Corrección Segundo Parcial, Semestre II02, Cálculo III

8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III

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Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas

Correccion Segundo Parcial de Calculo III 1, 2, 3, 4 9 de diciembre de 2002

Tabla de Respuestas

1.- Considere la familiaC de curvas en el plano cartesiano xy con la propiedad siguiente:Las distancias de los puntos (x, y) de cualquier curva C C a los puntos (1, 0) y (1, 0) tienen unarazon constante.

Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuacion general cartesiana de la familia de curvas or-

togonales aC.

Respuesta:

Como primer paso, se debe determinar la ecuacion general de C. Paratal efecto, tomemos un punto (x, y) C, donde C es una curva de C. Setiene

(x + 1)2 + y2

(x 1)2 + y2= c,

donde c es una constante. Desarrollemos la identidad precedente.

x2 + 2x + 1+ y2 = c(x2 2x + 1 + y2)

(1 c)x2 + (1 c)y2 + (1 c) 1 + 2(1 + c)x = 0,

dividiendo todo por (1 c) y renombrando 2 1+c1c con c, obtenemos

x2 + y2 + cx + 1 = 0,

como ecuacion general de C.

Hallemos la ecuacion diferencial asociada a esta familia, derivamos

2x + 2yy + c = 0 c = 2x + 2yy,

remplazamos en la ecuacion general

x2 + y2 2x2 2xyy + 1 = 0 y =x2 + y2 + 1

2xy.

De donde un campo de vectores tangentes a C esta dado por

u(x, y) =

2xy

x2 + y2 + 1

.

El campo v(x, y) de vectores tangentes a la familia ortogonal, se obtiene por rotacion de un angulorecto de u(x, y),

v(x, y) =

0 11 0

2xy

x2 + y2 + 1

=

x2 y2 1

2xy

.

La ecuacion diferencial asociada a la familia ortogonal esta dada por

y =2xy

x2 y2 1.

Para resolver esta ecuacion planteamos z2 = x2 1, derivando se tiene zz = 2x y aplicando la reglade la cadena se obtiene

y =dy

dzz = 2

x

z

dy

dz=

2xy

x2 y2 1

dy

dz=

2zy

z2 y2

dy

dz=

2yz1 ( yz )

2


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ecuacion de tipo homogeneo. Planteamos y/z = u, lo que conduce a

zdu

dz+ u =

2u

1 u2 z

du

dz=

u + u3

1 u2,

por lo tanto, utilizando fracciones parciales se tiene

( 1u 2 u1 + u2 ) dudz = 1z ln u ln(1 + u2) = ln(cz) u1 + u2 = cz.

Remplazando u y luego z se obtiene

yz

z2 + y2= cz z2 + y2 = cy x2 + y2 1 = cy.

La ecuacion general de la familia ortogonal es por lo tanto

x2 + y2 + cy = 1.

2.- Determine el valor de x(ln2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial

x = 3x + 2yy = 4x 3y

x(0) = 0, y(0) = 1.

Respuesta:

El sistema diferencial escrito de manera matricial esxy

=

3 2

4 3

xy

.

La matriz asociada al sistema, tiene como polinomio caracterstico

3 2

4 + 3 = 2

9 + 8 = ( 1)( + 1),

de donde los valores propios son 1 = 1 y 2 = 1. Determinemos los vectores propios correspondientes

3x + 2y = x x = 1 y = 1

3x + 2y = x x = 1 y = 2.

La solucion del sistema diferencial esta dada por

xy

=

1 1

1 2

et 00 et

2 11 1

01

.

Remplazando t = ln(2), se obtiene

x(ln2)y(ln2)

=

3

2

1

.

Por lo tanto

x(ln 2) =3

2.

2


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3.- Halle u(5, 4) sabiendo que u(x, y) es solucion de

yu

x+ x

u

y= 0,

u(x, 0) = x2.

Respuesta:

La curva de condiciones iniciales es y = 0 y el campo de direccionescaractersticas esta dado por

c(x, y) =

yx

,

que no es tangente a la curva de condiciones iniciales.Las ecuaciones caractersticas estan dadas por los problemas a valorinicial

x = y,y = x,

x(0) = x0, y(0) = 0.

Ahora bien, por la curva caracterstica que pasa por (x0, 0), se tiene la ecuacion diferencial ordinaria(con valor inicial)f = 0, f(0) = x20 f(t) = x

20.

Esto significa que sobre la curva caracterstica por (x0, 0), u es constante y vale x20.Determinemos la forma de la curva caracterstica, se tiene

y =y

x=

x

y x2 y2 = c = x20.

De donde para x = 5 y y = 4, se tiene

52 42 = 9 = x20,

por consiguienteu(5, 4) = 9.

4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-cion y : [0, 6] R, que une los puntos A = (0, 4) y B = (6, 4) tal que

60

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

La ecuacion de Euler Lagrange para F(y, y) =

1 + y2/y es

yFy F = c y2

y1 + y2

1 + y2

y=

1

y1 + y2= c

Planteando y = tan , se obtiene y = c cos . Por otro lado

dx

d=

dy

d/y = c

sin

tan = c cos x = c cos + d.

Por lo tanto (x d)2 + y2 = c2 circunferencia de centro en el eje x. Determinemos d

(0 d)2 + 42 = (6 d)2 + 42 d = 3 c2 = 25.

La ecuacion cartesiana del arco es x2 + y2 6x = 16.

3


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Correccion Segundo Parcial de Calculo III 1 9 de diciembre de 2002

Tabla de Respuestas

1.- b

2.- d

3.- a

4.- c


Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuaci on general cartesiana de la familia de curvas

ortogonales aC.

Respuesta:

a) x2 + y2 + cx = 1, b) x2 + y2 + cy = 1,c) x2 + y2 + cx = 1, d) x2 y2 = 1,e) Ninguna de las anteriores.


x = 3x + 2yy = 4x 3y x(0) = 0, y(0) = 1.

Respuesta:

a) x(ln 2) = 1, b) x(ln 2) = 0,c) x(ln 2) = 1, d) x(ln 2) = 3

2,

e) Ninguna de las anteriores.


yu

x+ x

u

y= 0,

u(x, 0) = x

2

.

Respuesta:

a) u(5, 4) = 9, b) u(5, 4) = 3,c) u(5, 4) = 1, d) u(5, 4) = 0,e) Ninguna de las anteriores.


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60

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

a) y = x2

6x + 4, b) x2

y2

= 6x 16,c) x2 + y2 6x = 16, d) y = 4,e) Ninguna de las anteriores.

2


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Tabla de Respuestas

1.- a

2.- c

3.- d

4.- b



ortogonales aC.

Respuesta:

a) x2 + y2 + cy = 1, b) x2 + y2 + cx = 1,c) x2 y2 = 1, d) x2 + y2 + cx = 1,e) Ninguna de las anteriores.


x = 3x + 2yy = 4x 3y x(0) = 0, y(0) = 1.

Respuesta:

a) x(ln 2) = 0, b) x(ln 2) = 1,c) x(ln 2) = 3

2, d) x(ln 2) = 1,



yu

x+ x

u

y= 0,

u(x, 0) = x

2

.

Respuesta:



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Tabla de Respuestas

1.- d

2.- b

3.- c

4.- a



ortogonales aC.

Respuesta:

a) x2 + y2 + cx = 1, b) x2 y2 = 1,c) x2 + y2 + cx = 1, d) x2 + y2 + cy = 1,e) Ninguna de las anteriores.


x = 3x + 2yy = 4x 3y x(0) = 0, y(0) = 1.

Respuesta:

a) x(ln 2) = 1, b) x(ln 2) = 32

,c) x(ln 2) = 1, d) x(ln 2) = 0,e) Ninguna de las anteriores.


yu

x+ x

u

y= 0,

u(x, 0) = x

2

.

Respuesta:



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60

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

a) x2

+ y2

6x = 16, b) y = 4,c) y = x2 6x + 4, d) x2 y2 = 6x 16,e) Ninguna de las anteriores.

2


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Tabla de Respuestas

1.- c

2.- a

3.- b

4.- d



ortogonales aC.

Respuesta:

a) x2 y2 = 1, b) x2 + y2 + cx = 1,c) x2 + y2 + cy = 1, d) x2 + y2 + cx = 1,e) Ninguna de las anteriores.


x = 3x + 2yy = 4x 3y x(0) = 0, y(0) = 1.

Respuesta:

a) x(ln 2) = 32

, b) x(ln 2) = 1,c) x(ln 2) = 0, d) x(ln 2) = 1,e) Ninguna de las anteriores.


yu

x+ x

u

y= 0,

u(x, 0) = x

2

.

Respuesta:



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60

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

a) y = 4, b) y = x2

6x + 4,c) x2 y2 = 6x 16, d) x2 + y2 6x = 16,e) Ninguna de las anteriores.

2


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Tabla de Respuestas

1.- Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion general cartesiana de la familia de curvas ortogo-nales a las circunferencias que pasan por (1, 0) y (1, 0). Considere la familiaC de curvas en el planocartesiano xy con la propiedad siguiente:Respuesta:

Como primer paso, se debe determinar la ecuacion general de esta familiade circunferencias. El centro de una de estas circunferencias se encuentraen el eje y y la ecuacion general esta dada por

x2 + (y k)2 = k2 + 1 x2 + y2 + cy = 1

Hallemos la ecuacion diferencial asociada a esta familia, despejemos c yderivemos

x2

+ y2

1y

= c (2x+2yy)y(x2+y21)y = 0 y = 2xyx2 y2 1


u(x, y) =

x2 y2 1

2xy

.


v(x, y) =

0 11 0

x2 y2 1

2xy

=

2xy

x2 y2 1

.


y = x2 + y2 + 1

2xy.

Para resolver esta ecuacion planteamos z2 = y2 + 1, derivando se tiene 2zz = 2yy y remplazando seobtiene

z =x2 + z2

2xzecuacion de tipo homogeneo. Planteamos z/x = u, lo que conduce a

xu + u =u2 1

2u xu =

1 + u2

2u,

por lo tanto2u

1 + u2u =

1

x ln(1 + u2) = ln(

c

x) 1 + u2 =

c

xRemplazando u y luego z se obtiene

z2 + x2

x2=

c

x x2 + y2 + 1 = cx.


x2 + y2 + cx = 1.


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2.- Determine el valor de y(ln2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial

x = 4x + 6yy = 3x + 5y

x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:

El sistema diferencial escrito de manera matricial es

xy

=

4 63 5

xy

.

La matriz asociada al sistema, tiene como polinomio caracterstico + 4 64 5

= 2 2 = ( 2)( + 1),de donde los valores propios son 1 = 1 y 2 = 2. Determinemos los vectores propios correspondientes

4x + 6y = x x = 2 y = 2

4x + 6y = 2x x = 11 y = 1.

La solucion del sistema diferencial esta dada porxy

=

2 11 1

et 00 et

1 1

1 2

10

.

Remplazando t = ln(2), se obtiene x(ln2)y(ln2)

=

3

7

2

.

Por lo tanto

y(ln 2) = 7

2.


yu

x x

u

y= 0,

u(x, 0) = x2.

Respuesta:


c(x, y) =

y

x

,


x = y,y = x,

x(0) = x0, y(0) = 0.

Ahora bien, por la curva caracterstica que pasa por (x0, 0), se tiene la ecuacion diferencial ordinaria(con valor inicial)

f = 0, f(0) = x20 f(t) = x20.

2


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Esto significa que sobre la curva caracterstica por (x0, 0), u es constante y vale x20.

Determinemos la forma de la curva caracterstica, se tiene

y =y

x=

x

y x2 + y2 = c = x20.


42 + 32 = 25 = x20,



80

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:La ecuacion de Euler Lagrange para F(y, y) =

1 + y2/y es

yFy F = c y2

y

1 + y2

1 + y2

y=

1

y1 + y2= c


dx

d=

dy

d/y = c

sin



(0 d)2 + 32 = (8 d)2 + 32 d = 4 c2 = 25.


3


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Tabla de Respuestas

1.- d

2.- b

3.- c

4.- a


a) x2 + y2 + cy = 1, b) x2 + y2 + cx = 1,c) x2 + y2 + cy = 1, d) x2 + y2 + cx = 1,e) Ninguna de las anteriores.


x = 4x + 6yy = 3x + 5y

x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:

a) y(ln 2) = 0, b) y(ln 2) = 72

,c) y(ln 2) = 3, d) y(ln 2) = 1,e) Ninguna de las anteriores.


yu

x x

u

y= 0,

u(x, 0) = x2.

Respuesta:


4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-

cion y : [0, 8] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (8, 3) tal que80

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

a) x2 + y2 8x = 9, b) y = 3,c) y = x2 8x + 3, d) x2 + y2 8x 6y + 9 = 0,e) Ninguna de las anteriores.


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Tabla de Respuestas

1.- c

2.- a

3.- d

4.- b

1.- Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion general cartesiana de la familia de curvas ortogo-nales a las circunferencias que pasan por (1, 0) y (1, 0). Considere la familiaC de curvas en el planocartesiano xy con la propiedad siguiente:

Respuesta: a) x2 + y2 + cx = 1, b) x2 + y2 + cy = 1,c) x2 + y2 + cx = 1, d) x2 + y2 + cy = 1,e) Ninguna de las anteriores.


x = 4x + 6yy = 3x + 5y

x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:

a) y(ln 2) = 72

, b) y(ln 2) = 3,c) y(ln 2) = 1, d) y(ln 2) = 0,e) Ninguna de las anteriores.


yu

x x

u

y= 0,

u(x, 0) = x2.

Respuesta:


4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-cion y : [0, 8] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (8, 3) tal que8

0

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

a) x2 + y2 8x 6y + 9 = 0, b) x2 + y2 8x = 9,c) y = 3, d) y = x2 8x + 3,e) Ninguna de las anteriores.


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Tabla de Respuestas

1.- b

2.- d

3.- a

4.- c




x = 4x + 6yy = 3x + 5y

x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:

a) y(ln 2) = 3, b) y(ln 2) = 1,c) y(ln 2) = 0, d) y(ln 2) = 7

2,



yu

x x

u

y= 0,

u(x, 0) = x2.

Respuesta:


4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-

cion y : [0, 8] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (8, 3) tal que80

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

a) y = x2 8x + 3, b) x2 + y2 8x 6y + 9 = 0,c) x2 + y2 8x = 9, d) y = 3,e) Ninguna de las anteriores.


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Tabla de Respuestas

1.- a

2.- c

3.- b

4.- d

1.- Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion general cartesiana de la familia de curvas ortogo-nales a las circunferencias que pasan por (1, 0) y (1, 0). Considere la familiaC de curvas en el planocartesiano xy con la propiedad siguiente:

Respuesta: a) x2 + y2 + cx = 1, b) x2 + y2 + cy = 1,c) x2 + y2 + cx = 1, d) x2 + y2 + cy = 1,e) Ninguna de las anteriores.


x = 4x + 6yy = 3x + 5y

x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:

a) y(ln 2) = 1, b) y(ln 2) = 0,c) y(ln 2) = 7

2, d) y(ln 2) = 3,



yu

x x

u

y= 0,

u(x, 0) = x2.

Respuesta:


4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-cion y : [0, 8] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (8, 3) tal que8

0

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

a) y = 3, b) y = x2 8x + 3,c) x2 + y2 8x 6y + 9 = 0, d) x2 + y2 8x = 9,e) Ninguna de las anteriores.


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Tabla de Respuestas

1.- Considere la familia C de curvas en el plano cartesiano xy con la propiedad siguiente:Las distancias de los puntos (x, y) de cualquier curva C C a los puntos (0, 1) y (0, 1) tienen unarazon constante.Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuacion general cartesiana de la familia de curvas or-togonales a C.Respuesta:

Como primer paso, se debe determinar la ecuacion general de C. Paratal efecto, tomemos un punto (x, y) C, donde C es una curva de C. Setiene

x2 + (y + 1)2

x2 + (y 1)2= c,

donde c es una constante. Desarrollemos la identidad precedente.

x2 + 2y + 1+ y2 = c(x2 2y + 1 + y2)

(1 c)x2 + (1 c)y2 + (1 c) 1 + 2(1 + c)y = 0,

dividiendo todo por (1 c) y renombrando 2 1+c1c con c, obtenemos

x2 + y2 + cy + 1 = 0,

como ecuacion general de C.

Hallemos la ecuacion diferencial asociada a esta familia, despejemos c y derivemos

x2 + y2 + 1

y= c (2x + 2yy)y (x2 + y2 + 1)y = 0 y =

2xy

x2 y2 + 1


u(x, y) =

x2 y2 + 1

2xy

.


v(x, y) =

0 11 0

x2 y2 + 1

2xy

=

2xy

x2 y2 + 1

.


y

=

x2 + y2 1

2xy .

Para resolver esta ecuacion planteamos z2 = y2 1, derivando se tiene 2zz = 2yy y remplazando seobtiene

z =x2 + z2

2xz

ecuacion de tipo homogeneo. Planteamos z/x = u, lo que conduce a

xu + u =u2 1

2u xu =

1 + u2

2u,


20/29

por lo tanto2u

1 + u2u =

1

x ln(1 + u2) = ln(

c

x) 1 + u2 =

c

x

Remplazando u y luego z se obtiene

z2 + x2

x2=

c

x x2 + y2 1 = cx.


x2 + y2 + cx = 1.

2.- Determine el valor de x(ln 2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial

x = 3x 4yy = 2x 3y

x(0) = 1, y(0) = 1.

Respuesta:

El sistema diferencial escrito de manera matricial esxy

=

3 42 3

xy

.

La matriz asociada al sistema, tiene como polinomio caracterstico

3 42 + 3 = 2 9 + 8 = ( 1)( + 1),

de donde los valores propios son 1 = 1 y 2 = 1. Determinemos los vectores propios correspondientes

3x 4y = x x = 2 y = 1

3x 4y = x x = 1 y = 1.

La solucion del sistema diferencial esta dada por

xy

2 11 1

=

et 00 et

1 1

1 2

11

.

Remplazando t = ln(2), se obtiene x(ln2)y(ln2)

=

1

2

= 12

.

Por lo tanto

x(ln 2) =3

2.


yu

x+ x

u

y= 0,

u(x, 0) = x2.

2


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Respuesta:


c(x, y) =

yx

,


x = y,y = x,

x(0) = x0, y(0) = 0.

Ahora bien, por la curva caracterstica que pasa por (x0, 0), se tiene la ecuacion diferencial ordinaria(con valor inicial)

f = 0, f(0) = x20 f(t) = x20.

Esto significa que sobre la curva caracterstica por (x0, 0), u es constante y vale x20.

Determinemos la forma de la curva caracterstica, se tiene

y =y

x=

x

y x2 y2 = c = x20.


169 144 = 25 = x20,


4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la funcion

y : [0, 7] R

, que une los puntos A = (0, 3) y B = (7, 4) tal que70

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

La ecuacion de Euler Lagrange para F(y, y) =

1 + y2/y es

yFy F = c y2

y

1 + y2

1 + y2

y=

1

y1 + y2= c


dx

d =

dy

d /y

= c

sin



(0 d)2 + 32 = (7 d)2 + 42 d = 4 c2 = 25.


3


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Tabla de Respuestas

1.- a

2.- b

3.- d

4.- c

1.- Considere la familia C de curvas en el plano cartesiano xy con la propiedad siguiente:Las distancias de los puntos (x, y) de cualquier curva C C a los puntos (0, 1) y (0, 1) tienen unarazon constante.Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuacion general cartesiana de la familia de curvasortogonales a C.Respuesta:

a) x2 + y2 + cx = 1, b) x2 + y2 + cy = 1,c) x2 + y2 + cx = 1, d) x2 + y2 + cy = 1,e) Ninguna de las anteriores.


x = 3x

4yy = 2x 3y x(0) = 1, y(0) = 1.

Respuesta:

a) x(ln 2) = 1, b) x(ln 2) = 12

,c) x(ln 2) = 2, d) x(ln 2) = 0,e) Ninguna de las anteriores.


yu

x+ x

u

y= 0,

u(x, 0) = x

2

.

Respuesta:



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4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la funciony : [0, 7] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (7, 4) tal que

70

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

a) x2

+ y2

6x = 16, b) x2

+ y2

9y = 49,c) x2 + y2 8x = 9, d) y = 1

7x + 3,


2


24/29


25/29


70

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

a) y =1

7x + 3, b) x2

+ y2

6x = 16,c) x2 + y2 9y = 49, d) x2 + y2 8x = 9,e) Ninguna de las anteriores.

2


26/29



Tabla de Respuestas

1.- c

2.- d

3.- a

4.- b


a) x2 + y2 + cx = 1, b) x2 + y2 + cy = 1,c) x2 + y2 + cx = 1, d) x2 + y2 + cy = 1,e) Ninguna de las anteriores.


x = 3x

4yy = 2x 3y x(0) = 1, y(0) = 1.

Respuesta:

a) x(ln 2) = 2, b) x(ln 2) = 0,c) x(ln 2) = 1, d) x(ln 2) = 1

2,



yu

x+ x

u

y= 0,

u(x, 0) = x

2

.

Respuesta:



27/29


70

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

a) x2

+ y2

9y = 49, b) x2

+ y2

8x = 9,c) y = 1

7x + 3, d) x2 + y2 6x = 16,


2


28/29



Tabla de Respuestas

1.- d

2.- c

3.- b

4.- a




x = 3x

4yy = 2x 3y x(0) = 1, y(0) = 1.

Respuesta:

a) x(ln 2) = 0, b) x(ln 2) = 1,c) x(ln 2) = 1

2, d) x(ln 2) = 2,



yu

x+ x

u

y= 0,

u(x, 0) = x

2

.

Respuesta:



29/29


70

1 + y2

ydx mn .

Respuesta:

a) x2

+ y2

8x = 9, b) y =1

7x + 3,c) x2 + y2 6x = 16, d) x2 y2 = 6x 16,e) Ninguna de las anteriores.

Corrección Segundo Parcial, Semestre II02, Cálculo III

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