando que existe una carga positiva en la placa en donde entra Iacorrien-



Secci6n 28·2 Corrlente alterna en bobinas y condensadores 905

te y una carga negativa en la placa por donde sale la corriente. La caida de ten-

sion en 1 "1 condensador es

2 8 - 2 3

A partir de !a regla de las mallas de Kirchhoff, tenernos

f'-Vc=O

o bien

As! pues,

La corriente 1 "5

/= dQ =w ," ,C sen wtdt m ••

El valor maximo de I se presents cuando sen wt= -1, en cuyo caso

2 8 - 2 4

Asi. la corriente puede escribirse

1=-w rmhC sen wt= -1m •• sen wt

Ut ilizand o 1a identidad trigonomerrica sener = -cos (wt+1r/2), se riene

1=-wC rm~. sen wt=i,., •• cos (wt+1l"/2) 28-25

Como sucedla con ia bobina, la corriente del condensador no esta en fase can

la caida de tension en 1"1condensador. que es igual a la tension del generador.

En la [igura 28-7, se han representado la corriente ] y la caida de tension en 1"1

condsnsado r Vc= QI C en funcion del tiempo ..Puede verse que el va lor maxi-mo de la tension se presents 90° 0 un cuarto de periodo desptl€s de aparecer el

valor maximo de la corriente. ASI pues. la caida de tension en un condensador

esta retrasada respecto a 10 corriente en 90a. Es fac il , de nuevo, enrender esto

fisicarnente. La maxima variaci6n del crecirniento de la carga dQldt debe ocurrir

cuando la carga Q sea nula y, par tanto. Vc sea cero. Al aumentar [a carga en

la placa del condensador, la corriente disminuye hasra que la carga es maxima

(de modo que Vc es maxima) y la corriente es cero. Entonces ia corriente se

hace negativa cuando la carga fluyeen sentido opuesto, saliendo de! condon-

sador.

Una vez mas, [a relacion entre la corriente maxima (0 eficaz) y la tension ma-

xima (oeficaz) en un condensador puede escribirse en forma sernejante ala ecua-

ci6n 28-4 correspondiente a una resistencia. Segun la ecuacion 28-24, se tiene

y, analogarnente.

l=~=~el lJwC X c

2 8 - 2 6

en donde

Xlc=-w e 28-27

Figura 2.8-7 La corriente y 11.1ens ion

en un condensador comoel de la

Figura 28.6 en fund o n del tiernpo. La

tensi6n maxima SI' produce un cuarto

de periodo despues de presentarse 11.1

corriente maxima. Ast. Sf' dice qu e 11.1

tension rerrasa respecro a 11.1orriente

en 90°.

Reactancia capacitiua



906 Capitulo 28 Circuitos de corrientealterna

(a)

(b)

(a) EI mtcroprccesedor 8086 es un

circuito integrado que con tiene

29 000 transls+ores y se ulilizafundamentalmente en ccmputadoras

personales, Gran parte del proyectoy disefio del 8086 Iue dibujado a

mario sobre papel, que se utiliz6

para hacer un montaje can recortesde laminas sernejantes al celofan decolor raja como se ve en (b). En la

actualidad los cornputadcres se

utilizan para dibujar dlssfios demicrocircuitos.

es la denominacla reactancia capacitiva 0 capacitancia del circuito. Como la re-

sistencia y la reactancia induct iva, la reactancia capacitiva vieneen unidades de

ohmic, y al igual que la reacrancia inducriva. depende de la frecuencia de la co-

rriente. En este caso, cuanto mayor es Ia Irecuencia, menor es la reactancia,

Como sucede con una bobina, Ia potencia media que un generador de ca sumi-

nistra a uri condensador es cero. Esto se debe a que la fern es proporcional alcos wi y la corriente 10 es al sen wt, de Forma que (cos wt senw.t)m=O. As! pues,

como las bobinas, los condensadores ideales no disipan energia,

Como la carga no puede pasar a traves del espacio que existe entre las placas

de un condensador, puede parecer extrafio que aparezca una corriente alterna de

forma permanente en al circuito de Ia figura 28-6. Recuerclese, no obstante, que

cuando un condensador descargado se conecta a los terminales de una Fuente de

tension continua (como una pila). existe una corriente que disminuye exponen-

cialmen!e con el tiempo hasta que las placas se cargan al rnisrno potencial que

la pita. Consideremos un condensador inicialmente descargado aplicado a una

fuente de fern, con la placa superior unidaal terminal positivo, Al principia, se

esta introduciendo en la placa superior una carga positiva, mientras que sale la

rnisma cantidad de la placa negative. (Comoes 16gico,lo que realmente circulan

son electrones en senrido opuesto al sefialado.) EJ efecto es eJ mismo que si real-mente fluyese carga .C I t rCl ' lJi?S delespacio situado entre las placas, Si la Fuente de

fem es un generador de ca. [a diferenda de potencial cambia de signo cada semi-

per1odo, como se ve en la Figura 28-7.Mantengamos constante lafern del genera-

dor pero aumentemos su frecuencia. Durante cada mediocido, se transfiere la

misma carga AQ=2C rfm > bien hacia el condensador, 0 saliendo de el, pero el

numero de tiel os por segundo aumenta, de modo que la corriente «a traves. del

condensador aumenta en proporci6n a la fre·cuencia. De aqui que, cuanto mayor

sea la frecuencia. menor es el impedimento que el condensador pone al flujo de

cargas,

E je rn plo 2 8-3

Un condensador de 20 I,F se conecta a un generador que tiene una fern maxi-

ma de 100 V. Hallar la reactancia capacitiva y la corriente maxima cuando

la frecuencia es 60 Hz ycuando es 5000 Hz.

X C ] =.:....!_=_l_w lC 2 7 f " f 1C

=[211"(60Hz)(20XlO-6 F)]-1=133 n

y a 5000 Hz resulta ser

La reactancia capacitive a 60 Hz vale

] 1Xo.=--=---

W2C 2 7 f " f1C

=[211"(5000Hz}(20 X 10-6 F) )-1 =1,59 {}

La corriente maxima es entonces

y

I . =100V =62,8A2,m., ." 1,59 {}

Los circuitos de las figuras 28-4 y 28-6 contienen 5610 un generador y una bo-

bina 0 un condensador. En enos, la caida de tension a traves de la bobina 0 del

condensador es igual a la tension del generador. En circuitos mas cornplicadosque contienen tres 0 mas elementos, la caida de tension a traves de cada uno de



ellos no ss igual normalrnente a la tension del generador. Results ubI. per tanto,

escribir las ecuaciones 28·22 y 28~26 en funcion de la caida de tension a traves

de la bobina y delcondensador. respectivamente. 5i Vur es la caida de tension

eficaz en una bobina, la corriente eficaz que pasa por eHaes

28-28

La caida de tension en la bobina adelanta a. la corriente en 90". An.Mogamente,

si Vc ..r e s la rensioneficaz en las placas del condensador, 1a corriente ef icaz en

elcondsnsador viene dada par

28-29

Lacaida de tension en e l condensador esta retrasada respecto a lacorrienteen

90". Tambien pueden escribirse las ecuaciones 28·.28 y 28-29 en Iuncion de lastensiones y corrientes rnaximas.

Cuestiones

3. En un circuito constituido por un generador y una bobina. Lexiste algun mo-

menta en que la bobina absorbe energia del generador? tExiste a!gun mornen-

to en que Ia bobina suministra energia al generador7

4. En un circuito formado par un generador y un condensador, Lexiste algun

momenta en que 1"1condensador absorbe energia del generador? LExiste al-

gUn momento en que 1 "1 condensad'or suministra energia al generador7

28-3 Fasores

En las secciones anteriores vimos que la tension que aparece en una resistencia

esta en fase con la corriente, mientras que latensi6n en la bobina adelanta a la

corriente en 90", Y la que existe entre las pJacas del condensador retrasa respecto

ala corriente en 90". Estas relaciones de Iase pueden represenrarse mediante vee-

tores bidimensionales denominados fasores. En la figura 28·8, la tension en una

resistencia se ha representado por un vector V R cuyo valor 0modulo es I m a . R y

que forma un angulo (J con 1 " 1 . eje x. Esta tension esta en fase con la corriente.

En general, una. corriente estacionaria en un circuito de ca varia can el tie.mpo como

28-30

siendo w [a frecuencia angular y 0 cierta constante de Fase. La calda de tensi6n

en una resistericia viene dada enronces par

28-31

EIvalor instantaneo de la caida de tension en una resistencia 1 "5 as! igual al com-

ponente x del vector Fasor VR, que gira en sentido annhorario con una frecuen-

cia angular w. La corriente J puede escribirse como el componente x de un fasor

Ique tenga la misma orientacion que VR.

Cuando se conectan juntos varies componentes en un circuito en serie, sus

tensiones se surnan. Cuando se conectan en paralelo, sus corrienres se suman.

Sumar senos y cosenos de diferentes amplitudes y rases de forma algebraica.

es complicado e inc6modo. Es mucho mas Uicil hacerlo mediante suma de vee-

teres.

Los fasores se emplean de la forma siguiente. Se escribe cualquier tension 0

corriente como A cos (wt-O), que a su Via 5 1 " considera como cornponente

x (A) de un Fasor A que forma un angulo (wt-o) con el eje x. En lugar de su-

Seccien 28-3 Fasores 907

!I

Figura 28·8 L a " tension aplicada aun a r esis t end a puede re p r ese n t a r se

mediante un vector V ~ denorninado

Iasor. que tiene de modulo el valor

'" , , ,R yque forma un <,mgulo

o = w r ~ o conel eje x. EI Iasor rota

can una frecuencia angular w. Latension VR~/R es el componente x

de Y R .



908 Capitulo 28 Circultos de corrientaaltema

y

Figrua 2S.9 Representaciones de los

fasores de las tensiones Vw V. y Vc.Cada vector gira ensentido

antihorario con una frecuencia

angular w. En un instante cualquiera.

la tensi6n aplicada a UfI elemenro es

igual al componente x del factorcorrespondienta y la suma de las

lensiones es igual al componente x

del vector 5 1 . 1ma VR +Vl + Vc.

- Q I ~

+ Q 1 1 . . . . - + _ _ =---___J

FigIH3 28-10 Orcuito L C . Cuando se

cierra 1 '1 interrupter, el condensador

inicialmente cargado se descarga atraves de la bobina, produciendo unafuerzacon trael ectrorn 0triz,

mar dos tensiones 0 corrientes algebraicarnenre como A cos (wt-01)+ B cos

(wt-oz). 51' representan estas magnitudes como fasores A y B Y 51' halla la suma

vectorial de los fasores C = A + B geometricamente. La tension a corriente resui-

tante 1'5 entonces elcomponente x del [asor resultante, Cz=A,+8,. La repre-

sentacion geometrica muestra de forma conveniente las amplitudes y Iases relati-vas de 105 fasores.

Considerernos un ci.rcuito que contiene una bobina L, un condensador C y

una resistencia R, conectados en serie todos elias. Por todos pasara la misma co-

rriente, que se representa como 1 '1 componente x del fasor de corriente 1. La ten-

si6n en la bobina VI. se representa can un fasor V L que tiene 1 '1 valor I m • . x L y

que adelanta al Fasor de corriente I en 90°. Analogarnente, la tension en el con-

densador Vc se represent a mediante un fasor Vc que tienesl valor Im • . x C y que

rerrasa respecto a la corriente en 90". En la figura 28-9 pueden verse los tres Iaso-

res V R ' V L Y V c. Segun transcurre 1'1 tiempo, los tres fasores giran en sentido

antthorario con una frecuencia angular w, de modo que no varian las posiciones

relatives de los vectores, En un instante cualquiera, 1 '1 valor instanraneo de la

caida de tension en cuaJquiera deestos elementoses iguaJ al components x del

fasor correspondiente.

28-4 Circuitos LC y LCR

sin generador

Enesta secci6n estudiarernos algunos circuitos simples que contienen bobinas,

condensadores y resistencias, pero no gene.radores. Aiiadiremos un generador a

estes circuitos en la pr6xima seccion. Examinemos prirnero un circuito sencillo

con una bobina y un condensador pero sin ninguna resistencia, como se indica

en la Figura 28-10. Supongamos que en el condensador existe una carga inicial

< 2 0 y que el interrupt or esta abierto. Una vez cerra do el interruptor en r=D, la

carga empieza a circular per la bobina. En la Figura se han escogido los signosde Qen el condensador y 1 '1 sentido de la corriente I de forma que

dQJ=-

dt

Aplicando las reglas de las mallas de Kirchhoff al circuito con los signos supues-

tos de Q e l, se t.iene

dl QL-+-=O. dt C

28-32

Sustituyendo J par dQldt enestaecuacion, obtenemos

28-33

Laecuacion 28-33 tiene la misma forma que la correspondiente ala acelera-

cion de una. masa situada en un muelle:

m cP r +kx=Od r Z

28-34

EI comportamiento de un circuito LC es, por tanto, analogo al de una masa uni-

da a un muelle, siendo L analogo a la masa m, Q amilogo a Ia posicion xyliCanalogo a la constante del muelle k. Adernas la corriente I es tambien analoga

a. la velocidad u, puesto que o=dx/d: e l=dQ/.dt. En mecanica la masa de un

objeto describe la inercia del mlsmo. Cuanto mayor sea la masa, mas dificil sera

cambiar la velocidad del objeto. De Forma serneiante, la inductancia L puede

considerarse como Ia mercia de un circuito de ca. Cuanto mas grande es la induc-tan cia ,.mas dificil resulta variar la corriente I.



Secci6n 28-4 Clrcuitos LC y LCR sin generador 909

Si dividirnos por L cada termino de la ecuaci6n 28-33 y reordenamos. se tiene

d2Q 1

dt2 =- LC Q 28-35

que es analogo a

d2 ,x k--=- -x=- wZ,X

dtZ m

en donde w 2=k/m. En el capitulo 12, se vio que podiarnos escribir [a soluci6n

de la ecuaci6n 28-36 correspondiente al movimiento arm6nico simple en la

28-36

forma

x=A cos (wt-o)

en donde w=.Jk/m es la frecuencia angular, A es la amplitud y 0 es la constante

de fase, que depende de las condiciones iniciales. Puede ponerse la ecuaci6n 28-35

en la misma forma escribiendo w ' en lugar de 11Le. Entonces,

d2Q =_wzQ

dt228-37

28-38w=---.J[C

La solucion de la ecuaci6n 28-38 es

Q=A cos (wt-5)

Se halla la corriente derivando esta soluci6n:

1=dQ=-wA sen (wt-o)

dtSi se escoge que las condiciones iniciales sean Q=Q, e [=0 en t=O, la constan-

te de fase {j es nula y A = Qo. Las soluciones son entonces

Q=Qo cos wt 28-39

y

f=-wQ, sen wt=-lm •• sen w! 28-40

en deride Imb=wQ,.

En la figura 28-11 se han dibujado los graficos de Q e [en funci6n de l tiem o.

La carga oscila entre los valores +Q, y -Qo con frecuencia angular w= 11l.C.

La corriente oscila entre +wQ, y -wQo con la misrna Frecuencia pero desfasa-

da 900 respecto a la carga. La corriente es maxima cuando la carga es cero. Y

nula cuando la carga es maxima.En nuestro estudio de las oscilaciones de una masa unida a un rnuelle vimos

que la energia total es constante pero que oscila entre la energia cinetica Y Ia po-

tencial. En nuestro circuito Le, tarnbien tenernos dos clases de energfa, la electri-

ca y la rnagnetica. La energia electrica almacenada en el condensador es

1 1Q ZU'=2QVc=ZC

Sustituyendo Q por Qo cos wt, tenemos para la energia electrica

U = _ _ Q L cos2 wt< 2C

Esta energia electrica oscila entre su valor maximo ~/2C y cera. La energia

magnetica almacenada en la bobina es

28-41

28-42

(a)

(b)

Figura 28-11 Craficos de !a) Q en

funci6n de t y (h) I en funcion de r

para el circuito LC de la figura

28-10.



910 Capitulo 28 Circuitos de corriente alterna

Figura 28-12 Circuito LCR .

+I d . i .rt f

Sustituyendo ahora e! valor de la corriente dado por la ecuacidn 28-30, tenemos

U = lLJ2 . sen! wt=lrw2Q l sen! wt= -Q~. sen! wt 28-43m 2 m.'x 2 0 2C

en donde hemos utilizado que 41"=/Le. La energia magnetica tambien oscila

entre su valor maximo de ~/2C y cera. La suma de las energias elecrrica y

magrieticaes la energia total, que es constante en el tiernpo:

U I=U +U =_Ql cos! wt+_QA_ sen! ut= Q~I~t. em 2C 2C ' 2C

que es la energia almacenada inicialmente en el condensador.

Ejernplo 28-4

Se carga a 20 V un condensador de 2 J 'r y luego se conecta una. bobina de

6 .~H. (a ) L CuaIes la [recuencia de la oscilaci6n 1 (b ) L Cual 1"5 el valo r maxi mo

de la corriente?

(al La frecuencia de la oscilacion depende unicarnente de los valores de

la capacidad y de Ia lnductancia:

f41 1

=z;-= 2~

1 =4 59XI04 Hz2 (6XIO ~H)(2XI0-o F) ,

(b ) De acuerdo con la ecuaci6n 28-40, el valor maximo de la corriente

esta relacionado con el valor maximo de 1a carga por

Im",,=wQo=4"Le

La carga .inicial sobre el condensador es

Por consiguiente,

I = 40 ~C 11,5 Am . . . J (6 ~H) (2 ~ F)

Ejercic.io

Se carga un condensador de 5 .ltFYJuego se descarga a traves de una bobina.

LCuai debera ser lainductancia de la bobina para que la corriente oscile canuna frecuencia de 8 kHz? (Respuesta: 79,2. ~H)

En la figura 28-12. se incluye una resistencia en serie can 1"1condensador y

la bobina. Supongamos de nuevo que el interrupter esta inicialmente abierto,

que el condensador posee una carga inicial < 2 0 y que cerramos el interrupter en

t=O.Corne ahoraexisre una caida de tension IRen la resistencia, la regla de las

rnallas de Kirchhoff da

28-44a

o bien

. c f2 Q n ciQ

L-+~+R-=Od t Z C ci t28-44b



Seccion 2g,.4 Circuitos IC y L cn sin generador 911

en donde hemos puesto l=dQldt, como antes. Las ecuaciones 28-44a y b son

analogas a la ecuaci6n correspondiente al oscilador arm6nico amortiguado (ver

ecuacion 12·46):

m . tP x +kx+b dx =0dtl. dt

EJ primer termino, L dl/dtv-L d'Qldf2, es analo go a la r na sa mu lt ip li c ad a

pOI la aceleracron, m dn/dt=rn d2xldt2;el segundo, Q/C, es analogo ala Iuer-

za restauradora kx ; yel tercero, IR = R dQldt. es analogo al tI~tmino dearnorti-

guarniento, bu=b dx/dt, En la oscllacron de una masa unida a un muelle, la

constante de amortiguamiento b origina una disipacion de energia mecanica en

calor. En un ctrculeo L C R , la resistencia R es analogs ala constante de arnorti-

guamiento b y produce una disipacion de energiaelectrica en calor de Joule.

s : la resistencia es pequeiia, la carga y Ia corriente oscilan con una Irecuencia

quees muy proxima a I/JLE. pero las oscilaciones se amortiguan; es decir, los

valores maxirnos de la carga y de la corrienre disminuyen en cada oscilacion. Po-

demos comprender este hecho cualitativamente a partir de consideraciones ener-

gHicas. 5i multiplicamos cada termino de la ecuaci6n 28·44a por la corriente l,se tiene

28·45

El primer termino de esta ecuac.i6n es el producto de la corrtente por [a tension

que se aplica a la bobina. Equivale al ritrno Con que se introduce 0 se extrae la

energla de la bobina, es decir, es la varia.ci6n por unidad de tiempo de la energia

rnagnetica, d(tLP)ldt, que es positiva 0 negative segun que I y dUdt tengan

los rnismos 0diierentes signos ..Analogarnente, el segundo termino es la corriente

multiplicada por la tension en el condensador. Este producto resulta ser la varia-

cion respecto al tiempo de .13energia alrnacenada en el condensador, variation

que puede ser positiva 0 negativa. El ultimo termino, FR, es el ritmo con que

se disipa energia en la resistencia en forma de calor Joule yes siempre positive.L a suma de las energtaselectr ica y magnerica no es constanteen este circuito

porque en la resistencia se esta disipando continuamente energia. En la figura 28-13

Q

Figura 2S-13 GrMicos de (II) Q en

hmci6n de t y (b) I en funei6n de t

para elcircuito LC R de la figura

28·12 cuando R es 10 suficientemeMe

peq uena para que las oscllaciones

sean subamortlguadas.

(a)

se yen los graficos de Q en funci6n de t y de I en Iuncicn del cuando la resisten-

cia R es pequefia, 5i se aumenta R , las oscilaciones se amortiguancada vez mas

hasta que se alcanza un valor critico de R para el que no existe nlnguna oscila-

ci6n. En la figu.ra 28·14 se ve e l grafico de Q en funcion de t cuando el valor de

Res mayor que e l valor correspondiente al amortlguamieruocritlco.

Cuesrion

5. Es sencillo construir circuitos L C que posean lrecuencias de oscilacion de rni-

Hares de hertzs 0 mas, pero resulta dif1cil hacer circultos L C que tengan fre-

cuencias pequefias, t P O T que?

(b )

Q~

Figura 2S-14 Graffeo de Q en

funcion de t para 1'1circuito LC R de

la Figura 2! l ·U cuando R es tan

grande que las oscilaciones estan

sobrearnortiguadas.




Figura 28-IS Circulto LC R serie con

lin generador de ca.

lm pedancio del circuito serie LC R

28-5 Circuitos LCR con un generador

Serie

Un circuito importante que reune muchas de las caracteristicas de la mayoria

de los circuitos de ca es 1'1 circuito LC R con un generador, indicadoen la f i-

gura 28-]5. Supongamos que lafem de un generador varia cone! tiempo

como r= r.,. ,c05 wi. En este circuito, 13 regia de las mallas de Kirchhoff

nos da

/": cos wt-L ...El_ - Q -JR=Om,l, . . dt C

Utilizando !=dQldt y ordenando se tiene

eo . dQ Q_L--+R---+-- ~j. cos wt

d.~ d l C28-46

Esta ecuaci6n es analoga a la ecucion 12-63 correspondiente a la oscilaci6n forza-

da de una rnasa en un muelle:

d2_r dxm --+b ----+mw5;r=Fo cos wt

dtz d l

(En la ecuacion 12-63, se escribi61a constante de la Iuerza k en funci6n de la

rnasa m y de la Irecuencia angular natura! w~ urilizando k = m w A . En la ecuaci6n

28-46 pod ria escribirse de forma semejante la capacidad en funcion de L y de la

frecuencia flatu ral u ti l izando 11C=Lw5.)

En lugar de resolver la ecuacion 28-46, estudiaremos cualitativamente sus so-

luciones como hicirnos con la ecuaci6n 12-63 en el capitulo 12.. La corriente en

e] circuito se compone de dos partes, una corriente transiroria y una corriente

estacionaria. La primera depende de las condiciones iniciales, como la fase inlcialdel generador y [a carga inicial del condensador. La corrienreestacionaria, po r

otra parte, es lndependiente de dichas condiciones iniciales. La corriente transi-

toria disminuye exponenciaJmente con el tiempo y pronto ·esu!ta despreciable

en comparaci6n can la corriente estacionaria. No tendremos en cuenta a la co-

rriente transi tori a y nos concert t raremos en !a estacion aria .

La corriente estacionaria que se obtiene resolviendo !a ecuaci6n 28-46, es

i=im•l, cos (wt-oJ

en donde el angulo de Fase 0 viene dado por

28-48

La corriente maxima es

28-49

en donde

28-50

La magnitud X[ -X( se denomina reactancla total, mientras que Z se denomina

impedancia .. Combinando estes resultados. tendremos



Seccion 28-5 Circuitos LeR con un generador 913

c£1=~ cos (wt-o)

Z28-51

Tarnbien puede obtenerse la ecuacion 28-5] mediante un sencillo diagrarna

utilizando las representaciones de los Fasoresestudiadaen la seccion 28-3. En la

Figura 28-16 se indican los fasores que representanlas caidas de tension en la re-

sistencia, la bobina yel condsnsador. El componente x de cada uno de estes vee-

tores es igual a lacaida de tension insrantanea en eJ correspondiente elemento.

Como Ja suma de los componentes x es igual al componente:x de la suma de los

vectores, la suma de los componentes x es igual ala surna de las caidas de tensi6n

en todos los elementos, que segun la regla de las rnallas de Kirchhoff es igual a

la fem instantanea. Si representarnos la Fem aplicada, ~mh cos wt, como un fa-

sore que tiene el modulo " m . . . , tendrernos

28-52

En funci6n de 105 modules

Figura 25-16 Relaciones de fase entre las tensiones de un

circuito, LC R serie, La tension que 51 " aplica a la resislenda

esta enfase can la corrieme. La tension que aparece en la

bobina V I adelanta a la corrlente en 90a. La tension en placas

delcondensad or retrasa respecto 11 . la ccrriente en 90'u. La

surna de los vectores que representan estas tensiones da unvector que forma un angulo 8 con la corr iente y representa la

fern aplicada. En el case lndicado en la figura, Vi es mayor

que Vc Y la corrienteesta retrasada en Ii respecto a Iii. fern.

V,

EI fasor e forrna un a ng ulo 5 con V 1\ como se ve en 1a Iigu ra 28-16. A pa rtir deella podernos observar que

lm,.X,-I"",X,

i m . . R

de acuerdo can la ecuaci6n 28-48. Como C " forma un angulo wt con ele]e x, V R

forma un angu!o wt-o conel e]e x. Esta tension esra en Fase con la corriente,

que por tanto vendra dada por

,"l=I . cos (wt-o)=......!!llU. cos (wt-Dl

mo. Z

Esta expreslon es la ecuaci6n 28-51. La relaci6n entre la impedancia Z y la resis-

tencia R y la reactancia total XL-XC puede recordarse utilizando 1 " 1 triangulo

rectangulo indicado en la Figura 28-17.

Figura 28-17 T r iflflgula que rei aciona

la reactancia capacirlva mas Ia

inductiva, a la reslstencia. a la

lmpedancia y al angulo de fase en un

circulto LCR .




Resonancia

Aunque lasecuaciones 28-50 y 28-51 parecen sereomplicadas, podemos utilizar-

las para aprender algunas caracteristlcas simples pero importantes deleomporta-

miento del circuito de la Figura 2.8-15. Como tanto la reactancia inductiva

XI =wL y 1a reactancia. capacitiva Xc=llwC dependen de la frecuencia de la

fem aplicada, 1 0 mismo ocurre can la impeciancia Z y con la eorriente maxima

1 m . .. A freeuencias muy bajas X c=l/wC es mucho mayor que X L =isl., de

modo que la impedancia es grande e I",;. es pequena. EI angulo de fase bes

negativo, 10 que significa que la corriente adelanta a la tension del generador.

Al if aumentando w , la reactancia inductiva va aurnentando mientras que dismi-

nuye la reactancia capacitiva. Cuando son igua!es X L y Xc- la impedancia Z tie-

ne su valor minima, igual a R . elm;,. tiene su valor maximo. Ademas el angulo

de iese b es cero, 10 que significa que la corriente esta en fase can la fem aplkada.

Si w aumenta aun mas. X L resulta mayor que X c . La Irnpedancia aumenta y la

corriente maxima disminuye. E I angulo de fase es positive. de forma que la co-

rriente atrasa respecto a la tension del generador.

E I valor de w que haee iguales a X L y a X c se o b t i e n e a partir de

x,=(_

wL=_l_

wC

o sea

w= k=wo=27rfo

L a frecuencia fo (0 la frecuencia angular w o l recibe el nombre de frecuencia na-

tural 0 Irecuencia de resonancra del circuito, La irnpedancia es minima y el valor

maximo de la corriente adquiere su valor mas grande cuando la frecuencia de

la fern 1 "5 igual ala frecuencia natural. A esta Frecuencia se dice que el eircuitoesra en resonancia .. En la resonancia, la corriente esta en Iase con latensi6n del

generador. Esta condition de resonancia en un cireuito L C R forzado es semejante

a la de un oscilador arrnonico simple forzado.

5eiialamos anteriormente que ni las bobinas ni los condensadores disipan

energia. La potencia media suministrada a un circuito LC R serie es, por tanto,

igual a la potencia media surninistrada a la resistencia, La potencia instantanea

que se suministra a la resistenciaes

p= F R =1 m . " cos (wi-I)) J 2 R

Promsdiando sobre uno 0 varies ciclos yr sabiendo que (cos' 8lm = 1 . obtenemospara la potencia media

que es la misma que la dada en la ecuaci6n 28·7. Como V(!=I",..R . puedeescri-birse

En la figura 28,16. puede verse que VR=...... ' . • • cos o . Asi pues, puede escribirse

la potencia media surnirnstrada al circuitocomo

En funcion de los valores eficaces, lo t = J m ex 1 2 Y ~l = ' " , . . . , / . . [2, la potencia

media vale

28-53

La cantidad cos 0 se denominafactor de potencia del circuito LCR . En la reso-

nancia, 0 es cero y el factor de potencia vale 1.



Seccicn 2S-S Circuitos L C R can un generador 915

ruede expresarse la potencia en fund6n de la freccencta angular .:.J. Eneltriangulo de la Figura 28-17, se tiene

Rcos o = ~

zHaciendo uso de este resultado y como 101= ';'/Z, se tiene para la potencia

media

A partir de la definicion de impedancia Z, tenemos

Zl=(X. -X cJ2+R2= (wL- w1er +R2

U ( l ) Z ~=wl. w)._ LC - +Rz

en donde hemos utilizado wa=lILC. Utilizando esta expresi6n de Z', obtene-

mos para Ia potencia media en funcion de w:

p = ~rRw2

m U (W2-W5)z+Wl. R Z28-55

En la Figura 28-18 se indica una grafica de la potencia media suminlstrada por

el generadoral circuito en funci6n de la frecuencia del generador para. dos valo-

res diferentes de la resistencia R. Estas curvas, denorninadas curvas de resonan-

cia, son las rnismas que las curvas de potencia en funci6n de la frecuencia en el

caso de un oscilador amortiguado y Iorzado (ver seccion 12-8). La potencia me-

dia es maxima cuando la frec:uencia del generador es igual a la frecuencia de reso-

nancia. Cuando la resistencia es pequefia, la curva de resonancia es estrecha:

cuando es grande, la curva se ensancha. Puede caracterizarse una curva de reso-

nancia por la anchura de resonancia A I indicadaen la Figura. Esta anchura es

la diferencia de Frecuencias entre los dos puntos de la curva en que la potencia

es la mitad de su valor maximo. Cuando Ia anchuraes pequeiia en comparaci6n

con la frecuencia de resonancia. la resonanciaes aguda, es decir la curva cortes-

pondiente es estrecha.

Se clefinio en elcapltulo 12 el factor Q para un oscilador mecanico como

Q"'211"E/I .6 .EI (ecuacion 12-54), siendo E la energia total del sistema y AE la ener-

gia perdida en un cido. Virnos que Q=27rmlbT, en donde rnes la masa, b la

constante de amortiguamiento y Tel periodo. Como wo=211"IT , el factor Q en

el: caso de un oscilador mecanico amortiguado y [orzado viene dado por

Q=Wg l n

b

Puede definirse de forma semejante el factor Q correspondiente a un circuito

LCR. Como L es analogo a la rnasa In y R a la constante de arncrtiguamiento

b , el factor Q de un circuito L C R viene dado por

28-57

Cuando la resonancia es razonablemente estrecha (es decir,cuando Q es mayor

que 2 0 3), el factor Q puede aproximarse por

28-58

P , . "

R pequ~n". .. -Q grande

f

Figura Z8-HI Representacien gralicade la potencia media en funci6n de

la Irecuencia para un circuito L C R .

La potencia es maxima cuandc la

frecuencia f del generadores igual a

la Irecuencia natural fo={ll2iJLEjde! circuito. Si la resistencia es

pequefia, el factor Q ItS grande y laresonancia es aguda. Se mide laanchura tlf de la curva de resonancia

entre aquellos puntos en que Ia

potencia es la rnitad de su valor

max imo .

Factor Q pam un circuito LC R



916 Capitulo 28 Circuttos de ccrriente alterna

Una. radio d bordo de un barco en

las proximidades del ano 1920_ Junto

a la izquierda del operador pueden

verse 1115 bobinas y las pI3C<lS del

condensader del circclte de sintonia.

Los circuitos resonantes se utilizanen los receptores de radio, en donde se

varia la frecuencia de resonancia del circuito variando Iii capacidad. Se produce

la resonancia cuando la lrecuencia natural del circuito se igualaa una de las fre-

cuencias de las ondas de radio recogidas por Ia antena. En la resonancia, aparece

una corriente relativamente grande en el circuito de la antena, Si el Iactor Q del

circuito es suficientemente alto, las corrientes debidas a las frecuencias de otras

estaciones que no estan en resonancia seran despreciables en comparacion can

la correspondiente a la frecuencia de la estacion a que se ha sintonizado el cir-

CUiIO.

Eiemplo 28-5

Un circuito serie LC R con L= 2 H, C=2 ~F yR=20 g esta conectado a un

generador de frecuencia variable y con una [em maxima de 100 V, (a ) Hallar

la frecuencia de resonancia fo . Hallar (b ) la corriente maxima 1m" y (e) el a n -gulo de rase .5 cuando la Frecuencia del generador es de /=60 Hz.

2 1 1 " ( 2 ] - - 1 ) ( 2 X IO ~ F )

(a) L a f re cu en cla de resoriancia es

1 1f o = ; ; 79,6 Hz

(b ) Cuando!a frecuencia del generador es 60 Hz, esta bastante por deba]o

de la frecuencia de reso nanc ia . L as reac tanc ias c apac it iva e inductiva a 60 Hz

son

X =~l~= ] 1326 Q

I. w C (271" )(6 0 H zj(2 X 10-" F)

y

X/=wL=(21T) (60 Hz) (2 H)=754Q

La reactancia total es XI-XI. =7540-132611=-572 Q. Es un valor rnucho

mayor que el de la resistencia, cosa que siernpre ocurre cuando se esta Jejos

de la resonancia. L a impedancia total es

Z= R~+(XI_X(-:-Jl=.J(20 m~+(-S72 OF~S72 Q

puesto que (20r es despreciabie [rente a (572)!. La corriente maxima es,

plies,

1 =~= 100 V =0,175 Am.l> Z 572 11



Seccicn 2&.5 Circuitos LCR con un generador 917

Este valor es pequefio en comparacion con Imh en la resonancia, que vale

(100 V)/(20 ,Q) = 5 A.

(c) El angulo de Iase 5 viene dado por

tg 6 X/-X, =-572!l -28,6R 20 Q

0=-88°

A partir de !a ecuacion 28-51 (0 de la figura 28-16) podemos ver que un angu-

1 0 de Iase negativo significa que la corriente adelanta a la tension del gene-

rador

Ejernplo 28-6

Hallar la potencia media producida par el generador del ejemplo 28-5 a

60 Hz.

Como conocemos la fern maxima y hemos calculado la corriente maximaen el ejemplo anterior, es conveniente escribir la potencia media en funcion

de estas magnitudes. Tendremos

P ", = r.f1,1 cos 0= i- r . :. I . 1 m • • cos 0

=1-(100 V){O,175 A)[cos (-88°)]=0,306 W

Como hemos sefialado, esta potencia se transforms en calor Joule en la resis-

tencia. Podrlamos haber calculado tambien la potencia media a partir de

Pm =l~ R = + / ~ .\ ,R=~-0,175 A )2 (20 0 ) =0,306 W

Ejemplo 28-7

Hallar (a) el valor Q y (b ) la a nc hu ra de resonancla del circuito del ejernplo

28-5.

(a ) En el ejempJo 28-5, virnos que la frecuencia de resonancia era

fc=79,6 Hz. Por consiguiente el valor Q es

Q= woL 21 r(79 ,6 Hz)(2 H) 50

R 20 n

(b) La anchura de Ja resonancia es

t!..f=.b..= 79,6 Hz =1,6 HzQ 50

R esu lra ser una resonancia muy aguda. Laanchura es solo ),6 Hz en la fre-

cuencia de resonancia de 79,6 Hz.

Ejemplo 28-8

Hallar las tenslones rnaximas en la resistencia, [a bobina y el condensador en

la resonanciaen e l caso del circuito del ejemplo 28-5.

En la resonancia, la impedancia es igual a la resistencia R=20 n. Comola fern maxima es 100 V. la corriente maxirnaes

I = (nM' =100 V=5 Amo. Z 20 n

Par tanto, la tension maxima aplicada a la resistencia esVR .m " =m ." R =5 A)(20 f2 )=100 V



918 Capitulo 28 Clrcetros de corrtente alterna

y

"c""'50nov

Figura 28-19 Las tensiones del

ejernplo 28-8. Las tensiones que

aparecen en 1 3 bobina y en el

condensador de un circuito L C R

serieestan siernpre deslasadasen 1800•

En 1 3 resonancia rienen el mismo

valor, de modo que su suma es cero,

y 'lsi la surna de las tensiones en los

Ires elementos es igual a Vw En este

ejernplo, lacalda maxima de tension

en la resistencia es 100 V, rnientrasque las tenslones rnaxirnas en la

bobina y en el condensador son

5000 V.

c- V",I

Figura 28-20 Clrcuito- del ejemplo

28-9.

Figura 28-21 Diagrarna de fa sores

correspondiente a las tensiones

aplicadas a la resistencia y al

c o nd ensad or d e la F igura 28-20.

1.0

-~.. 1

v;

0

Figura 25-22 G riif ic o d el cocienteentre la tensi6n de salida y la de

ent rada correspondiente OIlcircui tofiltTo pasa baja d el ejernplo 28-9.

v

La Frecuencia de resonancia hallada en el ejemplo 28-4 era fo=79,6 Hz. Las

reactancias inductiva y capacitivaen la resonancia son

Xl=woL=(2 11')(79,6 Hz)(2 H)=1000 n

y

11000 n

(211')(79,6 Hz)(2X10-b F )

Ambas reactancias son iguales, como era de esperar, puesto que se hallaba

Ia frecuencia de resonancia al igualarlas Por elio, la tensi6n maxima que apa-

rece en la bobina es

VL,m;!x = ImhXL =5 A)( lOOO Q)=5000 V

y en eicondensador

VC•mi< =lm.~c= (S A)(1000 0)=5000 V

La Figura 28-19 muestra el diagrama de fasores paraestas tensiones. Latension maxima que aparece en la resistencia corresponds al valor relativa-

mente seguro de 100 V. igual a la fem maxima del generador. Sin embargo,

las tensiones rnaximas que aparecen aplicadas a la bobina y al condensador

tienen ei valor pellgrosarnente elevado de 5000 V. Estas tensiones estan desfa-

sadas entre si en 1800• En la resonancia, la tension que aparece en la bobina

en un instante cualquiera es el negative de la que aparece en el condensador,

de forma que su surna es siernpre nula, haciendo que la tensi6n en la resisten-

cia sea siernpre iguaJ a la fem instantanea del circuito.

Ejemplo 28-9

Una resistencia R y un condensador C se encuentran en serie can un

generador, que tiene una tension dada par V.n=Vocos wt,como se ve en

la Figura 28-20. Hallar Ia tensi6n en el condensador en funcien de la Irecuen-

cia w.

Este circuito es mas sencillo que los anteriores, porque carece de bobina.

En la Figura, hemos seiialado la tension del generador. tension de entrada,

y la que aparece en el condensador, tension de salida. La figure 28-21 muestra

los Iasores que representan las caidas de tension en la resistencia y en eJ con-

densador. La irnpedancia total del circuito es

Z= . JR2+)Q

en donde Xc=11w e . La corrienteelicazes. entonces,

La tension eficaz de salida que apareceen elcondensador es

V = J .X = XCV.npr",I .r .f C . . . j R2 + J G :

(llwCWw•

En la figura 28-22 se ve eJ cociente entre la tension de salida y la de entrada

en funcion de la frecuencia w. Este circuito recibe el nombre de filtro pasa

baja RC, porque se transmiten con mayor amplitud las frecuencias bajas deentrada que [as alras.



Seccien 28-5 Circuitos LCR con un gelle.rador 919

Circuitos en paralelo

En la Figura 28-23 se muestran una resistencia R . un condensador Cy una bobina

L conectados en paralelo a un generador de ca. La corriente total I procedente

del generador se divide en tres corrientes, la 1" que pasa por la resistencia, la Ieper e l condensador y la h por la bobina, La tension instananea V esla rnisrna

para los tres elementos. La corrienteen la resistencia esta en fase con !a tension

y tiene una amp! itu d d e V I R . Co mo Ia Cal da de tension que aparece en Ja bobina

adelanta a la corriente que circuja por la bobina en 90", esta ultima retrasa res-

pecto a la tension en 900 y tiene un valor de V IX L• Analogamenre, la corriente

en 1"1condensador adelanta a la tension en 900 ytiene un valor de V /X c. Estas

corrientes se han representado mediante fasores en la Figura 28-24. La corriente

total I es el cornponente .r del vector suma de las corrientes individuales como

se ve en la figura. El valor de lacorriente totales

Figura 28-23 Circuito LC R paralelu,

circuit,

( V . ) 2 + ( ~ _ ~ . ) 2 = ~R X L x: Z

estando relacionada la impedancia Z con Ia resistencia y las reactancias capaciti-

va e inductiva par

28-59

l _ = ~ ( _ . 1 ) 1 . + ( · _ 1 . _ _ 12Z R X L Xc

28-60

Figura. 28-24 Diagrarna de Iasores correspcndiente a la!ensi6n y corrientes del circuito LC R paralelo de la [igura

26-23. La tension es la misrna para todos los elementos. La

corrlerueen la resistencia esta en fase can la tension, Lacorriente en el condensadoradelanta a la tensi6n en 90"

mientras que la de la boblna retrasa en 900• La diferencia de

lase li entre la corriente total y la tensi6n depende de losvalores relatives de las intensidades 0 corrientes, quedependen de los valores de la resistencia y de las reactanclas

capaculva e inductive.

En la resonancia, la Irecuencia del generador w es igual a la frecuencia natural

wo=l / . JLC y las reactancias inductiva y capacitive son iguales. A partir de la

ec.uaci6n 28-60, vemos entonces que lIZ adquiere su valor minimo l/R, de

modo que la impedancia Z es maxima y la corriente total minima. Podemos

comprender este hecho observando que, en la resonancia, Xc=X t Y las corrien-

tes en la bobina y en el condensador son iguales perocon un desfase de 180",

de modo que la corriente total es precisamente s610 la corrienre que pasa por la

resistencia,

Cuestiones

6. LDepende e1 factor de potencia de la frecuencia7

7. LPresenta algunas desventajas un circuito de sintonfa de radio que posea un

factor Qextremadamente grande 7

8. LCua! es 1"1actor de potencia de un circuito que posee bobinas y condensado-res, pero no resistenciasj



920 Capitulo 28 Circultos de corriente alterna

Figura 28-25 Transformador con N,

vueltas en el primario y N, vueltasen el secundario,

(a ) Circuito para provccar la

ignicion de la mezcla combustible en

el motor de un autornovil. El sistema

que SI;' rnuestra en la foto {oj es un

transformador con un arrollamientoprimario de hilo grueso mientras que

el secundario esta construido (on

hilo delgado, Si tanto el conmutador

de .ignicion como los puntos deccntacro estan cerrados, circelacorriente a traves del primario de la

bobina de ignici6n. El eie de levasrotauvo abre y dena los puntos decontactc, originando una rapida

variacicn en la corrienre del prtmarlo

de la bobina de ignicien, que

produce uria tensi6n de 30 a 40 kV

en el arrollamiento secundario. Estatension alta se distribuye mediante el

contacto giratorio del «delco» a las

bujlas a intervalos de nempo muy

preeisos. dando como resultado el

salto de una chispa entre los

etectrodos de la bujia.. Esta chispa

provoca la ignici6n de la rnezclaaire-combustible en los cilindros.

28-6 Transformadores

Un transformador es un dispositive para variar las tensiones ycorrientes alternas

sin perdida apreciable de potencia. Su funcionamiento se basa en el heche de que

una corriente altema en un circuito indueira una fem alterna en OtTO circuito proximodebido ala inductancia mutua entre ambos. En 1.1Figura28-25 se indica un transfer-

rnador simple compuesto por dos bobinas de hila conductor arrolladas sobre un

nucleo de h.ierro comun, La bobina que se conecta a 1.1Fuente de entrada se denomina

primario y laotra. secundario, Puede utilizarse cualquiera de los des arroiJamientos

de un rransformador para primario 0 secundario. La funti6n del nucleo de hierro

consiste en aumentar el campo magnetico creado por una corriente determinada

y para que se vea constrefiido de forma que practlcamente todo el flujo magnetico

que atraviese uno de los arrollarnientos atraviese el otro ..El nudeo de hierro esta for-

mado por laminas para reducir las corrientes de Foucault y las perdidas conslguien-

tes. Existen otrasperdidas de potencia debido al caJentamiento Joule de las pequefias

resisrencias que forman ambos arrollamientos y ala histeresis que se presenta en e l

rnideo de hierro. Despreciaremos estas perdidas y consideraremos un transformaclor

ideal con un rendimiento del 100 por ciento, en el que toda 1.1potencia suministrada

al arrollamiento prirnario aparece en el secundario ..Los transformadores comercialessuelen tener rendimientos comprendidos entre el 90 y el 95 per ciento.

Consideremos un transformador que tiene un generador de ca de tem tfconec-

tado al primario con N, vueltas, mientras que el circuito del secundario, que tiene

Nz vuelras, esta abierto. Debidoal nucleo de hierro, existe un flujo magnetico

grande que atraviesa ambos arrollamientos aunque lacorriente magnetizante 1 m

enel circulto primario sea muy pequefia, Podemos despreciar las resistencias de los

arrollamientos en comparacicn con sus reactancias Inductivas. E I prirnario es enton-

ces un circuito simple formado por un generador de fem altema y una inductancia

pura como el estudiado en [aseccion 28-2. La corriente (de magnetizacicn) y la tensi6n

en el primario estan desfasadas entre si en 90° y [a potencia media disipada en el

arrollamiento primario es cero. Si < b v u e l . . . es el flujo rnagnetico que atraviesa unaes-

pira 0 vuelta del primario I la caida de tensi6nen el es VL J =N) d f / J v u " I t . / dt . ApI i-

cando la regia de las mallas de Kirchhoff al circuito del prirnario se tiene entonces

e-Nl~=Odt

o sea

#= N d <b v l'. a .

I dt

Si se considera que no existe ninguna perdida de flujo en el nudeo de hierro, el

flujo que atraviesa cada espira es el mismo en. ambos arrollamientos. As! pues,

el flujo total que atravlesa el arrollarniento secundario es Nz < b v u , n . , y [a tension

que apareceen clicho secundario es

V =-N~ 28-62z 2 dt

28-61



5ecci6n .28-6 T ransformadores 921

Comparando estasecuaciones. podemos ver que

V =_ N,. rf2 N

I

28-63

Si N 2 es mayor que N" la tension enel secundario es mayor que la apllcada alprimario y el transformador se designs como transJormador elevador 0 de alta.

5i N.es menor que N" la tension enel secundario es menor que en el prirnario

yel transformador recibe el nombre de transformador redudor 0 de baja.

Consideremos a contlnuacion 10 que ocurre cuando colocarnos una resisten-

cia R denominada resistencia de carga conectada al secundario, Entonces apare-

cera una corriente I. . en el circuito del secundario que estara en Fase con la ten-

sion V2 aplicada a . la resistencia, Esta corriente originara un flujo adicional

t P " u d ' ~ a traves de cada espira quees proporcionai a N2/2. Este Aujo se opone al

flujo original creado por la corriente magnetizante original 1 " , del primario. Sin

embargo, la tension que aparece en el arrollamiento primario esta determinada

por la fern del generador, que no se ve afectada por el circuito secundario. De

acuerdo con la ecuaclon 28-61, el flujo total en el nucleo de hierro debe vatiar

al ritmo original; es decir. el flujo total en el nucleo de hierro debe sec el misrno

que cuando no existia 1a carga en e I secundario. EI arrollarniento primario extraeas l una corr iente adicional II para mantener e l flujo original 1 / ' 1 • • • 1 • • • H I flujo que

atraviesa cada espira producido por esta corriente adicionales proporcionai a

Njl]. Como esre flujo es igual a -q,:",I .., la corriente adlctonal I, en el primario

esta relacionada con la corriente I~en el secundario por

N1 /1 = - N 2 / 2 28-64

Estas corrientes estan desfasadasen 180" y producen flujos que se contrarrestan,

Como I.esta en fase con V.' la corriente adicional II esta en fase con la fem

apllcada. La potencia procedente del generador es i s ' r t i , . , f . Yla potencia que se

extrae de! secundario es V2 r t i . , < f ' (La corriente magnetizante no contribuye a la

potencia de entrada porque eSta desfasada en 90° (on la tension del generador.)

Si no existiesen perdidas,

6 ; r 1 1 .e,=V.<l1 z ,el 28-65

En la mayoria de los casas la corrienre adicionalsn el prirnario 1 1 es rnuchomayor que la corriente magnetizante original 1 m que se obtiene del generador

cuando no hay carga ..Esto puede demostrarsecolocando una [ampara en serie

con el primario. La lampara brilla mucho mas cuando existe una carga aplicada

al secundario que cuandoeste se encuentra abierto, Si puede despreciarse 1m, la

ecuaci6n 28-64 relaciona las corrientes totales que recorren los circuitos primario

y secundario.

(a) Transformadcr cerrado para reducir latension hasta elvalor adecuado a su dist-ribllcibn en las casas. (b) Subestaci6n

de potencia suburbanaen donde los rransforrnadores reducen

13 tension procedente de las lineas de transmision de alta

tension a valores mas bajos,

(tI) (b)



922 Capitulo 28 Circuitos de coreiente alterna

Eiemplo 28-10

Un timbre funciona a 6 V con OA A. Se conecta a un transformador cuyo

primario con tiene 2000 vueltas y esta conectado a una ca de 120 V. (a ) LCuantas

vueltas deb era tener el secundario? (b ) LCui'd es la corriente en el primario7

(a ) Como la tension de entrada es 120 V y la de salida es 6 V, puede obte-

nerse la relacion entre las vueltas can la ecuacion 28-63: .

120 V

As! pues, el mirnero de vueltas del secundaric es de

6N,=-·-(2000 vueltas) =100 vueltas- 120

(b ) Como estamos suponiendo que el rendimiento de la transmision de

potencia es el100 par ciento, las corrientes de entrada y de salida se relacio-

nan entre S I por

Vl/~= Gil

Por consiguiente. la corriente en el primario es

Uno de los usos mas importantes de los transformadores es el del transporte

de energia electrica ..Para reducir hasta el minima posible las perdidas que en for-

ma de calor Joule I zR tienen lugar en las lineas de transmision de energia, resul-

ta mas economicoemplear un alto voltaje y una baja corriente. Par otro lado,la seguridad en su ernpleo y otras consideraciones, como el aislamiento, hacen

necesario utilizar la energia a voltajes mas bajos con corrientes mas altas cuando

se quiere hacer funcionar morores 0 cualquier otro dispositive 0 aparato electri-

co. Supongase, por ejemplo, que cada persona de una ciudad con una poblacion

de SO 000 habitantes consume 1,2 kW de potencia ele ctric a, (E I consumo per ca-

pita de potencia en los Estados Unidos es realmente algo mas elevado que esta

cifra.) A 120 V, la corriente requerida por cada individuo seria

/= 1200 W 10 A120 V

La corriente total para 50 000 personas serla entonces 500 000 A. EI transporte

de dicha corriente desde los generadores de una central electrica hasta una ciu-

dad a muchos kilometres de distancia requeriria conductores de tarnafio enarme

(en realidad. gruesos cilindros de cobre mas que hiles). y la perdida de potenciadada por l"R seria sustancial. En lugar, pues, de transportar la potencia a 120 V.

se utilizan transformadores de alta en la central para elevar el voltaje a unos va-

lores rnuy elevados, tales como 600 000 V. As] se reducela corriente necesaria a

J= 120 V. (500000 A)=100 A600000 V

Para reducir luego el voltaje a unos niveles mas seguros durante su transporte

dentro de la ciudad, se situan estaciones transformadoras a la entrada de la mis-

rna para bajar su valor hasta 10 000 V, por ejemplo. Luego en las proximidades

de [as casas se instalan nuevas transformadores que reduzcan otra vez el voltaje

hasta 120 V (0 220 V) para su distribucion en elintsrior de lasmismas. Debido

a esta facilidad para aurnentar 0 disminuir el voltaje de la corriente alterna me-

diante transformadores, se utiliza ordinariamenteeste tipo de corriente y no lacorriente con tinua.



Seccion 28-7 Recrificaclon y arnplificacion 923

Ejemplo 28-11

Una tinea de transmision de energia eJectrica tiene una resistencia de

0,02 O/km. Calcular la perdida de potencia PR si se ha de transmitir una

potencia de 200 kW desde una central generadora a una ciudad distante10 km de aquella a (a ) 220 V y (b ) 4,4 kV,

(a) La resistencia total de 10 km de linea es R=(O,02 O/km)(10 km)=

0,20 O. Lacorriente necesarla para transrnitir 200 kW a 220 V es

1= 200 000 W 909 A

220 V

La perdrda de potencia vale entonces

PR=(909 AF(O,20 0)= 6S kW

As! pues, se desperdiciaria en perdida alrededor del 82 por ciento de la poren-

cia a transmitir.

(b ) Si la linea de transmision se dispone a 4,4 kV, la corriente es

I 200 kW =45 5 A4,4 kV '

Ahora la perdida de potencia seria

f2R=(4S A)2(O,20 9)=414 W

La perd ida de energia es considera blemente menor.

28-7 Rectificacion y amplificacion

Aunque es faci] disponer de corriente alterna, con frecuencia se necesita corriente

continua para alimentar aparatos como radios portariles 0 calculadoras, Estes

dispositivos suelen entregarse con pilas 0baterlas adecuadas y con convertidoresde ca-ec para ahorrar pitas cuando se tiene acceso a la ca. Estos convertidores

contienen un transformador para reducirel voltaje desde 220 V al que se necesite

(normalmente.9 V) y un circuito para convertir la ca en cc. EI proceso de conver-

tir la corriente alterna en corriente continua se denomina recrificacion. EI princi-

pal elernento de un circuito rectificadores el diodo. Los primeros diodos. desa-

rrollados por John Fleming en 1904, eran tubos de vaclo que contenian dos

elementos principaies, un catodo que ernite electrones y un anodo, denominado

laoplaca. que los recoge La caracterfstica a destacar de un diodo es que conduce

la corriente en un sentido y no en el otro , En 1 0 1 actualidad [a mayoria de los dio-

dos que se utilizan son disposltivos de semiconductores, que seranestudiados en

el capitulo 39 de la version ampllada de este libro ..EI simbolo para designar un

diode comoelemen to de un circuito es~ ..La flecha indicael sentido en que pue-

de pasar 1 0 1 corriente par e l diodo. (Este sentido es contrario al del mcvimiento

de loselectrones.)

En la figura 28-26 se muestra en esquema un diodo de tubo de vado. Cuando

se caliente el catodo (mediante un elernento calefactor con circuito separado),

emite electrones, 1 0 cual es un proceso denominado emisi6n termoi6nica descu-

Transformador y rectificador para

convertir la corriente de UO V ca

de un enchufe de pared a 9 V cc

para 5U empleo en conexi6n con unaradio 0 una calculadora, con objetode ahorrar pilas,

Figura 28-26 Diodo de vacio, Cuando se calienra elcatodo,

ernite electrones, que son arrastrados hasta la placa cuando

posee un potencial mas alto que el catodo.




Figura 28-27 (u ) Circuito simple

compuesto por un generador de ca,un diodo y una resistencia, (b)

Corriente en fund611 del tiempo en laresistencla del circu ito anterior. L a

corriente negativa lndicada por la

linea a trazos no atraviesa el diodo.

R

(b)

bierto par Thomas Edison en 1883. Si la placa tiene un potencial mas elevado

que el catodo, atrae a los electrones y 1'1tuba conduce una corriente, que suele

denominarse corriente de placa. Si la placa se encuentra a un potencial inferior

al del catodo, los electrones se ven repelidos y no pasa corrienre par 1'1 tuba.

Enla Figura 28-27a 51' VI' un circuito simple que eontiene un generador de ca,

un diodo y una resistencia. La corriente que recorre la resistenda se ha indicado

en la figura 28-27b. Se dice entonces que el diodo es un rectificador de media

onda porque circula corriente par la resistencia s610 durante media ciclo del ge-

nerador de ca. En 1aFigura 28-28 se muestra un cireuito que proporciona una rec-

tificaci6n de la onda completa. En el, se han conectado dos diodos a los terrnina-les a y b de un transformador. Las salidas de los diodos 51' conectan entre S I y

a uno de los extremes de la resistencia. EI otroextremo de la misma se conecta

al punto medio c del transformador. Cuando 1 '1 punta a ests a un potencial supe-

rior que el punto c, el diode 1 conduce la eorriente 1 1 ala resistencia. Medio ci-

clo despues. eI punta b esta a un potencial mas alto que el punto c y entonces es

eI diodo 2 el que conduce corriente a la resistencia, Iz . La corriente I I + 1 2 que

pasa par la resisrencia puede verse en la Figura 28- 29d. Las variaciones no deseables

que presenta la salida del reetiIieador se suele denominar el rizado de la corriente.

Corriente

de entrada

V\{\I V V((I)

{\ /(b)

(e l

'~

2

Figura 28-28 Cireuito reetificador de onda complete. Cuando1 '1 potencial d e l punta a es mayor que e J del punto c.

la corriente 1 1 atraviesa 1 '1 diodo 1. Media ciclo despues elpotencial del punta b es mayor que el del punta c y entoncesla corrlente J , pasa par el diode 2.

/=/.

(d)

Figura 28-29 (a) Corriente de entrada al rransforrnad r en eJcircuito lndicado en la Figura 28~28. (b) Corriente I, que

atraviesa eJ diodo 1. (e) Corriente 1 2 que atraviesa el diodo 2.(d) Corriente total 1= I,+ (2 que recorre la resistencla de laFigura28-28.



Seccien 28-7 Rectificacion y ampllflcacion 925

1 \ 1 Figura 28-30 (al El circujto recrificador de onda completa

de Ia figura 28-28 con un H ltro pasa baja pa ra suaviza r las

ond ulaciones 0 rizado de la tension rectificada . (bl Tension

de entrada (a rrazos) y tensi6n de salida (a trazo lleno) del

fil11"Opasa ba]a,(Ill

(b)

En la figura 28-30a SI" ha afradido un filtro pasa baja cornpuesto por una resis-

tencia R f y condensador Centre el rectificador y la resistencia de carga Rt.

(Este Hltro se analizo anteriormente en el ejemplo 28-9.) 51"escoge la resistencia

R F de forma que sea mucho menor que R L para que asila (aida de tension de

cc (y, par tanto, la perdida de potencial a traves de \a resistencia del filtro sea

pequena en comparacion con la aplicada a la resistencia de carga, La.capacidad

C es grande de modo que e l Filtro tiene una constance de tiernpo RFC muchomayor que 1"1periodo existente entre los ciclos de las ondulaciones. consiguien-

dose de este modo que la variacion de la carga (y el potencial) del condensador

debido al rizado sea rnuy pequefia en comparacion con lollque se tend ria si el riza-

do variase lentarnente. En la Figura lB-JOb pueden verse las formas de onda co-

rrespondientes a la entrada y salida de tension en e! filtro.

En 1907, Lee de Forest descubrio que la corrienre de placa podia modificarsenotablemente mediante pequenas variaciones de la tension de un tercer electrode

insertado entre e! carodo y el anode. 0 placa. Se indica en 1 . 0 1 Figura 28-31 un dia-

grama del tubo de vacio \1amado triodo. E I tercer electrodoes una Olalla de hilo

muy fina H am ada reiilla, Igual que enel diodo, 1" 1carodo del triodo s e c al ie nt ay emite electrones que se recogen en lollplaca, que esta a un potencial. mas alto

(normalmente de 100 a 200 V) que el catodo: Como la rejilla esta mas proxima

(a) ( M

Carodo

Figu.ra 28-31 Tdodo de vado. La

re] i lia cerc aria aJ c ato do c onrro la lo ll

corriente de placa Cuando la reiilla

es negative respecto al catodo. repele

los electrones emitidos por 1"1catodo

y disminuye la corriente de placa.

Cuand o 1< 1.eiilla es po sit iva respec to

el c.Hodo. atrae los electrcnesernltidcs par e l catodo I" incrementa

la corriente de placa,

(a ) Tube triodo de vacio, invenlado

por Lee De Forest en 1907. A cada

lade del dlodo (que se encuentra

oculto para su observacicn en 103

parte centra! 1 esta parcialrnentevisible la rejilla de control, Formada

par dos hiles de niquel en zigzag,

Una pareja de placas de niquel que

rodean a la rejilla strven de anodo.

EI tubo Isjn con tar su base de

cerarnica) riene 9 em de altura,

(b) Chip de silicic que contiene seis

diodes PIN (elementos OSCUfOS de

Forma octcgonal), los diodes PIN

funcionan como una reslstencia que

varia de acuerdo con la tensi6n que

se aplica a sus extremes. So utilizan

para dejar pasar, 0no, sefrales de

rnicrocndas cortccircuitando las

guias de ondas que las transrniten.



926 Capitulo 28 Circuiros decorriente alrerna

Figura 28-32 Amplificacicn mediante un triode. Una pequefia

serial sinusoidal que se aplique a la rejilla, da como resultadouna. gran seii.al sinusoidal a traves de la resistencia R.

T

al catodo que la placa, el potencial de la misma respecto al catodo tiene una gran

influencia sabre la corriente de placa. Cuando la reji1la esta al rnisrno potencial

que elcatodo,la corriente de plata no se VI" afectada esencialmente por la rejil\a.

Cuando Ia rejilla es negariva respecto al catodo. los electrones que este emite 51 "

Yen repelidos par Ia rejilla y la corriente de placa disminuye mucho. Cuando la

rejilla es positiva respecto al catodo, se ve incrernentada la corriente de placa.

En la figura 28~32 puede verse como se utiliza un triodo comcampllfrcador. La

sefial de entrada es una pequeiia tensi6n sinusoidal que se aplica entre la rejilla

yel dlodo. La sefial de salida es la tension que aparece en Ia resistencia R. Esta

sefial es considerablemente mayor que la de entrada parque pequeiias vsriacic-

nes de tension en la rejilla producen carnbios grandes en la corriente de placa.

Hayen dia los triodos de vacio han sido sustituldos en su mayoria par transisto-

res, queestudiarerncs en el capitulo 38 de la versi6n ampliada de este libra.

CuesH6n

9. Explicar por que la intensidad eficaaen un circuito rectificador de media

onda es la mitad que la queaparece en un rectificador de onda completa.

Los tubes de vacio pueden construirse ahara en formas

rniniaturizadas conocidas como elementos de vacio

m ic rc elec tri co s .. E sre t ip o de tubes, en 1.11ctual idad en fase deinvestigacion, podran aIg!!n dia sustitulr los tubes de rayos

catcdlcos de los aparatos de television, haciendo que sean

mucho mas compactos. Esta distrlbucien de piramldes

recubiertas de tungsteno y obtenidas mediante grabado en un

5010 crista] de silicic, prerende sustituir al dlodo. Lasplrarnides tienen 3 I'm de altura yestan separadas en 10 I'm,

En lugar de utilizar el calor, se aplica encirna de las pidmidesun campo electrico muy intense de modo que se erniten

electrones, (A campos suficienternente grandes, 105 electrones

superan las fuerzas que los retienan en 10'1uperficie del

tungsreno.) A dlferencia de los transistores, estes elementos

soninsensibles 0'11alor y a la radiaci6n. Adernas.

considerandc tamaftos equivalences, los tubes de microvacioluncionan con mayor rapidez que los transistores debido a

que los electrones viajan a traves de ellos sin colisiones.



Resumen 927

Resumen

1. Se define el valor eficaz de la corriente alterna, ' d ' como

fd=,!(P)m

Esta relacionado con la corrient maxima por

I =1 m .",'j ...fi

La potencia media disipida en una resistcncia que transports una corriente

sinusoidal es

2. La tension que aparece en una bob ina adelanta a la corriente en 90°. La

corriente e icaz 0 maxima esta relacionada con la tension eficaz 0 maxima

por

en donde

X , = wL

es la reactancia inductiva de la bobina. La potencia media disipada par una

bobina es nula.L a tension que aparece entre placas de un c ndensador retrasa a la co-

rriente en 90°. La corrient eficaz a maxima esta relacionada con la tension

eficaz maxima p r

en donde

1Xr=--

w e

es la reactancia capacitiva. La potencia media disipida en un condensador es

nula. Como la re istencia, las reactancias inductiva y capacitiva tienen uni-

dades de ohmio.

3. Las relaciones de fase existent s entre la tensi nes aplicadas a una resisten-

cia, a un condensador y a una bobina en un circuito de ca. pueden describirse

graFicamente mediante la representacion de las tensione por vectores bidi-

mensionales rotatorios denominados 'asoTes. Estos fasores giran en sentido

antihorario con una frecuencia angular w que es igual a la frecuencia angularde la corrienre. EI fasor Irepresenta la corriente. EI fasor VI/ rspresenta la

tension aplicada a una resistencia que esta en Iase con la corriente. EI fasor

VL representa la tension aplicada a una bobina y esta adelantado respecto al

de la corriente en 90". 1 :1 Fasor Vc represents la tension en placas de un con-

densador y esta retrasado respecto al de la corriente en 90". EI componente

x de cada fasor es igual al val r instantaneo de la c rriente 0 de la correspon-

diente caida de tension en cualquier moment .

4. Si se descarga LII'1 condensador a traves de una bobina, la carga y la tension

del condensador oscilan con frecuencia angular

w =--.-o LC

La corriente en la bobina osclla con la misma frecuencia, pero esta desfasada



928 Capitulo 28 Circuitos de corrienre alterna

en 90" respecto a la carga. La energia oscila entre la energia electrica deJ con-

densador y la energia magnetics de la bobina ..Si el circuito tiene tambien re-

sistencia, las oscilaciones son arnortiguadas debido a que se disipa energia en

la resistencia.

5. La corriente en un circuito LCR serie accionado por un generador de ca viene

dada par

cJ=~ cos (wt-8)

Z

en donde la lrnpedancia Z es

Z = . J R 2 + ( XL _ X C )1

y se ca!cula el angulo de fase 8 a partir de

tg 0

La potencia media que entra en un circuito de esta clase depende de la fre-

cuencia y viene dada por

P",= t\r1.t cos 8

en donde cos 6 recibe el nombre de factor de potencia. La potencia media tie-

ne su valor maximo a la frecuencia de resonancia, que viene dada par

1

' 0 = 2~

A 1 3 frecuencia de resonancia, eJangulo de fase ()es cero, el factor de patencia

vale 1, las reactancias inductive y capacitive son iguales y la impedancia Z

es igual a la resistencia R.

6. La agudeza de la resonancia se describe mediante e! factor Q, que se define

como

Q=~R

Cuando !a resonancia es razonablernenteestrecha, e l factor Q puede aproxi-

rnarse por

Q=....!!1_=_k_. 6 . 4 1 I I I

en donde . 6 . / es la anchura de 1 3 curva de resonancia.

7. Un transformador es un aparato para variar las tensiones y corrienres alterna

sin perdida apreciable de energla, Si un transformador bene N] vueltas en el

primario y N, en el secundario. Ia tensi6n que aparece en 1 " 1 arrollarniento

secundario esta relacionada con la fem del generador aplicado al primariopor

NV,=-. . . . : . . . : .L~

Nt

Un transformador se denornina elevador 0 de alta, si N2 es mayor que N, demodo quela tension de salida es mas alta que la tension de entrada. Si Nzes rnenor que N1, se llama reductor 0 de baja.

8. Un diodo es un dispositivo que permite el paso de la corriente 5610 en un sen-

tido. Puede utilizarse para convertir corrienre alterna encorriente continua,

proceso que se denomina rectificacicn.

9. Pequena s variaciones de la tensi6n de la reji lla de un triode producen grandes

cambios en Ia corriente de placa, efecto que puede util izarse para amplificar

sefiales de ca.



Motcres eJect.ritos 929

Motores electricos

lohn DentlerAcademia Naval de los Estados Urudos

El desarrollo de una amplia variedad de motoreselec-

trices ha revolucionado nuestra socledad. Al comienzo

del siglo XX , las rnaqulnas de la mayoria de las grandes

fabricas estaban accionadas por una 0 dos maquinas

grandes de vapor que emplea ban correas y poleas para

la transmisi6n de la energia. Los automoviles se ponian

en mareha can manlvelas, los refrigeradores utilizaban

grandes bloques de hielo para enfriar los alimentos y

la s maquinas deeoser se movian mediante un pedal ac~

cionado con los pies. Hoy en dia, todas estas tareas lasrealizan los motorese1ectricos.

La gran diversidad de aplicaciones que utilizan rno-

tares electricos requiere queexistan muchos diseii.os di-

ferentes de los mismos. Los motores de los relojes elec-

trices deben funcionar a una velocidad precisa. Los

motores de arranque de los autornoviles deben propor-

cionar un par de arranque muy grande. Un secador de

pelo portatiJ debe tener poco peso y funcionar con di-

jo hn D e nt le r Sf gradue en

la Academia Naval de lo s

Estados Unidos. en 1972.

con unBiS. en Pis ica .Despues decornpletar el

Programa de

E n trenami ento en EnergiaNuclear de la Armada.

fU e destinado comoOficial de la Division de

Control del Reactor al

portaavicnes

nortearnericano Nimitz.

Despues paso como

instructor y director de Ia

Unidad de Prototipos de

Energia Nuclear. Siguio Ires

cu r50S sob re Ingen ierla.

Armarnento y Operaciones,

asistic a la Escuela Naval

de Postgraduados, reciblendoun titulo Superior en

Ciencias (especial izandose

en electro-optica, guerra

elec t ron ica y sistemas de

radar). Desnnado como

instructor a la Academia

Naval de 1'05 Estados

Unidos, ensen6Fundamentos de lngenieria

Electrica para todos los

grades medics y el Curse

d e Conversion de Enargia

en el Curriculum Principal

de r ngenieria Eliiclr ica .. Fue

nornbrado Ayudante del'

Director del Departamento

de lngenieria Electrica. En

la aciualidad SI! encuentra

destinado como lngeniero

de Sistemas de Energla en

el Centro de

Investigaciones de la

Marina. "David Taylor".

R1---,

• "

" " +E .

B h . . . .. . .. . .tkl'l,li. •

•

" "

Figura 1 Motor electrlco sencillo construido con la adidon de

una bateria a la rnaquina lineal indicada en las figuras 26-14

y 26-]6.

Figura 2 Circuito correspondiente al motor electrico lineal de

la Figura].

versas velocidades. Los tecnicos proyectan los motores

necesarios para las diversas aplicaciones utilizando mo-

delos que se han deducido a partir de los principles fisi-

cos estudiados en el texto, Estos modelos son ecuacio-

nes que predicen el comportamiento de un motor para

un coniunto de especificaciones 0. cargas prefijadas.El motor mas sencillo del que se puede ideal un mo-

delo (0 «modelar») se deriva de la maquina lineal que

se presenre en la seccion 26-4. La.Figura 1 es semejante

a las figuras 24~16y 26~16 excepto en que se ha incluido

una pila de voltaje V de forma que este tenga el mismo

sentido que Ia fern desarrollada en la barra movil, En

general los carriles y la barra tienen reslstencia e indue-

tan cia y la pila tiene resistencia interna. Po.r sencillez,

supongamos que la inductancia es despreciable y que la

resistencia total del sistema puede considerarse com-

puesta 0 equivalente a una sola resistencia R. La barra

puede modelarse como una Fuente ideal de fern can

t!?=Btv. E l circuito que modela este motor Iineal sim-

ple se indica en la figura 2.

Aplicando la regia de las mallas de Kirchhoff a este

circuito se tiene

V-IR-G'=O ( 1 )

Sustituyendo G'por Mv, obtenemos

V-1R-8Iv=O ( 2 . )

Asi pues, Ia corriente viene dada par

B t V/=---v+-

R R(3)

La corriente es, pues, una fund6n lineal de Ia velocidad

con tal de que V, 8, C y R sean constantes. Con veloci-

Continua




dades bajas, la fern es pequefia y la corriente es positiva

(sentido horaric). Cuando la velocidad es alta, la fern

es mayor que el voltaje de la pila V y la corriente es ne-

gativa (sentido antihorario). s : la velocidad es VI B «,la corriente es nula ..

Si los carriles de la Figura 1 careciesen de rozamien-

to y el campo rnagnetico fuese suficientemente ancho,

la barra se aceleraria hasta alcanzar una velocidad ter-

minal VIB!" en cuyo instante la fuerza F=IBr seria

nula porque la corrtente se hace cero. Si la barra se ace-

lera hacia la derecha mediante la acci6n de una fuerza

exterior, la corriente carga la pila como el generador

carga Ia bateria de un automovrl. Si la barra se va fre-

nando por la acd6n de una fuerza externa dirigida ha-

cia la izquierda, la corriente se ve impulsada a circular

par la barra por accion de la bateria 0 pila. Se produci-

dl la corriente suficiente para equilibrar la fuerza

opuesta aplicada y Ia barra se movers can la velacidadde equilibrio que es menor que VIBt.

Un proyectista de motores se interesa en la predic-

cion de como responders un motor (rnodlficando su ve-

locidad) frente a la accion de una carga. En el caso de

este motor lineal. la carga es una fuerza extern a aplica-

da a la barra, La fuerza igual y opuesta que proporcio-

na el motor a la velocidad de equilibrio es F=Br;.

Puede ordenarse la ecuacion 3 para mostrar que la ve-

locidad es una Iuncion lineal de la corriente:

R Vv=---l+--

B I, 86(4)

Susrituyendo la corriente por 'F1&1 , se tieneR V

v=---F+--( B t : ) 2 Bf

(5)

La ecuaci6n 5 que relaciona Ja veJocidad con la carga

se denomina caracterlstica de [uncionamiento del mo-

tor. La Figura 3 muestra un grafico de la velocidad en

funcion de la fuerza. La linea 1representa v en funcion

de F para valores tiplcos de la tension V de la bateria

o pila y del campo magnetico B. La linea 2 muestra el

efecto que se consigue al aumentar la tension V, La li-

nea 3 a su vez muestra el efecto que produce la dismi-

nucion del campo rnagnetico B. L a linea 4 representa

una carga tipica (por ejemplo, de rozamiento) que

aumenta proporcionalmente a la velocidad. Asi pues,la velocidad de funcionamiento del motor indicado en

la Hgura1uede controlarse modificando, 0 la tension,

a el campo magnetico,

EI motor lineal de la figura 1o resulta practice

para 1amayoria de las aplicaciones. En su lugar, es mas

apropiado un motor rotatorio. En la Figura 4 se ve la

mayor parte de las piezas de un motor electrico rotate-

rio sencillo. Aunque este motor parece ser muy diferen-

te de l lineal. el funcionamiento de ambos motores es se-

rnejante.

De la misma forma que el motor lineal. e) motor ro-

Intensidad de v

3 campo magne-

t ic o d ismi n u ida

4arga

2 Tension aurnentada

Generador

F ( r uerza sobre la barra

ha c ia 13 derech ..Io

Figura 3 Grafico de los diferentes valores de l a c a r a c t er i st l c a

de [unclonamiento del motor lineal electrico de la Figura 1 y

una carga tipica. L a linea de arga indicada e Lipica en el

caso de una carga de rozarnienro.

Piezas p lares estacionarias

Sistema rotatlvo

!armadural \

C ampo

magnetic"

Colinetes

Arrollarniento

de campo

ConduClor en una

ranura (las corrien 11'5 x

se entienden que ernran

en e J pap J ; 1as corrien Ies

. salen del mismo}

Figura 4 Motor elect rico rotative simple.



Motores eledricos 931

tataria tiene unos conductores par los que circula co-

rriente que reacciona can un campo externo. Elcampo,

denominado campo del estator,esta creado y controla-

do por la bobina de conductor que se ve en Ia parte in-ferior de la figura 4. El flujo procedente de la bobina

pasa a traves de l nucieo, creando un polo norte a la iz-

quierda del elemento rotatorio y un polo sur a su dere-

cha. El conjunto rotor esta montado sabre dos cojine-

tes, uno en la parte delantera y el otroen la trasera del

motor. Dicho conjunto, denominadoarmadura,esta

compuesto por un cilindro de hierro y ocho ranuras.

Las ranuras contienen conductores que son semejantes

3. la barra del motor lineal. Si se hace circular la co-

rriente a traves de estes conductores en e 1 sentido indi-

cado (de adelante hacia atras cerca del polo sur y en

sentido eontrario junto al polo norte), entonces se desa-

rrollara un par de Iuerzas nero en sentido horario que

haTag irar la armadura, El par que aparece en el motorrotatorio es analogo a la fuerza desarrollada en el mo-

tor lineal.

La construccion de un sistema que mantenga la di-

reccion apropiada de la corriente en cada conductor de

los que forman las espiras del rotor 0 armadura,es una

tarea complicada. Estes dispositivos se denominan

monsaieconmusador de escobillas. En Ia figura 5 se in-

dican las conexiones de dicho montaje correspondlen-

tesal motor de la Figura 4. La Figura 6 es una fotograJia

Conductor de conexlonen Ia parte t rasera

(entre 2 v 7)

1

Escobilla que conduce

1 3 corriente a los

segmentos del

conmutador (lase sc o b il la s s e r na nt ie ne n

en su lugar mediante

un muelie y una

sujecion no lndicados

Jquf)E sc ob llla q ue

conduce

la ccrriente

desde los

Conductor de

conexion

(entre 7 v 4)

Segrnento

del conmutado-'

Figura 5 Sistema conmutador de escobillas para el motor de la

Hgura.4. Un conmutador, ensu significado mas gene.ral,es un

sistema de conexiOn y desconexion ..EI dispositivo indlcado dis-tribuye la corrienteen la armadura de fOm l a que mantcnga la di-reccien adecuada en cada ranura para mantener el sentldo delgiro horario.

de un conrnutador de escobillas real utilizado en un mo-

tor de arranque de un autornovil. En la fotografla se ve

una arm adura con muchas ranuras yun conmutador con

muchos segmentos. La figura 7 es una. fotografia deun motor pequeho con s610 tres ranuras discretas, con-

teniendo cada una de elias muchos arrollamientos y un

conmutador con Ires segrnentos (de los que solo dos

son visibles).

EI conmutador de escobillas indicado en la figura 5

se compone decuatro segmentos que sobresalen a 10lar-

go deleje del motor y de dos escobtllas queconducen

la corriente desde una fuente de alimentacion a los seg-

mentes. Cada segmento esla conectado ados conduc-

teres que se encuentran aJojados denrre de las ranuras

del rotor. Los eonductores estan conectados entre sl me-

diante conductores situados en la parte de atras del rotor

y a traves de los segmentos del conmutador en la parte

delantera del rotor. Este metodo de conexion da comoresultado que hay an dos trayectos electrtcos en parale-

10entre las escobillas; de este modo se estan utilizando

todos los conductores durante la totalidad del tiempo.

En e l conmutador indica do en la Figura 5, la co-

rriente entra per la escobilla de la derecha, Luego sigue

uno de los trayectos en paraJelo a traves de la armadu-

ra. Los conductores situados en las ranuras 2 y Sllevan

la corriente desde la parte delantera hacia Ia trasera de

la armadura, Los conductores 2 y 5 estan conectados a

los conductores 7 y 8 mediante conexiones sltuadas en

la parte trasera de [aarmadura. La corrienre regresa ba-

cia el frentea traves de las ranuras 7 y 8 que se eneuen-

tran conectadas a las ranuras 3 y 4 mediante la cone-

xion cornun que representan los segmentos del

conmutador ..La corriente vuelve de nuevo hacia la par-

te trasera a 10 largo de las ranuras 3 y 4, volviendo una

vez mas adelante par las ranuras 1 y 6, de donde se ex-

traen por las correspondientes escobillas situadas a la

izquierda. Las escobill as son estacionarias y contacta-

ran con dlferentes segmentos del conmutador cuando

la armadura haya girado 90 grades, Como la armadura

posee unos arrollamientos simetricos, las ranuras situa-

das cada vez a la derecha haran circular siempre la co-

rriente desde la parte delantera a la trasera del rotor,

mientras que las situadas en Ia izquierda transportaran

la corriente en sentido contrario, manteniendo asi per-

manentemente el par en sentido horatio.El par total que hace girarel motor es la suma de

los pares ejercidos por los conductores que hay en cada

ranura, En cualquier posici6n existencuatro conducto-

res en la armadura que acttianen la parte derecha y

otros cuatro en la izquierda: par consiguiente,el par es

aproxlmadamente constante. Analogarnente, la fern to-

tal desarrolladaentre las escobillases [a suma de las

fem engendradas en carla conductor ..En todas las posi-

clones extsten dos trayectos paralelos, compuestocada

uno de ellos par cuatro conductores. SegUn la seccion

26-6, la fern desarrollada a 10 largo de un solo eJemento

de conductorpuede demostrarse que esContinua




8

12

(n

Figura 6 Diversas vistas de un motor de arranque de un

autom6vil. EI eje (1) se soporta mediante cojinetes alojados

normal mente en las tapas de la carcasa del motor (que han

sido retiradas). L a corriente procedente de la bateria entra en

e l motor mediante un cable suieto al borne (2) situado en la

parte Iatera I del motor. E.1borneesta aislado de la carcass del

motor (3) y se conecta a traves de la carcasa a la bobina de

campo por una cinta de metal (4) que pasa por debajo del eje

(la longitud extra es para permitir la di l a tac ion termicaJ. L a

cinta se bobina en la parte derecha para formar el

arrollamiento correspondiente al polo derecho del estator (5).

Luego se conecta esta cinta al conductor y a la escobilla de

metal bland (6) de la derecha. La escobilla se mantiene

prieta normalrnente contra 1'1 conmutador (7) mediante una

mordaza can un muelle (que tambien ha sldo retirado]. Lacorriente se conduce a la armadura a traves de uno de los 23

segmentos conmutadores (8). La armadura (figura 6d) tiene 23

ranuras (9 ) conteniendo c ada una de eJlas un par de

conductores, 10 que hace un total de 46 conductores (10) (uno

de los conductores de cada par estfl. proximo al eie y queda

oculto mientras que el otro queda hacia el exterior y esta

visible). E n este motor, 1'1 sistema giratorio 1'5 la arrnadura.

Estos conductores est a n interconectados en la parte trasera del

motor (11) formando dos trayectos paralelos, cada uno de

ellos con una I ngitud equivalente a la suma de 23

conductores. entre las escobillas. La corriente se conduce

desde un segmento del conmutador situado a la izquierda de

la escobilla del mismo lado (12) y a la cinta de metal

bobinada para Formar la parte izquierda del polo del estator

(13). La corrienee se lleva a la «rnasa» del autom6vil a traves

de una conexi6n resistente entre 1' 1 arrolJamiento del poloIzquierdo del estator y la carcasa del motor. Esta conexion se

encuentra en ' 1 ' 1 interior y en e l fondo del motor y no puede

verse. El trayeeto 0 camino que sigue el f1ujo magnedco

correspondiente al campo del estator va desde su parte

derecha, a traves de la armadura, hilda su parte izquierda y

se complete con la carcasa del motor.

6

I

(b)

5 11

(c)

u

1 0 (d )



Motores eMctricos 933

5

7

/

\7

6 4

Figura.7 Motor pequefio ordinario en el que se ha eortado y

retirado la mitad superior de su carcasa. EI eje (1) est':'

sopcrtado por cojinetes (2) a la derecha y a la izquierda, Laarmadura est! construida con 12, piacas delgadas (3) de un

material rnagneticamente permeable, larninadas

conjuntamente, formando rres ran uras y Ires poles salientes.

las ranuras de esra armadura son muy grandes y contienenmuchas vueltas de hilo, El conjunto de vuelras alrededor de

un polo se denomina arroUamiento. Los arrollarnientos est.an

seldades jun t os en sus extremos (4) Y Iuego est a n conecta dosit; 105 segrnentos del conrnutador {5l. La armadura esta

rodeada por imanes perrnanentes negros (6) que crean un

campo esraclonarlo que ha de reaccicnar con lascorrientes y

campos de laarmadura. Una bateria conectada a las

conexiones exteriores (7) lleva la corriente a rraves de laescobilla superior en forma de peine (6)al segmento delconmutador de la parte superior, luego a traves de los

arrollamlentos interccnectados y f inalmente de nuevo a Ia

baterla mediante el segmento conmutador de la parte inferior

(9).Observese c6mo estan separados lossegmentos del

oonmutador (10). EI hmcicnamlento de este motor puede

c o nsi de ra rse d e dos Io rmas d ist intas. 0 bien la corriente que

atraviesa los arrollamientos interacciona con 1'1campo

estadcnario originando un par. 0 bien la corriente en los

arrollamientcs alrededor de las piezas sahcntes de la

armadura forman polosque alternativamente repelen y atraen

laspiezas polares estacionarlas. Un anallsis cuidadoso

demuestra que ambosenfoques son realrnente exactamenre iguales.

G"=Blfrw sen (wt+o) (6)

en donde 61'S la longitud de la arrnadura (desde la parte

dela_nte . ra hasta la trasera) y r es el :radio del rotor. La

fem total en [ a arm ad ura sera 1 '1promed i c de Ia desa-

rrollada a traves de los dos trayectos paralelos descri-

tosanteriormente. Las ranuras estan separadas entre S I

s61045 grades, de forma que la variacion de la fem to-

ta l en la armadura wando esta gjra sera relativamente

pequefia, Por consiguiente. puede descartarse de la

ecuaci6n 6 1' 1 termino variable con e) tiernpo. sen(wt+6), y la fern total puede expresarse como-

& ; " O l o t = Kw (7 )

siendo K fa denorninada conseante del motor, en donde

se induyen los valores de 6 y de .r y 1.05 resultados de

sumac Y promediar la fern total a traves de la armadu-

ra. La validez de la ecuaci6n 7 mejora si se afiaden mas

ranuras y segmentos de conmutaci6n a Ia armadura.La Ecuaci6 n 7 es semejantea 1."= B & ' u, sustituyen-

do 6por K y v por w. La potencia cedida a la armadu-

fa es el producto de la fern por la corriente en [a arrna-

dura 1a- En 1 '1 caso de un motor rotativo, la carga es

un par T aplicado al eje y que se opone al sentido de la

rotaci6n. L a . potencia mecanica proporcionada a la car-

ga es 1'1producto del par por la velocidad angular. En

eJ equilibrio, el pa.r motor de este dispositive es lgual

al par de la carga. As! pues,

p= r f J ,="TW (8 )

5ustituyendo ahora la fern por su valor BKw tornado de

la ecuaci6n 7, se tiene

P=BK1 .w=rw (9)

Aplicando la misrna logica utilizacla para desarro-

liar el modelo del motor lineal, podernos representar la

armadura por una simple Fuente de tension 0 voltaje

can. una reslstencia exterior R •. Las conexiones del

arrollamiento de campo de [a bobina indicadaen la

parte inferior de la Figura 4 pueden conectarse en serie

oen paralelo (shunt) con 1aarmaclura. Estes des meto-

dos de conexi6n dan origen a motores can caracteristi-

cas muy diferentes.

Conexi6n en paralelo 0 shunt

En la Figura 8 se indica el circuito correspondiente a la

conexi6n de campo en paralelo 0 shunt. 51' incluye una

resistencia variable, denominada reostato, para con-

trolarel campo y, por conslguiente. controlar la veloci-

dad del motor. Aplicando [a regla de las mall as de

Kirchhoff aeste circuito se tiene

V- IaR . -BKw=O (10)

que puede reorclenarse para expresar 1avelocidad de ro-

taci6n wen funci6n de Ja corriente en [a armadura J . :

R V",=--"-1+--. BK ' BK

(11)

I,

+v

R,

Resistenciade la arrnadura

Armadura€=BK«I

(arrollarn ientos

de campos)

Hgura 6 Circuito correspondiente a un motor shunt de cc tipico.

Contfmia




Si sustituimos la corriente per 7/ B K segun la ecuaci6n

9, la velocidad de rotad6n resulta ser

w=-~r+~(BK)l BK

{I2l

La ecuaci6n 12 es una ecuaci6n lineal que relaciona la

velocldad de rotaci6n con la carga. Es analoga a la ca-

racteristica de funcionamiento del motor lineal. Puede

controlarse la velocidad variando la tension V, 0, 1 0

que es mas corriente, variando la corriente en la bobina

con el reostato.

Cuando la corriente en la armadura es elevada, su

nuclec se satura, la caida de tensi6n debida a la indue-

rancia de la armadura empieza a ser significativa y la

relacion entre el par y la veJocidad deja de ser lineal.

Sin embargo. cuando las cargas son normales, la ecua-

ci n 12 describe exactamente el funcionarnienro delmotor. La figura 9 muestra c6mo afecta la saturacion

de la armadura a la caracteristica de funcionamient

Conexi6n en serie

En el circuito del motor de la figura 10, la bob ina se co-

necta en serie con la arrnadura, de forma que la intensi-

dad del campo es fund6n de la propia corriente de la

-R V(d=-~01+-

(B K)z B K

Region Ii neal

/Erecl" d e I..

turacioo

de la armadura

Cen radar Motor

a

Figura 9 Representation grafica del par en fun ion de lavelocidad de rotadon en donde se ve la influencia de lasaturacien de la armadura sabre la caracteristica de

hincionarniento del motor shunt de cc tipico.

Resistencia

Bobina totaltarrollarnlentos

de campo) Armadura

E .. B Kw

Figura 10 Circuito correspondiente a un motor serie de cc

tlpico.

armadura. S i esta es pequefia y 1 '1 campo no se satura,

puede expresarse el producto de la intensidad del cam-

po par la constante del motor K como una fund6n li-

neal de la corriente de la arrnadura:

BK=CI

en donde C es una cierta constance. Sustituyendoeste

valor de B K en las expresiones correspondientes a la

fem de la arrnadura, a la potencia y al par, nos dan

6'=Clw P=CJZw y 7=CP

La regla de las mallas de Kirchhoff da entonces

V-1R-Clw=0

en donde R representa la resistencia total de la bobina

y la armadura e J represents 1a {mica corriente que c:ir-

cula por e J circuito. Asi se tiene 1a siguiente ecuaci6n

de la velocidad en funcien de la corriente.

V Rw=~---

CI C

Sustituyendo I por .JrIC, obtenemos la ecuaci6n que

nos da la velocidad en funci6n del par, que es la carac-

teri tica de funcionamiento del motor serie:

V Rw=-----

(C r )1 /2 C

En la Figura 11 puede verse la caracteristica de funcio-

namiento del motor serie. Comparandolo con el del

motor shunt se revelan notables diferencias. A pares

pequefios, 1"1motor serie gira muy de prisa, casi sin li -

mite (la unica carga es el rozamiento de los cojinetes y

del aire que rodea al rotor) mientras que 1'1motor shunt

se regula para girar a una velocidad proxima a VI BK.

Con pares elevados, la velocidad del motor shunt va

di minuyendo hasta que el motor se detiene, mientras

que eJ motor serie proporciona su mayor par cuando

esta parade. Por consiguiente, si se necesita poner en

marcha un motor de automovil la mejor elecci6n es el



Motoreselectrlcos 935

w

w=

Esta linea 1 1 t r~~o

lleno designa la region

Ie lundonamien!o

del motor serie

//

Figura 11 Representation grafica del par en Iuncicn de la

velocidad de rotacicn en donde se ve 1 0 1 caractsrtstlca defuncion3.miento del motor ser ie de cc tipico.

motor serie, que proporciona el alto par requerido para

el arranque cuando w=Q, Par otra parte, para hacer

Iuncionar una carga que deba ser muy sensible a la ve-

locidad debe escagerse un motor shunt, como los que

accicnan los casettes.Los motores lineal, shunt y serie estudiados hasta

aqui, funcionan todos ellos can corriente continua,

mientras que las comparilas suminlstradoras de energia

electrica 10 hacen en forma de corriente a l.terna , Can

s610 modificaciones de menor importancia, se aplican

los principios de construction y funcionamiento de los

motores de cc y tambien a los motores de ca.

EI par de un motor serie es proporcional a J 2 y,

par ello, es independiente del sentido de la corriente.

Esto se debe a que es la rnisma corriente la que circuli!

para crear el campo estacionario y por la armadura ro-

tatoria, Con esra simple consideracicn, podria llegarse

a la conclusion de que cualquier motor serie puede fun-

cionar can corriente alterna. Sin embargo, una de las

hip6tesis que hicimos para simplificarel analisis del

motor de cc es que podia despreciarse [a lnductancla,

pero esto no es asi cuando se acciona un motor con

una Fuente de ca. La inductancia produce dos efectos.

(1) acroa como un estrangulamieneo lirnitando la canri-

dad de corriente de ca para una tension de entrada de-

terminada y (2) varia las relaciones de [ase entre la ten-

sion y 1a corriente.Un motor shunt de cc normal mente tiene unos arro-

lIamientos de campo can una resistencia elevada y una

armadura con una inductancia alta, AI aplicar una co-

rriente alterna a este tipo de motor se crearia una dife-

rencia de fase entre las corrientes del campo y de la ar-

madura que darla origen a un funcionamiento total-

mente insatisfactorio.Un motor serie, como 1 " 1 de arranque del motor de

un cache de la Figura 6, tiene un circuito magnetico

muy compacta can tolerancias rnuy pequenas con obie-

to de poder desarroUar un par muy elevado can peque-

nas dimensiones. Este sistema liene una inductancia

muy alta, 10 que Jimita la corriente de ca que utiliza 1 " 1

mota r, Un rna tor serie disefiado para funcionar can co-

rriente alterna debe tener una inductancia relativamen-

te pequefia, que seconsigue lirnitando la cantidad de

hierro utllizado en las piezas polares de Ia arrnadura.

Este tipo de motor se denomina motor universal.. Par

su propia naturaleza results de poco peso y su empleoseve Iimitado a sistemas que deban acciorrar cargas Ii-

geras como las aspiradoras, las batidoras, los secadoresde cabellos y las rnaquinas de coser, Sus caracterlsticas

de fundonamiento son semejantes a las del motor de cc

serie indicado en la figura 11. Examinando esta figura,

Lpodria explicarse par que el motor de una aspiradora

se aceiera cuando se bloquea e l sistema de succion] (In-

dlcacion: La carga que debe mover el motor de la aspi-

radora es e! aire que la atraviesa. Si el Flujo disminuye,

la carga tarnbien 5 1 " reduce.)

EI motor de ca mas cornun es el motor de i r rducc ion,

Este motor tiene un sistema rotatorio como elindicado

en la figura 4, pero a.diferencia del motor de cc, el can-

rnutador y los hilos de interconexi6n se sustituyen par

dos placas conductoras, que conectan todos Ios con-

ductores contenidos en 1a ranura, una de e!Jas montadaen la parte delantera y la otra en la trasera, Este tipo

de montaje sirnplifica mucho la construcci6n del rotor.

EI problema aparece al pretender conseguir que girl" un

motor en cortocircuho. La solucion consiste en hacer

queeJ campo creado por 1 " 1 estator aparezca en rota-

ci6n. Si el campo gira existi!a una velocidad relativa

entre el rotor y 1" 1campo delestator. Asi se desarrolla

una fern a traves del rotor cortocircuitado. obligando

a circular corriente por los conductores de las ranuras,

EI campo rotativo del estator produce un par sobre la

corriente inducida en el rotor, Recuerdese que el motor

linea! tendia a moverse hasta alcanzar la velocidad pre-

cisa para generar una fern que exactamente compensase

la tension dela fuente de alimentation. EI motor de in-

duction responde del mismo modo, perc la tension de

Ia Iuente al rotor es cero. Para mantener la fem proxi-

ma a cero. el rotor se mueve de forma que reduzca todo

1 0 posible e l movimiento relativoentre · e J mismo y el

campo, A5! pues, 1 " 1 rotor gira casi a la misrna veloci-

dad que la de rotacion del campo del estator.

Existen rnuchos esquemas para crear la rotati6n

aparente de un campo, La que se indica en la figura 12

se conoce como el polo conjormado. EI motor es identi-

co a l de la figura 4 con Ia excepci6n de que 1 " 1 rotor esta

cortocircuitado en sus dos caras 0 extremes rnientras

Con!':""a



936 Capitulo 28 Circuiros de corriente alterna

Placa que

c ort oc trc ul ta

los conduct 0res

en las ranuras

pequefia

Pleza polar

Conducrores

en las f a nu ras

Piela polar

grande Campo Initial

entre las piezas

polares _grandes

Direccien de

Campo retrasado que

cornbina el de las plezas

polares grandes y pequenas

Figura 12 Motor de inducccion con poles conformados,

que las piezas polares del estator poseen unos cortes,

enrollandose una banda conductora alrededor de las

partes mas pequefias que aparecen en los polos asi cor-

tados. Esta construcci6n permite que se establezca rapi-

damente el campo magnetico entre las caras de las

gran des piezas polares mientras que se retrasa entre lascaras pequefias debido a las inductanc:ias de las bandas

conductoras. EI retraso de fase entre el campo que apa-

rece entre las grandes caras polares y el campo existente

entre las caras polares pequefias, erea las caracteristicas

de un campo rotatorio.

En la Figura 13se muestra la caracteristica de funcio-

nantiento de un motor de inducci6n tipico. EI hinciona-

miento normal corresponde a una velocidad proxima a

la velocidad de rotac:i6n del campo. Si el motor de la f igu-ra 12 estuvieseconectado a una Fuente de 60 Hz, la velo-

cidad de rotaci6n seria ligeramente inferior a las 60 rev/so

Un rotor can conductores que envuelven un nucleo

metallco y magneticamente permeable reune las carac-

teristicas de una inductancia y una resistencia. E l efecto

de la inductancia dentro del rotor es proporcional a Ia

&ecuencia de Jas corrientes del rotor, que a su vez son

proporcionales a la difere.ncia que existe entre la rota-

d6n del campo y la del rotor. Se presenta el par maxi-

mo indicado sabre la curva de caracterlstica de funcio-

namiento alii donde la diferencia entre la velocidad del

rotor y la velocidad de rotaci6n del campo sea 1 0 sufi-

cientemente grande como para que los efectos de la in-

ductancia del rotor hagan retrasar de modo significatl-

vo las corrientes del rotor. Las corrientes retrasadas del

rotor no pueden interacdonar con el campo del estator

y as! el motor deja de girar si se aumenta la carga,

w

Velocidad de rOlarion

~J campo

Carga tipica

Carilc!er;stica

de lunclonamicnt \

L a lnd uc ta nc la d om inala caracteristica

de l rotor y el motor

alcanza su par

maximo,

OL_ ~ __

Figura 13 Represeruacien grafica de) par en [uncion de la

velocldad donde se rnuestra la caracteristica defuncionamiento de un motor de inducci6n tlpico. L 3 . linea decarga indlcsda es tiplca de una bomba centrlhiga.

Se utilizan los motores con polos conformados en

aparatos con cargas ligeras como los ventiladores de re-

frigeraci6n que se montan en los equipos elktricos.

Existen sistemas mas complejos para crear la rotaci6n

del campo que se emplean en los motores de inducci6n

para congeladores y acondicionadores de aire. Losgrandes motores de inducci6n emplean electricidad tri-

Fasica para hacer girar e l campo, Los principios y ca-

racteristicas fundamentales de funcionamiento son los

mismos para todos los rnotores de inducci6n con inde-

pendencia de su tamaiio 0 del metoda que se utilice

para crear la rotaci6n del campo.

Sin que tenga importancia que utilicen corriente

continua 0 alterna, todos los motores electricos se ba-

san en los principios fundarnentales estudiados en los

capitulos 26 a 28 de este texto. En la actualidad existe

una extraordinaria oportunidad para que los tecnicos

sepan combinar creativamente estos principles Iunda-

mentales con los avances experimentados en campos

afines, como la superconductividad, y empiecen a pro-

yectar los motores que cumplan los requisites y necesi-

dades que se van a necesltar en el siglo XXI. Algunos de

los problemas a resolver seran el desarrollo y mejora de

los coches electricos, de los trenes y de los satelites arti-

ficiales, entre otros muchos que i r a n surgiendo.

Existen muchos libros de texto excelentes en inge-

nieria electrica dedieados al tema de las maquinas 0

motores. Dos de mis favoritos son Electric Machines

and Power Systems par Vincent Deltoro (Prentice Hall,

Englewood Cliffs, New Jersey, 1985) y Electromechani-

cal Motion Devices por Paul Krause y Oleg Wasynczuk

(McGraw-Hili, New York, 1989).



Probl~mas937

Sugerencias bibliograflcas

Collman. John W.: «The Translorrner». Scien /ific Amer/can,

enero 1988,. pag. 86.

Este articulo describe fa cOIl/roversia que nroo lugar en el si-

glo XIX entre 105 pllrtidarios de la corriente allema y los de la

corriente continua y como 1"1 transiormador tlyud6 a resolver

e.1problema, Tambiense analizanalgunos de 105aVIl17CeSmli5

recientes en la tecnologia de 105 transjormadores.

Revision

A. Objetivos: Una vez estudiado este capitulo, deben poseer-

se los siguientes conocimlentos:

I.Poder definir la corriente ef icaz y re lac ionar la can la

corriente maxima en un circuito de ca.

2. Poder definir la reactancia capaciriva. la reactancia in-

ductiva y la impedancia.

3. Poder dar las Telaclones de fase entre la corriente y la

tension aplicada a una res l stencia , a una bobina y a un

condensador ,

4. Dibujar un diagrama de fa sores para un cireuito LC Rser'e y a partir de e! relacionar el angulo de fase 0 con la

reactancia capaciriva, la reactancia inducriva yla resls-

tencia.

5. Pcder definir 1'1factor Q y estudiar 5U significado.

6. Poder establecer la condici6n de resonancia en un cir-

cuiro LC R serie con un generador y representar grafica-

mente 1 8 0 potencia en Iuncion de la lrecuenc!a tanto. para

uncircuiro con Q ba]o como can Q alto,

7. S eT capaz de describir un transformader elevador areductor.

B . D ef in i r, explic ar 0. s tm ple me nt e i de nt if ic ar:

Valores eficaces (ef)

Reactancia inductive

Reactancia capacitiva

Fasores

Reactancia total

lmpedancia

Frecuencia de resonancia

Resonanc ia

Factor de pctencia

Curvas de resonancia

Anchura de resonanc la

Factor QPiltro pasa baja

Transformador

Prirnario

Secundario

Corriente magnetizante

Transformador elevador

Transformador reductorResistencia de carga

Rac t i f i c a c i on

Diode

Emisi6n termcionica

Corriente de placa

Rizado

Triodo

R e r illaAmpl i f i c ado r

C. Verdadero 0. falso: 5i la afirmaci6n es verdadera, explicar

por que lo es. Si es Falsa dar un contraejempJo, es decir,

uneiernplo que contradiga la afirmacion.

1.. La corriente alterna en una resistencia no disipa ningu-

na potencia porque la corriente es negativa y positiva con13 misma Frecuencia.

2. A Frecuencias muy aitas, un condensador acnia come

un cortccircuito.

J. Un circuito LC R con un facter Q elevado tiene una

curva de resonancia esrrecha,

4. Enla resonancia, la tmpedancia de un circairo LC R es

igual a Ja resistencia R.

5. En Ja resonancia, la corriente y la tension del genera-

dor estan en fase.

6. S i un rransforrnador aurnenta la corriente, debe disrni-

nulrel voltaje.

Problemas

Nivell

2.8-1 Corriente alterna en una resistencia

1. Una bombilla de 100 W se conecta a un enchufe de

120 V eficaces. Calcular (a) 1. 1 (b) 1m•• , Y (C l la p o te nc ia ma-

xima.

2. Una res is tenc ia de 3 n se coloca en serie con un generador

de 12,0 V (maximo) de 60 H z d e Frecuencia. (a l L Cua] es lafrecuencia angular de la corrienre? (h ) Hallar lm"' I' 1,1 ' LCuit!

es (c) la potencia maxima debida a la resistencia, (d ) la poten-

cia minima y (e) la potencia media?

J. Un secador electrico de una lavanderia de 5,0 kW eficares

se conecta a 240 V eficaces, Calcular (n ) 1. 1 y (b) lmh. (e)Calcular las rnismas magnitudes para una. secadora de la mis-

rn a potencia que Funcionara a 120 V eficaces.

4. Un interruptor de un circuito debe salrar 3 15 A eficaces

con una tension de 120 V eficaces. ( 1 1 ) LeUa ! esel mayor valor

de lm~xque pcdra soportar el interruptor7 (b ) LOm? potenciamedia podra surninistrar 1 '1 circuito en cuesti6n1




28-2 Corriente alterna en bobinas y condensadores

5. LCual es la reactancia de una bob ina de 1,0 mH a (tI)

60 Hz, (bl 600 Hz y reI 6 kHz?

6. Una bobina tiene una reactancia de 100 0 a 80 Hz (tI)

LCw]1es su inductancia] (c) LCual es su reactancia a 160 Hz?

7. LA que freeu ncia sera la reaclancia de un condensador d

10,0 /IF igual a la de una bobina de 1,0 mH?

8. Hacer un grafico que rnuestre X l en funci6n de f para

L= 3 mH .

9. ,Cual es la reactancia de un conden ador d 1,0 nF a (n )

60 Hz, (b ) 6 kHz, y (c l 6MHzl

10. Hallar la reactaricia de un cendensador de LO.O -I.Fa (n )

60 Hz, (b ) 6 kl-lz, y k) 6 MHz.

11. Hacer un esquema grafico de Xc en Funci6n de la ire-

cuencia f para C= 100 I4F.

12. Una Fernde 10,0 V de valor maximo y una Frecuencia de

20 Hz e aplica a un eondensador de 20 JLF. Calcular (a) 1 m."y ( h I 1.1 ,

13. LA que frecuencia es la reactancia de un condensador de

10 IIF (alI fl, (bJ 100 fl y (c) 0,01 07

28-3 Fas 0re s

14. Dibujar el diagrama de fasores resultanre para un c::ircui-

to LCR serie cuando Vt<Vc. Demostrar con dicho diagra-

rna que la fern retrasara respecto a la corriente en un angulo

de fase li dado par

VC-VLtg li- --'=----"----

VR

28-4 Circuito l.C y LCR sin generador

15. Demostrar artisndo de las definiciones del henrio Y el

faradio que 1 /" LC tiene unidades de s I.

16. LCual es el pericdc de oscilacicn de un circuito LC com-

puesto por una bobina de 2 mH y un condensador de 2 0 jJ .F7

1 7. LQ 1.U f! inductancia se neces.ita junto a un condensador de

80 ! I F para construir un circuito LC que oscile con una Fre-

cuencia de 60 H z?

18. Un circuito LC tiene una capacidad C1 y una bobina de

inductancia Lj• Un segundo circuito tiene C2=}CI Y L 2=2L l,

Y un tercer circuito tiene C3=2C1 y L3= ~LI' (ol Dernostrar

que los tres circuitos oscilan con la misma frecuencia. (L.I1.En

que circuito sera m a s elevada la corrientc maxima si la capa-

cidad correspondiente se carga siempre al rnisrno potencial V ?

19. 51.'carga a 30 V un condensador de 5 /.IF Yluego se conec-

ta a una. bobina de 10 mH _ (0 I LCuanta energia se aIrnacena

en el circuito i(b ) 1 .Cual es la frecuenda de osci lacion del cir-

cuil07 (c) Leual es la corriente maxima en el circuito1

28-5 Circuito LCn con un generador

20. Un circuito serie LCR con L=10mH, C=2/.1F y R=snesta

conectado a un generador de 100 V de fem maxima y on una

reeuencia angular variable w. Hallar (a ) la Frecuencia de re-

sonancia "'0 y (hi el valor de le i en la resonancia. Cuando ",=

8000 radl , h..'1l1arc) Xc y XL ' (d ) Z e 'd y (e l el angulo d fase 0.

21. En el circuito del problema 20, supongamos que la fre-

cuencia del generador es f = ",/211 =1 kHz. HilUar ( . 0 1 ) la

Frecuencia de resonancia 1 0 = " ' o /21C , (bl Xc y XL ' (e) la impe-danda total Z e Id y (dl 1"1angulo de fase o .

22. Un circui to LCR serie de un receptor de radio se sintoniza

mediante un condensador variable de modo que pueda reso-

nar a frecuencias comprendidas entre 500 y 1600 kHz. Si

L=,0 ILH, hallar el intervale de valores de la capacidad ne -

cesarios para cubrir el margen de frecuencias sefialado.

23. Las estaclones de radio de FM tienen Irecuencias de on-

das portadoras qu se encuentran separadas por 0,20 MHz.

uando la radio se sinroniza a una estaci6n, tal como

100, LMHz. la anchura de resonancia d I circuito receptor de-

bera ser mucho rnenor que 0,2 MHz de forma que no se reci-

ban las estaciones adyacentes, Si /0=100,1 MHz y t:.f=

0,05 MHz. LClla1es 1.'1factor Q de este circuito7

24. It'll HaJlar el factor de potencia del circuito de ejernplo 28~

5 cuando w=400 rad!s. fb) LA que frecuencla angular vale

dicho factor 0.51

25. Hallar (I I I 1"1actor Q y (bl la anchura de resonancia co-

rrespondiente al circuito del problema 20 . (c) L Cual es el Iac-

lor de pot ncia cuando ",=8000 rad/s?

26. Un generador de ca con una fem maxima de 20 V se co-

necta en serie con un condensador de 2 0 jJ.F y una resistencia

de 80 n. hay ninguna iriductancia en el circuito. Hallar (a)

el factor de potencia, (b ) la corriente eficaz y (e) la potencia

media si la Irecuencia angular del generador es 400 rad/s,

27. Una boblna puede considerarse como una resistencia y

unainductancia en serie. Suponer que R= 100 i? y L =0,4 H.

La bobina se coriecta a una linea de UO V eficaces y 60 Hz.

Hallar el factor de potencia, (b ) 13 corriente eficaz y (e ) la po-

rencia media surninistrada.

28. Encontrar eJ factor de potencia y el angulo de Ease li para

el circuito del problema 20 cuando 13 frecuencia del genera-

dor es (a) 900 Hz, (b ) ] ,1 kHz. y (el 1.3 kHz.

28-6 T ransforrnadores

29. Un transforrnador tiene 400 vueltas en el primario y 8 en el

secundarie. ( t I ) ~E s un lransfarmador elevador 0 reducror? (hi

Si 5e coriecta el prima rio a una tension de 120 V eficaces, ,cuM

es la tension en circuito abierto que aparece en el secundario l

(c) Si la corriente del prima rio es 0,1A, Lcual es la corriente

del ecundario adrnitiendo que existe una corriente irnantado-

ra despreciable y que no hay ninguna perdida de potencial

30. EJprimario de un transformador reductor tiene 250 vuel-

ta y e ta conectado a 120 V eficaces. EJ ecundario sum in is-

Ira 20 A a 9 V. Calcular {al Iii corrlente en el prima rio y (bl

el nurnero de vueltas que posee el secundario. suponiendo un

rendimiento del 100 por ciento.

31. Un rranslormador tiene un primario de 500 vueitas, que

est.1iconectado a 120 V eficaces. Su bobina secundaria posee

tres conexiones diferentes para dar tres salldas de 2,5; 7,5 y

9 V. LCuantas vuelras son necesarias para cada una de las

partes de la bobina secundaria?

32. E J circuito de distribucion de una linea de potencia para

una urbanizacion residencial unciona a 2000 V eflcaces, Esta

ten ion debe reducirse a 24 0 V para su mpleo en las vivien-

das. Si el arrollamiento secundario del transformador liene

400 vueltas, Lcuantas vueltas poseen\ el primario1

28-7 Rectificaci6n y ampliJicad6n

33. La corrienle maxima d , e salida de un circuito rectificador

de media onda es 3.5 A. (n l Hallar la corrien!e eficaz. (h ) Ha-

liar la corriente eFkaz si el circuito es rectiFicador de onda

complela con la mism<l corriente maxima.



34. Dibujar un gralico de la corriente en Funcion del tiernpo

5i se i nc lu ye un W tro pasa baja como el de la Iigura 28-30~

antes d e la resistenc ia de carga de la Figura 28-27.

NiveJ 1 1

35. En la Figura 28-33 se indica la tensio n V en funci6n del

t iempo /. correspondlen te a una «onda cuadrada». 5i V o =

12 V , (a ) Lcual es la tension eflcaz de e st a o n d a' l (b ) S i se r ec ti -

fica esta onda alternativa de mcdoquesclo permanezcan las

tensiones positives. Lcual sera ahcra la tens ion eficaz de la

onda recti ficada ?

Figura 28·)3 Problema JS.

\I

I'll

36 . Una cerrlente pulsan te tiene un valor cons tanre de IS A

durante lo s prirneros 0.1 s de cada segundo y luego 0 durante

los 0.9 s d e cada segundo. (a ) LCua l es el valor eficaz de esta

onda1(b) Cada pulse d e corriente se genera mediante un pul-

so de 100 V.. L eual es la potencia media que prcporciona 1'1

generador de pulses?

37. Se aplica una renslen de 100 V eficaces a un circuito RC

serie. La tension en placas del condensador es 80 V, L c u a l esla tensioneficaz aplic ad a a la rc sisrenc ia?

3 8. D e rn ost ra r que 10'1f6rmula Pm= /;IR1Z2 da el resultado

correcto para un circuito que ccntenga un generador y s610

(a) una resistencia, (b ) un condensador y (e) una bobina.

39. Hacer una grafica de la irnpedancia Z en funci6n de w

para (a ) un circuito L R serie, (b ) un circulto RC serie y (rJ un

circuito LC R serie,

40. La.carga sobre elcendensador de un circu ito serie LC viene

dada por Q =(15! -1C\ cos (1250t+"If 1 4) estando I en segundos.

(a) Haller la ccrriente en funci6n del tiernpo. (b ) Hallar C si

L=28 mH o (c) Escribir las expresiones correspondientes a la

energ ia e le c t ri c a U., la energia rnagnetic a Um Y la energia to tal U,

41. Se conect an en serie a u na t en si on de ca. de 60 Hz un a re-

sistencia R y una bobina de 1,\1 H. La tension en la resistencia

es 30 V Y en la bobina 40 V. (a ) !.Cuanto vale la resistencia

Rl (b) L(ua.! es la tension de entrada de la ca7

42. Por una resisrencia R circula una cerriente 1=

(5.0 A) sen 1 2 0 1 1 " 1 + (7.0 A) sen 240,,/. (a) L Cuales la corriente

{'ficaz? (b ) 51 la resistencia R e s de 12 n . Lque potencia 51' disi-

pa en la resistencia] (c) LCua l es la tension elicaz que aparece

en la resistencla 1

43. Una bobina tiene una resisrencia encc de 80 n y una irn-

pedancia de 200 Oa una frecuencia de 1 .kHz. Se puede des-

preciar la capacidad del arrellarruento de la bobina aesta Fre-

cuencia. LCua l es la inductancia de 1<1bobina?

44. Dos Fuentes de tension de ca se conectan en serie conu na r es is te nc i a R =25 Q. Unafuente viene dada po r V I =

Problemas 939

(5,0 V) cos (wt-o:) Y la otra par V2=(S,0 V) cos (wt+o:),

siendo o:=w/6. (a ) Hallar la corriente que pasa por R util i-

zando la iden t idad trigonornetrica correspondiente a. Ia surna

de dos cosenos, (b ) Utillzer diagrarnas de fasores para hallar

lacorriente en R . k) Hallar la ccrriente en R si 0=,1 4 Y la

amplitud d e Vz se aumenta de 5,0 V a 7,0 V.

45. Dado el circuito de la Figura 28-34, (a) hallar la perdida

de potencia en la bobina. (b ) Hallar 101esisrencia r de la bcbi-

na , (C l H allar la in du cta nc ia L.

Figura 28-34 Problema 45.

110 V ......60Hz

46. Una bobina de resis!encja R, inductancia L y capacidad

despreciable tiene un factor de potencia de 0,666 a una fre-

cuencia de 60 Hz. LCuales el factor de potencia para una fre-

cuencia de 240 Hz?

47. Por una bobina circula IS A cuando se conecta a una

linea de 220 V de ca y 60 Hz. Cuando se pone en serie con

una resistencia d e 4 n y se conecta la ccrnbinacicn a una bate-ria de 100 V. se observe que la corriente que proporciona la

bateria al cabo de un tiempo largo es de 10 A. ta) LCua l es

la reslsrencia dela bobina] (b ) ,CuM es la inductancia de la

rnisma?

4B . 51 ' ccnecta un a bo b ina a un generador de c a de 100 V Y

60 Hz. A esta frecuenda la bobina tiene una impedancia de

10 !1 y una reactancla de 8 n, (a ) LCua l es la corrienreen la

bobina? (b ) L(ual rs el angulo de f.aseentre la corriente y el

voltaje aplicado? (e ) LQue capacidaden serie se requiere para

que esten en Fase Ia corr ien te y e l v o l ta je l (el) Cual sera enton-

ces el voltaje medido enel condensador l

49. 51' conecta en serie can un generador de ca de 60 Hz una

bobina de 0,25 H y un ccndensador C. Se utiliza un voltlme-

tro de ca para rnedir la lensi6n eflcaz que aparece per separa-do en la bobina y en 1'[condensador. La tensi6n eficaz que

aparece en el condensador es 75 V y en la bobina S O V. (a)

Hallar la capacidad C y la corriente eficaz en el circuito , (b )

tCu61 sera. la rnedida de la tensioneficaz medida en 1'1conjun-

to condensador- bobinat

50. Dernostrar que la ecuad6n 28-49 puede escribirse como

..jL2{w~_w~)1.+ (oJ1Rl

5]. (al Demostrar que la ecuacicn 26-48 puede escribirse

como

Ig li=L(w~-wa)lwR

Haller 8 aproximadarnente para. (b) f recuencias muy bajas y(c) frecuencias muy altas.



940 Capitulo 28 Circuitos de corriente .. llerna

52. (al Derncstrar que en un circuito RC serie sin inductan-

cia, 1 '1 factor de potencia viene dado par

cos 0 = - - - , = R = · = C = w . , , - - - - c : -l + ( R C w j ~

(b ) Hacer un grMico que muesrre 1'1factor de potencia enIun-don dew.

53. En 1'1 circuito de la Figura 28-35.el generador de ca

produce una tensi6n eficaz de 115 V cuando funciona a

60 H z, LCuaJes la tension ef icaz entre los puntas (a) AB. (bl

B e . (el CD, (ri) fie v (f!) B D 7

Figura 2S-3S Prnb)l"m.l 53.

54. Un generador de (a y rrecuencia variable se conecta a un

circuito LC R serie can R=l krl, L=50 mH y C= 2,5 J lF. (a)

~Cuaj es I a frecue.ncia. de resonancia del circuito7 (II) tCual es

1'1.valor Q7 (c) LA que F re cu en cia s 1 '1valor d e la potencia me-

dia suministrada por 1'1generador es la rnitad de su valor m a -ximo?

S5. Un circui to LeR serie se conecta a una Iuen te de 500 H z.

EIangulo de tase entre Iii tension aplicada y la corriente se de-

termina que vale 5=75° mediante medida heeha con un osci-

loscopio. Si 51' sabe que la resistencia totales 35 Q Y la indue-

tanrja vale 0,15 H, Lcuiil es la capacidad del circuital

56. Un circuito LCR sent' con R=400 [I, L=0,35 H y C=

5 IIF 51' conecta a un generador de frecuencia f variable .. (a)

I.euii l es la frecuencia de resonanc ia fo ? Hal lar f y f i f o ruan-

d a 1 " 1a ng ul o de Fase 51'S (b ) 600 y (r) -600•

57. Un Hsico experimental desea disefiar un clrcuito LC R

serie con un valor Q de 10 y una frecuencia de resonancia de

33 kl-lz. Posee una bobina de 45 m H y resistencia desprecia-

ble. LQue valores podra utilizar para la resisrencia R y la

capacidad C1

58. La tension del generador de la Iigura 28-36 viene dada

par v-rroo V) cos w I (il) En cada rama. tcual es la arnplitud

de la corrienta y su fase respectoa la tension aplicada i (b )

I .Cual es la lrecuenciaangu la r wa que se anula corriente del

generador? (c) A esta resonancia. ,cual es la corrienre en labcbina? I.eual es la corrienteen elcondensador? (d) Dibuiar

un diagrama de Iasores que muestre las relaciones generales

entre la tension aplicada, la corriente del generador, la co-

rriente del condensador y la corrienteen la bobina para 1'1

casoen que la reactancia tnductiva es mayor que la reactan-

cia capaciriva.


59. E I cirruiro indicado en Ii i Figura 28-37 se denominafiltropasa alta, po rque las frecuenc las d e en trad a elevad as se trans-

rniten con una amp.litud mayor que las frecuencias bajas .. (a)

5i la tension de entrada es Vo n= o cos wI, demostrar que Ia

tension de salida vale

V . . . ,I. J ( l I w R C ) l + 1

(b ) A que Irecuencia angular la tension de salida es la mitad

que la de entrada? (c) Dibujar un grafico de V,o t /Vo en fun-

don de w.

Figura 28-37 I'r"bl r- rna 59.

c

--1TVII r~ ,'~

60. Un circuito se (ompone de dos condensadores, una bate-

rla de 24 V y una tension de caconecrados como se indica en

la ligura 28-38. La tension de ca vlene dada por (20 V) cos

12011"/ (ten segundos) . (a) H allar la c arga en cadi! c onden se -

dor en Funcion del riernpo. Suponer que ha transcurrido un

tiempo suficiente como para que los efecros rransirorios ha-

yan desaparecidc practicarnente. (bl LCuales la ccrriente es-

tacionaria1 k) Leual es la maxima energla alrnacenada en los

condensadores? (d) !.Cual es la en ergia rnin irna almacenada

en los condensadores?

61. Una linea de transmisi6n simple transpcrta dos senales

de tension dadas por VI =(10 VJ cos 1001 y V1"" (10 V) cos

]0 000/, estando !en segundos. Se induyen en la l inea una

bobina en serie de 1 H y una. resistencla en paralelo de 1 krl,

como se indica en la Figura 28-39. (a) tCu;i1 es la sefial de ten-

sion observada en e1.terminal de sal ida de la linea de transml-

sian? (b) LCual es el cocienre entre la amp1itud de baja fre~

cuencia y la arnplitud de alta frecuencia1

Figura 28-39 Problema b I .

1 tt

V"

62. Una bobina con resistencia e inducrancia se conectan a

una linea de 60 Hz: y 12 0 V eficaces. La potericia media surni-

nistrada a la bobinaes 60 W y la corriente eficaz es 1.5 A.Hallar (a ) el factor de potencia, (b ) la resistencia de la bobina



y (c ) I i i l nduc t a nc i a de Ii i bobina. (d) lAdelanla 0 retrasa la

corriente a Ii i tensi6n? LCu<il es el .insula de fase & 1

63. En un circuito LC R serie Xc=1611 YX,.=4 na Ja misma

frecuenda. La frecuencia de resonancia es wo = ]04 rad/s. (a )

Hallar l. y C, 5i R= 5 [1 y Em.,=26 V, hallar (b) el factor Qy (cJ Ia corriente maxima.

64. En un circuito LC R serie conectado a un generador de C(I

cuya fuerza electrornotriz maxima es 200 V, la resistencia es

600 y Ia capacidad 8,0 I iF. La autoinducci6n puede variarse

desde 8,0 hasta 40,0 mH mediante la inserricn de un nu-

dec de hierro dentro del so!enoide. La frecuencia angular eli

2500 rad/s, 5i la tensi6n del condensador no ha de superar

los 150V , h alla r ( I l ) l a c o rn en te maxima y (b ) 1' 1margen de

L que puede utilizarse con seguridad,

65. Cuando se conecta un circuito serie L C R a una linea de

60 Hz y 120 V eficaces. la corriente es 1.1=11,0 A Y la co-

rriente adelanta a ia tensionen 450 . (a ) Hallar la potcncia su o

ministrada al circuito. (b) LCual es la resistencia? (c) 5i 1 3 in-

ductancia es L =O ,O S H , hallar Ia capacidad C. (d ) LQuecapacidad 0 inductancla habria que anadir para conseguir

que el factor de potencia hrera 1 7

Nivel itt

66. Considerernosel circuitoen paralelo indicad'o en la Figu-

ra Z8-40. ( . < l ) LCual es la impedancia de cada ramal (b ) En

cada rarna, Lcu!l es la amplitud de la corriente y su fase rel . . -

tiva a la tension aplicadat (c) Dar el diagrarna de lasores de

ccrrlente y uti Ilzarlo para hallar la corriente tota 1y su fase re-

lariva a Ia tension aplicada

Figura 28·~O I'roblema 66.

x, = 1. 0 n

67. (a) Demostrar que laecuacion 28-48 puede escribirse

Q(W'_W~)tg /)

(bl Dernostrar que cerca de la resonancia

(c) Hacer un esquema de 6 en funci6n de .r siendo :x =w I w o o

para un ctrcuito can un Q elevado y para orro con un Qba]o,

68. Demostrar por sustitucion directa que la corriente dada

por la ecuacion 28-47 con 1",., y 5 dados por las ecuaciones

28-48 y 28-49 satisface a la ecuacion 28-46. lndicacion: Utili-

zar identidades trigonometricas para el sene y coseno de la

surna de los angulos y escribir la ecuacion de la siguiente

forma

A sen wl+B cos wt=O

Puesto que esta ecuad6n debe ser valida en todo instante,A=O y 8=0.

Problemas 941

69. Un determinado dispositivo elecfrico consume 10 A efi-

caces y tiene una potencla media de no W cuando se conecta

a una linea de 120 V eficaces y 60 Hz. (a ) L Cuales la irnpe-

dancia del aparato? (b) L A que combinaci6n en.serie de resis-

tencia y reactancia es equivalente esteaparato7 (c) 5i la

corriente adelanta a I. " fern, Les inductive a capaciriva la r ea c-tancia]

70. 51'conecta en serie un generador de ca con uncondensa-

dor y una bobina en un circuito con resistencia despreciable.

(a) Dernostrer que la carga en 1'1 condensador obedece la

ecua.ci6n

d"Q QL---+-= /" cos w I

d . t 2 C max

(b) Demostrar por sustitucion directa que esta ecuacion se sa-

tisface por Q=Qm., cos wI si

/.Q

_ m..

mi~-- ' L ' ( 2 2)w -wo

(d Dernostrar que I'a corriente puede escribirse como 1=1 " , . 1 , cos (wI-OJ, en donde

y 5=-900 para w<wo y 6=90" para w>wo '

71. Un metodo para rnedir autcinducctones consiste en co-

nectar I.. bobina en serie con unacapacidad y una reslsteneia

conccidas, un amperirnetro de ca y un generador de sefiales

de frecuenda variable, La frecuencia delgenerador de sefiales

se varia y se mantiene constante la fern hasta que la corrienee

es maxima. (a ) 5i C=10 I'F, I"m.,=l0 V, R=100 n I' les ma-

xima para w=SOOO rad/s, Icuanto vale L7 (hI LCual esel va-

lor de Imb.?

72. Una resistencia y una. bobina estan en paralelo aplicadas

a una fern ,{6 c ; , . . cos wi, como rnuestra la figura 28-41.

Demostrar que (a) IR=( rm~.IR) cos wI, (bl h=( / 'm;'/X L )

cos (wi-90°) y (e) 1 = 1 R ,+ It =!m;i. cos (wi-oJ. siendo Ig b=R IX

L I' I",••="m:,,/Z con Z-2=R-2+Xl 2.

Figura 28-~] Problema 72_

7.3. Una resistencia y un condensador ' 1 ' 5 \ . 1 1 1 1 conectados en

paralelo sabre una fern sinusoidal 1"= ? ; , . • • cos wi, como se

ven en la Figura 28-42. (al Demostrar que la corrienre en la

resistencia es IR=( I 'm. ' ! RI cos iat, (b) Dernostrar que la co-

rrienre IOnia rarna del condensador 1'5 Ic= ( 1" ;" • • 1X c i cos

(wi+90Q), {cl Dernostrar que la corriente total viene dada por

1=1R,+lc=I.... cos (wl+o), en donde tg o=R1Xc e Iml. =I"m~/Z con Z-2=R-2+X C2.


c




74. E n la f i gura 28-18 51' rnuestra una represen tac i on de la po-

tencia media P m en funci6n de f del geuerador para un cir-

cui 1' 0 LC R con u n generador: La. potencia media Pm V iene

dada por la ecuacion 28-55. en donde w =2'1rf. U «anchura

iI Ia mitad de su valor maximo" b .f es la anchura de la curva

de resonancia entre los dos puntas en que P m tiene un valorque es 1 3 rnitad de su valor maximo. Dernostrar que, en el

caso de una resonancla muy aguda, A I" R 1 2 vl: =tlwl2 7r y,

par ta nto ,que Q '" W o ilw= to/ A t en este case (ecuacion

28-58) . ./naicad6n: En la resonancia, el denorninador del se-gundo miembro de la ecuacion 28-55 es w2R~ . Los puntas a

rnitad de potencia 51' presentaran cuando 1'1denorninador sea

aproxlmadamente 1 '1 doble que posee cerca de la rescnancia.

esto es. cuando LJ(u.,1-w5)~=w::'R::' ' ' ' 'w~Rl, Sean WI Y "'1 las

soluciones de esta ecuaci6n. En el case de una rescnancia

aguda. W," Wo Y w , "<Wo' Entonces. aprovechando el heche

de que", +wo:' 2 "'0 se tiene que Aw= w~-w ""R I L.

75. Uno de los ernpleos de un transformador es el de ajuste

de I<mpedam:ins. Por ejernplo. la irnpedancia de sa lid a de un

arnpliticador esrereo seajusra a la irnpedancia de un altavozmediante un transformador , En la ecu a cion 28-65 pueden

relacionarse las corrientes II I' I~con I.. impedancia del 51'-

cundario ya que ls = V z! Z. Utilizando las ecuaciones 28-63 y

28-64, demostrar que

(N1fNzl1Z

y. por conslguiente, Z.,=(N,INll!Z.

7 6. D e rn ost ra r por sustituci6n direcra que 51' sa tisf a c e la

ecuacien 28~44b par

Q=Oce-l1 t 2L cos (w'l)

en donde

",'=.InI LC)-(R 12L)!

y Qo es la carga sobre e! condensador cuando t=O.

77. (a) Calcular la corriente i=dQldla partir de la soJuci6n

de Ia ecuacion 28-44/;1 dada en 1'1 problema 76 , y d em ostrar

qu e

{=-./ (sen w ' I + _ _ _ B _ cos w't)e 1112Lo 2Lw'

en donde lo=w'Qo. (b) Dernostrar que esta expresion puede

escribirse como

/= /0_ (cos 6 sen w't+sen 0 cos w't)e- 1 ! 2L

cos 6

=__ 1_0_ sen (w't+6)e-R! 2L

cos !J

en donde tg 5=RI2Lw'. Cuando RIZL",' es pequefia, cos 5",,1

y

cap28 - Corriente Alterna

Documents

Transcript of cap28 - Corriente Alterna